高一数学人教B版必修4课件：2-2-3 用平面向量坐标表示向量共线条件

[解析]
由已知得：ka＋b＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)，∵ka＋b 与 a＝3b 平行， 1 ∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得 k＝－3. 1 2 1 此时 ka＋b＝(－3－3，－3＋2)＝－3(a－3b)， 1 ∴当 k＝－3时，ka＋b 与 a－3b 平行，并且反向．
2x＋2＝－3x 所以 2y－4＝－6－3y
，
2 x＝－5 解得 y＝－2 5 故D
.
2 2 点坐标为－5，－5.
(2)要注意用坐标表示两向量平行的条件， a1b2－a2b1＝0 具 a1 a2 有一般性，而 ＝ 只有当 b1≠0，b2≠0 时才适用． b1 b2
• [例1] 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为
何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们 是同向还是反向？ • [分析] 由a，b可以用坐标表示ka＋b，a －3b，然后由向量共线的条件便可以求出 k的值．而向量是否同向，可以由λ的符号 确定．
• 2．2.3 用平面向量坐标表示
向量共线条件
• 1．向量共线条件的坐标表示： • 选择基底{e1，e2}，如果a＝(a1，a2)，b＝
b2－ (b1，b2)，a a1∥ ba ，则有 ； 2b1＝0 a∥b a1b2－a2b1＝0，则 反之，若 . • 当b不与坐标轴平行时，条件a1b2－a2b1＝0 可化为 ，即两个向量平行的条 件是相应坐标成比例． • 2．向量长度的坐标表示 • 设a＝(a1，a2)的位置向量 ，则由两点 间距离公式有|a|＝| |＝ .
，
[例 4]
已知 a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若 ma＋b 与 a－2b
平行，则 m＝________. 9 A．－ 10 1 C.2 2 B. 11 1 D．－2
[误解] －1)，
误解一：ma＋b＝(2m－1,3m＋2)，a－2b＝(4，
2 由题意(2m－1)· 4－(3m＋2)· (－1)＝0，∴m＝11，选 B. 误解二：ma＋b＝(2m－1,3m＋2)，a－2b＝(4，－1)， 由题设(2m－1)(－1)＋4(3m＋2)＝0， 9 ∴m＝－10，选 A.
→ ＝(x，y)，OB → ＝(4,4)， 解法二：设 P(x，y)，OP 因为 O、P、B 三点共线，所以 4x－4y＝0① → ＝(x－4，y)，AC → ＝(－2,6)，且 A、P、C 三点 又因为AP 共线，所以 6×(x－4)－(－2)y＝0，即 3x＋y＝12② 由①、②得：x＝3，y＝3，所以 P(3,3)．
→ 与AC → 共线， 解析 ] ∵A、B、C 共线，∴AB 则[y ＝________. → → ＝(3，y＋6)， • [答案 ]＝(－ － 9 ，AC ∵AB 8,8) ∴－8(y＋6)＝24，∴y＝－9.
• 6 ．已知 a ＝ (3,2) ， b ＝ (2 ，－ 1) ，若 λa ＋ b
与a＋λb(λ∈R)平行，则λ＝________. • [答案] 1或－1 • [解析] λa＋b＝λ(3,2)＋(2，－1) • ＝(3λ＋2,2λ－1)， • a ＋ λb ＝ (3,2) ＋ λ(2 ， － 1) ＝ (3 ＋ 2λ ， 2 － λ )． • ∵(λa＋b)∥(a＋λb)， • ∴(3λ＋2)(2－λ)－(3＋2λ)(2λ－1)＝0， • 即7λ2＝7.∴λ＝1或－1.
• [点评] 比较以上两种解法可见，解法一的
设法比较好，运算量较小；解法二运算量 大些，但属常规方法．
• (2010·陕西)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－ • • • • • •
1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝ ________. [答案] －1 [解析] ∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)， ∴a＋b＝(1，m－1)， 又∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)， ∴2－(－1)·(m－1)＝0， 解得m＝－1.
• [ 例 3] 已知向量 a ＝ ( － 3,2) ， b ＝ (2,1) ， c
＝(3，－1)，t∈R. • (1)求|a＋tb|的最小值及相应的t值； • (2)若a－tb与c共线，求实数t.
[解析]
(1)a＋tb＝(2t－3,2＋t)，
|a＋tb|2＝(2t－3)2＋(2＋t)2 ＝5t
• 重点：向量共线的坐标表示． • 难点：向量共线的条件在解决实际问题中
的应用(如判断直线平行，证明三点共线， 写出过定点的与已知向量平行的直线方程 等 )． • (1)条件a1b2－a2b1＝0是由平行向量基本定 理坐标化得到的，利用向量平行的坐标表 示一方面可以判定两向量平行或证明三点 共线，另一方面可以由两向量平行求参 数．
.
故 c＝3a－b.
