2019届冀教版中考《第20讲特殊的平行四边形》知识梳理
特殊的平行四边形知识点归纳(2)(K12教育文档)
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矩形的性质:（1)边：矩形的对边平行且相等.（2）角:矩形的四个角都是直角。
（3）对角线：矩形的对角线相等且互相平分.（4）对称性：中心对称图形,轴对称图形(2或4)。
矩形的判定：(1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。
(2）对角线相等的平行四边形是矩形。
（3)对角线相等且互相平分的四边形是矩形(4)三个角都是直角的四边形是矩形.菱形的性质：(1）边：菱形的对边平行，且四条边都相等(2)角：菱形的对角相等,邻角互补 .（3）对角线:菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.(4)对称性：中心对称图形，轴对称图形（2或4条)(5）菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半菱形的判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形.（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（3）四边相等的四边形是菱形。
（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形.正方形的性质:（1）四边都相等，对边平行（2）四个角都是直角（3）对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
（4）中心对称图形，轴对称图形(4条对称轴）矩形的判定：（1）一组邻边相等的矩形是正方形（2）对角线互相垂直的矩形是正方形（3）一个角是直角的菱形是正方形（4）对角线相等的菱形是正方形.（5）对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形中点四边形：对角线相等的四边形中点四边形菱形对角线相等的四边形中点四边形菱形对角线垂直的四边形中点四边形矩形对角线相等且垂直的四边形中点四边形正方形。
2019届冀教版中考《第20讲特殊的平行四边形》知识梳理
第20讲特殊的平行四边形2)1边都相等的四有一个角是知识点二：特殊平行四边形的拓展归纳）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形如图，四边形的形状是矩形.过矩如图③PO.图①图②2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．为迎接体育中考,九年级(9)班八名同学课间练习垫排球,记录成绩(个数)如下：40,38,42,35,45,40,42,42,则这组数据的众数与中位数分别是( ) A ．40,41B ．42,41C ．41,42D ．42,402．一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，这个多边形的内角和是（ ） A ．360° B ．540°C ．180°或360°D ．540°或360°或180°3．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC ＝50°，点P 在AO 上（点P 不与点A ，O 重合），则∠BPC 的度数可能是（ ）A.100°B.80°C.40°D.30°4．下列运算正确的是（ ） A.222()x y x y +=+B.32361128xy x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭C.632x x x ÷=2=±5．在数﹣3，﹣（﹣2），01和2之间的数是（ ）A.﹣3B.﹣（﹣2）C.06．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，连接BD ．若BD 平分∠ABC ，则下列结论错误的是（ ）A ．BC=2BEB ．∠A=∠EDAC ．BC=2AD D ．BD ⊥AC7．某超市四月份赢利a 万元，计划五、六月份平均每月的增长率为x ，那么该超市第二季度共赢利（ ） A ．a （1+x ）万元B ．a （1+x ）2万元C ．a （1+x ）+a （1+x ）2万元D ．a+a （1+x ）+a （1+x ）2万元8．如图是某手机店去年5～9月份某品牌手机销售额统计图．根据图中信息，可以判断相邻两个月该品牌手机销售额变化最大的是（ ）A ．5月至6月B ．6月至7月C ．7月至8月D ．8月至9月9最接近的是（ ） A.1B.2C.3D.410．关于x 的一元二次方程x 2+kx ﹣3＝0有一个根为﹣3，则另一根为（ ） A ．1B ．﹣2C ．2D ．311．一个圆锥的主视图是边长为6cm 的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于（ ） A ．36 πcm 2B ．24πcm 2C ．18πcm 2D ．12 πcm 212．﹣π的绝对值是( ) A ．﹣π B ．3.14C ．πD ．1π二、填空题13．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形ABC 的顶点B 、C 的坐标分别为（2，0），（6，0），点N 从A 点出发沿AC 向C 点运动，连接ON 交AB 于点M ．当边AB 恰平分线段ON 时，则AN ＝_____．14．已知方程x 2－mx －3m ＝0的两根是x 1、x 2，若x 1＋x 2＝1，则 x 1x 2＝_______．15．规定：在平面直角坐标系xOy 中，“把某一图形先沿x 轴翻折，再沿y 轴翻折”为一次变化．如图，已知正方形ABCD ，顶点A （1，3），C （3，1）．若正方形ABCD 经过一次上述变化，则点A 变化后的坐标为 ，如此这样，对正方形ABCD 连续做2015次这样的变化，则点D 变化后的坐标为 ．16．分解因式：258x x -= ______.17．在背面完全相同四张不透明的卡片，正面分别印有下列函数解析式：21,2,,21y y x y x y x x==-+==+，将它们背面朝上洗均匀后，从中抽取一张卡片，则抽到的函数图像不过第四象限的卡片的概率是__________．18．如图，有一个横截面边缘为抛物线的水泥门洞，门洞内的地面宽度为8m ，两侧蹑地面4m 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m ，则这个门洞的高度为_______m .（精确到0.1m ）三、解答题19．入冬以来，我省的雾霾天气频发，空气质量较差，容易引起多种上呼吸道疾病.某电器商场代理销售A ，B 两种型号的家用空气净化器，已知一台A 型空气净化器的进价比一台B 型空气净化器的进价高200元；2台A 型空气净化器的进价与3台B 型空气净化器的进价相同. （1）求A ，B 两种型号的家用空气净化器的进价分别是多少元.（2）若商场购进这两种型号的家用空气净化器共50台，其中A 型家用空气净化器的数量不超过B 型家用空气净化器的数量，且不少于16台，设购进A 型家用空气净化器m 台. ①求m 的取值范围；②已知A 型家用空气净化器的售价为每台800元，销售成本为每台2n 元；B 型家用空气净化器的售价为每台550元，销售成本为每台n 元.若25100n ≤≤，求售完这批家用空气净化器的最大利润w （元）与n （元）的函数关系式.（每台销售利润=售价-进价-销售成本）20．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，经过点O 的直线交AB 于E ，交CD 于F ． 求证：OE ＝OF ．21．如图所示，P 是⊙O 外一点，PA 是⊙的切线，A 是切点，B 是⊙O 上一点，且PA ＝PB ，连接AO 、BO 、AB ，并延长BO 与切线PA 相交于点Q ． （1）求证：PB 是⊙O 的切线； （2）求证：AQ•PQ＝BQ•OQ； （3）设∠P ＝α，若tan ɑ＝34，AQ ＝3，求AB 的长．22．为弘扬传统文化，某校举行“校园谜语大赛”，比赛结束后,组织者将所有参赛选手的比赛成绩(得分均为5的倍数)进行整理,并分别绘制成扇形统计图和频数直方图，部分信息如下:(1)本次比赛参赛选手共有人，其中65分有人，80分有人；(2)赛前规定,成绩达到平均分的参赛选手即可获奖.某参赛选手的比赛成绩为75分,试判断他能否获奖,并说明理由；(3)成绩前四名是2名男生和2名女生,若从他们中任选2人作为获奖代表发言,试求恰好选中1男1女的概率.23．2019年3月30日，四川省凉山州木里县境内发生森林火灾，30名左右的扑火英雄牺牲，让人感到痛心，也再次给我们的防火安全意识敲响警钟．为了加强学生的防火安全意识，某校举行了一次“防火安全知识竞赛”（满分100分），赛后从中抽取了部分学生的成绩进行整理，并制作了如下不完整的统计图表：请根据图表提供的信息，解答下列各题：（1）补全频数分布直方图和扇形统计图；（2）分数段80≤x＜90对应扇形的圆心角的度数是°，所抽取的学生竞赛成绩的中位数落在区间内；（3）若将每组的组中值（各组两个端点的数的平均数）代表各组每位学生的竞赛成绩，请你估计该校参赛学生的平均成绩．24．已知点A(﹣1，4)在反比例函数y ＝k x 的图象上，B(﹣4，n)在正比例函数y ＝12x 的图象上 (1)写出反比例函数y ＝kx的解析式； (2)求出点B 的坐标．25．先化简，再求值：22325x 2x x 2x 2x 4+⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭，其中x 是满足2x 2-≤≤的整数．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．2 14．－315．（－1，－3）；（－3，－3） 16．(58)x x -17．3418．1 三、解答题19．（1）A 型进价600元/台，B 型进价400元/台.（2）①m 的取值范围为1625m ≤≤且为整数.②87507025507500505083006650100n n w n n n n -≤<⎧⎪=-=⎨⎪-<≤⎩【解析】 【分析】（1）设A 型进价x 元/台，B 型进价y 元/台，由题意得：20023x y x y-=⎧⎨=⎩，解方程组可得；（2）①由题意得：5016m m m ≤-⎧⎨≥⎩，②分段分析可得：87507025507500505083006650100n n w n n n n -≤<⎧⎪=-=⎨⎪-<≤⎩.【详解】解：（1）设A 型进价x 元/台，B 型进价y 元/台，由题意得：20023x y x y-=⎧⎨=⎩，∴600x =，400y =，∴A 型进价600元/台，B 型进价400元/台. （2）①由题意得：5016m mm ≤-⎧⎨≥⎩，∴1625m ≤≤，∴m 的取值范围为1625m ≤≤且为整数.②由题意得：(8006002)(550400)(50)w n m n m =--⋅+---(50)507500n m n =--+.∵25100n ≤≤，1）当2550n ≤<时，500n ->，w 随着m 的增大而增大， ∵1625m ≤≤，∴当25m =时，w 最大，max 875070w n =-. 2）当50n =时，750050w n =-.3）当50100n <≤时，500n -<，w 随着m 的增大而减小， ∴当16m =时，w 最大，max 830066w n =-.综上：87507025507500505083006650100n n w n n n n -≤<⎧⎪=-=⎨⎪-<≤⎩.【点睛】考核知识点：一次函数综合运用.分段分析问题是关键. 20．见解析. 【解析】 【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得OA ＝OC ，AB ∥CD ，又由∠AOE ＝∠COF ，易证得△OAE ≌△OCF ，则可得OE ＝OF ． 