2015高考数学母题题源系列--专题03_线性规划_文(含解析)

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高考中含参数线性规划问题专题

高考中线性规划专题纵观近几年高考试题, 线性规划问题是每年的必考内容。

题型多以选择题、填空题出现, 它是直线方程在解决实际问题中的运用, 特别是含参数线性规划问题, 与数学中的其它知识结合较多, 题目灵活多变, 要引起高度重视.近三年全国卷是这样考1.(2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T15)若x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥-04001y x y x x 则y x 的最大值为 .2.(2015·新课标全国卷Ⅰ文科·T15)若x,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩则z=3x+y 的最大值为 .3.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T14)若x,y 满足约束条件则z=x+y 的最大值为 . 4.(2015·新课标全国卷Ⅱ文科·T4)若x,y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩则z=2x+y 的最大值为 .5.(2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T9.设x,y 满足约束条件则z=x+2y 的最大值为( )6.(2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T9)设x,y 满足约束条件则z=2x-y 的最大值.( )7.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T9)已知a>0,x,y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩若z=2x+y 的最小值为1,则a= ( )A. B.8.（2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ3）设满足约束条件 , 则的最小值是（）A.7-B.6-C.5-D.3-9. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ14）设x, y 满足约束条件 , 则的最大值为______.10.（2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ15）若满足约束条件则...... .11.（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ15）记不等式组0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为.D 若直线()1y a x D a =+与有公共点，则的取值范围是 .含参问题的探究一、恒过“定点”问题例1.（2009福建, 9）在平面直角坐标系中, 若不等式组（为参数）所表示的平面区域的面积等于2, 则的值为（）A ．.....B.....C.....D.解析: 作出不等式组所围成的平面区域。

高三数学线性规划试题答案及解析

高三数学线性规划试题答案及解析1.设满足则（）A．有最小值2，最大值3B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值．【答案】B【解析】不等式组所表示的平面区域如下图所示：由得，当变化时，它表示一组斜率为-1的平行直线，在轴上的截距为，截距越大越大，截距越小越小，由图可知当直线经过点时在轴上的截距最小，截距不存在最大值；所以，有最小值2，无最大值．故选B．【考点】线性规划．2.设变量满足，则的最大值是 .【答案】3【解析】由约束条件画出可行域如图所示，则目标函数在点取得最大值，代入得，故的最大值为.【考点】线性规划.3.已知满足约束条件，当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为（）A．5B．4C．D．2【答案】B【解析】画出可行域（如图所示），由于，所以，经过直线与直线的交点时，取得最小值，即，代人得，，所以，时，，选B.【考点】简单线性规划的应用，二次函数的图象和性质.4.若变量、满足约束条件，则的最大值等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】作出不等式组所表示的可行域如下图所示，直线交直线于点，作直线，则为直线在轴上的截距，当直线经过可行域上的点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即，故选C.【考点】本题考查线性规划中线性目标函数的最值，属于中等题.5.已知x，y满足条件，则目标函数的最大值为 .【答案】【解析】画出可行域，如下图所示，将目标函数变形为，当取到最大值时，直线的纵截距最大，故将直线向上平移到过点C时，目标函数取到最大值，，得，故．【考点】线性规划．6.若实数x，y满足，则的取值范围是________．【答案】[1,5]【解析】由题可知＝，即为求不等式组所表示的平面区域内的点与点(0，－1)的连线斜率k的取值范围，由图可知k∈[1,5]，即的取值范围是[1,5]．7.已知,若恒成立, 则的取值范围是 .【答案】【解析】要使不等式成立,则有,即,设,则.作出不等式组对应的平面区域如图,平移直线,由图象可知当直线经过点B时,直线的截距最小,此时最大,由,解得,代入得,所以要使恒成立,则的取值范围是,即,【考点】线性规划.8.若变量满足约束条件则的最小值为。

2015年高考线性规划试题研究

２０１５年高考线性规划试题研究山东省平邑第一中学㊀㊀２７３３００㊀㊀武㊀岩㊀㊀线性规划是直线方程在实际问题中的应用，即通过二元一次不等式组表示的平面区域来寻求实际问题的最优解．在高考线性规划问题中，经常围绕以下几类问题进行考察或展开运用，现举几例来说明：１㊀线性规划问题的常规求解常规的线性规划问题求最优解，要明确线性规划问题求解的基本步骤，即在作出可行域，理解目标函数ｚ的意义的基础上，通过平移目标函数所在直线，最终寻求最优解．例１㊀（２０１５年陕西）某企业生产甲㊁乙两种产品均需用Ａ，Ｂ两种原料．已知生产１吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产１吨甲㊁乙产品可获利润分别为３万元㊁４万元，则该企业每天可获得最大利润为（㊀㊀）．Ａ．１２万元㊀Ｂ．１６万元㊀Ｃ．１７万元㊀Ｄ．１８万元甲乙原料限额Ａ（吨）３２１２Ｂ（吨）１２８㊀㊀解析㊀设该企业每天生产甲㊁乙两种产品分别为ｘ㊁ｙ吨，则利润ｚ＝３ｘ＋４ｙ，由题意可列３ｘ＋２ｙɤ１２，ｘ＋２ｙɤ８，ｘȡ０，ｙȡ０，ìîíïïïï该不等式组表示的平面区域如图１所示阴影部分：图１易知目标函数ｚ＝３ｘ＋４ｙ所在直线ｙ＝－３４ｘ＋ｚ４过点Ａ（２，３），即ｘ＝２，ｙ＝３时，ｚ取得最大值，ｚｍａｘ＝３ˑ２＋４ˑ３＝１８，故选Ｄ．实际问题涉及的线性规划问题求解，不同于纯数学形式的线性规划问题，尤其最优解，要遵循实际问题所在的意义．类似教材中钢板张数，人力资源分配，车辆配备等问题要寻求最优整数解等，都不同于一般的数学求实数解问题，这在求解过程中尤其注意．练习㊀（２０１５年天津）设变量ｘ，ｙ满足约束条件ｘ＋２ȡ０，ｘ－ｙ＋３ȡ０，２ｘ＋ｙ－３ɤ０，{则目标函数ｚ＝ｘ＋６ｙ的最大值为（㊀㊀）．Ａ．３㊀㊀㊀Ｂ．４㊀㊀㊀Ｃ．１８㊀㊀㊀Ｄ．４０（答案Ｃ．）２㊀线性规划问题中的参数求解在线性规划问题中，常常遇到借助于不等式组，或者目标函数设置一些参数，利用已知的目标函数ｚ的最值，来求出参数值的题目．这类线性规划问题的求解，方法上仍要遵循线性规划问题的求解步骤，但在求解中涉及到分类讨论，数形结合等数学思想．例２㊀（２０１５年山东）已知ｘ，ｙ满足约束条件ｘ－ｙȡ０，ｘ＋ｙɤ２，ｙȡ０．㊀㊀{若ｚ＝ａｘ＋ｙ的最大值为４，则ａ＝（㊀）．Ａ．３㊀㊀Ｂ．２㊀㊀㊀Ｃ．－２㊀㊀Ｄ．－３图２解析㊀由ｚ＝ａｘ＋ｙ得ｙ＝－ａｘ＋ｚ，借助图形２可知：当－ａȡ１，即ａɤ－１时，在ｘ＝ｙ＝０时有最大值０，不符合题意；当０ɤ－ａ＜１，即－１＜ａɤ０时，在ｘ＝ｙ＝１时有最大值ａ＋１＝４，ａ＝３，不满足－１＜ａɤ０；当－１＜－ａɤ０，即０＜ａɤ１时，在ｘ＝ｙ＝１时有最大值ａ＋１＝４，ａ＝３，不满足０＜ａɤ１；当－ａ＜－１，即ａ＞１时在ｘ＝２，ｙ＝０时有最大值２ａ＝４，ａ＝２，满足ａ＞１；故选Ｂ．本例中参数ａ在目标函数所在直线方程中的意义与斜率有关，即直线的斜率ｋ＝－ａ，故如何利用条件中的函数最大值４求参数ａ成为解题关键，或者说目标函数所在直线经过不等式组所示区域的哪一点取到最大值成为参数ａ分类讨论的依据．３㊀非线性目标函数的最值求解在线性规划问题中，我们常常会遇到一些非线性目标函数的求解问题．例３㊀（２０１５年四川）设实数ｘ，ｙ满足２ｘ＋ｙɤ１０，２＋２ｙɤ１４，ｘ＋ｙȡ６，{则ｘｙ的最大值为（㊀㊀）．Ａ．２５２㊀㊀Ｂ．４９２Ｃ．１２㊀㊀Ｄ．１４２６㊀ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀中学数学杂志㊀２０１５年第７期图３㊀㊀解析㊀不等式所示平面区域如图３，当动点（ｘ，ｙ）在线段ＡＣ上时，此时２ｘ＋ｙ＝１０，据基本不等式知道，非线性目标函数ｚ＝ｘｙ＝１２（２ｘ㊃ｙ）ɤ１２（２ｘ＋ｙ２）２＝２５２，当且仅当ｘ＝５２，ｙ＝５时取等号，对应点落在线段ＡＣ上，故最大值为２５２，选Ａ．本例中，目标函数ｚ＝ｘｙ，借助于直线方程２ｘ＋ｙ＝１０，通过变形ｘｙ＝１２（２ｘ㊃ｙ）联想到不等式２ｘ㊃ｙɤ（２ｘ＋ｙ２）２，从而找到目标函数ｘｙ的最优解．类似非线性目标函数ｘ２＋ｙ２，ｙ－ｂｘ－ａ等形式都要在理解函数意义的基础上寻求最优解．练习㊀（２０１５年新课标卷）若ｘ，ｙ满足约束条件ｘ－１ȡ０，ｘ－ｙɤ０，ｘ＋ｙ－４ɤ０，{㊀则ｙｘ的最大值为㊀㊀㊀．（答案３．）４㊀线性规划问题的综合运用有些数学问题如果转化为线性规划问题会得到简捷的解法，当然这要求对问题有着较深刻的理解，要善于利用转化和划归思想转化为线性规划问题．例４㊀（２０１５年浙江理科）若实数满足ｘ２＋ｙ２ɤ１，则｜２ｘ＋ｙ－２｜＋｜６－ｘ－３ｙ｜的最小值是㊀㊀㊀㊀．解析㊀条件ｘ２＋ｙ２ɤ１表示圆ｘ２＋ｙ２＝１及其内部，易得直线６－ｘ－３ｙ＝０与该圆相离，故｜６－ｘ－３ｙ｜＝６－ｘ－３ｙ，设函数ｚ＝｜２ｘ＋ｙ－２｜＋｜６－ｘ－３ｙ｜，㊀㊀当２ｘ＋ｙ－２ȡ０时，则ｘ２＋ｙ２ɤ１，２ｘ＋ｙ－２ȡ０，{所示平面区域如图４所示，可行域为小的弓形内部，易知目标函数ｚ＝｜２ｘ＋ｙ－２｜＋｜６－ｘ－３ｙ｜＝ｘ－２ｙ＋４，故目标函数ｚ＝ｘ－２ｙ＋４所在直线ｙ＝１２ｘ－ｚ２＋２过点Ａ（３５，４５）时ｚ最小，即ｘ＝３５，ｙ＝４５时，ｚｍｉｎ＝４；图４当ｘ－２ｙ＋４＜０时，ｚ＝｜２ｘ＋ｙ－２｜＋｜６－ｘ－３ｙ｜＝８－３ｘ－４ｙ，可行域为大的弓形内部，同理可知目标函数ｚ＝８－３ｘ－４ｙ所在直线ｙ＝－３４ｘ－ｚ４＋２过点Ａ（３５，４５）时ｚ最小，当ｘ＝３５，ｙ＝４５时，ｚｍｉｎ＝４．综上，｜２ｘ＋ｙ－２｜＋｜６－ｘ－３ｙ｜的最小值为３．本例中，利用直线与圆相离的位置关系，化简｜６－ｘ－３ｙ｜＝６－ｘ－３ｙ，再利用分类讨论的思想将原来的问题化简｜２ｘ＋ｙ－２｜＋｜６－ｘ－３ｙ｜为目标函数ｚ＝ｘ－２ｙ＋４或者ｚ＝８－３ｘ－４ｙ，就将较复杂的问题转化为线性规划问题从而求解．总之，在高考试题中，线性规划问题的考察经常以选择或填空题的形式进行考察，考察问题也常常围绕着以上所列举的对线性规划问题的常规形式㊁求解不等式组或目标函数中所涉及的参数㊁非线性目标函数以及线性规划在其他数学问题中的运用进行考察，但由于可行域的作图，最优解的寻求容易出错，这就要求在平时的教学与学习中要重视线性规划问题，以便在高考考察中不失分．从错误走向正确∗以三角形中三个求解范围问题为例江苏省兴化中学㊀㊀２２５７００㊀㊀张乃贵㊀㊀学生在学习数学中，不可避免地会发生错误．我们对错误要有正确的认识，首先，不要害怕学生犯错误，错误往往是正确认知的前兆，这正是失败乃成功之母，错误是重要的学习资源．其次，要引导学生主动积极地发现错误，发现错误之时，是发展思维的最佳时机．再次，培养学生及时反思纠正错误的习惯，吃一堑长一智．笔者在三角形中三个求解范围问题的教学中，帮助学生发现错误，纠正错误，发展思维，现整理成文与大家交流．１㊀弄清构成三角形的充要条件问题１㊀已知әＡＢＣ的三条边ａ，ｂ，ｃ成等比数列，且ａ＋ｂ＋ｃ＝９，求ｂ的取值范围．学生的典型解法：３６中学数学杂志㊀２０１５年第７期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ㊀∗基金项目：江苏省教育科学十二五规划重点课题高中数学变式教学的实践研究研究成果，批准文号：Ｂ－ａ／２０１３／０２／０３３．。

