高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第7讲双曲线配套练习文北师大版

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2019-2020年高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第7讲双曲线练习理北师大版

2019-2020年高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第7讲双曲线练习理北师大版一、选择题1.(xx·郑州模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±12xB.y ＝±22x C.y ＝±2xD.y ＝±2x解析因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ，故选B. 答案 B2.(xx·广东卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 23＝1B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1D.x 23－y 24＝1 解析因为所求双曲线的右焦点为F 2(5，0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1，故选C.答案 C3.(xx·山西省四校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，右焦点F 到渐近线的距离为2，点F 到原点的距离为3，则双曲线C 的离心率e 为( ) A.53B.355C.63D.62解析 ∵右焦点F 到渐近线的距离为2，∴F (c ，0)到y ＝bax 的距离为2，即|bc |a 2＋b2＝2，又b ＞0，c ＞0，a 2＋b 2＝c 2，∴bc c＝b ＝2，又∵点F 到原点的距离为3，∴c ＝3，∴a ＝c 2－b 2＝5，∴离心率e ＝c a＝35＝355.答案 B4.已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45解析由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2. 由双曲线定义，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.答案 C5.(xx·成都调研)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.433B.2 3C.6D.4 3解析由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2，23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3. 答案 D 二、填空题6.(xx·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________.解析由已知，得a 2＝7，b 2＝3，则c 2＝7＋3＝10，故焦距为2c ＝210. 答案 2107.(xx·北京卷)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.解析取B 为双曲线右焦点，如图所示.∵四边形OABC 为正方形且边长为2，∴c ＝|OB |＝22，又∠AOB ＝π4，∴b a ＝tan π4＝1，即a ＝b .又a 2＋b 2＝c 2＝8，∴a ＝2. 答案 28.(xx·山东卷)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0).若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________.解析由已知得|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c ，∴2×2b2a＝3×2c .又∵b 2＝c 2－a 2，整理得：2c 2－3ac －2a 2＝0，两边同除以a 2得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a －2＝0，即2e2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去). 答案 2 三、解答题9.(xx·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10). (1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0. (1)解 ∵e ＝2，∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0).∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6.(2)证明法一由(1)可知，a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴k MF 1＝m 3＋23，k MF 2＝m3－23，k MF 1·k MF 2＝m 29－12＝－m 23. ∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3，故k MF 1·k MF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0. 法二由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵点M (3，0)在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴MF 1→·MF 2→＝0.10.已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →＞2(其中O 为原点)，求k 的取值范围.解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）＞0，∴k 2≠13且k 2＜1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA →·OB →＞2，得x 1x 2＋y 1y 2＞2， ∴3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0，解得13＜k 2＜3.②由①②得13＜k 2＜1，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.11.过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1D.x 212－y 24＝1 解析由双曲线方程知右顶点为(a ，0)，不妨设其中一条渐近线方程为y ＝b ax ，因此可得点A 的坐标为(a ，b ).设右焦点为F (c ，0)，由已知可知c ＝4，且|AF |＝4，即(c －a )2＋b 2＝16，所以有(c －a )2＋b 2＝c 2，又c 2＝a 2＋b 2，则c ＝2a ，即a ＝c2＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1，故选A.答案 A12.若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上存在一点P 满足以|OP |为边长的正方形的面积等于2ab (其中O 为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，52B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，72 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞ 解析由条件，得|OP |2＝2ab ，又P 为双曲线上一点，从而|OP |≥a ，∴2ab ≥a 2，∴2b ≥a ，又∵c 2＝a 2＋b 2≥a 2＋a 24＝54a 2，∴e ＝c a ≥52.答案 C13.(xx·浙江卷)设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________.解析如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而|F 1F 2|＝4，由对称性不妨设点P 在右支上，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2，由于△PF 1F 2为锐角三角形，结合实际意义需满足⎩⎪⎨⎪⎧（m ＋2）2＜m 2＋42，42＜（m ＋2）2＋m 2，解得－1＋7＜m ＜3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2，∴27＜2m ＋2＜8. 答案 (27，8)14.已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为255.(1)求此双曲线的方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP →＝PB →，求△AOB 的面积.解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab＝2，|2×0＋a |5＝255，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线的方程为y 24－x 2＝1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设A (m ，2m )，B (－n ，2n )，其中m ＞0，n ＞0，由AP →＝PB →得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m －n 2，m ＋n . 将点P 的坐标代入y 24－x 2＝1，整理得mn ＝1.设∠AOB ＝2θ，∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝2，则tan θ＝12，从而sin 2θ＝45.又|OA |＝5m ，|OB |＝5n ， ∴S △AOB ＝12|OA ||OB |sin 2θ＝2mn ＝2.。

高考数学(文)(北师大版)大一轮复习讲义第九章平面解析几何第九章 9.7

1．双曲线定义平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质【知识拓展】巧设双曲线方程(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．( √ )1．(教材改编)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A. 5 B ．5 C. 2 D ．2答案 A解析由题意得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2. ∴e 2＝c 2a2＝5，∴e ＝ 5.2．若方程x 22＋m －y 2m ＋1＝1表示双曲线，则m 的取值范围是( )A ．m >－1B ．m <－2C ．－2<m <－1D ．m >－1或m <－2答案 D解析由题意知(2＋m )(m ＋1)>0，解得m >－1或m <－2，故选D.3．(2015·安徽)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1答案 C解析由双曲线性质知A 、B 项双曲线焦点在x 轴上，不合题意；C 、D 项双曲线焦点均在y 轴上，但D 项渐近线为y ＝±12x ，只有C 符合，故选C.4．(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________．答案 210解析由已知，a 2＝7，b 2＝3，则c 2＝7＋3＝10，故焦距为2c ＝210. 5．双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．答案255解析双曲线的一个顶点坐标为(2,0)，一条渐近线方程是y ＝12x ，即x －2y ＝0，则顶点到渐近线的距离d ＝|2－0|5＝255.题型一双曲线的定义及标准方程命题点1 利用定义求轨迹方程例1 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________．答案 x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B . 根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |，因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．命题点2 利用待定系数法求双曲线方程例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M (0,12)；(3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)．解 (1)设双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54.∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12. 又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1.(3)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.命题点3 利用定义解决焦点三角形问题例3 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左，右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________. 答案 34解析 ∵由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2| ＝|PF 2|＝2a ＝22， ∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34. 引申探究1．本例中将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“∠F 1PF 2＝60°”，则△F 1PF 2的面积是多少？解不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|·|PF 2|＝8，所以12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝2 3. 2．本例中将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，则△F 1PF 2的面积是多少？解不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，由于PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→，所以在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16，所以|PF 1|·|PF 2|＝4，所以12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|＝2. 思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．(1)已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左，右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为( )A.37＋4B.37－4C.37－2 5D.37＋2 5(2)(2015·课标全国Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________________________．答案 (1)C (2)x 24－y 2＝1解析 (1)由题意知，|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ，要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值，当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值，则|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|＝37，∴|AP |＋|AF 2|的最小值为|AP |＋|AF 1|－2a ＝37－2 5. 故选C.(2)由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.题型二双曲线的几何性质例4 (1)(2016·浙江)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( ) A ．m ＞n 且e 1e 2＞1 B ．m ＞n 且e 1e 2＜1 C ．m ＜n 且e 1e 2＞1D ．m ＜n 且e 1e 2＜1(2)(2015·山东)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．答案 (1)A (2)32解析 (1)由题意可得m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2，又∵m ＞0，n ＞0，故m ＞n .又∵e 21·e 22＝m 2－1m 2·n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2＞1，∴e 1·e 2＞1.(2)由题意，不妨设直线OA 的方程为y ＝b a x ，直线OB 的方程为y ＝－b a x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 2＝2py ，得x 2＝2p ·ba x ，∴x ＝2pb a ，y ＝2pb 2a 2，∴A ⎝⎛⎭⎫2pb a ，2pb 2a 2.设抛物线C 2的焦点为F ，则F ⎝⎛⎭⎫0，p2， ∴k AF ＝2pb 2a 2－p22pb a.∵△OAB 的垂心为F ，∴AF ⊥OB ，∴k AF ·k OB ＝－1， ∴2pb 2a 2－p22pb a·⎝⎛⎭⎫－b a ＝－1，∴b 2a 2＝54.设C 1的离心率为e ，则e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋54＝94.∴e ＝32.思维升华双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±ba满足关系式e 2＝1＋k 2.(2016·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左，右焦点，点M 在E上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32 C.3 D ．2答案 A解析离心率e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2.故选A. 题型三直线与双曲线的综合问题例5 (2016·兰州模拟)已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左，右焦点分别是C 1的左，右顶点，而C 2的左，右顶点分别是C 1的左，右焦点． (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)>0，∴k 2≠13且k 2<1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2 ＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2， ∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13<k 2<3，②由①②得13<k 2<1.故k 的取值范围为(－1，－33)∪(33，1)．思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定． (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．若双曲线E ：x 2a2－y 2＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若|AB |＝63，点C 是双曲线上一点，且OC →＝m (OA →＋OB →)，求k ，m 的值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝2，a 2＝c 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，c 2＝2，故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.(*)∵直线与双曲线右支交于A ，B 两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k >1，Δ＝(2k )2－4(1－k 2)×(－2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧k >1，－2<k <2，所以1<k < 2. 故k 的取值范围是{k |1<k <2}．(2)由(*)式得x 1＋x 2＝2k k 2－1，x 1x 2＝2k 2－1， ∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2(1＋k 2)(2－k 2)(k 2－1)2＝63，整理得28k 4－55k 2＋25＝0，∴k 2＝57或k 2＝54，又1<k <2，∴k ＝52， ∴x 1＋x 2＝45，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8.设C (x 3，y 3)，由OC →＝m (OA →＋OB →)，得(x 3，y 3)＝m (x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(45m,8m )．∵点C 是双曲线上一点．∴80m 2－64m 2＝1，得m ＝±14. 故k ＝52，m ＝±14.11．直线与圆锥曲线的交点典例已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点？错解展示现场纠错解设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋1－k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0(2－k 2≠0)．①∴x 0＝x 1＋x 22＝k (1－k )2－k 2. 由题意，得k (1－k )2－k 2＝1，解得k ＝2. 当k ＝2时，方程①可化为2x 2－4x ＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点．纠错心得 (1)“点差法”解决直线与圆锥曲线的交点问题，要考虑变形的条件．(2)“判别式Δ≥0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法．1．(2015·福建)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3答案 B解析由双曲线定义||PF 2|－|PF 1||＝2a ，∵|PF 1|＝3，∴P 在左支上，∵a ＝3，∴|PF 2|－|PF 1|＝6，∴|PF 2|＝9，故选B.2．(2016·全国乙卷)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)答案 A解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线， ∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3，故选A.3．(2016·佛山模拟)已知双曲线x 216－y 29＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与该双曲线的右支交于A ，B 两点，若|AB |＝5，则△ABF 1的周长为( )A ．16B ．20C ．21D ．26答案 D解析由双曲线x 216－y 29＝1，知a ＝4. 由双曲线定义|AF 1|－|AF 2|＝|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝8，∴|AF 1|＋|BF 1|＝|AF 2|＋|BF 2|＋16＝21，∴△ABF 1的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝21＋5＝26.故选D.4．(2016·庐江第二中学月考)已知椭圆x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为e 1；双曲线x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为e 2，则e 1e 2等于( ) A.22B ．1 C. 3 D ．2 答案 B解析由b 21＝a 1c 1，得a 21－c 21＝a 1c 1，∴e 1＝c 1a 1＝5－12. 由b 22＝a 2c 2，得c 22－a 22＝a 2c 2，∴e 2＝c 2a 2＝5＋12. ∴e 1e 2＝5－12×5＋12＝1. 5．(2015·课标全国Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－233，233 答案 A 解析由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， ∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)．∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 20<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33.故选A. 6．(2016·银川模拟)已知双曲线x 29－y 2m＝1(m >0)的一个焦点在圆x 2＋y 2－4x －5＝0上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±34x B ．y ＝±43x C ．y ＝±53x D ．y ＝±324x 答案 B 解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x 2＋y 2－4x －5＝0，得x 2－4x －5＝0，解得x ＝5或x ＝－1，又a ＝3，故c ＝5，所以b ＝4，双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，故选B.7．(2017·江西新余一中调研)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 恰好是圆F ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0的圆心，且点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为1，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.233 D ．2 3 答案 C解析 x 2＋y 2－4x ＋3＝0可化为(x －2)2＋y 2＝1，故F (2,0)，即c ＝2，点F 到一条渐近线的距离为b ，即b ＝1，∴a ＝c 2－b 2＝3，∴e ＝c a ＝233. 8．(2016·浙江)设双曲线x 2－y 23＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．答案 (27，8)解析如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而|F 1F 2|＝4，由对称性不妨设P 在右支上，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2，由于△PF 1F 2为锐角三角形，结合实际意义需满足⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋2)2＜m 2＋42，42＜(m ＋2)2＋m 2，解得－1＋7＜m ＜3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2，∴27＜2m ＋2＜8.9．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________．答案 53解析由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a .又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a . 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2.要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值，∴当cos ∠F 1PF 2＝－1时，得e ＝53，即e 的最大值为53. 10．设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O 且所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎦⎤233，2 解析由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴(或y 轴)对称．又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围大于30°且小于等于60°，即tan 30°<b a ≤tan 60°，∴13<b 2a 2≤3.又e 2＝(c a )2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，∴43<e 2≤4， ∴233<e ≤2. 11．中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解 (1)由已知c ＝13，设椭圆长半轴长，短半轴长分别为a ，b ，双曲线实半轴长，虚半轴长分别为m ，n ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －m ＝4，7·13a＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2， ∴椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1. (2)不妨设F 1，F 2分别为左，右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝10，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝213，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝102＋42－(213)22×10×4＝45. 12．(2016·江西丰城中学模拟)一条斜率为1的直线l 与离心率为3的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)交于P ，Q 两点，直线l 与y 轴交于R 点，且OP →·OQ →＝－3，PR →＝3RQ →，求直线和双曲线的方程．解 ∵e ＝3，∴b 2＝2a 2，∴双曲线方程可化为2x 2－y 2＝2a 2.设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，2x 2－y 2＝2a 2，得x 2－2mx －m 2－2a 2＝0，∴Δ＝4m 2＋4(m 2＋2a 2)>0，∴直线l 一定与双曲线相交．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2m ，x 1x 2＝－m 2－2a 2.∵PR →＝3RQ →，x R ＝x 1＋3x 24＝0， ∴x 1＝－3x 2，∴x 2＝－m ，－3x 22＝－m 2－2a 2. 消去x 2，得m 2＝a 2.OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4a 2＝－3，∴m ＝±1，a 2＝1，b 2＝2.直线l 的方程为y ＝x ±1，双曲线的方程为x 2－y 22＝1. 13.已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝52，虚轴长为2. (1)求双曲线C 的标准方程； (2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与双曲线C 相交于A ，B 两点(A ，B 均异于左，右顶点)，且以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．(1)解设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由已知，得c a ＝52，2b ＝2，又a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1. (2)证明设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y 2＝1，得 (1－4k 2)x 2－8mkx －4(m 2＋1)＝0，有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－4k 2≠0，Δ＝64m 2k 2＋16(1－4k 2)(m 2＋1)>0，x 1＋x 2＝8mk 1－4k 2，x 1x 2＝－4(m 2＋1)1－4k 2，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4k 21－4k 2，以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D (－2,0)，∴k AD k BD ＝－1，即y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝－1， ∴y 1y 2＋x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝0，∴m 2－4k 21－4k 2＋－4(m 2＋1)1－4k 2＋16mk 1－4k 2＋4＝0， ∴3m 2－16mk ＋20k 2＝0，解得m 1＝2k ，m 2＝10k 3. 当m 1＝2k 时，l 的方程为y ＝k (x ＋2)，直线过定点(－2,0)，与已知矛盾；当m 2＝10k 3时，l 的方程为y ＝k (x ＋103)，直线过定点(－103，0)，经检验符合已知条件． ∴直线l 过定点，定点坐标为(－103，0)．。

