江苏省无锡市12-13学年高三下学期期初质量检测(数学)

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【解析版】江苏省无锡市南菁高级中学2013届高三下学期开学质量检测数学试题

江苏省无锡市南菁高级中学2013届高下学期开学质量检测数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分，请将答案填入答题区）1．（5分）若集合A={y|y=x}，B={x|y=}，则A∩B=（﹣∞，1]．2．（5分）命题“∀x∈R，有x2+1≥x”的否定是∃x∈R，使x2+1＜x．3．（5分）若i是虚数单位，则i+2i2+3i3+…+2013i2013=1006+1007i．﹣S===1006+1007i4．（5分）“＜1”是“lgx＞0成立”的必要不充分条件．条件（填充分不必要、必要不充分，既不充分也不必要，充要）．“＜⇒＜5．（5分）已知流程图如图所示，为使输出的b值为16，则判断框内①处应填3．6．（5分）（2012•泉州模拟）已知直线ax﹣by﹣2=0与曲线y=x3在点P（1，1）处的切线互相垂直，则为﹣．，建立等式可求×7．（5分）已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜α＜β＜，则β=．＜＜====×﹣×，．故答案为：8．（5分）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为．所以概率为．故答案为：．9．（5分）若A、B与F1、F2分别为椭圆C：的两长轴端点与两焦点，椭圆C上的点P使得∠F1PF2=，则tan∠APB=﹣．，）|=|PF|F=，代入椭圆方程可得，）=，APB=故答案为：10．（5分）已知数列{a n}（n∈N*）满足a1=1且a n=a n﹣1cos，则其前2013项的和为0．的值，由）时，）时，=）时，=cos，11．（5分）定义在R上的函数y=f（x）是增函数，且函数y=f（x﹣2）的图象关于（2，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s2﹣4s）≥﹣f（4t﹣t2），若﹣2≤s≤2时，则3t+s的最大值为16．则不等式12．（5分）已知圆M：（x﹣1）2+（y﹣3）2=4，过x轴上的点P（a，0）存在一直线与圆M 相交，交点为A、B，且满足PA=BA，则点P的横坐标a的取值范围为[1﹣3，1+3]．根据两点间的距离公式有：≤1+3，]13．（5分）已知非零向量与满足（）•（2）=0，则的最小值为1．由已知结合向量的数量积的定义可求的范围，进而可求最小值解：∵（2cosm=|n=|≤的最小值为14．（5分）已知，点P（x，y）的坐标满足，则的取值范围为[﹣）．，、的夹角，]，由向量的夹角公式可得=2cos解：作出不等式组，，）为区域内一个动点，向量、|，=x+y=×的倾斜角分别为、，（，]≤＜，即﹣≤×＜≤＜，即的取值范围为））求式子二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．来）15．（14分）（2013•镇江一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若=﹣，b=，求a+c的值；（2）求2sinA﹣sinC的取值范围．B=•﹣，ac=，﹣（cosC+cosC，（﹣）的取值范围是（﹣，16．（14分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知底面ABC是边长为a的正三角形，侧棱AA1=a，点D，E，F，O分别为边AB，A1C，AA1，BC的中点，A1O⊥底面ABC．（Ⅰ）求证：线段DE∥平面BB1C1C；（Ⅱ）求证：FO⊥平面BB1C1C．AO==O=AO=17．（14分）（2013•泗阳县模拟）某生产旅游纪念品的工厂，拟在2010年度将进行系列促销活动．经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x万件与年促销费用t万元之间满足3﹣x 与t+1成反比例．若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件．已知工厂2010年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为：“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时，则当年的产量和销量相等．（利润=收入﹣生产成本﹣促销费用）（1）求出x与t所满足的关系式；（2）请把该工厂2010年的年利润y万元表示成促销费t万元的函数；（3）试问：当2010年的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？．由题知，有，进一步化简，得年的年利润）知，18．（16分）如图，椭圆C：过点M（1，），N（），梯形ABCD（AB∥CD∥y轴，且AB＞CD）内接于椭圆，E是对角线AC与BD的交点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设AB=m，CD=n，OE=d，试求的最大值．用（Ⅰ）由题意得的方程为：得（，≤==，k=的最大值为（Ⅱ）问关键是表示为19．（16分）已知函数，且f（1）=1，f（﹣2）=4．（1）求a、b的值；（2）已知定点A（1，0），设点P（x，y）是函数y=f（x）（x＜﹣1）图象上的任意一点，求|AP|的最小值，并求此时点P的坐标；（3）当x∈[1，2]时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．）可知恒成立，即对恒成立，即对（，所以，当，此时的坐标是对对对时，或且对，，结合对对对，舍去；，故，再分两种情形：，即）的最大值是，，即，即20．（16分）（2013•昌平区二模）设数列{a n}，对任意n∈N*都有（kn+b）（a1+a n）+p=2（a1+a2…+a n），（其中k、b、p是常数）．（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，若a3=3，a9=15，求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{a n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．当k=1，b=0，p=0时，设S n是数列{a n}的前n项和，a2﹣a1=2，试问：是否存在这样的“封闭数列”{a n}，使得对任意n∈N*，都有S n≠0，且．若存在，求数列{a n}的首项a1的所有取值；若不存在，说明理由．，再利用，，∴公差又由已知，，故．一方面，当时，，则，则，则，，，三、加试部分21．（10分）学校餐厅每天供应1000名学生用餐，每星期一有A、B两样菜可供选择，调查资料表明，凡是在本周星期一选A菜的，下周星期一会有20%改选B，而选B菜的，下周星期一则有30%改选A，若用AA n、B n分别表示在第n个星期一选A、B菜的人数．（1）若，请你写出二阶矩阵M；（2）求二阶矩阵M的逆矩阵．；的逆矩阵为，则由，能求出）•，，，解之得：22．（10分）（附加题﹣选做题）（坐标系与参数方程）已知曲线C的参数方程为，α∈[0，2π），曲线D的极坐标方程为．（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；（2）曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由．，）由）由，）由23．（10分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M、N分别是CC1、BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足．（1）证明：PN⊥AM；（2）若平面PMN与平面ABC所成的角为45°，试确定点P的位置．，，）=﹣，﹣，，，﹣××=0===，，＞|=|=．．24．（10分）（2010•南通模拟）设数列{a n}满足a1=a，a n+1=a n2+a1，M={a∈R|n∈N*，|a n|≤2}．（1）当a∈（﹣∞，﹣2）时，求证：a∉M；（2）当a∈（0，]时，求证：a∈M；（3）当a∈（，+∞）时，判断元素a与集合M的关系，并证明你的结论．时，（＜）当．当）当时，（时，．，＜）当．时，。

2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学试题

2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅰ试题 2013.5一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．已知i 是虚数单位，复数31i z i+=+对应的点在第 ▲ 象限． 2．设全集U R =，集合{}|13A x x =-≤≤，{}|1B x x =>，则U A B = ð ▲ ．3．已知数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，则数据1a ，2a ，3a ，4a ，5a 的方差为 ▲ ．4．“3x >”是“5x >”的 ▲ 条件（请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个合适的填空）．5．若双曲线221(0)y x a a -=>的一个焦点到一条渐近，则此双曲线方程为 ▲ ． 6．根据右图所示的流程图，输出的结果T 为 ▲ ． 7．在1和9之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的和为 ▲ ．8．在不等式组031y x x y x ⎧⎪≤⎪<≤⎨⎪⎪>⎩所表示的平面区域内所有的格点（横、纵坐标均为整数的点称为格点）中任取3个点，则该3点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为 ▲ ． 9．在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角为α，β，则22cos cos 1αβ+=．类比到空间中一个正确命题是：在长方体1111ABCD A B C D -中，对角线1AC 与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则有 ▲ ．10．已知圆22:()()1(0)C x a y a a -+-=>与直线3y x =相交于P ，Q 两点，若090PCQ ∠=，则实数a = ▲ ．11．分别在曲线xy e =与直线1y ex =-上各取一点M 与N ，则MN 的最小值为 ▲ ．12．已知向量a ，b满足a = 1b = ，且对一切实数x ，a xb a b +≥+ 恒成立，则a 与b 的夹角大小为 ▲ ．13．已知x ，y 均为正数，,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且满足sin cos x y θθ=，222222cos sin 103()x y x y θθ+=+，则x y的值为 ▲ ． 14．已知a212x x a≥+-对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．(本小题满分14分)如图，在ABC ∆中，4B π=，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，设BAD α∠=，sin α=．（1）求sin BAC ∠和sin C ；（2）若28BA BC = ，求AC 的长．16．(本小题满分14分)已知四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAB 是等边三角形，侧面SCD 是以CD 为斜边的直角三角形，E 为CD 的中点，M 为SB 的中点．（1）求证：//CM 平面SAE ；（2）求证：SE ⊥平面SAB ；（3）求三棱锥S AED -的体积．D A B CB已知等差数列{}n a 的公差d 不为零，且237a a =，246a a a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求满足2200n n S a -->的所有正整数n 的集合．18．(本小题满分16分)如图，设A ，B 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右顶点和上顶点，过原点O 作直线交线段AB 于点M （异于点A ，B ），交椭圆于C ，D 两点（点C 在第一象限内），ABC ∆和ABD ∆的面积分别为1S 与2S ．（1）若M 是线段AB 的中点，直线OM 的方程为13y x =，求椭圆的离心率；（2）当点M 在线段AB 上运动时，求12S S 的最大值．如图所示，有两条道路OM 与ON ，060MON ∠=，现要铺设三条下水管道OA ，OB ，AB （其中A ，B 分别在OM ，ON 上），若下水管道的总长度为3km ，设()OA a km =，()OB b km =．（1）求b 关于a 的函数表达式，并指出a 的取值范围；（2）已知点P 处有一个污水总管的接口，点P 到OM 的距离PH为4km ，到点O 的距离PO为4，问下水管道AB 能否经过污水总管的接口点P ？若能，求出a 的值，若不能，请说明理由．20．(本小题满分16分)已知a 为正的常数，函数2()ln f x ax x x =-+．（1）若2a =，求函数()f x 的单调增区间；（2）设()()f x g x x=，求函数()g x 在区间[]1,e 上的最小值．B A b O P a M N H2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学II （附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的．．．．．答题区．．．域．内．作答．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（选修4－1 几何证明选讲）（本小题满分10分）如图，ABCD 为圆内接四边形，延长两组对边分别交于点E ，F ，AFB ∠的平分线分别交AB ，CD 于点H ，K ．求证：EH EK =．B ．（选修4—2：矩阵与变换）（本小题满分10分）已知(0,0)A ，(2,0)B ，(2,2)C 在矩阵a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦　对应变换的作用下，得到的对应点分别为(0,0)A '，B '，(0,2)C ',求矩阵M .C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）（第21-A 题）（本小题满分10分）已知曲线C 的参数方程,2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l 的极坐标方程：sin()14πρθ-=．直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求MN 的长．D.（选修4—5：不等式选讲）（本小题满分10分）已知常数a 满足11a -<<，解关于x 的不等式：11ax x ++≤．[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内．22．（本小题满分10分）已知抛物线21:1C y x =+和抛物线22:C y x a =--在交点处的两条切线互相垂直，求实数a 的值．23．（本小题满分10分）已知数列{}n b 满足112b =，112(2,*)n nb n n N b -+=≥∈．（1）求2b ，3b ，猜想数列{}n b 的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）设n n x b =，1n n y b +=，比较x x 与y y 的大小．答案：。

江苏省无锡一中2013届高三上学期第一次质量检测数学(理)试题

无锡市第一中学2012—2013学年度高三第一学期质量检测数学（理）试题一填空题（本大题共14个小题，每小题5分，共70分） 1．集合2{0,2,},{1,}A a B a ==，若{0,1,2,4,16}AB =，则a 的值为．2．如图所示的韦恩图中，A 、B 是非空集合，定义A *B 表示阴影部分集合．若,x y R ∈，{}A x y ==，{}3,0x B yy x ==>，则A *B = ．3．已知函数2()68,[1,]f x x x x a =-+∈，并且函数()f x 的最小值为()f a ，则实数a 的取值范围是．4．若函数()2121f x x x +=-+的定义域为[]26,-，则函数()y f x =的单调递减区间．5．已知)(x f ,)(x g 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且0)3(=-g ，当0<x 时，0)(')()()('>+x g x f x g x f ，则不等式()()0f x g x ⋅<的解集是．6．已知函数2211()1x x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨⎪+≥⎩，若[(0)]4f f a =，则实数a 等于．7．已知p ：12x>，q1，则q 是p 的条件． 8．当)2,1(∈x 时，不等式x x a log )1(2<-恒成立，则a 的取值范围为．9．已知函数⎩⎨⎧≥+-<=)0(4)3(),0()(x a x a x a x f x 满足对任意0)()(,212121<--≠x x x f x f x x 都有成立，则a 的取值范围是．10．已知偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()g x f x kx k =--有四个零点，则实数k 的取值范围．11．函数35()sin 3f x x x x =+--在[2,2]ππ-上最大值与最小值之和为． 12．给出如下四个命题： ①(0,)x ∀∈+∞，23x x >；②(0,)x ∃∈+∞，x x e >；③函数()f x 定义域为R ，且(2)()f x f x -=，则()f x 的图象关于直线1x =对称； ④ 若函数2()lg()f x x ax a =+-的值域为R ，则4a ≤-或0a ≥；其中正确的命题是．（写出所有正确命题的题号）13．已知定义在(1,)-+∞上的函数21,0()31,101x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨+-<<⎪+⎩，若2(3)(2)f a f a ->，则实数a 取值范围为．14．已知函数lg ,010,()110,50,2x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨>-+⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则lg lg lg a b c ++的取值范围是．二解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）若集合{}2(,)|20,A x y x mx y x R =+-+=∈，{}(,)|10,02B x y x y x =-+=≤≤当A B φ≠时，求实数m 的取值范围．16．（本小题满分14分）已知x 满足03log 7)(log 221221≤++x x ，求)4)(log 2(log22xx y =的最大值与最小值及相应的x 的值．17．（本小题满分14分）设函数)(x f y =是定义在R ＋上的减函数，并且满足)()()(y f x f xy f +=，131=⎪⎭⎫⎝⎛f ．（1）求)1(f 的值，（2）如果2)2()(<-+x f x f ，求x 的取值范围．18．（本小题满分16分）某种商品每件进价12元，售价20元，每天可卖出48件．若售价降低，销售量可以增加，且售价降低(08)x x ≤≤元时，每天多卖出的件数与2x x +成正比．已知商品售价降低3元时，一天可多卖出36件．（1）试将该商品一天的销售利润表示成x 的函数；（2）该商品售价为多少元时一天的销售利润最大？19．（本小题满分16分）设函数2()x xf x e e a =+-，（a 为实数，x R ∈）．（1）求证：函数()f x 不是奇函数；（2）若()ag x x =在(0,)+∞单调减，求满足不等式2()f x a >的x 的取值范围；（3）求函数()f x 的值域（用a 表示）． 20．（本小题满分16分）已知奇函数32()(0)f x ax bx cx a =++≠在1x =处取得极大值2．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值1x ，2x 都有12()()f x f x c -≤，求实数c的最小值；（3）若关于p 的一元二次方程2240p m p -+=两个根均大于1，求函数()()ln f x g x m x x=+ 的单调区间．高三数学附加题21．已知,a b R ∈，若13a M b-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所对应的变换M T 把直线:23L x y -=变换为自身，求实数,a b ，并求M 的逆矩阵．22．已知直线l的参数方程为1222x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），若以直角坐标系xoy 的O 点为极点，ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=-．（1）求直线l 的倾斜角；（2）若直线l 与曲线C 、B 两点，求AB ．23．甲、乙两名乒乓球运动员进行比赛，采用五局三胜制．若每一局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13．现已完成一局比赛，乙暂时以1:0领先．（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；（2）设比赛结束时比赛的局数为X ，求随机变量X 的概率分布列和数学期望．24．已知多项式5431111()52330f n n n n n =++-．（1）求(1)f -及(2)f 的值；（2）试探求对一切整数n ，()f n 是否一定是整数？并证明你的结论．参考答案1．4 2．{x |0≤x ≤1或x ＞2} 3．13a <≤ 4．[]12,- 5．（－∞，－3）∪（0，3） 6．2 7．必要不充分 8．21≤<a 9．⎥⎦⎤ ⎝⎛41,010．0<k ≤14 11．-6 12．③④ 13．（12-，1） 14．(1,2) 15．{}2(,)|20,A x y x mx y x R =+-+=∈，{}(,)|10,02B x y x y x =-+=≤≤，若A B φ≠，求实数m 的取值范围．解：问题等价于方程组{221y x mx y x =++=+在[0,2]上有解，即2(1)10x m x +-+=在[0,2]上有解，令2()(1)1f x x m x =+-+，则由(0)1f =知抛物线()y f x =过点(0,1)， ∴抛物线()y f x =在[0,2]上与x 轴有交点等价于2(2)22(1)10f m =+-+≤ ①或22(1)401022(2)22(1)10m mf m ∆=--≥⎧-⎪<<⎨⎪=+-+>⎩② 由①得32m ≤-，由②得312m -<≤， ∴实数m 的取值范围为(,1]-∞-．16．已知x 满足03log 7)(log 221221≤++x x ，求)4)(l o g 2(l o g 22xxy =的最大值与最小值及相应的x 的值．解：由题意可得21log 321-≤≤-x ，∴3log 212≤≤x又∵)4)(log 2(log 22x x y ==)2)(log 1(log 22--x x=2log 3)(log 222+-x x =41)23(log 22--x -∴当23log 2=x 时，41min -=y ，当3l o g2=x时，2max =y 即，当22=x 时，41min -=y ；当8=x 时，2max =y 17．设函数)(x f y =是定义在R ＋上的减函数，并且满足)()()(y f x f xy f +=，131=⎪⎭⎫⎝⎛f ，（1）求)1(f 的值，（2）如果2)2()(<-+x f x f ，求x 的取值范围．解：（1）令1==y x ，则)1()1()1(f f f +=，∴0)1(=f（2）∵131=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ∴23131)3131(91=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f f f∴()()[]⎪⎭⎫⎝⎛<-=-+91)2(2f x x f x f x f ，又由)(x f y =是定义在R ＋上的减函数，得：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->>-020912x x x x 解之得：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∈3221,3221x ． 18．某种商品每件进价12元，售价20元，每天可卖出48件．若售价降低，销售量可以增加，且售价降低(08)x x ≤≤元时，每天多卖出的件数与2x x +成正比．已知商品售价降低3元时，一天可多卖出36件．（1）试将该商品一天的销售利润表示成x 的函数；（2）该商品售价为多少元时一天的销售利润最大？解：（1）由题意可设，每天多卖出的件数为2()k x x +，∴236(33)k =+，∴3k =又每件商品的利润为(2012)x --元，每天卖出的商品件数为2483()x x ++ ∴该商品一天的销售利润为232()(8)[483()]32124384(08)f x x x x x x x x =-++=-+-+≤≤（2）由2'()942243(4)(32)f x x x x x =-+-=--- 令'()0f x =可得23x =或4x =当x 变化时，'()f x 、()f x 的变化情况如下表：∴当商品售价为16元时，一天销售利润最大，最大值为432元19．设函数2()x xf x e e a =+-，（a 为实数，x R ∈）．（1）求证：函数()f x 不是奇函数；（2）若()ag x x =在(0,)+∞单调减，求满足不等式2()f x a >的x 的取值范围；（3）求函数()f x 的值域（用a 表示）．解：（1）假设()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-，而x R ∈，则(0)0f =，而00(0)110f e e a a =+-=+-≠，故假设不成立，从而函数()f x 不是奇函数．（2）因()a g x x =在(0,)+∞单调减，则0a <，222xx x x ee a e e a a +-=+->则()(1)0x x e a e a -++>，而()0x e a ->，则1xe a >--，于是l n [(1x a >-+；（3）设xe t =，则0t >，2()yf x t t a ==+-，当0a ≤时，2()y f x t t a ==+-在0t >时单调增，则()(0)f x f a >=-；当102a ≤≤时，22()()y f x t t a f a a ==+-≥=；当12a ≥时，211()()24y f x t t a f a ==+-≥=-；故当0a ≤时，()f x 的值域为(,)a -+∞；当102a ≤≤时，()f x 的值域为2(,)a +∞；当12a ≥时，()f x 的值域为1(,)4a -+∞．20．已知奇函数32()(0)f x ax bx cx a =++≠在1x =处取得极大值2．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值1x ，2x 都有12()()f x f x c -≤，求实数c 的最小值；（３）若关于p 的一元二次方程2240p mp -+=两个根均大于1，求函数()()ln f x g x m x x=+的单调区间．解：（1）由题()()01012b f f =⎧⎪'=⎨⎪=⎩，解得103a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，()33f x x x =-+；（2）12max min ()()()()f x f x f x f x -≤-=4，故c 的最小值为4；（3）2240p mp -+=两个根均大于1，则求得522m ≤<， ()23ln g x x m x =-++，则0x >．()2122x mg x x m x x-+'=-+⋅=．而522m ≤<，则x ⎛∈ ⎝时，()0g x '>，故⎛ ⎝是()g x 的单调增区间，x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0g x '<，故⎫+∞⎪⎪⎭是()g x 的单调减区间．。

