人教A版高中数学必修四《三角函数的图像与性质》学案4
高中数学1.4.1三角函数图像与性质(1)学案新人教A版必修4
福建省泉州市唯思教育高中数学 1.4.1 三角函数图像与性质（1）学案 新人教A 版必修4【学习目标】1、能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由平移正弦曲线的方法画出余弦函数的图象；2、会用五点法画出正弦曲线和余弦曲线在一个周期上的草图；3、借助图象理解并运用正、余弦函数的定义域和值域。
【重点难点】五点法作正、余弦函数的图象；正、余弦函数的定义域和值域。
一、预习指导（一） 平移正弦线画出正弦函数的图象：1、 在单位圆中，作出对应于11,,,6326ππππ…的角及对应的正弦线； 2、 作出sin y x =在[0,2]π区间上的图象：（1）平移正弦线到相应的位置；（2）连线 3、 作出sin y x =在R 上的图象（二） 用五点法画出正弦函数在[0,2]π区间上的简图（三） 平移正弦曲线的方法画出余弦函数的图象： 思考：1、sin ,cos y x y x ==的图象有什么关系？为什么？2、由sin y x =的图象怎样作出cos y x =的图象？请在下图中画出cos y x =的图象。
（四）用五点法画出余弦函数在[0,2]π区间上的简图（四） 仔细观察正弦曲线和余弦曲线，总结正弦函数与余弦函数的性质： （1）定义域： （2）值域：对于sin y x =：当且仅当x = 时， max y = ；当且仅当x = 时，min y = ；对于cos y x =；当且仅当x = 时，max y = ；当且仅当x = 时，min y = 。
二、典型例题例1、 画出下列两组函数的简图：（1）cos ,y x x R =∈ ； 2cos ,y x x R =∈ （2）sin ,y x x R =∈ ； sin 2,y x x R =∈例2、 求下列函数的最大值及取得最大值时的自变量x 的集合： （1）cos 3xy = （2）2sin 2y x =-例3、 求函数y =的定义域。
例4、 求函数27sin 4sin 4y x x =-++的值域。
人教A版高中数学必修四 《三角函数的图像与性质》学案
三角函数的图象与性质学习目标：结合图像，理解并掌握正弦函数、余弦函数的性质。
②正弦曲线：正弦函数x y sin =,R x ∈的图像叫做正弦曲线。
作函数x y sin =,[]π2,0∈x 的简图的五个关键点是_______________________.正弦函数x y sin =,R x ∈是周期为_____ ________函数，它的值域是__________;当x=______________时,函数有最大值,是_____;当x=______________时,函数有最小值,是______;正弦函数x y sin =,R x ∈的单调递增区间是_______________,单调递减区间是________________.正弦曲线关于直线___________________对称，又关于点_____________对称。
2.余弦曲线：余弦函数x y cos =,R x ∈的图像叫做余弦曲线。
余弦曲线关于直线__________________对称，又关于点_____________对称。
余弦函数x y cos =,R x ∈是周期为______的________函数，它的值域是__________;当x=______________时,函数有最大值,是_____;当x=______________时,函数有最小值,是______;余弦函数x y cos =,R x ∈的单调递增区间是_______________,单调递减区间是________________. 作函数x y cos =,[]π2,0∈x 的简图的五个关键点是________________________________________. 。
的值求已知ααπ2cos ,53)sin()4(=-已知.)4cos(2cos),40(135)4sin(απαπααπ+<<=-求已知αααcossin,32tan+=求（1）；化简：（1）cos3cos sin3sin αααα+；（2）cos()cos()66ππαα++-；（3）cos15cos75-已知 sin +cos =53 ① , cos +s in =54 ②，求sin (+).已知， 且， 求cos ,sin αα的值。
人教A版高中数学必修四三角函数的图象与性质学案新(4)
三角函数性质与图像知识清单： 备注：以上性质的理解记忆关键是能想象或画出函数图象．．．．．．．．．．. 函数sin()y A x ωϕ=+的图像和性质以函数sin y x =为基础,通过图像变换来把握.如①sin y x=−−−−→图例变化为②sin()y A x ωϕ=+(A >0,ω>0)相应地，①的单调增区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦−−−→变为2222k x k πππωϕπ-+++≤≤的解集是②的增区间.注:⑴)sin(ϕω+=x y 或cos()y x ωϕ=+（0≠ω）的周期ωπ2=T ;⑵sin()y x ωϕ=+的对称轴方程是2x k ππ=+（Z k ∈），对称中心(,0)k π；cos()y x ωϕ=+的对称轴方程是x k π=（Z k ∈），对称中心1(,0)2k ππ+； )tan(ϕω+=x y 的对称中心（0,2πk ）. 课前预习1．函数sin cos y x x =-的最小正周期是 .2． 函数1π2sin()23y x =+的最小正周期T = ．3．函数sin2xy =的最小正周期是 4．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是5．函数22cos()()363y x x πππ=-≤≤的最小值是 6．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向 平移 个单位长度7．将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向左平移3π个单位，所得图象的解析式是 .8． 函数sin y x x =+在区间[0,2π]的最小值为______.9．已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2x +325（x ∈R ） ⑴求f (x )的最小正周期； ⑵求f (x )单调区间；⑶求f (x )图象的对称轴，典型例题例1、三角函数图像变换 将函数12cos()32y x π=+的图像作怎样的变换可以得到函数cos y x =的图像？ 变式1：将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4y x π=-的图像？例2、已知简谐运动ππ()2sin 32f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+<⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象经过点(01)，，则该简谐运动的最 小正周期T 和初相ϕ分别为 例3、三角函数性质求函数34sin(2)23y x ππ=+的最大、最小值以及达到最大(小)值时x 的值的集合变式1：函数y =2sin x 的单调增区间是 变式2、下列函数中，既是（0，2π）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是( ) (A)y =lg x 2 (B)y =|sin x | (C)y =cos x (D)y=x 2sin 2变式3、已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，求函数)125cos()12cos(x x y +--=ππ的值域变式4、已知函数12()log (sin cos )f x x x =-⑴求它的定义域和值域；⑵求它的单调区间；⑶判断它的奇偶性； ⑷判断它的周期性.例4、三角函数的简单应用如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin （ωx ＋ϕ）＋b .（Ⅰ）求这段时间的最大温差； （Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式．例5、三角恒等变换 函数y ＝xx cos sin 21++的最大值是 ．变式1：已知cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，求cos sin αα+的值． 变式2：已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．求()f x 的最大值和最小值． 实战训练1．函数x x f 2sin 21)(-=的最小正周期为2. 函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是____ 3．函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于4．若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)f =，则5．若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =--的图象，则向量a = 6．函数5tan(21)y x =+的最小正周期为 7．将π2cos 36xy ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移，则平移后所得图象的解析式为 8．若函数21()sin ()2f x x x R =-∈，则f(x)是最小正周期为 的 函数 9．已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象（ ） A ．关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭，对称 B ．关于直线x π=4对称 C ．关于点0π⎛⎫ ⎪4⎝⎭，对称 D ．关于直线x π=3对称 10．下列函数中，周期为2π的是（ ） A ．sin2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4xy = D ．cos 4y x =11．函数()sin ([,0])f x x x x π=-∈-的单调递增区间是（ ） A ．5[,]6ππ-- B ．5[,]66ππ-- C ．[,0]3π- D ．[,0]6π-12．设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x （ ） A ．在区间2736ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数B ．在区间2π⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦，上是减函数 C ．在区间84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数D ．在区间536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数13．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图象（ ）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向左平移π6个单位14．（07年全国卷二理2）．函数sin y x =的一个单调增区间是（ ） A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭， B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π⎪2⎝⎭， 15．函数()sin 2cos2f x x x =-的最小正周期是16．已知函数)2sin(42cos 2ππ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 。
