(新)高中数学第2章推理与证明2_1合情推理与演绎推理2_1_2演绎推理自主练习苏教版选修1-21
2020高中数学 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理讲义 2-2
2.1。
1 合情推理1.归纳推理(1)概念:由某类事物的□01部分对象具有某些特征,推出该类错误!全部对象都具有这些特征的推理,或由错误!个别事实概括出错误!一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).(2)特征:归纳推理是由错误!部分到错误!整体、由错误!个别到错误!一般的推理.(3)一般步骤:第一步,通过观察个别情况发现某些错误!相同性质;第二步,从已知的错误!相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).2.类比推理(1)概念:由两类对象具有某些□,11类似特征和其中一类对象的某些错误!已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).(2)特征:类比推理是由错误!特殊到错误!特殊的推理.(3)一般步骤:第一步,找出两类事物之间的错误!相似性或错误!一致性;第二步,用一类事物的错误!性质去推测另一类事物的错误!性质,得出一个明确的命题(猜想).3.合情推理(1)含义归纳推理和类比推理都是根据已有事实,经过错误!观察、错误!分析、错误!比较、错误!联想,再进行错误!归纳、错误!类比,然后提出错误!猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.(2)合情推理的过程错误!→错误!→错误!→错误!归纳推理与类比推理的区别与联系区别:归纳推理是由特殊到一般的推理;类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理.联系:在前提为真时,归纳推理与类比推理的结论都可真或可假.1.判一判(正确的打“√",错误的打“×”)(1)统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估计总体,这种估计属于类比推理.( )(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用. ()(3)归纳推理是由个别到一般的推理.( )答案(1)×(2)×(3)√2.做一做(1)已知数列{a n}中,a1=1,a n+1=错误!(n∈N*),则可归纳猜想{a n}的通项公式为__________________.(2)数列5,9,17,33,x,…中的x等于________.(3)等差数列{a n}中有2a n=a n-1+a n+1(n≥2且n∈N*),类比以上结论,在等比数列{b n}中类似的结论是__________.答案(1)a n=错误!(n∈N*) (2)65 (3)b错误!=b n-1·b n+1(n≥2且n∈N*)探究1 数列中的归纳推理例1 已知数列{a n}的首项a1=1,且a n+1=错误!(n=1,2,3,…),试归纳出这个数列的通项公式.[解]当n=1时,a1=1,当n=2时,a2=错误!=错误!,当n=3时,a3=错误!=错误!,当n=4时,a4=错误!=错误!,…通过观察可得:数列的前四项都等于相应序号的倒数,由此归纳出数列{a n}的通项公式是a n=错误!。
高中数学《第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.2演绎推理...》937PPT课件
当 a≤0时,∵x≥0,∴f'(x)≥0,所以函数 f(x)在[0,+∞)上递增.
a
a
当 a>0时,当 x∈(0, )时,f'(x)<0,∴函数 f(x)在(0, )上递减.
3
3
a
a
当 x∈( ,+∞)时,f'(x)>0,∴函数 f(x)在( ,+∞)上递
3
3
增.
综上得,当 a≤0时,函数 f(x)在[0,+∞)上单调递增;当
O 的弦 AM ,并延长至 M ',使 AM '=λAM (λ>1). (1)猜想 M '的轨迹是什么?并证明你的猜想; (2)☉O 的面积与新轨迹的所围成图形的面积的比是多少?
解:(1)猜想 M '的轨迹为圆,证明如下:
设 M '(x,y),M (x0,y0),则 AM' =(x,y-1), AM =(x0,y0-1).
3a .
3
3 33 9
a
③当 >2,即 a>6时,f(x)在[0,2]上递减,∴g(a)=f(2)=
2 (2-a).
3
0a 0
综上:g(a)=
2a 3a 0
9
22 aa
a
6. 6
【例 1】 设函数 f(x)=x3+ax2-a2x+1,g(x)=ax2-2x+1,其中
实数 a≠0.
(1)若 a>0,求函数 y=f(x)的单调区间; (2)当函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象只有一个公共点且 g(x) 存在最小值时,记 g(x)的最小值为 h(a),求 h(a)的值域; (3)若 f(x)与 g(x)在区间(a,a+2)内均为增函数,求 a的取值 范围.
_高中数学第二章推理与证明1
• 4.其他演绎推理形式 • (1)假言推理:“若p⇒q,p真,则q真”. • (2)关系推理:“若aRb,bRc,则aRc”R表示一种传递性关系
,如a∥b,b∥c⇒a∥c,a≥b,b≥c⇒a≥c等. • 注:假言推理、关系推理在新课标中未给定义,但这种推理
形式是经常见到的,为表述记忆方便,我们也一块给出,以 供学生扩展知识面.
第二章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.2 演绎推理
目标导航
• 理解演绎推理的概念,掌握演绎推理的形式,并能用它们进行 一些简单的推理,了解合情推理与演绎推理的联系与区别.
重点难点
• 重点:演绎推理的含义及演绎推理规则. • 难点:演绎推理的应用.
新知导学
1.演绎推理
• 日常生活中我们经常接触这样的推理形式:“所有金属都导 电,因为铁是金属,所以铁导电”,它是合情推理吗?这种 推理形式正确吗?
• (2)利用集合知识说明“三段论”:若集合M的所有元素都具有 性质P,S是M的一个子集,那么 __S_中__所__有__元__素__也__都__具__有__性__质__P__.
• (3)为了方便,在运用三段论推理时,常常采用省略大前提或 小前提的表述方式.对于复杂的论证,总是采用一连串的三段 论,把前一个三段论的___结__论___作为下一个三段论的前提.
互动探究
1.演绎推理的基本形式——三段论
• 例题1 用三段论的形式写出下列演绎推理. • (1)菱形的对角线相互垂直,正方形是菱形,所以正方形的对
角线相互垂直. • (2)若两角是对顶角,则此两角相等,所以若两角不相等,则
此两角不是对顶角. • [分析] 即写出推理的大前提、小前提、结论.大前提可能
环小数,所以e是无理数. • [答案] (1)a=-8,(2)无限不循环小数都是无理数
高中数学(2.1.2-演绎推理)
演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维 过程.
数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.
