2018年全国高考模拟文科数学分类汇编——三角函数和解三角形.doc

合集下载

[精品]2018版高考一轮总复习数学文科模拟演练第3章三角函数解三角形31和答案

(时间：40分钟)1．点A(sin2018°，cos2018°)在直角坐标平面上位于( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 C解析sin2018°＝sin218°＝－sin38°＜0，cos2018°＝cos218°＝－cos38°＜0，∴选C项．2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A．2 B．4C．6 D．8答案 C解析设扇形所在圆的半径为R，则2＝12×4×R2，∴R2＝1，∴R＝1，扇形的弧长为4×1＝4，扇形的周长为2＋4＝6.3．如果角α的终边过点P(2sin30°，－2cos30°)，那么sinα＝( )A．12B．－12C．－32D．－33答案 C解析因为P(1，－3)，所以r＝12＋－32＝2.所以sinα＝－3 2.4．sin2·cos3·tan4的值( )A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在答案 A解析∵π2＜2＜3＜π＜4＜3π2，∴sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0.∴sin2·cos3·tan4＜0，∴选A.5．已知α是第二象限角，P(x，5)为其终边上一点，且cosα＝24x，则x＝( )A． 3 B．± 3 C．－ 2 D．－ 3 答案 D解析依题意得cosα＝xx2＋5＝24x＜0，由此解得x＝－3，选D.6．若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a)，则a的值为________．答案－4 3解析由三角函数的定义有：tan420°＝a－4.又tan420°＝tan(360°＋60°)＝tan60°＝3，故a－4＝3，得a＝－4 3.7．点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动8π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，32 解析设点A (－1,0)，点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动8π3弧长到达点Q ，则∠AOQ ＝8π3－2π＝2π3(O 为坐标原点)，所以∠xOQ ＝π3，cos π3＝12，sin π3＝32，点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，32. 8．如图所示，角的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点A ⎝⎛⎭⎪⎫cos α，35，则cos α－sin α＝________.答案－75解析由题意得cos 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝1，所以cos 2α＝1625.又cos α<0，所以cos α＝－45，又sin α＝35，所以cos α－sin α＝－75.9．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ，cos θ.解 ∵θ的终边过点(x ，－1)，∴tan θ＝－1x，又∵tan θ＝－x ，∴x 2＝1，∴x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22；当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22. 10．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S . 解 (1)在△AOB 中，AB ＝OA ＝OB ＝10，∴△AOB 为等边三角形．因此弦AB 所对的圆心角α＝π3.(2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得l ＝α·R ＝π3×10＝10π3，S 扇形＝12R ·l ＝50π3. 又S △AOB ＝12OA ·OB ·sin π3＝25 3.∴弓形的面积S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝⎛⎭⎪⎪⎫π3－32. (时间：20分钟)11．已知|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则角θ2的终边落在( )A ．第二、四象限B ．第一、三象限C ．第一、三象限或x 轴上D ．第二、四象限或x 轴上答案 D解析因为|cos θ|＝cos θ，所以cos θ≥0.因为|tan θ|＝－tan θ，所以tan θ≤0.所以2k π＋3π2<θ≤2k π＋2π，k ∈Z .所以k π＋3π4<θ2≤k π＋π，k ∈Z .故选D.12．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin2C ．2sin1D ．2sin1答案 C解析如图，∠AOB ＝2弧度，过O 点作OC ⊥AB 于C ，并延长OC 交弧AB 于D .则∠AOD ＝∠BOD ＝1弧度，且AC ＝12AB ＝1，在Rt △AOC 中，AO ＝AC sin ∠AOC ＝1sin1，即r ＝1sin1，从而弧AB 的长为l ＝|α|·r ＝2sin1.13．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.答案－8解析若角α终边上任意一点P (x ，y )，|OP |＝r ，则sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝yx.P (4，y )是角θ终边上一点，由三角函数的定义知sin θ＝y16＋y2，又sin θ＝－255， ∴y16＋y2＝－255，且y <0，解得y ＝－8. 14.如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．解设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，所以t ＝4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒．设第一次相遇点为C ，第一次相遇时P 点已运动到终边在π3·4＝4π3的位置，则x C ＝－cos π3·4＝－2，y C ＝－sin π3·4＝－2 3.所以C 点的坐标为(－2，－23)．P 点走过的弧长为43π·4＝163π，Q 点走过的弧长为23π·4＝83π.。

2018年全国高考文科数学分类汇编----三角函数

2018年全国高考文科数学分类汇编——三角函数1.（北京）在平面直角坐标系中，，，，是圆x2+y2=1上的四段弧（如图），点P其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是（）CA．B．C．D．【解答】解：A．在AB段，正弦线小于余弦线，即cosα＜sinα不成立，故A不满足条件．B．在CD段正切线最大，则cosα＜sinα＜tanα，故B不满足条件．C．在EF段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正，满足tanα＜cosα＜sinα，D．在GH段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值，满足cosα＜sinα＜tanα不满足tanα＜cosα＜sinα．故选：C．2.（北京）若△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），且∠C为钝角，则∠B=；的取值范围是（2，+∞）．【解答】解：△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），可得：（a2+c2﹣b2）=acsinB，，可得：tanB=，所以B=，∠C为钝角，A∈（0，），cotA∈（，+∞）．===cosB+cotAsinB=cotA∈（2，+∞）．故答案为：；（2，+∞）．3. （北京）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．【解答】解：（I）函数f（x）=sin2x+sinxcosx=+sin2x=sin（2x﹣）+，f（x）的最小正周期为T==π；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，可得2x﹣∈[﹣，2m﹣]，即有2m﹣≥，解得m≥，则m的最小值为．4. （江苏）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，则φ的值是．【解答】解：∵y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，∴2×+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ﹣，∵﹣φ＜，∴当k=0时，φ=﹣，故答案为：﹣．5.（江苏）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为9．【解答】解：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°，即ac=a+c，得+=1，得4a+c=（4a+c）（+）=++5≥2+5=4+5=9，当且仅当=，即c=2a时，取等号，故答案为：9．6. （江苏）已知α，β为锐角，tanα=，cos（α+β）=﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．【解答】解：（1）由，解得，∴cos2α=；（2）由（1）得，sin2，则tan2α=．∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，α），∴sin（α+β）==．则tan（α+β）=．∴tan（α﹣β）=tan[2α﹣（α+β）]==．7.（江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．=（40sinθ+10）•80cosθ【解答】解：（1）S矩形ABCD=800（4sinθcosθ+cosθ），S△CDP=•80cosθ（40﹣40sinθ）=1600（cosθ﹣cosθsinθ），当B、N重合时，θ最小，此时sinθ=；当C、P重合时，θ最大，此时sinθ=1，∴sinθ的取值范围是[，1）；（2）设年总产值为y，甲种蔬菜单位面积年产值为4t，乙种蔬菜单位面积年产值为3t，则y=3200t（4sinθcosθ+cosθ）+4800t（cosθ﹣cosθsinθ）=8000t（sinθcosθ+cosθ），其中sinθ∈[，1）；设f（θ）=sinθcosθ+cosθ，则f′（θ）=cos2θ﹣sin2θ﹣sinθ=﹣2sin2θ﹣sinθ+1；令f′（θ）=0，解得sinθ=，此时θ=，cosθ=；当sinθ∈[，）时，f′（θ）＞0，f（θ）单调递增；当sinθ∈[，1）时，f′（θ）＜0，f（θ）单调递减；∴θ=时，f（θ）取得最大值，即总产值y最大．=800（4sinθcosθ+cosθ），答：（1）S矩形ABCDS△CDP=1600（cosθ﹣cosθsinθ），sinθ∈[，1）；（2）θ=时总产值y最大．8.（全国1卷）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，则（）BA．f（x）的最小正周期为π，最大值为3B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为4【解答】解：函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，=2cos2x﹣sin2x+2sin2x+2cos2x，=4cos2x+sin2x，=3cos2x+1，=，=，故函数的最小正周期为π，函数的最大值为，故选：B．9.（全国1卷）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A （1，a），B（2，b），且cos2α=，则|a﹣b|=（）BA．B．C．D．1【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，∴cos2α=2cos2α﹣1=，解得cos2α=，∴|cosα|=，∴|sinα|==，|tanα|=||=|a﹣b|===．故选：B．10.（全国1卷）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2﹣a2=8，则△ABC的面积为．【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．bsinC+csinB=4asinBsinC，利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC，由于sinBsinC≠0，所以sinA=，则A=由于b2+c2﹣a2=8，则：，①当A=时，，解得：bc=，所以：．②当A=时，，解得：bc=﹣（不合题意），舍去．故：．故答案为：．11.（全国2卷）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）AA．4B．C．D．2【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．12.（全国2卷）若f（x）=cosx﹣sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=﹣sin（x﹣），由﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ，k∈Z，得﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[﹣，]，由f（x）在[0，a]是减函数，得a≤．则a的最大值是．故选：C．13.（全国2卷）已知tan（α﹣）=，则tanα=．【解答】解：∵tan（α﹣）=，∴tan（α）=，则tanα=tan（α+）=====，故答案为：．14.（全国3卷）若sinα=，则cos2α=（）BA．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故选：B．15.（全国3卷）函数f（x）=的最小正周期为（）CA．B．C．πD．2π【解答】解：函数f（x）===sin2x的最小正周期为=π，故选：C．16.（全国3卷）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）CA．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．==，∴sinC==cosC，△ABC的面积为，∴S△ABC∵0＜C＜π，∴C=．故选：C．17. （上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，∴2asin2x=0，∴a=0；（2）∵f（）=+1，∴asin+2cos2（）=a+1=+1，∴a=，∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（x+）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（x+）+1=1﹣，∴sin（x+）=﹣，∴x+=﹣+2kπ，或x+=π+2kπ，k∈Z，∴x=﹣π+2kπ，或x=π+2kπ，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴x=或x=π．18.（天津）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）AA．在区间[]上单调递增B．在区间[﹣，0]上单调递减C．在区间[]上单调递增D．在区间[，π]上单调递减【解答】解：将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣）+]=sin2x．当x∈[]时，2x∈[，]，函数单调递增；当x∈[，]时，2x∈[，π]，函数单调递减；当x∈[﹣，0]时，2x∈[﹣，0]，函数单调递增；当x∈[，π]时，2x∈[π，2π]，函数先减后增．故选：A．19.（天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．20.（浙江）函数y=2|x|sin2x的图象可能是（）DA． B． C．D．【解答】解：根据函数的解析式y=2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和B．当x=时，函数的值也为0，故排除C．故选：D．21.（浙江）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=3．【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．a=，b=2，A=60°，∴由正弦定理得：，即=，解得sinB==．由余弦定理得：cos60°=，解得c=3或c=﹣1（舍），∴sinB=，c=3．故答案为：，3．22. （浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）．∴x=﹣，y=，r=|OP|=，∴sin（α+π）=﹣sinα=；（Ⅱ）由x=﹣，y=，r=|OP|=1，得，，又由sin（α+β）=，得=，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=，或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=．∴cosβ的值为或．。

高考数学分类汇编之三角函数和解三角形汇编理附详解

高考数学分类汇编之三角函数和解三角形汇编理附详解Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形一、选择题1.【2018全国二卷6】在中，，，则 A ．BCD ．2.【2018全国二卷10】若在是减函数，则的最大值是A ．B ．C ．D ．3.【2018全国三卷4】若，则A ．B ．C ．D ．4．【2018全国三卷9】的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A ．B ．C ．D ．5.【2018北京卷7】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A. 1 B. 2 C. 36.【2018天津卷6】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A 在区间35[,]44ππ上单调递增 B 在区间3[,]4ππ上单调递减 C 在区间53[,]42ππ上单调递增 D 在区间3[,2]2ππ上单调递减 7．【2018浙江卷5】函数y=||2x sin2x 的图象可能是ABC △cos2C 1BC =5AC =AB =()cos sin f x x x =-[,]a a -a π4π23π4π1sin 3α=cos2α=897979-89-ABC △A B C ，，a b c ABC △2224a b c +-C =π2π3π4π6A ．B ．C ．D ．二、填空题1.【2018全国一卷16】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_________． 2．【2018全国二卷15】已知，，则__________．3.【2018全国三卷15】函数在的零点个数为________．4.【2018北京卷11】设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．5．【2018江苏卷7】已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是．6．【2018江苏卷13】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为．7.【2018浙江卷13】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若，b=2，A=60°，则sin B=___________，c=___________．三．解答题1.【2018全国一卷17】在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .sin cos 1αβ+=cos sin 0αβ+=sin()αβ+=()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]0π，2.【2018北京卷15】在△ABC 中，a=7，b=8，cosB=–17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．3.【2018天津卷15】在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos()6b A a B π=-.（I ）求角B 的大小；（II ）设a=2，c=3，求b 和sin(2)A B -的值.4.【2018江苏卷16】已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()αβ+= （1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．5.【2018江苏卷17】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43∶．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．6.【2018浙江卷18】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455-，-）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求c osβ的值．7.【2018上海卷18】设常数a R ∈，函数f x （）=x x a 2cos 22sin +（1）若f x （）为偶函数，求a 的值；（2）若4f π〔〕1=，求方程1f x =（）ππ-［，］上的解.参考答案一、选择题二、填空题1. 2-2.3. 34.235.π6- 6. 9 7.3721；三．解答题 1.解：（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠. 由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以sin 5ADB ∠=. 由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos ADB ∠== （2）由题设及（1）知，cos sin BDC ADB ∠=∠=在BCD △中，由余弦定理得 2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠25825=+-⨯⨯25=. 所以5BC =.2.解：（Ⅰ）在△ABC 中，∵cosB=–17，∴B ∈（π2，π），∴由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A，∴．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A=π3．（Ⅱ）在△ABC 中，∵sinC=sin （A+B ）11()72-+．如图所示，在△ABC 中，∵sinC=h BC ，∴h=sin BC C ⋅=7，∴AC 边上的高为33．12-3.解：在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B =，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan 3B =．又因为(0π)B ∈，，可得B=π3．（Ⅱ）解：在△ABC 中，由余弦定理及a=2，c=3，B=π3，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b=7．由πsin cos()6b A a B =-，可得3sin 7A =．因为a<c ，故cos 7A =．因此43sin 22sin cos A A A ==，21cos22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos2sin AB A B A B -=-=431133327⨯-⨯=．4.解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．5.解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH=10．过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD 的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP 的面积为12×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，π6）．当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是[14，1）．答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为4tan 3α=sin tan cos ααα=4sin cos 3αα=22sin cos 1αα+=29cos 25α=27cos22cos 125αα=-=-,αβ(0,π)αβ+∈5cos()αβ+=-225sin()1cos ()αβαβ+=-+=tan()2αβ+=-4tan 3α=22tan 24tan 21tan 7ααα==--tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[14，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k>0），则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ） =8000k （sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，π2）．设f （θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，π2），则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′．令()=0f θ′，得θ=π6，当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数；当θ∈（π6，π2）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数，因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值．答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．[来源:学§科§网]6.（Ⅰ）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=.（Ⅱ）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±.由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=-. 7. 解：（1）11cos 22sin )(2+-+=x x a x f =12cos 2sin ++x x a ，1)2cos()2sin()(+-+-=-x x a x f 12cos 2sin ++-=x x a当)(x f 为偶函数时：)()(x f x f -=，则a a -=，解得0=a 。

