拉普拉斯定理

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拉普拉斯变换公式大全

拉普拉斯变换公式大全1.原始函数的拉普拉斯变换F(s)=L{f(t)}2.常数的拉普拉斯变换对于任意实常数A，其拉普拉斯变换为：L{A}=A/s3.单位冲激函数的拉普拉斯变换单位冲激函数δ(t)的拉普拉斯变换为：L{δ(t)}=14.时延定理时延定理指出，当原始函数向右延时T秒时，其拉普拉斯变换会乘以e^(-sT)。

具体公式如下：L{f(t-T)}=e^(-sT)F(s)5.缩放定理缩放定理指出，当原始函数的变量变为原来的α倍时，其拉普拉斯变换会变为原来的1/α倍。

具体公式如下：L{f(αt)}=1/αF(s/α)6.积分定理积分定理指出，对于原始函数的积分，其拉普拉斯变换可以通过将变换域上的变量s除以s平方。

具体公式如下：L{∫f(t)dt} = 1/sF(s)7.乘积定理乘积定理指出，对于原始函数的乘积，其拉普拉斯变换可以通过将变换域上的变量s替换为s减去相应函数的变换。

具体公式如下：L{f(t)g(t)}=F(s)*G(s)8.指数函数的拉普拉斯变换指数函数e^(at)的拉普拉斯变换为：L{e^(at)} = 1/(s-a)9.幂函数的拉普拉斯变换幂函数t^n的拉普拉斯变换为：L{t^n}=n!/(s^(n+1))10.正弦函数的拉普拉斯变换正弦函数sin(ωt)的拉普拉斯变换可通过欧拉公式和拉普拉斯变换公式进行变换。

具体公式如下：L{sin(ωt)} = ω/(s^2 + ω^2)以上是拉普拉斯变换的一些重要公式。

通过应用这些公式，我们可以将原始函数在时域上的操作转换为变换域上的操作，从而解决各种线性常微分方程、控制系统和信号处理问题。

拉普拉斯定律

应用领域定理
Байду номын сангаас
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有些情形下一个实变量函数在实数域中进行一些运算并不容易，但若将实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，
在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替常系数微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程，以及提供控制系统调整的可能性。
Ⅱ型肺泡上皮细胞合成和释放肺泡表面活性物质（alveolar surfactant），然后分布于肺泡的内衬层的液膜，能随着肺泡的张缩而改变其分布浓度，用来减少肺泡表面张力。表面张力增加，大肺泡容易破裂小肺泡容易萎缩，不利于肺的稳定。
应用
拉普拉斯定律，是工程数学中常用的一种积分定律。它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。
函数变换对和运算变换性质利用定义积分，很容易建立起原函数 f(t)和象函数 F(s)间的变换对，以及 f(t)在实数域内的运算与F(s)在复数域内的运算间的对应关系。
发展历史
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法国数学家、天文学家拉普拉斯(1749─1827年)，主要研究天体力学和物理学。他认为数学只是一种解决问题的工具，但在运用数学时创造和发展了许多新的数学方法。1812年拉普拉斯在《概率的分析理论》中总结了当时整个概率论的研究，论述了概率在选举、审判调查、气象等方面的应用，并导入“拉普拉斯变换”。拉普拉斯变换导致了后来海维塞德发现运算微积分在电工理论中的应用。

拉普拉斯定理

拉普拉斯定理拉普拉斯定理（Laplace's theorem），又称拉氏变换定理（Laplace transform theorem），是拉普拉斯变换理论中的重要定理之一。

它描述了一个函数经过拉普拉斯变换后的性质，被广泛应用于各个科学领域，如物理学、工程学等。

下面将详细介绍拉普拉斯定理的定义、性质以及应用。

首先，我们需要了解拉普拉斯变换。

拉普拉斯变换是一种将一个时间或空间域函数转化为一个复平面上的函数的数学工具。

对于一个函数f(t)，它的拉普拉斯变换表示为F(s)，其中s是复变量。

拉普拉斯变换可以将原函数从时间域转换到频率域，从而方便地进行信号分析和处理。

拉普拉斯定理是指当函数f(t)及其导数在t=0存在时，它们的拉普拉斯变换具有以下性质：1. 常数项性质：如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么f(t)中的常数项c的拉普拉斯变换为c/s。

