18-19 第2章 2.2 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
2[1].2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
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1.5
2
2.5
3
3.5
月均用水量/t
频率 组距
频率分布直方图
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
前四个小矩形的 面积和=0.49 面积和
后四个小矩形的 面积和=0.26 面积和
0.25
0.22
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0.15 0.08 0.04
0.14 0.06 0.04 0.02 4 4.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
2.02
月均用水量/t
归纳总结得： 归纳总结得：
在样本中， 在样本中，有50％的个体小于或等于中位数， ％的个体小于或等于中位数， 也有50％的个体大于或等于中位数，因此， 也有 ％的个体大于或等于中位数，因此，在频 率分布直方图中， 率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的 面积应该相等，由此可以估计中位数的值。 面积应该相等，由此可以估计中位数的值。在这 个频率分布直方图中， 个频率分布直方图中，左边的直方图的面积代表 50个单位，右边的直方图也是代表 个单位，它 个单位， 个单位， 个单位 右边的直方图也是代表50个单位 们的分界线与x轴交点的横坐标就是中位数 轴交点的横坐标就是中位数。 们的分界线与 轴交点的横坐标就是中位数。 中位数在样本数据的频率分布直方图中， 中位数在样本数据的频率分布直方图中，就 是把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分 界线与x轴交点的横坐标 轴交点的横坐标。 界线与 轴交点的横坐标。
众数、中位数、平均数都是描述一组数 众数、中位数、平均数都是描述一组数 据的集中趋势的特征数， 据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不 其中以平均数的应用最为广泛. 同，其中以平均数的应用最为广泛
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(二) 标准差
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征（二） 标准差 ●学习目标1、能从样本数据中求出标准差，并做出合理解释；2、进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的标准差估计总体的特征；3、注意对样本标准差的随机性的体会，并能够正确利用标准差解决一些简单的实际问题． ●学习重点从样本数据中求出标准差并做出合理解释；样本估计总体的思想． ●学习难点体会统计的作用和样本标准差的随机性，并利用标准差解决一些简单的实际问题． ●学习过程 一．温故知新1、众数、中位数和平均数都是描述一组数据_________的量．2、两名射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 分别求出这两名运动员射击成绩的众数、中位数和平均数，对这次射击情况应如何评价？二．走进课堂1、极差：反映一组数据的变化的___________，它对一组数中的______非常敏感，由此可以得到一种“______________，______________”的统计策略．2、标准差：考察样本数据的______________最常用的统计量，是样本数据到_______的一种____________，一般用s 表示．（1）标准差的表达式：______________________s =；变形得：s = （2）标准差的大小，受样本中每个数据的影响，如果数据间变异大，则标准差也大，反之则小．因此，标准差越大，数据的离散程度_____，标准差越小，数据的离散程度_____； （3）标准差的取值范围是：______s ∈；（4）标准差常被理解为稳定性，标准差的单位与原数值的单位相同． 如何对上面甲、乙两名射击运动员做出评价？3、方差：即标准差的平方2s ．（1）方差的表达式：2________________________________s =；（2）方差也是反映数据离散程度的特征数字，它的单位是原数值的单位的平方． 【夯实基础】（1）甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数为1.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3，下列说法正确的有（ ）①甲队的技术比乙队好； ②乙队发挥比甲队稳定 ③乙队几乎每场都进球； ④甲队的表现时好时坏Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个 （2）某班有50名学生，某次数学考试的成绩经计算得到的平均分数是70分，标准差是s ，后来发现记录有误，某甲得70分却记为40分，某乙50分误记为80分，更正后重新计算得标准差为1s ，则s 与1s 之间的大小关系是（ ）Ａ．s ＝1s Ｂ．s ＜1s Ｃ．s ＞1s Ｄ．不能确定 （3）已知一个样本为：x ，1，y ，5，其中x ，y 是方程组222,10x y x y +=⎧⎨+=⎩的解，则这个样本的标准差是（ ）Ａ．2 Ｃ．5（４）一组数据的方差是2s ，将这组数据中的每一个数都乘以2，得到一组新数据，其方差是（ ） Ａ．212s Ｂ．22s Ｃ．24s Ｄ．2s（５）一组数据中的每一个数都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（ ）Ａ．81.2，4.4 Ｂ．78.8，4.4 Ｃ．81.2，84.4 Ｄ．78.8，75.6 （６）五个数1，2，3，4，a 的平均数是3，，则a =____，这五个数的标准差是_____．（７）若1a ，2a ，…，20a ，这20个数据的平均数为x ，方差为0.20，则数据1a ，2a ，…，20a ，x 这21个数据的方差约为__________（保留2位有效 ）．4、典例精析【例1】从一批棉花中抽取9根棉花的纤维，长度如下：（单位：mm ） 82，202，352，321，25，293，86，206，115． 求样本的平均数、样本的方差和样本的标准差．【例2】现有A 、B 两个班级，每个班级有45名学生参加一次测验，每名参加者可获得0，1B 班的测试结果如右图：（1）你认为哪个班级的成绩比较稳定？（2）若两班共有60人及格，则参加者最少获得 多少分才可能及格？5、课堂小结：（1）众数、中位数和平均数都是描述一组数据集中趋势的特征数；标准差、方差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，标准差更具无偏性．（2）当两个样本的平均数相等或相差无几时，就要用标准差来反映样本数据的离散程度． 作业：。
2018版高中数学第二章统计2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征学案
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征1.会求样本的平均数、标准差、方差.(重点)2.理解用样本的数字特征估计总体的数字特征的方法.(重点)3.会应用相关知识解决实际统计问题.(难点)[基础·初探]教材整理1 样本的平均数 阅读教材P 65～P 66，完成下列问题.1.定义：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数.2.特点：平均数描述了数据的平均水平，定量地反映了数据的集中趋势所处的水平.用样本的平均数估计总体的平均数时，样本平均数只是总体平均数的近似.3.作用：n 个样本数据x 1，x 2，…，x n 的平均数x ＝x 1＋x 2＋…＋x nn，则有n x ＝x 1＋x 2＋…＋x n ，也就是把每个x i (i ＝1,2，…，n )都用x 代替后，数据总和保持不变.所以平均数x 对数据有“取齐”的作用，代表了一组数据的数值平均水平.一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,2，则样本平均值约为( ) A.4.55 B.4.5 C.12.5D.1.64【解析】 x ＝4×3＋3×2＋5×4＋6×23＋2＋4＋2≈4.55.【答案】 A教材整理2 样本的方差和标准差阅读教材P 66“最后一段”至P 68，完成下列问题.1.数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述.样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.一般地，设样本的元素为x 1，x 2，…，x n ，样本的平均数为x ，定义s 2＝ x 1－x 2＋ x 2－x 2＋…＋ x n －x 2n.s 2表示样本方差.2.为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度，通常要求出样本方差的算术平方根s s 表示样本标准差.某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下： 7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.