高考数学母题题源系列专题07 简单线性规划的应用文(含解析) (2)

简单线性规划的应用【母题来源】2015山东卷文–12【母题原题】若,x y满足约束条件13,1y xx yy-≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则3z x y=+的最大值为.【答案】7【考点定位】简单线性规划,属于基础题.【试题解析】画出可行域及直线30x y+=，平移直线30x y+=，当其经过点(1,2)A时，直线的纵截距最大，所以3z x y=+最大为1327z=+⨯=.【命题意图】本题考查了简单线性规划的应用，属于基础题，是简单线性规划问题中最为简单的一种求最值问题，在考查相关基础知识的同时，较好地考查了考生的作图能力、运算能力及数形结合思想．【方法、技巧、规律】解答此类题的基本方法是图解法，步骤有四：①作图——画出可行域所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的一条直线l；②平移——将直线l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；（1）线性目标函数z ax by＝＋中的z不是直线ax by z＋＝在y轴上的截距，把目标函数化为y=x+a zb b可知zb是直线ax by z＋＝在y轴上的截距，要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．线性目标函数z＝ax＋by 取最大值时的最优解与b的正负有关，当b>0时，最优解是将直线ax＋by＝0在可行域内向上方平移到端点(一般是两直线交点)的位置得到的；当b <0时，则是向下方平移． ③求值——解有关方程组求出A 点坐标(即最优解)； ④代入目标函数，求出目标函数的最值．从历年高考题看，最优解往往是可行域的“角点”，在作图的过程中即可确定得到.【探源、变式、扩展】研读教材可以发现，人教B 版必修五3.5.2练习1两道小题，习题3-5A3.4两题均为此类.本章小结巩固与提高B 组13题，是较为典型的变式之一.研究近几年各类高考试卷可以发现，围绕简单线性规划的应用，其变化主要是“目标函数”的形式及其呈现方式，如3z x y =-，yz x=，22z x y =+，z OA OB =⋅等，对于这些变化，应注意正确理解目标函数的意义，灵活操作解题过程，不拘泥于固定模式．【变式】若变量y x ,满足约束条件1,,3215x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则42x y w =⋅的最大值是．【答案】5121．【2015年期中备考总动员高三数学模拟卷【新课标1】】已知实数x，y满足1218yy xx y≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，则目标函数z x y=-的最小值为（）A．2- B．5 C．6 D．7【答案】A2．【2015年期中备考总动员高三文数学模拟卷【四川】】已知不等式组110x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩，表示的平面区域为M ，若直线3y kx k =-与平面区域M 有公共点，则k 的取值范围是（） A.1,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C. 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. 1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】A3．【2015年期中备考总动员高三理数学模拟卷【山东】】已知(,)P x y 在不等式24022x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩所确定的平面区域内，则3x y -的最小值为（）A ．83B ．43C ．23 D ．2【答案】A4．【2015届山东省文登市高三第二次模拟考试】若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥43430y x y x x ，所表示的平面区域被直线34+=kx y 分为面积相等的两部分，则k =（） A.73 B.34 C.37 D.43 【答案】C5．【2015届天津市南开区高三一模】已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-4004y y x y x ，，，则目标函数–2z x y=的最小值是（）．（A ）0 （B ）–6 （C ）–8 （D ）–12 【答案】D6．【2015届江西省鹰潭市高三第一次模拟考试】设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤--,0,,02,063y x y x y x 若目标函数y b ax z +=)0,(>b a 的最大值是12，则22a b +的最小值是（）A ．613B ． 365C ．65D ．3613【答案】D7．【2015届辽宁省朝阳市三校协作体高三下学期第一次模拟考试】变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧->≤≤+-1101x y y x ，则22)2(y x +-的最小值为（）A ．223 B ．5 C ．29D ．5【答案】D8．【2015届贵州省八校联盟高三第二次联考】设x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-+≤-022010y x y x y x ，则m y x z ++=3的最大值为4，则m 的值为（）A.4- B.1 C.2 D.4【答案】A9．【2015年期中备考总动员高三理数学模拟卷【新课标2】】实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤->≤≥,0),1(,1y x a a y x 若目标函数y x z +=的最大值为4，则实数a 的值为．【答案】210．【2015届江西省上饶市重点中学高三六校第一次联考】已知变量x、y满足约束条件20 2104140x yx yx y+-≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则2 1yzx+=+的取值范围是_____．【答案】3（-,-6][,+)2∞⋃∞。

高考数学母题题源系列专题03 定积分的几何意义理(含

定积分的几何意义【母题来源】2015陕西卷理–16【母题原题】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．【答案】1.2【考点定位】1、定积分的计算；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．【命题意图】本题考查抛物线的方程、定积分的几何意义和微积分基本定理等基础知识，意在考查学生数形结合思想的运用能力和运算求解能力．【方法、技巧、规律】在具有对称性的曲边形面积的计算中，要善于根据对称性表达所求的面积，以简化运算．使用微积分基本定理时，要注意检验得出的函数的导数是否等于被积函数．对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号才能积分．【探源、变式、扩展】对于某些定积分的计算，很难找到原函数，甚至没有原函数，此时需要用定积分的几何意义，将其转化为计算平面图形的面积．【变式】【2015广东六校联考】0214x dx--=⎰．【答案】323π+1．【2015福建期末】曲线23y x =与直线1x =，2x =及x 轴围城的封闭图形的面积是（） A ．1 B ．3 C ．7 D ．8 【答案】C2．【2015江西月考】由直线12y =，2y =，曲线1y x=及y 轴所围成的封闭图形的面积是（） A ．2ln 2 B ．2ln21- C ．1ln 22 D ．54【答案】A 【解析】如图3．【2015安徽联考】由直线0y =，x e =，2y x =及曲线xy 2=所围成的封闭的图形的面积为（） A ．32ln 2+ B ．3 C ．223e - D ．e 【答案】B4．【2015山东期末】如图所示，由函数()sin f x x =与函数()cos g x x =在区间30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象所围成的封闭图形的面积为（）A ．321-B ．422-C ．2D ．22【答案】D5．【2015山东期末】由曲线y x =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（）A ．103 B ．4 C ．163D ．6 【答案】C6．【2015内蒙古期中】如图，阴影区域的边界是直线0y =，2x =，0x =及曲线23y x =，则这个区域的面积是（）A ．4B ．8C ．13 D ．12【答案】B7．【2015湖北期中】如图中阴影部分的面积是（）A ．23B ．923-C ．323 D ．353【答案】C8．【2015江西月考】由曲线1xy =，直线y x =，3y =所围成的平面图形的面积为（） A ．329B ．2ln3-C ．4ln3+D ．4ln3- 【答案】D9．【2015河南月考】如图是函数5cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在一个周期内的图象，则阴影部分的面积是（） A ．34 B ．54 C ．32D ．332-【答案】B10．【2015辽宁质检】由曲线2y x =，y x = ）A ．16 B ．13 C ．23D ．1 【答案】B【解析】如图．。

高三数学线性规划试题答案及解析

高三数学线性规划试题答案及解析1.已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点在△ABC内部，则的取值范围是( )A．(1－，2)B．(0，2)C．(－1，2)D．(0，1+)【答案】A【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由题知C（，2），作出直线：，平移直线，由图知，直线过C时，=1－，过B（0,2）时，=3-1=2，故z的取值范围为（1－，2），故选C.【考点】简单线性规划解法，数形结合思想2.若变量、满足约束条件，且的最大值和最小值分别为和，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】作出不等式组所表示的可行域如下图中的阴影部分所表示，直线交直线于点，交直线于点，作直线，则为直线在轴上的截距，当直线经过可行域上的点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即；当直线经过可行域上的点时，此时直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.因此，，故选C.【考点】本题考查线性规划中线性目标函数的最值，属于中等题.3.已知 (x＋y＋4)< (3x＋y－2)，若x－y<λ恒成立，则λ的取值范围是()A．(－∞，10]B．(－∞，10)C．[10，＋∞)D．(10，＋∞)【答案】C【解析】已知不等式等价于不等式x＋y＋4>3x＋y－2>0，即，其表示的平面区域如图中的阴影部分(不含区域边界)所示．设z＝x－y，根据其几何意义，显然在图中的点A处，z取最大值，由得，A(3，－7)，故z<3－(－7)＝10，所以λ≥10.4.若满足条件的整点恰有9个（其中整点是指横，纵坐标均为整数的点），则整数的值为（）A．B．C．D．0【答案】C【解析】不等式组表示的平面区域如图，要使整点恰有9个，即为，，，，，，，，，故整数的值为.故选C.【考点】简单的线性规划，整点的含义.5.已知，则满足且的概率为 .【答案】【解析】因为满足且的平面区域是一个矩形，面积为，而圆的半径为2，面积为，根据古典概型公式得所求的概率为.【考点】古典概型,简单的线性规划，圆的面积公式.6.（3分）（2011•重庆）设m，k为整数，方程mx2﹣kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为（）A．﹣8B．8C．12D．13【答案】D【解析】将一元二次方程的根的分布转化为确定相应的二次函数的图象来处理，根据图象可得到关于m和k的不等式组，此时不妨考虑利用不等式所表示的平面区域来解决，但须注意这不是线性规划问题，同时注意取整点．解：设f（x）=mx2﹣kx+2，由f（0）=2，易知f（x）的图象恒过定点（0，2），因此要使已知方程在区间（0，1）内两个不同的根，即f（x）的图象在区间（0，1）内与x轴有两个不同的交点即由题意可以得到：必有，即，在直角坐标系mok中作出满足不等式平面区域，如图所示，设z=m+k，则直线m+k﹣z=0经过图中的阴影中的整点（6，7）时，z=m+k取得最小值，即z=13．min故选D．点评：此题考查了二次函数与二次方程之间的联系，解答要注意几个关键点：（1）将一元二次方程根的分布转化一元二次函数的图象与x轴的交点来处理；（2）将根据不等式组求两个变量的最值问题处理为规划问题；（3）作出不等式表示的平面区域时注意各个不等式表示的公共区域；（4）不可忽视求得最优解是整点．7.已知实数x，y满足约束条件，则的最小值是（）.A．5B．-6C．10D．-l0【答案】B【解析】当目标函数过点时，目标函数取得最小值，,代入,.【考点】线性规划8.已知实数x，y满足约束条件，则的最小值是（）.A．5B．-6C．10D．-l0【答案】B【解析】当目标函数过点时，目标函数取得最小值，,代入,.【考点】线性规划9.若，则目标函数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】作出不等式组所表示的可行域如下图所示，，令，则，为原点与点之间连线的斜率，直线与直线交于点，直线与直线交于点，显然，直线的倾斜角最大，且为锐角，此时取最大值，即，直线的倾斜角最小，且为锐角，此时，取最小值，即，因此，所以，即目标函数的取值范围是，故选A.【考点】1.线性规划；2.斜率10.在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域是，不等式组所表示的平面区域是. 从区域中随机取一点，则P为区域内的点的概率是_____．【答案】【解析】在同一坐标作出不等式组所表示的平面区域，与不等式组所表示的平面区域，由图可知，的面积为，与重叠的面积为，故从区域中随机取一点，则P为区域内的点的概率为．【考点】几何概率．11.（2011•湖北）已知向量=（x+z，3），=（2，y﹣z），且⊥，若x，y满足不等式|x|+|y|≤1，则z的取值范围为（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，3]C．[﹣3，2]D．[﹣3，3]【答案】D【解析】∵=（x+z，3），=（2，y﹣z），又∵⊥∴（x+z）×2+3×（y﹣z）=2x+3y﹣z=0，即z=2x+3y∵满足不等式|x|+|y|≤1的平面区域如下图所示：由图可知当x=0，y=1时，z取最大值3，当x=0，y=﹣1时，z取最小值﹣3，故z的取值范围为[﹣3，3]故选D12.已知变量满足约束条件若取整数，则目标函数的最大值是 .【答案】5【解析】由变量满足约束条件如图可得可行域的范围．目标函数取到最大值则目标函数过点A（2,1）即.【考点】1.线性规划问题.2.列举对比数学思想.13.若，满足约束条件，则的最大值是( )A．B．C．D．【答案】（C）【解析】，满足约束条件如图所示. 目标函数化为.所以z的最大值即为目标函数的直线在y轴的截距最小.所以过点A最小为1.故选（C）.【考点】1.线性规划的知识.2.数学结合的数学思想.14.原点和点（2，﹣1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则实数a的取值范围是（）A．0≤a≤1B．0＜a＜1C．a=0或a=1D．a＜0或a＞1【答案】B【解析】∵原点和点（2，﹣1）在直线x+y﹣a=0两侧，∴（0+0﹣a）（2﹣1﹣a）＜0，即a（a﹣1）＜0，解得0＜a＜1，故选：B．15.已知变量x，y满足约束条件则的最大值为．【答案】【解析】画出可行域及直线（如图所示）.平移直线，当其经过点时，【考点】简单线性规划16.已知为坐标原点，两点的坐标均满足不等式组设与的夹角为，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】画出可行域，如图所示，当点A,B分别与点重合时，向量与的夹角最大，且是锐角，，则，又，故当时，取到最大值为．【考点】1、二元一次不等式表示的平面区域；2、向量的夹角；3、同角三角函数基本关系式. 17.某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为是()A. 31200元B. 36000元C. 36800元D. 38400元【答案】C【解析】设租A型车x辆，B型车y辆时租金为z元则z＝1600x＋2400yx、y满足画出可行域观察可知，直线过点A(5,12)时纵截距最小，∴z＝5×1 600＋2 400×12＝36800，min故租金最少为36800元．选C.18.若实数满足，则的值域是()A．B．C．D．【答案】B【解析】令，则，做出可行域，平移直线，由图象知当直线经过点是，最小，当经过点时，最大，所以，所以，即的值域是，选B.19.设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点，满足．求得m的取值范围是()A．(－∞，)B．(－∞，)C．(－∞，)D．(－∞，)【答案】C【解析】作出不等式组表示的平面区域(如图)若存在满足条件的点在平面区域内，则只需点A(－m，m)在直线x－2y－2=0的下方，即－m－2m－2>020.设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by(a>0，b>0)的最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．1D．2【答案】A【解析】作出满足条件的可行域(如图)∵a>0，b>0，∴直线ax+by=0的图象过二、四象限，∴平移直线ax+by=0知，目标函数z=ax+by在点M(4，6)处取得最大值12，∴4a+6b=12，即2a+3b=6设m=，把2a+3b=6代入m=并整理得，b2－2b+2－2m=0∵方程有正数解，∴Δ=4－4(2－2m)≥0m≥∴的最小值为21.若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数的取值范围是_______.【答案】.【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图中的阴影部分所表示，直线交轴于点，交直线于点，当直线与直线在线段（不包括线段端点）时，此时不等式组所表示的区域是一个四边形，将点的坐标代入直线的方程得，即，将点的坐标代入直线的方程得，因此实数的取值范围是.【考点】线性规划22.设不等式组表示的区域为，不等式表示的平面区域为.(1)若与有且只有一个公共点，则＝;(2)记为与公共部分的面积，则函数的取值范围是.【答案】,【解析】当直线与圆相切时，与有且只有一个公共点，此时解得．当或时，与有公共部分，为弓形．其面积为扇形面积减去三角形面积．当直线过圆心时，扇形面积最大，三角形面积最小，即弓形面积最大，但直线不过所以函数的取值范围是．【考点】直线与圆位置关系23.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为 .【答案】10【解析】作出可行域如图，令，则，作出目标直线，经过平移，当经过点时，取得最大值，联立得，代入得，∴【考点】线性规划。