新人教版高中数学《1.4 三角函数的图像与性质(1)》学案必修四
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高中数学必修4《1.4 三角函数的图像与性质（1）》学案
一、教学目标：1．掌握正弦函数的图像和性质；
2．培养观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力；
3．培养数形结合和化归转化的数学思想方法
二、教学重难点：“五点法”画正弦函数图象；正弦函数的性质；运用几何法画正弦函数图象．
三、学习过程：
1、正弦函数x sin y =的图像：
2、正弦函数x sin y =的性质：函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性
例1 利用“五点法”画出函数[]π2,0,1sin ∈+=x x y 的简图．
用五点法作出下列函数的简图
R x x y ∈=,2sin
x y sin =
最新中小学教案、试题、试卷 例2比较⎪⎭⎫
⎝⎛7-sin π与)5(-sin π的大小
变式：比较250sin 0与260sin 0大小
例3 已知函数2)32sin(++=π
x y 求函数的最大值及取得最大值时自变量x 的集合．
变式：求y=x 2sin -函数的最大值及取得最大值时自变量x 的集合．
小结：1．正弦曲线：（1）几何画法． （2）五点法．
2．正弦函数的性质及应用．
作业： P 45 2、(1) (3) 3、(1) 4(1) 5 （2） （4）
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仅此学习交流之用
谢谢。
人教A版高中数学必修4第一章 三角函数1.4 三角函数的图象与性质导学案
1．4三角函数的图象与性质1．4．1 正弦函数、余弦函数的图象学习目标1、会用“五点法”和“几何法”画正弦函数、余弦函数的图，体会“几何法”作正弦函数图象的过程，提高动手能力；2、通过函数图象的应用，体会数形结合在解题中的应用；3、三角函数图象和图象的应用；自主梳理1． 正弦函数（或余弦函数）的概念 任意给定一个实数x ，有唯一确定的值x sin （或x cos ）与之对应，由这个对应法则所确定的函数x y sin =（或x y cos =）叫做正弦函数（或余弦函数），其定义域为 。
2． 正弦曲线或余弦曲线正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做 和 。
3． 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：（1）正弦函数[]π2,0,sin ∈=x x y 的图象中，五个关键点是： ， ， ， 。
（2）余弦函数[]π2,0,cos ∈=x x y 的图象中，五个关键点是： ， ， ， 。
预习检测1、函数)3sin(π+=x y 的定义域为____________________；值域为____________________；2、函数)3cos(2π-=x y 的定义域为__________________；值域为____________________；互动课堂 问题探究1：【例】 作出函数x y cos 31-1=在]2,2[ππ-上的图像；【变式】)23sin(π+=x y ；问题探究2：【例】已知]23,2[ππ-∈x ，解不等式23sin -≥x ；【变式】已知R x ∈，解不等式23sin -≥x ；问题探究3：【例】求下列函数的值域： （1）x x y sin |sin |+= （2）]6,6[),32sin(2πππ-∈+=x x y（3）1cos 2cos --=x x y【变式】求函数],3[,1sin 4sin 32ππ∈+-=x x x y 的值域；问题探究4： 【例】（1）讨论方程x x sin lg =解的个数；（2）若函数]2,0[|,sin |2sin )(π∈+=x x x x f 与直线k y =有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围；【变式】当k 为何值时，方程k x x =+|sin |2sin 有一解、三解、四解？课堂练习1、在同一坐标系内的函数x y sin =与x y cos =的图象的交点坐标是 （ ） A ． Z k k ∈),0,(π B Z k k ∈+),1,22(ππC Z k k k∈-+),)1(,2(ππ D Z k k k∈-+),2)1(,4(ππ2、下面有四个判断：① 作正、余弦函数的图象时，单位圆的半径长与x 轴上的单位长可以不一致； ② []π2,0,sin ∈=x x y 的图象关于)0,(πP 成中心对称； ③ []π2,0,cos ∈=x x y 的图象关于直线π=x 成轴对称； ④ 正、余弦函数的图象不超过两直线1,1-==y y 所夹的范围。
人教A版高中数学必修四《三角函数的图像与性质》学案
高中数学《三角函数的图象与性质》学案 新人教A 版必修4学习目标：1.能借助图象理解正、余弦函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性；2．能熟练写出形如sin(2)6y x π=+、cos(2)3y x π=-等的单调区间. 学习重点:正、余弦函数的性质.学习过程: 一．问题情境：我们已经作出了正、余弦函数的图象；那么，利用图象可以得到正、余弦函数的哪些性质呢？二．建构数学：如图：正弦函数、余弦函数的主要性质：（1）定义域：__________.（2）值域：__________.当且仅当_________x =时，sin ,y x x R =∈取得最大值为______； 当且仅当_________x =时，sin ,y x x R =∈取得最小值为______； 当且仅当_________x =时，cos ,y x x R =∈取得最大值为______； 当且仅当_________x =时，cos ,y x x R =∈取得最小值为______；（3）周期性：____.T =（4）奇偶性：正弦函数是___函数，其图象关于____对称；余弦函数是___函数，其图象关于____对称.(5) 单调性:当x ∈_____________________时,sin y x =单调递增;当x ∈_____________________时,sin y x =单调递减;当x ∈_____________________时cos y x =单调递增;当x ∈_____________________时cos y x =单调递减.三.数学运用:例1 求下列函数的最大值及取得最大值时自变量x 的集合: (1)cos;3x y = (2)2sin 2.y x =-例2 求函数sin(2)3y x π=+的单调增区间.四.课堂练习:1. 求下列函数的最大值及取得最大值时自变量x 的集合:(1)1cos ;y x =+ (2)2cos .3x y =- 2. 求下列函数的单调区间:(1) sin();4y x π=+ (2) 3cos .2x y = 3.不求值,分别比较下列各组中两个三角函数值的大小: (1)0sin 250与0sin 260; (2)15cos8π与14cos .9π 4.五.课堂小结:六：课后反思。
高中数学人教版必修4三角函数的图象与性质教学设计 (4)
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（2）一、教学目标：知识与技能：要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性；过程与方法：掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。
情感、态度与价值观通过本节的学习，使同学们感受研究和学习函数的一般方法，培养类比思想和抽象概括能力，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物．二．重点难点重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性；难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用三、教材与学情分析对于函数性质的研究，在高一必修中已经研究了幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质．因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究，学生已经有些经验了．其中，通过观察函数的图象，从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想方法的应用．四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．五、教学过程1.创设情境思路1.(类比导入)我们在研究一个函数的性质时，如幂函数、指数函数、对数函数的性质，往往通过它们的图象来研究．先让学生画出正弦函数、余弦函数的图象，从学生画图象、观察图象入手，由此展开正弦函数、余弦函数性质的探究．思路2.(直接导入)研究函数就是要讨论函数的一些性质，y＝sin x，y＝cos x是函数，我们当然也要探讨它们的一些性质．本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数最基本的几条性质．请同学们回想一下，一般来说，我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、单调性、最值)？然后逐一进行探究．2.新知探究提出问题①回忆并画出正弦曲线和余弦曲线，观察它们的形状及在坐标系中的位置；②观察正弦曲线和余弦曲线，说出正弦函数、余弦函数的定义域各是什么？③观察正弦曲线和余弦曲线，说出正弦函数、余弦函数的值域各是什么？由值域又能得到什么？④观察正弦曲线和余弦曲线，函数值的变化有什么特点？⑤观察正弦曲线和余弦曲线，它们都有哪些对称？(1)(2)活动：先让学生充分思考、讨论后再回答．对回答正确的学生，教师可鼓励他们按自己的思路继续探究，对找不到思路的学生，教师可参与到他们中去，并适时的给予点拨、指导．在上一节中，要求学生不仅会画图，还要识图，这也是学生必须熟练掌握的基本功．