【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，AB ∥CD ， ∴∠OAE ＝∠OCF ， ∵在△OAE 和△OCF 中，AOE COF OA OCOAE OCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△OAE≌△OCF（ASA），∴OE＝OF．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．21．（1）证明见解析（2）证明见解析（3）5【解析】【分析】（1）易证△PAO≌△PBO（SSS），根据全等三角形的性质结合切线的性质，即可得出∠PBO＝90°，进而即可证出PB是⊙O的切线；（2）根据同角的补角相等可得出∠AOQ＝∠APB，根据等腰三角形及全等三角形的性质可得出∠ABQ＝∠OPQ，结合∠AQB＝∠OQP即可证出△QAB∽△QOP，根据相似三角形的性质可得出AQ BQOQ PQ=，即AQ•PQ＝BQ•OQ；（3）设AB与PO交于点E，则AE⊥PO，通过解直角三角形可求出OA的长度，结合（2）的结论可得出PQ 的长度，利用勾股定理可得出PO的长度，利用面积法即可得出AE的长度，进而即可求出AB的长度．【详解】（1）证明：在△PAO和△PBO中，PA PB AO BO PO PO=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△PAO≌△PBO（SSS），∴∠PBO＝∠PAO．∵PA是⊙的切线，A是切点，∴∠PAO＝90°，∴∠PBO＝90°，∴PB是⊙O的切线．（2）证明：∵∠APB+∠PAO+∠AOB+PBO＝360°，∴∠APB+∠AOB＝180°．又∵∠AOQ+∠AOB＝180°，∴∠AOQ＝∠APB．∵OA＝OB，∴∠ABQ＝∠BAO＝12∠AOQ．∵△PAO≌△PBO，∴∠OPQ＝∠OPB＝12∠APB，∴∠ABQ＝∠OPQ．又∵∠AQB＝∠OQP，∴△QAB ∽△QOP ， ∴AQ BQOQ PQ=，即AQ•PQ＝BQ•OQ． （3）解：设AB 与PO 交于点E ，则AE ⊥PO ，如图所示． ∵∠AOQ ＝∠APB ， ∴tan ∠AOQ ＝34． 在Rt △OAQ 中，∠OAQ ＝90°，tan ∠AOQ ＝34，AQ ＝3，∴AO ＝4，OQ ＝5= ，∴BQ ＝BO+OQ ＝9． ∵AQ•PQ＝BQ•OQ， ∴PQ ＝15， ∴PA ＝PQ ﹣AQ ＝12，∴PO = ．由面积法可知：AE ＝PA AD PQ ⋅=，∴AB ＝2AE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、三角形的面积以及解直角三角形，解题的关键是：（1）利用全等三角形的性质找出∠PBO ＝∠PAO ＝90°；（2）根据相似三角形的判定定理找出△QAB ∽△QOP ；（3）利用面积法求出AE 的长度． 22．（1）50，7，8；（2）他可以获奖；理由见解析；（3）()23P =一男一女. 【解析】 【分析】（1）用“55～60”这组的人数除以它所占的百分比可得到调查的总人数；再计算出“85～90”这一组人数占总参赛人数的百分比，然后用1分别减去其它三组的百分比得到“65～70”这一组人数占总参赛人数的百分比，分别计算“65-70”和“75-80”这两组的人数，即可求解；（2）求出平均数即可判断他能不能获奖；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中1男1女的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）（2+3）÷10%=50， （8+4）÷50=24%， 1-10%-24%-36%=30%， 50×30%=15（人），∴得65分的人数为：15-8=7（人）， 50×36%=18（人），∴得分为80分的人数为：18-10=8（人）. （2）()1552603657708751080885890450x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 1373574.77550=⨯=<， ∴他可以获奖. （3）法1：列表如下：由列表法可得，所有等可能的结果共有12种，其中一男一女有8种 ∴()82123P ==一男一女. 法2：画树状图如下：由树状图可得，所有等可能的结果共有12种，其中一男一女有8种， ∴()82123P ==一男一女. 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．也考查了统计图． 23．（1）详见解析；（2）144，80≤x＜90；（3）估计该校参赛学生的平均成绩是83分．【解析】【分析】（1）用A组的人数除以所占的百分比得出抽取的学生总数，再用数据总数减去A、B、C、E四个组的人数可得D组人数，补全频数分布直方图；用D组人数除以数据总数得出D组所占百分比，同理求出E组所占百分比，补全扇形统计图；（2）用360°乘以D组所占百分比即可求出分数段80≤x＜90对应扇形的圆心角的度数；根据中位数的定义，将这组数据按照从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数据（或中间两数据的平均数）即为中位数；（3）先利用加权平均数的计算公式求出样本平均数，再利用样本估计总体的思想解决问题即可．【详解】解：（1）样本容量是：10÷5%＝200，D组人数是：200﹣（10+20+30+60）＝80（人），D组所占百分比是：80200×100%＝40%，E组所占百分比是：60200×100%＝30%．补全频数分布直方图和扇形统计图如图所示：（2）分数段80≤x＜90对应扇形的圆心角的度数是：360°×0.40＝144°；一共有200个数据，按照从小到大的顺序排列后，第100个与第101个数据都落在D组，所以所抽取的学生竞赛成绩的中位数落在80≤x＜90区间内．故答案为144，80≤x＜90；（3）（55×10+65×20+75×30+85×80+95×60）÷200＝83（分）．所以估计该校参赛学生的平均成绩是83分．【点睛】本题考查读频数（率）分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了中位数、平均数以及利用样本估计总体．24．(1)4yx；(2)点B的坐标为：(﹣4，﹣2)．【解析】【分析】(1)把A(﹣1，4)代入反比例函数y ＝kx 即可求解； (2) 把B(﹣4，n)代入正比例函数y ＝12x 即可求解.【详解】解：(1)∵点A(﹣1，4)在反比例函数y ＝kx的图象上， ∴k ＝(﹣1)×4＝﹣4，∴反比例函数的解析式为：4y x =． (2)∵B(﹣4，n)在正比例函数y ＝12x 的图象上，∴12×(-4)=n ， ∴n ＝﹣2，即点B 的坐标为：(﹣4，﹣2)． 【点睛】本题考查的是反比例函数和正比例函数，熟练掌握两者是解题的关键. 25．1x，当x=1时，原式=1；当x=-1时，原式=-1. 【解析】 【分析】先计算括号内的加法，然后将除法转换成乘法进行约分化简，最后选取符合题意的x 代入求值. 【详解】原式=223(2)2(2)5x 2x(x 2)(2)x 4x x x ++-+÷+--，52(x 2)(2)(x 2)(2)(52)x x x x x ++-=⨯+-+1x=， ∵x≠±2且x≠0， 当x=1时，原式=1； 当x=-1时，原式=-1 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题关键.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．某种速冻水饺的储藏温度是－18℃±2℃，四个冷藏室的温度如下，则不适合储藏此种水饺的是( ) A．－17℃B．－22℃C．－18℃D．－19℃2．已知反比例函数2y-x=，点A（a-b，2），B（a-c，3）在这个函数图象上，下列对于a，b，c的大小判断正确的是（）A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜b＜aD．b＜c＜a3．使分式33x-有意义的x的取值范围是（）A．x≤3B．x≥3C．x≠3D．x＝34．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，把矩形折叠，使点D与点B重合，点C落在点E处，则折痕FG的长为（）A．2.5 B．3 C D．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°．将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得△A′B′C，且点B在A′B′上，CA′交AB于点D，则∠BDC的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°6．正方形地板由9块边长均相等的小正方形组成，米粒随机地撒在如图所示的正方形地板上，那么米粒最终停留在黑色区城的概率是（）A．13B．29C．23D．497．在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为BD上一点，且BE＝2DE．若△DEC的面积为2，则△AOB的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．68．下列计算正确的是（）A．（a3）3＝a6B．a6÷a2＝a3C．a5+a3＝a8D．a•a3＝a49．如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C,分别以点A、C为圆心，以BC、AB的长为半径画弧，两弧交于点D,分别连接AD、CD,得到的四边形ABCD是平行四边形.根据上述作法，能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形10．若反比例函数y＝2kx-的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是( )A．k＜2 B．k＞﹣2 C．k＜﹣2 D．k＞211．一艘轮船从A港出发，沿着北偏东63︒的方向航行，行驶至B处时发现前方有暗礁，所以转向北偏西27︒方向航行，到达C后需要把航向恢复到出发时的航向，此时轮船航行的航向向顺时针方向转过的度数为（）A.63︒B.27︒C.90︒D.50︒12．下列式子运算正确的是（）1=-== D.(331=-二、填空题13．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，延长BC到点D，则∠ACD＝______°.14．如图所示，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于E 点，对角线BD 交AG 于F 点．已知FG ＝2，则线段AE 的长度为_____．15．已知关于x 的方程（a+2）x 2﹣2ax+a=0有两个不相等的实数根x 1和x 2， 抛物线y=x 2﹣（2a+1）x+2a﹣5与x 轴的两个交点分别为位于点（2，0）的两旁，若|x 1|+|x 2a 的值为________．16．011(260()23x tan -+︒--+． 17．若m 、n 互为倒数，则mn 2﹣（n ﹣3）的值为_____．18．在矩形ABCD 中，AD ＝12，E 是AB 边上的点，AE ＝5，点P 在AD 边上，将△AEP 沿FP 折叠，使得点A 落在点A′的位置，如图，当A′与点D 的距离最短时，△A′PD 的面积为_____．三、解答题19．某商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每周可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每周就会少卖出5件，但每件售价不能高于55元，设每件商品的售价上涨x 元(x 为整数)，每周的销售利润为y 元．(1)求y 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；(2)每件商品的售价为多少元时，每周可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)每件商品的售价定为多少元时，每周的利润恰好是2145元？20．如图，菱形ABCD 中，∠A=120°，E 是AD 上的点，沿BE 折叠△ABE ，点A 恰好落在BD 上的点F ，求∠BFC 的度数是．