北师大版选修2-1 第二章空间向量与立体几何复习与小结(2)

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北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》word整章教案

北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》一、教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备二、教学重点：平面向量的基础知识。

教学难点：运用向量知识解决具体问题三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、基本概念向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。

（二）、基本运算1、向量的运算及其性质运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1平行四边形法则2三角形法则),(2121yyxxba++=+abba+=+)()(cbacba++=++ACBCAB=+向量的减法三角形法则),(2121yyxxba--=-)(baba-+=-BAAB-=ABOAOB=-向量的乘法1a是一个向量,满足:2>0时,aλ与a同向;λ<0时,aλ与a异向;λ=0时, aλ=0),(yxaλλλ=aa)()(λμμλ=aaaμλμλ+=+)(babaλλλ+=+)(a∥babλ=⇔向量的ba∙是一个数10=或0=b时,ba∙=02121yyxxba+=∙abba∙=∙)()()(bababa∙=∙=∙λλλcbcacba∙+∙=∙+)(数量积20≠且0≠b 时,),cos(||||b a b a b a =∙22||a a =22||y x a +=||||||b a b a ≤∙2、平面向量基本定理：如果21,e e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使a =；注意)(21+=,)1(λλ-+=的几何意义 3、两个向量平行的充要条件： ⑴ //a b的充要条件是：；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则//a b 的充要条件是：；（坐标表示）4、两个非零向量垂直的充要条件： ⑴ a b ⊥的充要条件是：；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则a b ⊥ 的充要条件是：；（坐标表示）（三）、课堂练习1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( OB -OC )·(OB +OC －2OA )=0，则∆ABC 是（）A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形2．P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心3．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（） A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形4．已知||p = ||3q = ，p 、q 的夹角为45︒，则以52a p q =+ ，3b p q =-为邻边的平行四边形的一条对角线长为（） A ．15BC ． 14D ．165．O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足=)||||AC AB ++λ，),0[+∞∈λ则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心（四）、作业布置1．设平面向量=(－2，1)，=(λ，-1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（） A ．),2()2,21(+∞- B ．),2(+∞ C ．),21(+∞- D ．)21,(--∞ 2．若()(),0,7,4,3,2=+-==c a b a 方向在则上的投影为。

北师大版高中数学选修2-1教案：第二章空间向量与立体几何复习与小结(1)

uuur uuur uuuur 对（ x，y），使 MA xMB yMC ．
uuur uuuur uuur uuur 对于空间任一定点 O，有 OP OM xMA yMB ．对于空间任一定点 O， P、 M、 A、B 四点共面的充分必要
uuur uuuur uuur uuur 条件是 OP xOM yOA zOB ，其中 x y z 1。
uuur r uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
在 l 上取 AB a ，则 OP OA t AB 或 OP (1 t )OA tOB ． O是空间任一点， A、 B、 C 三点共线的充要
uuur 条件是 OA
uuur xOB
uuur yOC ，其中 x +
y = 1 ．特别地，当
uuur uuur uuur uuur OP xOA yOB zOC 。
P，都存在唯一的有序实数组
x、 y、z ，使
1/ 3
rr r r
rr
a b a b cos a,b
4、空间向量的数量积：
空间向量的数量积的性质：①
rr ae
r a cos
rr a,e
r ②a
r b
rr ab 0
rr
r 2 r r r 2 cos a,b
uuur r
aecsin uAuuBr nr
所成角为 arc
AB n
uuur 的一个法向量， AB 是平面
的斜线 l 的一个方向向量，则直线 l 与平面
2/ 3
3、二面角的求法：① AB、 C D 分别是二面角
l
的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小为
uuur uuur AB, CD ；

选修2-1第二章空间向量与立体几何章末复习课

1．空间向量的运算及运算律空间向量加法、减法、数乘、向量的意义及运算律与平面向量类似，空间任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量，两个向量相加的三角形法则与平行四边形法则仍然成立．2．两个向量的数量积的计算向量的数量积运算要遵循数量积的性质和运算律，常用于有关向量相等、两向量垂直、射影、夹角等问题中．3．空间向量的坐标运算，关键是建立恰当的空间坐标系，然后再利用有关公式计算求解．常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题，利用向量的夹角公式和距离公式求解空间角与空间距离的问题．4．空间向量的分解定理说明：用三个不共面的已知向量{a，b，c}可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．5．利用向量解决几何问题具有快捷、有效的特征．一般方法如下：先将原问题转化为等价的向量问题，即将已知条件中的角转化为向量的夹角，线段长度转化为向量的模，并用已知向量表示出未知向量，然后利用向量的运算解决该向量问题，从而原问题得解．6．利用向量坐标解决立体几何问题的关键在于找准位置，建立适当、正确的空间坐标系，难点是在已建好的坐标系中表示出已知点的坐标，只有正确表示出已知点的坐标，才能通过向量的坐标运算，实现几何问题的代数化解法．题型一空间向量及其运算空间向量的运算主要包括空间向量的线性运算、数量积运算以及空间向量的坐标运算．空间向量的运算法则、运算律与平面向量基本一致．主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，是用向量法求解立体几何问题的基础．例1 如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A 、B 、C 、D 的距离都等于2.给出以下结论：①SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0；②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0；③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0；④SA →·SB →＝SC →·SD →；⑤SA →·SC →＝0，其中正确结论的序号是________．答案 ③④解析容易推出：SA →－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0，所以③正确；又因为底面ABCD 是边长为1的正方形，SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2，所以SA →·SB →＝2·2·cos ∠ASB ，SC →·SD →＝2·2·cos ∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD →，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.跟踪训练1 如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点，P 是A 1B 1的中点，则直线PQ 与AM 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2答案 D解析以A 为坐标原点，AC 、AB 、AA 1所在直线为x 轴、y 轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AA 1＝AB ＝AC ＝2，则AM →＝(2,0,1)，Q (1,1,0)，P (0,1,2)，QP →＝(－1,0,2)，所以QP →·AM →＝0，所以QP 与AM 的夹角为π2.题型二利用空间向量证明空间中的位置关系向量作为工具来研究几何，真正把几何的形与代数中的数实现了有机结合；给立体几何的研究带来了极大的便利，利用空间向量可以方便地论证空间中的一些线面位置关系，如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等．用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法如下． 1．线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． 2．线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，则a ⊥b ⇔a·b ＝0. 3．线面平行用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量线性表示直线的方向向量． 4．线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． 5．面面平行①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)； ②转化为线面平行、线线平行问题． 6．面面垂直①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题．例2 如图，已知在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，D 为AB 的中点，AC ＝BC ＝BB 1. 求证：(1)BC 1⊥AB 1； (2)BC 1∥平面CA 1D .证明如图，以C 1为原点，分别以C 1A 1，C 1B 1，C 1C 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AC ＝BC ＝BB 1＝2，则A (2,0,2)，B (0,2,2)，C (0,0,2)，A 1(2,0,0)，B 1(0,2,0)，C 1(0,0,0)，D (1,1,2)．(1)由于BC 1→＝(0，－2，－2)， AB 1→＝(－2,2，－2)，因此BC 1→·AB 1→＝0－4＋4＝0，因此BC 1→⊥AB 1→，故BC 1⊥AB 1.(2)取A 1C 的中点E ，连接DE ，由于E (1,0,1)，所以ED →＝(0,1,1)，又BC 1→＝(0，－2，－2)，所以ED →＝－12BC 1→，又ED 和BC 1不共线，所以ED ∥BC 1，又DE 平面CA 1D ，BC 1 平面CA 1D ，故BC 1∥平面CA 1D .跟踪训练2 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点，求证：平面AED ⊥平面A 1FD 1.证明如图，建立空间直角坐标系Dxyz . 设正方体棱长为1，则E (1,1，12)，D 1(0,0,1)，F (0，12，0)，A (1,0,0)．∴DA →＝(1,0,0)＝D 1A 1→， DE →＝(1,1，12)，D 1F →＝(0，12，－1)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面AED 和A 1FD 1的一个法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧ m ·DA →＝0，m ·DE →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，x 1＋y 1＋12z 1＝0.令y 1＝1，得m ＝(0,1，－2)．又由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·D 1A 1→＝0，n ·D 1F →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，12y 2－z 2＝0.令z 2＝1，得n ＝(0,2,1)． ∵m ·n ＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0， ∴m ⊥n ，故平面AED ⊥平面A 1FD 1. 题型三利用空间向量求空间角 1．求异面直线的夹角设两异面直线的方向向量分别为n 1、n 2，那么这两条异面直线的夹角为θ＝〈n 1，n 2〉或θ＝π－〈n 1，n 2〉， ∴cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|. 2．求面面的夹角如图，设平面α、β的法向量分别为n 1、n 2.因为两平面的法向量的夹角(或其补角)就等于平面α、β的夹角θ，所以cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|. 3．求斜线与平面的夹角如图，设平面α的法向量为n 1，斜线OA 的方向向量为n 2，斜线OA 与平面的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|.例3 如图，正方形ACDE 所在的平面与平面ABC 垂直，M 是CE 与AD 的交点，AC ⊥BC ，且AC ＝BC . (1)求证：AM ⊥平面EBC ； (2)求直线AB 与平面EBC 的夹角； (3)求平面EAB 与平面EBC 的夹角． (1)证明 ∵四边形ACDE 是正方形，∴EA ⊥AC ，∵平面ACDE ⊥平面ABC ， ∴EA ⊥平面ABC .∴可以以点A 为原点，以过A 点平行于BC 的直线为x 轴，分别以AC 和AE 所在直线为y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系Axyz .设EA ＝AC ＝BC ＝2，则A (0,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，E (0,0,2)． ∵M 是正方形ACDE 的对角线的交点， ∴M (0,1,1)．∵AM →＝(0,1,1)，EC →＝(0,2，－2)， CB →＝(2,0,0)，∴AM →·EC →＝0，AM →·CB →＝0. ∴AM ⊥EC ，AM ⊥CB .又∵EC ∩CB ＝C ，AM 平面EBC ，∴AM ⊥平面EBC . (2)解 ∵AM ⊥平面EBC ， ∴AM →为平面EBC 的一个法向量． ∵AM →＝(0,1,1)，AB →＝(2,2,0)， ∴cos 〈AB →，AM →〉＝AB →·AM →|AB →|·|AM →|＝12.∴〈AB →，AM →〉＝60°.∴直线AB 与平面EBC 的夹角为30°.(3)解设平面EAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥AE →且n ⊥AB →，∴n ·AE →＝0且n ·AB →＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ (0，0，2)·(x ，y ，z )＝0，(2，2，0)·(x ，y ，z )＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，x ＋y ＝0.取y ＝－1，∴x ＝1.∴n ＝(1，－1,0)．又∵AM →为平面EBC 的一个法向量，且AM →＝(0,1,1)， ∴cos 〈n ，AM →〉＝n ·AM →|n |·|AM →|＝－12.设平面EAB 与平面EBC 的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n ，AM →〉|＝12，∴θ＝60°.∴平面EAB 与平面EBC 的夹角60°.跟踪训练3 如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝4，AC ＝BC ＝3，D 为AB 的中点． (1)求点C 到平面A 1ABB 1的距离；(2)若AB 1⊥A 1C ，求平面A 1CD 与平面C 1CD 夹角的余弦值．解 (1)由AC ＝BC ，D 为AB 的中点，得CD ⊥AB .又CD ⊥AA 1，故CD ⊥平面A 1ABB 1，所以点C 到平面A 1ABB 1的距离为CD ＝BC 2－BD 2＝5.(2)方法一如图，取A 1B 1的中点D 1，连接DD 1，则DD 1∥AA 1∥CC 1. 又由(1)知CD ⊥平面A 1ABB 1，故CD ⊥A 1D ，CD ⊥DD 1，所以∠A 1DD 1为所求的二面角A 1－CD －C 1的平面角．因为A 1D 为A 1C 在平面A 1ABB 1上的射影，又已知AB 1⊥A 1C ，易得AB 1⊥A 1D ，从而∠A 1AB 1、∠A 1DA 都与∠B 1AB 互余，因此∠A 1AB 1＝∠A 1DA ，所以Rt △A 1AD ∽Rt △B 1A 1A ，因此AA 1AD ＝A 1B 1AA 1，即AA 21＝AD ·A 1B 1＝8，得AA 1＝2 2. 从而A 1D ＝AA 21＋AD 2＝2 3.在Rt △A 1DD 1中，cos ∠A 1DD 1＝DD 1A 1D ＝AA 1A 1D ＝63.方法二如图，过D 作DD 1∥AA 1交A 1B 1于D 1，在直三棱柱中，易知DB ，DC ，DD 1两两垂直．以D 为原点，射线DB ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz .设直三棱柱的高为h ，则A (－2,0,0)，A 1(－2,0，h )，B 1(2，0，h )，C (0，5，0)，C 1(0，5，h )，从而AB 1→＝(4,0，h )，A 1C →＝(2，5，－h )．由AB 1→⊥A 1C →，有8－h 2＝0，解得h ＝2 2. 故DA 1→＝(－2,0,22)，CC 1→＝(0,0,22)， DC →＝(0，5，0)．设平面A 1CD 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则m ⊥DC →，m ⊥DA 1→，即⎩⎪⎨⎪⎧5y 1＝0，－2x 1＋22z 1＝0.取z 1＝1，得m ＝(2，0,1)，设平面C 1CD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则n ⊥DC →，n ⊥CC 1→，即⎩⎪⎨⎪⎧5y 2＝0，22z 2＝0，取x 2＝1，得n ＝(1,0,0)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m ||n |＝22＋1·1＝63. 所以平面A 1CD 与平面C 1CD 夹角的余弦值为63. [呈重点、现规律]空间向量的引入拓展了解决立体几何问题的思路，我们可以通过建立合理的空间直角坐标系，直接利用空间向量的坐标运算进行求解，这也是空间几何体数字化的一个特征．。