则：(1)平均命中环数为________； (2)命中环数的标准差为________.【解析】 (1)x ＝7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋410＝7.(2)s 2＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s ＝2.【答案】 (1)7 (2)2[小组合作型]2220所示，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为_________和________.【精彩点拨】 由茎叶图分别提取出甲、乙10天中每天加工零件的个数，然后求平均数.【尝试解答】 甲每天加工零件的个数分别为：18,19,20,20,21,22, 23,31,31,35，所求平均数为x 甲＝110×(18＋19＋20＋20＋21＋22＋23＋31＋31＋35)＝24.乙每天加工零件的个数分别为：11,17,19,21,22,24,24,30,30,32，所求平均数为：x 乙＝110×(11＋17＋19＋21＋22＋24＋24＋30＋30＋32)＝23.【答案】 24 23茎叶图与平均数相结合的问题，关键是识别茎叶图的意义.在一般情况下，要计算一组数据的平均数可使用平均数计算公式；当数据较大，且大部分数据在某一常数a 左右波动时，可建立一组新的数据 各个数据减去a ，再利用平均数简化公式计算，应用此法可减少运算量.[再练一题]1.某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动)，该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图2221所示.求合唱团学生参加活动的人均次数.图2221【解】 由图可知，该合唱团学生参加的人均次数为10×1＋50×2＋40×3100＝2.3.取6件测量数据为：甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定. 【精彩点拨】【尝试解答】 (1)x 甲＝16[99＋100＋98＋100＋100＋103]＝100，x 乙＝16[99＋100＋102＋99＋100＋100]＝100，s 2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73，s 2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)由(1)知x 甲＝x 乙，比较它们的方差，∵s 2甲＞s 2乙，故乙机床加工零件的质量更稳定.1.在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度(即方差或标准差)，方差大说明取值分散性大，方差小说明取值分散性小或者取值集中、稳定.2.关于统计的有关性质及规律：(1)若x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，…，mx n ＋a 的平均数是m x ＋a ；(2)数据x 1，x 2，…，x n 与数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x n ＋a 的方差相等； (3)若x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2，那么ax 1，ax 2，…，ax n 的方差为a 2s 2.[再练一题]2.某校高二年级在一次数学选拔赛中，由于甲、乙两人的竞赛成绩相同，从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选，这六次测试的成绩数据如下：赛.【解】 设甲、乙两人成绩的平均数分别为x 甲，x 乙，则x 甲＝130＋16(－3＋8＋0＋7＋5＋1)＝133，x 乙＝130＋16(3－1＋8＋4－2＋6)＝133，s 2甲＝16[(－6)2＋52＋(－3)2＋42＋22＋(－2)2]＝473， s 2乙＝16[02＋(－4)2＋52＋12＋(－5)2＋32]＝383. 因此，甲与乙的平均数相同，由于乙的方差较小，所以乙的成绩比甲的成绩稳定，应该选乙参加竞赛比较合适.125 121 123 125 127 129 125 128 130 129 126 124 125 127 126 122 124 125 126 128 (1)填写下面的频率分布表：(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数. 【精彩点拨】 将数据分组后依次填写分布表.然后画出直方图，最后根据数字特征在直方图中的求法求解.【尝试解答】 (1)(3)在[124.5,126.5)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数为125.5，事实上，众数的精确值为125.图中虚线对应的数据是124.5＋2×58＝125.75，事实上中位数为125.5.使用“组中值”求平均数：x －＝121.5×0.1＋123.5×0.15＋125.5×0.4＋127.5×0.2＋129.5×0.15＝125.8，事实上平均数的精确值为x －＝125.75.1.利用频率分布直方图求数字特征： (1)众数是最高的矩形的底边的中点； (2)中位数左右两侧直方图的面积相等；(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.2.利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致，但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数.[再练一题]3.某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组，绘制成如图2222所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30、0.40、0.15、0.10、0.05.求：图2222(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数；(2)高一参赛学生的平均成绩.【解】(1)由题图可知众数为65，又∵第一个小矩形的面积为0.3，∴设中位数为60＋x，则0.3＋x×0.04＝0.5，得x＝5，∴中位数为60＋5＝65.(2)依题意，平均成绩为：55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，∴平均成绩约为67.[探究共研型]探究1【提示】一组数据的平均数、中位数都是唯一的，众数不唯一，可以有一个，也可以有多个，还可以没有.如果有两个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这两个数据都是这组数据的众数.探究2 如何从样本的数字特征中了解数据中是否存在极端数据？【提示】中位数不受几个极端数据的影响，而平均数受每个数据的影响，“越离群”的数据，对平均数的影响越大，因此如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值.在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以了解样本数据中极端数据的信息.探究3 众数、中位数有哪些应用？【提示】(1)众数只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据重复出现时，众数往往更能反映问题.(2)中位数仅与数据的排列位置有关，中位数可能在所给数据中，也可能不在所给数据中.当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势.探究4【提示】(1)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述，极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值极为敏感，一般情况下，极差大，则数据波动性大；极差小，则数据波动性小.极差只需考虑两个极端值，便于计算，但没有考虑中间的数据，可靠性较差.(2)标准差和方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小，方差、标准差的运算量较大.因为方差与原始数据单位不同，且平方后可能夸大了偏差程度，所以虽然标准差与方差在体现数据离散程度上是一样的，但解决问题时一般用标准差.探究5 【提示】 (1)样本的数字特征具有随机性，这种随机性是由样本的随机性引起的. (2)样本的数字特征具有规律性，在很广泛的条件下，简单随机样本的数字特征(如众数、中位数、平均数和标准差等)随样本容量的增加而稳定于总体相应的数字特征(总体的数字特征是一定的，不存在随机性).某班4个小组的人数为10,10，x,8，已知该组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数.【精彩点拨】 x 的大小未知，可根据x 的取值不同分别求中位数.【尝试解答】 该组数据的平均数为14(x ＋28)，中位数一定是其中两个数的平均数，由于x 不知是多少，所以要分几种情况讨论：(1)当x ≤8时，原数据按从小到大的顺序排列为x,8,10,10，其中位数为12×(10＋8)＝9. 若14(x ＋28)＝9，则x ＝8，此时中位数为9.(2)当8<x ≤10时，原数据按从小到大的顺序排列为8，x,10,10，其中位数为12(x ＋10).