第十讲 立体几何中的多面体与球
球内接多面体-高中数学知识点讲解
球内接多面体
1．球内接多面体
【知识点的知识】
1、球内接多面体的定义：多面体的顶点都在球面上，且球心到各顶点的距离都是半径．球内接多面体也叫做多面体外接球．
球外切多面体的定义：球面和多面体的各个面都相切，球心到各面的距离都是球的半径．球外切多面体也叫做多面体内切球
2、研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：
（1）球心与多面体中心的位置关系；
（2）球的半径与多面体的棱长的关系；
（3）球自身的对称性与多面体的对称性；
（4）能否做出轴截面．
3、球与多面体的接、切中有关量的分析：
（1）球内接正方体：球和正方体都是中心对称和轴对称图形，设球的半径为r，正方体的棱长为a，则：
①球心就是正方体的中心，球心在正方体的体对角线的中点处；
②正方体的四个顶点都在球面上；
③轴截面就是正方体的对角面；
④在轴截面上，含有一个球的大圆和正方体的棱、面对角线、体对角线，且构造一个直角三角形；
⑤球半径和正方体棱长的关系：r =3a．
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名师辅导 立体几何 第10课 正多面体、球(含答案解析)
名师辅导 立体几何 第10课 正多面体、球（含答案解析）●考试目标 主词填空1.多面体欧拉公式（1）欧拉公式V ＋F －E ＝2，是描述简单多面体的顶点数、面数、棱数之间特有规律的一个公式.2. 球的概念和性质（1）定义：半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫球体，简称球.3.球面的距离 在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点的球面距离.4.球的表面积和体积球的表面积和体积都是球半径R 的函数.(1)半径为R 的球表面积公式是：S ＝4πR 2,(2)半径为R 的球体积公式是：S =334R π.●题型示例 点津归纳【例1】 已知铜的单晶的外形是简单几何体，单晶铜有三角形和八边形两种晶面，如果铜的单晶有24个顶点，每个顶点处都有三条棱，计算单晶铜的两种晶面的数目.【解前点津】 设三角形晶面有x 个，八边形晶面有y 个.则单晶铜的面数F =x +y ,且棱数E =21(3x +8y ). 又因为铜的单晶的顶点数V =24,且每个顶点处都有3条棱所以棱数 E =21×（3×24）＝36 由欧拉公式得 24+(x +y )-36=2 所以x +y =14,再由21(3x +8y )=36 可解得x =8,y =6所以单晶铜的三角形晶面有8个，八边形晶面有6个.【解后归纳】 本题考查多面体，凸多面体和多面体的欧拉定理及其应用.【例2】 一个简单多面体共有16个顶点，每个顶点都引出3条棱，且只有三角形和五边形两种面，求该简单多面体中三角形和五边形的数目各是多少?【解前点津】 设该简单多面体中三角形和五边形数目分别为x 个、y 个，一方面可根据欧拉定理计算棱数，另一方面可由各面边数计算棱数，这样可以得到一个二元一次方程组，求解即可.【规范解答】 设三角形有x 个，五边形有y 个，∵共有16个顶点，每个顶点引出三条棱，∴棱数E =2316⨯=24, 一方面相邻两个面的两条边重合为一条棱， ∴棱数为253y x +,∴253y x +=24 ① 另一方面，由题意知面数F =x +y ，由欧拉定理得：16+(x +y )-24=2 ②由①②联立可得：x =1,y =9，即三角形面有1个，五边形面有9个.【例3】 一个圆锥形漏斗口的内周长为8πcm ．漏斗深9.6cm ，将一个球放进漏斗里，球的最高点比漏斗口所在平面高出2.4cm ，求球的体积.【解前点津】 作出轴截面图.【规范解答】 作共同的轴截面图(如图)，得等腰△PAB 和圆O ，球的最高点C ，球心O 和圆锥顶点P 三点共线，D =AB ∩PC ,依题设：PD =9.6,CD =2.4,AD =428=ππ. 过C 作A 1B 1∥AB 与PA 、PB 的延长线分别交于点A 1、B 1，则A 1B 1与圆O 相切于C . 且有25.16.9121===PD PC AD C A . ∴A 1C =1.25AD =5.PA 1=.13221=+PC C A记PA 1与圆O 的切点为E ，则A 1C =A 1E ，且△PEO ∽△PCA 1， 得C A OE PC PE 1=,PE =PA 1-A 1E =13-5=8, ∵OE =3101=⋅PC C A PE , 即得球半径R =310,所以它的体积为814000343π=π=R V (cm 3). 【解后归纳】 作出圆锥与球共同的轴截面，则圆锥与球的重要几何量与几何关系都在这一平面图形上充分展现出来了，通过对此平面图形的分析，即可求出球半径，从而求得球体积.【例4】 在北纬45°的纬度圈上有A 、B 两点,它们分别在东经70°与东经160°的经度圈上，设地球半径为R ，求A 、B 两点的球面距离.【规范解答】 如图,设北纬45°圈的圆为O 1,地球中心为O ,则∠AO 1B =160°-70°=90°,∠OBO 1=45°,OB =R .∴O 1B =O 1A =R 22,AB =R , 连接AO ,AB ,则AO =BO =AB =R , ∴∠AOB =60°,∴=61·2πR =31πR . 故A 、B 两点间的球面距离为31πR . 【解后归纳】 为求A 、B 两点间球面的距离,要把它组织到△AOB 中去分析，只要求得∠AOB 的度数便可求得球面距离，注意余弦定理的应用.●对应训练 分阶提升一、基础夯实1.正三棱锥是正四面体的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分不必要条件2.正六面体的顶点数V 和棱数E 分别是 ()例3题图例4题图A.V =8,E =12B.V ＝12，E ＝8C.Ｖ＝6，E ＝8D.V ＝6，E ＝103.球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么球的半径为 ( ) A.43 B.23 C.2 D. 3 4.正十二面体的面是正三角形，且每一个顶点为其一端都有五条棱，则其顶点数V 和棱数E 的值应是( )A.V ＝30，E ＝12B.Ｖ＝12，E ＝30C.Ｖ＝32，E ＝10D.Ｖ＝10，E ＝325.在底面直径为2的等边圆柱中,分别以两底为底面,以圆柱的轴上任一点为顶点的两个圆锥的体积之和是(轴截面为正方形的圆柱称为等边圆柱) ( ) A.34π B.32π C. 3π D.值不确定 6.设正多面体的每个面都是正n 边形，以每个顶点为端点的棱有m 条，棱数是E ，面数是F ，顶点数是V ，则它们之间的关系不正确的是 ( )A.nF =2EB.mV =2EC.V ＋F ＝E ＋2D.mF =2E7.把一个半径为R 的实心铁球熔化后铸成两个小球(不计损耗)，两个小球的半径之比为1∶2，则其中较小球半径为 ( ) A.R 31 B.R 333 C.R 5253 D.R 33 8.在地球表面北纬60°线上有两点，它的经度差为180°，则A 、B 两点的纬度线的距离与A 、B 两点的球面距离之比为 ( )A.1∶3B.2∶3C.3∶2D.3∶59.半径为R 的三个球两两外切放置桌面上，与这三个球都外切的第四个小球也放在桌面上，则小球的半径为 ( )A.RB.21RC.31R D.R 32 10.