数学选修2-1北师大版：第二章空间向量与立体几何 §2 空间向量的运算(二)

§2空间向量的运算(二)学习目标 1.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算与运算律.2.掌握两个向量的数量积在判断向量共线与垂直中的应用．知识点数量积的概念及运算律1．已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉．2．空间向量数量积的性质(1)a⊥b⇔a·b＝0.(2)|a|2＝a·a，|a|＝a·a.(3)cos〈a，b〉＝a·b|a||b|.3．空间向量数量积的运算律(1)(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)．(2)a·b＝b·a(交换律)．(3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．特别提醒：不满足结合律(a·b)·c＝a·(b·c)．1．对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.(×)2．对于向量a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c)．(×)3．若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.(√)4．对任意向量a，b，满足|a·b|≤|a||b|.(√)类型一数量积的计算例1如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：(1)EF →·BA →； (2)EF →·BD →； (3)EF →·DC →； (4)AB →·CD →.考点空间向量数量积的概念及性质题点用定义求数量积解 (1)EF →·BA →＝12BD →·BA →＝12|BD →||BA →|cos 〈BD →，BA →〉＝12cos 60°＝14. (2)EF →·BD →＝12BD →·BD →＝12|BD →|2＝12.(3)EF →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →||DC →|cos 〈BD →，DC →〉＝12cos 120°＝－14. (4)AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →) ＝AB →·AD →－AB →·AC →＝|AB →||AD →|cos 〈AB →，AD →〉－|AB →||AC →|cos 〈AB →，AC →〉＝cos 60°－cos 60°＝0.反思与感悟 (1)已知a ，b 的模及a 与b 的夹角，直接代入数量积公式计算．(2)如果要求的是关于a 与b 的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a ·a ＝|a |2及数量积公式进行计算．跟踪训练1 已知在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点．试计算： (1)BC →·ED 1—→；(2)BF →·AB 1—→；(3)EF →·FC 1—→. 考点空间向量数量积的概念及性质题点用定义求数量积解如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4， a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0. (1)BC →·ED 1—→＝b ·⎣⎡⎦⎤12(c －a )＋b ＝|b |2＝42＝16. (2)BF →·AB 1—→＝⎝⎛⎭⎫c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.(3)EF →·FC 1—→＝⎣⎡⎦⎤12(c －a )＋12b ·⎝⎛⎭⎫12b ＋a ＝12(－a ＋b ＋c )·⎝⎛⎭⎫12b ＋a ＝－12|a |2＋14|b |2＝2.类型二利用数量积证明垂直问题例2 (1)已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，那么AD 与BC 的位置关系为___________________________________________________．(填“平行”“垂直”) 考点空间向量数量积的应用题点数量积的综合应用答案垂直解析 ∵AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·(AC →－AB →) ＝AB →·AC →＋BD →·AC →－AB →2－AB →·BD → ＝AB →·(AC →－AB →－BD →)＝AB →·DC →＝0， ∴AD 与BC 垂直．(2)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点，求证：A 1O ⊥平面GBD .考点空间向量数量积的应用题点数量积的综合应用证明设A 1B 1——→＝a ，A 1D 1——→＝b ，A 1A —→＝c ，则a ·b ＝0，b ·c ＝0，a ·c ＝0，|a |＝|b |＝|c |. ∵A 1O —→＝A 1A —→＋AO →＝A 1A —→＋12(AB →＋AD →)＝c ＋12a ＋12b ，BD →＝AD →－AB →＝b －a ，OG →＝OC →＋CG →＝12(AB →＋AD →)＋12CC 1→＝12a ＋12b －12c ∴A 1O →·BD →＝⎝⎛⎭⎫c ＋12a ＋12b ·(b －a ) ＝c ·b －c ·a ＋12a ·b －12a 2＋12b 2－12b ·a＝12(b 2－a 2) ＝12(|b |2－|a |2)＝0. 于是A 1O —→⊥BD →，即A 1O ⊥BD . 同理可证A 1O —→⊥OG →，即A 1O ⊥OG .又∵OG ∩BD ＝O ，OG ?平面GBD ，BD ?平面CBD ， ∴A 1O ⊥平面GBD .反思与感悟 (1)证明线线垂直的方法证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．(2)证明与空间向量a ，b ，c 有关的向量m ，n 垂直的方法先用向量a ，b ，c 表示向量m ，n ，再判断向量m ，n 的数量积是否为0.跟踪训练2 如图，在空间四边形OACB 中，OB ＝OC ，AB ＝AC ，求证：OA ⊥BC .考点空间向量数量积的应用题点数量积的综合应用证明因为OB ＝OC ，AB ＝AC ，OA ＝OA ，所以△OAC ≌△OAB ，所以∠AOC ＝∠AOB .又OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB → ＝|OA →||OC →|cos ∠AOC －|OA →|·|OB →|cos ∠AOB ＝0，所以OA →⊥BC →，即OA ⊥BC .类型三利用数量积解决空间角或两点间的距离问题命题角度1 解决角度问题例3 在空间四边形OABC 中，连接AC ，OB ，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求向量OA →与BC 所成角的余弦值．考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求角解 ∵BC →＝AC →－AB →， ∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－162， ∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝24－1628×5＝3－225.反思与感悟求两个空间向量a ，b 夹角的方法类同平面内两向量夹角的求法，利用公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |，在具体的几何体中求两向量的夹角时，可把其中一个向量的起点平移至与另一个向量的起点重合，转化为求平面中的角度大小问题．跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求异面直线A 1B 与AC 所成的角．考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求解解不妨设正方体的棱长为1，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1， a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0， A 1B —→＝a －c ，AC →＝a ＋b . ∴A 1B —→·AC →＝(a －c )·(a ＋b ) ＝|a |2＋a ·b －a ·c －b ·c ＝1，而|A 1B —→|＝|AC →|＝2， ∴cos 〈A 1B —→，AC →〉＝12×2＝12， ∵〈A 1B —→，AC →〉∈[0°，180°]， ∴〈A 1B —→，AC →〉＝60°.又异面直线所成角的范围是(0°，90°]，因此，异面直线A 1B 与AC 所成的角为60°. 命题角度2 求空间中的两点间的距离例4 如图，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，求EF 的长．考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求线段长解设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c . 由题意，知|a |＝|b |＝|c |＝2，且〈a ，b 〉＝60°，〈a ，c 〉＝〈b ，c 〉＝90°. 因为EF →＝EA →＋AA 1—→＋A 1F —→ ＝－12AB →＋AA 1—→＋12AC →＝－12a ＋12b ＋c ，所以|EF →|2＝EF →2＝14a 2＋14b 2＋c 2＋2⎝⎛⎭⎫－12a ·12b ＋12b ·c －12a ·c ＝14×22＋14×22＋22＋2×⎝⎛⎭⎫－14×2×2cos 60° ＝1＋1＋4－1＝5，所以|EF →|＝5，即EF ＝ 5.反思与感悟求解距离问题时，先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个向量和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a ·a 求解即可．跟踪训练4 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，求AC 1的长．考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求线段长解因为AC 1—→＝AB →＋AD →＋AA 1—→，所以AC →21＝(AB →＋AD →＋AA 1→)2＝AB →2＋AD →2＋AA →21＋2(AB →·AD →＋AB →·AA 1—→＋AD →·AA 1—→)．因为∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，所以AC →21＝1＋4＋9＋2×(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23. 因为AC →21＝|AC 1—→|2，所以|AC 1—→|2＝23，则|AC 1—→|＝23，即AC 1＝23.1．对于向量a ，b ，c 和实数λ，下列说法正确的是( ) A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0 C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c考点空间向量数量积的概念及性质题点数量积的性质答案 B解析结合向量的运算，只有B 正确．2．已知向量a ，b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 是直线l 的一个方向向量，则“c ·a ＝0且c ·b ＝0”是“l ⊥α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件考点空间向量数量积的应用题点数量积的综合应用答案 B解析若a ∥b ，则不一定得到l ⊥α，反之成立．3．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |等于( ) A.97 B ．97 C.61D ．61考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求线段长答案 C解析 |2a －3b |2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2 ＝4×22－12×2×3×cos60°＋9×32＝61， ∴|2a －3b |＝61.4．已知a ，b 为两个非零空间向量，若|a |＝22，|b |＝22，a ·b ＝－2，则〈a ，b 〉＝________. 考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求角答案3π4解析 cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－22，∵〈a ，b 〉∈[0，π]， ∴〈a ，b 〉＝3π4.5．已知正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为________．考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求线段长答案2解析 |EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →)＝12＋22＋12＋2×(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2， ∴|EF →|＝2，∴EF 的长为 2.1．空间向量运算的两种方法(1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算．(2)利用图形：计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．2．在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．一、选择题1．已知非零向量a，b不平行，并且其模相等，则a＋b与a－b之间的关系是() A．垂直B．共线C．不垂直D．以上都可能考点空间向量数量积的概念与性质题点数量积的性质答案 A解析由题意知|a|＝|b|，∵(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．2．已知向量a，b满足条件：|a|＝2，|b|＝2，且a与2b－a互相垂直，则〈a，b〉等于() A．30°B．45°C．60°D．90°考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求角答案 B解析根据a·(2b－a)＝0，即2a·b＝|a|2＝4，解得a·b＝2，又cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝22×2＝22，又〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a ，b 〉＝45°，故选B.3．若向量m 垂直于向量a 和b ，向量n ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λ，μ≠0)，则( ) A ．m ∥n B ．m ⊥nC ．m 不平行于n ，m 也不垂直于nD ．以上三种情况都有可能考点空间向量数量积的应用题点数量积的综合应用答案 B4．设平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形考点空间向量数量积的概念及性质题点用定义求数量积答案 B解析由(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →) ＝(DB →－DA →＋DC →－DA →)·(AB →－AC →) ＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝|AB →|2－|AC →|2＝0，得|AB →|＝|AC →|，故△ABC 为等腰三角形．5．已知a ，b ，c 是两两垂直的单位向量，则|a －2b ＋3c |等于( ) A ．14B.14C ．4D ．2 考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求线段长答案 B解析 ∵|a －2b ＋3c |2＝|a |2＋4|b |2＋9|c |2－4a ·b ＋6a ·c －12b ·c ＝14， ∴|a －2b ＋3c |＝14.6．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列向量的数量积一定不为0的是( ) A.AD 1—→·B 1C → B.BD 1—→·AC →C.AB →·AD 1—→D.BD 1—→·BC →考点空间向量数量积的概念及性质题点数量积的性质答案 D解析选项A ，当四边形ADD 1A 1为正方形时，可得AD 1⊥A 1D ，而A 1D ∥B 1C ，所以AD 1⊥B 1C ，此时有AD 1→·B 1C →＝0；选项B ，当四边形ABCD 为正方形时，可得AC ⊥BD ，又AC ⊥BB 1，BD ∩BB 1＝B ，可得AC ⊥平面BB 1D 1D ，故有AC ⊥BD 1，此时BD 1→·AC →＝0；选项C ，由长方体的性质可得AB ⊥平面ADD 1A 1，所以AB ⊥AD 1，所以AB →·AD 1→＝0，故选D.7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有下列命题：①(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③AD 1→与A 1B →的夹角为60°.其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．0考点空间向量数量积的概念及性质题点数量积的性质答案 B解析 ①②正确；∵AD 1→与A 1B →的夹角为120°，∴③不正确，故选B.二、填空题8．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则A 1B →·B 1C →＝________.考点空间向量数量积的应用题点数量积的综合应用答案 a 2解析如图，A 1B →＝AB →－AA 1→，B 1C →＝BC →－BB 1→＝AD →－AA 1→，∴A 1B →·B 1C →＝(AB →－AA 1→)·(AD →－AA 1→)＝AB →·AD →－AB →·AA 1→－AA 1→·AD →＋|AA 1→|2＝0－0－0＋a 2＝a 2.9．已知空间向量a ，b ，|a |＝32，|b |＝5，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，〈a ，b 〉＝135°，若m ⊥n ，则λ的值为________．考点空间向量数量积的应用题点数量积的综合应用答案－310解析由题意知a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝32×5×⎝⎛⎭⎫－22＝－15，由m ⊥n ，得(a ＋b )·(a ＋λb )＝0，即|a |2＋λa ·b ＋a ·b ＋λ|b |2＝18－15(λ＋1)＋25λ＝0.解得λ＝－310. 10．已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝________. 考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求角答案 18解析将|a －b |＝7化为(a －b )2＝7，求得a ·b ＝12，再由a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，求得cos 〈a ，b 〉＝18. 11．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝________.考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求线段长答案 13解析 ∵|a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2＝1＋6×cos60°＋9＝13，∴|a ＋3b |＝13.三、解答题12．如图，在直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为棱AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求角(1)证明设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意得|a |＝|b |＝|c |，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，∴CE →＝b ＋12c ， A ′D —→＝－c ＋12b －12a ， ∴CE →·A ′D —→＝－12c 2＋12b 2＝0， ∴CE →⊥A ′D —→，即CE ⊥A ′D .(2)∵AC ′→＝－a ＋c ，|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |， AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝⎛⎭⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22×52|a |2＝1010，即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010. 13．等边△ABC 中，P 在线段AB 上，且AP →＝λAB →，若CP →·AB →＝P A →·PB →，则实数λ的值为________．考点空间向量数量积的概念及性质题点空间向量数量积定义答案 1－22解析如图，CP →＝－AC →＋AP →＝－AC →＋λAB →，故CP →·AB →＝(λAB →－AC →)·AB →＝λ|AB →|2－|AB →||AC →|cos A ，P A →·PB →＝(－λAB →)·(1－λ)AB →＝λ(λ－1)|AB →|2，设|AB →|＝a (a ＞0)，则a 2λ－12a 2＝λ(λ－1)a 2，解得λ＝1－22⎝⎛⎭⎫λ＝1＋22舍. 四、探究与拓展14．已知BB 1⊥平面ABC ，且△ABC 是∠B ＝90°的等腰直角三角形，平行四边形ABB 1A 1，平行四边形BB 1C 1C 的对角线都分别相互垂直且相等，若AB ＝a ，则异面直线BA 1与AC 所成的角为________．考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求角答案 60°解析如图所示，∵BA 1→＝BA →＋BB 1→，AC →＝AB →＋BC →，∴BA 1→·AC →＝(BA →＋BB 1→)·(AB →＋BC →)＝BA →·AB →＋BA →·BC →＋BB 1→·AB →＋BB 1→·BC →.∵AB ⊥BC ，BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，∴AB →·BC →＝0，BB 1→·AB →＝0，BB 1→·BC →＝0且BA →·AB →＝－a 2.∴BA 1→·AC →＝－a 2.又BA 1→·AC →＝|BA 1→||AC →|cos 〈BA 1→，AC →〉，∴cos 〈BA 1→，AC →〉＝－a 22a ·2a＝－12. 又∵〈BA 1→，AC →〉∈[0°，180°]，∴〈BA 1→，AC →〉＝120°，又∵异面直线所成的角是锐角或直角，∴异面直线BA1与AC所成的角为60°.。