2018年全国各地高考模拟试题三角函数试题汇编(含答案解析)

2018年全国各地高考数学模拟试题三角函数试题汇编（含答案解析）1．（2018•玉溪模拟）已知tan（α+）=﹣3，α∈（0，）．（1）求tanα的值；（2）求sin（2α﹣）的值．2．（2018•红桥区二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=2，B=2A．（Ⅰ）求cosA及边c的值；（Ⅱ）求cos（B﹣）的值．3．（2018•玉溪模拟）已知函数f（x）=sin2x+sinx•cosx+2cos2x，x∈R（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x的图象经过怎样的变换得到？4．（2018•资阳模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（sinA﹣sinB）=c（sinC﹣sinB）．（1）求A．（2）若a=4，求△ABC面积S的最大值．5．（2018•徐州一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosA=，tan（B﹣A）=．（1）求tanB的值；（2）若c=13，求△ABC的面积．6．（2018•顺义区二模）已知函数．．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象与直线y=m没有公共点，求实数m的取值范围．7．（2018•洛阳二模）如图，已知扇形的圆心角，半径为，若点C 是上一动点（不与点A，B重合）．（1）若弦，求的长；（2）求四边形OACB面积的最大值．8．（2018•衡阳三模）已知函数的最大值为1．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A为锐角且，b+c=8，求a的最小值．9．（2018•莆田二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若a=，求△ABC面积S的最大值．10．（2018•海淀区二模）如图，已知函数f（x）=Asinx（ωx+φ）（）在一个周期内的图象经过，，三点（Ⅰ）写出A，ω，φ的值；（Ⅱ）若，且f（α）=1，求cos2α的值．11．（2018•门头沟区一模）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣1+2cos2x．（1）求f（x）的最小正周期：（2）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．12．（2018•玉溪模拟）设函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x+1（1）求f（）（2）求f（x）的最大值和最小正周期．13．（2018•兴庆区校级四模）如图，气球A相对于BC所在地平面的高度是h，前方有一座桥梁，气球A带有一个测角器，试用测角仪器测得适当的角（用字母表示），用测得的角度及h表示河流的宽度BC．14．（2018•房山区一模）在△ABC中，内角A，B，C的对分别为a，b，c，且cos2B+cosB=0．（1）求角B的值；（2）若b=，a+c=5，求△ABC的面积．15．（2018•玉溪模拟）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosB+bsinA=c．（1）求角A的大小；（2）若，△ABC的面积为，求b+c的值．16．（2018•玉溪模拟）已知α∈（0，π）且cos（α﹣）=．求cosα17．（2018•河西区三模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c﹣b=2bcosA．（Ⅰ）若a=2，b=3，求边c的长；（Ⅱ）若C=，求角B的大小．18．（2018•南关区校级模拟）在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且cos=．（1）若a=3，b=，求c的值；（II）若f（A）=sinA（cosA﹣sinA），求f（A）的取值范围．19．（2018•河南一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角C的大小；（2）若bsin（π﹣A）=acosB，且，求△ABC的面积．20．（2018•顺义区二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b＞c，a=6，b=5，△ABC的面积为9．（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）求c及sinB的值．21．（2018•资阳模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（sinA﹣sinB）=c（sinC﹣sinB）．（1）求A．（2）若a=4，求b2+c2的取值范围．22．（2018•北京模拟）已知函数f（x）=2sin（ax﹣）cos（ax﹣）+2cos2（ax﹣）（a＞0），且函数的最小正周期为．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．23．（2018•岳麓区校级二模）已知向量（ω＞0），函数f（x）=，若函数f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若将函数f（x）的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．24．（2018•江苏模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2a ﹣b）•cosC=c•cosB．（1）求角C的大小；（2）若c=2，△ABC的面积为，求该三角形的周长．25．（2018•成都模拟）已知函数．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，sinB=2sinC，求c．26．（2018•抚顺一模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsin2A﹣asin（A+C）=0．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a=3，△ABC的面积为，求的值．27．（2018•张掖一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=4，，bsinC=2sinB．（1）求b的值；（2）求△ABC的面积．28．（2018•玉溪模拟）（1）写出余弦定理．（2）证明余弦定理．29．（2018•铁东区校级二模）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）求函数f（x）在区间上的最值．30．（2018•江苏模拟）已知三点A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈（0，π）．若，求（1）cosα+sinα的值；（2）的值．31．（2018•达州模拟）已知向量=（sin2x，cos2x），=（，﹣），f（x）=•．（1）求函数f（x）的周期；（2）在△ABC中，f（A）=，AB=2，BC=2，求△ABC的面积S．32．（2018•石嘴山一模）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且．（1）求角B；（2）若，求△ABC面积的最大值．33．（2018•泰安二模）设函数（I）求函数f（x）的最大值，并求此时的x值；（II）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（A）=1，且2bsinB+的值．34．（2018•内江一模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+csinB=0．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若，BC的中垂线交AB于点D，求BD的长．35．（2018•海淀区校级三模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知c=2，C=（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a（Ⅱ）若a=，求sinB36．（2018•长沙一模）△ABC中，已知点D在BC边上，且，AB=3．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求cosC．37．（2018•河东区校级模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3sinA，周长为4（），且sinB+sinC=．（1）求a及cosA的值；（2）求cos（2A﹣）的值．38．（2018•河南一模）△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c．已知：（1﹣tanA）（1﹣tanB）=2．（1）求角C；（2）若b=2，c=4，求△ABC的面积S．△ABC39．（2018•城中区校级模拟）已知函数；（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）设△ABC三内角对应边为a，b，c；已知，b，a，c成等差数列，且=9，求a的值．40．（2018•黄山一模）已知函数．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若sinB=2sinA，求a、b的值．参考答案与试题解析1．【分析】（1）由题意利用两角和的正切公式求得tanα的值．（2）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式，求得sin（2α﹣）的值．【解答】解：（1）∵tan（α+）=﹣3，α∈（0，），∴tanα＞0，且=﹣3，求得tanα=2．（2）∵sin2α===，cos2α===﹣，∴sin（2α﹣）=sin2α•﹣cos2α•=+=．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式的应用，属于基础题．2．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理与二倍角公式求得cosA，再利用余弦定理求得边长c的值；（Ⅱ）由二倍角公式求得cosB，再利用三角恒等变换求得cos（B﹣）的值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，a=3，b=2，∴=，又B=2A，∴=，=，解得cosA=；又a2=b2+c2﹣2bccosA，9=24+c2﹣2•2•c•，c2﹣8c+15=0，解得c=3或c=5；（Ⅱ）∵B=2A，∴cosB=cos2A=2cos2A﹣1=，∴sinB=；∴cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=×+×=．【点评】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，是基础题．3．【分析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和单调递减区间．（2）函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数y=sin（2x+）的图象，再将函数图象向上平移各单位得到f（x）=sin（2x+）+的图象．【解答】解：（1）f（x）=sin2x+x，=，=，=，函数的最小正周期为：T=．令：（k∈Z），解得：（k∈Z），函数的单调递减区间为：（k∈Z）．（2）函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数y=sin（2x+）的图象，再将函数图象向上平移各单位得到f（x）=sin（2x+）+的图象．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质周期性和单调性的应用，正弦型函数的图象变换问题，属于基础题型．4．【分析】（1）由已知根据正弦定理得a2﹣b2=c2﹣bc，利用余弦定理可求cosA的值，结合范围0＜A＜π，可求A的值．（2）根据余弦定理及基本不等式可求bc≤16，进而利用三角形面积公式即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）根据正弦定理得（a+b）（a﹣b）=c（c﹣b），即a2﹣b2=c2﹣bc，则，即，由于0＜A＜π，所以．（6分）（2）根据余弦定理，，由于a2≥2bc﹣bc=bc，即bc≤16，所以△ABC面积，当且仅当b=c=4时等号成立．故△ABC面积S的最大值为．（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5．【分析】（1）根据同角的三角函数的关系以两角和的正切公式即可求出，（2）根据两角和的正弦公式以及正弦定理和三角形的面积公式即可求出．【解答】解：（1）在△ABC中，由cosA=，得A为锐角，所以sinA=，所以tanA==，所以tanB=tan[（B﹣A）+A]===3；（2）在三角形ABC中，由tanB=3，所以sinB=，cosB=，由sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=，由正弦定理=，得b===15，所以△ABC的面积S=bcsinA=×15×13×=78．【点评】本题考查了两角和的正弦正切公式，以及同角的三角函数的关系和正弦定理和三角形的面积公式，属于基础题6．【分析】（Ⅰ）化函数f（x）为正弦型函数，再求它的最小正周期；（Ⅱ）求出函数y=f（x）的值域，根据题意再求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），∴f（x）的最小正周期为T==π；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数y=f（x）=2sin（2x﹣），命题函数y=f（x）的图象与直线y=m没有公共点，等价于方程2sin（2x﹣）=m在x∈R内无解，由函数f（x）=2sin（2x﹣）值域是[﹣2，2]，∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．【点评】本题考查了三角恒等变换与三角函数的图象和性质的应用问题，是基础题．7．【分析】（1）在△OBC中，由余弦定理计算可得cos∠BOC的值，即可得∠BOC 的值，由弧长公式计算可得答案；（2）根据题意，设∠AOC=θ，由三角形面积公式分析可得四边形的面积为S的值，结合三角函数的性质分析可得答案．【解答】解：（1）在△OBC中，，由余弦定理，所以，于是的长为．（2）设，所以四边形的面积为S，则=由，所以，当时，四边形OACB的面积取得最大值．【点评】本题考查三角形中的几何计算，涉及三角函数的恒等变形，属于基础题．8．【分析】（Ⅰ）化函数f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质求得m 的值；（Ⅱ）根据f（A）求得A的值，再由余弦定理和基本不等式求得a的值．【解答】解：（Ⅰ）函数=•+sin2x+m=sin2x﹣cos2x++m，=sin（2x﹣）++m；因为函数f（x）的最大值为1，∴+m=0，解得m=﹣；…6分（Ⅱ）f（A）=sin（2A﹣）=，由0＜A＜，得﹣＜2A﹣＜，∴2A﹣=，解得A=．…8分又b+c=8，由余弦定理得，，∴a≥4（当且仅当b=c时等号成立）．…12分【点评】本题考查了两角和与差的正余弦，二倍角公式，余弦定理，基本不等式的应用问题．9．【分析】（1）利用正弦定理和同角的三角函数关系求出A的值；（2）由余弦定理和基本不等式求出△ABC面积S的最大值．【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理得，…（1分）即，故，…（3分）又A∈（0，π），…（4分）故；…（5分）（2）在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA，…（6分）又a=，所以3=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc，…（8分）即bc≤1，…（9分）当且仅当b=c=1时，等号成立…（10分）则，…（11分）所以△ABC面积S的最大值为．…（12分）【点评】本题考查了解三角形的应用问题，是基础题．10．【分析】（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数的解析式，由题意求得sin（2α﹣）=，结合2α﹣的范围，求得2α﹣的值，可得2α的值，进而求得cos2α的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得A=2，=﹣，∴ω=2，再结合五点法作图可得2×+φ=0，求得．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，∵f（α）=1，∴．∵，∴，∴，∴，∴．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，根据三角函数的值求角，属于基础题．11．【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期．（2）利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）在区间[]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=2sinxcosx﹣1+2cos2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∴它的最小正周期为=π．（2）在区间[]上，2x+∈[﹣，]，所以，当2x+=﹣时，函数f（x）取得最小值为﹣1；当2x+=时，函数f（x）取得最大值为2．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题．12．【分析】（1）化简函数f（x），计算f（）的值；（2）根据正弦型函数的图象与性质，即可求出f（x）的最大值与最小正周期．【解答】解：（1）函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x+1=sin2x﹣cos2x+1=sin（2x﹣）+1，∴f（）=sin（2×﹣）+1=×+1=2；…（6分）（2）由f（x）=sin（2x﹣）+1，当2x﹣=+2kπ，k∈Z，即x=+kπ，k∈Z时，f（x）取得最大值为+1，最小正周期为T==π．…（12分）【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．13．【分析】根据图形，利用直角三角形的边角关系，即可求出BC的值．【解答】解：如图所示，Rt△ABM中，AM=h，测角器测得∠BAM=α，则BM=AMtanα=htanα，Rt△ACM中，AM=h，测角器测得∠CAM=β，则CM=AMtanβ=htanβ，∴河流的宽度为BC=CM﹣BM=htanβ﹣htanα=h（tanβ﹣tanα）．【点评】本题考查了直角三角形中边角关系的应用问题，是基础题．14．【分析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换求出：（2cosB﹣1）（cosB+1）=0，进一步利用特殊值求出B的度数．（2）直接利用（1）的结论和余弦定理求出ac的值，最后求出三角形的面积．【解答】解：（1）△ABC中，内角A，B，C的对分别为a，b，c，且cos2B+cosB=0．则：2cos2B+cosB+1=0整理得：（2cosB﹣1）（cosB+1）=0解得：cosB=（﹣1舍去）．则：B=．（2）利用余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB，由于：b=，a+c=5，解得：ac=6．所以：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦定理和三角形面积公式的应用．15．【分析】（1）利用正弦定理和三角形内角和定理与三角恒等变换求得A的值；（2）由三角形面积公式和余弦定理，即可求得b+c的值．【解答】解：（1）△ABC中，acosB+bsinA=c，由正弦定理得：sinAcosB+sinBsinA=sinC，又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinBsinA=cosAsinB，又sinB≠0，∴sinA=cosA，又A∈（0，π），∴tanA=1，A=；=bcsinA=bc=，（2）由S△ABC解得bc=2﹣；又a2=b2+c2﹣2bccosA，∴2=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣（2+）bc，∴（b+c）2=2+（2+）bc=2+（2+）（2﹣）=4，∴b+c=2．【点评】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，是基础题．16．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sin（α﹣）的值，再利用两角差的余弦公式，求得cosα的值．【解答】解：∵α∈（0，π），∴，又，∴，∴=．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式的应用，属于基础题．17．【分析】（Ⅰ）由余弦定理化简已知等式，整理可得：a2=b2+bc，代入已知即可解得c的值．（Ⅱ）由题意A+B=，可得sinA=cosB，cosA=sinB，由正弦定理化简已知等式可得：2sin2B+sinB﹣1=0，解得sinB，即可求B=．