电子科技大学近世代数-1998真题
近世代数题库
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群
一、填空题
1. 设4)(x x f =是复数集到复数集的一个映射, 则)1(1-f ={_______}.
2. 设τ=(134),σ=(13)(24), 则τσ=____________________.
3. 群G 的元素a 的阶是m ，b 的阶是n ，ba ab =，则≤ab ，如果),(m n = 1，则=ab
_____.
4. 设<a >是任意一个循环群.若|a |=∞，则<a >与________________同构；若|a |=n ，则<a >与
______________同构.
5. 设σ=（14）（235），τ=（153）（24），则|σ| = ____，στσ1- =______.
6. 设群G 的阶为m ，G a ∈，则=m a .
7. 设“～”是集合A 的一个关系，如果“～”满足_________________，则称“～”是A 的元素
间的一个等价关系.
8. 设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S 5，那么στ＝___________(表示成若干个没有公共数
字的循环置换之积)， τ是 (奇、偶)置换.
9. 设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为 .
10. 一个群G 的非空子集H 做成一个子群的充分必要条件是 .
11. 设G 为群，若对于任意的元G b a ∈,，都有ba ab =，则称群G 为 群.
2016年杭州电子科技大学009理学院-近世代数自命题科目考研同等学力加试
杭州电子科技大学
硕士研究生复试同等学力加试科目考试大纲
学院：理学院加试科目：近世代数
一、基本概念
1．理解集合的概念，了解元素与集合之间的关系，以及集合之间的运算。
2．理解映射的概念，能在集合之间建立映射关系，并能判断两个映射是否相同。
3．掌握一一映射的定义，并能建立两个集合之间的满射、单射、一一映射，能判定给定的映射是否是一一映射。
4．掌握同态映射的概念，理解同态与同态满射的关系，并能判定映射是否是同态满射。5．掌握同构映射和自同构的概念，能区分同态与同构的差别，理解两个具有同构关系的集合之间的关系，并能判定给定的映射和运算是否是同构关系，能建立两个集合之间的同构映射。
6．理解关系和等价关系的概念，熟悉剩余类的基本特性。
二、群论
1．了解群的第一、第二定义，掌握有限群、无限群、群的阶和交换群的概念。
2．充分掌握单位元、逆元的存在性和唯一性，了解消去律的定义，能熟练掌握群与阶的关系，会计算群元素的周期。
3．理解群同构、同态的定义，掌握和一个群同态的集合也成群的证明，掌握群同态的有关性质。
4．掌握循环群的定义和由生成元决定循环群的性质与特点。
5．理解置换与置换群的定义与性质，掌握每一个n元置换都可以写成若干个互相没有共同数字的（不相连）的循环置换的乘积的证明与运用。理解有限群与置换群的同构关系。6．了解子群的定义，掌握群的子集成群的充分而且必要的条件与判定定理，了解群与子群中的单位元与逆元的关系，以及子群与子群之间的关系。
7．掌握陪集的定义，以及与等价关系和分类之间的关系，了解子群与陪集之间的映射关系，并能证明有限群的阶能被元的阶整除的定理，以及阶为素数的群一定为循环群的证明。8．了解不变子群的定义，能掌握一个群的子群是不变子群的充分必要条件的定理，理解商群的定义。
近世代数期末考试题库
近世代数模拟试题一
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ是从A 到B 的（ ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射
2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。
A 、2
B 、5
C 、7
D 、10
3、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样)
4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。
5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B ---------。
2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。
3、环的乘法一般不交换。如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。
4、偶数环是---------的子环。
近世代数经典题与答案
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近世代数经典题与答案
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1．设为整数加群, ,求
解在 Z中的陪集有:
, , ,
, , 所以, .
2、找出的所有子群。
解：S3显然有以下子群：本身；（（1））={（1）}；（（12））
={（12），（1）}；（（13））={（13），（1）}；（（23））={（23），（1）}；（（123））={（123），（132），（1）}
若S3的一个子群H包含着两个循环置换，那么H含有（12），（13）这两个2-循环置换，那么H含有（12）（13）=（123），（123）（12）=（23），因而H=S3。同理，若是S3的一个子群含有两个循环置换（21），（23）或（31），（32）。这个子群也必然是S3。
用完全类似的方法，可以算出，若是S3的一个子群含有一个2-循环置换和一个3-循环置换，那么这个子群也必然是S3。
7．试求高斯整环的单位。
解设 () 为的单位, 则存在 , 使得 , 于是
因为 , 所以 . 从而 , , 或 . 因此可能的单位只有
显然它们都是的单位. 所以恰有四个单位:
5．在中, 解下列线性方程组:
解: 即 , .
