【志鸿优化设计】高考数学一轮复习平面向量单元讲评教案文新人教版

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【优化设计】高考数学(人教版,文科)一轮总复习精品课件：4.4 平面向量应用举例(共33张PPT)

1 2
��
=0.
(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若 EF 为圆 N:x2+(y-1)2=1 的任一条直径,求�� ·��的最小值.
考点一
考点二考点三考点四思想方法
第四章
4.4 平面向量应用举例
(1)设 P(x,y),则 Q(8,y).
问题类型
所用知识
公式表示
线平行、点共线、相似等问题垂直问题
夹角问题
共线向量定理
数量积的运算性质数量积的定义
a∥b⇔ a=λb(b≠0) ⇔ x1y2-x2y1=0
其中 a=(x1,y1),b=(x2,y2)
a⊥b⇔ a·b=0 ⇔ x1x2+y1y2=0
a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 a,b 为非零向量
由��=2��得(1-x0,1-y0)=2(x-1,y-1).故
.
由��·��=4,得(x,y)·(1,2)=4,即 x+2y-4=0. x+2y-4=0
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解析答案
第四章
4.4 平面向量应用举例
考点一向量在平面几何中的应用
-1100-
【例 1】在△ABC 中,(�� + ��)·��=|��|2,则△ABC 的形状一定是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
3.在△ABC 中,已知向量��与��满足

高三数学一轮复习教案――平面向量(附高考分类汇编)

高三数学一轮复习精品教案――平面向量一、本章知识结构：二、重点知识回顾1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a 、b等表示；③平面向量的坐标表示：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底。

任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得axi yj =+ ，),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，特别地，i (1,0)=，j (0,1)=，0(0,0)= 。

a =；若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=，A B =3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为0； ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.就是单位向量）4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量a 、b 、c 平行，记作a ∥b ∥c.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.5.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.6.向量的加法、减法：①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

向量加法的三角形法则和平行四边形法则。

②向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。

即：a -b = a+ (-b )；差向量的意义： OA = a, OB =b, 则BA =a- b③平面向量的坐标运算：若11(,)a x y = ，22(,)b x y = ，则a b +),(2121y y x x ++=，a b -),(2121y y x x --=，(,)a x y λλλ= 。

④向量加法的交换律：a +b =b +a ；向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )7．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa =0；（3）运算定律 λ(μa )=(λμ)a ，(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa +λb8．向量共线定理向量b 与非零向量a共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa。

新人教A版版高考数学一轮复习第五章平面向量平面向量的概念及其线性运算教案理解析版

基础知识整合１．向量的有关概念（１）向量：既有大小又有错误!方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的错误!模．（２）零向量：长度为错误!0的向量，其方向是任意的．（３）单位向量：长度等于错误!１个单位的向量．（４）平行向量：方向相同或错误!相反的非零向量，又叫共线向量．规定：0与任一向量共线．（５）相等向量：长度相等且方向错误!相同的向量．（6）相反向量：长度相等且方向错误!相反的向量．２．向量的线性运算３．共线向量定理向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λＡ．１．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即错误!＋错误!＋错误!＋…＋An—１An＝错误!.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．２．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则错误!＝错误!（错误!＋错误!）．３．错误!＝λ错误!＋μ错误!（λ，μ为实数），若点A，B，C共线，则λ＋μ＝１．１．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析当a＋b＝0时，a＝—b，所以a∥b；当a∥b时，不一定有a＝—b，所以“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．故选Ａ．２．（２0１9·嘉兴学科基础测试）在△ABC中，已知M是BC中点，设错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝（）Ａ．错误!a—b Ｂ．错误!a＋bＣ．a—错误!b Ｄ．a＋错误!b答案A解析错误!＝错误!—错误!＝错误!错误!—错误!＝错误!a—Ｂ．故选Ａ．３．已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是（）Ａ．a＋b＝0 Ｂ．a＝bＣ．a与b共线反向Ｄ．存在正实数λ，使a＝λb答案D解析因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则a与b共线同向，故D正确．４．已知向量i与j不共线，且错误!＝i＋mj，错误!＝ni＋j，若A，B，D三点共线，则实数m，n应该满足的条件是（）Ａ．m＋n＝１Ｂ．m＋n＝—１Ｃ．mn＝１Ｄ．mn＝—１答案C解析由A，B，D共线可设错误!＝λ错误!，于是有i＋mj＝λ（ni＋j）＝λni＋λj.又i，j不共线，因此错误!即有mn＝１．５．（２0１9·大同模拟）△ABC所在的平面内有一点P，满足错误!＋错误!＋错误!＝错误!，则△PBC与△ABC的面积之比是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析因为错误!＋错误!＋错误!＝错误!，所以错误!＋错误!＋错误!＝错误!—错误!，所以错误!＝—２错误!＝２错误!，即P是AC边的一个三等分点，且PC＝错误!AC，由三角形的面积公式可知，错误!＝错误!＝错误!.核心考向突破考向一平面向量的概念１若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；２若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；３若A，B，C，D是不共线的四点，则错误!＝错误!，则ABCD为平行四边形；４a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；５已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中真命题的序号是________．答案３解析１错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．２错误，若b＝0，则a与c不一定共线．３正确，因为错误!＝错误!，所以|错误!|＝|错误!|且错误!∥错误!；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．４错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．５错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．故填３.触类旁通平面向量有关概念的四个关注点（１）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．