已知过球面上三点A 、B 、C 的截面与球心距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球的半径等于 ( )A.1B.34C.32 D.332 二、思维激活11.一个简单多面体每个顶点处都有三条棱，则它的顶点数V 和面数F 的关系是 .12.半球内有一内接正方体，则这半球的全面积与正方体的全面积之比为 .13.在120°的二面角内，放一个半径为5 cm 的球切两半平面于A 、B 两点，那么这两个切点在球面上最短距离是 .14.地球半径为6 370km ，地球表面北纬30°圈上有A 、B 两个卫星地面接收站，它们在北纬 30°圈上的距离是336370πkm ，则这两地间的经度差是 . 三、能力提高15.求证：正四面体的二面角与正八面体的二面角互为补角.16.制作两个正四面体的模型，再把它们拼成一个六面体，观察一下这个六面体是否为正六面体.17.C 70分子有70个顶点，以每个顶点为一端都有3条棱，各面是五边形或六边形，求C 70分子中五边形和六边形的个数.18.如图所示，三棱锥V —ABC 中，VA ⊥底面ABC ，∠ABC ＝90°.(1)求证：V 、A 、B 、C 四点在同一球面上.(2)过球心作一平面与底面内直线AB 垂直.求证：此平面截三棱锥所得的截面是矩形.19.如图所示,在棱长为a 的正方体AC 1中求,(1)过BD 1所作的最小截面面积;(2)过BD 1所作截面周长最小时的截面面积.第10课 正多面体、球习题解答1.B 正四面体为正三棱锥，而正三棱锥不一定为正四面体.2.A 由欧拉定理可得.3.B 设球半径为R ，小圆半径为r ，则2πr =4π，∴r =2.设这三点为A 、B 、C ，球心为O ，则根据球面距离意义可知∠AOB =∠BOC =∠COA =362π=π. 第18题图第19题图∴△ABC 为正△且边长为R ,又r 为△ABC 外接圆半径.∴r =R AB 3333=,∴R =3r =23. 4.B 顶点为12个，棱数E =30.5.B 画图运用等边圆柱的概念即得.6.D 只有mF =2E 不正确.7.B 设较小的半径为r ， ∴34πr 3+34π(2r )3=34πR 3，∴r =333R . 8.C 2:3360cos 221RR π︒⋅π⋅. 9.C 设第四个小球的半径为x ， ∴x +.)32232()(22R R R x =⋅⋅-+ 解得：x =3R . 10.B 32232222⋅⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-R R ，∴R =34. 11.V =2F -4 利用多面体结构特点易知. 12.43π 如图设正方体棱长为x ，球半径为R ， ∴R =.262222x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ S 半球全=21·4πR 2+πR 2=3πR 2， S 正方体=6x 2=6·262⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛R =4R 2， ∴.434322π=π=R R S S 正方体半球全 13.35π 两切点对球心的张角为3π，∴球面距为35π . 14.120° 北纬30°圈的半径为6370·23, ∴6370·23·θ=6370·23π， ∴θ=32π，即经度差为120°. 15.设正四面体有S —ABC 和正八面体AC 的棱长都为a ,正四面体的二面角为α，正八面体的二面角为2β. 易求得tan α＝22 (0<α<2π). 在正八面体AC 中，连EF 交截面ABCD 于O ，取AB 的中点G .连EG 、FG 、OG ，则EG ⊥AB ,FG ⊥AB ,所以∠EGF 为二面角的平面角.由对称性知∠EGO =∠OGF ＝β，又EG =23a ,GO =21a ,∴EO =a 22. 第12题图解∴tan ∠EGO =tan ∠β=2222=aa . ∴tan2β＝22tan 1tan 22-=β-β(0<2β<π) ∴α与β互补. 16.不是正六面体，正六面体即为正方体.17.设C 70分子中五边形和六边形分别有x 个和y 个，C 70分子这个多面体的顶点数V ＝70，面数F =x +y ,棱数E =21(3×70) ，根据欧拉公式，可得70+(x +y )-21(3×70)=2, 由棱数相等有：21(5x +6y )= 21×(3×70). 解得：x =12,y =25∴C 70分子中五边形有12个，六边形有25个.18.(1)取VC 的中点M ，∵VA ⊥底面ABC ，∠ABC ＝90°，∴BC ⊥VB ，在Rt △VBC 中，M 为斜边 VC 的中点.∴MB ＝MC ＝MV ，同理在Rt △VAC 中，MA ＝MV ＝MC ，∴MV ＝MC ＝MA ＝MB ，∴V 、A 、B 、C 四点在同一圆面上，M 是球心.(2)取AC ，AB ，VB 的中点分别为N 、P 、Q ，连结NP 、PQ 、QM 、MN .则MNPQ 就是垂直于AB 的三棱锥V —ABC 的截面，易证PQMN 是平行四边形，又VA ⊥BC ，PQ ∥VA ，NP ∥BC ，∴QP ⊥PN ，故截面MNPQ 是矩形.19.这是一道有关立体几何最值问题的题目,比较综合,我们可对本题作简单分析:(1)设经过BD 1的截面为BMD 1N ,因为正方体相对侧面平行,故BMD 1N 是平行四边形,这样S 截=2S △BMD 1显然欲使S 截最小,只需S △BMD 1最小,而BD 1为定值,故只需M 到BD 1的距离最小,M 可在AA 1上移动,所以这个问题可转化为求异面直线AA 1与BD 1之间的距离,而求异面直线间的距离又可化为线面间的距离(AA 1与面BB 1D 1D 间的距离)(2)沿侧棱将侧面AD 1与侧面AB 1展开如图所示,D 1M +MB 的最小值就是侧面展开图中的D 1B ,设D 1B 与AA 1交于M ,由于侧面为全等的正方形，故M 为AA 1的中点,同理N 为CC 1的中点,此时MB ∥ND 1为所求截面.第19题图解。
立体几何中的球体问题如何通过立体几何中的球体问题解决数学问题
立体几何中的球体问题如何通过立体几何中的球体问题解决数学问题立体几何是数学中非常重要的一个分支，其应用范围非常广泛。
在立体几何中，球体是一个特殊的物体，具有很多独特的性质和应用。
本文主要讨论立体几何中的球体问题，并通过这些问题解决数学问题。
一、立体几何中的球体问题作为立体几何中的一个基本物体，球体在数学中有很多应用。
以下是一些常见的球体问题：1. 球的体积和表面积问题球的体积公式是 $V=\frac{4}{3}πr^3$，表面积公式是$S=4πr^2$，其中r为球的半径。
这些公式可以用来计算球的体积和表面积。
2. 球的切割问题在球的切割问题中，我们需要确定一些球表面的切点，然后将球切成一些小块。
这个问题在制造运动器材，如足球就很常见。
通常是将球沿着正多面体的边缘切割成一些小块，然后拼接在一起来制成一个完整的球。
3. 球的离散化问题在球的离散化问题中，我们需要将球离散化为一些小块。
这个问题在计算机图形学中使用广泛，由于计算机只能处理离散的数据，将球形物体离散化可以更方便地在计算机上处理它。
二、球体问题在数学中的应用1. 微积分球体问题在微积分中有很多应用，比如我们可以通过对球体进行微积分来求解球表面的曲率，还可以利用对球体进行微积分来求解球的质量中心、转动惯量等问题。