这意味着拉普拉斯变换可以方便地处理包含常数项的函数。

2. 积分性质：如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么∫[0,t]f(u)du 的拉普拉斯变换为F(s)/s。

这个性质对于计算函数的积分非常有用，并且可以简化一些复杂的积分计算。

3. 初值定理：如果f'(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么f(0)的拉普拉斯变换为lim(s->∞)sF(s)。

这个定理描述了函数f(t)在t=0处的初始值与其拉普拉斯变换之间的关系。

4. 终值定理：如果lim(t->∞)f(t)存在，并且函数f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么lim(s->0)sF(s)为f(t)的终值。

这个定理描述了函数f(t)在t趋近于无穷大时的极限与其拉普拉斯变换之间的关系。

拉普拉斯定理的这些性质可以方便地用于求解微分方程、差分方程以及其他许多数学问题。

它可以将一个复杂的微分方程转化为一个简单的代数方程，从而更加容易通过数值方法求解。

此外，拉普拉斯定理还在控制系统理论中有广泛的应用。

§2.8拉普拉斯(Laplace)定理

从而
a ij b ij c ij ,
c ij a i 1 b1 j a i 2 b 2 j a in b n j ,
i , j 1, 2 , , n .
§2.8 Laplace定理
例2：证明齐次性方程组
ax1 bx1 cx 1 dx1 bx2 ax2 dx2 cx 2 cx 3 dx3 ax3 bx3 dx4 cx 4 bx4 ax4 0 0 0 0
A 1 , A 2 , , A t , 则 D M 1 A 1 M 2 A 2 M t A t. .
§2.8 Laplace定理
注：
① k 1 时，D M 1 A1 M 2 A 2 M t A t 即为行列式 D 按某行展开；
a11 a1 k 0 a k 1 a kk 0 D b1 1 * br 1 0 a 1 1 a 1 k b1 1 b1 r 0 b1 r a k 1 a k k b r 1 b rr b rr
只有零解．其中 a , b , c , d 不全为0．
§2.8 Laplace定理
证：系数行列式
a b c d b a d c D c d a b d c b a a b c d b a d c c d a b d c b a
D
2
a b c d b a d c DD c d a b d c b a
二、拉普拉斯(Laplace)定理
引理
行列式 D 的任一子式 M 与它的代数余子式 A的乘积中的每一项都是行列式 D 的展开式中的一项，而且符号也一致．
§2.8 Laplace定理

拉普拉斯(Laplace)定理

行运用Laplace 定理结果．定理结果．为行列式 D 取定前 k 行运用
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
1 0 例1：计算行列式 D = 1 ： 0
M 1 = 1 2 = −2, 解： 1 0
2 1 4 −1 2 1 0 1 3 1 3 1 M 2 = 1 1 = 0, 1 1
从而
aij bij = cij ,
cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + ⋯ + ainbnj , i , j = 1,2,⋯ , n.
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
例2：证明齐次性方程组：
ax1 + bx2 + cx3 + dx4 bx1 − ax2 + dx3 − cx4 cx − dx − ax + bx dx1 + cx2 − bx3 − ax4 2 3 4 1
c d −a −b b −a d −c
d −c b −a c −d −a b d c −b −a
a2 +b2 +c2 +d2 0 0 0 0 0 0 a2 +b2 +c2 +d2 = 0 0 a2 +b2 +c2 +d2 a2 +b2 +c2 +d2 0 0 0
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
级子式与余子式、一、k 级子式与余子式、代数余子式
定义在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列
k 2个元素 ( k ≤ n)，位于这些行和列的交叉点上的位于这些行和列的交叉点上的
按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列按照原来次序组成一个，称为行列级子式；式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后余下的元素按照原来的次序组成的 n − k 级行列余子式；式 M ′ ，称为 k 级子式 M 的余子式；