12. 试求的所有理想.
解设为的任意理想, 则为的子环，则 , , 且 .
对任意的 , , 有 ,
近世代数(含答案)
近世代数
一、单项选择题
1、6阶有限群的任何一个子群一定不是（ C ）
。 A ．2阶 B ．3阶 C ．4阶 D ．6阶
2、设G 是群，G 有（ C ）个元素，则不能肯定G 是交换群。
A ．4个
B ．5个
C ．6个
D ．7个
3、下面的代数系统(,*)G 中，（ D ）不是群。
A ．G 为整数集合，*为加法
B ．G 为偶数集合，*为加法
C ．G 为有理数集合，*为加法
D ．G 为有理数集合，*为乘法
4、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ C ）是子群。
A ．{}a
B ．{},a e
C ．{}3,e a
D ．{}3,,e a a
5、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ B ）
A ．*a b a b =−
B ．{}*max ,a b a b =
C ．*2a b a b =+
D ．a b a b +=−
二、填空题
1、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于（ 25 ）
。 2、一个有单位元的无零因子的（ 交换环 ）称为整环。
3、群的单位元是（ 唯一 ）的，每个元素的逆元素是（ 唯一 ）的。
4、一个子群H 的右、左陪集的个数（ 相等 ）。
5、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的（ 特征 ）。
6、设群G 中元素a 的阶为m ，如果n
a e =，那么m 与n 存在整除关系为（ |m n ）
。 7、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则1[()]f f a −=（ a ）。
8、循环群的子群是（ 循环群 ）。 9、若{}2,5A =，
近世代数试题及答案
内蒙古广播电视大学2008—2009年度第二学期期末
《近世代数》试题
一、（16分）叙述概念或命题
1．正规子群；
2．唯一分解环；
3．代数数；
4．鲁非尼-阿贝尔定理 二、（12分）填空题
1．设有限域F 的阶为81，则的特征=p 。
2．已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于 。 3．一个有单位元的无零因子 称为整环。
4．如果710002601a 是一个国际标准书号，那么=a 。 三、（10分）设G 是群。证明：如果对任意的G x ∈，有e x =2，则G 是交换群。 四、（10分）证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
五、（15分）设}R ,,,|{H ∈+++=d c b a dk cj bi a 是四元数体，对H 中任意元
dk cj bi a x +++=，
定义其共轭
dk cj bi a x ---=。
1．证明：x x x x =是一个非负实数；
2．对k j i x 221-+-=，k j i y -+-=22，求xy ，yx 和1-x 。
六、（15分）设)6(1=I ，)15(2=I 是整数环的理想，试求下列各理想，并简述理由。
1．21I I +；
2．21I I ⋂； 3．21I I ⋅
七、（10分）设有置换)1245)(1345
(=σ，6)456)(234(S ∈=τ。 1．求στ和στ-1；
3．确定置换στ和στ-1的奇偶性。
八、（12分）求剩余类加群Z 12中每个元素的阶。
《近世代数》试卷答案
一、1．若H 是群G 的子群，且对每个G a ∈，有Ha aH =，那么H 称为是G 的正规子群。
近世代数期末考试试卷及答案
近似代数2
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。
A 、{}a
B 、{}e a ,
C 、{}3,a e
D 、
{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群
A 、G 为整数集合，*为加法
B 、G 为偶数集合，*为加法
C 、G 为有理数集合，*为加法
D 、G 为有理数集合，*为乘法
3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）
A 、a*b=a-b
B 、a*b=max{a,b}
C 、 a*b=a+2b
D 、a*b=|a-b|
4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=
（1324），则
3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ
5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。
A 、不可能是群
B 、不一定是群
C 、一定是群
D 、 是交换群
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。
4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。
多所高校近世代数题库及部分答案
多所高校近世代数题库及部分答案
一、（2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）
1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。 （ × ）
2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。（× ）
3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。 （√ ）
4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。 （√ ）
5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。 （ × ）
6、近世代数中，群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,。 （ √ ）
7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。 （√ ）
8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。 （√ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 （× ）
10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。 （ × ）
二、（2011年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分）
1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ⨯⨯⨯ 21到D 的一个映射，那么（② ）
①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ⨯⨯⨯ 21中不同的元对应的象必不相同；
1998-数一真题、标准答案及解析
1998年全国硕士研究生入学统一考试
理工数学一试题详解及评析
一、填空题
（1
）
2
2
lim
x x
→
+
=.