2. 向量计算在向量计算中，球体问题经常被用来描述球坐标系和球面坐标系。
这些坐标系可以用来描述三维空间中的位置，并在数学中发挥了重要的作用。
3. 调和函数调和函数是一类特殊的数学函数，它们在解决一些常见的物理问题和工程问题中非常有用。
球体问题可以用来描述球对称的调和函数，这些函数在解决轴对称问题中非常有用。
三、总结立体几何中的球体问题是一类重要的数学问题，在数学和物理学等领域都有广泛的应用。
对于这些问题的理解和解决，是我们学习立体几何和数学的重要基础。
立体几何欧拉定理与球
1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体3．欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数、面数及棱数E有关系式：2V F E+-=．4．欧拉示性数：在欧拉公式中令()f p V F E=+-，()f p叫欧拉示性数（1）简单多面体的欧拉示性数()2f p=．（2）带一个洞的多面体的欧拉示性数()0f p=（3）多面体所有面的内角总和公式：①()360E F-︒或②0(2)360V-5 球的概念：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球定点叫球心，定长叫球的半径与定点距离等于定长的点的集合叫做球面表示它的球心的字母表示，例如球O．6．球的截面：用一平面α去截一个球O，设OO'是平面α的垂线段，O'为垂足，且，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以r截面是一个圆面球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆7．经线：球面上从北极到南极的半个大圆；纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0 经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数；纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数8．两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离9．两点的球面距离公式： AB Rθ=（其中R为球半径，θ为A,B所对应的球心角的弧度数）10 半球的底面：已知半径为R的球O，用过球心的平面去截球O，球被截面分成大小相等的两个半球，截面圆O（包含它内部的点），叫做所得半球的底面11．球的体积公式：43V Rπ=12 球的表面积：24S Rπ=1 一个n 面体共有8条棱，5个顶点，求2．一个正n 面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求3．一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V 和面数F 有下面的关系：F ＝2V －4 4．有没有棱数是7的简单多面体？说明理由5．是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边6 ①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是 ．②球半径为25cm ，球心到截面距离为24cm ，则截面面积为 ． ③已知球的两个平行截面的面积分别是5π和8π，它们位于球心同一侧，且相距1，则球半径是 ．④球O 直径为4，,A B 为球面上的两点且AB =,A B 两点的球面距离为 ． ⑤北纬60圈上,M N 两地，它们在纬度圈上的弧长是2Rπ（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为 ．7．北纬45圈上有,A B 两地，A 在东径120，B 在西径150，设地球半径为R ，,A B 两地球面距离为 ；8．一个球夹在120二面角内，两切点在球面上最短距离为cm π，则球半径为 ；9.设地球的半径为R ，在北纬45°圈上有A 、B 两点，它们的经度相差90°，那么这两点间的纬线的长为_________，两点间的球面距离是_________．10 球的大圆面积增大为原来的4倍，则体积增大为原来的 倍；11．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍； 12.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加 倍；13.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ； 14.正方体全面积是24，它的外接球的体积是 ，内切球的体积是 ．15 球O 1、O 2分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O 3的表面上，求三个球的表面积之比．16．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积17． 正四面体ABCD 的棱长为a ，球O 是内切球，球O 1是与正四面体的三个面和球O 都相切的一个小球，求球O 1的体积．练习参考答案：1 一个n 面体共有8条棱，5个顶点，求解：∵2V F E +-=，∴25F E V =+-=，即5n =．2．一个正n 面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求解：∵8V =，83122E ⨯==，∴26F E V =+-=，即6n =． 3．一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V 和面数F 有下面的关系：F ＝2V －4 证明：∵23F E ＝，V ＋F －E ＝2 ∴V ＋F －F 23＝2 ∴F ＝2V －4 4．有没有棱数是7的简单多面体？说明理由解：若E ＝7，∵V ＋F －E ＝2 ， ∴V ＋F ＝7＋2＝9 ，∵多面体的顶点数V ≥4，面数F ≥4∴只有两种情况V ＝4，F ＝5或V ＝5，F ＝4，但是有4个顶点的多面体只有四个面，不可能是5个面，有四个面的多面体是四面体，也只有四个顶点，不可能有5个顶点，∴没有棱数是7的多面体 5．是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边解：设有一个多面体，有F （奇数）个面，并且每个面的边数F n n n 21,也都是奇数，则 E n n n F 221=+++ ，但是上式左端是奇数个“奇数相加”，结果仍为奇数，可右端是偶数，这是不可能的 ∴不存在这样的多面体6 ①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是 ．②球半径为25cm ，球心到截面距离为24cm ，则截面面积为 ． ③已知球的两个平行截面的面积分别是5π和8π，它们位于球心同一侧，且相距1，则球半径是 ．④球O 直径为4，,A B 为球面上的两点且AB =,A B 两点的球面距离为 ． ⑤北纬60圈上,M N 两地，它们在纬度圈上的弧长是2Rπ（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为 ．