【解答】解：（Ⅰ）∵c﹣b=2bcosA．∴由余弦定理可得：c﹣b=2b×，整理可得：a2=b2+bc，∵a=2，b=3，∴24=9+3c，解得：c=5．（Ⅱ）∵C=，∴A+B=，可得sinA=cosB，cosA=sinB，∴c﹣b=2bcosA，由正弦定理可得：sin（A+B）=2sinBcosA+sinB，可得：sinAcosB+cosAsinB=2sinBcosA+sinB，解得：cos2B+sin2B=2sin2B+sinB=1，即：2sin2B+sinB﹣1=0，可得：sinB=或﹣1（舍去）．即B=．【点评】本题主要考查了正弦定理、余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了一元二次方程的解法，诱导公式的应用，属于基础题．18．【分析】（1）根据三角形内角和定理，结合题意求得B的值，再利用余弦定理求得c的值；（II）把f（A）化为正弦型函数，根据A的取值范围，利用正弦函数的性质求得f（A）的取值范围．【解答】解：（1）△ABC中，A+B+C=π，∴cos=cos=sin=，∴=，∴B=；又a=3，b=，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得c2﹣3c+2=0，解得c=1或c=2；（II）f（A）=sinA（cosA﹣sinA）=sinAcosA﹣sin2A=sin2A﹣=sin（2A+）﹣，由B=，得A+C=，∴A∈（0，），∴2A+∈（，），∴sin（2A+）∈（﹣1，1]，∴f（A）的取值范围是（﹣，]．【点评】本题考查了解三角形与三角恒等变换的应用问题，是基础题．19．【分析】（1）由正余弦定理化简可得角C的大小；（2）由bsin（π﹣A）=acosB，根据正弦定理化简，求出c，即可求出△ABC的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，由，由余弦定理：a2+b2﹣c2=2abcosC，可得：2acsinB=2abcosC．由正弦定理：2sinCsinB=2sinBcosC∵0＜B＜π，sinB≠0，∴2sinC=2cosC，即tanC=，∵0＜C＜π，∴C=．（2）由bsin（π﹣A）=acosB，∴sinBsinA=sinAcosB，∵0＜A＜π，sinA≠0，∴sinB=cosB，∴，根据正弦定理，可得，解得c=1，∴．【点评】本题考查三角形的正余弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．20．【分析】（Ⅰ）根据三角形的面积公式和同角的三角函数关系求得cosC的值；（Ⅱ）由余弦和正弦定理即可求得c和sinB的值．【解答】解：（Ⅰ）因为△ABC的面积为9，即absinC=×6×5sinC=9，解得sinC=；又因为b＞c，所以cosC==；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=62+52﹣2×6×5×=13，所以c=；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）又因为b=5，sinC=；所以在△ABC中，由正弦定理得sinB===．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角函数面积公式应用问题，是基础题．21．【分析】（1）根据正弦定理和特殊角的三角函数值即可求出，（2）根据余弦定理和基本不等式即可求出．【解答】解：（1）根据正弦定理得（a+b）（a﹣b）=c（c﹣b），即a2﹣b2=c2﹣bc，则，即，由于0＜A＜π，所以．（2）根据余弦定理，，所以，则有b2+c2≤32，又b2+c2=16+bc＞16，所以b2+c2的取值范围是（16，32]．【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理得应用，考查了运算能力和转化能力，属于基础题22．【分析】（Ⅰ）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求a的值．（Ⅱ）x∈[0，]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质求，可求f（x）最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2sin（ax﹣）cos（ax﹣）+2cos2（ax﹣）（a＞0），化简可得：f（x）=sin（2ax﹣）+cos（2ax﹣）+1=﹣cos2ax+sin2ax+1=2sin（2ax﹣）+1∵函数的最小正周期为．即T=由T=，可得a=2．∴a的值为2．故f（x）=2sin（4x﹣）+1；（Ⅱ）x∈[0，]时，4x﹣∈[，]．当4x﹣=时，函数f（x）取得最小值为1﹣．当4x﹣=时，函数f（x）取得最大值为2×1+1=3∴f（x）在[0，]上的最大值为3，最小值为1．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题23．【分析】（1）由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调增区间．（2）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用张弦函数的定义域和值域，求得g（x）的值域．【解答】解：（1）f（x））==2cosωx（sinωx﹣cosωx）﹣2+3=sin2ωx﹣cos2ωx=，∵，∴．令，求得f（x）的增区间为．（2）将函数f（x）的图象先向左平移个单位，得到y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）的图象；然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）=sin（4x+）的图象，故，∵，、∴，故函数g（x）的值域是．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的单调性、定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．24．【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换求得cosC与C的值；（2）利用三角形的面积公式和余弦定理求得a+b的值，再求周长．【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理知===2R，又因为（2a﹣b）•cosC=c•cosB，所以2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC，即2sinAcosC=sinA；………………（4分）∵0＜A＜π，∴sinA＞0；∴cosC=；………………（6分）又0＜C＜π，∴C=；………………（8分）（2）∵S=absinC=ab=，△ABC∴ab=4 ………………（10分）又c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣3ab=4，∴（a+b）2=16，∴a+b=4；∴周长为6．………………（14分）【点评】本题考查了正弦、余弦定理和三角恒等变换问题，是基础题．25．【分析】（1）化f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的单调性求出f（x）的单调递减区间；（2）根据题意，利用正弦、余弦定理求得c的值．【解答】解：（1）=，由，k∈Z，解得，k∈Z；∴函数f（x）的单调递减区间为，k∈Z；（2）∵，A∈（0，π），∴；∵sinB=2sinC，∴由正弦定理，得b=2c；又由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，，得，解得c=1．【点评】本题考查了三角恒等变换与正弦、余弦定理的应用问题，是基础题．26．【分析】（Ⅰ）由bsin2A﹣asin（A+C）=0得bsin2A=asinB=bsinA，得2cosA=1，所以．（Ⅱ）由△ABC的面积为及⇒bc=6，由余弦定理得b2+c2﹣2bccosA=9，，即可得．【解答】解：（Ⅰ）由bsin2A﹣asin（A+C）=0得bsin2A=asinB=bsinA……（3分）又0＜A＜π，所以sinA≠0，得2cosA=1，所以……（6分）（Ⅱ）由△ABC的面积为及，得，即bc=6……（8分）又a=3，从而由余弦定理得b2+c2﹣2bccosA=9，所以……（10分）所以……（12分）【点评】本题主要考查了正余弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．27．【分析】（1）由正弦定理及余弦定理即可求b的值；（2）由三角形面积公式即可求出答案．【解答】解：（1）∵bsinC=2sinB，∴由正弦定理得：bc=2b，即c=2，由余弦定理得．∴；（2）∵a=4，c=2，．∴．【点评】本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，考查了三角形面积公式的应用，是基础题．28．【分析】（1）利用数学语言准确叙述出余弦定理的内容．（2）采用坐标法证明，方法是以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，表示出点C和点B的坐标，利用两点间的距离公式表示出|BC|的平方，化简后即可得到a2=b2+c2﹣2bccosA，同理可证b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．【解答】解：（1）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍；或在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a2=b2+c2﹣2bccosA，b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．（2）证明：已知△ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则C（bcosA，bsinA），B（c，0），∴a2=|BC|2=（bcosA﹣c）2+（bsinA）2=b2cos2A﹣2bccosA+c2+b2sin2A=b2+c2﹣2bccosA，同理可证b2=a2+c2﹣2accosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．【点评】此题考查余弦定理及其证明，以及对命题形式出现的证明题，要写出已知求证再进行证明，是一道基础题．29．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和对称轴方程．（2）直接利用单调性求出结果．【解答】解：（1）∵函数=sin（2x﹣）﹣2sin（x﹣）cos（x﹣）=sin（2x﹣）﹣sin（2x﹣）=sin（2x﹣）+cos2x=sin2x•﹣cos2x•+cos2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）．∴，令：，解得：．函数f（x）的最小正周期为π，对称轴方程为：．（2）∵，∴．因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，当时，f（x）取最大值1．又∵，当时，f（x）取最小值．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．30．【分析】（1）根据平面向量的坐标表示与数量积运算求得cosα+sinα的值；（2）由三角函数的平方关系求得sinα、cosα的值，再计算的值．【解答】解：（1）A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），又，∴（cosα﹣3，sinα）•（cosα，sinα﹣3）=cosα（cosα﹣3）+sinα（sinα﹣3）=1﹣3（cosα+sinα）=，∴cosα+sinα=；（2）∵cosα+cosα=，∴1+2sinαcosα=，∴sinαcosα=﹣，又α∈（0，π），∴sinα＞0，cosα＜0；由sin2α+cos2α=1，解得sinα=，cosα=﹣；∴=sinαcos+cosαsin=×+（﹣）×=．【点评】本题考查了平面向量的数量积与同角的三角函数计算问题，是基础题．31．【分析】（1）根据f（x）=•．利用向量坐标的运算即可求解f（x）的解析式，可求周期；（2）根据f（A）=，求解角A，AB=c=2，BC=a=2，正弦定理求解C和B，可得△ABC的面积S．【解答】解：（1）由f（x）=•=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）∴函数f（x）的周期T=；（2）由f（A）=，即sin（2A﹣）=∵0＜A＜π，AB=c=2＞BC=a=2，∴A=正弦定理：，可得sinC=，∵0＜C＜π，∴C=或．当C=，则B=，△ABC的面积S=acsinB=2，当C=，则B=，△ABC的面积S=acsinB=．【点评】本题考查了向量坐标的运算和三角函数的化解，正弦定理的应用以及△ABC的面积的求法，属于基础题．32．【分析】（1）由正弦定理化简已知可得，结合sinA≠0，可求，结合范围0＜B＜π，可求B的值．（2）由余弦定理得12=a2+c2﹣ac，结合基本不等式可求ac≤12，进而利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：（1）∵，∴由正弦定理可得：，∵在△ABC中，sinA≠0，∴，∵0＜B＜π，∴．（2）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，∴12=a2+c2﹣ac，∵a2+c2≥2ac，∴ac≤12，当且仅当时取等号，∴，即△ABC面积的最大值为．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．33．【分析】（Ⅰ）化函数f（x）为正弦型函数，求出f（x）的最大值以及对应x的取值；（II）先求出A的值，再利用正弦、余弦定理求a的值．【解答】解：（Ⅰ）函数=sinxcosx+sin2x﹣=sin2x+（1﹣cos2x）﹣=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），当2x﹣=+2kπ，k∈Z，即x=+kπ，k∈Z时，f（x）取得最大值为1；（II）△ABC中，A∈（0，π），∴2A﹣∈（﹣，），又f（A）=sin（2A﹣）=1，∴2A﹣=，解得A=；根据正弦定理==，∴sinB=，sinC=；又2bsinB+2csinC=bc+a，∴2b•+2c•=bc+a，∴（b2+c2﹣a2）=abc，又cosA==，∴bc=abc，解得a=．【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角恒等变换问题，是基础题．34．【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理可求sinBcosC+sinCsinB=0，结合sinB＞0，可求tanC=﹣1，结合范围0＜C＜π，可求C的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）和余弦定理可求c的值，cosB的值，设BC的中垂线交BC于点E，在Rt△BCD中，可求BD的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵bcosC+csinB=0，∴由正弦定理知，sinBcosC+sinCsinB=0…（2分）∵0＜B＜π，∴sinB＞0，于是cosC+sinC=0，即tanC=﹣1…（4分）∵0＜C＜π∴．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）和余弦定理知，，∴c=5，…（8分）∴，…（10分）设BC的中垂线交BC于点E，∵在Rt△BCD中，，∴==．…（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及三角形中垂线的性质的综合应用，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．35．【分析】（Ⅰ）根据三角形的面积公式和余弦定理组成方程组求得a、b的值；（Ⅱ）由正弦、余弦定理，即可求得sinB的值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，c=2，C=，则△ABC的面积为absinC=ab=，∴ab=4①；又c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=4②，由①②解得a=b=2；（Ⅱ）若a=，则c2=a2+b2﹣2abcosC=+b2﹣2×b×=4，9b2﹣12b﹣20=0，解得b=或b=（不合题意，舍去）；由正弦定理=，求得sinB==×=．【点评】本题考查了三角形面积公式和正弦、余弦定理的应用问题，是基础题．36．【分析】（Ⅰ）直接利用向量垂直的充要条件和余弦定理求出结果．（Ⅱ）利用正弦定理和三角形函数关系式的变换求出结果．【解答】解：（Ⅰ）由得到：AD⊥AC，所以，所以．（2分）在△ABD中，由余弦定理可知，BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cosBAD即AD2﹣8AD+15=0，（4分）解之得AD=5或AD=3，由于AB＞AD，所以AD=3．（6分）（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理可知，，又由，可知（8分）所以（10分）因为，即（12分）【点评】本题考查的知识点：向量垂直的充要条件，余弦定理的正弦定理的应用及相关的运算问题．37．【分析】（1）由已知及三角形面积公式可求bc=6，进而可求a，利用余弦定理即可得解cosA的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用二倍角公式可求sin2A，cos2A 的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵△ABC的面积为3sinA=bcsinA，∴可得：bc=6，∵sinB+sinC=sinA，可得：b+c=，∴由周长为4（+1）=+a，解得：a=4，∴cosA====，（2）∵cosA=，∴sinA==，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=﹣，∴cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．38．【分析】（1）由已知整理可得：tanAtanB﹣1=tanA+tanB，利用三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正切函数公式可求tanC=1，结合范围C∈（0，π）可求C=．（2）由已知，利用正弦定理可得sinB=，利用大边对大角可求B，利用三角形内角和定理可求A，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵（1﹣tanA）（1﹣tanB）=2，整理可得：tanAtanB﹣1=tanA+tanB，∴tanC=tan[π﹣（A+B）]=﹣=﹣=1，∵C∈（0，π）∴C=．（2）∵b=2，c=4，由（1）可得C=，∴由正弦定理，可得：sinB===，∵b＜c，可得：B=，A=π﹣B﹣C，∴△ABC的面积S=bcsinA=sin（+）=．△ABC【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正切函数公式，正弦定理，大边对大角，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．39．【分析】（1）化f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质求出它的最小正周期和单调减区间；（2）由f（A）=求得A的值，再根据平面向量的数量积和等差数列、余弦定理，即可求出a的值．【解答】解：（1）f（x）=sin（2x﹣）+2cos2x﹣1=sin2x﹣cos2x+cos2x=sin（2x+）；……（2分）∴f（x）的最小正周期为；……（3分）由+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z；解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z；……（4分）∴f（x）的单调递减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z；……（5分）（2）由f（A）=sin（2A+）=，A∈（0，π），得2A+=，∴；……（6分）又，∴bc=18；……（7分）又b，a，c成等差数列，∴2a=b+c；……（8分）由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc，∴a2=4a2﹣54；……（10分）解得．……（12分）【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了平面向量数量积、等差数列与余弦定理应用问题．40．【分析】（1）根据题意，由三角函数的恒等变形公式可得f（x）=sin（2x﹣）﹣1，结合正弦函数的图象性质分析可得答案；（2）根据题意，由f（C）=0，即，分析可得C的值，结合正弦定理可得，由余弦定理可得a2+b2﹣ab=3，联立两个式子分析可得a、b的值，即可得答案．【解答】解：（1），由，得∴函数f（x）的单调递增区间为．（2）由f（C）=0，得，又∵0＜C＜π，∴，．又sinB=2sinA，由正弦定理得①；由余弦定理得，即a2+b2﹣ab=3，②由①②解得a=1，b=2．【点评】本题考查三角形中的几何计算，涉及三角函数恒等变形，属于基础题．。