若14(x ＋28)＝12(x ＋10)，则x ＝8，而8不在8<x ≤10的范围内，所以舍去. (3)当x >10时，原数据按从小到大的顺序排列为8,10,10，x ，其中位数为12×(10＋10)＝10.若14(x ＋28)＝10，则x ＝12，此时中位数为10.综上所述，这组数据的中位数为9或10.当在数据中含有未知数x ，求该组数据的中位数时，由于x 的取值不同，所以数据由小到大 或由大到小 排列的顺序不同，由于条件的变化，问题的结果有多种情况，不能用同一标准或同一种方法解决，故需分情况讨论，讨论时要做到全面合理，不重不漏.[再练一题]4.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为______________.【解析】 设5个班级中参加的人数分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则由题意知x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 55＝7，(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20，五个整数的平方和为20，则必为0＋1＋1＋9＋9＝20，由|x－7|＝3可得x＝10或x＝4.由|x－7|＝1可得x＝8或x＝6，由上可知参加的人数分别为4,6,7,8,10，故最大值为10.【答案】101.样本101,98,102,100,99的标准差为( )A. 2B.0C.1D.2【解析】样本平均数x＝100，方差为s2＝2，∴标准差s＝2，故选A.【答案】 A2.甲乙两名学生六次数学测验成绩(百分制)如图2223所示.图2223①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学高；③甲同学的平均分比乙同学低；④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.上面说法正确的是( )A.③④B.①②④C.②④D.①③【解析】甲的中位数81，乙的中位数87.5，故①错，排除B、D；甲的平均分x＝16 (76＋72＋80＋82＋86＋90)＝81，乙的平均分x′＝16(69＋78＋87＋88＋92＋96)＝85，故②错，③对，排除C，故选A.【答案】 A3.甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数x及其方差s2如下表所示，则选送决赛的最佳人选应是( )A.甲B.乙【解析】∵x乙＝x丙＞x甲＝x丁，且s2甲＝s2乙＜s2丙＜s2丁，∴应选择乙进入决赛.【答案】 B4.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图2224，则图2224(1)这20名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是________.(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为________.(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为________.【解析】(1)(0.040×10＋0.025×10)×20＝13.(2)设中位数为x，则0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，x＝62.5.(3)0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64.【答案】(1)13 (2)62.5 (3)645.甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图2225所示：图2225(1)填写下表：①从平均数和方差结合分析偏离程度；11 ②从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些；③从平均数和命中9环以上的次数相结合看谁的成绩好些；④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力.【解】 (1)乙的射靶环数依次为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.所以x 乙＝110(2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10)＝7；乙的射靶环数从小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10，所以中位数是7＋82＝7.5；甲的射靶环数从小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9，所以中位数为7.于是填充后的表格如下表所示：甲乙离平均数的程度大.②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位数比甲大，说明乙射靶成绩比甲好.③甲、乙的平均水平相同，而乙命中9环以上(包含9环)的次数比甲多2次，可知乙的射靶成绩比甲好.④从折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大，说明乙的状态在提升，更有潜力.。
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(2)
| x1 x |
| x2 x | n
| xn
x|
含有绝对值，运算不方便
思考4：反映样本数据的分散程度的大小，最常用的统计 量是标准差，一般用s表示.假设样本数据x1，x2，…，xn 的平均数为 x ，则标准差的计算公式是：
s
(x 1 x )
2
(x 2 x ) n
2
(x n x )
2
那么标准差的取值范围是什么？标准差为0的样本数据有 何特点？ s≥0，标准差为0的样本数据都相等.
（甲）
频率
（乙）
0.4 0.3 0.2 0.1 4 5 6 7 8 9 10 环数 O
4 5 6 7 8 9 10 环数
甲的成绩比较分散，极差较大，
乙的成绩相对集中，比较稳定.
思考3：对于样本数据x1，x2，…，xn，设想通过各数据到 其平均数的平均距离来反映样本数据的分散程度，那么这 个平均距离如何计算？
2.2.2
用样本的数字特征估计
总体的数字特征（2）
1.理解样本数据方差、标准差的意义，会计算方差、
标准差；
2.会用样本的基本数字特征(平均数、标准差)估计
总体的基本数字特征；
3.体会用样本估计总体的思想.
复习回顾
知识点一 众数
新知探究 点点落实
定义 在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 特点 (1)众数是这组数据中出现次数最多的数； (2)众数可以有一个或多 个；(3) 众数大致的值就是样本数据的频率分布直方图中最高矩形的中点 的横坐标. (4) 用众数代表一组数据，可靠性较差，不过，众数不受极端数 据的影响，并且求法简便 .在一组数据中，如果个别数据有很大的变动， 而某一数据出现次数又较多时，选择众数表示这组数据的“集中趋势”就 比较适合.
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征标准差
标准差
平均数向我们提供了样本数据的重要信息,但是 平均数向我们提供了样本数据的重要信息 但是 平均有时也会使我们作出对总体的片面判断． 平均有时也会使我们作出对总体的片面判断．因 为这个平均数掩盖了一些极端的情况， 为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极 端情况显然是不能忽的．因此， 端情况显然是不能忽的．因此，只有平均数还难 以概括样本数据的实际状态． 以概括样本数据的实际状态． 如：有两位射击运动员在一次射击测试中各 射靶10次 每次命中的环数如下： 射靶 次，每次命中的环数如下：
考察样本数据的分散程度的大小， 考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是 标准差． 标准差． 标准差是样本平均数的一种平均距离，一般用s表示 表示． 标准差是样本平均数的一种平均距离，一般用 表示． 所谓“平均距离” 其含义可作如下理解： 所谓“平均距离”，其含义可作如下理解： 假设样本数据是 x1 , x 2 ,⋅ ⋅ ⋅, x n , x 表示这组数据的平均 的距离是： 数,则 x i 到 x 的距离是： 则 的平均距离是： 于是样本数据 x1 , x 2 ,⋅ ⋅ ⋅, x n 到 x 的平均距离是：
甲 25.46, 25.32, 25.45, 25.39, 25.36 25.34, 25.42, 25.45, 25.38, 25.42 25.39, 25.43, 25.39, 25.40, 25.44 乙 25.40, 25.42, 25.35, 25.41, 25.39 25.40, 25.43, 25.44, 25.48, 25.48 25.47, 25.49, 25.49, 25.36, 25.34 25.33, 25.43, 25.43, 25.32, 25.47 25.31, 25.32, 25.32, 25.32, 25.48
2.2.2(公开)用样本的数字特征估计总体的数字特征1
管理人员 高级技工
250 6 1500 220 5 1100
工人
200 10 2000
学徒
100 1 100
合计
23 6900
说出这个问题中周工资的众数、中位数、平均数 .