拉普拉斯变换积分定理

拉普拉斯变换积分定理拉普拉斯变换积分定理是数学中一项重要的定理，它是拉普拉斯变换的基础之一。

该定理说明了函数的拉普拉斯变换和函数的积分之间的关系，以及如何使用积分来计算函数的拉普拉斯变换。

一、定理的表述设函数f(t)是一个定义在[0,∞)上的连续函数，且满足其在任意有限区间上是有界的，即存在M>0，使得|f(t)|≤M，0≤t<∞。

则函数f(t)的拉普拉斯变换F(s)定义为：其中s为复变量，实部大于一个正数B。

F(s)在该区域内存在，并且是一个解析函数。

设F(s)的部分分式展开式为：其中C为以B为实部的一个大半圆，圆心是原点，R趋近于∞。

二、定理的证明考虑积分：其中R>B。

该积分表示了一个半径为R，以原点为圆心的大半圆的围成区域内的函数值的总和。

由于|f(t)|≤M，因此：R趋近于∞时，由于frac{M}{t}趋近于0，因此第二个积分为0。

对于第一个积分，t>e，因此：当t趋近于0时，由于R>B，因此：因此：在复平面上，我们可以画一个由B和2R组成的矩形，其上下两个边的长度为2R，左侧边在实轴上的值为B，右侧边在实轴上的值为B＋ε。

该矩形内部的点均满足输入函数f(t)的性质，即在有限区间内有界。

现在考虑该矩形上下两侧边上的曲线积分：其中C1为大上半圆弧，C2为大下半圆弧，L1为左边的边缘，L2为右边的边缘。

显然，L1的积分与L2的积分相等，并且为0，因为f(t)在有限区间内有界。

对于C1和C2，当R趋近于∞时，它们的长度趋近于0，因此它们的积分也趋近于0。

因为F(s)在矩形的内部是解析的，因此当矩形的面积越来越大时，其大小相对于所有的积分都是无关紧要的。

于是，最后得到：与f(t)的拉普拉斯变换的定义式相比，上述积分式的分母有一个符号相反。

由于这个积分路径是一个固定的积分路径，因此该符号不会影响定理的正确性。

三、定理的应用拉普拉斯变换积分定理是在计算复杂的函数的拉普拉斯变换时非常有用的工具。

线性代数 1.5 行列式按 k 行(列)展开——拉普拉斯(Laplace)定理

(1)kr A B (1)kr ab.
. #;
请同学们自己计算下面的行列式：
00ab 00ba ba00 ab00
按第 1，2 行展开 a b (1)(12)(34) b a
ba
ab
(a2 b2 )(b2 a2 ) (a 2 b2 )2
. #;
二、小结
按第 i 行展开按第 j 列展开
(a 2 b2 )2 D2(n2) (a 2 b2 )n1 D2
(a2 b2 )n1 a b (a2 b2 )n . ba
证明二：（数学归纳法）见课本 P34 .
. #;
a1 0 b1 0 例计算 4 阶行列式 : 0 c1 0 d1 .
b2 0 a2 0 0 d2 0 c2
. #;
作业
课本 P36：题3 课本 P40：题1. (3) 课本 P41：题5
按第 i1, i2, …, ik 行展开按第 j1, j2, …, jk 列展开
. #;
思考题
a1 a2 a3 a4 a5
b1 b2 b3 b4 b5
计算行列式 c1 c2 0 0 0 .
d1 d2 0 0 0
e1 e2 0 0 0
思考题解答
等于0. 根据拉普拉斯定理，按照第 3, 4, 5 行展开.
B 为 r 阶矩阵, C为任意 k r 或 r k 矩阵, O 为零矩阵.
. #;
例设 A 为 k 阶矩阵, B 为 r 阶矩阵, 且已知 A a, B b, 求行列式 O A 的值.
BC
解将行列式按前 k 行展开 :
O A A (1) B (12k )[(r 1)(r 2)(r k )] BC
. #;
拉普拉斯定理适合于计算形如