江苏省无锡市数学高三理数质量检查考试试卷(三)

江苏省无锡市数学高三理数质量检查考试试卷（三）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知全集U={0，1，2，3，4}，M={0，1，2}，N={2，3}，则（∁UM）∩N=（）A . {2}B . {2，3，4}C . {3}D . {0，1，2，3，4}2. （2分）若复数z满足（1﹣i）z=|3﹣4i|，则z的实部为（）A . -B . -C .D .3. （2分） (2016高二上·陕西期中) 下列命题正确的是（）A . 已知实数a，b，则“a＞b”是“a2＞b2”的必要不充分条件B . “存在x0∈R，使得”的否定是“对任意x∈R，均有x2﹣1＞0”C . 函数的零点在区间内D . 设m，n是两条直线，α，β是空间中两个平面，若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β4. （2分）设随机变量X~N（0，1），已知，则（）A . 0.025B . 0.050C . 0.950D . 0.9755. （2分）已知函数y=f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)>1，且对任意的实数R，等式f(x)f(y)=f(x+y)成立．若数列{an}满足a1=f(0)，且，则a2012的值为（）A . 4024B . 4023C . 4022D . 40216. （2分）在正方体中，下列几种说法正确的是（）A .B .C . 与DC成45°角D . 与成60°角7. （2分）设函数为偶函数，则（）A . 1B . -1C . -2D . 28. （2分）(2016·新课标Ⅰ卷理) 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A . 7B . 12C . 17D . 349. （2分）的展开式中，x4的系数为（）A . －40B . 10C . 40D . 4510. （2分）若一个螺栓的底面是正六边形，它的主视图和俯视图如图所示，则它的体积是（）A . 27+12πB . 9+12C . 27+3πD . 54+3π11. （2分）(2017·青岛模拟) 已知双曲线 C1： =1（ a＞0，b＞0），圆 C2：x2+y2﹣2ax+ a2=0，若双曲线C1 的一条渐近线与圆 C2 有两个不同的交点，则双曲线 C1 的离心率的范围是（）A . （1，）B . （，+∞）C . （1，2）D . （2，+∞）12. （2分） (2016高二下·抚州期中) 设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A . （﹣3，0）∪（3，+∞）B . （﹣3，0）∪（0，3）C . （﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D . （﹣∞，﹣3）∪（0，3）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一下·中山期末) 平面四边形中，且，，则的最小值为________．14. （1分）(2017·南阳模拟) 椭圆C：的上、下顶点分别为A1、A2 ，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是________．15. （1分）(2018·郑州模拟) 设变量满足约束条件则目标函数的最小值为________.16. （1分） (2016高一下·蕲春期中) 已知数列{an}满足a1=1，an+1+（﹣1）nan=2n，其前n项和为Sn ，则 =________．三、解答题 (共7题；共80分)17. （10分） (2018高一下·汕头期末) 如图，在中，点在边上，，，，．（1）求的值；（2）若的面积是，求的长．18. （15分）(2018·安徽模拟) 如图是圆柱体的母线，是底面圆的直径，分别是的中点， .（1）求证: 平面；（2）求点到平面的距离；（3）求二面角的大小.19. （15分） (2018高二下·邯郸期末) 据悉,2017年教育机器人全球市场规模已达到8.19亿美元,中国占据全球市场份额10.8%.通过简单随机抽样得到40家中国机器人制造企业,下图是40家企业机器人的产值频率分布直方图.（1）求的值；（2）在上述抽取的40个企业中任取3个，抽到产值小于500万元的企业不超过两个的概率是多少？（3）在上述抽取的40个企业中任取2个,设为产值不超过500万元的企业个数减去超过500万元的企业个数的差值,求的分布列及期望.20. （10分）(2016·黄山模拟) 已知椭圆E： =1（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点，且线段MN的中点为（﹣1，）．过椭圆E内一点P（1，）的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足，其中λ为实数．当直线AP平行于x轴时，对应的λ= ．（1）求椭圆E的方程；（2）当λ变化时，kAB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．21. （10分） (2018高二下·衡阳期末) 已知函数 .（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；（2）讨论函数的单调性；若存在极值点，求实数的取值范围.22. （10分） (2018高二下·长春开学考) 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线与的直角坐标方程；（2）当与有两个公共点时，求实数的取值范围．23. （10分）(2018·河北模拟) 选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若正数，满足，求证：．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共80分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

2012-2013学年第二学期无锡高三期初质量检测-数学

2012-2013学年第二学期无锡高三期初质量检测-数学π6，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内概率是▲．7.函数f(x)＝sinx+sin(x－π3)的单调递增区间为▲．8.已知数列{a n}满足8a p a q＝a p+q (p、q∈N*)，且a1＝14，则a n＝▲．9.如图，边长为2的正三角形ABC中，D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且D为AB中点，BE＝14BC，CF＝13AC，则ED——>·EF——>＝▲．10.椭圆x22＋y2＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积为▲．第6页共 24页11.若直线y ＝x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0x －2y －3≤0x ≥m，则实数m 的最大值为 ▲ ．12.当0< x ≤31时，不等式8x <log a x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ .13.已知函数f (x )＝x 2＋a x ，若x < 0时恒有f(x )≥3，则实数a 的取值范围是 ▲ ．14.已知圆C ：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1，点P (x 0，y 0)在直线 x －y ＋2＝0上．若圆C 上存在点Q 使∠CPQ ＝30°，则x 0的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）第7页共 24页A B D C E D 1B 1 A 1C 1已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，向量a ＝(4cos 2A +B 2，1)，向量b ＝(1，2sin 2A －B 2－3). (Ⅰ)若|a |＝2，求角C 的大小； (Ⅱ)若a ⊥b ，求tanA ·tanB 的值．16．（本题满分14分）在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1中点．求证：(Ⅰ)A 1C //面EBD ；(Ⅱ)面EBD ⊥面C 1BD ．17．（本题满分15分）某超市在开业30天内日接待顾客人数(万人)与时间t(天)的函数关系近似满足第8页共 24页f(t )＝1＋4t ，顾客人均消费额(元)与时间t (天)的函数关系近似满足g (t )＝84－|t －20|． (Ⅰ)求该超市日销售额y (万元)与时间t (天)的函数关系式；(Ⅱ)求该超市日销售额的最小值．18．（本题满分15分）已知椭圆x 2 a 2 ＋y 2b 2＝1(a >A (－2，0)，离心率为12，过点E (－27，0)于M ，N ．(Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)求证：∠MAN 的大小为定值．19．（本题满分16分）第9页共 24页已知数列{}na 的前n 项和为S n ，S n ＝2a n ＋n ．(Ⅰ)求证：{a n －1}为等比数列； (Ⅱ)数列{lg1001－a n }的前n 项和为T n ，当n 为何值时，T n 最大，并求出T n 的最大值．20．（本题满分16分）设函数f(x )＝－a 2x 2＋(a ＋1)x －lnx (a ∈R )．(Ⅰ)当a ＝0时，求函数f(x )的极值； (Ⅱ)当a ＞0时，讨论函数f (x )的单调性； (Ⅲ)若对任意a ∈(2，3)及任意x 1，x 2∈[1，2]，恒有a 2－12m ＋ln 2＞|f (x 1)－ f (x 2)|成立，求实数m 的取值范围.第10页共 24页 2012－2013学年第二学期高三期初质量检测数学试题答卷 2013.2 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．[1，3) 2．2－2i 3．∀x ∈R ，x 2－3x ＋2＞0 4．充分不必要 5．37 6．2－32 7．[2k π－π3，2k π＋2π3]，k ∈Z 8．2n －3 9．1 2 10．2 11．3 2 学校______________________ 班级________________ 姓名____________________ 考试号__________________12．(33，1)13．(－∞，-2] 14．[－3，－1]二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：(Ⅰ)∵|a |＝2，∴(4cos 2A +B 2)2＋1＝2． ∴4[1＋cos(A ＋B )]2＝1．--------------2分∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ． ∴(1－cos C )2＝14，∴1－cos C ＝±12，cos C ＝12 或 32（舍）． ------5分 ∵0<C <π ∴C ＝π3．---------7分(Ⅱ)由a ⊥b ，∴a •b ＝0．∴4cos2A+B2＋2sin2A－B2－3＝0．-----------8分∴2[1＋cos(A＋B)]＋[1－cos(A—B)]－3＝0．∴2cos(A＋B)－cos(A—B)＝0 ∴cos A cos B－3sin A sin B＝0．--------12分∴tan A•tan B＝13．----------1 4分16．证明：(Ⅰ)设BD∩AC＝O，连EO．由正方体ABCD－A1B1C1D1中四边形ABCD为正方形．∴O为AC中点．又在△A1AC中，E为AA1中点，∴OE//A1C．-----------3分∵A1C/⊂面EBD，OE⊂面EBD，∴A1C//面EBD．-----------6分（Ⅱ）设正方体棱长为2，由AA1⊥面ABCD，∴AA1⊥AC．又AA1//＝CC1∴四边形A1ACC1为矩形，由OE＝3，C1O＝6，C1E＝3．∴C1E2＝OE2＋C1O2，∴C1O⊥OE．-----------9分又正△C1BD中，O为BD中点∴C1O⊥BD．----------11分∵OE∩BD＝O，∴C1O⊥面EBD．又C 1O ⊂面C 1BD ，∴面C 1BD ⊥面EBD ． ----------14分17．解：(Ⅰ)由题日销售额 y ＝f(t )•g (t )＝(1＋4t )(84－|t －20|)＝⎩⎪⎨⎪⎧(1＋4t)(t ＋64)，1≤t ≤20(1＋4t )(60－t )，20＜t ≤30，t ∈N * -----------5分(Ⅱ)①当1≤t ≤20且t ∈N *时，y ＝t ＋256t ＋68≥2t •256t ＋68＝100，当且仅当t＝256t即t＝16时取等号；-----------9分②当20＜t≤30且t∈N*时，y＝240t－t＋56在区间(20，30]上递减，∴t＝30时，y min＝34．----------13分∵100＞34，∴综上，第30天该超市日销售额最小，最小值为34万元．----------15分18．解：(Ⅰ)由题条件a＝2，离心率e＝c a＝12，∴c ＝1． ∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1 ． -----------5分(Ⅱ)①若直线l ：x ＝－27，则M (－27，127)，N (－27，－127) ，则AM —— >·AN —— >＝(127，127)•(－127，127)＝0，∴AM—— >⊥AN—— >，∴∠MAN ＝90°．--------7分 ②若直线l 斜率存在，设l ：y ＝k (x ＋27)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋27)x 24＋y23＝1 ⇒ (3＋4k 2)x 2＋167k 2x ＋16k 249－12＝0． -----------9分∴x 1＋x 2＝－16k27(3＋4k 2)，x 1•x 2＝16k 2－58849(3＋4k 2)， ----------10分∴y 1•y 2＝k 2(x 1＋27)(x 2＋27)＝k 2[x 1•x 2＋27(x 1＋x 2)＋449]＝－16k 4－588k 249(3＋4k 2)＋4k 249． ∴AM —— >·AN —— >＝(x 1＋2，y 1)•(x 2＋2，y 2)＝(x 1＋2)( x 1＋2)＋y 1•y 2＝16k2－58849(3＋4k2)－32k27(3＋4k2)＋4＋－16k4－588k2 49(3＋4k2)＋4k249＝0．∴AM——>⊥AN——>，∴∠MAN＝90°．----------14分综上，∠MAN的大小为定值90°．----------15分19．证明（Ⅰ）∵S n＝2a n＋n，∴当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1．-----------2分当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2a n－2a n－1＋1，∴a n＝2a n－1－1．∴a n－1＝2(a n－1－1) ．-----------6分∵a1－1＝－2，∴{a n－1}是以－2为首项，2为公比的等比数列．-----7分解：（Ⅱ）由（Ⅰ）设b n＝lg1001－a n＝lg1002n＝2－n lg2，∵b n＋1－b n＝－lg2＜0，∴{b n}是以—lg2为公差的等差数列且单调递减．----------10分∴b1＞b2＞…＞b6＝lg 10064＞lg1＝0．----------13分当n ＞7时，b n ＜b 7＝lg 100128＜0，----------15分∴ {b n }前6项为正项．∴ T n 的最大值为T 6＝12－21lg2．----------16分20．解：(Ⅰ)由题，定义域为(0，＋∞)，当a ＝0时，f(x )＝x －ln x ，∴f ′(x )＝1－1x＝x －1x．-----------2分由f ′(x )＞0⇒x ＞1； f ′(x )＜0⇒0＜x ＜1，∴函数f(x )在区间(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．∴x＝1时极小值为f(1)＝1－ln1＝1．-----------4分(Ⅱ)a＞0时，f′(x)＝－ax＋a＋1－1x＝－ax2＋(a＋1)x－1x＝－a(x－1a)(x－1)x．--5分当f′(x)＝0时，x＝1和x＝1 a．①当a＝1时，f′(x)＝－(x－1)2x≤0恒成立，此时f(x)在(0，＋∞)上递减；----6分②当1a＞1即0＜a＜1时，f′(x)＞0⇒1＜x＜1a；f′(x)＜0⇒0＜x＜1或x＞1 a；∴f(x)在(1，1a)上递增，在(0，1)和(1a，＋∞)上递减；-----------8分③当1a＜1即a＞1时，f′(x)＞0⇒1a＜x＜1；f′(x)＜0⇒0＜x＜1a或x＞1；∴f(x)在(1a，1)上递增，在(0，1a)和(1，＋∞)上递减．----------10分(Ⅲ)由(Ⅱ)a∈(2，3)时，f(x)在区间[1，2]上递减，由条件a 2－12m ＋ln2＞|f (x 1)－ f (x 2)|max＝f(1)－ f(2)＝a2－1＋ln2对任意a ∈(2，3)成立，∴a 2－12m ＞a2－1对任意a ∈(2，3)成立．⇒m ＞a －2a 2－1对任意a ∈(2，3)成立．由g (a )＝a －2a 2－1，∵g ′(a )＝－(a －2)2＋3(a 2－1)2＞0对a ∈(2，3)恒成立，g (a )在a ∈(2，3)上递增，∴ g (a )＜g (3)＝18，∴ m ≥18．----------16分。

