2015年4月上海市闸北区第二学期高三二模数学练习卷(文)及参考答案

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2015届高三阶段性诊断考试(二模)数学(文)试题 Word版含答案

高三阶段性诊断考试试题文科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()11z i +=（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数是A. 12i+B. 12i -C. 12i -+D. 12i --2.设{}{}21,,2,xP y y x x R Q y y x R ==-+∈==∈，则A. P Q ⊆B. Q P ⊆C. R C P Q ⊆D. R Q C P ⊆3.设命题21:32,:02x p x x q x --+<0≤-，则p 是q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.某工厂生产的甲、乙、丙三种型号产品的数量之比为2：3：5，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，其中甲种产品有20件，则n= A.50 B.100 C.150 D.2005.已知不共线向量,,,a b a b a b a b a ---+r r r r r r r r r则与的夹角是A.2πB.3π C.4π D.6π 6. ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若a,b,c ，成等比数列，且c=2a ，则cosC=A.4B. 4-C.34D. 34-7.设函数()()()01xx f x a ka a a -=->≠-∞+∞且在，上既是奇函数又是减函数，则()()log a g x x k =+的图象是8.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为A.B.C.2D. 3π9.已知函数()()f x x R ∈满足()()11,1f f x '=<且，则不等式()2211f g x g x <的解集为A. 10,10⎛⎫⎪⎝⎭B. ()10,10,10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭C. 1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D. ()10,+∞10.设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 做与x 轴垂直的直线交两渐近线于A,B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若()4,,25OP OA OB R λμλμλμ=+=∈uu u r uu r uu u r ，则双曲线的离心率e 是A.B.C.52D.54二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.若x,y都是锐角，且1sin tan ,3x y x y ==+=则_________. 12.在边长为2的正方形ABCD 的内部任取一点M ，则满足90AMB ∠>的概率为___________（结果保留π）. 13.已知0,0a b >>，方程为22420x y x y +-+=的曲线关于直线10ax by --=对称，则2a bab+的最小值为________.14.已知抛物线24y x =上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到y 轴的最短距离是_____.15.已知数列{}n a 满足()()11,log 12,n n a a n n n N *==+≥∈.定义：使乘积12k a a a ⋅⋅⋅⋅为正整数的()k k N*∈叫做“易整数”.则在[]1,2015内所有“易整数”的和为________. 三、解答题：本大题共6小题，共75分.16. （本小题满分12分）已知向量()cos ,cos ,3sin cos ,2sin 6m x x n x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且满足()f x m n =⋅u r r.（I ）求函数()f x 的的对称轴方程；（II ）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到()g x 的图象，当[]0,x π∈时，求函数()g x 的单调递增区间.17. （本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，90,2,3,//A B AD BC EF AB ∠=∠===，且AE=1，M,N 分别是FC,CD 的中点.将梯形ABCD 沿EF 折起，使得1,BM =连接AD,BC,AC 得到（图2）所示几何体.（I ）证明：BC ⊥平面ABFE ；（II ）证明：AF//平面BMN.18. （本小题满分12分）已知函数()()()log 01,,2m n f x x m m a n =>≠且点在函数()f x 的图象上. （I ）若()n n n b a f a m =⋅=，当时，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（II ）设2lg n n n c a a =⋅，若数列{}n c 是单调递增数列，求实数m 的取值范围.19. （本小题满分12分）某超市举办促销活动，凡购物满100元的顾客将获得3次模球抽奖机会，抽奖盒中放有除颜色外完全相同的红球、黄球和黑球各1个，顾客每次摸出1个球再放回，规定摸到红球奖励10元，摸到黄球奖励5元，摸到黑球无奖励.（I ）求其前2次摸球所获奖金大于10元的概率；（II ）求其3次摸球获得奖金恰为10元的概率.20. （本小题满分13分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>1，离心率为2.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）若过点()2,0M 的直线与椭圆C 交于A,B 两点，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=uu r uu u r uu u r（O 为坐标原点），当PA PB -<uu r uu r 时，求实数t 的取值范围.21. （本小题满分14分）已知函数()()()2121,ln 23f x x k x kg x x x =+--+=. （I ）若函数()g x 的图象在（1，0）处的切线l 与函数()f x 的图象相切，求实数k 的值；（II ）当0k =时，证明：()()0f x g x +>；（III ）设()()()(),h x f x g x h x '=+若有两个极值点()1212,x x x x ≠，且()()1272h x h x +<，求实数k 的取值范围.。

2015年4月上海市普陀区第二学期高三二模数学练习卷(文)及参考答案

2014学年第二学期普陀区高三文科数学质量调研卷考生注意： 2015.41.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.3.本试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相．．．．．．．．．应位置，本卷上任何解答都不作评分依据．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1. 若i iim =++1（i 为虚数单位），则实数=m . 2. 若函数2sin 2sin )(x x x f ωπω+=（0>ω）的最小正周期为π，则=ω . 3. 集合}1|{x y x A -==，∈==x x y x B ,4|{2R }，则=B A . 4. 若22ππ≤≤-x ，则函数⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=x x y 2cos cos π的单调递减区间为 . 5. 直线1l ：032=+-y x 与2l ：01=+-y x 的夹角的大小为 . （结果用反三角函数表示）. 6. 如图，若6π=∠OFB ，6-=⋅，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为左焦点的椭圆的标准方程为 .7. 函数x x f -=1)(（1≤x ），若函数ax x x g +=2)(是偶函数，则=)(a f .8. 若非负实数x 、y 满足⎩⎨⎧≥-+≥-+032042y x y x ，则y x +的最小值为 .9．一个底面置于水平面上的圆锥，若主视图是边长为2的正三角形，则圆锥的侧面积为 . 10. 如图，机车甲、乙分别停在A 、B 处，且km AB 10=.甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的21倍，甲沿北偏东60的方向移动，乙沿正北方向移动.若两者同时移动100分钟，则它们之间的距离为千米.11. 一个袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中5个红色，2个黑色.经过充分混合后，从袋中随机取出2个小球，则至少有一个黑球的概率为（结果用最简分数作答）.x第6题第10题12. 若正方形ABCD 的边长为1，且a AB =，b BC =，c AC =，则=-+23 . 13. 已知复数1z 、2z 满足1||1≤z ，1Re 12≤≤-z ，1Im 12≤≤-z . 若21z z z +=，则z 在复平面上对应的点组成的图形的面积为 .14.对于实数x ，用记号N )(x 表示不小于实数x 的最小整数，例如N 3)5.2(=，N 1)2(-=-，N 1)1(=.若R x ∈，函数=)(x f N 212)13(+-+x x 的零点分别为i x （n i ,,3,2,1 =），则=+++n x x x 21 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.15.a 、b 、c 表示直线，α表示平面，下列命题正确的是……………………………………………………（） .A 若b a //，α//a ，则α//b .B 若b a ⊥，α⊥b ，则α⊥a .C 若c a ⊥，c b ⊥，则b a // .D 若α⊥a ，α⊥b ，则b a //16. “直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的……………………………………（）.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 非充分非必要条件17.在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+22（*N n ∈）的展开式中，若第五项的系数与第三项的系数之比为3:56，则展开式中的常数项是………………………………………………………………………………………………………（）.A 第2项 .B 第3项 .C 第4项 .D 第5项18.已知m 、n 、i 、j 均为正整数，记j i a ,为矩阵m n A ⨯=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛m n n n m m a a a a a a a ,2,1,,22,2,12,121中第i 行、第j 列的元素，且1,,1+=+j i j i a a 、j i ji j i a a a ,,1,22+=++（其中1-≤m j 、2-≤n i ）. 给出结论：①4136,5=a ；②m a a a a m 2,23,22,21,2=++++ ； ③nm n mn a a ⎪⎭⎫⎝⎛-+=+21,,1；④若m 为常数，则332)(lim ,m a m n n +=∞→.正确的个数为…………………………………………………………………………………………………（）.A 0个 .B 1个 C .2个 D .3个三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19. (本题满分12分)在正方体1111D C B A ABCD -中，E 是棱1DD 的中点,，四棱锥ABCD E -的体积为34. 求异面直线BE 与11A B 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数x x f 2cos )(=，x x x g cos sin 321)(+=（1）若直线a x =是函数)(x f y =的图像的一条对称轴，求)2(a g 的值；（2）若20π≤≤x ，求)()()(x g x f x h +=的值域.21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数x x f 2)(=的反函数为)(1x f -（1）若1)1()(11=----x f x f，求实数x 的值；（2）若关于x 的方程0)1()(=--+m x f x f 在区间]2,1[内有解，求实数m 的取值范围.1B 第19题22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题7分，第（3）小题5分如图，射线OA 、OB 所在的直线的方向向量分别为),1(1k d =、),1(2k d -=（0>k ），点P 在AOB ∠内，OA PM ⊥于M ，OB PN ⊥于N . （1）若1=k ，⎪⎭⎫⎝⎛21,23P ，求||OM 的值；（2）若()1,2P ，△OMP 的面积为56，求k 的值；（3）已知k 为常数，M 、N 的中点为T ，且kS MON 1Δ=，当P 变化时，求||OT 的取值范围.23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且0>n a ，nn n S a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅41（*N n ∈）（1）若()n n n a S b ⋅+=2log 1，求数列}{n b 的前n 项和n T ；（2）若20πθ<<n ，n n n a θtan 2=⋅，求证：数列}{n θ为等比数列，并求出其通项公式；（3）记n c =++-+-+-212121321a a a 21-n a ，若对于任意的*N n ∈，m c n ≥恒成立，求实数m 的最大值.x2014学年第二学期普陀区高三文科数学质量调研卷评分细则一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1. 1-2. 23. []1,04. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππ 5. 10103arccos 6. 12822=+y x 7. 1 8.37 9.π2 10. 3320 11. 2111 12. 5 13. π+12 14. 4- 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.三、解答题（本大题满分骤.19. (本题满分12分)【解】设正方体的棱长为a ，根据正方体的性质可得：四棱锥ABCD E -的底面积2a S ABCD =，高2a ED =……2分34231312=⨯=⨯⨯=a a ED S V ABCD ，解得2=a ……5分因为11//B A AB ，所以ABE ∠或其补角即为异面直线BE 与11A B 所成的角……8分在△ABE 2=AB ,5=AE ,3=BE ,由余弦定理可得032322594cos >=⨯⨯-+=∠ABE ，即ABE ∠32arccos =……11分所以异面直线BE 与11A B 所成的角的大小为32arccos 。

2015年4月上海市各区县二模题选编

y
．
C
N O
M A
B P x
D
（文科 13 ）．已知点 P 是半径为 1 的 O 上的动点，线段 AB 是 O 的直径 . 则
AB PA AB PB 的取值范围为
．
x2 x k x 1 x ， g ( x ) a ln( x 2) 2 14 ．已知函数 f ( x) 1 ( a R ) ，若对任 x 1 2 log 1 x x 1 3

14. 若 f x 是定义在 R 上的奇函数，且对任意的实数 x 0 ，总有正常数 T ，使得
f x T f x T 成立，则称 f x 具有“性质 p ” ，已知函数 g x 具有“性质 p ” ，且在
f ( x ) 和 g ( x ) 的“隔离直线”. 给出下列四组函数；
1 1, g ( x ) sin x ； 2x 1 ③ f ( x ) x , g ( x ) lg x ； x
① f ( x)
② f ( x) x 3 , g ( x) ④ f ( x) 2 x
1 ①存在不少于 3 项的数列 xn ，使得 F n 0 ； ②若数列 xn 的通项公式为 xn n N ， 2
n
则 F 2k 0 对 k N 恒成立；③若数列 xn 是等差数列，则 F n 0 对 n N 恒成立其中真命题的序号是（ A.（1）（2）） C.（2）（3） D.（1）（2）（3）
B.（1）（3）
【宝山静安青浦】

2015年4月上海市徐汇区第二学期高三二模数学练习卷(文)及参考答案

2014学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（文科）2015.4一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．已知集合1=1,22A ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，集合{}2=|,B y y x x A =∈，则A B = ．2．若复数i i z (21-=为虚数单位），则=+⋅z z z ．3．已知直线l 的一个法向量是(1,3n =-，则此直线的倾斜角的大小为． 4．某中学采用系统抽样的方法从该校高一年级全体800名学生中抽取50名学生进行体能测试．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数1650800==k ．若从16~1中随机抽取1个数的结果是抽到了7，则在编号为48~33的这16个学生中抽取的一名学生其编号应该是．5．已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤的图像有一个横坐标为3π的交点，则常数ϕ的值为．6．设函数)12(log )(2+=x x f ，则不等式)(2x f 12(log 5)f -≤的解为． 7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1515S =，则8a 的值为．8．从2位男同学和8位女同学中选两人参加志愿者活动，假设每位同学选到的可能性都相同，则选到两位性别相同的同学的概率是．（结果用最简分数表示） 9．执行如图所示的程序框图，输出的结果a = ．10．矩阵1211222232332123in i n i n n ni nn a a a a a a a a a n aa a ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭中每一行都构成公比为2的等比数列，第i 列各元素之和为i S ，则2lim 2n n n Sn →∞=⋅ ．11．一个正三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积是．俯视图左视图主视图2112．设)(x f 是定义域为R 的奇函数，)(x g 是定义域为R 的偶函数，若函数)()(x g x f +的值域为)3,1[，则函数)()(x g x f -的值域为．13．ABC ∆所在平面上一点P 满足PA PC AB +=，若ABP ∆的面积为6，则ABC ∆的面积为．14．对于曲线C 所在平面上的定点0P ，若存在以点0P 为顶点的角α，使得0AP B α≥∠对于曲线C 上的任意两个不同的点B A ,恒成立，则称角α为曲线C 相对于点0P 的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线C 相对于点0P 的“确界角”．曲线:C y =O 的“确界角”的大小是．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．“1arcsin 3α=”是“1sin 3α=”的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 16．下列不等式中，与不等式302x x-≥-同解的是（）（A ）()()320x x --≥ （B ）()()320x x --> （C ）203x x -≥- （D ）302xx -≥- 17．曲线x y =与直线3x =围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（）（A ）003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩ （B ）003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩ （C ）003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩ （D ）003x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩18．已知函数()2sin f x x x =⋅．给出下列三个命题：(1)()f x 是定义域为R 的奇函数； (2)()f x 在22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增； (3)对于任意的12,22x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，都有()()()12120x x f x f x ++≥⎡⎤⎣⎦．其中真命题的序号是（）（A ）(1)(2) （B ）(1)(3) （C ） (2)(3) （D ）(1)(2)(3)三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．如图，在Rt AOB ∆中，6OAB π∠=，斜边4AB =，D 是AB 的中点．现将Rt AOB ∆以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上的一点，且2BOC π∠=．（1）求该圆锥的全面积；（2）求异面直线AO 与CD 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos cos 2cos a C c A b A +=．（1）求角A 的大小；（2）若2a c ==，求ABC ∆的面积．21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示，它的外框是一个等腰梯形PQRS ，内部是一段抛物线和一根横梁．抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点O ，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点,A B ，抛物线与梯形下底的两个焊接点为,C D ．已知梯形的高是40厘米，C D 、两点间的距离为40厘米．（1）求横梁AB 的长度;（2）求梯形外框的用料长度．（注:细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米．）S RPQDCBAO22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知函数11()2f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，11()2g x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求函数()()()2h x f x g x =+的零点；（2）设()()2()F x f x mf x =+（其中常数0m ≥），求()F x 的最小值；（3）若直线():0,,l ax by c a b c ++=为常数与()f x 的图像交于不同的两点A B 、，与()g x 的图像交于不同的两点C D 、，求证：AC BD =．23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．对于一组向量n a a a a ,,,,321 (*n N ∈)，令n n a a a a S ++++= 321，如果存在p a ({}1,2,3,p n ∈)，使得||||p n p a S a -≥，那么称p a 是该向量组的“h 向量”．（1）设),(n x n a n +=(*n N ∈)，若3a 是向量组321,,a a a 的“h 向量”，求实数x 的取值范围；（2）若11((),0)3n n a -=(*N n ∈)，向量组n a a a a ,,,,321 是否存在“h 向量”？给出你的结论并说明理由；（3）已知123a a a 、、均是向量组321,,a a a 的“h 向量”，其中1x a =，2xa -=，求证：222123||+||+||a a a 可以写成一个关于xe 的二次多项式与一个关于xe -的二次多项式的乘积．文科参考答案一、填空题：（每题4分） 1. {}1 2. 62i - 3. 6π 4. 39 5. 6π6. 0x ≤7. 18. 29459. 310.1411. 12. (]3,1-- 13. 12 14.2π二、选择题：（每题5分）15. A 16. D 17. A 18. D三、解答题 19、解：（1）Rt AOB ∆中，2OB = 即圆锥底面半径为2圆锥的侧面积8S rl ππ==侧……………….4’故圆锥的全面积=+8+412S S S πππ==全侧底……………….6’ （2）过D 作//DM AO 交BO 于M ，连CM则CDM ∠为异面直线AO 与CD 所成角……………….8’ AO OBC⊥平面Q D M O B C∴⊥平面DM MC ∴⊥在Rt AOB ∆中，AO =DM ∴=D Q 是AB 的中点 M ∴是OB 的中点 1OM ∴=CM ∴=在Rt CDM ∆中，tan CDM ∠==，……………….10’CDM ∴∠=AO 与CD 所成角的大小为……………….12’20、解：（1）sin cos sin cos 2sin cos A C C A B A +=……………….3’ 所以()sin 2sin cos A C B A +=，即sin 2sin cos B B A = 由sin 0B ≠1cos 2A ⇒=……………….6’由于0A π<<，故3A π=……………….7’（2）由余弦定理得，222222cos3AC AC π=+-⋅⋅⋅所以1AC =……………….12’故121sin 23ABCS π∆=⋅⋅⋅=.14’21、解：（1）如图，以O 为原点，梯形的上底所在直线为x 轴，建立直角坐标系设梯形下底与y 轴交于点M ，抛物线的方程为：()220x py p =<由题意()20,40D -，得5p =-，210x y =-……….3’取20y x =-⇒=±即()()20,20A B ---()28AB cm =≈答：横梁AB 的长度约为28cm ………………..6’（2）由题意，得梯形腰的中点是梯形的腰与抛物线唯一的公共点设(():200RQ l y k x k +=-<………………..7’(()2220101002010y k x x kx x y ⎧+=-⎪⇒+-=⎨=-⎪⎩则()210040020k k ∆=++=⇒=-:20RQ l y =-+…………..10’得()(),40Q R-OQ MR RQ ⇒===梯形周长为(()2141cm =≈答：制作梯形外框的用料长度约为141cm ………………..14’y xS RPQMD CBAO22、解：（1）由31()022x h x x x =-=⇒=，函数()h x的零点为x =………4’ （2）则()22()24m m F x f x ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦……………..5’ 函数()f x 的值域为(][),11,-∞-+∞……………..6’若(],12m -∈-∞-，即[)2,m ∈+∞，()2mf x =-时，有2min ()4m F x =-……………..8’若(]1,02m-∈-，即[)0,2m ∈，()1f x =-时，有min ()1F x m =- 综上所述：[)[)2min2,()410,2m m F x m m ⎧-∈+∞⎪=⎨⎪-∈⎩…………….10’ （3）设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y()2220112ax by c a b x cx b y x x ++=⎧⎪⇒+++=⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，则1222c x x a b +=-+……………..14’ 同理由()2220112ax by c a b x cx b y x x ++=⎧⎪⇒++-=⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩，则3422c x x a b +=-+ 则AB 中点与CD 中点重合，即AC BD =……………..16’23、解：(1)由题意，得：||||213a a a +≥，则22)32(9)3(9++≥++x x ……………..2’解得：02≤≤-x ……………..4’(2) 1a 是向量组n a a a a ,,,,321 的“h 向量”，证明如下：)0,1(1=a ，1||1=a而)0,)31(2121()0,311])31(1[31(1132--⋅-=--=+++n n n a a a ……………..7’111110()2232n -≤-⋅<，1211110[()],2234n -≤-⋅<故=+++||32n a a a 1410])31(2121[221<<+⋅--n 即||||321n a a a a +++>所以1a 是向量组n a a a a ,,,,321 的“h 向量”……………..10’ (3)由题意得：||||321a a a +≥，23221||||a a a +≥，即23221)(a a a +≥322322212a a a a a ⋅++≥，同理312321222a a a a a ⋅++≥，212221232a a a a a ⋅++≥三式相加并化简，得：3231212322212220a a a a a a a a a ⋅+⋅+⋅+++≥ 即0)(2321≤++a a a ，0||321≤++a a a ，所以321=++a a a ……………..13’由321=++a a a，则3(x xa -=222222123()||+||+||222x x x x a a e e e e a --=+++ 22221()2222x x x x e e e e --+++=+ 221x x e e -=++……………..15’2()1x x e e -=+-()(1)1x x x x e e e e --=+++-()(111)1x x x x e e e e--=+++- 22()(1)1x x x x e e e e --=++-+……………..18’（注：分解结果不唯一）。