北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》word整章教案

北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》扶风县法门高中姚连省第一课时平面向量知识复习一、教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备二、教学重点：平面向量的基础知识。

（二）、基本运算1、向量的运算及其性质运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1平行四边形法则2三角形法则),(2121yyxxba++=+abba+=+)()(cbacba++=++ACBCAB=+向量的减法三角形法则),(2121yyxxba--=-)(baba-+=-BAAB-==-向量的乘法1a是一个向量,满足:2>0时,aλ与a同向;λ<0时,aλ与a异向;λ=0时, aλ=0),(yxaλλλ=aa)()(λμμλ=aaaμλμλ+=+)(babaλλλ+=+)(a∥babλ=⇔向量的数量积b a ∙是一个数10=或0=b 时,b a ∙=020≠且0≠b 时,),cos(||||b a b a b a =∙2121y y x x b a +=∙a b b a ∙=∙)()()(b a b a b a ∙=∙=∙λλλc b c a c b a ∙+∙=∙+)(22||a a =22||y x a +=||||||b a b a ≤∙2、平面向量基本定理：如果21,e e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使a =；注意)(21+=,)1(λλ-+=的几何意义 3、两个向量平行的充要条件： ⑴ //a b的充要条件是：；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则//a b 的充要条件是：；（坐标表示）4、两个非零向量垂直的充要条件： ⑴ a b ⊥的充要条件是：；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则a b ⊥ 的充要条件是：；（坐标表示）（三）、课堂练习1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( OB -OC )·(OB +OC －2OA )=0，则∆ABC 是（）A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形2．P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心3．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（） A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形4．已知||p = ||3q = ，p 、q 的夹角为45︒，则以52a p q =+ ，3b p q =-为邻边的平行四边形的一条对角线长为（）A ．15B C ． 14 D ．165．O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足=)||||AC AB ++λ，),0[+∞∈λ则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心（四）、作业布置1．设平面向量=(－2，1)，=(λ，-1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（） A ．),2()2,21(+∞- B ．),2(+∞ C ．),21(+∞- D ．)21,(--∞ 2．若()(),0,7,4,3,2=+-==c a b a 方向在则上的投影为。