21．已知Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠C ＝30°，F 为AC 的中点．⊙O 是以AF 为直径的圆，交AB 于点D ，交BF 于点 E ．（1）过E 点作⊙O 的切线，并标出它与BD 的交点M （要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接ME ，求证：ME 是线段BD 的垂直平分线．22．如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 上一点，连接AE ．过点D 作DM ⊥AE ，垂足为M ，⊙O 经过点A ，B ，M ，与AD 相交于点F ． （1）求证：△ABM ∽△DFM ；（2）若正方形ABCD 的边长为5，⊙O DE 的长．23．传统文化与我们生活息息相关，中华传统文化包括古文古诗、词语、乐曲、赋、民族音乐、民族戏剧、曲艺、国画、书法、对联、灯谜、射覆、酒令、歇后语等．在中华优秀传统文化进校园活动中，某校为学生请“戏曲进校园”和民族音乐”做节目演出，其中一场“戏曲进校园”的价格比一场“民族音乐”节目演出的价格贵600元，用20000元购买“戏曲进校园”的场数是用8800元购买“民族音乐节目演出场数的2倍，求一场“民族音乐”节目演出的价格． 24．先化简再求值．222142444a a a a a a a ⎛⎫+-+-÷ ⎪---+⎝⎭ ，其中a 为满足不等式组102251a a a -<⎧⎨-<+⎩的整数解25．计算：14011(2018)|12sin 602π-︒⎛⎫-+---+- ⎪⎝⎭【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．80 14．1215．﹣1 16． 17．3 18．403三、解答题19．(1)y ＝﹣5x 2+130x+1800(0≤x≤15且x 取整数)；(2)当售价为53元时，可获得最大利润2645元；(3)售价为43元时，每周利润为2145元． 【解析】 【分析】（1）知道销售利润=利润×销售数量，结合题意，列出函数；（2）找出函数的对称轴x ＝13，分析函数中y 随x 在对称轴左右两侧的增减性，得到最大利润值.（3）将2145代入函数5x 2+130x+1800＝y 中的y ，解函数，得到答案. 【详解】 (1)由题意得：y ＝(40+x ﹣30)(180﹣5x)＝﹣5x 2+130x+1800(0≤x≤15且x 取整数) (2)对称轴：x ＝﹣2b a ＝﹣13052-⨯ ＝13， ∵a ＝﹣5＜0，∴在对称轴左侧，y 随x 增大而增大，∴当x ＝13时，y 最大值＝﹣5×132+130×13+1800＝2645， ∴售价＝40+13＝53元答：当售价为53元时，可获得最大利润2645元． (3)由题意得：﹣5x 2+130x+1800＝2145 解之得：x ＝3或23(不符合题意，舍去) ∴售价＝40+3＝43元．答：售价为43元时，每周利润为2145元． 【点睛】本题考查了一元二次函数的应用，根据题意得出等量关系是解题的关键. 20．75° 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得AB=BC ，∠A+∠ABC=180°，BD 平分∠ABC ，然后再计算出∠FBC=30°，再证明FB=BC ，再利用等边对等角可得∠BFC=∠BCF ，利用三角形内角和可得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC ，∠A+∠ABC=180°，BD 平分∠ABC ， ∵∠A=120°， ∴∠ABC=60°，∴∠FBC=30°，根据折叠可得AB=BF，∴FB=BC，∴∠BFC=∠BCF=（180°-30°）÷2=75°，故答案为：75°．【点睛】此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．21．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）连接OE，过点E作MN⊥OE交AB于M，交AC于N；（2）先证明OE∥AB得到EM⊥BD，再证明△BDE为等边三角形，从而得到ME是线段BD的垂直平分线．【详解】解：（1）如图，ME为所作；（2）∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，∴∠A＝60°，∵F为AC的中点，∴FA＝FB＝FC，∴△ABF为等边三角形，∴∠AFB＝∠ABF＝60°，而OF＝OE，∴△OEF为等边三角形，∴∠EOF＝60°，∴∠EOF＝∠A，∴OE∥AB，而OE⊥ME，∴AB⊥EM，∵∠BDE＝∠AFE＝60°，∴△BDE为等边三角形，∴ME是线段BD的垂直平分线．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的性质． 22．（1）见解析;(2) 253【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD 为正方形，可得∠BAM ＝∠ADM ，再由四边形BAFM 为圆内接四边形，可得∠ABM ＝∠MFD ，可以求证；（2）连接BF ，得BF 为直径，由勾股定理可得到AF 的长，从而得FD ＝3，因为△ABM ∽△DFM ，所以有53AB AM DF DM ==，而易证△ADM ∽△DEM ，可得DE AMAD DM=，即可得DE 的长度． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠BAD ＝90°， ∴∠BAM+∠MAF ＝90°， ∵DM ⊥AE ，∴∠MAD+∠ADM ＝90°， ∴∠BAM ＝∠ADM ，∵四边形BAFM 为圆内接四边形 ∴∠ABM+∠AFM ＝180° ∴∠ABM ＝∠MFD ∴△ABM ∽△DFM （2）如图，连接BF ， ∵∠BAF ＝90°，BF 为直径∴在Rt △ABF 中，由勾股定理得AF 2， ∴FD ＝3， ∵△ABM ∽△DFM ， ∴53AB AM DF DM ==， ∵∠DEM ＝∠ADM ，∠AMD ＝∠DME ＝90°， ∴△ADM ∽△DEM ，∴DE AMAD DM=， ∴DE ＝53•AD＝553⨯＝253【点睛】此题主要考查相似三角形的判定及性质，本题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．23．一场“民族音乐”节目演出的价格为4400元．【解析】【分析】设一场“民族音乐”节目演出的价格为x 元，根据等量关系：用20000元购买“戏曲进校园”的场数是用8800元购买“民族音乐节目演出场数的2倍列出分式方程求解即可.【详解】设一场“民族音乐”节目演出的价格为x 元，则一场“戏曲进校园”的价格为（x+600）元． 由题意得：2000088002600x x=⨯+ 解得：x ＝4400经检验x ＝4400是原分式方程的解．答：一场“民族音乐”节目演出的价格为4400元．【点睛】本题运用了分式方程解应用题，找准等量关系列出方程是解决问题的关键.24．11248,()()a a --+ 【解析】【分析】先算括号内的减法（通分后化成同分母的分式，再按同分母的分式相加减法则计算），同时把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，求出不等式组的整数解，取使分式有意义的数代入求出即可．【详解】 解：原式＝21122(2)4a a a a a ⎡⎤---⋅⎢⎥--+⎣⎦＝212(2)4a a a --⋅-+ ＝1(2)(4)a a --+， 解不等式组得﹣1＜a ＜1，则a ＝0， 所以原式＝11248-=-⨯． 【点睛】本题考查了分式的加减、乘除法则和不等式组的整数解、分式有意义的条件等知识点，解此题的关键是把分式进行化简和确定字母的值，题目比较好．25．1【解析】【分析】直接利用零指数幂、负指数幂的性质以及绝对值的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【详解】-+---⨯解：原式＝11(2)122＝﹣﹣1＝1．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确应用整数指数幂和绝对值的性质化简各数是解题关键．。
平行四边形及特殊平行四边形知识点总结
平行四边形及特殊平行四边形知识点总结平行四边形、矩形、菱形、正方形的共同性质是：对边平行且相等，对角线相等。
其中，矩形还有一个特殊性质是有一个角为直角，菱形还有一个特殊性质是四条边相等，正方形则同时满足矩形和菱形的特殊性质。
2.判定方法小结：1)判定平行四边形的方法：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③两组对角分别相等；④对角线互相平分；⑤一组对边平行且相等。
2)判定矩形的方法：①有一个角是直角；②对角线相等；③有三个角是直角；④对角线相等且互相平分。
3)判定菱形的方法：①有一组邻边相等；②对角线互相垂直；③四边都相等；④对角线互相垂直平分。
4)判定正方形的方法：①有一组邻边相等且有一个角是直角；②对角线互相垂直且相等；③对角线互相垂直平分且相等。
3.基础达标训练：1）两条对角线的四边形是平行四边形；2）两条对角线的四边形是矩形；3）两条对角线的四边形是菱形；4）两条对角线的四边形是正方形；5）两条对角线的平行四边形是矩形；6）两条对角线的平行四边形是菱形；7）两条对角线的平行四边形是正方形；8）两条对角线的矩形是正方形；9）两条对角线的菱形是正方形。
1．以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多能作1个。
2．若平行四边形的一边长为10cm，则它的两条对角线的长度可以是8cm和12cm。
3.在平行四边形ABCD中，直线通过两对角线交点O，分别与BC和AD相交于点E和F。
已知BC=7，CD=5，OE=2，则四边形ABEF的周长为多少？答案：C。
16解析：根据平行四边形的性质，AE=CD=5，BF=BC=7.由于OE=2，因此EF=BC-OE=5.所以ABEF是一个边长分别为5和7的矩形，周长为2（5+7）=16.4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长为多少？答案：B。
6解析：由于CE∥BD，DE∥AC，因此三角形AOD和BOC相似，三角形COE和DOE相似。
特殊的平行四边形章节知识点归纳(全)
5. 矩形的性质
A
D
） ）
O
B
C
（1）∵四边形 ABCD 是矩形
∴∠DAB=∠ABC =∠BCD=∠CDA=90°（
）
（2）∵四边形 ABCD 是矩形 ∴AC=BD（ OA=OC= OB=OD（
） ）
6. 矩形的判定
A
D
O
B
C
（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，且∠BAD=90°
∴□ABCD 是矩形（
（2）∵四边形 ABCD 是正方形
∴AC=BD（
）
AC⊥BD，且 OA=OC= OB=OD（
8. 正方形的判定
A
D
） ）
）
O
B
C
（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，且∠BAD=90° ，AB=BC
∴□ABCD 是正方形（
）
（2）∵四边形 ABCD 是菱形，且∠BAD=90°
∴菱形 ABCD 是正方形（
）
（2）∵四边形 ABCD 是平行四边形，且 AC=BD
∴□ABCD 是矩形（
）
（3）∵∠DAB=∠ABC =∠BCD =90°
∴四边形 ABCD 是矩形（
）
7. 正方形的性质
A
D
O
B
C
（1）∵四边形 ABCD 是正方形 ∴AB= BC =CD=AD（ ∠DAB=∠ABC =∠BCD=∠CDA=90°（
（正方形既是菱形也是矩形）
4. 菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 四条边相等的四边形是菱形.
5. 矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形； 有三个角是直角的四边形是矩形.
