高考理科数学总复习教学案数列

第5讲 数列调研一 等差数列与等比数列■备考工具—————————————— 1．a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).2．已知S n 求a n 时应注意的问题(1)应重视分类讨论思想的应用，分n ＝1和n ≥2两种情况讨论，特别注意a n ＝S n －S n －1中需n ≥2.(2)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1也适合“a n 式”，则需统一“合写”．(3)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1不适合“a n 式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).3．递增数列：a n ＋1>a n ，递减数列：a n ＋1<a n . 4．等差数列的通项公式及前n 项和的公式 (1)a n ＝a 1＋(n －1)d ；(2)S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝n (a 1＋a n )2. 5．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }是等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d .(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }(p ，q ∈N *)也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)组成公差为md 的等差数列．(6)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12.(7)若{a n }是等差数列，S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列．(8)S 2n －1＝(2n －1)·a n .(9)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为a nb n＝S 2n －1T 2n －1. 6．等比数列的相关公式 (1)通项公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n)1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1)或S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1－a n q 1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1).7．等比数列的性质 若{a n }为等比数列，则 (1){a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{c ·a n }(c ≠0)都是等比数列． (2)各项及公比都不为0. 8．等比数列项的运算性质若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q .(1)特别地，当m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)时，a m ·a n ＝a 2k .(2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a 1·a n ＝a 2·a n －1＝…＝a k ·a n －k ＋1＝….9．等比数列前n 项和的性质若S n 是等比数列的前n 项和，则当q ≠－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n－S 2n ，…成等比数列．■自测自评——————————————1．[2019·全国卷Ⅰ]记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( )A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n解析：解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，∵⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝0，a 5＝5，∴⎩⎨⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 2－4n .故选A.解法二：设等差数列{a n }的公差为d ，∵⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝0，a 5＝0，∴⎩⎨⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.选项A ，a 1＝2×1－5＝－3；选项B ，a 1＝3×1－10＝－7，排除B ；选项C ，S 1＝2－8＝－6，排除C ；选项D ，S 1＝12－2＝－32，排除D.故选A.答案：A2．[2019·全国卷Ⅲ]已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( )A ．16B ．8C ．4D ．2解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 5＝3a 3＋4a 1得q 4＝3q 2＋4，得q 2＝4，因为数列{a n }的各项均为正数，所以q ＝2，又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝a 1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4.答案：C3．[2019·太原一模]已知等比数列{a n }满足a 5＋a 8＝2，a 6·a 7＝－8，则a 2＋a 11＝( )A ．5B ．－5C ．7D ．－7解析：设{a n }的公比为q ，由等比数列的性质可得a 5·a 8＝a 6·a 7＝－8，所以a 5，a 8是方程y 2－2y －8＝0的两根，得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝4a 8＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧ a 5＝－2a 8＝4.若⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝4a 8＝－2，则a 8a 5＝q 3＝－12，所以q 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝14，q 9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－123＝－18.