数学选修2-1北师大版：第二章空间向量与立体几何疑难规律方法第二章

1 空间向量加减法运用的三个层次空间向量是处理立体几何问题的有力工具，但要用好向量这一工具解题，必须熟练运用加减法运算．第1层用已知向量表示未知向量例1 如图所示，M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 是MN 的三等分点，用向量OA →，OB →，OC →表示OP →和OQ →.解 OP →＝OM →＋MP → ＝12OA →＋23MN → ＝12OA →＋23(ON →－OM →) ＝12OA →＋23⎝⎛⎭⎫ON →－12OA → ＝16OA →＋23×12(OB →＋OC →) ＝16OA →＋13OB →＋13OC →； OQ →＝OM →＋MQ →＝12OA →＋13MN →＝12OA →＋13(ON →－OM →) ＝12OA →＋13⎝⎛⎭⎫ON →－12OA → ＝13OA →＋13×12(OB →＋OC →)＝13OA →＋16OB →＋16OC →. 点评用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立．第2层化简向量例2 如图，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD .设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量．(1)AB →＋12(BD →＋BC →)；(2)AG →－12(AB →＋AC →)．解 (1)AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋12BC →＋12BD →＝AB →＋BM →＋MG →＝AG →. (2)AG →－12(AB →＋AC →)＝AG →－AM →＝MG →. AD →，AG →，MG →如图所示．点评要求空间若干向量之和，可以通过平移，将它们转化为首尾相接的向量，如果首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为0.两个向量相加的平行四边形法则在空间中仍成立，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑运用平行四边形法则．第3层证明立体几何问题例3 如图，已知M ，N 分别为四面体ABCD 的平面BCD 与平面ACD 的重心，且G 为AM 上一点，且GM ∶GA ＝1∶3.求证：B ，G ，N 三点共线．证明设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则BG →＝BA →＋AG →＝BA →＋34AM →＝－a ＋14(a ＋b ＋c )＝－34a ＋14b ＋14c ，BN →＝BA →＋AN →＝BA →＋13(AC →＋AD →)＝－a ＋13b ＋13c ＝43BG →.∴BN →∥BG →，即B ，G ，N 三点共线．2 空间向量易错点扫描易错点1 对向量夹角与数量积的关系理解不清例1 “a·b <0”是“〈a ，b 〉为钝角”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 错解 a·b <0⇔cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b |<0⇔〈a ，b 〉为钝角，所以“a·b <0”是“〈a ，b 〉为钝角”的充要条件．错因分析错解中忽略了两个向量共线且反向的情况．剖析当〈a ，b 〉＝π时，a·b <0，但此时夹角不为钝角，所以“a·b <0”是“〈a ，b 〉为钝角”的必要不充分条件．正解必要不充分总结 a·b <0⇔a 与b 的夹角为钝角或a 与b 方向相反，a·b >0⇔a 与b 夹角为锐角或a 与b 方向相同．易错点2 判断是否共面出错例2 已知O ，A ，B ，C 为空间不共面的四点，a ＝OA →＋OB →＋OC →，b ＝OA →＋OB →－OC →，则与a ，b 不能构成空间的一个基底的是( ) A.OA → B.OB → C.OC →D.OA →或OB →错解 a ＝OA →＋OB →＋OC →，b ＝OA →＋OB →－OC →，相加得OA →＋OB →＝12(a ＋b )，所以OA →，OB →都与a ，b 共面，不能构成空间的一个基底，故选D.剖析 OA →＋OB →＝12(a ＋b )，说明OA →＋OB →与a ，b 共面，但不能认为OA →，OB →都与a ，b 共面．对A ，B ：设OA →＝x a ＋y b ，因为a ＝OA →＋OB →＋OC →，b ＝OA →＋OB →－OC →，代入整理得(x ＋y －1)OA →＋(x ＋y )OB →＋(x －y )OC →＝0，因为O ，A ，B ，C 四点不共面，所以OA →，OB →，OC →不共面，所以x ＋y －1＝0，x ＋y ＝0，x －y ＝0，此时，x ，y 不存在，所以a ，b 与OA →不共面，故a ，b 与OA →可构成空间的一个基底．同理a ，b 与OB →也可构成空间的一个基底．对C ：因为a ＝OA →＋OB →＋OC →，b ＝OA →＋OB →－OC →，相减有OC →＝12(a －b )，所以OC →与a ，b 共面，故不能构成空间的一个基底．正解 C易错点4 混淆向量运算和实数运算例4 阅读下列各式，其中正确的是( ) A ．a ·b ＝b ·c (b ≠0)⇒a ＝c B ．a ·b ＝0⇒a ＝0或b ＝0 C ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )D.OA →·BO →＝|OA →||BO →|cos(180°－∠AOB ) 错解 A(或B 或C)剖析想当然地将向量的数量积运算和实数运算等价，以致出错．向量的数量积运算不满足消去律，结合律，故A ，C 错误；a ·b ＝0⇒a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，故B 错误；OA →·BO →的夹角是180°－∠AOB . 正解 D易错点4 忽略建系的前提例4 四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，AE ⊥平面ABCD ，AE ＝2，F 为CE 中点，试建立合理的坐标系，求AF →，BC →夹角的余弦值．错解以A 为坐标原点，以AB →，AD →，AE →的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz .此时AF →＝(1,1,1)，BC →＝(0,2,0)，所以cos 〈AF →，BC →〉＝33.剖析空间直角坐标系的建立的前提是三条直线两两垂直，而本题中直线AB 与AD 不垂直．正解设AC ，BD 交于点O ，则AC ⊥BD . 因为F 为CE 中点，所以OF ∥AE ，因为AE ⊥平面ABCD ，所以OF ⊥平面ABCD ，OF ⊥AC ，OF ⊥BD ，以O 为坐标原点，以OC →，OD →，OF →的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz .此时AF →＝(1,0,1)，BC →＝(1，3，0)，所以cos 〈AF →，BC →〉＝24.易错点5 求空间角时，因对所求角与向量夹角的关系不理解致误例5 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求平面ABD 1与平面BD 1C 的夹角的大小．错解以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)， C 1(0,1,1)．由题意知A 1D →是平面ABD 1的一个法向量，A 1D →＝(－1,0，－1)，DC 1→是平面BCD 1的一个法向量， DC 1→＝(0,1,1)，所以cos 〈AD 1→，DC 1→〉＝DC 1→·AD 1→|DC 1→||AD 1→|＝－12，所以〈AD 1→，DC 1→〉＝120°.所以平面ABD 1与平面BD 1C 夹角的大小为120°.剖析利用向量法求所成角问题，需注意所求的角的取值范围．正解以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)．由题意知AD 1→＝(－1,0，－1)是平面ABD 1的一个法向量，DC 1→＝(0,1,1)是平面BCD 1的一个法向量．所以cos 〈AD 1→，DC 1→〉＝DC 1→·AD 1→|DC 1→||AD 1→|＝－12，所以〈AD 1→，DC 1→〉＝120°.所以平面ABD 1与平面BD 1C 夹角的大小为60°.3 空间直角坐标系构建三策略利用空间向量的方法解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其他向量用坐标表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题的探求．所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的三种方法，希望同学们面对空间几何问题能做到有的放矢，化解自如． 1．利用共顶点的互相垂直的三条棱例1 已知在直四棱柱中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠DAB 为直角，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，DC ＝1，试求直线BC 1与CD 夹角的余弦值．解如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz ，则D (0,0,0)，C 1(0,1,2)，B (2,4,0)，C (0,1,0)，所以BC 1→＝(－2，－3,2)，CD →＝(0，－1,0)．所以cos 〈BC 1→，CD →〉＝BC 1→·CD →|BC 1→||CD →|＝31717.故直线BC 1与CD 夹角的余弦值为31717.点评本例以直四棱柱为背景，求直线与直线的夹角．求解关键是从直四棱柱图形中的共点的三条棱互相垂直关系处着眼，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和相关向量的坐标，再求两直线的方向向量的夹角即可． 2．利用线面垂直关系例2 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥平面BB 1C 1C ，E 为棱C 1C 的中点，已知AB ＝2，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝π3.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标．解过B 点作BP 垂直于BB 1交C 1C 于P 点，因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，所以BP ⊥平面ABB 1A 1，以B 为坐标原点，分别以BP ，BB 1，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系Bxyz ，如图．因为AB ＝2，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝π3，所以CP ＝12，C 1P ＝32，BP ＝32，则各点坐标分别为B (0，0,0)，A (0,0，2)，B 1(0,2,0)，C ⎝⎛⎭⎫32，－12，0，C 1⎝⎛⎭⎫32，32，0，E⎝⎛⎭⎫32，12，0，A 1()0，2，2. 点评空间直角坐标系的建立，要尽量地使尽可能多的点落在坐标轴上，这样建成的坐标系，既能迅速写出各点的坐标，又由于坐标轴上的点的坐标含有0，也为后续的运算带来了方便．本题已知条件中的垂直关系“AB ⊥平面BB 1C 1C ”，可作为建系的突破口． 3．利用面面垂直关系例3 如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝2，∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点．将△ABE 沿AE 折起，使平面BAE ⊥平面AEC (如图2)，连接BC ，BD .求平面ABE 与平面BCD 夹角的大小．解取AE 中点M ，连接BM ，DM .因为在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ，∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点，所以△ABE 与△ADE 都是等边三角形，所以BM ⊥AE ，DM ⊥AE .又平面BAE ⊥平面AEC ，所以BM ⊥MD .以M 为坐标原点，分别以ME ，MD ，MB 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系Mxyz ，如图，则E (1,0,0)，B (0,0，3)，C (2，3，0)，D (0，3，0)，所以DC →＝(2,0,0)，BD →＝(0，3，－3)，设平面BCD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·DC →＝2x ＝0，m ·BD →＝3y －3z ＝0，取y ＝1，得m ＝(0,1,1)，又因为平面ABE 的一个法向量为MD →＝(0，3，0)，所以cos 〈m ，MD →〉＝m ·MD →|m ||MD →|＝22，所以平面ABE 与平面BCD 夹角为45°.