2017版高考数学北师大版(理)一轮复习第9章平面解析几何9.7双曲线文档

1．双曲线定义平面内到两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F 1F 2|)的点的集合叫作双曲线．这两个定点F 1，F 2叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0. (1)当2a <|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a >|F 1F 2|时，P 点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质【知识拓展】巧设双曲线方程(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1 (mn <0)．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．( √ )1．(教材改编)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A. 5 B ．5 C. 2 D ．2答案 A解析由题意得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2. ∴e 2＝c 2a2＝5，∴e ＝ 5.2．(2015·安徽)下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C ．x 2－y 22＝1D.x 22－y 2＝1 答案 A解析由双曲线渐近线方程的求法知：双曲线x 2－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.3．(2014·广东)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等答案 A解析因为0<k <9，所以两条曲线都表示双曲线．双曲线x 225－y 29－k＝1的实半轴长为5，虚半轴长为9－k ，焦距为225＋(9－k )＝234－k ，离心率为34－k 5.双曲线x 225－k －y 29＝1的实半轴长为25－k ，虚半轴长为3，焦距为2(25－k )＋9＝234－k ，离心率为34－k25－k，故两曲线只有焦距相等．故选A.4．在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点F 作x 轴的垂线l ，则l 与双曲线C 的两条渐近线所围成的三角形的面积是________．答案 4 3解析由题意得a 2＝1，b 2＝3，所以c ＝2，故F (2,0)，从而l ：x ＝2，又双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以直线l 与渐近线交于(2，±23)，因此，S ＝12×2×43＝4 3.5．(教材改编)经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．答案 x 28－y 28＝1解析设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a 2＝±1(a >0)，把点A (3，－1)代入，得a 2＝8，故所求方程为x 28－y 28＝1.题型一双曲线的定义及标准方程命题点1 双曲线定义的应用例1 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________．答案 x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |，因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝ |MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．命题点2 利用待定系数法求双曲线方程例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M (0,12)；(3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)．解 (1)设双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54.∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12. 又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1.(3)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.思维升华求双曲线标准方程的一般方法：(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a 、b 、c 的方程并求出a 、b 、c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ (λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值．(1)(2015·课标全国Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为__________________．(2)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________．答案 (1)x 24－y 2＝1 (2)x 216－y 29＝1解析 (1)由双曲线渐近线方程为y ＝±12x ，可设该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(2)由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ，则||PF 1|－|PF 2||＝8.由双曲线的定义知：a ＝4，b ＝3. 故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1.即x 216－y 29＝1. 题型二双曲线的几何性质例3 (1)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2F A →，则此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2D. 5(2)(2015·山东)平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．答案 (1)C (2)32解析 (1)如图，∵FB →＝2F A →，∴A 为线段BF 的中点， ∴∠2＝∠3.又∠1＝∠2，∴∠2＝60°，∴ba＝tan60°＝3， ∴e 2＝1＋(ba)2＝4，∴e ＝2.(2)由题意，不妨设直线OA 的方程为y ＝b a x ，直线OB 的方程为y ＝－ba x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 2＝2py ，得x 2＝2p ·ba x ，∴x ＝2pb a ，y ＝2pb 2a 2，∴A ⎝⎛⎭⎫2pb a ，2pb 2a 2.设抛物线C 2的焦点为F ，则F ⎝⎛⎭⎫0，p2， ∴k AF ＝2pb 2a 2－p22pb a.∵△OAB 的垂心为F ，∴AF ⊥OB ，∴k AF ·k OB ＝－1， ∴2pb 2a 2－p22pb a·⎝⎛⎭⎫－b a ＝－1，∴b 2a 2＝54. 设C 1的离心率为e ，则e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋54＝94.∴e ＝32.思维升华 (1)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±ba满足关系式e 2＝1＋k 2.(2)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用b 2＝c 2－a 2和e ＝ca 转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．(1)(2015·重庆)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点是F ，左，右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．±2(2)(2015·湖北)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( ) A ．对任意的a ，b ，e 1<e 2B ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2C ．对任意的a ，b ，e 1>e 2D ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2 答案 (1)C (2)B解析 (1)如图，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点F (c,0)，左，右顶点分别为A 1(－a,0)，A 2(a,0)，易求B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a ，则k A 2C ＝b 2aa －c ，k A 1B ＝b 2aa ＋c，又A 1B 与A 2C 垂直，则有k A 1B ·k A 2C ＝－1，即b 2aa ＋c ·b 2aa －c＝－1， ∴b 4a 2c 2－a2＝1，∴a 2＝b 2，即a ＝b ， ∴渐近线斜率k ＝±ba ＝±1.(2)e 1＝1＋b 2a2，e 2＝1＋(b ＋m )2(a ＋m )2.不妨令e 1<e 2，化简得b a <b ＋m a ＋m(m >0)，得bm <am ，得b <a .所以当b >a 时，有b a >b ＋m a ＋m ，即e 1>e 2；当b <a 时，有b a <b ＋ma ＋m ，即e 1<e 2.故选B.题型三直线与双曲线的综合问题例4 (1)(2015·四川)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于( ) A.433B ．2 3C ．6D ．4 3答案 D解析右焦点F (2,0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入渐近线方程得y 2＝12，∴y ＝±23， ∴A (2,23)，B (2，－23)，∴|AB |＝4 3.(2)若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B两点．①求k 的取值范围；②若|AB |＝63，点C 是双曲线上一点，且OC →＝m (OA →＋OB →)，求k ，m 的值．解 ①由⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝2，a 2＝c 2－1得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，c 2＝2，故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.(*)∵直线与双曲线右支交于A ，B 两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k >1，Δ＝(2k )2－4(1－k 2)×(－2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧k >1，－2<k <2，所以1<k < 2. 故k 的取值范围是{k |1<k <2}．②由(*)得x 1＋x 2＝2k k 2－1，x 1x 2＝2k 2－1，∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2(1＋k 2)(2－k 2)(k 2－1)2＝63，整理得28k 4－55k 2＋25＝0，∴k 2＝57或k 2＝54，又1<k <2，∴k ＝52，所以x 1＋x 2＝45，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8. 设C (x 3，y 3)，由OC →＝m (OA →＋OB →)，得(x 3，y 3)＝m (x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(45m,8m )． ∵点C 是双曲线上一点． ∴80m 2－64m 2＝1，得m ＝±14.故k ＝52，m ＝±14. 思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定． (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．已知双曲线C 的两个焦点分别为F 1(－2,0)，F 2(2，0)，双曲线C 上一点P 到F 1，F 2的距离差的绝对值等于2. (1)求双曲线C 的标准方程；(2)经过点M (2,1)作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程；(3)已知定点G (1,2)，点D 是双曲线C 右支上的动点，求|DF 1|＋|DG |的最小值．解 (1)依题意，得双曲线C 的实半轴长为a ＝1，半焦距为c ＝2，所以其虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 3.又其焦点在x 轴上，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 23＝1.(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－y 21＝3，3x 22－y 22＝3.两式相减，得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.因为M (2,1)为AB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，所以12(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6，故AB 所在直线l 的方程为y －1＝6(x －2)，即6x －y －11＝0.(3)由已知，得|DF 1|－|DF 2|＝2，即|DF 1|＝|DF 2|＋2，所以|DF 1|＋|DG |＝|DF 2|＋|DG |＋2≥|GF 2|＋2，当且仅当G ，D ，F 2三点共线时取等号．因为|GF 2|＝(1－2)2＋22＝5，所以|DF 2|＋|DG |＋2≥|GF 2|＋2＝5＋2，故|DF 1|＋|DG |的最小值为5＋2.14．忽视“判别式”致误典例 (12分)已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？易错分析由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，所以在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑“判别式”．致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑“判别式”，导致解题错误．规范解答解设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．[2分] 设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋1－k .[3分]由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0 (2－k 2≠0)．① [6分] ∴x 0＝x 1＋x 22＝k (1－k )2－k 2.由题意，得k (1－k )2－k 2＝1，解得k ＝2.[8分] 当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0. Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．[11分]∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点．[12分] 温馨提醒 (1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确．错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的．(2)本题属探索性问题．若存在，可用点差法求出AB 的斜率，进而求方程；也可以设斜率k ，利用待定系数法求方程．(3)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验．[方法与技巧]双曲线标准方程的求法：(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x 2m －y 2n ＝1 (mn >0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2＋By 2＝1 (AB <0)，这种形式在解题时更简便； (2)当已知双曲线的渐近线方程bx ±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ (λ≠0)，据其他条件确定λ的值． [失误与防范]1．区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 大小关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.2．双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±abx .4．若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．5．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．A 组专项基础训练 (时间：40分钟)1．(2015·广东)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C的方程为( ) A.x 24－y 23＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1 答案 C解析因为所求双曲线的右焦点为F 2(5,0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1，故选C.2．已知F 2，F 1是双曲线y 2a 2－x 2a 2＝1 (a >0，b >0)的上，下焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为( ) A ．3 B. 3 C ．2 D. 2 答案 C解析设点F 2关于渐近线的对称点为E ，则EF 2⊥EF 1，|EF 1|＝12|F 1F 2|，∴∠EF 2F 1＝30°，∠EF 1F 2＝60°，又F 1E 与一条渐近线平行，∴一条渐近线的倾斜角为30°，∴b a ＝3，∴ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2.3．(2014·江西)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 答案 A解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－ba x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－b ，∴A (a ，－b )．由题意知右焦点到原点的距离为c ＝4， ∴(a －4)2＋(－b )2＝4，即(a －4)2＋b 2＝16.而a 2＋b 2＝16，∴a ＝2，b ＝2 3. ∴双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.4．(2015·课标全国Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－233，233 答案 A解析由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， ∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 20<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33.故选A. 5．已知椭圆x 2a 21＋y 2b 21＝1 (a 1>b 1>0)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为e 1；双曲线x 2a 22－y 2b 22＝1 (a 2>0，b 2>0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为e 2.则e 1e 2等于( ) A.22B ．1 C. 3 D ．2答案 B 解析由b 21＝a 1c 1，得a 21－c 21＝a 1c 1，∴e 1＝c 1a 1＝5－12. 由b 22＝a 2c 2，得c 22－a 22＝a 2c 2，∴e 2＝c 2a 2＝5＋12. ∴e 1e 2＝5－12×5＋12＝1. 6．(2015·北京)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________.答案33解析双曲线x 2a 2－y 2＝1的渐近线为y ＝±xa ，已知一条渐近线为3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，因为a >0，所以1a ＝3，所以a ＝33.7．已知双曲线x 2m －y 23m ＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆y 2n －x 2m ＝1的焦距等于4，则n ＝________.答案 5解析因为双曲线的焦点是(0,2)，所以焦点在y 轴上，所以双曲线的方程为y 2－3m －x 2－m ＝1，即a 2＝－3m ，b 2＝－m ，所以c 2＝－3m －m ＝－4m ＝4，解得m ＝－1.所以椭圆方程为y 2n＋x2＝1，且n >0，椭圆的焦距为4，所以c 2＝n －1＝4或1－n ＝4，解得n ＝5或－3(舍去)． 8．若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为______________．答案 [3＋23，＋∞)解析由条件知a 2＋1＝22＝4，∴a 2＝3， ∴双曲线方程为x 23－y 2＝1，设P 点坐标为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋2，y )， ∵y 2＝x 23－1，∴OP →·FP →＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1＝43(x ＋34)2－74. 又∵x ≥3(P 为右支上任意一点)， ∴OP →·FP →≥3＋2 3.9．(2014·浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．答案52解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b a x ，x －3y ＋m ＝0得A (am 3b －a ，bm3b －a )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b ax ，x －3y ＋m ＝0得B (－am a ＋3b ，bm a ＋3b )，所以AB 的中点C 的坐标为(a 2m9b 2－a 2，3b 2m9b 2－a 2)．设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)，因为|P A |＝|PB |，所以PC ⊥l ，所以k PC ＝－3，化简得a 2＝4b 2. 在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2，所以e ＝c a ＝52.10．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左，右焦点分别是C 1的左，右顶点，而C 2的左，右顶点分别是C 1的左，右焦点． (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)，则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)>0，∴k 2≠13且k 2<1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2，∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13<k 2<3.②由①②得13<k 2<1，故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫33，1. B 组专项能力提升 (时间：25分钟)11．(2015·重庆)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ，若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－2，0)∪(0，2) D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案 A解析由题意作出图像如图所示．由x 2a 2－y 2b 2＝1可知A (a,0)， F (c,0)．易得B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a . ∵k AB ＝b 2ac －a ＝b 2a (c －a )，∴k CD ＝a (a －c )b 2. ∵k AC ＝b 2aa －c ＝b 2a (a －c )，∴k BD ＝－a (a －c )b 2.∴l BD ：y －b 2a ＝－a (a －c )b 2(x －c )，即y ＝－a (a －c )b 2x ＋ac (a －c )b 2＋b 2a ，l CD ：y ＋b 2a ＝a (a －c )b 2(x －c )，即y ＝a (a －c )b 2x －ac (a －c )b 2－b 2a .∴x D ＝c ＋b 4a 2(a －c ). ∴点D 到BC 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 4a 2(a －c ). ∴b 4a 2(c －a )<a ＋a 2＋b 2＝a ＋c ，∴b 4<a 2(c 2－a 2)＝a 2b 2， ∴a 2>b 2，∴0<b 2a 2<1.∴0<ba<1.12．设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O 、所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤233，2B.⎣⎡⎭⎫233，2C.⎝⎛⎭⎫233，＋∞D.⎣⎡⎭⎫233，＋∞ 答案 A解析由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴(或y 轴)对称．又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30°且小于等于60°，即tan30°<b a ≤tan60°，∴13<b 2a 2≤3.又e 2＝(c a )2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，∴43<e 2≤4，∴233<e ≤2，故选A. 13．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．答案 44解析由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5， ∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点，且|PQ |＝|QA |＋|P A |＝4b ＝16，由双曲线定义，得|PF |－|P A |＝6，|QF |－|QA |＝6.∴|PF |＋|QF |＝12＋|P A |＋|QA |＝28，因此△PQF 的周长为|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44.14．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为________．答案7解析如图，由双曲线定义得，|BF 1|－|BF 2|＝|AF 2|－|AF 1|＝2a ，因为△ABF 2是等边三角形，所以|BF 2|＝|AF 2|＝|AB |，因此|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，且∠F 1AF 2＝120°，在△F 1AF 2中，4c 2＝4a 2＋16a 2＋2×2a ×4a ×12＝28a 2，所以e ＝7.15．已知离心率为45的椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为234. (1)求椭圆及双曲线的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，在第二象限内取双曲线上一点P ，连接BP 交椭圆于点M ，连接P A 并延长交椭圆于点N ，若BM →＝MP →，求四边形ANBM 的面积．解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则根据题意知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，且满足⎩⎨⎧a 2－b 2a ＝45，2a 2＋b 2＝234，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝25，b 2＝9.∴椭圆的方程为x 225＋y 29＝1，双曲线的方程为x 225－y 29＝1. (2)由(1)得A (－5,0)，B (5,0)，|AB |＝10，设M (x 0，y 0)，则由BM →＝MP →得M 为BP 的中点，所以P 点坐标为(2x 0－5,2y 0)．将M 、P 坐标分别代入椭圆和双曲线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2025＋y 209＝1，(2x 0－5)225－4y 209＝1，消去y 0，得2x 20－5x 0－25＝0.解得x 0＝－52或x 0＝5(舍去)．∴y 0＝332. 由此可得M (－52，332)，∴P (－10,33)．当P 为(－10,33)时，直线P A 的方程是y ＝33－10＋5(x ＋5)，即y ＝－335(x ＋5)，代入x 225＋y 29＝1，得2x 2＋15x ＋25＝0.∴x ＝－52或－5(舍去)， ∴x N ＝－52，x N ＝x M ，MN ⊥x 轴． ∴S 四边形ANBM ＝2S △AMB ＝2×12×10×332＝15 3.。

北师大版2021版高考数学(理)一轮复习第九章平面解析几何第7讲双曲线练习(含答案)

北师大版2021版高考数学（理）一轮复习第九章平面解析几何第7讲双曲线练习[基础题组练]1．“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.因为方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线，所以(25－k )(k －9)<0，所以k <9或k >25，所以“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.2．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x 解析：选A.法一：由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以b a＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±2x ，故选A.法二：由e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x ，故选A.3．(2020·广东揭阳一模)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两焦点且与x 轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为( )A.5－1 B ．5＋12C.32D ．2解析：选B.将x ＝±c 代入双曲线的方程得y 2＝b 4a 2⇒y ＝±b 2a ，则2c ＝2b 2a，即有ac ＝b 2＝c 2－a 2，由e＝c a，可得e 2－e －1＝0，解得e ＝5＋12(舍负)．故选B. 4．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±22x C ．y ＝±x D ．y ＝±2x解析：选C.如图，不妨令B 在x 轴上方，因为BC 过右焦点F (c ，0)，且垂直于x 轴，所以可求得B ，C 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a .又A 1，A 2的坐标分别为(－a ，0)，(a ，0)．所以A 1B →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋a ，b 2a ，A 2C →＝⎝⎛⎭⎪⎫c －a ，－b 2a . 因为A 1B ⊥A 2C ，所以A 1B →·A 2C →＝0，即(c ＋a )(c －a )－b 2a ·b 2a ＝0，即c 2－a 2－b 4a2＝0，所以b 2－b 4a 2＝0，故b 2a 2＝1，即ba＝1.又双曲线的渐近线的斜率为±ba，故该双曲线的渐近线的方程为y ＝±x .5．(2020·河北衡水三模)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (5，0)作斜率为k (k ＜－1)的直线与双曲线过第一象限的渐近线垂直，且垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若S △BOF ＝53(O 为坐标原点)，则k 的值为( )A ．－ 2B ．－2C ．－ 3D ．－ 5解析：选B.由题意得双曲线过第一象限的渐近线方程为y ＝－1k x ，过第二象限的渐近线的方程为y ＝1kx ，直线FB 的方程为y ＝k (x －5)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －5），y ＝1kx ⇒x ＝5k 2k 2－1，所以y ＝5kk 2－1，所以S △BOF＝12|OF |×|y B |＝12×5×⎪⎪⎪⎪⎪⎪5k k 2－1＝52⎝ ⎛⎭⎪⎫－k k 2－1. 令52⎝ ⎛⎭⎪⎫－k k 2－1＝53，得k ＝－2或k ＝12(舍)．故选B. 6．(2020·黄山模拟)过双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点(－5，0)，作圆(x －5)2＋y 2＝4的切线，切点在双曲线E 上，则E 的离心率等于( )A ．2 5B ． 5 C.53D ．52解析：选B.设圆的圆心为G ，双曲线的左焦点为F .由圆的方程(x －5)2＋y 2＝4，知圆心坐标为G (5，0)，半径R ＝2，则FG ＝2 5.设切点为P ，则GP ⊥FP ，PG ＝2，PF ＝2＋2a ，由|PF |2＋|PG |2＝|FG |2，即(2＋2a )2＋4＝20，即(2＋2a )2＝16，得2＋2a ＝4，a ＝1，又c ＝5，所以双曲线的离心率e ＝ca＝5，故选B.7．设F 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，若线段OF 的垂直平分线与双曲线的渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为12|OF |，则双曲线的离心率为( )A ．2 2B ．233C ．2 3D ．3解析：选B.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±bax ，线段OF 的垂直平分线为直线x＝c 2，将x ＝c 2代入y ＝b a x ，则y ＝bc 2a ，则交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，bc2a ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，bc 2a 到直线y ＝－ba x ，即bx ＋ay ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪bc 2＋bc 2a 2＋b 2＝12|OF |＝c2，得c ＝2b ＝2c 2－a 2，即4a 2＝3c 2，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝233，故选B.8．已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C ．2 3D ．4解析：选B.因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F 的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2，0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x －2），y ＝33x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，所以|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3，所以|MN |＝3|OM |＝3，故选B.9．(2020·湛江模拟)设F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)的右焦点，过E 的右顶点作x 轴的垂线与E 的渐近线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，四边形OAFB 为菱形，圆x 2＋y 2＝c 2(c 2＝a 2＋b 2)与E 在第一象限的交点是P ，且|PF |＝7－1，则双曲线E 的方程是( )A.x 26－y 22＝1 B ．x 22－y 26＝1C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1解析：选D.双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，因为四边形OAFB 为菱形，所以对角线互相垂直平分，所以c ＝2a ，∠AOF ＝60°，所以ba＝ 3.则有⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 23a 2＝1，x 2＋y 2＝c 2＝4a 2，解得P ⎝⎛⎭⎪⎫72a ，32a .因为|PF |＝7－1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫72a －2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＝(7－1)2，解得a ＝1，则b ＝3，故双曲线E 的方程为x 2－y 23＝1.故选D.10．已知双曲线x 29－y 2b2＝1(b ＞0)的左顶点为A ，虚轴长为8，右焦点为F ，且⊙F 与双曲线的渐近线相切，若过点A 作⊙F 的两条切线，切点分别为M ，N ，则|MN |＝( )A ．8B ．4 2C ．2 3D ．4 3解析：选D.因为双曲线x 29－y 2b2＝1(b ＞0)的虚轴长为8，所以2b ＝8，解得b ＝4，因为a ＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，c 2＝a 2＋b 2＝25，A (－3，0)，所以c ＝5，所以F (5，0)，因为⊙F 与双曲线的渐近线相切，所以⊙F 的半径为|4×5＋0|42＋32＝4，所以|MF |＝4，因为|AF |＝a ＋c ＝3＋5＝8，所以|AM |＝82－42＝43，因为S 四边形AMFN ＝2×12|AM |·|MF |＝12|AF |·|MN |，所以2×12×43×4＝12×8|MN |，解得|MN |＝43，故选D.11．(2020·开封模拟)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P ，若PM →＝2MF →，则双曲线的离心率为( )A. 2 B ．62C. 3D ．2解析：选B.设P (0，3m )，由PM →＝2MF →，可得点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23c ，m ，因为OM ⊥PF ，所以m 23c ·3m －c ＝－1，所以m 2＝29c 2，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23c ，±2c 29，由|OM |2＋|MF |2＝|OF |2，|OM |＝a ，|OF |＝c 得，a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 32＋2c 29＝c 2，a 2＝23c 2，所以e ＝c a ＝62，故选B.12．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，D 为虚轴上的一个端点，且△ABD 为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，2)B ．(2，2＋2)C ．(2，2)D ．(1，2)∪(2＋2，＋∞)解析：选D.设双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F 1(－c ，0)，令x ＝－c ，可得y ＝±b 2a ，可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a . 又设D (0，b )，可得AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b －b 2a ，DA →＝⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a－b ，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2b 2a ，DB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－c ，－b －b 2a .由△ABD 为钝角三角形，可得∠DAB 为钝角或∠ADB 为钝角．当∠DAB 为钝角时，可得AD →·AB →<0，即为0－2b 2a·⎝ ⎛⎭⎪⎫b －b 2a <0，化为a >b ，即有a 2>b 2＝c 2－a 2.可得c 2<2a 2，即e ＝c a< 2.又e >1，可得1<e <2；当∠ADB 为钝角时，可得DA →·DB →<0，即为c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a －b <0，化为c 4－4a 2c 2＋2a 4>0，由e ＝c a ，可得e 4－4e 2＋2>0.又e >1，可得e >2＋ 2.综上可得，e 的范围为(1，2)∪(2＋2，＋∞)．故选D.13．焦点在x 轴上，焦距为10，且与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________．解析：设所求双曲线的标准方程为y 24－x 2＝－λ(λ>0)，即x 2λ－y 24λ＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1. 答案：x 25－y 220＝114．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线交双曲线的右支于点P ，且切点为T ，已知O 为坐标原点，M 为线段PF 1的中点(点M 在切点T 的右侧)，若△OTM 的周长为4a ，则双曲线的渐近线方程为________．解析：连接OT ，则OT ⊥F 1T ，在直角三角形OTF 1中，|F 1T |＝OF 21－OT 2＝c 2－a 2＝b .设双曲线的右焦点为F 2，连接PF 2，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，所以OM ＝12PF 2，所以|MO |－|MT |＝12|PF 2|－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－|F 1T | ＝12(|PF 2|－|PF 1|)＋b ＝12×(－2a )＋b ＝b －a . 又|MO |＋|MT |＋|TO |＝4a ，即|MO |＋|MT |＝3a ，故|MO |＝b ＋2a2，|MT |＝4a －b2，由勾股定理可得a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋2a 22，即b a ＝43，所以渐近线方程为y ＝±43x .答案：y ＝±43x15．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是________．解析：由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，设F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)．因为MF 1→·MF 2→<0，所以(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 20<0.因为点M (x 0，y 0)在双曲线C 上，所以x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，所以2＋2y 20－3＋y 20<0，所以－33<y 0<33. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 16．如图，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右两个焦点，若直线y ＝x 与双曲线C 交于P ，Q 两点，且四边形PF 1QF 2为矩形，则双曲线的离心率为________．解析：由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线y ＝x 代入双曲线C 方程，可得x ＝±a 2b 2b 2－a 2，所以2·a 2b 2b 2－a2＝c ，所以2a 2b 2＝c 2(b 2－a 2)，即2(e 2－1)＝e 4－2e 2，所以e 4－4e 2＋2＝0.因为e >1，所以e 2＝2＋2，所以e ＝2＋ 2.答案：2＋ 2[综合题组练]1．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c ，0)作圆O ：x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为E ，延长FE交双曲线于点P ，若E 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为( )A. 5 B ．52 C.5＋1 D ．5＋12解析：选A.法一：如图所示，不妨设E 在x 轴上方，F ′为双曲线的右焦点，连接OE ，PF ′，因为PF 是圆O 的切线，所以OE ⊥PE ，又E ，O 分别为PF ，FF ′的中点，所以|OE |＝12|PF ′|，又|OE |＝a ，所以|PF ′|＝2a ，根据双曲线的性质，|PF |－|PF ′|＝2a ，所以|PF |＝4a ，所以|EF |＝2a ，在Rt △OEF 中，|OE |2＋|EF |2＝|OF |2，即a 2＋4a 2＝c 2，所以e ＝5，故选A.法二：连接OE ，因为|OF |＝c ，|OE |＝a ，OE ⊥EF ，所以|EF |＝b ，设F ′为双曲线的右焦点，连接PF ′，因为O ，E 分别为线段FF ′，FP 的中点，所以|PF |＝2b ，|PF ′|＝2a ，所以|PF |－|PF ′|＝2a ，所以b ＝2a ，所以e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 5.2．(2020·汉中模拟)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，点P 是C 右支上异于顶点的任意一点，PQ 是∠F 1PF 2的平分线，过点F 1作PQ 的垂线，垂足为Q ，O 为坐标原点，则|OQ |( )A ．为定值aB ．为定值bC ．为定值cD ．不确定，随P 点位置变化而变化解析：选A.延长F 1Q ，PF 2交于点M ，则三角形PF 1M 为等腰三角形，可得Q 为F 1M 的中点，由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝|F 2M |＝2a ，由三角形中位线定理可得|OQ |＝12|F 2M |＝a ，故选A.3．以椭圆x 29＋y 25＝1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左、右焦点分别是F 1，F 2.已知点M 的坐标为(2，1)，双曲线C 上的点P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)满足PF 1→·MF 1→|PF 1→|＝F 2F 1→·MF 1→|F 2F 1→|，则S △PMF 1－S △PMF 2＝( )A ．2B ．4C ．1D ．－1解析：选A.由题意，知双曲线方程为x 24－y 25＝1，|PF 1|－|PF 2|＝4，由PF 1→·MF 1→|PF 1→|＝F 2F 1→·MF 1→|F 2F 1→|，可得F 1P →·F 1M→|MF 1→||F 1P →|＝F 1F 2→·F 1M→|MF 1→||F 1F 2→|，即F 1M 平分∠PF 1F 2.又结合平面几何知识可得，△F 1PF 2的内心在直线x ＝2上，所以点M (2，1)就是△F 1PF 2的内心．故S △PMF 1－S △PMF 2＝12×(|PF 1|－|PF 2|)×1＝12×4×1＝2.4．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．解析：通解：因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，如图．所以|OF 1|＝|OB |，所以∠BF 1O ＝∠F 1BO ，所以∠BOF 2＝2∠BF 1O .因为F 1A →＝AB →，所以点A 为F 1B 的中点，又点O 为F 1F 2的中点，所以OA ∥BF 2，所以F 1B ⊥OA ，因为直线OA ，OB 为双曲线C 的两条渐近线，所以tan∠BF 1O ＝a b ，tan ∠BOF 2＝b a .因为tan ∠BOF 2＝tan (2∠BF 1O )，所以b a＝2×a b1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2，所以b 2＝3a 2，所以c 2－a2＝3a 2，即2a ＝c ，所以双曲线的离心率e ＝c a＝2.优解：因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，在Rt △F 1BF 2中，|OB |＝|OF 2|，所以∠OBF 2＝∠OF 2B ，又F 1A →＝AB →，所以A 为F 1B 的中点，所以OA ∥F 2B ，所以∠F 1OA ＝∠OF 2B .又∠F 1OA ＝∠BOF 2，所以△OBF 2为等边三角形．由F 2(c ，0)可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，3c 2，因为点B在直线y ＝b a x 上，所以32c ＝b a ·c 2，所以ba＝3，所以e ＝1＋b 2a2＝2.答案：25．已知双曲线C ：x 24－y 2＝1，直线l ：y ＝kx ＋m 与双曲线C 相交于A ，B 两点(A ，B 均异于左、右顶点)，且以线段AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ，则直线l 所过定点为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y 2＝1，得(1－4k 2)x 2－8kmx －4(m 2＋1)＝0，所以Δ＝64m 2k 2＋16(1－4k 2)(m 2＋1)＞0，x 1＋x 2＝8mk 1－4k 2＞0，x 1x 2＝－4（m 2＋1）1－4k 2＜0，所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4k 21－4k 2. 因为以线段AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D (－2，0)，所以k AD ·k BD ＝－1，即y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝－1，所以y 1y 2＋x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝0，即m 2－4k 21－4k 2＋－4（m 2＋1）1－4k 2＋16mk 1－4k2＋4＝0，所以3m 2－16mk ＋20k 2＝0，解得m ＝2k 或m ＝10k 3. 当m ＝2k 时，l 的方程为y ＝k (x ＋2)，直线过定点(－2，0)，与已知矛盾；当m ＝10k 3时，l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋103，直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，0，经检验符合已知条件．故直线l 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，0. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，0 6．已知P 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上的任意一点，经过点P 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点．若点A ，B 分别位于第一、四象限，O 为坐标原点，当AP →＝12PB →时，△AOB 的面积为2b ，则双曲线C 的实轴长为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，由AP →＝12PB →，得(x －x 1，y －y 1)＝12(x 2－x ，y 2－y )，则x ＝23x 1＋13x 2，y ＝23y 1＋13y 2，所以（23x 1＋13x 2）2a 2－（23y 1＋13y 2）2b 2＝1. 由题意知A 在直线y ＝b a x 上，B 在y ＝－b a x 上，则y 1＝b a x 1，y 2＝－b ax 2.所以（23x 1＋13x 2）2a 2－（23y 1＋13y 2）2b 2＝1，即b 2(23x 1＋13x 2)2－a 2(2b 3a x 1－b 3ax 2)2＝a 2b 2，化简得：a 2＝89x 1x 2，由渐近线的对称性可得sin ∠AOB ＝sin 2∠AOx＝2sin ∠AOx cos ∠AOx sin 2∠AOx ＋cos 2∠AOx ＝2tan ∠AOx tan 2∠AOx ＋1＝2b a （b a）2＋1＝2ab b 2＋a 2. 所以△AOB 的面积为12|OA ||OB |sin ∠AOB ＝12x 21＋y 21·x 22＋y 22·sin ∠AOB ＝12x 21＋（b ax 1）2·x 22＋（－b a x 2）2·2ab b 2＋a 2 ＝x 1x 2·1＋（ba ）2·1＋（ba ）2·abb 2＋a 2＝98a 2·ab b 2＋a 2·[1＋(b a )2]＝98ab ＝2b ，解得a ＝169.所以双曲线C 的实轴长为329. 答案：329。