2015年上海市闸北区中考数学二模试卷及参考答案

2015年上海市闸北区中考数学二模试卷一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．（4分）﹣8的立方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．2．（4分）下列属于最简二次根式的是（）A． B．C．D．3．（4分）下列方程中，有实数根的是（）A．=﹣2 B．x2+1=0 C．=1 D．x2+x+1=04．（4分）在△ABC中，DE∥BC，DE与边AB相交于点D，与边AC相交于点E．如果DE过重心G点，且DE=4，那么BC的长是（）A．5 B．6 C．7 D．85．（4分）饭店为某公司提供“白领午餐”，有12元、15元、18元三种价格的套餐可供选择，每人限购一份．本周销售套餐共计500份，其中12元的占总份数的20%，15元的卖出180份，其余均为18元的，那么所购买的盒饭费用的中位数和众数分别是（）A．15元和18元B．15元和15元C．18元和15元D．18元和18元6．（4分）如图，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡AD和BC的坡度为1：0.6，现测得放水前的水面宽EF为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为2.1米．求放水后水面上升的高度是（）A．0.55 B．0.8 C．0.6 D．0.75二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）7．（4分）计算：2﹣2=．8．（4分）用科学记数法表示：3402000=．9．（4分）化简分式：=．10．（4分）不等式组的解集是．11．（4分）方程x+=0的解是．12．（4分）已知反比例函数y=（k≠0）图象过点（﹣1，﹣3），在每个象限内，自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐．（填“减小”或“增大”）13．（4分）文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语6张，随机从中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为．14．（4分）某品牌汽车经过两次连续的调价，先降价10%，后又提价10%，原价10万元的汽车，现售价万元．15．（4分）如图，在正方形ABCD中，如果AC=3，=，=，那么|﹣|=．16．（4分）某公园正在举行郁金香花展，现从红、黄两种郁金香中，各抽出6株，测得它们离地面的高度分别如下（单位cm）：红：54、44、37、36、35、34；黄：48、35、38、36、43、40；已知它们的平均高度均是40cm，请判断哪种颜色的郁金香样本长得整齐？．（填“红”或“黄”）17．（4分）已知⊙O的直径是10，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，且底边BC=6，求△ABC的面积是．18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的A′处．若△BED与△ABC相似，则相似比=．三、解答题（共7小题，满分78分）19．（10分）计算：﹣|cos45°﹣1|+（﹣2015）0+3．20．（10分）解方程组：．21．（10分）已知：如图，点E是矩形ABCD的边AD上一点，BE=AD，AE=8，现有甲乙两人同时从E点出发，分别沿EC，ED方向前进，甲的速度是乙的倍，甲到达目的地C点的同时乙恰好到达终点D处．（1）求tan∠ECD的值；（2）求线段AB及BC的长度．22．（10分）某公司的物流业务原来由A运输队承接，已知其收费标准y（元）与运输所跑路程x（公里）之间是某种函数关系．其中部分数据如表所示：（1）写出y（元）关于x（公里）的函数解析式；（不需写出定义域）（2）由于行业竞争激烈，现B运输队表示：若公司每次支付200元的汽车租赁费，则可按每公里0.9元收费．请写出B运输队每次收费y（元）关于所跑路程x（公里）的函数解析式；（不需写出定义域）（3）如果该公司有一笔路程500公里的运输业务，请通过计算说明应该选择哪家运输队？23．（12分）已知：如图（1），在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE=AF，∠AEC=∠AFC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图（2），若AD=AF，延长AE、DC交于点G，求证：AF2=AG•DF；（3）在第（2）小题的条件下，连接BD，交AG于点H，若HE=4，EG=12，求AH的长．24．（12分）已知如图，二次函数图象经过点A（﹣6，0），B（0，6），对称轴为直线x=﹣2，顶点为点C，点B关于直线x=﹣2的对称点为点D．（1）求二次函数的解析式以及点C和点D的坐标；（2）联结AB、BC、CD、DA，点E在线段AB上，联结DE，若DE平分四边形ABCD的面积，求线段AE的长；（3）在二次函数的图象上是否存在点P，能够使∠PCA=∠BAC？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25．（14分）已知：如图1，在△ABC中，已知AB=AC=6，BC=4，以点B为圆心所作的⊙B与线段AB、BC都有交点，设⊙B的半径为x．（1）若⊙B与AB的交点为D，直线CD与⊙B相切，求x的值；（2）如图2，以AC为直径作⊙P，那么⊙B与⊙P存在哪些位置关系？并求出相应x的取值范围；（3）若以AC为直径的⊙P与⊙B的交点E在线段BC上（点E不与C点重合），求两圆公共弦EF的长．2015年上海市闸北区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．（4分）﹣8的立方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．【分析】利用立方根的定义即可求解．【解答】解：∵（﹣2）3=﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2．故选：B．2．（4分）下列属于最简二次根式的是（）A． B．C．D．【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．【解答】解：A、，无法化简，故是最简二次根式，故本选项正确；B、，被开方数中含有分母；故本选项错误；C、，被开方数中含有分母，故本选项错误；D、所以本二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数；故本选项错误；故选：A．3．（4分）下列方程中，有实数根的是（）A．=﹣2 B．x2+1=0 C．=1 D．x2+x+1=0【分析】根据二次很式的性质可对A进行判断；根据判别式的意义对B、D进行判断；通过解分式方程对C进行判断．【解答】解：A、方程=﹣2没有实数解，所以A选项错误；B、△=0﹣4＜0，方程没有实数解，所以B选项错误；C、去分母得1=x+1，解得x=0，经检验x=0是原方程的解，所以C选项正确；D、△=14＜0，方程没有实数解，所以D选项错误．故选：C．4．（4分）在△ABC中，DE∥BC，DE与边AB相交于点D，与边AC相交于点E．如果DE过重心G点，且DE=4，那么BC的长是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】如图，连结AG并延长交BC于F，根据三角形重心性质得=2，再证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得=，然后利用比例的性质计算BC的长．【解答】解：如图，连结AG并延长交BC于F，如图，∵点G为△ABC的重心，∴=2，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，即=，∴BC=6．故选：B．5．（4分）饭店为某公司提供“白领午餐”，有12元、15元、18元三种价格的套餐可供选择，每人限购一份．本周销售套餐共计500份，其中12元的占总份数的20%，15元的卖出180份，其余均为18元的，那么所购买的盒饭费用的中位数和众数分别是（）A．15元和18元B．15元和15元C．18元和15元D．18元和18元【分析】根据题意先计算出本周销售套餐12元和18元的份数，再根据中位数和众数的定义即可得出答案．【解答】解：12元的份数有500×20%=100（份），18元的份数有500﹣100﹣180=220（份），∵本周销售套餐共计500份，∴所购买的盒饭费用的中位数是第250和251个数的平均数，∴中位数是15元；18元出现的次数最多，则众数是18元；故选：A．6．（4分）如图，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡AD和BC的坡度为1：0.6，现测得放水前的水面宽EF为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为2.1米．求放水后水面上升的高度是（）A．0.55 B．0.8 C．0.6 D．0.75【分析】先过点E作EM⊥GH于点M，根据水渠的横断面是等腰梯形，求出GM，再根据斜坡AD的坡度为1：0.6，得出EM：GM=1：0.6，最后代入计算即可．【解答】解：如图；过点E作EM⊥GH于点M，∵水渠的横断面是等腰梯形，∴GM=×（GH﹣EF）=×（2.1﹣1.2）=0.45，∵斜坡AD的坡度为1：0.6，∴EM：GM=1：0.6，∴EM：0.45=1：0.6，∴EM=0.75，故选：D．二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）7．（4分）计算：2﹣2=．【分析】根据负整数指数幂的定义求解：a﹣p=（a≠0，p为正整数）【解答】解：2﹣2==，故答案为．8．（4分）用科学记数法表示：3402000= 3.402×106．【分析】确定a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）中n的值是易错点，由于3402000有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．【解答】解：3402000=3.402×106．故答案为：3.402×106．9．（4分）化简分式：=．【分析】先把分母因式分解，然后进行约分即可．【解答】解：原式==．故答案为．10．（4分）不等式组的解集是x≥3．【分析】根据不等式的性质求出不等式①和②的解集，根据找不等式组的解集的规律找出不等式组的解集即可．【解答】解：由①得：x＞﹣2，由②得：x≥3，∴不等式组的解集是x≥3．故答案为x≥3．11．（4分）方程x+=0的解是0．【分析】本题含根号，计算比较不便，因此可先对方程两边平方，得到x=x2，再对方程进行因式分解即可解出本题．【解答】解：原方程变形为：x=x2即x2﹣x=0∴（x﹣1）x=0∴x=0或x=1∵x=1时不满足题意．∴x=0．故答案为：0．12．（4分）已知反比例函数y=（k≠0）图象过点（﹣1，﹣3），在每个象限内，自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐减小．（填“减小”或“增大”）【分析】首先利用待定系数法确定反比例函数的比例系数，然后根据其符号确定其增减性即可．【解答】解：设反比例函数的解析式为y=（k≠0），∵反比例函数图象过点（﹣1，﹣3），∴把（﹣1，﹣3）代入得3=k＞0，根据反比例函数图象的性质可知它在每个象限内y随x的增大而减小，故答案为：减小；13．（4分）文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语6张，随机从中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为．【分析】由文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语6张，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语6张，∴随机从中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为：=．故答案为：．14．（4分）某品牌汽车经过两次连续的调价，先降价10%，后又提价10%，原价10万元的汽车，现售价9.9万元．【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：10×（1﹣10%）×（1+10%）=9.9（万元），则现售价为9.9万元．故答案为：9.9．15．（4分）如图，在正方形ABCD中，如果AC=3，=，=，那么|﹣|= 3．【分析】首先由在正方形ABCD中，如果AC=3，可求得BC的长，又由=，=，可得|﹣|=||=BC．【解答】解：∵在正方形ABCD中，AC=3，∴AB=BC=3，∵=，=，∴﹣=﹣=，∴|﹣|=||=BC=3．故答案为：3．16．（4分）某公园正在举行郁金香花展，现从红、黄两种郁金香中，各抽出6株，测得它们离地面的高度分别如下（单位cm）：红：54、44、37、36、35、34；黄：48、35、38、36、43、40；已知它们的平均高度均是40cm，请判断哪种颜色的郁金香样本长得整齐？黄．（填“红”或“黄”）【分析】先根据方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]分别求出红颜色和黄颜色的方差，然后进行比较，即可得出答案．【解答】解：红颜色的郁金香的方差是：[（54﹣40）2+（44﹣40）2+（37﹣40）2+（36﹣40）2+（35﹣40）2+（34﹣40）2]≈49.67，黄颜色的郁金香的方差是：[（48﹣40）2+（35﹣40）2+（38﹣40）2+（36﹣40）2+（43﹣40）2+（40﹣40）2]≈29.67，∵S2红＞S2黄，∴黄颜色的郁金香样本长得整齐；故答案为：黄．17．（4分）已知⊙O的直径是10，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，且底边BC=6，求△ABC的面积是3或27．【分析】从圆心在三角形内部和外部两种情况讨论，根据垂径定理和三角形的性质求出答案．【解答】解：当圆心在三角形内部时，0B=5，BD=3，根据勾股定理，OD=4，则AD=9，S△ABC=×6×9=27，当圆心在三角形外部时，0B=5，BD=3，根据勾股定理，OD=4，则AD=1，S△ABC=×6×1=3，故答案为：3或27．18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的A′处．若△BED与△ABC相似，则相似比=．【分析】根据△BED与△ABC相似和△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，求出∠A=∠DBA=∠DBC=30°，利用三角函数求出BD、AC的长，得到答案．【解答】解：△BED与△ABC相似，∴∠DBA=∠A，又∠DBA=∠DBC，∴∠A=∠DBA=∠DBC=30°，设BC为x，则AC=x，BD=x，=．故答案为：．三、解答题（共7小题，满分78分）19．（10分）计算：﹣|cos45°﹣1|+（﹣2015）0+3．【分析】根据零指数幂、分数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=﹣|﹣1|+1+，然后分母有理化和去绝对值后合并即可．【解答】解：原式=﹣|﹣1|+1+=2﹣+﹣1+1+=2+．20．（10分）解方程组：．【分析】把①化为x=±2y，把②化为x+y=±2，重新组成方程组，解二元一次方程组即可．【解答】解：，由①得，x=±2y，由②得，x+y=±2，则，，，解得，，，，．21．（10分）已知：如图，点E是矩形ABCD的边AD上一点，BE=AD，AE=8，现有甲乙两人同时从E点出发，分别沿EC，ED方向前进，甲的速度是乙的倍，甲到达目的地C点的同时乙恰好到达终点D处．（1）求tan∠ECD的值；（2）求线段AB及BC的长度．【分析】（1）设ED=a，则EC=a，在Rt△EDC中根据勾股定理用a表示出DC 的长，在Rt△ABE中，根据BE2=AB2+AE2求出a的值，故可得出ED及CD的长，由锐角三角函数的定义即可得出结论；（2）由（1）中，DE=a，CD=3a，a=2可得出DE=2，CD=6，再根据四边形ABCD是矩形，BE=AD即可得出结论．【解答】解：（1）设ED=a，则EC=a，在Rt△EDC中，∵DC===3a，∴BE=AE+ED=8+a．在Rt△ABE中，∵BE2=AB2+AE2，即（8+a）2=（3a）2+82，解得a=2，∴ED=2，CD=6，∴tan∠ECD===．（2）∵由（1）知，DE=a，CD=3a，a=2，∴DE=2，CD=6．∵四边形ABCD是矩形，BE=AD，AE=8，∴AB=CD=6，BC=AD=AE+DE=8+2=10．22．（10分）某公司的物流业务原来由A运输队承接，已知其收费标准y（元）与运输所跑路程x（公里）之间是某种函数关系．其中部分数据如表所示：（1）写出y（元）关于x（公里）的函数解析式y A=2.5x；（不需写出定义域）（2）由于行业竞争激烈，现B运输队表示：若公司每次支付200元的汽车租赁费，则可按每公里0.9元收费．请写出B运输队每次收费y（元）关于所跑路程x（公里）的函数解析式y B=200+0.9x；（不需写出定义域）（3）如果该公司有一笔路程500公里的运输业务，请通过计算说明应该选择哪家运输队？【分析】（1）根据表可知：当运输路程跑80公里时，收费200元，所以每公里收费为2.5元，所以y A=2.5x．（2）根据题意得：y B=200+0.9x．（3）当x=500时，y A=2.5×500=1250，y B=2000+0.9×500=2450，因为y A＞y B，所以选择B运输队．【解答】解：（1）根据表可知：当运输路程跑80公里时，收费200元，∴每公里收费为2.5元，∴y A=2.5x．故答案为：y A=2.5x．（2）根据题意得：y B=200+0.9x．故答案为：y B=200+0.9x．（3）当x=500时，y A=2.5×500=1250，y B=200+0.9×500=650，∴y A＞y B，∴选择B运输队．23．（12分）已知：如图（1），在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD 上，且AE=AF，∠AEC=∠AFC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图（2），若AD=AF，延长AE、DC交于点G，求证：AF2=AG•DF；（3）在第（2）小题的条件下，连接BD，交AG于点H，若HE=4，EG=12，求AH的长．【分析】（1）通过AAS证得△AEB≌△AFD，则其对应边相等：AB=AD，所以“邻边相等的平行四边形是菱形”；（2）欲证明AF2=AG•DF，需要通过相似三角形△GAD∽△AFD的对应边成比例得到AD=AF，则AF2=AG•DF；（3）根据菱形的性质和平行线分线段成比例得到：AH：HG=BH：HD，BH：HD=EH：AH，故AH：HG=EH：AH．把相关线段的长度代入来求AH的长度即可．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D．∵∠AEC=∠AFC，∠AEC+∠AEB=∠AFC+∠AFD=180°，∴∠AEB=∠AFD．在△AEB和△AFD中，，∴△AEB≌△AFD（AAS）∴AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）由（1）知，△AEB≌△AFD，则∠BAE=∠DAF．如图2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DG，∴∠BAE=∠G，∴∠G=∠DAF．又∵∠ADF=∠GDA，∴△GAD∽△AFD，∴DA：DF=DG：DA，∴DA2=DG•DF．∵DG：DA=AG：FA，且AD=AF，∴DG=AG．又∵AD=AF，∴AF2=AG•DF；（3）如图2，在菱形ABCD中，∵AB∥DC，AD∥BC，∴AH：HG=BH：HD，BH：HD=EH：AH，∴AH：HG=EH：AH．∵HE=4，EG=12，∴AH：16=4：AH，∴AH=8．24．（12分）已知如图，二次函数图象经过点A（﹣6，0），B（0，6），对称轴为直线x=﹣2，顶点为点C，点B关于直线x=﹣2的对称点为点D．（1）求二次函数的解析式以及点C和点D的坐标；（2）联结AB、BC、CD、DA，点E在线段AB上，联结DE，若DE平分四边形ABCD的面积，求线段AE的长；（3）在二次函数的图象上是否存在点P，能够使∠PCA=∠BAC？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由二次函数对称轴为直线x=2，根据A坐标确定出二次函数与x轴的另一个交点坐标，设出二次函数解析式为y=a（x+6）（x﹣2），把C坐标代入求出a的值，确定出二次函数解析式，进而确定出C与D坐标即可；（2）连接AB、BC、CD、DA，点E在线段AB上，连接DE，如图1所示，利用勾股定理求出AB，BC，CD与BD的长，根据直线CD与直线AB斜率相等，得到DC与AB平行，继而得到四边形ABCD为直角梯形，若DE平分四边形ABCD的面积，可得直角梯形面积等于三角形ADE面积的2倍，求出AE的长即可；（3）在二次函数的图象上存在点P，能够使∠PCA=∠BAC，如图2所示，直线CP与AB交于点G，可得GA=GC，根据直线AB解析式设出G坐标（x，x+6），利用两点间的距离公式求出x的值，确定出G坐标，利用待定系数法求出直线CG 解析式，与二次函数解析式联立求出P坐标；由（2）得到四边形ABCD为直角梯形，即DC与AB平行，利用两直线平行内错角相等，得到P与D重合时，满足题意，确定出此时P的坐标即可．【解答】解：（1）∵二次函数经过A（﹣6，0），B（0，6），对称轴为直线x=2，∴二次函数图象经过（2，0），设二次函数解析式为y=a（x+6）（x﹣2），把B（0，6）代入得：6=﹣12a，即a=﹣，∴二次函数解析式为y=﹣（x+6）（x﹣2）=﹣x2﹣2x+6=﹣（x+2）2+8，则C（﹣2，8），D（﹣4，6）；（2）如图1所示，由题意得：AB=6，BC=CD=2，BD=4，∵BD2=CD2+BC2，∴∠DCB=90°，∵直线AB的解析式为y=x+6，直线DC解析式为y=x+10，∴DC∥AB，∴四边形ABCD为直角梯形，=2S△ADE，即×2×（2+6）=2××2×AE，若S梯形ABCD解得：AE=4；（3）如图2，在二次函数的图象上存在点P，使∠PCA=∠BAC，直线CP与AB交于点G，可得GA=GC，∵A（﹣6，0），C（﹣2，8），直线AB解析式为y=x+6，设G（x，x+6），∴=，两边平方得：2x2+24x+72=2x2+8，移项合并得：24x=﹣64，解得：x=﹣，经检验是原方程的根且符合题意，∴G（﹣，），设直线CG解析式为y=kx+b，把C与G坐标代入得：，解得：，∴直线CG解析式为y=7x+22，联立得：，解得：或（经检验不合题意，舍去），∴P坐标为（﹣16，﹣90）；由（2）得到四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，此时P与D重合，即P（﹣4，6），综上，满足题意P的坐标为（﹣16，﹣90）或（﹣4，6）．25．（14分）已知：如图1，在△ABC中，已知AB=AC=6，BC=4，以点B为圆心所作的⊙B与线段AB、BC都有交点，设⊙B的半径为x．（1）若⊙B与AB的交点为D，直线CD与⊙B相切，求x的值；（2）如图2，以AC为直径作⊙P，那么⊙B与⊙P存在哪些位置关系？并求出相应x的取值范围；（3）若以AC为直径的⊙P与⊙B的交点E在线段BC上（点E不与C点重合），求两圆公共弦EF的长．【分析】（1）作AH⊥BC于点H，根据直线CD与⊙B相切，得到CD⊥AB，从而得到cos∠DBC=cos∠ACH，利用余弦的定义得到BD：BC=CH：CA，从而得到BD：4=2：6，求得BD的长即可求得圆的半径；（2）作PK⊥BC于点K，求得两圆的圆心距，然后根据两圆的半径和圆心距的大小关系得到位置关系即可；（3）设EF与PB交于点G，BG=m，在△PBE中，PE2﹣PG2=BE2﹣BG2求得m的值，然后根据EG2﹣BG2=BE2求得EG的长即可求得EF的长．【解答】解：（1）如图1，作AH⊥BC于点H，∵AB=AC=6，BC=4，∴BH=2．∵直线CD与⊙B相切，∴CD⊥AB，∵∠DBC=∠ACH，∴cos∠DBC=cos∠ACH，∴BD：BC=CH：CA，∴BD：4=2：6，∴BD=．（2）如图1，作PK⊥BC于点K，∴PK∥AH．∵AH⊥BC，AB=AC=6，BC=4，∴BH=2，∴AH=4．∵以AC为直径作⊙P，∴AP=PC，∴PK=2，CK=BC=1，∴BK=3，∴在Rt△PBK中，PB===，∴当0＜x＜﹣3时，⊙B与⊙P外离，当x=﹣3时，⊙B与⊙P外切，当﹣3＜x≤4时，⊙B与⊙P相交；（3）如图2，点E即为BC边的中点H，∴PE=3．设EF与PB交于点G，BG=m，∴在△PBE中，PE2﹣PG2=BE2﹣BG2，∴32﹣（﹣m）2=22﹣m2，∴m=．∵EG2﹣BG2=BE2，∴EG2﹣（）2=22，∴EG=，∴EF=．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：x-a a-a运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE ＝45°.（1）求线段AB 的长；（2）动点P 从B 出发，沿射线．．BE 运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t ，则t 为何值时，△ABP 为等腰三角形；（3）求AE －CE 的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。