点评本题求解关键是利用面面垂直关系，先证在两平面内共点的三线垂直，再构建空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，求出两法向量夹角的余弦值，即可得所求的两平面夹角的大小．4 用向量法研究“动态”立体几何问题“动态”立体几何问题是在静态几何问题中渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，同时由于“动态”的存在，使得问题的处理趋于灵活．本文介绍巧解“动态”立体几何问题的法宝——向量法，教你如何以静制动． 1．求解、证明问题例1 在棱长为a 的正方体OABC —O 1A 1B 1C 1中，E ，F 分别是AB ，BC 上的动点，且AE ＝BF ，求证：A 1F ⊥C 1E .证明以O 为坐标原点，OA ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，则A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )．设AE ＝BF ＝x (0≤x ≤G )， ∴E (a ，x,0)，F (a －x ，a,0)． ∴A 1F →＝(－x ，a ，－a )， C 1E →＝(a ，x －a ，－a )．∵A 1F →·C 1E →＝(－x ，a ，－a )·(a ，x －a ，－a ) ＝－ax ＋ax －a 2＋a 2＝0， ∴A 1F →⊥C 1E →，即A 1F ⊥C 1E . 2．定位问题例2 如图，已知四边形ABCD ，CDGF ，ADGE 均为正方形，且边长为1，在DG 上是否存在点M ，使得直线MB 与平面BEF 的夹角为45°？若存在，求出点M 的位置；若不存在，请说明理由．解题提示假设存在点M ，设平面BEF 的法向量为n ，设BM 与平面BEF 所成的角为θ，利用sin θ＝|BM →·n ||BM →||n |求出点M 的坐标，若满足条件则存在．解因为四边形CDGF ，ADGE 均为正方形，所以GD ⊥DA ，GD ⊥DC .又DA ∩DC ＝D ，DA ，DC ?平面ABCD ，所以GD ⊥平面ABCD .又DA ⊥DC ，所以DA ，DG ，DC 两两互相垂直．如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DG 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz ，则B (1,1,0)，E (1,0,1)，F (0,1,1)．因为点M 在DG 上，假设存在点M (0,0，t )(0≤t ≤1)使得直线BM 与平面BEF 的夹角为45°. 设平面BEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．因为BE →＝(0，－1,1)，BF →＝(－1,0,1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BE →＝0，n ·BF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋z ＝0，－x ＋z ＝0，令z ＝1，得x ＝y ＝1，所以n ＝(1,1,1)为平面BEF 的一个法向量．又BM →＝(－1，－1，t )，直线BM 与平面BEF 的夹角为45°，所以sin45°＝|BM →·n ||BM →||n |＝|－2＋t |t 2＋2×3＝22，解得t ＝－4±3 2.又0≤t ≤1，所以t ＝32－4.故在DG 上存在点M (0,0,32－4)，且当DM ＝32－4时，直线MB 与平面BEF 夹角为45°. 点评由于立体几何题中“动态”性的存在，使有些问题的结果变得不确定，这时我们要以不变应万变，抓住问题的实质，引入参量，利用空间垂直关系及数量积将几何问题代数化，达到以静制动的效果．5 向量与立体几何中的数学思想1．数形结合思想向量方法是解决问题的一种重要方法，坐标是研究向量问题的有效工具，利用空间向量的坐标表示可以把向量问题转化为代数运算，从而沟通了几何与代数的联系，体现了数形结合的重要思想．向量具有数形兼备的特点，因此，它能将几何中的“形”和代数中的“数”有机地结合在一起．例1 如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥底面ABCD ，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，且A 1A ＝AB ＝AD ＝2BC ＝2，点E 在棱AB 上，平面A 1EC 与棱C 1D 1相交于点F .(1)证明：A 1F ∥平面B 1CE ；(2)若E 是棱AB 的中点，求平面A 1ECF 与平面DEC 夹角的余弦值；(3)求三棱锥B 1－A 1EF 的体积的最大值．(1)证明因为ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱柱，所以平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1.又因为平面ABCD ∩平面A 1ECF ＝EC ，平面A 1B 1C 1D 1∩平面A 1ECF ＝A 1F ，所以A 1F ∥EC .又因为A 1F 平面B 1CE ，EC ?平面B 1CE ，所以A 1F ∥平面B 1CE .(2)解因为AA 1⊥底面ABCD ，∠BAD ＝90°，所以AA 1，AB ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴和z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz .则A 1(0,0,2)，E (1,0,0)，C (2,1,0)，所以A 1E →＝(1,0，－2)，A 1C →＝(2,1，－2)．设平面A 1ECF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由A 1E →·m ＝0，A 1C →·m ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，2x ＋y －2z ＝0，令z ＝1，得m ＝(2，－2,1)．又因为平面DEC 的法向量为n ＝(0,0,1)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝13.所以平面A 1ECF 与平面DEC 夹角的余弦值为13. (3)解过点F 作FM ⊥A 1B 1于点M ，因为平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，平面A 1ABB 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝A 1B 1，FM ?平面A 1B 1C 1D 1，所以FM ⊥平面A 1ABB 1，所以VB 1－A 1EF ＝VF －B 1A 1E ＝13×11A B E S ×FM＝13×2×22×FM ＝23FM . 因为当F 与点D 1重合时，FM 取到最大值2(此时点E 与点B 重合)，所以当F 与点D 1重合时，三棱锥B 1－A 1EF 的体积的最大值为43. 2．转化与化归思想空间向量的坐标及运算为解决立体几何中的夹角、距离、垂直、平行等问题提供了工具，因此我们要善于把这些问题转化为向量的夹角、模、垂直、平行等问题，利用向量方法解决．将几何问题化归为向量问题，然后利用向量的性质进行运算和论证，再将结果转化为几何问题．这种“从几何到向量，再从向量到几何”的思想方法，在本章尤为重要．例2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2AD ＝2，E 为AB 的中点，F 为D 1E 上的一点，D 1F ＝2FE .(1)证明：平面DFC ⊥平面D 1EC ；(2)求平面ADF 与平面DFC 夹角的余弦值．分析求平面与平面的夹角最常用的办法就是分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小，但要注意平面与平面之间的夹角为锐角．(1)证明以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系Dxyz ，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (1,2,0)，C (0,2,0)，D 1(0,0,2)．DC →＝(0,2,0)，D 1C →＝(0,2，－2)，∵E 为AB 的中点，∴E (1,1,0)，∵D 1F ＝2FE ，∴D 1F →＝23D 1E →＝23(1,1，－2)＝⎝⎛⎫23，23，－43， ∴DF →＝DD 1→＋D 1F →＝(0,0,2)＋⎝⎛⎭⎫23，23，－43 ＝⎝⎛⎭⎫23，23，23.设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面DFC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DF →＝0，n ·DC →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 23x 1＋23y 1＋23z 1＝0，2y 1＝0，取x 1＝1，得平面DFC 的一个法向量为n ＝(1,0，－1)．设p ＝(x 2，y 2，z 2)是平面D 1EC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ p ·D 1F →＝0，p ·D 1C →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 23x 2＋23y 2－43z 2＝0，2y 2－2z 2＝0，设平面ADF 与平面DFC 的夹角为0，取y 2＝1，得平面D 1EC 的一个法向量为p ＝(1,1,1)， ∵n ·p ＝(1,0，－1)·(1,1,1)＝0，∴平面DFC ⊥平面D 1EC .(2)解设q ＝(x 3，y 3，z 3)是平面ADF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧q ·DF →＝0，q ·DA →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧23x 3＋23y 3＋23z 3＝0，x 3＝0，取y 3＝1，得平面ADF 的一个法向量为q ＝(0,1，－1)，设平面ADF 与平面DFC 的夹角为θ，则cos θ＝|n ·q ||n ||q |＝|0＋0＋1|2×2＝12， ∴平面ADF 与平面DFC 的夹角的余弦值为12. 3．函数思想例3 已知关于x 的方程x 2－(t －2)x ＋t 2＋3t ＋5＝0有两个实根，且c ＝a ＋t b ，a ＝(－1,1,3)，b ＝(1,0，－2)．问|c |能否取得最大值？若能，求出实数t 的值及对应的向量b 与c 夹角的余弦值；若不能，请说明理由．分析写出|c |关于t 的函数关系式，再利用函数观点求解．解由题意知Δ≥0，得－4≤t ≤－43. 又c ＝(－1,1,3)＋t (1,0，－2)＝(－1＋t,1,3－2t )，∴|c |＝(－1＋t )2＋(3－2t )2＋1 ＝5⎝⎛⎭⎫t －752＋65. 当t ∈⎣⎡⎦⎤－4，－43时，f (t )＝5⎝⎛⎭⎫t －752＋65是单调递减函数，∴y max ＝f (－4)，即|c |的最大值存在，此时c ＝(－5,1,11)．b·c ＝－27，|c |＝7 3.而|b |＝5，∴cos 〈b ，c 〉＝b·c |b||c |＝－275×73＝－91535. 点评凡涉及向量中的最值问题，若可用向量坐标形式，一般可考虑写出函数关系式，利用函数思想求解．4．分类讨论思想例4 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a ，P A ⊥平面ABCD (点P 位于平面ABCD 上方)，问BC 边上是否存在点Q ，使PQ →⊥QD →？分析由PQ →⊥QD →，得PQ ⊥QD ，所以在平面ABCD 内，点Q 在以边AD 为直径的圆上，若此圆与边BC 相切或相交，则BC 边上存在点Q ，否则不存在．解假设存在点Q (Q 点在边BC 上)，使PQ →⊥QD →，即PQ ⊥QD ，连接AQ .∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥QD .又PQ →＝P A →＋AQ →且PQ →⊥QD →，∴PQ →·QD →＝0，即P A →·QD →＋AQ →·QD →＝0.又由P A →·QD →＝0，∴AQ →·QD →＝0，∴AQ →⊥QD →.即点Q 在以边AD 为直径的圆上，圆的半径为a 2. 又∵AB ＝1，由题图知，当a 2＝1，即a ＝2时，该圆与边BC 相切，存在1个点Q 满足题意；当a 2>1，即a >2时，该圆与边BC 相交，存在2个点Q 满足题意；当a 2<1，即a <2时，该圆与边BC 相离，不存在点Q 满足题意．综上所述，当a ≥2时，存在点Q ，使PQ →⊥QD →；当0<a <2时，不存在点Q ，使PQ →⊥QD →.。

