特殊三角形经典习题
特殊三角形-练习题(含答案)
特殊三角形-练习题(含答案)特殊三角形-练习题(含答案)一、选择题1. 在直角三角形中，若一条直角边的长度为3，另一条直角边的长度为4，那么斜边的长度是：A. 5B. 7C. 9D. 122. 一个等腰三角形的两条等边分别为5，那么等腰三角形的底边长为：A. 2.5B. 4C. 5D. 103. 在等边三角形中，每个角的度数为：A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°4. 若一个三角形有一条边长为2，另外两条边长为3和4，那么这个三角形是：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形5. 在等腰直角三角形中，两条直角边的长度分别为3和4，那么斜边的长度为：A. 5B. 7C. 9D. 12二、填空题1. 正三角形的每个角度数为__________。
2. 整数边长的直角三角形有__________组。
3. 锐角三角形的内角和为__________度。
4. 勾股定理可以用来判断一个三角形是否为__________。
5. 一个等腰三角形的两条等边分别为6，那么等腰三角形的底边长为__________。
三、解答题1. 证明等腰直角三角形的两条直角边相等。
解答思路：通过证明直角三角形两个角相等，并且直角三角形的两边长相等，可以得出等腰直角三角形的两条直角边相等。
2. 在等边三角形ABC中，边长为6。
连接点A和边BC的垂线段AD，求垂足D与点C之间的距离。
解答思路：利用等边三角形的性质，可以得出垂足D与点C之间的距离等于等边三角形的边长的一半。
四、答案选择题答案：1. A2. B3. B4. D5. A填空题答案：1. 60°2. 3组3. 180°4. 直角三角形5. 6解答题答案：1. 略2. 等边三角形的边长为6，所以垂足D与点C之间的距离为3。
结束语通过以上练习题的答案，我们可以对特殊三角形的性质和计算有更深入的了解。
浙教八年级上册数学特殊三角形经典习题(含答案)
浙教数学八年级上册特殊三角形历年中考典型习题一、等腰三角形1．如图，△ABC中，AB=AC，AM是BC边上的中线，点N在AM上，求证：NB=NC．2．如图，∠AOB的内部有一点P，在射线OA，OB边上各取一点P1，P2 ，使得△PP1P2的周长最小，作出点P1，P2 ，叙述作图过程（作法），保留作图痕迹．3．已知：如图，在△ABC中，∠1＝∠2，DE∥AC，求证：△ADE是等腰三角形．4．如图，△ABC中，AD⊥BC，点E在AC的垂直平分线上，且BD＝DE．(1)如果∠BAE＝40°，那么∠B＝，∠C＝°；(2)如果△ABC的周长为13 cm，AC＝6 cm，那么△ABE的周长＝cm；(3)你发现线段AB与BD的和等于图中哪条线段的长？并证明你的结论．5．如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．（1）若∠ABC=70°，则∠NMA的度数是度．（2）若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．6．如图，∠AOB=30̊，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于D，PE垂直OA于E，若OD=4cm，求PE的长．7.如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：BE=CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：EF=CF．8．如图，在四边形ABCD中，AD=4，BC=1，∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°，求CD的长．9．如图，△ABC 为等边三角形，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ∥BC 交AB 于点E ． （1）求证：△ADE 是等边三角形．（2）求证：AE =21AB ．10．如图所示，D 、E 分别是 △ABC 的边 BC 、AC 上的点，且 AB =AC ，AD =AE ． （1）若 ∠BAD =20̊，则∠EDC = ； （2）若 ∠EDC =20̊，则∠BAD = ；（3）设∠BAD =ɑ ，∠EDC =β，你能由（1）（2）中的结果找到 ɑ、β 所满足的关系吗?请说明理由．11．如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．（1）依题意补全图形；（2）若∠ACN=α，求∠BDC的大小（用含的式子表示）；（3）用等式表示线段PB，PC与PE之间的数量关系，并证明．12．如图，点A、B、C在同一直线上，△ABD，△BCE都是等边三角形。
初中数学 习题1：特殊三角形全章练习题
第二章特殊三角形的复习一、知识小结：等腰三角形的性质：1、___________ _______2、____________3、___________4、。
等腰三角形的判定：12、.等边三角形的性质：1、_______2、.3、4、. 等边三角形的判定：1、。
2、。
3、。
直角△的性质：1、在直角△中，两个锐角。
2、直角△斜边上的中线等于斜边的。
3、勾股定理：直角△平方和等于的平方。
关系式：。
证明的基本图形4、在直角△中，30°角所对的直角边等于斜边的。
5、在直角△中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么直角边所对的角等于度。
直角△的判定：1有一个角是的三角形是直角△。
2、有两个角的三角形是直角△。
3、勾股定理的逆定理：如果三角形中较短两边的等于最长边的，那么这个三角形是三角形。
4、如果一个三角形中，较长边的等于这条边角是。
几个重要性质：角平分线性质：1、角平分线上的点到角两边的距离相等。
2、角的内部，到角两边距离相等的点，在_____上。
中垂线性质：1、线段中垂线上的点到线段两断点的距离相等。
2、到线段两端点距离相等的点，在_________上。
直角三角形全等的判定：除了SAS、ASA、AAS、SSS还有HL（斜边、直角边）（1）等腰直角三角形三边之比为___________（2）含30角的直角三角形三边之比为__________（3）边长为a的等边三角形的高为，面积为_____________（4）直角三角形斜边上的高是（a、b是直角边，c是斜边）_____________二、例题精讲例1、（1）若等腰三角形的一个底角为50°，则顶角为。
（2）若等腰三角形的一个角为50°，则另外两个角为。
（3）等腰三角形△ABC中，∠A=50°，则∠B的度数为____________. （4）等腰三角形△ABC中，∠A的一个外角为110°，则∠B的度数为____________.（5）如果等腰三角形有一边长是6，另一边长是8，那么它的周长是；如果等腰三角形的两边长分别是4、8，那么它的周长是。
特殊三角形存在性(习题及答案)
思路分析： 1．研究背景图形（如图 1） 2．分析不变特征，确定分类标准
P(？，0)
△PAD 等腰
定：A，D
动：P
腰 两圆
定线段 AD
底 一线
3．分析特殊状态的形成因素， 画出符合题意的图形并求解 以 P4 为例： ①P4 是怎么来的 （分析形成因素，垂直平分） ②垂直平分怎么用
1
y 3x b F ( 9 ， 3) 22
6
【参考答案】
巩固练习
1. （1）C( 3 ， 3 3 ) 22
（2）存在，点 P 的坐标为(0，0)或(6，0)
2. 存在，点 P 的坐标为(1，0)，(1，2 2 )，(1，2 2 )或(1，1) 3. 存在，点 P 的坐标为(-3， 3 3 3 )，( 3 3 3 ， 3 3 )或
思考小结
什么是存在性问题？ 通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态或者 某种关系是否存在的题目．主要考查运动的结果．
一般情况下我们如何处理存在性问题？ （1）研究背景图形 坐标系背景下研究坐标、表达式；几何图形研究边、角、特 殊图形； （2）根据不变特征，确定分类标准 研究定点，动点，定线段，确定分类标准 不变特征举例： ①等腰三角形（两定一动） 以定线段作为底边或者腰确定分类标准，利用两圆一线确定 点的位置． ②等腰直角三角形（两定一动） 根据直角顶点确定分类标准，然后借助两腰相等或者 45°角确 定点的位置． （3）分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解 （4）结果验证 估算数值，结合图形进行验证．
(33 3 ，33 3 8 ，4)，(0， 4 )，( 4 ，8)，(4，0)，( 4 ，
4)或(0，0) 5. (0，0)
7
2
直角三角形的勾股定理练习题
直角三角形的勾股定理练习题在数学中，直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度（直角）。
直角三角形的勾股定理是一个重要的数学定理，用于描述直角三角形中三边之间的关系。
勾股定理的表述如下：在直角三角形中，假设a、b、c分别代表三角形的两个直角边和斜边的长度，那么有a² + b² = c²。
为了帮助你更好地理解和应用勾股定理，下面给出一些练习题。
练习题一：已知一个直角三角形的斜边长为10，直角边长度为6，求另一个直角边的长度。
解析：根据勾股定理，直角边的长度可以通过c² - a²（或c² - b²）再开方来求得。
其中，c代表斜边的长度，a、b分别代表两个直角边的长度。
已知c = 10，a = 6，带入公式：另一直角边的长度= √(c² - a²) = √(10² - 6²) = √(100 - 36) = √64 = 8所以，另一个直角边的长度为8。
练习题二：已知一个直角三角形的斜边长为13，其中一个直角边的长度为5，求另一个直角边的长度。
解析：同样根据勾股定理，可以通过斜边和已知直角边的长度来求解。
已知c = 13，a = 5，带入公式：另一直角边的长度= √(c² - a²) = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12所以，另一个直角边的长度为12。
练习题三：已知一个直角三角形的斜边长为26，另一个直角边的长度为10，求未知直角边的长度。
解析：同样应用勾股定理进行求解。
已知c = 26，b = 10，带入公式：另一直角边的长度= √(c² - b²) = √(26² - 10²) = √(676 - 100) = √576 =24所以，未知直角边的长度为24。
通过以上练习题的解析，我们可以看到勾股定理是一个实用的工具，在解决直角三角形问题时应用非常广泛。
三角形练习题及答案
三角形练习题及答案三角形是数学中常见的几何形状，也是许多几何问题的基础。
通过解决三角形练习题，我们可以加深对三角形性质的理解，并且提高解决几何问题的能力。
本文将为大家提供一些三角形练习题及答案，希望能够帮助读者更好地掌握这一知识点。
题目一：已知三角形ABC，AB = 5cm，BC = 7cm，AC = 8cm。
求三角形ABC 的面积。
解答一：根据海伦公式，已知三角形的三边长度可以计算出其面积。
海伦公式的表达式为：面积= √(p × (p - a) × (p - b) × (p - c))，其中p为半周长，即p = (a + b + c)/2。
代入题目中的数据，我们可以得到p = (5 + 7 + 8)/2 = 10。
将p和三边的长度代入公式，计算得到面积= √(10 × (10 - 5) × (10 - 7) × (10 - 8)) = √(10 × 5 × 3 × 2) = √300 ≈ 17.32cm²。
因此，三角形ABC的面积约为17.32cm²。
题目二：已知三角形ABC，角A = 30°，角B = 60°，AB = 6cm。
求三角形ABC 的高。
解答二：在三角形ABC中，角A = 30°，角B = 60°，则角C = 180° - 30° - 60° = 90°。
由于角C为直角，可以利用三角形ABC的特殊性质求解。
在直角三角形ABC中，高等于底边乘以正弦值。
即高= AB × sin(A) = 6 ×sin(30°) = 6 × 0.5 = 3cm。
因此，三角形ABC的高为3cm。
题目三：已知三角形ABC，角A = 45°，角B = 45°，AB = 8cm。
数学三角形的认识练习题
数学三角形的认识练习题题目一：三角形基本概念1. 定义：什么是三角形？2. 元素：三角形有哪些基本元素？3. 分类：按照边长和角度的不同，三角形可以分为哪几类？4. 性质：对于任意三角形ABC，三个内角之和是多少？外角之和是多少？题目二：特殊三角形1. 等边三角形：定义、性质和计算公式。