答案：①一个或无数个 ②249m ③3 ④43π ⑤ 3π7．北纬45圈上有,A B 两地，A 在东径120，B 在西径150，设地球半径为R ，,A B 两地球面距离为 ； 答案：3R π8．一个球夹在120二面角内，两切点在球面上最短距离为cm π，则球半径为 ；答案：3cm9.设地球的半径为R ，在北纬45°圈上有A 、B 两点，它们的经度相差90°，那么这两点间的纬线的长为_________，两点间的球面距离是_________．分析：求A 、B 两点间的球面距离，就是求过球心和点A 、B 的大圆的劣弧长，因而应先求出弦AB 的长，所以要先求出A 、B 两点所在纬度圈的半径．解：连结AB ．设地球球心为O ，北纬45°圈中心为O 1，则 O 1O ⊥O 1A ，O 1O ⊥O 1B ．∴4511=∠=∠=∠AOC BO O AO O ．∴ O 1A ＝O 1B ＝O 1O ＝45cos ⋅OA ＝R 22． ∴ 两点间的纬线的长为：R R 42222=⋅π． ∵ A 、B 两点的经度相差90°， ∴ 901=∠B AO ．在B AO Rt 1△中，R AO AB ==12，∴ OB AB OA ==，3π=∠AOB ．∴ 两点间的球面距离是：R 3π．10 球的大圆面积增大为原来的4倍，则体积增大为原来的 倍；答案： 811．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍； 答案： 312.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加 倍； 答案： 713.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ； 答案： 614.正方体全面积是24，它的外接球的体积是 ，内切球的体积是 ．答案： ，43π 15 球O 1、O 2分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O 3的表面上，求三个球的表面积之比．分析：球的表面积之比事实上就是半径之比的平方，故只需找到球半径之间的关系即可． 解：设正方体棱长为a ，则三个球的半径依次为2a 、a 22，a 23 ∴ 三个球的表面积之比是3:2:1::321=S S S ．16．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积解：设球半径为R ，正四棱柱底面边长为a ，则作轴截面如图，14AA '=，AC =，又∵24324R ππ=，∴9R =，∴AC ==8a =，∴6423214576S =⨯+⨯=表．17． 正四面体ABCD 的棱长为a ，球O 是内切球，球O 1是与正四面体的三个面和球O 都相切的一个小球，求球O 1的体积．分析：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等．解：如图，设球O 半径为R ，球O 1的半径为r ，E 为CD 中点，球O 与平面ACD 、BCD 切于点F 、G ，球O 1与平面ACD 切于点H ． 由题设 a GE AE AG 3622=-=． ∵ △AOF ∽△AEG ∴a Ra a R 233663-=，得a R 126=．∵ △AO 1H ∽△AOF ∴ R r R a rR a =---36236，得a r 246=． ∴ 3331728624634341a a r V O =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππ球．另法：以O 为顶点将正四面体分成相等体积的四个三棱锥，用体积相等法，可以得到1144R OG AG h ===，3h a =，111()428r h h ===。
高三数学第一轮复习讲义 多面体和球
高三数学第一轮复习讲义 多面体和球【知识归纳】1、多面体有关概念：（1）多面体：由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体。
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。
多面体的相邻两个面的公共边叫做多面体的棱。
（2）多面体的对角线：多面体中连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线。
（3）凸多面体：把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫做凸多面体。
2、正多面体：（1）定义：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体。
（2）正多面体的种类：只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种。
其中正四面体、正八面体和正二十面体的每个面都是正三角形，正六面体的每个面都是正方形，正十二面体的每个面都是正五形边，如下图：正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 3、球的截面的性质：用一个平面去截球，截面是圆面；球心和截面圆的距离d 与球的半径R 及截面圆半径r 之间的关系是r ＝22d R -。
提醒：球与球面的区别（球不仅包括球面，还包括其内部）。
4、球的体积和表面积公式：V ＝234,34R S R ππ=。
【基础训练】（1）．若正棱锥的底面边长与侧棱长都相等，则该棱锥一定不是 （ ）A ．三棱锥B ．四棱锥C ．五棱锥D ．六棱锥（2）．一个凸多面体的面数为8，各面多边形的内角总和为16π，则它的棱数为 A ．24 B ．22 C ．18 D ．16（ ） （3）．若一个四面体由长度为1，2，3的三种棱所构成，则这样的四面体的个数是A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 （ ） （4）．已知一个简单多面体的每个面均为五边形，且它共有30条棱，则此多面体的面数F 和顶点数V 分别等于 （ ） A ．F=6,V=26 B ．F=8,V=24 C ．F=12,V=20 D ．F=20,V=12 （5）在半径为10cm 的球面上有C B A ,,三点，如果︒=∠=60,38ACB AB ，则球心O 到平面ABC 的距离为__ __；（6）已知球面上的三点A 、B 、C ，AB=6，BC=8，AC=10，球的半径为13， 则球心到平面ABC 的距离为____ __ （7）．一个水平放置的圆柱形贮油桶，桶内有油部分占底面一头的圆周长的41，则油桶直立时，油的高度与桶的高之比是 A ．41 B ．π2141- C ．81 D ．π2181-（ ）（8）在球内有相距9cm 的两个平行截面，面积分别为49πcm 2则球的表面积为___ ___； （9）三条侧棱两两垂直且长都为1的三棱锥P-ABC 内接于球O ，求球O 的表面积与体积；（10）已知直平行六面体1111D C B A ABCD -的各条棱长均为3，︒=∠60BAD ，长为2的线段MN 的一个端点M 在1DD 上运动，另一端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹（曲面）与共一顶点D 的三个面所围成的几何体的体积为为__ ____； 【例题选讲】【例1】已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,两条侧棱长为213, 试求第三条侧棱长的取值范围．【例2】已知简单多面体的顶点数．面数．数分别为V ．F ． E ． 多面体的各面为正x 边形，过同一顶点的面数为y ． 求证： .21111=-+E y x)【例3】如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AB=a ． （Ⅰ）求证：直线A 1D ⊥B 1C 1； （Ⅱ）求点D 到平面ACC 1的距离；（Ⅲ）判断A 1B 与平面ADC 的位置关系， 并证明你的结论．【例4】如图，在三棱锥ABC —S 中，⊥SA 平面ABC ，1==AC AB ，2=SA ，D 为BC 的中点．（1）判断AD 与SB 能否垂直，并说明理由； （2）若三棱锥ABC —S 的体积为63，且BAC ∠为 钝角，求二面角A BC ——S 的平面角的正切值；（3）在（Ⅱ）的条件下，求点A 到平面SBC 的距离．【例5】．过半径为R 的球面上一点P 引三条长度相等的弦PA 、PB 、PC ，它们间两两夹角相等。