北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》空间向量复习

空间所有向量的集合{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}
{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量。
二、空间直角坐标系单位正交基底：如果空间的一个基底的
三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用 i , j , k 表示。
则空间中任意一个向量p可表示为
p=xi+yj+zk
(x,y,z)就是向量p的坐标。
3.1.5 向量的直角坐标运算
设a (a1, a2 , a3), b (b1,b2 , b3)则
a b (a 1b1,a2 b2 ,a3 b3 ) ;
a b (a1b1,a2 b2 ,a3 b3 );
a (a1,a2,a3),( R) ;
加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k(a b) ka＋kb
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量； A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。 A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
概念定义表示法相等向量
加法减法
加法:三角形法则或平行四边形法则
数乘减法:三角形法则
运算数乘:ka,k为正数,负数,零
具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零
运加法交换律 a b b a 算加法结合律律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
l上的射影A1 , 作点B在l上的射影B1，则A1B1叫做向量A B在轴l上的

第二章空间向量与立体几何章末复习课件(北师大版选修2-1)

→ → → → 1 设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则MN＝ (a＋b＋c)． 2 → → → → → 1 又BD＝AD－AB＝b－a，∴MN·BD＝2(a＋b＋c)(b－a) 1 2 ＝2(b －a2＋c· b－c· a)．又∵A1A⊥AD，A1A⊥AB，∴c· b＝0，c· a＝0. 又|b|＝|a|，∴b2＝a2，∴b2－a2＝0. → → ∴MN·BD＝0，∴MN⊥BD. 同理可证，MN⊥A1B，又 A1B∩BD＝B， ∴MN⊥平面 A1BD.
第二章章末归纳整合
专题一空间向量的计算空间向量及其运算的知识与方法与平面向量及其运算类似，是平面向量的拓展，主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，是用向量法求解立体几何问题的基础． → → → 【例 1】沿着正四面体 O-ABC 的三条棱OA、OB、OC的方向有大小等于 1，2 和 3 的三个力 f1，f2，f3.试求此三个力的合力 f 的大小以及此合力与三条棱夹角的余弦值．
高考真题 1．(2011· 上海)设 A1，A2，A3，A4，A5 是空间中给定的 5 个不同 → → → → → 的点，则使MA1＋MA2＋MA3＋MA4＋MA5＝0 成立的点 M 的个数为( )．
A．0 B．1 C．5 D．10
解析
从特例入手，不妨令 A1，A2，A3，A4，A5 五点共线，且
5．从近几年的高考试题来看，对本章内容的考查主要分两类： (1)以选择题、填空题的形式考查基本概念和性质，此类题难度不大，用以解答有关简单的化简、计算、长度、夹角、垂直等问题． (2)向量在空间中的应用，主要是通过向量的坐标表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质与计算，此类问题一般是中档题．
解
(1)∵PA⊥平面 ABCD，由 ABCD 是正方形知 AD⊥CD.

高二选修2-1北师大版：第二章_空间向量与立体几何_§2_空间向量的运算(一)_word版有答案

§2 空间向量的运算(一)学习目标 1.了解空间向量的加减法及运算律.2.理解空间向量的数乘运算及运算律，并掌握共线向量定理．知识点一空间向量的加减法及运算律思考下面给出了两个空间向量a ，b ，如何作出b ＋a ，b －a?答案如图，空间中的两个向量a ，b 相加时，我们可以先把向量a ，b 平移到同一个平面α内，以任意点O 为起点作OA →＝a ，OB →＝b ，则OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b ，AB →＝OB →－OA →＝b －a.梳理类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算．OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ， CA →＝OA →－OC →＝a －b知识点二空间向量的数乘运算及运算律注：在平面中，我们讨论过两个向量共线的问题，在空间中也有相应的结论．空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得a ＝λb .1．若a ＋b ＝0，则a ＝b ＝0.(×)2．设λ∈R ，若a ＝λb ，则a 与b 共线．(×) 3.OA →－OB →＝AB →.(×)4．直线l 的方向向量为a ，若a ∥平面α，则l ∥平面α.(×)类型一空间向量的加减运算例1 如图，已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AA ′—→－CB →； (2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→. 考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算解 (1)AA ′—→－CB →＝AA ′—→－DA →＝AA ′—→＋AD →＝AD ′—→.(2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→＝(AA ′—→＋AB →)＋B ′C ′——→＝AB ′—→＋B ′C ′——→＝AC ′—→. 向量AD ′—→，AC ′—→如图所示．引申探究利用本例题图，化简AA ′—→＋A ′B ′→＋B ′C ′—→＋C ′A —→. 解结合加法运算AA ′—→＋A ′B ′—→＝AB ′—→，AB ′—→＋B ′C ′—→＝AC ′—→，AC ′—→＋C ′A —→＝0. 故AA ′—→＋A ′B ′——→＋B ′C ′——→＋C ′A —→＝0.反思与感悟 (1)首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n －1A n ———→＝A 1A n —→.(2)首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.如图，OB →＋BC →＋CD →＋DE →＋EF →＋FG →＋GH →＋HO →＝0.跟踪训练1 在如图所示的平行六面体中，求证：AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝2AC ′—→.考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算的应用证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →，AB ′—→＝AB →＋AA ′—→，AD ′—→＝AD →＋AA ′—→， ∴AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′—→)＋(AD →＋AA ′—→) ＝2(AB →＋AD →＋AA ′—→)．又∵AA ′—→＝CC ′—→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋AA ′—→＝AB →＋BC →＋CC ′—→＝AC →＋CC ′—→＝AC ′—→. ∴AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝2AC ′—→. 类型二共线问题例2 (1)已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D(2)设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝e 1＋k e 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，实数k ＝________. 考点线线、线面平行的判断题点线线平行的判断答案 (1)A (2)1解析 (1)因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，故AD →∥AB →，又AD →与AB →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．(2)因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝7e 1＋(k ＋6)e 2，且AB →与AD →共线，故AD →＝xAB →，即7e 1＋(k ＋6)e 2＝x e 1＋xk e 2，故(7－x )e 1＋(k ＋6－xk )e 2＝0，又∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7－x ＝0，k ＋6－kx ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，k ＝1，故k 的值为1. 反思与感悟 (1)判断向量共线的策略①熟记共线向量的充要条件：(ⅰ)若a ∥b ，b ≠0，则存在唯一实数λ使a ＝λb ；(ⅱ)若存在唯一实数λ，使a ＝λb ，b ≠0，则a ∥b .②判断向量共线的关键：找到实数λ. (2)证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论来证明三点共线． ①存在实数λ，使P A →＝λPB →成立．②对空间任一点O ，有OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )． ③对空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)．跟踪训练2 如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，请判断向量EF →与AD →＋BC →是否共线？考点线线、线面平行的判断题点线线平行的判断解设AC 的中点为G ，连接EG ，FG ， ∴GF →＝12AD →，EG →＝12BC →，又∵GF →，EG →，EF →共面，∴EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →)，∴EF →与AD →＋BC →共线．类型三空间向量的数乘运算及应用例3 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N —→；(3)MP →＋NC 1—→. 考点空间向量的数乘运算题点空间向量的线性运算解 (1)AP →＝AD 1—→＋D 1P —→＝(AA 1—→＋AD →)＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)A 1N —→＝A 1A —→＋AN →＝－AA 1—→＋AB →＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)MP →＋NC 1—→＝(MA 1—→＋A 1D 1—→＋D 1P —→)＋(NC →＋CC 1→) ＝12AA 1—→＋AD →＋12AB →＋12AD →＋AA 1—→ ＝32AA 1—→＋32AD →＋12AB →＝32a ＋12b ＋32c . 引申探究若把本例中“P 是C 1D 1的中点”改为“P 在线段C 1D 1上，且C 1P PD 1＝12”，其他条件不变，如何表示AP →？解 AP →＝AD 1—→＋D 1P —→＝AA 1—→＋AD →＋23AB →＝a ＋c ＋23b .反思与感悟利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E —→＝2ED 1—→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F —→＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．考点空间向量的数乘运算题点空间共线向量定理及应用证明设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c . 因为A 1E —→＝2ED 1—→，A 1F —→＝23FC →，所以A 1E —→＝23A 1D 1—→，A 1F —→＝25A 1C —→，所以A 1E —→＝23AD →＝23b ，A 1F —→＝25(AC →－AA 1—→)＝25(AB →＋AD →－AA 1—→)＝25a ＋25b －25c ，所以EF →＝A 1F —→－A 1E —→＝25a －415b －25c＝25⎝⎛⎭⎫a －23b －c . 又EB →＝EA 1—→＋A 1A —→＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，所以EF →＝25EB →，又因为EF →与EB →有公共点E ，所以E ，F ，B 三点共线．1.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为AC 1—→的共有( )①(AB →＋BC →)＋CC 1—→； ②(AA 1—→＋A 1D 1—→)＋D 1C 1—→； ③(AB →＋BB 1—→)＋B 1C 1—→； ④(AA 1—→＋A 1B 1—→)＋B 1C 1—→.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算答案 D解析 ①(AB →＋BC →)＋CC 1—→＝AC →＋CC 1—→＝AC 1—→； ②(AA 1—→＋A 1D 1—→)＋D 1C 1—→＝AD 1—→＋D 1C 1—→＝AC 1—→； ③(AB →＋BB 1—→)＋B 1C 1—→＝AB 1—→＋B 1C 1—→＝AC 1—→； ④(AA 1—→＋A 1B 1—→)＋B 1C 1—→＝AB 1—→＋B 1C 1—→＝AC 1—→，故选D.2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．空间四边形 C ．等腰梯形D ．矩形考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算的应用答案 A解析由AO →＋OB →＝AB →＝DO →＋OC →＝DC →，得AB →＝DC →，故四边形ABCD 为平行四边形，故选A. 3．下列条件，能说明空间不重合的A ，B ，C 三点共线的是( ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →－BC →＝AC →C.AB →＝BC →D ．|AB →|＝|BC →|考点空间向量的数乘运算题点空间共线向量定理及应用答案 C解析由AB →＝BC →知AB →与BC →共线，又因有一共同的点B ，故A ，B ，C 三点共线．4．若非零空间向量e 1，e 2不共线，则使2k e 1－e 2与e 1＋2(k ＋1)e 2共线的k 的值为________．考点空间向量的数乘运算题点空间共线向量定理及应用答案－12解析若2k e 1－e 2与e 1＋2(k ＋1)e 2共线，则2k e 1－e 2＝λ[e 1＋2(k ＋1)e 2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＝λ，－1＝2λ(k ＋1)，∴k ＝－12.5．化简2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝________. 考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算答案 0解析 2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AB →＋2BC →＋2CD →＋2DA →＋CD →＋DA →＋AC →＝0.(1)空间向量加法、减法运算的两个技巧①巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．②巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．(2)证明(或判断)三点A ，B ，C 共线时，只需证明存在实数λ，使AB →＝λBC →(或AB →＝λAC →)即可，也可用“对空间任意一点O ，有OC →＝tOA →＋(1－t )OB →”来证明三点A ，B ，C 共线．一、选择题1．化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是( ) A.PM → B.NP → C ．0D.MN →考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算答案 C解析 PM →－PN →＋MN →＝NM →＋MN →＝NM →－NM →＝0，故选C. 2．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A.DB → B.AC → C.AB →D.BA →考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算答案 D3．已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，设G 是CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)等于( )A.AG →B.CG →C.BC →D.12BC → 考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算答案 A解析如图，因为BD →＋BC →＝2BG →，所以AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋BG →＝AG →.4．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点．若A 1B 1—→＝a ，A 1D 1—→＝b ，A 1A —→＝c ，则下列向量中与B 1M —→相等的向量是( ) A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c考点空间向量的数乘运算题点空间向量的线性运算答案 A解析 B 1M —→＝B 1B —→＋BM →＝A 1A →＋12(BA →＋BC →)＝c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c .5．如图所示，在四面体A －BCD 中，点E 是CD 的中点，记AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则BE →等于( )A ．a －12b ＋12cB ．－a ＋12b ＋12cC ．12a －b ＋12cD ．－12a ＋b ＋12c考点空间向量的数乘运算题点空间向量的线性运算答案 B解析连接AE (图略)，∵E 是CD 的中点，AC →＝b ，AD →＝c ， ∴AE →＝12(AC →＋AD →)＝12(b ＋c )．在△ABE 中，BE →＝BA →＋AE →＝－AB →＋AE →，又AB →＝a ，∴BE →＝－a ＋12(b ＋c )＝－a ＋12b ＋12c .6．设点M 是△ABC 的重心，记BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，且a ＋b ＋c ＝0，则AM →等于( ) A.b －c 2B.c －b 2C.b －c 3D.c －b 3考点空间向量的数乘运算题点空间向量的线性运算答案 D解析设D 是BC 边的中点， ∵M 是△ABC 的重心，∴AM →＝23AD →.而AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(c －b )，∴AM →＝13(c －b )．7．设空间四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( ) A ．点P 一定在直线AB 上 B ．点P 一定不在直线AB 上C ．点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上D ．AB →与AP →的方向一定相同考点空间向量的数乘运算题点空间共线向量定理及应用答案 A解析已知m ＋n ＝1，则m ＝1－n ，OP →＝(1－n )OA →＋nOB →＝OA →－nOA →＋nOB →，即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)，即AP →＝nAB →.因为AB →≠0，所以AP →和AB →共线，又AP 和AB 有公共点A ，所以点A ，P ，B 共线，故选A.二、填空题8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，化简AB →－CD →＋BC →－DA →的结果是________．考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算答案 2AC →解析 AB →－CD →＋BC →－DA →＝AB →＋BC →＋DC →－DA →＝AC →＋AC →＝2AC →.9．在空间四边形ABCD 中，连接BD ，若△BCD 是正三角形，且E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →的化简结果为________．考点空间向量的数乘运算题点空间向量的线性运算答案 0解析连接DE 并延长交BC 于点F ，连接AF (图略)，则DF →＝32DE →， ∴AB →＋12BC →－32DE →－AD → ＝AB →＋BF →－DF →＋DA →＝AF →＋FD →＋DA →＝0.10．若G 为△ABC 内一点，且满足AG →＋BG →＋CG →＝0，则G 为△ABC 的________．(填“外心”“内心”“垂心”“重心”)考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算的应用答案重心解析因为AG →＋BG →＝－CG →＝GC →，所以AG 所在直线的延长线为边BC 上的中线，同理，得BG 所在直线的延长线为AC 边上的中线，故G 为其重心．11．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为________．考点空间向量的数乘运算题点空间共面向量定理及应用答案 13解析 ∵OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，且M ，A ，B ，C 四点共面，∴x ＋13＋13＝1， ∴x ＝13. 三、解答题12．如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE .求证：MN ∥平面CDE .考点空间向量的数乘运算题点空间向量共面定理及应用证明因为M 在BD 上，且BM ＝13BD ，所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →. 同理AN →＝13AD →＋13DE →. 所以MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝13DA →＋13AB →＋BA →＋13AD →＋13DE → ＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →. 又CD →与DE →不共线，根据共面向量定理可知MN →，CD →，DE →共面．因为MN 不在平面CDE 内，所以MN ∥平面CDE .四、探究与拓展13．已知向量a ，b ，c 互相平行，其中a ，c 同向，a ，b 反向，|a |＝3，|b |＝2，|c |＝1，则|a ＋b ＋c |＝________. 答案 214．设e 1，e 2，e 3三向量不共面，而AB →＝e 1＋2e 2＋3e 3，BC →＝2e 1＋λe 2＋μe 3，CD →＝3λe 1－e 2－2μe 3，如果A ，B ，D 三点共线，则λ，μ的值为________．考点空间向量的数乘运算题点空间共线向量定理及应用解析 BD →＝BC →＋CD →＝(2e 1＋λe 2＋μe 3)＋(3λe 1－e 2－2μe 3)＝(2＋3λ)e 1＋(λ－1)e 2－μe 3.∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →与BD →是共线向量．∴存在实数k ，使得AB →＝kBD →，即e 1＋2e 2＋3e 3＝k [(2＋3λ)e 1＋(λ－1)e 2－μe 3]．∴(1－2k －3kλ)e 1＋(2－kλ＋k )e 2＋(3＋kμ)e 3＝0.∵e 1，e 2，e 3三向量不共面，∴1－2k －3kλ＝0,2－kλ＋k ＝0,3＋kμ＝0.将k ＝－3μ代入前两式，可得⎩⎪⎨⎪⎧9λ＋μ＋6＝0，3λ＋2μ－3＝0，解得λ＝－1，μ＝3.。