江苏省无锡一中2013届高三开学检测数学试题

江苏无锡一中2013届高三开学检测数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．答案写在答卷纸上．）1．若全集R U =，集合{}02≥-=x x x M ，则集合∁U M = ．2．若复数iia 213++（a R ∈,i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为．3．某校高一、高二、高三学生共有3200名，其中高三800名，如果通过分层抽样的方法从全体学生中抽取一个160人的样本，那么应当从高三的学生抽取的人数是 4．在平面直接坐标系xOy 中，角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在直线xy 3-=上,且>x ,则=αsin．5．从集合}2,1,1{-=A 中随机选取一个数记为k ，从集合}2,1,2{-=B 中随机选取一个数记为b ，则直线b kx y +=不经过第三象限的概率为．6．某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的S 的值为．件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）8．已知实数y x ,满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，目标函数)(R a ax y z ∈-=,若z 取最大值时的唯一最优解是(1，3)，则实数a 的取值范围是．9．已知F 是双曲线22:ax C -)0,0122>>=b a by （的左焦点，21B B 是双曲线的虚轴，M是1OB 的中点,过M F ,的直线交双曲线C 于点A ，且MA FM 2=，则双曲线C 的离心率是． 10．若正实数c b a ,,满足023=+-c b a ，则bac的最大值是．11．已知数列}{na 是公差不为0的等差数列，}{nb 是等比数列，其中31=a ，11=b ，22b a =，353b a =,若存在常数v u ,对任意正整数n 都有v b a n u n +=log 3，则=+v u ．12．如图，线段EF 的长度为1，端点F E ,在边长不小于1的正方形ABCD 的四边上滑动，当F E ,沿正方形的四边滑动一周时，EF 的中点M 所形成的轨迹为G ，若G 的周长为l ，其围成的面积为S , 则S l -的最大值为．13．在平面直角坐标系中，点是第一象限内曲线个动点，点P 处的切线与两个坐标轴交于,A B 两点，则AOB △的面积的最小值为。

2024届江苏无锡四校高三12月学情调研数学试卷答案

2023-2024学年度12月学情调研试卷高三数学答案解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. C2. A3. C4. B5. D6. A7. B8. B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9. BC 10. AB 11. AC 12. ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.103− 14.12− 15.1316.0或，2e 四、解答题：本题共6小题，共70分．17.解：（1）由正弦定理得： cos sin 0a C C b c +−−=sin cos sin sin sin A C A C B C ∴+=+即()sin cos sin sin sin A C A C A C C ∴+=++cos 1A A −=，1sin 62A π ∴−= 由A 为三角形内角可得66A ππ−= ，3A π∴= ………………………5分（2）1sin 2ABC S bc A ∆== 3bc ∴=由余弦定理()22222cos 3a b c bc A b c bc =+−=+−又4b c +=，代入得a = ………………………10分 18. 解：由221n n n S a +=+ ①当1n =时，11221S a +=+，所以11a =当2n ≥时，111221n n n S a −−−+=+ ② ①②式相减得11221n n n a a −−+=+，即1122n n n a a −−−= 变形得111222n n n n a a −−−=又1122a =，所以数列2n n a 是以12为首项，12为公差的等差数列， 22n n a n ∴=，则12n n a n −=⋅ ………………………8分（2）22n n a n =，可知数列2n 是以12为首项，12为公差的等差数列，可知数列(){}113n n +−⋅是以3为首项，3−为公比的等比数列， ()()()1131392713222n n n n T + =++++++−++−⋅ ()()231311444n n n −−=++ ………………………12分19. 解：（1）证明：过M 作BC 的平行线交PC 于H ，连接HD ，∴PM PH MH PB PC BC ==，又2PM MB = ，∴23PH PC =，13HC PC ∴=，又2CN NP =， NH PN HC ∴==，N ∴为PH 的中点，又Q 为PD 的中点，//NQ HD ∴，又223MH BC ==，又2AD =，//AD BC ， //AD MH ∴，且AD MH =，∴四边形MHDA 是平行四边形，//HD MA ∴，//NQ AM ∴，NQ ∴⊄平面PAB , AM ⊂平面PAB ,//NQ ∴平面PAB ……………………5分（2）以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0A ，0，0)，4(3M ，0，2)3，(0P ，0，2)．(2C ，3，0)，∴4(3AM = ，0，2)3， (0AP = ，0，2).(2PC = ，3，2)−，∴设(2PN PC λλ== ，3λ，)2)(01λλ− ， ∴(0AN AP PN =+= ，0，2)(2λ+，3λ，2)λ−，=(2,3λλ，22)λ−设平面AMN 的一个法向量为(n x = ，y ，)z ，则4203323(22)0n AM x z n AN x y z λλλ ⋅=+= ⋅=++−= ，令1x =，则2z =−，463y λλ−=， ∴平面AMN 的一个法向量为(1n = ，463λλ−，2)−，设直线PA 与平面AMN 所成角为θ，sin |cos AP θ∴=<，2|||3||||AP n n AP n ⋅>==⋅ ，则13λ= 13PN PC ∴= ……………………12分 20.解：（1）因为θ为锐角，由sin()4πθ−，可得cos()4πθ−，所以4sin sin[()]445ππθθ=−+==，则3cos 5θ=，所以134(,)55Q ，故247sin 2,cos 22525θθ==−，所以724(,)2525P −． ……………………5分（2）因为点P ，Q 分别运动的角速度之比为2:1，所以当点Q 转动的角度为θ时，P 转动角度为2θ，因此(cos 2,sin 2)P θθ，(2cos ,sin )Q θθ+，则222||(cos 2cos 2)(sin 2sin )QPθθθθ=−−+− 2222cos 2cos 42cos 2cos 4cos 24cos sin 2sin 2sin 2sin θθθθθθθθθθ++−−+++− 62(cos 2cos sin 2sin )4cos 24cos θθθθθθ=−+−+64cos 22cos θθ=−+2818cos 2cos 10[0,]8θθ=−++∈，所以||PQ． ……………………12分 21.解：（1）由题意()()0,1,,0A F c ，则直线AF 的方程为：0x cy c +−= 可知圆的标准方程为()()22313x y −+−=，，则22c =所以椭圆C 的方程为 2213x y += ……………………4分（2）设()()1122,,,P x y Q x y若直线PQ 的斜率不存在，设x t =，则2213t y +=，120y y ∴+= 121211222AP AQ y y y y k k t t t t−−+−+=+==−=，1t ∴=− 直线PQ ：1x =−.若直线PQ 的斜率存在，设直线方程为y kx m =+由2233x y y kx m += =+ ()222136330k x mkx m ⇒+++−= ()()222236413330m k k m ∆=−+−> 即22310k m +−> 由韦达定理12221226133313mk x x k m x x k +=− + − = +1212112AP AQ y y k k x x −−+=+= 1212112kx m kx m x x +−+−+= ，即()()()()121222101k x x m x x m −+−+=≠()()()22233160k m m km −−−−⋅=，1k m =+，则直线PQ 方程为1y kx k =+−，过定点()1,1−− ……………………12分22.解：（1）()()22222220x ax f x a x x x x−+−′=−−=>，因为()f x 在定义域内单调，所以在()0,∞+上()0f x ′≥恒成立或()0f x ′≤恒成立，即22220x ax −+−≥或22220x ax −+−≤恒成立，因为二次函数2222y x ax =−+−开口向下，故22220x ax −+−≥不可能恒成立，所以22220x ax −+−≤恒成立，即1a x x ≤+，因为12x x+≥，当且仅当1x x =，即1x =时，取等号，所以2a ≤； ……………………4分（2）由（1）可得，要使()f x 有极大值和极小值，则522a <≤，令()22220x ax f x x−+−′==，即210x ax −+=，设方程的两根为12,x x ，则有1212,1x x a x x +==，不妨设1201x x <<<，则当10x x <<和2x x >时，()0f x ′<，当12x x x <<时，()0f x '>，所以函数()f x 在()10,x 和()2,x +∞上递减，在()12,x x 上递增，所以()()()()21,f x f x f x f x ==极大值极小值，即()2222211122ln 22ln m n ax x x ax x x −=−−−−−()()()2221212122ln ln a x x x x x x =−−−−− ()22112ln x a x x x =−− ()()1212122ln x x x x x x =+−+222111222ln x x x x x x −+2111222ln x x x x x x =−+，令()12,0,1x t t x =∈，因为()222121221212211212211722,4x x x x x x x x t a t x x x x x x +−+ ++−∈ ，则1174t t +≤，所以114t ≤<，令()112ln ,,14g t t t t t =−+∈，则()222122110t t g t t t t −+−′=−−+=<，所以函数()g t 在1,14上递减，所以()()114g g t g <≤ ，即()1504ln 24g t <≤−，即150,4ln 24m n −∈−. ……………………12分。

江苏省无锡市2024高三冲刺(高考数学)人教版质量检测(强化卷)完整试卷

江苏省无锡市2024高三冲刺（高考数学）人教版质量检测(强化卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．第(2)题若双曲线的一条渐近线与圆相交于、两点，且，则（）A．2B．4C．5D．8第(3)题是方程有一个负数根的（）A．必要不充分条件B．充分必要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件第(4)题祖暅是我国古代的伟大科学家，他在5世纪末提出祖暅：“幂势即同，则积不容异”，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等. 祖暅原理常用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积，例如由圆锥和圆柱的体积推导半球体的体积，其示意图如图所示，其中图(1)是一个半径为R的半球体，图(2)是从圆柱中挖去一个圆锥所得到的几何体. (圆柱和圆锥的底面半径和高均为R)利用类似的方法，可以计算抛物体的体积：在x-O-y坐标系中，设抛物线C的方程为y=1－x2 (－1x1)，将曲线C围绕y轴旋转，得到的旋转体称为抛物体. 利用祖暅原理可计算得该抛物体的体积为.A．B．C．D．第(5)题从2至8这7个整数中随机取3个不同的整数，则这三个数能作为锐角三角形三边长的概率为（）A．B．C．D．第(6)题已知为椭圆与双曲线公共的焦点，且在第一象限内的交点为P，若的离心率满足，则（）A．B．C．D．第(7)题过椭圆C：上的点，分别作C的切线，若两切线的交点恰好在直线：上，则的最小值为（）A．B．C．－9D．第(8)题记为等差数列的前项和．若，，则数列的公差为（）A．B．C．1D．2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A．B．C．的单调递增区间是D．将的图像向左平移个单位，可以得到的图像第(2)题已知某果园的每棵果树生长的果实个数为X，且X服从正态分布，X小于70的概率为0.2，从该果园随机选取10棵果树，其中果实个数在的果树棵数记作随机变量Y，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．第(3)题在四棱锥中，底面为矩形，侧面为等边三角形，，则（）A．平面平面B．直线与所成的角的余弦值为C．直线与平面所成的角的正弦值为D．该四棱锥外接球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程若第1个图中的三角形的周长为1，则第n个图形的周长为___________；若第1个图中的三角形的面积为1，则第n个图形的面积为___________.第(2)题已知定义在R上的奇函数满足当时，（为的导函数），且，则的极大值为________．第(3)题函数的单调增区间为________；若对，，均有成立，则的取值范围是__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题某市为了了解民众对开展创建文明城市工作以来的满意度，随机调查了40名群众，并将他们随机分成A，B两组，每组20人，A组群众给第一阶段的创文工作评分，B组群众给第二阶段的创文工作评分，根据两组群众的评分绘制了如图茎叶图：根据茎叶图比较群众对两个阶段创文工作满意度评分的平均值及集中程度不要求计算出具体值，给出结论即可；根据群众的评分将满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意由频率估计概率，判断该市开展创文工作以来哪个阶段的民众满意率高？说明理由．完成下面的列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为民众对两个阶段创文工作的满意度存在差异？低于70分不低于70分第一阶段第二阶段附：k第(2)题甲､乙､丙三名高中生进行传球训练.第一次由甲将球传出，传给乙的概率是，传给丙的概率是；乙传给甲和丙的概率都是；丙传给甲和乙的概率地都是.如此不停地传下去且假定每次传球都能被接到，记开始传球的人为第一次触球者，第次触球者是甲的概率记为.(1)求；(2)证明：为等比数列.第(3)题“告诉老墨，我想吃鱼了”这是今年春节期间大火的电视剧《狂飙》里，主角高启强（强哥）的经典台词，而剧中高启强最喜欢吃的就是猪脚面了，可谓是猪脚面的资深代言人.某商家想在上饶市某学校旁开一家面馆，主打猪脚面.虽然江西人普遍爱吃辣，但能吃辣的程度也不尽相同.该面馆通过美食协会共获得两种不同特色辣的配方（分别称为配方和配方），并按这两种配方制作售卖猪脚面.按照辣程度定义了每碗猪脚面的辣值（辣值越大表明越辣），得到下面第一天的售卖结果：配方的售卖频数分布表辣值分组频数1020421810配方的售卖频数分布表辣值分组频数1822381210定义本面馆猪脚面的“辣度指数”如下表：辣值辣度指数345(1)试分别估计第一天配方，配方售卖的猪脚面的辣值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并比较大小.(2)用样本估计总体，将频率视为概率，从当地同时吃过两种配方猪脚面的消费者中随机抽取1人进行调查，试估计其评价配方的“辣度指数”比配方的“辣度指数”高的概率.第(4)题已知函数．(1)讨论函数的极值点的个数；(2)若函数恰有三个极值点、、，且，求的最大值．第(5)题为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）.(1)设其中两只小鼠中在对照组中小鼠数目为，求的分布列和数学期望；(2)测得40只小鼠体重如下（单位：）：（已按从小到大排好）对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.426.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3实验组：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.214.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0（i）求40只小鼠体重的中位数，并完成下面列联表：合计对照组实验组合计（ii）根据列联表，能否有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.附：，其中.0.100.050.0102.7063.841 6.635。