专题4三角函数与解三角形(2018年4月版)2018届高考高三数学(文)全国各地优质模拟试卷分类汇编解析版

专题三角函数与解三角形一、选择题1．【2018河南安阳高三一模】已知函数()s in 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，要得到()co s g x x =的图象，只需将函数()y fx =的图象（）A. 向右平移56π个单位 B. 向右平移3π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向左平移56π个单位【答案】D【解析】∵5c o s sin sin 263x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴应向左平移56π个单位，故选D ． 2．【2018河南安阳高三一模】若1c o s 3s in αα+=，则co s 2sin αα-=（） A. -1 B. 1 C. 25- D. -1或25-【答案】C点睛：在用平方关系22sin c o s 1αα+=求s in ,c o s αα值时，需确定α的范围，以确定它们的正负，本题中由已知条件知1co s 0α+>可得sin 0α>，从而不必再讨论α的范围，这是我们在解题时需要时常注意的，并不是什么时候都要分类讨论的.3．【2018广东佛山高三质检一】把曲线1:2s in 6C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭上所有点向右平移6π个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的12，得到曲线2C ，则2C （）A. 关于直线4x π=对称 B. 关于直线512x π=对称C. 关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D. 关于点(),0π对称【答案】B4．【2018江西临川两校1月联考】已知函数()s in 4f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭和函数()c o s 4g x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间94,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象交于A ， B ， C ，则A B C ∆的面积是（）244【答案】D【解析】∵函数()s in 4f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭和函数()c o s 4g x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间94,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象交于A ，B ，C 三点，令s in c o s 44x x ππππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得244x k ππππ⋅+=+，或5244x k ππππ+=+， k Z ∈，再结合9344x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，解得2x =-， 1-， 0，可得22A ⎛- ⎝⎭、0,2B ⎛- ⎝⎭、0,2C ⎛ ⎝⎭，∴A B C 的面积是122⋅=，故选D.5．【2018贵州遵义高三上学期联考二】函数()()sin f x A x B ωϕ=++的一部分图象如下图所示，则()()113ff -+=（）A. 3B. 32C. 2D.12【答案】C点睛：已知图象求函数()()sin f x A x B ωϕ=++解析式的方法（1）根据图象得到函数的最大值和最小值，由()(){m a x m inA B f x A B fx +=-+=可求得,A B ．（2）根据图象得到函数的周期T ，再根据2Tπω=求得ω．（3）ϕ可根据代点法求解，代点时一般将最值点的坐标代入解析式；也可用“五点法”求解，用此法时需要先判断出“第一点”的位置，再结合图象中的点求出ϕ的值．6．【2018广东茂名高三第一次统测】已知函数f (x )=sin(ωx +ϕ) (ω＞0, 0＜ϕ＜2π)，f (x 1)=1，f (x 2)=0，若|x 1–x 2|min =12，且f (12) =12，则f (x )的单调递增区间为( )A. 15+2,+2,66k kk Z ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ B. 51+2,+2,.66k k k Z ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦C. 51+2,+2,66k k k Z ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ D. 17+2,+2,66k k k Z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】B∴()3f x s in x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭．由+22k ππ- 3x ππ≤+ +2,2k k Z ππ≤∈，得51+2+2,66k x k k Z -≤≤∈．∴ f (x )的单调递增区间为51+2,+2,66k kk Z ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦．选B ． 7．【2018重庆九校联盟高三上学期联考一】将函数s in 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移6π个单位，则所得函数图像的解析式为（）A. 5s in 224x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B. s in 23xy π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. 5s in 212x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D. 7s in 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】函数πs i n 4y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭经伸长变换得1πs in 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再作平移变换得1ππsin 264y x ⎡⎤⎛⎫=--⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 1πs in 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选：B ．8．【2018福建三明高三上学期二模】函数22s in 33,00,1441x y x xππ⎛⎫⎡⎫⎛⎤=∈-⋃⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦⎝⎭+的图像大致是（） A. B.C. D.【答案】A点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题． 9．【2018河南郑州高三质检一】若将函数()1s in 223f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上的每一个点都向左平移3π个单位，得到()y g x =的图象，则函数()y g x =的单调递增区间为（）A. ()3[,]44k k k Zππππ++∈ B. (),44k k kZππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C. ()2,36k k k Zππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦D. ()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】A10．【2018四川广安两校一诊】若将函数s in 2o s 2y x x=+的图象向左平移6π个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（） A. ()212k x k Zππ=-∈B. ()22k xkZππ=+∈C. ()2k x kZπ=∈ D. ()212k xkZππ=+∈【答案】A【解析】函数sin 2s 22sin 23y x x x π=+=+，将函数2s in 23y x π=+的图象向左平移6π个单位长度，可得22+=2633y sin x sin x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图象，令2232x k πππ+=+，求得()212k x k Z ππ=-∈，则平移后的图象的对称轴方程为()212k x k Zππ=-∈，故选A.11．【2018河北波峰中学高三联考】已知函数()()2s in (0,,)2f x w x w πϕϕπ⎡⎤=+>∈⎢⎥⎣⎦的部分图象如图所示，其中()501,2f M N ==，将()f x 的图象向右平移1个单位，得到函数()g x 的图象，则()g x 的解析式是（）A. 2c o s 3y x π= B. 22s in 33y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C. 22s in 33y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. 2co s 3y x π=- 【答案】A点睛：三角函数的解析式求解， ω由周期T 决定， ϕ由特殊点确定，结合图象特点，解得()52s in 36fx x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，左右移动的关键是x 的变化，要提取系数，移动之后得到()2c o s3gx x π=。