2. 等腰三角形：定义、性质和计算公式。
如何判断一个三角形是等腰三角形？3. 直角三角形：定义、性质和计算公式。
如何判断一个三角形是直角三角形？题目三：三角形面积与周长的计算1. 三角形面积公式：根据底边和高计算三角形的面积。
2. 三角形周长公式：根据三边长度计算三角形的周长。
3. 使用实际问题进行计算练习：如何计算一个不规则三角形的面积和周长？题目四：三角形的重要定理1. 角平分线定理：什么是角平分线？角平分线定理是什么？2. 中位线定理：什么是中位线？中位线定理是什么？3. 高线定理：什么是高线？高线定理是什么？题目五：三角形的相似性质1. 什么是相似三角形？相似三角形有哪些性质？2. 相似三角形的判定方法：AAA、AA、SAS、SSS判定法。
3. 相似三角形的比例关系：边长比例和面积比例。
4. 利用相似三角形解决实际问题：如何利用相似三角形来求解物体高度和距离？题目六：解三角形1. 已知三角形边长求角度：使用余弦定理和正弦定理求解。
2. 已知两边和夹角求第三边：使用余弦定理和正弦定理求解。
3. 实际问题解析：如何利用三角形的解法解决实际生活中的问题？4. 题目练习：提供一些解三角形的练习题，考察不同情况下的解法。
题目七：三角形的海伦公式1. 介绍海伦公式的定义和应用场景。
2. 海伦公式的推导过程。
3. 如何使用海伦公式计算三角形的面积。
题目八：三角形的综合应用题给出一些实际应用题，考察三角形各个概念的综合应用能力，如测量高楼的高度、计算不规则形状的面积等。
结语：通过以上习题的练习，相信你对数学三角形这一概念和相关知识有了更深入的理解。
特殊三角形经典习题
特殊三角形回顾一、选择题1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（ ）A 17B 22C 17或22D 132、等边三角形的对称轴有 （ ） A 1 条 B 2条 C 3条 D 4条3、 以下列三个数为边长的三角形能组成直角三角形的是 （ ） A 1, 1 ,2 B 5, 8 10 C 6 ,7 ,8 D 3 ,4 ,54、 三角形内到三角形各边的距离都相等的点必在三角形的 （ ）A 中线上B 角平分线上C 高线上D 不能确定5、 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是 （ ）A 两个锐角对应相等B 一条边和一个锐角对应相等C 两条直角边对应相等D 一条直角边和一条斜边对应相等6、等腰三角形的一个顶角为40º，则它的底角为（ ） （A ）100º （B ）40º （C ）70º （D ）70º或40º7、下列能断定△ABC 为等腰三角形的是（ ） （A ）∠A=30º、∠B=60º （B ）∠A=50º、∠B=80º（C ）AB=AC=2，BC=4 （D ）AB=3、BC=7，周长为13 8、若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60º，那么这个三角形一定为（ ）A 等边三角形B 等腰三角形C 直角三角形D 钝角三角形 9、如上图∠B C A =90，C D ⊥A B ，则图中与∠A 互余的角有（ ）个 A ．1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个10、正三角形ABC 所在平面内有一点P ，使得⊿PAB 、⊿PBC 、⊿PCA 都是等腰三角形，则这样的P 点有（ ）（A ）1个 （B ）4个 （C ）7个 （D ）10个 11.已知∠A=37°，∠B=53°，则△ABC 为（ ）（A ）锐角三角形 （B ）钝角三角形 （C ）直角三角形 （D ）以上都有可能12．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）（A ）线段 （B ）角 （C ）等腰三角形 （D ）直角三角形13．已知一个三角形的周长为15cm ，且其中两边长都等于第三边的2倍，那么这个三角形的最短边为（ ）（A ）1cm （B ）2cm （C ）3cm （D ）4cm14．具有下列条件的2个三角形，可以证明它们全等的是（ ） （A ）2个角分别相等，且有一边相等; （B ）3个角对应相等;（C ）2边分别相等，且第三边上的中线也相等; （D ）一边相等，且这边上的高也相等DCBA15．在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，CD ⊥AB 于D ，AB=a ，则DB 等于（ ） （A ）2a （B ）3a （C ）4a （D ）以上结果都不对16．如图4所示，△ABC 中，AB=AC ，过AC 上一点作DE ⊥AC ，EF ⊥BC ，若∠BDE=140°，则∠DEF=（ ）（A ）55° （B ）60° （C ）65° （D ）70°BADC EB 'B ACA 'AD C(4) (5) (6)17．一个三角形中，一条边是另一条边的2倍，并且有一角是30°，•那么这个三角形是（ ）（A ）直角三角形 （B ）钝角三角形（C ）可能是锐角三角形 （D ）以上说法都不对18．如图5所示，在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=3：5：10，又△A ′B ′C•′≌△ABC ，•则∠BCA ′：∠BCB ′等于（ ）（A ）1：2 （B ）1：3 （C ）2：3 （D ）1：419．如图6所示，△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，若AB=3，BC=5，则DC 的长度是（ •）（A ）85 （B ）45（C ）165（D ）22520．如图所示，已知△ABC 中，AB=6，AC=9，AD ⊥BC 于D ，M 为AD 上任一点，则MC 2-MB 2•等于（ ）（A ）9 （B ）35 （C ）45 （D ）无法计算21. 一架2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚0.7m ，那么梯子的顶端距墙脚的距离是 ( )A. 0.7mB. 0.9mC. 2.4mD. 2.5m22. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，∠C=90°，且c 2=2b 2，则这个三角形有一个锐角为 ( ) A. 15° B. 30° C. 45° D. 75°23. 有四个三角形，分别满足下列条件：(1) 一个内角等于另外两个内角之和；(2) 三个内角之比为3∶4∶5；B A DC M(3) 三边之比为5∶12∶13； (4) 三边长分别为7、24、25.其中直角三角形有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 24、下列数组中，是勾股数的是 （ ）(A) 1，1，3 (B) 5,3,2 (C) 5.0,3.0,2.0 (D) 31，41，5125、如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( ).A.1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍26、在△ABC 中，AB=15,AC=13,高AD=12,则三角形的周长是（ ）（A ）42 (B)32 (C)42或32 (D)37或33.27、等腰直角三角形的斜边为2，则这个三角形的面积为（ ） A ．2 B 。
特殊三角形知识点及习题
特殊三角形知识点及习题三角形是几何学中一个重要的概念，具有广泛的应用。
在三角形中，特殊三角形是一类具有特殊性质的三角形。
本文将介绍关于特殊三角形的知识点，并提供相关习题。
一、等边三角形等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。
特点是三个角度都相等，每个角度为60度。
等边三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都重合于同一条线段，且等边三角形的内切圆和外接圆半径相等。
求等边三角形的面积可使用海伦公式。
习题1：若等边三角形的边长为a，则该等边三角形的高、中线、角平分线的长度分别为多少？习题2：已知等边三角形的周长为18 cm，求其面积。
二、等腰三角形等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
特点是两个底角（底边两侧的角）相等，顶角（顶边两侧的角）与底角不相等。
等腰三角形的高线、中线、角平分线都重合于同一条线段，且等腰三角形的内切圆与底边相切于一点。
习题3：已知等腰三角形的底边长度为a，腰边长度为b，求该等腰三角形的顶角和面积。
习题4：已知等腰三角形的面积为16 cm²，底边长度为4 cm，求腰边的长度。
三、直角三角形直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。
直角三角形的边分为三个部分：斜边、邻边和对边。
直角三角形中，邻边与对边满足勾股定理的关系，即邻边的平方加上对边的平方等于斜边的平方。
习题5：已知直角三角形的邻边长度为3 cm，对边长度为4 cm，求斜边的长度。
习题6：已知直角三角形的斜边长度为5 cm，对边长度为4 cm，求邻边的长度。
四、30-60-90三角形30-60-90三角形是指其中一个角为30度，另一个角为60度的三角形。
30-60-90三角形中，长边（斜边）的长度是中边（底边）长度的2倍，短边（高边）的长度是中边长度的根号3倍。
习题7：已知30-60-90三角形的中边长度为a，求其高边和斜边的长度。
习题8：已知30-60-90三角形的高边长度为3 cm，求斜边和中边的长度。
综上所述，特殊三角形具有一些独特的性质，包括等边三角形、等腰三角形、直角三角形和30-60-90三角形等。
浙教版八年级数学上第二章特殊三角形2.1《图形的轴对称》同步练习题(含答案)
浙教版八年级数学上第二章特殊三角形2.1《图形的轴对称》同步练习题一、选择题1．下列图形中是轴对称图形的是( )2．有下列图形：角，线段，直角三角形，等边三角形，长方形．其中一定是轴对称图形的有( )A．2个B．3个C．4个D．5个3．如图，把长方形纸片折叠，使CD边落在EF处，折痕为GH，则与梯形CDGH成轴对称的图形是( )A．梯形ABHG B．梯形A BKGC．梯形EFGH D．梯形EFKH4．如图，请在已知图案上再添加一个小正方形，使其成为轴对称图形，则不同的添法有( )A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种5．一只小狗正在平面镜前欣赏自己的全身像(如图所示)，此时，它所看到的全身像是( )6．如图，△ABC的周长为30 cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和顶点A重合，折痕交边BC 于点D，交边AC于点E，连结AD.若AE＝4 cm，则△ABD的周长是( )A. 22 cmB. 20 cmC. 18 cmD. 15 cm7．如图所示是由大小一样的小正方形组成的网格，△ABC的三个顶点均落在小正方形的顶点上，在网格上能画出三个顶点都落在小正方形的顶点上，且与△ABC成轴对称的三角形共有( )A. 5个B. 4个C. 3个D.2个8．已知两条互不平行的线段AB 和A′B′关于直线l 对称，AB 和A′B′所在的直线交于点P ，有下列结论：①AB ＝A′B′；②点P 在直线l 上；③若A ，A ′是对应点，则直线l 垂直平分线段AA′；④若B ，B ′是对应点，则PB ＝PB′.其中正确的是( )A ．①③④B ．②④C ．①②D ．①②③④二填空题9．点A 和点A ′关于直线l 成轴对称，则直线l 与线段AA ′的位置关系是．10．线段AB 与线段A ′B ′关于直线a 成轴对称，那么线段AB 和线段A ′B ′的数量关系是 ．11．一般长方形有 条对称轴，正方形有 条对称轴，等腰三角形有 条对称轴．12. 一枚图章上刻有，那么印在纸上的图案可能是____． 13．数的运算中有一些有趣的对称式，如12×231＝132×21.请你仿照这个等式填空： ×462= ×三、解答题14．如图，已知点A 是锐角∠MON 内的一点，试分别在OM ，ON 上确定点B ，C ，使△ABC 的周长最小(要求画出图形，写出主要作图步骤)，并说明理由．15．如图，正方形ABCD 的周长为8，点E 是线段B C 的中点，点P 是对角线AC 上的一个动点，则PE ＋PB 的最小值是多少？。
第17讲中考数学总复习(练习题) 特殊三角形
∴∠EAB=180°－40°－60°－60°=20°.