2015高考数学一轮复习简单的线性规划问题

【互动探究】本例题(2)中，若约束条件中的m=0，那么当函数 y=2x+h的图象上存在点满足约束条件时，实数h的取值范围是 _______. 【解析】画出可行域，由图形可知，当函数y=2x+h的图象经过点(0,3)和点(3,0)时，和区域只有一个公共点，此时 h的值分别等于2和-8，因此要使函数图象上存在点满足约束条件，实数h的取值范围应是-8≤h≤2. 答案：-8≤h≤2
值为-7.
y 表示(x,y)与定点 x2 y P(-2,0)连线的斜率，所以当(x,y)在点A(0,1)时 z 取到 x2 1 最大值 . 2
(2)选B.画出可行域(如图)，又 z
(3)画出可行域如图所示,
当直线y=a(x+1)过点A(0,4)时,a取得最大值为4,当直线y=a(x+1)过点 B(1,1)时,a取得最小值为 1 .所以
(A) 10
(B) 2 2

(C)8
(D)10
【解析】选D.画出不等式组对应的可行域如图所示：易得A(1，1)， OA＝ 2， B(2，2)， C(1，3)， OB 2 2， OC 10，
故|OP|的最大值为 10，即x2+y2的最大
值等于10，故选D.
4.某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和
0 x 4，所花运费为 0 y 8， 20x 10y 100，
z=400x+300y.画出可行域(如图)，由图可知当直线z=400x+300y经过
点A(4,2)时，z取最小值，最小值
为zmin=2 200，故选B.
2x y 0, 5.不等式组表示的平面区域的面积为______. x 3, y 0

高考题分类线性规划(附答案详解)

2015高考题分类线性规划（附答案详解）1. （安徽11）若,x y 满足约束条件：02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩；则x y -的取值范围为_____【解析】x y -的取值范围为_____[3,0]-约束条件对应ABC ∆边际及内的区域：3(0,3),(0,),(1,1)2A B C则[3,0]t x y =-∈-2. 北京2．设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A ）4π （B ）22π- （C ）6π（D ）44π-【解析】题目中⎩⎨⎧≤≤≤≤2020y x 表示的区域如图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此4422241222ππ-=⨯⋅-⨯=P ，故选D 。

【答案】D3.福建9.若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为（）A ．21 B ．1 C ．23D ．2 考点：线性规划。

难度：中。

分析：本题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可行域的图形，含参的直线要能画出大致图像。

解答：可行域如下：所以，若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则mm 23≥-，即1≤m 。

4.广东5. 已知变量,x y 满足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为( )()A 12 ()B 11 ()C 3 ()D -1 【解析】选B 约束条件对应ABC ∆边际及内的区域：53(2,2),(3,2),(,)22A B C则3[8,11]z x y =+∈5.江苏14．（2012年江苏省5分）已知正数a b c ，，满足：4l n 53l n b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba的取值范围是 ▲ ．【答案】[] 7e ，。

高中数学线性规划考点解析及例题辅导.docx

简单的线性规划及实际应用高考要求1了解二元一次不等式表示平面区域2了解线性规划的意义并会简单的应用知识点归纳1 二元一次不等式表示平面区域:在平面直角坐标系中，已知直线Ax+By+C=0，坐标平面内的点P（ x0， y0）B＞ 0 时，① Ax0+By0+C＞ 0，则点 P（x0，y0）在直线的上方；② Ax0+By0+C＜0，则点 P（ x0，y0）在直线的下方对于任意的二元一次不等式 Ax+By+C＞0（或＜ 0），无论 B 为正值还是负值，我们都可以把 y 项的系数变形为正数当 B＞ 0 时，① Ax+By+C＞0 表示直线 Ax+By+C=0 上方的区域；② Ax+By+C＜ 0 表示直线Ax+By+C=0 下方的区域2 线性规划 :求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（ 1）根据题意，设出变量x、 y；（ 2）找出线性约束条件；（ 3）确定线性目标函数z=f（ x，y）；（ 4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（ 5）利用线性目标函数作平行直线系f（ x， y） =t（t 为参数）；（6）观察图形，找到直线 f（x， y） =t 在可行域上使 t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案题型讲解例 1 求不等式｜ x － 1｜ +｜ y － 1｜≤ 2 表示的平面区域的面积分析：依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积解：｜ x － 1｜ +｜ y － 1｜≤ 2 可化为x 1 x 1 x 1x 1 y 1 或 y 1 或 y 1或 y 1x y 4xy 2x y 2xy 0其平面区域如图∴面积 S= 1×4× 4=82点评：画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界例 2某人上午 7 时，乘摩托艇以匀速 v n mi le/h （ 4≤ v ≤ 20）从 A 港出发到距 50 n mi le的 B 港去，然后乘汽车以匀速w km/h （30≤ w ≤ 100）自 B 港向距 300 km 的 C 市驶去应该在同一天下午 4 至 9 点到达 C 市设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是x h 、 y h（ 1）作图表示满足上述条件的x 、y 范围；（ 2）如果已知所需的经费 p=100+3×（ 5－ x ） +2×（ 8－ y ）（元），那么 v 、w 分别是多少时走得最经济 ?此时需花费多少元 ?分析：由 p=100+3 ×（ 5－x ） +2 ×（ 8－ y ）可知影响花费的是 3x+2y 的取值范围解：（ 1）依题意得 v=50， w=300， 4≤v ≤ 20， 30≤ w ≤100yx∴ 3≤ x ≤ 10， 5 ≤ y ≤25①22y由于乘汽车、摩托艇所需的时间和 x+y 应在149至14个小时之间，9即 9≤x+y ≤ 14②因此，满足①②的点（ x ，y ）的存在范围是2.5图中阴影部分（包括边界）o 39 10 14 x（ 2）∵ p=100+3 ·（ 5－ x ）+2·（ 8－y ），∴ 3x+2y=131－ p设 131－ p=k ，那么当 k 最大时， p 最小在通过图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为－ 3的直线 3x+2y=k 中，使 k 值最大的直线必通过点（10，4），即当 x=10，y=4 时， p 最小2此时， v=12 5， w=30 ， p 的最小值为 93 元点评：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式然后分析要求量的几何意义例 3 某矿山车队有 4 辆载重量为 10 t 的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 t 的乙型卡车，有9 名驾驶员此车队每天至少要运 360 t 矿石至冶炼厂已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次，乙型卡车每辆每天可往返 8次甲型卡车每辆每天的成本费为252 元，乙型卡车每辆每天的成本费为 160 元问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?分析：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解解：设每天派出甲型车x 辆、乙型车 y 辆，车队所花成本费为z 元，那么x y 9y106x 6 8 y 360x4, x N7y7, y Nz=252x+160y，作出不等式组所表示的平面区域，如图作出直线l 0：252x+160y=0，把直线 l 移，使其经过可行域上的整点，且使在距最小观察图形，可见当直线5x+4y=30即可行域，x+y=9向右上方平o4xy 轴上的截252x+160y=t 经过点（ 2， 5）时，满足上述要求此时， z=252 x+160 y 取得最小值，即x=2， y=5 时， z min=252× 2+160 ×5=1304答：每天派出甲型车 2 辆，乙型车 5 辆，车队所用成本费最低点评：用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系 f（x， y） =t 的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点4 x y6例 4设z2x y ，式中变量x, y 满足条件2 x y4求 z 的最大值和最小值解：由已知，变量x, y 满足的每个不等式都表示一个平面区域，因此①所表示的区域为如图中的四边形ABCD当 z2x y 过点C时，z 取最小值，当 z 2 x y 过点 A 时，z取最大值即当 x3, y1时， z min7 ，当 x 5, y 1时， z max11例 5某糖果公司得一条流水线不论生产与否每天都要支付3000 元的固定费用，它生产 1 千克糖果的成本是 10 元，而销售价是每千克 15 元，试问：每天应生产并销售多少糖果，才能使收支平衡，即它的盈亏平衡点是多少？解：设生产x 千克的糖果的成本函数为y( x) 3000 10x ，销售 x 千克的糖果的收益函数为 R(x)15x ，在同一坐标系中画出它们的图像，交点的横坐标就是反映盈亏平衡的产销量，令 y( x) R( x) ，得 3000 10x 15x得 x600. ，即每天必须生产并销售600 千克糖果，这条流水线才能做到盈亏平衡，从图中可以看出，当x600 时，R( x) y( x)，表示有盈利，反之则表示亏本例6某人有楼房一幢，室内面积共180m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18，可住游客 5 名，每名游客每天住宿费为40 元，小房间每间面积为15，可住游客 3 名，每名游客每天住宿费为50 元，装修大房间每间需要1000 元，装修小房间每间需要 600 元，如果他们只能筹 8000 元用于装修，且游客能住满客房，它应隔出大房间和小房间各多少间，能获最大利益？解：设应隔出大房间x 间和小房间y 间，则18 x15 y180 且 1000 x600 y8000，x, y Ny目标函数为z 5 40x 350 y ，10作出约束条件可行域：5根据目标函数z 200x150 y ，作出一组平行线200x150 y to5x 当此线经过直线18x15 y 180和直线 1000 x 600 y8000的交点 C(20,60) ，77此直线方程为 200x150y 13000，7由于 ( 20,60) 不是整数，所以经过整点（3，8）时，才是他们的最优解，同时经过整点(0,12) 7 7也是最优解即应隔大房间 3 间，小房间8 间，或者隔大房间0 间，小房间12 间，所获利益最大如果考虑到不同客人的需要，应隔大房间 3 间，小房间8 间小结：简单的线性规划在实际生产生活中应用非常广泛，主要解决的问题是：在资源的限制下，如何使用资源来完成最多的生产任务；或是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的资源来完成如常见的任务安排问题、配料问题、下料问题、布局问题、库存问题，通常解法是将实际问题转化为数学模型，归结为线性规划，使用图解法解决图解法解决线性规划问题时，根据约束条件画出可行域是关键的一步一般地，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的非封闭平面区域第二是画好线性目标函数对应的平行直线系，特别是其斜率与可行域边界直线斜率的大小关系要判断准确通常最优解在可行域的顶点（即边界线的交点）处取得，但最优整数解不一定是顶点坐标的近似值它应是目标函数所对应的直线平移进入可行域最先或最后经过的那一整点的坐标学生练习1下列命题中正确的是A 点（ 0，0）在区域x+y≥ 0 内B 点（ 0， 0）在区域x+y+1<0 内C 点（ 1， 0）在区域 y>2x 内D 点（ 0， 1）在区域 x－ y+1>0 内解析：将（ 0， 0）代入 x+y≥ 0，成立答案： A2 设动点坐标（ x， y）满足（x－y+1）（x+y－ 4）≥ 0，x≥3，则x2+y2的最小值为A 5B10C 17D 10 2解析：数形结合可知当x=3， y=1 时， x2+y2的最小值为 10答案： D3 不等式组 2 x－y+1≥ 0，x－ 2y－1≤0， x+y≤1表示的平面区域为A 在第一象限内的一个无界区域B 等腰三角形及其内部C 不包含第一象限内的点的一个有界区域D 正三角形及其内部答案： B4 点（－ 2， t）在直线2x－ 3y+6=0 的上方，则 t 的取值范围是 ______解析：（－ 2，t）在 2x－3y+6=0 的上方，则2×（－ 2）－ 3t+6＜0，解得 t＞2答案： t＞2 33x0,5 不等式组y0,表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有4x 3 y12____________个解析：（ 1，1），（ 1，2），（ 2，1），共 3 个答案： 36 （ x－1）2+（ y－ 1）2=1 是｜ x－ 1｜ +｜ y－ 1｜≤ 1 的__________ 条件A 充分而不必要B 必要而不充分C 充分且必要D 既不充分也不必要答案： B7（ x+2y+1）（x－ y+4 ）≤ 0 表示的平面区域为A B C D答案： B8 画出以 A（ 3，－ 1）、 B（－ 1， 1）、 C（1， 3）为顶点的△ ABC 的区域（包括各边），写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z=3x－ 2y 的最大值和最小值分析：本例含三个问题：①画指定区域；②写所画区域的代数表达式——不等式组；③求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值解：如图，连结点A、B、 C，则直线AB 、BC、 CA 所围成的区域为所求△ABC 区域直线 AB 的方程为x+2y－ 1=0 ， BC 及 CA 的直线方程分别为x－y+2=0 ， 2x+y－ 5=0在△ ABC 内取一点P（ 1， 1），分别代入 x+2y－ 1， x－ y+2， 2x+y－ 5得 x+2y －1>0 ， x －y+2>0， 2x+y － 5<0因此所求区域的不等式组为x+2y － 1≥0， x － y+2≥ 0， 2x+y － 5≤ 0作平行于直线 3x －2y=0 的直线系 3x － 2y=t （ t 为参数），即平移直线 y=3x ，观察图形2可知：当直线 y= 3x － 1 t 过 A （ 3，－ 1）时，纵截距－1 t 最小此时 t 最大， t max =3× 3－ 222 2× （－ 1） =11；当直线 y=3x － 1 t 经过点 B （－ 1， 1）时，纵截距－ 1 t 最大，此时 t 有最小值为 t min =2223×（－ 1）－ 2× 1=－5因此，函数 z=3x － 2y 在约束条件x+2y － 1≥0， x － y+2≥ 0， 2x+y － 5≤ 0 下的最大值为 11，最小值为－ 59 某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g 含蛋白质 6 个单位，含淀粉 4 个单位，售价 0 5 元，米食每 100 g 含蛋白质 3 个单位，含淀粉 7 个单位，售价 0 4 元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有 8 个单位的蛋白质和 10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少 ?解：设每盒盒饭需要面食x （百克），米食 y （百克），所需费用为 S=0 5x+0 4y ，且 x 、 y 满足 6x+3y ≥ 8， 4x+7 y ≥ 10， x ≥ 0，y ≥ 0，由图可知，直线 y=－ 5x+ 5 S 过 A （ 13，14 ）时，纵421515截距5S 最小，即 S 最小2故每盒盒饭为面食13百克，米食14百克时既科学又费用最少151510 配制 A 、B 两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂 A 种药需甲料 3 mg ，乙料 5mg ；配一剂 B 种药需甲料 5 mg ，乙料 4 mg 今有甲料 20 mg ，乙料 25 mg ，若 A 、 B 两种药至少各配一剂，问共有多少种配制方法?解：设 A 、 B 两种药分别配 x 、y 剂（ x 、 y ∈N ），则x ≥ 1，y ≥ 1， 3x+5 y ≤ 20， 5x+4y ≤ 25上述不等式组的解集是以直线x=1 ，y=1， 3x+5y=20 及 5x+4y=25 为边界所围成的区域，这个区域内的整点为（1，1）、（1，2）、（ 1，3）、（ 2，1）、（ 2，2）、（ 3，1）、（ 3，2）、（4， 1）所以，在至少各配一剂的情况下，共有8 种不同的配制方法．11 某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：资金单位产品所需资金（百元）月资金供应量（百元）空调机洗衣机成本30 20 300劳动力（工资）5 10 110单位利润68试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少 ?解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x 、 y 台，总利润是 P ，则 P=6x+8 y ，由题意有30x+20y ≤ 300， 5x+10y ≤110，x ≥ 0， y ≥0， x 、 y 均为整数由图知直线 y=－ 3 x+ 1P 过 M （ 4，9）时，纵截距最大这时 P 也取最大值 P max =6× 4+848×9=96 （百元）故当月供应量为空调机4 台，洗衣机 9 台时，可获得最大利润 9600 元12 实系数方程 f （ x ）=x 2 +ax+2b=0 的一个根在（0，1）内，另一个根在（ 1， 2）内，求：（ 1）b 2的值域；a 1 （ 2）（ a － 1） 2+（b － 2） 2 的值域；（ 3） a +b －3 的值域解：由题意知f （ 0）＞ 0， f （ 1）＜ 0， f （ 2）＞ 0 b ＞0， a+b+1＜ 0， a+b+2＞ 0 如图所示A （－ 3， 1）、B （－ 2， 0）、C （－ 1， 0）又由所要求的量的几何意义知，值域分别为（1）（1 ， 1）；（ 2）（ 8， 17）；（ 3）（－ 5，4－4）。