专题4三角函数与解三角形(2018年4月版)2018届高考高三数学(理)全国各地优质模拟试卷分类汇编解析版

专题三角函数与解三角形一、选择题1．【2018河北武邑高三上学期五调】已知函数()sin ,,03f x A x x R A πϕ⎛⎫=+∈>⎪⎝⎭， 02πϕ<<， ()y f x =的部分图像如图所示， ,P Q 分别为该图像的最高点和最低点，点PR 垂x 轴于R ， R 的坐标为()1,0，若23PRQ π∠=，则()0f =（）A.124【答案】B2．【2018百校联盟高三1月联考】函数()()()sin 10f x m x m m π=--+≠，则下面 4 个结论: ①函数()f x 图象的对称轴为1,2x k k Z ππ=-+∈②将()f x 图象向右平移1个单位后，得到的函数为奇函数③函数()f x 的单调递增区间为12,12,22k k k Z ππππ⎡⎤--+-+∈⎢⎥⎣⎦④经过点(),3m m 的直线和()f x 图象一定有交点正确结论的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A对于④，由题意得函数()f x 的最大值为2m ，最小值为0，直线经过定点(),3m m ，由于023m m <<，故当直线与x 轴平行时与函数()f x 的图象不想交．故④不正确．综上只有①正确．选A ．3．【2018湖南株洲高三质检一】已知()cos ,(0)f x x ωω=>的图像关于点3,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，且()f x 在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的值为（） A. 1 B. 2 C. 103 D. 23【答案】D【解析】()cos ,(0)f x x ωω=>的图像关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称， 33cos 0,,442w w k k Z ππππ∴=∴=+∈ 解得24,33k w k Z =+∈，令k π≤ωx ≤π+k π，解得k k x w w wπππ≤≤+，k ∈Z ； ∴f （x ）在0,w π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调减函数，∵f （x ）在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调， 2332w w ππ∴≤∴≤ 又∵ω＞0， ∴ω= 23故选D4．【2018贵州遵义高三上学期联考二】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos a c A =，1A =，则sin C 的值为（）A.12 B. 14【答案】B5．【2018贵州遵义高三上学期联考二】若3sin 25πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()sin 2πα-=（）A. 2425-B. 1225-C. 1225D. 2425【答案】A 【解析】∵3sin cos ,,252ππαααπ⎛⎫⎛⎫+==-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴4sin 5α=，∴()4324sin 2sin22sin cos 25525παααα⎛⎫-===⨯⨯-=- ⎪⎝⎭．选A ． 6．【2018广东广州高三上学期统测一】已知函数f (x )=sin(ωx +ϕ) (ω＞0, 0＜ϕ＜2π)，f (x 1)=1，f (x 2)=0，若|x 1–x 2|min =12，且f (12) =12，则f (x )的单调递增区间为( ) A. 15+2,+2,66k k k Z ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ B. 51+2,+2,.66k k k Z ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦C. 51+2,+2,66k k k Z ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ D. 17+2,+2,66k k k Z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】∵ f (x 1)=1，f (x 2)=0，且|x 1 –x 2|min =12， ∴函数()f x 的最小正周期1422T =⨯=， 22πωπ==． ∴()()f x sin x πϕ=+， ∵11cos 222f sin πϕϕ⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，7．【2018湖南长沙一中高三模一】已知在ABC 中， D 是AC 边上的点，且AB AD =， 2BD AD =， 2BC AD =,则sin C 的值为（）18 D. 14【答案】A8．【2018河南中原名校高三上学期联考五】已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，过点,012A π⎛⎫⎪⎝⎭，,23B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则且当5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且()()2sin 46g x mf x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为32，则m 的值为（）A.58 B. 12 C. 58和12 D. 58和12- 【答案】B【解析】由图可知， 143124T πππ=-=，解得πT =,于是2πT πω==，得2ω=.因为22sin 233f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 所以2π2k π,k Z 32πϕ+=+∈，又2πϕ<，故6πϕ=-. 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. ()()22sin 44m?sin 2cos 44m?sin 212266366g x mf x x x x x sin x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=-+-=-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222[2]216sin x m m π⎛⎫=---++ ⎪⎝⎭.③当1m >时，当且仅当sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时， ()g x 取得最大值4m 1-. 由已知得34m 12-=，解得58m =,矛盾. 综上所述： 12m =. 故选B.点睛：已知函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式(1) max min max min,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω=(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ9．【2018重庆九校联盟高三上学期联考一】将函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移6π个单位，则所得函数图像的解析式为（） A. 5sin 224x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B. sin 23x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. 5sin 212x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. 7sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】函数πsin 4y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭经伸长变换得1πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再作平移变换得1ππsin 264y x ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 1πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选：B ．10．【2018四川广安高三一诊】若将函数sin2y x x =的图象向左平移6π个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（）A. ()212k x k Z ππ=-∈B. ()22k x k Z ππ=+∈C. ()2k x k Z π=∈D. ()212k x k Z ππ=+∈【答案】A11．【2018吉林普通高中高三二调】已知函数()()sin cos f x x a x a R =+∈对任意x R ∈都满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数()()sin g x x f x =+的最大值为【答案】C故选C点睛：本题考查函数的对称性及辅助角公式的应用.对于函数的对称性，若函数()y f x =满足()()f a x f a x -=+或()()2f a x f x -=，则函数图象关于直线x a =对称；研究函数()sin cos f x A x B x ωω=+的图象和性质的关键一步是利用辅助角公式将函数的形式变成()()f x x ωϕ=+的形式.12．【2018四川广元高三第一次适应性统考】已知,,,,A B C D E 是函数()sin (0,0)2y x πωϕωϕ=+><<一个周期内的图象上的五个点，如图所示， ,0,6A B π⎛⎫-⎪⎝⎭为y 轴上的点， C 为图象上的最低点， E 为该函数图象的一个对称中心， B 与D 关于点E 对称， CD 在x 轴上的投影为12π，则,ωϕ的值为（）A. 2,3πωϕ==B. 2,6πωϕ==C. 1,23πωϕ== D. 1,212πωϕ==【答案】A【解析】因为,,,,A B C D E 是函数()sin (0,0)2y x πωϕωϕ=+><<一个周期内的图象上的五个点，如图所示，,0,6A B π⎛⎫- ⎪⎝⎭为y 轴上的点， C 为图象上的最低点， E 为该函数图象的一个对称中心， B 与D 关于点E 对称， CD 在x 轴上的投影为12π，所以4126T πππ=⨯+=（），所以2ω=，因为,0,6A π⎛⎫- ⎪⎝⎭所以00323sinπππφφφ=-+=（），＜＜，．故选B ．【点睛】本题考查三角函数的解析式的求法，正确利用函数的图象与性质是解题的关键 13．【2018甘肃张掖高三质检一】设0w >，函数2cos 17y wx π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则w 的最小值是（） A.32 B. 23 C. 43 D. 34【答案】A14．【2018甘肃张掖高三质检一】已知()tan 4cos 2,22ππθπθθ⎛⎫-=-<⎪⎝⎭，则tan2θ=（）A. C. 【答案】D 【解析】()cos tan 4cos 2,4cos 2sin πθθπθθθ⎛⎫-=-∴= ⎪⎝⎭，又2πθ<，故14sin θ=，且0,tan 2πθθ<<∴=22tan tan21tan 1θθθ===-- D. 15．【2018河南郑州高三质检一】若将函数()()3sin 2(0)f x x ϕϕπ=+<<图象上的每一个点都向左平移3π个单位，得到()y g x =的图象，若函数()y g x =是奇函数，则函数()y g x =的单调递增区间为（） A. ()[,]44k k k Z ππππ-+∈ B. ()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ C. ()2,36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦ D. ()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【解析】由题意得()23sin[2]=3sin(2)33g x x x ππϕϕ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭， ∵函数()y g x =是奇函数，∴函数()y g x =的单调递增区间为3,,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．选B ．点睛：解答本题时注意以下两点：（1）函数()s i n ()fx A x ωϕ=+为奇函数,k k z ϕπ⇔=∈；函数()s i n ()f x Ax ωϕ=+为偶函数,2k k z πϕπ⇔=+∈．（2）求函数()3sin2g x x =-的单调增区间时要注意解析式前面的符号的限制，此时把2x 看作一个整体后需要代入正弦函数的单调递减区间．此处容易出错，解题时要注意．16．【2018四川绵阳高三一诊】已知a ，b ，c ∈R ，且满足b 2+c 2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f （x ）=ax+bcosx+csinx 的图象都相切，则+的取值范围是（）A. [﹣2，2]B. ⎡⎣C. ⎡⎣D. ⎡-⎣【答案】B点睛：求有关三角函数的最值或值域问题，主要有以下题型：①化为()sin y A x k ωϕ=++型：一般是利用二倍角公式、两角和差公式、配角公式进行恒等变形成()sin y A x kωϕ=++，再利用三角函数的单调性进行求解； ②形如“2sin sin y a x b x c =++”，一般是利用换元思想（令sin t x =），再利用二次函数的性质进行求解.17．【2018湖南长沙高三二模】已知函数()()2sin 1f x x ωϕ=++（0ω>， 2πϕ<），()1fα=-，()1f β=，若αβ-的最小值为34π，且()f x 的图象关于点,14π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则函数()f x 的单调递增区间是（） A. 2,22k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦， k Z ∈ B. 3,32k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦， k Z ∈C. 52,22k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦， k Z ∈ D. 53,32k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦， k Z ∈【答案】B18．【2018吉林长春高三二模】关于函数2sin 314y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，下列叙述有误的是 A. 其图象关于直线4x π=-对称B. 其图像可由2sin 14y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上所有点横坐标变为原来的13倍得到 C. 其图像关于点11,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D. 其值域为[]1,3- 【答案】C【解析】由已知，该函数关于点11,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称.故选C. 二、填空题19．【2018四川绵阳南山高三二诊】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1sin cos sin cos 3a A C c A A c +=， D 是AC 的中点，且cos 5B =， BD =ABC ∆的最短边的边长为__________．【答案】【解析】因为cos 5B =，所以sinB=5又1sin cos sin cos 3a A C c A A c +=∴正弦定理化简可得：sinAcosCsinA+sinAsinCcosA=13sinC ．∴A=4π ，根据余弦定理得c 2+14b 2bc=26，13sinC ，且sinB 13sinC2229132665105a a a abc ∴+-=∴===， ABC ∆的最短边的边长为故答案为20．【2018安徽皖南八校高三12月联考】已知ABC ∆的面积为S ，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若4cos S C =， a = b =C =___________．【答案】5【解析】4cos S C =， a =b =可得1sin 3sin 4cos 2S ab C C C ===，所以得43tan ,cos 35C C ==，由余弦定理可得222642cos 5c a b ab C =+-=， 5c =，故答案为5. 21．【2018上海浦东新区高三一模】已知函数()sin f x x ω=（0ω>），将()f x 的图像向左平移2πω个单位得到函数()g x 的图像，令()()()h x f x g x=+，如果存在实数m ，使得对任意的实数x ，都有()()()1h m h x h m≤≤+成立，则ω的最小值为________ 【答案】π【解析】由题意可知： ()sin sin cos 22g x x x x ππωωωω⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()()()sin cos 4h x f x g x x x x πωωω⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭又对任意的实数x ，都有()()()1h m h x h m ≤≤+成立， ∴()h m 为()h x 的最小值， ()1h m + 为()h x 的最大值 ∴121n 2πω=⨯⨯， n πω=， n N ∈， 0ω> ∴ω的最小值为π22．【2018江西宜春高三五调】在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 222ABC b c a ∆=+-，则角A =__________（用弧度制表示）. 【答案】3π三、解答题23．【2018河北廊坊八中高三模拟】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分別为,,a b c ，()(),2,sin cos ,sin m b c n B A C =-=且//m n .（1）求角A ；（2）若2sin 1a B C =+=，求ABC ∆ 的面积.【答案】(1) 23A π=(2) (36S =【解析】试题分析：（1）因为//m n ，所以2sin cos sin c B A b C -=，根据正弦定理，它可以化简为1cos 2A =-，故23A π=.（2）因为23,3a A π==，所以利用正弦定理把sin 2sin 1B C +=可以转化为22bc +=，再利用余弦定理有223b c bc =++，解关于,b c 的方程组即可得到,b c ，从而求出面积.另一方面，我们也可以把sin 2sin 1B C +=化成sin 2sin 13B B π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，从而求得cos B =，也就得到sin B =sin C =再利用正弦定理求出b c ==.法2：因为23A π=，所以3C B π=-，代入sin 2sin 1B C +=得sin 2sin sin sin 13B B B B B B π⎛⎫+-=-== ⎪⎝⎭，所以cos B B ==因为sin 2sin 1B C +=，所以sin C =sin sin sin 3b c B C ==，于是可得2sin 2sin b B c C ====(3123sin 234336S bc π=⋅=⋅⋅=24．【2018湖南株洲高三质检一】在ABC ∆中，30,A BC =︒=D 在AB 边上，且BCD ∠为锐角，2,CD BCD =∆的面积为4.（1）求cos BCD ∠的值；（2）求边AC 的长.【答案】(1)5；(2)4. 【解析】试题分析：（1）利用三角形面积公式表示出三角形BCD 面积，把BC ，CD 以及已知面积代入求出sin ∠BCD 的值，即可确定出cos ∠BCD 的值；（2）利用余弦定理列出关系式，把CD ，BC ，以及cos ∠BCD 的值代入求出DB 的值，利用勾股定理的逆定理确定出三角形ACD 为直角三角形，利用含30o 直角三角形的性质求出AC 的长即可．试题解析：（1）∵2BC CD ==， 1sin 42BCD S BC CD BCD ∆=⋅⋅∠=，∴sin BCD ∠=∴cos BCD ∠=；（2）在BCD ∆中， 2,CD BC BCD ==∠=，由余弦定理得： 222216DB CD BC CD BC cos BCD =+-⋅⋅∠=，即4DB =，∵222DB CD BC +=，∴90BCD ∠=︒，即ACD ∆为直角三角形，∵30A =︒，∴24AC CD ==.25．【2018江苏如皋高三第一学期调研三】在ABC ∆中， CA CB CA CB +=-. (1) 求角C 的大小；(2)若CD AB ⊥，垂足为D ，且4CD =，求ABC ∆面积的最小值. 【答案】（1）2C π∠=（2）()min 16ABC S ∆=试题解析：（1）由CA CB CA CB +=-，两边平方22CA CB CA CB +=-，即()()22CA CB CA CB +=-，得到20CA CB ⋅=，即CA CB ⊥。

(完整版)2018年各地高考数学文科分类汇编——三角函数,推荐文档

答案：（全国 3 卷 4）
答案：B （全国 3 卷 6）
答案：C
（北京卷 7）在平面坐标系中，
,
,
（如图），点 P 在其中一段上，角以 O
，则 P 所在的圆弧是
（A）
（B）
（C）
（D）答案：C
,
是圆
上的四段弧
（北京卷 16）已知函数
+
.
（Ⅰ）求
的最小正周期
（Ⅱ）若答案：
在区间
上的最大值为，求的最小值.
（全国 1 卷 8）答案：（全国 1 卷 11）答案：
（全国 2 卷 10）若 f (x) cos x sin x 在[0, a] 是减函数，则 a 的最大值是
A. π 4
答案：C
B. π 2
C. 3π
4
D. π
5π 1
（全国 2 卷 15）已知 tan α
4
，(2x
) 的图象向右平移个单位长度，所得图象对
5
10
应的函数
（A）在区间[
上单调递增（B）在区间[
上单调递减
（C）在区间 4 , 4上] 单调递增（D）在区间
4
, 0] ] 上单调递减
[,] 4
[,
2
2
答案：A
解析： y sin(2x ) 向右移动个单位长度得到
5
10
y sin[（2 ）x - ，] 即 y sin 2x ， 10 5
单增区间为： +2k 2x 2k (k Z )
+k x
2 k (kZ)
2
当4k 0 时，函4数 y sin(2x 在区间[
)
,]

2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形汇编(理)附详解

I 2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形一、选择题1.【2018全国二卷6】在中，，，则 A ．BCD ．2.【2018全国二卷10】若在是减函数，则的最大值是A ．B ．C ．D ．3.【2018全国三卷4】若，则 A ．B ．C ．D ．4．【2018全国三卷9】的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A ．B ．C ．D ．5.【2018北京卷7】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A. 1B. 2C. 3D.46.【2018天津卷6】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A 在区间35[,]44ππ上单调递增 B 在区间3[,]4ππ上单调递减 C 在区间53[,]42ππ上单调递增 D 在区间3[,2]2ππ上单调递减 7．【2018浙江卷5】函数y=||2x sin2x 的图象可能是ABC △cos 2C 1BC =5AC =AB =()cos sin f x x x =-[,]a a -a π4π23π4π1sin 3α=cos2α=897979-89-ABC △A B C ，，a b c ABC △2224a b c +-C =π2π3π4π6II A ． B ．C ．D ．二、填空题1.【2018全国一卷16】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_________． 2．【2018全国二卷15】已知，，则__________．3.【2018全国三卷15】函数在的零点个数为________．4.【2018北京卷11】设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．5．【2018江苏卷7】已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是．6．【2018江苏卷13】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为．7.【2018浙江卷13】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若b=2，A=60°，sin cos 1αβ+=cos sin 0αβ+=sin()αβ+=()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]0π，III 则sin B=___________，c=___________．三．解答题1.【2018全国一卷17】在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .2.【2018北京卷15】在△ABC 中，a=7，b=8，cosB=–17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．3.【2018天津卷15】在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos()6b A a B π=-.（I ）求角B 的大小；（II ）设a=2，c=3，求b 和sin(2)A B -的值. 4.【2018江苏卷16】已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=．（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．5.【2018江苏卷17】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43∶．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．IV 6.【2018浙江卷18】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455-，-）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求c osβ的值． 7.【2018上海卷18】设常数a R ∈，函数f x （）=x x a 2cos 22sin + （1）若f x （）为偶函数，求a 的值；（2）若4f π〔〕1=，求方程1f x =-（）ππ-［，］上的解. 参考答案一、选择题 1.A 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7.D二、填空题1. 2. 3. 3 4.23 5.π6- 6. 9 7.3721；三．解答题 1.解：（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠. 由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以sin ADB ∠=. 由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos 5ADB ∠==. （2）由题设及（1）知，cos sin 5BDC ADB ∠=∠=在BCD △中，由余弦定理得 2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠258255=+-⨯⨯25=. 所以5BC =.2.解：（Ⅰ）在△ABC 中，∵cosB=–17，∴B ∈（π2，π），∴sinB==12-V 由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A，∴．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A=π3．（Ⅱ）在△ABC 中，∵sinC=sin （A+B ）11()72-+．如图所示，在△ABC 中，∵sinC=h BC ，∴h=sin BC C ⋅=7=，∴AC边上的高为33．3.解：在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =．又因为(0π)B ∈，，可得B=π3．（Ⅱ）解：在△ABC 中，由余弦定理及a=2，c=3，B=π3，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =．因为a<c ，故cos A =sin 22sin cos A A A ==21cos22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos2sin AB A B A B -=-=1127-= 4.解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，． 4tan 3α=sin tan cos ααα=4sin cos 3αα=22sin cos 1αα+=29cos 25α=27cos22cos 125αα=-=-VI （2）因为为锐角，所以．又因为，因此．因为，所以，因此，．5.解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH=10．过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD 的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ）， △CDP 的面积为12×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则si nθ0=14，θ0∈（0，π6）．当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sinθ的取值范围是[14，1）．答：矩形ABCD 的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[14，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k>0），则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ） =8000k （sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，π2）．,αβ(0,π)αβ+∈cos()αβ+=sin()αβ+=tan()2αβ+=-4tan 3α=22tan 24tan 21tan 7ααα==--tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+VII 设f （θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，π2），则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′．令()=0f θ′，得θ=π6，当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数；当θ∈（π6，π2）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数，因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值．答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．[来源:学§科§网]6.（Ⅰ）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=. （Ⅱ）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=-. 7. 解：（1）11cos 22sin )(2+-+=x x a x f =12cos 2sin ++x x a ，当)(x f 为偶函数时：)()(x f x f -=，则a a -=，解得0=a 。