特殊的平行四边形知识梳理
【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.3. 掌握三角形中位线定理. 【要点梳理】 要点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）对边平行且相等； （2）对角相等；邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形. 3．面积：4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形． 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 要点诠释：平行线的性质：高底平行四边形⨯=S（1）平行线间的距离都相等； （2）等底等高的平行四边形面积相等.要点二、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角； （3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形.（3）有三个角是直角的四边形是矩形. 要点诠释：由矩形得直角三角形的性质： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． 要点三、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线宽＝长矩形 S平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形.要点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2．性质：（1）对边平行； （2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角； （5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形；2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S =S 正方形12（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【知识网络】例1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等 B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直例2、如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5 D．4例3、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2，∠ABC=60°，则BD的长为（）A．2 B．3C．D．2例4、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，过点O作OH ⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH等于（）A．2 B．C．D．例5、如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60°的菱形，剪口与折痕所成的角a的度数应为．例1、如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC、BD的交点，点E为BC上一点，连接EO，并延长交AD于点F，则图中全等三角形共有（）A．3对B．4对C．5对D．6对例2、如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2，DE=2，则四边形OCED的面积（）A．2 B．4C．4D．8例3、如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下面的结论：①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE =S△COE，其中正确结论有（）A．1个 B．2个C．3个D．4个例4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，则DC和EF的大小关系是（）A．DC＞EF B．DC＜EFC．DC=EF D．无法比较例5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B=50°，则∠ACB′=．例1、下列说法正确的是（）A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形例2、已知：如图，∠MON=45°，OA1=1，作正方形A1B1C1A2，面积记作S1；再作第二个正方形A2B2C2A3，面积记作S2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，面积记作S3；点A1、A2、A3、A4…在射线ON上，点B1、B2、B3、B4…在射线OM上，…依此类推，则第6个正方形的面积S6是（）A．256 B．900 C．1024 D．4096例3、如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点，若AM=2，则正方形的边长为（）A．4 B．3 C．2+ D．例4、如图，正方形AEFG的顶点E，G在正方形ABCD的边AB，AD上，连接BF，DF．则BE：CF的值为．例5、如图，正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，使B，C，E三点在同一直线上，连接BF，交CD与点G．（1）求证：CG=CE；（2）若正方形边长为4，求菱形BDFE的面积．。
贵州中考数学知识点梳理 第20讲 特殊平行四边形
边形中 的解题 模型
图①
图②
图③
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ图④
=2S△ABD =4S△AOB （1）定义法：有一个角是直 角，且有一组邻边相等的平 行四边形 （2）一组邻边相等的矩形 （3）一个角是直角的菱形 （4）对角线相等且互相垂直、 平分
关键点拨及对应举例
(1)矩形中,Rt△ABD≌Rt△DCA≌ Rt△CDB≌Rt△BAC; _两 对全等 的等腰三角形.所以经常结合勾股 定理、等腰三角形的性质解题. （2）菱形中，有两对全等的等腰 三角形；Rt△ABO≌Rt△ADO≌ Rt△CBO≌Rt△CDO;若∠ ABC=60°，则△ABC 和△ADC 为 等边 三角形，且四个直角三 角形中都有一个 30°的锐角. （3）正方形中有 8 个等腰直角三 角形，解题时结合等腰直角三角 形的锐角为 45°，斜边=直角边.
如图，四边形 ABCD 为菱形， 则其中点四边形 EFGD 的形状是矩形.
5.特殊四
（1）矩形：如图①，E 为 AD 上任意一点，EF 过矩形中心 O，则△AOE≌△COF,S1=S2. （2）正方形:如图②，若 EF⊥MN，则 EF=MN;如图③，P 为 AD 边上任意一点，则 PE+PF=AO. （变式：如图④，四边形
（1）四边相等 （2）对角线互相垂直、平
分，一条对角线平分一组 对角 （3）面积=底×高
=对角线_乘积的一半 （1）定义法：有一组邻边
相等的平行四边形 （2）对角线互相垂直的平
行四边形 （3）四条边都相等的四边 形
正方形
(1)四条边都相等，四个角都是 直角
(2)对角线相等且互相垂直平分 (3)面积=边长×边长
特殊的平行四边形初中数学知识点总结
特别的平行四边形初中数学知识点总结一、特别的平行四边形1.矩形：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形。
（2）性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线均分且相等。
（3）判断定理：①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
②对角线相等的平行四边形是矩形。
③有三个角是直角的四边形是矩形。
直角三角形的性质：直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半。
2.菱形：（1）定义：邻边相等的平行四边形。
（2）性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线相互垂直，而且每一条对角线均分一组对角。
（3）判断定理：①一组邻边相等的平行四边形是菱形。
②对角线相互垂直的平行四边形是菱形。
③四条边相等的四边形是菱形。
（4）面积：3.正方形：（1）定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。
（2）性质：四条边都相等，四个角都是直角，对角线相互垂直均分。
正方形既是矩形，又是菱形。
（3）正方形判断定理：①对角线相互垂直均分且相等的四边形是正方形；②一组邻边相等，一个角为直角的平行四边形是正方形；③对角线相互垂直的矩形是正方形；④邻边相等的矩形是正方形⑤有一个角是直角的菱形是正方形；⑥对角线相等的菱形是正方形。
二、矩形、菱形、正方形与平行四边形、四边形之间的联系：1.矩形、菱形和正方形都是特别的平行四边形，其性质都是在平行四边形的基础上扩大来的。
矩形是由平行四边形增添“一个角为90°”的条件获得的，它在角和对角线方面拥有比平行四边形更多的特征；菱形是由平行四边形增添“一组邻边相等”的条件获得的，它在边和对角线方面拥有比平行四边形更多的特征；正方形是由平行四边形增添“一组邻边相等”和“一个角为90°”两个条件获得的，它在边、角和对角线方面都拥有比平行四边形更多的特征。
2.矩形、菱形的判断能够依据出发点不一样而分红两类：一类是以四边形为出发点进行判断，另一类是以平行四边形为出发点进行判断。
而正方形除了上述两个出发点外，还能够从矩形和菱形出发进行判断。
特殊平行四边形知识点
第六章特殊平行四边形补充说明：1、在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。
旋转前后图形上能够重合的点叫做对称点。
例如：矩形，菱形，正方形，平行四边形2、如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
例如：长方形,正方形,菱形一、平行四边形1、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形2、平行四边形的性质：①对边平行②对边相等③对角相等④对角线互相平分3、平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形②两组对边分别相等的四边形③一组对边平行且相等的四边形④两组对角分别相等的四边形⑤对角线互相平分的四边形二、菱形1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫菱形2、菱形的性质：①具备平行四边形的所有性质.②菱形的四条边都相等.③菱形的对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角．④菱形既是中心对称图形,又是轴对称图形,它有2条对称轴3、菱形的判定：①一组邻边相等的平行四边形是菱形．②对角线互相垂直的平行四边形是菱形．③四条边都相等的四边形菱形．4、菱形的面积与两对角线的关系：菱形的面积等于两对角线乘积的一半，也等于底*高注意：对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线乘积的一半三、矩形1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．2、矩形的性质：①具备平行四边形的所有性质②矩形的四个角都是直角.③矩形的对角线相等．④矩形既是中心对称图形,又是轴对称图形,它有2条对称轴3、矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形③有三个角是直角的四边形是矩形．4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.5、勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.6、在直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半7、矩形的面积：长*宽；矩形的周长：2*（长+宽）四、正方形1、正方形的定义：有一组邻边相等的矩形叫正方形2、正方形的性质：①正方形的四个角都是直角②正方形的四条边都相等③正方形的对角线相等且互相垂直平分④正方形是中心对称图形，又是轴对称图形，它有四条对称轴3、正方形的判定：①对角线相等的菱形是正方形②有一个角是直角的菱形是正方形③对角线互相垂直的矩形是正方形④有一组邻边相等的矩形是正方形4、正方形的面积与两对角线的关系：正方形的面积等于两对角线乘积的一半正方形面积：边长*边长；正方形周长：4*边长。
特殊平行四边形知识点总结
特殊平行四边形知识点总结
嘿，朋友们！今天咱要来聊聊特殊平行四边形的知识点，这可太重要啦！
先来说说矩形吧。
矩形啊，就像是一个四平八稳的大力士。
比如说家里的门，大多都是矩形的吧。
它的四个角都是直角，这多稳当呀！而且对角线还相等呢！那可是相当厉害。
想象一下，如果门不是矩形的，是歪七扭八的形状，那可怎么开关呀！
接着是菱形。
菱形就像一个灵活的小精灵。
路上的一些交通标识牌就是菱形的哦！菱形的四条边都相等，多整齐。
还有啊，它的对角线互相垂直平分，是不是很神奇！就好像小精灵在空中灵活地飞舞。
还有正方形呢，正方形那可是特殊中的特殊呀！它既有矩形的特点，又有菱形的特点，简直就是个超级英雄！咱教室里的地砖很多就是正方形呢。
四周都相等，角也都是直角，完美！
咱学习这些特殊平行四边形的知识点有啥用呢？用处可大啦！以后咱盖房子、做设计，那不得用到这些知识嘛！要是不知道这些，那盖出来的房子说不定歪歪扭扭的呢！
所以啊，朋友们，一定要好好掌握这些知识点呀，它们就像我们的秘密武器，能帮我们解决好多问题呢！特殊平行四边形，真的超棒！。
特殊的平行四边形复习讲义(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】沃根金榜一对一学科教师辅导讲义学生姓名：年级：老师：上课日期：上课时间：上课次数：______年级第______单元课题______ ——————————————————————————————————[ 课前准备]课前检查：作业完成情况：优（）良（）中（）差（）复习预习情况：优（）良（）中（）差（）——————————————————————————————————[ 学习内容]特殊的平行四边形讲义考试考点综述：特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是初二的必考内容之一，主要出现的题型多样，注重考查学生的基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。