错误!３向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆.错误!即时训练１．设a0为单位向量，下列命题中：１若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；２若a与a0平行，则a＝|a|a0；３若a与a0平行且|a|＝１，则a＝a0．假命题的个数是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故１是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝—|a|a0，故２３也是假命题．综上所述，假命题的个数是３．故选Ｄ．考向二平面向量的线性运算角度错误!向量加减法的几何意义例２（１）在四边形ABCD中，错误!＝a＋２b，错误!＝—４a—b，错误!＝—５a—３b，则四边形ABCD的形状是（）Ａ．矩形Ｂ．平行四边形Ｃ．梯形Ｄ．以上都不对答案C解析由已知得，错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝a＋２b—４a—b—５a—３b＝—8a—２b＝２（—４a—b）＝２错误!，故错误!∥错误!.又因为错误!与错误!不平行，所以四边形ABCD是梯形．故选Ｃ．（２）（２0１7·全国卷Ⅱ）设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a—b|，则（）Ａ．a⊥b Ｂ．|a|＝|b|Ｃ．a∥b Ｄ．|a|＞|b|答案A解析解法一：∵|a＋b|＝|a—b|，∴|a＋b|２＝|a—b|２．∴a２＋b２＋２a·b＝a２＋b２—２a·Ｂ．∴a·b＝0．∴a⊥Ｂ．故选Ａ．解法二：利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD中，设错误!＝a，错误!＝b，由|a＋b|＝|a—b|知|错误!|＝|错误!|，从而▱ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥Ｂ．故选Ａ．角度错误!平面向量线性运算例３（１）（２0１8·全国卷Ⅰ）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则错误!＝（）Ａ．错误!错误!—错误!错误!Ｂ．错误!错误!—错误!错误!Ｃ．错误!错误!＋错误!错误!Ｄ．错误!错误!＋错误!错误!答案A解析根据向量的运算法则，可得错误!＝错误!—错误!＝错误!—错误!错误!＝错误!—错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!—错误!错误!，故选Ａ．（２）（２0１9·唐山统考）在等腰梯形ABCD中，错误!＝—２错误!，M为BC的中点，则错误!＝（）Ａ．错误!错误!＋错误!错误!Ｂ．错误!错误!＋错误!错误!Ｃ．错误!错误!＋错误!错误!Ｄ．错误!错误!＋错误!错误!答案B解析因为错误!＝—２错误!，所以错误!＝２错误!.又M是BC的中点，所以错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!（错误!＋错误!＋错误!）＝错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!.故选Ｂ．角度错误!利用线性运算求参数例４（１）在△ABC中，点D在边CB的延长线上，且错误!＝４错误!＝r错误!—s错误!，则s＋r等于（）Ａ．0 Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．３答案C解析因为错误!＝４错误!，所以错误!＝错误!错误!.又因为错误!＝错误!—错误!，所以错误!＝错误!（错误!—错误!）＝错误!错误!—错误!错误!，所以r＝s＝错误!，s＋r＝错误!.（２）（２0１9·河南中原联考）如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若错误!＝λ错误!＋μ错误!（λ，μ为实数），则λ２＋μ２＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．１Ｄ．错误!答案A解析错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!—错误!错误!，所以λ＝错误!，μ＝—错误!，故λ２＋μ２＝错误!.故选Ａ．触类旁通平面向量线性运算的一般规律（１）用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加法、减法、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理．（２）在求向量时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．即时训练２．已知四边形ABCD是平行四边形，O为平面上任意一点，设错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，错误!＝d，则（）Ａ．a＋b＋c＋d＝0 Ｂ．a—b＋c—d＝0Ｃ．a＋b—c—d＝0 Ｄ．a—b—c＋d＝0答案B解析如图所示，a—b＝错误!，c—d＝错误!，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB綊DC，且错误!与错误!反向，即错误!＋错误!＝0，也就是a—b＋c—d＝0．３．设D为△ABC所在平面内一点，错误!＝３错误!，则（）Ａ．错误!＝—错误!错误!＋错误!错误!Ｂ．错误!＝错误!错误!—错误!错误!Ｃ．错误!＝错误!错误!＋错误!错误!Ｄ．错误!＝错误!错误!—错误!错误!答案A解析错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!（错误!—错误!）＝错误!错误!—错误!错误!＝—错误!错误!＋错误!错误!.故选Ａ．４．（２0１9·唐山模拟）在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝３0°，AB＝２错误!，BC＝２，点E在线段CD上，若错误!＝错误!＋μ错误!，则μ的取值范围是________．答案0≤μ≤错误!解析由题意可求得AD＝１，CD＝错误!，所以错误!＝２错误!.∵点E在线段CD上，∴错误!＝λ错误!（0≤λ≤１）．∵错误!＝错误!＋错误!，又错误!＝错误!＋μ错误!＝错误!＋２μ错误!＝错误!＋错误!错误!，∴错误!＝１，即μ＝错误!.∵0≤λ≤１，∴0≤μ≤错误!.考向三共线向量定理的应用例５（１）（２0１9·朔州模拟）设e１与e２是两个不共线向量，错误!＝３e１＋２e２，错误!＝ke１＋e２，错误!＝３e１—２ke２，若A，B，D三点共线，则k的值为（）Ａ．—错误!Ｂ．—错误!Ｃ．—错误!Ｄ．不存在答案A解析由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得错误!＝λ错误!.又错误!＝３e１＋２e２，错误!＝ke１＋e２，错误!＝３e１—２ke２，所以错误!＝错误!—错误!＝３e１—２ke２—（ke１＋e２）＝（３—k）e１—（２k＋１）e２，所以３e１＋２e２＝λ（３—k）e１—λ（２k＋１）e２，所以错误!解得k＝—错误!.故选Ａ．（２）（２0１9·河北衡水调研）一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，若错误!＝２错误!，错误!＝３错误!，错误!＝λ错误!—μ错误!（λ，μ∈R），则错误!μ—λ＝（）Ａ．—错误!Ｂ．１Ｃ．错误!Ｄ．—３答案A解析错误!＝λ错误!—μ错误!＝λ错误!—μ（错误!＋错误!）＝（λ—μ）错误!—μ错误!＝２（λ—μ）错误!—３μ错误!，因为E，M，F三点共线，所以２（λ—μ）＋（—３μ）＝１，即２λ—５μ＝１，所以错误!μ—λ＝—错误!.故选Ａ．触类旁通１三点共线问题可转化为向量共线问题来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.根据A，B，C三点共线求参数问题，只需将问题转化为，再利用对应系数相等列出方程组，进而解出系数.错误!２三点共线的一个常用结论：A，B，C三点共线⇔存在实数λ，μ对平面内任意一点O O不在直线BC上满足即时训练５．（２0１9·济南模拟）已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋（２λ—１）b，若c 与d共线反向，则实数λ的值为（）Ａ．１Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．—２答案B解析由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd（k<0），于是λa＋b＝k[a＋（２λ—１）b]，整理得λa＋b＝ka＋（２λk—k）Ｂ．由于a，b不共线，所以有错误!整理得２λ２—λ—１＝0，解得λ＝１或λ＝—错误!.又因为k<0，所以λ<0，故λ＝—错误!.故选Ｂ．6．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若错误!＝m错误!，错误!＝n错误!，则m＋n的值为________．答案２解析解法一：错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!＋错误!错误!.∵M，O，N三点共线，∴错误!＋错误!＝１．∴m＋n＝２．解法二：MN绕O旋转，当N与C重合时，M与B重合，此时m＝n＝１，∴m＋n＝２．。