【K12教育学习资料】2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.7双曲线试题理北师大版

第九章平面解析几何 9.7 双曲线试题理北师大版1．双曲线定义平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质【知识拓展】巧设双曲线方程(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × )(2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．( √ )1．(教材改编)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A. 5 B ．5 C. 2 D ．2答案 A解析由题意得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2.∴e 2＝c 2a2＝5，∴e ＝ 5.2．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( ) A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．8 答案 C解析设C ：x 2a 2－y 2a2＝1.∵抛物线y 2＝16x 的准线为x ＝－4，联立x 2a 2－y 2a2＝1和x ＝－4，得A (－4，16－a 2)，B (－4，－16－a 2)，∴|AB |＝216－a 2＝43， ∴a ＝2，∴2a ＝4. ∴C 的实轴长为4.3．(2015·安徽)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1答案 C解析由双曲线性质知A 、B 项双曲线焦点在x 轴上，不合题意；C 、D 项双曲线焦点均在y 轴上，但D 项渐近线为y ＝±12x ，只有C 符合，故选C.4．(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________．答案 210解析由已知，a 2＝7，b 2＝3，则c 2＝7＋3＝10，故焦距为2c ＝210. 5．双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．答案255解析双曲线的一个顶点坐标为(2,0)，一条渐近线方程是y ＝12x ，即x －2y ＝0，则顶点到渐近线的距离d ＝|2－0|5＝255.题型一双曲线的定义及标准方程命题点1 利用定义求轨迹方程例1 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________．答案 x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |，因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝ |MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．命题点2 利用待定系数法求双曲线方程例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M (0,12)；(3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)．解 (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54.∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12. 又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1. (3)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.命题点3 利用定义解决焦点三角形问题例3 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左，右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝______. 答案 34解析 ∵由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2| ＝|PF 2|＝2a ＝22， ∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝22＋22－422×42×22＝34. 引申探究1．本例中将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“∠F 1PF 2＝60°”，则△F 1PF 2的面积是多少？解不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|·|PF 2|＝8，所以12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝2 3. 2．本例中将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，则△F 1PF 2的面积是多少？解不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，由于PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→，所以在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16，所以|PF 1|·|PF 2|＝4，所以12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|＝2. 思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．(1)已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左，右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为( ) A.37＋4 B.37－4 C.37－2 5D.37＋2 5(2)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D.3答案 (1)C (2)B解析 (1)由题意知，|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ，要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值，当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值，则|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|＝37，∴|AP |＋|AF 2|的最小值为|AP |＋|AF 1|－2a ＝37－2 5. 故选C.(2)不妨设P 为双曲线右支上一点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2.根据双曲线的定义，得r 1－r 2＝2a ，又r 1＋r 2＝3b ，故r 1＝3b ＋2a 2，r 2＝3b －2a 2.又r 1·r 2＝94ab ，所以3b ＋2a 2·3b －2a 2＝94ab ，解得b a ＝43(负值舍去)，故e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝(b a)2＋1(43)2＋1＝53，故选B. 题型二双曲线的几何性质例4 (1)(2016·浙江)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞1)与双曲线C 2：x 2n2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( ) A ．m ＞n 且e 1e 2＞1 B ．m ＞n 且e 1e 2＜1 C ．m ＜n 且e 1e 2＞1D ．m ＜n 且e 1e 2＜1(2)(2015·山东)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．答案 (1)A (2)32解析 (1)由题意可得m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2，又∵m ＞0，n ＞0，故m ＞n .又∵e 21·e 22＝m 2－1m 2·n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2＞1，∴e 1·e 2＞1. (2)由题意，不妨设直线OA 的方程为y ＝ba x ，直线OB 的方程为y ＝－b ax .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 2＝2py ，得x 2＝2p ·bax ，∴x ＝2pb a，y ＝2pb 2a2，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pb a，2pb 2a 2.设抛物线C 2的焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，∴k AF ＝2pb2a 2－p22pba.∵△OAB 的垂心为F ，∴AF ⊥OB ，∴k AF ·k OB ＝－1， ∴2pb2a 2－p22pb a·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－1，∴b 2a 2＝54.设C 1的离心率为e ，则e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋54＝94.∴e ＝32.思维升华双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±b a满足关系式e 2＝1＋k 2.(2016·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左，右焦点，点M 在E上，MF 1与x 轴垂直，sin∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32 C.3 D ．2答案 A解析离心率e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin∠MF 1F 2－sin∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2.故选A. 题型三直线与双曲线的综合问题例5 (2016·兰州模拟)已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左，右焦点分别是C 1的左，右顶点，而C 2的左，右顶点分别是C 1的左，右焦点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝－62k2＋－3k2＝361－k2>0，∴k 2≠13且k 2<1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2 ＝3k 2＋73k 2－1. 又∵OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2， ∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13<k 2<3，②由①②得13<k 2<1.故k 的取值范围为(－1，－33)∪(33，1)．思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定． (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．若双曲线E ：x 2a2－y 2＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若|AB |＝63，点C 是双曲线上一点，且OC →＝m (OA →＋OB →)，求k ，m 的值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧c a＝2，a 2＝c 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，c 2＝2，故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.(*) ∵直线与双曲线右支交于A ，B 两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k >1，Δ＝k2－－k2×－2>0，即⎩⎨⎧k >1，－2<k <2，所以1<k < 2.故k 的取值范围是{k |1<k <2}． (2)由(*)式得x 1＋x 2＝2k k 2－1，x 1x 2＝2k 2－1， ∴|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2＋k22－k2k 2－2＝63，整理得28k 4－55k 2＋25＝0，∴k 2＝57或k 2＝54，又1<k <2，∴k ＝52， ∴x 1＋x 2＝45，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8. 设C (x 3，y 3)，由OC →＝m (OA →＋OB →)，得(x 3，y 3)＝m (x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(45m,8m )． ∵点C 是双曲线上一点．∴80m 2－64m 2＝1，得m ＝±14.故k ＝52，m ＝±14.12．直线与圆锥曲线的交点典例已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点？错解展示现场纠错解设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋1－k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0(2－k 2≠0)．①∴x 0＝x 1＋x 22＝k 1－k2－k2. 由题意，得k 1－k2－k2＝1，解得k ＝2. 当k ＝2时，方程①可化为2x 2－4x ＋3＝0. Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点．纠错心得 (1)“点差法”解决直线与圆锥曲线的交点问题，要考虑变形的条件． (2)“判别式Δ≥0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法．1．(2016·广州联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的一条渐近线上，则C 的方程为( ) A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 答案 A解析依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝25，1＝ba×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝20，b 2＝5，∴双曲线C 的方程为x 220－y 25＝1.2．(2016·全国乙卷)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A ．(－1,3) B ．(－1，3) C ．(0,3) D ．(0，3)答案 A解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1， ∴－1<n <3，故选A.3．(2016·南昌联考)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M ，使得(OM →＋OF 2→)·F 2M →＝0(其中O 为坐标原点)，且|MF 1→|＝3|MF 2→|，则双曲线的离心率为( ) A.5－1 B.3＋12C.5＋12D.3＋1答案 D解析 ∵F 2M →＝OM →－OF 2→，∴(OM →＋OF 2→)·F 2M →＝(OM →＋OF 2→)·(OM →－OF 2→)＝0，即OM →2－OF 2→2＝0，∴|OF 2→|＝|OM →|＝c ，在△MF 1F 2中，边F 1F 2上的中线等于|F 1F 2|的一半，可得MF 1→⊥MF 2→.∵|MF 1→|＝3|MF 2→|， ∴可设|MF 2→|＝λ(λ>0)，|MF 1→|＝3λ，得(3λ)2＋λ2＝4c 2，解得λ＝c ， ∴|MF 1→|＝3c ，|MF 2→|＝c ，∴根据双曲线定义得2a ＝|MF 1→|－|MF 2→|＝(3－1)c ， ∴双曲线的离心率e ＝2c2a＝3＋1.4．(2016·庐江第二中学月考)已知椭圆x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为e 1；双曲线x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为e 2，则e 1e 2等于( ) A.22B ．1 C. 3 D ．2 答案 B解析由b 21＝a 1c 1，得a 21－c 21＝a 1c 1，∴e 1＝c 1a 1＝5－12. 由b 22＝a 2c 2，得c 22－a 22＝a 2c 2，∴e 2＝c 2a 2＝5＋12. ∴e 1e 2＝5－12×5＋12＝1.5．(2015·课标全国Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233答案 A解析由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， ∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 20<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33.故选A. 6．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,2) C ．(1,1＋2) D ．(2,1＋2)答案 B解析由题意易知点F 的坐标为(－c,0)，A (－c ，b 2a )，B (－c ，－b 2a)，E (a,0)，∵△ABE 是锐角三角形，∴EA →·EB →>0，即EA →·EB →＝(－c －a ，b 2a)·(－c －a ，－b 2a)>0，整理得3e 2＋2e >e 4，∴e (e 3－3e －3＋1)<0， ∴e (e ＋1)2(e －2)<0，解得e ∈(0,2)，又e >1， ∴e ∈(1,2)，故选B.7．(2017·江西新余一中调研)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 恰好是圆F ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0的圆心，且点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为1，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. 3C.233 D ．2 3答案 C解析 x 2＋y 2－4x ＋3＝0可化为(x －2)2＋y 2＝1，故F (2,0)，即c ＝2，点F 到一条渐近线的距离为b ，即b ＝1，∴a ＝c 2－b 2＝3，∴e ＝c a ＝233.8．(2016·浙江)设双曲线x 2－y 23＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．答案 (27，8)解析如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而|F 1F 2|＝4，由对称性不妨设P 在右支上，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2，由于△PF 1F 2为锐角三角形，结合实际意义需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2＜m 2＋42，42＜m ＋2＋m 2，解得－1＋7＜m ＜3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2， ∴27＜2m ＋2＜8.9．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________．答案 53解析由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a .在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2.要求e 的最大值，即求cos∠F 1PF 2的最小值， ∴当cos∠F 1PF 2＝－1时，得e ＝53，即e 的最大值为53.10．(2015·课标全国Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 的周长最小时，该三角形的面积为________．答案 12 6解析设左焦点为F 1，|PF |－|PF 1|＝2a ＝2，∴|PF |＝2＋|PF 1|，△APF 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2＋|PF 1|，△APF 的周长最小即为|AP |＋|PF 1|最小，当A 、P 、F 1在一条直线上时最小，过AF 1的直线方程为x －3＋y66＝1，与x 2－y 28＝1联立，解得P 点坐标为(－2,26)，此时S △APF ＝11－AF FF PFSS＝12 6.11．中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos∠F 1PF 2的值．解 (1)由已知c ＝13，设椭圆长半轴长，短半轴长分别为a ，b ，双曲线实半轴长，虚半轴长分别为m ，n ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7·13a ＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2，∴椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1，F 2分别为左，右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝10，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝213，∴cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝102＋42－1322×10×4＝45. 12．(2016·湖北部分重点中学第一次联考)在面积为9的△ABC 中，tan∠BAC ＝－43，且CD →＝2DB →，现建立以A 点为坐标原点，以∠BAC 的平分线所在直线为x 轴的平面直角坐标系，如图所示 .(1)求AB ，AC 所在直线的方程；(2)求以AB ，AC 所在直线为渐近线且过点D 的双曲线的方程；(3)过D 分别作AB ，AC 所在直线的垂线DF ，DE (E ，F 为垂足)，求DE →·DF →的值．解 (1)设∠CAx ＝α，则由tan∠BAC ＝tan 2α ＝2tan α1－tan 2α＝－43及α为锐角，得tan α＝2，∴AC 所在直线方程为y ＝2x ，AB 所在直线方程为y ＝－2x .(2)设所求双曲线的方程为4x 2－y 2＝λ(λ≠0)，C (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1>0，x 2>0)．由CD →＝2DB →，得D (x 1＋2x 23，2x 1－4x 23)．∵点D 在双曲线上，∴4(x 1＋2x 23)2－(2x 1－4x 23)2＝λ，∴329x 1x 2＝λ.① 由tan∠BAC ＝－43，得sin∠BAC ＝45.∵|AB |＝x 22＋y 22＝5x 2，|AC |＝x 21＋y 21＝5x 1， ∴S △ABC ＝12|AB |·|AC |·sin∠BAC＝12×5x 1x 2×45 ＝2x 1x 2＝9，代入①，得λ＝16，∴双曲线的方程为x 24－y 216＝1.(3)由题意知〈DE →，DF →〉＝π－∠BAC ， ∴cos〈DE →，DF →〉＝－cos∠BAC ＝35，设D (x 0，y 0)，则x 204－y 2016＝1.又∵点D 到AB ，AC 所在直线距离分别为|DF →|＝|2x 0＋y 0|5，|DE →|＝|2x 0－y 0|5，∴DE →·DF →＝|DE →||DF →|·cos〈DE →，DF →〉＝|2x 0－y 0|5·|2x 0＋y 0|5×35＝4825.13.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点是F 2(2,0)，且b ＝3a .(1)求双曲线C 的方程；(2)设经过焦点F 2的直线l 的一个法向量为(m,1)，当直线l 与双曲线C 的右支交于不同的两点A ，B 时，求实数m 的取值范围，并证明AB 中点M 在曲线3(x －1)2－y 2＝3上； (3)设(2)中直线l 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，问是否存在实数m ，使得∠AOB 为锐角？若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解 (1)c ＝2，c 2＝a 2＋b 2， ∴4＝a 2＋3a 2，∴a 2＝1，b 2＝3， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)l ：m (x －2)＋y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－mx ＋2m ，x 2－y 23＝1，得(3－m 2)x 2＋4m 2x －4m 2－3＝0. 由Δ>0，得4m 4＋(3－m 2)(4m 2＋3)>0， 12m 2＋9－3m 2>0，即m 2＋1>0恒成立．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4m 2m 2－3，x 1x 2＝4m 2＋3m 2－3.又⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2>0，x 1·x 2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m2m 2－3>0，4m 2＋3m 2－3>0，∴m 2>3，∴m ∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)． ∵x 1＋x 22＝2m 2m 2－3，y 1＋y 22＝－2m 3m 2－3＋2m ＝－6m m 2－3， ∴AB 的中点M (2m 2m 2－3，－6mm 2－3)，∵3(2m 2m 2－3－1)2－36m 2m 2－2＝3×m 2＋2m 2－2－36m 2m 2－2＝3×m 4＋6m 2＋9－12m 2m 2－2＝3，∴M 在曲线3(x －1)2－y 2＝3上． (3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，假设存在实数m ，使∠AOB 为锐角，则OA →·OB →>0，∴x 1x 2＋y 1y 2>0. ∵y 1y 2＝(－mx 1＋2m )(－mx 2＋2m ) ＝m 2x 1x 2－2m 2(x 1＋x 2)＋4m 2， ∴(1＋m 2)x 1x 2－2m 2(x 1＋x 2)＋4m 2>0， ∴(1＋m 2)(4m 2＋3)－8m 4＋4m 2(m 2－3)>0，即7m 2＋3－12m 2>0，∴m 2<35，与m 2>3矛盾，∴不存在实数m ，使得∠AOB 为锐角．。

高考理科数学(北师大版)一轮复习课件第九章第7讲双曲线

双曲线的标准方程(师生共研)
(1)(一题多解)与椭圆x42＋y2＝1 共焦点且过点 P(2，1)的双曲线方程是 (
)
A.x42－y2＝1 C.x32－y32＝1
B．x22－y2＝1 D．x2－y22＝1
(2)(一题多解)若双曲线的渐近线方程为 y＝±12x，且经过点(4， 3)，则双曲线的方程为
________．
A1(0，－a)，A2(0，a)
y＝±bax
y＝±abx
c e＝____a_____，e∈(1，＋∞)
性质
实虚轴
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a 叫做双曲线的实
半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c 的关系
9c2－9a2＝16a2，所以 25a2＝9c2，所以 e＝53. 答案：53
双曲线的定义(多维探究)
角度一利用定义求轨迹方程已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 和圆 C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆 M 同时与圆 C1 及圆
C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为____________．
1．(2020·河南非凡联盟 4 月联考)已知双曲线 C：xa22－y92＝1(a＞0)的左、右焦点分别为
F1，F2，一条渐近线与直线 4x＋3y＝0 垂直，点 M 在 C 上，且|MF2|＝6，则|MF1|＝
A．2 或 14
B．2
()
C．14
D．2 或 10
解析：选 C.由题意知3a＝34，故 a＝4，则 c＝5.由|MF2|＝6＜a＋c＝9，知点 M 在 C 的右
【解析】如图所示，设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于点 A 和点 B.根据两圆外切的条件，得 |MC1|－|AC1|＝|MA|， |MC2|－|BC2|＝|MB|，因为|MA|＝|MB|，所以 |MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点 M 到两定点 C1、C2 的距离的差是常数且小于 |C1C2|＝6.