内容主要包括：矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系，掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。
知识目标掌握矩形、菱形、正方形等概念，掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定，通过定理的证明和应用的教学，使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻找论证思路分析法和综合法。
重难点：1.矩形、菱形性质及判定的应用2. 相关知识的综合应用教学过程知识点归纳一．矩形有一角是直角的平行四边形叫做矩形．【强调】矩形（1）是平行四边形；（2）一一个角是直角．矩形的性质性质1矩形的四个角都是直角；性质2 矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。
矩形的判定矩形判定方法1:对角线相等的平行四边形是矩形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等矩形判定方法2:四个角都是直角的四边形是矩形．矩形判断方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
例1：若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为例2：菱形具有而矩形不具有的性质是（）A．对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等； D.邻角互补例3：已知：如图，□ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，•H，求证：•四边形EFGH是矩形．二．菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．菱形的性质性质1菱形的四条边都相等；性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；菱形的判定菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．例1已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE．例2已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE 是菱形．例3、如图，在中，O 是对角线AC 的中点，过点O 作AC 的垂线与边AD 、BC 分别交于E 、F ，求证：四边形AFCE 是菱形.例4、已知如图，菱形ABCD 中，E 是BC 上一点，AE 、BD 交于M ，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE 。
初三数学特殊的平行四边形图形的相似知识点
初三数学特殊的平行四边形图形的相似知识点初三数学的学习，最重要的还是掌握理解透知识点，因为这才是贯穿于这个初中数学的核心。
小编在这里整理了相关资料，希望能帮助到您。
初三数学特殊的平行四边形知识点一、平行四边形1、平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质(1)平行四边形的对边平行且相等。
(对边)(2)平行四边形相邻的角互补，对角相等(对角)(3)平行四边形的对角线互相平分。
(对角线)(4)平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
常用点：(1)若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。
(2)推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
3、平行四边形的判定(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
(对边)(2)定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
(对边)(3)定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
(对边)(4)定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
(对角)(5)定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
(对角线)4、两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
注意：平行线间的距离处处相等。
5、平行四边形的面积: S平行四边形=底边长×高=ah111二、菱形1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质(1)菱形的四条边相等，对边平行。
(边)(2)菱形的相邻的角互补，对角相等。
(对角)(3)菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。
(对角线)(4)菱形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点(对称中心到菱形四条边的距离相等);对称轴有两条，是对角线所在的直线。
3、菱形的判定(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
(2)定理1：四边都相等的四边形是菱形。
特殊的平行四边形知识点总结
知识点总结一、平行四边形1.定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形2.平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行且相等；（2）平行四边形的邻角互补，对角相等；（3）平行四边形的对角线互相平分；3.平行四边形的判定平行四边形是几何中一个重要内容，如何根据平行四边形的性质，判定一个四边形是平行四边形是个重点，下面就对平行四边形的五种判定方法，进行划分：第一类：与四边形的对边有关（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；第二类：与四边形的对角有关（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；第三类：与四边形的对角线有关（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形二、矩形1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2、矩形的性质：①矩形具有平行四边形的所有性质；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等；④矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有两条对称轴，对称中心是对角线的交点.3、矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形.直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.三、菱形1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2）菱形的性质：①菱形具有平行四边形的所有性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角④菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有两条对称轴，对称中心是对角线交点.3、菱形的判定(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形(2)定理1：四边都相等的四边形是菱形(3)定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半四、正方形1、定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质(1)具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质;(2)正方形的四个角都是直角，四条边都相等;(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角;(4)正方形是轴对称图形，有4条对称轴;(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形;(6)正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
八年级数学特殊的平行四边形冀教版知识精讲
初二数学特殊的平行四边形冀教版【本讲教育信息】一. 教学内容：1. 矩形的性质和识别方法．2. 菱形的性质和识别方法．3. 正方形的性质和识别方法．二. 知识要点：1. 矩形（1）定义：当平行四边形有一个内角为直角时，我们把它叫做矩形．（2）矩形的性质：①矩形的四个内角都是直角；②矩形的对角线相等；③矩形具有平行四边形的一切性质，矩形既是轴对称图形又是中心对称图形．④直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（3）矩形的识别方法：①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．②有三个角是直角的四边形是矩形．③对角线相等的平行四边形是矩形或对角线相等且互相平分的四边形是矩形．2. 菱形（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，其对称轴为对角线所在的直线；④菱形的周长等于边长的4倍．⑤菱形的面积等于对角线乘积的一半．B（3）菱形的识别：①四条边都相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形3. 菱形与矩形的区别与联系：菱形和矩形虽都是特殊的平行四边形，不同的是菱形是在边上的特殊，四条边都相等，这一点一般平行四边形不具有，对角相等这一特征一般平行四边形也具有；而矩形是在内角上有不同于一般平行四边形的特征，即四个角都是直角．另外菱形具有的而一般平行四边形不具有的还有对角线互相垂直，矩形具有而一般平行四边形不具有的是对角线相等，矩形和菱形在特征上的相同之处是都具有平行四边形所具有的性质． 4. 正方形（1）定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质． ①正方形各边的性质：四条边相等，对边平行． ②正方形各角的性质：四个角都是直角．③正方形对角线的性质：正方形的对角线互相平分、互相垂直、相等，且每一条对角线平分一组对角．④正方形的对称性：正方形是轴对称图形，对边中点所在直线和对角线所在直线都是正方形的对称轴．正方形也是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．B（3）正方形的识别：①有一组邻边相等的矩形是正方形； ②对角线互相垂直的矩形是正方形； ③一个内角是直角的菱形是正方形； ④对角线相等的菱形是正方形；⑤有一组邻边相等且互相垂直的平行四边形是正方形； ⑥对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形． 5. 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系平行四边形三. 重点难点：重点是掌握矩形、菱形、正方形的性质和识别方法；难点是平行四边形、矩形、菱形、正方形的区别与联系．【典型例题】例1. 如图所示，在矩形ABCD 中，两条对角线AC 、BD 相交于点O ，∠AOB ＝60°，AB ＝4cm ．（1）判定△AOB 的形状；（2）求对角线的长．AB CDO分析：要判定△AOB 的形状，由于∠AOB ＝60°，所以可考虑这个三角形是等边三角形．由矩形的性质知：OA ＝OB ，即△AOB 是等边三角形．由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”得出结论；要求对角线的长可直接应用矩形的性质求出．解：（1）由于四边形ABCD 是矩形，所以对角线AC 与BD 互相平分且相等，即OA ＝OB ．又∠AOB ＝60°． 所以△AOB 是等边三角形．（2）OA ＝AB ＝4cm ，DB ＝CA ＝2OA ＝8cm ． 因此对角线的长为8cm ． 评析：利用矩形的性质；矩形的对角线相等且互相平分，可以得到4个等腰直角三角形，然后再加以利用．例2. 如图所示，矩形ABCD 中AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ，试说明BE ＝CF ．AB CDEFO分析：BE 和CF 分别为R t △BEO 和R t △CFO 中的一边，可通过证三角形全等来证BE ＝CF解：因为四边形ABCD 是矩形． 所以 AC ＝BD ，所以 BO ＝CO ． 因为 BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ． 所以 ∠BEO ＝∠CFO ＝90°． 又因为 ∠BOE ＝∠COF ， 所以 △BOE ≌△COF ． 所以 BE ＝CF ．评析：矩形对角线相等且互相平分的性质，为证三角形全等提供了条件．例3. 如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，CE 平分∠ACB 交AD 于G ，交AB 于E ，EF ⊥BC 于F ，试说明四边形AEFG 是菱形．分析：由已知可知，图中有平行线可证等角，等线段，因此可先证四边形AEFG 是平行四边形，再证一组邻边相等．解：因为∠BAC ＝90°，EF ⊥BC ，∠1＝∠2，所以AE ＝EF ，∠3＝∠4， 因为AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，所以EF ∥AD ，所以∠4＝∠5， 所以∠3＝∠5，所以AE ＝AG ． 所以EF ∥AG 且EF ＝AG ，所以四边形AEFG 是平行四边形． 又因为AE ＝EF ，所以平行四边形AEFG 是菱形． 评析：在识别菱形时，容易犯忽视前提条件的错误，如对于四边形，已知一组邻边相等，或对角线互相垂直，就说这个四边形是菱形．事实上，只有在四边形是平行四边形的前提下，才能由一组邻边相等或对角线互相垂直说明这个平行四边形是菱形．若不具备这一前提，一定要先证明这个四边形是平行四边形．例4. 如图所示，E 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，EF ⊥BC ，EG ⊥CD ，垂足分别是F 、G ．试说明AE ＝FG ．A BC DEFG分析：由EF ⊥BC ，EG ⊥CD 可得矩形EFCG ，则FG ＝EC ，再证△ABE ≌△CBE ，得AE ＝EC ，即可得到AE ＝FG ．