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2.(2021·广西)如图,☉O的半径OB为4,OC⊥AB于点D,∠BAC
=30°,则OD的长是( C )
A.
C.2
B.
D.3
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解析:如图,连接OA.
∵OC⊥AB,∠BAC=30°,
1
1
∴S△
= AC×PF,S△
= AB×PE,
ACP 2
ABP 2
又∵S△
=1,AB=AC=2,
ABC
1
1
∴1=2AC×PF+2AB×PE,
1
1
即 1= ×2×PF+ ×2×PE,∴PE+PF=1.
2
2
ACP
+S△
,
ABP
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能 力 提 升
8.(2021·温州)如图,BE是△ABC的角平分
线,在AB上取点D,使DB=DE.
∵∠C=90°,∴∠CBD=30°,
∵CD=1,∴BD=2CD=2,∴AD=2.
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7.(2021·娄底)如图,△ABC中,AB=AC=2,P是BC上任意一点,
PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,若 △ =1,则PE+PF= 1
.
导航
解析:如图所示,连接 AP,则S△
ABC
=S△
∵PE⊥AB 于点 E,PF⊥AC 于点 F,
∴∠ACO=90°－30°=60°,
∵OA=OC,
∴△AOC为等边三角形,
∵OC⊥AB,
∴OD= OC=2.
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3.(2021·新疆)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,
等边三角形的性质和判定练习题
等边三角形的性质和判定练习题
等边三角形是一种特殊的三角形，它有以下性质：三条边相等，内角都相等且等于60°，各边上中线、XXX对角的平
分线都三线合一，是轴对称图形，有三条对称轴。
我们可以通过以下方法来判定等边三角形：三边都相等的三角形是等边三角形（定义），三个角都相等的三角形也是等边三角形，有一个角是60°的等腰三角形也是等边三角形。
在练中，我们可以通过具体的问题来巩固研究。
比如，已知一个等边三角形ABC和其中一条中线BD，延长BC到E使CE=CD，求DE的长度。
又比如，已知等边三角形ABC和
DE∥BC，交AB、AC于D、E，要证明△ADE是等边三角形。
还可以通过分割方法，将一个等边三角形分割成四个等腰三角形，并注明角度。
更进一步的练可以考虑以下问题：在等边三角形ABC中，P为内部一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后能与△ACP′重合，如果AP=3，求PP′的长度。
又如，在等边三角形ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，
垂足分别为E、F，要证明DE=DF，并求出当∠A=60°且
BD=1时△XXX的周长。
最后，还可以考虑等边三角形ABC 中，点D在延长线上，CE平分∠ACD，且CE=BD的问题。
初中数学冀教版八年级上册第十七章 特殊三角形17.4 直角三角形全等的判定-章节测试习题
章节测试题1.【答题】已知：如图所示，△ABC与△ABD中，∠C=∠D=90°，要使△ABC≌△ABD （HL）成立，还需要加的条件是（）A. ∠BAC=∠BADB. BC=BD或AC=ADC. ∠ABC=∠ABDD. AB为公共边【答案】B【分析】由已知两三角形为直角三角形，且斜边为公共边，若利用HL证明两直角三角形全等，需要添加的条件为一对直角边相等，即BC=BD或AC=AD.【解答】解：需要添加的条件为BC=BD或AC=AD，理由为：若添加的条件为BC=BD，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∵，∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；若添加的条件为AC=AD，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∵，∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）．故选B.2.【答题】如图，BC⊥AC，BD⊥AD，且BC=BD，则利用______可说明三角形全等．A. SASB. AASC. SSAD. HL【答案】D【分析】根据斜边、直角边定理解答．【解答】解：∵AB是△ABC、△ABD的公共斜边，BC、BD是对应的直角边，∴利用（HL）可说明三角形全等．选D.3.【答题】如图，点P是∠BAC内一点，且点P到AB、AC的距离相等．则△PEA≌△PFA 的理由是（）A. HLB. AASC. SSSD. ASA【答案】A【分析】根据题意找出三角形全等的条件，然后根据条件确定全等的依据，解答即可．【解答】解：∵点P到AB、AC的距离相等，∴PE=PF，又∵PA是公共边，∴△PEA≌△PFA用的是PA=PA，PE=PF，符合斜边直角边定理，即HL．选A.4.【答题】如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，则△ABC≌△DCB的依据是（）A. HLB. ASAC. AASD. SAS【答案】A【分析】已知∠A=∠D=90°，题中隐含BC=BC，根据HL即可推出△ABC≌△DCB.【解答】解：HL，理由是：∵∠A=∠D=90°，∴在Rt△ABC和Rt△DCB中，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），选A.5.【答题】如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（）A. ∠BAC=∠BADB. AC=AD或BC=BDC. AC=AD且BC=BDD. 以上都不正确【答案】B【分析】根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，因图中已经有AB为公共边，再补充一对直角边相等的条件即可．【解答】解：从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，也是公共边．根据“HL”定理，证明Rt△ABC≌Rt△ABD，还需补充一对直角边相等，即AC=AD或BC=BD，选B.6.【答题】如图，∠BAD=∠BCD=90°，AB=CB，可以证明△BAD≌△BCD的理由是（）A. HLB. ASAC. SASD. AAS【答案】A【分析】由于∠BAD=∠BCD=90°，AB=CB.题中还隐含了公共边这个条件，由此就可以证明△BAD≌△BCD，全等容易看出．【解答】解：∵∠BAD=∠BCD=90°，AB=CB，DB=DB，∴△BAD≌△BCD（HL）．选A.7.【答题】如图，∠C=∠D=90°，AC=AD，∠1=30°，则∠ABD的度数是（）A. 15°B. 30°C. 60°D. 90°【答案】C【分析】首先根据直角三角形的性质求得∠ABC=60°，然后通过全等三角形Rt△ACB≌Rt△ADB的对应角相等求得∠ABD=∠ABC.【解答】解：如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠1=30°，∴∠ABC=60°．∵∠C=∠D=90°，∴在Rt△ACB与Rt△ADB中，，∴Rt△ACB≌Rt△ADB（HL），∴∠ABD=∠ABC=60°．选C.8.【答题】如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AB=CD，∠ACB=30°，则∠ACD 的度数为（）A. 10°B. 2°C. 30°D. 40°【答案】C【分析】利用“HL”证明Rt△ABC和Rt△DCB全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACB=∠DBC，再根据直角三角形两锐角互余列式求出∠BCD，然后根据∠ACD=∠BCD-∠ACB计算即可得解．【解答】解：在Rt△ABC和Rt△DCB中，，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），∴∠ACB=∠DBC=30°，在Rt△BCD中，∠BCD=90°-∠DBC=90°-30°=60°，∴∠ACD=∠BCD-∠ACB，=60°-30°，=30°．选C.9.【答题】如图，AB⊥BC于B，AD⊥CD于D，若CB=CD，且∠BAC=30°，则∠BAD的度数是（）A. 15°B. 30°C. 60°D. 90°【答案】C【分析】根据HL判定△ABC≌△ADC，得出∠BAC=∠DAC=30°，进而求出∠BAD=60°．【解答】解：∵AB⊥BC于B，AD⊥CD于D∴∠ABC=∠ADC=90°又∵CB=CD，AC=AC∴△ABC≌△ADC（HL）∴∠BAC=∠DAC=30 o∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=60°选C.10.【答题】下列语句中不正确的是（）A. 斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等B. 有两边对应相等的两个直角三角形全等C. 有两个锐角相等的两个直角三角形全等D. 有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等【答案】C【分析】根据直角三角形全等的判定定理进行解答即可．【解答】解：A、∵直角三角形的斜边和一锐角对应相等，所以另一锐角必然相等，∴符合ASA定理，故本选项正确；B、两边对应相等的两个直角三角形全等，若是两条直角边，可以根据SAS判定全等，若是直角边与斜边，可根据HL判定全等．故本选项正确；C、有两个锐角相等的两个直角三角形，可以一大一小但形状相同，故本选项错误；D、有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形符合ASA定理，可判定相等，故本选项正确．选C.11.【答题】如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（）A. AC=A′C′，BC=B′C′B. ∠A=∠A′，AB=A′B′C. AC=A′C′，AB=A′B′D. ∠B=∠B′，BC=B′C′【答案】C【分析】根据直角三角形全等的判定方法（HL）即可直接得出答案．【解答】解：∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，如果AC=A′C′，AB=A′B′，那么BC一定等于B′C′，Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，选C.12.【答题】下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（）A. 两条直角边对应相等B. 两个锐角对应相等C. 一条直角边和它所对的锐角对应相等D. 一个锐角和锐角所对的直角边对应相等【答案】B【分析】根据全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS及直角三角形的判定定理HL 对4个选项逐个分析，然后即可得出答案．【解答】解：A、两条直角边对应相等，可利用全等三角形的判定定理SAS来判定两直角三角形全等，故本选项正确；B、两个锐角对应相等，再由两个直角三角形的两个直角相等，AAA没有边的参与，所以不能判定两个直角三角形全等；故本选项错误；C、一条直角边和它所对的锐角对应相等，可利用全等三角形的判定定理AAS来判定两个直角三角形全等；故本选项正确；D、一个锐角和锐角所对的直角边对应相等，可以利用全等三角形的判定定理AAS来判定两个直角三角形全等；故本选项正确；选B.13.【答题】下列说法正确的说法个数是（）①两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，②斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等，③两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，④一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【分析】根据全等三角形的判定方法及“HL”定理，判断即可；【解答】解：A、三个角相等，不能判定全等，故本选项错误；B、斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“AAS”，故本选项正确；C、两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”，故本选项正确；D、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形，首先根据“HL”定理，可判断两个小直角三角形全等，可得另条直角边相等，然后，根据“SAS”，可判断两个直角三角形全等，故本选项正确；所以，正确的说法个数是3个．