高三数学一轮复习教案全套人教A版平面向量的概念与线性运算

高三一轮复习第四章平面向量与复数
4.1平面向量的概念与线性运算
【教学目标】
1.了解向量的实际背景．
2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．
3.理解向量的几何表示．
4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．
5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．
6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
【重点难点】
1.教学重点理解平面向量的概念，掌握向量加法、减法、向量数乘的运算；
2.教学难点学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】
自主学习、小组讨论法、师生互动法
【教学过程】
平行四边形法则
，得BA →＝PC →.又AP →＝
＋AB →)＝12·2AD →＝AD →
.。

【优化设计】高考数学一轮复习第五章平面向量.平面向量的概念及其线性运算教学案理新人教A版

第五章平面向量5．1 平面向量的概念及其线性运算考纲要求1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念和向量相等的含义．3．理解向量的几何表示．4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．共线向量(平行向量)______向量叫做共线向量(平行向量)0与任一向量______(共线)相等向量长度______且方向______的向量记作a＝b相反向量长度______且方向______的向量0的相反向量为0向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b ＝____.(2)结合律：(a＋b)＋c＝______.减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝______.(2)当λ＞0时，λa与a的方向____；当λ＜0时，λa与a的方向____；当λ＝0时，λa＝____.λ(μa)＝____；(λ＋μ)a＝______；λ(a＋b)＝______.向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：__________.1．给出下列命题：①向量AB →与向量BA →的长度相等，方向相反； ②AB →＋BA →＝0；③a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ④两个相等向量的起点相同，则其终点必相同； ⑤AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线，其中不正确的个数是( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →等于( )．A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB →C ．23OA →－13OB →D ．－13OA →＋23OB → 3．平面向量a ，b 共线的充要条件是( )． A ．a ，b 方向相同B ．a 与b 中至少有一个为零向量C ． λ∈R ，使b ＝λaD ．存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝04．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，共线的三点是__________．5．在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝__________(用a ，b 表示)．一、向量的概念【例1】判断下列各命题是否正确． (1)零向量没有方向；(2)若|a |＝|b |，则a ＝b ； (3)单位向量都相等； (4)向量就是有向线段；(5)如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ； (6)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(7)若四边形ABCD 是平行四边形，则AB →＝CD →，BC →＝DA →； (8)a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 方法提炼1．平面向量的概念辨析题的解题方法准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．2．几个重要结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行具有传递性； (2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量； (3)平行向量与起点无关．请做演练巩固提升1二、向量的线性运算【例2－1】在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线AD 交边BC 于D ，已知AB ＝3，且AD →＝13AC →＋λAB →(λ∈R )，则AD 的长为( )．A ．1B. 3C ．2 3D ．3【例2－2】如图所示，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示：(1)AD →－AB →； (2)AB →＋CF →. 方法提炼1．平面向量的线性运算法则的应用三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量的和用平行四边形法则，差用三角形法则．2．两个重要结论(1)向量的中线公式：若P 为线段AB 的中点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．(2)向量加法的多边形法则 A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →.提醒：当两个向量共线(平行)时，三角形法则同样适用．向量加法的平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的，但当两个向量共线(平行)时，平行四边形法则就不适用了．请做演练巩固提升2,3 三、向量的共线问题【例3－1】设e 1，e 2是两个不共线向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．【例3－2】设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．方法提炼1．向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．提醒：平行向量也叫共线向量，这里的“平行”与两直线(或线段)平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上．请做演练巩固提升5以向量为背景的新定义问题【典例】设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割点A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( )．A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上解析：由A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )知：四点A 1，A 2，A 3，A 4在同一条直线上，且不重合．因为C ，D 调和分割点A ，B ，所以A ，B ，C ，D 四点在同一直线上，设AC →＝cAB →，AD →＝dAB →，则1c ＋1d＝2，选项A 中c ＝12，此时d 不存在，故选项A 不正确；同理选项B 也不正确；选项C 中，0＜c ＜1,0＜d ＜1，1c ＋1d＞2，也不正确，故选D.答案：D 答题指导：1．可通过特例、验证等方法理解新定义问题．2．化生为熟、化新为旧，设法把新定义问题转化为熟悉的问题来解决． 3．“按规则办事”，新定义问题怎么规定，就怎么办．1．给出下列命题：(1)两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． (2)两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． (3)λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零．(4)λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．42．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，并且a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，那么a ＋b ＋c 等于( )．A ．aB ．bC ．cD ．03．已知△ABC 和点M 满足M A →＋M B →＋M C →＝0，若存在实数m 使得A B →＋A C →＝mAM →成立，则m ＝( )．A ．2B ．3C ．4D ．5 4．(2012四川高考)设a ，b 都是非零向量．下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )．A ．|a |＝|b |且a ∥bB ．a ＝－bC ．a ∥bD ．a ＝2b5．若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a＋b )三向量的终点在同一条直线上？参考答案基础梳理自测知识梳理1．大小方向模长度 0 0 为1个单位方向相同或相反的非零平行相等相同相等相反2．b ＋a a ＋(b ＋c ) |λ|·|a | 相同相反 0 (λμ)a λa ＋μa λa ＋λb 3．存在唯一的实数λ，使b ＝λa 基础自测1．B 解析：②中AB uu u r ＋BA uu r＝0，而不等于0；③中a 或b 为零向量满足a 与b 平行，但不能说a 与b 方向相同或相反，因为零向量方向是任意的；⑤中AB uu u r 与CD uuur 所在直线还可能平行，故②③⑤错．2．A 解析：依题意得2(OC uuu r －OA uu r )＋(OB uu u r －OC uuu r )＝0，所以OC uuu r ＝2OA uu r －OB uu u r.3．D 解析：A 中，a ，b 同向，则a ，b 共线，但a ，b 共线，a ，b 不一定同向． B 中，若a ，b 两向量中至少有一个为零向量，则a ，b 共线，但a ，b 共线时，a ，b 不一定是零向量．C 中，当b ＝λa 时，a 与b 一定共线，但a ，b 共线时，若b ≠0，a ＝0，则b ＝λa 不成立．排除A ，B ，C ，故选D.4．A ，B ，D 解析：AB uu u r ＋BC uu u r ＋CD uuu r ＝AD uuu r＝3a ＋6b ， ∵AD uuu r ＝3AB uu u r，∴A ，B ，D 三点共线．5．b －12a 解析：BE uur ＝BC uu u r ＋CE uur ＝AD uuu r ＋12BA uu r ＝b －12a .考点探究突破【例1】解：(1)不正确，零向量方向是任意的； (2)不正确；两向量模相等．方向不一定相同； (3)不正确；要看向量方向是否相同； (4)不正确；(5)不正确；(6)正确；(7)不正确；(8)不正确，a ∥b ，两向量方向不一定相同．【例2－1】 C 解析：如图所示，因为B ，D ，C 三点共线，所以λ＋13＝1，即λ＝23.在AB 上取一点E 使AE uu u r ＝23AB uu u r ，在AC 上取一点F 使AF uuu r ＝13AC uuur ，由AD uuu r ＝13AC uuu r ＋23AB uu u r ＝AF uuu r ＋AE uu u r，可知四边形AEDF 为平行四边形，又∠BAD ＝∠CAD ＝30°，所以Y AEDF 为菱形．因为AE uu u r ＝23AB uu u r，AB ＝3，所以菱形的边长为2.在△ADF 中，AD sin 120°＝DFsin 30°，所以AD ＝sin 120°·DFsin 30°＝2 3.故选C.【例2－2】解：(1)AD uuu r －AB uu u r ＝BD uuu r ＝OD uuur －OB uu u r ＝d －b .(2)AB uu u r ＋CF uu ur ＝OB uu u r －OA uu r ＋CO uuu r ＋OF uuu r ＝b －a －c ＋f .【例3－1】解：(1)证明：由已知得BD uuu r ＝CD uuur －CB uu r ＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB uu u r ＝2e 1－8e 2，∴AB uu u r ＝2BD uuu r ，又有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)由(1)可知BD uuu r ＝e 1－4e 2，且BF uu u r＝3e 1－k e 2，由B ，D ，F 三点共线，所以存在实数λ，使得BF uu u r ＝λBD uuu r，即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ，解得k ＝12，∴k ＝12. 【例3－2】 (1)证明：∵AB uu u r＝a ＋b ，BC uu u r ＝2a ＋8b ，CD uuu r ＝3(a －b )，∴BD uuu r ＝BC uu u r ＋CD uuu r ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB uu u r. ∴AB uu u r 与BD uuu r共线．∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)解：∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝(λk －1)＝0. ∴k ＝±1. 演练巩固提升1．C 解析：(1)错，两向量共线要看其方向而不是起点与终点；(2)对，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小；(3)错，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0；(4)错．当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ，此时，a 与b 可以是任意向量．2．D 解析：∵a ＋b 与c 共线， ∴存在实数λ1，使得a ＋b ＝λ1c .① 又∵b ＋c 与a 共线，∴存在实数λ2，使得b ＋c ＝λ2a .② 由①得，b ＝λ1c －a .∴b ＋c ＝λ1c －a ＋c ＝(λ1＋1)c －a ＝λ2a ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋1＝0，λ2＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝－1. ∴a ＋b ＋c ＝－c ＋c ＝0.3．B 解析：由已知条件可得M 为△ABC 的重心，设BC 的中点为D ，则AB uu u r ＋AC uuu r ＝2AD uuu r，又AM uuu r ＝23AD uuu r，故m ＝3.4．D 解析：若a |a |＝b |b |，则向量a |a |与b|b |是方向相同的单位向量，所以a 与b 应共线同向，故选D.5．解：设OA uu r ＝a ，OB uu u r ＝t b ，OC uuu r ＝13(a ＋b )，∴AC uuu r ＝OC uuu r －OA uu r ＝－23a ＋13b ，AB uu u r ＝OB uu ur －OA uu r ＝t b －a .要使A ，B ，C 三点共线，则存在实数λ，使AC uuu r ＝λAD uuu r，即－23a ＋13b ＝λt b －λa ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －23＝－λ，13＝λt .∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，t ＝12.∴当t ＝12时，三向量终点在同一直线上．。

高三数学第一轮复习单元讲座第25讲平面向量地概念及运算教案设计新人教版

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座25）—平面向量的概念及运算一．课标要求：（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；（2）向量的线性运算①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义。

（3）平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义；②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。

二．命题走向本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。

以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。

此类题难度不大，分值5~9分。

预测07年高考：（1）题型可能为1道选择题或1道填空题；（2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。

三．要点精讲1．向量的概念①向量既有大小又有方向的量。

向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+=。

向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a|。

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ⇔｜a ｜＝0。

由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。

（注意与0的区别）③单位向量模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量⇔｜0a｜＝1。

高考数学第一轮复习精讲(课前准备+课堂活动小结+课后练习)平面向量及其线性运算导学案文新人教A版(1)