江苏无锡市四校2024届高三下学期期初调研数学试卷+答案

2023-2024学年春学期期初学情调研试卷参考答案1．B [试题解析]{|22}M x x =−<<，{0,1,2,3}N =，M N = {01} ，故选：B 2．D [试题解析]因为aa ⃑，pp ⃑=aa ⃑+bb �⃑，qq ⃑=aa ⃑−bb �⃑，为共面向量，所以不能构成基底，故A 错误；因为bb �⃑，pp ⃑=aa ⃑+bb �⃑，qq ⃑=aa ⃑−bb�⃑，为共面向量，所以不能构成基底，故B 错误；因为aa ⃑+2bb �⃑，pp ⃑=aa ⃑+bb �⃑，qq ⃑=aa ⃑−bb �⃑，为共面向量，所以不能构成基底，故C 错误；因为aa ⃑+2cc ⃑，pp ⃑=aa ⃑+bb �⃑，qq ⃑=aa ⃑−bb�⃑，为不共面向量，所以能构成基底，故D 正确；故选：D 3．D [试题解析]∵ll 1⊥ll 2，∴aa (aa −1)+(1−aa )×(2aa +3)=0，即(aa −1)(aa +3)=0，解得aa =1或aa =−3. 故选：D ．4．B [试题解析]奇数项共有(nn +1)项，其和为aa 1+aa 2nn+12⋅(nn +1)=2aa nn+12⋅(nn +1)=290，∴(nn +1)aa nn+1=290．偶数项共有n 项，其和为aa 2+aa 2nn2⋅nn =2aa nn+12⋅nn =nnaa nn+1=261，∴aa nn+1=290−261=29．故选：B ．5．C [试题解析]依题意可得圆锥的体积VV =1×�2√3ππ3�2=4ππ3ccmm 3，又VV =13ππ×12×ℎ(ccmm 3)（其中h 为圆锥的高），则ℎ=4cm ，则圆锥的母线长为√12+42=√17cm ，故圆锥的侧面积为√17ππccmm 3．故选：A ． 6．B [试题解析]因为A 在B 的前面出场，且A ，B 都不在3号位置，则情况如下：①A 在1号位置，B有2,4,5号三种选择，有3A 33＝18种出场次序；②A 在2号位置，B 有4,5号两种选择，有2A 33＝12种出场次序；③A 在4号位置，B 有5A 33＝6种出场次序，故不同的出场次序共有18＋12＋6＝36种．故选B.7．A [试题解析]解：由题意，作图如下：设圆II 与xx 轴、PPFF 2、PPFF 1分别切于点EE 、HH 、FF ，因为双曲线CC 的右顶点为AA (3,0)，FF 1(−5,0)，FF 2(5,0)，所以|AAFF 1|−|AAFF 2|=(3+5)−(5−3)=6，因为|PPFF 1|−|PPFF 2|=6，所以|PPFF 1|−|PPFF 2|=(|PPFF |+|FFFF 1|)−(|PPHH |+|HHFF 2|)=|FFFF 1|−|HHFF 2|=|FF 1EE |−|EEFF 2|=6，因此切点EE 与AA 重合．又因为内切圆II 的半径为1，所以II (3,1)，又FF 1(−5,0)，FF 2(5,0)，|IIFF 1|=√ 65,|IIFF 2|=√ 5,cos ∠FF 1IIFF 2=65+5−1002√ 65×√ 5=−3√ 13, 所以tan ∠FF 1IIFF 2=−23,解得tan∠FF 1PPFF 22=32,所以SS △FF 1PPFF 2=bb2tan∠FF 1PPFF 22=323，所以△PPFF 1FF 2面积为323．8．C [试题解析]解：在同一坐标系中作yy =ff (xx )，yy =12的图象，若由图象观察可知，0<xx 1<1<xx 2<2<xx 3<3<xx 4<4，当ff (ff (xx ))=12时，由ff (xx )=xx 1，0<xx 1<1存在4个不同根， ff (xx )=xx 2，1<xx 2<2存在2个不根，ff (xx )=xx 3，2<xx 3<3存在2个不根， ff (xx )=xx 4，3<xx 4<4，存在2个不根，综上ff (ff (xx ))=12的实根个数为10．9．ACD [试题解析]A ：由aasinAA =bbsinBB=cc sinCC，根据等比的性质有bb sinBB =aa+bb+ccsinAA+sinBB+sinCC ，正确； B ：当AA =ππ3,BB =ππ6时，有sin2AA =sin2BB ，错误；C ：sin BB cos CC +sin CC cos BB =sin(BB +CC )，而BB +CC =ππ−AA ，即sin BB cos CC +sin CC cos BB =sin AA ，由正弦定理易得aa =bb cos CC +cc cos BB ，正确；D ：如图，AAEE��⃗=AABB��⃗|AABB��⃗|,AAFF ��⃗=AACC ��⃗|AACC ��⃗|是单位向量，则AABB��⃗|AABB��⃗|+AACC��⃗|AACC��⃗| =AAEE ��⃗+AAFF ��⃗=AAAA ��⃗，即AAAA ��⃗⋅BBCC ��⃗=0、AAEE ��⃗⋅AAFF ��⃗=12，则AAAA ��⃗⊥BBCC ��⃗且AAAA 平分∠BBAACC ，AAEE ��⃗,AAFF ��⃗的夹角为ππ3，易知△AABBCC 为等边三角形，正确.故选：ACD 10．ABC [试题解析]令0xy ==，可得(0)2(0)()f f f a =，因为1(0)2f =，所以1().2f a A =正确.令0y =，可得()()()(0)()f x f x f a f f a x =+−，代入1()2f a =，1(0)2f =，可得()().f a x f x −=同理，令0x =，可得()(0)()()()f y f f a y f y f a =−+，代入1()2f a =，1(0)2f =，可得()().f a y f y −=即原等式变形为()2()()f x y f x f y +=，C 正确. 令y x =可得2(2)2[()]0f x f x = ，即函数取值非负.令y a x =−可得2()2[()]f a f x =，即21[()]4f x =，解得1()2f x =，B 正确.因此仅有一个函数关系式1()2f x =满足条件，故D 错误.故选ABC 11．CD [试题解析【详解】A ：由题意知，1111//A D B C ，11B C ⊂平面11B C CB ，11A D ⊄平面11B C CB 所以11//A D 平面11B C CB ，又EF ⊂平面11B C CB ，所以11A D 与EF 不相交，故A 错误；B ：连接111AD D F AF AE CB 、、、、，如图，当点E 为BC 的中点时，1//EF CB ，又11AD CB ⊥，所以1EF AD ⊥，若点E 在平面1AD F 的射影为F ，则EF ⊥平面1AD F ，垂足为F ，所以EF AF ⊥，设正方体的棱长为2，则AE AF EF ===在AEF 中，222AF EF AE +≠，所以90AFE °∠≠，即EF AF ⊥不成立，故B 错误；C ：建立如图空间直角坐标系D xyz −，连接1BC ，则11//AD BC ，所以异面直线EF 与1AD 所成角为直线EF 与1BC 所成角，设正方体的棱长为2，若存在点(,2,0)(02)E a a ≤≤使得EF 与1BC 所成角为30°，则1(2,2,0)(2,2,1)(0,2,2)B F C ，，，所以1(2,0,1)(2,0,2)EF a BC =−=−，，所以122EF BC a ⋅=− ，又11cos30EF BC EF BC °⋅= ，得22a −=，解得4a =± 符合题意，故不存在点E 使得EF 与1AD 所成角为30°，故C 错误； D ：如图，由等体积法可知E ADF F ADE V V −−=，又111332F ADE ADE V S BF AD AB BF −=⋅=×××× ，AD AB BF 、、为定值，所以F ADE V −为定值，所以三棱锥E ADF −的体积为定值，故D 正确.故选：C D .12．−4√29[试题解析]因为sin �αα−π6�=13，αα∈(0,π)，αα−π6∈�−π6,5π6�,又因为sin �αα−π6�=13<sin 5π6=12，所以αα−π6∈�0,π2�, 所以cos �αα−π6�=�1−sin 2�αα−π6�=2√23, 所以sin �2�αα−π6��=2sin �αα−π6�cos �αα−π6�=4√29, π�π�π�π�π�π��4√2. 故答案为：−4√2.解：由题意得，圆CC :(xx +3)2+(yy +2)2=13，圆心CC (−3,−2) 设点PP (xx 0,yy 0)，则|xx 0−4|+|yy 0−6|=2，故点PP 的轨迹为如下所示的正方形，其中AA (4,8)，BB (6,6)，则|AACC |=√ 149，|BBCC |=√ 145，则|PPPP |≤|AACC |+rr =√ 149+√ 13，��⃗、CCBB��⃗、CCCC1��⃗的方向为xx轴、yy轴、zz轴的正方向建立空间直17．（15分）解：依题意，以CC为原点，分别以CCAA角坐标系（如图），可得CC(0,0,0)、AA(2,0,0)、BB(0,2,0)、CC1(0,0,3)、AA1(2,0,3)、BB1(0,2,3)、DD(2,0,1)、EE(0,0,2)、MM(1,1,3).（Ⅰ）依题意，CC1MM��⃗=(1,1,0)，BB1DD��⃗=(2,−2,−2)，从而CC 1MM ��⃗⋅BB 1DD ��⃗=2−2+0=0，所以CC 1MM ⊥BB 1DD ；（Ⅱ）依题意，CCAA��⃗=(2,0,0)是平面BBBB 1EE 的一个法向量， EEBB 1��⃗=(0,2,1)，EEDD ��⃗=(2,0,−1)．设nn�⃗=(xx ,yy ,zz )为平面DDBB 1EE 的法向量，则{nn �⃗⋅EEBB 1��⃗=0nn�⃗⋅EEDD ��⃗=0，即{2yy +zz =02xx −zz =0，不妨设xx =1，可得nn�⃗=(1,−1,2)． cos <CCAA ��⃗,nn �⃗>=CCAA ��⃗⋅nn�⃗|CCAA ��⃗|⋅|nn �⃗|=22×√6=√66， ∴sin <CCAA ��⃗,nn �⃗>=�1−cos 2<CCAA ��⃗,nn �⃗>=√306．所以，二面角BB −BB 1EE −DD 的正弦值为√306；（Ⅲ）依题意，AABB��⃗=(−2,2,0)．由（Ⅱ）知nn �⃗=(1,−1,2)为平面DDBB 1EE 的一个法向量，于是cos <AABB ��⃗,nn �⃗>=AABB ��⃗⋅nn �⃗|AABB��⃗|⋅|nn �⃗|=−42√2×√6=−√33．所以，直线AABB 与平面DDBB 1EE 所成角的正弦值为√33.18．（17分）解：(1)由题意得ee 1=� aa 2−1aa，ee 2=� aa 2+1aa，所以ee 1ee 2=� aa 4−1aa 2=√ 154，又aa >0，解得aa 2=4，(ii )故双曲线CC 2的渐近线方程为yy =±12xx ；(ii ii )设直线AABB 的方程为xx =ttyy +4，则�xx =ttyy +4,xx 24−yy 2=1,消元得：(tt 2−4)yy 2+8ttyy +12=0，ΔΔ>0且tt ≠±2，所以�yy 1+yy 2=−8tttt 2−4,yy 1yy 2=12tt 2−4,故11yy 1+yy 22tt，又直线AAAA 1的方程为yy =yy1xx 1+2(xx +2)，所以yy 3=3yy 1xx 1+2，同理yy 4=3yy2xx 2+2，所以1yy 3+1yy 4=13(xx 1+2yy 1+xx 2+2yy 2)=13(tt yy 1+6yy 1+tt yy 2+6yy 2) =2tt yy 1yy 2+6(yy 1+yy 2)3yy 1yy 2=23tt +2(yy 1+yy 2)yy 1yy 2=23tt +2(1yy 1+1yy 2)=23tt −43tt =−23tt ，故1yy 1+1yy 2=1yy 3+1yy 4． (2)设两个切点为PP 1(xx 5,yy 5)，PP 2(xx 6,yy 6)，由题意知PPPP 1，PPPP 2斜率存在，直线PPPP 1方程为ll 1:yy =kk 1(xx −xx 5)+yy 5，联立�xx 2aa2+yy 2=1,yy =kk 1(xx −xx 5)+yy 5,由ΔΔ=0得kk 1=−xx 5aa 2yy 5，所以ll 1:xx 5xxaa 2+yy 5yy =1，同理直线PPPP 2方程为ll 2:xx 6xxaa 2+yy 6yy =1，由ll 1，ll 2过PP 点可得�xx 5xx 0aa2+yy 5yy 0=1,xx 6xx 0aa 2+yy 6yy 0=1可得直线PP 1PP 2的方程为xx 0xxaa 2+yy 0yy =1，不妨设，直线PP 1PP 2与双曲线两渐近线yy =±1aa xx 交于两点PP 1′(aa 2xx 0+aayy 0,aaxx 0+aayy 0)， PP 2′(aa 2xx 0−aayy 0,−aaxx 0−aayy 0)，则围成三角形的面积SS =12|aa 2xx 0+aayy 0⋅−aa xx 0−aayy 0−aa xx 0+aayy 0⋅aa 2xx 0−aayy 0|=|aa 3xx 02−aa 2yy 02|. 因PP 在双曲线CC 2上，xx 02−aa 2yy 02=aa 2，则SS =aa 3aa 2=aa 为定值．19．（17分）解：(1) AA 3=�123231312� 是 ΓΓ3 数表，dd (aa 1,1,aa 2,2)+dd (aa 2,2,aa 3,3)=2+3=5.(2)由题可知 dd (aa ii ,jj ,aa ii+1,jj+1)=|aa ii ,jj −aa ii+1,jj |+|aa ii+1,jj −aa ii+1,jj+1|=1 (ii =1,2,3;jj =1,2,3) ．当 aa ii+1,jj =1 时，有 dd (aa ii ,jj ,aa ii+1,jj+1)=|aa ii ,jj −1|+|aa ii+1,jj+1−1|=1 ，所以 aa ii ,jj +aa ii+1,jj+1=3 ．当 aa ii+1,jj =2 时，有 dd (aa ii ,jj ,aa ii+1,jj+1)=|aa ii ,jj −2|+|aa ii+1,jj+1−2|=1 ，所以 aa ii ,jj +aa ii+1,jj+1=3 ．所以 aa ii ,jj +aa ii+1,jj+1=3(ii =1,2,3;jj =1,2,3).所以 aa 1,1+aa 2,2+aa 3,3+aa 4,4=3+3=6, aa 1,3+aa 2,4=3,aa 3,1+aa 4,2=3. aa 1,2+aa 2,3+aa 3,4=3+1=4 或者 aa 1,2+aa 2,3+aa 3,4=3+2=5 ， aa 2,1+aa 3,2+aa 4,3=3+1=4 或者 aa 2,1+aa 3,2+aa 4,3=3+2=5 ， aa 1,4=1 或 aa 1,4=2 ， aa 4,1=1 或 aa 4,1=2 ，故各数之和 ⩾6+3+3+4+4+1+1=22 ，当 AA 4=�1111122212111212� 时，各数之和取得最小值 22 ． (3)由于 ΓΓ4 数表 AA 10 中共 100 个数字，必然存在 kk ∈{1,2,3,4} ，使得数表中 kk 的个数满足 TT ≥25. 设第 ii 行中 kk 的个数为 rr ii (ii =1,2,⋅⋅⋅,10). 当 rr ii ≥2 时，将横向相邻两个 kk 用从左向右的有向线段连接，则该行有 rr ii −1 条有向线段，所以横向有向线段的起点总数 RR =∑ (rr ii ⩾2rr ii −1)⩾∑ii=110(rr ii −1)=TT −10. 设第 jj 列中 kk 的个数为 cc jj (jj =1,2,⋅⋅⋅ ．当 cc jj ≥2 时，将纵向相邻两个 kk 用从上到下的有向线段连接，则该列有 cc jj −1 条有向线段，所以纵向有向线段的起点总数 CC =∑ (cc jj ⩾2cc jj −1)⩾∑jj=110(cc jj −1)=TT −10.所以 RR +CC ≥2TT −20 ，因为 TT ≥25 ，所以 RR +CC −TT ⩾2TT −20−TT =TT −20>0 ．所以必存在某个 kk 既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点，即存在 1<uu <vv ⩽10,1<pp <qq ⩽10, 使得 aa uu ,pp =aa vv ,pp =aa vv ,qq =kk ，所以 dd (aa uu ,pp ,aa vv ,qq )=|aa uu ,pp −aa vv ,pp |+|aa vv ,pp −aa vv ,qq |=0 ，则命题得证．。