选C.14.【答题】下列说法中，正确的个数是（）①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【分析】根据HL可得①正确；如果一直角边和一斜边对应相等，这两个直角三角形不全等；由AAS或ASA可得③正确；三个角相等的两个直角三角形不一定全等．【解答】解：①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等，正确；②有两边和它们的夹角对应相等的两个直角三角形全等，正确；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等，正确；④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，错误；选C.15.【答题】如图，∠B=∠D=90°，CB=CD，∠1=30°，则∠2=（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°【答案】D【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再利用“HL”证明Rt△ABC和Rt△ADC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3．【解答】解：∵∠B=90°，∠1=30°，∴∠3=90°-∠1=90°-30°=60°，在Rt△ABC和Rt△ADC中，，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠2=∠3=60°．选D.16.【答题】如图，在△ABC和△ADC中，∠B=∠D=90°，BC=DC，∠1=40°，则∠2的度数为（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 以上都不对【答案】B【分析】利用HL得到直角三角形ABC与直角三角形ADC全等，利用全等三角形对应角相等得到∠2=∠ACD，根据∠1与∠ACD互余即可求出∠2的度数．【解答】解：在Rt△ABC和Rt△ADC中，，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠2=∠ACD，∵∠1+∠ACD=90°，∴∠2+∠1=90°，∵∠1=40°，∴∠2=50°，选B.17.【答题】下列可使两个直角三角形全等的条件是（）A. 一条边对应相等B. 两条直角边对应相等C. 一个锐角对应相等D. 两个锐角对应相等【答案】B【分析】判定两个直角三角形全等的方法有：SAS、SSS、AAS、ASA、HL五种．据此作答．【解答】解：两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，要判定两直角三角形全等，起码还要两个条件，故可排除A、C；而D构成了AAA，不能判定全等；B构成了SAS，可以判定两个直角三角形全等．选B.18.【答题】下列条件中不能使两个直角三角形全等的是（）A. 两条直角边对应相等B. 两个锐角对应相等C. 一条直角边和斜边对应相等D. 一个锐角和斜边对应相等【答案】B【分析】根据三角形全等的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、可以利用边角边判定两三角形全等，故本选项不符合题意；B、全等三角形的判定必须有边的参与，三个角对应相等不能判定两三角形全等，故本选项符合题意；C、根据斜边直角边定理判定两三角形全等，故本选项不符合题意；D、可以利用角角边判定两三角形全等，故本选项不符合题意．选B.19.【答题】使两个直角三角形全等的条件是（）A. 一个锐角对应相等B. 两个锐角对应相等C. 一条边对应相等D. 两条边对应相等【答案】D【分析】利用全等三角形的判定来确定．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．【解答】A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故选项错误；B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故选项错误；C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故选项错误；D、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故选项正确．选D.20.【答题】命题"有一条边和一个锐角分别相等的两个直角三角形全等"是______命题.【答案】假【分析】根据直角三角形全等的判定方法判断即可.【解答】解：一条边和一个锐角分别相等的两个直角三角形，边与角不一定是对应边和对应角，例如：两个直角三角形中相等的∠α的邻边与对边相等，两个三角形不全等，所以，这两个直角三角形不一定全等，所以，"有一条边和一个锐角分别相等的两个直角三角形全等"是假命题.。
特殊角的三角函数值练习题
知识点1特殊角的三角函数值1．计算：(1)sin30°＋cos45°；(2)cos30°·tan30°－tan45°；(3)sin260°＋cos260°(4)sin45°＋sin60°·cos45°.知识点2由三角函数值求特殊角2．已知α为锐角，且cos(90°－α)＝，则α＝.3．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2，则∠A＝．4．在△ABC中，若＋(cosB－)2＝0，则∠C的度数是()A．30°B．45°C．60°D．90°5．如果在△ABC中，sinA＝cosB＝，那么下列最确切的结论是()A．△ABC是直角三角形B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是锐角三角形6．在△ABC中，∠A＝75°，sinB＝，则tanC＝()A.B.C．1D.7．李红同学遇到了这样一道题：tan(α＋20°)＝1，你猜想锐角α的度数应是() A．40°B．30°C．20°D．10°8．(孝感中考)式子2cos30°－tan45°－的值是()A．2－2B．0C．2D．29．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OC＝，则点B的坐标为() A．(，1)B．(1，)C．(＋1，1)D．(1，＋1)10．(重庆中考)如图，C为⊙O外一点，CA与⊙O相切，切点为A，AB为⊙O的直径，连接CB.若⊙O的半径为2，∠ABC＝60°，则BC＝．11．若a＝3－tan60°，求(1－)÷的值。
12．计算：(1)(泸州中考)×sin45°－20150＋2－1.(2)(巴中中考)|－|＋sin45°＋tan60°－(－)－1－＋(π－3)0.13．如图，一幢楼房前有一棵竹子，楼底到竹子的距离CB为2米，阵风吹过，竹子的顶端恰好到达楼顶，此时测得竹子与水平地面的夹角为75°，求这棵竹子比楼房高出多少米．(精确到0.1米，参考数据：sin75°≈0.966，cos75°≈0.259，tan75°≈3.732)14．若tanA的值是方程x2－(1＋)x＋＝0的一个根，求锐角A的度数．15如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1＝∠C.(1)求证：CB∥MD；(2)若BC＝4，sinM＝，求⊙O的直径．仅供个人学习参考。
特殊三角形习题
特殊三角形的练习1.(2005黑龙江)在下面图形中，每个大正方形网格都是由边长为1的小正方形组成，则图中阴影部分面积最大的是 ------------------------- ( )2、正三角形ABC 所在平面内有一点P ，使得⊿PAB 、⊿PBC 、⊿PCA 都是等腰三角形，则这样的P 点有（ ）（A ）1个 （B ）4个 （C ）7个 （D ）10个3.如图,16×9的矩形分成四块后可拼成一个正方形,该正方形的周长为 4.如图，射线AD 是∠BAC 的角平分线，已知∠ACD 度数是α，那么要使AB//CD ，∠ADC 的度数必须是_________.5.在△ABC 中，AB=15,AC=13,高AD=12,则三角形的周长是 .6.现有两根木棒的长度分别是40 cm 和50 cm ，若要钉成一个三角形953351016第7题ABCD16cm 12cm图3木架，其中有一个角为直角，则所需的木棒长度为_____________ 7.如图3，用硬纸片剪一个长为16cm ，宽为12cm 的长方形，再沿对角线把它分成两个三角形，用这两个三角形可拼出各种三角形和四边形来，其中周长最大的是 cm ，周长最小的是 cm.8.（2005年惠安县）如图，把矩形ABCD 沿EF 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点G 处，若∠CFE=60，且DE=1，则边BC 的长为 ． 9. (2005黑龙江)已知BD 、CE 是△ABC 的高，直线BD 、CE 相交所成的角中有一个角为500，则∠BAC 等于 度．10.（江苏省宿迁2005）如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD ，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A 点，两条直角边分别与CD 交于点F ，与CB 延长线交于点E ．则四边形AECF 的面积是 ．11.（江苏省宿迁2005）如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和㎝的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是 ㎝．AB CD EF12.若直角三角形两条直角边上的中线分别是5厘米和102厘米，则斜边长为厘米.13. 如图，A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD。
直角三角形的边长计算练习题
直角三角形的边长计算练习题直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个内角为90度（直角），通过已知的边长可以计算出其余两个边的长度。
在本文中，将介绍一些直角三角形边长计算的练习题，帮助读者提高解题能力和理解直角三角形的属性。
练习题1：在一个直角三角形中，已知两条边的长度分别为5cm和12cm，求第三条边的长度。
解析：根据勾股定理，直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
设第三条边的长度为c，则有5² + 12² = c²。
计算得25 + 144 = c²，即169 = c²。
两边平方根相等，得c = √169，因此c = 13。
所以第三条边的长度为13cm。
练习题2：已知一个直角三角形的斜边长为10m，一个直角边的长度为6m，求另一个直角边的长度。
解析：同样使用勾股定理，在直角三角形中的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
设另一个直角边的长度为a，则有a² + 6² = 10²。
计算得a² + 36 = 100，即a² = 64。
两边平方根相等，得a = √64，因此a = 8。
所以另一个直角边的长度为8m。
练习题3：在一个直角三角形中，已知一个直角边的长度为9cm，另一个直角边的长度为12cm，求斜边的长度。
解析：同样使用勾股定理，在直角三角形中的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
设斜边的长度为b，则有9² + 12² = b²。
计算得81 + 144 = b²，即225 = b²。
两边平方根相等，得b = √225，因此b = 15。
所以斜边的长度为15cm。
练习题4：在一个直角三角形中，已知斜边的长度为17cm，一个直角边的长度为8cm，求另一个直角边的长度。
解析：同样使用勾股定理，在直角三角形中的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
设另一个直角边的长度为b，则有8² + b² = 17²。
八年级数学上册第十三章轴对称方法专题特殊三角形中常见辅助线的作法习题名师公开课省级获奖课件新人教版
类型二 用“截长补短法”构造等腰三角形
4.如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数.