学案25 平面向量及其线性运算导学目标： 1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念、理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．自主梳理1．向量的有关概念(1)向量的定义：既有______又有______的量叫做向量．（2）表示方法：用来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB →，BC →，…表示．(3)模：向量的______叫向量的模，记作________或_______．(4)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是________．(5)单位向量：长度为____单位长度的向量叫做单位向量．与a 平行的单位向量e ＝____________.(6)平行向量：方向______或______的______向量；平行向量又叫____________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量______．(7)相等向量：长度______且方向______的向量． 2．向量的加法运算及其几何意义（1）已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →=a ，BC →=b ，则向量AC →叫做a 与b的，记作，即 =AB →+BC →= ，这种求向量和的方法叫做向量加法的 .（2）以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作Y OACB ，则以O 为起点的对角线OA →就是a 与b 的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 .(3)加法运算律a ＋b ＝________ (交换律)；(a ＋b )＋c ＝____________(结合律)． 3．向量的减法及其几何意义 (1)相反向量与a ____________、____________的向量，叫做a 的相反向量，记作______． (2)向量的减法①定义a －b ＝a ＋________，即减去一个向量相当于加上这个向量的____________．②如图，AB →＝a ，，AD →＝b ，则AC →＝，DB →＝____________.4．向量数乘运算及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作______，它的长度与方向规定如下： ①|λa |＝______；②当λ>0时，λa 与a 的方向______；当λ<0时，λa 与a 的方向______；当λ＝0时，λa ＝______.(2)运算律设λ，μ是两个实数，则 ①λ(μa )＝________.(结合律)②(λ＋μ)a ＝________.(第一分配律)③λ(a ＋b )＝__________.(第二分配律)(3)两个向量共线定理：向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .5．重要结论PG →＝13(P A →＋PB →＋PC →)⇔G 为△ABC 的________；P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的________．自我检测1.（2010·四川）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →＝16，|AB AC AB AC+-u u u r u u u r u u u r u u u r ＝，|则|AM →|等于 ( )A ．8B ．4C ．2D ．1 2．下列四个命题：①对于实数m 和向量a ，b ，恒有m (a －b )＝m a －m b ；②对于实数m 和向量a ，b (m ∈R )，若m a ＝m b ，则a ＝b ； ③若m a ＝n a (m ，n ∈R ，a ≠0)，则m ＝n ； ④若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ，其中正确命题的个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．43.在Y ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →等于 ( )A ．－14a ＋14bB ．－12a ＋12bC ．a ＋12bD ．－34a ＋34b4.（2010·湖北）已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝m ，成立，则m 等于 ( )A ．2B ．3C ．4D ．55.（2009·安徽）在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝______.探究点一平面向量的有关概念辨析例1 ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c . 以上命题中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．0 变式迁移1 下列命题中正确的有________(填写所有正确命题的序号)． ①|a |＝|b |⇒a ＝b ；②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ③|a |＝0⇒a ＝0；④若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则AB →＝DC →⇔四边形ABCD 是平行四边形．探究点二向量的线性运算例2（2011·开封模拟）已知任意平面四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点.求证：EF →＝12(AB →＋DC →)．变式迁移2（2011·深圳模拟）如图所示，若四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M 、N 分别是DC 、AB 的中点，已知AB →＝a ，AD →＝b ，DC →＝c ，试用a 、b 、c 表示BC →，MN →，DN →＋CN →.探究点三共线向量问题例3 如图所示，平行四边形ABCD 中，AD →＝b ，AB →＝a ，M 为AB 中点，N 为BD 靠近B 的三等分点，求证：M 、N 、C 三点共线.变式迁移3 设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A 、C 、D 三点共线；（2）如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－k e 2，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值．1.若点P 为线段AB 的中点，O 为平面内的任意一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．如图所示．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．3．三点共线的性质定理：（1）若平面上三点A 、B 、C 共线，则AB →＝λBC →.（2）若平面上三点A 、B 、C 共线，O 为不同于A 、B 、C 的任意一点，则OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 ( )A.EF →＝OF →＋OE → Ｂ.ＥF →＝OF →－OE → Ｃ.EF →＝－OF →＋OE → D. EF →＝－OF →－OE →2.设a ，b 为不共线向量， AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则下列关系式中正确的是 ( )A.AD →＝BC →B.AD →＝2BC →C.AD →＝－BC →D.AD →＝－2BC → 3．(2011·杭州模拟)设a ，b 是任意的两个向量，λ∈R ，给出下面四个结论： ①若a 与b 共线，则b ＝λa ； ②若b ＝－λa ，则a 与b 共线； ③若a ＝λb ，则a 与b 共线；④当b ≠0时，a 与b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ＝λ1，使得a ＝λ1b . 其中正确的结论有 ( )A ．①②B ．①③C ．①③④D ．②③④4.在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于 ( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c 5.（2010·广东中山高三六校联考）在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于（）A.23B.13 C ．－13 D ．－23 题号 1 2 3 4 5 答案 6.（2009·湖南）如下图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝______，y ＝__________.7.已知1OP u u u r ＝a ，OP 2→＝b ，P 1P 2→＝λPP 2→，则OP →＝_________.8. （2011·青岛模拟）O 是平面上一点，A ，B ，C 是平面上不共线三点，动点P 满足OP→＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ＝12时，则P A →·(PB →＋PC →)的值为________．三、解答题(共38分)9．(12分)若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上？10.(12分)在△ABC 中，AD AE 11AB 3AC 4==，，BE 与CD 交于点P ，且AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AP →.11．(14分)(2011·黄山模拟)已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点．（1）求GA →＋GB →＋GO →；（2）若PQ 过△ABO 的重心G ，且，OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m＋1n＝3.答案自主梳理1.（1）大小方向（2）有向线段（3）长度 |a |AB →|(4)任意的 (5)1个 ±a|a| (6)相同相反非零共线向量平行 (7)相等相同2.(1)和 a ＋b a ＋b AC →三角形法则 (2)平行四边形法则 (3)b ＋a a ＋(b ＋c ) 3.(1)长度相等方向相反－a (2)①(－b ) 相反向量 ②a ＋b a －b 4.(1)λa ①|λ||a | ②相同相反 0 (2)①(λμ)a ②λa ＋μa ③λa ＋λb 5.(1)重心 (2)重心自我检测 1.2．C [①根据实数与向量积的运算可判断其正确；②当m ＝0时，m a ＝m b ＝0，但a 与b 不一定相等，故②错误；③正确；④由于向量相等具有传递性，故④正确．]3.A [由AN →＝3NC →得4AN →＝3AC →＝3(a ＋b )，又AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b＝－14a ＋14b .]4．B [由题目条件可知，M 为△ABC 的重心，连接AM 并延长交BC 于D ，则AM →＝23AD →，①因为AD 为中线，AB →＋AC →＝2AD →＝mAM →，即2AD →＝mAM →，② 联立①②可得m ＝3.] 5.43解析设AB →＝a ，AD →＝b ，那么AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ，AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.课堂活动区例1 D [①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段；②不正确，若a 与b 中有一个为零向量时也互相平行，但零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； ④不正确，如果b ＝0时，则a 与c 不一定平行．所以应选D.]变式迁移1 ②③④解析 ①模相同，方向不一定相同，故①不正确；②两向量相等，要满足模相等且方向相同，故向量相等具备传递性，②正确； ③只有零向量的模才为0，故③正确； ④AB →＝DC →，即模相等且方向相同，即平行四边形对边平行且相等．故④正确．故应选②③④.例2 证明方法一如图所示，在四边形CDEF 中，EF →＋FC →＋CD →＋DE →＝0.①在四边形ABFE 中，EF →＋FB →＋BA →＋AE →＝0.② ①＋②得 (EF →＋EF →)＋(FC →＋FB →)＋(CD →＋BA →)＋(DE →＋AE →)＝0. ∵E 、F 分别是AD 、BC 的中点，∴FC →＋FB →＝0，DE →＋AE →＝0. ∴2EF →＝－CD →－BA →＝AB →＋DC →，即EF →＝12(AB →＋DC →)．方法二取以A 为起点的向量，应用三角形法则求证．∵E 为AD 的中点，∴AE →＝12AD →.∵F 是BC 的中点，∴AF →＝12（AB →＋AC →)．又AC →＝AD →＋DC →，∴AF →＝12（AB →＋AD →＋DC →)＝12（AB →＋DC →)＋12AD →＝12（AB →＋DC →)＋AE → ∴EF →＝AF →－AE →＝12（AB →＋DC →)．即EF →＝12（AB →＋DC →)．变式迁移2 解 BC →＝BA →＋AD →＋DC →例3 解题导引 (1)在平面几何中，向量之间的关系一般通过两个指定的向量来表示，向量共线应存在实数λ使两向量能互相表示．(2)向量共线的判断(或证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．证明在△ABD 中BD →＝AD →－AB →.因为AB →＝a, AD →＝b ，所以BD →＝b －a .由共线向量定理知：CM →∥CN →，又∵CM →与CN →有公共点C ，∴M 、N 、C 三点共线．变式迁移3 （1）证明∵AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2， ∴AC →＝AB →＋BC →＝e 1－e 2＋3e 1＋2e 2 ＝4e 1＋e 2＝12-（－8e 1－2e 2) ＝12-CD →． ∴AC →与CD →共线．又∵AC →与CD →有公共点C ，∴A 、C 、D 三点共线．（2）AC →＝AB →＋BC →＝（e 1＋e 2)＋（2e 1－3e 2) ＝3e 1－2e 2，∵A 、C 、D 三点共线，∴AC →与CD →共线．从而存在实数λ使得AC →＝λCD →即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)．由平面向量的基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk .解之，得⎩⎨⎧λ＝32，k ＝43.∴k 的值为43.课后练习区1．B [由减法的三角形法则知EF →＝OF →－OE →.]3．D [题目考查两向量共线的充要条件，此定理应把握好两点：(1)与λ相乘的向量为非零向量，(2)λ存在且唯一．故②③④正确．]① ②5.6．1＋32 32解析作DF ⊥AB 交AB 的延长线于F ，设AB ＝AC ＝1⇒BC ＝DE ＝2，∵∠DEB ＝60°，∴BD ＝62. 由∠DBF ＝45°，得DF ＝BF ＝62×22＝32，所以BF →＝32AB →⋅FD →＝32AC →，所以AD →＝AB →＋BF →＋FD →＝（312+）AB →＋32AC →.7.1λa ＋λ－1λb＝a ＋λ－1λ(b －a )＝1λa ＋λ－1λb .8．0解析由OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ＝12，得AP →－12（AB →＋AC →)，即点P 为△ABC 中BC边的中点，∴PB →＋PC →＝0. ∴P A →·(PB →＋PC →)＝P A →·0＝0.9．解设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，∴AC →＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，……………………………………………………………(4分)AB →＝OB →－OA →＝t b －a .……………………………………………………………………(6分)要使A 、B 、C 三点共线，只需AC →＝λAB →，即－23a ＋13b ＝λt b －λa ，……………………………………………………………………(8分)∴⎩⎨⎧－23＝－λ，13＝λt .∴⎩⎨⎧λ＝23，t ＝12.……………………………………………………(11分)∴当t ＝12时，三向量终点在同一直线上．……………………………………………(12分)10．解取AE 的三等分点M ，使|AM |＝13|AE |，连结DM .设|AM |＝t ，则|ME |＝2t .又|AE |＝14|AC |，∴|AC |＝12t ，|EC |＝9t ， |AD ||AB |＝|AM ||AE |＝13，…………………………………………………………………………(4分) ∴DM ∥BE ，∴|PC ||DC |＝|PE ||DM |＝|EC ||MC |＝911.∴|DP |＝211|DC |.…………………………………………………………………………(8分)∴AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋211DC →＝13AB →＋211(DA →＋AC →)＝13AB →＋211⎝⎛⎭⎫－13AB →＋AC → ＝311AB →＋211AC →＝311a ＋211b .……………………………………………………………(12分) 11．(1)解 ∵点G 是△ABO 的重心， ∴GA →＋GB →＋GO →＝0.……………………………………………………………………(2分)(2)证明 ∵M 是AB 边的中点，∴OM →＝12(a ＋b )．11 ∵G 是△ABO 的重心，∴OG →＝23OM →＝13(a ＋b )． ∵P 、G 、Q 三点共线，∴PG →∥GQ →，且有且只有一个实数λ,使PG →＝λGQ →.…………………………………………………(5分)，∴(13－m )a ＋13b ＝λ[－13a ＋(n －13)b ]．…………………………………………………(8分) 又因为a 、b 不共线，所以⎩⎨⎧ 13－m ＝－13λ13＝λ(n －13)，……………………………………………………………………(10分)消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n＝3.……………………………………………(14分)。