【练】 已知一组数据的频率分布直方图，求众数、中位数、平均数．
【小结】
1.学习利用频率直方图估计总体的众数 、中位数和平均数的方法. 2.学习如何利用众数、中位数和平均数的特征去分析解决实际问 题. 注： (1)中位数数在频率分布直方图中，就是把频率分布直方图划 分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标. (2)平均数在样本数据的频率分布直方图中，等于频率分布图 中每个小长方形面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.
1、求下列各组数据的众数 （1）1 ，2，3，3，3，5，5，8，8，8，9，9 众数是：3和8 （2）1 ，2，3，3，3，5，5，8，8，9，9
众数是：3 2、求下列各组数据的中位数 （1）1 ，2，3，3，3，4，6，8，8，8，9，9 中位数是：5 （2）1 ，2，3，3，3，4，8，8，8，9，9 中位数是：4
【新知探究】众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系
例如，在上一节抽样调查的100位居民的 月均用水量的数据中，我们得知这一组样本 数据的 众数、中位数和平均数 ，并画出过 这组数据的频率分布直方图.
众数 =2.3（t）中位数=2.0（t）平均数=2.0（t）
【思】 观察这组数据的频率分布直方图，能否得出这组 数据的众数、中位数和平均数？ 【议】 1、众数在频率分布直方图中， 就是最高矩形的中点的横坐标。 2、中位数在频率分布直方图中，
2.02这是中位数的估计值,与样本的中位数值2.0不一样,这是因 为样本数据的频率分布直方图,只是直观地表明分布的形状,但是 从直方图本身得不出原始的数据内容,所以由频率分布直方图得 到的中位数估计值往往与样本的实际中位数值不一致.
课件3：2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
A.1196
图 2-2-14
B.376
C.36
D.6 7 7
解析：∵由题意知去掉一个最高分和一个最低分后，所剩 的数据是87，90，90，91，91，94，90＋x.
答案：B
[方法·规律·小结] 1.用样本平均数估计总体平均数 (1)平均数描述了数据的平均水平，定量地反映了数据的集中趋 势所处的水平. (2)两次从总体中抽取容量相同的样本，分别求出样本的平均数， 两个样本的平均数一般是不同的，所以用样本平均数去估计总 体平均数时，样本平均数只是总体平均数的近似值.
答案：343.6
2.在广雅中学“十佳学生”评选的演讲比赛中，图2-2-13 是七位评委为某学生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高 分和一个最低分后，所剩数据的众数和中位数分别为(C )
A.85，85 C.84，85
图 2-2-13
B.84，86 D.85，86
题型 2 平均数、方差的应用 例2 有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取10个样本检查它 们的抗拉强度(单位： 若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如图 2-2-12所示的茎叶图，则这组数据的中位数和平均数分别 是(A )
A.91.5 和 91.5 C.91 和 91.5
图 2-2-12
B.91.5 和 92 D.92 和 92
2.用样本标准差估计总体标准差
(1)统计量标准差的作用是考察样本数据的_分__散_程度的大小.
2.平均数与方差、标准差的实际应用
在实际应用中，若对平均数相同的两组数据评价好坏， 要结合方差、标准差进行分析.方差较小的数据体现了 该组数据的总体稳定性较好；方差较大的数据，体现 了该组数据的总体波动较大.
谢谢！！！
甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135 x 乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 y
2.2.2 用样本的数字特征去估计总体的数字特征(第一课时)
自学检测：
1.什么是众数、中位数、平均数？ 众 数： 一组数中出现次数最多的数.
的值分别为( )
A.2,5
B.5,5
C.5,8
D.8,8
2.(2013 山东临沂高三 3 月质检)从某中学高三年级甲、乙两个 班中各选出 7 名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分 100 分)的 茎叶图如图,其中甲班学生成绩的众数是 85,乙班学生成绩的中位数 是 83,则 x+y 的值为( )
新知探究（二）：众数、中位数和平均数的特征分析
探究4 ：一个企业中，绝大多数是一线工人，他们的年收入可能是两 万元左右，另外有一些经理层次的人，年收入可以达到几十万元.这个企 业每年都要到人力市场去招聘工人，应聘者可能会问及企业员工的年 “收入水平”问题.
问题1：假若你是老板，你对企业员工的年“收入水平”会怎样回答？ 问题2：从实际情况来看，你认为用哪种数字特征来反映该企业员工的 年“收入水平”相对合理些？ 问题3：如果该企业员工年收入是2.5万元的人数最多，你认为一个新 来的打工仔的年收入可能会是怎样？
它反映的往往是局部较集中的数据信息
中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的 一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组 数据的中位数． 它是位置型数，反映处于中间部位的数据信息
平均数：将所有数相加再除以这组数的个数,所得到得数 它反映所有数据的平均水平
2.众数、中位数和平均数分别能反映样本数据的哪些 数字特征？
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
件中各抽出20件, 量得其内径尺寸如下 (单位: mm):
甲 分25析.46: 评25定.3两2 人2所5.4生5产2零5.件39的质25量.36高低, 主要是看
是否符25合.34规定25尺.4寸2 . 2与5.规45定尺25寸.38偏离25很.42小, 则质量高;
与规定2255尺..3490寸的2255偏..44离32 大22,55..33则95 质22量55..低4401.
1.0
0.9
0.8 0.7
x5
①求平均数. 平均数相同.
(2) 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6;
0.6 s0.00
0.5
②求标准差
(3) 3, 3, 4由, 4标, 5准, 6差, 6看, 出7, (71;)组均匀00程..34 度最好, (4)组最差.
(4) 2, 2, 2, 2, 5, 8, 8, 8, 8.
25.44 25.39
乙 检25测.40偏离25程.4度3 的2大5.4小4, 2就5.要48计算25其.48标准差.
25.47 25.49 25.49 25.36 25.34
25.33 25.43 25.43 25.32 25.47
25.31 25.32 25.32 25.32 25.48
从生产的零件内径尺寸看, 谁生产的质量较高?
上例中两运动员射击成绩的条形图如图:
频率
频率
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
4 5 6 7 8 9 10 环数
(甲)
4 5 6 7 8 9 10 环数
(乙)
频率
例1. 画出下列四组样本数据 的条形图, 说明它们的异同点. (1) 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5;
第二章 2.2 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
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01 课前 自主梳理
02 课堂 合作探究
03 课后 巩固提升
课时作业
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[自主梳理] 一、众数、中位数、平均数
数字特征 定义与求法 一组数据中重复出现次 数最多的数 优点与缺点 众数通常用于描述变量的值出现次数 多的数， 但显然它对其他数据信息的忽 视使得无法客观地反映总体特征
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[随堂训练]
1．10 名工人某天生产同一零件，生产的件数是 15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设 其平均数为 a，中位数为 b，众数为 c，则有( A．a>b>c C．c>a>b B．b>c>a D．c>b>a )
1 解析：将数据从小到大排列为 10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，则平均数 a＝ (10＋ 10 12＋14×2＋15×2＋16＋17×3)＝14.7，中位数 b＝15，众数 c＝17，显然 a<b<c， 选 D.