由a 5＋a 8＝a 1q 4＋a 1q 7＝a 1q (q 3＋q 6)＝a 1q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋14＝2，得a 1q ＝－8，故a 2＋a 11＝a 1q (1＋q 9)＝a 1q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－18＝(－8)×78＝－7.若⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝－2a 8＝4，则a 8a 5＝q 3＝－2，所以q 6＝(－2)2＝4，q 9＝(－2)3＝－8.由a 5＋a 8＝a 1q 4＋a 1q 7＝a 1q (q 3＋q 6)＝a 1q (－2＋4)＝2，得a 1q ＝1，故a 2＋a 11＝a 1q (1＋q 9)＝a 1q (1－8)＝1×(－7)＝－7.故选D.答案：D4．[2019·福州质检]等比数列{a n }的各项均为正实数，其前n 项和为S n .若a 3＝4，a 2a 6＝64，则S 5＝( )A ．32B ．31C ．64D ．63解析：通解：设首项为a 1，公比为q ，因为a n >0，所以q >0，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·q 2＝4a 1q ·a 1q 5＝64，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，所以S 5＝31，故选B. 优解：设首项为a 1，公比为q ，因为a n >0，所以q >0，由a 2a 6＝a 24＝64，a 3＝4，得q ＝2，a 1＝1，所以S 5＝31，故选B.答案：B5．[2019·广州综合测试一]设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若m 为大于1的正整数，且a m －1－a 2m ＋a m ＋1＝1，S 2m －1＝11，则m ＝( ) A ．11 B ．10 C ．6D ．5解析：由a m －1－a 2m ＋a m ＋1＝1可得2a m －a 2m ＝1，即a 2m －2a m ＋1＝0，解得a m ＝1，由S 2m －1＝(a 1＋a 2m －1)(2m －1)2＝a m ×(2m －1)＝11，可得2m －1＝11，得m ＝6，选C.答案：C6．[2019·惠州调研]已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝1,2a 3，a 5,3a 4成等差数列，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．2n －1B ．2n －1－1C ．2n －1D ．2n解析：通解：设{a n }的公比为q (q >0)，由题意知2a 5＝2a 3＋3a 4，∴2a 3q 2＝2a 3＋3a 3q ，∴2q 2＝2＋3q ，∴q ＝2或q ＝－12(舍去)，所以a n ＝2n －1，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝1＋2＋…＋2n －1＝2n －1.优解：当n ＝1时，21－1－1＝0≠a 1,21＝2≠a 1，排除B ，D ；若S n＝2n －1，则S 2＝22－1＝2，得到a 2＝2－1＝1，这时a 1＝a 2＝a 3＝a 4＝a 5＝1，不满足2a 3，a 5,3a 4成等差数列，排除C ，选A.答案：A7．[2019·福建宁德模拟]等差数列{a n }中，a 4＝9，a 7＝15，则数列{(－1)n a n }的前20项和等于( )A ．－10B ．－20C ．10D ．20解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 4＝9，a 7＝15，得a 1＋3d ＝9，a 1＋6d ＝15，解得a 1＝3，d ＝2，则a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，数列{(－1)n a n }的前20项和为－3＋5－7＋9－11＋13－…－39＋41＝2＋2＋…＋2＝2×10＝20.故选D.答案：D8．[2019·江苏卷]已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．解析：通解：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2a 5＋a 8＝(a 1＋d )(a 1＋4d )＋a 1＋7d ＝a 21＋4d 2＋5a 1d ＋a 1＋7d ＝0，S 9＝9a 1＋36d ＝27，解得a 1＝－5，d ＝2，则S 8＝8a 1＋28d ＝－40＋56＝16.优解：设等差数列{a n }的公差为d .S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝27，a 5＝3，又a 2a 5＋a 8＝0，则3(3－3d )＋3＋3d ＝0，得d ＝2，则S 8＝8(a 1＋a 8)2＝4(a 4＋a 5)＝4(1＋3)＝16.答案：169．[2019·北京卷]设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝－3，S 5＝－10，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－3，5a 1＋10d ＝－10， ∴可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝1，∴a 5＝a 1＋4d ＝0.∵S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝12(n 2－9n )，∴当n ＝4或n ＝5时，S n 取得最小值，最小值为－10.答案：0 －1010．[2019·全国卷Ⅰ]记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝__________.解析：通解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5，所以a 1q ＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝13×(1－35)1－3＝1213.优解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝a 6，所以a 2a 6＝a 6，所以a 2＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝13×(1－35)1－3＝1213.答案：1213调研二 数列求和■备考工具—————————————— 1．求数列的前n 项和的方法 (1)公式法①等差数列的前n 项和公式 S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2. ②等比数列的前n 项和公式 a ．