2019届高考数学北师大版理大一轮复习讲义：第九章平

§9.7 双曲线1．双曲线定义平面内到两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F 1F 2|)的点的集合叫作双曲线．这两个定点F 1，F 2叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0. (1)当2a <|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a >|F 1F 2|时，P 点不存在． 2．双曲线的标准方程和简单性质知识拓展巧设双曲线方程(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．( √ ) 题组二教材改编2．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A. 5 B ．5 C. 2 D ．2 答案 A解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a ±yb ＝0，即bx ±ay＝0， ∴2a ＝bc a 2＋b2＝b .又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2.∴e 2＝c 2a2＝5，∴e ＝ 5.3．经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．答案 x 28－y 28＝1解析设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a 2＝±1(a >0)，把点A (3，－1)代入，得a 2＝8(舍负)，故所求方程为x 28－y 28＝1.题组三易错自纠4．(2016·全国Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3) 答案 A解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3，故选A.5．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73 B.54 C.43 D.53答案 D解析由条件知y ＝－b a x 过点(3，－4)，∴3ba ＝4，即3b ＝4a ，∴9b 2＝16a 2，∴9c 2－9a 2＝16a 2， ∴25a 2＝9c 2，∴e ＝53.故选D.6．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为_______．答案 x 24－y 2＝1解析由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.题型一双曲线的定义及标准方程命题点1 利用定义求轨迹方程典例 (2018·大连模拟)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________．答案 x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |，因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 2，C 1的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．命题点2 利用待定系数法求双曲线方程典例根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M (0,12)；(3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)．解 (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12. 又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1.(3)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.命题点3 利用定义解决焦点三角形问题典例已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________. 答案 34解析 ∵由双曲线的定义有 |PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22， ∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.引申探究1．本例中，若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“∠F 1PF 2＝60°”，则△F 1PF 2的面积是多少？解不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴12F PF S ＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2 3.2．本例中，若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，则△F 1PF 2的面积是多少？解不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝4， ∴12F PF S ＝12|PF 1|·|PF 2|＝2.思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF 1－PF 2|＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．(3)利用待定系数法求双曲线方程要先定形，再定量，如果已知双曲线的渐近线方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．跟踪训练 (1)(2018·沈阳模拟)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________________．答案 x 216－y 29＝1解析由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5，0)，设曲线C 2上的一点P ，则||PF 1|－|PF 2||＝8.由双曲线的定义知，a ＝4，b ＝3. 故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1.即x 216－y 29＝1. (2)(2016·天津)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1D.x 24－y 212＝1 答案 D解析由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b 2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝44＋b 2，y ＝2b 4＋b 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b 2，y ＝－2b 4＋b 2，即第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫44＋b 2，2b 4＋b 2.由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b 2，4b4＋b 2，故8×4b 4＋b 2＝2b ，得b 2＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D.题型二双曲线的简单性质典例 (1)已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0答案 A解析由题意，不妨设|PF 1|>|PF 2|，则根据双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c >a ，所以有|PF 2|<|F 1F 2|，所以∠PF 1F 2＝30°，所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2·2c ·4a cos 30°，得c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a .所以双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x ，即2x ±y ＝0.(2)(2016·山东)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是______．答案 2解析由已知得|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c ，∴2×2b 2a＝3×2c .又∵b 2＝c 2－a 2，整理得2c 2－3ac －2a 2＝0，两边同除以a 2，得2⎝⎛⎭⎫c a 2－3c a －2＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2.思维升华双曲线的简单性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±ba满足关系式e 2＝1＋k 2.跟踪训练 (2016·全国Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3 D ．2答案 A解析离心率e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2.故选A.题型三直线与双曲线的综合问题典例 (2018·福州模拟)已知直线y ＝kx －1和双曲线x 2－y 2＝1的右支交于不同两点，则k 的取值范围是________．答案 (1，2)解析由直线y ＝kx －1和双曲线x 2－y 2＝1联立方程组，消y 得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，因为该方程有两个不等且都大于1的根，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)>0，－k1－k 2>1，(1－k 2＋2k －2)(1－k 2)>0，解得1<k < 2.思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定． (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．跟踪训练 (2017·贵州贵阳第一中学月考)已知双曲线x 22－y 23＝1上存在两点P ，Q 关于直线y ＝x＋b 对称，且PQ 的中点M 在抛物线y 2＝9x 上，则实数b 的值为( ) A ．0或－10 B ．0或－2 C ．－2 D ．－10答案 A解析因为点P ，Q 关于直线y ＝x ＋b 对称，所以PQ 的垂直平分线为y ＝x ＋b ，所以直线PQ 的斜率为－1.设直线PQ 的方程为y ＝－x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m ，x 22－y 23＝1，得x 2＋4mx －2m 2－6＝0，所以x P ＋x Q ＝－4m ，所以x M ＝－2m ，所以M (－2m,3m )．因为PQ 的中点M 在抛物线y 2＝9x 上，所以9m 2＝9(－2m )，解得m ＝0或m ＝－2，又PQ 的中点M 也在直线y ＝x ＋b 上，得b ＝5m ，∴b ＝0或－10，故选A.直线与圆锥曲线的交点典例若直线y ＝kx ＋2与曲线x ＝y 2＋6交于不同的两点，那么k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎫－153，－1错解展示：由直线y ＝kx ＋2与曲线x 2－y 2＝6相切，得x 2－(kx ＋2)2＝6，Δ＝16k 2－4(1－k 2)(－10)＝0，解得k ＝±153，所以k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－153，153. 错误答案 A 现场纠错解析曲线x ＝y 2＋6表示焦点在x 轴上的双曲线的右支，由直线y ＝kx ＋2与双曲线方程联立得⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，x ＝y 2＋6，消去y ，得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0. 由直线与双曲线右支交于不同两点，得⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，4k1－k 2>0，－101－k 2>0，Δ＝16k 2＋40(1－k 2)>0，解得k ∈⎝⎛⎭⎫－153，－1.故选D. 答案 D纠错心得(1)“判别式Δ≥0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法． (2)直线与圆锥曲线的交点问题往往需考虑圆锥曲线的几何性质，数形结合求解．1．(2018·新余摸底)双曲线x 2a 2－y 24a 2＝1(a ≠0)的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±12xC ．y ＝±4xD ．y ＝±2x答案 A解析根据双曲线的渐近线方程知， y ＝±2aax ＝±2x ，故选A.2．(2017·山西省四校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，右焦点F 到渐近线的距离为2，点F 到原点的距离为3，则双曲线C 的离心率e 为( )A.53 B.355 C.63 D.62答案 B解析 ∵右焦点F 到渐近线的距离为2，∴F (c,0)到y ＝b a x 的距离为2，即|bc |a 2＋b 2＝2，又b >0，c >0，a 2＋b 2＝c 2，∴bcc ＝b ＝2.∵点F 到原点的距离为3，∴c ＝3，∴a ＝c 2－b 2＝5，∴离心率e ＝c a ＝35＝355.3．(2017·河南新乡二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为( ) A.x 26－y 25＝1 B.x 28－y 212＝1 C.x 28－y 24＝1 D.x 24－y 26＝1 答案 D解析不妨设B (0，b )，由BA →＝2AF →，F (c,0)，可得A ⎝⎛⎭⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得49×c 2a 2－19＝1，即49·a 2＋b 2a 2＝109， ∴b 2a 2＝32.① 又|BF →|＝b 2＋c 2＝4，c 2＝a 2＋b 2， ∴a 2＋2b 2＝16，②由①②可得，a 2＝4，b 2＝6，∴双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1，故选D.4．(2017·福建龙岩二模)已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若2OMF S ＝16，则双曲线的实轴长是( ) A ．32 B ．16 C ．84 D ．4答案 B解析由题意知F 2(c,0)，不妨令点M 在渐近线y ＝b a x 上，由题意可知|F 2M |＝bca 2＋b2＝b ，所以|OM |＝c 2－b 2＝a .由2OMF S ＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，c a ＝52，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C 的实轴长为16.故选B.5．(2018·开封模拟)已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2是C的两个焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则P 到x 轴的距离为( ) A.233B. 2 C ．2 D.263答案 C解析由题意知F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，则可设P (x 0，2x 0)．由PF 1→·PF 2→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2，故选C.6．(2018·武汉调研)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为13bc3，则双曲线的离心率为( ) A.52 B.53 C.132D.133 答案 D解析由题意可求得|AB |＝2bc a ，所以S △OAB ＝12×2bc a ×c ＝13bc 3，整理得c a ＝133，即e ＝133，故选D.7．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、4为半径的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 答案 A解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－ba x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－b ，∴A (a ，－b )．由题意知右焦点到原点的距离为c ＝4， ∴(a －4)2＋(－b )2＝4，即(a －4)2＋b 2＝16. 而a 2＋b 2＝16，∴a ＝2，b ＝2 3. ∴双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.8．(2018·郑州模拟)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上存在一点P 满足以|OP |为边长的正方形的面积等于2ab (其中O 为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤1，52 B.⎝⎛⎦⎤1，72 C.⎣⎡⎭⎫52，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫72，＋∞答案 C解析由条件，得|OP |2＝2ab ，又P 为双曲线上一点，从而|OP |≥a ，∴2ab ≥a 2，∴2b ≥a ，又∵c 2＝a 2＋b 2≥a 2＋a 24＝54a 2，∴e ＝c a ≥52.9．(2016·北京)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________. 答案 1 2解析由2x ＋y ＝0，得y ＝－2x ，所以ba ＝2.又c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝1，b ＝2.10．设动圆C 与两圆C 1：(x ＋5)2＋y 2＝4，C 2：(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切，则动圆圆心C 的轨迹方程为____________．答案 x 24－y 2＝1解析设圆C 的圆心C 的坐标为(x ，y )，半径为r ，由题设知r >2，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ |CC 1|＝r ＋2，|CC 2|＝r －2或⎩⎪⎨⎪⎧|CC 1|＝r －2，|CC 2|＝r ＋2，∴||CC 1|－|CC 2||＝4<25＝|C 1C 2|，即圆心C 的轨迹L 是以C 1，C 2为焦点，4为实轴长的双曲线，∴L 的方程为x 2⎝⎛⎭⎫422－y 2(5)2－⎝⎛⎭⎫422＝1，即x 24－y 2＝1. 11．(2018·南昌调研)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．答案52解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b a x ，x －3y ＋m ＝0，得A ⎝⎛⎭⎫am 3b －a ，bm3b －a ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，x －3y ＋m ＝0得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－am a ＋3b ，bm a ＋3b ，所以AB 的中点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2m 9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2.设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)，因为|P A |＝|PB |，所以PC ⊥l ，所以k PC ＝－3，化简得a 2＝4b 2. 在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝54a 2，所以e ＝c a ＝52.12．设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．答案 (27，8)解析如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而|F 1F 2|＝4，由对称性不妨设P 在右支上，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2，由于△PF 1F 2为锐角三角形，结合实际意义可知m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋2)2＜m 2＋42，42＜(m ＋2)2＋m 2，解得－1＋7＜m ＜3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2， ∴27＜2m ＋2＜8.13．(2017·湖北黄冈二模)已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1→的值为( )A ．3B ．2C ．－3D ．－2答案 B解析由题意及正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝e ＝2，∴|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2.又|F 1F 2|＝4，由余弦定理可知cos ∠PF 2F 1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝4＋16－162×2×4＝14，∴F 2P →·F 2F 1→＝|F 2P →|·|F 2F 1→|cos ∠PF 2F 1＝2×4×14＝2.故选B.14．(2017·安庆二模)已知F 1，F 2为双曲线的焦点，过F 2作垂直于实轴的直线交双曲线于A ，B 两点，BF 1交y 轴于点C ，若AC ⊥BF 1，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 2 D ．2 3答案 B解析不妨设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由已知，取A 点坐标为⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，取B 点坐标为⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ，则C 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－b 22a 且F 1(－c,0)．由AC ⊥BF 1知AC →·BF 1→＝0，又AC →＝⎝⎛⎭⎫－c ，－3b 22a ，BF 1→＝⎝⎛⎭⎫－2c ，b 2a ，可得2c 2－3b 42a 2＝0，又b 2＝c 2－a 2，可得3c 4－10c 2a 2＋3a 4＝0，则有3e 4－10e 2＋3＝0，可得e 2＝3或13，又e >1，所以e ＝ 3.故选B.15．(2017·福州质检)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝6，P 是E 右支上的一点，PF 1与y 轴交于点A ，△P AF 2的内切圆与边AF 2的切点为Q .若|AQ |＝3，则E 的离心率是( ) A ．2 3 B. 5 C. 3D. 2答案 C解析如图所示，设PF 1，PF 2分别与△P AF 2的内切圆切于M ，N ，依题意，有|MA |＝|AQ |，|NP |＝|MP |，|NF 2|＝|QF 2|，|AF 1|＝|AF 2|＝|QA |＋|QF 2|,2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝(|AF 1|＋|MA |＋|MP |)－(|NP |＋|NF 2|)＝2|QA |＝23，故a ＝3，从而e ＝c a ＝33＝3，故选C.16．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________．答案 53解析由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a .当P ，F 1，F 2三点不共线时，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22·|PF 1|·|PF 2|＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2，即e 2＝179－89cos ∠F 1PF 2.∵cos ∠F 1PF 2∈(－1,1)，∴e ∈⎝⎛⎭⎫1，53. 当P ，F 1，F 2三点共线时， ∵|PF 1|＝4|PF 2|，∴e ＝c a ＝53.综上，e 的最大值为53.。

2019届高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第7讲双曲线配套练习文北师大版201805053265

第7讲双曲线一、选择题1．(2017·郑州模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±22x C ．y ＝±2xD ．y ＝±2x解析因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ，故选B. 答案 B2．(2015·广东卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1 解析因为所求双曲线的右焦点为F 2(5,0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1，故选C.答案 C3．(2017·山西省四校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，右焦点F 到渐近线的距离为2，点F 到原点的距离为3，则双曲线C 的离心率e 为( ) A.53 B.355 C.63 D.62解析 ∵右焦点F 到渐近线的距离为2，∴F (c,0)到y ＝bax 的距离为2，即|bc |a 2＋b 2＝2，又b ＞0，c ＞0，a 2＋b 2＝c 2，∴bc c＝b ＝2，又∵点F 到原点的距离为3，∴c ＝3，∴a ＝c 2－b 2＝5，∴离心率e ＝c a＝35＝355.答案 B4．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45解析由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2. 由双曲线定义，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.答案 C5．(2017·成都诊断)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433B ．2 3C ．6D ．4 3 解析由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2,23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3. 答案 D 二、填空题6．(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________．解析由已知，得a 2＝7，b 2＝3，则c 2＝7＋3＝10，故焦距为2c ＝210. 答案 2107．(2016·北京卷)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________. 解析取B 为双曲线右焦点，如图所示．∵四边形OABC 为正方形且边长为2，∴c ＝|OB |＝22，又∠AOB ＝π4，∴b a ＝tan π4＝1，即a ＝b . 又a 2＋b 2＝c 2＝8，∴a ＝2. 答案 28．(2016·山东卷)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．解析由已知得|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c ，∴2×2b2a＝3×2c .又∵b 2＝c 2－a 2，整理得：2c 2－3ac －2a 2＝0，两边同除以a 2得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a －2＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去)．答案 2 三、解答题9．(2017·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)． (1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0. (1)解 ∵e ＝2，∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6.(2)证明法一由(1)可知，a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3，故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0. 法二由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵点M (3,0)在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.10．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点． (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →＞2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝－62k2＋361－3k2＝361－k2＞0，∴k 2≠13且k 2＜1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA →·OB →＞2，得x 1x 2＋y 1y 2＞2，∴3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0，解得13＜k 2＜3.② 由①②得13＜k 2＜1，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1. 11．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 解析由双曲线方程知右顶点为(a,0)，不妨设其中一条渐近线方程为y ＝bax ，因此可得点A 的坐标为(a ，b )．设右焦点为F (c,0)，由已知可知c ＝4，且|AF |＝4，即(c －a )2＋b 2＝16，所以有(c －a )2＋b 2＝c 2，又c 2＝a 2＋b 2，则c ＝2a ，即a ＝c2＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1，故选A.答案 A12．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上存在一点P 满足以|OP |为边长的正方形的面积等于2ab (其中O 为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，52 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，72 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞ 解析由条件，得|OP |2＝2ab ，又P 为双曲线上一点，从而|OP |≥a ，∴2ab ≥a 2，∴2b ≥a ，又∵c 2＝a 2＋b 2≥a 2＋a 24＝54a 2，∴e ＝c a ≥52.答案 C13．(2016·浙江卷)设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．解析如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而|F 1F 2|＝4，由对称性不妨设点P 在右支上，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2，由于△PF 1F 2为锐角三角形，结合实际意义需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ＋22＜m 2＋42，42＜m ＋22＋m 2，解得－1＋7＜m ＜3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2， ∴27＜2m ＋2＜8. 答案 (27，8)14．已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为255.(1)求此双曲线的方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若A P →＝P B →，求△AOB 的面积．解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝2，|2×0＋a |5＝255，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线的方程为y 24－x 2＝1. (2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设A (m,2m )，B (－n,2n )，其中m ＞0，n ＞0，由A P →＝P B →得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫m －n 2，m ＋n .将点P 的坐标代入y 24－x 2＝1，整理得mn ＝1. 设∠AOB ＝2θ，∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝2，则tan θ＝12，从而sin 2θ＝45.又|OA |＝5m ，|OB |＝5n ， ∴S △AOB ＝12|OA ||OB |sin 2θ＝2mn ＝2.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

2021版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第7讲双曲线练习理北师大版

第7讲双曲线[基础题组练]1．“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.因为方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线，所以(25－k )(k －9)<0，所以k <9或k >25，所以“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.2．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x 解析：选A.法一：由题意知，e ＝c a＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x ，故选A. 法二：由e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x ，故选A.3．(2020·广东揭阳一模)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两焦点且与x 轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为( )A.5－1 B ．5＋12C.32D ．2解析：选B.将x ＝±c 代入双曲线的方程得y 2＝b 4a 2⇒y ＝±b 2a ，则2c ＝2b 2a，即有ac ＝b2＝c 2－a 2，由e ＝c a，可得e 2－e －1＝0，解得e ＝5＋12(舍负)．故选B. 4．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±22x C ．y ＝±x D ．y ＝±2x解析：选C.如图，不妨令B 在x 轴上方，因为BC 过右焦点F (c ，0)，且垂直于x 轴，所以可求得B ，C 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a .又A 1，A 2的坐标分别为(－a ，0)，(a ，0)．所以A 1B →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋a ，b 2a ，A 2C →＝⎝⎛⎭⎪⎫c －a ，－b 2a .因为A 1B ⊥A 2C ，所以A 1B →·A 2C →＝0，即(c ＋a )(c －a )－b 2a ·b 2a ＝0，即c 2－a 2－b 4a2＝0，所以b 2－b 4a 2＝0，故b 2a 2＝1，即ba＝1.又双曲线的渐近线的斜率为±ba，故该双曲线的渐近线的方程为y ＝±x .5．(2020·河北衡水三模)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (5，0)作斜率为k (k ＜－1)的直线与双曲线过第一象限的渐近线垂直，且垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若S △BOF ＝53(O 为坐标原点)，则k 的值为( )A ．－ 2B ．－2C ．－ 3D ．－ 5解析：选B.由题意得双曲线过第一象限的渐近线方程为y ＝－1kx ，过第二象限的渐近线的方程为y ＝1kx ，直线FB 的方程为y ＝k (x －5)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －5），y ＝1kx ⇒x ＝5k2k 2－1，所以y ＝5k k 2－1，所以S △BOF ＝12|OF |×|y B |＝12×5×⎪⎪⎪⎪⎪⎪5k k 2－1＝52⎝ ⎛⎭⎪⎫－k k 2－1. 令52⎝ ⎛⎭⎪⎫－k k 2－1＝53，得k ＝－2或k ＝12(舍)．故选B. 6．(2020·黄山模拟)过双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点(－5，0)，作圆(x －5)2＋y 2＝4的切线，切点在双曲线E 上，则E 的离心率等于( )A ．2 5B ． 5 C.53D ．52解析：选B.设圆的圆心为G ，双曲线的左焦点为F .由圆的方程(x －5)2＋y 2＝4，知圆心坐标为G (5，0)，半径R ＝2，则FG ＝2 5.设切点为P ，则GP ⊥FP ，PG ＝2，PF ＝2＋2a ，由|PF |2＋|PG |2＝|FG |2，即(2＋2a )2＋4＝20，即(2＋2a )2＝16，得2＋2a ＝4，a ＝1，又c ＝5，所以双曲线的离心率e ＝c a＝5，故选B.7．设F 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，若线段OF 的垂直平分线与双曲线的渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为12|OF |，则双曲线的离心率为( )A ．2 2B ．233C ．2 3D ．3解析：选B.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±bax ，线段OF 的垂直平分线为直线x ＝c 2，将x ＝c 2代入y ＝b a x ，则y ＝bc 2a ，则交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，bc2a ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，bc 2a 到直线y ＝－ba x ，即bx ＋ay ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪bc 2＋bc 2a 2＋b 2＝12|OF |＝c2，得c ＝2b ＝2c 2－a 2，即4a 2＝3c 2，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝233，故选B.8．已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C ．2 3D ．4解析：选B.因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F 的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2，0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x －2），y ＝33x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，所以|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3，所以|MN |＝3|OM |＝3，故选B.9．(2020·湛江模拟)设F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)的右焦点，过E 的右顶点作x 轴的垂线与E 的渐近线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，四边形OAFB 为菱形，圆x 2＋y 2＝c 2(c 2＝a 2＋b 2)与E 在第一象限的交点是P ，且|PF |＝7－1，则双曲线E 的方程是( )A.x 26－y 22＝1 B ．x 22－y 26＝1C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1解析：选D.双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，因为四边形OAFB 为菱形，所以对角线互相垂直平分，所以c ＝2a ，∠AOF ＝60°，所以ba＝ 3.则有⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 23a 2＝1，x 2＋y 2＝c 2＝4a 2，解得P ⎝⎛⎭⎪⎫72a ，32a . 因为|PF |＝7－1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫72a －2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＝(7－1)2，解得a ＝1，则b ＝3，故双曲线E 的方程为x 2－y 23＝1.故选D.10．已知双曲线x 29－y 2b2＝1(b ＞0)的左顶点为A ，虚轴长为8，右焦点为F ，且⊙F 与双曲线的渐近线相切，若过点A 作⊙F 的两条切线，切点分别为M ，N ，则|MN |＝( )A ．8B ．4 2C ．2 3D ．4 3解析：选D.因为双曲线x 29－y 2b2＝1(b ＞0)的虚轴长为8，所以2b ＝8，解得b ＝4，因为a ＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，c 2＝a 2＋b 2＝25，A (－3，0)，所以c ＝5，所以F (5，0)，因为⊙F 与双曲线的渐近线相切，所以⊙F 的半径为|4×5＋0|42＋32＝4，所以|MF |＝4，因为|AF |＝a ＋c ＝3＋5＝8，所以|AM |＝82－42＝43，因为S 四边形AMFN ＝2×12|AM |·|MF |＝12|AF |·|MN |，所以2×12×43×4＝12×8|MN |，解得|MN |＝43，故选D.11．(2020·开封模拟)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a2的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P ，若PM →＝2MF →，则双曲线的离心率为( )A. 2 B ．62C. 3D ．2解析：选B.设P (0，3m )，由PM →＝2MF →，可得点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23c ，m ，因为OM ⊥PF ，所以m23c ·3m －c ＝－1，所以m 2＝29c 2，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23c ，± 2c 29，由|OM |2＋|MF |2＝|OF |2，|OM |＝a ，|OF |＝c 得，a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 32＋2c 29＝c 2，a 2＝23c 2，所以e ＝c a ＝62，故选B.12．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，D 为虚轴上的一个端点，且△ABD 为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，2)B ．(2，2＋2)C ．(2，2)D ．(1，2)∪(2＋2，＋∞)解析：选D.设双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F 1(－c ，0)，令x ＝－c ，可得y ＝±b 2a ，可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a . 又设D (0，b )，可得AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b －b 2a ，DA →＝⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a－b ，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2b 2a ，DB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－c ，－b －b 2a . 由△ABD 为钝角三角形，可得∠DAB 为钝角或∠ADB 为钝角．当∠DAB 为钝角时，可得AD →·AB →<0，即为0－2b 2a·⎝ ⎛⎭⎪⎫b －b 2a <0，化为a >b ，即有a 2>b 2＝c2－a 2.可得c 2<2a 2，即e ＝c a< 2.又e >1，可得1<e <2；当∠ADB 为钝角时，可得DA →·DB →<0，即为c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a －b <0，化为c 4－4a 2c 2＋2a 4>0，由e ＝c a ，可得e 4－4e 2＋2>0.又e >1，可得e >2＋ 2.综上可得，e 的范围为(1，2)∪(2＋2，＋∞)．故选D.13．焦点在x 轴上，焦距为10，且与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________．解析：设所求双曲线的标准方程为y 24－x 2＝－λ(λ>0)，即x 2λ－y 24λ＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.答案：x 25－y 220＝114．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线交双曲线的右支于点P ，且切点为T ，已知O 为坐标原点，M 为线段PF 1的中点(点M 在切点T 的右侧)，若△OTM 的周长为4a ，则双曲线的渐近线方程为________．解析：连接OT ，则OT ⊥F 1T ，在直角三角形OTF 1中，|F 1T |＝OF 21－OT 2＝c 2－a 2＝b .设双曲线的右焦点为F 2，连接PF 2，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，所以OM ＝12PF 2，所以|MO |－|MT |＝12|PF 2|－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－|F 1T | ＝12(|PF 2|－|PF 1|)＋b ＝12×(－2a )＋b ＝b －a . 又|MO |＋|MT |＋|TO |＝4a ，即|MO |＋|MT |＝3a ，故|MO |＝b ＋2a2，|MT |＝4a －b2，由勾股定理可得a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋2a 22，即b a ＝43，所以渐近线方程为y ＝±43x .答案：y ＝±43x15．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是________．解析：由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，设F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)．因为MF 1→·MF 2→<0，所以(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 20<0.因为点M (x 0，y 0)在双曲线C 上，所以x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，所以2＋2y 20－3＋y 20<0，所以－33<y 0<33. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 16．如图，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右两个焦点，若直线y ＝x与双曲线C 交于P ，Q 两点，且四边形PF 1QF 2为矩形，则双曲线的离心率为________．解析：由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线y ＝x 代入双曲线C 方程，可得x ＝±a 2b 2b 2－a 2，所以2·a 2b 2b 2－a2＝c ，所以2a 2b 2＝c 2(b 2－a 2)，即2(e 2－1)＝e 4－2e 2，所以e 4－4e 2＋2＝0.因为e >1，所以e 2＝2＋2，所以e ＝2＋ 2.答案：2＋ 2[综合题组练]1．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c ，0)作圆O ：x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线于点P ，若E 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为( )A. 5B ．52 C.5＋1 D ．5＋12解析：选A.法一：如图所示，不妨设E 在x 轴上方，F ′为双曲线的右焦点，连接OE ，PF ′，因为PF 是圆O 的切线，所以OE ⊥PE ，又E ，O 分别为PF ，FF ′的中点，所以|OE |＝12|PF ′|，又|OE |＝a ，所以|PF ′|＝2a ，根据双曲线的性质，|PF |－|PF ′|＝2a ，所以|PF |＝4a ，所以|EF |＝2a ，在Rt △OEF 中，|OE |2＋|EF |2＝|OF |2，即a 2＋4a 2＝c 2，所以e ＝5，故选A.法二：连接OE ，因为|OF |＝c ，|OE |＝a ，OE ⊥EF ，所以|EF |＝b ，设F ′为双曲线的右焦点，连接PF ′，因为O ，E 分别为线段FF ′，FP 的中点，所以|PF |＝2b ，|PF ′|＝2a ，所以|PF |－|PF ′|＝2a ，所以b ＝2a ，所以e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 5. 2．(2020·汉中模拟)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，点P 是C 右支上异于顶点的任意一点，PQ 是∠F 1PF 2的平分线，过点F 1作PQ 的垂线，垂足为Q ，O 为坐标原点，则|OQ |( )A ．为定值aB ．为定值bC ．为定值cD ．不确定，随P 点位置变化而变化解析：选A.延长F 1Q ，PF 2交于点M ，则三角形PF 1M 为等腰三角形，可得Q 为F 1M 的中点，由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝|F 2M |＝2a ，由三角形中位线定理可得|OQ |＝12|F 2M |＝a ，故选A.3．以椭圆x 29＋y 25＝1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左、右焦点分别是F 1，F 2.已知点M 的坐标为(2，1)，双曲线C 上的点P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)满足PF 1→·MF 1→|PF 1→|＝F 2F 1→·MF 1→|F 2F 1→|，则S △PMF 1－S △PMF 2＝( )A ．2B ．4C ．1D ．－1解析：选A.由题意，知双曲线方程为x 24－y 25＝1，|PF 1|－|PF 2|＝4，由PF 1→·MF 1→|PF 1→|＝F 2F 1→·MF 1→|F 2F 1→|，可得F 1P →·F 1M→|MF 1→||F 1P →|＝F 1F 2→·F 1M→|MF 1→||F 1F 2→|，即F 1M 平分∠PF 1F 2.又结合平面几何知识可得，△F 1PF 2的内心在直线x ＝2上，所以点M (2，1)就是△F 1PF 2的内心．故S △PMF 1－S △PMF 2＝12×(|PF 1|－|PF 2|)×1＝12×4×1＝2.4．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．解析：通解：因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，如图．所以|OF 1|＝|OB |，所以∠BF 1O ＝∠F 1BO ，所以∠BOF 2＝2∠BF 1O .因为F 1A →＝AB →，所以点A 为F 1B 的中点，又点O 为F 1F 2的中点，所以OA ∥BF 2，所以F 1B ⊥OA ，因为直线OA ，OB 为双曲线C 的两条渐近线，所以tan ∠BF 1O ＝ab ，tan ∠BOF 2＝b a.因为tan ∠BOF 2＝tan (2∠BF 1O )，所以b a＝2×a b1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2，所以b 2＝3a 2，所以c 2－a 2＝3a 2，即2a ＝c ，所以双曲线的离心率e ＝ca ＝2.优解：因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，在Rt △F 1BF 2中，|OB |＝|OF 2|，所以∠OBF 2＝∠OF 2B ，又F 1A →＝AB →，所以A 为F 1B 的中点，所以OA ∥F 2B ，所以∠F 1OA ＝∠OF 2B .又∠F 1OA ＝∠BOF 2，所以△OBF 2为等边三角形．由F 2(c ，0)可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，3c 2，因为点B 在直线y ＝b a x 上，所以32c ＝b a ·c 2，所以b a ＝3，所以e ＝1＋b 2a2＝2.答案：25．已知双曲线C ：x 24－y 2＝1，直线l ：y ＝kx ＋m 与双曲线C 相交于A ，B 两点(A ，B 均异于左、右顶点)，且以线段AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ，则直线l 所过定点为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y 2＝1，得(1－4k 2)x 2－8kmx －4(m 2＋1)＝0，所以Δ＝64m 2k 2＋16(1－4k 2)(m 2＋1)＞0，x 1＋x 2＝8mk 1－4k 2＞0，x 1x 2＝－4（m 2＋1）1－4k2＜0，所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4k 21－4k2.因为以线段AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D (－2，0)，所以k AD ·k BD ＝－1，即y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝－1，所以y 1y 2＋x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝0，即m 2－4k 21－4k 2＋－4（m 2＋1）1－4k 2＋16mk 1－4k2＋4＝0，所以3m 2－16mk ＋20k 2＝0，解得m ＝2k 或m ＝10k 3.当m ＝2k 时，l 的方程为y ＝k (x ＋2)，直线过定点(－2，0)，与已知矛盾；当m ＝10k 3时，l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋103，直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，0，经检验符合已知条件．故直线l 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，06．已知P 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上的任意一点，经过点P 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点．若点A ，B 分别位于第一、四象限，O 为坐标原点，当AP →＝12PB →时，△AOB 的面积为2b ，则双曲线C 的实轴长为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，由AP →＝12PB →，得(x －x 1，y －y 1)＝12(x 2－x ，y 2－y )，则x ＝23x 1＋13x 2，y ＝23y 1＋13y 2，所以（23x 1＋13x 2）2a 2－（23y 1＋13y 2）2b2＝1. 由题意知A 在直线y ＝b a x 上，B 在y ＝－b a x 上，则y 1＝b a x 1，y 2＝－b ax 2.所以（23x 1＋13x 2）2a 2－（23y 1＋13y 2）2b 2＝1，即b 2(23x 1＋13x 2)2－a 2(2b 3a x 1－b 3a x 2)2＝a 2b 2，化简得：a 2＝89x 1x 2，由渐近线的对称性可得sin ∠AOB ＝sin 2∠AOx＝2sin ∠AOx cos ∠AOx sin 2∠AOx ＋cos 2∠AOx ＝2tan ∠AOx tan 2∠AOx ＋1＝2ba （b a）2＋1＝2abb 2＋a 2. 所以△AOB 的面积为12|OA ||OB |sin ∠AOB ＝12x 21＋y 21·x 22＋y 22·sin ∠AOB＝12x 21＋（b ax 1）2·x 22＋（－b a x 2）2·2ab b 2＋a 2＝x 1x 2·1＋（ba）2·1＋（b a）2·abb 2＋a 2＝98a 2·ab b 2＋a 2·[1＋(b a )2]＝98ab ＝2b ，解得a ＝169.所以双曲线C 的实轴长为329. 答案：329。