因此，在研究正弦、余弦函数性质时，教师要引导学生充分挖掘正弦、余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线，当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的，因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系，是研究三角函数性质的好工具．用三角函数线研究三角函数的性质，体现了数形结合的思想方法，有利于我们从整体上把握有关性质．对问题①，学生不一定画准确，教师要求学生尽量画准确，能画出它们的变化趋势． 对问题②，学生很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R 〔或(－∞，＋∞)〕．对问题③，学生很容易观察出正弦曲线和余弦曲线上、下都有界，得出正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]．教师要引导学生从代数的角度思考并给出证明．∵正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度， ∴|sin x |≤1，|cos x |≤1，即－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1. 也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]． 对于正弦函数y ＝sin x (x ∈R )，(1)当且仅当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1.(2)当且仅当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1.对于余弦函数y ＝cos x (x ∈R )，(1)当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1. (2)当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1.对问题④，教师可引导、点拨学生先截取一段来看，选哪一段呢？如图3，通过学生充分讨论后确定，选图象上的[－π2，3π2](如图4)这段．教师还要强调为什么选这段，而不选[0,2π]的道理，其他类似．图3 图4这个变化情况也可从下表中显示出来：x －π2 … 0 … π2 … π … 3π2 sin x－11－1就是说，函数y ＝sin x ，x ∈[－π2，3π2]．当x ∈[－π2，π2]时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x 的值由－1增大到1；当x ∈[π2，3π2]时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x 的值由1减小到－1.类似地，同样可得y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的单调变化情况．教师要适时点拨、引导学生先如何恰当地选取余弦曲线的一段来研究，如图5，为什么选[－π，π]，而不是选[0,2π]．图5引导学生列出下表：x －π … －π2 … 0 … π2 … π cos x－11－1结合正弦函数、余弦函数的周期性可知：正弦函数在每一个闭区间[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1. 余弦函数在每一个闭区间[(2k －1)π，2k π](k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间[2k π，(2k ＋1)π](k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.对问题⑤，学生能直观地得出：正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称．在R 上，y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数．教师要恰时恰点地引导，怎样用学过的知识方法给予证明？由诱导公式：∵sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ， ∴y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数．至此，一部分学生已经看出来了，在正弦曲线、余弦曲线上还有其他的对称点和对称轴，如正弦曲线还关于直线x ＝π2对称，余弦曲线还关于点(π2，0)对称等等，这是由它的周期性而来的．教师可就此引导学生进一步探讨，为今后的学习埋下伏笔．讨论结果：①略． ②定义域为R .③值域为[－1,1]，最大值都是1，最小值都是－1. ④单调性(略)． ⑤奇偶性(略)．当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后，会发现它们有很多共同之处．我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉，会发现它们其实都是同样形状的曲线，所以它们的定义域相同，都为R ，值域也相同，都是[－1,1]，最大值都是1，最小值都是－1，只不过由于y 轴放置的位置不同，使取得最大(或最小)值的时刻不同；它们的周期相同，最小正周期都是2π；它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形，且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心，以过最值点且垂直于x 轴的直线为对称轴．但是由于y 轴的位置不同，对称中心及对称轴与x 轴交点的横坐标也不同．它们都不具备单调性，但都有单调区间，且都是增、减区间间隔出现，也是由于y 轴的位置改变，使增减区间的位置有所不同，也使奇偶性发生了改变． 3. 应用示例例1下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合，并说出最大值、最小值分别是什么． (1)y ＝cos x ＋1，x ∈R ； (2)y ＝－3sin2x ，x ∈R .活动：通过这道例题直接巩固所学的正弦、余弦的性质．容易知道，这两个函数都有最大值、最小值．课堂上可放手让学生自己去探究，教师适时的指导、点拨、纠错，并体会对应取得最大(小)值的自变量为什么会有无穷多个．解：(1)使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最大值的x的集合{x |x ＝2k π，k ∈Z }；使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最小值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最小值的x 的集合{x |x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z }．函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 的最大值是1＋1＝2，最小值是－1＋1＝0. (2)令z ＝2x ，使函数y ＝－3sin z ，z ∈R 取得最大值的z 的集合是{z |z ＝－π2＋2k π，k ∈Z }，由2x ＝z ＝－π2＋2k π，得x ＝－π4＋k π.因此使函数y ＝－3sin2x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合是{x |x ＝－π4＋k π，k ∈Z }．同理，使函数y ＝－3sin2x ，x ∈R 取得最小值的x 的集合是{x |x ＝π4＋k π，k ∈Z }．函数y ＝－3sin2x ，x ∈R 的最大值是3，最小值是－3.点评：以前我们求过最值，本例也是求最值，但对应的自变量x 的值却不唯一，这从正弦函数的周期性容易得到解释．求解本例的基本依据是正弦函数、余弦函数的最大(小)值的性质，对于形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的函数，一般通过变量代换(如设z ＝ωx ＋φ化归为y ＝A sin z ＋B 的形式)，然后进行求解．这种思想对于利用正弦函数、余弦函数的其他性质解决问题时也适用．例2利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：(1)sin(－π18)与sin(－π10)；(2)cos(－23π5)与cos(－17π4)． 活动：学生很容易回忆起利用指数函数、对数函数的图象与性质进行大小比较，充分利用学生的知识迁移，有利于学生能力的快速提高．本例的两组都是正弦或余弦，只需将角化为同一个单调区间内，然后根据单调性比较大小即可．课堂上教师要让学生自己独立地去操作，教师适时地点拨、纠错，对思考方法不对的学生给予帮助指导．解：(1)因为－π2<－π10<－π18<0，正弦函数y ＝sin x 在区间[－π2，0]上是增函数，所以sin(－π18)>sin(－π10)．(2)cos(－23π5)＝cos 23π5＝cos 3π5，cos(－17π4)＝cos 17π4＝cos π4.因为0<π4<3π5<π，且函数y ＝cos x ，x ∈[0，π]是减函数，所以cos π4>cos 3π5，即cos(－23π5)<cos(－17π4)．点评：推进本例时应提醒学生注意，在今后遇到的三角函数值大小比较时，必须将已知角化到同一个单调区间内，其次要注意首先大致地判断一下有没有符号不同的情况，以便快速解题，如本例中，cos π4>0，cos 3π5<0，显然大小立判．例3求函数y ＝sin(12x ＋π3)，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间．活动：可以利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间．教师要引导学生的思考方向：把12x ＋π3看成z ，这样问题就转化为求y ＝sin z 的单调区间问题，而这就简单多了． 解：令z ＝12x ＋π3.函数y ＝sin z 的单调递增区间是[－π2＋2k π，π2＋2k π]．由－π2＋2k π≤12x ＋π3≤π2＋2k π，得－5π3＋4k π≤x ≤π3＋4k π，k ∈Z .由x ∈[－2π，2π]可知，－2π≤－5π3＋4k π且π3＋4k π≤2π，于是－112≤k ≤512，由于k ∈Z ，所以k ＝0，即－5π3≤x ≤π3.而[－5π3，π3]⊂[－2π，2π]，因此，函数y ＝sin(x 2＋π3)，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是[－5π3，π3]．点评：本例的求解是转化与化归思想的运用，即利用正弦函数的单调性，将问题转化为一个关于x 的不等式问题．然后通过解不等式得到所求的单调区间，要让学生熟悉并灵活运用这一数学思想方法，善于将复杂的问题简单化． 当堂检测1．如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T ，且当x ＝2时取得最大值，那么( )A ．T ＝2，θ＝π2B ．T ＝1，θ＝πC ．T ＝2，θ＝πD ．T ＝1，θ＝π2解析：T ＝2ππ＝2，又当x ＝2时，sin(π·2＋θ)＝sin(2π＋θ)＝sin θ，要使上式取得最大值，可取θ＝π2.答案：A2．