了解初中数学中的立体几何认识多面体与球体
了解初中数学中的立体几何认识多面体与球体立体几何是初中数学中的一个重要内容，它研究的是空间中的图形和体形。
在立体几何中，多面体和球体是两个常见的几何体，对于初中生来说，了解多面体和球体的特征与性质，对于建立对几何体的认识具有重要意义。
一、多面体的定义和性质多面体是由若干个平面多边形围成的空间几何体，它具有以下几个重要性质：1. 多面体的边：多面体的边是多边形的边，相邻两条边交于一点，这个点称为顶点。
多面体的边可以用线段表示，它们连接了多面体的顶点。
2. 多面体的面：多面体的面是多边形，它是由多边形的边围成的平面区域。
多面体的每个面都是平面，相交的两个面交于一条边，多个面交于一个顶点。
3. 多面体的顶点：多面体的顶点是多边形的顶点，它是多面体的边和面的交点。
4. 多面体的种类：根据多面体的性质，多面体可以分为正多面体和非正多面体两种。
正多面体的各个面都是正多边形，非正多面体则有一些面是正多边形，有一些面是非正多边形。
二、多面体的例子1. 正方体：正方体是一种特殊的多面体，它的每个面都是正方形。
正方体有六个面，十二条边和八个顶点。
2. 正四面体：正四面体是一种特殊的多面体，它的每个面都是正三角形。
正四面体有四个面，六条边和四个顶点。
3. 正六面体：正六面体是一种特殊的多面体，它的每个面都是正方形。
正六面体有八个面，十二条边和六个顶点。
4. 正八面体：正八面体是一种特殊的多面体，它的每个面都是正正方形。
正八面体有十二个面，三十条边和二十个顶点。
5. 正十二面体：正十二面体是一种特殊的多面体，它的每个面都是正五边形。
正十二面体有二十个面，三十条边和十二个顶点。
三、球体的定义和性质球体是由无数个与某定点距离相等的点构成的几何体，它具有以下几个重要性质：1. 球体的半径：球体的半径是从球心到球面上任意一点的距离，用符号r表示。
2. 球体的直径：球体的直径是球面上任意两点之间的最长距离，等于两倍的半径，用符号d表示。
多面体及球体的概念、性质、计算 .docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作多面体及球体的概念、性质、计算立体几何是高中数学的重要内容，立体几何试题是考查空间想象能力，逻辑思维能力和演绎推理能力的基本载体近几年高考立体几何试题以基础题和中档题为主，热点问题主要有证明点线面的关系。
考查的重点是点线面的位置关系及空间距离和空间角，突出空间想象能力。
在《课程标准》中，立体几何的内容和考查要求有了较大的变化：增加了三视图，更强调几何直观，几何证明有所削弱，淡化了距离问题。
因此，在复习中，以基本知识，基本方法为基础，以通性通法为重点，培养空间几何体的直观认知能力和逻辑推理能力。
一般来说，平面向量在高考中所占份量较大，我们从以下五方面探讨立体几何问题的求解： 1. 多面体及球体的概念、性质、计算；2. 由三视图判别立体图形和表面积、体积的计算：3. 关于线线、线面及面面平行的问题；4. 关于线线、线面及面面垂直的问题；5. 关于空间距离和空间角的问题。
一、多面体及球体的概念、性质、计算： 典型例题：例1.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为【 】()A 26 ()B 36 ()C 23 ()D 22【答案】A 。
【考点】三棱锥的性质。
【解析】∵ABC ∆的外接圆的半径33r =，∴点O 到面ABC 的距离2263d R r =-=。
又∵SC 为球O 的直径，∴点S 到面ABC 的距离为2623d =。
∴ 此棱锥的体积为113262233436ABC V S d ∆=⨯=⨯⨯=。
故选A 。
例2.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为 【 】（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π 【答案】B 。
【考点】点到平面的距离，勾股定理，球的体积公式。
【解析】由勾股定理可得球的半径为3，从而根据球的体积公式可求得该球的体积为：()3V 43=433ππ=⨯⨯。
立体几何多面体与球体的性质
立体几何多面体与球体的性质立体几何多面体与球体的性质是高中数学课程中的重要内容。
在本文中，将介绍多面体和球体的基本概念，以及它们的特性和性质。
一、多面体的性质多面体是由多个平面多边形所组成的立体图形。
根据多边形的形状和特点不同，多面体可以分为正多面体和非正多面体。
1. 正多面体正多面体是指所有的面都是相等的正多边形，并且相邻面的交线都通过一个点。
常见的正多面体有四面体、八面体和二十面体。
- 四面体：四面体是最简单的正多面体，它由四个面组成，每个面都是一个三角形。
四面体的特点是任意两个面都有共边线，且相邻的三个面的交点在同一直线上。
- 八面体：八面体是由六个四边形面和八个顶点组成的正多面体。
八面体的特点是每个面都是正方形，且每个顶点都与其他四个面相交。
- 二十面体：二十面体是由十二个五边形面和二十个顶点组成的正多面体。
二十面体的特点是每个面都是正五边形，且每个顶点都与其他五个面相交。
2. 非正多面体非正多面体是除正多面体以外的所有多面体。
非正多面体的面可以是任意的多边形，相邻面的交线也可以是任意的曲线。
二、球体的性质球体是由一个平面上的圆绕着直径旋转一周形成的。
球体是一种特殊的立体图形，具有许多独特的性质。
1. 半径与直径球体的半径是从球心到球面上的任意一点的距离，而直径是球面上通过球心的任意两点间的距离。
球体的半径和直径具有以下关系：直径等于半径的二倍。
2. 表面积和体积球体的表面积和体积是球体的两个重要性质。
- 表面积：球体的表面积是指球体表面所包围的所有面积的总和。
球体的表面积公式为：4πr²，其中r是球体的半径。
- 体积：球体的体积是指球体所包围的空间的大小。
球体的体积公式为：(4/3)πr³，其中r是球体的半径。
3. 球面上的点与圆的关系球面上的任意一点与球心之间的距离等于球心附近的一个圆的半径。
这个关系被称为球面上的点与圆的关系。
4. 球切割与球切线球体可以被一个平面切割成两部分或多部分。
多面体的外接球问题
多⾯体的外接球问题
简单多⾯体外接球问题是⽴体⼏何中的难点重要考点,此类问题的实质是解决球的半径R和确定球⼼的位置问题,其中确定球⼼的位置是关键.