归纳小结
推 理
合情推理 (或然性推理)
演绎推理 (必然性推理)
归纳 类比 三段论 (特殊到一般) (特殊到特殊) (一般到特殊)
观察与思考 1.所有的金属都能导电,
因为铜是金属, 所以铜能够导电. 2.一切奇数都不能被2整除,
大前提
小前提 结论
3.三角函数都是周期函数,
大前提 小前提 结论
4.全等的三角形面积相等
从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这 种推理称为演绎推理. 注:
1.演绎推理是由一般到特殊的推理; 2.“三段论”是演绎推理的一般模式;包括 ⑴大前提——已知的一般原理; ⑵小前提——所研究的特殊情况; ⑶结论——据一般原理,对特殊情况做出的判断. 3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:
第二章 推理与证明
2.1合情推理与演绎推理 2.1.2演绎推理
复习:合情推理 归纳推理
类比推理
复习:合情推理
归纳推理的一般步骤:
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 ⑵ 提出带有规律性的结论,即猜想; ⑶ 检验猜想。 类比推理的一般步骤: ⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; ⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特 征,从而得出一个猜想; ⑶ 检验猜想。 整理;
想一想,下例是演绎推理吗,请说明理由 1.全等三角形面积相等
2.相似三角形面积相等
证明:(1)因为有一个内角是直角的三角形是直 角三角形,
大前提 小前提 结论
(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,
大前提 小前提 结论
证明:
高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.2演绎推理课件新人教B版选修2_2
D.在数列{an}中,a1=1,an= 2 ������������ -1 + ������ {an}的通项公式
答案:A
1
1
������-1
(������≥2),由此归纳出
1
2
【做一做2-2】 “因为a⊥α,b⊥α,所以a∥b,又因为b∥c,所以a∥c.” 以上推理的两个步骤分别遵循的推理规则是( ) A.第一步遵循完全归纳推理,第二步遵循传递性关系推理 B.第一步遵循三段论推理,第二步遵循完全归纳推理 C.第一步遵循三段论推理,第二步遵循传递性关系推理 D.第一步遵循传递性关系推理,第二步遵循三段论推理 答案:C
1
2
【做一做2-1】 下面几种推理过程是演绎推理的是 ( ) A.两条直线平行,同旁内角互补,若∠A与∠B是两条平行直线的同 旁内角,则∠A+∠B=180° B.某校高三(1)班有55人,(2)班有54人,(3)班有52人,由此得高三所 有班人数都超过50人 C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质
������������ 因为 ������������
=2=
������������ , 所以MN∥PQ. ������������
又因为MN⊈平面ADC,PQ⊆平面ADC, 所以MN∥平面ACD.
题型一
题型二
题型三
反思 “三段论”是演绎推理的一般模式,包括: (1)大前提——已知的一般原理; (2)小前提——所研究的特殊情况; (3)结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断.
1
2
【做一做1】 演绎推理是( ) A.部分到整体,个别到一般的推理 B.特殊到特殊的推理 C.一般到特殊的推理 D.一般到一般的推理 答案:C
1
2019最新高中数学 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.2 演绎推理学案 新人教A版选修2-2
2.1.2 演绎推理学习目标:1.理解演绎推理的含义.(重点)2.掌握演绎推理的模式,会利用三段论进行简单的推理.(重点、易混点)[自主预习·探新知]1.演绎推理(1)含义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.(2)特点:演绎推理是由一般到特殊的推理.2.三段论[提示]在演绎推理中,大前提描述的是一般原理,小前提描述的是大前提里的特殊情况,结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断,这与平时我们解答问题中的思考是一样的,即先指出一般情况,从中取出一个特例,特例也具有一般意义.例如,平行四边形对角线互相平分,这是一般情况;矩形是平行四边形,这是特例;矩形对角线互相平分,这是特例具有一般意义.[基础自测]1.思考辨析(1)“三段论”就是演绎推理.( )(2)演绎推理的结论是一定正确的.( )(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理.( )(4)演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关.( )[答案](1)×(2)×(3)× (4)√2.“四边形ABCD是矩形,所以四边形ABCD的对角线相等”,补充该推理的大前提是( )A.正方形的对角线相等B.矩形的对角线相等C.等腰梯形的对角线相等D.矩形的对边平行且相等B[得出“四边形ABCD的对角线相等”的大前提是“矩形的对角线相等”.]3.三段论:“①小宏在2018年的高考中考入了重点本科院校;②小宏在2018年的高考中只要正常发挥就能考入重点本科院校;③小宏在2018年的高考中正常发挥”中,“小前提”是________(填序号).[解析]在这个推理中,②是大前提,③是小前提,①是结论.[答案]③4.下列几种推理过程是演绎推理的是________. 【导学号:31062133】①两条平行直线与第三条直线相交,内错角相等,如果∠A和∠B是两条平行直线的内错角,则∠A=∠B;②金导电,银导电,铜导电,铁导电,所以一切金属都导电;③由圆的性质推测球的性质;④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇.[解析]①是演绎推理;②是归纳推理;③④是类比推理.[答案]①[合作探究·攻重难](1)( ) A.大前提:无限不循环小数是无理数;小前提:π是无理数;结论:π是无限不循环小数B.大前提:无限不循环小数是无理数;小前提:π是无限不循环小数;结论:π是无理数C.大前提:π是无限不循环小数;小前提:无限不循环小数是无理数;结论:π是无理数D.大前提:π是无限不循环小数;小前提:π是无理数;结论:无限不循环小数是无理数(2)将下列推理写成“三段论”的形式:①向量是既有大小又有方向的量,故零向量也有大小和方向;②0.332是有理数;③y=sin x(x∈R)是周期函数.[解析](1)对于A,小前提与大前提间逻辑错误,不符合演绎推理三段论形式;对于B,符合演绎推理三段论形式且推理正确;对于C,大小前提颠倒,不符合演绎推理三段论形式;对于D,大小前提及结论颠倒,不符合演绎推理三段论形式.[答案] B(2)①大前提:向量是既有大小又有方向的量.小前提:零向量是向量.结论:零向量也有大小和方向.②大前提:所有的循环小数都是有理数.小前提:0.332是循环小数.结论:0.332是有理数.③大前提:三角函数是周期函数.小前提:y=sin x(x∈R)是三角函数.结论:y=sin x(x∈R)是周期函数.[规律方法]把演绎推理写成“三段论”的一般方法:用“三段论”写推理过程时,关键是明确大、小前提,三段论中大前提提供了一个一般性原理,小前提提供了一种特殊情况,两个命题结合起来,揭示一般性原理与特殊情况的内在联系在寻找大前提时,要保证推理的正确性,可以寻找一个使结论成立的充分条件作为大前提.[跟踪训练]1.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数,以上推理中“三段论”中的________是错误的.【导学号:31062134】[解析]f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,故小前提错误.[答案]小前提2.将下列演绎推理写成三段论的形式.①平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分;②等腰三角形的两底角相等,∠A,∠B是等腰三角形的底角,则∠A=∠B;③通项公式为a n=2n+3的数列{a n}为等差数列.