【答】
1 4−.
【详解1】用四则运算将分子化简，再用等价无穷小因子代换，
)
2
2
2
2
4
21
lim
4
1
1
2
lim.
24
x
x
x
x
x
x
→
→
→
−
=
−
=
−
==−
原式
2
1
1~
2
x
−【详解2】
采用洛必达法则，
00
lim
4
x x
x
x
x
→→
→
→
⎯⎯→=
=
⎯⎯→
原式
注：()
10
x
→→可求出
【详解3】采用()
1uλ
+的马克劳林展开式，此时余项用皮亚诺余项较简单.当0
u→时
()
()()
22
1
11,
2!
u u u o u
λ
λλ
λ
−
+=+++
所以0
x→时
()
()
22
22
11
1,
28
11
1,
28
x x o x
x x o x
⎛⎞
=++−+
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
=−+−+
⎜⎟
⎝⎠
于是
()()222202201111
1122828lim 1 lim 41
4
x x x x x x o x x o x x →→+
−+−−+−⎛⎞
⎜⎟
=−+⎜⎟⎝⎠=−
原式= （2）设 ()()1,,z f xy y x y f x ϕϕ=++具有二阶连续导数，则
2z
x y
∂=∂∂ . 【答】 ()()()''
'''yf xy x y y x y ϕϕ++++.
【详解】
()()()()()()()()()()()
''22''''''''''''1,11
z y
f xy f xy y x y x x x z f xy f xy yf xy x y y x y x y
x x yf xy x y y x y ϕϕϕϕϕ∂=−+++∂∂=−++++++∂∂=++++
近世代数复习题
近世代数复习题
近世代数复习思考题
⼀、基本概念与基本常识的记忆
(⼀)填空题
1.剩余类加群Z 12有_________个⽣成元.
2、设群Ｇ的元a 的阶是n,则ａk 的阶是＿____＿_＿.
3. 6阶循环群有_＿_＿_____个⼦群.
４、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =,那么m 与n 存在整除关系为———。
5．模８的剩余类环Z 8的⼦环有____＿____个.
6.整数环Z 的理想有＿________个．
７、ｎ次对称群S ｎ的阶是——————。
８、９-置换
728169345987654321分解为互不相交的循环之积是————。 9.剩余类环Z 6的⼦环Ｓ={[0］,［2]，［4］},则Ｓ的单位元是_＿_＿＿___＿___. 1０. 24中的所有可逆元是：＿＿_＿＿__________＿__＿_＿＿__＿_.
1１、凯莱定理的内容是:任⼀个⼦群都同⼀个___＿___＿同构。
12. 设()G a =为循环群，那么（1）若a 的阶为⽆限，则G 同构于_____＿＿_＿__,(2）若a 的阶为n ，则G 同构于＿_____＿＿____。
１３．在整数环中，23+=___＿_____________＿；
１４、n 次对称群S ｎ的阶是_____.
1５. 设12,A A 为群G 的⼦群，则21A A 是群G 的⼦群的充分必要条件为___＿__＿___＿。１6、除环的理想共有____＿
______＿个。
17. 剩余类环Z 5的零因⼦个数等于__＿_＿__＿＿_.
18、在整数环Ｚ中，由｛2,3}⽣成的理想是______＿_＿.