求函数y ＝12sin(π4－2x3)的单调递减区间及单调递增区间．解：y ＝12sin(π4－2x 3)＝－12sin(2x 3－π4)．由2k π－π2≤2x 3－π4≤2k π＋π2，可得3k π－3π8≤x ≤3k π＋9π8(k ∈Z )，为单调减区间；由2k π＋π2≤2x 3－π4≤2k π＋3π2，可得3k π＋9π8≤x ≤3k π＋21π8(k ∈Z )，为单调增区间．所以原函数的单调减区间为[3k π－3π8，3k π＋9π8](k ∈Z )；原函数的单调增区间为[3k π＋9π8，3k π＋21π8](k ∈Z ).六、课堂小结1．由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识，学习了哪些数学思想方法．这节课我们研究了正弦函数、余弦函数的性质．重点是掌握正弦函数的性质，通过对两个函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的研究，更加深了我们对这两个函数的理解．同时也巩固了上节课所学的正弦函数，余弦函数的图象的画法．2．进一步熟悉了数形结合的思想方法，转化与化归的思想方法，类比思想的方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点．七、课后作业1.课时练与测2．课本习题 A 组3，B 组3.3．预习正弦函数、余弦函数的奇偶性．八、教学反思1．本节是三角函数的重点内容，设计的容量较大，指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动．作为函数的性质，从初中就开始学习，到高中学习了幂函数、指数、对数函数后有了较深的认识，这是高中所学的最后一个基本初等函数．但由于以前所学的函数不是周期函数，所以理解较为容易，而正弦函数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外，又有其特殊性，共性中包含特性，特性又离不开共性，这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟．2．在讲完正弦函数性质的基础上，应着重引导学生用类比的方法写出余弦函数的性质，以加深他们对两个函数的区别与联系的认识，并在解题中突出数形结合思想，在训练中降低变化技巧的难度，提高应用图象与性质解题的力度．较好地利用图象解决问题，这也是本节课主要强调的数学思想方法．。
人教A版高中数学必修四三角函数的图象和性质教案新
1.4.1正弦函数、余弦函数的图像----正弦函数的图象一、教学目标：1．知识目标：正弦函数的图象2．能力目标：(1)会用单位圆中的正弦线准确地画出正弦函数的图象(2)会用五点法画出正弦函数的简图3．情感目标：发展学生的数形结合思想，使学生感受动与静的辩证关系二、教学重点、难点：重点：用五点法画正弦曲线难点：利用单位圆中的正弦线画正弦曲线三、教学方法：借助较先进的教学手段引导学生理解利用单位圆中的有向线段表示三角函数值的办法，画出正弦曲线。
以讲授法为主。
四、教学过程：必修4 1.3.1正弦函数的图象性质(2)教学目标：1．知识与技能（1）理解正弦函数的性质（2）理解周期函数与最小正周期的意义2．过程与方法通过正弦函数的图像，进一步体会数形结合的思想方法。
3．情感、态度与价值观通过正弦函数性质的学习，培养学生“看图说话”的能力，即图形语言、文字语言与符号语言的转换，从而达到从直观到抽象的飞跃。
教学重点：正弦函数的性质教学难点：正弦函数的周期性教学方法：引导学生正弦函数的图像，观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动。
首先由形及数，数形结合，通过设置问题引导学生观察、分析、归纳正弦函数的性质，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探究和交流的过程中获得对正弦函数的性质的全面的理解与认识。
教学过程：教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入1．复习xy sin=的图像2．函数的性质有哪些？教师提出问题，学生回答。
为学生认识函数xy sin=的性质作好准备。
性质教学︒1正弦函数的值域与最值正弦函数xy sin=的图像值域：观察正弦曲线分布在两条平行直线1=y和1-=y之间，这表明[]1,1-∈y最值：当且仅当Zkkx∈+=,22ππ时，正弦函数取得最大值1；教学环节教学内容师生互动设计意图性质教学动态演示正弦线的运动：当且仅当Zkkx∈-=,22ππ时，正弦函数取得最大值1-；观察正弦线的变化得：值域：正弦线的长度小于或等于单位圆半径的长度，这表明[]1,1-∈y最值：当角的终边与y轴的正半轴重合时，正弦函数取得最大值1，即当且仅当Zkkx∈+=,22ππ时，正弦函数取得最大值1；当角的终边与y轴的负半轴重合时，正弦函数取得最小值1-，即当且仅当Zkkx∈-=,22ππ时，正弦函数取得最小值1-；从正弦曲线与正弦线两种途径探索正弦函数的性质，加深对二者的巩固与复习，体会数形结合思想在函数中的作用奇函数()()x f x f -=-⇔⇔图像关于()0,0成中心对称。
高中数学 第一章 三角函数 第四节 三角函数的图象与性质(第四课时)示范教案 新人教A版必修4
第一章第四节三角函数的图象与性质第四课时整体设计教学分析本节课的背景是：这之前我们已经用了三节课的时间学习了正弦函数和余弦函数的性质．函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式．一般来说，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后再从代数的角度对性质作出严格表述．但对正切函数，教科书换了一个新的角度，采取了先根据已有的知识(如正切函数的定义、诱导公式、正切线等)研究性质，然后再根据性质研究正切函数的图象．这样处理，主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角，在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图象，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想体现得更加全面．教师要在学生探究活动过程中引导学生体会这种解决问题的方法．通过多媒体教学，让学生通过对图象的动态观察，对知识点的理解更加直观、形象．以提高学生的学习兴趣，提高课题教学质量．从学生的实际情况为教学出发点，通过各种数学思想的渗透，合理运用各种教学课件，逐步培养学生养成学会通过对图象的观察来整理相应的知识点的能力，学会运用数学思想解决实际问题的能力．这样既加强了类比这一重要数学思想的培养，也有利于学生综合运用能力的提高，有利于学生把新旧知识前后联系，融会贯通，提高教学效果．由于学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的研究中，因此，我们可以通过“探究”提出，引导学生根据前面的经验研究正切函数的性质，让学生深刻领悟这种迁移与类比的学习方法．三维目标1．通过对正切函数的性质的研究，注重培养学生类比思想的养成，以及培养学生综合运用新旧知识的能力．学会通过对图象的观察来整理相应的知识点，学会运用数学思想解决实际问题的能力．2．在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上，运用类比的方法，学习正切函数的图象与性质，从而培养学生的类比思维能力．3．通过正切函数图象的教学，培养学生欣赏(中心)对称美的能力，激发学生热爱科学、努力学好数学的信心．重点难点教学重点：正切函数的性质与图象的简单应用．教学难点：正切函数性质的深刻理解及其简单应用．课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数，前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课．思路 2.先由图象开始，让学生先画正切线，然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象．这也是一种不错的选择，这是传统的导入法．推进新课新知探究提出问题①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质．正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数．你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？都研究函数的哪几个方面的性质？②我们学习了正弦线、余弦线、正切线，你能画出四个象限的正切线吗？③我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象，然后向左、右扩展，这样就可以得到它在整个定义域上的图象．那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？为什么？④我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图，你能画出正切函数的简图吗？你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？活动：问题①，教师先引导学生回忆：正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的，有了这些知识准备，然后点拨学生也从这几个方面来探究正切函数的性质．由于还没有作出正切函数图象，教师指导学生充分利用正切线的直观性．(1)周期性由诱导公式tan(x ＋π)＝tan x ，x ∈R ，x ≠π2＋k π，k ∈Z 可知，正切函数是周期函数，周期是π.这里可通过多媒体课件演示，让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性，直观理解正切函数的周期性，后面的正切函数图象作出以后，还可从图象上观察正切函数的这一周期性．(2)奇偶性由诱导公式tan(－x )＝－tan x ，x ∈R ，x ≠π2＋k π，k ∈Z 可知，正切函数是奇函数，所以它的图象关于原点对称．教师可进一步引导学生通过图象还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照，学生会发现正切函数也是中心对称函数，它的对称中心是(k π2，0)k ∈Z . (3)单调性通过多媒体课件演示，由正切线的变化规律可以得出，正切函数在(－π2，π2)内是增函数，又由正切函数的周期性可知，正切函数在开区间(－π2＋k π，π2＋k π)，k ∈Z 内都是增函数．(4)定义域根据正切函数的定义tan α＝y x，显然，当角α的终边落在y 轴上任意一点时，都有x＝0，这时正切函数是没有意义的；又因为终边落在y 轴上的所有角可表示为k π＋π2，k ∈Z ，所以正切函数的定义域是{α|α≠k π＋π2，k ∈Z }，而不是{α≠π2＋2k π，k ∈Z }，这个问题不少初学者很不理解，在解题时又很容易出错，教师应提醒学生注意这点，深刻明了其内涵本质．(5)值域由多媒体课件演示正切线的变化规律，从正切线知，当x 大于－π2且无限接近－π2时，正切线AT 向Oy 轴的负方向无限延伸；当x 小于π2且无限接近π2时，正切线AT 向Oy 轴的正方向无限延伸．