[解]①大前提:平行四边形的对角线互相平分,小前提:菱形是平行四边形,结论:菱形的对角线互相平分.②大前提:等腰三角形的两底角相等,小前提:∠A,∠B是等腰三角形的底角,结论:∠A=∠B.③大前提:数列{a n}中,如果当n≥2时,a n-a n-1为常数,则{a n}为等差数列,小前提:通项公式为a n=2n+3时,若n≥2,则a n-a n-1=2n+3-[2(n-1)+3]=2(常数),结论:通项公式为a n=2n+3的数列{a n}为等差数列.=∠A,DE∥BA,求证:DE=AF.写出“三段论”形式的演绎推理.图2112[解] (1)同位角相等,两直线平行,(大前提)∠BFD和∠A是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提)所以DF∥AE.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)DE∥BA且DF∥EA,(小前提)所以四边形AFDE为平行四边形.(结论)(3)平行四边形的对边相等,(大前提)DE和AF为平行四边形的对边,(小前提)所以DE=AF.(结论)[规律方法]1.用“三段论”证明命题的格式2①理清楚证明命题的一般思路;②找出每一个结论得出的原因;③把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来.[跟踪训练]3.如图2113,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点.求证:EF∥平面BCD.【导学号:31062135】图2113[证明]三角形的中位线平行于底面,(大前提)点E 、F 分别是AB 、AD 的中点,(小前提) 所以EF ∥BD .(结论)若平面外一条直线平行于平面内一条直线, 则这条直线与此平面平行,(大前提)EF ⊂平面BCD ,BD ⊂平面BCD ,EF ∥BD ,(小前提) EF ∥平面BCD . (结论)[探究问题1.数的大小比较常见方法有哪些?提示:作差法、作比法、函数性质法(单调性、奇偶性等)、图象法、中间量法(常取0或1作为媒介)等.2.证明函数性质(单调性、奇偶性、周期性)的依据是什么?试以函数单调性给予说明. 提示:证明函数性质(单调性、奇偶性、周期性)的依据是函数性质的相关定义及有关的知识原理.如函数单调性的证明常依据函数单调性的定义及单调性与导数的关系给予证明.3.判断数列是等差(等比)数列的依据是什么?提示:判断数列是等差(等比)数列的依据是等差(等比)数列的定义.(1)设x ,y ,z 为正数,且2x =3y =5z ,则( )【导学号:31062136】A .2x <3y <5zB .5z <2x <3yC .3y <5z <2xD .3y <2x <5z(2)已知函数f (x )=a x+x -2x +1(a >1),证明:函数f (x )在(-1,+∞)上为增函数. [思路探究] 1.借助于指对互化及不等式大小的比较方法求解;2.利用函数的单调性或导数法求解.(1)D [令t =2x=3y=5z, ∵x ,y ,z 为正数,∴t >1.则x =log 2t =lg t lg 2,同理,y =lg t lg 3,z =lg t lg 5.∴2x -3y =2lg tlg 2-3lg t lg 3=lg t -lg 2×lg 3=lg t -lg 2×lg 3>0,∴2x >3y .又∵2x -5z =2lg tlg 2-5lg t lg 5=lg t -lg 2×lg 5=lg t-lg 2×lg 5<0,∴2x <5z , ∴3y <2x <5z . 故选D.](2)法一:(定义法)任取x 1,x 2∈(-1,+∞), 且x 1<x 2, 则f (x 2)-f (x 1) =ax 2+x 2-2x 2+1-ax 1-x 1-2x 1+1=ax 2-ax 1+x 2-2x 2+1-x 1-2x 1+1=ax 1(a x 2-x1-1)+x 1+x 2--x 1-x 2+x 2+x 1+=ax 1(ax 2-x 1-1)+x 2-x 1x 2+x 1+.因为x 2-x 1>0,且a >1, 所以ax 2-x 1>1.而-1<x 1<x 2,所以x 1+1>0,x 2+1>0, 所以f (x 2)-f (x 1)>0,所以f (x )在(-1,+∞)上为增函数. 法二:(导数法)f (x )=a x+x +1-3x +1=a x +1-3x +1. 所以f ′(x )=a xln a +3x +2.因为x >-1,所以(x +1)2>0, 所以3x +2>0.又因为a >1,所以ln a >0,a x>0, 所以a xln a >0.所以f ′(x )>0. 于是得f (x )=a x+x -2x +1在(-1,+∞)上是增函数. 母题探究:1.(变条件)把本例(1)的条件变换如下:已知2a =3,2b =6,2c=12,则a ,b ,c 的关系是( ) A .成等差数列但不成等比数列 B .成等差数列且成等比数列 C .成等比数列但不成等差数列 D .不成等比数列也不成等差数列 A [由条件可知a =log 23,b =log 26,c =log 212.因为a +c =log 23+log 212 =log 2 36=2log 2 6=2b , 所以a ,b ,c 成等差数列.又因为ac =log 2 3log 2 12≠(log 2 6)2=b 2, 所以a ,b ,c 不成等比数列.故选A.]2.(变条件)把本例(2)的函数换成“y =2x-12x +1”,求证:函数y =2x-12x +1是奇函数,且在定义域上是增函数.[证明] y =x+-22x+1=1-22x +1, 所以f (x )的定义域为R .f (-x )+f (x )=⎝⎛⎭⎪⎫1-22-x+1+⎝ ⎛⎭⎪⎫1-22x +1 =2-⎝⎛⎭⎪⎫22x +1+22-x +1=2-⎝ ⎛⎭⎪⎫22x +1+2·2x2x +1=2-x+2x+1=2-2=0.即f (-x )=-f (x ),所以f (x )是奇函数. 任取x 1,x 2∈R ,且x 1<x 2.则f (x 1)-f (x 2)=⎝ ⎛⎭⎪⎫1-22x 1+1-⎝ ⎛⎭⎪⎫1-22x 2+1=2⎝⎛⎭⎪⎫12x 2+1-12x 1+1=2·2x 1-2x 2x 2+x 1+.由于x 1<x 2,从而2x 1<2x 2,2x 1-2x 2<0, 所以f (x 1)<f (x 2),故f (x )为增函数.[规律方法] 五类代数问题中的三段论函数类问题:比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等导数的应用:利用导数研究函数的单调区间,求函数的极值和最值,证明与函数有关的不等式等三角函数问题:利用三角函数公式进行三角恒等变换,证明三角恒等式数列问题:数列的通项公式,前n项和公式的应用,证明等差数列和等比数列不等式类问题:如不等式恒成立问题,线性规划以及基本不等式的应用问题.[当堂达标·固双基]1.平行于同一直线的两直线平行,因为a∥b,b∥c,所以a∥c,这个推理称为( ) A.合情推理B.归纳推理C.类比推理D.演绎推理D[本题的推理模式是三段论,故该推理是演绎推理.]2.三段论①只有船准时起航,才能准时到达目的港;②这艘船是准时到达目的港的;③这艘船是准时起航的,其中大前提是( )【导学号:31062137】A.①B.②C.①②D.③A[根据三段论的定义,①为大前提,③为小前提,②为结论,故选A.]3.若大前提是:任何实数的平方都大于0,小前提是:a∈R,结论是:a2>0,那么这个演绎推理出错在( )A.大前提B.小前提C.推理过程D.没有出错A[要分析一个演绎推理是否正确,主要观察所给的大前提、小前提和结论及推理形式是否都正确,若这几个方面都正确,才能得到这个演绎推理正确.因为任何实数的平方都大于0,又因为a是实数,所以a2>0,其中大前提是:任何实数的平方都大于0,它是不正确的.]4.函数y=2x+5的图象是一条直线,用三段论表示为:大前提:______________________________________________________.小前提:______________________________________________________.结论:________________________________________________________.[解析]本题忽略了大前提和小前提.大前提为:一次函数的图象是一条直线.小前提为:函数y=2x+5为一次函数.结论为:函数y=2x+5的图象是一条直线.[答案]一次函数的图象是一条直线函数y=2x+5是一次函数函数y=2x+5的图象是一条直线5. 用三段论证明:直角三角形两锐角之和为90°.[证明]因为任意三角形内角之和为180°(大前提),而直角三角形是三角形(小前提),所以直角三角形内角之和为180°(结论).设直角三角形两个锐角分别为∠A、∠B,则有∠A+∠B+90°=180°,因为等量减等量差相等(大前提),(∠A+∠B+90°)-90°=180°-90°(小前提),所以∠A+∠B=90°(结论).。