拉普拉斯变换积分定理

拉普拉斯变换积分定理拉普拉斯变换积分定理是微积分学中的一个重要定理，它在求解常微分方程和偏微分方程等数学问题中发挥着重要作用。

该定理将一个函数在实数轴上的积分转化为在复数平面上对该函数的拉普拉斯变换的积分，从而简化了复杂函数的计算过程。

本文将对拉普拉斯变换积分定理进行详细介绍和解释。

拉普拉斯变换积分定理是以法国数学家拉普拉斯的名字命名的，他在研究变分法和微分方程时首次引入了这一变换。

拉普拉斯变换的定义是一个积分变换，它将一个函数f(t)映射为另一个函数F(s)，其中s是一个复数变量。

通过对f(t)进行拉普拉斯变换，我们可以将一个在时间域上的函数转换为在频率域上的函数，从而更方便地进行分析和计算。

拉普拉斯变换积分定理的表述是：如果一个函数f(t)在区间[0,∞)上是绝对可积的，即其积分收敛，那么该函数的拉普拉斯变换F(s)在复平面的Re(s)>a的区域内是解析的。

这意味着我们可以通过对f(t)进行拉普拉斯变换，将其转化为一个在复平面上解析的函数，从而可以利用复变函数论的工具来研究该函数的性质。

拉普拉斯变换积分定理的证明涉及到复变函数论和积分学的知识，需要对复数的性质和积分的收敛性有深入的理解。

通过对f(t)在区间[0,∞)上的绝对可积性进行分析，我们可以得出F(s)在Re(s)>a的区域内是解析的结论。

这为我们在复平面上对F(s)的性质和行为进行研究提供了理论基础。

拉普拉斯变换积分定理在控制理论、信号处理、电路分析等领域有着广泛的应用。

通过将微分方程转化为代数方程，我们可以更容易地求解复杂的动态系统，并分析系统的稳定性和性能。

在信号处理中，拉普拉斯变换可以将时域信号转化为频域信号，从而方便地对信号进行滤波和分析。

在电路分析中，我们可以利用拉普拉斯变换简化电路的分析过程，从而更好地理解电路的行为和性能。

拉普拉斯变换积分定理是微积分学中的重要定理，它将函数在实数轴上的积分转化为在复数平面上对函数的拉普拉斯变换的积分，从而简化了复杂函数的计算过程。

拉普拉斯中心极限定理公式

拉普拉斯中心极限定理公式拉普拉斯中心极限定理是概率论中一个重要的极限定理，它揭示了随机变量和正态分布之间的紧密联系。

这个定理给出了一种近似计算概率的方法，不仅在理论上有重要意义，而且在实际应用中也有广泛的应用。

拉普拉斯中心极限定理的表述可以简单地理解为：当样本容量较大时，随机变量的和近似服从正态分布。

具体来说，设X₁，X₂，...，Xₙ是n个相互独立同分布的随机变量，它们的期望值为μ，方差为σ²，那么当n趋向于无穷大时，这n个随机变量的和的标准化形式(Sn - nμ) / √(nσ²) 的分布近似于标准正态分布。

拉普拉斯中心极限定理的证明是基于大数定律和中心极限定理的基础上进行的。

大数定律指出，当样本容量足够大时，随机变量的平均值会趋近于其期望值。

中心极限定理则进一步扩展了大数定律的应用范围，它告诉我们，当样本容量足够大时，随机变量的和的标准化形式会趋近于标准正态分布。

拉普拉斯中心极限定理的应用十分广泛。

在统计学中，我们经常需要进行概率计算，而有些概率分布并不容易直接计算。

利用拉普拉斯中心极限定理，我们可以将复杂的概率计算转化为对标准正态分布的计算，从而简化了问题的求解过程。

这为我们提供了一个有效的近似计算方法。

举个例子来说明拉普拉斯中心极限定理的应用。

假设一批产品的重量服从均值为10kg，标准差为1kg的正态分布。

现在我们想知道从这批产品中随机抽取100个产品，其总重量在11kg到12kg之间的概率是多少？利用拉普拉斯中心极限定理，我们可以将这个问题近似转化为计算标准正态分布在一定区间内的概率。