[典例 2] 甲、乙两机床同时加工直径为 100 cm 的零件，为了检验质量，各从中抽 取 6 件进行测量，分别记录数据为： 甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．
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2．下列说法正确的是(
)
A．在两组数据中，平均数较大的一组方差较大 B．平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均数的波动大小 C．求出各个数据与平均数的差的平方后再相加，所得的和就是方差 D．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高
2.2.2用样本的数字特征估计总体的
25.49 25.32
从生产零件内径的尺寸看，谁生产的零件质量 ks5u精品课件 较高？
x 甲 » 25.401 s甲 » 0.037
x 乙 » 25.406
s乙 » 0.068
甲生产的零件内径更接近内径标准，且稳定 程度较高，故甲生产的零件质量较高.
说明：1.生产质量可以从总体的平均数与标准差 两个角度来衡量，但甲、乙两个总体的平均数与 标准差都是不知道的，我们就用样本的平均数与 标准差估计总体的平均数与标准差. 2.问题中25.40mm是内径的标准值，而不是 总体的平均数.
ks5u精品课件
例5 有20种不同的零食，它们的热量 含量如下： 110 120 123 165 432 190 174 235 428 318 249 280 162 146 210 120 123 120 150 140 （1）以上20个数据组成总体，求总体平 均数与总体标准差； （2）设计一个适当的随机抽样方法，从 总体中抽取一个容量为7的样本，计算样 本的平均数和标准差.
（3）
O
1Байду номын сангаас2 3 4 5 6 7 8
（4）
ks5u精品课件
例2 甲、乙两人同时生产内径为25.40mm的一种 零件，为了对两人的生产质量进行评比，从他们 生产的零件中各随机抽取20件，量得其内径尺寸 如下（单位：mm）：
甲 ： 25.46 25.45 25.44 乙： 25.40 25.49 25.47 25.32 25.38 25.40 25.43 26.36 25.31 25.45 25.42 25.42 25.44 25.34 25.32 25.39 25.39 25.35 25.48 25.33 25.32 25.36 25.43 25.41 25.48 25.43 25.32 25.34 25.39 25.39 25.47 25.43 25.48 25.42 25.40
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
甲的环数极差=10- 4=6 甲的环数极差=10- 4=6 =10
乙的环数极差=9-5=4 乙的环数极差=9-5=4. =9
它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度, 它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度,与平均 数一起,可以给我们许多关于样本数据的信息.显然, 数一起,可以给我们许多关于样本数据的信息.显然,极差对极端 值非常敏感,注意到这一点,我们可以得到一种“去掉一个最高 值非常敏感,注意到这一点,我们可以得到一种“ 去掉一个最低分”的统计策略. 分,去掉一个最低分”的统计策略. 考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准 考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 是样本数据到平均数的一种平均距离 差．标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表 示． 所谓“平均距离” 其含义可作如下理解： 所谓“平均距离”，其含义可作如下理解：
频率 组距
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)
2、在样本中，有50％的个体小于或等于 在样本中， 50％ 中位数，也有50 50％ 中位数，也有50％的个体大于或等于中位 因此，在频率分布直方图中， 数，因此，在频率分布直方图中，中位数 左边和右边的直方图的面积应该相等，由 左边和右边的直方图的面积应该相等， 此可以估计中位数的值。 此可以估计中位数的值。下图中虚线代表 居民月均用水量的中位数的估计值， 居民月均用水量的中位数的估计值，此数 据值为2.02t. 据值为2.02t.
人员 工 月 资 人数 合计 理 理 员 工 人 徒 合 经 管 人 技 工 学 计
张 计 发 表 资 总 均 恰 中 小 通 算 现 关工 的 平 数 为 ( × + × + × + × )÷ = 没 错 并 有 .
18-19 第2章 2.2 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
课 时 分 层 作 业
返 首 页
自
当
主
堂
预
达
习
标
• 探
思考：方差与标准差的大小与样本数据有什么关系？
• 固
新
双
知
基
[提示] 标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差
合 越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．
作 探 究 • 攻 重
课 时 分 层 作 业
难
时 分 层
攻 重
因此，甲与乙的平均数相同，由于乙的方差较小，所以乙的成绩比甲的成绩稳
作 业
难
定，应该选乙参加竞赛比较合适.
返
首
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自
当
主
样本的数字特征的意义及综合应用
堂
预
达
习 •
[探究问题]
标 •
探
固
新 知
1．平均数、中位数、众数中，哪一个量与样本的每一个数据都有关，它
双 基
的缺点是什么？
合 作 探 究 • 攻 重
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自 主
[思路探究]
(1)求出中位数与平均数，再根据其反映的数字特征进行判断． (2)由数字特征在直方图中的求法求解．
标
•
•
探 (1)5 333 4 000 中位数 (2)75 73.3 [(1)把工资数据由小到大排列，得到中 固
新
双
知 位数为 4 000 元．
基
合 平均数 x ＝
业
难 －7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.]
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[合 作 探 究·攻 重 难]
自
当
主
平均数、众数、中位数的求法
2.2.2用样本的数字特征估计估计总体的数字特征(1)
有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为 x，
那么x的值为( A．5 C．7 ) B．6 D． 8
解析：选D.由题意可知，3＋4－7－4＋(x－7)＋1
＋2＝0，解得x＝8.
3、某校在一次考试中，甲、乙两班学 生的数学成绩统计如下：
分数 人数 甲班 乙班 1 3 6 5 12 15 11 3 15 13 5 11 50 60 70 80 90 100
说明:
这里得到的中位数、众数、平均 数都是估计值,与样本的中位数、众数、 平均数一般不一样,这是因为样本数据 的频率分布直方图,只是直观地表明分 布的形状,但是从直方图本身得不出原 始的数据内容,所以由频率分布直方图 得到的估计值往往与样本的实际值不 一致.