高考数学大一轮复习第九章平面解析几何 9.7 双曲线学案文北师大版

§9.7双曲线1．双曲线定义平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和简单性质知识拓展巧设双曲线方程(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × )(2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．( √ ) 题组二教材改编2．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A. 5 B ．5 C. 2 D ．2 答案 A解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a ±y b＝0，即bx ±ay ＝0，∴2a ＝bc a 2＋b2＝b .又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2. ∴e 2＝c 2a2＝5，∴e ＝ 5.3．经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．答案x 28－y 28＝1 解析设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a2＝±1(a >0)，把点A (3，－1)代入，得a 2＝8(舍负)，故所求方程为x 28－y 28＝1.题组三易错自纠4．(2016·全国Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A ．(－1,3) B ．(－1，3) C ．(0,3) D ．(0，3)答案 A解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1， ∴－1<n <3，故选A.5．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73 B.54 C.43 D.53答案 D解析由条件知y ＝－b ax 过点(3，－4)，∴3ba＝4，即3b ＝4a ，∴9b 2＝16a 2，∴9c 2－9a 2＝16a 2， ∴25a 2＝9c 2，∴e ＝53.故选D.6．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________________．答案x 24－y 2＝1解析由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.题型一双曲线的定义及标准方程命题点1 利用定义求轨迹方程典例 (2018·大连模拟)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________．答案 x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |，因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 2，C 1的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．命题点2 利用待定系数法求双曲线方程典例根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M (0,12)；(3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)．解 (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12. 又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1. (3)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.命题点3 利用定义解决焦点三角形问题典例已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2＝________. 答案 34解析 ∵由双曲线的定义有 |PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22， ∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34. 引申探究1．本例中，若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“∠F 1PF 2＝60°”，则△F 1PF 2的面积是多少？解不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2 3.2．本例中，若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，则△F 1PF 2的面积是多少？解不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝4， ∴12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|＝2. 思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF 1－PF 2|＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．(3)利用待定系数法求双曲线方程要先定形，再定量，如果已知双曲线的渐近线方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．跟踪训练 (1)(2018·沈阳模拟)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________________．答案x 216－y 29＝1 解析由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5，0)，设曲线C 2上的一点P ，则||PF 1|－|PF 2||＝8.由双曲线的定义知，a ＝4，b ＝3. 故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1.即x 216－y 29＝1. (2)(2016·天津)已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 答案 D解析由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝44＋b 2，y ＝2b 4＋b2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b 2，y ＝－2b 4＋b2，即第一象限的交点为⎝⎛⎭⎪⎫44＋b2，2b 4＋b 2.由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b2，4b 4＋b2，故8×4b4＋b2＝2b ，得b 2＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D.题型二双曲线的简单性质典例 (1)已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0答案 A解析由题意，不妨设|PF 1|>|PF 2|，则根据双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c >a ，所以有|PF 2|<|F 1F 2|，所以∠PF 1F 2＝30°，所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2·2c ·4a cos 30°，得c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a .所以双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x ，即2x ±y ＝0.(2)(2016·山东)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是______．答案 2解析由已知得|AB |＝2b2a，|BC |＝2c ，∴2×2b2a＝3×2c .又∵b 2＝c 2－a 2，整理得2c 2－3ac －2a 2＝0，两边同除以a 2，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－3c a－2＝0，即2e 2－3e－2＝0，解得e ＝2.思维升华双曲线的简单性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±b a满足关系式e 2＝1＋k 2.跟踪训练 (2016·全国Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32 C.3 D ．2答案 A解析离心率e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin∠MF 1F 2－sin∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2.故选 A. 题型三直线与双曲线的综合问题典例 (2018·福州模拟)已知直线y ＝kx －1和双曲线x 2－y 2＝1的右支交于不同两点，则k 的取值范围是__________________________________．答案 (1，2)解析由直线y ＝kx －1和双曲线x 2－y 2＝1联立方程组，消y 得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，因为该方程有两个不等且都大于1的根，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)>0，－k1－k 2>1，(1－k 2＋2k －2)(1－k 2)>0，解得1<k < 2.思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定． (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．跟踪训练 (2017·贵州贵阳第一中学月考)已知双曲线x 22－y 23＝1上存在两点P ，Q 关于直线y＝x ＋b 对称，且PQ 的中点M 在抛物线y 2＝9x 上，则实数b 的值为( ) A ．0或－10 B ．0或－2 C ．－2 D ．－10答案 A解析因为点P ，Q 关于直线y ＝x ＋b 对称，所以PQ 的垂直平分线为y ＝x ＋b ，所以直线PQ 的斜率为－1.设直线PQ 的方程为y ＝－x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m ，x 22－y23＝1，得x 2＋4mx －2m 2－6＝0，所以x P ＋x Q ＝－4m ，所以x M ＝－2m ，所以M (－2m,3m )．因为PQ 的中点M 在抛物线y 2＝9x 上，所以9m 2＝9(－2m )，解得m ＝0或m ＝－2，又PQ 的中点M 也在直线y ＝x ＋b 上，得b ＝5m ，∴b ＝0或－10，故选A.直线与圆锥曲线的交点典例若直线y ＝kx ＋2与曲线x ＝y 2＋6交于不同的两点，那么k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，153 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎪⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎪⎫－153，－1现场纠错解析曲线x ＝y 2＋6表示焦点在x 轴上的双曲线的右支，由直线y ＝kx ＋2与双曲线方程联立得⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，x ＝y 2＋6，消去y ，得(1－k2)x2－4kx －10＝0.由直线与双曲线右支交于不同两点，得⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，4k 1－k 2>0，－101－k 2>0，Δ＝16k 2＋40(1－k 2)>0，解得k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，－1. 故选D. 答案 D纠错心得 (1)“判别式Δ≥0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法． (2)直线与圆锥曲线的交点问题往往需考虑圆锥曲线的几何性质，数形结合求解．1．(2018·新余摸底)双曲线x 2a 2－y 24a2＝1(a ≠0)的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±12xC ．y ＝±4xD ．y ＝±2x答案 A解析根据双曲线的渐近线方程知， y ＝±2aax ＝±2x ，故选A.2．(2018·济宁模拟)若方程C ：x 2＋y 2a＝1(a 是常数)，则下列结论正确的是( )A ．任意a ∈(0，＋∞)，方程C 表示椭圆B ．任意a ∈(－∞，0)，方程C 表示双曲线 C ．存在a ∈(－∞，0)，方程C 表示椭圆D ．存在a ∈R ，方程C 表示抛物线答案 B解析 ∵当a ＝1时，方程C ：x 2＋y 2a＝1，即x 2＋y 2＝1，表示单位圆，∴存在a ∈(0，＋∞)，使方程C 不表示椭圆．故A 项不正确；∵当a <0时，方程C ：x 2＋y 2a＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，∴任意a ∈(－∞，0)，方程C表示双曲线，故B 项正确；任意a ∈(－∞，0)，方程C 不表示椭圆，故C 项不正确；∵不论a 取何值，方程C ：x 2＋y 2a＝1中没有一次项，∴任意a ∈R ，方程C 不能表示抛物线，故D 项不正确．故选B.3．(2017·河南新乡二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为( ) A.x 26－y 25＝1 B.x 28－y 212＝1 C.x 28－y 24＝1 D.x 24－y 26＝1 答案 D解析不妨设B (0，b )，由BA →＝2AF →，F (c,0)，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得49×c 2a 2－19＝1，即49·a 2＋b 2a 2＝109， ∴b 2a 2＝32.① 又|BF →|＝b 2＋c 2＝4，c 2＝a 2＋b 2， ∴a 2＋2b 2＝16，②由①②可得，a 2＝4，b 2＝6，∴双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1，故选D.4．(2017·福建龙岩二模)已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若2OMF S ＝16，则双曲线的实轴长是( ) A ．32 B ．16 C ．84 D ．4答案 B解析由题意知F 2(c,0)，不妨令点M 在渐近线y ＝bax 上，由题意可知|F 2M |＝bca 2＋b 2＝b ，所以|OM |＝c 2－b 2＝a .由io 2OMF S＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，c a ＝52，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C 的实轴长为16.故选B.5．(2018·开封模拟)已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则P 到x 轴的距离为( ) A.233B. 2 C ．2 D.263答案 C解析由题意知F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，则可设P (x 0，2x 0)．由PF 1→·PF 2→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2，故选C.6．经过双曲线x 24－y 2＝1的右焦点的直线与双曲线交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线的条数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 B解析由双曲线x 24－y 2＝1，可得a ＝2，b ＝1，当直线AB 只与双曲线右支相交时，|AB |的最小值是2b2a＝1，∵|AB |＝4>1，∴此时有两条直线符合题意；当直线AB 与双曲线两支相交时，此时A 、B 的最小距离是实轴两顶点的距离，长度为2a ＝4，距离无最大值．∵|AB |＝4，∴此时有1条直线符合条件．综上可得，共有3条直线符合条件，故选B.7．(2018届武汉调研)已知不等式3x 2－y 2>0所表示的平面区域内一点P (x ，y )到直线y ＝3x 和直线y ＝－3x 的垂线段分别为PA ，PB ，若△PAB 的面积为3316，则点P 轨迹的一个焦点坐标可以是( ) A ．(2,0) B ．(3,0) C ．(0,2) D ．(0,3)答案 A解析 ∵直线y ＝3x 与y ＝－3x 的夹角为60°，且3x 2－y 2>0，∴PA 与PB 的夹角为120°，|PA ||PB |＝|3x －y |2·|3x ＋y |2＝3x 2－y 24，S △PAB ＝12|PA ||PB |·sin 120°＝316(3x 2－y 2)＝3316，即P 点的轨迹方程为x 2－y 23＝1，半焦距为c ＝2，∴焦点坐标可以为(2,0)，故选A. 8．设A (－3,0)，B (3,0)，若直线y ＝－3510(x －5)上存在一点P 满足|PA |－|PB |＝4，则点P 到x 轴的距离为( )A.354B.553C.354或352D.553或 5答案 A解析 ∵A (－3,0)，B (3,0)，点P 满足|PA |－|PB |＝4<|AB |，∴点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支，其中c ＝3,2a ＝4，则a ＝2，b 2＝5，即双曲线方程为x 24－y 25＝1(x >0)．若直线y ＝－3510(x －5)上存在一点P 满足|PA |－|PB |＝4，消去y 得16x 2＋90x －325＝0，得x ＝52或x ＝－658(舍)，此时y ＝354，即点P 到x 轴的距离为354，故选A.9．(2016·北京)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________. 答案 1 2解析由2x ＋y ＝0，得y ＝－2x ，所以b a＝2. 又c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝1，b ＝2.10．设动圆C 与两圆C 1：(x ＋5)2＋y 2＝4，C 2：(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切，则动圆圆心C 的轨迹方程为____________．答案x 24－y 2＝1解析设圆C 的圆心C 的坐标为(x ，y )，半径为r ，由题设知r >2，于是有⎩⎪⎨⎪⎧|CC 1|＝r ＋2，|CC 2|＝r －2或⎩⎪⎨⎪⎧|CC 1|＝r －2，|CC 2|＝r ＋2，∴||CC 1|－|CC 2||＝4<25＝|C 1C 2|，即圆心C 的轨迹L 是以C 1，C 2为焦点，4为实轴长的双曲线，∴L 的方程为x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫422－y 2(5)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝1，即x 24－y 2＝1.11．(2018·九江模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(b >a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1且与双曲线C 的一条渐近线垂直的直线l 与C 的两条渐近线分别交于M ，N 两点，若|NF 1|＝2|MF 1|，则双曲线C 的渐近线方程为________________．答案 y ＝±3x解析联立直线方程与渐近线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－ab (x ＋c )，y ＝b a x ，解方程组可得交点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2c ，－ab c .联立直线方程与渐近线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－ab(x ＋c )，y ＝－ba x ，解方程组可得交点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2cb 2－a 2，abc a 2－b 2，结合|NF 1|＝2|MF 1|和两点之间的距离公式，可得－2ab c ＝abc a 2－b 2，解得a 2b 2＝13，则双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x .12．设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．答案 (27，8)解析如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而|F 1F 2|＝4，由对称性不妨设P 在右支上，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2，由于△PF 1F 2为锐角三角形，结合实际意义可知m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋2)2＜m 2＋42，42＜(m ＋2)2＋m 2，解得－1＋7＜m ＜3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2， ∴27＜2m ＋2＜8.13．(2017·湖北黄冈二模)已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1→的值为( )A ．3B ．2C ．－3D ．－2答案 B解析由题意及正弦定理得sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝e ＝2，∴|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2.又|F 1F 2|＝4，由余弦定理可知cos∠PF 2F 1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝4＋16－162×2×4＝14，∴F 2P →·F 2F 1→＝|F 2P →|·|F 2F 1→|cos∠PF 2F 1＝2×4×14＝2.故选B.14．(2017·安庆二模)已知F 1，F 2为双曲线的焦点，过F 2作垂直于实轴的直线交双曲线于A ，B 两点，BF 1交y 轴于点C ，若AC ⊥BF 1，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 2 D ．2 3答案 B解析不妨设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由已知，取A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，取B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，则C 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b 22a 且F 1(－c,0)．由AC ⊥BF 1知AC →·BF 1→＝0，又AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－3b 22a ，BF 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫－2c ，b 2a ，可得2c 2－3b 42a 2＝0，又b 2＝c 2－a 2，可得3c 4－10c 2a 2＋3a 4＝0，则有3e 4－10e 2＋3＝0，可得e 2＝3或13，又e >1，所以e ＝ 3.故选B.15．(2017·福州质检)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝6，P 是E 右支上的一点，PF 1与y 轴交于点A ，△PAF 2的内切圆与边AF 2的切点为Q .若|AQ |＝3，则E 的离心率是( ) A ．2 3 B. 5 C. 3 D. 2答案 C解析如图所示，设PF 1，PF 2分别与△PAF 2的内切圆切于M ，N ，依题意，有|MA |＝|AQ |，|NP |＝|MP |， |NF 2|＝|QF 2|，|AF 1|＝|AF 2|＝|QA |＋|QF 2|,2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝(|AF 1|＋|MA |＋|MP |)－(|NP |＋|NF 2|)＝2|QA |＝23，故a ＝3，从而e ＝c a＝33＝3，故选C.16．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________．答案 53解析由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a .当P ，F 1，F 2三点不共线时，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22·|PF 1|·|PF 2|＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2，即e 2＝179－89cos∠F 1PF 2.∵cos∠F 1PF 2∈(－1,1)，∴e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53. 当P ，F 1，F 2三点共线时，∵|PF 1|＝4|PF 2|，∴e ＝c a ＝53.综上，e 的最大值为53.。

