高二数学基本概念——第11章_坐标平面上的直线

第11章 坐标平面上的直线11.1 直线方程（一）解析几何的本质用坐标法研究几何图形性质的数学分支称为解析几何本书研究可以用方程表示的一些常见曲线，例如：直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线。

特点如下：1、数形结合的思想方法2、解析几何需要较多的计算和数学推导3、向量和行列式运用较为广泛（二）直线的点方向式方程1、直线的点方向式方程),(00y x P ),(y x Q dxyl由上述推导过程可知：1、直线l 上所有点的坐标（x ，y ）都满足方程)()(00y y u x x v -=-2、以方程的所有解为坐标的点都在直线l 上。

)()(00y y u x x v -=-这样就建立了直线l 上所有点组成的集合与方程)()(00y y u x x v -=-的解的集合之间的对应关系。

只有当在直线l 上的点的坐标与方程)()(00y y u x x v -=-的解建立一一对应的关系时，才能把代数式所表示的方程与几何所表示的直线l 建立唯一的对应关系。

2、概念)()(00y y u x x v -=-1、方程叫做直线l 的方程。

2、直线l 叫做方程的图形。

)()(00y y u x x v -=-3、与直线l 平行的向量叫做直线l 的方向向量(,)l d u v =是直线的一个方向向量。

的方向向量。

平行的向量都是直线所有与l d v y y u x x )y y (u )x -x v 0v 0u 0d 40000-=--=≠≠可化为（，则方程，，即的坐标都不为、若向量该方程叫做直线l 的点方向式方程。

本书中，直线与非零向量平行（垂直）是指直线与非零向量所在的直线平行（垂直）。

式？又可以化为什么样的形那么方程的坐标中有一个为零，若向量)y y (u )x x (v d 00-=-xyd),(00y x P l d),(00y x P lxy)0uv (vy y u x x )1(00≠-=-∴直线的点方向式方程：y y 0v 0x x 000=-==-=时，时，u 方程。

此方程称为直线的一般不同时为零）、：点方向式方程可以化为b a (0c by ax )2(=++的二点式方程。

也叫直线点方向式方程为：的直线方程的（和（经过点,y y y y x x x x )y ,x Q )y ,x P 1211212211--=--),(00y x P ),(y x Q xyln o（三）直线的点法向式方程概念1、与直线l 垂直的向量叫做直线l 的法向量。

002a(x x )b(y y )0a,b l -+-=、方程（不全为零）叫做直线的点法向式方程。

的法向量。

平行的向量都是直线与的一个法向量。

所有是直线、l n l )b ,a (n 3=注意：在直角坐标系上，对任意的直线，都可以得到它的点法向式方程。

11.2 直线的倾斜角和斜率1、直线的倾斜角在直角坐标系中，过点P 的一条直线绕P 点旋转，不管旋转多少周，它对x 轴的相对位置有几种情形？画图表示。

总结：有四种情况，如图。

可用直线与x 轴所成的角来描述。

我们规定，直线向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角。

特别地，当直线和x 轴平行或重合时，它的倾斜角为0°。

lp o y xl y p o x l p o y x lp o y x l2、直线的斜率给出一个描述直线方程的量——直线的斜率倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

斜率通常用k 表示，即：tan k α=当=0°时，k 值如何？当0°＜＜90°时，k 值如何？当=90°时，k 值如何？当90°＜＜180°时，k 值如何？ααααK=0K>0K 不存在K<0直线的倾斜角与斜率k 之间的关系：αK 不存在K<0k ≥0k arc tankπ+arc tankπ/2直线的方向向量、倾斜角和斜率k 都可以刻划直线的方向，它们之间可以相互转化。

),(v u d =αl l 3(,)d u v =、方向向量k α，倾斜角，斜率之间的关系2k 0u uvtan ,u v k 0u ),v ,u (d 1πααα====≠=），不存在（趋向于无穷大时，当求得；可以由时，当、已知2k tan (),d (cos ,sin )2πααααα=≠=、已知，那么3k tan k d (1,k)αα==、已知，则可以由求得，k tan 0l ααπ=≤<由和可求出直线的倾斜角。

1122P x ,y ),Q(x ,y )过 (两点的直线的斜率：21122112y y x x x x k x x -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩不存在定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角，记为α,那么α就叫做直线的倾斜角。

注意：倾斜角的取值范围是0≤α＜π，在此范围内，坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角。

而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向，倾斜角直观地表示了直线对x 轴正方向的倾斜程度。

2,tan k ),x x (k y y 00παα≠=-=-其中直线的点斜式方程：直线方程的点斜式： y - y 1= k ( x - x 1 )其中x 1，y 1为直线上一点坐标， k 为直线的斜率。