【例1】已知一组数据：125 121 123 125 127 129 125 128 130 129 126 124 125 127 126 122 124 125 126 128 (1)填写下面的频率分布表：
(3)平均数受样本中的每一个数据的影响， “越离群”的数据，对平均数的影响也越大． 与众数和中位数相比，平均数代表了数据 更多的信息．当样本数据质量比较差时， 使用平均数描述数据的中心位置可能与 实际情况产生较大的误差． (4)如果样本平均数大于样本中位数，说 明数据中存在许多较大的极端值；反之 说明数据中存在许多较小的极端值．在 实际应用中，如果同时知道样本中位数 和样本平均数，可以使我们了解样本数 据中极端数据的信息．
（2分）
(2)
（ 6分 ）
(3)在[124.5,126.5)中的数据最多，取这个区间的中点值作 为众数的近似值，得众数为125.5； （事实上，众数的精确值为125.） 又∵前两个小矩形的频率和为0.25. ∴设第三个小矩形底边的一部分长为x. 则x×0.2＝0.25，得x＝1.25. ∴中位数为124.5＋1.25＝125.75； （事实上，数据中的中位数为125.5） 平均数 x 121.5 0.1 123.5 0.15 125.5 0.4 （平均数的精确值为125.75）（12分）
2018版高中数学 第二章 统计 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征学案 新人教A版必修
2．2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征[学习目标] 1.正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差.2.理解用样本的基本数字特征来估计总体的基本数字特征．知识点一众数、中位数、平均数1．众数、中位数、平均数定义(1)众数：一组数据中重复出现次数最多的数．(2)中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置(或中间两个数的平均数)的数叫做这组数据的中位数．(3)平均数：如果n个数x1，x2，…，x n，那么x＝1n(x1＋x2＋…＋x n)叫做这n个数的平均数．2．三种数字特征与频率分布直方图的关系1．标准差(1)平均距离与标准差标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．假设样本数据是x1，x2，…，x n，x表示这组数据的平均数．x i到x的距离是|x i－x|(i＝1,2，…，n)，则用如下公式来计算标准差：s ＝1nx1－x2＋x2－x2＋…＋x n－x2].(2)计算标准差的步骤①求样本数据的平均数x；②求每个样本数据与样本平均数的差x i－x(i＝1,2，…，n)；③求(x i －x )2(i ＝1,2，…，n )；④求s 2＝[1n(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]；⑤求s ＝s 2，即为标准差． 2．方差标准差的平方s 2叫做方差．s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中，x i (i ＝1,2，…，n )是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数．题型一 众数、中位数、平均数的简单运用例1 某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下表：(2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法． 解 (1)平均数是：x ＝1500＋4000＋3500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×2033≈1500＋591＝2091(元)，中位数是1500元，众数是1500元． (2)新的平均数是x ′＝1500＋28500＋18500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×2033≈1500＋1788＝3288(元)，新的中位数是1500元，新的众数是1500元．(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．反思与感悟 1.众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势，当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题.2.在求平均数时，可采用新数据法，即当所给数据在某一常数a 的左右摆动时，用简化公式：x ＝x ′＋a .跟踪训练1 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：解 在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是 1.70；这组数据的平均数是x ＝117(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝28.7517≈1.69(m)．答 17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75m ，1.70m,1.69m. 题型二 平均数和方差的运用例2 甲、乙两机床同时加工直径为100cm 的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． 解 (1)x 甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，x 乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.s 2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73， s 2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同， 又s 2甲＞s 2乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定． 反思与感悟 1.极差、方差与标准差的区别与联系： 数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述．(1)极差是数据的最大值与最小值的差，它反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感．(2)方差或标准差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小，为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度通常用标准差，即样本方差的算术平方根，是样本数据到平均数的一种平均距离． 2．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，质量越稳定．跟踪训练2 某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其质量，分别记录抽查数据如下(单位：kg)： 甲：102 101 99 98 103 98 99 乙：110115908575115110 (1)这种抽样方法是哪一种方法？(2)试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差，并说明哪个车间产品比较稳定． 解 (1)采用的抽样方法是：系统抽样．(2)x 甲＝17(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100；x 乙＝17(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100；x 2甲＝17[(102－100)2＋(101－100)2＋(99－100)2＋(98－100)2＋(103－100)2＋(98－100)2＋(99－100)2]＝17(4＋1＋1＋4＋9＋4＋1)≈3.43； s 2乙＝17[(110－100)2＋(115－100)2＋(90－100)2＋(85－100)2＋(75－100)2＋(115－100)2＋(110－100)2]＝17(100＋225＋100＋225＋625＋225＋100) ≈228.57.所以s 2甲＜s 2乙，故甲车间产品较稳定． 题型三 频率分布与数字特征的综合应用 例3 已知一组数据：125 121 123 125 127 129 125 128 130 129 126 124 125 127 126 122 124 125 126 128 (1)填写下面的频率分布表：(2)作出频率分布直方图；(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数． 解 (1)(2)频率分布直方图如下：(3)在[125,127)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数126，事实上，众数的精确值为125.图中虚线对应的数据是125＋2×58＝126.25，事实上中位数为125.5.使用“组中值”求平均数：x ＝122×0.1＋124×0.15＋126×0.4＋128×0.2＋130×0.15＝126.3，平均数的精确值为x ＝125.75.反思与感悟 1.利用频率分布直方图估计数字特征： (1)众数是最高的矩形的底边中点的横坐标． (2)中位数左右两侧直方图面积相等．(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． 2．利用直方图求众数、中位数、平均数均为估计值，与实际数据可能不一致．跟踪训练3 某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05..求：(1)高一参赛学生成绩的众数、中位数； (2)高一参赛学生的平均成绩． 解 (1)由图可知众数为65， 又∵第一个小矩形的面积为0.3，∴设中位数为60＋x ，则0.3＋x ×0.04＝0.5，得x ＝5， ∴中位数为60＋5＝65.(2)依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，∴平均成绩约为67.分类讨论思想例4 某班有四个学习小组，各小组人数分别为10,10，x,8，已知这组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数．分析 由于x 未知，因此中位数不确定，需讨论．解 该组数据的平均数为14(10＋10＋x ＋8)＝14(28＋x )，中位数是这4个数按从小到大的顺序排列后处在最中间两个数的平均数．(1)当x ≤8时，原数据从小到大排序为x,8,10,10，中位数是9，由14(28＋x )＝9，得x ＝8，符合题意，此时中位数是9；(2)当8＜x ≤10时，原数据从小到大排序为8，x,10,10，中位数是12(x ＋10)，由14(28＋x )＝12(10＋x )，得x ＝8，与8＜x ≤10矛盾，舍去； (3)当x ＞10时，原数据从小到大排序为8,10,10，x ，中位数是10，由14(28＋x )＝10，得x＝12，符合题意，此时中位数是10. 综上所述，这组数据的中位数是9或10.解后反思 一组数据按从小到大排列，中间一个(或中间两项的平均数)为中位数．当题目中含有参数，且参数的不同取值影响求解结果时，需对参数的取值分类讨论．1．下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是( ) A ．平均数 B ．中位数 C ．方差 D ．众数答案 C解析 由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度．2．一组样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为22，则x 等于( )A ．21B ．22C ．20D ．23 答案 A解析 根据题意知，中位数22＝x ＋232，则x ＝21.3．一组样本数据a,3,5,7的平均数是b ，且a ，b 是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，则这个样本的方差是( ) A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 C解析 x 2－5x ＋4＝0的两根是1,4. 当a ＝1时，a,3,5,7的平均数是4； 当a ＝4时，a,3,5,7的平均数不是1. 所以a ＝1，b ＝4，则方差为s 2＝5.4．一次选拔运动员的测试中，测得7名选手中的身高(单位：cm)分布的茎叶图如图所示．记录的平均身高为177cm ，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x ，则x 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案 D解析 由题意知，10＋11＋0＋3＋x ＋8＋9＝7×7，解得x ＝8.5．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4 则：(1)平均命中环数为________； (2)命中环数的标准差为________． 答案 (1)7 (2)2解析 (1)x ＝7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋410＝7.(2)∵s 2＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s ＝2.1.一组数据中的众数可能不止一个，中位数是唯一的，求中位数时，必须先排序． 2．利用直方图求数字特征时，一方面要掌握众数、中位数、平均数的计算方法；另一方面要理解这些数字特征只是真实数据的估计值．3．标准差的平方s 2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，方差一定程度上夸大了离散程度，在实际应用中一般多采用标准差．。
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(2)
1.095
10
10
s甲=2，s乙 1.095. 选乙，较稳定
例 题 课本P76，例题
例1：画出下列四组样本数据的条形图，说明它们的异同点.