高三数学线性规划试题答案及解析

高三数学线性规划试题答案及解析1.已知满足约束条件，当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为（）A．5B．4C．D．2【答案】B【解析】画出可行域（如图所示），由于，所以，经过直线与直线的交点时，取得最小值，即，代人得，，所以，时，，选B.【考点】简单线性规划的应用，二次函数的图象和性质.2.若、满足，且的最小值为，则的值为（）A．2B．C．D．【答案】D【解析】若，没有最小值，不合题意；若，则不等式组表示的平面区域如图阴影部分，由图可知，直线在点处取得最小值，所以，解得.故选D.【考点】不等式组表示的平面区域，求目标函数的最小值，容易题.3.若变量x，y满足约束条件，则z＝2x＋y－4的最大值为()A．－4B．－1C．1D．5【答案】C【解析】画出不等式组表示的平面区域(如图中的阴影部分所示)及直线2x＋y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(2,1)(该点是直线x＋y－3＝0与y＝1的交点)时，相应直线在y 轴上的截距最大，此时z＝2x＋y－4取得最大值，最大值为z＝2×2＋1－4＝1，因此选C.max4.（3分）（2011•重庆）设m，k为整数，方程mx2﹣kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为（）A．﹣8B．8C．12D．13【答案】D【解析】将一元二次方程的根的分布转化为确定相应的二次函数的图象来处理，根据图象可得到关于m和k的不等式组，此时不妨考虑利用不等式所表示的平面区域来解决，但须注意这不是线性规划问题，同时注意取整点．解：设f（x）=mx2﹣kx+2，由f（0）=2，易知f（x）的图象恒过定点（0，2），因此要使已知方程在区间（0，1）内两个不同的根，即f（x）的图象在区间（0，1）内与x轴有两个不同的交点即由题意可以得到：必有，即，在直角坐标系mok中作出满足不等式平面区域，如图所示，设z=m+k，则直线m+k﹣z=0经过图中的阴影中的整点（6，7）时，=13．z=m+k取得最小值，即zmin故选D．点评：此题考查了二次函数与二次方程之间的联系，解答要注意几个关键点：（1）将一元二次方程根的分布转化一元二次函数的图象与x轴的交点来处理；（2）将根据不等式组求两个变量的最值问题处理为规划问题；（3）作出不等式表示的平面区域时注意各个不等式表示的公共区域；（4）不可忽视求得最优解是整点．5.变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x－y的取值范围是()A．[－，6]B．[－，－1]C．[－1,6]D．[－6，]【答案】A【解析】作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x－y＝0，并向上、下平移，由图可得，当直线过点A时，z＝3x－y取最大值；当直线过点B时，z＝3x－y取最小值．由，解得A(2,0)；由，解得B(，3)．∴zmax ＝3×2－0＝6，zmin＝3×－3＝－.∴z＝3x－y的取值范围是[－，6]．6.已知x，y，满足，x≥1，则的最大值为．【答案】【解析】因为，又因为构成一个三角形ABC及其内部的可行域,其中而表示可行域内的点到定点连线的斜率，其范围为，所以当时，取最大值为【考点】线性规划，函数最值7.已知点与点在直线的两侧，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知，，画出可行域，如图所示.表示可行域内的点与定点连线的斜率，观察图形可知的斜率最大为，故选.【考点】简单线性规划的应用，直线的斜率计算公式.8.给定区域：,令点集在上取得最大值或最小值的点,则中的点共确定______个不同的三角形.【答案】25【解析】把给定的区域:画成线性区域如图：，则满足条件的点在直线上有5个，在直线上有2个，能组成不同三角形的个数为.【考点】线性规划、组合问题.9.已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定. 若为D上的动点，点A的坐标为，则的最大值为（）A．3B．4C．D．【答案】B【解析】画出区域D如图所示，则为图中阴影部分对应的四边形上及其内部的点，又,所以当目标线过点时，,故选B.【考点】线性规划10.设是定义在上的增函数，且对于任意的都有恒成立.如果实数满足不等式,那么的取值范围是【答案】(9,49)【解析】是定义在上的增函数，且对于任意的都有恒成立.所以可得函数为奇函数.由可得，..满足m,n如图所示.令.所以的取值范围表示以原点O为圆心，半径平方的范围，即过点A,B两点分别为最小值，最大值，即9和49.【考点】1.线性规划的问题.2.函数的单调性.3.函数的奇偶性.4.恒成立的问题.11.设变量x，y满足约束条件,则目标函数z＝2y－3x的最大值为( ) A．－3B．2C．4D．5【答案】C【解析】满足约束条件的可行域如图所示．因为函数z＝2y－3x，所以zA ＝－3，zB＝2，zC＝4，即目标函数z＝2y－3x的最大值为4，故选C. [【考点】线性规划.12.如图,已知可行域为及其内部,若目标函数当且仅当在点处取得最大值,则的取值范围是______.【答案】【解析】根据线性规划的知识,可知目标函数的最优解都是在可行域的端点,所以根据题意,故填【考点】线性规划13.设实数x、y满足，则的最大值是_____________.【答案】9【解析】由可行域知,当时,【考点】线性规划14.若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值是()A．－6B．－2C．0D．2【答案】A【解析】曲线y ＝|x|与y ＝2所围成的封闭区域如图阴影部分所示，当直线l ：y ＝2x 向左平移时，(2x －y)的值在逐渐变小，当l 通过点A(－2,2)时，(2x －y)min ＝－6.15. 已知x,y 满足条件则的取值范围是( )A ．[,9]B ．(-∞,)∪(9,+∞)C ．(0,9)D ．[-9,-]【答案】A【解析】画出不等式组表示的平面区域(如图),其中A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2).表示区域内的点与点(-4,-7)连线的斜率.由图可知,连线与直线BD 重合时,倾斜角最小且为锐角;连线与直线CD 重合时,倾斜角最大且为锐角.k BD =,k CD =9,所以的取值范围为[,9].16. 已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a≤b≤4c －a ，cln b≥a ＋cln c ，则的取值范围是________．【答案】[e,7] 【解析】由题意知作出可行域(如图所示)．由得a ＝，b ＝ c. 此时max＝7. 由得a ＝，b ＝.此时＝＝e.所以∈[e,7]．min17.已知,满足约束条件,若的最小值为,则（）A．B．C．D．【答案】Ａ【解析】先根据约束条件画出可行域，设，将最值转化为轴上的截距，当直线经过点B时，最小，由得：，代入直线得，故选Ａ．【考点】简单线性规划．18.已知实数、满足约束条件，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】作出不等式组所表示的可行域如下图的阴影部分所示，联立得点，联立得点，作直线，则为直线在轴上截距的倍，当直线经过可行域上点时，此时直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即；当直线经过可行域上的点时，此时直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即，故的取值范围是，故选D.【考点】简单的线性规划问题19.设变量满足约束条件,则的最大值为( )A．6B．3C．D．1【答案】A【解析】这是线性规划的应用.目标函数是线性约束条件所确定的三角形区域内一点与原点的连线的斜率.先画出三条直线所围成的三角形区域，可知，直线与直线的交点坐标(1,6)代入计算得.【考点】线性规划的应用.20.已知是由不等式组所确定的平面区域，则圆在区域内的弧长为________．【答案】【解析】作出可行域及圆如图所示，图中阴影部分所在圆心角所对的弧长即为所求．易知图中两直线的斜率分别是，得，，得得弧长 (为圆半径)．【考点】1.线性规划；2.两角和的正切公式；3.弧长公式.21.设变量x,y满足约束条件其中k(I)当k=1时，的最大值为______；(II)若的最大值为1，则实数k的取值范围是_____.【答案】1，．【解析】目标函数的可行域如图所示：不妨设（由可行域可知，），即，它表示一条开口向上的抛物线，且a的值越大，抛物线的开口就越小． (I)当时，由图象可知当抛物线图象经过点时，有最大值1； (II)表示一条经过点且斜率为k的直线及直线下方的区域，结合(I)可知，当抛物线经过点A时，有最大值1．从而可知，要使有最大值1，抛物线在变化过程中必先经过可行域内的点A，考虑临界状态，即直线与抛物线相切于点，此时，切线斜率，从而有k的取值范围是．【考点】线性规划．22.设满足约束条件，则的最大值为____________.【答案】6【解析】如图所示，在线性规划区域内，斜率为的直线经过该区域并取最大值时，该直线应过点，因此的最大值为6.【考点】线性规划的目标函数最值23.已知实数x，y满足且不等式axy恒成立，则实数a的最小值是．【答案】.【解析】由画出如图所示平面区域,因为区域中,恒成立得恒成立, 令则，函数在上是减函数，在上是增函数所以函数最大值为要使恒成立只要，所以的最小值是.【考点】线性规划,不等式及函数极值.24.已知x，y满足，则的最小值是（）A．0B．C．D．2【答案】B【解析】因为，x，y满足，所以，，画出可行域，表示A(-1,-1)到可行域内的点距离的平方，所以，其最小值为A到直线=0的距离的平方，=。