2019-2020年高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第7讲双曲线练习理北师大版

2019-2020年高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第7讲双曲线练习一、选择题2 2XVL1.（xx •郑州模拟）设双曲线云一b 2= I （a >0, b >0）的虚轴长为2,焦距为2 .3,则双曲线的渐近线方程为（）B.y =±#xC.y =± 2x答案 B2 2x yD.— — = 1 3 4c 52解析因为所求双曲线的右焦点为F 2（5 , 0）且离心率为 e ==-,所以c = 5, a = 4, ba 422=c 2— a 2= 9,所以所求双曲线方程为莘一詈=1，故选C.答案 C2 23. （xx •山西省四校联考）已知双曲线C ： x 2 —豊=1（ a > 0, b >0），右焦点F 到渐近线的距a b离为2,点F 到原点的距离为3,则双曲线C 的离心率e 为（ A.二B. 口35=b = 2,又•••点F 到原点的距离为 3, •- c = 3, •- a = l c —1A . y =±D.y =±2 x解析因为2b = 2,所以 b = 1, 以双曲线的渐近线方程为 y =± 因为 2c = 2 3,所以 c = 3,所以 a =：Jc"— b = ：・：：：.]2，所-2~x ，故选 B.b -x=± a 2. （xx •广东卷）已知双曲线 2x C:2a 2 -右=1的离心率 5e = 4,且其右焦点为F 2（5 , 0），则双曲线C 的方程为()2 22 xB.—— 92V- = 116 解析 •••右焦点F 到渐近线的距离为2,二 F (c , 0)到 y = b x a 的距离为2，即」纠-2= 2, p a + b222bc 又 b > 0, c > 0, a + b = c , •'•—cb = &,•••离心率e=字眾=竿.答案 B4.已知F i, F 2为双曲线 C ： x 2— y 2= 2的左、右焦点，点P 在C 上，| PF | RPF =()±2 .3，即A , B 两点的坐标分别为(2 , 2.3) , (2 , — 23)，所以| AB = 4 3.答案 D 二、填空题2 26. （xx •江苏卷）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线弓—鲁=1的焦距是7 3 解析由已知，得a =乙b = 3，贝U C = 7+ 3 = 10,故焦距为2c = 2匕10.答案 2 102y2= 1（a >0, b >0）的渐近线为正方形 OABC 勺边OA OC 所在的b直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形 OABC 勺边长为2,贝U a = 解析取B 为双曲线右焦点，如图所示.•••四边形 OAB （为正方形且边长为 2,.・.C =| OB = 2 2,n又/ A°=n ,=2| PF 2| ,则 cos /1 A.43 B.5 3 C. 4D. 解析由 x 2— y 2= 2，知 a = b = 2, c = 2. 由双曲线定义，|P 冋一| PR| = 2a = 2® 又 |PF | = 2|PE | ,•••|PF | = 4也，|PF | = 2磁，在厶PFF 2中，| RF 2| = 2c = 4,由余弦定理，得 | PF |2+ | P 冋 2—| 尸冋2 34.cos / FPF = 2|PF | • |PF答案 C25. （xx •成都调研）过双曲线x 2—鲁=1 的右焦点且与x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A B 两点，则| AE | =（ B.23C.62解析由题意知，双曲线 x 2 —卷=1 的渐近线方程为 y =±〔 3x ，将x = c = 2代入得y =2 x7. （xx •北京卷）双曲线孑b n 卄2=喻匚=1，即a=b.2 2 2 又a + b = c = 8,「. a= 2.答案22 2x y8. (xx •山东卷)已知双曲线E: g —”= 1(a>0, b>0).若矩形ABCD勺四个顶点在E上,AB CD的中点为E的两个焦点，且2|AB = 3|BC，贝U E的离心率是2b22b2解析由已知得|AB = , |BC = 2c,「. 2X = 3X2 c.a a3 I —2 = 0，即2e2又••• b2= c2—a2,整理得：2c2—3ac—2a2= 0，两边同除以a2得2—3e —2= 0,解得e= 2 或e=—1(舍去).答案2三、解答题9. (xx •安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F i, F2在坐标轴上，离心率为2，且过点P(4 , —_ 10).(1)求双曲线的方程；⑵若点M3 , m)在双曲线上，求证：MF • MF= 0.(1)解••• e= 2,•••可设双曲线的方程为x2—y2=入(入丰0).•••双曲线过点(4，—10) ,• 16—10=入，即入=6.•••双曲线的方程为x2—y2= 6.⑵证明法一由(1)可知，a= b= 6,•c= 2 3,「. F1( —2 3, 0) , F2(2 3, 0),m m•kMF=3Z2j3,盹=匚诽，2 2m mk MF • k MF = = 一—129—12 3'2 2•••点M3 , m)在双曲线上，二9 —m= 6, m= 3,故k MF, • k M(2=—1, • MF丄MF. • MF • MF= 0.法二由(1)可知，a= b= 6,「. c= 2 3,•F( —2 3, 0) , F2(2 3, 0),MF= ( —2 3 —3, —m) , M F = (2 ,3—3, —m),•MF- MF= (3 + 2 3) X (3 —2 3) + m i=—3 + 用，•••点M3, 0)在双曲线上，• 9—m= 6,即m—3=0 ,MF • MF= o.2x 210. 已知椭圆C的方程为-+ y2= 1双曲线C2的左、右焦点分别是的左、右顶点分别是C的左、右焦点.(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线I : y= kx+ ,2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和为原点)，求k的取值范围.2 2x y解(1)设双曲线C2的方程为a2-F= 1(a>0, b>0),则a2= 3, c2= 4,再由a2+ b2= c2,得b2= 1.2x 2故C2的方程为3—y = 1.2⑵将y= kx+ 2代入£ —y2= 1,得(1 —3k2)x2— 6 2kx—9= 0.由直线I与双曲线G交于不同的两点，得2‘1 —3k 工0,上=(—6农k) 2+ 36 (1 —3k2)= 36 (1 —k2)> 0,设A(X1, yd , B(X2, y2), C的左、右顶点，而C2 B,且OA- O B>2(其中O91—3k2.则X1X2= —故k的取值范围为i—1，—f u j^3, 1 .故k 的取值范围为i —1，—f u j ^3,1 .••• X 1X 2+ y 1y 2= X 1X 2+ ( kX 1+ 2)( kx + ：：(k 2+ 1) X 1X 2 + 2k ( X 1 + X 2)+ 2 = 3k 2 + 7 3k 2— 1 又•••2，得 X 1X 2 + y 1y 2> 2,223k + 7 — 3k + 9 • 3k 2— 1 > 2 即 3k 2 — 1 > 0, 1 2解得3< k < 3.② 1 2由①②得3< k < 1,解得—1+ {7 v m x 3,又 | PF | + | PF 2| = 2m ^ 2,2 2x y 11. 过双曲线C ：孑一”=1（ a > 0, b > 0）的右顶点x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A 若以C 的右焦点为圆心、半径为 4的圆经过 A, O 两点（0为坐标原点），则双曲线C的方程为（）2 22x JB.7 —© =1 2 2x yC.—— = 18 82 2x yD.——=1 12 4解析由双曲线方程知右顶点为（a ,。

高三数学一轮(北师大版)第九章平面解析几何：教案+基础达标+专题整合+阶段测试卷第9章第7节

第九章第七节一、选择题1．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1[答案] C[解析] 本小题考查内容为双曲线的渐近线．双曲线的渐近线方程为y ＝±3a x ，比较y ＝±32x ，∴a ＝2.2．(2014·新课标Ⅰ)已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2B ．62 C ．52D ．1[答案] D[解析] 本题考查双曲线的标准方程及离心率．由条件知a 2＋3＝c 2，e ＝ca ＝2，∴a ＝1，选D ．3．双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A ．25B ．45C ．255D ．455[答案] C[解析] 本题考查双曲线的渐近线及点到直线的距离公式．不妨设顶点(2,0)，渐近线y ＝x2，即x －2y ＝0，∴d ＝|2|5＝255.4．如果双曲线x 24－y 212＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的左焦点的距离是( )A ．4B ．12C ．4或12D ．不确定[答案] C[解析] 由双曲线方程，得a ＝2，c ＝4. 根据双曲线的定义|PF 1|－|PF 2|＝±2a ，则|PF 1|＝|PF 2|±2a ＝8±4，∴|PF 1|＝4或12，经检验二者都符合题意．5．(2014·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A ．x 25－y 220＝1B ．x 220－y 25＝1C ．3x 225－3y 2100＝1D ．3x 2100－3y 225＝1[答案] A[解析] 由于一个焦点在直线y ＝2x ＋10上，则一个焦点为(－5,0)，又由渐近线平行于直线y ＝2x ＋10.则ba＝2，结合a 2＋b 2＝c 2，c ＝5得，a 2＝5，b 2＝20，双曲线标准方程为x 25－y 220＝1，选A ．6．设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于( )A ．10B ．210C ． 5D ．2 5[答案] B[解析] 由题意知：F 1(－10，0)，F 2(10，0)， 2c ＝210，2a ＝2.∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2，∴|PF 1→＋PF 2→|＝2PO ＝|F 1F 2|，∴|PF 1→＋PF 2→|＝210. 二、填空题7．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.[答案] 16[解析] 本题考查双曲线的标准方程以及a 、b 、c 基本量的关系和运算．根据标准方程可知，a 2＝m ，b 2＝9，而c ＝5，∴c 2＝a 2＋b 2，∴52＝m ＋9.∴m ＝16.8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．[答案] 2[解析] 本题考查双曲线的标准方程以及离心率等知识．由双曲线标准方程x 2m －y 2m 2＋4＝1知a 2＝m >0，b 2＝m 2＋4，∴c 2＝a 2＋b 2＝m ＋m 2＋4，由e ＝5得c 2a2＝5，∴m >0且m ＋m 2＋4m＝5，∴m ＝2.9．如图，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A 、B 为左、右焦点，且双曲线过C 、D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为________．[答案] x 2－y 23＝1[解析] 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意得B (2,0)，C (2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a 2＋b 24a 2－9b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝3，∴双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.三、解答题10．根据下列条件求双曲线的标准方程．(1)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，且过点M (92，－1)；(2)与椭圆x 249＋y 224＝1有公共焦点，且离心率e ＝54.[解析] (1)∵双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0， ∴可设双曲线的方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)．又 ∵双曲线过点M ⎝⎛⎭⎫92，－1，∴λ＝4×814－9＝72. ∴双曲线方程为4x 2－9y 2＝72，即x 218－y 28＝1.(2)解法1(设标准方程)由椭圆方程可得焦点坐标为(－5,0)，(5,0)，即c ＝5且焦点在x 轴上， ∴可设双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，且c ＝5. 又e ＝c a ＝54，∴a ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝9.∴双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.解法2(设共焦点双曲线系方程) ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴可设双曲线方程为x 249－λ－y 2λ－24＝1(24<λ<49)．又e ＝54，∴λ－2449－λ＝2516－1，解得λ＝33.∴双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.一、选择题1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A ．x 25－y 24＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 23－y 26＝1D ．x 26－y 23＝1[答案] A[解析] ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴圆心为C (3,0)．又渐近线方程与圆C 相切，即直线bx －ay ＝0与圆C 相切， ∴3b a 2＋b2＝2，∴5b 2＝4a 2.①又∵x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C (3,0)，∴a 2＋b 2＝9.②由①②得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为x 25－y 24＝1.2．(文)(2014·重庆高考)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ，则该双曲线的离心率为( )A ． 2B ．15C ．4D ．17[答案] D[解析] 此题考查双曲线的定义和几何性质及方程的思想． ∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴(2a )2＝b 2－3ab ，即4a 2＝b 2－3ab ，即4a 2＋3ba －b 2＝0，∴(4a －b )(a ＋b )＝0，∴b ＝4A ．又∵c 2＝b 2＋a 2，∴c 2＝17a 2，∴e 2＝17即e ＝17.(理)(2014·重庆高考)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A ．43B ．53C ．94D ．3[答案] B[解析] 不妨设点P 是右支上的一点，由双曲线的定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝2a ＋3b 2，|PF 2|＝3b －2a 2，|PF 1||PF 2|＝3b －2a 2×3b ＋2a 2＝9b 2－4a 24，9b 2－4a 24＝9ab 4，解得3b ＝4a ，所以离心率为e ＝53.双曲线的离心率e ＝ca＝1＋b 2a2. 二、填空题3．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为________．[答案] 4[解析] 设C ：x 2a 2－y 2a2＝1.∵抛物线y 2＝16x 的准线为x ＝－4，联立x 2a 2－y 2a2＝1和x ＝－4.得A (－4，16－a 2)，B (－4，－16－a 2)， ∴|AB |＝216－a 2＝43，∴a ＝2，∴2a ＝4. ∴C 的实轴长为4.4．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被点(b2，0)分成两段，则此双曲线的离心率为________．[答案]52121[解析] ∵(b2＋cc －b 2)＝∴c ＝52b ，a ＝c 2－b 2＝212b ，e ＝c a ＝521＝52121.三、解答题5．已知点A (－3，0)和点B (3，0)，动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为2，点C 的轨迹与直线y ＝x －2交于D 、E 两点，求线段DE 的长．[分析] 求双曲线方程，联立方程组，结合根与系数的关系求弦长．[解析] 设点C (x ，y )，则|CA |－|CB |＝±2，根据双曲线的定义，可知点C 的轨迹是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1.(a >0，b >0) 由2a ＝2,2c ＝|AB |＝23，得a 2＝1，b 2＝2，故点C 的轨迹方程是x 2－y 22＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1y ＝x －2，消去y 并整理得x 2＋4x －6＝0.因为Δ>0，所以直线与双曲线有两个交点．设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－6，故|DE |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4 5.[点评] (1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．6．(文)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，求实数m 的取值范围．[解析] (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知得a ＝3，c ＝2，又a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 23－y 2＝1，整理得 (1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0Δ＝12(m 2＋1－3k 2)>0，可得m 2>3k 2－1且k 2≠13.①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为B (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝6km 1－3k 2，x 0＝x 1＋x 22＝3km 1－3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m1－3k 2，由题意，AB ⊥MN ，∵k AB ＝m1－3k 2＋13km 1－3k 2＝－1k(k ≠0，m ≠0)，整理得3k 2＝4m ＋1，②将②代入①，得m 2－4m >0，∴m <0或m >4，又3k 2＝4m ＋1>0(k ≠0)，即m >－14.∴m 的取值范围是(－14，0)∪(4，＋∞)．(理)(2014·福建高考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .(1)求双曲线E 的离心率；(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1、l 2于A ，B 两点(A 、B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．[解析] (1)∵双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，∴ba＝2，∴c 2－a 2a ＝2，故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率e ＝ca ＝ 5.(2)由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a 2＝1.设直线l 与x 轴相交于点C ，当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 只有一个公共点，则|OC |＝a ，|AB |＝4a ，又∵△OAB 的面积为8，∴12|OC |·|AB |＝8，因此12a ·4a ＝8，解得a ＝2，此时双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1，若存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能是x 24－y 216＝1.以下证明：当直线l 与x 轴不垂直时，双曲线E ：x 24－y 216＝1也满足条件，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意得k >2或k <－2，则C (－mk，0)，记A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m y ＝2x 得y 1＝2m 2－k ，同理得y 2＝2m 2＋k .由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|得12|－m k |·|2m 2－k －2m 2＋k|＝8，即m 2＝4|4－k 2|＝4(k 2－4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24－y 216＝1得，(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－16＝0，∵4－k 2<0∴Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋16)＝－16(4k 2－m 2－16)，又∵m 2＝4(k 2－4)，∴Δ＝0，即直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.。

2020大一轮高考总复习文数(北师大版)讲义：第9章第07节双曲线及其性质 Word版含答案.doc

第七节双曲线及其性质1．双曲线的定义我们把平面内到两定点F 1，F 2的距离之差的__绝对值__等于常数(大于零且小于__|F 1F 2|__)的点的集合叫作双曲线．定点F 1，F 2叫作双曲线的__焦点__，两个焦点之间的距离叫作双曲线的__焦距__．2．双曲线的标准方程和几何性质提醒：1．辨明三个易误点(1)双曲线的定义中易忽视2a ＜|F 1F 2|这一条件，若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ＞|F 1F 2|，则轨迹不存在．(2)区分双曲线中a ，b ，c 的关系与椭圆中a ，b ，c 的关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2．(3)双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0,1)． 2．求双曲线标准方程的两种方法 (1)定义法根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a ，b ，c ，即可求得方程．(2)待定系数法①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；②若渐近线方程为y ＝±b a x ，则可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；③若过两个已知点，则可设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn ＜0)．3．双曲线几何性质的三个关注点(1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点； (2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)、两渐近线；(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形；双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( ) (2)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( ) (3)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(4)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是 x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( )(5)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( )(6)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)√2．(教材习题改编)双曲线y 2－x 2＝4的渐近线方程是( ) A ．y ＝±x B ．y ＝±2x C ．y ＝±3xD ．y ＝±2x解析：选A 由题意知y 24－x 24＝1，y ＝±x ．3．已知双曲线y 25－x 2m ＝1的离心率e ∈(1,2)，则m 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎭⎫53，＋∞ B ．(0,15) C ．⎝⎛⎭⎫0，53 D ．(15，＋∞)解析：选B 由双曲线方程y 25－x 2m ＝1，知e ＝5＋m 5＝1＋m5，所以1＜1＋m5＜2，解得：0＜m ＜15．4．(2016·北京卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝__________；b ＝__________．解析：由2x ＋y ＝0得y ＝－2x ，所以ba ＝2. 又c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝1，b ＝2．答案：1 2双曲线的定义及应用 [明技法]双曲线定义的应用规律注意：在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．[提能力]【典例1】 (2016·全国卷Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)解析：选A ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3，故选A ．【典例2】 (2015·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0，66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．解析：设左焦点为F 1，|PF |－|PF 1|＝2a ＝2，∴|PF |＝2＋|PF 1|，△APF 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2＋|PF 1|，△APF 周长最小即为|AP |＋|PF 1|最小，当A 、P 、F 1在一条直线时最小，过AF 1的直线方程为x －3＋y66＝1.与x 2－y 28＝1联立，解得P 点坐标为(－2,26)，此时S ＝S △AF 1F －S △F 1PF ＝126．答案：12 6 [刷好题]1．设双曲线x 2－y 28＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．10 3B ．8 3C ．8 5D ．16 5解析：选C 依题意|F 1F 2|＝6，|PF 2|－|PF 1|＝2，因为|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，所以|PF 1|＝6，|PF 2|＝8，所以等腰三角形PF 1F 2的面积S ＝12×8×62－⎝⎛⎭⎫822＝85．2．(2018·孝感质检)△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是__________．解析：如图，△ABC 与内切圆的切点分别为G ，E ，F ．|AG |＝|AE |＝8，|BF |＝|BG |＝2，|CE |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6．根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x ＞3)．答案：x 29－y 216＝1(x ＞3)双曲线的标准方程 [明技法]求双曲线标准方程的一般方法待定系数法→设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a 、b 、c 的方程并求出a 、b 、c 的值，与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝±1，(a ＞0，b ＞0)有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝λ(λ≠0，a ＞0，b ＞0)定义法→依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值 [提能力]【典例】 (1)(2018·东北三校联合模拟)与椭圆C ：y 216＋x 212＝1共焦点且过点(1，3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1B ．y 2－x 212＝1C ．y 22－x 22＝1D ．y 23－x 2＝1(2)(2016·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1C ．3x 220－3y 25＝1D ．3x 25－3y 220＝1解析：(1)椭圆y 216＋x 212＝1的焦点坐标为(0，－2)，(0,2)，设双曲线的标准方程为y 2m －x 2n ＝1(m ＞0，n ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧3m －1n ＝1，m ＋n ＝4，解得m ＝n ＝2．所以双曲线的标准方程为y 22－x 22＝1．(2)由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1．答案：(1)C (2)A [刷好题]1．(2015·安徽卷)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B ．x 24－y 2＝1C ．y 24－x 2＝1D ．y 2－x 24＝1解析：选C 由双曲线性质知A 、B 项双曲线焦点在x 轴上，不合题意；C 、D 项双曲线焦点均在y 轴上，但D 项渐近线为y ＝±12x ，只有C 符合，故选C ．2．(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为__________．解析：方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1．方法二 ∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知条件可得⎩⎨⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1．答案：x 24－y 2＝1双曲线的几何性质 [析考情]双曲线的几何性质及应用，是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题多为容易题或中档题．高考对双曲线的几何性质的考查主要有以下三个命题点： (1)求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长； (2)求双曲线的渐近线方程； (3)求双曲线的离心率(或范围)． [提能力]命题点1：求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长【典例1】若实数k 满足0＜k ＜5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等解析：选D 由0＜k ＜5，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由16＋5－k ＝16－k ＋5，得两双曲线的焦距相等．命题点2：求双曲线的渐近线方程【典例2】已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( )A ．x ±2y ＝0B ．2x ±y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0解析：选A 椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a ，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，所以a 4－b 4＝34a 4，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12 x ，即x ±2y ＝0．命题点3：求双曲线的离心率(或范围)【典例3】 (2015·全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A ．5B ．2C ．3D ． 2解析：选D 不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，∴M 点的坐标为()2a ，3a ．∵M 点在双曲线上，∴4a 2a 2－3a 2b 2＝1，a ＝b ，∴c ＝2a ，e ＝ca ＝ 2.故选D ．[悟技法]与双曲线几何性质有关问题的解题策略(1)求双曲线的离心率(或范围)．依据题设条件，将问题转化为关于a ，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．(2)求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a ，b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．(3)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长．依题设条件及a ，b ，c 之间的关系求解．[刷好题]1．(2018·麻城一模)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则双曲线的离心率为( )A ．53B ．54C ．53或54D ． 3解析：选C 由双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，得b a ＝34或a b ＝34，又离心率e ＝1＋b 2a 2，所以e ＝53或e ＝54． 2．(2018·西安模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，且F 2为抛物线y 2＝24x 的焦点，设点P 为两曲线的一个公共点，若△PF 1F 2的面积为366，则双曲线的方程为( )A ．x 29－y 227＝1B ．x 227－y 29＝1C ．x 216－y 29＝1D ．x 29－y 216＝1解析：选A 由题意，F 2(6,0)，设P (m ，n )，则 ∵△PF 1F 2的面积为366，∴12×12×|n |＝366，∴|n |＝66，∴m ＝9，取P (9,66)，则2a ＝(9＋6)2＋(66)2－(9－6)2＋(66)2＝6， ∴a ＝3，b ＝33，∴双曲线的方程为x 29－y 227＝1，故选A ．。