• 2 ． (2010· 甘肃嘉峪关市一中高一下学期
期末测试)已知向量a＝(4,2)，向量b＝(x,3)， 且a∥b，则x＝( ) • A．9 B．6 • C．5 D．3 • [答案] B • [解析] ∵a＝(4,2)，b＝(x,3)，且a∥b， • ∴4×3－2x＝0，∴x＝6.
如图，已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求 AC、
OB 交点 P 的坐标． [分析] 解法一：要求点 P 的坐标，可利用 O、P、B 三
→ ＝λOB →， → 的坐标表示OP → 的坐标， 点共线， OP 用OB 然后利用 A， P，C 共线求出 P 点坐标．
•
→ ＝λOB → ＝(4λ，4λ)． [ 解析 ] 解法一：设 OP 解法二：设出P点坐标，利用O，P，B三点 → ＝(4 → 共线， A ， Pλ ， C 三点共线列出方程组，通过 AP λ－ 4,4 )， AC ＝(－2,6)． 解方程组求解． 因为 A、P、C 三点共线，所以 6×(4λ－4)－(－2)×4λ＝0， 3 解得 λ＝4. → ＝(3,3)，即 P 点坐标为(3,3)． 所以OP
• 3．下列各组向量相互平行的是
( ) • A．a＝(－1,2)，b＝(3,5) • B．a＝(1,2)，b＝(2,1) • C．a＝(2，－1)，b＝(3,4) • D．a＝(－2,1)，b＝(4，－2) • [答案] D • [解析] ∵b＝(4，－2)＝－2(－2,1)＝－2a， • ∴b∥a，所以D正确．
λ＝1 所以 λm＝－2
，∴m＝－2，
即 m＝－2 时，A、B、C 三点共线．
解法二：依题意知 i＝(1,0)，j＝(0,1)， → ＝(1，－2)，BC → ＝(1，m)，而AB → ，BC → 共线， ∴AB ∴1×m＋2＝0. 故当 m＝－2 时，A、B、C 三点共线．
[例 2]
→ ＝i－2j，BC → ＝i＋mj，其中 i、j 分别是 x 轴、 如果向量AB y 轴正方向上的单位向量，试确定实数 m 的值使 A、B、C 三 点共线．
[解析]
→ 、BC → 共线， 解法一∵A、B、C 三点共线，即AB
→ ＝λBC →， ∴存在实数 λ 使得AB 即 i－2j＝λ(i＋mj)．
[解析]假设 a＝λb＋μc，将 a、b、c 代入 a＝λb＋μc 得－ e1＋3e2＋2e3＝(4λ－3μ)e1－(6λ－12μ)e2＋(2λ＋11μ)e3， －1＝4λ－3μ 则3＝－6λ＋12μ 2＝2λ＋11μ 1 1 所以 a＝－10b＋5c. 1 λ＝－10 ，解得 μ＝1 5
• 三、解答题 → ，且 → • 7 ．已知 A(D － 1,2) ， B(0 ，－ 2) 2|| ＝ 3|| ， [解析] 设 (x， y)，由题意知， 2|AD |＝3|BD |，
若点 D 在线段 AB上， 上，求点D的坐标． 且点 D 在线段 AB
→ ＝3DB →， 所以 2AD 即 2(x＋1，y－2)＝3(－x，－2－y)．
4．已知向量 a＝(3,4)，b＝(cosα，sinα)且 a∥b，则 tanα ＝ ( 3 A. 4 4 C．－3 4 B. 3 3 D．－4 )
• [答案] B
[解析]
4 ∵a∥b，∴3sinα－4cosα＝0，∴tanα＝3.
• 二、填空题 • 5．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)共线，
• 一、选择题 • 1．(2009·湖北)若a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c
＝(4,2)，则c＝
•( • A．3a＋b • C．－a＋3b
B．3a－b D．a＋3b
)
• [答案] B
x＝3 ∴ y＝－1
[解析]
设 c＝xa＋yb，则(4,2) ，
4＝x－y ＝x(1,1)＋y(－1,1)．∴ 2＝x＋y－5 ＋ ， 5
4 当 t＝5时， 7 |a＋tb|取得最小值5 5； (2)a－tb＝(－3－2t,2－t)， 因为 a－tb 与 c 共线， 3 所以 3＋2t－6＋3t＝0，即 t＝ . 5
• 已知向量a＝－e1＋3e2＋2e3，b＝4e1－6e2
• [辨析] a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)平行的条
a－2b＝(4，－1)．
件应为a1b2－a2b1＝0，上述误解错用公式① [正解] ma＋b＝(2m－1,3m＋2)， 为a1b1－a2b2＝0，②为a1b2＋a2b1＝0.
由题意知(2m－1)×(－1)－4(3m＋2)＝0， 1 ∴m＝－2，故选 D.
＋2e3，c＝－3e1＋12e2＋11e3，问a能否表 示成a＝λb＋μc(λ，μ∈R)的形式？若能， 写出表达式；若不能，说明理由． • [分析] 假设存在λ、μ，使a＝λb＋μc，将 a、b、c代入看λ、μ是否有解，若无解， 则a不能表示为b、c的线性组合；若有解， 则a能表示为b、c的线性组合．