解：在DC上截取DE＝DB，连接AE.设∠C＝x.∵AB＋BD＝DC，DE＋CE＝DC，DE＝DB，∴CE＝AB.∵AD⊥BC，DB＝DE，∴直线AD是BE的垂直平分线，∴AB＝AE，∴CE＝AE，∴∠B＝∠AEB，∠C＝∠CAE.又∵∠AEB＝∠C＋∠CAE，∴∠AEB＝2x，∴∠B＝2x，∴∠B＋∠C＝3x.∵∠BAC＝120°，∴∠B＋∠C＝180°－120°＝60°，∴3x＝60°，∴x＝20°，即∠C＝20°.
谢谢大家
每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的路成功源于不懈的努力，人生最大的敌人是自己怯懦每天只看目标，别老想障碍宁愿辛苦一阵子，不要辛苦一辈子积极向上的心态，是成功者的最基本要素生活总会给你另一个机会，人生就像骑单车，想保持平衡就得往前走21:19:48我们必须在失败中寻找胜利10、一个人的梦想也许不值钱，但一个人的努力很值钱。11、在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。
类型一 利用“三线合一”作辅助线
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A作EF∥BC，且AE＝AF，求证：DE＝DF.
证明：连接AD.∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.∵EF∥BC，∴AD⊥EF.又∵AE＝AF，∴AD垂直平分EF，∴DE＝DF.
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BA延长线上一点，点E在AC上，且AD＝AE，求证：DE⊥BC.
证明：过点A作AM⊥BC于点M.∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠BAM.∵AD＝AE，∴∠D＝∠AED，∴∠BAC＝∠D＋∠AED＝2∠D，∴∠BAM＝∠D，∴DE∥AM.∵AM⊥BC，∴DE⊥BC.
等边三角形练习题
等边三角形练习题等边三角形练习题等边三角形是一种特殊的三角形，它的三条边长度相等，每个角都是60度。
在几何学中，等边三角形是一种简洁而美丽的形状，具有独特的性质和应用。
通过练习题的形式，我们可以更好地理解和应用等边三角形的知识。
下面，我将为大家提供一些有趣的等边三角形练习题，希望能够帮助大家更好地掌握这一知识点。
练习题一：等边三角形的边长已知等边三角形的周长为18cm，求其边长。
解析：由于等边三角形的三条边长度相等，所以可以用周长除以3得到每条边的长度。
即18cm ÷ 3 = 6cm。
因此，等边三角形的边长为6cm。
练习题二：等边三角形的面积已知等边三角形的边长为10cm，求其面积。
解析：等边三角形的面积可以通过以下公式计算：面积 = (边长^2 × √3) ÷ 4。
代入已知条件，即可得到结果。
面积= (10cm^2 × √3) ÷ 4 ≈ 43.3cm²。
因此，等边三角形的面积约为43.3cm²。
练习题三：等边三角形的高度已知等边三角形的边长为12cm，求其高度。
解析：等边三角形的高度可以通过以下公式计算：高度 = 边长× √3 ÷ 2。
代入已知条件，即可得到结果。
高度= 12cm × √3 ÷ 2 ≈ 10.4cm。
因此，等边三角形的高度约为10.4cm。
练习题四：等边三角形的内切圆半径已知等边三角形的边长为16cm，求其内切圆的半径。
解析：等边三角形的内切圆半径可以通过以下公式计算：半径 = 边长× √3 ÷ 6。
代入已知条件，即可得到结果。
半径= 16cm × √3 ÷ 6 ≈ 4.62cm。
因此，等边三角形的内切圆半径约为4.62cm。
练习题五：等边三角形的外接圆半径已知等边三角形的边长为14cm，求其外接圆的半径。
解析：等边三角形的外接圆半径可以通过以下公式计算：半径 = 边长÷ √3。
河北省各地冀教版数学八年级上册期末试题选编第十七章 特殊三角形 综合复习题
第十七章 特殊三角形 综合复习题一、单选题1．（2022·河北张家口·八年级期末）如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为BC 中点，△BAD =35°，则△C 的度数为（ ）A ．35°B ．45°C ．55°D ．60°2．（2022·河北石家庄·八年级期末）如图，在ABC 中，AB AC =，40A ︒∠=，//CD AB ，则BCD ∠=（ ）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒3．（2022·河北保定·八年级期末）如图，在ABC 中，点D 、点E 分别是AB ，AC 的中点，点F 是DE 上一点，且90AFC ∠=︒，若12BC =，8AC =，则DF 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．（2022·河北唐山·八年级期末）如图，△ABC 是等边三角形，D 为BA 的中点，DE AC ⊥，垂足为点E ，EF △AB ，1AE =，下列结论错误的是( )A．ADEAD=∠=30°B．2C．△ABC的周长为10D．△EFC的周长为95．（2022·河北邯郸·八年级期末）如图，在△ABC中，△B＝30°，△C＝45°，AE△BC于点E，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点F，若BD＝，则CE的长为（）A．B．C．D．∆，不是直角三角形的是（）6．（2022·河北廊坊·八年级期末）满足下列条件的ABCA．222a b c=b c a-=B．::5:12:13∠=∠-∠C．::3:4:5∠∠∠=D．C A BA B C7．（2022·河北秦皇岛·八年级期末）如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．52B．42C．76D．728．（2022·河北邢台·八年级期末）如图，已知AB BD⊥，CD BD⊥，若用“HL”判定Rt ABD和Rt CDB全等，则需要添加的条件是（）A ．AD CB = B ．AC ∠=∠ C ．=BD DB D ．AB CD =9．（2022·河北廊坊·八年级期末）老师在画△AOB 的平分线OP 时，设计了△，△两种做法，这两种做法均可由△OMP △△ONP 得知，其全等的依据分别是（ ）△如图1，在边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，调整角尺，使角尺的顶点到点M ，N 的距离相等，此时，角尺的顶点为P ，画出射线OP ；△如图2，在边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，再分别过点M ，N ，作OA ，OB 的垂线，交点为P ，画出射线OP ．A ．SSS ；HLB ．SAS ；HLC ．SSS ；SASD ．SAS ；SSS10．（2022·河北唐山·八年级期末）用反证法证明“在ABC ∆中，AB AC =，则B ∠是锐角”，应先假设（ ） A ．在ABC ∆中，B ∠一定是直角B ．在ABC ∆中，B ∠是直角或钝角 C ．在ABC ∆中，B ∠是钝角D ．在ABC ∆中，B ∠可能是锐角二、填空题11．（2022·河北唐山·八年级期末）如图，在ABC 中，AB AC ＝，点D 在AC 上，且BD BC AD ＝＝，则A ∠＝_____度．12．（2022·河北保定·八年级期末）如图：点C 在AB 上，DAC ∆、EBC ∆均是等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，则下列结论△AE DB = △CM CN = △CMN ∆为等边三角形 △//BC MN 正确的是______（填出所有正确的序号）13．（2022·河北秦皇岛·八年级期末）如图，在△ABC 中，△ACB =90°，D 是AB 的中点，连接CD ．若CD =8，则AB =_______．14．（2022·河北石家庄·八年级期末）如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，斜边上的中线BE 的长为4 cm ，高BD 的长为3 cm ，则ABC 的面积是______2cm ．15．（2022·河北承德·八年级期末）如图，点A 、B 、C 分别在边长为1的正方形网格图顶点，则ABC ∠=______．16．（2022·河北张家口·八年级期末）如图，在△ABC 中，CE 平分△ACB ，CF 平分△ACD ，且EF △BC 交AC 于M ，若CM ＝3，则CE 2+CF 2＝_____．17．（2022·河北邯郸·八年级期末）如图，点D在BC上，DE△AB于点E，DF△BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若△AFD＝145°，则△EDF＝_____．三、解答题18．（2022·河北唐山·八年级期末）如图，已知点D，E分别是ABC的边BA和BC延长线上的点，作△DAC 的平分线AF，若AF△BC．（1）求证：ABC是等腰三角形（2）作△ACE的平分线交AF于点G，若40∠=，求△AGC的度数．B19．（2022·河北石家庄·八年级期末）在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）当点E为AB的中点时，如图1，确定线段A与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．（2）当E不是AB的中点时，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EF△BC，交AC点F．请你接下来按照这种思路完成全部解答过程．（3）在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为2，AE＝4，则CD的长为．20．（2022·河北保定·八年级期末）将一个三角形沿着其中一个顶点及其对边上的一点所在的直线折叠，若折叠后原三角形的一边垂直于这条对边，则称这条直线是该三角形的“对垂线”．（1）如图1，AD 是等边△ABC 的对垂线，把△ABC 沿直线AD 折叠后，点B 落在点B '处，求△BAD 的度数；（2）如图2．在△ABC 中，△BAC =90°，点D 在边BC 上，且AB =AD ，若△B =2△DAC ，判断直线AD 是否是△ABC 的对垂线，并说明理由．21．（2022·河北张家口·八年级期末）课外兴趣小组活动时，老师出示了如下问题：如图△，已知在四边形ABCD 中，AC 平分△DAB ，△DAB ＝60°，△B 与△D 互补，求证：AB ＋AD．小敏反复探索，不得其解．她想，可先将四边形ABCD 特殊化，再进一步解决该问题．(1)由特殊情况入手，添加条件：“△B ＝△D”，如图△，可证AB ＋AD．请你完成此证明．(2)受到(1)的启发，在原问题中，添加辅助线：过C 点分别作AB ，AD 的垂线，垂足分别为点E ，F ，如图△.请你补全证明过程．22．（2022·河北廊坊·八年级期末）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，DCB ∠的平分线CE 交AB 于点E ．（1）求证：AC AE =；（2）若60A ∠=︒，3AD =，求BD 的长．23．（2022·河北廊坊·八年级期末）如图，在ABC 中，AD BC ⊥，垂足为D ，BD CD =，延长BC 至E ，使得CE CA =，连接AE ．（1）求证：B ACB ∠=∠；（2）若5AB =，4=AD ，求ABE 的周长和面积．24．