新北师大版高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试(答案解析)(2)

一、选择题1．长方体12341234A A A A B B B B -的底面为边长为1的正方形，高为2，则集合12{|i j x x A B A B =⋅，{1,2,3,4},{1,2,3,4}}i j ∈∈中元素的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．若直线1l 、2l 的方向向量分别为(1,2,2)a =-，(2,3,2)b =-，则1l 与2l 的位置关系是（） A ．12l l ⊥B ．12l l C ．1l 、2l 相交不垂直 D ．不能确定3．阅读材料：空间直角坐标系O ﹣xyz 中，过点P （x 0，y 0，z 0）且一个法向量为＝（a ，b ，c ）的平面α的方程为a （x ﹣x 0）+b （y ﹣y 0）+c （z ﹣z 0）＝0；过点P （x 0，y 0，z 0）且一个方向向量为d ＝（u ，v ，w ）（uvw≠0）的直线l 的方程为000x x y y z z u v w---==，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面α的方程为x+2y ﹣2z ﹣4＝0，直线l 是两平面3x ﹣2y ﹣7＝0与2y ﹣z+6＝0的交线，则直线l 与平面α所成角的大小为（） A ．arcsin 1414 B ．arcsin 421C ．arcsin51442D ．arcsin123773774．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，1AB AC AA ==，M ，N 是线段1BB ，1CC 上的点，平面AMN 与平面ABC 所成（锐）二面角为6π，当1B M 最小时，AMB ∠=（）A ．512π B ．3πC ．4π D ．6π 5．在边长为2的菱形ABCD 中，23BD =ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B AC D --的余弦值为13，则所得三棱锥A BCD -的内切球的表面积为（） A ．43π B ．πC ．23π D ．2π6．设平面α的一个法向量为1(1,2,2)n =-，平面β的一个法向量为2(2,4,)n k =--，若//αβ，则k = ( )A ．2B ．-4C ．-2D ．47．在四面体O-ABC 中,G 1是△ABC 的重心,G 是OG 1上的一点,且OG=3GG 1,若OG =x OA +y OB +z OC ,则(x ,y ,z )为( )A ．111,,444⎛⎫⎪⎝⎭B ．333,,444⎛⎫⎪⎝⎭ C ．111,,333⎛⎫⎪⎝⎭D ．222,,333⎛⎫⎪⎝⎭8．若向量(3,1,0)a =，(1,0,)b z =，,3a b π=，则实数z 的值为（）A ．2B ．2C ．2±D ．2±9．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，(1,2,,8)i P i =⋅⋅⋅是上底面上其余的八个点，则集合{},1238i y y AB AP i =⋅=⋅⋅⋅、、、、中的元素个数（）A ．1B ．2C ．4D ．810．已知()()2,,,1,21,0a t t b t t ==--，则b a -的最小值是( ) A 2B 3C 5D 611．如图所示，五面体ABCDE 中，正ABC ∆的边长为1，AE ⊥平面,ABC CD AE ∥，且12CD AE =.设CE 与平面ABE 所成的角为,(0)AE k k α=>，若ππ[,]64α∈，则当k 取最大值时，平面BDE 与平面ABC 所成角的正切值为（）A ．22B ．1C ．2D ．312．已知平行六面体1111ABCD A BC D -中，11114AE AC =，若1BE xAB yAD zAA =++，则x 的值为（）A ．14B ．34-C ．1D ．12二、填空题13．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，,M N 分别为1,CC BC 的中点，点P 在直线11A B 上且满足111().A P A B R λλ=∈若平面PMN 与平面ABC 所成的二面角的平面角的大小为45，则实数λ的值为______．14．在空间直角坐标系中，点()2,1,4-关于x 轴对称的点的坐标是______． 15．已知B 与点()1,2,3A 关于点()0,1,2M -对称，则点B 的坐标是______． 16．如右图，AO ⊥平面α，点0为垂足，BC ⊂平面α，BC OB ⊥，若π4ABO ∠=，π6COB ∠=，则 tan BAC ∠=__________．17．如图所示，三棱锥O ABC -中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在棱OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，则MN =__________．（用a ，b ，c 表示）18．若向量()()()1,1,,1,2,1,1,1,1a x b c ===，满足条件()()·22c a b -=-，则x = __________．19．已知(1,1,0)a =，(1,0,2)b =-，若ka b +和3a b -相互垂直，则k =________． 20．已知60︒ 的二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知1AB = ，2AC = ，3BD = ，则线段CD 的长为__________．三、解答题21．在①()()DE CF DE CF +⊥-，②17||2DE =，③0cos ,1EF DB <<这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并完成问题.问题：如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -.已知点1D 的坐标为()0,0,2，E 为棱11D C 上的动点，F 为棱11B C 上的动点，___________，试问是否存在点E ，F 满足1EF AC ⊥？若存在，求AE BF ⋅的值；若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22．如图四棱锥S ABCD -，ABCD 是平行四边形，2AD BD ==，AD BD ⊥，SAD 为等边三角形，且平面SAD ⊥平面ABCD ，E 是AB 边的中点，F 是侧棱SC 上的一点.（1）是否存在这样的点F ，使得//EF 平面SAD ？若存在，请求出SFSC的值，若不存在，请说明理由；（2）在（1）的条件下，求异面直线AD 与EF 的距离.23．在几何体111ABC A B C -中，点1A 、1B 、1C 在平面ABC 内的正投影分别为A 、B 、C ，且AB BC ⊥，114AA BB ==，12AB BC CC ===，E 为1AB 的中点.（1）求证：//CE 平面111A B C ；（2）求二面角11B AC C --的大小.24．如图.四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面是直角梯形，BC ∥AD ，AB AD ，AD=2BC=2，四边形ABB 1A 1和ADD 1A 1均为正方形.（1）证明；平面ABB 1A 1平面ABCD ；（2）求二面角B 1 CD-A 的余弦值.25．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，,M N 分别为棱,PD BC 的中点，2PA AB ==.(1)求证：//MN 平面PAB ；(2)求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值.26．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，//AD BC ，90ADC ∠=︒，PA PD ⊥，PA PD =.（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若1BC =，2AD CD ==，求二面角A PC B --的余弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】建立空间直角坐标系，结合向量的数量积的定义，进行计算，即可求解．【详解】由题意，因为正方体12341234A A A A B B B B -的底面为班车为1的正方形，高为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则12341234(1,1,0),(0,1,0),(0,0,0),(1,0,0),(1,1,2),(0,1,2),(0,0,2),(1,0,2)A A A A B B B B ，则12(1,0,2)A B =-，与11(0,0,2)A B =相等的向量为223344A B A B A B ==，此时1211224A B A B ⋅=⨯=，与14(0,1,2)A B =-相等的向量为23A B ，此时1214224A B A B ⋅=⨯=，与41(0,1,2)A B =相等的向量为32A B ，此时1241224A B A B ⋅=⨯=，与21(1,0,2)A B =相等的向量为34A B ，此时1221143A B A B ⋅=-+=，与12(1,0,2)A B =-相等的向量为43A B ，此时1212145A B A B ⋅=+=，体对角线向量为13(1,1,2)A B =--，此时1213145A B A B ⋅=+=， 24(1,1,2)A B =-，此时1224143A B A B ⋅=-+=， 31(1,1,2)A B =，此时1231143A B A B ⋅=-+=，42(1,1,2)A B =-，此时1242145A B A B ⋅=+=，综上集合11{|,{1,2,3,4},{1,2,3,4}}{3,4,5}i j x x A B A B i j =⋅∈∈=，集合中元素的个数为3个．故选：C ．【点睛】本题主要考查了集合的元素的计算，以及向量的数量积的运算，其中解答中建立恰当的空间直角坐标系，熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2．A解析：A 【分析】求出直线1l 、2l 的方向向量数量积为0，由此得到1l 与2l 的位置关系．【详解】由题意，直线1l 、2l 的方向向量分别为(1,2,2)a =-，(2,3,2)b =-，2640a b ⋅=-+-=，∴1l 与2l 的位置关系是12l l ⊥．故选A ．【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系的判断，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，着重考查运算求解能力，属于基础题．3．B解析：B 【分析】先根据两个平面的方程，求出平面交线的方向向量，结合已知平面的方程确定平面的法向量，然后求解. 【详解】平面α的法向量为n ＝（1，2，﹣2），联立方程组3270260x y y z --=⎧⎨-+=⎩，令x ＝1，得y ＝﹣2，z ＝2，令x ＝3，得y ＝1，z ＝8，故点P （1，﹣2，2）和点Q （3，1，8）为直线l 的两个点，∴PQ ＝（2，3，6）为直线l 的方向向量， ∵44cos ,3721||||PQ n PQ n PQ n ⋅-<>===-⨯ ，∴直线l 与平面α所成角的正弦值为421，故选B ．【点睛】本题主要考查直线和平面所成角的正弦，属于信息提供题目，理解题中所给的信息是求解关键.4．B解析：B 【分析】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AMB ∠的大小．【详解】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，设1=1AB AC AA ==，设CN b =，BM a =，则(1N ，0，)b ，(0M ，1，)a ，(0A ，0，0)，(0B ，1，0)，(0AM =，1，)a ，(1AN =，0，)b ，设平面AMN 的法向量(n x =，y ，)z ，·0·0AM n y az AN n x bz ⎧=+=⎨=+=⎩，取1z =，得(n b =-，a -，1)，平面ABC 的法向量(0m =，0，1)，平面AMN 与平面ABC 所成（锐)二面角为6π， 2||cos6||||m n m n a π∴==+，解得22331a b +=，∴当|1|B M 最小时，0b =，33BM a ==，1tan 333AB AMB BM ∴∠===， 3AMB π∴∠=．故选B ．【点睛】本题考查角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5．C解析：C 【分析】作出图形，利用菱形对角线相互垂直的性质得出DN ⊥AC ，BN ⊥AC ，可得出二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角为∠BND ，再利用余弦定理求出BD ，可知三棱锥B ﹣ACD 为正四面体，可得出内切球的半径R ，再利用球体的表面积公式可得出答案．【详解】如下图所示，易知△ABC 和△ACD 都是等边三角形，取AC 的中点N ，则DN ⊥AC ，BN ⊥AC ．所以，∠BND 是二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角，过点B 作BO ⊥DN 交DN 于点O ，可得BO ⊥平面ACD ．因为在△BDN 中，BN DN ==，所以，BD 2＝BN 2+DN 2﹣2BN •DN •cos ∠BND 1332343=+-⨯⨯=，则BD ＝2．故三棱锥A ﹣BCD 为正四面体，则其内切球半径为正四面体高的14，又正四面体的高为棱，故2R ==因此，三棱锥A ﹣BCD 的内切球的表面积为222443R πππ=⨯=．故选C ．【点睛】本题考查几何体的内切球问题，解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，考查了二面角的定义与余弦定理，考查计算能力，属于中等题．6．D解析：D 【分析】根据平面平行得法向量平行，再根据向量平行坐标表示得结果. 【详解】因为//αβ，所以12122//24n n k-==--，，解之得4k =，应选答案D 【点睛】本题考查向量平行坐标表示，考查基本求解能力，属基础题.7．A解析：A 【分析】如图所示,连接AG 1交BC 于点E ,则E 为BC 中点,利用空间向量的运算法则求得131114444OG OG OA OB OC ===++,即得(x,y,z). 【详解】如图所示,连接AG 1交BC 于点E ,则E 为BC 中点,1(2AE AB AC =+)=1(2OB -2OA OC +), 121(33AG AE OB ==-2OA OC +).因为OG =31GG =3(1OG OG -), 所以OG=34OG 1. 则1133(44OG OG OA AG ==+)=31211114333444OA OB OA OC OA OB OC ⎛⎫+-+=++ ⎪⎝⎭ .故答案为A 【点睛】（1）本题主要考查空间向量的运算法则和基底法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 如果三个向量,,a b c 不共面，那么对于空间任意一个向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z 使p xa yb zc =++．我们把{},,x y z 叫做空间的一个基底，其中,,a b c 叫基向量.8．C解析：C 【解析】分析：根据两个向量的数量积的定义式，推导出其所成角的余弦公式，从而利用cos ,a b a b a b⋅<>=，结合22a a =，将有关量代入求得z 的值，得到结果.详解：根据题意得31cos ,23a b ⨯===+，化简得22z =，解得z = C.点睛：该题考查的是有关向量夹角余弦公式的问题，在解题的过程中，需要把握住向量夹角余弦公式，再者就是向量的模的平方和向量的平方是相等的，还有就是向量的模的坐标运算式.9．A解析：A 【分析】本题首先可根据图像得出i i AP AB BP =+，然后将i AB AP ⋅转化为2i AB A P B B +⋅，最后根据棱长为1以及i AB BP 即可得出结果.【详解】由图像可知，i i AP AB BP =+，则()2i i i AB BP AB AP AB B AB A P B ⋅==+⋅+，因为棱长为1，i ABBP ，所以0i AB BP ⋅=，2101i i AB AP AB AB BP ⋅=+=+=⋅，故集合{},1238i y y AB AP i =⋅=⋅⋅⋅、、、、中的元素个数为1，故选：A. 【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求向量数量积转化为已知模长的向量和有垂直关系向量的数量积的运算问题，考查了转化与化归的思想，考查集合中元素的性质，是中档题.10．A解析：A 【解析】解：由题意可知：()1,1,b a t t t -=---- ，则：()()()222211322b a t t t t -=--+-+-=+≥ ，即b a - 的最小值是2 . 本题选择A 选项.点睛：本题的模长问题最终转化为二次函数求最值的问题.二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．11．C解析：C 【详解】分析：建立空间直角坐标系，利用直线CE 与平面ABE 所成的角，求解k 的最大值，进而求解平面BDE 和平面ABC 的一个法向量，利用向量所成的角，求解二面角的余弦值，进而求得正切值，得到结果.详解：如图所示，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz - ，则31(0,1,0),(0,0,),(0,1,),(,0)22kA D E kB ，取AB 的中点M，则3,0)4M ，则平面ABE 的一个法向量为33(,0)44CM =，由题意sin 2CE CM CE CMα⋅==⋅又由ππ[,]64α∈，所以1sin 22α≤=≤k ≤≤，所以k 当k =BDE的法向量为(,,)n x y z =，则02310222n DE y z n BEx y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=++=⎪⎩，取(3,1n =--，由平面ABC 的法向量为(0,0,1)m =，设平面BDE 和平面ABC 所成的角为θ，则3cos 3n m n m θ⋅==⋅，所以sin 3θ=tan θ= C.点睛：本题考查了空间向量在立体几何中的应用，解答的关键在于建立适当的空间直角坐标系，求解直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式求解，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生的推理与运算能力，以及转化的思想方法的应用.12．B解析：B 【分析】根据向量运算得到1113144BE BA AA A E AB AD AA =++=-++，得到答案. 【详解】()11111111131444BE BA AA A E AB AA A B A D AB AD AA =++=-+++=-++，故34x =-.故选：B . 【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.二、填空题13．【分析】从二面角的大小入手利用空间向量求解【详解】以N 为坐标原点NCNA 所在直线分别为x 轴y 轴建立空间直角坐标系如图则由可得设为平面的一个法向量则即令可得易知平面ABC 的一个法向量为因为平面与平面所解析：2-【分析】从二面角的大小入手，利用空间向量求解. 【详解】以N 为坐标原点，NC,NA 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，如图则()()()()()10,0,0,1,0,1,1,0,0,3,0,3,2N M B A A - ,由111A P AB λ=可得()11111133,2NP NA A P NA A B NA AB λλλλ=+=+=+=-, ()1,0,1NM =,设(),,n x y z =为平面PMN 的一个法向量，则00n NM n NP ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即)03120x z x y z λλ+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，令1z =-，可得()()321,,131n λλ⎛⎫+=- ⎪ ⎪-⎝⎭，易知平面ABC 的一个法向量为()0,0,1m =. 因为平面PMN 与平面ABC 所成的二面角的平面角的大小为45，所以1cos45n mn m n ⋅︒==，即2n =，所以21211231λλ+⎛⎫++= ⎪-⎝⎭，解得2λ=-. 【点睛】本题主要考查空间向量的应用，利用二面角求解参数.二面角的求解和使用的关键是求解平面的法向量，把二面角转化为向量的夹角问题.14．【分析】根据对称关系确定点的坐标【详解】∵在空间直角坐标系中点关于轴对称的点的坐标为∴点关于轴对称的点的坐标为【点睛】本题考查空间直角坐标系点对称关系考查基本分析求解能力属基础题解析：()2,1,4---【分析】根据对称关系确定点的坐标. 【详解】∵在空间直角坐标系中，点(),,x y z 关于x 轴对称的点的坐标为(),,x y z --， ∴点()2,1,4-关于x 轴对称的点的坐标为()2,1,4---．【点睛】本题考查空间直角坐标系点对称关系，考查基本分析求解能力，属基础题.15．【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果【详解】设B 则所以所以的坐标为【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式考查基本分析求解能力属基础题解析：()1,4,1--【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果. 【详解】设B (),,x y z ,则1230,1,2222x y z+++=-==，所以1,4,1x y z =-=-=，所以B 的坐标为()1,4,1--．【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式，考查基本分析求解能力，属基础题.16．【解析】因为平面平面所以根据三垂线定理可得：设因为所以所以在中有并且所以【解析】因为AO ⊥平面α，BC ⊂平面α，BC OB ⊥，所以根据三垂线定理可得：BC AB ⊥．设2OB =，因为π4ABO ∠=，π6COB ∠=，所以2OA =，AB =BC =所以在ABC △中有BC AB ⊥，并且AB =BC =，所以tan BC BAC AB ∠==17．【解析】解析：211322a b c -++【解析】MN MA AB BN =++11()32OA OB OA BC =+-+ 21()32OA OB OC OB =-++-211322OA OB OC =-++211322a b c =-++．18．2【解析】因为向量所以则解之得应填答案解析：2 【解析】因为向量(1,1,),(1,2,1),(1,1,1)a x b c ===，所以(0,0,1),2(2,4,2)c a x b -=-=，则()(2)222c a b x -⋅=-=-，解之得2x =，应填答案2。

新北师大版高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试(包含答案解析)(2)