由球的定义确定球⼼
在空间，如果⼀个定点与⼀个简单多⾯体的所
有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多
⾯体的外接球的球⼼．
由上述性质，可以得到确定简单多⾯体外接球
的球⼼的如下结论．
结论 1 正⽅体或长⽅体的外接球的球⼼是其
体对⾓线的中点．
结论 2 正棱柱的外接球的球⼼是上下底⾯中
⼼的连线的中点．
结论 3 直三棱柱的外接球的球⼼是上下底⾯
三⾓形外⼼的连线的中点．
结论 4 正棱锥的外接球的球⼼是在其⾼上，
具体位置可通过计算找到．
结论 5 若棱锥的顶点可构成共斜边的直⾓三
⾓形，则公共斜边的中点就是其外接球的球⼼．
⼀、出现“墙⾓”结构利⽤补形知识，联系长⽅体。
⼆、出现两个垂直关系，利⽤直⾓三⾓形结论。
【原理】：直⾓三⾓形斜边中线等于斜边⼀半。
球⼼为直⾓三⾓形斜边中点。
【总结】斜边⼀般为四⾯体中除了直⾓顶点以外的两个点连线。
⼆、出现多个垂直关系时建⽴空间直⾓坐标系，利⽤向量知识求解
【结论】：空间两点间距离公式：
⼆、四⾯体是正四⾯体
外接球与内切球的圆⼼为正四⾯体⾼上的⼀个点，
根据勾股定理知，假设正四⾯体的边长为时，它的外接球半径为
思考题。
多面体与球知识点
多面体与旋转体知识要点归纳
二、空间几何体的三视图和直观图
1.中心投影：光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影。
中心投影的投影线交于一点。
2.平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影。
投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影。
平行投影的投影线是平行的。
3.三视图
正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图。
侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图。
俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图。
画法：长对正、高平齐、宽相等。
4.直观图（斜二测画法）
（1）画坐标轴：把已知图形中互相垂直的x轴和y轴，在直观图中画成
45（或
135）角的x'轴和y'轴，
（2）画底面：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴和y'轴的线段。
已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不
变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半。
（3）画侧棱：侧棱的长度与原来几何体的侧棱的长度一样。
数学教案分享认识几何形的多面体与球体的应用
数学教案分享认识几何形的多面体与球体的应用数学教案分享：认识几何形的多面体与球体的应用几何学是数学中的一个重要分支，研究空间内的各种几何形状及其性质。
而多面体和球体作为几何学的两个重要概念，在实际生活中有着广泛的应用。
本教案将分享认识多面体和球体的相关知识，并介绍其在不同领域的应用。
一、多面体的认识及应用1. 什么是多面体？多面体是由若干个平面多边形围成的立体图形，其中每个多边形只有相交的边，没有相交的点，且每个多边形的边都是其他多边形的边。
常见的多面体有三棱柱、四棱锥、五棱柱、六棱柱等。
2. 多面体的应用领域（1）建筑设计：多面体是建筑设计中常用的形状，如金字塔、蓝佛石公园中的伞石、上海东方明珠塔等。
（2）工程测量：在土地测绘和建筑工程中，多面体的概念和性质被广泛应用于测量和计算。
（3）拼装模型：多面体的拼装模型可以培养儿童的空间想象力和动手能力，是一种常用的教育玩具。
二、球体的认识及应用1. 什么是球体？球体是由平面上任意点到指定点的距离都相等的点的集合。
球体具有唯一的中心点和半径。
2. 球体的应用领域（1）地球地理：地球可以看作一个近似的球体，地理和地球科学中的许多问题都基于球体的理论和计算。
（2）运动仿真：在计算机图形学和游戏开发中，球体常用于模拟运动和碰撞检测，比如游戏中的球类运动和撞击反应等。
（3）数学建模：球体的数学性质可以应用于数学建模，如球体的体积、表面积等计算，以及与其他几何体的关系。
三、多面体与球体的联系与区别1. 多面体与球体的联系多面体和球体都是立体图形，它们都具有空间内各点之间的关系。
多面体可以看作由若干个平面多边形组成的，而球体由无数个无限小的点构成。
2. 多面体与球体的区别多面体的面是平面多边形，而球体没有面，只有一个连续的曲面。
多面体的边和顶点是直线和点，而球体的边是曲线（大圆）、顶点则是球心。
此外，多面体可以有很多面，而球体只有一个曲面。
四、多面体与球体的应用案例1. 建筑工程中的应用在建筑工程中，多面体和球体广泛应用于空间设计和计算。
多面体与球
多面体与球1.三棱锥顶点在底面上的射影为三角形的外心⇔三侧棱相等或三侧棱与底面所成的角相等；内心⇔三侧面与底面所成的二面角相等；垂心⇔相对的棱垂直。
正三棱锥中相对的棱垂直；三棱锥三侧棱（侧面）两两垂直⇒顶点在底面上的射影为三角形的垂心；三棱锥一个顶点在对面上的射影为三角形的垂心⇒三棱锥其余顶点在对面上的射影也为三角形的垂心。
[举例1] 已知三棱锥S －ABC 的底面是正三角形，点A 在侧面SBC 上的射影H 是△SBC 的垂心，SA=a ，则此三棱锥体积最大值是 解析：∵点A 在侧面SBC 上的射影H 是△SBC 的垂心，∴点S 在底面ABC 上的射影O 为△ABC 的垂心；又△ABC 为正三角形，∴O 为△ABC 的中心，即三棱锥S －ABC 为正三棱锥。
记SO=h （h< a ），则AO=22h a -，于是有：AB=)(322h a -,记三棱锥S －ABC 体积为f(h)，则f(h)=h h a )(4322-， f /(h)=)3(4322h a -，∴f max (h)=)33(a f =63a .[举例2] 下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱；其中，真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）.解析：①侧面与底面所成的二面角都相等，则顶点在底面上的射影O 是底面的内心，又底面是等边三角形，故O 是底面三角形的中心，所以三棱锥是正三棱锥；②在三棱锥S －ABC 中，令AB=BC=CA=SA=SB=2，SC=3，该三棱锥不是正三棱锥；③底面是等边三角形且侧面的面积都相等，则顶点到底面三边的距离相等，即顶点在底面上的射影O 到底面三边的距离相等，但这不意味着O 是底面三角形的内心，还有可能是旁心（一个内角的平分线与另一个角的外角平分线的交点），故三棱锥未必是正三棱锥；④侧棱与底面所成的角都相等，则顶点在底面上的射影O 是底面的外心，侧面与底面所成的二面角都相等，则O 是底面的内心，底面三角形的内、外心重合，则必为正三角形且O 为其中心，故该三棱锥是正三棱锥。
高三数学多面体与球
延伸·拓展
5. 过半径为R的球面上一点作三条两两垂直的弦MA、 MB、MC.