2015年上海市普陀区高考数学二模试卷(文科)含详解

2015年上海市普陀区高考数学二模试卷（文科）一、填空题（共14题，每题4分，满分56分）1．（4分）若（i为虚数单位），则实数m=．2．（4分）若函数f（x）=sin的最小正周期为π，则ω=．3．（4分）集合A=，则A∩B．4．（4分）若﹣，则函数的单调递减区间为．5．（4分）直线l1：x﹣2y+3=0与l2：x﹣y+1=0的夹角的大小为．（结果用反三角函数表示）6．（4分）如图，若∠OFB=，=﹣6，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为左焦点的椭圆的标准方程为．7．（4分）函数f（x）=，若函数g（x）=x2+ax是偶函数，则f（a）=．8．（4分）若非负实数x、y满足，则x+y的最小值为．9．（4分）一个底面置于水平面的圆锥，若主视图是边长为2的正三角形，则圆锥的侧面积为．10．（4分）如图，机车甲、乙分别停在A，B处，且AB=10km，甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的，甲沿北偏东60°的方向移动，乙沿正北方向移动，若两者同时移动100分钟，则它们之间的距离为千米．11．（4分）一个袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中5个红色，2个黑色．经过充分混合后，从袋中随机地取出2个小球．则至少有一个黑球的概率为（结果用最简分数作答）．12．（4分）若正方形ABCD的边长为1，且=，则|=．13．（4分）已知复数z1，z2满足|z1|≤1，﹣1≤Rez2≤1，﹣1≤Imz2≤1，若z=z1+z2，则z在复平面上对应的点组成的图形的面积为．14．（4分）x∈R，用记号N（x）表示不小于实数的最小整数，例如N（2.5）=3，，N（1）=1；则函数的所有零点之和为．二、选择题（共4题，每题5分，满分20分）15．（5分）a，b，c表示直线，α表示平面，下列命题正确的是（）A．若a∥b，a∥α，则b∥αB．若a⊥b，b⊥α，则a⊥αC．若a⊥c，b⊥c，则a∥b D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b16．（5分）”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件17．（5分）在的展开式中，若第五项的系数与第三项的系数之比为56：3，则展开式中的常数项是（）A．第2项B．第3项C．第4项D．第5项18．（5分）已知m，n，i，j均为正整数，记a i，j为矩阵+1=a i，j+1，2a i+2，j=a i+1，j+a i，j（其中i≤n﹣2，j 中第i行、第j列的元素，且a i，j≤m﹣2）；给出结论：①a5=；②a2，1+a2，2+…+a2，m=2m；③，6④若m为常数，则．其中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个三、解答题（本大题共5题，写出必要的文字说明与步骤）19．（12分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，四棱锥E﹣ABCD 的体积为，求异面直线BE与B1A1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．20．（14分）已知函数f（x）=cos2x，g（x）=sinxcosx．（1）若直线x=a是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，求g（2a）的值；（2）若0≤x≤，求h（x）=f（x）+g（x）的值域．21．（14分）已知函数f（x）=2x的反函数为f﹣1（x）（1）若f﹣1（x）﹣f﹣1（1﹣x）=1，求实数x的值；（2）若关于x的方程f（x）+f（1﹣x）﹣m=0在区间[1，2]内有解，求实数m 的取值范围．22．（16分）如图，射线OA，OB所在的直线的方向向量分别为，，点P在∠AOB内，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N；（1）若k=1，，求|OM|的值；（2）若P（2，1），△OMP的面积为，求k的值；（3）已知k为常数，M，N的中点为T，且，当P变化时，求|OT|的取值范围．23．（18分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n＞0，（1）若b n=1+log2（S n•a n），求数列{b n}的前n项和T n；（2）若0＜θn＜，2n•a n=tanθn，求证：数列{θn}为等比数列，并求出其通项公式；（3）记|，若对任意的n∈N*，c n≥m恒成立，求实数m的最大值．2015年上海市普陀区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（共14题，每题4分，满分56分）1．（4分）若（i为虚数单位），则实数m=﹣1．【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件列式求得m 值．【解答】解：由，得，即，m=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．（4分）若函数f（x）=sin的最小正周期为π，则ω= 2．【考点】H1：三角函数的周期性；H2：正弦函数的图象．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用诱导公式、二倍角公式化简函数的解析式为f（x）=sinωx，再根据y=Asin（ωx+φ）的周期等于，得出结论．【解答】解：由于函数f（x）=sin=sin•cos=sinωx 的最小正周期为π，则=π，∴ω=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，三角函数的周期性及其求法，利用了y=Asin（ωx+φ）的周期等于T=，属于基础题．3．（4分）集合A=，则A∩B[0，1] ．【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B 的交集即可．【解答】解：由A中y=，得到1﹣x≥0，即x≤1，∴A=（﹣∞，1]，由B中y2=4x，得到x=≥0，即B=[0，+∞），则A∩B=[0，1]，故答案为：[0，1]【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．4．（4分）若﹣，则函数的单调递减区间为．【考点】GS：二倍角的三角函数；H2：正弦函数的图象．【专题】56：三角函数的求值．【分析】利用倍角公式与正弦函数的单调性即可得出．【解答】解：∵=﹣cosxsinx=﹣，由2kπ，解得，k∈Z．∴∩=，∴函数的单调递减区间为，故答案为：．【点评】本题考查了倍角公式与正弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（4分）直线l1：x﹣2y+3=0与l2：x﹣y+1=0的夹角的大小为arctan．（结果用反三角函数表示）【考点】IV：两直线的夹角与到角问题．【专题】5B：直线与圆．【分析】先求出两条直线的斜率，再利用两条直线的夹角公式求得两条直线的夹角的大小．【解答】解：由于直线l1：x﹣2y+3=0与l2：x﹣y+1=0的斜率分别为，1，设直线l1：x﹣2y+3=0与l2：x﹣y+1=0的夹角为θ，则tanθ=||=，∴θ=arctan，故答案为：arctan．【点评】本题主要考查两条直线的夹角公式的应用，属于基础题．6．（4分）如图，若∠OFB=，=﹣6，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为左焦点的椭圆的标准方程为=1．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据已知条件可设椭圆标准方程为，并且可得到a=，再根据即可得到，解出a，c，从而得到b2，从而得出椭圆的标准方程．【解答】解：根据已知条件知：c=，a=||，b=；又，；∴；解得a=，c=；∴b2=2；∴椭圆的标准方程为．故答案为：．【点评】考查椭圆的标准方程，a，b，c的几何意义，直角三角形边角的关系，以及数量积的计算公式．7．（4分）函数f（x）=，若函数g（x）=x2+ax是偶函数，则f（a）=1．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据g（x）为偶函数即可得到a=0，从而便求出f（a）=1．【解答】解：函数g（x）=x2+ax是偶函数；∴g（﹣x）=g（x）；∴x2﹣ax=x2+ax；∴ax=0；∴a=0；∴f（a）=f（0）=1．故答案为：1．【点评】考查偶函数的定义，以及已知函数解析式求函数值的方法．8．（4分）若非负实数x、y满足，则x+y的最小值为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=x+y的最小值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最小，此时z最小．由，解得，即A（，），代入目标函数z=x+y得z=+=．即目标函数z=x+y的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．9．（4分）一个底面置于水平面的圆锥，若主视图是边长为2的正三角形，则圆锥的侧面积为2π．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】易得圆锥的底面半径及母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长×．【解答】解：∵主视图是边长为2的正三角形，∴圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，∴底面半径=1，底面周长=2π，∴圆锥的侧面积=×2π×2=2π，故答案为：2π．【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式、圆锥的轴截面等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．10．（4分）如图，机车甲、乙分别停在A，B处，且AB=10km，甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的，甲沿北偏东60°的方向移动，乙沿正北方向移动，若两者同时移动100分钟，则它们之间的距离为千米．【考点】HU：解三角形．【专题】58：解三角形．【分析】由原题求出AD，BC，利用余弦定理求解即可．【解答】解：甲的速度为4千米/小时，移动100分钟，可得AD=千米．甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的，乙沿正北方向移动，移动100分钟，可得BC=千米，AC=10﹣=千米．∠DAC=120°，CD==．（千米）．故答案为：．【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力．11．（4分）一个袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中5个红色，2个黑色．经过充分混合后，从袋中随机地取出2个小球．则至少有一个黑球的概率为（结果用最简分数作答）．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】先求出所有的种数，以及至少有一个黑球的种数，根据概率公式计算即可．【解答】解：任意取两个球的种数为=21，至少有一个黑球的种数为1+=11种，根据概率公式，故从袋中随机地取出2个小球．则至少有一个黑球的概率为．答案为：．【点评】本题考查了古典概型的概率公式应用，属于基础题．12．（4分）若正方形ABCD的边长为1，且=，则|= 5．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】可画出图形，而根据=进行数量积的计算即可求得答案．【解答】解：如图，==．故答案为：5．【点评】考查求向量长度的方法：||=，以及数量积的计算公式．13．（4分）已知复数z1，z2满足|z1|≤1，﹣1≤Rez2≤1，﹣1≤Imz2≤1，若z=z1+z2，则z在复平面上对应的点组成的图形的面积为12+π．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由题意设出z1、z2，结合z=z1+z2得到z的轨迹（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，由圆心变化得到z所对应点的图形，则面积可求．【解答】解：∵复数z1，z2满足|z1|≤1，﹣1≤Rez2≤1，﹣1≤Imz2≤1，则可设z1=cosθ+isinθ，z2=a+bi（﹣1≤a≤1，﹣1≤b≤1），由z=z1+z2，得z=（a+cosθ）+（b+sinθ）i，设z=x+yi，则，∴（x﹣a）2+（y﹣b）2=1．当a，b变化时，z点的轨迹如图：则z在复平面上对应的点组成的图形的面积为：图中内部边长为2的正方形面积+四个长为2宽为1的长方形面积+四个四分之一圆的面积．等于．故答案为：12+π．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查数形结合的解题思想方法，关键是对题意的理解，属中档题．14．（4分）x∈R，用记号N（x）表示不小于实数的最小整数，例如N（2.5）=3，，N（1）=1；则函数的所有零点之和为﹣4．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】11：计算题；13：作图题；51：函数的性质及应用．【分析】作函数y=3x+1与函数y=2x﹣的图象，结合图象讨论以确定方程N （3x+1）=2x﹣的解，从而求函数的所有零点之和．【解答】解：作函数y=3x+1与函数y=2x﹣的图象如下，①当﹣4＜3x+1≤﹣3时，N（3x+1）=﹣3，故2x﹣=﹣3，解得，x=﹣（舍去）；②当﹣5＜3x+1≤﹣4时，N（3x+1）=﹣4，故2x﹣=﹣4，解得，x=﹣；③当﹣6＜3x+1≤﹣5时，N（3x+1）=﹣5，故2x﹣=﹣5，解得，x=﹣；④当﹣7＜3x+1≤﹣6时，N（3x+1）=﹣6，故2x﹣=﹣6，解得，x=﹣（舍去）；故函数的所有零点之和为﹣﹣=﹣4；故答案为：﹣4．【点评】本题考查了数形结合的应用及分类讨论的思想应用，属于中档题．二、选择题（共4题，每题5分，满分20分）15．（5分）a，b，c表示直线，α表示平面，下列命题正确的是（）A．若a∥b，a∥α，则b∥αB．若a⊥b，b⊥α，则a⊥αC．若a⊥c，b⊥c，则a∥b D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】15：综合题；5F：空间位置关系与距离；5M：推理和证明．【分析】利用线面平行的判定定理和性质定理即可判断出位置关系，判断A；利用线面垂直的性质定理判断B，D；若a⊥c，b⊥c，则a与b平行、相交、异面都有可能，可判断C．【解答】解：对于A，∵a∥b，∴a与b可以确定平面β．若β∥α，则b∥β；若α∩β=l，∵a∥平面α，∴a∥l．取l为b，则b⊂α，故A不正确；对于B，因为直线a⊥b，直线b⊥α，所以若a⊄α，则a∥α，或者a⊂α，故B不正确；对于C，若a⊥c，b⊥c，则a与b平行、相交、异面都有可能，故不正确；对于D，若a⊥α，b⊥α，利用线面垂直的性质定理可得a∥b，正确．故选：D．【点评】本题考查的知识点是空间直线与直线之间的位置关系，直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面之间的位置关系的定义，几何特征及判定方法是解答的关键．16．（5分）”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义，结合直线和抛物线的位置关系进行判断即可．【解答】解：”直线与抛物线相切”能推出“直线与抛物线只有一个公共点”，是充分条件，而“直线与抛物线只有一个公共点”推不出”直线与抛物线相切”，不是必要条件，如图示：，直线和抛物线的对称轴平行时只有1个交点，但不相切，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查直线和抛物线的关系，是一道基础题．17．（5分）在的展开式中，若第五项的系数与第三项的系数之比为56：3，则展开式中的常数项是（）A．第2项B．第3项C．第4项D．第5项【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；5P：二项式定理．【分析】在展开式的通项中，令x=1得出第5项的系数与第3项的系数表达式，由已知，求出n，再在通项中令x得指数为0，确定常数项．【解答】解：展开式的通项为T r=+1第5项的系数为•24，第3项的系数为•22，由已知，得出•24：•22=56：3，解得n=10令10﹣5r=0，可得r=2时，取到常数项，故选：B．【点评】本题考查二项式定理的应用：求指定的项．牢记公式是基础，方程思想是关键．18．（5分）已知m，n，i，j均为正整数，记a i，j为矩阵中第i行、第j列的元素，且a i+1=a i，j+1，2a i+2，j=a i+1，j+a i，j（其中i≤n﹣2，j，j≤m﹣2）；给出结论：①a5=；②a2，1+a2，2+…+a2，m=2m；③，6④若m为常数，则．其中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】15：综合题；5M：推理和证明．【分析】利用条件确定a n=+m，再进行验证，即可得出结论．，m=a i+1，j+a i，j，【解答】解：由题意，2a i+2，j所以a n﹣a n﹣1，1=，，1=+1，所以利用叠加法可得a n，1因为a i+1=a i，j+1，所以a n，m=+m，j所以：①a5=，故不正确；，6②a2+a2，2+…+a2，m=2+3+4+…+m+1=，故不正确；，1③由a n=+m，可得，故不正确；，m④若m为常数，利用极限可得，正确．故选：B．【点评】本题考查新定义，考查数列知识的运用，确定a n=+m，m是关键．三、解答题（本大题共5题，写出必要的文字说明与步骤）19．（12分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，四棱锥E﹣ABCD 的体积为，求异面直线BE与B1A1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】5G：空间角．【分析】求出正方体的棱长，找出异面直线BE与B1A1所成的角，然后求解即可．【解答】解：设正方体的棱长为：a，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，四棱锥E﹣ABCD的体积为，则，解得a=2，∵B1A1∥BA，∴异面直线BE与B1A1所成的角为∠ABE，AE==，tan∠ABE=，∠ABE=．直线BE与B1A1所成的角的大小为．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，找出异面直线所成角的平面角是解题的关键．20．（14分）已知函数f（x）=cos2x，g（x）=sinxcosx．（1）若直线x=a是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，求g（2a）的值；（2）若0≤x≤，求h（x）=f（x）+g（x）的值域．【考点】HW：三角函数的最值．【专题】56：三角函数的求值．【分析】（1）利用二倍角公式化简函数的表达式，通过直线x=a是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，求出a，然后求g（2a）的值；（2）化简h（x）=f（x）+g（x）为正弦函数类型，利用角的范围求出相位的范围，然后去函数值域．【解答】解：（1），其对称轴为，因为直线线x=a是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，所以，又因为，所以即．（2）由（1）得=∵，∴，∴．所以h（x）的值域为．【点评】本题考查三角函数的化简求值，对称性的应用，三角函数的最值求法，考查计算能力．21．（14分）已知函数f（x）=2x的反函数为f﹣1（x）（1）若f﹣1（x）﹣f﹣1（1﹣x）=1，求实数x的值；（2）若关于x的方程f（x）+f（1﹣x）﹣m=0在区间[1，2]内有解，求实数m 的取值范围．【考点】4R：反函数；51：函数的零点．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】（1）易得反函数为f﹣1（x）=log2x，由对数的运算可解x；（2）问题可化为求函数y=2x+21﹣x在区间[1，2]上的值域，由函数的单调性易得．【解答】解：（1）∵函数f（x）=2x，∴其反函数为f﹣1（x）=log2x，∵f﹣1（x）﹣f﹣1（1﹣x）=1，∴log2x﹣log2（1﹣x）=log2=1，∴=2，解得x=；（2）∵关于x的方程f（x）+f（1﹣x）﹣m=0在区间[1，2]内有解，∴2x+21﹣x﹣m=0在区间[1，2]内有解，即m=2x+21﹣x在区间[1，2]内有解，∴m即为函数y=2x+21﹣x在区间[1，2]上的值域，∵y=2x+21﹣x=2x+在[1，2]上单调递增，∴当x=1时，y取最小值3，当x=2时，y取最大值，∴实数m的取值范围为[3，]【点评】本题考查反函数，涉及指数函数和对数函数的性质，属基础题．22．（16分）如图，射线OA，OB所在的直线的方向向量分别为，，点P在∠AOB内，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N；（1）若k=1，，求|OM|的值；（2）若P（2，1），△OMP的面积为，求k的值；（3）已知k为常数，M，N的中点为T，且，当P变化时，求|OT|的取值范围．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】15：综合题；5B：直线与圆．【分析】（1）求出|OP|，点P到直线的距离，利用勾股定理，求|OM|的值；（2）直线OA的方程为kx﹣y=0，求出P（2，1）到直线的距离，利用勾股定理求出|OM|，利用△OMP的面积为，求k的值；=，可得P变化（3）设直线OA的倾斜角为α，求出|OM|，|ON|，利用S△MON 时，动点T轨迹方程，求出|OT|，即可求|OT|的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴|OP|=，∵OA的方程为y=x，即x﹣y=0，点P到直线的距离为=，∴|OM|==；（2）直线OA的方程为kx﹣y=0，P（2，1）到直线的距离为d=，∴|OM|=，∴△OMP的面积为××=，∴；（3）设M（x1，kx1），N（x2，﹣kx2），T（x，y），x1＞0，x2＞0，k＞0，设直线OA的倾斜角为α，则，根据题意得，代入化简得动点T轨迹方程为．∴，当且仅当时，|OT|取得最小值．∴|OT|的取值范围是．【点评】本题考查三角形面积的计算，考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．（18分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n＞0，（1）若b n=1+log2（S n•a n），求数列{b n}的前n项和T n；（2）若0＜θn＜，2n•a n=tanθn，求证：数列{θn}为等比数列，并求出其通项公式；（3）记|，若对任意的n∈N*，c n≥m恒成立，求实数m的最大值．【考点】87：等比数列的性质；8E：数列的求和；8I：数列与函数的综合；8K：数列与不等式的综合．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（1）直接利用已知条件以及对数的运算法则，直接求出通项公式．然后求解前n项和．（2）化简2n•a n=tanθn，通过a n=S n﹣S n﹣1求出a n，得到θn的函数关系式，然后证明数列{θn}为等比数列，求出其通项公式；（3）化简|，利用函数的最值，求解实数m的最大值．【解答】解：（1）∵，∴b n=1+log2（S n•a n）=1+log2=1﹣2n，，T n==﹣n2（2）由，代入，得，当n≥2时，，=tan（2θn），，因为，代入上式整理得tanθn﹣1所以的常数．当n=1时，，∵，所以数列{θn}是等比数列，首项为，公比为，其通项公式为．（3）由（2）得，它是个单调递减的数列，所以，对任意的n∈N*，c n≥m恒成立，所以m≤（c n）min．≥c n，由知，c n+1所以数列{c n}是单调递增的，c n最小值为c1=0，m≤（c n）min=0，因此，实数m的取值范围是（﹣∞，0]，m的最大值为0．【点评】本题考查数列与函数的综合应用，数列求和，等比数列的判断，考查分析问题解决问题的能力．。