高考数学一轮复习第五篇平面向量第4讲平面向量的应用教案理新人教版(3)

第4讲平面向量的应用
【2013年高考会这样考】
1．考查利用向量方法解决某些简单的平面几何问题．
2．考查利用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
【复习指导】
复习中重点把握好向量平行、垂直的条件及其数量积的运算，重视平面向量体现出的数形结合的思想方法，体验向量在解题过程中的工具性特点．
基础梳理
a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(3)求夹角问题，利用夹角公式
cosθ＝＝ (θ为a与b的夹角)．
2．平面向量在物理中的应用
(1)于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．
(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积．即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F与s的夹角)．
答案C
平面向量的数量积是解决平面几何中相关问题的有力工具：利用|a|可以求线段的长度，利用cosθ＝ (θ为a与b的夹角)可以求角，利用a·b＝0可以证明垂直，利用a＝λb(b≠0)可以判定平行．
【训练1】设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于()．
| |＝＝3 (km)，
又与的夹角是45°，所以a＋b表示向东北走3 km.
答案B
2．平面上有四个互异点A、B、C、D，已知( ＋－2 )·( － )＝0，则△ABC的形状是()．
A．直角三角形B．等腰直角三角形
C．等腰三角形D．无法确定
解析由( ＋－2 )·( － )＝0，得[( － )＋( － ]·( － )＝0，所以( ＋ )·( － )＝0.
一个手段
实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算．