高中数学第二章推理与证明2.1.2演绎推理学案含解析
2.1.2 演绎推理看下面两个问题:(1)一切奇数都不能被2整除,(22 017+1)是奇数,所以(22 017+1)不能被2整除;(2)两个平面平行,则其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面,如果直线a 是其中一个平面内的一条直线,那么a平行于另一个平面.问题1:这两个问题中的第一句都说的什么?提示:都说的一般原理.问题2:第二句又都说的什么?提示:都说的特殊示例.问题3:第三句呢?提示:由一般原理对特殊示例做出判断.1.演绎推理的概念从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理.2.三段论“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:(1)大前提——已知的一般原理;(2)小前提——所研究的特殊情况;(3)结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.“三段论”可以表示为:大前提:M是P.小前提:S是M.结论:S是P.演绎推理的三个特点(1)演绎推理的前提是一般性原理,演绎推理所得的结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴含于前提之中.(2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系,只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的.因而演绎推理是数学中严格证明的工具.(3)演绎推理是由一般到特殊的推理.(1)一切奇数都不能被2整除,75不能被2整除,所以75是奇数.(2)三角形的内角和为180°,Rt△ABC的内角和为180°.(3)菱形对角线互相平分.(4)通项公式为a n=3n+2(n≥2)的数列{a n}为等差数列.(1)一切奇数都不能被2整除.(大前提)75不能被2整除.(小前提)75是奇数.(结论)(2)三角形的内角和为180°.(大前提)Rt△ABC是三角形.(小前提)Rt△ABC的内角和为180°.(结论)(3)平行四边形对角线互相平分.(大前提)菱形是平行四边形.(小前提)菱形对角线互相平分.(结论)(4)数列{a n}中,如果当n≥2时,a n-a n-1为常数,则{a n}为等差数列.(大前提)通项公式a n=3n+2,n≥2时,a n-a n-1=3n+2-=3(常数).(小前提)通项公式为a n=3n+2(n≥2)的数列{a n}为等差数列.(结论)三段论的推理形式三段论推理是演绎推理的主要模式,推理形式为“如果b⇒c,a⇒b,则a⇒c”.其中,b⇒c为大前提,提供了已知的一般性原理;a⇒b为小前提,提供了一个特殊情况;a⇒c为大前提和小前提联合产生的逻辑结果.把下列推断写成三段论的形式:(1)y=sin x(x∈R)是周期函数.(2)若两个角是对顶角,则这两个角相等,所以若∠1和∠2是对顶角,则∠1和∠2相等.解:(1)三角函数是周期函数,大前提y=sin x(x∈R)是三角函数,小前提y=sin x(x∈R)是周期函数.结论(2)两个角是对顶角,则这两个角相等,大前提 ∠1和∠2是对顶角,小前提 ∠1和∠2相等.结论角△ABC 中,AD ,BE 是高,D ,E 为垂足,M 为AB 的中点.求证:ME =MD .∵有一个内角为直角的三角形为直角三角形,……大前提 在△ABD 中,AD ⊥CB ,∠ADB =90°,………………………………小前提∴△ABD 为直角三角形.………………………………………………结论 同理△ABE 也为直角三角形.∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,………………大前提M 是直角△ABD 斜边AB 上的中点,DM 为中线,………………………………小前提∴DM =12AB . ……………………………………………………………………………结论同理EM =12AB .∵和同一条线段相等的两条线段相等,………………………………………………大前提DM =12AB ,EM =12AB ,……………………………………………………………小前提∴ME =MD .结论三段论在几何问题中的应用(1)三段论是最重要且最常用的推理表现形式,我们以前学过的平面几何与立体几何的证明,都不自觉地运用了这种推理,只不过在利用该推理时,往往省略了大前提.(2)几何证明问题中,每一步都包含着一般性原理,都可以分析出大前提和小前提,将一般性原理应用于特殊情况,就能得出相应结论.如图,已知在梯形ABCD 中,,AB =CD =AD ,AC 和BD 是梯形的对角线,求证:AC 平分∠BCD ,DB 平分∠CBA .证明:∵等腰三角形两底角相等,………………………………………………大前提 △DAC 是等腰三角形,∠1和∠2是两个底角,………………………………小前提∴∠1=∠2.结论∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等,………………………………大前提∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截得的内错角,………………………………小前提∴∠1=∠3.结论∵等于同一个角的两个角相等,……………………………………………………大前提∠2=∠1,∠3=∠1,………………………………………………………………小前提∴∠2=∠3,即AC平分∠BCD. …………………………………………………………结论同理可证DB平分∠CBA.已知函数f(x)=a x+x+1(a>1),求证:函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.如果在(-1,+∞)上f′(x)>0,那么函数f(x)在(-1,+∞)上是增函数,……………………………………………………………………………………………大前提∵a>1,∴f′(x)=a x ln a+3x +2>0,………………………………………………小前提∴函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.………………………………………………结论使用三段论应注意的问题(1)应用三段论证明问题时,要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提),根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提),并保证每一步的推理都是正确的、严密的,才能得出正确的结论.(2)证明中常见的错误:①条件分析错误(小前提错).②定理引入和应用错误(大前提错).③推理过程错误等.已知a,b,m均为正实数,b<a,用三段论形式证明ba<b+ma+m.证明:因为不等式两边同乘一个正数,不等号不改变方向,……………大前提b<a,m>0,………………………………………………………………小前提所以mb<ma. …………………………………………………………………………结论因为不等式两边同加上一个数,不等号不改变方向,…………………………大前提mb<ma,………………………………………………………………………………小前提所以mb +ab <ma +ab ,即b (a +m )<a (b +m ).………………………………结论 因为不等式两边同除以一个正数,不等号不改变方向,……………………………大前提b (a +m )<a (b +m ),a (a +m )>0,………………………………小前提所以b a +m a a +m <a b +m a a +m ,即b a <b +ma +m.………………………………结论6.混淆三段论的大、小前提而致误定义在实数集R 上的函数f (x ),对任意x ,y ∈R ,有f (x -y )+f (x +y )=2f (x )f (y ),且f (0)≠0,求证:f (x )是偶函数.证明:令x =y =0,则有f (0)+f (0)=2f (0)×f (0). 又因为f (0)≠0,所以f (0)=1. 令x =0,则有f (-y )+f (y )=2f (0)f (y )=2f (y ), 所以f (-y )=f (y ), 因此,f (x )是偶函数.