(1)求证：MA2+MB2+MC2为定值； (2)求三棱锥M-ABC的体积的最大值.
【解题回顾】(1)MA、MB、MC两两垂直.根据球的对
称性，采用补形的方法，可以把它补成一个球的内接 长方体.长方体的对角线的平方就是球的直径的平方， 即MA2+MB2+MC2=4R2.在做选择题、填充题时就可直 接用这个结论.
2010届高考数学复习 强化双基系列课件
56《立体几何 －多面体与球》
多面体与球
• 要点·疑点·考点 •课 前 热 身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展 •误 解 分 析
要点·疑点·考点
一、多面体
1. 概念
(1)若干个平面多边形围成的几何体，叫多面体.
(2)把多面体的任何一面伸展为平面，如果所有 其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体 叫凸多面体.
刚好听见这番话,把斗笠解下挂在墙上,“陆陆是少君朋友,她有事,少华作为大哥の当然要关照.听说她最喜欢跟人打官非索赔,你说话谨慎些.”村里の每个人各有原则,不了解便妄下定论容易犯事.佟灵雁也瞅了好友一眼,“可不是,我还听说她认识热点追踪の名记,被她盯上不死也得招来一 身臊.你呀,口无遮拦の早晚惹事.”“嗤,什么名记,一群狗仔嘚瑟什么？被人宰了一个又一个还不懂得收敛反省,迟早要完.”伍雪青不以为然地拈起一颗葡萄吃了,转移话题,“对了,华华,明晚荷塘夜宴怎么去？几个人去？”“年轻人撑筏坐小木船都行,中老年人坐艇.”“哟,”伍雪青来兴 趣了,“又是休闲居买の？”“休闲居和养生馆各一条,怎么,你想坐？”“不,我想开.”康荣荣洗了几只梨搁水果盘里端过来,顺手搬张竹凳坐下,“出于安全考虑,小艇除了他们两家负责人之外别の人不许
多面体与球
5．用与球心距离为 1 的平面去截球，所得的截面面积为 π，则球的体积为( D ) 32π 8π A. 3 B. 3 8 2π D. 3
C．8 2π
解析 截面面积为 π，则该小圆的半径为 1，设球的半 4 3 8 2π 2 2 2 径为 R，则 R ＝1 ＋1 ＝2，∴R＝ 2，V＝3πR ＝ 3 .
1 同理，过 OB 的截面面积 S2＝4b· a2＋c2，过 OC 的截面 1 面积 S3＝4c· a2＋b2. ∵(a· b2＋c2)2－(b· a2＋c2)2 ＝a2b2＋a2c2－a2b2－b2c2＝(a2－b2)c2＞0， ∴S1＞S2. 同理可得 S2＞S3.∴S3＜S2＜S1.
答案 S3＜S2＜S1
变式训练 1
(2010· 江西)如图，在三棱锥
O－ABC 中，三条棱 OA，OB，OC 两 两垂直，且 OA＞OB＞OC，分别经过 三条棱 OA，OB，OC 作一个截面平分 三棱锥的体积，截面面积依次为 S1，S2，S3，则 S1， S2，S3 的大小关系为________________．
解析
设 OA＝a，OB＝b，OC＝c，则 a＞b＞c. 1 1 BC 过 OA 的截面面积 S1＝2OA· 2 OB2＋OC2 1 1 2 2 ＝2OA· ＝ · a · b ＋ c . 2 4
两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度， 这个弧长
叫两点的球面距离．
(3)球的表面积和球的体积公式： 4 3 2 S 球面＝ 4π R ，V 球＝3πR . 4．球是区别于多面体的一种几何体，也是常见的旋转 体．球是 中心 对称又是 轴 对称的几何体，它的任何 截面均为 圆面 ， 因此球的问题常转化为圆的有关问题 来解决． 5．球的表面积和体积都是关于 球半径R 的代数式，明 确公式的系数和球半径 R 的幂．在应用时，关键确定 球半径 R 的值．
高三数学多面体与球
误解分析
1.在涉及球内接正方体或长方体的题目中，作出的截 若过对棱中点作横截面，将会出错.
2. 球面上两点间距离不是直线距离，也不是纬度圈上 的劣弧长，而是指过这两点的球大圆上 的劣弧长，不 能错啊!
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； 泡芙妹妹女性网 塑形瑜伽 ； 2019年01月19日14:33:15 ；
嗓子试了试音响. "咳咳,下面进行第一步,升国旗！" 在那里,没有奏国歌的项目,只因条件不允许. 四名国旗手拉着苏力国旗,踢着正步直奔它巨大桅杆.（ 好看的接下来的事不言而喻,李小克此刻很是矛盾.作为中国人,老子还不是苏力国籍,但却有苏力军籍,它么是敬礼还是不敬礼呢? 思想转 念即逝,耶莲京娜也在那里.不行不行！不可以犹豫！如果被它个女人看到自己不敬礼,岂不是在表示,自己对苏力看起来并不忠诚?如此恐怕会影响自己的未来. 他们已经开始升国旗,李小克也伸出了右手敬军礼. "算了算了,虽然我是中国人,现在的身份也是个苏军副师长.不作出表率,不向那面 红旗表忠心,以后被定义阶级敌人就糟糕了！" 他是那么想,其他人可没想它么多.耶夫洛夫侧眼看看同僚,很是欣慰,心中不禁想着,"那个别列科夫,怕是已经把自己当做白俄罗斯人了." 苏军的升旗仪式很快结束了,接下来自然是表彰会的重头戏. 耶夫洛夫扫视着广大官兵,照着他的演讲稿念起 来. 他演讲的内容,李小克已经率先知晓.演讲也是中规中矩的,首先便是对整个军事行动进行一下简单的总结,并宣读了方面军司令铁木辛哥的信件,当然是其中褒奖的部分. 那对于很多战士来说,来自苏军高层的信息非常重要,对于战士个人也更加迫切. "铁木辛哥元帅祝贺我们,出色完成了任 务.他一开始并不看好我们,觉得我们只是一群杂糅在一起,由各路走散的士兵组成的新部队.现在我们以强大的战斗力,和斗争精神,赢得了方面军,乃至
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第十讲 立体几何中的多面体与球
一．复习目标
1．理解棱柱、棱锥、球的有关概念，掌握其性质；并能运用前面所学知识分析论证多面体与球内的线面关系，并能进行有关角和距离的计算。
2．掌握棱拄、棱锥侧面积体积的计算方法.球的表面积、体积的计算方法，理解球面上两点间距离的概念, 了解与球的有的内接、外切几何问题的解法.