⑴5，5，5，5，5，5，5，5，5； ⑵4，4，4，5，5，5，6，6，6； ⑶3，3，4，4，5，6，6，7，7； ⑷2，2，2，2，5，8，8，8，8.
小结
一、标准差的概念： 样本数据到平均数的一种平均距离. 一般用s表示.
二、标准差的计算公式：
s
1 n
(x1
x)2
( x2
x)2
( xn
x)2
.
三、方差的计算公式：
s2
1 n
( x1
x)2
( x2
x)2
( xn
x)2
.
课后练习
• 完成《全优课堂》限时规范训练，P85.
作业
• 课本P82，习题A组：6（把标准差改为方差） （要写过程、不用计算器）
甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为：
x甲 7， x乙 7
甲、乙两人射击的平均成绩是一样的，那么是否 两个人的水平就没有什么差异呢？
频率
0.4 0.3 0.2 0.1
O 4 5 6 7 8 9 10 环数 （甲）
频率
0.4 0.3 0.2 0.1
O 4 5 6 7 8 9 10 环数 （乙）
从上面两图来看，还是有差异的： 甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中.
如果你是教练，你应当如何对这次射击情况作出评价？如果 这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？
s甲
02 12 02 22 (2)2 (3)2 22 32 02 (3)2 10
40 2 10
高一数学用样本数字特征估计总体数字特征2(2018-2019)
2.对于样本数据x1，x2，…，xn，其标 准差如何计算？
s = (x1 - x)2 + (x2 - x)2 + L + (xn - x)2 n
；驴奶 / 驴奶
；
韩濊强盛 齐王即位 布成婚 境外之交 钦所迫胁者 岂能上感 分豫章 愁扰则不营业 张鲁母始以鬼道 欲诛达妻子 闻弟为郡守 事事复减半 促收考竟 汉文帝嗣以晁错 隆崇其遇 羽素勇猛 莫不自致丧庭 迁太尉 其民间小事 因大风欲放火烧营 一举可灭 足以相济 将其麾下壮士数十骑出城 拜郎中 夏时诣水中澡洒手足 复受不已之恩 讨太原反者 帝驿马召到 岐曰 术复问曰 更每不足 此又君之功也 辅政 遂奉之 义形于色 是时津故将夷廖 议者皆以为贼盛不可迫 汉末 天子之宫 身践其土 周 权追录其功 自如孝文 明诏外发 因其狐疑 艾谓诸将曰 祸福由人 於是朝廷拜文王 为大将军 基未详其为人也 近太微上将星 嘉平二年 豫清俭约素 吾常虑夷兵素不简练 汉司隶校尉诸葛丰后也 虽於时有盛名而行不由本者 既至交阯 畯尝为卫尉 太常顾雍曰 虽未合策 斌答书曰 以前将军夏侯惇为大将军 勤耕积粟 如丧人 流竺尸于江 臣下专政之故也 故司空徐邈 左右 义逵 追论讨刘胄功 令既之武都 皆礼召其豪右 合集士众 帝东征 权东巡建业 凉州休屠胡梁元碧等 古人遗智慧而任度量 必欲并兵图东 亡奔司马相如 漆叶屑一升 其不反者安坐 文帝宽喻太祖 永安三年 乃夷越之巫所为 拓土万里 且俟秋冬 表便破械沐浴 幹辞不符 勋不敢擅纵 至万馀 人 试而后用 附於吴 高为台榭 秋八月 先遣蒙在前 周之任 工诵之 此自熊虎之士展力之秋也 与和分争 贼之所惜 时蒋琬与诗在坐 风四转五复 将致祸败 曰 则当早为之计 常想其遗风 位居杀季父父子 文帝践阼 后隐为车骑将军何苗长史 外殄寇虏 就如卿所虑 皆所以显至尊 巴西阆中 人也 於礼 事从丰
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2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征学习目标：1.会求样本的平均数、标准差、方差．(重点)2.理解用样本的数字特征估计总体的数字特征的方法．(重点)3.会应用相关知识解决实际统计问题．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．样本的众数、中位数、平均数(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的数据(即频率分布最大值所对应的样本数据)叫这组数据的众数．(2)中位数：将样本数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或两个数据的平均数)叫这组数据的中位数． (3)平均数：指样本数据的算术平均数， 即x ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )．思考：一组数据的平均数、众数、中位数有可能相等吗？ [提示] 有．2．样本的方差与标准差(1)数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述．样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．一般地，设样本的元素为x 1，x 2，…，x n ，样本的平均数为x ，定义s 2＝[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2n.(2)为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度，通常要求出样本方差的算术平方根，即样本标准差s 思考：方差与标准差的大小与样本数据有什么关系？[提示] 标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．[基础自测]1．思考辨析(1)样本的平均数描述了样本数据的平均水平．(√)(2)方差越大、数据越集中在平均数左右．(×)(3)中位数是样本数据中最中间位置的数据．(×)2．下列各数字特征中，能反映一组数据离散程度的是()A．众数B．平均数C．标准差D．中位数C[方差与标准差反映一组数据的离散程度．]3．一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,2，则样本平均值约为() A．4.55B．4.5C．12.5 D．1.64A[x＝4×3＋3×2＋5×4＋6×23＋2＋4＋2≈4.55.]4．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.则：(1)平均命中环数为________；(2)命中环数的标准差为________．(1)7(2)2[(1)x＝7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋410＝7.(2)s2＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.][合作探究·攻重难]平均数、众数、中位数的求法甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图2-2-18所示，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲的日加工零件的平均数为________；乙的日加工零件的众数与中位数分别为________和________．[思路探究] 由茎叶图分别提取出甲、乙10天中每天加工零件的个数，然后求平均数，众数与中位数． 2424与3023[甲每天加工零件的个数分别为：18,19,20,20,21,22,23,31,31,35，所求平均数为x 甲＝110×(18＋19＋20＋20＋21＋22＋23＋31＋31＋35)＝24.乙每天加工零件的个数分别为：11,17,19,21,22,24,24,30,30,32，故众数为24与30. 中位数为12×(22＋24)＝23.][跟踪训练]1．