因此，tan x 在(－π2，π2)内可以取任意实数，但没有最大值、最小值． 因此，正切函数的值域是实数集R .问题②，教师引导学生作出正切线，并观察它的变化规律，如图1.图1问题③，正切函数图象选用哪个区间作为代表区间更加自然呢？教师引导学生在课堂上展开充分讨论，这也体现了“教师为主导，学生为主体”的新课改理念．有的学生可能选取了[0，π]作为正切函数的周期选取，这正是学生作图的真实性的体现．此时，教师应调整计划，把课件中先作出(－π2，π2)内的图象，改为先作出[0，π]内的图象，再进行图象的平移，得到整个定义域内函数的图象，让学生观察思考．最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质，让学生通过分析得到先作区间(－π2，π2)的图象为好．这时条件成熟，教师引导学生来作正切函数的图象，如图2. 根据正切函数的周期性，把图2向左、右扩展，得到正切函数y ＝tan x ，x ∈R ，且x ≠π2＋k π(k ∈Z )的图象，我们称正切曲线，如图3.图2图3问题④，教师引导学生观察正切曲线，点拨学生讨论思考，只需确定哪些点或线就能画出函数y ＝tan x ，x ∈(－π2，π2)的简图．学生可看出有三个点很关键：(－π4，－1)，(0,0)，(π4，1)，还有两条竖线．因此，画正切函数简图的方法就是：先描三点(－π4，－1)，(0,0)，(π4，1)，再画两条平行线x ＝－π2，x ＝π2，然后连线．教师要让学生动手画一画，这对今后解题很有帮助．讨论结果：①略．②正切线是AT .③略．④能，“三点两线”法．提出问题①请同学们认真观察正切函数的图象特征，由数及形从正切函数的图象讨论它的性质．②设问：每个区间都是增函数，我们可以说正切函数在整个定义域内是增函数吗？请举一个例子．活动：问题①，从图中可以看出，正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．教师引导学生进一步思考，这点反应了它的哪一性质——定义域；并且函数图象在每个区间都无限靠近这些直线，我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线——渐近线；从y 轴方向看，上下无限延伸，得到它的哪一性质——值域为R ；每隔π个单位，对应的函数值相等，得到它的哪一性质——周期π；在每个区间图象都是上升趋势，得到它的哪一性质——单调性，单调增区间是(－π2＋k π，π2＋k π)，k ∈Z ，没有减区间．它的图象是关于原点对称的，得到是哪一性质——奇函数．通过图象我们还能发现是中心对称，对称中心是(k π2，0)，k ∈Z . 问题②，正切函数在每个区间上都是增函数，但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数．如在区间(0，π)上就没有单调性．讨论结果：①略．②略．应用示例例1比较大小．(1)tan138°与tan143°；(2)tan(－13π4)与tan(－17π5)． 活动：利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，可以先利用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小．教师可放手让学生自己去探究完成，由学生类比正弦、余弦函数值的大小比较，学生不难解决，主要是训练学生巩固本节所学的基础知识，加强类比思想的运用．解：(1)∵y ＝tan x 在90°<x <180°上为增函数，∴由138°<143°，得tan138°<tan143°.(2)∵tan(－13π4)＝－tan 13π4＝－tan(3π＋π4)＝－tan π4， tan(－17π5)＝－tan 17π5＝－tan(3π＋2π5)＝－tan 2π5. 又0<π4<2π5<π2，而y ＝tan x 在(0，π2)上是增函数， ∴tan π4<tan 2π5. ∴－tan π4>－tan 2π5， 即tan(－13π4)>tan(－17π5)． 点评：不要求学生强记正切函数的性质，只要记住正切函数的图象或正切线即可． 例2用图象求函数y ＝tan x －3的定义域．活动：如图4，本例的目的是让学生熟悉运用正切曲线来解题．不足之处在于本例可以通过三角函数线来解决，教师在引导学生探究活动中，也应以两种方法提出解决方案，但要有侧重点，应体现函数图象应用的重要性．图4 图5解：由tan x －3≥0，得tan x ≥3，利用图4知，所求定义域为[k π＋π3，k π＋π2)(k ∈Z )． 点评：先在一个周期内得出x 的取值范围，然后再加周期即可，亦可利用单位圆求解，例3求函数y ＝tan(2x ＋3)的定义域、周期和单调区间． 活动：类比正弦、余弦函数，本例应用的是换元法，由于在研究正弦、余弦函数的类似问题时已经用过换元法，所以这里也就不用再介绍换元法，可以直接将π2x ＋π3作为一个整体．教师可让学生自己类比地探究，只是提醒学生注意定义域．解：函数的自变量x 应满足π2x ＋π3≠k π＋π2，k ∈Z ， 即x ≠2k ＋13，k ∈Z . 所以函数的定义域是{x |x ≠2k ＋13，k ∈Z }． 由于f (x )＝tan(π2x ＋π3)＝tan(π2x ＋π3＋π)＝tan[π2(x ＋2)＋π3]＝f (x ＋2)， 因此，函数的周期为2.由－π2＋k π<π2x ＋π3<π2＋k π，k ∈Z ，解得－53＋2k <x <13＋2k ，k ∈Z . 因此，函数的单调递增区间是(－53＋2k ，13＋2k )，k ∈Z . 点评：同y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的周期性的研究一样，这里可引导学生探究y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0)的周期T ＝π.活动：引导学生利用函数y ＝tan x 的单调性探究解题方法．也可利用单位圆中的正切线探究解题方法．但要提醒学生注意本节中活动的结论：正切函数在定义域内的每个区间上都是增函数，但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数．学生可能的错解有：错解1：∵函数y ＝tan x 是增函数，又1<2<3<4，∴tan1<tan2<tan3<tan4.错解2：∵2和3的终边在第二象限，∴tan2，tan3都是负数．∵1和4的终边分别在第一象限和第三象限，∴tan1，tan4都是正数．又∵函数y ＝tan x 是增函数，且2<3,1<4，∴tan2<tan3<tan1<tan4.教师可放手让学生自己探究问题的解法．发现错解后不要直接纠正，立即给出正确解法，可再让学生讨论分析找出错的原因．解法一：∵函数y ＝tan x 在区间(π2，3π2)上是单调递增函数， 且tan1＝tan(π＋1)，又π2<2<3<4<π＋1<3π2， ∴tan2<tan3<tan4<tan1.解法二：如图6,1,2,3,4的正切函数线分别是AT 1，AT 2，AT 3，AT 4，图6 ∴tan2<tan3<tan4<tan1.点评：本例重在让学生澄清正切函数单调性问题，这属于学生易错点．把正切函数y ＝tan x 的单调性简单地说成“在定义域内是增函数”是不对的．知能训练课本本节练习1～5.解答：1．在x 轴上任取一点O 1，以O 1为圆心，单位长为半径作圆，作垂直于x 轴的直径，将⊙O 1分成左右两个半圆，过右半圆与x 轴的交点作⊙O 1的切线，然后从圆心O 1引7条射线把右半圆分成8等份，并与切线相交，得到对应于－3π8，－π4，－π8，0，π8，π4，3π8等角的正切线．相应地，再把x 轴上从－π2到π2这一段分成8等份．把角x 的正切线向右平行移动，使它的起点与x 轴上的点x 重合，再把这些正切线的终点用光滑的曲线连接起来，就得到函数y ＝tan x ，x ∈(－π2，π2)的图象． 点评：可类比正弦函数图象的作法．2．(1){x |k π<x <π2＋k π，k ∈Z }；(2){x |x ＝k π，k ∈Z }；(3){x |－π2＋k π<x <k π，k ∈Z }． 点评：只需根据正切曲线写出结果，并不要求解三角方程或三角不等式．3．x ≠π6＋k π3，k ∈Z . 点评：可用换元法．4．(1)π2；(2)2π. 点评：可根据函数图象得解，也可直接由函数y ＝A tan(ωx ＋φ)，x ∈R 的周期T ＝πω得解．5．(1)不是．例如0<π，但tan0＝tan π＝0.(2)不会．因为对于任何区间A 来说，如果A 不含有π2＋k π(k ∈Z )这样的数，那么函数y ＝tan x ，x ∈A 是增函数；如果A 至少含有一个π2＋k π(k ∈Z )这样的数，那么在直线x ＝π2＋k π两侧的图象都是上升的(随自变量由小到大)．点评：理解正切函数的单调性．课堂小结1．先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法，有哪些启发、收获．本节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后，研究的又一个具体的三角函数，与研究正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同？研究正、余弦函数，是由图象得性质，而这节课我们从正切函数的定义出发得出一些性质，并在此基础上得到图象，最后用图象又验证了函数的性质．2．(教师点拨)本节研究的过程是由数及形，又由形及数相结合，也是我们研究函数的基本方法，特别是又运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法．请同学们课后思考总结：这种多角度观察、探究问题的方法对我们今后学习有什么指导意义？作业课本习题1.4 A 组6、8、9.设计感想1．本教案的设计背景刚刚学完正弦函数、余弦函数的图象与性质．因此教案的设计主线是始终抓住类比思想这条主线，让学生在巩固原有知识的基础上，通过类比，由学生自己来对新知识进行分析、探究、猜想、证明，使新旧知识点有机地结合在一起，学生对新知识也较易接受．2．本教案设计的学习程序是：温故(相关知识准备)→新的学习对象与旧知识的联系→类比探究→解决问题→应用成果→归纳总结→进一步的发散思考→探索提高．备课资料函数f (x )±g (x )最小正周期的求法若f (x )和g (x )是三角函数，求f (x )±g (x )的最小正周期没有统一的方法，往往因题而异，现介绍几种方法：(一)定义法例1求函数y ＝|sin x |＋|cos x |的最小正周期．解：∵y ＝|sin x |＋|cos x |＝|－sin x |＋|cos x |＝|cos(x ＋π2)|＋|sin(x ＋π2)| ＝|sin(x ＋π2)|＋|cos(x ＋π2)|， 对定义域内的每一个x ，当x 增加到x ＋π2时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是π2. (二)公式法这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求，其中正、余弦函数求最小正周期的公式为T ＝2π|ω|，正、余切函数T ＝π|ω|. 例2求函数y ＝1tan x－tan x 的最小正周期． 解：y ＝1tan x －tan x ＝1－tan 2x tan x ＝2·1－tan 2x 2tan x ＝2tan2x ，∴T ＝π2. (三)最小公倍数法设f (x )与g (x )是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T 1、T 2分别是它们的周期，且T 1≠T 2，则f (x )±g (x )的最小正周期是T 1、T 2的最小公倍数，分数的最小公倍数＝分子的最小公倍数分母的最大公约数. 例3求函数y ＝sin3x ＋cos5x 的最小正周期．解：设sin3x 、cos5x 的最小正周期分别为T 1、T 2，则T 1＝2π3，T 2＝2π5，所以y ＝sin3x ＋cos5x 的最小正周期T ＝2π1＝2π. (四)图象法例4求y ＝|cos x |的最小正周期.解：由y ＝|cos x |的图象，可知y ＝|cos x |的周期T ＝π.图7。