近世代数10套试题
《近世代数》试卷1（时间120分钟）
二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）
1. （）循环群的子群是循环子群。
2. （）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。
3. （）存在一个4阶的非交换群。
4. （）素数阶的有限群G的任一子群都是G的不变子群。
5. （）无零因子环的特征不可能是2001。
6. （）无零因子环的同态象无零因子。
7. （）模97的剩余类环Z97是域。
8. （）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。
9. （）域是唯一分解整环。
10. （）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。
一、填空题（共20分，第1、4、6小题各4分，其余每空2分）
1. 设A、B是集合，| A |＝3，| B |＝2，则共可定义个从A到B的映射，其中
有个单射，有个满射，有个双射。
2. 设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为，子群H=< a3>的在G中的指数是。
3. 设G＝< a>是10阶循环群，则G的非平凡子群的个数是。
4. 在模12的剩余环R=｛[0], [1], ……, [11]｝中，［5］＋［10］＝，［5］·［10］＝，方程x2＝[1]的所有根为。
5. 环Z6的全部零因子是。
6. 整环Z[√-3 ]不是唯一分解整环，因为它的元素α＝在Z[√-3 ]中有两种本
。
（共3０分）
1.设S3是3次对称群，a=（123）∈S3．
（１）写出H＝< a>的所有元素．
（２）计算H的所有左陪集和所有右陪集．
（３）判断H是否是S3的不变子群，并说明理由．
近世代数期末考试试卷及答案
近世代数期末考试试卷及答案
近世代数模拟试题三
⼀、单项选择题(本⼤题共5⼩题，每⼩题3分，共15分)在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均⽆分。
1、6阶有限群的任何⼦群⼀定不是（）。
A、2阶
B、3 阶
C、4 阶
D、 6 阶
2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。
A、4个
B、5个
C、6个
D、7个
3、有限布尔代数的元素的个数⼀定等于（）。
A、偶数
B、奇数
C、4的倍数
D、2的正整数次幂
4、下列哪个偏序集构成有界格（）
A、（N,≤）
B、（Z,≥）
C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））
D、 (P(A),?)
5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（）
A、(1)，(123)，(132)
B、12)，(13)，(23)
C、(1)，(123)
D、S3中的所有元素
⼆、填空题(本⼤题共10⼩题，每空3分，共30分)请在每⼩题的空格中填上正确答案。错填、不填均⽆分。
1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。
2、如果f是A与A间的⼀⼀映射，a是A的⼀个元，则
()
[]=
-a
f
f1----------。
3、区间[1，2]上的运算}
,
{min b
a
b
a=
的单位元是-------。
4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。
5、环Z
8
的零因⼦有 -----------------------。
近世代数期末考试真题
近世代数期末考试真题
近世代数期末练习题
一、判断题（在括号里打上√ 或 ? ）
1、一个阶是11的群只有两个子群。( )
2、循环群的子群是循环子群。( )
3、在一个环中，若右消去律成立，则左消去律成立。( )
4、消去律在无零因子环中一定成立。( )
5、在环中，逆元一定不是零因子。( )
6、在一个域中一定不存在零因子。( )
7、模99的剩余类环99Z 是一个域。( )
8、模19的剩余类环19Z 是一个整环。( )
9、整除关系是整数集Z 的元素间的一个等价关系。( )
10、同余关系是整数集Z 的元素间的一个等价关系。( )
11、群G 的两个子群的交还是子群。( )
12、环R 的一个子环和一个理想的交一定是R 的子环。( )
13、群G 的不变子群也是G 的子群，环R 的理想也是R 的子环。( )
14、设群G 与群G'同态，则G 的不变子群的同态像是G'的不变子群。 ( )
15、一个域一定是一个整环。( )
二、填空题
1、在3次对称群3S 中，元素（123）的阶为，（123）的逆元为，（123）
所生成的子群在3S 中的指数为，该子群是否3S 的不变子群？。
2、环Z 6的全部零因子是，全部可逆元是。
3、在环Z 10中，[6]+[7]= ，[6][7]= ，[6]-[7]= ，[6]3= ，
[7]-1= 。
三、证明：（1）若群G 的元a 的阶为2, 则a – 1 = a . （2）若群G 的元 a 的阶大于2, 则a –1 ≠ a . （3）在群G 中, 元 a 与逆元a
–1有相同的阶.
四、证明：设群G 中元a 的阶为n . 证明a s = a t ? n | ( s – t ) .