高考数学母题题源系列专题线性规划文(含解析)

线性规划【母题原题】如图，C ∆AB 及其内部的点组成的集合记为D ，(),x y P 为D 中任意一点，则23z x y =+的最大值为．1．若变量x ，y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2z x y =+的最大值等于（）A ．7B ．8C ．11D ．102．在平面直角坐标系中，若(),x y P 满足44021005220x y x y x y ≤≤≥-+⎧⎪+-⎨⎪-+⎩，则2x y +的最大值是（）A ．2B ．8C ．14D ．163．设变量x ，y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数23z x y =+的最小值为（）A ．6B ．7C ．8D ．234．实数x ，y 满足不等式组002x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数3z x y =+的最小值是（）A ．12-B ．8-C ．4-D ．05．若变量x ，y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2z x y =+的最大值等于（）A ．7B ．8C ．10D ．116．设x ，y 满足约束条件20250230x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则32z x y =+的最大值为（）A ．8B ．9C ．28D ．297．已知实数x ，y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为（）A ．3B ．32 C ．32- D ．3- 8．已知实数x ，y 满足不等式组103x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2x y +的最大值为（）A ．2B ．3C ．4D ．59．设z x y =+，其中实数x ，y 满足2006x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则z 的最大值为（）A ．12B ．6C ．0D ．6-10．已知实数x ，y 满足约束条件5000x y x y y ++≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则24z x y =+的最大值是（）A ．2B ．0C ．10-D ．15-1.若,x y 满足约束条件13,1y x x y y -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则3z x y =+的最大值为 .【变式】若变量y x ,满足约束条件1,,3215x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则42x y w =⋅的最大值是．1已知实数x ，y 满足1218y y x x y ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，则目标函数z x y =-的最小值为（）A ．2-B ．5C ．6D ．73．已知(,)P x y 在不等式24022x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩所确定的平面区域内，则3x y -的最小值为（）A ．83B ．43C ．23 D ．25．已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-4004y y x y x ，，，则目标函数–2z x y =的最小值是（）．（A ）0（B ）–6 （C ）–8（D ）–129．实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤->≤≥,0),1(,1y x a a y x 若目标函数y x z +=的最大值为4，则实数a 的值为．。

高三数学线性规划试题答案及解析

高三数学线性规划试题答案及解析1.已知实数满足约束条件，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线：，平移直线，由图知，当直线：过点A时，z取最小值，解得A（，），故=-14，故选A.考点: 简单线性规划2.不等式组的解集为D,有下面四个命题：，，，其中的真命题是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】画出可行域，如图所示，设，则，当直线过点时，取到最小值，，故的取值范围为，所以正确的命题是，选B．【考点】1、线性规划；2、存在量词和全称量词．3.设x，y满足约束条件，则z＝(x＋1)2＋y2的最大值为()A．80B．4C．25D．【答案】A【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．(x＋1)2＋y2可看作点(x，y)到点P(－1,0)的距离的平方，由图可知可行域内的点A到点P(－1,0)的距离最大．解方程组，得A点的坐标为(3,8)，代入z＝(x＋1)2＋y2，得z＝(3＋1)2＋82＝80.max4.已知实数满足则的最小值为_____ .【答案】【解析】作出可行域如图中阴影部分，将化为，作出直线并平移，使之经过可行域，易知经过点时，纵截距最小，此时。

【考点】线性规划问题。

5.已知，满足约束条件，且的最小值为6，则常数．【答案】－3【解析】画出可行域及直线，如图所示．平移直线，当其经过直线的交点时，，所以，.【考点】简单线性规划的应用.6.若，满足约束条件，则的最大值是( )A．B．C．D．【答案】（C）【解析】，满足约束条件如图所示. 目标函数化为.所以z的最大值即为目标函数的直线在y轴的截距最小.所以过点A最小为1.故选（C）.【考点】1.线性规划的知识.2.数学结合的数学思想.7.曲线在点处的切线分别为,设及直线x-2y+2=0围成的区域为D(包括边界)．设点P(x，y)是区域D内任意一点，则x+2y的最大值为________．【答案】【解析】因为，，，所以，切线得到斜率分别为，它们的方程分别为．画出区域、直线（如图所示）；平移直线，当其经过点时，【考点】导数的几何意义，直线方程，简单线性规划．8.点在不等式组表示的平面区域内，到原点的距离的最大值为，则的值为．【答案】3.【解析】由题意，不等式组表示的平面区域如下图：当点在点时，到原点的距离最大为5，则，解得.【考点】1.线性规划求参数范围.9.已知实数满足，，则z的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】画出约束条件限定的可行域为如图阴影区域，令，则，先画出直线，再平移直线，当经过A，B时，代入，可知，，故选C。

2015高考数学(文)试题精品试题考点解析-线性规划概述.

线性规划2015北京卷文–13【原题】如图，C ∆AB 及其内部的点组成的集合记为D ，(),x y P 为D 中任意一点，则23z x y =+的最大值为．【答案】7【考点定位】线性规划.试题揭秘：【试题解析】把23z x y =+变形为2133y x z =-+，通过平移直线23y x =-知，当过点()2,1A 时，23z x y =+取得最大值为max 22317z =⨯+⨯=，所以答案应填：7．【命题意图】本题考查线性规划基础知识，意在考查学生数形结合思想的运用能力和运算求解能力．【方法、技巧、规律】先正确画出不等式组所表示的平面区域，再将目标函数变形为一次函数，通过平移直线确定目标函数何时取得最值.【探源、变式、扩展】对于非线性的目标函数，应该确定目标函数表示的几何意义，否则很容易出现错误．【变式】【2015湖南四月调研】已知实数x 、y 满足不等式组310300x y x y x -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则22x y +的最小值是（） A．B ．92C ．5D ．9【答案】B【解析】不等式组310300x y x y x -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域如图所示：目标函数22x y +表示可行域内任一点(),x y A 到原点O 的距离的平方由图可知当OA 垂直于直线:l 30x y +-=时，目标函数22x y +有最小值，又点O 与直线l 的，所以目标函数22x y +的最小值为92，故选B ．试题精粹：1．【2015惠州模拟】若变量x ，y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2z x y =+的最大值等于（）A ．7B ．8C ．11D ．10 【答案】D2．【2015吉林质检】在平面直角坐标系中，若(),x y P 满足44021005220x y x y x y ≤≤≥-+⎧⎪+-⎨⎪-+⎩，则2x y +的最大值是（）A ．2B ．8C ．14D ．16 【答案】C3．【2015河北模拟】设变量x ，y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数23z x y =+的最小值为（）A ．6B ．7C ．8D ．23 【答案】B【解析】作出约束条件表示的可行域，如图C ∆AB 内部（含边界）作直线:l 230x y +=，平移直线l ，当l 过点()C 2,1时，z 取得最小值7，故选B ．4．【2015北京月考】实数x ，y 满足不等式组002x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数3z x y =+的最小值是（）A ．12-B ．8-C ．4-D ．0 【答案】B5．【2015山东月考】若变量x，y满足约束条件280403x yxy+≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2z x y=+的最大值等于（）A．7B．8C．10 D．11【答案】C6．【2015河北模拟】设x，y满足约束条件20250230x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则32z x y=+的最大值为（）A．8B．9C．28 D．29【答案】D【解析】约束条件满足的区域如图所示目标函数32z x y =+在点()5,7A 处取得最大值，即max 352729z =⨯+⨯=，故选D ．7．【2015辽宁质检】已知实数x ，y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为（）A ．3B ．32C ．32- D ．3- 【答案】A8．【2015深圳调研】已知实数x ，y 满足不等式组103x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2x y +的最大值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D9．【2015潮州质检】设z x y =+，其中实数x ，y 满足2006x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则z 的最大值为（）A ．12B ．6C ．0D ．6- 【答案】A10．【2015河北调研】已知实数x ，y 满足约束条件5000x y x y y ++≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则24z x y =+的最大值是（）A ．2B ．0C ．10-D ．15-【答案】B。

专题03线性规划-2015年高考文数母题题源系列

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）【母题来源】2015北京卷文–13【母题原题】如图，C ∆AB 及其内部的点组成的集合记为D ，(),x y P 为D 中任意一点，则23z x y =+的最大值为．【答案】7【考点定位】线性规划.【试题解析】把23z x y =+变形为2133y x z =-+，通过平移直线23y x =-知，当过点()2,1A 时，23z x y =+取得最大值为max 22317z =⨯+⨯=，所以答案应填：7．【命题意图】本题考查线性规划基础知识，意在考查学生数形结合思想的运用能力和运算求解能力．【方法、技巧、规律】先正确画出不等式组所表示的平面区域，再将目标函数变形为一次函数，通过平移直线确定目标函数何时取得最值.【探源、变式、扩展】对于非线性的目标函数，应该确定目标函数表示的几何意义，否则很容易出现错误．【变式】【2015湖南四月调研】已知实数x 、y 满足不等式组310300x y x y x -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则22x y +的最小值是（）A ．322 B ．92C ．5D ．9 【答案】B【解析】不等式组310300x y x y x -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域如图所示：目标函数22x y +表示可行域内任一点(),x y A 到原点O 的距离的平方由图可知当OA 垂直于直线:l 30x y +-=时，目标函数22x y +有最小值，又点O 与直线l 的距离为2200332211+-=+，所以目标函数22x y +的最小值为92，故选B ．1．【2015惠州模拟】若变量x ，y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2z x y =+的最大值等于（）A ．7B ．8C ．11D ．10 【答案】D2．【2015吉林质检】在平面直角坐标系中，若(),x y P 满足44021005220x y x y x y ≤≤≥-+⎧⎪+-⎨⎪-+⎩，则2x y +的最大值是（）A ．2B ．8C ．14D ．16 【答案】C3．【2015河北模拟】设变量x ，y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数23z x y =+的最小值为（）A ．6B ．7C ．8D ．23 【答案】B【解析】作出约束条件表示的可行域，如图C ∆AB 内部（含边界）作直线:l 230x y +=，平移直线l ，当l 过点()C 2,1时，z 取得最小值7，故选B ．4．【2015北京月考】实数x ，y 满足不等式组002x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数3z x y =+的最小值是（）A ．12-B ．8-C ．4-D ．0 【答案】B5．【2015山东月考】若变量x，y满足约束条件280403x yxy+≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2z x y=+的最大值等于（）A．7B．8C．10D．11【答案】C6．【2015河北模拟】设x，y满足约束条件20250230x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则32z x y=+的最大值为（）A．8B．9C．28D．29【答案】D【解析】约束条件满足的区域如图所示目标函数32z x y =+在点()5,7A 处取得最大值，即max 352729z =⨯+⨯=，故选D ．7．【2015辽宁质检】已知实数x ，y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为（）A ．3B ．32C ．32- D ．3- 【答案】A8．【2015深圳调研】已知实数x ，y 满足不等式组103x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2x y +的最大值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D9．【2015潮州质检】设z x y =+，其中实数x ，y 满足2006x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则z 的最大值为（）A ．12B ．6C ．0D ．6- 【答案】A10．【2015河北调研】已知实数x ，y 满足约束条件5000x y x y y ++≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则24z x y =+的最大值是（）A ．2B ．0C ．10-D ．15- 【答案】B。