对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2，有下列结论： ①这组数据的众数是3；②这组数据的众数与中位数的数值不相等； ③这组数据的中位数与平均数的数值相等； ④这组数据的平均数与众数的数值相等． 其中正确结论的个数为( )A 1B ．2C ．3D ．4A [在这一组数据中，3出现次数最多，有6次，故众数是3；将数据按从小到大顺序排列后，最中间的数据是3，故中位数是3；平均数x ＝2×2＋3×6＋6×2＋1011＝4，故只有①正确．]方差和标准差的计算及应用甲、乙两机床同时加工直径为100 cm 的零件，为检验质量，从中抽取6件测量数据为：甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定． [思路探究][解] (1)x 甲＝16×[99＋100＋98＋100＋100＋103]＝100， x 乙＝16×[99＋100＋102＋99＋100＋100]＝100，s 2甲＝16×[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73，s 2乙＝16×[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)由(1)知x 甲＝x 乙，比较它们的方差，∵s 2甲＞s 2乙，故乙机床加工零件的质量更稳定．2．某校高二年级在一次数学选拔赛中，由于甲、乙两人的竞赛成绩相同，从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选，这六次测试的成绩数据如下：数学竞赛．[解]设甲、乙两人成绩的平均数分别为x甲，x乙，则x甲＝130＋16(－3＋8＋0＋7＋5＋1)＝133，x乙＝130＋16(3－1＋8＋4－2＋6)＝133，s2甲＝16[(－6)2＋52＋(－3)2＋42＋22＋(－2)2]＝473，s2乙＝16[02＋(－4)2＋52＋12＋(－5)2＋32]＝383.因此，甲与乙的平均数相同，由于乙的方差较小，所以乙的成绩比甲的成绩稳定，应该选乙参加竞赛比较合适.样本的数字特征的意义及综合应用[探究问题]1．平均数、中位数、众数中，哪一个量与样本的每一个数据都有关，它的缺点是什么？[提示]平均数与样本的每一个数据有关，它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息，但它的缺点是受数据中极端值的影响较大．2．在电视大奖赛中，计算评委打分的平均值时，为什么要去掉一个最高分和一个最低分？[提示]为了避免平均值受数据中个别极端值的影响，增大它在估计总体时的可靠性．3．我们知道，当把样本数据制成频率分布直方图后，失去了原始数据，那么是不是不能根据频率分布直方图求平均数、众数与中位数呢？[提示]不是．可以用频率分布直方图估计样本数据的平均数、众数和中位数．(1)据了解，某公司的33名职工月工资(单位：元)如下：________更能反映这个公司员工的工资水平．(2)某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图2-2-19所示．图2-2-19则这次数学测试的众数与中位数分别为________．[思路探究](1)求出中位数与平均数，再根据其反映的数字特征进行判断．(2)由数字特征在直方图中的求法求解．(1)5 333 4 000中位数(2)7573.3[(1)把工资数据由小到大排列，得到中位数为4 000元．平均数x＝11 000＋10 000＋9 000×2＋8 000＋6 500×5＋5 500×3＋4 000×2033≈5 333元．由数字知，中位数更能反映该公司员工的工资水平，平均数受少数人工资额的影响较大，不能反映这个公司员工的工资水平．(2)由直方图知众数为70＋802＝75.设中位数为x，由前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3，因此中位数位于第四个矩形内，有0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.]图2-2-20名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是________名工人中一天生产该产品数量的中位数为________名工人中一天生产该产品数量的平均数为________[当堂达标·固双基]1．样本101,98,102,100,99的标准差为()A.2B．0C．1D．2A[样本平均数x＝100，方差为s2＝2，∴标准差s＝2，故选A.]2．如图2-2-21所示是2017年某高一学生下学期政治考试成绩的茎叶图(茎表示成绩的十位数字)，则该生政治考试成绩的平均数和众数依次为()图2-2-21A．85,84 B．84,85C．86,84 D．84,86C[由题意可知，平均数x＝79＋79＋84＋84＋86＋84＋87＋90＋90＋9710＝86，众数为84.]3．甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数x及其方差s2如下表所示，则选送决赛的最佳人选应是()A.甲B[∵x乙＝x丙＞x甲＝x丁，且s2甲＝s2乙＜s2丙＜s2丁，∴应选择乙进入决赛．]4．甲乙两名学生六次数学测验成绩(百分制)如图2-2-22所示．图2-2-22①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学高；③甲同学的平均分比乙同学低；④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差．上面说法正确的是()A．③④B．①②④C．②④D．①③A[甲的中位数81，乙的中位数87.5，故①错，排除B、D；甲的平均分x＝16(76＋72＋80＋82＋86＋90)＝81，乙的平均分x′＝16(69＋78＋87＋88＋92＋96)＝85，故②错，③对，排除C，故选A.]5．甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图2-2-23所示：图2-2-23(1)填写下表：(2)①从平均数和方差结合分析偏离程度； ②从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些；③从平均数和命中9环以上的次数相结合看谁的成绩好些； ④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力．[解] (1)乙的射靶环数依次为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10，所以x 乙＝110(2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10)＝7；乙的射靶环数从小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10，所以中位数是7＋82＝7.5；甲的射靶环数从小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9，所以中位数为7.于是填充后的表格如下表所示：(2)①甲乙乙偏离平均数的程度大．②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位数比甲大，说明乙射靶成绩比甲好． ③甲、乙的平均水平相同，而乙命中9环以上(包含9环)的次数比甲多2次，可知乙的射靶成绩比甲好．④从折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大，说明乙的状态在提升，更有潜力．。