2015届上海市高考数学·二模汇编解析几何

2015届高中数学·二模汇编（专题：解析几何）2015届高中数学·二模汇编解析几何一、填空题1.（2015崇明二模文6理6）设直线0132=++y x 和圆22230x y x +--=相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是．2.（2015崇明二模文12理11）已知双曲线2212y x -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且120MF MF ⋅=，则点M 到x 轴的距离等于．3. （2015奉贤二模文6理6）以抛物线x y 42=的焦点F 为圆心，与抛物线的准线相切的圆的标准方程为__________．4. （2015奉贤二模理11）关于x 的实系数一元二次方程2240x px -+=的两个虚根1z 、2z ，若1z 、2z 在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为__________．5. （2015奉贤二模文13）设12,F F 是曲线()0,012222>>=+n m ny m x 的两个焦点，曲线上一点与12,F F 构成的三角形的周长是16，曲线上的点到1F 的最小距离为2，则=n ____________．6. （2015虹口二模文8）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点在圆22(1)4x y -+=上，则p =________.7. （2015虹口二模理11文11）如图所示，已知12,F F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，且122F F =，若以坐标原点O 为圆心，12F F 为直径的圆与该双曲线的左支相交于,A B 两点，且2F AB ∆为正三角形，则双曲线的实轴长为__________.8.（2015虹口二模文13）已知直线1:125150l x y -+=和2:2,l x =-28P y x =点为抛物线上的动点，则1P l 点到直线2l 和直线的距离之和的最小值为_________.9．（2015黄浦二模文8理8）已知点(2,3)(1,4)A B --、，则直线AB 的点法向式方程是．10．（2015黄浦二模文9理9）已知抛物线216y x =的焦点与双曲线2221(0)12x y a a -=>的一个焦点重合，则双曲线的渐近线方程是．11．（2015静安二模文9）圆22420x y x y +-+=的圆心到直线3430x y ++=的距离为． 12.（2015静安二模理9）过圆0422=+-+my x y x 上一点)1,1(P 的切线方程为．xy2F 1F A BO13.（2015闵行二模理11文11）斜率为22的直线与焦点在x 轴上的椭圆2221(0)y x b b +=>交于不同的两点P 、Q .若点P 、Q 在x 轴上的投影恰好为椭圆的两焦点，则该椭圆的焦距为 .14.（2015闵行二模理13）如图，已知点(2,0)P ，且正方形ABCD 内接于O ：221x y +=， M 、N 分别为边AB 、BC 的中点.当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时， PM ON ⋅的取值范围为．15．（2015浦东二模理6文6）已知直线0243=++y x 与圆()2221r y x =+-相切，则该圆的半径大小为．16.（2015普陀二模理6文6）如图，若,66π∠=⋅=-OFB OF FB ，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为左焦点的椭圆的标准方程为．17．（2015徐汇二模理3文3）已知直线l 的一个法向量是()1,3n =-，则此直线的倾斜角的大小为． 18．（2015徐汇二模理14文14）对于曲线C 所在平面上的定点0P ，若存在以点0P 为顶点的角α，使得0AP B α≥∠对于曲线C 上的任意两个不同的点B A ,恒成立，则称角α为曲线C 相对于点0P 的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线C 相对于点0P 的“确界角”．曲线⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+=)0(12)0(1:22x x x x y C 相对于坐标原点O 的“确界角”的大小是．19.（2015闸北二模文9理8）从双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，若M 是线段FP 的中点，O 为原点，则MO MT -的值是____________．20．（2015长宁二模文2理2）抛物线28x y =的焦点到准线的距离是______________．二、选择题1. （2015虹口二模理17）如图所示，PAB ∆所在平面α和四边形ABCD 所在的平面β互相垂直，且AD α⊥， BC α⊥，4AD =，8BC =，6AB =，若tan 2tan 1ADP BCP ∠-∠=，则动点P 在平面α内的轨迹是（）A.线段B.椭圆的一部分C.抛物线D.双曲线的一部分2. （2015虹口二模理18）已知F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为抛物线上的三点，O 为坐标原点，F 若为ABC ∆的重心，,,OFA OFB OFC ∆∆∆面积分别记为123,,S S S ，则222123S S S ++的值为（）A.3B.4C.6D.9βαP BA DCABDy xCP NMO3．（2015浦东二模理17文17）若直线30ax by +-=与圆223x y +=没有公共点，设点P 的坐标(,)a b ，则过点P的一条直线与椭圆22143x y +=的公共点的个数为 ( ) )(A 0 )(B 1)(C 2 )(D 1或24．（2015长宁二模文17）设双曲线12222=-by a x （0>a ，0>b ）的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（）A ．x y 2±=B ．x y 2±=C ．x y 22±= D ．x y 21±=三、解答题1.（2015崇明二模理22文22）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F 与x 轴不垂直的直线交椭圆于,P Q 两点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ ∆的面积；（3）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．2.（2015奉贤二模理21文21）平面直角坐标系中，点()0,2-A 、()0,2B ，平面内任意一点P 满足：直线PA 的斜率1k ，直线PB 的斜率2k ，4321-=k k ，点P 的轨迹为曲线1C ．双曲线2C 以曲线1C 的上下两顶点N M ,为顶点，Q 是双曲线2C 上不同于顶点的任意一点，直线QM 的斜率3k ，直线QN 的斜率4k ．（1）求曲线1C 的方程；(5分)（2）如果04321≥+k k k k ，分别求双曲线2C 的两条渐近线倾斜角的取值范围．(9分)(第22题图）F 2F1y xPQ O 3.（205虹口二模文22理22）已知圆()221:18F x y ++=，点()21,0F ，点Q 在圆1F 上运动，2QF 的垂直平分线交1QF 于点P .（1）求动点P 的轨迹的方程C ；（2）设,M N 分别是曲线C 上的两个不同点，且点M 在第一象限，点N 在第三象限，若122OM ON OF +=， O 为坐标原点，求直线MN 的斜率；（3）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交曲线C 于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点T ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由.4.（2015黄浦二模理23）已知点()12,0F -、()22,0F ，平面直角坐标系上的一个动点(),P x y 满足124PF PF +=，设动点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）点M 是曲线C 上的任意一点，GH 为圆()22:31N x y -+=的任意一条直径，求MG MH ⋅的取值范围；（3）已知点,A B 是曲线C 上的两个动点，若OA OB ⊥（O 是坐标原点），试证明：直线AB 与某个定圆恒相切，并写出定圆的方程．5.（2015黄浦二模文23）已知点12(2,0)(2,0)F F -、，平面直角坐标系上的一个动点(,)P x y 满足12||+||=4PF PF ．设动点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）点M 是曲线C 上的任意一点，GH 为圆22:(3)1N x y -+=的任意一条直径，求MG MH ⋅的取值范围；（3）已知点A B 、是曲线C 上的两个动点，若OA OB ⊥(O 是坐标原点)，试证明：原点O 到直线AB 的距离是定值．6.（2015静安二模理22）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C 的方程为2218x y +=，设AB 是过椭圆C 中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上与O 不重合的点．（1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；（2）若2MO OA =，当点A 在椭圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程；（3）记M 是l 与椭圆C 的交点，若直线AB 的方程为(0)y kx k =>，当△AMB 面积取最小值时，求直线AB 的方程．7.（2015静安二模文22）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C 的方程为2218x y +=，设AB 是过椭圆C 中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上与O 不重合的点．（1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；（2）若2MO OA =，当点A 在椭圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程；（3）记M 是l 与椭圆C 的交点，若直线AB 的方程为(0)y kx k =>，当△AMB 面积为4147时，求直线AB 的方程．8.（2015闵行二模理22）已知两动圆2221:(3)F x y r ++=和2222:(3)(4)F x y r -+=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ,若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A B 、满足0MA MB ⋅=．（1）求曲线C 的方程；（2）证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标；（3）求ABM △面积S 的最大值．9.（2015闵行二模文22）已知两动圆2221:(3)F x y r ++=和2222:(3)(4)F x y r -+=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ，若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A B 、满足：0MA MB ⋅=．（1）求曲线C 的方程；（2）若A 的坐标为(2,0)-，求直线AB 和y 轴的交点N 的坐标；（3）证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标．10．（2015浦东二模理22）已知直线l 与圆锥曲线C 相交于两点,A B ，与x 轴，y 轴分别交于D E 、两点，且满足1EA AD λ=、2EB BD λ=．（1）已知直线l 的方程为24y x =-，抛物线C 的方程为24y x =，求12λλ+的值；（2）已知直线():11l x my m =+>，椭圆22:12x C y +=，求1211λλ+的取值范围；（3）已知双曲线()222122222:10,0,x y a C a b a b bλλ-=>>+=，试问D 是否为定点？若是，求点D 的坐标；若不是，说明理由．11．（2015浦东二模文22）已知直线l 与圆锥曲线C 相交于两点,A B ，与x 轴，y 轴分别交于D E 、两点，且满足1EA AD λ=、2EB BD λ=．（1）已知直线l 的方程为24y x =-，抛物线C 的方程为24y x =，求12λλ+的值；（2）已知直线():11l x my m =+>，椭圆22:12x C y +=，求1211λλ+的取值范围；（3）已知双曲线C ：1322=-y x ，621=+λλ，求点D 的坐标．11.（2015普陀二模理22文22）如图，射线OA OB 、所在的直线的方向向量分别是()()()121,1,0==->d k d k k 、，点P 在∠AOB 内，⊥PM OA 于M ，⊥PN OB 于N ．（1）若311,,22k P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求OM 的值；（2）若()2,1,∆P OMP 的面积为65，求k 的值；（3）已知k 为常数，M N 、的中点为T ，且1∆=MON S k，当P 变化时，求动点T 的轨迹方程．22465NMPyxAOBS RPQDC BAO12.（2015年徐汇二模文21理21）用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示，它的外框是一个等腰梯形PQRS ，内部是一段抛物线和一根横梁．抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点O ，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点,A B ，抛物线与梯形下底的两个焊接点为,C D ．已知梯形的高是40厘米，C D 、两点间的距离为40厘米．（1）求横梁AB 的长度;（2）求梯形外框的用料长度．（注:细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米．）13.（2015年杨浦文23理23）已知抛物线x y C 4:2=的焦点F ，线段PQ 为抛物线C 的一条弦. （1）若弦PQ 过焦点F ，求证：11FP FQ+为定值；（2）求证:x 轴的正半轴上存在定点M ，对过点M 的任意弦PQ ，都有2211MP MQ +为定值；（3）对于（2）中的点M 及弦PQ ，设PM MQ λ=，点N 在x 轴的负半轴上，且满足()NM NP NQ λ⊥-，求N 点坐标.14.（2015年闸北二模文17理16）已知圆()221:18C x y ++=，点()21,0C ，点Q 在圆1C 上运动，2QC 的垂直平分线交1QC 于点P ．（1）求动点P 的轨迹W 方程；（2）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为k 的动直线l 交曲线W 于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点D ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．15.（2015长宁二模文22）已知椭圆1:2222=+by a x C （0>>b a ）的焦距为2，且椭圆C 的短轴的一个端点与左、右焦点1F 、2F构成等边三角形．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设M 为椭圆上C 上任意一点，求21MF MF ⋅的最大值与最小值；（3）试问在x 轴上是否存在一点B ，使得对于椭圆上任意一点P ，P 到B 的距离与P 到直线4=x 的距离之比为定值．若存在，求出点B 的坐标，若不存在，请说明理由．16.（2015长宁二模理22）已知椭圆1:2222=+by a x C （0>>b a ）的左、右焦点分别为1F 、2F ，点B ),0(b ，过点B 且与2BF垂直的直线交x 轴负半轴于点D ，且→=+02221D F F F ．（1）求证：△21F BF 是等边三角形；（2）若过B 、D 、2F 三点的圆恰好与直线l ：033=--y x 相切，求椭圆C 的方程；（3）设过（2）中椭圆C 的右焦点2F 且不与坐标轴垂直的直线l 与C 交于P 、Q 两点，M 是点P 关于x 轴的对称点．在x 轴上是否存在一个定点N ，使得M 、Q 、N 三点共线，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．。

2015年上海市高考数学试卷及解析(文科)

2015年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1、（4分）函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为、2、（4分）设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则A∩B=、3、（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=、4、（4分）设f﹣1（x）为f（x）=的反函数，则f﹣1（2）=、5、（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=、6、（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=、7、（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=、8、（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为、9、（4分）若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为、10、（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）、11、（4分）在（2x+）6的二项式中，常数项等于（结果用数值表示）、12、（4分）已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为﹣y2=1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为、13、（4分）已知平面向量、、满足⊥，且||，||，||}={1，2，3}，则|++|的最大值是、14、（4分）已知函数f（x）=sinx、若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m ≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m ≥2，m∈N*），则m的最小值为、二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15、（5分）设z1、z2∈C，则“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的（）A、充分非必要条件B、必要非充分条件C、充要条件D、既非充分又非必要条件16、（5分）下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（）A、（x+8）（x2+2x+3）＜2B、x+8＜2（x2+2x+3）C、＜D、＞17、（5分）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A、B、C、D、18、（5分）设P n（x n，y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）A、﹣1B、﹣C、1D、2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19、（12分）如图，圆锥的顶点为P，底面圆为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧的中点，E为劣弧的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P﹣AOC的体积，并求异面直线PA和OE所成角的大小、20、（14分）已知函数f（x）=ax2+，其中a为常数（1）根据a的不同取值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若a∈（1，3），判断函数f（x）在[1，2]上的单调性，并说明理由、21、（14分）如图，O，P，Q三地有直道相通，OP=3千米，PQ=4千米，OQ=5千米，现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）、甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时，乙到达Q地后在原地等待、设t=t1时乙到达P地，t=t2时乙到达Q地、（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t1≤t≤t2时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，t2]上的最大值是否超过3？说明理由、22、（16分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D，记△AOC的面积为S、（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=|；（2）设l1：y=kx，，S=，求k的值；（3）设l1与l2的斜率之积为m，求m的值，使得无论l1和l2如何变动，面积S 保持不变、23、（18分）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*、（1）若b n=3n+5，且a1=1，求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a n0≥a n（n∈N*），求证：{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=3λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，a n≠0，且、参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1、（4分）函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为π、题目分析：由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期、试题解答解：∵函数f（x）=1﹣3sin2x=1﹣3=﹣+cos2x，∴函数的最小正周期为=π，故答案为：π、点评：本题主要考查半角公式的应用，余弦函数的周期性，属于基础题、2、（4分）设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则A∩B={2，3} 、题目分析：由A与B，找出两集合的交集即可、试题解答解：∵全集U=R，A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，∴A∩B={2，3}，故答案为：{2，3}点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键、3、（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=、题目分析：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出、试题解答解：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），又3z+=1+i，∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i，化为4a+2bi=1+i，∴4a=1，2b=1，解得a=，b=、∴z=、故答案为：、点评：本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题、4、（4分）设f﹣1（x）为f（x）=的反函数，则f﹣1（2）=﹣、题目分析：由原函数解析式把x用含有y的代数式表示，x，y互换求出原函数的反函数，则f﹣1（2）可求、试题解答解：由y=f（x）=，得，x，y互换可得，，即f﹣1（x）=、∴、故答案为：、点评：本题考查了函数的反函数的求法，是基础的计算题、5、（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=16、题目分析：根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可、试题解答解：由题意知，是方程组的解，即，则c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为：16、点评：本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键、6、（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=4、题目分析：由题意可得（•a•a•sin60°）•a=16，由此求得a的值、试题解答解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为•a•a•sin60°，正棱柱的高为a，∴（•a•a•sin60°）•a=16，∴a=4，故答案为：4、点评：本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题、7、（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p= 2、题目分析：利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论、试题解答解：因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，所以=1，所以p=2、故答案为：2、点评：本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础、8、（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为2、题目分析：利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可、试题解答解：∵log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2，∴log2（9x﹣1﹣5）=log2[4×（3x﹣1﹣2）]，∴9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2），化为（3x）2﹣12•3x+27=0，因式分解为：（3x﹣3）（3x﹣9）=0，∴3x=3，3x=9，解得x=1或2、经过验证：x=1不满足条件，舍去、∴x=2、故答案为：2、点评：本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题、9、（4分）若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为3、题目分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值、试题解答解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）、由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大、由，解得，即B（1，1），代入目标函数z=x+2y得z=2×1+1=3故答案为：3、点评：本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法、10、（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为120（结果用数值表示）、题目分析：根据题意，运用排除法分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案、试题解答解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C95=126种；其中只有女教师的有C65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；故答案为：120、点评：本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算、11、（4分）在（2x+）6的二项式中，常数项等于240（结果用数值表示）、题目分析：写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求、试题解答解：由（2x+）6，得=、由6﹣3r=0，得r=2、∴常数项等于、故答案为：240、点评：本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题、12、（4分）已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为﹣y2=1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为、题目分析：求出C1的一条渐近线的斜率，可得C2的一条渐近线的斜率，利用双曲线C1、C2的顶点重合，可得C2的方程、试题解答解：C1的方程为﹣y2=1，一条渐近线的方程为y=，因为C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，所以C2的一条渐近线的方程为y=x，因为双曲线C1、C2的顶点重合，所以C2的方程为、故答案为：、点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础、13、（4分）已知平面向量、、满足⊥，且||，||，||}={1，2，3}，则|++|的最大值是3+、题目分析：分别以所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，分类讨论：当{||，||}={1，2}，||=3，设，则x2+y2=9，则++=（1+x，2+y），有||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=9上点（x，y）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值；其他情况同理，然后求出各种情况的最大值进行比较即可、试题解答解：分别以所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，①当{||，||}={1，2}，||=3，则，设，则x2+y2=9，∴++=（1+x，2+y），∴||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=9上点（x，y）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值为=3+；②且{||，||}={1，3}，||=2，则，x2+y2=4，∴++=（1+x，3+y）∴||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=4上点（x，y）与定点（﹣1，﹣3）的距离的最大值为2+=2+，③{||，||}={2，3}，||=1，则，设，则x2+y2=1∴++=（2+x，3+y）∴||=的最大值，其几何意义是在圆x2+y2=1上取点（x，y）与定点（﹣2，﹣3）的距离的最大值为1+=1+∵，故|++|的最大值为3+、故答案为：3+点评：本题主要考查了向量的模的求解，解题的关键是圆的性质的应用：在圆外取一点，使得其到圆上点的距离的最大值：r+d（r为该圆的半径，d为该点与圆心的距离）、14、（4分）已知函数f（x）=sinx、若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m ≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m ≥2，m∈N*），则m的最小值为8、题目分析：由正弦函数的有界性可得，对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m值、试题解答解：∵y=sinx对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，考虑0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12，按下图取值即可满足条件，∴m的最小值为8、故答案为：8、点评：本题考查正弦函数的图象和性质，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，正确理解对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2是解答该题的关键，是难题、二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15、（5分）设z1、z2∈C，则“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的（）A、充分非必要条件B、必要非充分条件C、充要条件D、既非充分又非必要条件题目分析：根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可、试题解答解：若z1、z2均为实数，则z1﹣z2是实数，即充分性成立，当z1=i，z2=i，满足z1﹣z2=0是实数，但z1、z2均为实数不成立，即必要性不成立，故“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的充分不必要条件，故选：A、点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念是解决本题的关键、16、（5分）下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（）A、（x+8）（x2+2x+3）＜2B、x+8＜2（x2+2x+3）C、＜D、＞题目分析：根据x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，可得不等式＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），从而得出结论、试题解答解：由于x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，不等式＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），故选：B、点评：本题主要考查不等式的基本性质的应用，体现了等价转化的数学思想，属于基础题、17、（5分）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A、B、C、D、题目分析：根据三角函数的定义，求出∠xOA的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可、试题解答解：∵点A的坐标为（4，1），∴设∠xOA=θ，则sinθ==，cosθ==，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则OB的倾斜角为θ+，则|OB|=|OA|=，则点B的纵坐标为y=|OB|sin（θ+）=7（sinθcos+cosθsin）=7（×+）=+6=，故选：D、点评：本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键、18、（5分）设P n（x n，y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）A、﹣1B、﹣C、1D、2题目分析：当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出、试题解答解：当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），而可看作点P n（x n，y n）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆x2+y2=2在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为﹣1、∴=﹣1、故选：A、点评：本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题、三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19、（12分）如图，圆锥的顶点为P，底面圆为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧的中点，E为劣弧的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P﹣AOC的体积，并求异面直线PA和OE所成角的大小、题目分析：由条件便知PO为三棱锥P﹣AOC的高，底面积S又容易得到，从△AOC而带入棱锥的体积公式即可得到该三棱锥的体积、根据条件能够得到OE∥AC，从而找到异面直线PA，OE所成角为∠PAC，可取AC中点H，连接PH，便得到PH⊥AC，从而可在Rt△PAH中求出cos∠PAC，从而得到∠PAC、试题解答解：∵PO=2，OA=1，OC⊥AB；∴；E为劣弧的中点；∴∠BOE=45°，又∠ACO=45°；∴OE∥AC；∴∠PAC便是异面直线PA和OE所成角；在△ACP中，AC=，；如图，取AC中点H，连接PH，则PH⊥AC，AH=；∴在Rt△PAH中，cos∠PAH=；∴异面直线PA与OE所成角的大小为arccos、点评：考查圆锥的定义，圆锥的高和母线，等弧所对的圆心角相等，能判断两直线平行，以及异面直线所成角的定义及找法、求法，能用反三角函数表示角、20、（14分）已知函数f（x）=ax2+，其中a为常数（1）根据a的不同取值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若a∈（1，3），判断函数f（x）在[1，2]上的单调性，并说明理由、题目分析：（1）根据函数的奇偶性的定义即可判断，需要分类讨论；（2）根据导数和函数的单调性的关系即可判断、试题解答解：（1）当a=0时，f（x）=，显然为奇函数，当a≠0时，f（1）=a+1，f（﹣1）=a﹣1，f（1）≠f（﹣1），且f（1）+f（﹣1）≠0，所以此时f（x）为非奇非偶函数、（2）∵a∈（1，3），f（x）=ax2+，∴f′（x）=2ax﹣=，∵a∈（1，3），x∈[1，2]，∴ax＞1，∴ax3＞1，∴2ax3﹣1＞0，∴f′（x）＞0，∴函数f（x）在[1，2]上的单调递增、点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题、21、（14分）如图，O，P，Q三地有直道相通，OP=3千米，PQ=4千米，OQ=5千米，现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）、甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时，乙到达Q地后在原地等待、设t=t1时乙到达P地，t=t2时乙到达Q地、（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t1≤t≤t2时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，t2]上的最大值是否超过3？说明理由、题目分析：（1）用OP长度除以乙的速度即可求得t1=，当乙到达P点时，可设甲到达A点，连接AP，放在△AOP中根据余弦定理即可求得AP，也就得出f（t1）；（2）求出t2=，设t，且t小时后甲到达B地，而乙到达C地，并连接BC，能够用t表示出BQ，CQ，并且知道cos，这样根据余弦定理即可求出BC，即f（t），然后求该函数的最大值，看是否超过3即可、试题解答解：（1）根据条件知，设此时甲到达A点，并连接AP，如图所示，则OA=；∴在△OAP中由余弦定理得，f（t1）=AP==（千米）；（2）可以求得，设t小时后，且，甲到达了B点，乙到达了C 点，如图所示：则BQ=5﹣5t，CQ=7﹣8t；∴在△BCQ中由余弦定理得，f（t）=BC==；即f（t）=，；设g（t）=25t2﹣42t+18，，g（t）的对称轴为t=；且；即g（t）的最大值为，则此时f（t）取最大值；即f（t）在[t1，t2]上的最大值不超过3、点评：考查余弦定理的应用，以及二次函数在闭区间上最值的求法、22、（16分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D，记△AOC的面积为S、（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=|；（2）设l1：y=kx，，S=，求k的值；（3）设l1与l2的斜率之积为m，求m的值，使得无论l1和l2如何变动，面积S 保持不变、题目分析：（1）依题意，直线l1的方程为y=x，利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l1的距离d=，再利用|AB|=2|AO|=2，可证得S=|AB|d=|x1y2﹣x2y1|；（2）由（1）得：S=|x1y2﹣x2y1|=×|x1﹣y1|=，进而得到答案；（3）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，可求得x1、x2、y1、y2，利用S=|x1y2﹣x2y1|=•，设=c（常数），整理得：k4﹣2mk2+m2=c2[2k4+（1+4m2）k2+2m2]，由于左右两边恒成立，可得，此时S=；方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=m，则mx1x2=﹣y1y2，变形整理，利用A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，可求得面积S的值、试题解答解：（1）依题意，直线l1的方程为y=x，由点到直线间的距离公式得：点C到直线l1的距离d==，因为|AB|=2|AO|=2，所以S=|AB|d=|x1y2﹣x2y1|；（2）由（1）A（x1，y1），C（x2，y2），S=|x1y2﹣x2y1|=×|x1﹣y1|=、所以|x1﹣y1|=，由x12+2y12=1，解得A（，﹣）或（，﹣）或（﹣，）或（﹣，），由k=，得k=﹣1或﹣；（3）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为，直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，根据对称性，设x1=，则y1=，同理可得x2=，y2=，所以S=|x1y2﹣x2y1|=•，设=c（常数），所以（m﹣k2）2=c2（1+2k2）（k2+2m2），整理得：k4﹣2mk2+m2=c2[2k4+（1+4m2）k2+2m2]，由于左右两边恒成立，所以只能是，所以，此时S=，综上所述，m=﹣，S=、方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=m，所以mx1x2=y1y2，∴m2==mx1x2y1y2，∵A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，∴（）（）=+4+2（+）=1，即（+4m）x1x2y1y2+2（+）=1，所以+﹣2x1x2y1y2=（x1y2﹣x2y1）2=[1﹣（4m+）x1x2y1y2]﹣2x1x2y1y2=﹣（2m++2）x1x2y1y2，是常数，所以|x1y2﹣x2y1|是常数，所以令2m++2=0即可，所以，m=﹣，S=、综上所述，m=﹣，S=、点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题、23、（18分）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*、（1）若b n=3n+5，且a1=1，求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a n0≥a n（n∈N*），求证：{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=3λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，a n≠0，且、题目分析：（1）把b n=3n+5代入已知递推式可得a n+1﹣a n=6，由此得到{a n}是等差数列，则a n可求；（2）由a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，结合递推式累加得到a n=2b n+a1﹣2b1，求得，进一步得到得答案；（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ=﹣1，λ＜﹣1三种情况求得a n的最大值M和最小值m，再由∈（）列式求得λ的范围、﹣a n=2（b n+1﹣b n），b n=3n+5，试题解答（1）解：∵a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，∴a n+1∴{a n}是等差数列，首项为a1=1，公差为6，则a n=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；（2）∵a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（b n﹣b n﹣1）+2（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1=2b n+a1﹣2b1，∴，∴、∴数列{b n}的第n0项是最大项；（3）由（2）可得，①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；单调递增，有最小值m=a1=3λ＜0，∴的最小值为，最大值为，则，解得∴λ∈（）②当λ=﹣1时，a2n=1，a2n﹣1=﹣3，∴M=3，m=﹣1，不满足条件③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；→﹣∞，无最小值当n→+∞时，a2n﹣1综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，对（3）的求解运用了极限思想方法，是中档题。