（2022·河北邢台·八年级期末）如图，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度为16米的大树被折断，树的顶部落在离树根8米处，即8BC =，求这棵树在离地面多高处被折断（即求AC 的长度）？25．（2022·河北秦皇岛·八年级期末）如图，小明家在一条东西走向的公路MN 北侧200米的点A 处，小红家位于小明家北500米（500AC =米）、东1200米（1200BC =米）点B 处．（1）求小明家离小红家的距离AB ；（2）现要在公路MN 上的点P 处建一个快递驿站，使PA PB +最小，请确定点P 的位置，并求PA PB +的最小值．26．（2022·河北沧州·八年级期末）如图，在△ABC 中，△C=90°，AD 平分△BAC ，DE△AB 于点E ，点F 在AC 上，且BD=DF ．（1）求证：△DCF△△DEB ；（2）若DE=5，EB=4，AF=8，求AD 的长．27．（2022·河北唐山·八年级期末）已知：如图，在ABC 中，A ABC CB =∠∠，直线l 经过点A ，过B ，C 两点作直线l 的垂线，垂足分别为D ，E ，BD AE =．求证：AB AC ⊥．参考答案：1．C【解析】根据等腰三角形的三线合一的性质可直接得到AD 平分△BAC ，AD △BC ，结合图形，利用各角之间的关系及三角形内角和定理即可得．解：△△ABC 为等腰三角形，△AD 平分△BAC ，AD △BC ，△35DAC BAD ∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，△18055C ADC DAC ∠=︒-∠-∠=︒，故选C ．题目主要考查等腰三角形三线合一的性质，三角形内角和定理，理解题意，找准各角之间的数量关系是解题关键．2．D【解析】先根据等腰三角形的性质得到△B 的度数，再根据平行线的性质得到△BCD. 解：△AB=AC ，△A=40°，△△B=△ACB=70°，△CD△AB ，△△BCD=△B=70°，故选D.本题考查了等腰三角形的性质和平行线的性质，掌握等边对等角是关键，难度不大.3．B【解析】根据三角形中位线定理求出DE ，根据直角三角形的性质求出FE ，结合图形计算，得到答案．解：△点D ，点E 分别是AB ，AC 的中点，△DE 是△ABC 的中位线，△DE =12BC =6（cm ），在Rt △AFC 中，点E 是AC 的中点，△FE =12AC =4（cm ），△DF =DE -EF =2（cm ），故选：B ．本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．4．C【解析】根据等边三角形的性质和直角三角形两锐角互余的性质可判断A；根据30°角的直角三角形的性质可判断B；由B的结论结合D为BA的中点可求出AB的长，进而可判断C；由EF△AB可判断△CEF是等边三角形，再求出CE的长即可判断D.解：△△ABC是等边三角形，△AB=AC=BC，△A=△B=△C=60°，，△∠AED=90°，△DE AC△△ADE=90°－△A=30°，所以A正确；△AE=1，△ADE=30°，△AD=2AE=2，所以B正确；△D为BA的中点，△AB=2AD=4，△△ABC的周长为4×3=12，所以C错误；△EF△AB，△△CEF=△A=60°，△CFE=△B=60°，△△CEF是等边三角形，△AE=1，△CE=AC－AE=3，△△EFC的周长为9，所以D正确.故选C.本题考查了等边三角形的性质和30°角的直角三角形的性质，属于基础题型，熟练掌握等边三角形的性质和直角三角形的性质是解题的关键.5．D【解析】根据题意连接AD，由线段的垂直平分线的性质可得AD的长；由等腰三角形的性质及三角形的外角性质可求得△ADE＝60°，从而可求得△DAE＝30°，解直角三角形ADE，可得AE的长度；由△C＝45°，可得△AEC为等腰直角三角形，从而可得EC的长度．解：连接AD，如图：△AB的垂直平分线交BC于点D，△AD＝BD＝△在△ABC中，△B＝30°，△△BAD＝△B＝30°，△△ADE＝△B+△BAD＝60°．△AE△BC于点E，△△AED＝90°，△△DAE＝30°，AD＝，△DE＝12△AE，△△C＝45°，△△AEC为等腰直角三角形，△EC＝AE＝故选：D．本题考查含30度角的直角三角形的性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及解直角三角形等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．6．C【解析】根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各个选项分别进行计算即可．A. 222-=,则a2+c2=b2 ,△ABC是直角三角形,故A正确，不符合题意；b c aB. 52+122=132，△ABC是直角三角形，故B正确，不符合题意；C.△A：△B：△C=3：4：5，设△A、△B、△C分别为3x、4x、5x，则3x+4x+5x=180°，解得，x=15°，则△A 、△B 、△C 分别为45°，60°，75°，△ABC 不是直角三角形；故C 选项错误，符合题意；D. △A -△B=△C ，则△A=△B+△C ，△A=90°，△ABC 是直角三角形，故D 正确，不符合题意；故选C ．本题考查的是三角形内角和定理、勾股定理的逆定理的应用，勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．7．C解：依题意得，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x ，则x 2=122+52=169，解得：x =13．故“数学风车”的周长是：（13+6）×4=76．故选C ．8．A【解析】由图示可知BD 为公共边，若想用“HL ”判定证明Rt ABD 和Rt CDB 全等，必须添加AD =CB ．解：在Rt ABD 和Rt CDB 中BD BD AD CB =⎧⎨=⎩△()Rt ABD Rt CDB HL ≌△△故选A此题主要考查学生对全等三角形判定定理（HL ）的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．9．A【解析】根据作图过程可得MO = NO ，MP = NP ，再利用SSS 可判定△MPO △△PNO ，可得OP 是△AOB 的平分线；根据题意得出Rt △MOP △Rt △NOP (HL )，进而得出射线OP 为△AOB 的角平分线．解：如图△：在△MPO 和△NPO 中OM ON OP OP MP NP =⎧⎪=⎨⎪=⎩，△△MPO △△PNO (SSS )△△AOP =△BOP ，即射线OP 为△AOB 的角平分线；如图△，在Rt △MOP 和Rt △NOP 中，OP OP MO NO=⎧⎨=⎩， △Rt△MOP △Rt△NOP (HL )△△MOP =△NOP ，即射线OP 为△AOB 的角平分线；故选：A ．此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定，关键是掌握判定三角形全等的方法．10．B【解析】假设命题的结论不成立或假设命题的结论的反面成立，然后推出矛盾，说明假设错误，结论成立．解：用反证法证明命题“在ABC ∆中，AB AC =，则B ∠是锐角”时，应先假设在ABC ∆中，B ∠是直角或钝角．故选B ．本题考查反证法，记住反证法的一般步骤是：△假设命题的结论不成立；△从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；△由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 11．36【解析】设△A=x ，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得答案．设△A=x ．△AD=BD ，△△ABD=△A=x ；△BD=BC ，△△BCD=△BDC=△ABD+△A=2x ；△AB=AC ，△△ABC=△BCD=2x ，△△DBC=x ；△x+2x+2x=180°，△x=36°，△△A=36°，故答案为36.本题考查了等腰三角形的性质，涉及了等边对等角、三角形外角的性质，三角形的内角和定理，通过三角形内角和定理列方程求解是正确解答本题的关键．12．△△△△【解析】利用等边三角形的性质得CA＝CD，△ACD＝60°，CE＝CB，△BCE＝60°，所以△DCE ＝60°，△ACE＝△BCD＝120°，则利用“SAS”可判定△ACE△△DCB，所以AE＝DB，△CAE ＝△CDB，则可对△进行判定；再证明△ACM△△DCN得到CM＝CN，则可对△进行判定；然后证明△CMN为等边三角形得到△CMN＝60°，则可对△△进行判定．解：△△DAC、△EBC均是等边三角形，△CA＝CD，△ACD＝60°，CE＝CB，△BCE＝60°，△△DCE＝60°，△ACE＝△BCD＝120°，在△ACE和△DCB中AC CDACE DCB EC BC⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，△△ACE△△DCB（SAS），△AE＝DB，所以△正确；△△ACE△△DCB，△△MAC=△NDC，△△ACD=△BCE=60°，△△MCA=△DCN=60°，在△ACM和△DCN中MAC NDC CA CDACM DCN∠∠∠⎧⎪⎪⎩∠⎨＝＝＝，△△ACM△△DCN（ASA），△CM＝CN，所以△正确；△CM＝CN，△MCN＝60°，△△CMN为等边三角形，故△正确，△△CMN＝60°，△△CMN＝△MCA，△MN△BC，所以△正确，故答案为：△△△△．本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，也考查了等边三角形的判定与性质．13．16【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．解：△△ACB=90°，D是AB中点，CD=8，△AB=2CD=16，故答案为：16．本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．14．12【解析】根据直角三角形的性质求出AC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．解：在Rt△ABC中，BE为斜边上的中线，BE＝4cm，则AC＝2BE＝2×4＝8（cm），△S△ABC＝12AC•BD＝12×8×3＝12（cm2），故答案为：12．本题考查的是直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．15．45°【解析】利用勾股定理可求出AB2，AC2，BC2的长，进而可得出AB2=AC2+BC2，AC=BC，利用勾股定理的逆定理可得出△ABC为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质，可得出△ABC=45°．解：连接AC，根据题意，可知：BC2=12+22=5，AC2=12+22=5，AB2=12+32=10．△AB2=AC2+BC2，AC=BC，△△ABC为等腰直角三角形，△△ABC=45°．故答案为：45°．本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，利用勾股定理的逆定理及AC=BC，找出△ABC为等腰直角三角形是解题的关键．16．36【解析】根据角平分线的定义、外角定理推知△ECF＝90°，然后在直角三角形ECF中利用勾股定理求CE2+CF2的值即可．△CE平分△ACB，CF平分△ACD，△△ACE＝12△ACB，△ACF＝12△ACD，△△ECF＝12(△ACB+△ACD)＝90°，又△EF△BC，CE平分△ACB，CF平分△ACD，△△ECB＝△MEC＝△ECM，△DCF＝△CFM＝△MCF，△CM＝EM＝MF＝3，△EF＝6，由勾股定理可知CE2+CF2＝EF2＝36，故答案为36．