2015年全国高考数学试题分类汇编考点25二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

考点25 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一、选择题1.（2015·安徽高考文科·T5）已知x ，y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z ＝-2x ＋y 的最大值是( ) A.-1B.-2C.-5D.1【解题指南】正确画出平面区域的可行域是一个三角形,再数形结合计算求值。

【试题解析】选A 。

根据题意做出约束条件确定的可行域，如图所示：令z ＝-2x ＋y,则y ＝2x ＋z,可知上图中A(1，1)处z ＝-2x ＋y 取得最大值-1，故选A 。

2. (2015年广东高考理科·T6)若变量x,y满足约束条件则z ＝3x ＋2y 的最小值为 ( ) A ．531 B. 6 C. 523D. 4 【解题指南】先根据不等式组画出可行域,再将直线化成斜截式方程,平移目标函数,找到z 取最小值时与可行域的交点,进而求出z 的最小值. 【试题解析】选C.不等式组所表示的可行域如图所示,由32z x y =+得322z y x =-+，依题当目标函数直线l ：322z y x =-+经过41,5A ⎛⎫⎪⎝⎭时，z 取得最小值即min 42331255z =⨯+⨯=3. (2015年广东高考文科·T4)若变量x,y满足约束条件则z ＝2x ＋3y 的最大值为 ( ) A.10B.8C.5D.2【解题指南】先根据不等式组画出可行域,再作直线l 0:2x ＋3y ＝0,平移直线l 0,找到z 取最大值时与可行域的交点,进而求出z 的最大值. 【试题解析】选C.作出可行域如图所示:作直线0:l 230x y +=，再作一组平行于0l 的直线:l 23x y z +=，当直线l 经过点A 时，23z x y =+取得最大值，由224x y x +=⎧⎨=⎩得：41x y =⎧⎨=-⎩，所以点A 的坐标为()4,1-，所以()max 24315z =⨯+⨯-=．作直线l 0:2x ＋3y ＝0,再作一组平行于l 0的直线l :2x ＋3y ＝z,4. (2015年北京高考理科·T2)若x,y 满足010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z ＝x ＋2y 的最大值为 ( )A.0B.1C.32D.2【试题解析】选D.作出可行域及l 0:x ＋2y ＝0如图所示,把(1,0)代入l 0,可知l 0的右上方为正,所以向上平移l 0,过点(0,1)时z ＝x ＋2y 取最大值2.5.(2015年天津高考理科·T2)设变量x,y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为 ( ) A.3B.4C.18D.40【试题解析】选C.如图所示,x ＋2＝0与x-y ＋3＝0的交点为(-2,1),x ＋2＝0与2x ＋y-3＝0的交点为(-2,7),x-y ＋3＝0和2x ＋y-3＝0与x 轴的交点为(0,3).所以当动直线z ＝x ＋6y 经过(0,3)时,z 取到最大值. z max ＝0＋6×3＝18.6.(2015年天津高考文科·T2)设变量x,y 满足约束条件2020280-≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩x x y x y 则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为 ( ) A.7B.8C.9D.14【试题解析】选C.画出约束条件2020280-≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩x x y x y 表示的可行域，如图所y示，由20280,x x y -=⎧⎨+-=⎩得A(2,3).当直线z ＝3x ＋y 过点A 时,z 取得最大值9.7.(2015年山东高考理科·T6)已知x,y 满足约束条件0,2,0.x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ＝ax ＋y 的最大值为4,则a ＝ ( )A. 3B. 2C. -2D. -3【解题指南】首先画出可行域,分情况讨论可得正确结果;还可以结合选择题的特点直接将选项代入验证.【试题解析】选B.由约束条件可画可行域如图,解得A(2,0),B(1,1).若过点A(2,0)时取最大值4,则a ＝2,验证符合条件;若过点B(1,1)时取最大值4,则a ＝3,而若a ＝3,则z ＝3x ＋y 最大值为6(此时A(2,0)是最大值点),不符合题意.(也可直接代入排除)8．（2015·重庆高考文科·Ｔ10）若不等式组20220,20x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域为三角形，且面积等于43，则m 的值为（）A 3-B 1 C.43D.3 【解题指南】首先根据条件画出可行域，然后根据面积即可求出参数m 的值. 【试题解析】选B.根据题意画出可行域如图由图可知 2422(1,1),(2,0),(,)33m mA m mBC -+-+，且A 为直角因为,AB m AC m =+=+ 三角形ABC 面积21141233S AB AC m ==+=，解得1m =或3m =-当3m =-时，可行域不存在，所以 1.m =9.(2015年福建高考理科·T5)若变量x,y 满足约束条件则z ＝2x-y 的最小值等于 ( )A.-B.-2C.-D.2【解题指南】画出可行域,根据目标函数确定出在y 轴上截距最大时,z 取最小值.【试题解析】选 A.画出可行域如图所示,当目标函数平移至B 点时截距最大,所以)21,1(02202-⇒⎩⎨⎧=+-=+B y x y x ，把B 坐标代入目标函数可得2521)1(2min-=--⨯=z10.(2015年福建高考文科·T10)变量x,y 满足约束条件若z ＝2x-y 的最大值为2,则实数m等于 ( ) A.-2B.-1C.1D.2【解题指南】数形结合对m 值进行分析并且注意目标函数中z 与y 异号.【试题解析】选C.如图所示,当m ≤0时,比如在①的位置,此时为开放区域无最大值,当m ＞2时,比如在②的位置,此时在原点取得最大值不满足题意,当0＜m ＜2时,在点A 取得最大值,所以⇒A代入得m＝1.11. (2015年陕西高考理科·T10)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元【解题指南】设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨,y吨,利润为z万元,然后根据题目条件建立约束条件,得到目标函数,画出约束条件所表示的区域,然后利用平移法求出z的最大值.【试题解析】选D.设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨,y吨,利润为z万元,则目标函数为z＝3x＋4y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)即可行域.由z＝3x＋4y得y＝-x＋,平移直线y＝-x＋,由图像可知当直线y＝-x＋经过点A时,直线y＝-x＋在y轴上的截距最大,此时z 最大,解方程组得即A的坐标为(2,3),所以z max＝3x＋4y＝6＋12＝18.即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨,3吨,能够产生最大的利润,最大的利润是18万元.12. (2015年陕西高考文科·T11)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元【解题指南】设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨,y吨,利润为z万元,然后根据题目条件建立约束条件,得到目标函数,画出约束条件所表示的区域,然后利用平移法求出z的最大值.【试题解析】选D.设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨,y吨,利润为z万元,则,目标函数为z＝3x＋4y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)即可行域.由z＝3x＋4y得y＝-x＋,平移直线y＝-x ＋,由图像可知当直线y＝-x ＋经过点A时,直线y＝-x ＋在y轴上的截距最大,此时z 最大,解方程组,得,即A的坐标为(2,3),所以z max＝3x＋4y＝6＋12＝18.即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨,3吨,能够产生最大的利润,最大的利润是18万元.二、填空题13.(2015年山东高考文科·T12)若x,y满足约束条件1,3,1.y xx yy-≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则z＝x＋3y的最大值为.【解题指南】本题考查简单的线性规划问题,可将可行域的边界顶点代入求值.【试题解析】可行域是以(0,1),(1,2),(2,1)为顶点的三角形内部及边界区域,目标函数过x-y＋1＝0与x＋y-3＝0的交点(1,2)时z＝x＋3y的值最大,且最大值为7.答案:714.(2015年浙江高考文科·T14)已知实数x,y满足x2＋y2≤1,则|2x＋y-4|＋|6-x-3y|的最大值是.【试题解析】画出区域x2＋y2≤1,则2x＋y-4＜0,6-x-3y＞0,所以|2x＋y-4|＋|6-x-3y|＝4-2x-y＋6-x-3y＝10-3x-4y, 令z＝10-3x-4y.如图,设OA 与直线-3x-4y ＝0垂直, 所以直线OA:y＝x,由224,31,y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得A(-,-), 所以当z ＝10-3x-4y 过点A 时,z 取最大值,z max ＝10-3×(-)-4×(-)＝15. 答案:1515. (2015年北京高考文科·T13)如图,△ABC 及其内部的点组成的集合记为D,P(x,y)为D 中任意一点,则z ＝2x ＋3y 的最大值为 .【解题指南】利用线性规划知识解决.【试题解析】l 0:2x ＋3y ＝0.代入(1,0)大于0,所以往右上平移过A 时取最大值7.答案:7xyx y16.(2015年浙江高考理科·T14)若实数x,y 满足x 2＋y 2≤1,则|2x ＋y-2|＋|6-x-3y|的最小值是 .【解题指南】对|2x ＋y-2|＋|6-x-3y|去绝对值化简(注意分类讨论),再从x 2＋y 2≤1表示的可行域里求解.【试题解析】x 2＋y 2≤1表示圆x 2＋y 2＝1及其内部,易得直线6-x-3y ＝0与圆相离,故|6-x-3y|＝6-x-3y,当2x ＋y-2≥0时,|2x ＋y-2|＋|6-x-3y|＝x-2y ＋4,如图所示,可行域为小的弓形内部,目标函数z ＝x-2y ＋4,则可知当x＝,y＝时,z min ＝3,当2x ＋y-2＜0时,|2x ＋y-2|＋|6-x-3y|＝8-3x-4y,可行域为大的弓形内部,目标函数z ＝8-3x-4y,同理可知当x＝,y＝时,z min ＝3,综上所述,|2x ＋y-2|＋|6-x-3y|的最小值为3.答案:317.(2015年新课标全国卷Ⅰ理科·T15)若x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥-04001y x y x x 则y x 的最大值为 .【解题指南】由约束条件画出可行域,根据是可行域内一点与原点连线的斜率进行求解.【试题解析】作出可行域如图中阴影部分所示,由斜率的意义知,是可行域内一点与原点连线的斜率,由图可知,点A(1,3)与原点连线的斜率最大,故yx的最大值为3. 答案:318.(2015年新课标全国卷Ⅰ文科·T15)若x,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩则z ＝3x ＋y的最大值为 . 【试题解析】画出可行域如图所示,目标函数y ＝-3x ＋z,当z 取到最大值时,y ＝-3x ＋z 的纵截距最大,即将直线移到点C 时,⎩⎨⎧=-+=+-02012y x y x 解得C(1,1),z max ＝3×1＋1＝4. 19.(2015年新课标全国卷Ⅱ理科·T14)若x,y满足约束条件则z ＝x ＋y 的最大值为 .【试题解析】画出可行域如图所示,目标函数y ＝-x ＋z,当z 取到最大值时,y ＝-x ＋z 的纵截距最大,故将直线移到点)21,1(D 时，23211m a x =+=z答案：3220.(2015年新课标全国卷Ⅱ文科·T4)若x,y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩则z ＝2x ＋y 的最大值为 .【试题解析】画出可行域如图所示目标函数y ＝-2x ＋z,当z 取到最大值时,y ＝-2x ＋z 的纵截距最大,故将直线移到点B(3,2)时,z max ＝2×3＋2＝8. 答案:821. (2015年湖北高考文科·T12)设变量x,y 满足约束条件4230x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x ＋y 的最大值为 .【试题解析】首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如图所示,然后根据图象可得:目标函数z ＝3x ＋y 过点B(3,1)时取得最大值,即z max ＝3×3＋1＝10.答案:10。