2015年上海市闸北区高考数学一模试卷(文科)解析

2015年上海市闸北区高考数学一模试卷（文科）(扫描二维码可查看试题解析)一、填空题（54分）本大题共有9题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1．（6分）（2015•闸北区一模）复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为．2．（6分）（2015•闸北区一模）若f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）=log2（2﹣x），则f（2）=．3．（6分）（2015•闸北区一模）设动点P在函数y=图象上，若O为坐标原点，则|PO|的最小值为．4．（6分）（2015•闸北区一模）用数字“1，2”组成一个四位数，则数字“1，2”都出现的四位数有个．5．（6分）（2015•闸北区一模）设n∈N*，圆的面积为S n，则=．6．（6分）（2015•闸北区一模）在Rt△ABC中，AB=AC=3，M，N是斜边BC上的两个三等分点，则的值为．7．（6分）（2015•闸北区一模）设函数f（x）=2sin（πx），若存在x0∈R，使得对任意的x∈R，都有f（x）≤f（x0）成立．则关于m的不等式m2+m﹣f（x0）＞0的解为．8．（6分）（2015•闸北区一模）如果不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则实数a的取值范围是．9．（6分）（2015•闸北区一模）关于曲线C：=1，给出下列四个结论：①曲线C是椭圆；②关于坐标原点中心对称；③关于直线y=x轴对称；④所围成封闭图形面积小于8．则其中正确结论的序号是．（注：把你认为正确命题的序号都填上）二、选择题（18分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6分，否则一律得零分.10．（6分）（2015•闸北区一模）“a≠2”是“关于x，y的二元一次方程组有唯一解”的（）11．（6分）（2015•闸北区一模）已知等比数列{a n}前n项和为S n，则下列一定成立12．（6分）（2015•闸北区一模）对于集合A，定义了一种运算“⊕”，使得集合A中的元素间满足条件：如果存在元素e∈A，使得对任意a∈A，都有e⊕a=a⊕e=a，则称元素e 是集合A对运算“⊕”的单位元素．例如：A=R，运算“⊕”为普通乘法；存在1∈R，使得对任意a∈R，都有1×a=a×1=a，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：①A=R，运算“⊕”为普通减法；②A={A m×n|A m×n表示m×n阶矩阵，m∈N*，n∈N*}，运算“⊕”为矩阵加法；③A={X|X⊆M}（其中M是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集．三、解答题（本题满分78分）本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．13．（18分）（2015•闸北区一模）请仔细阅读以下材料：已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数．求证：命题“设a，b∈R+，若ab＞1，则”是真命题．证明因为a，b∈R+，由ab＞1得a＞＞0．又因为f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数，于是有．①同理有．②由①+②得．故，命题“设a，b∈R+，若ab＞1，则”是真命题．请针对以上阅读材料中的f（x），解答以下问题：（1）试用命题的等价性证明：“设a，b∈R+，若，则：ab＞1”是真命题；（2）解关于x的不等式f（a x﹣1）+f（2x）＞f（a1﹣x）+f（2﹣x）（其中a＞0）．14．（20分）（2015•闸北区一模）知F1，F2分别是椭圆C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，椭圆C过点且与抛物线y2=﹣8x有一个公共的焦点．（1）求椭圆C方程；（2）直线l过椭圆C的右焦点F2且斜率为1与椭圆C交于A，B两点，求弦AB的长；（3）以第（2）题中的AB为边作一个等边三角形ABP，求点P的坐标．15．（20分）（2015•闸北区一模）如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数y=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，ϕ∈（0，π）），x∈[﹣4，0]的图象，图象的最高点为B（﹣1，2）．边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且CD∥EF．游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧．（1）求曲线段FGBC的函数表达式；（2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE=θ，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时θ的值．16．（20分）（2015•闸北区一模）设数列{a n}满足：①a1=1；②所有项a n∈N*；③1=a1＜a2＜…＜a n＜a n+1＜…设集合A m={n|a n≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m．换句话说，b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值．我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．（1）请写出数列1，4，7的伴随数列；（2）设a n=3n﹣1，求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20之和；（3）若数列{a n}的前n项和S n=n2+c（其中c常数），求数列{a n}的伴随数列{b m}的前m项和T m．2015年上海市闸北区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（54分）本大题共有9题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1．（6分）（2015•闸北区一模）复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为4．=是纯虚数2．（6分）（2015•闸北区一模）若f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）=log2（2﹣x），则f （2）=﹣2．3．（6分）（2015•闸北区一模）设动点P在函数y=图象上，若O为坐标原点，则|PO|的最小值为2．|PO|=，利用基本不等式的性质即可得出．|PO|=4．（6分）（2015•闸北区一模）用数字“1，2”组成一个四位数，则数字“1，2”都出现的四位数有14个．个间隔中，故有个间隔中，故有5．（6分）（2015•闸北区一模）设n∈N*，圆的面积为S n，则=4π．解：∵圆的面积为．==46．（6分）（2015•闸北区一模）在Rt△ABC中，AB=AC=3，M，N是斜边BC上的两个三等分点，则的值为4．运用向量垂直的条件，可得+）+（+）++（+）（+×=47．（6分）（2015•闸北区一模）设函数f（x）=2sin（πx），若存在x0∈R，使得对任意的x∈R，都有f（x）≤f（x0）成立．则关于m的不等式m2+m﹣f（x0）＞0的解为{m|m＜﹣2，m ＞1}．8．（6分）（2015•闸北区一模）如果不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则实数a的取值范围是（﹣∞，5]．9．（6分）（2015•闸北区一模）关于曲线C：=1，给出下列四个结论：①曲线C是椭圆；②关于坐标原点中心对称；③关于直线y=x轴对称；④所围成封闭图形面积小于8．则其中正确结论的序号是②④．（注：把你认为正确命题的序号都填上）：：，方程变为：二、选择题（18分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6分，否则一律得零分.10．（6分）（2015•闸北区一模）“a≠2”是“关于x，y的二元一次方程组有，得到有唯一解得：，的二元一次方程组12．（6分）（2015•闸北区一模）对于集合A，定义了一种运算“⊕”，使得集合A中的元素间满足条件：如果存在元素e∈A，使得对任意a∈A，都有e⊕a=a⊕e=a，则称元素e是集合A对运算“⊕”的单位元素．例如：A=R，运算“⊕”为普通乘法；存在1∈R，使得对任意a∈R，都有1×a=a×1=a，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：①A=R，运算“⊕”为普通减法；②A={A m×n|A m×n表示m×n阶矩阵，m∈N*，n∈N*}，运算“⊕”为矩阵加法；③A={X|X⊆M}（其中M是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集．三、解答题（本题满分78分）本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．13．（18分）（2015•闸北区一模）请仔细阅读以下材料：已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数．求证：命题“设a，b∈R+，若ab＞1，则”是真命题．证明因为a，b∈R+，由ab＞1得a＞＞0．又因为f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数，于是有．①同理有．②由①+②得．故，命题“设a，b∈R+，若ab＞1，则”是真命题．请针对以上阅读材料中的f（x），解答以下问题：（1）试用命题的等价性证明：“设a，b∈R+，若，则：ab＞1”是真命题；（2）解关于x的不等式f（a x﹣1）+f（2x）＞f（a1﹣x）+f（2﹣x）（其中a＞0）．则：，得：，同理有：）得：时，不等式的解集为：时，即时，即时，不等式的解集为：14．（20分）（2015•闸北区一模）知F1，F2分别是椭圆C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，椭圆C过点且与抛物线y2=﹣8x有一个公共的焦点．（1）求椭圆C方程；（2）直线l过椭圆C的右焦点F2且斜率为1与椭圆C交于A，B两点，求弦AB的长；（3）以第（2）题中的AB为边作一个等边三角形ABP，求点P的坐标．，联立方程组．联立方程组，．=，∴|MP|=15．（20分）（2015•闸北区一模）如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数y=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，ϕ∈（0，π）），x∈[﹣4，0]的图象，图象的最高点为B（﹣1，2）．边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且CD∥EF．游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧．（1）求曲线段FGBC的函数表达式；（2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE=θ，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时θ的值．）令﹣=）﹣），．）由长为=OM=sin++）﹣，=平行四边形面积有最大值为16．（20分）（2015•闸北区一模）设数列{a n}满足：①a1=1；②所有项a n∈N*；③1=a1＜a2＜…＜a n＜a n+1＜…设集合A m={n|a n≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m．换句话说，b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值．我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．（1）请写出数列1，4，7的伴随数列；（2）设a n=3n﹣1，求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20之和；（3）若数列{a n}的前n项和S n=n2+c（其中c常数），求数列{a n}的伴随数列{b m}的前m项和T m．）根据伴随数列的定义得：，由对数的运算对得）由，得，）时：，）时：，．参与本试卷答题和审题的老师有：sxs123；双曲线；孙佑中；whgcn；caoqz；maths；742048；1619495736；lgh；智者乐水；zlzhan；gongjy（排名不分先后）菁优网2015年4月16日。