(完整版)2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形汇编(理)附详解

2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形一、选择题1.【2018全国二卷6】在中，，，，则 A ．BCD ．2.【2018全国二卷10】若在是减函数，则的最大值是A ．B ．C ．D ．3.【2018全国三卷4】若，则 A ．B ．C ．D ．4．【2018全国三卷9】的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A ．B ．C ．D ．5.【2018北京卷7】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cosθ，sinθ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A. 1B. 2C. 3D.46.【2018天津卷6】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A 在区间35[,]44ππ上单调递增 B 在区间3[,]4ππ上单调递减 C 在区间53[,]42ππ上单调递增 D 在区间3[,2]2ππ上单调递减 7．【2018浙江卷5】函数y=||2x sin2x 的图象可能是ABC △cos 2C =1BC =5AC =AB =()cos sin f x x x =-[,]a a -a π4π23π4π1sin 3α=cos2α=897979-89-ABC △A B C ，，a b c ABC △2224a b c +-C =π2π3π4π6A ．B ．C ．D ．二、填空题1.【2018全国一卷16】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_________． 2．【2018全国二卷15】已知，，则__________．3.【2018全国三卷15】函数在的零点个数为________．4.【2018北京卷11】设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．5．【2018江苏卷7】已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是． 6．【2018江苏卷13】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为．7.【2018浙江卷13】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若b=2，A=60°，则sin B=___________，c=___________．三．解答题1.【2018全国一卷17】在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=o ，45A ∠=o ，2AB =，5BD =.sin cos 1αβ+=cos sin 0αβ+=sin()αβ+=()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]0π，（1）求cos ADB ∠；（2）若22DC =，求BC .2.【2018北京卷15】在△ABC 中，a=7，b=8，cosB=–17．（△）求∠A ；（△）求AC 边上的高．3.【2018天津卷15】在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos()6b A a B π=-.（I ）求角B 的大小；（II ）设a=2，c=3，求b 和sin(2)A B -的值.4.【2018江苏卷16】已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()αβ+=．（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．5.【2018江苏卷17】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43∶．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．6.【2018浙江卷18】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P（3455-，-）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cosβ的值．7.【2018上海卷18】设常数a R ∈，函数f x （）=x x a 2cos 22sin + （1）若f x （）为偶函数，求a 的值；（2）若4f π〔〕1=，求方程1f x =（）ππ-［，］上的解.参考答案一、选择题 1.A 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7.D二、填空题1. 2. 3. 3 4.23 5.π6- 6. 9 7.3721；三．解答题 1.解：（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠. 由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以sin 5ADB ∠=. 由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos ADB ∠== （2）由题设及（1）知，cos sin BDC ADB ∠=∠=在BCD △中，由余弦定理得 2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠25825=+-⨯⨯25=. 所以5BC =.12-2.解：（Ⅰ）在△ABC 中，∵cosB=–17，∴B ∈（π2，π），∴．由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A，∴．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A=π3．（Ⅱ）在△ABC 中，∵sinC=sin （A+B ）11()72-+．如图所示，在△ABC 中，∵sinC=h BC ，∴h=sin BC C ⋅=7，∴AC边上的高为33．3.解：在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B =，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B ．又因为(0π)B ∈，，可得B=π3．（Ⅱ）解：在△ABC 中，由余弦定理及a=2，c=3，B=π3，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故πsin cos()6b A a B =-，可得sin A ．因为a<c ，故cos A =sin 22sin cos A A A ==21cos22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos2sin AB A B A B -=-=1127-= 4.解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．4tan 3α=sin tan cos ααα=4sin cos 3αα=22sin cos 1αα+=29cos 25α=27cos22cos 125αα=-=-,αβ(0,π)αβ+∈又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．5.解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH=10．过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD 的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ）， △CDP 的面积为12×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则sinθ0=14，θ0∈（0，π6）．当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sinθ的取值范围是[14，1）．答：矩形ABCD 的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[14，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k>0），则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ） =8000k （sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，π2）．设f （θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，π2），则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′． 5cos()αβ+=-225sin()1cos ()αβαβ+=-+=tan()2αβ+=-4tan 3α=22tan 24tan 21tan 7ααα==--tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+令()=0f θ′，得θ=π6，当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数；当θ∈（π6，π2）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数，因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值．答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．[来源:学§科§网]6.（Ⅰ）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=. （Ⅱ）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=-. 7. 解：（1）11cos 22sin )(2+-+=x x a x f =12cos 2sin ++x x a ，1)2cos()2sin()(+-+-=-x x a x f 12cos 2sin ++-=x x a当)(x f 为偶函数时：)()(x f x f -=，则a a -=，解得0=a 。

2018年各地高考真题分类汇编(文)-三角函数---教师版(可编辑修改word版)

2 3 330 三角函数和解三角形1.（2018 年全国 1 文科·8）已知函数 f ( x ) = 2 cos 2 x - sin 2x + 2 ，则 BA. f ( x ) 的最小正周期为 π，最大值为 3B. f ( x ) 的最小正周期为 π，最大值为 4C. f (x ) 的最小正周期为2π ，最大值为 3D. f (x ) 的最小正周期为2π ，最大值为 42.（2018 年全国 1 文科·11）已知角的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A (1，a ) ， B (2 ，b ) ，且cos 2= 2，则 a - b = B 3A.15 B. 5C. 25 5D ．13.（ 2018 年全国 1 文科· 16） △ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知b s in C +c sin B = 4a sin B sin C ， b 2 + c 2 - a 2 = 8 ，则△ABC 的面积为．4. （2018 年全国 2 文科·7）．在△ABC 中， cos C = 5 ， BC = 1 ， AC = 5 ，则 AB = AA. 4 2 5B. C ． D ．25.（2018 年全国 2 文科·10）若 f (x ) = cos x - sin x 在[0, a ] 是减函数，则 a 的最大值是 CA.π4B.π 2C. 3π4D. π6．（2018 年全国 2 文科·15）已知 tan(α -5π) = 1，则tan α = 3．4 527.（2018 年全国 3 文科·4）若sin= 1，则cos 2= B3A.89B.79C. - 79 D. - 89229 58.（2018 年全国 3 文科·6）函数 f (x) =tan x1+ tan2x的最小正周期为CA．πB．πC．πD．2π 4 29.（2018 年全国3 文科·11）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a2 +b2 -c2△ABC 的面积为4，则C =CππA.B．2 3ππ C．D．4 610.（2018 年北京文科·7）在平面直角坐标系中， AB, C D, E F , G H 是圆x2+y2= 1上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角以O为始边，OP 为终边，若tan< cos< sin，则P 所在的圆弧是C（A） AB （B）C D（C）E F （D）G H11.（2018 年北京文科·14）若△ABC 的面积为cB=60°；的取值范围是（2，+∞）.a3(a2 +c2 -b2 ) ,且∠C 为钝角，则412.（2018 年天津文科·6）将函数y = sin(2x +图象对应的函数A ππ) 的图象向右平移个单位长度，所得5 107 （A ）在区间[- π π, ] 上单调递增（B ）在区间[- 4 4 π , 0] 上单调递减4π ππ（C ）在区间[ , ] 上单调递增（D ）在区间[ , π] 上单调递减4 2213.（2018 年江苏·7）．已知函数 y = sin(2x +)(- π << π) 的图象关于直线 x = π对称，则的值是．2 2 314. （2018 年江苏·13）在△ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ， ∠ABC = 120︒ ，∠ABC 的平分线交 AC 于点 D ，且 BD = 1，则4a + c 的最小值为 9 ．15.（2018 年浙江·13）在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ．若 a = ，b =2，A =60°，则 sin B =217 ，c = 3 ．16.（2018 年北京文科·16）（本小题 13 分）已知函数 f (x ) = sin 2 x + 3 sin x cos x .（Ⅰ）求 f (x ) 的最小正周期；（Ⅱ）若 f (x ) 在区间[- π , m ] 上的最大值为 3，求m 的最小值.3216.（共 13 分）解：（Ⅰ）f (x ) = 1- cos 2x +3 sin 2x = 3 sin 2x - 1 cos 2x + 1 = sin(2x - π) + 1 ，2 2 2 2 2 6 2所以 f (x ) 的最小正周期为T =2π = π .2（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f (x ) = sin(2x - π) + 1.6 2π π 5π π因为 x ∈[- , m ]，所以2x - ∈[- , 2m - ] .3 6 6 67 π π 要使得 f (x ) 在[- π , m ] 上的最大值为 3 ，即sin(2x - π) 在[- π, m ] 上的最大值为 1.所以2m - ≥ 6 2 3 ，即 m ≥π 2 6 3π .学科&网 3所以m 的最小值为 .317.（2018 年天津文科·16）（本小题满分 13 分）在△ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ．已知 b sin A =a cos(B – π)．6（Ⅰ）求角 B 的大小；（Ⅱ）设 a =2，c =3，求 b 和 sin(2A –B )的值．（16）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分 13 分．（ Ⅰ ）解：在△ ABC 中，由正弦定理 a = sin A bsin B，可得 b sin A = a sin B ，又由 b sin A = a cos(B - π) ，得 a sin B = a cos(B - π) ，即sin B = cos(B - π) ，可得tan B = 6 6 6．又因为 B ∈(0 ，π) ，可得 B = π．3（Ⅱ）解：在△ABC 中，由余弦定理及 a =2，c =3，B = π，有b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B = 7 ，3故 b = ．由 b s in A = a cos(B - π) ，可得 6sin A =．因为 a <c ，故cos A =．因此sin 2 A = 2sin A cos A =4 3 ， cos 2 A = 2 cos 2 A - 1 = 177所以， sin(2 A - B ) = sin 2 A cos B - cos 2 A sin B =4 3 ⨯ 1 - 1⨯ 3 = 3 3 7 2 7 2 1418.（2018 年江苏·16）（本小题满分 14 分）33 727已知,为锐角，tan=4，cos(+) =-5．3 5（1）求cos 2的值；（2）求tan(-)的值．16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．满分14 分．解：（1）因为tan=4 ，tan=sin，所以sin=4 cos．3 cos 3因为sin2+c os2=1，所以cos2=9，25因此，cos 2= 2 cos2- 1 =-7 ．25（2）因为,为锐角，所以+∈(0,π)．又因为cos(+)=-5，所以sin(+)=5=2 5，5因此tan(+)=-2．因为tan=4，所以tan 2=32 tan1 -tan2=-24，7因此，tan(-) = tan[2- (+)] =tan 2- tan(+)=-2．1+ t an 2tan(+) 1119.（2018 年浙江·18）（本题满分14 分）已知角α 的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P（-3，-4）．5 5（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β 满足sin（α+β）= 5，求cosβ 的值．1318.本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力。