以上证明结论“f (x )是偶函数”运用了演绎推理的“三段论”,其中大前提是________________________________________________________________________.通过两次赋值先求得“f (0)=1”,再证得“f (-y )=f (y )”,从而得到结论“f (x )是偶函数”.所以这个三段论推理的小前提是“f (-y )=f (y )”,结论是“f (x )是偶函数”,显然大前提是“若对于定义域内任意一个x ,都有f (-x )=f (x ),则f (x )是偶函数”.若对于定义域内任意一个x ,都有f (-x )=f (x ),则f (x )是偶函数解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式:大前提—小前提—结论,其中大前提是一个一般性的命题,即证明这个具体问题的理论依据.因此结合f (x )是偶函数的定义和证明过程容易确定本题答案.本题易误认为题目的已知条件为大前提而导致答案错误.所有眼睛近视的人都是聪明人,我近视得很厉害,所以我是聪明人.下列各项中揭示了上述推理是明显错误的是________(填序号).①我是个笨人,因为所有的聪明人都是近视眼,而我的视力那么好. ②所有的猪都有四条腿,但这种动物有八条腿,所以它不是猪.③小陈十分高兴,所以小陈一定长得很胖,因为高兴的人都长得很胖. ④所有尖嘴的鸟都是鸡,这种总在树上待着的鸟是尖嘴的,因此这种鸟是鸡. 解析:根据④中的推理可得:这种总在树上待着的鸟是鸡,这显然是错误的.①②③不符合三段论的形式.答案:④1.“四边形ABCD 是矩形,所以四边形ABCD 的对角线相等”,补充该推理的大前提是( )A .正方形的对角线相等B .矩形的对角线相等C .等腰梯形的对角线相等D .矩形的对边平行且相等解析:选B 得出“四边形ABCD 的对角线相等”的大前提是“矩形的对角线相等”. 2.“因为对数函数y =log a x 是增函数(大前提),而y =log 13x 是对数函数(小前提),所以y =log 13x 是增函数(结论).”上述推理错误的原因是( )A .大前提错导致结论错B .小前提错导致结论错C .推理形式错导致结论错D .大前提和小前提都错导致结论错解析:选A 大前提是错误的,因为对数函数y =log a x (0<a <1)是减函数. 3.求函数y =log 2x -2的定义域时,第一步推理中大前提是a 有意义,即a ≥0,小前提是log 2x -2有意义,结论是________.解析:由三段论的形式可知,结论是log 2x -2≥0. 答案:log 2x -2≥04.用三段论证明函数f (x )=x +1x在(1,+∞)上为增函数的过程如下,试将证明过程补充完整:①________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________(大前提) ②________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________(小前提)③________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________(结论)答案:①如果函数f (x )满足:在给定区间内任取自变量的两个值x 1,x 2,若x 1<x 2,则f (x 1)<f (x 2),那么函数f (x )在给定区间内是增函数.②任取x 1,x 2∈(1,+∞),x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1-x 2x 1x 2-x 1x 2,由于1<x 1<x 2,故x 1-x 2<0,x 1x 2>1,即x 1x 2-1>0,所以f (x 1)<f (x 2).③函数f (x )=x +1x在(1,+∞)上为增函数.5.将下列推理写成“三段论”的形式.(1)向量是既有大小又有方向的量,故零向量也有大小和方向; (2)矩形的对角线相等,正方形是矩形,所以正方形的对角线相等;(3)0.332·是有理数.解:(1)向量是既有大小又有方向的量.………………………………大前提 零向量是向量.……………………………………………………………小前提 零向量也有大小和方向.………………………………………………结论 (2)每一个矩形的对角线相等.……………………………………………大前提 正方形是矩形.………………………………………………………………小前提 正方形的对角线相等.………………………………………………………结论 (3)所有的循环小数都是有理数.……………………………………………大前提0.332·是循环小数.…………………………………………………………小前提0.332·是有理数.……………………………………………………………结论一、选择题1.给出下面一段演绎推理: 有理数是真分数,大前提 整数是有理数,小前提 整数是真分数.结论结论显然是错误的,是因为( ) A .大前提错误 B .小前提错误C .推理形式错误D .非以上错误解析:选A 推理形式没有错误,小前提也没有错误,大前提错误.举反例,如2是有理数,但不是真分数.2.“所有金属都能导电,铁是金属,所以铁能导电”这种推理方法属于( ) A .演绎推理 B .类比推理 C .合情推理 D .归纳推理解析:选A 是由一般到特殊的推理,故是演绎推理. 3.下面几种推理过程是演绎推理的是( )A .两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角,则∠A +∠B =180°B .某校高三(1)班有55人,(2)班有54人,(3)班有52人,由此得高三所有班人数超过50人C .由三角形的性质,推测四面体的性质D .在数列{a n }中,a 1=1,a n =12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n -1+1a n -1(n ≥2),由此归纳出a n 的通项公式解析:选A B 项是归纳推理,C 项是类比推理,D 项是归纳推理.4.“∵四边形ABCD 是矩形,∴四边形ABCD 的对角线相等.”补充以上推理的大前提( )A .正方形都是对角线相等的四边形B .矩形都是对角线相等的四边形C .等腰梯形都是对角线相等的四边形D .矩形都是对边平行且相等的四边形解析:选B 推理的大前提应该是矩形的对角线相等,表达此含义的选项为B. 5.有一段演绎推理是这样的:直线平行于平面,则直线平行于平面内所有直线;已知直线b ⊄平面α,直线a ⊂平面α,直线b ∥平面α,则直线b ∥直线a .结论显然是错误的,这是因为( )A .大前提错误B .小前提错误C .推理形式错误D .非以上错误解析:选A 大前提是错误的,直线平行于平面,则不一定平行于平面内所有直线,还有异面直线的情况.二、填空题6.若有一段演绎推理:“大前提:整数是自然数.小前提:-3是整数.结论:-3是自然数.”这个推理显然错误,则推理错误的是________(填“大前提”“小前提”或“结论”).解析:整数不全是自然数,还有零与负整数,故大前提错误. 答案:大前提7.已知推理:“因为△ABC 的三边长依次为3,4,5,所以△ABC 是直角三角形”.若将其恢复成完整的三段论,则大前提是____________________.解析:大前提:一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形;小前提:△ABC 的三边长依次为3,4,5,满足32+42=52;结论:△ABC 是直角三角形.答案:一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形8.若不等式ax 2+2ax +2<0的解集为空集,则实数a 的取值范围为________. 解析:①a =0时,有2<0,显然此不等式解集为∅.②a ≠0时需有⎩⎪⎨⎪⎧a >0,Δ≤0,⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0,4a 2-8a ≤0,⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0,0≤a ≤2,所以0<a ≤2.综上可知,实数a 的取值范围是. 答案: 三、解答题9.如下图,在直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中,底面是正方形,E ,F ,G 分别是棱B 1B ,D 1D ,DA 的中点.求证:(1)平面AD 1E ∥平面BGF ; (2)D 1E ⊥AC .证明:(1)∵E ,F 分别是B 1B 和D 1D 的中点, ∴D 1F 綊BE ,∴四边形BED 1F 是平行四边形,∴D 1E ∥BF . 又∵D 1E ⊄平面BGF ,BF ⊂平面BGF , ∴D 1E ∥平面BGF .