2015年上海市闸北区高考数学二模试卷(文科)含详解

2015年上海市闸北区高考数学二模试卷（文科）一、填空题（60分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分1．（6分）设幂函数f（x）的图象经过点（8，4），则函数f（x）的奇偶性为．2．（6分）若实数x，y满足如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1，则实数m=．3．（6分）直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有两个交点，则a的取值范围是．4．（6分）已知定义域为R的函数y=f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，y=g （x）是y=f（x）的反函数，若x1+x2=0，则g（x1）+g（x2）=．5．（6分）设a n=数列{a n}的前n项和S n，则S n=．6．（6分）设复数z1=2+i，z2=1+2i，在复平面的对应的向量分别为，，则向量对应的复数所对应的点的坐标为．7．（6分）若二项式（x+）n展开式中只有第四项的系数最大，则这个展开式中任取一项为有理项的概率是．8．（6分）观察下表：设第n行的各数之和为S n，则=．9．（6分）从双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若M是线段FP的中点，O为原点，则|MO|﹣|MT|的值是．10．（6分）集合U={（x，y）|x∈R，y∈R}，M={（x，y）||x|+|y|＜a}，P={（x，y）|y=f（x）}，现给出下列函数：①y=a x，②，③y=sin（x+a），④y=cosax，若0＜a＜1时，恒有P∩∁U M=P，则所有满足条件的函数f（x）的编号是．二、选择题（15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律零分11．（5分）下列命题中，正确的个数是（1）直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行；（2）a，b为异面直线，则过a且与b平行的平面有且仅有一个；（3）直四棱柱是直平行六面体（4）两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥（）A．0B．1C．2D．312．（5分）已知函数f（x）=x2+x+c，若f（0）＞0，f（p）＜0，则必有（）A．f（p+1）＞0B．f（p+1）＜0C．f（p+1）=0D．f（p+1）的符号不能确定13．（5分）如图，下列四个几何题中，他们的三视图（主视图，俯视图，侧视图）有且仅有两个相同，而另一个不同的两个几何体是（）A．（1），（2）B．（1），（3）C．（2），（3）D．（1），（4）三、解答题（本题满分75分）本题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要步骤14．（12分）如图，AB是圆柱体OO′的一条母线，BC过底面圆的圆心O，D是圆O上不与点B，C重合的任意一点，已知棱AB=5，BC=5，CD=3．（1）求直线AC与平面ABD所成的角的大小；（2）将四面体ABCD绕母线AB转动一周，求△ACD的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积．15．（14分）请你指出函数y=f（x）=（x∈R）的基本性质（不必证明，并判断以下四个命题的正确性，必要时可直接运用有关其基本性质的结论加以证明）（1）当x∈R时，等式f（x）+f（﹣x）=0恒成立；（2）若f（x1）≠f（x2），则一定有x1≠x2；（3）若m＞0，方程|f（x）|=m有两个不相等的实数解；（4）函数g（x）=f（x）﹣x在R上有三个零点．16．（15分）如图所示，某市拟在长为8km道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A＞0，ω＞0）（x ∈[0，4]）的图象，且图象的最高点为S（3，2），赛道的后一部分为折线段MNP，且∠MNP=120°（1）求M、P两点间的直线距离；（2）求折线段赛道MNP长度的最大值．17．（16分）已知圆c1：（x+1）2+y2=8，点c2（1，0），点Q在圆C1上运动，QC2的垂直平分线交QC1于点P．（I）求动点P的轨迹W的方程；（II）过点S（0，﹣）且斜率为k的动直线l交曲线W于A、B两点，在y轴上是否存在定点D，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出D的坐标，若不存在，说明理由．18．（18分）（i=1，2，…，n）{}{}=（1，1）=（x n，y n）=（x n﹣1﹣y n﹣1，x n﹣1+y n﹣1）（n≥2）（1）证明：数列{||}是等比数列；（2）设θn表示向量与间的夹角，若b n=2nθn﹣1，S n=b1+b2+…+b n，求S n；（3）设c n=||•log2||，问数列{c n}中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．2015年上海市闸北区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（60分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分1．（6分）设幂函数f（x）的图象经过点（8，4），则函数f（x）的奇偶性为偶函数．【考点】4Y：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据幂函数的定义得出8n=4，求解得出n=，即可得出f（x）=x=，运用奇偶性的定义判断即可．【解答】解；∵幂函数f（x）的图象经过点（8，4），∴8n=4，即3n=2，n=，∴定义域为（﹣∞，+∞），f（﹣x）===f（x），∴函数f（x）为偶函数，故答案为：偶函数．【点评】本题考查了幂函数的定义，函数奇偶性的定义，难度很小，属于容易题．2．（6分）若实数x，y满足如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1，则实数m=5．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题．【分析】画出不等式组表示的平面区域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数m的方程组，消参后即可得到m的取值【解答】解：画出x，y满足的可行域如下图：可得直线y=2x﹣1与直线x+y=m的交点使目标函数z=x﹣y取得最小值，由可得，代入x﹣y=﹣1得∴m=5故答案为：5【点评】如果约束条件中含有参数，先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值．3．（6分）直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有两个交点，则a的取值范围是a＜1或a=．【考点】51：函数的零点．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】先画出函数的图象，根据已知条件即可求出a的取值范围．【解答】解：∵曲线y=x2﹣|x|+a=，作出函数图象：由图象可知：若使直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有两个交点，则满足a＜1或，故答案为．【点评】熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．4．（6分）已知定义域为R的函数y=f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，y=g （x）是y=f（x）的反函数，若x1+x2=0，则g（x1）+g（x2）=﹣2．【考点】4R：反函数．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由题意可得y=g（x）是y=f（x）的反函数，得到函数y=g（x）的图象关于（0，﹣1）点中心对称图形，结合x1+x2=0，可得g（x1）+g（x2）的值．【解答】解：∵定义域为R的函数y=f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，且y=g（x）是y=f（x）的反函数，∴函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x﹣y=0对称，故函数y=g（x）的图象关于（0，﹣1）点中心对称图形，∴点（x1，g（x1））和点（x2，g（x2））是关于点（0，﹣1）中心对称，∴，，∵x1+x2=0，∴g（x1）+g（x2）=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了函数的性质，考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，是中档题．5．（6分）设a n=数列{a n}的前n项和S n，则S n=3．【考点】8E：数列的求和；8J：数列的极限．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】利用无穷等比数列的求和公式，即可求出极限．【解答】解：∵a n=数列{a n}的前n项和S n，∴S n=1+2+=3．故答案为：3．【点评】本题考查数列的极限，考查无穷等比数列的求和公式，比较基础．6．（6分）设复数z1=2+i，z2=1+2i，在复平面的对应的向量分别为，，则向量对应的复数所对应的点的坐标为（﹣1，1）．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由题意得到向量为，所对应的坐标，则向量对应的点的坐标可求．【解答】解：∵复数z1=2+i，z2=1+2i，在复平面的对应的向量分别为，，则=（2，1），=（1，2），∴==（1，2）﹣（2，1）=（﹣1，1）．则向量对应的复数所对应的点的坐标为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了平面向量的坐标运算，是基础题．7．（6分）若二项式（x+）n展开式中只有第四项的系数最大，则这个展开式中任取一项为有理项的概率是．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；5P：二项式定理．【分析】先利用展开式中只有第四项的二项式系数最大求出n=6，再求出其通项公式，求出r=0，2，4，6时，为有理项，即可求出概率．【解答】解：因为二项式（x+）n展开式中只有第四项的系数最大，所以n=6．所以其通项为T r=+1所以r=0，2，4，6时，为有理项，所以所求概率为，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理中的常用结论：如果n为奇数，那么是正中间两项的二项式系数最大；如果n为偶数，那么是正中间一项的二项式系数最大．8．（6分）观察下表：设第n行的各数之和为S n，则=4．【考点】8J：数列的极限．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】利用表格，求解第n行的各数之和为S n，然后求解数列的极限．【解答】解：由表格可知，第n行的各数之和为：S n=n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）==4n2﹣4n+1．==4．故答案为：4．【点评】本题考查数列求和，数列的极限的求法，考查计算能力．9．（6分）从双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若M是线段FP的中点，O为原点，则|MO|﹣|MT|的值是b﹣a．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设F′是双曲线的右焦点，连接PF′．利用三角形的中位线定理和双曲线的定义可得：|OM|=|PF′|=（|PF|﹣2a）=|PF|﹣a=|MF|﹣a，于是|OM|﹣|MT|=|MF|﹣|MT|﹣a=|FT|﹣a，连接OT，则OT⊥FT，在Rt△FOT中，|OF|=c，|OT|=a，可得|FT|==b．即可得出结论．【解答】解：如图所示，设F′是双曲线的右焦点，连接PF′．∵点M，O分别为线段PF，FF′的中点，由三角形中位线定理得到：|OM|=|PF′|=（|PF|﹣2a）=|PF|﹣a=|MF|﹣a，∴|OM|﹣|MT|=|MF|﹣|MT|﹣a=|FT|﹣a，连接OT，因为PT是圆的切线，则OT⊥FT，在Rt△FOT中，|OF|=c，|OT|=a，∴|FT|==b．∴|OM|﹣|MT|=b﹣a．故答案为：b﹣a．【点评】本题考查了双曲线的定义和性质的运用，结合三角形的中位线定理、直线与圆相切的性质等知识，考查学生的计算能力和分析能力，是中档题．10．（6分）集合U={（x，y）|x∈R，y∈R}，M={（x，y）||x|+|y|＜a}，P={（x，y）|y=f（x）}，现给出下列函数：①y=a x，②，③y=sin（x+a），④y=cosax，若0＜a＜1时，恒有P∩∁U M=P，则所有满足条件的函数f（x）的编号是①②④．【考点】4L：对数函数的值域与最值；H9：余弦函数的定义域和值域；R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题．【分析】利用补集的定义求出∁uM，由P∩∁uM=P，得到P⊆∁uM，故P中的函数f（x）必须满足||x|+|y|≥a，检验各个选项是否满足此条件．【解答】解：∵∁uM={（x，y）||x|+|y|≥a}，0＜a＜1时，P∩∁uM=P，∴P={（x，y）y=f（x）}⊆∁uM，如图所示：结合图形可得满足条件的函数图象应位于曲线|x|+|y|=a（﹣a≤x≤a ）的上方．①中，x∈R，y＞0，满足|x|+|y|≥a，故①可取．②中，x＞0，y=log a x∈R，满足||x|+|y|≥a，故②可取．③中的函数不满足条件，如x=0，a=时，y=，不满足|x|+|y|≥a．④中x∈R，﹣1≤y≤1，满足||x|+|y|≥a，故④可取．故答案为①②④．【点评】题考查补集的定义和运算，交集的定义和运算，求出∁uM={（x，y）||x|+|y|≥a}，是解题的关键，属于中档题．二、选择题（15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律零分11．（5分）下列命题中，正确的个数是（1）直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行；（2）a，b为异面直线，则过a且与b平行的平面有且仅有一个；（3）直四棱柱是直平行六面体（4）两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥（）A．0B．1C．2D．3【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】5L：简易逻辑．【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可判断出正误；（2）利用异面直线的性质与线面平行的判定定理即可断出正误；（3）利用直四棱柱与直平行六面体的定义，即可判断出正误；（4）两相邻侧面所成角相等的棱锥不一定是正棱锥，例如把如图所示的正方形折叠成三棱锥不是正棱锥．【解答】解：（1）直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和这个平面不一定平行，因此不正确；（2）a，b为异面直线，则过a且与b平行的平面有且仅有一个，正确；（3）直四棱柱不是直平行六面体，因此不正确；（4）两相邻侧面所成角相等的棱锥不一定是正棱锥，例如把如图所示的正方形折叠成三棱锥不是正棱锥．综上正确的有1个．故选：B．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、线面平行的判定定理、直四棱柱与直平行六面体的定义等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）=x2+x+c，若f（0）＞0，f（p）＜0，则必有（）A．f（p+1）＞0B．f（p+1）＜0C．f（p+1）=0D．f（p+1）的符号不能确定【考点】3T：函数的值．【专题】11：计算题．【分析】该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=﹣．f（0）=c＞0，图象关于x=﹣对称，所以f（﹣1）=f（0）＞0．由此能求出f（p+1）的符号．【解答】解：该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=﹣．f（0）=c＞0，即抛物线在y轴上的截距大于0．因为图象关于x=﹣对称，所以f（﹣1）=f（0）＞0．设f（x）=0的两根为x1、x2，令x1＜x2，则﹣1＜x1＜x2＜0，根据图象，x1＜p＜x2，故p+1＞0，f（p+1）＞0．故选：A．【点评】本题考查二次函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．13．（5分）如图，下列四个几何题中，他们的三视图（主视图，俯视图，侧视图）有且仅有两个相同，而另一个不同的两个几何体是（）A．（1），（2）B．（1），（3）C．（2），（3）D．（1），（4）【考点】L7：简单空间图形的三视图．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】根据题意，对题目中的四个几何体的三视图进行分析，即可得出正确的结论．【解答】解：对于（1），棱长为2的正方体的三视图都相同，是边长为2的正方形，∴不满足条件；对于（2），底面直径与高都为2的圆柱，它的正视图与侧视图相同，是边长为2的正方形，俯视图是圆，∴满足条件；对于（3），底面直径与高都为2的圆锥，它的正视图与侧视图相同，是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，∴满足条件；对于（4），底面边长为2高为2的直平行六面体，它的三视图可以都相同，∴不满足条件；综上，满足条件的是（2）、（3）．故选：C．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，是基础题目．三、解答题（本题满分75分）本题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要步骤14．（12分）如图，AB是圆柱体OO′的一条母线，BC过底面圆的圆心O，D是圆O上不与点B，C重合的任意一点，已知棱AB=5，BC=5，CD=3．（1）求直线AC与平面ABD所成的角的大小；（2）将四面体ABCD绕母线AB转动一周，求△ACD的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MI：直线与平面所成的角；NF：平面与圆柱面的截线．【专题】11：计算题．【分析】（1）欲求直线AC与平面ABD所成的角，先证出CD⊥平面ABD，从而得出∠CAD为直线AC与平面ABD所成的角，最后在Rt△ADC中，求解即可；（2）由题意可知，所求体积是两个圆锥体的体积之差，只须分别求出这两个锥体的体积后求它们的差即得．【解答】解：（1）因为点D以BC径的圆上，所以BD⊥DC（2分）因为AB⊥平面BDC，DC⊂平面BDC，所以AB⊥DC，从而有CD⊥平面ABD（4分）所以∠CAD为直线AC与平面ABD所成的角，在Rt△ADC中，=，所以，即直线AC与平面ABD所成的角为．（6分）（2）由题意可知，所求体积是两个圆锥体的体积之差，故所求体积为15π（14分）【点评】本题主要考查了直线与平面之间所成角、棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．15．（14分）请你指出函数y=f（x）=（x∈R）的基本性质（不必证明，并判断以下四个命题的正确性，必要时可直接运用有关其基本性质的结论加以证明）（1）当x∈R时，等式f（x）+f（﹣x）=0恒成立；（2）若f（x1）≠f（x2），则一定有x1≠x2；（3）若m＞0，方程|f（x）|=m有两个不相等的实数解；（4）函数g（x）=f（x）﹣x在R上有三个零点．【考点】57：函数与方程的综合运用．【专题】31：数形结合；51：函数的性质及应用．【分析】运用绝对值的定义，将函数写成分段函数的形式，写出定义域和值域、奇偶性和单调性，运用奇偶性即可判断（1）；运用单调性即可判断（2）；运用数形结合的思想方法，画出y=|f（x）|和y=m的图象，观察即可得到m的范围，即可判断（3）；由函数方程的思想，可得f（x）=x只有一解，即可判断（4）．【解答】解：函数y=f（x）==，定义域为R，值域为（﹣1，1），函数f（x）为奇函数，函数f（x）在（﹣∞，+∞）上递增．对于（1），由f（x）为奇函数，可知（1）正确；对于（2），由函数f（x）在（﹣∞，+∞）上递增，可知（2）正确；对于（3），作出y=|f（x）|和y=m的图象，由图象观察可得当0＜m＜1时，图象有两个交点，方程|f（x）|=m有两个不相等的实数解．可知（3）错误；对于（4），令g（x）=f（x）﹣x=0，即为f（x）=x，当x=0时，f（0）=0成立；当x＞0时，=x，方程无解；当x＜0时，=x，方程无解．即有函数g（x）只有一个零点．可知（4）错误．综上可得（1）（2）正确，（3）（4）错误．【点评】本题考查函数的性质和运用，主要考查绝对值函数的图象和性质，以及函数和方程的关系及转化思想，数形结合的思想方法，属于中档题和易错题．16．（15分）如图所示，某市拟在长为8km道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A＞0，ω＞0）（x ∈[0，4]）的图象，且图象的最高点为S（3，2），赛道的后一部分为折线段MNP，且∠MNP=120°（1）求M、P两点间的直线距离；（2）求折线段赛道MNP长度的最大值．【考点】HW：三角函数的最值．【专题】57：三角函数的图像与性质；58：解三角形．【分析】（1）由题意结合图象求得A和T，进一步求出ω，则函数解析式可求，代入M的横坐标求得的坐标，由两点间的距离公式求得MP的值；（2）在△MNP中，设出∠PMN=θ，由正弦定理把PN、MN用含θ的代数式表示，化简后利用三角函数求得最值．【解答】解：（1）依题意，有A=，又，T=12，∴ω=，∴y=，当x=4时，．∴M（4，3），又P（8，0），∴MP=；（2）在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5，设∠PMN=θ，则0°＜θ＜60°，由正弦定理得：，∴，，故NP+MN==．∵0°＜θ＜60°，∴当θ=30°时，折线段赛道MNP最长．【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）的图象的求法，训练了利用正余弦定理求解三角形，是中档题．17．（16分）已知圆c1：（x+1）2+y2=8，点c2（1，0），点Q在圆C1上运动，QC2的垂直平分线交QC1于点P．（I）求动点P的轨迹W的方程；（II）过点S（0，﹣）且斜率为k的动直线l交曲线W于A、B两点，在y轴上是否存在定点D，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出D的坐标，若不存在，说明理由．【考点】JE：直线和圆的方程的应用．【专题】11：计算题．【分析】（I）由QC2的垂直平分线交QC1于P，知|PQ|=|PC2|，动点P的轨迹是点C1，C2为焦点的椭圆．由此能够求出椭圆的标准方程．（II）直线l的方程为y=kx﹣，联立直线和椭圆方程，得，整理得（1+2k2）x2﹣12kx﹣16=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，假设在y轴上存在定点D（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，，由此能够求出D点坐标．【解答】解：（I）∵QC2的垂直平分线交QC1于P，∴|PQ|=|PC2|，|PC2|+|PC1|=|PC1|+|PQ|=，∴动点P的轨迹是点C1，C2为焦点的椭圆．设这个椭圆的标准方程是，∵，∴b2=1，∴椭圆的标准方程是．（II）直线l的方程为y=kx﹣，联立直线和椭圆方程，得，∴9（1+2k2）x2﹣12kx﹣16=0，由题意知，点S（0，﹣）在直线上，动直线l交曲线W于A、B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，假设在y轴上存在定点D（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，则，，∵，∴x1x2+（y1﹣m）（y2﹣m）=x1x2+y1y2﹣m（y1+y2）+m2=（1+k2）x1x2﹣k（+m）（x1+x2）+m2+m+=﹣==0．∴，∴m=1，所以，在y轴上存在满足条件的定点D，点D的坐标为（0，1）．【点评】本题考查圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线和圆的位置关系的合理运用．18．（18分）（i=1，2，…，n）{}{}=（1，1）=（x n，y n）=（x n﹣1﹣y n﹣1，x n﹣1+y n﹣1）（n≥2）（1）证明：数列{||}是等比数列；（2）设θn表示向量与间的夹角，若b n=2nθn﹣1，S n=b1+b2+…+b n，求S n；（3）设c n=||•log2||，问数列{c n}中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．【考点】8E：数列的求和；8L：数列与向量的综合．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】（1）通过向量模的计算易得数列{||}是等比数列；（2）通过向量数量积的运算，可得cosθn=，即得b n=，S n=；（3）易知c n=，假设数列{c n}中的第n项最小，可知0≤c2＜c1，当n≥3时，通过计算可得c5＜c6＜c7＜…，再由c n≥c n+1知c5＜c4＜…＜c1，故得结论．【解答】（1）证明：根据题意，得===，∴数列{||}是等比数列；（2）解：∵cosθn====，∴θn=，∴b n=，∴S n==；（3）结论：数列{c n}中存在最小项，最小项为c5=．理由如下：∵==，∴c n=，假设数列{c n}中的第n项最小，由c1=、c2=0，可知0≤c2＜c1，当n≥3时，有c n＜0，由c n≤c n+1，可得≤，即，∴，∴n2﹣6n+7≥0，解得或（舍），∴n=5，即有c5＜c6＜c7＜…，由c n≥c n+1，得3≤n≤5，又0≤c2＜c1，∴c5＜c4＜…＜c1，故数列{c n}中存在最小项，最小项为c5=．【点评】本题考查数列和向量的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，属于中档题．。

上海市闸北区2015届高三下学期期中练习(二模)数学(文)试题含解析

一、填空题：（60分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分,否则一律得零分.1。

设幂函数()f x 的图像经过点()8,4，则函数()f x 的奇偶性为____________．【答案】偶函数考点：幂函数的定义、函数的奇偶性.2。

已知实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥.,12,1m y x x y y如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于____________．【答案】5 【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域如图：由目标函数z x y =-的最小值为—1，得y x z =-,即当1z =-时，函数1y x =+,此时对应的平面区域在直线1y x =+的下方，由121y x y x =+⎧⎨=-⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩,即(2,3)A ,同时A 也在直线x y m +=上，即235m =+=。

考点:线性规划。

3。

直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点,则实数a 的取值范围是____________．【答案】5(1,)4【解析】试题分析：如图，在同一直角坐标系内画出直线1y =与曲线2||y x x a =-+,观察图象可知，a的取值必须满足14114a a >⎧⎪⎨-<⎪⎩,解得514a <<.考点：二次函数的性质.4。

已知定义域为R 的函数()y f x =的图像关于点()1,0-对称，()y g x =是()y f x =的反函数，若120x x +=，则()()12g x g x +=___________．【答案】-2考点:反函数、函数的对称性。

5。

设⎪⎩⎪⎨⎧∈≥∈≤≤=-.N ,3,31,N ,21,21n n n n a n n n 数列{}na 的前n 项和为nS ，则=∞→n n S lim ___________．【答案】5518【解析】试题分析:∵⎪⎩⎪⎨⎧∈≥∈≤≤=-.N ,3,31,N ,21,21n n n n a n n n ， ∴311lim lim(12)33nn n n S→∞→∞=++++111lim[3()]293n n →∞=+-11lim(3)1823n n →∞=+-•5518=。

上海市闸北区高三数学4月期中练习(二模)试题

闸北区2015学年度第二学期高三数学（理、文合卷）期中练习卷考生注意：1. 本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效．2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．3. 本试卷共有18道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（60分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1．设函数()(01x xf x a a a a -=+>≠且），且(1)3f =，则(0)(1)(2)f f f ++的值是．2．已知集合{||2|}A x x a =-<，2{|230}B x x x =--<，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是．3．如果复数z 满足||1z =且2z a bi =+，其中,a b R ∈，则a b +的最大值是．4．（理）在直角坐标系xoy 中，已知三点(,1),(2,),(3,4)A a B b C ，若向量OA u u u r ，OB uuu r在向量OC u u u r方向上的投影相同，则34a b -的值是．（文）已知x 、y 满足5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,若使得z ax y =+取最大值的点(,)x y 有无数个,则a的值等于．5．（理）某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖)且相应奖项获奖的概率是以a 为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分别是以7000元、5600元、4200元，则参加此次大赛获得奖金的期望是元．（文））在直角坐标系xoy 中，已知三点(,1),(2,),(3,4)A a B b C ，若向量OA u u u r ，OB uuu r 在向量OC u u u r方向上的投影相同，则34a b -的值是．6．已知1F 、2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆上一点，且12PF PF ⊥u u u r u u u u r，若12PF F ∆的面积为9，则b = ．7．ABC ∆中，,,a b c 分别是,,A B C ∠∠∠的对边且222ac c b a +=-，若ABC ∆最大边长7且sin 2sin C A =，则ABC ∆最小边的边长为．8．（理）在极坐标系中，曲线sin 2ρθ=+与sin 2ρθ=的公共点到极点的距离为_________．（文）设等差数列{}n a 的公差为d ，若1234567,,,,,,a a a a a a a 的方差为1，则d = ．9．（理）如右图，A 、B 是直线l 上的两点，且2AB =，两个半径相等的动圆分别与l 相切于A 、B 两点，C 是这两个圆的公共点，则圆弧AC ，圆弧CB 与线段AB 围成图形面积S 的取值范围是．（文）已知函数2cos ,||1()21,||1xx f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪->⎩，则关于x 的方程2()3()20f x f x -+=的实根的个数是个．10．（理）设函数2()1f x x =-，对任意⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,23x ，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是．（文）设函数1()f x x x=-,对任意[1,)x ∈+∞，()()0f mx mf x +<恒成立，则实数m 的取值范围是．二、选择题（15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．（理）已知a r 与b r 均为单位向量，其夹角为θ，则命题:P ||1a b ->r r是命题5:[,)26Q ππθ∈的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分且必要条件D ．非充分且非必要条件（文）若一个长方体共顶点的三个面的对角线长分别是,,a b c ，则长方体的对角线长是( )A 222a b c ++B 2222a b c ++C ab bc ac ++D 3(2)2b bc ac ++12．（理）已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1SA AB == 2BC =O 的表面积等于（）A ．π4B ．π3C ．π2D ．π（文）已知a r 与b r 均为单位向量，其夹角为θ，则命题:P ||1a b ->r r是命题5:[,)26Q ππθ∈的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分且必要条件D ．非充分且非必要条件CBAlD 1 .A 1CEABCD B 113．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，13n n a S +=，则下列关于{}n a 的论断中正确的是（）A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．可能是等差数列，但不会是等比数列D ．可能是等比数列，但不会是等差数列三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．14．（理）（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，11AA =，点E 在棱AB 上移动．（1）探求AE 多长时，直线1D E 与平面11AA D D成45o角；（2）点E 移动为棱AB 中点时，求点E 到平面11A DC 的距离．14．（文）（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图几何体是由一个棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -与一个侧棱长为2的正四棱锥1111P A B C D -组合而成．（1）求该几何体的主视图的面积；（2）若点E 是棱BC 的中点，求异面直线AE 与1PA 所成角的大小（结果用反三角函数表示）.A 1B 1C 1D 1EC BA PD .某公司生产的某批产品的销售量P 万件（生产量与销售量相等）与促销费用x 万元满足42+=x P (其中a x ≤≤0，a 为正常数)．已知生产该批产品还需投入成本)1(6PP +万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为)204(P+元／件．（1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；（2）当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？ 16．（本题满分15分，第（1）小题7分，第（2）小题8分）已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的周期为π，图象的一个对称中心为π,04⎛⎫⎪⎝⎭.将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图象．（1）求函数()f x 与()g x 的解析式；（2）（理）求证：存在0(,)64x ππ∈，使得0()f x ，0()g x ，00()()f x g x ⋅能按照某种顺序．．．．成等差数列．（文）定义：当函数取得最值时，函数图像上对应的点称为函数的最值点，如果函数()3xy F x kπ==的图像上至少有一个最大值点和一个最小值点在圆222(0)x y k k +=>的内部或圆周上，求k 的取值范围．若动点M 到定点(0,1)A 与定直线:3l y =的距离之和为4．（1）求点M 的轨迹方程，并在答题卡所示位置画出方程的曲线草图；（2）（理）记（1）得到的轨迹为曲线C ，问曲线C 上关于点(0,)()B t t R ∈对称的不同点有几对？请说明理由．（文）记（1）得到的轨迹为曲线C ，若曲线C 上恰有三对不同的点关于点(0,)()B t t R ∈对称，求t 的取值范围．18．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（2）小题8分）已知数列{}n a ，n S 为其前n 项的和，满足(1)2n n n S +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列1{}na 的前n 项和为n T ，数列{}n T 的前n 项和为n R ，求证：当2,*n n N ≥∈时1(1)n n R n T -=-；（3）（理）已知当*n N ∈，且6n ≥时有1(1)()32n m m n -<+，其中1,2,,m n =L ，求满足34(2)(3)n a n n n n n a ++++=+L 的所有n 的值．（文）若函数1()(1)31qx f x p =-⋅+的定义域为R ，并且lim ()0(*)n n f a n N →∞=∈，求证1p q +>．高三数学（理文合卷）期中练习卷参考答案一、填空题1、122、3a ≥3、24、（理）2；（文）1-5、（理）5000；（文）26、37、18、（理）13+；（文）12± 9、（理）(0,2]2π-；（文）510、（理）32m ≤-或32m ≥；（文）1m <-二、11、B 12、（理）A ；（文）B 13、C三、14、（理）（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）解：（1）法一：长方体1111ABCD A B C D -中，因为点E 在棱AB 上移动，所以EA ⊥平面11AA D D ，从而1ED A ∠为直线1D E 与平面11AA D D 所成的平面角，1Rt ED A ∆中，145ED A ∠=o 12AE AD ⇒==. ……………………………5分法二：以D 为坐标原点，射线1,,DA DC DD 依次为,,x y z 轴轴，建立空间直角坐标系，则点1(0,0,1)D ，平面11AA D D 的法向量为(0,2,0)DC =u u u r，设(1,,0)E y ，得1(1,,1)D E y =-u u u u r ，由11sin 4D E DC D E DCπ⋅=u u u u r u u u ru uu u r u u u r ，得2y =，故2AE = （2）以D 为坐标原点，射线1,,DA DC DD 依次为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则点(1,1,0)E ，1(1,0,1)A ， 1(0,2,1)C ，从而1(1,0,1)DA =u u u u r ，1(0,2,1)DC =u u u u r，(1,1,0)DE =u u u r …………3分设平面11DA C 的法向量为(,,)n x y z =r ，由1100n DA n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u u rr u u u u r020x z y z +=⎧⇒⎨+=⎩ 令1(1,,1)2n =--r ，所以点E 到平面11A DC 的距离为n DE d n⋅=r u u u r r1=. …………4分 14、（文）（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）解：（1）画出其主视图（如下图），可知其面积S 为三角形与正方形面积之和. 在正四棱锥1111P A B C D -中，棱锥的高2h =，1224242S =⋅=. ……………………………5分（2）取11B C 中点1E ，联结11A E ，11A E AE Q P则11PA E ∠为异面直线AE 与1PA 所成角. 在11PA E ∆中，1115,2A E PA ==，又在正四棱锥1111P A B C D -中，斜高为13PE =，由余弦定理可得 113cos 510225PA E ∠==⋅⋅ ……………………6分所以113arccos 510PA E ∠=，异面直线AE 与1PA 所成的角为3arccos 510.………1分15、（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）解：（1）由题意知， )1(6)204(pp x p p y +--+= 将42+=x P 代入化简得： x x y 2322419-+-= （0x a ≤≤）. ……………6分（2）10)2(216322)2216(2322=+⨯+-≤+++-=x x x x y ，上式当且仅当2216+=+x x ,即2=x 时，取等号。