一、选择题1．正方体''''ABCD A B C D -棱长为6，点P 在棱AB 上，满足PA PB =，过点P 的直线l 与直线''A D 、'CC 分别交于E 、F 两点，则EF =（） A ．313B ．95C ．18D ．212．如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论:①AN GC ⊥，②CF 与EN 所成的角为60︒,③BD //MN ，④二面角E BC N --的大小为45︒,其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知空间三点坐标分别为A （4,1,3），B(2,3,1），C （3,7，-5），又点P （x,-1,3) 在平面ABC 内，则x 的值（） A ．-4B ．1C ．10D ．114．在边长为2的菱形ABCD 中，23BD =，将菱形ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B AC D --的余弦值为13，则所得三棱锥A BCD -的内切球的表面积为（） A ．43π B ．πC ．23π D ．2π 5．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是( )A ．30B ．45C ．60D ．906．如图，将边长为2的正方体ABCD 沿对角线BD 折起，得到三棱锥1A BCD -，则下列命题中，错误的为( )A ．直线BD ⊥平面1AOCB ．1A B CD ⊥C ．三棱锥1A BCD -的外接球的半径为2 D ．若E 为CD 的中点，则//BC 平面1AOE 7．如图，在长方形ABCD 中，3AB =，1BC =，点E 为线段DC 上一动点，现将ADE ∆沿AE 折起，使点D 在面ABC 内的射影K 在直线AE 上，当点E 从D 运动到C ，则点K 所形成轨迹的长度为（）A 3B 23C ．3πD ．2π 8．在正方体ABCD --A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成角的正弦值为( ) A ．10 B 10 C ．155-D ．1559．已知()()2,,,1,21,0a t t b t t ==--，则b a -的最小值是( ) A 2B 3C 5D 610．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -，O 是底面1111D C B A 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离是（）A ．12B ．24C ．22D ．3211．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，DC ＝2，DA ＝DD 1＝1，点M 、N 分别为A 1D 和CD 1上的动点，若MN ∥平面AA 1C 1C ，则MN 的最小值为（）A ．53B ．23C ．56D ．5212．在长方体1111ABCD A BC D -中，若13AC =111()AB AC AD AC ++⋅=（）A ．0B 3C ．3D ．6二、填空题13．平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m 、n 所成角的正弦值为________．14．在空间直角坐标系中，点（1，2，3）关于yoz 面对称的点的坐标为__________ 15．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12,AB AC AA === ,E F 分别是,BC 11AC 的中点.设D 是线段11B C 上的（包括两个端点．．．．．．）动点，当直线BD 与EF 所成角的余弦值为104，则线段BD 的长为_______．16．如图，正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2．点M 是侧棱1AA 的中点，点P 、Q 分别是侧面11BCC B ，底面ABC 的动点，且1A P 平面BCM ，PQ ⊥平面BCM ．则点Q的轨迹的长度为___________．17．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，5PA PD ==，平面ABCD ⊥平面PAD ，M 是PC 的中点，O 是AD 的中点，则直线BM 与平面PCO 所成角的正弦值是__________.18．如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且 2EF =①AC BE ⊥；②//EF 平面ABCD ；③三棱锥A BEF -的体积为定值； ④异面直线,AE BF 所成的角为定值. 其中正确结论的序号是______．19．在正方体1111ABCD A BC D -中，M 为棱11A B 的中点，则异面直线AM 与1BC 所成的角的大小为________（结果用反三角函数值表示）.20．若向量()()()1,1,,1,2,1,1,1,1a x b c ===，满足条件()()·22c a b -=-，则x = __________．三、解答题21．如图，在多面体ABCDEF 中，等腰梯形ABCD 所在平面垂直于正方形CDEF 所在平面，1,2DA AB BC CD ====．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面ADE ；（Ⅱ）求BF 与平面ADE 所成角的正弦值．22．在几何体111ABC A B C -中，点1A 、1B 、1C 在平面ABC 内的正投影分别为A 、B 、C ，且AB BC ⊥，114AA BB ==，12AB BC CC ===，E 为1AB 的中点.（1）求证：//CE 平面111A B C ；（2）求二面角11B AC C --的大小.23．已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面PAD ，,,,E F G O 分别是,,,PC BC PD AD 的中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小．24．如图所示的几何体中，111ABC A B C -为三棱柱，且1AA ⊥平面ABC ，四边形ABCD 为平行四边形，2,60AD CD ADC ︒=∠=．（1）,M N 分别是1,AC BB 的中点，求证：//MN 平面11A B CD（2）若12,(0)CD AA AC λλ==>，二面角1A C D C --的余弦值为55，求三棱锥11C ACD -的体积． 25．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，已知2,6PB PD PA ===，E 为PA 的中点．（1）求证PC BD ⊥；（2）求直线PC 与平面 PBD 所成角的正弦值．（3）求二面角B PC E --的余弦值．26．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA AB ⊥，4PA AD ==，//BC AD ，AB AD ⊥，2AB BC ==，()01PE PC λλ=≤＜．（1）若12λ=，求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值；（2）设二面角B AE C --的大小为θ，若234cos θ=，求λ的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】画图分析可得过P 的直线l 与直线''A D 、'CC 的交点E 、F 在线段''D A 、'C C 的延长线上.再建立空间直角坐标系求解即可. 【详解】画图分析可得过P 的直线l 与直线''A D 、'CC 的交点E 、F 在线段''D A 、'C C 的延长线上.以A 为坐标原点建立如图空间直角坐标系,则设(,0,6)E e ,(6,6,)F f ,(0,3,0)P又,,E P F 共线,则EP PF λ=,故(,3,6)(6,3,)e f λ--=,故6133666e e f f λλλλ-==⎧⎧⎪⎪=⇒=-⎨⎨⎪⎪-==-⎩⎩.故(6,0,6)E -,(6,6,6)F -,则222(12)6(12)18EF =++=.故选：C 【点睛】本题主要考查了利用空间直角坐标系求解共线问题的方法等,属于中等题型.2．C解析：C 【分析】根据题意画出正方体直观图，建立空间直角坐标系，计算0AN GC ⋅=，由此判断①正确.根据线线角的知识，判断②正确.根据线线的位置关系，判断③错误.根据二面角的知识，判断④正确. 【详解】画出正方体的直观图，如下图所示，设正方体边长为2，以,,DA DC DG 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则()()()()2,0,0,0,2,2,0,0,2,0,2,0A N G C ，所以()()2,2,20,2,20AN GC ⋅=-⋅-=，所以AN GC ⊥，故①正确.由于//EN AC ，所以CF 与EN 所成的角为FCA ∠，而在FAC ∆中，AF FC CA ==，也即FAC ∆是等边三角形，故60FCA ∠=，所以②正确.由于//EN AC ，而AC 与BD 相交，故,BD MN 不平行，③错误.由于,EB BC FB BC ⊥⊥，所以EBF ∠即是二面角E BC N --的平面角.EBF ∆是等腰直角三角形，所以45EBF ∠=，故④正确. 综上所述，正确的命题个数为3个. 故选：C.【点睛】本小题主要考查空间线线、面面的位置关系有关命题的真假性判断，属于中档题.3．D解析：D 【分析】利用平面向量的共面定理即可求出答案【详解】(),1,3P x -点在平面ABC 内,λμ∴存在实数使得等式AP AB AC λμ=+成立()()()4,2,02,2,21,6,8x λμ∴--=--+--42226028x λμλμλμ-=--⎧⎪∴-=+⎨⎪=--⎩，消去λμ，解得11x = 故选D 【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算，共面向量定理的应用，熟练掌握平面向量的共面定理是解决本题的关键，属于基础题。

北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》word整章教案

（二）、基本运算1、向量的运算及其性质运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1平行四边形法则2三角形法则),(2121yyxxba++=+abba+=+)()(cbacba++=++ACBCAB=+向量的减法三角形法则),(2121yyxxba--=-)(baba-+=-BAAB-==-向量的乘法1a是一个向量,满足:2>0时,aλ与a同向;λ<0时,aλ与a异向;λ=0时, aλ=0),(yxaλλλ=aa)()(λμμλ=aaaμλμλ+=+)(babaλλλ+=+)(a∥babλ=⇔向量的数量积b a ∙是一个数10=或0=b 时,b a ∙=020≠且0≠b 时,),cos(||||b a b a b a =∙2121y y x x b a +=∙a b b a ∙=∙)()()(b a b a b a ∙=∙=∙λλλc b c a c b a ∙+∙=∙+)( 22||a a =22||y x a +=||||||b a b a ≤∙2、平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ，使a = ；注意)(21+=,)1(λλ-+=的几何意义 3、两个向量平行的充要条件： ⑴ //a b 的充要条件是：；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则//a b 的充要条件是：；（坐标表示）4、两个非零向量垂直的充要条件： ⑴ a b ⊥的充要条件是：；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则a b ⊥的充要条件是：；（坐标表示）（三）、课堂练习1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( OB -OC )·(OB +OC －2)=0，则∆ABC 是（）A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形2．P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心3．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（） A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形4．已知||22p =||3q =，p 、q 的夹角为45︒，则以52a p q =+，3b p q =-为邻边的平行四边形的一条对角线长为（）A ．15B ． 14 D ．165．O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足=(++λ，),0[+∞∈λ则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心（四）、作业布置1．设平面向量=(－2，1)，=(λ，-1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（）A ．),2()2,21(+∞- B ．),2(+∞ C ．),21(+∞- D ．)21,(--∞ 2．若()(),0,7,4,3,2=+-==c a b a 方向在则上的投影为。

数学第二章空间向量与立体几何本章优化总结课件(北师大版选修2-1)

利用空间向量求空间角
用两向量的夹角把空间中的线线角、线面角、面面角转化为平面角，使空间关系转化为代数计算，得以解决．
例2
如图,在空间直角坐标系中，已知E，F
分别是正方体ABCD A1B1C1D1的棱BC和CD的中点，求：
(1)A1D与EF所成角的大小； (2)A1F与平面B1EB所成角的正弦值；
|n|
例3 如图所示，已知四边形 ABCD，EADM 和 MDCF 都是边长为 a 的正方形，点 P，Q 分别是 ED 和 AC 的中点，求： (1)P→M与F→Q所成的角； (2)P 点到平面 EFB 的距离．
【解】如图，建立空间直角坐标系，则 D(0， 0， 0)， A(a， 0， 0)， B(a， a， 0)， C(0， a， 0)， M(0， 0， a)， E(a， 0， a)， F(0， a， a)，则由中点坐标公式得
x2 ＋ y2＋ z2＝ 1，所以－ ax＋ ay＝ 0，
－ay＋az＝0，
x＝ 3，
3 得其中的一个解是 y＝ 3，
3
z＝ 3. 3
所以
n＝
3， 3
3， 3
3 3
.
又P→E＝a2，0，a2，
设所求距离为 d，则 d＝|P→E·n|＝ 3a. 3
专题集训
(3)平面CD1B1与平面D1B1B夹角的余弦值．
【思路点拨】求解的关键是求出向量的坐标形式，以及平面法向量的坐标形式，代入公式求解．
【解】 (1)设正方体棱长为 1，
则A→1D＝
(－
1，0，－1)，E→F＝
(－1，－1，0)， 22
cos〈A→1D，E→F
〉＝A→1→D·→E→F |A1D||EF|

北师大版选修2-1 第二章 空间向量与立体几何 复习与小结(2)

北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》word整章教案

北师大版高中数学选修2-1教案：第二章空间向量与立体几何复习与小结(1)

选修2-1第二章空间向量与立体几何章末复习课

数学选修2-1北师大版：第二章 空间向量与立体几何 §2 空间向量的运算(二)

北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》word整章教案

数学选修2-1北师大版：第二章 空间向量与立体几何 疑难规律方法 第二章

北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》空间向量复习

第二章 空间向量与立体几何章末复习课件(北师大版选修2-1)

高二选修2-1北师大版：第二章_空间向量与立体几何_§2_空间向量的运算(一)_word版有答案

新北师大版高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试(答案解析)(2)

新北师大版高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试(包含答案解析)(2)

北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》word整章教案

数学第二章空间向量与立体几何本章优化总结课件(北师大版选修2-1)

北师大版选修2-1 第二章空间向量与立体几何复习与小结(2)

数学选修2-1北师大版：第二章空间向量与立体几何 §2 空间向量的运算(二)

数学选修2-1北师大版：第二章空间向量与立体几何疑难规律方法第二章

第二章空间向量与立体几何章末复习课件(北师大版选修2-1)