【志鸿优化设计】高考数学(人教版,文科)一轮总复习：课时规范练24 平面向量应用举例

课时规范练24平面向量应用举例一、选择题1.已知三个力f1=(-2,-1),f2=(-3,2),f3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,再加上一个力f4,则f4等于()A.(-1,-2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(1,2)答案:D2.已知m=(-5,3),n=(-1,2),当(λm+n)⊥(2n+m)时,实数λ的值为()A. B.- C.- D.答案:C解析:由已知得|m|=,|n|=,m·n=11.∵(λm+n)⊥(2n+m),∴(λm+n)·(2n+m)=λm2+(2λ+1)m·n+2n2=0,即34λ+(2λ+1)×11+2×5=0,解得λ=-.3.已知向量a=(cosθ,sinθ),向量b=(,-1),则|2a-b|的最大值和最小值分别是()A.4,0B.4,2C.16,0D.4,0答案:D解析:由于|2a-b|2=4|a|2+|b|2-4a·b=8-4(cosθ-sinθ)=8-8cos,易知0≤8-8cos≤16,故|2a-b|的最大值和最小值分别为4和0.4.已知平面上三点A,B,C满足||=6,||=8,||=10,则的值等于()A.100B.96C.-100D.-96答案:C解析:∵||=6,||=8,||=10,62+82=102,∴△ABC为直角三角形,即·=0.∴····()=·=-||2=-100.5.在△ABC中,有如下命题,其中正确的是()①;②=0;③若()·()=0,则△ABC为等腰三角形;④若>0,则△ABC为锐角三角形.A.①②B.①④C.②③D.②③④答案:C解析:①中应为;④中·>0可化为·<0,∴∠B为钝角,∴△ABC为钝角三角形;②,③显然正确.6.已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上存在一点P使有最小值,则P点的坐标是()A.(-3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)答案:C解析:设P点坐标为(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1).·=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,·有最小值1.故点P坐标为(3,0),故选C.二、填空题7.已知e1,e2是夹角为的两个单位向量,a=e1-2e2,b=k e1+e2.若a·b=0,则实数k的值为.答案:解析:由题意知a·b=(e1-2e2)·(k e1+e2)=0,即k+e1·e2-2k e1·e2-2=0,即k+cos-2k cos-2=0,化简可求得k=. 8.在平行四边形ABCD中,已知AB=2,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点,则=.答案:-解析:··()=·()=·=1-×1×2cos60°-×4=-.9.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(3b-c)cos A=a cos C,S△ABC=,则=.答案:-1解析:依题意得(3sin B-sin C)cos A=sin A cos C,即3sin B cos A=sin A cos C+sin C cos A=sin(A+C)=sinB>0,于是有cos A=,sin A=.又因为S△ABC=·bc sin A=bc×,所以bc=3,·=bc cos(π-A)=-bc cos A=-3×=-1.10.设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)⊥b,则|a|=.答案:解析:a+c=(3,3m),由(a+c)⊥b,可得(a+c)·b=0,即3(m+1)+3m=0,解得m=-,则a=(1,-1),故|a|=.11.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为.答案:5解析:以D为原点,分别以DA,DC所在直线为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设DC=a,DP=x.∴D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x),=(2,-x),=(1,a-x),∴+3=(5,3a-4x),|+3|2=25+(3a-4x)2≥25,∴|+3|的最小值为5.三、解答题12.已知非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=|a|,求a+b与a-b的夹角.解:将|a+b|=|a-b|两边同时平方得a·b=0;将|a-b|=|a|两边同时平方得:b2=a2.所以cos<a+b,a-b>=.所以<a+b,a-b>=60°.13.在△ABC中,A=120°.(1)若三边长构成公差为4的等差数列,求△ABC的面积.(2)已知AD是△ABC的中线,若=-2,求||的最小值.解:(1)因为A=120°,设三边长为a,a-4,a-8,由余弦定理得a2=(a-4)2+(a-8) 2-2(a-4)(a-8)cos120°,即a2-18a+56=0,所以a=14,a=4(舍),S△ABC=×A B×AC×sin A=×10×6×=15.(2)因为·=||||cos A=-2,所以||·||=4.因为),所以||2=(||2+||2+2·)=(||2+||2-4)≥(2||·||-4)=×(2×4-4)=1.所以||2≥1(当且仅当|AB|=|AC|=2时等号成立).所以||min=1.14.已知A,B,C的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),α∈.(1)若||=||,求角α的值;(2)若=-1,求的值.解:(1)∵=(cosα-3,sinα),=(cosα,sinα-3),∴=(cosα-3)2+sin2α=10-6cosα,=cos2α+(sinα-3)2=10-6sinα.由||=||,可得,即10-6cosα=10-6sinα,得sinα=cosα.又∵α∈,∴α=.(2)由·=-1,得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1,∴sinα+cosα=.①又=2sinαcosα.由①式两边分别平方,得1+2sinαcosα=,∴2sinαcosα=-,∴=-.15.已知△ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a,b),n=(sin B,sin A),p=(b-2,a-2).(1)若m∥n,求证:△ABC为等腰三角形;(2)若m⊥p,边长c=2,角C=,求△ABC的面积.(1)证明:∵m∥n,∴a sin A=b sin B,即a·=b·,其中R是三角形ABC外接圆半径,a=b,∴△ABC为等腰三角形.(2)解:由题意可知m·p=0,即a(b-2)+b(a-2)=0,∴a+b=ab.由余弦定理可知,4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,即(ab)2-3ab-4=0,∴ab=4(舍去ab=-1),∴S=ab sin C=·4·sin.四、选做题1.设向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),其中0<α<β<π,若|2a+b|=|a-2b|,则β-α=()A. B.-C. D.-答案:A解析:由|2a+b|=|a-2b|得3|a|2-3|b|2+8a·b=0,而|a|=|b|=1,故a·b=0,∴cosαcosβ+sinαsinβ=0,即cos(α-β)=0,由于0<α<β<π,故-π<α-β<0,∴α-β=-,即β-α=.2.已知平面向量α,β(α≠0,α≠β)满足|β|=1,且α与β-α的夹角为120°,则|α|的取值范围是. 答案:3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B)),n=(cos B,-sin B),且m·n=-.(1)求sin A的值;(2)若a=4,b=5,求角B的大小及向量方向上的投影.解:(1)由m·n=-,得cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-,∴cos(A-B+B)=-,∴cos A=-.∵0<A<π,∴sin A=.(2)由正弦定理,有,∴sin B=.∵a>b,∴A>B,∴B=.由余弦定理,有(4)2=52+c2-2×5c×,∴c=1或c=-7(舍去).故向量方向上的投影为||cos B=c cos B=1×.。

【志鸿优化设计】2021届高考数学一轮温习解析几何单元讲评教案文新人教版(1)

单元讲评教案八解析几何一、试卷分析:本试卷要紧考查了直线与直线的位置关系,直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系,圆锥曲线的概念与性质,及直线与圆锥曲线位置关系问题,数形结合思想始终贯彻其中.二、教学目标:1.能依照两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.把握确信直线位置关系的几何要素,把握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一样式),了解斜截式与一次函数的关系.3.把握确信圆的几何要素,把握圆的标准方程与一样方程.4.能依照给定直线、圆的方程判定直线与圆的位置关系;能依照两个圆的方程,判定两圆的位置关系.5.把握椭圆及抛物线的概念、几何图形、标准方程及简单几何性质.6.了解双曲线、抛物线的概念、几何图形和标准方程,明白它们的简单几何性质.三、教学重点和难点:1.重点:直线与圆的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系.2.难点:直线与圆锥曲线位置关系问题.四、教学进程:课题引入:温习回忆本章的要点知识1.据两条直线的斜率如何判定两条直线平行、垂直?2.直线方程的五种形式各是什么?对照各类形式有何局限性?3.两直线平行与垂直的判定是什么?4.直线与圆的位置关系有几种?如何判定?5.圆与圆的位置关系有几种?如何判定?6.回忆椭圆、双曲线、抛物线的概念,几何图形、标准方程及简单几何性质.五、典题讲解:类型一直线与圆的位置关系——弦长问题例题1(以本卷中第2题为例)反思:解决此题简单方式为几何法,计算量小;即运用弦心距、弦长的一半及半径组成直角三角形计算.圆的弦长的求法有两种:(1)几何法;(2)代数法:设直线与圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,解方程组消y后得关于x的一元二次方程,从而求得x1+x2,x1x2,那么弦长为|AB|=(k为直线斜率且存在).“代数法”偏重于“数”,更多偏向于“坐标”与“方程”,而“几何法”那么偏重于“形”,利用了图形的性质,解题时应依照具体条件选取适合的方式.涉及直线与圆的题目有第9,18题中直线与圆和加入向量进行综合考查,备考进程中增强训练.类型二直线与抛物线问题例题2(以本卷中第5题为例)反思:此题中通过条件能够先求得过核心的直线方程,进而通过公式|AB|=x1+x2+p得出结论.因此在学习进程中应第一熟悉抛物线弦长公式.已知抛物线y2=2px(p>0),过其核心的直线交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),那么有以下结论:(1)|AB|=x1+x2+p或|AB|=(α为AB所在直线的倾斜角);(2)x1x2=;(3)y1y2=-p2;(4)过抛物线核心且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径,抛物线的通径长为2p.注意上述结论只适用于y2=2px(p>0)类的抛物线.假设抛物线核心位于y轴上,那么结论应相应改变.直线与抛物线结合题目有本卷第16题.类型三圆锥曲线中的存在性问题例题3(以本卷中第21(2)题为例)反思:解决存在性问题的方式及注意事项:(1)方式:存在性问题,先假设存在,推证知足条件的结论,假设结论正确那么存在,假设结论不正确那么不存在.(2)注意:当条件和结论不唯一时要分类讨论.在此题中△FPM为等腰三角形,不能确信哪二者为腰,因此在假设存在点P的前提下进行分类讨论.存在性问题的解题步骤:(1)先假设存在,引入参变量,依照题目条件列出关于参数的方程或不等式(组);(2)解此方程或不等式(组),假设有解即存在,假设无解那么不存在.在本卷中第22(2)题也有涉及存在性问题,在平常练习中应斗胆假设,多加训练.类型四圆锥曲线的标准方程与几何性质应用例题4(以本卷中第9题为例)反思:此题求双曲线的离心率关键是找出双曲线中a,c的关系.圆锥曲线的几何性质要紧围绕核心三角形、渐近线和离心率等问题进行考查,重点把条件转化为a,b,c的关系式.因此把握圆锥曲线的几何性质是基础,深刻理解概念是前提.小结:1.依照已知条件求直线方程要紧用待定系数法,专门注意斜率不存在的情形.2.两直线位置关系要紧研究两条直线平行、垂直、交点距离等问题,在解题进程中要注意数形结合和转化思想的应用.3.直线与圆的位置关系是高考热点,判定方式有代数法和几何法两种.4.熟练把握圆锥曲线的概念及几何性质在解题中能起到事半功倍的成效.5.直线与圆锥曲线问题,常常涉及到圆锥曲线的性质,最值的求法,定值问题,弦的中点、弦长、垂直,存在性问题等,另外,椭圆与平面向量相结合,大多与共线、垂直、夹角和求值有关,假设能转化为向量的坐标运算往往更易解题,因此要额外重视.。