当q ＝1时，S n ＝na 1；b ．当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q.(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列． (3)裂项相消：把一个数列的通项分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩有限项再求和．(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．(5)倒序相加：把数列正着写和倒着写再相加，例如等差数列前n项和公式的推导方法．(6)并项求和：将某些具有某种特殊性质的项放在一起先求和，再求整体的和．2．常见的拆项公式(1)若{a n }为各项都不为0的等差数列，公差为d (d ≠0)，则1a n ·a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n－1a n ＋1；(2)1n (n ＋k )＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ； (3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ；(4)log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝log a (n ＋1)－log a n (a >0且a ≠1)．3．常见数列的前n 项和 (1)1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2； (2)2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n ； (3)1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2；(4)12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6； (5)13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22. ■自测自评——————————————1．[2019·太原一模]已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n －(－1)n a n＝2n －6＋12n (n ∈N *)，则S 100＝( )A ．196B ．200C ．194＋12100D ．198＋12102解析：令n ＝102，则S 102－a 102＝2×102－6＋12102，所以S 102－(S 102－S 101)＝198＋12102，得S 101＝198＋12102 ①，令n ＝101，则S 101＋a 101＝2×101－6＋12101，所以S 101＋(S 101－S 100)＝196＋12101，得2S 101－S 100＝196＋12101 ②，将①代入②得S 100＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫198＋12102－196－12101＝396＋12101－196－12101＝200，选B.答案：B2．[2019·南昌一模]杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡(1623～1662)是在1654年发现这一规律的．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就．如图所示，在“杨辉三角”中，去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5…，则此数列前135项的和为( )A ．218－53B ．218－52C ．217－53D ．217－52解析：n 次的二项式系数对应“杨辉三角”中的第n ＋1行．例如(x ＋1)2＝x 2＋2x ＋1，系数分别为1,2,1，对应“杨辉三角”的第3行．再令二项式中的x ＝1，就可以求得该行系数之和．第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此类推，可发现，每一行数除1外，第3行和为22－2，第4行和为23－2，第5行和为24－2，…，第18行和为217－2.若去除所有为1的项，则剩下的，从第3行开始，每一行的个数为1,2,3,4，…，可以看出构成一个首项为1，公差为1的等差数列，设等差数列的前n 项和为T n ，则T n ＝n (n ＋1)2，可算得当n ＝16时，T 16＝136，前135项到第18行倒数第3个数，而第18行最后两个数为17,1，所以所求前135项的和为22－2＋23－2＋…＋217－2－17＝22(1－216)1－2－32－17＝218－53，故选A.答案：A3．[2019·广东六校联考一]已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(2n －1)·3n .设b n ＝4na n，S n 为数列{b n }的前n 项和，若S n <λ(λ为常数，n ∈N *)，则λ的最小值是( )A.32 B.94 C.3112D.3118解析：a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(2n －1)·3n ，①当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(2n －3)·3n －1，② ①－②得，na n ＝4n ·3n －1，即a n ＝4·3n －1(n ≥2)． 当n ＝1时，a 1＝3≠4，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝14·3n －1，n ≥2，b n ＝⎩⎨⎧43，n ＝1n 3n －1，n ≥2.所以S n ＝43＋23＋332＋…＋n 3n －1＝13＋130＋231＋332＋…＋n3n －1，③13S n ＝19＋13＋232＋333＋…＋n －13n －1＋n 3n ，④③－④得，23S n ＝29＋130＋13＋132＋…＋13n －1－n 3n ＝29＋1－13n1－13－n3n ， 所以S n ＝3112－6n ＋94×3n <3112，所以λ的最小值是3112，故选C. 答案：C4．[2019·武汉调研]已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝3S n －1＋2n －3(n ≥2)，a 1＝－1，则a 4＝________.解析：解法一：由S n ＝3S n －1＋2n －3(n ≥2)可得S 2＝3S 1＋1＝3a 1＋1，即a 2＝2a 1＋1＝－1.根据S n ＝3S n －1＋2n －3(n ≥2) ①，知S n ＋1＝3S n ＋2n ＋1－3 ②，②－①可得，a n ＋1＝3a n ＋2n (n ≥2)．