∵F ,G 分别是D 1D 和DA 的中点, ∵FG 是△DAD 1的中位线,∴FG ∥AD 1. 又∵AD 1⊄平面BGF ,FG ⊂平面BGF ,∴AD 1∥平面BGF . 又∵AD 1∩D 1E =D 1, ∴平面AD 1E ∥平面BGF . (2)如右图,连接BD ,B 1D 1, ∵底面ABCD 是正方形, ∴AC ⊥BD .∵D 1D ⊥AC ,BD ∩D 1D =D , ∴AC ⊥平面BDD 1B 1.∵D 1E ⊂平面BDD 1B 1,∴D 1E ⊥AC .10.在数列{}a n 中,a 1=2,a n +1=4a n -3n +1,n ∈N *.(1)证明数列{}a n -n 是等比数列. (2)求数列{}a n 的前n 项和S n .(3)证明不等式S n +1≤4S n ,对任意n ∈N *皆成立. 解:(1)证明:因为a n +1=4a n -3n +1, 所以a n +1-(n +1)=4(a n -n ),n ∈N *. 又因为a 1-1=1,所以数列{}a n -n 是首项为1, 公比为4的等比数列. (2)由(1)可知a n -n =4n -1,于是数列{}a n 的通项公式为a n =4n -1+n ,所以数列{}a n 的前n 项和S n =4n-13+nn +2.(3)证明:对任意的n ∈N *, S n +1-4S n =4n +1-13+n +n +2-44n-13+n n +2=-12(3n 2+n -4)≤0,所以不等式S n +1≤4S n ,对任意n ∈N *皆成立.。
2.1.2演绎推理
跟3.踪正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2,E 为棱 CC1 的中点.求证: 训 练(1)B1D1⊥AE;
(2)AC∥平面 B1DE;
证明:(1)连接 BD,则 BD∥B1D1, ∵ABCD 是正方形, ∴AC⊥BD. ∵CE⊥平面 ABCD, ∴CE⊥BD. 又 AC∩CE=C,∴BD⊥平面 ACE. ∵AE⊂平面 ACE,∴BD⊥AE, ∴B1D1⊥AE.
理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理. 2.演绎推理的一般模式——“三段论”,包括:
(1)大___前__提_——已知的一般原理; (2)小__前__提__——所研究的特殊情况; (3)_结__论___——根据一般原理,对特殊情况作出的判断.
基础 自测
1.推理:“①矩形是平行四边形;②三角形不是平行四边 形;③所以三角形不是矩形.”中的小前提是( )
跟踪
训 练(2)作 BB1 的中点 F,连接 AF、CF、EF.
∵E、F 是 CC1、BB1 的中点, ∴CE 綊 B1F, ∴四边形 B1FCE 是平行四边形, ∴CF∥B1E. ∵E,F 是 CC1、BB1 的中点,∴EF 綊 BC, 又 BC 綊 AD,∴EF 綊 AD.
∴四边形 ADEF 是平行四边形,∴AF∥ED, ∵AF∩CF=F,B1E∩ED=E, ∴平面 ACF∥平面 B1DE. 又 AC⊂平面 ACF, ∴AC∥平面 B1DE.
第二章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理 2.1.2 演 绎 推 理
1.结合已学过的数学实例和生活中的实例,体会演绎推理 的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些 简单推理.
2.通过具体实例,了解合情推理和演绎推理之间的联系和 差异.
高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎证明2.1.2演绎推理检测新人教A版选修1-2(202
2018-2019学年高中数学第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎证明2.1.2 演绎推理检测新人教A版选修1-2编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(2018-2019学年高中数学第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎证明2.1.2 演绎推理检测新人教A版选修1-2)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2。
1.2 演绎推理A级基础巩固一、选择题1.若大前提是“任何实数的平方都大于0”,小前提是“a∈R",结论是“a2>0",那么这个演绎推理( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.没有错误解析:因为“任何实数的平方非负”,所以“任何实数的平方都大于0”是错误的,即大前提错误.答案:A2.《论语·子路》篇中说:“名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐不兴;礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所措手足.”;所以,“名不正,则民无所措手足.”上述推理用的是( )A.类比推理B.归纳推理C.演绎推理D.一次三段论解析:这是一个复合三段论,从“名不正”推出“民无所措手足”,连续运用五次复式三段论,属演绎推理形式.答案:C3.在证明f(x)=2x+1为增函数的过程中,有下列四个命题:①增函数的定义是大前提;②增函数的定义是小前提;③函数f(x)=2x+1满足增函数的定义是大前提;④函数f(x)=2x+1满足增函数的定义是小前提.其中正确的命题是()A.①④B.②④C.①③D.②③解析:根据“三段论”特点,过程应为:大前提是增函数的定义;小前提是f(x)=2x+1满足增函数的定义;结论是f(x)=2x+1为增函数.所以①④正确.答案:A4.在不等边三角形中,a为最大边,要想得到∠A为钝角的结论,三边a,b,c应满足的条件是( )A.a2<b2+c2B.a2=b2+c2C.a2>b2+c2D.a2≤b2+c2解析:当a2>b2+c2,则cos A=错误!<0,又A∈(0,π)知A为钝角.答案:C5.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf′(x)+f(x)<0.对任意正数a,b,若a<b,则必有()A.bf(a)<af(b)B.af(a)>bf(b)C.af(a)<f(b) D.bf(b)<f(a)解析:构造函数F(x)=xf(x),则F′(x)=xf′(x)+f(x),由题设条件知F(x)=xf(x)在(0,+∞)上单调递减.若a<b,则F(a)>F(b),即af(a)>bf(b).答案:B二、填空题6.已知△ABC中,∠A=30°,∠B=60°,求证a<b.证明:∵∠A=30°,∠B=60°,∴∠A<∠B,∴a<b,画线部分是演绎推理的________.解析:结合三段论的特征可知,该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边",因此画线部分是演绎推理的小前提.答案:小前提7.在求函数y=错误!的定义域时,第一步推理中大前提是当错误!有意义时,a≥0;小前提是log2x-2有意义;结论是________.解析:要使函数有意义,则log2x-2≥0,解得x≥4,所以函数y=错误!的定义域是[4,+∞).答案:函数y=错误!的定义域是[4,+∞)8.下面几种推理过程是演绎推理的是________(填序号).①两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A和∠B是两条平行线的同旁内角,那么∠A+∠B =180°②由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质③某高校共有10个班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推测各班都超过50人④在数列{a n}中,a1=1,a n=错误!错误!(n≥2),由此归纳出{a n}的通项公式.解析:①为演绎推理,②为类比推理,③④为归纳推理.答案:①三、解答题9.已知在梯形ABCD中(如图),AB=DC=DA,AC和BD是梯形的对角线.求证:AC平分∠BCD,BD平分∠CBA。
高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎证明2.1.1合情推理(第1课时)归纳推理
12/13/2021
1
×
+1
1
3
1
5
1+ + +…+
1
2-1
≥
1 1 1 1
1
+ + +…+
2 4 6
2
(n∈N*).