高中数学 三角函数的图象与性质教案 新人教A版必修4
三角函数的图象与性质●知识梳理1.能利用“五点法”作三角函数的图象，并能根据图象求解析式.2.能综合利用性质，并能解有关问题.●点击双基1..定义在R 上的函数f （x ）既是偶函数又是周期函数.若f （x ）的最小正周期是π，且当x ∈［0，2π］时，f （x ）=sin x ，则f （3π5）的值为 A.－21 B.21 C.－23 D.23 解析：f （3π5）=f （3π5－2π）=f （－3π）=f （3π）=sin 3π=23. 答案：D2..函数y =x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数A.（2π，2π3） B.（π，2π） C.（2π3，2π5） D.（2π，3π） 解析：用排除法，可知B 正确.答案：B3.函数y =sin 4x +cos 2x 的最小正周期为 A.4π B.2π C.π D.2π 解析：y =sin 4x +cos 2x =（22cos 1x -）2+22cos 1x + =432cos 2+x =424cos 1x ++43 =81cos4x +87. 故最小正周期T =4π2=2π. 答案：B4.y =5sin （2x +θ）的图象关于y 轴对称，则θ=_______.解析：y =f （x ）为偶函数.答案：θ=k π+2π（k ∈Z ） ●典例剖析【例1】 判断下面函数的奇偶性：f （x ）=lg （sin x +x 2sin 1+）.剖析：判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称，然后再看f （x ）与f （－x ）的关系. 解：定义域为R ，又f （x ）+f （－x ）=lg1=0，即f （－x ）=－f （x ），∴f （x ）为奇函数.评述： 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要（但不充分）条件.【例2】 求下列函数的单调区间：（1）y =21sin （4π－32x ）； 剖析：（1）要将原函数化为y =－21sin （32x －4π）再求之.（2）可画出y =－|sin （x +4π）|的图象.解：（1）y =21sin （4π－32x ）=－21sin （32x －4π）. 故由2k π－2π≤32x －4π≤2k π+2π⇒3k π－8π3≤x ≤3k π+8π9（k ∈Z ），为单调减区间；由2k π+2π≤32x －4π≤2k π+2π3⇒3k π+8π9≤x ≤3k π+8π21（k ∈Z ），为单调增区间. ∴递减区间为［3k π－8π3，3k π+8π9］， 递增区间为［3k π+8π9，3k π+8π21］（k ∈Z ）. （【例3】已知函数f （x ）=xx x 2cos 1cos 5cos 624+-，求f （x ）的定义域，判断它的奇偶性. 剖析：此题便于入手，求定义域、判断奇偶性靠定义便可解决，求值域要对函数化简整理.解：由cos2x ≠0得2x ≠k π+2π，解得x ≠2πk +4π（k ∈Z ）. 所以f （x ）的定义域为{x |x ∈R 且x ≠2πk +4π，k ∈Z }. 因为f （x ）的定义域关于原点对称，且 f （－x ）=）（－）（）（x x x 2cos 1cos 5cos 624+--- =xx x 2cos 1cos 5cos 624+-=f （x ）， 所以f （x ）是偶函数.评述：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力.【例4】 判断f （x ）=x x x x cos sin 1cos sin 1++-+的奇偶性. 正确解法：取x =2π，f （x ）有意义，取x =－2π，f （x ）没有意义，故定义域关于原点不对称.∴f （x ）是非奇非偶函数.常见错误及诊断：一些学生不分析定义域是否关于原点对称，而急于函数变形，极易导致错误的结论.要注意判断奇偶性的步骤：一是分析定义域是否关于原点对称，二是分析f （x ）与f （－x ）的关系.●闯关训练1.函数y =x sin x +cos x 在下面哪个区间内是增函数A.（2π，2π3） B.（π，2π） C.（2π3，2π5） D.（2π，3π） 解析：2.为了使y =sin ωx （ω＞0）在区间［0，1］上至少出现50次最大值，则ω的最小值是A.98πB.2π197C.2π199D.100π解析：思考：若条件改为在［x 0，x 0+1］上至少出现50次最大值呢？3.定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=f （x +2），当x ∈［3，5］时，f （x ）=2－|x －4|，则A.f （sin6π）＜f （cos 6π） B.f （sin1）＞f （cos1） C.f （cos3π2）＜f （sin 3π2） D.f （cos2）＞f （sin2）解析：4.若f （x ）具有性质： ①f （x ）为偶函数，②对任意x ∈R ，都有f （4π－x ）=f （4π+x ），则f （x ）的解析式可以是_______.（只写一个即可）.5.给出下列命题：①正切函数的图象的对称中心是唯一的；②y =|sin x |、y =|tan x |的周期分别为π、2π； ③若x 1＞x 2，则sin x 1＞sin x 2；④若f （x ）是R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f （－2T ）=0. 其中正确命题的序号是____________.6.当α∈（0，π）时，求y =α2sin 1-－α2sin 1+.7.设x ∈［0，2π］，f （x ）=sin （cos x ），g （x ）=cos （sin x ），求f （x ）、g （x ）的最大值。
人教A版高中数学必修四《三角函数的图像与性质》学案4
基本初等函数Ⅱ（三角函数）【学法导航】三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分，新教材处理这一部分内容时有明显的降调倾向，突出正、余弦函数的主体地位，加强了对三角函数的图象与性质的考查，因此三角函数的性质是本章复习的重点。
第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上，要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握，力求系统化、条理化和网络化，使之形成比较完整的知识体系；第二、三轮复习以基本综合检测题为载体，综合试题在形式上要贴近高考试题，但不能上难度。
当然，这一部分知识最可能出现的是“结合实际，利用少许的三角变换（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用）来考查三角函数性质”的命题，因此，建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上，这样就能够适应未来高考命题趋势。
总之，三角函数的复习应立足基础、加强训练、综合应用、提高能力 方法技巧：1.八大基本关系依据它们的结构分为倒数关系、商数关系、平方关系，用三角函数的定义反复证明强化记忆，这是最有效的记忆方法。
诱导公式用角度制和弧度制表示都成立，记忆方法可概括为“奇变偶不变，符号看象限”，变与不变是相对于对偶关系的函数而言的2.三角函数值的符号在求角的三角函数值和三角恒等变换中，显得十分重要，根据三角函数的，可简记为“一全正，二正弦，三两切，四余弦”，其含义是：在第一象限各三角函数值皆为正；在第二象限正弦值为正；在第三象限正余切值为正；在第四象限余弦值为正3.在利用同角三角函数的基本关系式化简、求值和证明恒等关系时，要注意用是否“同角”来区分和选用公式，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简、求值时，要注意正负号的选取4.求三角函数值域的常用方法：求三角函数值域除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外，结合三角函数的特点，还有如下方法：（1）将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域； （2）利用sin ,cos x x 的有界性求值域；（3）换元法，利用换元法求三角函数的值域，要注意前后的等价性，不能只注意换元，不注意等价性5. 三角函数的图象与性质（一）列表综合三个三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象与性质，并挖掘： ⑴最值的情况；⑵了解周期函数和最小正周期的意义．会求sin()y A x ωϕ=+的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况．．．．．．．．．．．．．； ⑶会从图象归纳对称轴和对称中心；sin y x =的对称轴是2x k ππ=+()k Z ∈，对称中心是(,0)k π()k Z ∈；cos y x =的对称轴是x k π=()k Z ∈，对称中心是(,0)2k ππ+()k Z ∈tan y x =的对称中心是(,0)()2k k Z π∈注意加了绝对值后的情况变化. ⑷写单调区间注意0ω>.（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()y A x ωϕ=+的简图，并能由图象写出解析式．⑴“五点法”作图的列表方式；⑵求解析式sin()y A x ωϕ=+时处相ϕ的确定方法：代（最高、低）点法、公式1x ϕω=-. （三）正弦型函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换方法如下： 先平移后伸缩 si n y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象． 先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象．【专题综合】例1.已知2tan =θ，求（1）θθθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθ； (2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin324122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θθ+θθ-θθ=. 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化例2.已知向量2(2cos sin )(sin cos )(3)a ααb ααx a t b =-=+-，2，=，，，y ka b =-+，且0x y ⋅=，(1)求函数()k f t =的表达式；(2)若[13]t ∈-，，求()f t 的最大值与最小值 解：(1)24a =，21b =，0a b ⋅=，又0x y ⋅=，所以22222[(3)]()(3)[(3)]0x y a t b ka b ka t b t k t a b ⋅=+-⋅-+=-+-+--⋅=，所以31344k t t =-，即313()44k f t t t ==-； (2)由(1)可得，令()f t 导数233044t -=，解得1t =±，列表如下：而(1)(1)(3)222f f f -==-=，，，所以max min ()()22f t f t ==-， 说明：本题将三角函数与平面向量、导数等综合考察，体现了知识之间的融会贯通。