高三数学线性规划试题答案及解析

高三数学线性规划试题答案及解析1.已知变量满足约束条件若目标函数的最大值为1，则 .【答案】3【解析】约束条件所满足的区域如图所示，目标函数过B（4,1）点是取得最大值，所以，所以.【考点】线性规划.2.由不等式组围成的三角形区域内有一个内切圆，向该区域内随机投一个点，该点落在圆内的概率是关于t的函数P（t），则( )A．P′(t)>0B．P′(t)<0C．P′(t)=0D．P′(t)符号不确定【答案】C【解析】如图所示，A（2，7），B（t－5，t），C(2，t)，因此围成的区域为腰长为7－t的等腰直角三角形ABC．由于圆内切，所以AE=AD=(7－t)，所以内切圆半径DC=(7－t)－(7－t)= (7－t)(1－)∴P（t）==∴P′(t)=03.已知实数满足不等式组则目标函数的最小值与最大值的积为() A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，约束条件表示的可行域为内部(含边界)，再作出直线，平移直线，当直线过点时，分别取得最小值和最大值，计算得，，积为.【考点】线性规划.4.已知点是平面区域内的动点，点，O为坐标原点，设的最小值为，若恒成立,则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】【解析】由已知，，其几何意义是可行域内的任意一点与点的距离不小于，因为，恒成立,所以，到直线上点距离的最小值不大于.由于可行域的边界过定点，解得，所以，时，如图1，由解得，即；图1 图2时，如图2，显然符合题意；时，如图3，显然符合题意.图3综上知，，故选.【考点】简单线性规划，平面向量的模，点到直线的距离.5.某公司计划2013年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？【答案】该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．【解析】设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元．由题意，得目标函数为z＝3000x＋2000y.二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．作直线l：3000x＋2000y＝0，即3x＋2y＝0.联立解得x＝100，y＝200.记点M的坐标为(100，200)．平移直线l，易知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．∴z＝3000x＋2000y＝700000(元)．max答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．6.某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：为使一年的种植的总利润最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积分别为________．【答案】30亩、20亩【解析】设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x、y，则总利润z＝(4×0.55－1.2)x＋(6×0.3－0.9)y＝x ＋0.9y，此时x、y满足条件画出可行域知，最优解为(30，20)．7.某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物、42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？【答案】4个单位的午餐和3个单位的晚餐，【解析】设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得z＝2.5x＋4y，且x、y满足即作出线性约束条件所表示的可行域，如图中阴影部分的整数点．让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移，由此可知z＝2.5x＋4y在B(4，3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．8.设实数满足向量，．若，则实数的最大值为．【答案】；【解析】因为，所以,故根据线性规划的知识画出可行域如图,则目标函数在点（1，8）处取得最大值6.【考点】向量平行线性规划9.已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a等于()．，A．B．C．1D．2【答案】B【解析】由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC内部及边界部分，由目标函数z＝2x＋y的几何意义为直线l：y＝－2x＋z在y轴上的截距，知当直线l过可行域内的点B(1，－2a)时，目标函数z＝2x＋y的最小值为1 ，则2－2a＝1，解得a＝，故选B10.设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y＝a x的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是()．A．(1,3]B．[2,3]C．(1,2]D．[3，＋∞)【答案】A【解析】画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)．当a>1时才能够使函数y＝a x的图象上存在区域D上的点，由图可知当函数y＝a x的图象经过点A时a取得最大值，由方程组解得x＝2，y＝9，即点A(2,9) ，代入函数解析式得9＝a2，即a＝3 ，故1<a≤3.11.已知变量满足，则的最大值为（）A．2B．3C．4D．6【答案】C【解析】画出约束条件所确定的可行区域为图中的：.由图可知，最大值在点A处取得，而A（2,2），可知最大值为4.【考点】线性规划.12.设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最小值为2，则ab的最大值为 ()．A．1B．C．D．【答案】D【解析】由z＝ax＋by(a>0，b>0)得y＝－x＋，可知斜率为－<0，作出可行域如图，由图象可知当直线y＝－x＋经过点D时，直线y＝－x＋的截距最小，此时z最小为2，由得即D(2,3)，代入直线ax＋by＝2得2a＋3b＝2，又2＝2a＋3b≥2，所以ab≤，当且仅当2a＝3b＝1，即a＝，b＝时取等号，所以ab的最大值为.13.已知实数满足则的最大值为_________.【答案】16【解析】如图实数满足满足的可行域是三角形OAB的阴影部分. 由可化为.所以求z的最大值即求出的最小值.目标函数，如图所示.过点B即为m所求的最小值.因为B（-2,0）所以m=-4.所以.故填16.【考点】1.线性规划问题.2.指数函数的运算.14.如图,，且，若，（其中），则终点落在阴影部分（含边界）时，的取值范围是 .【答案】【解析】如下图所示①当点P是线段AB的中点时，过点P分别作PE∥OB，PF∥OA，交点分别是点E，F，则点E，F分别是OA，OB的中点．由平行四边形法则可得：，又，（其中），∴．当点P位于线段AB上其它位置时，也有此结论．②当点P是线段MN的中点时，连接PA，PB．∵AB∥MN，且2OA=OM，∴B点是线段ON的中点．由平行四边形法则可得：，此时，当点P位于线段AB上其它位置时，也有此结论．综上可知：．又，令，化为，可知此直线过定点P（﹣1，﹣1）．由约束条件，作出可行域，如下图：作直线l：y=x，把此直线上下平移，当l经过点A（2，0）时，t取得最小值，当点l经过点B（0，2）时，t取得最大值．∴．∴，即的取值范围是．故答案为：．【考点】 1、平面向量运算和性质；2.线性规划.15.实数满足若恒成立，则实数的最大值是．【答案】【解析】由线性约束条件画出可行域如图，直线过定点B。

专题03 线性规划-2019年高考数学母题题源系列(浙江专版)(解析版)