具体计算过程如下：计算随机变量的期望值和方差。

由于每个产品的重量服从均值为10kg，标准差为1kg的正态分布，所以100个产品的总重量X的期望值为100 * 10 = 1000kg，方差为100 * 1² = 100kg²。

然后，将问题转化为计算标准正态分布的概率。

拉普拉斯定理【行业内容】

拉普拉斯定理【行业内容】拉普拉斯定理，又称作拉普拉斯-斯蒂尔杰斯变换(Laplace-Stieltjes transform)，是概率论中的一项重要定理，它用于计算和描述随机变量的概率分布函数。

该定理是该领域中重要的工具之一，被广泛应用于自然科学领域、工程领域和经济学领域等多个领域。

本文将对该定理进行详细的介绍和说明。

一、拉普拉斯定理的原理拉普拉斯定理可以将随机变量的概率密度函数转化为其在复数域上的解析函数之积。

这里的解析函数指的是具有连续导数的函数，而解析函数之积则指的是一个指数部分为实数，而模长部分为解析函数的复数。

简而言之，该定理指出：随机变量的概率密度函数在某些测度函数下的积分等于其解析函数在一条直线上的积分。

二、拉普拉斯定理在数学和工程领域的应用拉普拉斯定理在工程和自然科学领域中应用广泛。

例如，它可以用于描述电路中电流和电容之间的关系。

在控制论中，拉普拉斯定理可以用来将系统的输入和输出关系表达为一个复变函数。

另外，它还可以应用于信号处理、热力学、流体力学、天文学和计算机科学等领域。

在这些领域中，拉普拉斯变换可以用于解决微分方程、求解滤波器、控制系统及电子电路的反馈问题、信号处理等。

举个例子，拉普拉斯变换可以应用于求解下面这个微分方程：y'' + 2y' + 3y = sin (2t)(Y(s))(s^2 + 2s + 3) = (2)/(s^2 + 4)其中Y(s)是y(t)的拉普拉斯变换，s是实数。

通过拉普拉斯变换，我们可以将一些复杂的微分方程转化为更简单的代数方程，从而更方便地解决问题。

四、总结通过拉普拉斯定理，我们可以将随机变量的概率分布函数转化为更易于计算的复变函数表达式。

虽然这个定理看起来很抽象，但是它在多个研究领域中的应用非常广泛，是求解微分方程、信号处理、控制论、热力学以及流体力学等领域中不可缺少的理论基础。

拉普拉斯终值定理

拉普拉斯终值定理
拉普拉斯终值定理是由法国数学家艾尔芒拉普拉斯于1880年提出的，他曾从实验中发现，他认为离散时间系统有收敛的性质，并以此形式描述：
拉普拉斯终值定理：当极限阶数无限增长时，离散时间系统的状态将趋于一个稳定值，这个稳定值被称为拉普拉斯终值。