上海市闸北区高三数学下学期二模考试试题文沪教版

2014年闸北区高考数学(文科)二模卷一、填空题(54分)本大题共有9题，每个空格填对得6分，否则一律得零分.1.设a ∈R ，i 是虚数单位.若复数i 3i+-a 是纯虚数，则=a . 2.不等式xx >4的解集为______.3.若2是a 2log 与b 2log 的等差中项，则b a +的最小值为______.4.设变量x y ，满足0,0,220,x x y x y ⎧⎪-⎨⎪--⎩……„则y x z 23-=的最大值为______.5.若轴截面是正方形的圆柱的上、下底面圆周均位于一个球面上，且球与圆柱的体积分别为1V 和2V ，则21:V V 的值为 .6.设x ∈R ，向量)2,1(),1,(-==x ，且⊥ ，则=+||______.7.如图，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，得A 、B 、C 、D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设x FB AE ==cm.若要使包装盒的侧面积最大，则x 的值为______. 8.设0>a ，nn a n a ⋅=，若{}n a 是单调递减数列，则实数a 的取值范围为______.9.已知集合{}m x y y x A +==|),(，{}mx y y x B ==|),(，若集合B A I 中有且仅有两个元素，则实数m 的取值范围是 .二、选择题(18分)本大题共有3题，每题选对得6分，否则一律得零分.10.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色不同的概率等于 ( )A.158B.53C.32D.151111.函数)0(sin )(>=ωωx M x f ，在区间[]b a ,上是增函数，且M a f -=)(，Mb f =)(则函数x M x f ωcos )(=在区间[]b a ,上 ( ) A.是增函数 B.是减函数C.可以取得最大值MD.可以取得最小值M -12.现有某种细胞100个，其中有占约总数21的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过10小时，细胞总数大约为 ( ) A.3844个 B.5766个 C.8650个 D.9998个三、解答题(78分)本大题共有4题，请在答题纸内写出必要的步骤. 13.本题满分18分，第1小题满分9分，第2小题满分9分如右图，在正三棱柱111C B A ABC -中，=1AA 411=B A ，D 、E 分别为1AA 与11B A 的中点.(1)求异面直线D C 1与BE 的夹角； (2)求四面体1BDEC 体积.14.本题满分18分，第1小题满分8分，第2小题满分10分设函数x xx f 2323)(+-=R)(∈x . (1)求函数)(x f y =的值域和零点；(2)请判断函数)(x f y =的奇偶性和单调性，并给予证明.15.本题满分20分，第1小题满分10分，第2小题满分10分设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，并且对任意的*∈N n ，n a 与2的等差中项等于nS 与2的等比中项.(1)求证：数列{}n a 的通项公式为24-=n a n ；(2)已知数列{}n b 是以2为首项，公比为3的等比数列，其第n 项恰好是数列{}n a 的第r 项，求nn r 3lim∞→的值.16.本题满分22分，第1小题满分6分，第2小题满分16分已知反比例函数x y 1=的图像C 是以x 轴与y 轴为渐近线的等轴双曲线.(1)求双曲线C 的顶点坐标与焦点坐标；(2)设直线l 过点)4,0(P ，且与双曲线C 交于A 、B 两点，与x 轴交于点Q . ① 求A 、B 中点M 的轨迹方程；② 当21λλ==，且821-=+λλ时，求点Q 的坐标.2014年闸北区高考数学(文科)二模卷一、填空题1. 13【解析】由题意得i (i)(3i)3i (3i)(3i)a a ---==++-23i 3i i (31)(3)i 1010a a a a --+--+=313i 1010a a -+=-，又复数为纯虚数，所以31010a -=，所以13a =. 2. (0,2)【解析】当0x <时，4xx >-⇒240x x +>，显然0x <时不成立，当0x >时，4xx >⇒240x x -<，即02x <<，所以不等式的解集为(0,2).3. 8【解析】由题得22log log 22a b +=⨯，所以2log 4ab =，42ab =，又0,0a b >>，所以8a b +=…，所以a b +的最小值为8.4. 3【解析】如图为不等式组00220x x y x y ⎧⎪-⎨⎪--⎩……„表示的区域，如图所示，当其过点(1,0)A 时z取得最大值max 31203z =⨯-⨯=.423【解析】因为圆柱截面为正方形，则圆柱高与底面直径长相等，设为2R,又上下底面圆周均在同一球面上，则球面半径为22(2)(2)R R +=2R.所以12V V =334π(2)32πR R 4236.10【解析】Q a b ⊥r r 则a b ⋅r r =0r，所以x-2=0⇒x=2，得a r =(2,1),b r =(1,-2).a b +r r 22(21)(12)++-107. 15【解析】由题意，Q AB=FB=xcm,则EF=(60-2x)cm,又阴影部分为等腰直角三角形，∴包装盒侧面高为22(60-2x)cm=(302-2x)cm,由勾股定理，长为2xcm.则侧面积为S 侧2222x +240x=-82(15)x -+1800,所以当x=15cm 时，包装盒的侧面积最大,最大面积为18002cm .8.(0，12)【解析】1111(1)(1)n n n nn n n n a n a a n a a a n a n a ++++=⋅⇒=+⋅⇒-=+⋅-⋅，由于{}n a 是单调递减数列，所以1(1)0n n n a n a ++⋅-⋅<，110111n n a n a a n n +>⇒<=-++Q 111a n ⇒<-+，111,112n n ∴-+Q 厖.所以a 的取值范围是1(0,)2. 9.(1,0-)【解析】当0,m A >中集合中所有元素为正，B 过(0,0)点，至多有一个交点.当0m =只有一个交点，所以0m <，如图，可知只有y mx =斜率大于1-时有两个交点，所以(1,0)m ∈-.二、选择题10.D 【解析】由题意知总共的抽法有26C ,任取两个球，其颜色相同的取法有2223C C +，所以任取两球颜色不同的取法有()222623C C C -+种，所以任取两球颜色不同的概率P =()22262326C C C C -+=1115.11. C 【解析】因为函数在给定区间内是增函数，且()sin f x M xω=在,a b 处分别取得最小值和最大值，则知0M >,且π2π2a k ω=-+，π2π2b k ω=+，由正弦函数与余弦函数图像的关系，知()cos f x M x=ω在此区间内先增后减，∴()sin f x M xω=在区间[a,b]上可以取得最大值M.故选C.12. B 【解析】由题意知细胞每次分裂之后都有一半的细胞在下一次具备分裂的能力，设100n =，经过一个小时有细胞数为32222n n n+⨯=，经过两个小时有细胞数为313122222n n ⨯+⨯⨯=29342n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，以此规律即可得经过十小时细胞总数为1032n⎛⎫ ⎪⎝⎭，把100n =代入关系式得细胞总数约为5766.三、解答题13.本题满分18分，第1小题满分9分，第2小题满分9分【解】(1)过点D 作BE DF //交AB 于点F ，连结1FC ,1C DF∠即所求异面直线所成角(或补角)-----------2分解得201=DC--------------------------------------------1分22=21=5DF+， ----------------------------------------------1分∴FC=222cos60AC AF AC AF+-⋅o=221412412+-⨯⨯⨯=13，又1CC=4，∴1FC=221FC CC+=29, ----------------------------------------------2分由余弦定理，有DFDCFCDFDCDFC⋅-+=∠12122112cos51-=.--------------3分所以，异面直线DC1与BE的夹角为51arccos.---------1分2222+=2220,△BDE的高为32122322BDES=⨯△，∴BDE△的面积为6，--------------------------------------2分∵111A B C△为等边三角形，E为11A B中点，∴1C E2242=23-∴高为321=EC， ----------------------------------------3分四面体1BDEC体积3432631=⨯⨯=V.------------4分14.本题满分18分，第1小题满分8分，第2小题满分10分【解】(1)x x x x f 23612323)(++-=+-=， 02>x Θ，∴3+2x >3⇒0<132x +<13⇒0<632x +<2, 1)(1<<-∴x f ，故)(x f y =的值域为()1,1-；----------------------------------------6分令f(x)=0,即6132x =+，解得2log 3x =，∴()y f x =的零点为.3log 2=x----------------------------------------2分 (2)对任意的x ∈R ，)1(51752323)1(11f f ±=±≠=+-=---，----------------------------------------2分故)(x f y =是非奇非偶函数.---------------------------------------2分所以，对任意的12,x x ∈R，21x x <，)23)(23()22(6236236)()(21122121x x x x x x x f x f ++-=+-+=-.-------------------------------2分因为022,023,0231221>->+>+x x x x ，所以)()(21x f x f >.----------------------------------------2分故()y f x =在定义域R上是减函数.---------------------------------------2分15.本题满分20分，第1小题满分10分，第2小题满分10分【解】(1)证法一：由题意0,222>=+n n n a S a ，得2)2(81+=n n a S当1=n 时，211)2(81+=a a ，得21=a ；--------------------------------------------------------2分当2n …时，211)2(81+=++n n a S .所以，])2()2[(8122111+-+=-=+++n n n n n a a S S a .整理，得)4)((11=--+++n n n n a a a a .---------------------------------------------------------4分由题意知1≠++n n a a ，所以41=-+n n a a .---------------------------------------------------2分所以数列{}n a 为首项为2，公差为4的等差数列，即24-=n a n .-----------------------2分证法二：用数学归纳法：ο1当1=n 时，21=a 符合题意；---------------------------------------------------------2分ο2假设kn =(k∈*N )时，结论成立，即24-=k a k .-----------------------------------------1分由题意有kk S a 222=+，将24-=k a k 代入上式，得kS k 22=，解得22k S k =.------------------------------2分由题意有11222++=+k k S a ，即()21212222k a a k k +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++.整理，得016442121=-+-++k a a k k .由于1>+k a ，解得：2)1(4241-+=+=+k k a k .(k∈*N )----------------------------------4分综上所述，对所有的n ∈*N ，24-=n a n .---------------------------------------------------1分(2)由题意，24321-=⨯-r n ，解得2131+=-n r ，13-=nn T ，---------------6分61)13(213lim lim 1=-⨯+=∴-∞→∞→n n n nn T r .-------------------------------------------------4分 16.本题满分22分，第1小题满分6分，第2小题满分16分【解】(1)由题意得：顶点：)1,1(1--A 、)1,1(2A ，---------------------------------2分焦点：)2,2(1--F 、)2,2(2F 为焦点.--------------------------------------4分(2)①直线l 斜率不存在或为0时显然不满足条件；设直线l ：4+=kx y (k ≠0)，),(11y x A ，),(22y x B ，(,)M x y ，---------------------1分将4+=kx y 代入xy 1=，得142=-+x kx ，--------------------------------------1分416>+=∆k ，4->k ，--------------------------------------1分kx x 421-=+，kx x 121-=⋅，-------------------------------1分k x x x 2221-=+=，2221=+=y y y ，--------------------------------------1分()214,0,2k k ⎛⎫>-⇒-∈-∞+ ⎪⎝⎭U ∞， --------------------------------------2分所以，A 、B 中点M 的轨迹方程为2=y (()1,0,2x ⎛⎫∈-∞+ ⎪⎝⎭U ∞).-----------------------1分②直线l 斜率不存在或为0时显然不满足条件；-------------------------------------1分设直线l ：4+=kx y (k ≠0)，),(11y x A ，),(22y x B ，则)0,4(k Q ------------------------1分将4+=kx y 代入x y 1=，得0142=-+x kx ，--------------------------------------1分k x x 421-=+，k x x 121-=⋅.-------------------------------------1分QB QA PQ 21λλ==Θ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴222111,4,44,4y k x y k x k λλ，-----------1分844442121-=+-++-=+kx kx λλ，即)4)(4(28)(2121++=++kx kx x x k ，解得2-=k ， --------------------------------------2分)0,2(Q ∴.--------------------------------------1分解二：将k y x 4-=(k ≠0)代入x y 1=，得042=--k y y ， ----------------------------1分 421=+y y ，k y y -=⋅21 -----------------------------------------1分21λλ==Θ⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴222111,4,44,4y k x y k x k λλ -----------------------------------------1分22114y y λλ==-∴，114y -=∴λ，224y -=λ.又821-=+λλ，21121=+y y ，即21212y y y y =+.2)(24-=⇒-=∴k k ， --------------------------------------2分)0,2(Q ∴. --------------------------------------1分。

2015年闸北区中考二模数学试题(含答案)

2014学年第二学期九年级质量抽测卷（2015年5月）数学卷（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1、本试卷含三个大题，共25题；2、答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3、除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．－8的立方根是………………………………………………………………（ ▲ ）（A ）2；（B ）－2；（C ）±2；（D ）2．2．下列属于最简二次根式的是…………………………………………………（ ▲ ）（A ）22b a +；（B ）b1；（C ）1.0；（D ）18． 3．下列方程中，有实数根的是…………………………………………………（ ▲ ）（A ）x ＝－2；（B ）x 2＋1＝0；（C ）x+11＝1；（D ）x 2＋x ＋1＝0． 4．在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 与边AB 相交于点D ，与边AC 相交于点E ．如果DE 过重心G 点，且DE ＝4，那么BC 的长是………………………………………………（ ▲ ）（A ）5；（B ）6；（C ）7；（D ）8．5．饭店为某公司提供“白领午餐”，有12元、15元、18元三种价格的套餐可供选择，每人限购一份．本周销售套餐共计500份，其中12元的占总份数的20%，15元的卖出180份，其余均为18元的，那么所购买的盒饭费用的中位数和众数分别是…………（ ▲ ）（A ）15元和18元；（B ）15元和15元；（C ）18元和15元；（D ）18元和18元． 6．如图一，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡AD 和BC 的坡度为1︰0.6，现测得放水前的水面宽EF 为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH 为2.1米．求放水后水面上升的高度是 ……………………………………………………………………（ ▲ ）（A ）0.55；（B ）0.8；（C ）0.6；（D ）0.75．（图一）ADBC E F G H二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直线填入答题纸的相应位置】 7．计算：2－2＝ ▲ ．8．用科学记数法表示：3402000＝ ▲ ． 9．化简分式：622-+-x x x ＝ ▲ ．10．不等式组⎩⎨⎧≥-<-0342x x 的解集是 ▲ ．11．方程x ＋x ＝0的解是 ▲ ． 12．已知反比例函数y ＝xk（k ≠0）图像过点（－1，－3），在每个象限内，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐 ▲ ．（填“减小”或“增大”）13．文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语6张，随机从中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为 ▲ ．14．某品牌汽车经过两次连续的调价，先降价10%，后又提价10%，原价10万元的汽车，现售价 ▲ 万元．15．如图二，在正方形ABCD 中，如果AC ＝32，AB ＝a ，AC ＝b ，那么|a －b |＝ ▲ ．16．某公园正在举行郁金香花展，现从红、黄两种郁金香中，各抽出6株，测得它们离地面的高度分别如下（单位cm ）：红：54、44、37、36、35、34；黄：48、35、38、36、43、40；已知它们的平均高度均是40cm ，请判断哪种颜色的郁金香样本长得整齐？ ▲ ．（填“红”或“黄”）17．已知⊙O 的直径是10，△ABC 是⊙O 的内接等腰三角形，且底边BC =6，求△ABC 的面积是 ▲ ．18．如图三，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 沿BD 折叠，点C 恰巧落在边AB 上的C ′处，折痕为BD ，再将其沿DE 折叠，使点A 落在DC ′的延长线上的A ′ 处，若△BED 与△ABC 相似，则相似比ACBD＝ ▲ ．（图二）baBC（图三）AD BC A ′EC ′三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：060tan 21+－|cos 45°－1|＋（－2015）0＋213．20．（本题满分10分）解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=-42042222y xy x y x21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）已知：如图四，点E 是矩形ABCD 的边AD 上一点，BE ＝AD ，AE ＝8，现有甲乙二人同时从E 点出发，分别沿EC 、ED 方向前进，甲的速度是乙的10倍，甲到达点目的地C 点的同时乙恰巧到达终点D 处．（1）求tan ∠ECD 的值；（2）求线段AB 及BC 的长度．（图四）ADBCE① ②某公司的物流业务原来由A运输队承接，已知其收费标准y（元）与运输所跑路程x（公里）之间是某种函数关系．其中部分数据如下表所示：（1）写出y（元）关于x（公里）的函数解析式▲ ；（不需写出定义域）（2）由于行业竞争激烈，现B运输队表示：若公司每次支付200元的汽车租赁费，则可按每公里0.9元收费．请写出B运输队每次收费y（元）关于所跑路程x（公里）的函数解析式▲ ；（不需写出定义域）（3）如果该公司有一笔路程500公里的运输业务，请通过计算说明应该选择哪家运输队？23．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）已知：如图五，在平行四边形ABCD中，点E、F 分别在BC、CD上，且AE＝AF，∠AEC＝∠AFC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图六，若AD＝AF，延长AE、DC交于点G，求证：AF2＝AG·DF．（3）在第（2）小题的条件下，连接BD，交AG 于点H，若HE＝4，EG＝12，求AH的长．（图五）AB DE F（图六）ACB DE FG已知：如图七，二次函数图像经过点A （－6，0）， B （0，6），对称轴为直线x ＝－2，顶点为点C ，点B 关于直线x ＝－2的对称点为点D ．（1）求二次函数的解析式以及点C 和点D 的坐标；（2）联结AB 、BC 、CD 、DA ，点E 在线段AB 上，联结DE ，若DE 平分四边形ABCD 的面积，求线段AE 的长；（3）在二次函数的图像上是否存在点P ，能够使∠PCA ＝∠BAC ？如果存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（图七）已知：如图八，在△ABC中，已知AB＝AC＝6，BC＝4，以点B为圆心所作的⊙B与线段AB、BC都有交点，设⊙B的半径为x．（1）若⊙B与AB的交点为D，直线CD与⊙B相切，求x的值；（2）如图九，以AC为直径作⊙P，那么⊙B与⊙P 存在哪些位置关系？并求出相应x的取值范围；（3）若以AC为直径的⊙P与⊙B的交点E在线段BC上（点E不与C点重合），求两圆公共弦EF的长．（图八）CBA（图九）CBAP·闸北区初三数学二模考（2015年5月）答案及评分参考（考试时间：100分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7、41． 8、610402.3⨯． 9、31+x ． 10、x ≥3． 11、x ＝0． 12、减小．13、61． 14、9.9． 15、3． 16、黄． 17、3或27． 18、32．三、解答题（本大题共12题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：060tan 21+－|cos45°－1|＋（－2015）0＋213．解：原式=31122321++--+…………………………………（4分） =31)221(32++---…………………………………（4分） =3122132+++--…………………………………（1分） =222+…………………………………（1分）20．（本题满分10分）解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=-42042222y xy x y x解：由①得：0)2)(2(=-+y x y x ，02=+y x 或02=-y x …………（2分）由②得：4)(2=+y x ，2=+y x 或2-=+y x ……………………（2分）可得方程组：⎩⎨⎧=+=+202y x y x ⎩⎨⎧-=+=+202y x y x ⎩⎨⎧=+=-202y x y x ⎩⎨⎧-=+=-202y x y x …………（4分）分别解得：⎩⎨⎧-==2411y x ⎩⎨⎧=-=2422y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==323433y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=323444y x …………（2分）① ②∴原方程组的解是⎩⎨⎧-==2411y x ⎩⎨⎧=-=2422y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==323433y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=323444y x21．（本题满分10分）解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D 是直角．…………（1分）根据条件：甲的速度是乙的10倍，可设ED ＝x ，则EC ＝10x ，…………（1分） ∴在RT △EDC 中CD ＝22ED EC -= 3x ，…………（1分）∴tan ∠ECD ＝CD ED ＝31．…………（1分）（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴设ED ＝x,AB ＝CD ＝3x ． ∵BE ＝AD ，AE ＝8，∴BE ＝AD ＝8＋x ．…………（2分） ∵在Rt △ABE 中，AE 2＋AB 2＝BE 2∴82＋（3x ）2＝（8＋x ）2，∴x ＝2，…………（2分） ∴AB ＝3x ＝6，BC ＝AD ＝8＋x ＝10．…………（2分） 22．（本题满分10分）解：（1）y ＝25x ．……………………（3分）（2）y ＝109x ＋200．……………………（3分）（3）y A ＝25×500＝1250，………………（1分）y B ＝109×500＋200＝650．………………（1分）∵y A ＞y B ，∴选择B 运输队．……………………（2分）23．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠B ＝∠D ．…………………（1分）∵∠AEC ＝∠AFC ，∠AEC+∠AEB ＝∠AFC+∠AFD=0180∴∠AEB ＝∠AFD ．…………（1分）在△AEB 和△AFD 中： ∠B ＝∠D∠AEB ＝∠AFD AE ＝AF ∴△AEB ≌△AFD ，………………（1分） ∴AB ＝AD ，∴平行四边形ABCD 是菱形．………………（1分）（2）∵△AEB ≌△AFD ，∴∠BAE ＝∠DAF ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DG, ∴∠BAE ＝∠G ，（图五）ADB CE（图五）ABDEF（图六）ACB D E F G∴∠G ＝∠DAF ．又∵∠ADF ＝∠GDA ，∴△GAD ∽△AFD ………………（2分）∴DA ︰DF ＝DG ︰DA ，∴DA 2＝DG ·DF ……………（1分） ∵DG ︰DA ＝AG ︰FA ，且AD ＝AF ，∴DG ＝AG ．又∵AD ＝AF ，∴AF 2＝AG ·DF ．……………………（1分）（3）在菱形ABCD 中，∵AB ∥DC ，AD ∥BC ，∴AH ︰HG ＝BH ︰HD ，………………（1分） BH ︰HD ＝EH ︰AH ，………………（1分） ∴AH ︰HG ＝EH ︰AH ．………………（1分） ∵HE ＝4，EG ＝12，∴AH ︰16＝4︰AH ，∴AH ＝8．………………（1分） 24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）解：（1）∵二次函数图像经过点A （－6，0），B （0， 6），对称轴为直线x ＝－2，∴二次函数图像经过点（2，0），………………（1分）设二次函数的解析式为y ＝a （x －2）（x ＋6），∴6＝a （0－2）（0＋6），∴a ＝－21，………………（1分） ∴二次函数的解析式为y ＝－21（x －2）（x ＋6），即y ＝－21x 2∴点C （－2，8）、D （－4，6）．………………（2分）（2）如图，AB ＝62，BC ＝CD ＝22，BD ＝4， ∴222BC CD BD +=∴∠DCB ＝90°．……（1分）∵直线AB 、CD 的解析式分别为y ＝x ＋6、y ＝x ＋10，∴AB ∥DC ，∴四边形ABCD 是直角梯形，………………（1分）若S 梯形ABCD ＝2S △ADE ，即21×22（22＋62）＝2×21×22AE ， ∴AE ＝42．………………（2分）（3）如图，由已知条件∠ACP ＝∠BAC ，CP 与AB 交于点G, 可得GA ＝GC, A （－6，0），C （－2，8）直线AB 的解析式为y ＝x ＋6，G 点坐标为（x , x+6） ∴22)6()6x (+++x ＝22)2()2(-++x x ，解得x= 38-，经检验是原方程的根且符合题意； ∴点G （－38，310），设直线CG 解析式为：b kx y +=（图七）H A CB DE FG（图七）∵⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=b k b k 2838310 ∴⎩⎨⎧==227k b ∴直线CG 的解析式为y ＝7x ＋22，…………（2分） ∵⎪⎩⎪⎨⎧+--=+=6221227x y 2x x y ∴⎩⎨⎧-=-=9016x 11y ⎩⎨⎧=-=82x 22y （不合题意，即为点C ，故舍去） ∴点P 1（－16，－90）．又在第（2）小题中，四边形ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ，∴∠DCP ＝∠BAC ， ∴点D （－4，6）为所求的点P ，∴点P 2（－4，6）．综上所述，符合要求的点为P 1（－16，－90）、P 2（－4，6）．………………（2分）25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）解：（1）作AH ⊥BC 于点H ，∵AB ＝AC ＝6，BC ＝4，∴BH ＝2．∵直线CD 与⊙B 相切，∴CD ⊥AB ，………………（2分） ∵∠DBC ＝∠ACH, ∴cos ∠DBC ＝cos ∠ACH ∴BD ︰BC ＝CH ︰CA ， ∴BD ︰4＝2︰6，∴BD ＝34．………………（2分）（2）如图，作PK ⊥BC 于点K ，∴PK ∥AH ． ∵AH ⊥BC ，AB ＝AC ＝6，BC ＝4，∴BH ＝2， ∴AH ＝42．………………（1分） ∵以AC 为直径作⊙P ，∴AP ＝PC ， ∴PK ＝22，CK ＝41BC ＝1，∴BK ＝3， ∴在Rt △PBK 中，PB ＝22BK +PK ＝223)22(+＝17，…………（2分）∴当0＜x ＜17－3时，⊙B 与⊙P 外离，当x ＝17－3时，⊙B 与⊙P 外切，当17－3＜x ≤4时，⊙B 与⊙P 相交．………………（3分）（3）点E 即为BC 边的中点H ，∴PE ＝3．设EF 与PB 交于点G ，BG ＝m ，∴在△PBE 中，PE 2－PG 2＝BE 2－BG 2，∴32－（17－m ）2＝22－m 2，∴m ＝17176．……（2分） ∵EG 2－BG 2＝BE 2，∴EG 2－（17176）2＝22，（图八）K H CBAP ·（图九）FG ECBAP11 ∴EG ＝34174，∴EF ＝34178．………………（2分）。