江苏省无锡市2024高三冲刺(高考数学)苏教版质量检测(备考卷)完整试卷

江苏省无锡市2024高三冲刺（高考数学）苏教版质量检测(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知集合，集合是自然数集，则（）A ．B ．C ．D ．第(2)题已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则（）A ．B ．C ．D．3第(3)题已知点G 为三角形ABC 的重心，且，当取最大值时，（）A．B ．C ．D ．第(4)题已知向量，满足，，若，则（）A ．2B ．C ．D ．第(5)题已知集合，，则（）A ．B ．C ．D ．第(6)题下图的框图中，若输入，则输出的的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6第(7)题已知直线与函数的图象恰有两个切点，设满足条件的k 所有可能取值中最大的两个值分别为和，且，则（）A ．B ．C ．D ．第(8)题如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹是（）A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题如图，正方形中，为中点，为线段上的动点，，则下列结论正确的是（）A．当为线段上的中点时，B．的最大值为C．的取值范围为D．的取值范围为第(2)题已知，且，则（）A．B．C．D．第(3)题已知是等差数列，公差，其前n项和为，若成等比数列，，则（）A．B．C．D．当时三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题如图，在边长为4的正三角形，E为边的中点，过E作于D．把沿翻折至的位置，连接．翻折过程中，其中正确的结论是_________①；②存在某个位置，使；③若，则的长是定值；④若，则四面体的体积最大值为第(2)题若一个整数数列的首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1，则我们称这个数列为“好数列”，例如：1，2，2，3，4，3，2，1，1是一个好数列，若一个好数列的各项之和是2021，则这个数列至少有______项.第(3)题已知F是抛物线的焦点，M是抛物线上的点且，，则直线MN的斜率为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知在平面四边形中，，.(1)求的值；(2)记与的面积分别为和，求的最大值.第(2)题已知函数（为自然对数的底数）.(1)若，求实数的值；(2)证明：；(3)对恒成立，求取值范围.第(3)题2022年卡塔尔世界杯（英语：FIFA World Gup Qatar 2022）是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，除此之外，卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行，第二次世界大战后首次由从未进过世界杯的国家举办的世界杯足球赛．为了解某校学生对足球运动的兴趣，随机从该校学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对足球运动没兴趣的占女生人数的，男生有5人表示对足球运动没有兴趣．(1)完成列联表，并回答能否有的把握认为“该校学生对足球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男60女合计(2)从样本中对足球没有兴趣的学生按性别分层抽样的方法抽取出6名学生，若从这6人中随机抽取4人，求抽取到3女1男的概率．，第(4)题在中,角的对边分别为,,,已知.(1)求;(2)若,点在边上且,,求.第(5)题在中，内角所对的边分别为，其中，且．(1)求；(2)求的取值范围．。

江苏省无锡市2024高三冲刺(高考数学)部编版质量检测(备考卷)完整试卷

江苏省无锡市2024高三冲刺（高考数学）部编版质量检测(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，分别是双曲线（，）的左右焦点，若过的直线与圆相切，与在第一象限交于点，且轴，则的离心率为（）A．B．3C．D．第(2)题中，，，则的面积为（）A．B．C．D．2第(3)题某家大型超市近10天的日客流量（单位：千人次）分别为： 2.5、2.8、4.4、3.6.下列图形中不利于描述这些数据的是（）A．散点图B．条形图C．茎叶图D．扇形图第(4)题已知函数，则的图象大致为（）A．B．C．D．第(5)题已知为椭圆和双曲线的公共焦点，P为其一个公共点，且，，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(6)题函数的定义域是，则函数上的定义域是（）A．B．C．D．第(7)题已知是定义在上的偶函数，当时，（其中为的导函数），若，则的解集为（）A．B．C．D．第(8)题已知实数满足，记，则的最大值是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（）A．当时，平面B．任意，三棱锥的体积是定值C．存在，使得与平面所成的角为D．当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为第(2)题设正方体ABCD—的棱长为2，P为底面正方形ABCD内（含边界）的一动点，则（）A．存在点P，使得A1P平面B．当时，|A1P|2的最小值是C．若的面积为1，则动点P的轨迹是抛物线的一部分D ．若三棱锥P—的外接球表面积为，则动点P的轨迹围成图形的面积为π第(3)题在正方体中，点P满足，则（）A．对于任意的正实数，三棱锥的体积始终不变B．对于任意的正实数，都有平面C．存在正实数，使得异面直线与所成的角为D．存在正实数，使得直线与平面所成的角为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知圆：()，直线：与直线垂直，则直线与圆的位置关系为___________.第(2)题已知，则________．第(3)题的展开式中常数项为______．（用数字表示）四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知边长为2的等边（图1），点和点分别是边上的中点，将沿直线折到的位置，使得平面平面，点和点分别是边的中点（图2）.(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积.第(2)题记为数列的前项和，且满足.(1)试问数列是否为等比数列，并说明理由；(2)若，求的通项公式.第(3)题的展开式中各项系数之和为81，求展开式中的系数．第(4)题已知数列满足.（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和.第(5)题在中，，，分别是角，，的对边，且，，．（1）求的大小；（2）若，，求的面积．。

江苏省无锡市2024高三冲刺(高考数学)部编版质量检测(综合卷)完整试卷

江苏省无锡市2024高三冲刺（高考数学）部编版质量检测(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知椭圆，过x轴上一定点N作直线l，交椭圆C于A，B两点，当直线l绕点N任意旋转时，有（其中t为定值），则（）A．B．C．D．第(2)题已知互相垂直的平面交于直线，若直线满足，，则（）A．B．C．D．第(3)题学校运动会上，有，，三位运动员分别参加3000米，1500米和跳高比赛，为了安全起见，班委为这三位运动员分别成立了后勤服务小组，甲和另外四个同学参加后勤服务工作（每个同学只能参加一个后勤服务小组）.若甲在A的后勤服务小组，则这五位同学的分派方案有（）种A．B．C．D．第(4)题现设计一个两邻边的长度分别为的矩形广告牌，其面积为，且，则当该广告牌的周长最小时，（）A．3B．4C．5D．6第(5)题已知双曲线的左、右焦点分别为、，分别是双曲线左、右两支上关于坐标原点对称的两点，且直线的斜率为，分别为、的中点，若原点在以线段为直径的圆上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．第(6)题的外接圆的圆心为，满足且，，，则（）．A．36B．24C．D．第(7)题已知函数，，若对，，使不等式成立，则实数的取值范围为（）.A．B．C．D．第(8)题已知集合，，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知集合，，则下列命题中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则或D．若，则第(2)题对于函数，下列说法正确的是（）A．最大值为1B．最小值为C．最小正周期为D．图像的对称中心为第(3)题设函数的定义域为，满足，且当时，，则（）A．B．若对任意，都有，则的取值范围是C．若方程恰有三个实数根，则的取值范围是D．函数在区间上的最大值为，若存在，使得成立，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题建在水资源不十分充足的地区的火电厂为了节约用水，需建造一个循环冷却水系统（冷却塔），以使水可循环使用．下图是世界最高的电厂冷却塔——中国国家能源集团胜利电厂冷却塔，该冷却塔高225米，创造了“最高冷却塔”的吉尼斯世界纪录．该冷却塔的外形可看作双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图：已知直线，为该双曲线的两条渐近线，，向上的方向所成的角的正切值为，则该双曲线的离心率为______．第(2)题如图，已知圆是圆上两个动点，点，满足，若存在点使，则的取值范围是______________．第(3)题已知实数满足.当时，________；当取到最大值时，_________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题设是数列的前n项和，已知，(1)证明：是等比数列；(2)求满足的所有正整数n.第(2)题已知函数．(1)若，求函数的图象在处的切线方程；(2)若对任意的恒成立，求a的取值范围；(3)求证：，，第(3)题在中，为上一点，，，是线段的延长线上一点．（1）证明：；（2）若，，求．第(4)题高三学生为了迎接高考，要经常进行模拟考试，锻炼应试能力，某学生从升入高三到高考要参加次模拟考试，下面是高三第一学期某学生参加次模拟考试的数学成绩表：模拟考试第次考试成绩分（1）已知该考生的模拟考试成绩与模拟考试的次数满足回归直线方程，若高考看作第次模拟考试，试估计该考生的高考数学成绩；（2）把次模拟考试的成绩单放在五个相同的信封中，从中随机抽取个信封研究成绩，求抽取的个信封中恰有个成绩不等于平均值的概率.参考公式：，.第(5)题如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为边CD的中点，沿AE把折起，使点D到达点P的位置，且．(1)求证：平面；(2)求三棱锥的表面积。