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟给出几个不等式归纳其一般性结论时,要重点观察分析
所给出的不等式中项数、次数以及字母的系数等方面的变化规律,
发现它们与自然数n的关系,从而写出一般性结论.
珠子,后2个是黑色珠子)呈周期性排列,而36=5×7+1,即第36颗珠子
正好是第8组中的第1颗珠子,其颜色与第一颗珠子的颜色相同,故
它的颜色一定是白色.
答案:A
12/13/2021
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估计总体,这种估计属
试归纳猜想数列{an}的通项公式.
思路分析:利用a1的值和公式nan+1=Sn+n(n+1),逐步求得a2,a3,a4的
值,然后归纳得到数列{an}的通项公式.
解:由于a1=2,且nan+1=Sn+n(n+1).
令n=1,得a2=S1+1×2=a1+2=2+2=4;
令n=2,得2a3=S2+2×3=a1+a2+6=2+4+6=12,于是a3=6;
2 4 4
3 5
3
1
1 1 1 1
× + + + ,试写出第 n 个
高中数学 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎证明 2.1.2 演绎推理课件 新人教A版选修1-2
3.已知{an}是各项均为正数的等差数列,且公差 d≠0.如果 lg a1,lg a2,lg a4 也成等差数 列,bn=a12n.证明:数列{bn}是等比数列. 证明:∵lg a1,lg a2,lg a4 成等差数列. ∴2lg a2=lg a1+lg a4,即 a22=a1a4 由于数列{an}的公差 d≠0 ∴(a1+d)2=a1(a1+3d),则 d(a1-d)=0. 因此 a1=d≠0 则 a2n=a1+(2n-1)d=2nd,bn=a12n=21nd. 这时{bn}是首项 b1=21d,公比为12的等比数列. 综上,{bn}为等比数列.
2.1.2 演绎推理
考纲定位
重难突破
1.理解演绎推理的意义. 重点:了解演绎推理的含义,能
2.掌握演绎推理的基本模式,并能 用“三段论”进行简单的推理.
运用它们进行一些简单的推理. 难点:利用“三段论”证明一些
3.了解合情推理和演绎推理之间 数学问题.
的区别和联系.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
2.下列推理是演绎推理的是( ) A.M,N 是平面内两定点,动点 P 满足|PM|+|PN|=2a>|MN|,得点 P 的轨迹是椭圆 B.由 a1=1,an=2n-1,求出 S1,S2,S3,猜想出数列的前 n 项和 Sn 的表达式 C.由圆 x2+y2=r2 的面积为 πr2,猜想出椭圆xa22+by22=1 的面积为 πab D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 解析:A 是演绎推理,B 为归纳推理,C、D 类比推理. 答案:A
方法二:∵f′(x)=-2x+2=-2(x-1). 当 x∈(-∞,1]时,x-1<0, ∴-2(x-1)>0, ∴f′(x)>0 在 x∈(-∞,1]上恒成立. 故 f(x)在(-∞,1]上是增函数. (2)∵f(x)在(-∞,1]上是增函数,而[-5,-2]是区间(-∞,1]的子区间, ∴f(x)在[-5,-2]上是增函数.
高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理演绎推理的定义素材新人教A版选修2-2(new)
演绎推理的定义所谓演绎推理,就是从一般性的前提出发,通过推导即“演绎”,得出具体陈述或个别结论的过程.关于演绎推理,还存在以下几种定义:①演绎推理是从一般到特殊的推理;②它是前提蕴涵结论的推理;③它是前提和结论之间具有必然联系的推理。
④演绎推理就是前提与结论之间具有充分条件或充分必要条件联系的必然性推理。
演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于,它对人的思维保持严密性、一贯性有着不可替代的校正作用。
这是因为演绎推理保证推理有效的根据并不在于它的内容,而在于它的形式。
演绎推理的最典型、最重要的应用,通常存在于逻辑和数学证明中。
尊敬的读者:本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来,本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对,但是难免会有不尽如人意之处,如有疏漏之处请指正,希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
文中部分文字受到网友的关怀和支持,在此表示感谢!在往后的日子希望与大家共同进步,成长。
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2.1.2 演绎推理
自主广场
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1.下列推理正确的是()
A.如果不买彩票,那么就不能中奖,因为你买了彩票,所以你一定中奖.
B.因为正方形的对角线互相平分且相等,所以对角线互相平分且相等的四边形是正方形.
C.因为a>b,a>c,所以a-b>a-c.
D.因为a>b,c>d,所以a-d>b-c.
思路解析:A、B都是归纳推理,结论不一定正确,而C、D都是演绎推理,但C是不正确的. 答案:D
2.(2006年陕西高考卷,12)为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密).已知加密规则为:明文a、b、c、d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d.例如明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16,当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为()
A.7,6,1,4
B.6,4,1,7
C.4,6,1,7
D.1,6,4,7
解:本题是演绎推理,由一般到特殊的推理.由题意可得
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
+
=
+
=
+
28
4
23
3
2
9
2
14
2
d
d
c
c
b
b
a
可求得
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
=
7
1
4
6
d
c
b
a
答案:B
3.(2006年福建高考卷,12)对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),定义它们之间的一种“距离”:||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|.给出下列三个命题:①若点C在线段AB上,则||AC||+||CB||=||AB||;
②在△ABC中,若∠C=90°,则||AC||2+||CB||2=||AB||2;
③在△ABC中,||AC||+||CB||=||AB||.