本题考查了直角三角形的性质-勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的性质，以及角平分线的定义，证明出△ECF是直角三角形是解决本题的关键．17．55°##55度【解析】由图示知：△DFC+△AFD=180°，则△DFC=35°．通过全等三角形Rt△BDE△△Rt△CFD （HL）的对应角相等推知△BDE=△CFD．解：△△DFC +△AFD =180°，△AFD =145°，△△CFD =35°．又△DE △AB ，DF △BC ，△△BED =△CDF =90°，在Rt △BDE 与△Rt △CFD 中，BE CD BD CF =⎧⎨=⎩， △Rt △BDE △△Rt △CFD （HL ），△△BDE =△CFD =35°，△△EDF +△BDE =△EDF +△CFD =90°，△△EDF =55°．故答案是：55°．本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．18．（1）证明见解析；（2）70AGC ∠=【解析】（1）根据角平分线的定义，得到△DAF =△CAF ，又根据//BC AF ，得到△DAF =△ABC ，△CAG =△ACB ，进一步得到△ABC =△ACB ，即可证明ABC 是等腰三角形；（2）在ACG 中，分别求得ACG ∠和CAG ∠的度数，利用三角形内角和求解即可．（1）证明：△AF 是△DAC 的角平分线△△DAF =△CAF又△//BC AF△△DAF =△ABC ，△CAG =△ACB△△ABC =△ACB∠AB=AC△ABC 是等腰三角形（2）△CG 是△ACE 的角平分线△△ACG =△ECG又△40B ∠=，△ACB =△B△40ACB ∠=△△ACG =△ECG =()118040702⨯-= 又△△CAG =△ACB△△AGC =180407070--=本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义等相关知识点，牢记知识点是解题关键．19．（1）=，（2）=，理由见解析，（3）2或6．【解析】（1）根据等边三角形的性质得出∠D ＝∠BED ＝30°，证BD ＝BE 即可．（2）结论：AE ＝BD ．如图2中，作EF ∥BC 交AC 于F ．只要证明△DBE ≌△EFC ，推出BD ＝EF ＝AE ，推出BD ＝AE ．（3）分两种情形讨论，类似（2）得出BD ＝AE ，根据线段和差即可解决问题． 解：（1）如图1中，∵△ABC 是等边三角形，AE ＝EB ，∴∠BCE ＝∠ACE ＝30°，∠ABC ＝60°，∵ED ＝EC ，∴∠D ＝∠ECD ＝30°，∵∠EBC ＝∠D +∠BED ，∴∠D ＝∠BED ＝30°，∴BD ＝BE ＝AE ．故答案为：＝．（2）结论：AE ＝BD ．理由如下：如图2中，作EF ∥BC 交AC 于F ．∴∠AEF ＝∠B ＝60°，∠ECB ＝∠CEF ，∵∠A ＝60°，∴△AEF 是等边三角形，∴AE ＝EF ＝AF ，∠AFE ＝60°，∴∠EFC ＝∠DBE ＝120°，∵AB ＝AC ，AE ＝AF ，∴BE ＝CF ，∵ED ＝EC ．∴∠D ＝∠ECD ＝∠CEF ，在△DBE 和△FEC 中，DBE EFC D CEF BE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBE ≌△EFC ，∴BD ＝EF ＝AE ，∴BD ＝AE ，故答案为：＝．（3）如图，当E 在BA 的延长线上时，作EF ∥BC 交CA 延长线于F ．同理可证△DBE ≌△EFC ，可得BD ＝EF =AE ＝4，CD ＝BD ﹣BC ＝4﹣2＝2．如图，当E在AB的延长线上时，作EF∥BC交AC的延长线于F，同理可证△EBD≌△CFE，可得BD＝EF=AE＝4，CD＝BD+BC＝4+2＝6．综上所述，CD的长为2或6．本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．20．（1）15°；（2）是，理由见解析．【解析】（1）由“对垂线”的定义可得AB'△BC，△ABD△△AB'D，则可得出△BAD=△B'AD，由等边三角形的性质得出△BAB'12=△BAC=30°，则由折叠的性质可得出答案；（2）由等腰三角形的性质得出△B=△BDA，可得出△DAC=△C12=△B，求出△B=60°，证得△AFD=90°，则可得出答案．解：（1）△AD是等边△ABC的对垂线，把△ABC沿直线AD折叠后，点B落在点B'处，△AB'△BC，△ABD△△AB'D，△△BAD =△B 'AD ．△△ABC 是等边三角形，△AB =AC ，△BAC =60°．又△AB '△BC ，△△BAB '12=△BAC =30°， △△BAD 12=△BAB '1302=⨯°=15°； （2）直线AD 是△ABC 的对垂线．理由如下：△AB =AD ，△△B =△BDA ．△△B =2△DAC ，△BDA =△DAC +△C ，△△DAC =△C 12=△B ． △△ABC 中，△BAC =90°，△△B +△C =90°，△△B 12+△B =90°， △△B =60°=△BDA ，△DAC =△C =30°．把△ADC 沿直线AD 折叠，设点C 落在C '处，直线AC '交BC 于点F ，则△ACD △△AC 'D ， △△DAC '=△DAC =30°，△△AFD 中，△AFD =180°﹣30°﹣60°=90°，即AC '△BC ，△AD 是△ABC 的对垂线．本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形“对垂线”的概念，折叠的性质，全等三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．21．(1)见解析;(2)见解析.【解析】（1）如果：“△B=△D”，根据△B 与△D 互补，那么△B=△D=90°，又因为△DAC=△BAC=30°，因此我们可在直角三角形ADC 和ABC 中得出，那么．（2）按（1）的思路，作好辅助线后，我们只要证明三角形CFD 和BCD 全等即可得到（1）的条件．根据AAS 可证两三角形全等，DF=BE ．然后按照（1）的解法进行计算即可．(1)证明：△△B ＝△D ＝90°，AC 平分△DAB ，△DAB ＝60°，△CD ＝CB ，△CAB ＝△CAD ＝30°.设CD ＝CB ＝x ，则AC ＝2x.由勾股定理，得AD，AB△AD ＋AB＝，即AB ＋AD(2)解：由(1)知，AE ＋AF△AC 为角平分线，CF△AD ，CE△AB ，△CF ＝CE ，△CFD ＝△CEB ＝90°.△△ABC 与△D 互补，△ABC 与△CBE 也互补，△△D ＝△CBE ，△△CDF△△CBE(AAS )．△DF ＝BE.△AB ＋AD ＝AB ＋(AF ＋FD)＝(AB ＋BE)＋AF ＝AE ＋AF本题考查了直角三角形全等的判定及性质；通过辅助线来构建全等三角形是解题的常用方法，也是解决本题的关键．22．（1）证明见解析；（2）9【解析】（1）根据已知条件得到ACD B ∠=∠，再根据角平分线的定义得到BCE DCE ∠=∠，即可得解；（2）根据含30度角的直角三角形的性质计算即可；解：（1）△90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，△90ACD A B A ∠+∠=∠+∠=︒，△ACD B ∠=∠，△CE 平分BCD ∠，△BCE DCE ∠=∠，△B BCE ACD DCE ∠+∠=∠+∠，即AEC ACE ∠=∠，△AC AE =．（2）△90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，△30ACD ∠=︒，30B ∠=︒，△Rt ACD △中，26AC AD ==，△Rt ABC △中，212AB AC ==，△1239BD AB AD =-=-=．本题主要考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定和含30度角的直角三角形，准确计算是解题的关键．23．（1）证明见解析；（2）周长为16+22．【解析】（1）先根据垂直的定义可得90ADB ADC ∠=∠=︒，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；（2）先根据全等三角形的性质可得5AB AC ==，从而可得5CE =，再利用勾股定理可得3CD BD ==，从而可得11,8BE DE ==，然后利用勾股定理可得AE =形的周长公式和面积公式即可得．（1）证明：AD BC ⊥，90ADB ADC ∴∠=∠=︒，在ABD △和ACD 中，AD AD ADB ADC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ACD SAS ∴≅，B ACB ∴∠=∠；（2）ABD ACD ≅，5AB =，5AB AC ∴==，CE CA =，5CE ∴=，5,4,AB AD AD BC ==⊥，3BD ∴=，BD CD =，3CD ∴=，11,8BE BD CD CE DE CD CE ∴=++==+=，AE ∴则ABE 的周长为51116AB BE AE ++=++=+ ABE 的面积为111142222BE AD ⋅=⨯⨯=． 本题考查了三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．24．这棵树在离地面6米处被折断【解析】设AC x =，利用勾股定理列方程求解即可.解：设AC x =，△在Rt ABC △中，222AC BC AB +=，△()222816x x +=-，△6x =．答：这棵树在离地面6米处被折断本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解．有时也可以利用勾股定理列方程求解．25．（1）1300AB =米；（2）见解析，1500米【解析】（1）如图，连接AB ，根据勾股定理即可得到结论；（2）如图，作点A 关于直线MN 的对称点A '，连接A 'B 交MN 于点P ．驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A 'B ，根据勾股定理即可得到结论．解：（1）如图，连接AB ，由题意知AC=500，BC=1200，△ACB=90°，在Rt△ABC中，△△ACB=90°，△AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000，△AB＞0△AB=1300米；（2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，由题意知AD=200米，A'C△MN，△A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900米，在Rt△A'BC中，△△ACB=90°，△A'B2=A'C2+BC2=9002+12002=2250000，△A'B＞0，△A'B=1500米，即从驿站到小明家和到小红家距离和的最小值为1500米．本题考查轴对称-最短问题，勾股定理，题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．26．（1）见解析；（2）AD=13．【解析】（1）先利用角平分线的性质定理得到DC=DE，再利用HL定理即可证得结论．（2）由△DCF△△DEB得CD=DE=5，CF=BE=4，进而有AC=12，在Rt△ACD中，利用勾股定理即可解得AD 的长．（1）△AD 平分△BAC ，DE△AB ，△C=90°，△DC=DE ，在Rt△DCF 和Rt△DEB 中，DC DE DF DB=⎧⎨=⎩， △Rt△DCF△Rt△DEB(HL)；（2）△△DCF△△DEB ，△CF=EB=4，△AC=AF+CF=8+4=12，又知DC=DE=5，在Rt△ACD 中，13=．本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握角平分线的性质定理和HL 定理证明三角形全等是解答的关键．27．见解析【解析】由ABC =△ACB ，得AB =AC ，再利用HL 证明R t △ABD △Rt △CAE ，得△DAB =△ECA ，由△ECA +△EAC =90°，等量代换即可证．证明：△BD △l ，CE △l△△ABD 和△CAE 为直角三角形△△ABC =△ACB△AB =AC又△BD =AE△Rt △ABD △Rt △CAE （HL ），△△DAB =△ECA△△ECA +△EAC =90°△△DAB +△EAC =90°△△BAC =90°△AB △AC本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是证Rt△ABD△Rt△CAE。