2017人教a版高中数学必修四三角函数的图像与性质学案
江苏省怀仁中学2014高中数学《三角函数的图象与性质》学案 新人教A 版必修4学习目标：1.能借助图象理解正、余弦函数的概念域、值域、周期性、奇偶性、单调性；2．能熟练写出形如sin(2)6y x π=+、cos(2)3y x π=-等的单调区间. 学习重点:正、余弦函数的性质.学习进程:一．问题情境：咱们已经作出了正、余弦函数的图象；那么，利用图象能够取得正、余弦函数的哪些性质呢？二．建构数学：如图：正弦函数、余弦函数的主要性质：（1）概念域：__________.（2）值域：__________.当且仅当_________x =时，sin ,y x x R =∈取得最大值为______；当且仅当_________x =时，sin ,y x x R =∈取得最小值为______；当且仅当_________x =时，cos ,y x x R =∈取得最大值为______；当且仅当_________x =时，cos ,y x x R =∈取得最小值为______；（3）周期性：____.T =（4）奇偶性：正弦函数是___函数，其图象关于____对称；余弦函数是___函数，其图象关于____对称.(5) 单调性:当x ∈_____________________时,sin y x =单调递增; 当x ∈_____________________时,sin y x =单调递减;当x ∈_____________________时cos y x =单调递增;当x ∈_____________________时cos y x =单调递减.三.数学运用:例1 求下列函数的最大值及取得最大值时自变量x 的集合:(1)cos;3x y = (2)2sin 2.y x =-例2 求函数sin(2)3y x π=+的单调增区间.四.课堂练习:1. 求下列函数的最大值及取得最大值时自变量x 的集合:(1)1cos ;y x =+ (2)2cos .3x y =-2. 求下列函数的单调区间:(1) sin();4y x π=+ (2) 3cos .2x y = 3.不求值,别离比较下列各组中两个三角函数值的大小: (1)0sin 250与0sin 260; (2)15cos 8π与14cos .9π 4.五.课堂小结:六：课后反思。
高中数学 三角函数的图像和性质教学设计 新人教A版必修4
1.5函数y=Asin(ωx+ϕ)的图象教学目标1.知识目标理解参数A ，ω，ϕ对函数y = Asin(ωx+ϕ)图象的影响;揭示函数y = Asin(ωx+ϕ)图象与y=sinx 的关系。
2.能力目标增强作图能力;了解由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想；培养全面分析、抽象和概括的能力。
3.情感目标培养学生观察问题和探索问题的能力;培养学生勇于探索的精神和善于合作的意识。
教学重点函数y = Asin(ωx+ϕ)图象与函数y=sinx 图象的关系。
教学难点各种变换内在规律的揭示。
教学过程 一、新课引入 1.复习旧知问题1.“五点法”作函数y=sinx 简图的步骤，其中“五点”是指什么？ 问题2.作函数y = sin(2x+3π)的图象时“五点”怎样确定呢？（提前讲过） 2.介绍简谐振动中相位、周期、振幅的含义，方便为三种变换命名。
二、 新知探究探究1. ϕ对函数y = sin(x+ϕ)的图象影响 问题3. 函数y = sin(x+3π)的图象与函数y=sinx 的图象有怎样的关系？ 学生先思考，教师再应用多媒体演示变化过程，并要求同学观察图像上点坐标的变化。
问题4.函数y = sin(x-3π)的图象与函数y=sinx 的图象有怎样的关系？学生答：把函数y = sinx 的图象向右移3π个单位。
然后师生进一步总结：师生总结1：函数y = sin(x +ϕ)的图象可由函数y = sinx 的图象向左(ϕ＞0)或向右（ϕ＜0）平移|ϕ|个单位而得到，这种变换实际上是纵坐标不变，横坐标增加(或减少) |ϕ|个单位，这种变换称为相位变换，规律是左加右减。
探究2. ω对函数y = sin （ωx+ϕ）(ω>0)的图象的影响问题5. 函数y = sin （2x+3π）的图象和函数y = sin （x+3π）图象的关系是什么？ 利用制作好的课件，运用多媒体教学手段向学生展示由函数y = sin （x+3π）的图象是怎样经过变换而得到函数y=sin (2x+3π)的。
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基本初等函数Ⅱ（三角函数）【学法导航】三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分，新教材处理这一部分内容时有明显的降调倾向，突出正、余弦函数的主体地位，加强了对三角函数的图象与性质的考查，因此三角函数的性质是本章复习的重点。
第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上，要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握，力求系统化、条理化和网络化，使之形成比较完整的知识体系；第二、三轮复习以基本综合检测题为载体，综合试题在形式上要贴近高考试题，但不能上难度。
当然，这一部分知识最可能出现的是“结合实际，利用少许的三角变换（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用）来考查三角函数性质”的命题，因此，建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上，这样就能够适应未来高考命题趋势。
总之，三角函数的复习应立足基础、加强训练、综合应用、提高能力 方法技巧：1.八大基本关系依据它们的结构分为倒数关系、商数关系、平方关系，用三角函数的定义反复证明强化记忆，这是最有效的记忆方法。
诱导公式用角度制和弧度制表示都成立，记忆方法可概括为“奇变偶不变，符号看象限”，变与不变是相对于对偶关系的函数而言的2.三角函数值的符号在求角的三角函数值和三角恒等变换中，显得十分重要，根据三角函数的，可简记为“一全正，二正弦，三两切，四余弦”，其含义是：在第一象限各三角函数值皆为正；在第二象限正弦值为正；在第三象限正余切值为正；在第四象限余弦值为正3.在利用同角三角函数的基本关系式化简、求值和证明恒等关系时，要注意用是否“同角”来区分和选用公式，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简、求值时，要注意正负号的选取4.求三角函数值域的常用方法：求三角函数值域除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外，结合三角函数的特点，还有如下方法：（1）将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域； （2）利用sin ,cos x x 的有界性求值域；（3）换元法，利用换元法求三角函数的值域，要注意前后的等价性，不能只注意换元，不注意等价性5. 三角函数的图象与性质（一）列表综合三个三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象与性质，并挖掘： ⑴最值的情况；⑵了解周期函数和最小正周期的意义．会求sin()y A x ωϕ=+的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况．．．．．．．．．．．．．； ⑶会从图象归纳对称轴和对称中心；sin y x =的对称轴是2x k ππ=+()k Z ∈，对称中心是(,0)k π()k Z ∈；cos y x =的对称轴是x k π=()k Z ∈，对称中心是(,0)2k ππ+()k Z ∈tan y x =的对称中心是(,0)()2k k Z π∈注意加了绝对值后的情况变化. ⑷写单调区间注意0ω>.（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()y A x ωϕ=+的简图，并能由图象写出解析式．⑴“五点法”作图的列表方式；⑵求解析式sin()y A x ωϕ=+时处相ϕ的确定方法：代（最高、低）点法、公式1x ϕω=-. （三）正弦型函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换方法如下： 先平移后伸缩 si n y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象． 先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象．【专题综合】例1.已知2tan =θ，求（1）θθθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθ； (2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin324122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θθ+θθ-θθ=. 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化例2.已知向量2(2cos sin )(sin cos )(3)a ααb ααx a t b =-=+-，2，=，，，y ka b =-+，且0x y ⋅=，(1)求函数()k f t =的表达式；(2)若[13]t ∈-，，求()f t 的最大值与最小值 解：(1)24a =，21b =，0a b ⋅=，又0x y ⋅=，所以22222[(3)]()(3)[(3)]0x y a t b ka b ka t b t k t a b ⋅=+-⋅-+=-+-+--⋅=，所以31344k t t =-，即313()44k f t t t ==-； (2)由(1)可得，令()f t 导数233044t -=，解得1t =±，列表如下：而(1)(1)(3)222f f f -==-=，，，所以max min ()()22f t f t ==-， 说明：本题将三角函数与平面向量、导数等综合考察，体现了知识之间的融会贯通。