简而言之，拉普拉斯终值定理即是：当离散时间系统达到一定步数时，状态将趋近于一个稳定值。

也就是说，在一个时间系统中，如果状态从一开始就在趋于一个稳定状态，那么最终这个状态将会达到这个稳定值。

拉普拉斯终值定理的最初的应用是在传递函数理论中求解系统的稳定状态。

这个定理给永磁同步机等变送器提供了有效的数学解决方案。

传递函数的定义是当系统的输入为零时，输出大小在其输入变化后可以通过一个函数来表示。

而拉普拉斯终值定理就是在解决这个传递函数时，求解系统输出和输入之间的关系。

也就是说，传递函数中系统的输出在一定步数后将趋近于一个稳定值，也就是拉普拉斯终值。

此外，拉普拉斯终值定理也用于求解微分方程，可以用来描述时间变化的过程及其稳定性状态。

通过微分方程的求解，可以得到时间变化的方程式，这样就能够描述离散时间系统的收敛性质。

拉普拉斯终值定理还可以应用在傅里叶变换中，用来求解系统低频、高频输出之间的关系。

傅里叶变换是一种数学分析工具，可以解
决时间域中的积分问题。

拉普拉斯终值定理可以描述傅里叶变换的时域变化，从而描述离散系统的收敛性质。

总之，拉普拉斯终值定理是一种描述时间系统收敛性质的定理，它能够被广泛应用于传递函数、微分方程、傅里叶变换等经典数学概念中。

它提供了一种有效的计算方法来求解复杂的离散时间系统，这在工程设计中有着非常重要的意义。

拉普拉斯定理

例1 计算5阶行列式
1 2 0 0 1 0 1 2 3 0 D 1 3 0 0 0 0 2 2 1 0 0 3 4 1 3
解: 对D的第1,3 行用Laplace定理,在第1,3 行中不为零的二阶子式分别是
1 1 1 1 2 1 N1 1, N2 1, N3 3 2 3 1 0 3 0
它们各自对应的代数余子式是
2 3 0
1 2 3
A1 2 1 0 12, A2 2 2 1 6, A3 0 4 1 3 3 4 1
所以 D=12－6=6.
例2 计算2n阶行列式
a1 a2 an 1 D2 n bn 1 b2 b1 an bn bn an an 1 a2 a1 bn 1 b2 b1
解对的第n,n+1行应用Laplace定理（按第n, n+1 行展开）得
a1 a2 D2 n an bn bn an b2 b1
2 2 (an bn ) D2 n 2
b1 b2 an 1 bn 1 bn 1 an 1 a2 a1
利用这个递推关系式有定理拉普拉斯拉普拉斯定律拉普拉斯变换拉普拉斯定理行列式拉普拉斯展开定理拉普拉斯方程拉普拉斯算子陶哲轩拉普拉斯分布
*
拉普拉斯定理
定义1
在 n 阶行列式中，任取r 行 r 列
2
（ 1 k n}, 位于这些行列交叉处的r 个元素按原来的次序所构成的r阶行列式，称为行列式的一个r 阶子式.在 n 阶行列式中，划去某个r 阶子式M所在的行与列后 ,剩下的 n r 行 n r 列上的元也构成一个 n r阶子式N。我们称这一对子式 M与N互为余子式。
设r 阶子式M是由行列式中第 i1 , i2 ,, ir 行和第j1 , j2 ,, jr 列相交处的元也构成的，而且 N是M的余子式。则称带有正或负号

§8拉普拉斯(Laplace)定理·行列式的乘法规则

即 D 0，故方程组只有零解．
1 1 M2 0 , 1 1 2 4 M5 6 , 0 3 1 4 M6 1 . 1 3
它们的代数余子式为
A1 ( 1)
1 31 2
0 1 0 A ( 1)1 3 2 4 1 1 2 , , 2 1 1 0 1 1 2 5 A ( 1)1 31 2 0 1 0 , 4 , 1 3 0 1 0 2 0 , A ( 1)1 31 2 0 1 0 . 6 0 3 0 1
A3 ( 1) A5 ( 1)
1 3 2 3
411 3
∴ D ( 2) 1 0 ( 2) ( 1) 5 2 0 6 0 ( 1) 0 7
三、行列式乘法法则
设有两个n 级行列式 a11 a12 a1n b11 b12 a21 a22 a2 n b21 b22 D1 , D2
M .
注： ① k 级子式不是唯一的.
k k （任一 n 级行列式有 C n C n个 k 级子式）．
② k 1 时，D中每个元素都是一个1级子式；
k n 时，D本身为一个n级子式．
二、拉普拉斯(Laplace)定理
引理
行列式 D 的任一子式 M 与它的代数余子式 A的乘积中的每一项都是行列式 D 的展开式中的一项，而且符号也一致．
一、k 级子式与余子式、代数余子式
二、拉普拉斯(Laplace)定理
三、行列式乘法法则
一、k 级子式与余子式、代数余子式
定义在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列
2 k ( k n)，位于这些行和列的交叉点上的个元素
按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后余下的元素按照原来的次序组成的 n k 级行列式 M ，称为 k 级子式 M 的余子式；