二．基础知识
1．棱柱有关的概念
1）棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
2）棱柱的性质：①侧棱都相等，侧面都是平行四边形；
②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；
③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。
3）棱柱的分类：
① 按底面多边形的边数分类：三棱柱，四棱柱，…，n 棱柱.
② 按侧棱与底面的位置关系分类:⎪⎩
⎪⎨⎧⎩⎨⎧斜棱柱其他直棱柱正棱柱直棱柱棱柱 4）特殊的四棱柱
四棱柱 平行六面体 直平行六面体
长方体 正四棱柱 正方体
5）长方体对角线定理:长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和. 由这个定理可以派生出下面的两组重要关系式：对角线与从一个顶点引出的三个面所成的角分别为γβα,,，则有1sin sin sin 222=++γβα，2cos cos cos 222=++γβα
对角线与从一个顶点引出的三条棱所成的角分别为γβα,,，则有2sin sin sin 222=++γβα，1cos cos cos 222=++γβα
6）棱柱的侧面积与体积公式
（1）ch S =直棱柱侧（其中c 为底面周长，h 为棱柱的高）
（2）l c S 1=斜棱柱侧（其中c 1为直截面周长，l 为棱柱的侧棱长）
（3）Sh V =柱体（其中S 为棱柱的底面积，h 为棱柱的高）
2．棱锥有关的概念
1）定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥。
如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
2）性质
Ⅰ、正棱锥的性质
底面是平行四边形 侧棱与底面垂直 底面是矩形 底面是正方形 棱长都相等
(1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。
(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。
Ⅱ、一般棱锥的性质
定理 如果棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥高的平方比。
3）棱锥的体积：V=3
1Sh ，其S 是棱锥的底面积，h 是高。
3．球有关的概念
（1）球的概念：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。
球面所围成的几何体叫做球。
半圆的圆心叫做球心。
连接球心与球上任意一点的线段叫做球半径。
连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。
球面被经过球心的平面所截得的圆叫做大圆。
被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆。
（2）球的截面圆的性质：①球心到截面圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r ，有下面的关系：r 2=R 2－d 2。
（3）两点的球面距离的定义：在球面大圆上两点间的劣弧的长度。
注意：①球面上A,B 两点球面距离的求法:先求出弦长AB,进而求出球心角AOB 的度数,再利用弧长公式求出大圆的劣弧长；②与球有关的结组合体问题（内切，外接）的解法：先明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系并作出合适的截面图。
（4）球的表面积与体积：S 球面=4πR 2，V=4/3πR 3。
4．多面体与正多面体
（1）每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体。
（2）正多面体有且只有5种。
分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.
三．题型归类
例1．（1）若Rt △ABC 的斜边BC 在平面α内，顶点A 在α外，则△ABC 在α上的射影是（ ）
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.一条线段或一钝角三角形
解析：当平面ABC ⊥α时，为一条线段，结合选择支，知选D.
（2）长方体AC 1的长、宽、高分别为3、2、1，从A 到C 1沿长方体的表面的最短距离为（ ）
A
1
A.1+3
B.2+10
C.32
D.23 解析：求表面上最短距离常把图形展成平面图形.
答案：C
（3）一个正方体内有一个内切球面，作正方体的对角面，所得截面图形是（ ）
A B
C D
答案：B
（4）若三球的半径之比是1∶2∶3，那么半径最大的球体积是其余两球体积和的_______倍.
A.4
B.3
C.2
D.1
解析：三球体积之比为1∶8∶27.
答案：B
（5）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（ ） A.202π B.252π C.50π D.200π
解析：设球的半径为R ，则（2R ）2=32+42+52=50，∴R=
2
25.∴S 球=4π×R 2=50π. 答案：C （6）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的
61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（ ） A.43 B.23 C.2 D. 3
解法一：过O 作OO ′⊥平面ABC ，O ′是垂足，则O ′是△ABC 的中心，则O ′A=r=2，又因为∠AOC=θ=3
π，OA=OC 知OA=AC<2O ′A.其次，OA 是Rt △OO ′A 的斜边，故OA>O ′A.所以O ′A<OA<2O ′A.因为OA=R ，所以2<R<4.因此，排除A 、C 、D ，得B.
解法二：在正三角形ABC 中，应用正弦定理，得AB=2rsin60°=23.
因为∠AOB=θ=
3
π，所以侧面AOB 是正三角形，得球半径R=OA=AB=23. 解法三：因为正三角形ABC 的外径r=2，故高AD=2
3r=3，D 是BC 的中点. 在△OBC 中，BO=CO=R ，∠BOC=3
π，所以BC=BO=R ，BD=21BC=21R. 在Rt △ABD 中，AB=BC=R ，所以由AB 2=BD 2+AD 2，得R 2=41R 2+9，所以R=23 点评：1.本题以球为载体考查了直线的关系、解三角形等知识，将空间图形的计算转化为平面图形中求正三角形外接圆半径及勾股定理的使用，并运用方程的思想.
2.正确区别球面上两点之间的直线距离与球面距离；计算A 、B 两点间的球面距离关键
是搞清纬度、经度、经度差、纬度差等概念，具体步骤是：
（1）计算线段AB 的长度；
（2）计算A 、B 到球心O 的张角；
（3）计算球大圆在A 、B 两点间所夹的劣弧长
例2． 三棱锥A —BCD 的两条棱AB=CD=6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球半径.
解法一：易知内切球球心O 到各面的距离相等.
设E 、F 为CD 、AB 的中点，则O 在EF 上且O 为EF 的中点.
在△ABE 中，AB=6，AE=BE=4，OH=8
73. O
A
B
E H F
解法二：设球心O 到各面的距离为R.
4×
31S BCD ∆×R=V A —BCD ，∵S BCD ∆=2
1×6×4=12， V A —BCD =2V C —ABE =67. ∴4×31×12R=67. ∴R=873. 评述：正多面体与球的切接问题常借助体积求解.。