注：⑴这个方程是由直线上一点和直线的斜率决定的；⑵当直线L 的倾斜角为0°时，直线的方程为y = y1 ；⑶当直线L 的倾斜角为90 °时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示，这时方程为 x = x1 。

（一）知识回顾d =(,)u v vk u=≠（u 0),(u 0)k =不存在(趋向无穷大）αtan =k )0(,arctan ≥k k )0k (),k (arctanarctan <--+ππ或k =α不存在）k (,2παtan 2k παα=≠，()，)sin ,cos (d αα=kd (1,k)=1、请说出求直线斜率的方法（二）知识延续1、直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程均可化为一般式不同时为零）b ac by ax ,(0=++2、直角坐标平面上的直线、一次函数、二元一次方程表示同样的对象。

11.3 两条直线的位置关系( 第一课时 ) 1. 两条直线的相交、平行与重合三种位置关系在直线方程上体现)2.......(0c y b x a :l )1........(0c y b x a :l 22221111=++=++条直线方程分别为：设直角坐标平面上的两{111222a x b y c 0a x b y c 0 (3)++=++=方程组：结论：两条直线交点的个数与方程组（3）的解的个数是相同的。

{111222a xb yc 0a x b y c 0 (3)++=++=方程组的解的情况？D =1122a b a b 11112222,x y c b a c D D c b a c --==--两条直线的位置关系:二元一次方程组解的情况:12210a b a b D ≠≠，即x yD x D D y D⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12210,a b a b 00x y D D D ==≠≠即且或时方程组无解===y x D D D 方程组无穷多解),,21D D D D l l yx 交点为（相交于一点，12,l l 没有公共点，即两直线平行。

.l l 21重合与直线.l l ,a 0D 211221平行或重合和两条直线时，即由上面的讨论可知：b a b ==说明：（1）斜率不相等的两条直线相交。

（2）斜率相等的两条直线平行或重合。

两条直线平行的充要条件：.k k k .l l //,l l 2121212121都不存在、或的倾斜角相等与直线与两条不重合的直线k l l =⇔⇔补充内容1222111::b x k y l b x k y l +=+=0:0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 相交平行重合两直线方程12(,k k 都存在)111222(0;0)A B C A B C ≠≠2121b b k k ==且2121b b k k ≠=且212121C C B B A A ==212121C C B B A A ≠=两条直线的位置关系12k k ≠1122A B A B ≠限制条件补充内容22. 两条直线的夹角1、平面上两条相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角。

2、若两条直线平行或重合时，规定它们的夹角为0由1、2可知两条直线夹角的范围是]2,0[π111111222222l :a x b y c 0a ,b 0l :a x b y c 0a ,b 0++=++=已知两条直线方程分别为：（不同时为）（不同时为）αθ1d 2d1l 2l 0αθ1d 2d 1l 2l 0θπ-222221212121cos b a b a b b a a +++=α几点说明是唯一的。

，故夹角上余弦函数为递减函数，、由于απα]20[1∈212121l l 2,0cos 0b b a a 2⊥∴=∴==+παα时，、当0b b a a n n )b ,a (n )b ,a (n l l 21212122211121=+=⋅∴==⊥垂直，和时，它们的法向量反之，当0b b a a l l 212121=+⇔⊥直线1k k l l k k 212121-=⋅⇔⊥都存在时，直线、当11.4 点到直线的距离222221212121cos b a b a b b a a +++=α12122212k k 1cos (k ,k k 1k 1α+=++都存在）211212,1k k tg k k k k α-=+（都存在）3、两条直线的夹角公式已知：直线L 外一点P(x 0,y 0)和直线L:ax+by+c=0，怎样求点P 到直线L 的距离呢？（一）点到直线的距离公式的推导L:ax+by+c=0QPPQQPQPnOxy点到直线的距离公式2200ba c yb ax d +++=Oyxl :ax+by+c=0P (x 0,y 0)0022ax by c d a b ++=+1.此公式的作用是求点到直线的距离；2.此公式是在a ≠0 、b ≠0的前提下推导的；3.如果a=0或b=0，此公式也成立；4.用此公式时直线方程要先化成一般式。

Oyxl 2l 1P 任意两条平行直线都可以写成如下形式：l 1 :ax+by+C 1=0l 2 :ax+by+C 2=02122c cd ab-∴=+00222||ax by c d a b++=+的距离到直线则点上在直线设2100),(L P L y x P 100()c ax by =-+又直线的方程应化为一般式！（四）点P 关于直线l 的相对位置0022P l ax by c a bδ++=+的符号确定了点关于直线的相对位置。