拉普拉斯定律

0 1 2 1
0 0 1 由第1,2两行可以得到c
s1 s4 2 1 1 2 1 2 0 1 3, s 2 1, s 5 2 1 1 2 0 1 0 0
=6个2阶子式:
2 1 0 1 0 0 0 0 0. 0,
2, s3 0, s6
i1 i 2 ... i k , j1 j 2 ... j k ,
列，这里
，我们把
A ( 1)
( i1 i 2 ... i k ) ( j1 j 2 ... j k )
M
称为S的代数余子式。
定理1(拉普拉斯定理)
在n阶行列式D中任取K个行(或K个列) (1≤K<n),由这K行(列)元素构成的K阶
定理2
的乘积等于一个n阶行列式
D1
c11 c 21 ... c n1
其中 c ij 是 D 1的第i行元素与
D2
的第j列对应元素的乘积之和,
即 c ij a i1b1 j a i 2 b 2 j ... a in b nj (1 i , j n ).
证明:
作2n阶行列式
第七节拉普拉斯定理、行列式的乘法
一、拉普照拉斯定理定义1 在n阶行列式D=
a ij 中任取K行、K列，位于这些行、
列相交处的元素按原来的相对次序构成的K阶行列式S称为D的
一个K阶子式；在D中去掉S所在的行与列，剩下的元素按原来的相对次序构成的n-k阶行列式M称为S的余子式；设S来自D的第 i1 , i 2 ,..., i k 行和第 j1 , j 2 ,..., j k
因为
s3 s5 s6 0
A1 ( 1)

拉普拉斯（Laplace）定理行列式的乘法规则

§8 拉普拉斯(Laplace)定理行列式的乘法规则一、拉普拉斯定理定义9 在一个n 级行列式D 中任意选定k 行k 列(n k ≤)，位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式M ，称为行列式D 的一个k 级子式.在D 中划去这k 行k 列后余下的元素按照原来的次序组成的k n -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式.从定义立刻看出，M 也是M '的余子式.所以M 和M '可以称为D 的一对互余的子式.例1 在四级行列式3100120012104121-=D 中选定第一、三行，第二、四列得到一个二级子式M ：1042=M , M 的余子式为1020='M . 例2 在五级行列式555453525125242322211514131211a a a a a a a a a a a a a a a D =中454342252322151312a a a a a a a a a M = 和54513431a a a a M ='是一对互余的子式.定义10 设D 的k 级子式M 在D 中所在的行、列指标分别是k k j j j i i i ,,,;,,,2121 ，则M 的余子式M '前面加上符号)()(2121)1(k k j j j i i i +++++++- 后称做M 的代数余子式.因为M 与M '位于行列式D 中不同的行和不同的列，所以有下述引理行列式D 的任一个子式M 与它的代数余子式A 的乘积中的每一项都是行列式D 的展开式中的一项，而且符号也一致.定理6(拉普拉斯定理) 设在行列式D 中任意取定了k (11-≤≤n k )个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D .例3 利用拉普拉斯定理计算行列式1310310112104121-=D 从这个例子来看，利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的.这个定理主要是理论方面的应用.二、行列式的乘积法则定理7 两个n 级行列式nnn n n n a a a a a a a a a D2122221112111=和nnn n nn b b b b b b b b b D 2122221112112=的乘积等于一个n 级行列式nnn n nn c c c c c c c c c C 212222111211=,其中ij c 是1D 的第i 行元素分别与2D 的第j 列的对应元素乘积之和：∑==+++=nk kj ik nj in j i j i ij b a b a b a b a c 12211 .这个定理也称为行列式的乘法定理.它的意义到第四章§3中就完全清楚了.。