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15．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，CD⊥AB于D，AB=a，则DB等 于（ ）
（A） （B） （C） （D）以上结果都不对 16．如图4所示，△ABC中，AB=AC，过AC上一点作DE⊥AC，EF⊥BC，若
）
（A）100º （B）40º （C）70º （D）70º或40º
7、下列能断定△ABC为等腰三角形的是（
）
（A）∠A=30º、∠B=60º
（B）∠A=50º、∠B=80º
（C）AB=AC=2，BC=4
（D）AB=3、BC=7，周长为13
8、若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60º，那么这个三角形一
特殊三角形回顾
一、选择题
1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（
）
A 17 B 22 C 17或22 D 13
2、等边三角形的对称轴有
（）
A 1 条 B 2条 C 3条 D 4条
3、 以下列三个数为边长的三角形能组成直角三角形的是 （ ）
A 1, 1 ,2 B 5, 8 10 C 6 ,7 ,8 D 3 ,4 ,5
形是（ ）
（A）直角三角形
（B）钝角三角形
（C）可能是锐角三角形 （D）以上说法都不对
35.如图，等边⊿ABC的边长为3，P为BC上一点，且∠APD=800在AC上
取一点D，使AD=AP，则∠DPC的度数是………………………（ ）
A.100
B.150 C.200
D.250
二．填空题 1、一个等腰三角形底上的高、________和顶角的________互相重合。 2、在Rt△ABC中,∠C=90度,∠B=25度,则∠A=______度. 3、 等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为______. 4、已知等边三角形的周长为24cm，则等边三角形的边长为_______cm 5、Rt△ABC的斜边AB的长为10cm，则AB边上的中线长为________ 6、在Rt△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，BC=2cm，则AB=_____cm。 7、等边三角形两条高线相交所成的钝角为________度 8、若直角三角形的两个锐角之差为24度，则较大的锐角的度数是 _________ 。 9、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC与∠ACB的平分线AF、CE相交于点 D，且∠B=70º，则∠ADE的度数为_________ 10、如图，在Rt中，CD是AB边上的，∠A：∠B：∠C=1：2：3，CD⊥AB于D，AB=a，则DB等
于（ ）
（A） （B） （C） （D）以上结果都不对
33．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则其顶角为（ ）
（A）50°
（B）130°
（C）50°或130° （D）55°或130°
34．在一个三角形中，一条边是这条边上中线的2倍，，那么这个三角
4、 三角形内到三角形各边的距离都相等的点必在三角形的
（
）
A 中线上 B 角平分线上 C 高线上 D 不能确定
5、 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是
（
）
A 两个锐角对应相等
B 一条边和一个锐角对应相等
C 两条直角边对应相等 D 一条直角边和一条斜边对应相等
6、等腰三角形的一个顶角为40º，则它的底角为（
47．如图(2)所示，AC、BC分别平分∠BAE，∠ABF，如果△ABC的高
CD=8cm，那么点C到AE、BF的距离和等于_______．
48．如图(3)在 △ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB，垂足是E，D是AB的中
点，如果AB=10，
∠B =30°DE=_______．
49．等边三角形的边长为a，它的面积
（A）9 （B）35 （C）45 （D）无法计算
21. 一架2.5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚0.7m，那
么梯子的顶端距墙脚的距离是
()
A. 0.7m
B. 0.9m
C. 2.4m
D. 2.5m
22. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠C=90°，且
c2=2b2，则这个三角形有一个锐角为
定为（
）
A 等边三角形 B 等腰三角形 C 直角三角形 D 钝角三角形
9、如上图∠BCA=90，CD⊥AB，则图中与∠A互余的角有（
）个
A．1个 B、2个 C、3个 D、4个
10、正三角形ABC所在平面内有一点P，使得⊿PAB、⊿PBC、⊿PCA都是等
腰三角形，则这样的P点有（ ）
（A）1个 （B）4个 （C）7个 （D）10个
11.已知∠A=37°，∠B=53°，则△ABC为（ ） （A）锐角三角形 （B）钝角三角形 （C）直角三角形
（D）以上都有可能 12．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
（A）线段 （B）角 （C）等腰三角形 （D）直角三角形
13．已知一个三角形的周长为15cm，且其中两边长都等于第三边的2 倍，那么这个三角形的最短边为（ ） （A）1cm （B）2cm （C）3cm （D）4cm
边是_____. 41、已知△ABC中，AB=12，BC=9，那么当AC2=______或______时， △ABC是直角三角形. 42、如果一个直角三角形的三边为三个连续偶数，那么它的三边长为
. 43、等腰三角形的面积为48cm2，底边上的高为6cm，腰长为______. 44、如果的三边长满足关系式，则=________，=________，
（ ）
(A) 1，1， (B) (C) (D) ，，
25、如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边
扩大到原来的(
).
A.1倍 B. 2倍 C. 3倍
D. 4倍
26、在△ABC中，AB=15,AC=13,高AD=12,则三角形的周长是（ ）
（A）42
(B)32
(C)42或32
(D)37或33.
15．如图，在
中， 平分 ，若 ，则 ． 16．如图， ，AB的垂直平分线交AC于D，则 17．如图， 中，DE垂直平分 的周长为13，那么 的周长为__________．
18．如图，如果点M在
的平分线上且
厘米，则
，你的理由是_____________________________________________． 19．如图，已知
∠BDE=140°，则∠DEF=（ ） （A）55° （B）60° （C）65° （D）70°
(4)
(5)
(6)
17．一个三角形中，一条边是另一条边的2倍，并且有一角是30°，那
么这个三角形是（ ）
（A）直角三角形
（B）钝角三角形
（C）可能是锐角三角形 （D）以上说法都不对
18．如图5所示，在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：5：10，又△A′B′C
边的垂直平分线交
于点
，则
的周长为__________． 20．在△ABC中，到AB、AC距离相等的点在_______上． 21．在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，∠A=3∠B+10°，则∠B=_______． 22．△ABC为等腰直角三角形，D、E、F分别为AB、BC、AC边上的中点，
则图1中共有_____个等腰直角三角形．
()
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 75°
23. 有四个三角形，分别满足下列条件：
(1) 一个内角等于另外两个内角之和；(2) 三个内角之比为
3∶4∶5；
(3) 三边之比为5∶12∶13；
(4) 三边长分别为7、24、25.
其中直角三角形有
()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
24、下列数组中，是勾股数的是
(1)
(2)
(3)
23．现用火柴棒摆一个直角三角形，两直角边分别用了7根、24根长度
相同的火柴棒，则斜边需要用______根．
24．△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，E是AB的中点，如果
AB=10，BC=5，那么CE=_______，∠A=_____，∠B=______，
∠DCE=______，DE=_______．
．
50. E. F分别是Rt△ABC的斜边AB上的两点，AF=AC，BE=BC, 则
∠ECF=______．
28．在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥AC，交BC于D，若AB=a，则
CD=________． 29、等腰三角形底边长为
，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为
.则腰长为 30、如果等腰三角形的顶角等于36°，则底角等于_________度；如果 底角等于36°，那么顶角的度数为_________． 31、有一个角等于50°，另一个角等于__________的三角形是等腰三角 形． 32、有一个底角为
，那么它的三边长为______. 37、在Rt△ABC中，∠C=90°， ①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则 b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则 SRt△ABC=________。 38、直角三角形ABC中的斜边c=10,直角边a=6,则斜边上的中线是 ____________. 39、现有两根木棒的长度分别是40 cm和50 cm，若要钉成一个三角形木 架，其中有一个角为直角，则所需的木棒长度为_____________ 40、三角形的三边满足a2=b2+c2,这个三角形是______三角形，它的最大