例3. 平面直角坐标系有点]4,4[),1,(cos ),cos ,1(ππ-∈x x Q x P （1）求向量和的夹角θ的余弦用x 表示的函数)(x f ； （2）求θ的最值.解：（1）θOQ OP cos ⋅⋅=⋅ ，xx x x x 2cos 1cos 2cos cos )2cos 1(cos cos +=∴+=+∴θθ即 x x x f 2cos 1cos 2)(+=)44(ππ≤≤-x（2）xx cos 1cos 2cos +=∴θ ， 又 ]223,2[cos 1cos ∈+x x ， ]1,322[cos ∈∴θ ， 0min =∴θ ， 322arccosmax =θ. 说明：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意 例4.设 θ ∈[0, 2π], 且 cos2θ+2m sin θ-2m -2<0 恒成立, 求 m 的取值范围.解法 1 由已知 0≤sin θ≤1 且 1-sin2θ+2m sin θ-2m -2<0 恒成立.令 t =sin θ, 则 0≤t ≤1 且 1-t 2+2mt -2m -2<0 恒成立.即 f (t )=t 2-2mt +2m +1=(t -m )2-m 2+2m +1>0 对 t ∈[0, 1] 恒成立. 故可讨论如下:(1)若 m <0, 则 f (0)>0. 即 2m +1>0.解得 m >12-, ∴12-<m <0;(2)若 0≤m ≤1, 则 f (m )>0. 即 -m 2+2m +1>0. 亦即 m 2-2m -1<0. 解得:1m∴0≤m ≤1;(3)若 m >1, 则 f (1)>0. 即 0⋅m +2>0. ∴m ∈R, ∴m >1.综上所述 m >12-. 即 m 的取值范围是 (12-, +∞). 解法 2 题中不等式即为 2(1-sin θ)m >-1-sin2θ.∵θ∈[0, 2π], ∴0≤sin θ≤1.当 sin θ=1 时, 不等式显然恒成立, 此时 m ∈R;当 0≤sin θ<1 时,21sin 2(1sin )m θθ+>--恒成立.令 t =1-sin θ, 则 t ∈(0, 1], 且 21(1)11()22t t m t t+->-=-+ 恒成立. 易证 g (t )=1-1()2t t+在 (0, 1] 上单调递增, 有最大值 - , ∴m >12-. 即 m 的取值范围是 (12-, +∞). 说明：三角函数与不等式综合，注意“恒成立”问题的解决方式【专题突破】 一、选择题 1．有下列命题：①终边相同的角的三角函数值相同； ②同名三角函数的值相同的角也相同；③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相同； ④不相等的角，同名三角函数值也不相同． 其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．角α的终边上有一点P （a ，a ），a ∈R ，a ≠0，则sin α的值是( ) A ．22B ．－22 C ．22或－22 D ．13．若x x sin |sin |+|cos |cos x x +xx tan |tan |=－1，则角x 一定不是( ) A ．第四象限角 B ．第三象限角 C ．第二象限角D ．第一象限角4．如果4π＜θ＜2π，那么下列各式中正确的是( ) A ．cos θ＜tan θ＜sin θ B ．sin θ＜cos θ＜tan θ C ．tan θ＜sin θ＜cos θD ．cos θ＜sin θ＜tan θ5．若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．若sin αtan α＞0，则α的终边在( )A ．第一象限B ．第四象限C ．第二或第三象限D ．第一或第四象限7．若角α的终边与直线y =3x 重合且sin α＜0，又P （m ，n ）是角α终边上一点，且|OP |=10，则m －n 等于( ) A ．2B ．－2C ．4D ．－48．下列三角函数： ①sin（n π+3π4）；②cos（2n π+6π）；③sin（2n π+3π）；④cos［（2n +1）π－6π］；⑤sin ［（2n +1）π－3π］（n ∈Z ）．其中函数值与sin 3π的值相同的是（ ） A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤9．若cos （π+α）=－510，且α∈（－2π，0），则tan （2π3+α）的值为（ ） A ．－36B ．36 C ．－26D ．26 10．设A 、B 、C 是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（ ） A ．cos （A +B ）=cos C B ．sin （A +B ）=sin C C ．tan （A +B ）=tan CD ．sin2B A =sin 2C11．下列函数中，同时满足①在（0，2π）上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是( ) A ．y =tan xB ．y =cos xC ．y =tan 2x D ．y =|sin x |12．函数y =2tan （3x －4π）的一个对称中心是( ) A ．（3π，0） B ．（6π，0） C ．（－4π，0） D ．（－2π，0） 二、填空题13．若角α的终边经过P （－3，b ），且cos α=－53，则b =_________，sin α=_________． 14.若α是第三象限角，则)πcos()πsin(21αα---=_________．15．tan α=m ，则=+-+++)cos(-sin()cos(3sin(απα）απ）απ ．16.函数 y=f(x) 的图象右移π4 ，横坐标缩小到原来的一半，得到y=tan2x 的图象，则y=f(x)解析式是_______________．三、解答题17.已知角α的顶点在原点，始边为x 轴的非负半轴．若角α的终边过点P （－3，y ），且sin α=43y （y ≠0），判断角α所在的象限，并求cos α和tan α的值． 18. 根据下列三角函数值，求作角α的终边，然后求角α的取值集合． （1）sin α=21；（2）cos α=21；（3）tan α=－1；（4）sin α＞21． 19. 化简：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21．20. 求函数y =－2tan （3x +3π）的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性和单调性． 21. 数2()122cos 2sin f x a a x x =---的最小值为()()g a a R ∈，（12）若1()2g a =，求a 及此时()f x 的最大值 22. 已知f(x)是定义在R 上的函数，且1()(2)1()f x f x f x ++=-(1)试证f(x)是周期函数. (2)若f(3)=f(2005)的值.专题突破参考答案一、选择题1．B 2． C 3．D 4．D 5． D 6． D 7．A 8．C 9．B 10．B 11．A 12． C 二、填空题 13．±4 ±5414.－sin α－cos α 15．11-+m m 16.y=tan(x+π4 )三、解答题17. 解：依题意，点P 到原点O 的距离为|OP |=22)3(y +-，∴sin α=23yyr y +==43y ． ∵y ≠0，∴9+3y 2=16．∴y 2=37，y =±321．∴点P 在第二或第三象限．当点P 在第二象限时，y =321，cos α=r x =－43，tan α=－37；18．解：（1）已知角α的正弦值，可知MP =21，则P 点的纵坐标为21．所以在y 轴上取点（0，21），过这点作x 轴的平行线，交单位圆于P 1、P 2两点，则OP 1、OP 2是角α的终边，因而角α的取值集合为｛α｜α=2k π+6π，或α=2k π+6π5，k ∈Z ｝．如下图．（2）因为OM =21，则在x 轴上取点（21，0），过该点作x 轴的垂线，交单位圆于P 1、P 2两点，OP 1、OP 2是所求角α的终边，α的取值集合为｛α｜α=2k π±3π，k ∈Z ｝．如下图．（3）在单位圆过点A （1，0）的切线上取AT =－1，连结OT ，OT 所在直线与单位圆交于P 1、P 2两点，OP 1、OP 2是角α的终边，则角α的取值集合是｛α｜α=2k π+4π3，或α=2k π+4π7，k ∈Z ｝=｛α｜α=k π±43π，k ∈Z ｝．如下图．（4）这是一个三角不等式，所求的不是一个确定的角，而是适合条件的角的范围．如下图，作出正弦值等于21的角α的终边，正弦值大于21的角的终边与单位圆的交点在劣弧P 1P 2上，所以所求角的范围如下图中的阴影部分，α的取值集合是{α|2k π+6π＜α＜2k π+6π5，k ∈Z}．当点P 在第三象限时，y =－321，cos α=r x =－43，tan α=37．19. 解：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21=)360270cos()70180sin()36070cos()36070sin(21︒⨯+︒+︒+︒︒+︒︒+︒-+=︒-︒︒︒-70sin 70cos 70cos 70sin 21=︒-︒︒-︒70sin 70cos )70cos 70(sin 2=︒-︒︒-︒70sin 70cos 70cos 70sin =－1．20. 解：由3x +3π≠k π+2π，得x ≠18π3π+k （k ∈Z ）， ∴所求的函数定义域为{x |x ≠18π3π+k （k ∈Z ）}，值域为R ，周期为3π， 它既不是奇函数，也不是偶函数．k π－2π≤3x +3π≤k π+2π（k ∈Z ），∴18π53π-k ≤x ≤18π3π+k （k ∈Z ）． 在区间［18π53π-k ，18π3π+k ］（k ∈Z ）上是单调减函数． 21. 解：2()122cos 2sin f x a a x x =--- 2122cos 2(1cos )a a x x =----22cos 2cos 12x a x a =---222(cos )12()22aa x a a R =----∈ (1)函数()f x 的最小值为()g a1.122a a <-<-当时即时，cos 1x =-由得 22()2(1)12122a a g a a =-----=2.11222a a -≤≤-≤≤当时即时，cos 2a x =由得 2()122a g a a =---3.122a a >>当时即时，cos 1x =由，22()2(1)1222a a g a a =----得＝14a -综上所述得 21(2)()12(22)214(2)a a g a a a a a <-⎧⎪⎪=---≤≤⎨⎪->⎪⎩－2211243022a a a a -=++=－－得 13()a a ∴=-=-或舍221()2(cos )1222a a a f x x a =-=----将代入 211()2(cos )22f x x =++得cos 1x =当 2()x k k Z π=∈即时得 max ()5f x =22. 解： (1)由1()(2)1()f x f x f x ++=-，故f(x+4)=)2(1)2(1+-++x f x f =1()f x -f(x+8)=f(x+4+4)=1(4)f x -+=f(x)，即8为函数()f x 的周期(2)由 f(x+4) =1()f x -，得f(5) =1(1)f -=3。