2018年全国1卷省份高考模拟文科数学分类汇编--三角函数

2018年全国1卷省份高考模拟文科数学分类汇编---三角函数1.（2018江西模拟）在△ABC 中，若6=a ，b =4，B=2A ，则sinA 的值为（）DA ．36 B ．66 C ．632 D ．33 2.（2018江西模拟）设函数⎪⎭⎫⎝⎛+=42sin )(πx x f )89,0(⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πx ，若方程a x f =)(恰好有三个根，分别为321,,x x x )(321x x x <<，则32132x x x ++的值为（）DA ．πB ．43πC ．23π D ．47π 3.（2018湖南师大附中模拟）函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，||φ<π2)的最小正周期为π，若其图象向左平移π6个单位后得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象(D)(A) 关于点⎝⎛⎭⎫7π12，0对称 (B) 关于点⎝⎛⎭⎫－π12，0对称 (C) 关于直线x ＝7π12对称 (D) 关于直线x ＝－π12对称4.（2018湖南师大附中模拟）点A 从()1，0出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点B ，若点B 的坐标是⎝⎛⎭⎫－35，45，记∠B ＝α，则sin 2α＝__－2425__ . 【解析】由题意可得：sin α＝45，cos α＝－35，∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×⎝⎛⎭⎫－35＝－2425. 5.（2018长沙模拟）设函数 )2<||0,>,0>)(sin()(πϕωϕωA x A x f +=的部分图象如图所示，则)0(f = DA. 3B. 23C.2 D. 16.(2018长沙模拟)在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知22)(b c a c a +-=. (I) 求角B 的值；(II)设c a m -=2，若3=b ，求m 的取值范围.7.（2018武汉模拟）函数()sin(2)sin(2)33f x x x ππ=-++的最小正周期为（）CA ．2πB ．4πC ．πD ．2π 8.（2018武汉模拟）在钝角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4a =，3b =，则c 的取值范围是．(1(5,7)9.（2018武汉模拟）已知函数()2cos2f x x x a =++（a 为常数）（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若()f x 在[0,]2π上有最小值1，求a 的值.解:（1）1()2cos 2)2f x x x a =++2sin(2)6x a π=++222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈∴36k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈∴()f x 单调增区间为[,]36k k ππππ-+，k Z ∈（1）02x π≤≤时，72666x πππ≤+≤1sin(2)126x π-≤+≤∴当2x π=时，()f x 最小值为11a -=∴2a =10.（2018河北邯郸模拟）函数()cos()6f x x ππ=-的图象的对称轴方程为（）CA ．2()3x k k Z =+∈ B ．1()3x k k Z =+∈ C ．1()6x k k Z =+∈ D ．1()3x k k Z =-∈11.（2018河北邯郸模拟）若sin()3sin()αβπαβ+=-+，,(0,)2παβ∈，则t a n t a n αβ=（）AA ．2B ．12 C ．3 D ．1312.（2018河北邯郸模拟）ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin 20sin ab C B =，2241a c +=，且8cos 1B =.（1）求b ；（2）证明：ABC ∆的三个内角中必有一个角是另一个角的两倍. （1）解：∵sin 20sin ab C B =，∴20abc b =，即20ac =，则b 6==.（2）证明：∵20ac =，2241a c +=，∴4a =，5c =或5a =，4c =.若4a =，5c =，则2225643cos 2564A +-==⨯⨯，∴2co s 2c o s 1c o s 2B A A =-=，∴2B A =.若5a =，4c =，同理可得2B C =.故ABC ∆的三个内角中必有一个角的大小是另一个角的两倍.13.（2018安徽黄山模拟）已知,sin 2cos R ααα∈+=,则tan α= . 3或13-14.（2018安徽黄山模拟）已知函数21()2cos 2f x x x =--.(1)求()f x 的单调递增区间；(2)设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()0c f C ==，若sin 2sin B A =，求a b 、的值．解：(1) 211cos 21()2cos 2sin(2)12226x f x x x x x p+=--=--=--…3分由222,262k x k k Z pp p p p -+???，得,()63k x k k Z ppp p -+＃+? ∴函数()f x 的单调递增区间为[,]()63k k k Z p pp p -++?. ………………………6分 (2)由()0f C =，得sin(2)16C p -=， 110,2666C C p p pp <<\-<-<Q ， 2,623C C p p p-==.…………………………………………………………………8分又sin 2sin B A =,由正弦定理得2b a = ①;由余弦定理得2222cos 3c a b ab p=+-，即223a b ab +-=，② 由①②解得1,2a b ==. ……………………12分15.（2018郑州模拟）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．解：（Ⅰ）由正弦定理可得：，从而可得：，即，又B为三角形内角，所以sinB≠0，于是，又A为三角形内角，所以．（Ⅱ）由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，得：，所以，所以≤2+，即△ABC面积的最大值为2+．16.（2018河南开封模拟）在△ABC中，a=2，b=，B=，则A=（）D A．B．C．D．或【分析】由已知及正弦定理可求sinA=的值，由题意可得范围A∈（，π），进而可求A的值．【解答】解：在△ABC中，∵a=2，b=，B=，∴由正弦定理可得：sinA===，∵A∈（，π），∴A=或．故选：D．【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．17.（2018河南开封模拟）若，则sin2α=（）A．B．C．D．【分析】由已知直接利用诱导公式及二倍角的余弦求解．【解答】解：∵，∴sin2α=﹣cos（）=﹣cos2（）=﹣[2﹣1]=1﹣=1﹣2×=．故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及倍角公式的应用，是中档题．18.（2018河南开封模拟）已知函数，若函数F（x）=f（x）﹣3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，x n，且x1＜x2＜x3＜…+x n=（）＜x n，则x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1A． B．445πC．455πD．【分析】函数F（x）=f（x）﹣3的所有零点，转化为函数与y=3的交点问题，求出函数f（x）的对称轴，根据f（x）的对称性得出任意两相邻两零点的和，从而得出答案．【解答】解：函数，令2x﹣=+kπ得x=+，k∈Z，即f（x）的对称轴方程为x=+，k∈Z．∵f（x）的最小正周期为T=π，0≤x≤，当k=30时，可得x=，∴f（x）在[0，]上有30条对称轴，根据正弦函数的性质可知：函数与y=3的交点x1，x2关于对称，x2，x3关于对称，…，即x1+x2=×2，x2+x3=×2，…，x n﹣1+x n=2×（）将以上各式相加得：x1+2x2+2x3+...+2x28+x29=2（++...+）=（2+5+8+ (89)×=455π+x n=（x1+x2）+（x2+x3）+x3+…+x n﹣1+（x n﹣1+x n）=2则x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1（）=455π，故选：C【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质，函数对称性的应用，属于中档题19.（2018广东茂名模拟）已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0＜ϕ＜），f（x1）=1，f（x2）=0，若|x1﹣x2|min=，且f（）=，则f（x）的单调递增区间为（）A． B．．C．D．【分析】设f（x）的周期为T，由f（x1）=1，f（x2）=0，|x1﹣x2|min=，得，在由（）=，求出ϕ的值，结合三角函数的性质求解单调性．【解答】解：设f（x）的周期为T，由f（x1）=1，f（x2）=0，|x1﹣x2|min=，得，由f（）=，得sin（π+ϕ）=，即cosϕ=，又0＜ϕ＜，∴ϕ=，f（x）=sin（πx）．由，得．∴f（x）的单调递增区间为．故选：B．【点评】本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征的应用，解析式的求法．属于基础题．20.（2018广东茂名模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c•cosB﹣b=2a．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）设角A的平分线交BC于D，且AD=，若b=，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）结合题意，由余弦定理可得，变形可得，有C的范围，分析可得答案；（Ⅱ）根据题意，由正弦定理分析可得sin∠CDA的值，即可得∠CDA的值，由三角形内角和定理可得∠ACD的值，进而分析可得△ABC是等腰三角形，且，由三角形面积公式计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，若2c•cosB﹣b=2a，则有，整理得a2+b2﹣c2=﹣ab，，又在△ABC中，0＜C＜π，∴，即角C的大小为；（Ⅱ）由（Ⅰ），在△ADC中，AC=b=，AD=，由正弦定理得，∵在△ADC中，0＜∠CDA＜π，C为钝角，∴，故．∵在△ABC中，AD是角A的平分线，∴，∴△ABC是等腰三角形，，故△ABC的面积．【点评】本题考查三角形中的几何计算，涉及正弦定理、余弦定理的应用，关键是求出C的大小．21.（2018广东佛山模拟）若sin （α+β）cosα﹣cos （α+β）sinα=，则cos2β= ﹣ ．【解答】解：∵sin （α+β）cosα﹣cos （α+β）sinα=sin[（α+β）﹣α]=sinβ=，则cos2β=1﹣2sin 2β=1﹣2•=﹣，故答案为：﹣．22.（2018广东佛山模拟）已知函数f （x ）=2cos 2x+2sinxcosx ．（Ⅰ）求函数f （x ）的最大值；（Ⅱ）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且f （C ）=2，c=，a=2，求△ABC 的面积．（Ⅱ）利用函数的关系式首先求出C 的值，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．【解答】解：（Ⅰ）函数f （x ）=2cos 2x+2sinxcosx ． =cos2x+1+sin2x ， =2sin （2x+）+1，则函数的最大值f （x ）max =3．（Ⅱ）△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且f （C ）=2，则：，解得：C=，由于：c=，a=2，利用余弦定理：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，解得：b=3（负值舍去）．则：．23.（2018河北衡水模拟）若，，则角是（）D A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角24.（2018衡水模拟）已知向量，，若，则（）AA ．B ．C ．D ． 25.（2018河北衡水模拟）在中，角，，的对边分别为，，，且满足sin cos 0θθ⋅<tan 0sin θθ>θ(4sin ,1cos )a αα=-(1,2)b =-2a b ⋅=-22sin cos 2sin cos αααα=-11-27-12-ABC ∆A B C a b c．（1）求角的大小；（2）若，求的周长．解：（1）∵， ∴， ∴，由正弦定理，得，∴，∵，∴．（2）∵∴，由余弦定理，得，即，∴，∴的周长为．26.（2018济南模拟）若sin 4A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，,4A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin A 的值为（）B A ．35 B ．45 C ．35或45 D ．3427.（2018济南模拟）将函数()cos 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位后得到函数()g x 的图象，则()g x （）DA ．为奇函数，在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 B ．为偶函数，在3,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递222(2)()2cos a c a b c abc C --+=B ABC ∆2b =ABC ∆222(2)()2cos a c a b c abc C --+=222(2)cos 2a c b a c b C ac+--⨯=(2)cos cos a c B b C -=2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=2sin cos sin()sin A B B C A =+=sin 0A ≠60B =︒1sin 2ABC S ac B ∆==4ac =2222cos60b a c ac =+-︒2()3a c ac =+-216()a c =+4a c +=ABC ∆6a b c ++=增C ．周期为π，图象关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．最大值为1，图象关于直线2x π=对称28.（2018济南模拟）在平面四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=，30B ∠=，AB =5BC =，则线段BD 的长度为 29.。

2018版高考一轮总复习数学文科模拟演练第3章三角函数解三角形35和答案

(时间：40分钟)1．已知△ABC 的内角A 满足sin2A ＝23，则sin A ＋cos A ＝( )A ．153B ．－153C ．52D ．－53答案 A解析因为sin2A ＝2sin A cos A >0，A 为△ABC 的内角，所以A 是锐角．所以sin A ＋cos A >0，又因为(sin A ＋cos A )2＝1＋sin2A ＝53，所以sin A ＋cos A ＝153.2．已知α是第二象限角，且sin(π＋α)＝－35，则tan2α的值为( )A ．45B ．－237C ．247D ．－247答案 D解析 sin α＝35，cos α＝－45，则tan α＝－34，所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 3．已知sin α＝23，则cos(π－2α)＝( )A ．－53B ．－19C ．19D ．53答案 B解析由诱导公式，得cos(π－2α)＝－cos2α. 因为cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×49＝19，所以cos(π－2α)＝－19.4．函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A ．π2 B ．π C ．3π2D ．2π答案 B 解析∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴T ＝2π2＝π，故选B.5．已知sin α＋2cos α＝3，则tan α＝( ) A ．22B ． 2C ．－22D ．－ 2答案 A解析 ∵sin α＋2cos α＝3，∴(sin α＋2cos α)2＝3. ∴sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2α＝3，∴sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3，∴tan 2α＋22tan α＋2tan 2α＋1＝3，∴2tan 2α－22tan α＋1＝0，∴tan α＝22，故选A. 6．函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．答案π3解析因为y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，所以函数y ＝sin x －3cos x的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移π3个单位长度得到．7．计算：2sin50°－3sin20°cos20°＝________.答案 1解析原式＝2sin 30°＋20° －3sin20°cos20°＝2sin30°cos20°＋2cos30°sin20°－3sin20°cos20°＝co s20°＋3sin20°－3sin20°cos20°＝1.8．已知2cos 2x ＋sin2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________.答案2 1解析 ∵2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝2sin ( 2x ＋π4)＋1，∴A ＝2，b ＝1.9．已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x . (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的单调区间；(3)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，求f (x )的最大值及最小值．解 (1)f (x )＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )－sin2x ＝cos2x －sin2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由2k π－π≤2x ＋π4≤2k π，k ∈Z ，得k π－58π≤x ≤k π－π8，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－58π，k π－18π(k ∈Z )．由2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π，k ∈Z . 得k π－18π≤x ≤k π＋38π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－18π，k π＋38π(k ∈Z )．(3)因为0≤x ≤π2，所以π4≤2x ＋π4≤5π4，－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22，－2≤f (x )≤1.所以当x ＝0时，f (x )有最大值为1，当x ＝38π时，f (x )有最小值为－ 2.10．在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6的值．解 (1)因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35.由正弦定理知AC sin B ＝AB sin C ，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝－cos B cosπ4＋sin B sin π4，又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210. 因此，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620. (时间：20分钟)11．若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin2θ＝378，则sin θ＝( )A ．35B ．45C ．74D ．34答案 D解析因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，cos2θ<0，sin θ>0.因为sin2θ＝378，所以cos2θ＝－1－sin 22θ＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫3782＝－18. 又因为cos2θ＝1－2sin 2θ，所以sin θ＝1－cos2θ2＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－182＝34. 12．若tan α＝34，α是第三象限角，则1－tan α21＋tanα2＝( )A ．－12B ．12C ．2D ．－2答案 D解析由tan α＝34，α是第三象限角，得sin α＝－35，cos α＝－45，所以1－tan α21＋tanα2＝cos α2－sin α2cosα2＋sinα2＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α22⎝⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α2＝1－sin αcos α＝85－45＝－2.13．已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.答案－43解析因为θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，所以θ＋π4为第一象限角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－43.14．已知函数f (x )＝cos x ·sin (x ＋π3 )－3cos 2x ＋34，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．解 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x－3cos 2x ＋34 ＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34＝14sin2x －34(1＋cos2x )＋34 ＝14sin2x －34cos2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，π6，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，即函数f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，14.所以函数f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.。

[推荐学习]2018年高考数学模拟试卷分项第02期专题04三角函数与解三角形

[推荐学习]2018年高考数学模拟试卷分项第02期专题04三角函数与解三角形专题三角函数与解三角形一、选择题1．【2018广西贺州桂梧联考】若函数()f x 与()g x 的图象有一条相同的对称轴，则称这两个函数互为同轴函数.下列四个函数中，与()212f x xx=-互为同轴函数的是（）A. ()()cos 21g x x =-B. ()sin g x x π=C. ()tan g x x =D. ()cos g x x π= 【答案】D2．【2018广西桂梧高中联考】若111sin cos tan26παα+=，则sin2α=（）A. 14-B. 1112-C. 14D. 1112【答案】B 【解析】1113sin cos tan 266παα+==-，∴()21sin cos 1sin212ααα+=+=，∴11sin212α=-.选B 。