高三数学第一轮复习单元教案第25讲平面向量的概念及运算新人教版

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版] 高三新数学第一轮复习教案（讲座25）—平面向量的概念及运算一．课标要求：（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；（2）向量的线性运算①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；③了解向量的线性运算性质及其几何意义。

二．命题走向本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。

此类题难度不大，分值5~9分。

三．要点精讲1．向量的概念①向量既有大小又有方向的量。

向量一般用……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：几何表示法，；坐标表示法。

向量的大小即向量的模（长度），记作||即向量的大小，记作｜|。

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

②零向量长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量＝｜｜＝0。

由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。

（注意与0的区别）③单位向量模为1个单位长度的向量，向量为单位向量｜｜＝1。

④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。

任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作∥。

【志鸿优化设计】2021届高考数学一轮温习函数单元讲评教案文新人教版(1)

单元讲评教案二函数一、试卷分析:本试卷考查的要紧内容包括函数的图象及性质,如:概念域、值域、单调性、奇偶性、周期性,函数的零点,即方程根的问题,函数的应用,专门重点考查二次函数图象及性质的应用,这也是高考的重点.二、教学目标:1.了解函数的奇偶性及周期性,并会研究函数的奇偶性.2.明白得函数的单调性及最值,并会研究函数的性质.3.会用大体初等函数明白得、分析、研究函数的性质,专门明白得二次函数的概念及图象特点,把握二次函数的最值及性质.4.了解函数零点与方程根的联系,零点存在性定理.5.会运用函数图象明白得和研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式的解的问题.三、教学重点和难点:1.重点:函数的图象与性质.2.难点:函数的图象与性质的应用.四、教学进程:课题引入:温习回忆本章的要点知识1.函数的性质要紧包括哪些?2.判定函数奇偶性的经常使用方式有哪些?3.如何判断函数的单调性或求单调区间?4.判定零点个数的方式.5.二次函数的图象与性质及其应用.6.图象变换.五、典题讲解:类型一函数奇偶性应用例题1(以本卷中第2题为例)反思:此题是已知函数的奇偶性,求函数值,采取的方式是将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.在高考中,还会涉及利用函数奇偶性求解函数解析式问题,求函数解析式中参数值问题及应用奇偶性画图象和判定单调性问题.灵活运用奇偶性和单调性的题目有第4,7题等.类型二二次函数最值问题例题2(以本卷中第21(2)题为例)反思:配方式是解决二次函数最值问题的经常使用方式,但要注意自变量范围与对称轴之间的关系,此题中已知最值,对称轴中含有参数,即对称轴是动的,区间是固定的,因此需依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论,最终确信参数的值.除轴动区间定,在备考进程中还应注意轴定区间定和轴定区间动两种类型.固然,在求解进程中,常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解,在区间的端点或二次函数图象的极点处取得最值.类型三函数图象例题3(以本卷中第10题为例)反思:已知函数解析式选择大致图象的题目为高考中的高频考点,解决此类问题的方式:(1)从函数的概念域,判定图象的左右位置;从函数的值域,判定图象的上下位置;(2)从函数的单调性,判定图象的转变趋势;(3)从函数的奇偶性,判定图象的对称性;(4)从函数的周期性,判定图象的周而复始;(5)从函数的极值点,判定函数图象的拐点.利用上述方式,排除、挑选错误与正确的选项.图象的应用涉及函数的大部份问题,如求值域、单调区间,求参数的范围,判定超级规方程解的个数等,这也是数形结合思想在中学数学中的重要表现,平常备考训练中多注意此方面的练习.小结:1.函数的性质往往不是单纯考查一个,而是综合考查,因此需要对函数的各个性质超级熟悉,并能结合图象特点,对各个性质进行综合运用.性质还常与向量、不等式、数列等知识相结合,进行综合考查.2.关于函数零点,除把握好常规的考向外,还应注重与函数的奇偶性、周期性、值域等性质的综合问题.3.熟练把握二次函数的图象与性质,关于解决二次函数最值及单调性问题能起到事半功倍的成效.另外,与二次函数有关的不等式恒成立问题可转化为二次函数最值问题进行求解.4.函数图象为研究函数数量关系提供了“形”的直观性,表现了数形结合思想,函数图象会涉及三方面问题:作图、识图、用图.。

【志鸿优化设计】2021届高考数学一轮温习不等式单元讲评教案文新人教版(1)

单元讲评教案六不等式一、试卷分析:本试卷考查的要紧内容是不等式的解决方式.包括:大体不等式、恒成立不等式、一元二次不等式、分式不等式的解法.为了突出学生的创新、拓展性,还考查了含参数的不等式分类讨论.二、教学目标:1.明白得大体不等式,会应用大体不等式解决一些简单的求最值问题.2.把握大体不等式中“1”的妙用.3.会依照判定方程的根的个数,讨论判别式Δ与0的关系.三、教学重点和难点:1.重点:大体不等式,不等式的解法.2.难点:分式中不等式及含参数的分类讨论.四、教学进程:课题引入:温习回忆本章的要点知识1.大体不等式的成立条件是什么?2.如何判定或证明不等式恒成立问题?五、典题讲解:类型一“1”的妙用例题1(以本卷中第5题为例)已知=1(x>0,y>0),那么x+y的最小值为( )A.12B.14C.16D.18解析:由x+y=(x+y)·1=(x+y)=10+≥10+2=18.当且仅那时取等号.应选D.答案:D反思:在处置有关最值问题时,往往依照“1”的变形,结合大体不等式的知识,从而确信答案.类型二不等式的解法类型例题2(以本卷中第3题为例)由≤x-2,那么-(x-2)≤0,∴≤0,∴≥0.∴≥0.∴≥0,∴解得0≤x<2或x≥4.应选B.反思:不等式的解法,要分类总结.(1)分式不等式:化为整式不等式求解,具体方式是移项、通分、化整式.(2)无理不等式:两边平方、化为有理不等式.(3)一元一次、一元二次不等式要迅速解出答案.类型三线性计划问题例题3(以本卷中第6题为例)反思:线性计划问题是近几年高考的热点,也是必考点,那么,要想把握线性计划问题,就必需重点把握好线性计划的三种常考类型.(1)化斜率型,如此题.(2)化截距型.(3)化距离型,如本试卷中第13题.灵活把握这三类题型,是高考必胜的宝贝.类型四不等式中恒成立问题例题4(以本卷中第22题为例)反思:(1)用概念法证明函数的单调性.(2)由奇偶性列出三个不等式进行求解.(3)有关恒成立问题:若m≥f(x)恒成立,那么m≥f(x)max即可;若m≤f(x)恒成立,那么m≤f(x)min即可.小结:1.大体不等式是求解或证明不等式的重要依据.2.线性计划问题要注意三种类型的应用.3.恒成立问题要分离参数、转化为求最值的问题.。