近世代数参考答案
近世代数参考答案
《近世代数》A/B 模拟练习题参考答案
⼀、判断题（每题4分，共60分）
1、如果循环群G=(a)中⽣成元a 的阶是⽆限的，则G 与整数加群同构。（ √ ）
2、如果群G 的⼦群H 是循环群，那么G 也是循环群。（ × ）
3、两个⼦群的交⼀定还是⼦群。（ × ）
4、若环R 满⾜左消定律，那么R 必定没有右零因⼦。（ √ ）
5、任意置换均可表⽰为若⼲个对换的乘积。（ √ ）
6、F （x)中满⾜条件p(a)=0的多项式叫做元a 在域F 上的极⼩多项式。（ × ）
7、已知H 是群G 的⼦群，则H 是群G 的正规⼦群当且仅当g G ?∈，都有 1gHg H -= （ √ ）
8、唯⼀分解环必是主理想环。( × )
9、已知R 是交换环，I 是R 的理想，则I 是R 的素理想当且仅当是/R I 整环。（ √ ）
10、欧⽒环必是主理想环。（ √ ）
11、整环中，不可约元⼀定是素元。（ √ ）
12、⼦群的并集必是⼦群。（ × ）
13、任何群都同构于某个变化群。( √ )
14、交换环中可逆元与幂零元的和是可逆元。( √ )
15、集合,A Z B N ==，::2f A B n
n →+是从A 到B 的映射。（ × ）
⼆、证明题（每题20分，共300分）
1Q 上的最⼩多项式。
解：令=u 32==u u .
于是3223323315(32-?-=+-+=u u u u u u .
移项后得32152(3+-=-u u u 两边平⽅，得到3222(152)(35)5+-=-?u u u .
这是u 上满⾜的Q 上6次⽅程，故[():]6≤Q u Q .
近世代数期末考试试卷及答案
一、单项选择题（本大题共5小题,每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（）是子群。
A、 B、 C、 D、
2、下面的代数系统（G，*）中，( ）不是群
A、G为整数集合，*为加法
B、G为偶数集合,＊为加法
C、G为有理数集合,＊为加法
D、G为有理数集合,＊为乘法
3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ )
A、a＊b=a—b
B、a＊b=max{a，b}
C、 a＊b=a+2b
D、a＊b=|a-b｜
4、设、、是三个置换，其中=（12）（23）（13），=（24）(14）,=（1324），则=( ）
A、 B、 C、 D、
5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。
A、不可能是群
B、不一定是群
C、一定是群
D、是交换群
二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个—-——--—-——同构。
2、一个有单位元的无零因子-—-——称为整环。
3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于--——-—.
4、a的阶若是一个有限整数n,那么G与——-————同构。
5、A=｛1。2。3} B=｛2。5。6} 那么A∩B=-——--。
6、若映射既是单射又是满射，则称为—-——-—--—---—--——.
7、叫做域的一个代数元,如果存在的-——--使得。
8、是代数系统的元素，对任何均成立，则称为---——————。
《近世代数》练习题及答案.doc
《近世代数》练习题及答案
1. B u A,但B不是A的真子集，这个情况什么时候才能出现？
解只有在A=B时才能出现。证明如下：
当A=B时，即有BA, A(Z B,若有' a e A而a £ B ,显然矛盾；
若BuA,但B不是A的真子集，可知凡属于A的兀素不可能不属于B,故A=B
2.A=(1, 2, 3, .... , 100｝,找一个AXA 到 A 的映射。
解
S(a"2)= 1
易证。102都是AXA到A的映射。
3.在你为习题1所找的映射下，是不是A的每一个元都是AXA的一个元的象？
解在0]下，有' A的元不是AX A的任何元的象；
容易验证在啊下，A的每个元都是AXA的一个元的象。
4.A=｛所有实数｝。
O (a, b) Ta+b=aOb
这个代数运算适合不适合结合律？
解这个代数运算不适合结合律。
(aOb) Oc=a+2b+2c, aO (bOc) =a+2b+4c
(aOb) Oc#aO (bOc)除c=0
5.假定巾是A与A间的一个---- 映射，a是A的一个元。
厂[0(a)] = ?,如尸(«)] = ?
解厂渺(a)] = a0[户(a)]未必有意义;
当巾是A的一个一一变换时
(/)-' [©(a)] =。0[厂(a)] = a.
6.假定A和，对于代数运算。和：来说同态，云和云对于代数运算：和；来说同态, 证明A和云对于代数运算。和；来说同态。
、〒S '• a — a表示A到屈勺同态满射
iiE /Il —— ». _—,
©2 ：。t。表示A SU A的同态满射
容易验证。是A到葡满射
a。b T ONMa。b)l =(/)2(a。b) = a。b