2024届江苏省无锡市四校高三下学期学情调研数学试卷及答案

2023-2024学年春学期期初学情调研试卷高三数学命题人：复核人：注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|22}M x x =-<<，{0,1,2,3}N =，则M N = （）A. {|22}x x -<<B. {01}，C. {012}，，D. {|02}x x <<2．已知a ,b ,c 是空间的一个基底，则可以与向量p =a +b ，q =a−b 构成基底的向量是( )3．若直线l :ax +(1−a)y−3=0与直线l :(a−1)x +(2a +3)y−2=0互相垂直，则a 的值为( )5．如图，一个底面边长为23π3cm 的正四棱柱形状的容器内装有部分水，现将一个底面半径为1cm 的铁制实心圆锥放入容器，圆锥放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm ．若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（）的面积等于( )二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的是( )10．设a 为常数，1(0)2f =，()()()()()f x y f x f a y f y f a x +=-+-，则( )A. 1()2f a =B. 1()2f x =恒成立C. ()2()()f x y f x f y += D. 满足条件的()f x 不止一个11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 上的动点，F 为棱1B B 的中点，则下列选项正确的是()A ．直线11A D 与直线EF 相交B ．当E 为棱BC 上的中点时，则点E 在平面1AD F 的射影是点F C ．不存在点E ，使得直线1AD 与直线EF 所成角为30 D ．三棱锥E ADF -的体积为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．13．若直线()0y kx b b =+<是曲线2e x y -=的切线，也是曲线ln y x =的切线，则b =．14.“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则A ，B 两点间的曼哈顿距离d(A,B)=|x 1−x 2|+|y 1−y 2|.已知M(4,6)，点N 在圆C:x 2+y 2+6x +4y =0上运动，若点P 满足d(M,P)=2，则|PN|的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知该三角形的面积2221()sin 2S b c a A=+-17．（15分）如图，在三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面 ABC,AC ⊥BC,AC =BC =2，CC 1=3，点D, E 分别在棱AA 1和棱 CC 1上，且AD =1 CE =2, M 为棱A 1B 1的中点．（Ⅰ）求证：C 1M ⊥B 1D ；（Ⅱ）求二面角B−B1E−D的正弦值；（Ⅲ）求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值．18．（17分）已知M，N为椭圆C1:x2a2+y2=1(a>0)和双曲线C2:x2a2−y2=1的公共左、右顶点，e1，e2分别为C1和C2的离心率．(1)若e1e2=154．(ⅰ)求C2的渐近线方程;(ⅱ)过点G(4,0)的直线l交C2的右支于A，B两点，直线MA，MB与直线x=1相交于A1，B1两点，记A，B，A1，B1的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，(x4,y4)，求证：1y1+1y2=1y3+1y4;(2)从C2上的动点P(x0,y0)(x0≠±a)引C1的两条切线，经过两个切点的直线与C2的两条渐近线围成三角形的面积为S，试判断S是否为定值?若是，请求出该定值;若不是，请说明理由．19．（17分）已知A m=a1,1a1,2⋯a1,ma2,1a2,2⋯a2,m⋮⋮⋱⋮a m,1a⋯a m,m(m≥2)是m2个正整数组成的m行m列的数表，当1≤i<s≤m,1≤j<t≤m时，记d(a i,j,a s,t)=|a i,j−a s,j|+|a s,j−a s,t|.设n∈N∗，若A m满足如下两个性质：①a i,j∈{1,2,3;⋯,n}(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,m)；②对任意k∈{1,2,3,⋯,n}，存在i∈{1,2,⋯,m},j∈{1,2,⋯,m}使得a i,j=k，则称A m为Γn数表．(1)判断A3=123231312是否为Γ3数表，并求d(a1,1,a2,2)+d(a2,2,a3,3)的值；(2)若Γ2数表A4满足d(a i,j,a i+1,j+1)=1(i=1,2,3;j=1,2,3)，求A4中各数之和的最小值；(3)证明：对任意Γ4数表A10，存在1≤i<s≤10,1≤j<t≤10，使得d(a i,j,a s,t)=0．2023-2024学年春学期期初学情调研试卷参考答案1．B [试题解析]{|22}M x x =-<<，{0,1,2,3}N =，M N = {01}，故选：B 2．D [试题解析]因为a ，p =a +b ，q =a−b ，为共面向量，所以不能构成基底，故A 错误；因为b ，p =a +b ，q =a−b ，为共面向量，所以不能构成基底，故B 错误；因为a +2b ，p =a +b ，q =a−b ，为共面向量，所以不能构成基底，故C 错误；因为a +2c ，p =a +b ，q =a−b ，为不共面向量，所以能构成基底，故D 正确；故选：D3．D [试题解析]∵l 1⊥l 2，∴a(a−1)+(1−a)×(2a +3)=0，即(a−1)(a +3)=0，解得a =1或a =−3.故选：D ．4．B [试题解析]奇数项共有(n +1)项，其和为a 1+a 2n +12⋅(n +1)=2a n +12⋅(n +1)=290，∴(n +1)a n +1=290．偶数项共有n 项，其和为a 2+a 2n2⋅n =2a n +12⋅n =na n +1=261，∴a n +1=290−261=29．故选：B ．5．C [试题解析]依题意可得圆锥的体积V =1×=4π3cm 3，又V =13π×12×ℎ(cm 3)（其中h 为圆锥的高），则ℎ=4cm ，则圆锥的母线长为12+42=17cm ，故圆锥的侧面积为17πcm 3．故选：A ．6．B [试题解析]因为A 在B 的前面出场，且A ，B 都不在3号位置，则情况如下：①A 在1号位置，B 有2,4,5号三种选择，有3A 3＝18；②A 在2号位置，B 有4,5号两种选择，有2A 3＝12种出场次序；③A 在4号位置，B 有5号一种选择，有A 3＝6种出场次序，故不同的出场次序共有18＋12＋6＝36种．故选B.7．A [试题解析]解：由题意，作图如下：设圆I 与x 轴、P F 2、P F 1分别切于点E 、H 、F ，因为双曲线C 的右顶点为A (3,0)，F 1(−5,0)，F 2(5,0)，所以|AF 1|−|AF 2|=(3+5)−(5−3)=6，因为|PF 1|−|PF 2|=6，所以|PF 1|−|PF 2|=(|PF |+|FF 1|)−(|PH |+|HF 2|)=|FF 1|−|HF 2|=|F 1E |−|EF 2|=6，因此切点E 与A 重合．又因为内切圆I 的半径为1，所以I (3,1)，又F 1(−5,0)，F 2(5,0)，|IF 1|= 65,|IF 2|= 5,cos ∠F 1IF 2=65+5−1002 65× 5=−313,所以tan ∠F 1IF 2=−23,解得tan∠F 1PF 22=32,所以S △F 1PF 2=b 2tan ∠F 1PF 22=323，所以△PF 1F 2面积为323．8．C [试题解析]解：在同一坐标系中作y =f(x)，y =12的图象，若由图象观察可知，0<x 1<1<x 2<2<x 3<3<x 4<4，当f(f(x))=12时，由f(x)=x 1，0<x 1<1存在4个不同根，f(x)=x 2，1<x 2<2存在2f(x)=x 3，2<x 3<3存在2个不根，f(x)=x 4，3<x 4<4，存在2个不根，综上f(f(x))=12的实根个数为10．9．ACD [试题解析]A ：由asin A =bsin B =csin C ，根据等比的性质有bsin B =a +b +csin A +sin B +sin C ，正确；B ：当A =π3,B =π6时，有sin 2A =sin 2B ，错误；C ：sin B cos C +sin C cos B =sin (B +C)，而B +C =π−A ，即sin B cos C +sin C cos B =sin A ，由正弦定理易得a =b cos C +c cos B ，正确；D ：如图，AE AB |AB |,AF AC |AC |是单位向量，则AB |AB |AC |AC |=AE +AF =AG ，即AG ⋅BC =0、AE ⋅AF =12，则AG ⊥BC 且AG 平分∠BAC ，AE ,AF 的夹角为π3，易知△ABC 为等边三角形，正确.故选：ACD10．ABC [试题解析]令0x y ==，可得(0)2(0)()f f f a =，因为1(0)2f =，所以1().2f a A =正确.令0y =，可得()()()(0)()f x f x f a f f a x =+-，代入1()2f a =，1(0)2f =，可得()().f a x f x -=同理，令0x =，可得()(0)()()()f y f f a y f y f a =-+，代入1()2f a =，1(0)2f =，可得()().f a y f y -=即原等式变形为()2()()f x y f x f y +=，C 正确.令y x =可得2(2)2[()]0f x f x =…，即函数取值非负.令y a x =-可得2()2[()]f a f x =，即21[()]4f x =，解得1()2f x =，B 正确.因此仅有一个函数关系式1()2f x =满足条件，故D 错误.故选ABC 11．CD [试题解析【详解】A ：由题意知，1111//A D B C ，11B C ⊂平面11B C CB ，11A D ⊄平面11B C CB 所以11//A D 平面11B C CB ，又EF ⊂平面11B C CB ，所以11A D 与EF 不相交，故A 错误；B ：连接111AD D F AF AE CB 、、、、，如图，当点E 为BC 的中点时，1//EF CB ，又11AD CB ⊥，所以1EF AD ⊥，若点E 在平面1AD F 的射影为F ，则EF ⊥平面1AD F ，垂足为F ，所以EF AF ⊥，设正方体的棱长为2，则AE AF EF ===在AEF 中，222AF EF AE +≠，所以90AFE ︒∠≠，即EF AF ⊥不成立，故B 错误；C ：建立如图空间直角坐标系D xyz -，连接1BC ，则11//AD BC ，所以异面直线EF 与1AD 所成角为直线EF 与1BC 所成角，设正方体的棱长为2，若存在点(,2,0)(02)E a a ≤≤使得EF 与1BC 所成角为30︒，则1(2,2,0)(2,2,1)(0,2,2)B F C ，，，所以1(2,0,1)(2,0,2)EF a BC =-=-，，所以122EF BC a ⋅=- ，又11cos30EF BC EF BC ︒⋅= ，得22a -=，解得4a =±，符合题意，故不存在点E 使得EF 与1AD 所成角为30︒，故C 错误；D ：如图，由等体积法可知E ADF F ADE V V --=，又111332F ADE ADE V S BF AD AB BF -=⋅=⨯⨯⨯⨯ ，AD AB BF 、、为定值，所以F ADE V -为定值，所以三棱锥E ADF -的体积为定值，故D 正确.故选：C D .12．−429[试题解析]因为sinα−=13，α∈(0,π)，α−π6∈−π6又因为sinα−=13<sin5π6=12，所以α−π6∈0,所以cos22 3,所以sin2=2sinα−α−=429,cos2α=cos2α−+=cos2α−=−sin2α−=−429. 故答案为：−429.解：由题意得，圆C:(x+3)2+(y+2)2=13，圆心C(−3,−2)设点P(x0,y0)，则|x0−4|+|y0−6|=2，故点P的轨迹为如下所示的正方形，其中A(4,8)，B(6,6)，则|AC|=149，|BC|=145，则|PN|≤|AC|+r=149+13，，即17．（15分）解：依题意，以C为原点，分别以CA、CB、CC1的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得C(0,0,0)、A(2,0,0)、B(0,2,0)、C1(0,0,3)、A1(2,0,3)、B1(0,2,3)、D(2,0,1)、E(0,0,2)、M(1,1,3).（Ⅰ）依题意，CM=(1,1,0)，B1D=(2,−2,−2)，1从而C 1M ⋅B 1D =2−2+0=0，所以C 1M ⊥B 1D ；（Ⅱ）依题意，CA =(2,0,0)是平面BB 1E 的一个法向量，EB 1=(0,2,1)，ED =(2,0,−1)．设n =(x,y,z)为平面DB 1E 的法向量，则{n ⋅EB 1=0n ⋅ED =0，即{2y +z =02x−z =0，不妨设x =1，可得n =(1,−1,2)．cos <CA ,n CA n 22×6=66，∴sin <CA ,n =306．所以，二面角B−B 1E−D 的正弦值为306；（Ⅲ）依题意，AB =(−2,2,0)．由（Ⅱ）知n =(1,−1,2)为平面DB 1E 的一个法向量，于是cos <AB ,n >=AB n=−422×6=−33．所以，直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值为33.18．（17分）解：(1)由题意得e 1=a 2−1a，e 2=a 2+1a，所以e 1e 2=a 4−1a 2=154，又a >0，解得a 2=4，(i)故双曲线C 2的渐近线方程为y =±2x ；(ii)设直线AB 的方程为x =ty +4，ty +4,y 2=1,消元得：(t 2−4)y 2+8ty +12=0，Δ>0且t ≠±2，所以y 1+y 2=−8tt 2−4,y 1y 2=12t 2−4,故1y 1+1y 2=y 1+y 2y 1y 2=−2t3，又直线A A 1的方程为y =y 1x 1+2(x +2)，所以y 3=3y 1x 1+2，同理y 4=3y 2x 2+2，所以1y 3+1y 4=13(x 1+2y 1+x 2+2y 2)=13(ty 1+6y 1+ty 2+6y 2)=2ty 1y 2+6(y 1+y 2)3y 1y 2=23t +2(y 1+y 2)y 1y 2=23t +2(1y 1+1y 2)=23t−43t =−23t ，故1y 1+1y 2=1y 3+1y 4．(2)设两个切点为P 1(x 5,y 5)，P 2(x 6,y 6)，由题意知P P 1，P P 2斜率存在，直线P P 1方程为l 1:y =k 1(x−x 5)+y 5，y 2=1,k 1(x−x 5)+y 5,由Δ=0得k 1=−x 5a 2y 5，所以l 1:x 5x a 2+y 5y =1，同理直线P P 2方程为l 2:x 6x a 2+y 6y =1，由l 1，l 2过P +y 5y 0=1,+y 6y 0=1可得直线P 1P 2的方程为x 0x a 2+y 0y =1，不妨设，直线P 1P 2与双曲线两渐近线y =±1a x 交于两点P 1′(a 2x 0+ay 0,a x 0+ay 0)，P 2′(a 2x 0−ay 0,−a x 0−ay 0)，则围成三角形的面积S =12|a 2x 0+ay 0⋅−a x 0−ay 0−a x 0+ay 0⋅a 2x 0−ay 0|=|a 3x 20−a 2y 20|.因P 在双曲线C 2上，x 20−a 2y 20=a 2，则S =a 3a 2=a 为定值．19．（17分）解：(1) A 3=123231312是 Γ3 数表，d(a 1,1,a 2,2)+d(a 2,2,a 3,3)=2+3=5.(2)由题可知 d(a i,j ,a i+1,j+1)=|a i,j −a i+1,j |+|a i+1,j −a i+1,j+1|=1 (i =1,2,3;j =1,2,3) ．当 a i+1,j =1 时，有 d(a i,j ,a i+1,j+1)=|a i,j −1|+|a i+1,j+1−1|=1 ，所以 a i,j +a i+1,j+1=3 ．当 a i+1,j =2 时，有 d(a i,j ,a i+1,j+1)=|a i,j −2|+|a i+1,j+1−2|=1 ，所以 a i,j +a i+1,j+1=3 ．所以a i,j+a i+1,j+1=3(i=1,2,3;j=1,2,3).所以a1,1+a2,2+a3,3+a4,4=3+3=6, a1,3+a2,4=3,a3,1+a4,2=3. a1,2+a2,3+a3,4=3+1=4 或者a1,2+a2,3+a3,4=3+2=5 ，a2,1+a3,2+a4,3=3+1=4 或者a2,1+a3,2+a4,3=3+2=5 ，a1,4=1 或a1,4=2 ，a4,1=1 或a4,1=2 ，故各数之和⩾6+3+3+4+4+1+1=22 ，当A4=1111122212111212时，各数之和取得最小值 22 ．(3)由于Γ4数表A10中共 100 个数字，必然存在 k∈{1,2,3,4}，使得数表中 k 的个数满足 T≥25.设第 i 行中 k 的个数为r i(i=1,2,⋅⋅⋅,10).当r i≥2 时，将横向相邻两个 k 用从左向右的有向线段连接，则该行有r i−1条有向线段，所以横向有向线段的起点总数 R=∑r i⩾2(r i−1)⩾i=1∑10(r i−1)=T−10.设第 j 列中 k 的个数为c j(j=1,2,⋅⋅⋅,10) ．当c j≥2 时，将纵向相邻两个 k 用从上到下的有向线段连接，则该列有c j−1条有向线段，所以纵向有向线段的起点总数 C=∑c j⩾2(c j −1)⩾j=1∑10(c j−1)=T−10.所以 R+C≥2T−20，因为 T≥25 ，所以 R+C−T⩾2T−20−T=T−20>0 ．所以必存在某个 k 既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点，即存在 1<u<v⩽10,1<p<q⩽10,使得a u,p=a v,p=a v,q=k ，所以 d(a u,p,a v,q)=|a u,p−a v,p|+|a v,p−a v,q|=0 ，则命题得证．。