解：连结EC ，因为四边形ABCD 是正方形， EF ⊥BC ，EG ⊥CD ，所以四边形EFCG 为矩形． 所以FG ＝CE ．因为BD 是正方形ABCD 的对角线． 所以∠ABE ＝∠CBE ． 又BE ＝BE ，AB ＝CB ， 所以△ABE ≌△CBE ． 所以AE ＝EC ， 所以AE ＝FG ．评析：用CE 沟通AE 和FG 之间的联系．例5. （1）下列命题中正确的是（ ）A ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B ．两条对角线相等的四边形是矩形C ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形D ．两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形（2）如图所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若再补充一个条件能使菱形ABCD 成为正方形，则这个条件是__________（只填一个条件即可）．A DBO第(2)题第(3)题A BCD（3）如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D ＝90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD 是矩形，你所添加的条件是__________．（写出一种情况即可）分析：（1）这个问题可以这样考虑：对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．故选A ．（2）这个问题实际上是问什么样的菱形是正方形？有一个角是直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形，考虑角可补充的条件是∠BAD ＝90°或AD ⊥AB ；考虑对角线补充：AC ＝BD ．（3）本题应考虑和角相关的矩形的识别方法，有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形．可添加的条件是∠A ＝90°或∠B ＝90°，AD ＝BC ，AB ∥CD 等．解：（1）A （2）∠BAD ＝90°（或AD ⊥AB ，AC ＝BD 等）（3）∠A ＝90°或AD ＝BC 或AB ∥CD例6. 如图所示，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，AB ＝a ． （1）求∠ABC 的度数； （2）求对角线AC 的长； （3）求菱形ABCD 的面积．ABCD OE分析：本题考查菱形的定义，解题的关键是作辅助线，将菱形问题转化为三角形问题进行求解．解：（1）连结BD ，交AC 于点O ．因为四边形ABCD 是菱形，所以AD ＝AB ． 因为E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，所以AD ＝BD ，所以△ABD 是等边三角形， 所以∠ABC ＝60°×2＝120°． （2）因为四边形ABCD 是菱形， 所以AC 、BD 互相垂直平分，所以OB ＝12BD ＝12AB ＝12a ．所以OA ＝AB 2－OB 2＝a 2－（12a ）2＝32a ，所以AC ＝2AO ＝3a ．（3）S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝12·3a ·a ＝32a 2．评析：菱形被对角线分成四个全等的直角三角形，利用三角形面积公式可得菱形的面积等于它的两条对角线之积的一半．【方法总结】这部分内容之间联系比较紧密，研究问题的思路和方法也类似，推理论证的难度也不大．相对来说，平行四边形与各种特殊平行四边形之间的联系与区别，是学习的难点．因为各种平行四边形概念交错，容易混淆，常会出现“张冠李戴”的现象．在应用它们的性质和判定的时候，也常常会出现用错、多用、少用条件的错误．学习中要注意分清这些四边形的从属关系，梳理它们的性质和判定方法，克服这一难点．【模拟试题】（答题时间：60分钟）一. 选择题1. 菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 对角线平分一组对角2. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）A. 测量对角线是否相互平分B. 测量两组对边是否分别相等C. 测量一组对角线是否互相垂直D. 测量其中三角是否都为直角 3. 下列判断中正确的是（ ） A. 四边相等的四边形是正方形 B. 四角相等的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形4. 如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ） A. AB ＝CD B. AD ＝BC C. AB ＝BC D. AC ＝BDABCDO5. 已知AC 为矩形ABCD 的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是（ ）AD12B ADC B AC 12D 12BAD C D CBA6. 已知：如图所示，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若AB ＝2，AD ＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）A. 3B. 4C. 6D. 8CD G H*7. 如图所示，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，E 、F 为垂足，且E 、F 又分别是BC 、CD 的中点，则∠EAF 的度数为（ ）A. 75°B. 60°C. 45°D. 30°CABDEF**8. 如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点，且CE ＝DF ，AE 、BF 相交于点O ，下列结论①AE ＝BF ；②AE ⊥BF ；③AO ＝OE ；④S △AOB ＝S 四边形DEOF 中，错误的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个ABC DEFO二. 填空题1. 已知菱形ABCD 的周长为20cm ，∠A ∶∠ABC ＝1∶2，则对角线BD 的长等于__________cm ．2. 正方形是特殊的平行四边形，请写出一条正方形具有而平行四边形不具有的性质：__________．3. 如图，P 为菱形ABCD 的对角线上一点，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AD 于点F ，PF ＝3cm ，则P 点到AB 的距离是__________cm ．ABCD E FP4. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，已知∠AOD ＝120°，AB ＝2.5，则AC 的长为__________．ABC DO5. 如图，正方形ABCD 中，AB ＝1，点P 是对角线AC 上的一点，分别以AP 、PC 为对角线作正方形，则两个小正方形的周长的和是_________．ABCDP6. 如图所示，直线l 是四边形ABCD 的对称轴，如果AD ∥BC ，有下列结论： （1）AB ∥CD ；（2）AB ＝BC ；（3）AB ⊥BC ；（4）AO ＝OC ．其中正确的结论有__________（把你认为正确的结论的序号都填上）．A BCDlO7. 任意一个平行四边形，当它的一个锐角增大到_______度时，就变成了矩形；当它的一组邻边变到_______时，就变成了菱形；当它的两条对角线变到______时，就变成了正方形． 8. 如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别是边AB 、BC 的中点，则PM ＋PN 的最小值是_____________．AB CDPMN三. 解答题1. 已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于点E 、F ．试说明四边形AFCE 是菱形．ABCDE FO2. 如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，∠OCF ＝∠OBE ．求证：OE ＝OF ．ABCD E FO*3. 如图，四边形ABCD 是正方形，G 是BC 上任意一点（点G 与B 、C 不重合），AE ⊥DG于E ，CF ∥AE 交DG 于F ．（1）在图中找出一对全等三角形，并加以证明；（2）求证：AE ＝FC+EF ．AB CDE FG4. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 为BC 上两点，且BE ＝CF ，AF ＝DE ．求证：（1）△ABF ≌△DCE ；（2）四边形ABCD 是矩形．A BCDE F*5. 如图，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2AB ＝4，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点． （1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）当四边形AECF 为菱形时，求出该菱形的面积．ABCDEF【试题答案】一. 选择题1. C2. D3. D4. D5. D6. B7. B8. A二. 填空题1. 52. 四边相等；对角线相等；对角线互相垂直等．3. 34. 55. 46. （1）（2）（4）7. 90，相等，互相垂直且相等8. 5（提示：取CD的中点K，则点K和点N关于直线AC对称，PM＋PN的最小值即为KP＋PM的最小值，点K、P、M在同一直线上时，其和最小）三. 解答题1. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AE∥FC，∠DAC＝∠BCA．因为EF垂直平分AC，所以∠AOE＝∠COF＝90°，AO＝CO，所以△AOE≌△COF．所以AE＝CF，所以四边形AFCE是平行四边形，又EF⊥AC，所以四边形AFCE是菱形．2. 在正方形ABCD中，OC＝OB，∠COB＝∠EOB＝90°．又因为∠OCF＝∠OBE，所以△OCF≌△OBE，所以OE＝OF．3. （1）ΔAED≌ΔDFC．因为四边形ABCD是正方形，所以AD＝DC，∠ADC＝90°．又因为AE⊥DG，CF∥AE，所以∠AED＝∠DFC＝90°，所以∠EAD＋∠ADE＝∠FDC＋∠ADE＝90°，所以∠EAD＝∠FDC．所以ΔAED≌ΔDFC（AAS）．（2）因为ΔAED≌ΔDFC，所以AE＝DF，ED＝FC．因为DF＝DE＋EF，所以AE＝FC＋EF．4. （1）在平行四边形ABCD中，AB＝CD；因为BE＝CF，所以BE＋EF＝CF＋EF，即BF=CE；又AF＝DE．所以△ABF≌△DCE．（2）由（1）知∠B＝∠C，又因为AB∥CD，∠B＋∠C＝180°，所以∠B＝90°，所以平行四边形ABCD是矩形．5. （1）因为E、F分别是BC、AD的中点，所以BE＝DF．又因为AB＝CD，∠B＝∠D．所以△ABE≌△CDF（SAS）；（2）当四边形AECF为菱形时，△ABE为等边三角形，四边形ABCD的高为3，所以菱形AECF的面积为23．。
特殊平行四边形知识归纳
《特殊的平行四边形》 济宁附中李涛一、学习目标：1．深刻理解平行四边形的性质；2．熟练掌握平行四边形的判定方法．二、知识梳理：1．性质：按边、角、对角线三方面分类记忆．平行四边形的性质 ...⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎩对边平行；边对边相等对角相等；角邻角互补对角线：对角线互相平分此外：周长问题、面积问题另外，由“平行四边形两组对边分别相等”的性质，可推出下面的推论：夹在两条平行线间的平行线段相等．注:平行四边形是一种特殊而又比较简单的一类四边形，但它有许多的重要性质，如，对边相等、对角相等、对角线互相平分等性质等等．利用平行四边形的这些性质可以证明许多的几何结论．1、证明线段相等. 2、证明两线平行 3、证明两角相等. 4、证明面积相等 5、证明线段倍半. 6、证明线段和差.2．判定方法：同样按边、角、对角线三方面分类记忆．边 ⎧⎪⎨⎪⎩两组对边分别平行一组对边平行且相等两组对边分别相等角：两组对角分别相等对角线：对角线互相平分注：证明一个四边形是平行四边形的思路： 1、当已知条件出现在四边形的一组对边上时，考虑采用“两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形”或“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”． 2、当已知条件出现在四边形的对角线上时，考虑采用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形. 3、当已知条件出现在四边形是对角上时，考虑“采用两组对角分别相等的四边形是平行四边形”．3．注意的问题：平行四边形的判定定理，有的是相应性质定理的逆定理． 学习时注意它们的联系和区别，对照记忆．类比思想三、基本思想方法：研究平行四边形问题的基本思想方法是转化法，即把平行四边形的问题转化为三角形全等及平移、旋转和对称图形的问题来研究．四、平行四边形知识的运用----------是证明矩形、菱形、正方形的基础1．直接运用平行四边形的性质解决某些问题. 如求角的度数、线段的长度、证明角相等或互补、证明线段相等或倍分关系等；2．判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；3．先判定一个四边形是平行四边形，再利用其性质去解决某些问题．《特殊平行四边形》之一---矩形的四边形是 平行四边形一、定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．注：定义中矩形必须满足两个条件：1、首先是平行四边形，2、有一个角是直角.二．矩形的性质1.具有平行四边形的所有性质．（边、角、对角线）2.特有性质：（1）矩形的四个角都是直角（90度）.（2）矩形对角线相等．（3）矩形是轴对称图形，有2条对称轴.也是中心对称图形.注：矩形对角线把矩形分成：4个大全等直角三角形，4个小等腰三角形。
(最新更新)2020春中考知识点梳理第20讲特殊平行四边形