2021版高考文科数学(北师大版)一轮复习教师用书：第九章第7讲双曲线Word版含答案

第 7讲双曲线一、知识梳理 1．双曲线的定义条件结论 1结论 2平面内的动点 M 与平面内的两个定点 F 1， F 2M 点的轨迹为双曲线F 1 、F 2 为双曲线的焦点|F 1F 2|为双曲线的焦距||MF 1 |－ |MF 2 ||＝ 2a2a<|F 1 F |22.双曲线的标准方程和几何性质x2 － y 2 ＝ 1 y 2－ x 2＝ 1 标准方程a 2b 2a 2b 2(a ＞ 0， b ＞ 0)(a ＞ 0，b ＞ 0)图形范围对称性极点渐近线性质离心率x ≥a 或 x ≤－ a ， y ∈ R y ≤－ a 或 y ≥ a ， x ∈R对称轴：坐标轴，对称中心：原点A 1(－ a ， 0)，A 2( a ，0)A 1(0，－ a) ，A 2(0， a)b a y ＝± xy ＝ ± xabce ＝， e ∈(1 ，＋∞ )线段 A 1A 2 叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝ 2a ；线段 B 1B 2 叫做实虚轴双曲线的虚轴，它的长 |B 1 2B |＝ 2b ； a 叫做双曲线的半实轴长， b叫做双曲线的半虚轴长a 、b 、c 的关系 c 2＝ a 2＋ b 2( c ＞ a ＞ 0， c ＞b ＞ 0)3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为 y ＝ ±x ，离心率为 e ＝ 2.常用结论1．双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若 P 是双曲线右支上一点，F 1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则 |PF 1|min＝ a＋ c，|PF 2|min ＝c－ a.2b2(3) 同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦) ，其长为 a ，异支的弦中最短的为实轴，其长为 2a.(4)设 P， A，B 是双曲线上的三个不一样的点，此中 A， B 对于原点对称，直线 PA， PBb2斜率存在且不为0，则直线 PA 与 PB 的斜率之积为a2.2．巧设双曲线方程2 2 2 2(1)与双曲线x2 －y2 ＝1(a>0， b>0) 有共同渐近线的方程可表示为x2 －y2＝ t(t≠ 0)．a b a b(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ ny2＝ 1(mn<0) ．二、教材衍化1．双曲线x2 － y2 ＝－ 1 的实轴长，离心率，渐近线方程．24 257 5 6答案： 10 5 y＝±12 x2．以椭圆x2 ＋ y2 ＝ 1 的焦点为极点，极点为焦点的双曲线方程为．4 3答案：x2－y2＝1 33．经过点A(3，－ 1)，且对称轴都在座标轴上的等轴双曲线方程为．2 2 x y一、思虑辨析判断正误 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点 F1(0 ， 4) ， F2(0，－ 4)距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线． ( )(2) 椭圆的离心率 e ∈ (0， 1)，双曲线的离心率e ∈ (1，＋∞ )． ()x 2 y 2(3)方程 m － n ＝ 1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线． ( ) (4) 等轴双曲线的渐近线相互垂直，离心率等于 2.()答案： (1)× (2) √ (3) × (4)√ 二、易错纠偏常有误区 (1)忽略双曲线定义的条件致误；(2)忽略双曲线焦点的地点致误．1．平面内到点 F 1(0 ， 4)， F 2(0，－ 4)的距离之差等于 6 的点的轨迹是．分析：由 |PF 1|－ |PF 2|＝ 6<|F 1F 2|＝ 8，得 a ＝ 3，又 c ＝4，则 b 2＝c 2－ a 2＝7，所以所求点的轨迹是双曲线y 2 x 2－＝ 1 的下支．9 722答案：双曲线 y －x＝1的下支972．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的斜率为3，则双曲线的离心率为．分析：若双曲线的焦点在 x 轴上，22设双曲线的方程为x2－ y2＝ 1，ab 则渐近线的方程为by ＝ ± x ，a由题意可得 b＝ 3， b ＝ 3a ，a可得 c ＝2a ，则 e ＝ c＝ 2；若双曲线的焦点在y 轴上，a设双曲线的方程为 y2 － x 2 ＝ 1，22ab则渐近线的方程为ay ＝ ± x ，ba3， a ＝ 3b ，可得 c ＝ 2 3 2 3由题意可得 b ＝ 3 a ，则 e ＝ 3 .2 3 综上可得 e ＝ 2 或 e ＝ 3 .答案：2或23 3双曲线的定义及应用 (典例迁徙 )2设 F 1，F 2 是双曲线 x4 － y 2＝ 1 的焦点，点 P 在双曲线上，且知足∠ F 1PF 2＝90°，则△ F 1PF2的面积是．【分析】双曲线 x 2－ y2＝ 1 中， a＝ 2， b＝ 1， c＝ 5.可设点 P 在右支上，由双曲线的4定义可得 |PF1|－ |PF2|＝ 4，两边平方得， |PF1 |2＋ |PF2|2－ 2|PF1|· |PF2|＝ 16，又 |PF 1|2＋ |PF2|2＝(2c)2＝ 20，所以△ PF 1F 2的面积为12|PF 1|· |PF 2|＝ 1.【答案】 1【迁徙研究】(变设问 )在本例条件下，则△ F 1PF 2的周长为．分析：又 (|PF1 |＋ |PF 2|)2＝(|PF1 |－ |PF 2|)2＋ 4|PF 1|·|PF 2|＝ 16＋ 8＝ 24，所以 |PF 1|＋ |PF 2|＝26，△ PF1F2的周长为 2 6＋ 2 5.答案： 2 5＋2 6双曲线定义的应用(1)判断知足某条件的平面内动点的轨迹能否为双曲线，从而依据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，当∠ F1PF2＝ 90°时， S△ PF1F 2＝ b2，常利用正弦定理、余弦定理，常常联合 ||PF1 |－ |PF 2||＝ 2a，运用平方的方法，成立 |PF 1|与 |PF2|的关系．[注意 ] 在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，仍是双曲线的一支，假如双曲线的一支，则需确立是哪一支．1．设 F 1， F 2 分别是双曲线 x 2－ y 2 P 在双曲线上，且 |PF 1|＝ 6，＝ 1 的左、右焦点．若点9 则|PF 2|＝ ()A ． 6B ． 4C ．8D ．4或 8分析：选 D. 由双曲线的标准方程可得 a ＝1，则 ||PF 1|－|PF 2 ||＝ 2a ＝ 2，即 |6－ |PF 2||＝ 2，解得 |PF 2|＝4 或 8.2．已知 F 1，F 2 为双曲线 C ： x 2－ y 2＝2 的左，右焦点，点 P 在 C 上， |PF 1|＝ 2|PF 2|，则 cos ∠F 1PF 2＝．分析：由双曲线的定义有|PF 1 |－ |PF 2|＝ |PF 2|＝ 2a ＝ 2 2，所以 |PF 1|＝ 2|PF 2 |＝ 4 2，则 cos ∠ F 1PF 2 |PF 1|2＋ |PF 2|2－ |F 1F 2|2＝2|PF 1|· |PF 2 | （4 2）2＋（ 2 2）2－423. ＝ 2× 2 ＝2× 4 2 4 答案：34双曲线的标准方程 (师生共研 )(1)已知圆C 1： (x ＋3)2 ＋y 2＝ 1， C 2： (x －3) 2＋ y 2＝9，动圆 M 同时与圆 C 1 和圆 C 2 相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为 ()22A ． x 2－y＝ 1B.x－ y 2＝ 18822C ．x 2－ y＝ 1(x ≤－ 1)D ． x 2－ y＝ 1(x ≥ 1)88x 2 y 2(2)已知中心在原点，焦点在座标轴上的双曲线C 与椭圆 9 ＋ 4 ＝ 1 有同样的焦距，且一条渐近线方程为 x － 2y ＝ 0，则双曲线 C 的方程为．【分析】(1) 设动圆 M 的半径为 r ，由动圆 M 同时与圆 C 1 和圆 C 2 相外切，得 |MC 1 |＝ 1＋r ， |MC 2|＝ 3＋ r ， |MC 2|－ |MC 1|＝ 2<6 ，所以点 M 的轨迹是以点 C 1(－ 3，0)和 C 2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且 2a ＝ 2，a ＝ 1， c ＝3，则 b 2＝ c 2－ a 2 ＝8，所以点 M 的轨迹方程为 x 2－ y 2＝1(x ≤ － 1)． 82 222x ＋ y ＝ 1 中， c ＝ 9－ 4＝5.由于双曲线 C 与椭圆x＋y＝1 有同样的焦距，(2)在椭圆 94 9 4程为x － 2y ＝ 0，所以可设双曲线方程为 x 2－ y 2＝λ(λ ≠ 0)，化为标准方程为 4x 2 y 2 x 2 － y 2＝ 1；当 λ<04λ－ λ＝ 1.当 λ>0 时，c ＝ λ＋ 4λ＝ 5，解得 λ＝ 1，则双曲线 C 的方程为 4 x 2时， c ＝－ λ－4λ＝ 5，解得 λ＝－ 1，则双曲线 C 的方程为 y 2－ 4＝ 1.综上，双曲线 C 的方22程为x － y 2＝ 1 或 y 2－ x ＝ 1. 44x 2x 2【答案】 (1)C(2) 4 － y 2＝ 1 或 y 2－ 4 ＝1求双曲线标准方程的方法(1)定义法依据双曲线的定义确立a 2，b 2 的值，再联合焦点地点，求出双曲线方程，常用的关系有：① c 2＝ a 2＋ b 2；②双曲线上随意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.(2)待定系数法①一般步骤②常用想法2222(i) 与双曲线x2－ y2＝ 1 共渐近线的方程可设为x2－ y2＝ λ(λ≠ 0)；a bab(ii) 若双曲线的渐近线方程为bx 2 y 2 y ＝ ± x ，则双曲线的方程可设为2－2＝ λ(λ≠ 0)；aa b(iii) 若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为x 2 ＋ y 2 ＝ 1(mn<0) 或 mx 2 ＋ ny 2 ＝mn1(mn<0)．1．双曲线 C 的两焦点分别为 (－ 6， 0)， (6，0)，且经过点 (－ 5，2)，则双曲线的标准方程为 ()2222x － y＝ 1B.x－y＝ 1A. 20 420 16 y 2x 2y 2 x 2 C.20－ 16＝1D ．20－4 ＝ 1分析：选 B.2a ＝ | （－ 5＋6） 2＋ 22－（－ 5－ 6） 2＋22|＝ 4 5.所以 a ＝ 2 5，又 c ＝6，所以 b 2＝c 2－ a 2＝36－ 20＝16.所以双曲线的标准方程为 x 2－ y 2＝ 1.应选 B.20 16x 2 y 22． (2020 合·肥市第一次质检测 )设双曲线 C ：a 2－ b 2＝ 1(a>0， b>0)的虚轴长为 4，一条1 )渐近线的方程为 y ＝ x ，则双曲线 C 的方程为 (2x 2 y 2 x 2 y 2A.16－ 4 ＝ 1B. 4 － 16＝ 1222x － y＝ 1D ． x 2－ y＝ 1C.64 16 4分析：选 A. 由题意知，双曲线的虚轴长为 4，得 2b ＝ 4，即 b ＝ 2，又双曲线的焦点在 x 轴上，则其一条渐近线的方程为b1x ，可得 a ＝ 4，所以双曲线 C 的方程为 x 2 － y 2 y ＝ x ＝16 ＝ 1， a 24 应选 A.双曲线的几何性质 (多维研究 )角度一双曲线的渐近线问题(2020 吉·林第三次调研测试)已知双曲x2y2线 C：a2－b2＝1(a>0 ， b>0) 的实轴长是虚轴长的2倍，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ． y＝±2 2x B． y＝±2x2 C．y＝±2 x2 D． y＝±4 x【分析】双曲线x2y2a2－ b2＝ 1(a>0，b>0) 的实轴长为2a，虚轴长为2b，所以2a＝ 2 2b，即 a＝2b.b 2所以渐近线方程为 y＝±a x＝±2 x.应选 C.【答案】 C求双曲线的渐近线的方法x2 y2 y2 x2求双曲线a2－b2＝ 1(a>0，b>0)或a2－b2＝ 1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右侧的常数等于 0，即令 x 2 y 2 b y 2 x 2a a 2－b 2＝ 0，得 y ＝ ± x ；或令a 2－b 2＝ 0，得 y ＝± x.反之，已知渐近线方程为abb x 2 y 2y ＝± x ，可设双曲线方程为a 2－ 2＝ λ(a>0， b>0，λ≠ 0)．ab[说明 ] 两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线对于x 轴， y 轴对称．角度二双曲线的离心率问题x 2(1)(2020 兰·州市诊疗考试 )若双曲线 a 2y 23，则其虚轴长为 ()－2＝ 1(a>0， b>0) 的实轴长为 4，离心率为bA ． 8 2B ． 4 24 6C ．22D ． 32 2(2)( 一题多解 )(2019 高·考全国卷 Ⅱ )设 F 为双曲线 C ：x2－ y2＝ 1(a ＞ 0，b ＞ 0)的右焦点，a bO 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x 2＋y 2＝ a 2 交于 P ， Q 两点．若 |PQ|＝ |OF |，则 C 的离心率为 ()A. 2B. 3C ．2D ． 5【分析】 (1)由题意知 2a ＝4，所以 a ＝ 2.由于 e ＝ c＝3，所以 c ＝2 3，所以 b ＝ c 2－ a2a＝2 2，所以 2b ＝4 2，即该双曲线的虚轴长为4 2，应选 B.2x －c (2)法一：依题意，记 F( c ，0)，则以 OF 为直径的圆的方程为 x － c ＋ y 2＝c 2，将圆2 42 2c 2 a 2 a 2＋ y 2＝ 4 与圆 x 2＋y 2＝a 2 的方程相减得 cx ＝ a 2，即 x ＝ c ，所以点 P ，Q 的横坐标均为c .由a 22|PQ|2a 22c 2c 2a 2于 PQ 是圆 x 2＋ y 2＝ a 2 的一条弦，所以 c ＋2 ＝a 2，即 c＋ 2 ＝ a 2，即 4 ＝ a 21－ c 2a 2b 2b 2 ＝ c2 ，所以 c 2＝ 2ab ，即 a 2＋b 2－ 2ab ＝ (a －b)2＝ 0，所以 a ＝ b ，所以 C 的离心率 e ＝ 1＋ a ＝ 2，应选 A.法二：记 F(c ， 1 |OP| |PF · 11 0)．连结 OP ， PF ，则 OP ⊥ PF ，所以 S △OPF ＝|＝ |OF | ·|PQ|，22 21 1 1 即 a · c 2－ a 2＝c ·c ，即 c 2＝ 2ab ，即 a 2＋ b 2－ 2ab ＝ (a － b)2 ＝0，所以 a ＝ b ，所以 C 的离心22 2率 e ＝1＋ b 2＝ 2，应选 A.a法三：记 F(c ， 0)．依题意， PQ 是以 OF 为直径的圆的一条弦，所以 OF 垂直均分 PQ.又|PQ|＝ |OF |，所以 PQ 是该圆的与 OF 垂直的直径，所以 ∠ FOP ＝ 45° ，点 P 的横坐标为 c，2纵坐标的绝对值为c2，于是有2× c2＝a ，即e ＝ac ＝2，即 C 的离心率为 2，应选A.【答案】(1)B (2)A(1)求双曲线的离心率或其取值范围的方法c 2 a 2＋ b 2b 2①求 a ， b ， c 的值，由 a 2＝ a 2 ＝1＋ a 2直接求 e.②列出含有 a ， b ，c 的齐次方程 (或不等式 )，借助于 b 2＝ c 2－ a 2 消去 b ，而后转变成关于 e 的方程 (或不等式 )求解．222(2)双曲线的渐近线的斜率k 与离心率 e 的关系： k ＝ b ＝c － a ＝c2－ 1＝ e2－ 1.aaa221．(2020 甘·肃、青海、宁夏联考)若双曲线 x2－y2＝ 1(a>0 ，b>0) 的离心率为5，则斜率a b为正的渐近线的斜率为()3 1 A. 2 B.2 C. 3D ． 2分析：选 D. 双曲线的离心率为5，即 c＝ 5，a所以 b＝ c 2－ a2c 2－ 1＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝ ±2x ，应选 D.a 2 ＝aa2．(2020 陕·西榆林二模 )已知双曲线 C ：x 222－ y2＝ 1(a>0，b>0)，左极点为 A ，右焦点为 F ，ab过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线C 在第一象限内的交点为B ，且直线 AB 的斜率为 1，则2C 的离心率为．2222分析：把 x ＝ c 代入双曲线： x 2 － y 2＝ 1(a>0， b>0)得 y ＝ b ，所以 B c ， b， a ba ab 2又 A(－a ， 0)，直线 AB 的斜率为 1，所以 a ＝ 1，2 a ＋c 2可得 a 2＋ac ＝ 2c 2－ 2a 2，即 2c 2 －3a 2－ ac ＝ 0，即 2e 2－ 3－e ＝ 0，由于 e>1，所以 e ＝32.答案：32思想方法系列 14 方程思想求圆锥曲线的离心率2 2(2020 河·南洛阳一模 )已知双曲线 C ： x 2－ y2＝ 1(a ＞ 0， b ＞ 0)， F 是双曲线 C 的右a b焦点， A 是双曲线 C 的右极点，过 F 作 x 轴的垂线，交双曲线于 M ，N 两点．若 tan ∠ MAN ＝－ 3，则双曲线 C 的离心率为 ()4A ． 3B ． 24C.3D ． 2【分析】由题意可知tan ∠ MAN＝－342tan ∠ MAF＝1－ tan 2∠ MAF，解得 tan∠ MAF ＝ 3，b2a可得＝ 3，可得 c2＋ 2a2－3ac＝ 0， e2＋ 2－ 3e＝ 0，由于 e＞1，所以解得 e＝ 2.应选 B.【答案】 B(1) 本例利用方程思想，将已知条件转变为对于 e 的方程，而后求出离心率 e.(2) 求解椭圆、双曲线的离心率或离心率的取值范围的方法往常是依据条件列出对于a，c 的齐次方程或不等式，而后再转变成对于 e 的方程或不等式求解．已知点 F 1 2x 2 ＋ y 2＝ 1(a，F 分别是椭圆 a 2 b2＞b ＞ 0)的左、右焦点，过 F 1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A ，B 两点．若△ ABF 2 是锐角三角形，则该椭圆的离心率e 的取值范围是 ()A ．(0， 2－1)B ．( 2－1，1)C ．(0， 3－ 1)D ． ( 3－1，1)b 2b 2分析：选 B.由题意得 F 1(－ c ， 0)，F 2(c ， 0)， A －c ，a ，B － c ，－ a .由于 △ABF 2 是b 2a锐角三角形，所以 ∠AF 2F 1＜45° ，所以 tan ∠ AF 2F 1＜ 1，即2c ＜ 1.整理，得 b 2＜ 2ac ，所以 a 2－ c 2＜ 2ac.两边同时除以 a 2 并整理，得 e 2＋ 2e － 1＞0，解得 e ＞ 2－ 1 或 e ＜－ 2－ 1(舍去) ．又由于 0＜ e ＜ 1，所以椭圆的离心率 e 的取值范围为 (2－1， 1)．[基础题组练 ]1． (2019 ·考北京卷高 )已知双曲线 x 25，则 a ＝ ()a 2－y 2＝1(a ＞ 0)的离心率是A. 6B ． 41 C ．2D.2分析：选 D. 由双曲线方程 x2－ y 2＝ 1，a2得 b 2＝ 1，所以 c 2＝ a 2＋ 1.所以 5＝ e 2＝c 22＋ 1 ＝ 1＋ 12. 2＝a2 aa a1联合 a>0，解得 a ＝ .应选 D.2．若双曲线 C 1：x 2 222－y ＝1 与 C 2：x 2－ y2＝ 1(a>0， b>0)的渐近线同样，且双曲线C 2 的2 8a b焦距为 4 5，则 b ＝ ()A ． 2B ． 4C ．6D ． 8分析：选 B. 由题意得， b＝ 2? b ＝ 2a ， C 2 的焦距 2c ＝ 4 5? c ＝ a 2＋ b 2＝ 2 5? b ＝4，a应选 B.2－y 2＝ 1 的两个焦点为 F 1，F 2 12 3．设双曲线 x 8，P 是双曲线上的一点，且 |PF |∶ |PF |＝ 3∶ 4，则△ PF 1F 2 的面积等于 ()A ．10 3B ． 8 3C ．85D ． 16 5分析：选 C. 依题意 |F 1F 2 |＝6， |PF 2|－ |PF 1 |＝ 2，由于 |PF 1|∶ |PF 2 |＝ 3∶ 4，所以 |PF 1|＝ 6，162－ 82|PF 2|＝ 8，所以等腰三角形 PF 1 F 2 的面积 S ＝ 2 ×8×2 ＝ 8 5.4．(2020 长·春市质量监测 (一 )) 已知双曲线x 222－ y2＝ 1(a>0，b>0)的两个极点分别为 A ，B ，ab点 P 为双曲线上除 A ， B 外随意一点，且点P 与点 A ， B 连线的斜率分别为 k 1， k 2，若 k 1 k 2＝3，则双曲线的渐近线方程为()A ． y ＝ ±xB ． y ＝ ± 2xC ．y ＝ ± 3xD ． y ＝ ±2x·y＝ 2y 222分析：选 C.设点 P(x ， y)，由题意知 k 1· k 2＝y 2＝ y2 2＝ b2＝ 3，所以其x － a x ＋ a x － aa y ab 2渐近线方程为 y ＝ ± 3x ，应选 C.225． (2019 高·考天津卷 )已知抛物线y 2 ＝ 4x 的焦点为 F ，准线为 l.若 l 与双曲线 x 2－ y2＝a b1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点 A 和点 B ，且 |AB|＝4|OF |(O 为原点 )，则双曲线的离心率为 ()A. 2B. 3 C ．2D ． 5分析：选 D. 由题意知 F(1，0)，l ：x ＝－ 1，双曲线的渐近线方程为b y ＝ ± x ，则 |AB |＝ 4|OF |ab ，所以 bc a 2＋ b 2 a 2＋ 4a 25，应选 D.＝4，而 |AB|＝ 2×a ＝2，所以 e ＝＝ a ＝＝a aa26．(2019 高·考江苏卷 )在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线 x 2－ y2＝ 1(b>0) 经过点 (3，4)，b则该双曲线的渐近线方程是．2分析：由于双曲线 x 2－ y 2＝ 1(b>0) 经过点 (3，4)，所以 9－ 162＝1(b>0) ，解得 b ＝2，即bb双曲线方程为 x 2－ y 22 ＝ 1，其渐近线方程为 y ＝ ± 2x.答案： y ＝ ± 2xx 2y 2k 的取7．(2020 陕·西渭南期末改编 ) 已知方程＋＝ 1，若该方程表示双曲线，则4－ k k － 2值范围是，若该方程表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 k 的取值范围是．分析：方程 x 2＋ y 2 ＝ 1 表示双曲线，若焦点在 x 轴上，则 4－ k>0，k － 2<0 ，解得 k<2；4－ k k － 2若焦点在 y 轴上，则 4－k<0，k － 2>0，解得 k>4 ，则 k 的取值范围是 (－ ∞，2)∪ (4，＋ ∞ )．若方程表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 4－ k>k －2>0 ，即 2<k<3 ，则 k 的取值范围为 (2， 3)．答案： (－∞， 2)∪ (4，＋∞ )(2， 3)x 2 y 28．(2020 云·南昆明诊疗测试改编 )已知点 P(1， 3)在双曲线 C ：a 2－ b 2＝ 1(a>0，b>0) 的渐近线上， F 为双曲线 C 的右焦点， O 为原点．若∠ FPO ＝ 90°，则双曲线 C 的方程为，其离心率为．分析：由于双曲线x 2 y 2bC ： 2－2＝1(a>0， b>0)的渐近线方程为y ＝ ± x ，点 P(1， 3)在渐a ba近线上，所以 b＝ 3.在 Rt △ OPF 中， |OP|＝（ 3） 2＋1＝ 2，∠ FOP ＝ 60° ，所以 |OF |＝ cax 2 y 2 c ＝4.又 c 2＝ a 2＋ b 2，所以 b ＝ 2 3，a ＝ 2，所以双曲线 C 的方程为 4 －12＝ 1，离心率 e ＝ a ＝ 2.答案： x 2 y 2－＝ 1 24 12x 2 y 29．已知椭圆 D ：50＋ 25＝ 1 与圆 M ：x 2＋ (y － 5)2＝ 9，双曲线 G 与椭圆 D 有同样的焦点，它的两条渐近线恰巧与圆M 相切，求双曲线 G 的方程．解：椭圆 D 的两个焦点坐标为 (－5， 0)， (5， 0)，因此双曲线中心在原点，焦点在 x 轴上，且 c ＝5.x 2 y 2设双曲线 G 的方程为 a 2－ b 2＝ 1(a>0， b>0) ，所以渐近线方程为bx ±ay ＝0 且 a 2＋ b 2＝ 25，又圆心 M(0 ，5)到两条渐近线的距离为 3.所以 |5a|＝ 3，得 a ＝ 3， b ＝ 4，b 2＋ a 2x 2 y 2所以双曲线 G 的方程为 9 －16＝ 1.10．已知双曲线的中心在原点，焦点 F ，F在座标轴上，离心率为 2，且过点 (4，－ 10)．12(1)求双曲线方程；(2)若点 M(3， m) 在双曲线上，求证：点 M 在以 F 1F 2 为直径的圆上．解： (1)由于离心率 e ＝ 2，所以双曲线为等轴双曲线，可设其方程为 x 2－ y 2＝ λ(λ≠ 0)，则由点 (4，－ 10)在双曲线上，可得 λ＝ 42－ (－ 10)2＝6，所以双曲线的方程为 x 2－ y 2＝ 6.(2)证明：由于点 M(3， m)在双曲线上，所以 32－m 2＝ 6，所以 m 2＝3，又双曲线 x 2－ y 2＝ 6 的焦点为 F 1(－ 2 3， 0)， F 2(2 3， 0)，→ →所以 MF 1·MF 2＝ (－ 2 3－ 3，－ m) ·(2 3－ 3，－ m)＝ (－ 3)2－(2 3)2＋ m 2＝9－ 12＋ 3＝ 0，所以 MF 1⊥MF 2，所以点 M 在以 F 1F 2 为直径的圆上．[综合题组练 ]221．(2020 河·南鹤壁高中4 月模拟 )设 F 1 ，F 2 是双曲线 C ： x2－y2＝ 1(a>0，b>0) 的左、右a b焦点， P 是双曲线 C 右支上一点，若 |PF 1 |＋ |PF 2|＝ 4a ，且∠ F 1PF 2＝ 60°，则双曲线 C 的渐近线方程是 ()A. 3x ±y ＝ 0B ． 2x ± 7y ＝ 0C. 3x ±2y ＝ 0D ． 2x ± 3y ＝0分析：选 C.由于 F 1、F 2 是双曲线的左、右焦点，点 P 在双曲线右支上，所以由双曲线定义可得 |PF 1|－ |PF 2|＝ 2a ，又知 |PF 1|＋ |PF 2 |＝ 4a ，所以 |PF 1|＝ 3a ， |PF 2 |＝ a.在 △PF 1F 2 中，2 222 22由余弦定理可得 cos 60°＝ |PF 1| ＋ |PF 2| － |F 1F 2|，即 1＝（3a ）＋ a －4c，所以 3a 2＝ 10a 22|PF 1222×3a × a|· |PF |2 3，所以双曲线 C 的渐近线方程为 y ＝ ± 3－4c 2，即 4c 2＝ 7a 2，又知 b 2＋a 2＝c 2，所以 b2＝x ，a4 2即 3x ±2y ＝ 0，应选 C.222． (2019 高·考全国卷 Ⅰ)已知双曲线 C ： x2－y2＝ 1(a>0 ， b>0) 的左、右焦点分别为F 1，a bF 2，过 F 1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A ，B 两点，若 →→ → →F 1A ＝ AB ， F 1 B ·F 2 B ＝ 0，则 C的离心率为．→→分析：法一：由于 F 1B ·F 2B ＝ 0，所以 F 1B ⊥ F 2B ，如图．→ → 所以 |OF 1|＝ |OB|，所以 ∠ BF 1O ＝ ∠F 1BO ，所以 ∠ BOF 2＝ 2∠ BF 1O.由于 F 1A ＝ AB ，所以点 A 为 F 1B 的中点，又点 O 为 F 1F 2 的中点，所以 OA ∥ BF 2 ，所以 F 1B ⊥ OA ，由于直线 OA ，1a， tan ∠ BOF 2b2＝OB 为双曲线 C 的两条渐近线，所以 tan ∠ BF O ＝ b＝ a .由于 tan ∠ BOFatan(2∠ BF 1O)，所以 b ＝ 2× b2 ，所以 b 2＝ 3a 2，所以 c 2 －a 2＝ 3a 2，即 2a ＝ c ，所以双曲线的a a1－ b离心率 e ＝ c＝ 2.a→→法二：由于 F 1B ·F 2B ＝ 0，所以 F 1B ⊥ F 2B ，在 Rt △ F 1BF 2 中，|OB|＝ |OF 2|，所以 ∠ OBF 2→ →，所以 A 为 F 1B 的中点，所以 OA ∥ F 2B ，所以 ∠ F 1OA ＝∠ OF 2B.又＝∠ OF 2B ，又F 1A ＝ AB∠F 1OA ＝ ∠ BOF 2，所以 △OBF 2 为等边三角形．由 F 2(c ，0)可得 B c ，3c，由于点 B 在直22线 y ＝ b3b c ，所以 b＝ 3，所以 e ＝ 1＋ b2x 上，所以 c ＝＝ 2.a 2 · a a 2a 2答案： 222 3．已知双曲线 C ：x2－ y2＝ 1(a>0，b>0) 的离心率为3，点 ( 3，0)是双曲线的一个极点．a b(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线右焦点 F 2 作倾斜角为 30°的直线，直线与双曲线交于不一样的两点 A ，B ，求|AB|.解： (1) 由于双曲线 C ： x 2 y 23，点 ( 3，0)是双曲线的一个－＝ 1(a>0，b>0)的离心率为a2b 2极点，c 所以 a ＝ 3，解得 c ＝3， b ＝ 6，a ＝ 3， x 2y 2所以双曲线的方程为－＝1.22x －y＝ 1 的右焦点为 F 2(2)双曲线 36(3， 0)，所以经过双曲线右焦点F 2 且倾斜角为 30°的直线的方程为y ＝ 3．3 ( x －3)x 2－ y 2 ＝ 1，3 6得 5x 2＋6x － 27＝ 0. 联立y ＝ 3（ x － 3），3627设 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2 )，则 x 1＋ x 2＝－ 5， x 1x 2＝－ 5.所以 |AB|＝1 － 62 －4× － 27 ＝ 163 .1＋ × 5 5 53 4．已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 (4， 0)，实轴长为 43.(1)求双曲线 C 的方程；(2)若直线 l ： y ＝ kx ＋2 2与双曲线 C 的左支交于 A ， B 两点，求 k 的取值范围．2 2解： (1)设双曲线 C 的方程为 x 2 － y2＝ 1(a>0 ， b>0) ．ab由已知得， a ＝ 2 3， c ＝ 4，再由 a 2＋ b 2＝ c 2，得 b 2＝ 4，所以双曲线 C 的方程为x 22－y ＝ 1.124(2)设 A(x A ， y A )， B(x B ， y B )，将 y ＝ kx ＋ 2 2与x 2－y 2＝1 联立，得 (1－ 3k 2)x 2－ 122kx －12436＝ 0.由题意知1－ 3k2≠0，＝（－ 122k）2＋ 4×（ 1－ 3k2）× 36>0，12 2kx A＋ x B＝1－3k2<0 ，－36x A x B＝1－3k2>0，3解得3 <k<1.3所以当3 <k<1 时， l 与双曲线的左支有两个交点．所以 k 的取值范围为3， 1 3。