江苏省无锡市四校2023-2024学年高三上学期12月学情调研试题数学含答案

2023-2024学年度12月学情调研试卷高三数学（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}24A x x =≤，{}2log B x y x ==，则A B = （）A.[]22-,B.[]0,2 C.(]0,2 D.[)2,+∞2.已知复数z 满足()1i 22i z +=-（i 是虚数单位），则z 的虚部为（）A.2B.2i- C.2- D.2i 3.设平面向量a ，b 均为单位向量，则“2=2+a b a b - ”是“a b ⊥”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.北京时间2020年11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射.嫦娥五号是我国探月工程“绕、落、回”三步走的收官之战，经历发射入轨、地月转移、近月制动等11个关键阶段.在经过交会对接与样品转移阶段后，若嫦娥五号返回器在近月点（离月面最近的点）约为200公里，远月点（离月面最远的点）约为8600公里，以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为1740公里，则此椭圆轨道的离心率约为（）A.0.48B.0.32C.0.82D.0.685.两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为1:2，则它们的体积比是（）A.1:B.1:C.2:D.26.等差数列{}n a 各项均为正数，首项与公差相等，151k ==，则2023a 的值为（）A.6069B.6079C.6089D.60997.已知函数)()ln2f x x =+，正实数,a b 满足(2)(2)4f a f b +-=，则21a b+的最小值为（）A .5B.92C.4D.98.已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数()()2e x f x f x =-，当0x <时，()()0f x f x '->，若()ln 22f a =，()e 1b f =-，15ln 5c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（）A.a c b>> B.c b a>> C.c a b>> D.a b c>>二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分．9.若a b <且0ab ≠，则下列结论成立的是（）A.11a b> B.33a b < C.a a b b< D.23a b<10.函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则（）A.2ω=B.6πϕ=C.对任意的x 都有()512f x f π⎛⎫≥⎪⎝⎭D.()f x 在区间[],ππ-上的零点之和为3π11.已知()11,A x y ，()22,B x y 是圆O ：221x y +=上两点，则下列结论正确的是（）A.若点O 到直线AB 的距离为12，则||AB =B.若AOB 的面积为4，则π3AOB ∠=C.若121212x x y y +=，则点O 到直线AB 的距离为2D.111x y +-1112.在正四棱锥P ABCD -中，AB =，PA =，点Q 满足PQ PA x AB y AD =++，其中[]0,1x ∈，[]0,1y ∈，则下列结论正确的有（）A.PQB.当1x =时，三棱锥P ADQ -的体积为定值C.当x y =时，PB 与PQ 所成角可能为π6D.当1x y +=时，AB 与平面PAQ 所成角正弦值的最大值为6三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若命题“[]21,3,10x x ax ∃∈++>”是假命题，则实数a 的最大值为______．14.已知向量2a = ，b 在a 方向上的投影向量为3a - ，则a b ⋅=_______.15.如图，“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形生成的.将等边三角形每条边三等分，以每条边三等分的中间部分为边向外作正三角形，再将每条边的中间部分去掉，这称为“一次分形”；再用同样的方法将所得图形中的每条线段重复上述操作，这称为“二次分形”；L .依次进行“n 次分形”（*N n ∈）.规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度.若将边长为1的正三角形“n 次分形”后所得分形图的长度不小于120，则n 的最小值是______.（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈）16.已知函数()32ln ,12,1x x f x x x x ≥⎧=⎨-+<⎩，令()()g x f x kx =-，当2e k =-时，有()00g x =，则0x =______；若函数()g x 恰好有4个零点，则实数k 的取值范围为_________.四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.在ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠的对边别为a ，b ，c ，若cos sin 0a C C b c +--=.（1）求角A ；（2）若4b c +=，4ABC S =△，求a .18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221nn n S a +=+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列()()1*132N n n n na n +⎧⎫+-⋅∈⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，AB BC ⊥．点M 在棱PB 上，2PM MB =，点N 在棱PC 上，223PA AB AD BC ====．（1）若2CN NP =，Q 为PD 的中点，求证：//NQ 平面PAB ；（2）若直线PA 与平面AMN 所成角的正弦值为23，求PN PC的值．20.如图，半径为1的光滑圆形轨道圆1O 、圆2O 外切于点M ，点H 是直线12O O 与圆2O 的交点，在圆形轨道1O 、圆2O 上各有一个运动质点P ，Q 同时分别从点M 、H 开始逆时针绕轨道做匀速圆周运动，点P ，Q 运动的角速度之比为2：1，设点Q 转动的角度为θ，以1O 为原点，12O O 为x 轴建立平面直角坐标系．（1）若θ为锐角且πsin 410θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求P 、Q 的坐标；（2）求PQ 的最大值．21.已知椭圆222:1(1)x C y a a +=>的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆22:6270M x y x y +--+=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）若不过点A 的动直线l 与椭圆相交于P ，Q 两点，若2AP AQ k k =+，求证：直线l 过定点，并求出该定点坐标.22.已知函数()222ln f x ax x x =--.（1）若()f x 在定义域内单调，求实数a 的取值范围；（2）若52a ≤，m ，n 分别为()f x 的极大值和极小值，求m n -的取值范围.2023-2024学年度12月学情调研试卷高三数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}24A x x =≤，{}2log B x y x ==，则A B = （）A.[]22-,B.[]0,2 C.(]0,2 D.[)2,+∞【答案】C 【解析】【分析】解二次不等式和对数函数的性质化简集合,A B ,再取交集即可得解.【详解】由24x ≤，可得22x -≤≤，所以{}[]242,2A x x =≤=-，由对数函数的性质得{}()2log 0,B x y x ∞===+，则(0,2]A B ⋂=.故选：C.2.已知复数z 满足()1i 22i z +=-（i 是虚数单位），则z 的虚部为（）A.2B.2i- C.2- D.2i【答案】A 【解析】【分析】利用复数的四则运算求得z ，进而求得z ，由此得解.【详解】因为()1i 22i z +=-，所以()()()()21i 1i 22i 2i 1i 1i 1i z ---===-++-，则2i z =，所以z 的虚部为2.故选：A.3.设平面向量a ，b 均为单位向量，则“2=2+a b a b - ”是“a b ⊥”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】将2=2+a b a b - 两边平方，化简后即可得a b ⊥，由此即可选出答案.【详解】因为2=2+a b a b -⇔ 22224+4=4+4+a a b b a a b b-⋅⋅ =0a b ⇔⋅ a b⇔⊥ ，所以“2=2+a b a b - ”是“a b ⊥”的充分必要条件，故选：C .4.北京时间2020年11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射.嫦娥五号是我国探月工程“绕、落、回”三步走的收官之战，经历发射入轨、地月转移、近月制动等11个关键阶段.在经过交会对接与样品转移阶段后，若嫦娥五号返回器在近月点（离月面最近的点）约为200公里，远月点（离月面最远的点）约为8600公里，以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为1740公里，则此椭圆轨道的离心率约为（）A.0.48B.0.32C.0.82D.0.68【答案】D 【解析】【分析】根据题意直接求解出椭圆的实半轴长和半焦距，进而求解.【详解】由题意可知椭圆实轴长220086002174012280a =++⨯=，所以6140a =，焦距22(2001740)21228038808400c a =-+⨯=-=，所以4200c =，所以椭圆的离心率42000.686140c e a ==≈，故选：D.5.两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为1:2，则它们的体积比是（）A.1:B.1:C.2:D.2【答案】A 【解析】【分析】设圆锥母线长为l ，小圆锥半径为r 、高为h ，大圆锥半径为R ，高为H ，根据侧面积之比可得2R r =，再由圆锥侧面展开扇形圆心角的公式得到3l r =，利用勾股定理得到,h H 关于r 的表达式，从而将两个圆锥的体积都表示成r 的表达式，求出它们的比值即可.【详解】设圆锥母线长为l ，侧面积较小的圆锥半径为r ，侧面积较大的圆锥半径为R ，它们的高分别为h 、H ，则π:(π)=1:2rl Rl ，得2R r =，因为两圆锥的侧面展开图恰好拼成一个圆，所以+2π=×2πr Rl，得3l r =，再由勾股定理，得h ==，同理可得H ==，所以两个圆锥的体积之比为：2211π:π433r r ⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.6.等差数列{}n a各项均为正数，首项与公差相等，151k ==，则2023a 的值为（）A.6069B.6079C.6089D.6099【答案】A 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，结合等差数列的通项公式，利用裂项相消法化简方程求出d ，由此得解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为()0d d >，因为首项1a 与公差d 相等，所以()11n n d d a n a =+-=，11k k d +==，151k ==所以15111k dd d====，所以3d =，所以20232023202336069a d =⨯=⨯=，故选：A ．7.已知函数)()ln 2f x x =+，正实数,a b 满足(2)(2)4f a f b +-=，则21a b+的最小值为（）A.5B.92C.4D.9【答案】B 【解析】【分析】先判断函数的对称性与单调性，从而得到22a b +=，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】因为)()ln2f x x =+，所以()()))ln2ln24f x f x x x +-=++-+=，故函数()f x 关于()0,2对称；又()f x 的定义域为R ，())ln2f x x =++，所以由复合函数的单调性可判断()f x 在R 上单调递增；又(2)(2)4f a f b +-=，所以220a b +-=，即22a b +=，又0,0a b >>，故()211221212252b a a b a b a b a b =⎪⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭=19522⎛≥+= ⎝，当且仅当22b a a b =，即23a b ==时，等号成立.所以21a b +的最小值为92.故选：B.8.已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数()()2e x f x f x =-，当0x <时，()()0f x f x '->，若()ln 22f a =，()e 1b f =-，15ln 5c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（）A.a c b >>B.c b a>> C.c a b>> D.a b c>>【答案】B 【解析】【分析】构造函数()()ex f x g x =，研究()g x 的奇偶性、单调性，从而比较大小得解.【详解】令()()ex f x g x =，因为0x <时，()()0f x f x '->，所以当0x <时，()()()0exf x f xg x '-'=<，则()g x 在(,0)-∞上单调递减，因为()()e x f x g x =的定义域为R ，又()()2e xf x f x =-，则()()e ex x f x f x --=，所以()()(()e)e xx g f x f x x g x ---===，所以()g x 为偶函数，故()g x 在(0,)+∞上单调递增，又()()ln 2ln 22f ag ==，()()()e 111b f g g =-=-=，()()115ln ln ln 5ln 555c f g g g ⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而ln 51ln 2>>，所以()()()ln 51ln 2g g g >>，即c b a >>.故选：B.【点睛】关键点睛：本题的解决关键是观察条件，构造出()()ex f x g x =，从而得解.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分．9.若a b <且0ab ≠，则下列结论成立的是（）A.11a b> B.33a b < C.a a b b< D.23a b<【答案】BC 【解析】【分析】举例说明判断AD ；利用不等式性质推理判断BC.【详解】对于A ，取1,1a b =-=，满足a b <，此时1111a b=-<=，A 错误；对于B ，a b <，由不等式性质知，33a b <成立，B 正确；对于C ，当0a b <<时，0a a b b <<，当0a b <<，0||||a b <<，则a a b b <，当0a b <<时，0a b ->->，||||0a b >>，则||||0a a b b ->->，于是a a b b <，因此若a b <且0ab ≠，则a a b b <成立，C 正确；对于D ，取3,2a b =-=-，满足a b <，而112389ab =>=，D 错误.故选：BC10.函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则（）A.2ω=B.6πϕ=C.对任意的x 都有()512f x f π⎛⎫≥⎪⎝⎭D.()f x 在区间[],ππ-上的零点之和为3π【答案】AB 【解析】【分析】利用图象求得函数()f x 的解析式，可判断AB 选项的正误；计算512f π⎛⎫⎪⎝⎭的值，可判断C 选项的正误；利用正弦型函数的对称性可判断D 选项的正误.【详解】由题图可知函数()f x 的最小正周期为4113126T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则22πωπ==，所以，()()sin 2f x x ϕ=+，把,16π⎛⎫⎪⎝⎭代入得1sin 3πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()232k k Z ππϕπ+=+∈，得()26k k Z πϕπ=+∈，2πϕ< ，6πϕ∴=，则AB 选项均正确；()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，当512x π=时，()0f x =，不满足对任意的x 都有()512f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，C 错误；[],x ππ∈- ，11132,666x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦，则()f x 共有4个零点，不妨设为a 、b 、c 、d ，且a b c d <<<，则222662a b πππ⎛⎫+++=⨯- ⎪⎝⎭，3222662c d πππ+++=⨯，两式相加，整理得422223a b c d π+++=，故()f x 的所有零点之和为23a b c d π+++=，D 错误，故选：AB.11.已知()11,A x y ，()22,B x y 是圆O ：221x y +=上两点，则下列结论正确的是（）A.若点O 到直线AB 的距离为12，则||AB =B.若AOB 的面积为4，则π3AOB ∠=C.若121212x x y y +=，则点O 到直线AB 的距离为32D.111x y +-11【答案】AC 【解析】【分析】利用弦长公式判定选项A 正确；先利用三角形的面积公式求出3sin 2AOB ∠=，再结合角的范围判定选项B 错误；利用数量积的计算公式求出1cos 2AOB ∠=，进而判定三角形的形状判定选项C 正确；设1cos x θ=，1sin y θ=，且02π≤≤θ，利用辅助角公式和三角函数的性质判定选项D 错误.【详解】对于A ：易知圆O ：221x y +=的半径1r =，因为点O 到直线AB 的距离12d =，所以||AB ==即选项A 正确；对于B ：因为AOB 的面积为4，所以1||||sin 24OA OB AOB ∠=，即1sin 24AOB ∠=，解得sin 2AOB ∠=，因为0πAOB <∠<，所以π3AOB ∠=或2π3AOB ∠=，即选项B 错误；对于C ：因为121212x x y y +=，所以12OA OB ⋅= ，即1||||cos 2OA OB AOB ⋅∠= ，即1cos 2AOB ∠=，因为0πAOB <∠<，所以π3AOB ∠=，即AOB 是边长为1的等边三角形，所以点O 到直线AB 的距离为2，即选项C 正确；对于D ：由题意设1cos x θ=，1sin y θ=，且02π≤≤θ，则11π1cos sin 114x y θθθ⎛⎫+-=+-=+- ⎪⎝⎭因为02π≤≤θ，所以ππ9π444θ≤+≤，则π1sin()14θ-≤+≤，π)4θ≤+≤π1114θ-≤+-≤-，所以π0|1|14θ≤+-≤+，即110|1|1x y ≤+-≤，即选项D 错误.故选：AC.12.在正四棱锥P ABCD -中，AB =，PA =，点Q 满足PQ PA x AB y AD =++，其中[]0,1x ∈，[]0,1y ∈，则下列结论正确的有（）A.PQ的B.当1x =时，三棱锥P ADQ -的体积为定值C.当x y =时，PB 与PQ 所成角可能为π6D.当1x y +=时，AB 与平面PAQ 所成角正弦值的最大值为306【答案】ABD 【解析】【分析】根据向量关系可得Q 为正方形ABCD 内的点(包括边界)，设AC BD O = ，根据正棱锥的性质结合条件可得PQ PO ≥判断A ，根据棱锥的体积公式结合条件可判断B ，根据线面角的求法结合条件可判断C ，利用坐标法表示出线面角，然后利用导数求最值可判断D.【详解】由PQ PA x AB y AD =++ ，可得PQ PA AQ x AB y AD -==+，其中[]0,1x ∈，[]0,1y ∈，所以Q 为正方形ABCD 内的点(包括边界)，在正四棱锥P ABCD -中，AB =，PA =，设AC BD O = ，连接PO ，则PO ⊥平面ABCD ，1,OA OB PO ===，对A ，由题可知PQ PO ≥=，当,Q O 重合时取等号，故A 正确；对B ，当1x =时，AQ AB y AD =+ ，即BQ y AD =，故Q 在线段BC 上，因为//AD BC ，所以三角形ADQ 的面积为定值，而三棱锥P ADQ -的高PO 为定值，故三棱锥P ADQ -的体积为定值，故B 正确；对C ，当x y =时，()AQ x AB AD xAC =+=，故Q 在线段AC 上，由题可知,,,,PO OB OB OA PO OA O PO OA ⊥⊥⋂=⊂平面PAC ，故OB ⊥平面PAC ，所以PO 为PB 在平面PAC 内的射影，BPQ BPO ∠≥∠，而在Rt POB △中，tan23BPO ∠==>，所以π6BPO ∠>，π6BPQ ∠>，故PB 与PQ 所成角不可能为π6，故C 错误；对D ，当1x y +=时，AQ x AB y AD =+，故Q 在线段BD 上，如图以O 为原点建立空间直角坐标系，设()()0,,011Q t t -≤≤，则()()(1,0,0,0,1,0,0,0,2A B P ，所以()(()1,1,0,1,0,2,1,,0AB AP AQ t =-=-=-，设平面PAQ 的法向量为(),,m a b c =，则20m AP a c m AQ a tb ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令2b =，则)22,m t t =，设AB 与平面PAQ 所成角为α，所以()222221sin 32232t t AB mt AB mt α--⋅===+⋅⋅+ ，设()()22132t f t t -=+，[]1,1t ∈-，则()()()()()()()()2222222132611643232t t t t t t f t tt-+---+==++'，所以当21,3t ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭时，()()0,f t f t '>单调递增，当2,13t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()0,f t f t '<单调递减，所以()22max21253362323f t f ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=-== ⎪⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，530sin 66α≤=，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据向量关系结合条件得到点Q 的位置，然后结合条件利用立体几何知识解决即得.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若命题“[]21,3,10x x ax ∃∈++>”是假命题，则实数a 的最大值为______．【答案】103-【解析】【分析】由命题的否定转化为恒成立问题，利用二次函数的性质即可求解.【详解】由题知命题的否定“2[1,3],x x ∀∈+10ax +≤”是真命题．令2()1([1,f x x ax x =++∈3])，则()()120,33100,f a f a ⎧=+≤⎪⎨=+≤⎪⎩解得103a ≤-，故实数a 的最大值为10.3-故答案为：10.3-14.已知向量2a = ，b 在a 方向上的投影向量为3a - ，则a b ⋅=_______.【答案】12-【解析】【分析】利用投影向量公式即可得解.【详解】因为b 在a方向上的投影向量为3a - ，2a = ，所以3b a a a a a ⋅⋅=- ，即34b a a a ⋅⋅=- ，所以12a b ⋅=- .故答案为：12-.15.如图，“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形生成的.将等边三角形每条边三等分，以每条边三等分的中间部分为边向外作正三角形，再将每条边的中间部分去掉，这称为“一次分形”；再用同样的方法将所得图形中的每条线段重复上述操作，这称为“二次分形”；L .依次进行“n 次分形”（*N n ∈）.规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度.若将边长为1的正三角形“n 次分形”后所得分形图的长度不小于120，则n 的最小值是______.（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈）【答案】13【解析】【分析】依题意可得“每次分形”图的长度可看成是首项为4，公比为43的等比数列，从而可得到“n 次分形”图的长度为1443n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，列出不等式，结合*n ∈N ，即可求解．【详解】依题意可得“n 次分形”图的长度是“n 1-次分形”图的长度的43，由“一次分形”图的长度为14343⨯⨯=，所以“每次分形”图的长度可看成是首项为4，公比为43的等比数列，所以“n 次分形”图的长度为1443n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，故1441203n -⎛⎫⨯≥ ⎪⎝⎭，即14303n -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，两边取对数得()()12lg 2lg 31lg 3n --≥+，所以1lg 310.4771111.82lg 2lg 320.3010.4771n ++-≥≈≈-⨯-，则12.8n ≥，又*n ∈N ，故n 的最小整数值是13．故答案为：13．16.已知函数()32ln ,12,1x x f x x x x ≥⎧=⎨-+<⎩，令()()g x f x kx =-，当2e k =-时，有()00g x =，则0x =______；若函数()g x 恰好有4个零点，则实数k 的取值范围为_________.【答案】①.0或②.20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】分1x ≥和1x <两种情况，结合导函数判断出函数单调性，求出零点；先得到0为()g x 的一个零点，再参变分离，构造()[)()()22ln ,1,2,,00,1xx t x x x x ∞∞⎧∈+⎪=⎨⎪-+∈-⋃⎩，只需()k t x =有3个零点，画出()t x 的图象，数形结合得到答案.【详解】当2e k =-时，()00g x =，即()200e 0f x x +=，当1x ≥时，2002ln e 0x x +=，令()22ln e h x x x =+，1x ≥，()22e 0h x x'=+>在[)1,+∞上恒成立，故()22ln e h x x x =+在[)1,+∞上单调递增，又()21e 0h =>，故()22ln e 0h x x x =+>在[)1,+∞恒成立，无解，当1x <时，320002e 0x x x -++=，即()22002e 0x x-++=，故00x =或2202e 0x -++=，解得00x =或，1>舍去，其余两个满足要求，当0x =时，302000k -+⨯-⋅=，故0为()g x 的一个零点，当0x ≠时，令()0g x =，当1x ≥时，2ln xk x=，当()(),00,1x ∈-∞ 时，22x k -+=，令()[)()()22ln ,1,2,,00,1xx t x x x x ∞∞⎧∈+⎪=⎨⎪-+∈-⋃⎩，当1x ≥时，()222ln xt x x-'=，当e x >时，()0t x '<，()t x 单调递减，当1x e ≤<时，()0t x '>，()t x 单调递增，故()t x 在e x =时取得极大值，也是最大值，且()2e et =，且当1x >时，()0t x >恒成立，画出其图象如下，要想()k t x =有3个不同的零点，只需20ek <<；故答案为：0或；20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.在ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠的对边别为a ，b ，c ，若cos sin 0a C C b c +--=.（1）求角A ；（2）若4b c +=，4ABC S =△，求a .【答案】（1）π3A =（2）a =【解析】【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式、辅助角公式化简即可得解；（2）根据三角形的面积公式及余弦定理即可得解.【小问1详解】因为cos sin 0a C Cbc +--=由正弦定理得：sin cos sin sin sin A C A C B C =+即()sin cos sin sin sin A C A C A C C +=++，所以sin cos sin sin cos cos sin sin A C A C A C A C C +=++cos 1A A -=，故π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由A 为三角形内角可得ππ66A -=，π3A ∴=.【小问2详解】1333sin 244ABC S bc A ===△，3bc ∴=，由余弦定理()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，又4b c +=，代入得a =.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221nn n S a +=+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列()()1*132N n n n na n +⎧⎫+-⋅∈⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）12n n a n -=⋅（2）()231311444n nT n n ⎡⎤--⎣⎦=++【解析】【分析】（1）由,n n S a 关系消n S 得递推关系，再构造等差数列求通项；（2）由等差与等比数列特点分组求和.【小问1详解】由221nn n S a +=+①当1n =时，11221S a +=+，所以11a =当2n ≥时，111221n n n S a ---+=+②①②式相减得11221n n n a a --+=+，即1122n n n a a ---=两边同除以2n 得，111222n n nn a a ---=，又1122a =，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公差的等差数列，11(1)2222n n a n n ∴=+-=，则12n n a n -=⋅【小问2详解】22n n a n =，可知数列2n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公差的等差数列，可知数列(){}113n n +-⋅是以3为首项，3-为公比的等比数列，()()1131392713222n n n n T +⎛⎫⎡⎤=++++++-++-⋅ ⎪⎣⎦⎝⎭()13132221(3)n n n ⎛⎫+⎡⎤ ⎪--⎝⎭⎣⎦=+--()231311444n n n ⎡⎤--⎣⎦=++19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，AB BC ⊥．点M 在棱PB 上，2PM MB =，点N 在棱PC 上，223PA AB AD BC ====．（1）若2CN NP =，Q 为PD 的中点，求证：//NQ 平面PAB ；（2）若直线PA 与平面AMN 所成角的正弦值为23，求PN PC的值．【答案】（1）证明见解析（2）13PN PC =【解析】【分析】（1）根据相似可得线线平行，即可由线面平行的判定求解，（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角，即可求解.【小问1详解】证明：过M 作BC 的平行线交PC 于H ，连接HD ，∴PM PH MH PB PC BC ==，又2PM MB = ，∴23PH PC =，13HC PC ∴=，又2CN NP =，NH PN HC ∴==，N ∴为PH 的中点，又Q 为PD 的中点，//NQ HD ∴，又223MH BC ==，又2AD =，//AD BC ，//AD MH ∴，且AD MH =，∴四边形MHDA 是平行四边形，//HD MA ∴，//NQ AM ∴，NQ ∴⊄平面PAB ，AM ⊂平面PAB ，//NQ ∴平面PAB【小问2详解】以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0A ，0，0)，4(3M ，0，2)3，(0P ，0，2)．(2C ，3，0)，∴4(3AM = ，0，23，(0AP = ，0，2).(2PC = ，3，2)-，∴设(2PN PC λλ== ，3λ，)2)(01λλ-≤≤，∴(0AN AP PN =+= ，0，2)(2λ+，3λ，2)λ-，=(2,3λλ，22)λ-设平面AMN 的一个法向量为(n x = ，y ，)z ，则4203323(22)0n AM x z n AN x y z λλλ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=++-=⎩ ，令1x =，则2z =-，463y λλ-=，∴平面AMN 的一个法向量为(1n = ，463λλ-，2)-，设直线PA 与平面AMN 所成角为θ，sin |cos AP θ∴=<，2|||3||||AP n n AP n ⋅>==⋅ ，则13λ=13PN PC ∴=20.如图，半径为1的光滑圆形轨道圆1O 、圆2O 外切于点M ，点H 是直线12O O 与圆2O 的交点，在圆形轨道1O 、圆2O 上各有一个运动质点P ，Q 同时分别从点M 、H 开始逆时针绕轨道做匀速圆周运动，点P ，Q 运动的角速度之比为2：1，设点Q 转动的角度为θ，以1O 为原点，12O O 为x 轴建立平面直角坐标系．（1）若θ为锐角且π2sin 410θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求P 、Q 的坐标；（2）求PQ 的最大值．【答案】（1）724,2525P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；134,55Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）924【解析】【分析】（1）由已知条件求出πcos 4θ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则利用正弦的两角和公式可求出ππsin sin 44θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，从而可得cos θ，sin 2,cos 2θθ的值，进而可求得P 、Q 的坐标；（2）根据题意得()cos 2,sin 2P θθ，()2cos ,sin Q θθ+，则()()222cos 2cos 2sin 2sin QP θθθθ=--+-，化简后利用二次函数的性质可求出其最大值.【小问1详解】因为θ为锐角，所以,444πππθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭因为π2sin 410θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2π272cos 1sin 14410010πθθ⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ22224sin sin 441021025θθ⎡⎤⎛⎫=-+=⨯+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以23cos 1sin 5θθ=-=，所以24sin 22sin cos 25θθθ==，27cos 22cos 125θθ=-=-，所以134,55Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，724,2525P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【小问2详解】因为点P ，Q 分别运动的角速度之比为2：1，所以当点Q 转动的角度为θ时，P 转动角度为2θ，因此()cos 2,sin 2P θθ，()2cos ,sin Q θθ+．()()222cos 2cos 2sin 2sin QP θθθθ=--+-2222cos 2cos 42cos 2cos 4cos 24cos sin 2sin 2sin 2sin θθθθθθθθθθ=++--+++-()62cos 2cos sin 2sin 4cos 24cos θθθθθθ=-+-+64cos 22cos θθ=-+28cos 2cos 10θθ=-++，所以当1cos 8θ=时，2PQ 取得最大值211818210888⎛⎫-⨯+⨯+= ⎪⎝⎭，所以PQ 的最大值为4．21.已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆22:6270M x y x y +--+=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）若不过点A 的动直线l 与椭圆相交于P ，Q 两点，若2AP AQ k k =+，求证：直线l 过定点，并求出该定点坐标.【答案】（1）2213x y +=（2）证明见解析，该定点坐标为()1,1--【解析】【分析】（1）根据直线与圆相切，由点到直线的距离公式即可求解，（2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，即可由斜率公式代入化简求解.【小问1详解】由题意()()0,1,,0A F c ，则直线AF 的方程为：0x cy c +-=可知圆的标准方程为()()22313x y -+-=，2331c c c +-∴=+，则22c =，23a ∴=，所以椭圆C 的方程为2213x y +=【小问2详解】设()()1122,,,P x y Q x y 若直线PQ 的斜率不存在，设x t =，则2213t y +=，120y y ∴+=121211222AP AQ y y yyk k t t t t --+-+=+==-=，1t ∴=-直线PQ ：=1x -.若直线PQ 的斜率存在，设直线方程为y kx m=+由2233x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩()222136330k x mkx m ⇒+++-=()()222236413330m k k m ∆=-+->即22310k m +->由韦达定理12221226133313mkx x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩1212112AP AQ y yk k x x --+=+=1212112kx m kx m x x +-+-+=，即()()()()121222101k x x m x x m -+-+=≠()()()22233160k m m km ----⋅=，1k m =+，则直线PQ 方程为1y kx k =+-过定点()1,1--.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x -=-,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+(b 为定值),则直线过定点()0,.b 22.已知函数()222ln f x ax x x =--.（1）若()f x 在定义域内单调，求实数a 的取值范围；（2）若52a ≤，m ，n 分别为()f x 的极大值和极小值，求m n -的取值范围.【答案】（1）2a ≤（2）150,4ln 24⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）求出()()22220x ax f x x x-+-'=>，根据题意可知在()0,∞+上()0f x '≥恒成立或()0f x '≤恒成立，再根据二次函数2222y x ax =-+-开口向下，可得()0f x '≤恒成立，即22220x ax -+-≤恒成立，分离参数，从而可求得答案；（2）由（1）可得522a <≤，利用导数设()0f x '=的两根为12,x x ，不妨设1201x x <<<，利用韦达定理可求得1212,x x x x +，求得函数的极值，从而求得m n -关于12,x x 的表达式，令12x t x =，根据2122111722,4x x t a t x x ⎛⎫+=+=-∈ ⎪⎝⎭，求得t 的范围，再构造函数()12ln g t t t t =-+，利用导数求出函数()g t 的最值，即可得出答案.【小问1详解】解：()()22222220x ax f x a x x x x-+-'=--=>，因为()f x 在定义域内单调，所以在()0,∞+上()0f x '≥恒成立或()0f x '≤恒成立，即22220x ax -+-≥或22220x ax -+-≤恒成立，因为二次函数2222y x ax =-+-开口向下，故22220x ax -+-≥不可能恒成立，所以22220x ax -+-≤恒成立，即1a x x ≤+，因为12x x +≥，当且仅当1x x=，即1x =时，取等号，所以2a ≤；【小问2详解】解：由（1）可得，要使()f x 有极大值和极小值，则522a <≤，令()22220x ax f x x-+-'==，即210x ax -+=，设方程的两根为12,x x ，则有1212,1x x a x x +==，不妨设1201x x <<<，则当10x x <<和2x x >时，()0f x '<，当12x x x <<时，()0f x ¢>，所以函数()f x 在()10,x 和()2,x +∞上递减，在()12,x x 上递增，所以()()()()21,f x f x f x f x ==极大值极小值，即()2222211122ln 22ln m n ax x x ax x x -=-----()()()2221212122ln ln a x x x x x x =-----()22112ln x a x x x =--()()1212122lnx x x x x x =+-+222111222ln x x x x x x -=+2111222ln x x x x x x =-+，令()12,0,1x t t x =∈，因为()222121221212211212211722,4x x x x x x x x t a t x x x x x x +-+⎛⎫+=+===-∈ ⎪⎝⎭，则1174t t +≤，所以114t ≤<，令()112ln ,,14g t t t t t ⎡⎫=-+∈⎪⎢⎣⎭，则()222122110t t g t t t t-+-'=--+=<，所以函数()g t 在1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，所以()()114g g t g ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，即()1504ln 24g t <≤-，即150,4ln 24m n ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了导数的应用，函数的单调性及构造法的应用，函数最值的求法，考查了函数的极值问题，考查了学生的数据分析能力和逻辑推理能力，难度较大.。