两边同时除以2n ＋1可得a n ＋12n ＋1＝32·a n 2n ＋12(n ≥2)，令b n ＝a n 2n ，可得b n ＋1＝32·b n ＋12(n ≥2)．∴b n ＋1＋1＝32(b n ＋1)(n ≥2)，数列{b n ＋1}是以b 2＋1＝34为首项，32为公比的等比数列．∴b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2·34(n ≥2)， ∴b n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1－1(n ≥2)． 又b 1＝－12也满足上式，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1·12－1(n ∈N *)，又b n ＝a n 2n ， ∴a n ＝2n b n ，即a n ＝3n －1－2n .∴a 4＝33－24＝11.解法二：由S n ＝3S n －1＋2n －3(n ≥2)，a 1＝－1，知S 2＝3S 1＋4－3，∴a 2＝－1.S 3＝3S 2＋8－3，∴a 3＝1.S 4＝3S 3＋16－3，∴a 4＝11.解法三：设S n ＋a ·2n ＋b ＝3(S n －1＋a ·2n －1＋b )(b ≥2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ·2n －1－a ·2n ＝2n ，3b －b ＝－3，∴⎩⎨⎧ a ＝2b ＝－32.∴S n ＋2n ＋1－32＝3(S n －1＋2n －32)(n ≥2)，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋2n ＋1－32为等比数列，首项为S 1＋4－32＝32，公比为3. ∴S n ＋2n ＋1－32＝32·3n －1，∴S n ＝32·3n －1－2n ＋1＋32，∴a 4＝S 4－S 3＝11.答案：115．[2019·石家庄一模]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋1＋S n ＝n 2－19n 2(n ∈N *)，若a 2<－4，则S n 取最小值时n ＝________.解析：∵S n ＋1＋S n ＝n 2－19n 2，∴a 2＋2a 1＝－9，又n ≥2时，S n ＋S n －1＝(n －1)2－19(n －1)2，∴a n ＋1＋a n ＝n －10， ∴a 4＋a 3＝－7，a 6＋a 5＝－5，a 8＋a 7＝－3，a 10＋a 9＝－1，a 12＋a 11＝1，∴n ≥11且n 为奇数时，a n ＋1＋a n >0，且S 10＋a 1＝－25<0，S 2＋a 1>S 4＋a 1>…>S 10＋a 1，S 10＋a 1<S 12＋a 1<S 14＋a 1<…，即S 2>S 4>…>S 10，S 10<S 12<S 14<….a 3＋a 2＝－8，a 5＋a 4＝－6，a 7＋a 6＝－4，a 9＋a 8＝－2，a 11＋a 10＝0，a 13＋a 12＝2，∴n ≥2且n 为偶数时，a n ＋1＋a n >0，S 3－a 1>S 5－a 1>…>S 9－a 1＝S 11－a 1，S 11－a 1<S 13－a 1<S 15－a 1<…，即S 3>S 5>…>S 9＝S 11，S 11<S 13<S 15<…，又S 11＋S 10＝－45，2S 10＋2a 1＝－50，∴S 11－S 10＝2a 1＋5，∵a 2<－4，a 2＋2a 1＝－9，∴2a 1>－5，∴S 11－S 10>0，∴S 11>S 10，∴S n 取得最小值时n ＝10. 答案：106．[2019·长沙、南昌联考]已知各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝8，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋3，c n ＝a n 2n ，b n ＝2c n ＋1＋c n，且数列{b n }的前n 项和为T n ，则使T n >10的n 的最小值为________． 解析：由a n ＋1＝2a n ＋2n ＋3，得a n ＋1＝2a n ＋4·2n ＋1，所以a n ＋12n ＋1＝a n 2n ＋4，即a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝4，即c n ＋1－c n ＝4，所以数列{c n }是首项为c 1＝a 12＝4，公差为4的等差数列，故c n ＝4＋4(n －1)＝4n .所以b n ＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1.则由n ＋1－1>10，解得n >120，故使T n >10的n 的最小值为121.答案：1217．[2019·安徽五校质检二]设数列{a n }满足a 1＝5，且对任意正整数n ，总有(a n ＋1＋3)(a n ＋3)＝4a n ＋4成立，则数列{a n }的前2 018项的和为________．解析：由(a n ＋1＋3)(a n ＋3)＝4a n ＋4，得a n ＋1＝4a n ＋4a n ＋3－3＝a n －5a n ＋3，因为a 1＝5，所以a 2＝0，a 3＝－53，a 4＝－5，a 5＝5，则数列{a n }是以4为周期的周期数列，因为2 018＝504×4＋2，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝－53，即一个周期的和为－53，所以数列{a n }的前2 018项的和为－53×504＋5＋0＝－835.答案：－8358．[2019·江西五校联考]在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n 2n 2－1a n－1(n ≥2)．记S n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 2的前n 项和，若S n ＝4925，则n ＝________. 解析：由a n ＝n 2n 2－1a n －1(n ≥2)得，a n n 2＝a n －1(n －1)2(n －1)2(n 2－1)＝a n －1(n －1)(n －1)2(n ＋1) ①，令b n ＝a n n 2，则a n －1(n －1)2＝b n －1(n ≥2)，所以①式变形为b n ＝n －1n ＋1b n －1(n ≥2)，即b n b n －1＝n －1n ＋1(n ≥2)，则当n ＝1时，b 1＝a 1＝1，当n ≥2时，b n ＝b 1×b 2b 1×b 3b 2×b 4b 3×b 5b 4×…×b n b n －1＝1×13×24×35×46×…×n －1n ＋1＝2n (n ＋1).所以b n ＝2n (n ＋1)，即a n n 2＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所以S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1＝4925，解得n ＝49. 答案：49。