3．【2018陕西西安长安区联考】设α为锐角，若1cos 63πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin 212πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为所以 1202AB AF BF =+=+（米），符合设计要求.故选A.5．【2018全国名校联考】已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角所对的边，满足cos cos cos a b cA B C==，则ABC ∆的形状是（） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】由正弦定理得： sin sin sin a b c A B C ==,又cos cos cos a b cA B C==，所以有tan A tanB tanC ==，即B C A ==. 所以ABC ∆是等边三角形. 故选C6．【2018安徽阜阳一中二模】函数的部分图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B∴当时，，，图象在轴上方，故排除C，D，故答案选B．点睛：（1）运用函数性质研究函数图象时，先要正确理解和把握函数相关性质及本身的含义；（2）在运用函数性质时，特别是奇偶性、周期性、对称性、单调性、最值及零点，要注意用好其条件的相互关系，结合特征进行等价转化，如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化等.7．【2018安徽阜阳一中二模】已知，函数在内单调递减，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵∴的单调减区间为∵，函数在内单调递减，且∴取，得∴∴，故答案选B8．【2018安徽阜阳一中二模】已知，则下列结论中正确的是（） A. 函数的周期为B. 将的图像向左平移个单位后得到的图像C. 函数的最大值为D. 的一个对称中心是【答案】D 【解析】选项A ：，则周期，故A 不对；选项D ：根据正弦函数的对称性，令，得，当时，，故D 正确.故选D 9．【2018北京大兴联考】设函数()()sin 2f x x ϕ=+（ϕ是常数），若()2π03f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则π12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 4π3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，π2f ⎛⎫⎪⎝⎭之间的大小关系可能是（）A. π4ππ2312f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B. 4πππ3212f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C. ππ4π2123f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D. π4ππ1232f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】因为()2π03f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以4πsin sin 3ϕϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即1sin sin 2ϕϕϕ=-，即3sin 2ϕϕ=-，即tan ϕ=π6ϕ=-，则()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且 π5π14π5ππsin ,sin 1,sin002623212f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以ππ4π1223f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；若取5π6ϕ=，则()5πsin 2+6f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且 π11π14π7ππsin ,sin 1,sin π02623212f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-==-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以4πππ3212f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；故选B.【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，解决本题的关键是由()2π03f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭确定ϕ值，此题利用代值，利用两角和的正弦公式和同角三角函数基本关系式进行处理，但往往忽视讨论π6ϕ=-和5π6ϕ=两种情况. 10．【2018湖南株洲两校联考】为了得到函数y x=图象，可将函数y=sin3x+cos3x 图象（）A. 向左平移12π个单位B. 向右平移12π个单位 C. 向右平移 4π个单位 D. 向左平移 4π 个单位【答案】B11．【2018江西六校联考】在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆顶点()4,0A -和()4,0C ，顶点B 在椭圆221259x y +=上，则()sin sin sin A CA C +=+（）A. 43B. 53C. 45D. 54【答案】D【解析】根据题意，由椭圆的方程可得a=5，b=3；则其焦点坐标为(−4,0)和(4,0)，恰好是A. C 两点，则AC=2c=8，BC+BA=2a=10；由正弦定理可得： ()sinsin sin sin 5sin sin 4A C A C BC BA A CB AC +++===+；本题选择D 选项.12．【2018河北衡水联考】已知ABC ∆的内角A ， B ， C 的对边分别是a ， b ， c ，且()()222cos cos ab c a B b A abc+-⋅+=，若2a b +=，则c 的取值范围为（）A. ()0,2B. [)1,2C. 1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. (]1,2【答案】B据此有：()222223434312a b c a b ab a b ab ab +⎛⎫=+-=+-=-≥-= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立；三角形满足两边之和大于第三边，则2c a b <+=，综上可得： c 的取值范围为[)1,2. 本题选择B 选项.点睛：1．在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解． 2．正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，尤其是其变形应用时可相互转化．如a 2＝b 2＋c 2－2bccos A 可以转化为sin 2 A ＝sin 2 B ＋sin 2 C －2sin Bsin Ccos A ，利用这些变形可进行等式的化简与证明．13．【2018山西山大附中联考】把函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变），再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A. 2x π=-B. 4x π=-C. 8x π=D. 4x π= 【答案】A选 A.14．【2018辽宁庄河两校联考】在锐角中，角的对边分别为，若，，则的取值范围（） A.B.C.D.【答案】B 【解析】由题意可得：,,,,故答案选点睛：在解三角形中求范围问题往往需要转化为角的问题，利用辅助角公式，结合角的范围求得最后结果。

2011_2018高考全国卷Ⅰ文科数学三角函数、解三角形汇编

新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编三角函数、解三角形一、选择题【2018，8】已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4【2018，11】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -=A ．15B C D ．1【2017，11】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a=2，，则C=( ) A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【2016，4】ABC △的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,．已知a =2c =，2cos 3A =，则b =（）A ．B ．2 D ．3 【2016，6】若将函数π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（）． A ．π2sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．π2sin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【2015，8】函数f (x )=cos(ωx +φ)的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈ B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -+∈ D ．13(2,2),44k k k Z -+∈【2014，7】在函数① y=cos|2x|，②y=|cos x |，③)62cos(π+=x y ，④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③ 【2014，2】若tan 0α>，则（）A ． sin 0α>B ． cos 0α>C ． sin 20α>D ． cos20α>【2013，10】已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5 【2012，9】9．已知0ω>，0ϕπ<<，直线4x π=和54x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（） A ．4πB ．3π C ．2πD ．34π 【2011，7】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（）．A ．45-B ．35-C ．35D ．45【2011，11】设函数ππ()sin 2cos 244f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（） A ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π4x =对称 B ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π2x =对称 C ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π4x =对称 D ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π2x =对称二、填空题【2018，16】△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．【2017，15】已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．【2016，】14．已知θ是第四象限角，且π3sin 45θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．【2013，16】设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______．【2014，16】如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角 45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒．已知山高100BC m =，则山高MN = m ．【2011，15】ABC △中，120B =，7AC =，5AB =，则ABC △的面积为．三、解答题【2015，17】已知,,a b c 分别为ABC △内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =．（1）若a b =，求cos B ；（2）设90B ∠=，且a =ABC △的面积．【2012，17】已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，sin cos c C c A =-．（1）求A ；（2）若2a =，△ABC ，求b ，c ．解析一、选择题【2018，8】已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则BA ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4【2018，11】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -=B A ．15BCD ．1【2017，11】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a=2，，则C=( ) A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B【解法】解法一：因为sin sin (sin cos )0B A C C +-=，sin sin()B A C =+，所以sin (sin cos )0C A A +=，又sin 0C >，所以sin cos A A =-，tan 1A =-，又0A π<<，所以34A π=，又a =2，c=即1sin 2C =．又02C π<<，所以6C π=，故选B ．解法二：由解法一知sin cos 0A A +=)04A π+=，又0A π<<，所以34A π=．下同解法一．【2016，4】ABC △的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,．已知a =2c =，2cos 3A =，则b =（） A ．B．2 D ．3解析：选D ．由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-=，即245243b b +-=，整理得()28113033b b b b ⎛⎫--=-+= ⎪⎝⎭，解得3b =．故选D ．【2016，6】若将函数π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（）． A ．π2sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．π2sin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭解析：选D ．将函数π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期，即向右平移π4个单位，故所得图像对应的函数为ππ2sin 246y x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．故选D ．【2015，8】函数f (x )=cos(ωx +φ)的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为( ) A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈ B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -+∈ D ．13(2,2),44k k k Z -+∈ 解：选D ．依图，153++4242ππωϕωϕ==且，解得ω=π，=4πϕ， ()cos()4f x x ππ∴=+， 224k x k πππππ<+<+由，，解得132244k x k -<<+，故选D ．【2014，7】在函数① y=cos|2x|，②y=|cos x |，③)62cos(π+=x y ，④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③解：选A ．由cos y x =是偶函数可知①y=cos|2x|=cos2x ，最小正周期为π；②y=|cos x |的最小正周期也是π；③中函数最小正周期也是π；正确答案为①②③，故选A【2014，2】若tan 0α>，则（）A ． sin 0α>B ． cos 0α>C ． sin 20α>D ． cos20α>解：选C ．tan α>0，α在一或三象限，所以sin α与cos α同号，故选C【2013，10】已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )．A ．10B ．9C ．8D ．5解析：选D ．由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得cos 2A ＝125．∵A ∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴cos A ＝15．∵cos A ＝2364926b b +-⨯，∴b ＝5或135b =-(舍)．【2012，9】9．已知0ω>，0ϕπ<<，直线4x π=和54x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（） A ．4πB ．3π C ．2πD ．34π【解析】选A ．由直线4x π=和54x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，得()sin()f x x ωϕ=+的最小正周期52()244T πππ=-=，从而1ω=．由此()sin()f x x ϕ=+，由已知4x π=处()sin()f x x ϕ=+取得最值，所以sin()14πϕ+=±，结合选项，知ϕ=4π，故选择A ．【2011，7】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（）．A ．45-B ．35-C ．35D ．45【解析】设(,2)(0)P t t t ≠为角θ终边上任意一点，则cosθ=当0t >时，cos 5θ=；当0t <时，cos 5θ=-．因此223cos 22cos 1155θθ=-=-=-．故选B ．【2011，11】设函数ππ()sin 2cos 244f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（） A ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π4x =对称 B ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π2x =对称 C ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π4x =对称 D ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π2x =对称【解析】因为ππππ()sin 2cos 2224444f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当π02x <<时，02πx <<，故()f x x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减．又当π2x =π22⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭π2x =是()y f x =的一条对称轴．故选D ．二、填空题【2018，16】△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________【2017，15】已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．．0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin tan 22sin 2cos cos ααααα=⇒=⇒=，又22sin cos1αα+=，解得sin 5α=，cos 5α=，cos sin )4210πααα⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭．【基本解法2】0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，tan 2α=，∴角α的终边过(1,2)P ，故sin 5y r α==，cos x r α==，其中r==cos (cos sin )42πααα⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭ 【2016，】14．已知θ是第四象限角，且π3sin 45θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ．解析：43-．由题意sin sin 442θθπππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3cos 45θπ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．因为2222k k θ3ππ+<<π+π()k ∈Z ，所以722444k k θ5ππππ+<-<π+()k ∈Z ，从而4sin 45θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因此4tan 43θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．故填43-．方法2：还可利用ππtan tan 144θθ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭来进行处理，或者直接进行推演，即由题意4cos 45θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故3tan 44θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以tan 4θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭143tan 4θ-=-π⎛⎫+ ⎪⎝⎭．【2013，16】设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______．答案：解析：． ∵f (x )＝sin x －2cos x x－φ)，其中sin φ，cos φ 当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z)时，f (x )取最大值．即θ－φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，θ＝2k π＋π2＋φ(k ∈Z)．∴cos θ＝πcos 2ϕ⎛⎫+⎪⎝⎭＝－sin φ＝5-．【2014，16】16．如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及 75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒．已知山高100BC m =，则山高MN = m ．解：在RtΔABC中，由条件可得AC =，在ΔMAC 中，∠MAC=45°；由正弦定理可得sin60sin 45AM AC =︒︒，故332AM =RtΔMAN 中，MN=AM sin60°=150．【2011，15】ABC △中，120B =，7AC =，5AB =，则ABC △的面积为．【解析】由余弦定理知2222cos120AC AB BC AB BC =+-⋅，即249255BC BC =++，解得3BC =．故11sin1205322ABC S AB BC =⋅=⨯⨯=△．．三、解答题【2015，17】已知,,a b c 分别为ABC △内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =．（1）若a b =，求cos B ；（2）设90B ∠=，且a =ABC △的面积．解析：（1）由正弦定理得，22b ac =．又a b =，所以22a ac =，即2a c =．则22222212cos 2422a a a a cb B a ac a ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===⋅．（2）解法一：因为90B ∠=，所以()2sin 12sin sin 2sin sin 90B A C A A ===-，即2sin cos 1A A =，亦即sin 21A =．又因为在ABC △中，90B ∠=，所以090A <∠<，则290A ∠=，得45A ∠=．所以ABC △为等腰直角三角形，得a c ==112ABC S ==△．解法二：由（1）可知22b ac =，① 因为90B ∠=，所以222a c b +=，② 将②代入①得()20a c -=，则a c ==，所以112ABC S ==△．解：(Ⅰ) 因为sin 2B =2sin A sinC ．由正弦定理可得b 2=2ac ．又a =b ，可得a=2c ， b=2c ，由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac +-==． (Ⅱ)由(Ⅰ)知b 2=2ac ．因为B=90°，所以a 2+c 2=b 2=2ac ．解得a =．所以ΔABC 的面积为1．【2012，17】已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C的对边，sin cos c C c A =-．（1）求A ；（2）若2a =，△ABC，求b ，c ．【解析】（1）根据正弦定理2sin sin a cR A C==，得A R a sin 2=， C R c sin 2=，因为sin cos c C c A =-，所以2sin sin )sin 2sin cos R C R A C R C A =-⋅，化简得C C A C A sin sin cos sin sin 3=-，因为0sin ≠C ，所以1cos sin 3=-A A ，即21)6sin(=-πA ，而π<<A 0，6566πππ<-<-A ，从而66ππ=-A ，解得3π=A ．（2）若2a =，△ABC1）得3π=A ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+=43cos 233sin 21222a bc c b bc ππ，化简得⎩⎨⎧=+=8422c b bc ，从而解得2=b ，2=c ．。