江苏省无锡市(新版)2024高考数学人教版质量检测(强化卷)完整试卷

江苏省无锡市（新版）2024高考数学人教版质量检测(强化卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知向量，，则与的夹角等于（）A．B．C．D．第(2)题复数的模为（）A．B．C．3D．第(3)题已知集合，，则=（）A．B．C．D．第(4)题已知圆过点，且与直线相切，是圆心的轨迹上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．第(5)题已知双曲线的左､右焦点分别为，，以，为直径的圆依次交双曲线于A，B，C，D四点，直线交双曲线于点C，E，且，则双曲线的离心率为（）A．3B．C．D．第(6)题已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长都等于2，则该四棱锥的内切球的表面积为（）A．B．C．D．第(7)题设，是正数，曲线关于直线对称，若取得最小值，则该直线的方程为（）A．B．C．D．第(8)题已知正四面体的内切球半径为1，则外接球半径为（）A．B．C．2D．3二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在单位正方体中，O为底面ABCD的中心，M为线段上的动点（不与两个端点重合），P为线段BM的中点，则（）A．直线DP与OM是异面直线B．三棱锥的体积是定值C．存在点M，使平面BDM D．存在点M，使平面BDM第(2)题沙漏，据《隋志》记载：“漏刻之制，盖始于黄帝”．它是古代的一种计时装置，由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）．假设该沙漏每秒钟漏下的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是（）A．沙漏的侧面积是B．沙漏中的细沙体积为C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cmD．该沙漏的一个沙时大约是837秒第(3)题如图，曲线：的焦点为，直线与曲线相切于点异于点，且与轴，轴分别相交于点，，过点且与垂直的直线交轴于点，过点作准线及轴的垂线，垂足分别是，，则下列说法正确的是（）A ．当的坐标为时，切线的方程为B．无论点异于点在什么位置，都平分C．无论点异于点在什么位置，都满足D．无论点异于点在什么位置，都有成立三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在等差数列中，，公差为d，且成等比数列，则d=_______．第(2)题若x，y满足约束条件，则目标函数的最大值是___________.第(3)题继淄博烧烤、哈尔滨冻梨后，最近天水麻辣烫又火了．据了解天水麻辣烫店内菜品一般由竹签串起成捆摆放，人们按照自己的喜好选好后递给老板，进行调制．某麻辣烫店内有西兰花、香菇、豆皮、海带、白菜等菜品，一游客打算从以上5种蔬菜中随机选择不同的3种，则西兰花和海带被选中的概率为___________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题某市有20000名学生参加了一项知识竞赛活动（知识竞赛分为初赛和复赛），并随机抽取了100名学生的初赛成绩作为样本，绘制了频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值和分位数．(2)若所有学生的初赛成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，初赛成绩不低于89分的学生才能参加复赛，试估计能参加复赛的人数．(3)复赛设置了三道试题，第一、二题答对得30分，第三题答对得40分，答错得0分．已知某学生已通过初赛，他在复赛中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响，记该考生的复赛成绩为，求的分布列及数学期望．附：若随机变量服从正态分布，则，，．第(2)题已知，函数.(1)求的单调区间.(2)讨论方程的根的个数.第(3)题在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为．(1)求曲线的直角坐标方程；(2)若直线的极坐标方程为（为参数），它与曲线分别相交于，两点，若，求．第(4)题已知数列的前项和为，且，，数列满足，其中.(1)分别求数列和的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和第(5)题已知椭圆的长轴长为4，左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，四边形的内切圆的半径为，过椭圆上一点T引圆的两条切线（切线斜率存在且不为0），分别交椭圆于点P，Q．(1)求椭圆的方程；(2)试探究直线与的斜率之积是否为定值，并说明理由；(3)记点O为坐标原点，求证：P，O，Q三点共线．。

江苏省无锡市(新版)2024高考数学部编版质量检测(综合卷)完整试卷

江苏省无锡市（新版）2024高考数学部编版质量检测(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题三个数的大小顺序是（）A．B．C．D．第(2)题已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（）A．B．2C．D．第(3)题已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的编号是（）①函数的图象关于点成中心对称；②函数的解析式可以为；③函数在上的值域为；④若把图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位，则所得函数是. A．①③B．②③C．③④D．①④第(4)题已知为虚数单位，复数，则（）A．B．C．D．第(5)题已知定义在R上的奇函数满足，则以下说法错误的是（）A．B．的一个周期为2C．D．第(6)题如果有穷数列，，，…，（m为正整数）满足条件，，…，，即（t为常数），则称其为“倒序等积数列”．例如，数列8，4，2，，，是“倒序等积数列”．已知是80项的“倒序等积数列”，，且，，…，是公比为2，的等比数列，设数列的前n项和为，则（）．A．210B．445C．780D．1225第(7)题已知复数满足，则（）A．2B．1C．D．第(8)题若复数z满足，则复数的虚部为（）A．B．C．-1D．1二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为、，过点的直线与双曲线右支交于P，Q两点，且，下列说法正确的是（）A．与双曲线的实轴长相等B．C．若在以为直径的圆上，则双曲线的渐近线方程为D．若，则直线的斜率为第(2)题已知函数的图象关于直线对称，则（）A ．函数为奇函数B ．函数在上单调递增C．若，则的最小值为D．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象第(3)题已知椭圆，其右焦点为，以为端点作条射线交椭圆于，且每两条相邻射线的夹角相等，则（）A．当时，B．当时，的面积的最小值为C．当时，D．当时，过作椭圆的切线，且交于点交于点，则的斜率乘积为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题某种游戏中，黑､黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体的顶点出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”.黑“电子狗”爬行的路线是，黄“电子狗”爬行的路线是，它们都遵循如下规则：所爬行的第段与第段所在直线必须是异面直线(其中是正整数).设黑“电子狗”爬完2008段､黄“电子狗”爬完2009段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑､黄“电子狗”间的距离是___________.第(2)题已知函数，则_______.第(3)题在中，若，，则的最小值是________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为ρ＝2cosθ，曲线的极坐标方程为ρsin(θ＋)＝3.(1)求曲线和的直角坐标方程；(2)若点P是曲线上的动点，过点P作曲线的切线，切点为T，求｜PT|的最小值．第(2)题为了解某市中学生对手机短视频app的浏览情况，从该地随机抽取了100名中学生进行调查，其中男生60人，女生40人，下面是根据调查结果统计的数据，我们将日均浏览时间大于等于一小时的学生称为“短视频依赖症者”，已知“短视频依赖症者”的男生有15人.日均浏览时间(分钟)人数524251630（1）根据已知条件完成下表，并判断是否有90%的把握认为“短视频依赖症者”与性别有关；非短视频依赖症者短视频依赖症者总计男15女总计（2）从上述调查中的“短视频依赖症者”的学生中按性别分层抽样，抽取6人了解学习情况，再从这6人中随机抽取3人进行学习指导，求出抽取的3人为2男1女的概率.参考数据：0.100.0500.0250.0100.0012.7063.841 5.024 6.63510.828参考公式：，其中.第(3)题国家号召节能减排，保护环境，提倡绿色出行李明在某公司任职，该公司与李明家附近的公交站台相距2000米，站台只有一路公交车可到达公司（中途不停车），由该站台前往公司的路上，每隔200米就有一个共享单车的放置点，按照从该站台到公司的方向顺序第一个共享单车放置点为离该站台200米处李明上班交通出行安排如下，如果出门正好遇上去公司的公交车进站可乘坐，就乘坐公交车去上班，如果出门没有看到此路公交车进站，就选择沿路步行，经过共享单车放置点，有可以使用的共享单车，则骑共享单车去上班，前五个放置点都没有可以使用的共享单车的话，就不再考虑骑共享单车，全程步行至公司，已知李明出门正好遇上去公司的公交车进站的概率为0.4，每个共享单车放置点有可以使用的共享单车的概率均为0.5，公交车行驶速度为每小时30千米，骑共享单车速度为每小时15千米，步行速度为每分钟100米.（只考虑乘车、骑车、步行所花时间，不考虑从家走到站台及其他因素所花时间）.（1）试问李明去往上班公司，路上所花时间不超过11分钟的概率为多少；（2）一天李明出门后发现去公司的公交车未到，用手机公交系统查询后确定8分钟后公交车可到达站台，此时李明有两个选择：方案一，等待公交车进站，乘坐公交车前往公司；方案二，按原交通出行安排前往公司，如果李明想要尽快到达公司，应该选择哪个方案，并说明理由.第(4)题为了丰富学生的课外活动，学校举办篮球、足球、羽毛球比赛，经过前期的预赛和半决赛，最终甲、乙两个班级进入决赛，决赛中每个项目胜方得8分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的班级获得冠军．已知甲班级在篮球、足球、羽毛球中获胜的概率分别为0.4，0.8，0.6，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲班级获得冠军的概率；(2)用X表示乙班级的总得分，求X的分布列与期望．第(5)题在平面直角坐标系内，动点与两定点，连线的斜率之积为.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设点，是轨迹上相异的两点.（Ⅰ）过点，分别作抛物线的切线，，与两条切线相交于点，证明：；（Ⅱ）若直线与直线的斜率之积为，证明：为定值，并求出这个定值.。