第20讲特殊的平行四边形一、知识清单梳理知识点一：特殊平行四边形的性质与判定关键点拨及对应举例1.性质（具有平行四边形的一切性质，对边平行且相等）矩形菱形正方形(1)矩形中,Rt△ABD≌Rt△DCA≌Rt△CDB≌Rt△BAC; _两对全等的等腰三角形.所以经常结合勾股定理、等腰三角形的性质解题.（2）菱形中，有两对全等的等腰三角形；Rt△ABO≌Rt△ADO≌Rt△CBO≌Rt△CDO;若∠ABC=60°，则△ABC和△ADC为等边三角形，且四个直角三角形中都有一个30°的锐角.（3）正方形中有8个等腰直角三角形，解题时结合等腰直角三角形的锐角为45°，斜边=直角边. （1）四个角都是直角（2）对角线相等且互相平分.即AO=CO=BO=DO.（3）面积=长×宽=2S△ABD=4S△AOB.（1）四边相等（2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角（3）面积=底×高=对角线_乘积的一半(1)四条边都相等，四个角都是直角(2)对角线相等且互相垂直平分(3)面积=边长×边长=2S△ABD=4S△AOB2.判定（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形（2）有三个角是直角（3）对角线相等的平行四边形（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形（2）对角线互相垂直的平行四边形（3）四条边都相等的四边形（1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形（2）一组邻边相等的矩形（3）一个角是直角的菱形（4）对角线相等且互相垂直、平分例：判断正误.邻边相等的四边形为菱形.（）有三个角是直角的四边形式矩形.（）对角线互相垂直平分的四边形是菱形. （）对边相等的矩形是正方形.（）3.联系包含关系：知识点二：特殊平行四边形的拓展归纳4.中点四边形（1）任意四边形多得到的中点四边形一定是平行四边形.（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.如图，四边形ABCD为菱形，则其中点四边形EFGD的形状是矩形.5.特殊四边形中的解题模型（1）矩形：如图①，E为AD上任意一点，EF过矩形中心O，则△AOE≌△COF,S1=S2.（2）正方形:如图②，若EF⊥MN，则EF=MN;如图③，P为AD边上任意一点，则PE+PF=AO. （变式：如图④，四边形ABCD为矩形，则PE+PF的求法利用面积法，需连接PO.）图①图②图③图④。
特殊的平行四边形基础知识讲解
特殊的平行四边形〔根底〕【学习目标】1. 理解矩形、菱形、正方形的概念.2. 掌握矩形、菱形、正方形的性质定理与判定定理.3. 了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的附属关系.【要点梳理】要点一、矩形、菱形、正方形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形.要点二、矩形、菱形、正方形的性质矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.菱形的性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；3.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.正方形的性质：1.正方形四个角都是直角，四条边都相等.2.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.3.正方形是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点三、矩形、菱形、正方形的判定矩形的判定：1. 有三个角是直角的四边形是矩形.2. 对角线相等的平行四边形是矩形.3. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角〞或“对角线相等〞都能判定平行四边形是矩形.菱形的判定：1. 四条边相等的四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3. 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.要点诠释：前一种方法是在四边形的根底上加上四条边相等.后两种方法都是在平行四边形的根底上外加一个条件来判定菱形，正方形的判定：1.有一组邻边相等的矩形是正方形.2.有一个内角是直角的菱形是正方形.要点四、特殊平行四边形之间的关系要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状〔1〕顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.〔2〕顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.〔3〕顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.〔4〕顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.〔1〕假设原四边形的对角线互相垂直，那么新四边形是矩形.〔2〕假设原四边形的对角线相等，那么新四边形是菱形.〔3〕假设原四边形的对角线垂直且相等，那么新四边形是正方形.【典型例题】类型一、矩形的性质与判定1、如下图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4cm，那么矩形对角线AC长为________cm．【答案】8；【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝BO．∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°．又∵AO＝BO，∴△AOB是等边三角形，∴AC＝2AO＝2AB＝8cm．【总结升华】矩形的性质常用于求线段的长度与角的度数，在解题过程中应根据题目选择不同的性质来加以应用．2、：平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连结AF、CE.〔1〕求证：△BEC≌△DFA；〔2〕连接AC，假设CA＝CB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论.【答案与解析】证明：〔1〕∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD,∠B＝∠D，BC＝AD.∵E、F分别是AB、CD的中点，∴BE＝12AB，DF＝12CD.∴BE＝DF.∴△BEC≌△DFA.〔2〕四边形AECF是矩形.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，且AB＝CD.∵E、F分别是AB、CD的中点，∴BE＝12AB，DF＝12CD.∴AE∥CF且AE＝CF.∴四边形AECF是平行四边形.∵CA＝CB，E是AB的中点，∴CE⊥AB，即∠AEC＝90°.∴四边形AECF是矩形.【总结升华】要证明△BEC与△DFA全等，主要运用判定定理〔边角边〕；四边形AECF是矩形，先证明四边形AECF是平行四边形，再证这个平行四边形对角线相等或者有一个角是直角.举一反三：【变式】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE 是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形.【答案】证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD∵D为BC的中点，∴CD＝BD∴CD∥AE，CD＝AE∴四边形ADCE是平行四边形∵AB＝AC∴AC＝DE∴平行四边形ADCE是矩形.类型二、菱形的性质与判定3、如下图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝10．求：(1)AB的长．(2)菱形ABCD的面积．【答案与解析】解：(1)∵四边形ABCD是菱形．∴AC⊥BD，AO＝12AC，OB＝12BD．又∵AC＝8，BD＝10．∴AO＝12×8＝4，OB＝12×10＝5．在Rt△ABO中，222AB OA OB=+(2)由菱形的性质可知：【总结升华】(1)由菱形的性质及勾股定理求出AB的长．(2)根据“菱形的面积等于两条对角线乘积的一半〞来计算．举一反三：【变式】菱形的两条对角线长为6与8，那么菱形的边长为________．【答案】5；解：设该菱形为ABCD，对角线相交于O，AC＝8，BD＝6，由菱形性质知：AC与BD互相垂直平分，4、如下图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是菱形吗试说明理由．【思路点拨】由菱形的定义去判定图形，由DE∥AC，DF∥BC知四边形DECF是平行四边形，再由∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可．【答案与解析】解：四边形DECF是菱形，理由如下：∵DE∥AC，DF∥BC∴四边形DECF是平行四边形．∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2∵DF∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3．∴CF＝DF，∴四边形DECF是菱形．【总结升华】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形．类型三、正方形的性质与判定5、如图，在一正方形ABCD中．E为对角线AC上一点，连接EB、ED，〔1〕求证：△B EC≌△DEC；〔2〕延长BE交AD于点F，假设∠DEB＝140°．求∠AFE 的度数．【思路点拨】先由正方形的性质得出CD=CB，∠DCA=∠BCA，根据SAS证出△BEC≌△DEC，再由全等三角形的对应角相等得出∠DEC=∠BEC=70°，然后根据对顶角相等求出∠AEF，根据正方形的性质求出∠DAC，最后根据三角形的内角与定理即可求出∠AFE的度数．【答案与解析】〔1〕证明：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA，∵CE＝CE，∴△BEC≌△DEC．〔2〕解：∵∠DEB＝140°，∵△BEC≌△DEC，∴∠DEC＝∠BEC＝70°，∴∠AEF＝∠BEC＝70°，∵∠DAB＝90°，∴∠DAC＝∠BAC＝45°，∴∠AFE＝180°－70°－45°＝65°．答：∠AFE的度数是65°．【总结升华】此题主要考察对正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形的内角与定理，对顶角等知识点的理解与掌握，能熟练地运用这些性质进展推理是解此题的关键.举一反三：【变式】：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，F是CD边上一点，且CE＝CF，连接DE，BF．求证：DE＝BF．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCD＝90°∵E为BC延长线上的点，∴∠DCE＝90°，∴∠BCD＝∠DCE．在△BCF与△DCE中，∴△BCF≌△DCE〔SAS〕，∴BF＝DE．6、如下图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗请说明理由．【答案与解析】解：是正方形，理由如下：作DG⊥AB于点G．∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，∴DF＝DG．同理可得：DG＝DE．∴DF＝DE．∵DF⊥AC，DE⊥BC，∠C＝90°，∴四边形CEDF是矩形．∵DF＝DE．∴四边形CEDF是正方形．【总结升华】(1)此题运用了“有一组邻边相等的矩形是正方形〞来判定正方形．(2)证明正方形的方法还可以直接通过证四条边相等＋1个直角或四个角都是直角来证明正方形．。
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第20讲特殊的平行四边形2)1边都相等的四有一个角是知识点二：特殊平行四边形的拓展归纳）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形如图，四边形的形状是矩形.过矩如图③PO.图①图②2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B （﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.42．一元二次方程x2﹣x+2=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③a12；④b＞1，其中正确的结论个数是（）A.1个B.2 个C.3 个D.4 个4．如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，F是AD边上的一个动点，已知AB＝4，AD＝2，△GEF与△AEF 关于直线EF成轴对称．当点F沿AD边从点A运动到点D时，点G的运动路径长为（）A.2B.4πC.2πD.5．如图，把长方形纸片ABCD沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么，有下列说法：①△EBA和△EDC 一定是全等三角形；②△EBD是等腰三角形，EB＝ED；③折叠后得到的图形是轴对称图形；④折叠后∠ABE和∠CBD 一定相等；其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6+1）20191）2018的结果是（ ）A +1B 1CD ．17．如图，在长方形ABCD 中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC 折叠，则重叠部分△AFC 的面积为（ ）A.12B.10C.8D.68．由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有（ ）A.6B.5C.4D.79．已知，关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2+2x+1＝0有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜3B ．m≤3C ．m ＜3且m≠2D ．m≤3且m≠210．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A ．21130x x+-= B ．ax 2+bx+c ＝0 C ．x 2+5x ＝x 2﹣3D ．x 2﹣3x+2＝011．如图，该几何体的俯视图是（ ）.A ．B ．C ．D ．12．如图，在二次函数y ＝ax 2+bx+c(a≠0)的图象中，小明同学观察得出了下面几条信息：①b 2﹣4ac ＞0；②abc ＜0；③02a b ca b++<-；④b 2＝4a(c ﹣1)；⑤关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c ＝3无实数根，共中信息错误的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题13．如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AC 经过点O ，与⊙O 分别相交于点D 、C ，若∠ACB=30°，则阴部分面积是_____．14．因式分解：32a a +=______．15．