专题03 线性规划【母题来源一】【2019年高考浙江卷】若实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是 A ．1- B ．1 C ． 10D ．12【答案】C【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．因为32z x y =+，所以3122y x z =-+．平移直线3122y x z =-+可知，当该直线经过点A 时，z 取得最大值．联立两直线方程可得340340x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，即点A 坐标为(2,2)A ，所以max 322210z =⨯+⨯=．故选C ．【名师点睛】本题考查线性规划中最大值问题，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取图解法，利用数形结合思想解题．搞不清楚线性目标函数的几何意义致误，从线性目标函数对应直线的截距观察可行域，平移直线进行判断取最大值还是最小值．【母题来源二】【2018年高考浙江卷】若x ，y 满足约束条件0262x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =+的最小值是______________，最大值是______________．【答案】2-8【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，则直线3z x y =+过点(2,2)A 时z 取最大值8，过点2(4,)B -时z 取最小值2-．【名师点睛】（1）该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型，根据不同的形式，应用相应的方法求解．（2）线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想．需要注意的是：①准确无误地作出可行域；②画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；③一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．【母题来源三】【2017年高考浙江卷】若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的取值范围是A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)+∞D ．[4，)+∞【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值，故选D ．【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0Ax By C ++≥转化为y kx b ≤+（或y kx b ≥+），“≤”取下方，“≥”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．【命题意图】了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，求出目标函数的最值或取值范围，通过考查线性规划等相关知识，考查数形结合思想的运用．【命题规律】这类试题在考查题型上主要以选择题或填空题的形式出现，主要从线性目标函数、斜率型、距离型等角度进行考查，考查数形结合思想．试题难度不大，多为中低档题．【答题模板】1．确定平面区域的方法第一步，“直线定界”，即画出边界0Ax By C ++=，要注意是虚线还是实线；第二步，“特殊点定域”，取某个特殊点00(,)x y 作为测试点，由00Ax By C ++的符号就可以断定0Ax By C ++>表示的是直线0Ax By C ++=哪一侧的平面区域；第三步，用阴影表示出平面区域．2．在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答”，即：（1）画：在平面直角坐标系中，画出可行域和直线0ax by += (目标函数为z ax by =+)；（2）移：平行移动直线0ax by +=，确定使z ax by =+取得最大值或最小值的点；（3）求：求出使z 取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z 的最大值或最小值；（4）答：给出正确答案．【方法总结】1．二元一次不等式组表示的平面区域的应用主要包括求平面区域的面积和已知平面区域求参数的取值或范围．（1）对于面积问题，可先画出平面区域，然后判断其形状（三角形区域是比较简单的情况），求得相应的交点坐标、相关的线段长度等，若图形为规则图形，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，则运用割补法计算平面区域的面积，其中求解距离问题时常常用到点到直线的距离公式．（2）对于求参问题，则需根据区域的形状判断动直线的位置，从而确定参数的取值或范围． 2．对于二元一次不等式的不同形式，其对应的平面区域有如下结论3．线性目标函数的最值问题的求法（1）平移直线法：作出可行域,正确理解z 的几何意义，确定目标函数对应的直线，平移得到最优解．对一个封闭图形而言,最优解一般在可行域的顶点处取得，在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点．（2）顶点代入法：①依约束条件画出可行域;②解方程组得出可行域各顶点的坐标;③分别计算出各顶点处目标函数z ax by =+的值，经比较后得出z 的最大(小)值．求解时需要注意以下几点：（ⅰ）在可行解中，只有一组(x ,y )使目标函数取得最值时，最优解只有1个．如边界为实线的可行域，当目标函数对应的直线不与边界平行时，会在某个顶点处取得最值．（ⅱ）同时有多个可行解取得一样的最值时，最优解有多个．如边界为实线的可行域，目标函数对应的直线与某一边界线平行时，会有多个最优解．（ⅲ）可行域一边开放或边界线为虚线均可导致目标函数找不到相应的最值，此时也就不存在最优解． 4．距离问题常涉及点到直线的距离和两点间的距离，熟悉这些模型有助于更好地求解非线性目标函数的最值．（1）对形如||z Ax By C =++型的目标函数，可先变形为z =的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )到直线0Ax By C =++倍的最值．（2）对形如22()()z x a y b =-+-型的目标函数均可化为可行域内的点(x ，y )与点(a ，b )间距离的平方的最值问题．5．斜率问题是线性规划延伸变化的一类重要问题，其本质仍然是二元函数的最值问题，不过是用模型形态呈现的．因此有必要总结常见模型或其变形形式．对形如(0)ay bz ac cx d+=≠+型的目标函数，可先变形为()()b y a a z d c x c--=⋅--的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )与点(,)d b c a --连线的斜率的a c倍的取值范围、最值等．6．若目标函数中有参数，要从目标函数的结论入手，对图形进行动态分析，对变化过程中的相关量进行准确定位，这是求解这类问题的主要思维方法．7．若约束条件中含有参数，则会影响平面区域的形状，这时含有参数的不等式表示的区域的分界线是一条变动的直线，注意根据参数的取值确定这条直线的变化趋势，从而确定区域的可能形状． 8．用线性规划求解实际问题的一般步骤（1）模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．（2）模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．（3）模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．注意：（1）在实际应用问题中变量,x y 除受题目要求的条件制约外，可能还有一些隐含的制约条件不要忽略．（2）线性目标函数的最优整数解不一定在可行域的顶点或边界处取得，此时不能直接代入顶点坐标求最值，可用平移直线法、检验优值法、调整优值法求解．1．【2018年11月浙江省学考】若实数x ，y 满足，则y 的最大值是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】画出约束条件的可行域，即可判断y 的最大值的位置，求解即可．【解析】作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，可行域是三角形的区域，易知点A 的纵坐标取得最大值，由，可得，，所以y 的最大值是2，故选B ．2．【浙江省浙南名校联盟2019届高三上学期期末联考】设实数,x y 满足1020210x y x y x y +-≤⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则x y -的最小值为 A ．1 B ．0 C ．1-D ．2-【答案】C【分析】由约束条件作出可行域，再令z x y =-，化目标函数z x y =-为y x z =-，由直线在y 轴的截距的范围确定目标函数的最值即可．【解析】作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，令z x y =-，则y x z =-，因此求x y -的最小值，即是求直线y x z =-在y 轴截距的最大值，由图中虚线可知，当虚线过点（0,1）时，直线y x z =-截距最大，即min 011z =-=-．故选C ．【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需由约束条件作出可行域，再化目标函数为直线的斜截式方程即可求解，属于基础题型．3．【浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟】若x ，y 满足约束条件42y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值是 A ．8 B ．4 C ．2D ．6【答案】D【分析】先根据约束条件画出可行域，再转化目标函数，把求目标函数的最值问题转化成求截距的最值问题．【解析】作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，由4y x x y =⎧⎨+=⎩，解得(2,2)A ，由2z x y =+，得122z y x =-+，平移直线122z y x =-+，由图可知当直线经过点A ，直线的截距最大，此时z 最大，此时6z =，故选D ．【名师点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于基础题．4．【西南名校联盟重庆市第八中学2019届高三5月高考适应性月考】设,x y 满足约束条件21032120230x y x y y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则4z x y =+的最大值为 A ．294B ．9C ．14D ．18【答案】C【分析】在直角坐标系内，画出可行解域，平行移动直线14y x =-，直至找到144zy x =-+，在y 轴截距最大时，经过的可行解域内的点，求出4z x y =+的最大值．【解析】作出约束条件的可行域如图，可知4z x y =+的最大值在点(2,3)A 处取得，故max 24314z =+⨯=，故选C ．5．【宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期第二次模拟】若变量,x y 满足约束条件102800x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =+的最小值为A ．1B ．3C ．4D ．9【答案】A【分析】根据线性约束条件作出可行域，将线性目标函数化为直线方程，根据目标函数平移得到最优解，再将最优解代入目标函数即可得答案．【解析】作出可行域如下图所示，目标函数3z x y =+可化为函数3y x z =-+，由图可知，当直线3y x z =-+过(0,1)A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为1．故选A ．6．【甘肃省2019年高三第二次高考诊断】若实数,x y 满足约束条件2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则z x y =+的最大值与最小值之和为 A ．4 B ．16 C ．20D ．24【答案】C【解析】画出可行域，如下图中阴影部分所示，当直线z x y =+与y =-x +4重合时，z 最小，z 的最小值为4；当直线z x y =+经过A 时z 最大，此时A 的坐标为A （7，9），z 的最大为16，故z x y =+的最大值与最小值之和为4+16=20，故选C ．7．【浙江省金华十校2019届高三上学期期末联考】若实数x ，y 满足约束条件203600x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩，则3z x y =+的最小值是 A ．6 B ．5 C ．4D ．92【答案】C【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值．【解析】作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，由200x y x y +-=⎧⎨-=⎩可得(1,1)A ，由3z x y =+得3y x z =-+，平移3y x =-，易知过点A 时直线在y 上截距最小，所以min 3114z =⨯+=．故选C ．【名师点睛】本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值首先画出可行域，利用几何意义求值．8．【北京市人大附中2019届高考模拟预测卷四】设不等式组1325x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩表示的平面区域为D ．若直线0ax y -=上存在区域D 上的点，则实数a 的取值范围是A ．1[,2]2B ．1[,3]2C ．[1,2]D ．[2,3]【答案】B【分析】由题意作出可行域，利用直线过定点，结合直线的斜率，求得满足直线0ax y -=上存在区域D 上的点时的a 的范围．【解析】作出可行域如下图中阴影部分所示，∵直线0ax y -=过定点O （0，0），要使直线0ax y -=上存在区域D 上的点，则直线0ax y -=的斜率a ∈[k OB ，k OA ]，联立125x x y =⎧⎨+=⎩，得A （1，3），联立+y 325x x y =⎧⎨+=⎩，得B （2，1），∴313,12OA OB k k ===，∴a 1[,3]2∈，故选B ．9．【陕西省宝鸡市2019届高考模拟检测三】设x ，y 满足约束条件2003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则22(1)z x y =++的最大值为 A ．41 B ．5 C ．25D ．1【答案】A【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用22(1)x y ++的几何意义数形结合解答得解．【解析】由题得不等式组对应的可行域如下图所示，22(1)z x y =++表示区域内的动点(x ，y )到点P (-1，0)的最大距离的平方，联立320x x y =⎧⎨-+=⎩得点A (3，5)，所以z 的最大值为22(3+1)541+=．故选A ．【名师点睛】本题主要考查线性规划求最值，考查两点间的距离公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．10．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】已知实数,x y 满足()(2)01x y x y x -+≥⎧⎨≥⎩，则2x y -A ．有最小值，无最大值B ．有最大值，无最小值C ．有最小值，也有最大值D ．无最小值，也无最大值【答案】A【分析】作出不等式组表示的可行域，设2x y z -=，则2y x z =-，平移直线2y x z =-可得z 是否能取得最大值和最小值．【解析】作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，设2x y z -=，则2y x z =-，z 表示直线在y 轴上的截距的相反数，平移直线2y x z =-，可得当直线过点A 时z 取得最小值，z 没有最大值．故选A．【名师点睛】本题考查线性规划问题，解题关键是作出不等式组表示的平面区域并弄清目标函数的几何意义．11．【浙江省七彩联盟2018-2019学年第一学期高三11月期中考试】设实数x，y满足，则的最小值为A．B．C．D．2【答案】B【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据直线平移即可求出目标函数的最小值．【解析】作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，由得，平移直线，由图可知，当直线经过A时，直线的截距最大，此时z最小，由可得，此时z最小值为，故选B．【名师点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合求出目标函数的最优解，利用数形结合是解决本题的关键．12．【新疆乌鲁木齐市2019届高三第二次诊断性测试】若变量,x y 满足约束条件00340x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，则32x y+的最大值是 A ．0 B ．2 C ．5D ．6【答案】C【分析】由题意作出不等式组所表示的平面区域，将32z x y =+化为322z y x =-+，2z相当于直线322zy x =-+的纵截距，由几何意义可得结果．【解析】由题意作出其平面区域，如下图中阴影部分所示，令32z x y =+，化为322z y x =-+，2z 相当于直线322zy x =-+的纵截距，由图可知， 340y xx y =⎧⎨+-=⎩，解得1x =，1y =，则32x y +的最大值是325+=，故选C ．【名师点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题．求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值．13．【辽宁省辽阳市2019届高三二模】设x ，y 满足约束条件326020480x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则目标函数2z x y =-的最小值是 A ．-4 B ．-2 C ．0D ．2【答案】A【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可．【解析】作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC ），由2z x y =-得122zy x =-，平移直线122z y x =-，由图象可知当直线122zy x =-，过点B 时，直线122zy x =-的截距最大，此时z 最小，由48020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得02B (,)．代入目标函数2z x y =-，得0224z =-⨯=-， ∴目标函数2z x y =-的最小值是4-．故选A ．【名师点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法，属于基础题．14．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】若变量x ，y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则|3|x y +的最大值是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】先作可行域，再求3x y +的取值范围，最后可得|3|x y +的最大值．【解析】作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，则直线3x y z +=过点()1,1A --时z 取最小值4-，过点11()22B ，时z 取最大值2，因此|3|x y +的最大值是4，故选D ．15．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试】已知实数x ，y 满足约束条件202201x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数21y z x -=+的最小值为 A ．23-B ．54-C ．43-D ．12-【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：目标函数21y z x -=+的几何意义为动点(,)M x y 到定点(1,2)D -的斜率，当M 位于1(1,)2A -时，此时DA 的斜率最小，此时min 1252114z --==-+．故选B ．【名师点睛】本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．16．【广东省韶关市2019届高考4月模拟测试】若x ，y 满足约束条件22201y x x y y ≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则z x y =-的最大值为 A ．35- B ．12C ．5D ．6【答案】C【解析】变量x ，y 满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示：目标函数z x y =-是斜率等于1、纵截距为z -的直线，当直线经过可行域的A 点时，纵截距z -取得最小值，则此时目标函数z 取得最大值，由1220yx y=-⎧⎨+-=⎩可得(4,1)A-，目标函数z x y=-的最大值为5．故选C．【名师点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用．17．【浙江省杭州市学军中学2018-2019学年高二上学期期中考试】设，满足约束条件，则的最小值是A．1 B．C．D．【答案】C【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论．【解析】作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，化为，平移直线，经过可行域的时，目标函数取得最小值，由，解得，则的最小值是，故选C．【名师点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题．求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值．18．【黑龙江省大庆市2019届高三第三次教学质量检测】已知实数x ，y 满足0022x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥-⎩，则(0)z a x ya =+>的最小值为 A ．0 B ．a C ．22a +D ．-2【答案】D【分析】画出不等式组表示的可行域，由(0)z ax y a =+>得(0)y ax z a =-+>，平移直线y ax z =-+，结合图形可得取得最小值时的最优解，进而得到最小值．【解析】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．由(0)z ax y a =+>得(0)y ax z a =-+>．平移直线y ax z =-+，结合图形可得，当直线经过可行域内的点(0,2)A -时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 取得最小值，所以min 022z a =⨯-=-．故选D ．【名师点睛】利用线性规划求目标函数的最值问题是常考题型，一般以选择题、填空题的形式出现，难度适中．解题时要熟练画出可行域，把目标函数适当变形，把所求最值转化为求直线的斜率、截距、距离等问题处理，主要考查数形结合在解题中的应用和计算能力．19．【新疆乌鲁木齐2019届高三第二次质量检测】若实数x ，y 满足430352501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则函数2z x y=+的最大值为A ．12B ．325C ．3D ．15【答案】A【分析】画出可行域，然后平移直线2y x z =-+，找到在y 轴截距最大时，直线经过的点，代入，即可求出函数2z x y =+的最大值．【解析】作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分），由2z x y =+得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线2y x z =-+经过点A 时，直线2y x z =-+在y 轴的截距最大，此时z 最大．由43035250x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得52x y =⎧⎨=⎩，即A （5，2），代入目标函数2z x y =+得z =2×5+2=12．即目标函数2z x y =+的最大值为12．故选A ．20．【浙北四校2019届高三12月模拟考试】若直线与不等式组表示的平面区域无公共点，则的取值范围是 A ．，B ．，C ．，D ．R【答案】C【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线与平面区域无公共点建立条件关系，即可得到结论．【解析】作出不等式组表示的平面区域，可知该不等式组表示的平面区域是由A （1，1），B （﹣1，1），C （0，﹣1）围成的三角形区域（包含边界）．∵直线与表示的平面区域无公共点，∴a ，b 满足：＞＞＞或＜＜＜．（a ，b ）在如图所示的三角形区域（除边界且除原点）．设23z a b =+，平移直线23z a b =+，当直线经过点A 1（0，1）时，z 取得最大为3z =，当经过点B 1时，z 最小，由解得，即B 1（﹣2，﹣1），此时z =﹣4﹣3=﹣7，故的取值范围是（﹣7，3）．故选C ．21．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试二】设x ，y 满足约束条件02x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值为______________．【答案】3【分析】画出可行解域，平移直线2y x z =-+，找到z 的最大值．【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，当直线2y x z =-+经过A 点时，z 有最大值，解2y xx y =⎧⎨+=⎩得(1,1)A ，所以max 23z x y =+=．22．【内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试一】若满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则目标函数2z y x =-的最大值为______________．【答案】1-【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解析】由约束条件32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩作出可行域如下图中阴影部分所示，化目标函数2z y x =-为2y x z =+，由图可得，当直线2y x z =+过点B 时，直线在y 轴上的截距最大，由2x y x y +=⎧⎨=⎩得11x y =⎧⎨=⎩即(1,1)B ，则z 有最大值121z =-=-，故答案为1-．23．【陕西省西安市2019届高三第三次质量检测】若实数，满足约束条件，则的最大值是______________．【答案】2【分析】作出不等式组表示的平面区域，平移目标函数所表示的直线，可得出目标函数的最大值．【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，可变形为，表示斜率为的直线，平移该直线，当直线经过点，时，取得最大值，故．24．【甘肃省、青海省、宁夏回族自治区2019届高三5月联考】设x ，y 满足约束条件2020260x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最小值是______________．【答案】0【分析】由约束条件作出可行域，再由目标函数可化为y x z =-+，当直线y x z =-+在y 轴截距最小时，目标函数取最小值，结合图象即可得出结果．【解析】由约束条件2020260x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩作出可行域如下：因为目标函数z x y =+可化为y x z =-+，所以，当直线y x z =-+在y 轴截距最小时，目标函数取最小值，由图象可得，当直线y x z =-+过点A 时，截距最小，即z 最小；易知(2,2)A -，所以min220z =-=．故答案为0．25．【浙江省台州市2019届高三上学期期末质量评估】已知x ，y 满足条件04010x y x y x -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2x y +的最大值是______________，原点到点(,)P x y 的距离的最小值是______________．【答案】6【分析】画出不等式组对应的可行域，通过平移动直线20x y t +-=求目标函数的最大值，而原点到点P 的距离的最小值就是原点到点A 的距离．【解析】作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，当动直线20x y t +-=过B 时，2x y +有最大值，易得(2,2)B ，故2x y +的最大值为6．原点到点P的距离的最小值即为||OA ==26．【陕西省2019年高三第三次教学质量检测】设,x y 满足约束条件1010220y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =-的最小值是______________．【答案】2-【分析】画出约束条件所表示平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，代入即可求得结果．【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，目标函数2z x y =-化为122z y x =-，当直线122zy x =-过点A 时，此时在y 轴上的截距最大，目标函数取得最小值，又由1010y x y -=⎧⎨--=⎩，解得(0,1)A ，所以目标函数的最小值为min 022z =-=-．27．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟】若,x y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则2z x y =+的最小值为______________．【答案】2【分析】先由约束条件作出可行域，再由目标函数2z x y =+可化为122zy x =-+，因此当直线122zy x =-+在y 轴上截距最小时，2z x y =+取最小，结合图象即可求出结果．【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，因为目标函数2z x y =+可化为122zy x =-+，因此当直线122zy x =-+在y 轴上截距最小时，2z x y =+取最小．由图象易得，当直线122zy x =-+过点(2,0)A 时，在y 轴上截距最小，即min 2z =．故答案为2．【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划，只需由约束条件作出可行域，分析目标函数的几何意义，结合图象即可求解，属于常考题型．28．【浙江省金丽衢十二校2019届高三第二次联考】若实数x ，y 满足约束条件1221x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则目标函数23z x y =+的最小值为______________；最大值为______________．【答案】272【分析】作出可行域，由23z x y =+可得23y x z =-+，作出直线23y x =-，平移直线当截距最大时，z 有最大值，平移直线当截距最小时，z 有最小值．【解析】作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，由23z x y =+可得23y x z =-+，作出直线23y x =-，平移直线过B (1，0)时，z 有最小值202z =+=，平移直线过A(1，12）时，z 有最大值1721322z =⨯+⨯=． 29．【浙江省金华市浦江县2019年高考适应性考试】已知实数，满足，则此平面区域的面积为______________，2x y +的最大值为______________．【答案】1 2【解析】作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，则其围成的平面区域的面积为×2×1＝1；2x y +的最大值为过点（1,0）时取得最大值，最大值为2．30．【浙江省温州九校2019届高三第一次联考】已知点P (x ，y )在不等式组，表示的平面区域D 上运动，若区域D 表示一个三角形，则a 的取值范围是______________，若2a =，则2z x y =-的最大值是______________．【答案】(,10)-∞3-【分析】根据已知的不等式组画出满足条件的可行域，根据图形情况讨论，求出表示的平面区域是一个三角形时a 的取值范围，进而得到2a =时2z x y =-的最大值．【解析】作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，由图可知，若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a ＜10，故a 的取值范围是(,10)-∞．若2a =，可知当目标函数经过点A （1,2）时2z x y =-取得最大值，最大值是3-．31．【浙江省嘉兴市2019届高三第一学期期末检测】在平面直角坐标系中，不等式组10131x y x y x +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤+⎩所表示的平面区域的面积等于______________，2z x y =+的取值范围是______________．【答案】2 [1,6]【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求面积，只需求出区域图形的面积即可；将目标函数化为斜截式，根据图像分析得到最值．【解析】作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，。

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