高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-7双曲线试题理北师大

【2019最新】精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-7双曲线试题理北师大1．双曲线定义平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质【知识拓展】巧设双曲线方程(1)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为＋＝1(mn<0)．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( ×)(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( ×)(3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.( √)(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( √)(5)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．( √)1．(教材改编)若双曲线－＝1 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A. B．5C. D．2答案A解析由题意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝＝5，∴e＝.2．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为( )A. B．2 C．4 D．8答案C解析设C：－＝1.∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4，得A(－4，)，B(－4，－)，∴|AB|＝2＝4，∴a＝2，∴2a＝4.∴C的实轴长为4.3．(2015·安徽)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是( ) A．x2－＝1 B.－y2＝1C.－x2＝1 D．y2－＝1答案C解析由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上，不合题意；C、D项双曲线焦点均在y轴上，但D项渐近线为y＝±x，只有C符合，故选C.4．(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距是________．答案210解析由已知，a2＝7，b2＝3，则c2＝7＋3＝10，故焦距为2c＝2.5．双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．解析双曲线的一个顶点坐标为(2,0)，一条渐近线方程是y＝x，即x－2y＝0，则顶点到渐近线的距离d＝＝.题型一双曲线的定义及标准方程命题点1 利用定义求轨迹方程例1 已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________．答案x2－＝1(x≤－1)解析如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．命题点2 利用待定系数法求双曲线方程例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为； (2)焦距为26，且经过点M(0,12)； (3)经过两点P(－3,2)和Q(－6，－7)．解 (1)设双曲线的标准方程为x2a2－＝1或－＝1(a>0，b>0)．由题意知，2b ＝12，e ＝＝. ∴b＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.(2)∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12.又2c ＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25. ∴双曲线的标准方程为－＝1.(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．∴解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为－＝1.命题点3 利用定义解决焦点三角形问题例3 已知F1，F2为双曲线C ：x2－y2＝2的左，右焦点，点P 在C 上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝______. 答案34解析 ∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a ＝2， ∴|PF1|＝2|PF2|＝4，则co s∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝＝. 引申探究1．本例中将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？解不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a ＝2，在△F1PF2中，由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝，所以|PF1|·|PF2|＝8，所以＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝2.12F PF S2．本例中将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“·＝0”，则△F1PF2的面积是多少？解不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a ＝2，由于·＝0，所以⊥，所以在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16，所以|PF1|·|PF2|＝4，所以＝|PF1|·|PF2|＝2.12F PF S思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．(1)已知F1，F2为双曲线－＝1的左，右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|＋|AF2|的最小值为( )A.＋4B.－4C.－2D.＋2 5(2)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为( )A. B.53C. D.3答案(1)C (2)B解析(1)由题意知，|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2a，要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值，当A，P，F1三点共线时，取得最小值，则|AP|＋|AF1|＝|PF1|＝，∴|AP|＋|AF2|的最小值为|AP|＋|AF1|－2a＝－2.故选C.(2)不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a，又r1＋r2＝3b，故r1＝，r2＝.又r1·r2＝ab，所以·＝ab，解得＝(负值舍去)，故e＝＝＝＝，故选B.题型二双曲线的几何性质例4 (1)(2016·浙江)已知椭圆C1：＋y2＝1(m＞1)与双曲线C2：－y2＝1(n＞0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则( )A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1(2)(2015·山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．答案(1)A (2)32解析(1)由题意可得m2－1＝n2＋1，即m2＝n2＋2，又∵m＞0，n＞0，故m＞n.又∵e·e＝·＝·n2＋1n2＝＝1＋＞1，∴e1·e2＞1.(2)由题意，不妨设直线OA的方程为y＝x，直线OB的方程为y＝－x.由得x2＝2p ·x，∴x＝，y＝，∴A.设抛物线C2的焦点为F，则F，∴kAF＝.∵△OAB的垂心为F，∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，∴·＝－1，∴＝.设C1的离心率为e，则e2＝＝＝1＋＝.∴e＝.思维升华双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2.(2016·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M 在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( )A. B. C. D．2答案A解析离心率e＝，由正弦定理得e＝＝＝＝.故选A.题型三直线与双曲线的综合问题例5 (2016·兰州模拟)已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左，右焦点分别是C1的左，右顶点，而C2的左，右顶点分别是C1的左，右焦点．(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．解(1)设双曲线C2的方程为－＝1(a>0，b>0)，则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.故C2的方程为－y2＝1.(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得∴k2≠且k2<1.①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2 ＝.又∵·>2，得x1x2＋y1y2>2， ∴>2，即>0，解得<k2<3，② 由①②得<k2<1.故k 的取值范围为(－1，－)∪(，1)．思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．若双曲线E ：－y2＝1(a>0)的离心率等于，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若|AB|＝6，点C 是双曲线上一点，且＝m(＋)，求k ，m 的值．解(1)由得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝1，c2＝2，故双曲线E 的方程为x2－y2＝1. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x2－y2＝1，得(1－k2)x2＋2kx －2＝0.(*)∵直线与双曲线右支交于A ，B 两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k>1，Δ＝－－－，即所以1<k<.故k 的取值范围是{k|1<k<}． (2)由(*)式得x1＋x2＝，x1x2＝， ∴|AB|＝·＋－4x1x2＝2＝6，整理得28k4－55k2＋25＝0，∴k2＝或k2＝，又1<k<，∴k＝，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝8. 设C(x3，y3)，由＝m(＋)，得(x3，y3)＝m(x1＋x2，y1＋y2)＝(4m,8m)． ∵点C 是双曲线上一点． ∴80m2－64m2＝1，得m ＝±. 故k ＝，m ＝±.12．直线与圆锥曲线的交点典例已知双曲线x2－＝1，过点P(1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点？错解展示现场纠错解设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x0，y0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k(x －1)，即y ＝kx ＋1－k.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x2－y22＝1，得(2－k2)x2－2k(1－k)x －(1－k)2－2＝0(2－k2≠0)．① ∴x0＝＝.由题意，得＝1，解得k ＝2.当k ＝2时，方程①可化为2x2－4x ＋3＝0. Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P(1,1)是线段AB 的中点．纠错心得 (1)“点差法”解决直线与圆锥曲线的交点问题，要考虑变形的条件． (2)“判别式Δ≥0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法．1．(2016·广州联考)已知双曲线C ：－＝1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(2,1)在C 的一条渐近线上，则C 的方程为( ) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1答案 A解析依题意解得∴双曲线C 的方程为－＝1.2．(2016·全国乙卷)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A ．(－1,3) B ．(－1，) C ．(0,3) D ．(0，)答案 A解析 ∵方程－＝1表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2<n<3m2，由双曲线性质，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)，∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，∴－1<n<3，故选A.3．(2016·南昌联考)已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M，使得(＋)·＝0(其中O为坐标原点)，且||＝||，则双曲线的离心率为( )A.－1B.3＋12C. D.＋1答案D解析∵＝－，∴(＋)·＝(＋)·(－)＝0，即2－2＝0，∴||＝||＝c，在△MF1F2中，边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半，可得⊥.∵||＝||，∴可设||＝λ(λ>0)，||＝λ，得(λ)2＋λ2＝4c2，解得λ＝c，∴||＝c，||＝c，∴根据双曲线定义得2a＝||－||＝(－1)c，∴双曲线的离心率e＝＝＋1.4．(2016·庐江第二中学月考)已知椭圆＋＝1(a1>b1>0)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为e1；双曲线－＝1(a2>0，b2>0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为e2，则e1e2等于( )A. B．1 C. D．2答案 B解析由b ＝a1c1，得a －c ＝a1c1，∴e1＝＝. 由b ＝a2c2，得c －a ＝a2c2，∴e2＝＝. ∴e1e2＝×＝1.5．(2015·课标全国Ⅰ)已知M(x0，y0)是双曲线C ：－y2＝1上的一点，F1，F2是C 的两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是( ) A. B.⎝⎛⎭⎪⎫－36，36 C. D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233答案 A解析由题意知a ＝，b ＝1，c ＝， ∴F1(－，0)，F2(，0)，∴＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)． ∵·<0，∴(－－x0)(－x0)＋y<0，即x －3＋y<0.∵点M(x0，y0)在双曲线上， ∴－y ＝1，即x ＝2＋2y ，∴2＋2y －3＋y<0，∴－<y0<.故选A.6．已知点F 是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,2) C ．(1,1＋) D ．(2,1＋)答案 B解析由题意易知点F 的坐标为(－c,0)，A(－c，)，B(－c，－)，E(a,0)，∵△ABE是锐角三角形，∴·>0，即·＝(－c－a，)·(－c－a，－)>0，整理得3e2＋2e>e4，∴e(e3－3e－3＋1)<0，∴e(e＋1)2(e－2)<0，解得e∈(0,2)，又e>1，∴e∈(1,2)，故选B.7．(2017·江西新余一中调研)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F恰好是圆F：x2＋y2－4x＋3＝0的圆心，且点F到双曲线C的一条渐近线的距离为1，则双曲线C的离心率为( )A. B. C. D．2 3答案C解析x2＋y2－4x＋3＝0可化为(x－2)2＋y2＝1，故F(2,0)，即c＝2，点F到一条渐近线的距离为b，即b＝1，∴a＝＝，∴e＝＝.8．(2016·浙江)设双曲线x2－＝1的左，右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．答案(2，8)解析如图，由已知可得a＝1，b＝，c＝2，从而|F1F2|＝4，由对称性不妨设P在右支上，设|PF2|＝m，则|PF1|＝m＋2a＝m＋2，由于△PF1F2为锐角三角形，结合实际意义需满足⎩⎪⎨⎪⎧＋2＜m2＋42，42＜＋＋m2，解得－1＋＜m ＜3，又|PF1|＋|PF2|＝2m ＋2， ∴2＜2m ＋2＜8.9．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P 在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________．答案53解析由定义，知|PF1|－|PF2|＝2a. 又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝a ，|PF2|＝a. 在△PF1F2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝－e2.要求e 的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值， ∴当cos∠F1PF2＝－1时，得e ＝，即e 的最大值为.10．(2015·课标全国Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x2－＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A(0,6)．当△APF 的周长最小时，该三角形的面积为________．答案 126解析设左焦点为F1，|PF|－|PF1|＝2a ＝2，∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF 的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2＋|PF1|，△APF 的周长最小即为|AP|＋|PF1|最小，当A 、P 、F1在一条直线上时最小，过AF1的直线方程为＋＝1，与x2－＝1联立，解得P 点坐标为(－2,2)，此时S△APF＝＝12.11－AF FF PFSS11．中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．解(1)由已知c＝，设椭圆长半轴长，短半轴长分别为a，b，双曲线实半轴长，虚半轴长分别为m，n，则解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2，∴椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.(2)不妨设F1，F2分别为左，右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，∴|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2，∴cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝＝.12．(2016·湖北部分重点中学第一次联考)在面积为9的△ABC中，tan∠BAC＝－，且＝2，现建立以A点为坐标原点，以∠BAC的平分线所在直线为x轴的平面直角坐标系，如图所示 .(1)求AB，AC所在直线的方程；(2)求以AB，AC所在直线为渐近线且过点D的双曲线的方程；(3)过D分别作AB，AC所在直线的垂线DF，DE(E，F为垂足)，求·的值．解(1)设∠CAx＝α，则由tan∠BAC＝tan 2α＝＝－及α为锐角，得tan α＝2，∴AC所在直线方程为y＝2x，AB所在直线方程为y＝－2x.(2)设所求双曲线的方程为4x2－y2＝λ(λ≠0)，C(x1，y1)，B(x2，y2)(x1>0，x2>0)．由＝2，得D(，)．∵点D在双曲线上，∴4()2－()2＝λ，∴x1x2＝λ.①由tan∠BAC＝－，得sin∠BAC＝.∵|AB|＝＝x2，|AC|＝＝x1，∴S△ABC＝|AB|·|AC|·sin∠BAC＝×5x1x2×45＝2x1x2＝9，代入①，得λ＝16，∴双曲线的方程为－＝1.(3)由题意知〈，〉＝π－∠BAC，∴cos〈，〉＝－cos∠BAC＝，设D(x0，y0)，则－＝1.又∵点D到AB，AC所在直线距离分别为||＝，||＝，∴·＝||||·cos〈，〉＝·×＝.13.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点是F2(2,0)，且b＝a.(1)求双曲线C的方程；(2)设经过焦点F2的直线l的一个法向量为(m,1)，当直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A，B时，求实数m的取值范围，并证明AB中点M在曲线3(x－1)2－y2＝3上；(3)设(2)中直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，问是否存在实数m，使得∠AOB为锐角？若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解 (1)c ＝2，c2＝a2＋b2， ∴4＝a2＋3a2，∴a2＝1，b2＝3， ∴双曲线C 的方程为x2－＝1. (2)l ：m(x －2)＋y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－mx ＋2m ，x2－y23＝1，得(3－m2)x2＋4m2x －4m2－3＝0. 由Δ>0，得4m4＋(3－m2)(4m2＋3)>0， 12m2＋9－3m2>0，即m2＋1>0恒成立．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.又∴⎩⎪⎨⎪⎧4m2m2－3>0，4m2＋3m2－3>0，∴m2>3，∴m∈(－∞，－)∪(，＋∞)． ∵＝，＝－＋2m ＝－， ∴AB 的中点M(，－)， ∵3(－1)2－＝3×－36m2－＝3×＝3，∴M 在曲线3(x －1)2－y2＝3上． (3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，假设存在实数m ，使∠AOB 为锐角，则·>0，∴x1x2＋y1y2>0.∵y1y2＝(－mx1＋2m)(－mx2＋2m)＝m2x1x2－2m2(x1＋x2)＋4m2，∴(1＋m2)x1x2－2m2(x1＋x2)＋4m2>0，∴(1＋m2)(4m2＋3)－8m4＋4m2(m2－3)>0，即7m2＋3－12m2>0，∴m2<，与m2>3矛盾，∴不存在实数m，使得∠AOB为锐角．。

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