其中真命题的个数为()
A.0
B.1
C.2
D.3
思路解析:
解:如上图(1)||AB||=|AC|+|BC|
∴在①中如图(2),||AC||+||CB||=|AM|+|MC|+|CP|+|PB|=|AN|+|BN| ∴①正确.
在②中如图(1),||AC||2=|AC|2,||AB||2=( |AC|+|BC|)2,||BC||2=|BC|2,∴②不正确. 在③中如图(1)||AC||+||CB||在△ABC为直角三角形且C为直角时其值等于||AB||.
答案:B
4.在推理a>b,b>c⇒a>c中,前提是______________,结论是_______________________. 思路解析:解:把命题a>b,b>c⇒a>c改成因为a>b,
b>c所以a>c.
答案:前提是:a >b,b >c.
结论是:a >c.
5.(2006年上海高考卷,文12)如图2-1-6,平面中两条直线l 1和l 2相交于点O ,对于平面上任意一点M ,若p 、q 分别是M 到直线l 1和l 2的距离,则称有序非负实数对(p 、q)是点M 的“距离坐标”,根据上述定义,“距离坐标”是(1,2)的点的个数是__________________________.
图2-1-6
思路解析:若pq≠0,则满足题意的点有且仅有4个,这4个点分别在4个角的内部:且两两关于O 点对称.
答案:4个.
6.如图2-1-7所示已知A 、B 、C 、D 四点不共面,M ,N 分别是△ABD 和△BCD 的重心. 求证:MN∥平面ACD.
图2-1-7
证明:连结BM ,BN 并延长分别交AD ,DC 于P 、Q 两点,连结PQ.因为M ,N 分别是△ABD 和△BCD 的重心,所以P 、Q 分别为AD 、DC 的中点,
又有NQ
BN MP BM ==2,所以MN∥PQ,又MN ⊆平面ADC ,PQ 平面ADC, ∴MN∥面ACD.
7.设a 、b 、c∈R +,求证:
2222222≥+++++c a c b b a (a+b+c)
证明:∵a 2+b 2≥2ab,a 、b 、c∈R *
,
∴2(a 2+b 2)≥(a 2+b 2)+2ab=(a+b)2, ∴a 2+b 2
≥2)(2b a + ∴22b a +≥22(a+b). 同理22c a +≥2
2 (a+c), 22c b +≥2
2 (b+c),
∴有222222c a c b b a +++=+≥2
2(2a+2b+2c)=2(a+b+c). 即:222222c a c b b a +++++≥2(a+b+c).
我综合 我发展
8.用三段论法表示,如果用M 表示所有平行四边形的集合,用F 表示对角线互相平分的属性,那么M 的每一个元素x 都具有属性F 为真.而所有矩形集合N 是集合M 的非空真子集,为真,即每一个矩形的对角线互相平分.
解:用三段论法表示为:
每一个平行四边形的对角线互相平分;
每一个矩形是平行四边形;
每一个矩形的对角线互相平分;
或:∵平行四边形的对角线互相平分(大前提)
矩形是平行四边形(小前提)
∴矩形的对角线互相平行(结论)
9求证:当a 、b 、c 为正数时,(a+b+c)(
c b a 111++)≥9. 证明:首先,我们知道,2
b a +≥ab . (a+b+c)(a 1+b 1+
c 1)=(a+b)(a 1+b 1)+(a+b)c 1+c(a 1+b 1)+c·c
1 =ab b a 2)(++(a+b)(c 1+ab
c )+1≥4+(a+b)·ab c c •12+1 =5+ab b a )
(2+≥5+4=9
10.证明函数f(x)=x 6-x 3+x 2-x+1的值恒为正数.
解:当x <0时,f(x)各项都为正数,
因此,当x <0时,f(x)为正数;
当0≤x≤1时,
f(x)=x 6+x 2(1-x)+(1-x)>0;
当x >1时,f(x)=x 3(x 3-1)+x(x-1)+1>0.
综上所述,函数f(x)的值恒为正数.
11.证明函数f(x)=-x 2+2x 在(-∞,1]上是增函数.
思路分析:证明本例所依据的大前提是:增函数的定义,即函数y=f(x)满足:在给定区间内任取自变量的两个值x 1,x 2,若x 1<x 2,则有f(x 1)<f(x 2).
小前提是:f(x)=-x 2+2x,x∈(-∞,1]满足增函数的定义,这是证明本例的关键.
证明:任取x 1,x 2∈(-∞,1],且x 1<x 2,
f(x 1)-f(x 2)=(-21x +2x 1)-(-2
2x +2x 2)
=(x 2-x 1)(x 2+x 1-2)
因为x 1<x 2,所以x 2-x 1>0,
因为x 1,x 2≤1,x 1≠x 2,所以x 2+x 1-2<0,
因此,f(x 1)-f(x 2)<0,即f(x 1)<f(x 2).
于是,根据“三段论”,可知f(x)=-x 2+2x
在(-∞,1]上是增函数.
12.如图2-1-8,四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PD⊥底面ABCD ,AD=PD ,E 、F 分别为CD 、PB 的中点,
(1)求证:EF⊥面PAB ;
(2)设AB=2BC ,
求AC 与平面AEF 所成角的大小.
图2-1-8
(1)证明:连结EP.
∵PD⊥底面ABCD ,DE 在平面ABCD 内.
∴PD⊥DE,又CE=ED,PD=AD=BC,
∴Rt△BCE≌Rt△PDE,∴PE=BE
又∵F 为PB 中点,∴EF⊥PB.
由三垂线定理得PA⊥AB.
∴在Rt△ABP 中,PF=AF,又PE=BE=EA, ∴△EFP≌△EFA,∴EF⊥FA.
∵PB、FA 为平面ABP 内的两条相交直线,
∴EF⊥面PAB.
(2)解:设BC=1,则AD=PD=1,AB=2,PA=2,AC=3.
∴△PAB 为等腰直角三角形,且PB=2,
F 为其斜边中点,BF=1且AF⊥PB.
∵PB 与平面AEF 内两条相交直线EF 、AF 都垂直.
∴PB⊥平面AEF.
连结BE 交AC 于G ,作GH∥BP 交EF 于H ,则GH⊥面AEF,∠GAH 为AC 与平面AEF 所成的角.由△EGC∽△BGA 可知,EG=1[]2GB ,EG=1[]3EB.
AG=3
2AC=332. 由△EGH∽△EBF 可知,GH=31BF=3
1. ∴sin∠GAH=6
3 AG GH ,
3
∴AG与平面AEF所成的角为arcsin
.
6。