高考数学一轮复习专题24 平面向量的概念及其线性运算教学案文-人教版高三全册数学教学案

专题24 平面向量的概念及其线性运算1.了解向量的实际背景．2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3.理解向量的几何表示．4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |＝|λ||a |； (2)当λ＞0时，λa的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝λμa ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa ．高频考点一平面向量的概念例1、下列命题中，不正确的是________(填序号). ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .解析 ①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.②正确.∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB →|＝|DC →|， AB →∥DC →且AB →，DC →方向相同，因此AB →＝DC →.③正确.∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c . 答案 ①【方法规律】(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是与a 同方向的单位向量.【变式探究】下列命题中，正确的是________(填序号). ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.答案 ③高频考点二平面向量的线性运算例2、(1)在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC .若AB →＝a ，AC →＝b ，则PQ →＝( )A.13a ＋13b B.－13a ＋13bC.13a －13bD.－13a －13b(2)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________. 解析 (1)PQ →＝PB →＋BQ →＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b ，故选A. (2)由题中条件得，MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →＝xAB →＋yAC →，所以x＝12，y ＝－16. 答案 (1)A (2)12 －16【方法规律】(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.【变式探究】 (1)如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个靠近B 点的三等分点，那么EF →等于( ) A.12AB →－13AD → B.14AB →＋12AD → C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD →(2)在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ等于( ) A.1 B.12C.13D.23(2)∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，∴2AO →＝AB →＋13BC →，即AO →＝12AB →＋16BC →.故λ＋μ＝12＋16＝23.答案 (1)D (2)D【感悟提升】平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．【变式探究】如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为( )A.29B.27C.25D.23 答案 A高频考点三共线定理的应用例3、设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b ).求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线. (1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b ).∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →.∴AB →，BD →共线，又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线.(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ， ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.【方法规律】(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立. 【变式探究】 (1)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( ) A.A ，B ，C 三点共线 B.A ，B ，D 三点共线 C.A ，C ，D 三点共线D.B ，C ，D 三点共线(2)已知A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则使等式x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立的实数x 的取值集合为( ) A.{0}B.∅C.{－1}D.{0，－1}答案 (1)B (2)D高频考点四、方程思想在平面向量线性运算中的应用例4、如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.解设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b . AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .[3分]又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →与AD →共线． ∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →，即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b .[5分] ∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1，n ＝t 1.消去t 1得，4m ＋n ＝1.②由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .【感悟提升】(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)易错点是找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A 、M 、D 三点共线和B 、M 、C 三点共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会．【方法技巧】1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”． 2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．3．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O ，OA →，OB →不共线，满足OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则P ，A ，B 共线⇔x ＋y ＝1.【易错提醒】1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．1.【2016高考新课标2理数】已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m =（）（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D2.【2016高考江苏卷】如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .【答案】78【解析】因为222211436=42244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--==（）（）， 2211114123234FD BCBF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==-（）（），因此22513,82FD BC ==，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--===（）（）【2015高考新课标1，理7】设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（）（A ）1433AD AB AC =-+ (B)1433AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ (D)4133AD AB AC =- 【答案】A【解析】由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A.1．（2014·辽宁卷）设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0，命题q ：若a ∥b ，b∥c ，则a∥c ，则下列命题中真命题是( ) A ．p ∨q B ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q ) 【答案】A【解析】由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时，a ，c 一定共线，故命题q 是真命题．故p ∨q 为真命题．2．（2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．【答案】90°3．（2014·四川卷）平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 【答案】2【解析】c ＝ma ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)，由题意知a ·c |a |·|c |＝b ·c |b |·|c |，即（1，2）·（m ＋4，2m ＋2）12＋22＝（4，2）·（m ＋4，2m ＋2）42＋22，即5m ＋8＝8m ＋202，解得m ＝2.4．（2013·江苏卷）设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC.若DE →＝λ1AB→＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．【答案】12【解析】如图所示，DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－23AB →＋23AC →，又DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，且AB →与AC →不共线，所以λ1＝12－23，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.5．（2013·陕西卷）设a ，b 为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C6．（2013·四川卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2 A －B 2cos B－sin (A －B)sin B ＋cos(A ＋C)＝－35.(1)求cos A 的值；(2)若a ＝4 2，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．【解析】(1)由2cos2A －B 2cos B －sin(A －B)sin B ＋cos(A ＋C)＝－35，得 [cos(A －B)＋1]cosB －sin(A －B)sinB －cosB ＝－35，即cos(A －B)cosB －sin(A －B)sinB ＝－35，则cos(A －B ＋B)＝－35，即cos A ＝－35.(2)由cos A ＝－35，0<A<π，得sinA ＝45.由正弦定理，有a sin A ＝b sinB ，所以sinB ＝bsinA a ＝22.由题意知a>b ，则A>B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(4 2)2＝52＋c 2－2×5c×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cosB ＝22.7．（2013·四川卷）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________．【答案】2【解析】根据向量运算法则，AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，故λ＝2.8．（2013·重庆卷）在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|＜12，则|OA→|的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，52 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，72 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，2 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤72，2【答案】D又(x －a)2＋y 2＝1，得x 2＋y 2＋a 2＝1＋2ax≤1＋a 2＋x 2，则y 2≤1；同理由x 2＋(y －b)2＝1，得x 2≤1，即有x 2＋y 2≤2②. 由①②知74＜x 2＋y 2≤2，所以72＜x 2＋y 2≤ 2.而|OA →|＝x 2＋y 2，所以72＜|OA →|≤2，故选D.1.已知下列各式：①AB →＋BC →＋CA →；②AB →＋MB →＋BO →＋OM →；③OA →＋OB →＋BO →＋CO →；④AB →－AC →＋BD →－CD →.其中结果为零向量的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4解析由题知结果为零向量的是①④，故选B. 答案 B2.设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A.a 与λa 的方向相反 B.a 与λ2a 的方向相同 C.|－λa |≥|a |D.|－λa |≥|λ|·a答案 B3.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A.0B.BE →C.AD →D.CF →解析由题图知BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋CB →＝CB →＋BF →＝CF →. 答案 D4.设a 0为单位向量，下述命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( ) A.0B.1C.2D.3解析向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3. 答案 D5.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( ) A.OM → B.2OM →C.3OM →D.4OM →解析 OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →.故选D. 答案 D6.在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c答案 A7.设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( ) A.－2 B.－1C.1D.2解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线. 设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )， ∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1. 答案 B8.如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.a －12bB.12a －b C.a ＋12b D.12a ＋b解析连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .答案 D9.设e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为( ) A.－94B.－49C.－38D.不存在答案 A10.已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则( ) A.点P 在线段AB 上 B.点P 在线段AB 的反向延长线上 C.点P 在线段AB 的延长线上 D.点P 不在直线AB 上解析因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B. 答案 B11.O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫avs4alco 1(f (o (AB,sup 6(→)),|AB →|)＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.外心B.内心C.重心D.垂心答案 B12.若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________.解析 OB →＋OC →－2OA →＝(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|.故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形. 答案直角三角形13.向量e 1，e 2不共线，AB →＝3(e 1＋e 2)，CB →＝e 2－e 1，CD →＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线.其中所有正确结论的序号为________. 解析由AC →＝AB →－CB →＝4e 1＋2e 2＝2CD →，且AB →与CB →不共线，可得A ，C ，D 共线，且B 不在此直线上. 答案 ④14.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.解析由已知条件得MB →＋MC →＝－MA →，如图，延长AM 交BC 于D 点，则D 为BC 的中点.延长BM 交AC 于E 点，延长CM 交AB 于F 点，同理可证E ，F 分别为AC ，AB 的中点，即M 为△ABC 的重心，∴AM →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，则m ＝3.答案 3。

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