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小从锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，CE=1寸，AB ＝10寸，则直径CD 的长为_______.16．某实验中学九年级(1)班全体同学的综合素质评价“运动与健康”方面的等级统计如图所示，其中评价为“A”所在扇形的圆心角是__度．17．已知直线经过第一、二、四象限，该直线解析式可以是______．18．已知反比例函数y ＝的图象经过点（2，﹣1），则k ＝_____． 三、解答题19．如图，正方形网格中有一段弧，弧上三点A ，B ，C 均在格点上． (1)请作图找出圆心P 的位置(保留作图痕迹)，并写出它的坐标． (2)求AC 的长度．20 |+（3）0+（﹣1）201921．为加快城乡对接，建设美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建，如图，A，B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶，已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°．(1)开通隧道前，汽车从A地到B地要走多少千米？(2)开通隧道后，汽车从A地到B地可以少走多少千米？(结果保留根号)22．某校为了调查初三男生和女生周日学习用时情况，随机抽取了初三男生和女生各50人，对他们的周日学习时间进行了统计，分别得到了初三男生的学习时间的频率分布表和女生学习时间的频率分布直方图（学习时间x，单位：小时，0≤x≤6）．男生周日学习时间频率表（1）请你判断该校初三年级周日学习用时较长的是男生还是女生，并说明理由；（2）从这100名学生中周日学习用时在5≤x≤6内的学生中抽取2人，求恰巧抽到一男一女的概率．23．先化简，再求值：（x+1）（x ﹣1）﹣x （x ﹣1），其中x ＝13． 24．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A 、B 、O 、P 均在格点上.I. OB 的长等于______________；Ⅱ.点M 在射线OA 上，点N 在射线OB 上，当PMN 的周长最小时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出PMN ，并简要说明点M ，N 的位置是如何找到的（不要求证明）____________ .25．解不等式组：()-32421152x x x x ⎧-≥⎪⎨-+<⎪⎩并把其解集在数轴上表示出来.【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13518π-14．a(a 2+2) 15．2尺6寸 16．108°．17．y＝-x＋1（答案不唯一）18．-2三、解答题π．19．(1)画图见解析，P(﹣2，1)；(2)2【解析】【分析】（1）作AB、BC的中垂线即可确定圆心P的位置；（2）利用弧长公式计算可得．【详解】（1）如图所示，点P即为所求，其坐标为(﹣2，1)；（2）∵AP2＝CP2＝10，AC2＝20，∴AP2+CP2＝AC2，∴∠APC＝90°，则AC．【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆的确定和弧长公式．20．2【解析】【分析】结合绝对值，二次根式，指数幂和三角函数值计算，计算结果，即可。
【详解】解：原式＝6×﹣3+2﹣+1﹣1＝2﹣．【点睛】考查二次根式化简，考查正弦三角函数计算，考查指数幂计算，难度中等。
21．(1)开通隧道前，汽车从A地到B地要走)千米；(2)汽车从A地到B地比原来少走的路程为千米．（1）过点C 作AB 的垂线CD ，垂足为D ，在直角△ACD 中，解直角三角形求出CD ，进而解答即可； （2）在直角△CBD 中，解直角三角形求出BD ，再求出AD ，进而求出汽车从A 地到B 地比原来少走多少路程． 【详解】(1)过点C 作AB 的垂线CD ，垂足为D ，∵AB ⊥CD ，sin30°＝CDBC ，BC ＝80千米， ∴CD ＝BC•sin30°＝80×12＝40(千米)，AC ＝CDsin 45︒=千米)， AC+BC ＝80+1-8(千米)， 答：开通隧道前，汽车从A 地到B 地要走(80+1-8)千米； (2)∵cos30°＝BDBC，BC ＝80(千米)，∴BD 千米)， ∵tan45°＝CDAD，CD ＝40(千米)， ∴AD ＝CD40tan 45︒=(千米)，∴AB ＝AD+BD ＝40+千米)，∴汽车从A 地到B 地比原来少走多少路程为：AC+BC ﹣AB ＝80+1-8﹣40﹣40+40(千米)．答：汽车从A 地到B 地比原来少走的路程为 [40+40]千米．【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．22．（1）该校初三年级周日学习用时较长的是男生；（2）35（1）分别求出男生和女生周日学习用时的平均数，由此判断即可；（2）从被抽到的100名学生中周日学习用时在[5，6]内的学生中男生由2人，女生由4人，列树状图求得抽到1男1女的概率即可．【详解】解：（1）由频数分布直方图得女生学习时间的平均数为：150（10×1.5+10×2.5+14×3.5+8×4.5+2×5.5）＝2.75；由男生周日学习时间频率表得男生学习时间的平均数为：0.5×0.34+1.5×0.36+2.5×0.38+3.5×0.22+4.5×0.14+5.5×0.06＝3.39，∵2.75＜3.39，∴该校初三年级周日学习用时较长的是男生；（2）这100名学生中周日学习用时在5≤x≤6内的学生中，男生有3人，女生有2人，列树状图如图所示，由树状图可知，共有20种情况；刚好抽到一男一女的有12种等可能结果，所以刚好抽到一男一女的概率为123 205．【点睛】此题考查了概率公式与列表法或树状图法求概率．列表法或树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，列举法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．x﹣1，﹣2 3【解析】【分析】原式利用平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【详解】原式＝x2﹣1﹣x2+x＝x﹣1，当x＝13时，原式＝13﹣1＝﹣23．【点睛】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．24图见解析，选取点P关于直线OA的对称点1P；选取点C，连接PC并延长，选取点EF，P P，分别交OA、OB于M、N，连接PM、PN，则PMN 连接EF与PC延长线交于点2P；连接12的周长最小.【解析】【分析】I.根据勾股定理求出OB的长.Ⅱ. 如图，选取点P关于直线OA的对称点1P；选取点C，连接PC并延长，选取点EF，连接EF与PC 延长线交于点2P；根据直角边长都为2和3，EF和PC为斜边的两个三角形全等，得出∠BCP=∠FEG，再根据EG//PH，所以∠BEG=∠BPH,再根据三角形的内角和定理和等量代换，得出∠EP2P=90︒，再根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形得出四边行BEFO为平行四边形，从而得EF//OB，得出PP2⊥OB,再根据BE=BP，从而得出OB垂直平分PP2，连接P2P1与OB、OA分别相交于M点和N点，即可解决问题．【详解】I.在Rt OBD中，OB==Ⅱ.如图，选取点P关于直线OA的对称点1P；选取点C，连接PC并延长，选取点EF，连接EF与PC P P，分别交OA、OB于M、N，连接PM、PN.则点M、N即为所求．延长线交于点2P；连接12证明：由网格图可得，直角边长都为2和3，且EF和PC为斜边的两个三角形全等∠∴BCP=∠FEGEG//PH∠∴BEG=∠BPH在PCH中，∠BCP+∠BPC+∠BPH=90︒∠∴FEG+∠BEG+∠BPC=90︒∠∴EP2P=90︒∴PP 2⊥EF根据勾股定理可得，BE=OF ，EF=OB,∴四边行BEFO 为平行四边形∴EF//OB ∴PP 2⊥OBBE=BP, EF//OB∴OB 垂直平分PP 2 ∴点P 与点P 2关于OB 对称连接P 2P 1与OB 、OA 分别相交于M 点和N 点，则此时PMN 的周长最小【点睛】此题考查了应用与设计作图轴对称—最短距离、平行四边形的性质与判定、勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题． 25．−7<x ⩽1，见解析. 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解不等式x −3(x −2)⩾4，得：x ⩽1， 解不等式52112x x -+< ，得：x>−7， 则不等式组的解集为−7<x ⩽1， 将解集表示在数轴上如下：【点睛】此题考查在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式组，解题关键在于掌握运算法则.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第10个图案由( )个▲组成．A ．30B ．31C ．32D ．332．某社区青年志愿者小分队年龄情况如下表所示：则这12名队员年龄的众数、中位数分别是( ) A ．2，20岁B ．2，19岁C ．19岁，20岁D ．19岁，19岁3．下列函数中，对于任意实数x ，y 随x 的增大而减小的是( ). A.y=xB.y=C.y=－x+2D.y=2x 24．如图，在ΔABC 中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为D ，E 是AC 的中点.若DE 5=，则AB 的长为（ ）A ．2.5B ．7.5C ．8.5D ．105．如图，△ABC 纸片中，AB ＝BC ＞AC ，点D 是AB 边的中点，点E 在边AC 上，将纸片沿DE 折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处．则下列结论成立的个数有（ ）①△BDF 是等腰直角三角形；②∠DFE ＝∠CFE ；③DE 是△ABC 的中位线；④BF+CE ＝DF+DE ．A.1个B.2个C.3个D.4个6．下列计算正确的是（ ） A.221aa -=-B.()()2220m m m m +-=≠C.1155155⨯⨯⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭2-7．如图，已知菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长分别是6cm 、8cm ，AE ⊥BC ，垂足为点E ，则AE 的长是（ ）Acm B ．C ．485cm D ．245cm 8．已知x a ＝2，x b ＝﹣3，则x 3a ﹣2b ＝（ ） A ．23B ．89C ．-23D ．89-9．若点A （a+1，b ﹣2）在第二象限，则点B （﹣a ，1﹣b ）在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10．如图，一次函数1y ax b =+和反比例函数2ky x=的图象相交于A ，B 两点，则使12y y >成立的x 取值范围是()A ．20x -<<或04x <<B ．2x <-或04x <<C ．2x <-或4x >D ．20x -<<或4x >11．正比例函数y ＝kx(k≠0)的图象上一点A 到x 轴的距离与到y 轴的距离之比为2 : 3，且y 随x 的增大而减小，则k 的值是 ( ) A ．23B ．32C ．32-D ．23-12．如图，下图经过折叠不能围成一个正方体是（ ）A． B． C ． D ．二、填空题13．分解因式：9﹣12t+4t 2＝_____． 14．计算2的结果等于_____．15．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a 1，第2幅图形中“●”的个数为a 2，第3幅图形中“●”的个数为a 3，…，以此类推，则123191111a a a a +++⋅⋅⋅+＝_____．16．若点（a，b）在一次函数y＝2x﹣3的图象上，则代数式4a﹣2b﹣5的值是_____．17．点A（x，y）关于x轴的对称点坐标为（﹣3，﹣4），则点A坐标是_____．18．如图，在△ABC中，分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交AB于点D，同法得到点E，连接DE．若BC＝10cm，则DE＝_____cm．三、解答题19．先阅读下列材料，然后解答问题．材料：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线例如：如图①，AD把△ABC分成△ABD与△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的完美分割线．解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠B＝40°，AD是△ABC的完美分割线，且△ABD是以AD为底边的等腰三角形，则∠CAD＝度．（2）在△ABC中，∠B＝42°，AD是△ABC的完美分割线，且△ABD是等腰三角形，求∠BAC的度数．20．在一条笔直的公路上有A、B两地，甲骑自行车从A地到B地；乙骑电动车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回，如图是甲、乙两人离B地的距离y（km）与行驶时x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：（1）写出A、B两地之间的距离；（2）直接写出y甲、y乙与x之间的函数关系式，请求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；（3）若两人之间保持的距离不超过3km时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围．21．已知关于x 的二次函数y ＝﹣x 2+（k ﹣1）x+k ． （1）试判断该函数的图象与x 轴的交点的个数；（2）求该函数的图象顶点M 的坐标（用k 的代数式表示）； （3）当﹣3≤k＜3时，求顶点M 的纵坐标的取值范围．22．如图，在△ABC 中，E 为BC 边上一点，以BE 为直径的AR 半圆D 与AC 相切于点F ，且EF ∥AD ，AD 交半圆D 于点G ．（1）求证：AB 是半圆D 的切线； （2）若EF ＝2，AD ＝5，求切线长AB ．23．在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，请利用尺规在CD 边上求作一点P ，使得S △PAB ＝S △PAD ，（保留作图痕迹，不写作法）．24．先化简，再求代数式21211a aa a a -÷-+-的值，其中a ＝2cos30°． 25．（1）计算：；（2）化简：【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．(3﹣2t)214．515．589 84016．117．（3。