2015年上海市闸北区高考数学一模试卷(文科)解析

2015年上海市闸北区高考数学一模试卷（文科）一、填空题（54分）本大题共有9题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1．（6分）（2015•闸北区一模）复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为．2．（6分）（2015•闸北区一模）若f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）=log2（2﹣x），则f（2）=．3．（6分）（2015•闸北区一模）设动点P在函数y=图象上，若O为坐标原点，则|PO|的最小值为．4．（6分）（2015•闸北区一模）用数字“1，2”组成一个四位数，则数字“1，2”都出现的四位数有个．5．（6分）（2015•闸北区一模）设n∈N*，圆的面积为S n，则=．6．（6分）（2015•闸北区一模）在Rt△ABC中，AB=AC=3，M，N是斜边BC上的两个三等分点，则的值为．7．（6分）（2015•闸北区一模）设函数f（x）=2sin（πx），若存在x0∈R，使得对任意的x∈R，都有f（x）≤f（x0）成立．则关于m的不等式m2+m﹣f（x0）＞0的解为．8．（6分）（2015•闸北区一模）如果不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则实数a的取值范围是．9．（6分）（2015•闸北区一模）关于曲线C：=1，给出下列四个结论：①曲线C是椭圆；②关于坐标原点中心对称；③关于直线y=x轴对称；④所围成封闭图形面积小于8．则其中正确结论的序号是．（注：把你认为正确命题的序号都填上）二、选择题（18分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6分，否则一律得零分.10．（6分）（2015•闸北区一模）“a≠2”是“关于x，y的二元一次方程组有间满足条件：如果存在元素e∈A，使得对任意a∈A，都有e⊕a=a⊕e=a，则称元素e是集合A对运算“⊕”的单位元素．例如：A=R，运算“⊕”为普通乘法；存在1∈R，使得对任意a∈R，都有1×a=a×1=a，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：①A=R，运算“⊕”为普通减法；②A={A m×n|A m×n表示m×n阶矩阵，m∈N*，n∈N*}，运算“⊕”为矩阵加法；③A={X|X⊆M}（其中M是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集．三、解答题（本题满分78分）本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．13．（18分）（2015•闸北区一模）请仔细阅读以下材料：已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数．求证：命题“设a，b∈R+，若ab＞1，则”是真命题．证明因为a，b∈R+，由ab＞1得a＞＞0．又因为f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数，于是有．①同理有．②由①+②得．故，命题“设a，b∈R+，若ab＞1，则”是真命题．请针对以上阅读材料中的f（x），解答以下问题：（1）试用命题的等价性证明：“设a，b∈R+，若，则：ab＞1”是真命题；（2）解关于x的不等式f（a x﹣1）+f（2x）＞f（a1﹣x）+f（2﹣x）（其中a＞0）．14．（20分）（2015•闸北区一模）知F1，F2分别是椭圆C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，椭圆C过点且与抛物线y2=﹣8x有一个公共的焦点．（1）求椭圆C方程；（2）直线l过椭圆C的右焦点F2且斜率为1与椭圆C交于A，B两点，求弦AB的长；（3）以第（2）题中的AB为边作一个等边三角形ABP，求点P的坐标．15．（20分）（2015•闸北区一模）如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数y=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，ϕ∈（0，π）），x∈[﹣4，0]的图象，图象的最高点为B（﹣1，2）．边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且CD∥EF．游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧．（1）求曲线段FGBC的函数表达式；（2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE=θ，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时θ的值．16．（20分）（2015•闸北区一模）设数列{a n}满足：①a1=1；②所有项a n∈N*；③1=a1＜a2＜…＜a n＜a n+1＜…设集合A m={n|a n≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m．换句话说，b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值．我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．（1）请写出数列1，4，7的伴随数列；（2）设a n=3n﹣1，求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20之和；（3）若数列{a n}的前n项和S n=n2+c（其中c常数），求数列{a n}的伴随数列{b m}的前m项和T m．2015年上海市闸北区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（54分）本大题共有9题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1．（6分）（2015•闸北区一模）复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为4．=是纯虚数2．（6分）（2015•闸北区一模）若f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）=log2（2﹣x），则f （2）=﹣2．3．（6分）（2015•闸北区一模）设动点P在函数y=图象上，若O为坐标原点，则|PO|的最小值为2．|PO|=|PO|=，当且仅当4．（6分）（2015•闸北区一模）用数字“1，2”组成一个四位数，则数字“1，2”都出现的四位数有14个．个间隔中，故有个间隔中，故有5．（6分）（2015•闸北区一模）设n∈N*，圆的面积为S n，则=4π．解：∵圆的面积为．=6．（6分）（2015•闸北区一模）在Rt△ABC中，AB=AC=3，M，N是斜边BC上的两个三等分点，则的值为4．运用向量垂直的条件，可得+）+（（++）+）+）+×=47．（6分）（2015•闸北区一模）设函数f（x）=2sin（πx），若存在x0∈R，使得对任意的x∈R，都有f（x）≤f（x0）成立．则关于m的不等式m2+m﹣f（x0）＞0的解为{m|m＜﹣2，m ＞1}．8．（6分）（2015•闸北区一模）如果不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则实数a的取值范围是（﹣∞，5]．9．（6分）（2015•闸北区一模）关于曲线C：=1，给出下列四个结论：①曲线C是椭圆；②关于坐标原点中心对称；③关于直线y=x轴对称；④所围成封闭图形面积小于8．则其中正确结论的序号是②④．（注：把你认为正确命题的序号都填上）：：，方程变为+x：二、选择题（18分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6分，否则一律得零分.10．（6分）（2015•闸北区一模）“a≠2”是“关于x，y的二元一次方程组有，得到有唯一解得：，的二元一次方程组有唯一解12．（6分）（2015•闸北区一模）对于集合A，定义了一种运算“⊕”，使得集合A中的元素间满足条件：如果存在元素e∈A，使得对任意a∈A，都有e⊕a=a⊕e=a，则称元素e是集合A对运算“⊕”的单位元素．例如：A=R，运算“⊕”为普通乘法；存在1∈R，使得对任意a∈R，都有1×a=a×1=a，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：①A=R，运算“⊕”为普通减法；②A={A m×n|A m×n表示m×n阶矩阵，m∈N*，n∈N*}，运算“⊕”为矩阵加法；③A={X|X⊆M}（其中M是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集．三、解答题（本题满分78分）本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．13．（18分）（2015•闸北区一模）请仔细阅读以下材料：已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数．求证：命题“设a，b∈R+，若ab＞1，则”是真命题．证明因为a，b∈R+，由ab＞1得a＞＞0．又因为f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数，于是有．①同理有．②由①+②得．故，命题“设a，b∈R+，若ab＞1，则”是真命题．请针对以上阅读材料中的f（x），解答以下问题：（1）试用命题的等价性证明：“设a，b∈R+，若，则：ab＞1”是真命题；（2）解关于x的不等式f（a x﹣1）+f（2x）＞f（a1﹣x）+f（2﹣x）（其中a＞0）．则：，得：，同理有：）得：时，不等式的解集为：时，即时，即时，不等式的解集为：14．（20分）（2015•闸北区一模）知F1，F2分别是椭圆C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，椭圆C过点且与抛物线y2=﹣8x有一个公共的焦点．（1）求椭圆C方程；（2）直线l过椭圆C的右焦点F2且斜率为1与椭圆C交于A，B两点，求弦AB的长；（3）以第（2）题中的AB为边作一个等边三角形ABP，求点P的坐标．，，得．联立方程组，．=|MP|=15．（20分）（2015•闸北区一模）如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数y=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，ϕ∈（0，π）），x∈[﹣4，0]的图象，图象的最高点为B（﹣1，2）．边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且CD∥EF．游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧．（1）求曲线段FGBC的函数表达式；（2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE=θ，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时θ的值．）令﹣=）﹣），．）由长为=OM=sin）﹣）=时，即时，平行四边形面积有最大值为16．（20分）（2015•闸北区一模）设数列{a n}满足：①a1=1；②所有项a n∈N*；③1=a1＜a2＜…＜a n＜a n+1＜…设集合A m={n|a n≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m．换句话说，b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值．我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．（1）请写出数列1，4，7的伴随数列；（2）设a n=3n﹣1，求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20之和；（3）若数列{a n}的前n项和S n=n2+c（其中c常数），求数列{a n}的伴随数列{b m}的前m项和T m．，由对数的运算对，）由，得，）时：，）时：，．参与本试卷答题和审题的老师有：sxs123；双曲线；孙佑中；whgcn；caoqz；maths；742048；1619495736；lgh；智者乐水；zlzhan；gongjy（排名不分先后）菁优网2015年4月16日。

2015年上海市闸北区中考数学二模试卷

2015年上海市闸北区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．（4分）（2015•闸北区二模）﹣8的立方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．【考点】M228 算术平方根、立方根【难度】容易题【分析】利用立方根的定义：∵（﹣2）3=﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2．故选B【解答】B【点评】本题主要考查了平方根和立方根的概念．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数．2．（4分）下列属于最简二次根式的是（）A． B．C．D．【考点】M223 最简二次根式【难度】容易题【分析】A、，无法化简，故是最简二次根式，故本选项正确；B、，被开方数中含有分母；故本选项错误；C、，被开方数中含有分母，故本选项错误；D、所以本二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数；故本选项错误；故选：A．【解答】A．【点评】本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．3．（4分）（2015•闸北区二模）下列方程中，有实数根的是（）A．=﹣2 B．x2+1=0 C．=1 D．x2+x+1=0【考点】M242 一元二次方程的根的判别式M253 分式方程M254 无理方程【难度】容易题【分析】A、方程=﹣2没有实数解，所以A选项错误；B、△=0﹣4＜0，方程没有实数解，所以B选项错误；C、去分母得1=x+1，解得x=0，经检验x=0是原方程的解，所以C选项正确；D、△=14＜0，方程没有实数解，所以D选项错误．故选C．【解答】C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了分式方程和无理方程．4．（4分）（2015•闸北区二模）在△ABC中，DE∥BC，DE与边AB相交于点D，与边AC 相交于点E．如果DE过重心G点，且DE=4，那么BC的长是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】M33L 三角形重心、内心、外心M33H 比例的性质M33M 相似三角形性质、判定【难度】容易题【分析】如图，连结AG并延长交BC于F，根据三角形重心性质得=2，又DE∥BC得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得=，然后利用比例的性质计算BC=6．故选B．【解答】B．【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了相似三角形的判定与性质．均属于中考常考知识点，考生要注意掌握！5．（4分）（2015•闸北区二模）饭店为某公司提供“白领午餐”，有12元、15元、18元三种价格的套餐可供选择，每人限购一份．本周销售套餐共计500份，其中12元的占总份数的20%，15元的卖出180份，其余均为18元的，那么所购买的盒饭费用的中位数和众数分别是（）A．15元和18元B．15元和15元C．18元和15元D．18元和18元【考点】M524 中位数、众数M522 平均数、方差和标准差【难度】容易题【分析】12元的份数有500×20%=100（份），18元的份数有500﹣100﹣180=220（份），∵本周销售套餐共计500份，∴所购买的盒饭费用的中位数是第250和251个数的平均数，∴中位数是15元；18元出现的次数最多，则众数是18元；故选A．【解答】A．【点评】此题考查了众数与中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．6．（4分）（2015•闸北区二模）如图，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡AD和BC 的坡度为1：0.6，现测得放水前的水面宽EF为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH 为2.1米．求放水后水面上升的高度是（）A．0.55 B．0.8 C．0.6 D．0.75【考点】M346 等腰梯形的性质与判定M364 解直角三角形M365 仰角、俯角、坡度、坡角【难度】中等题【分析】如图；过点E作EM⊥GH于点M，∵水渠的横断面是等腰梯形，∴GM=×（GH﹣EF）=×（2.1﹣1.2）=0.45，∵斜坡AD的坡度为1：0.6，∴EM：GM=1：0.6，∴EM：0.45=1：0.6，∴EM=0.75，故选：D．【解答】D．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度、等腰三角形的性质，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形．二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）7．（4分）（2015•闸北区二模）计算：2﹣2=．【考点】M213 整数指数幂的运算【难度】容易题【分析】根据负整数指数幂的定义：a﹣p=（a≠0，p为正整数）求解得2﹣2==，故答案为．【解答】．【点评】本题考查了负整数指数幂的定义，解题时牢记定义是关键，此题比较简单，易于掌握．8．（4分）（2015•闸北区二模）用科学记数法表示：3402000=．【考点】M123 近似计算以及科学记数法【难度】容易题【分析】确定a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）中n的值是易错点，由于3402000有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．则3402000=3.402×106．故答案为：3.402×106．【解答】3.402×106．【点评】此题考查科学记数法，用科学记数法表示一个数的方法是（1）确定a：a是只有一位整数的数；（2）确定n：当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．9．（4分）化简分式：=．【考点】M215 分式的基本性质M217 因式分解【难度】容易题【分析】先把分母因式分解，然后进行约分即原式==．故答案为．【解答】．【点评】本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．10．（4分）（2015•闸北区二模）不等式组的解集是．【考点】M236 解一元一次不等式（组）【难度】容易题【分析】由①得：x＞﹣2，由②得：x≥3，∴不等式组的解集是x≥3．故答案为x≥3．【解答】x≥3．【点评】本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式，解一元一次不等式组等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．11．（4分）（2015•闸北区二模）方程x+=0的解是．【考点】M254 无理方程【难度】容易题【分析】本题含根号，计算比较不便，因此可先对方程两边平方变形为：x=x2即x2﹣x=0 ∴（x﹣1）x=0 ∴x=0或x=1∵x=1时不满足题意．∴x=0．故答案为0．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法和平方法．12．（4分）（2015•闸北区二模）已知反比例函数y=（k≠0）图象过点（﹣1，﹣3），在每个象限内，自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐．（填“减小”或“增大”）【考点】M124 实数大小比较M414 用待定系数法求函数关系式M432 反比例函数的的图象、性质【难度】容易题【分析】设反比例函数的解析式为y=（k≠0），∵反比例函数图象过点（﹣1，﹣3），∴把（﹣1，﹣3）代入得3=k＞0，根据反比例函数图象的性质可知它在每个象限内y随x的增大而减小，故答案为：减小；【解答】减小；【点评】考查了反比例函数的性质，解答此题的关键是要熟知反比例函数图象的性质及用待定系数法求反比例函数的解析式．反比例函数图象的性质：（1）当k＞0时，反比例函数的图象位于一、三象限；（2）当k＜0时，反比例函数的图象位于二、四象限．13．（4分）（2015•闸北区二模）文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语6张，随机从中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为．【考点】M511 事件M512 概率的计算【难度】容易题【分析】由文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语6张，直接利用概率公式求解即随机从中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为：=．故答案为：．【解答】．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．（4分）（2015•闸北区二模）某品牌汽车经过两次连续的调价，先降价10%，后又提价10%，原价10万元的汽车，现售价万元．【考点】M122 实数的运算【难度】容易题【分析】根据题意得：10×（1﹣10%）×（1+10%）=9.9（万元），则现售价为9.9万元．故答案为：9.9．【解答】9.9．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．（4分）（2015•闸北区二模）如图，在正方形ABCD中，如果AC=3，=，=，那么|﹣|=．【考点】M382 向量的加法与减法M383 实数与向量的乘法M384 向量的线性运算M344 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的判定与性质M339 等腰三角形的性质和判定M33D 直角三角形的性质和判定M33E 勾股定理M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）M362 特殊角的锐角三角函数值【难度】中等题【分析】首先由在正方形ABCD中，如果AC=3，可利用锐角三角函数求得AB=BC=3又由=，=，可得﹣=﹣=，则|﹣|=||=BC=3．故答案为：3．【解答】3．【点评】此题主要考查了平面向量的知识，属于中考常考知识点，解题时要注意掌握三角形法则的应用．16．（4分）（2015•闸北区二模）某公园正在举行郁金香花展，现从红、黄两种郁金香中，各抽出6株，测得它们离地面的高度分别如下（单位cm）：红：54、44、37、36、35、34；黄：48、35、38、36、43、40；已知它们的平均高度均是40cm，请判断哪种颜色的郁金香样本长得整齐？．（填“红”或“黄”）【考点】M122 实数的运算M123 近似计算以及科学记数法M124 实数大小比较M522 平均数、方差和标准差【难度】中等题【分析】先根据方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]分别求出红颜色和黄颜色的方差，然后进行比较，即：红颜色的郁金香的方差是：[（54﹣40）2+（44﹣40）2+（37﹣40）2+（36﹣40）2+（35﹣40）2+（34﹣40）2]≈49.67，黄颜色的郁金香的方差是：[（48﹣40）2+（35﹣40）2+（38﹣40）2+（36﹣40）2+（43﹣40）2+（40﹣40）2]≈29.67，∵S2红＞S2黄，∴黄颜色的郁金香样本长得整齐；故答案为：黄．【解答】黄．【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．17．（4分）（2015•闸北区二模）已知⊙O的直径是10，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，且底边BC=6，求△ABC的面积是．【考点】M339 等腰三角形的性质和判定M33O 三角形面积M33E 勾股定理M354 圆的有关性质M357 正多边形与圆【难度】较难题【分析】从圆心在三角形内部和外部两种情况讨论，当圆心在三角形内部时，0B=5，BD=3，根据勾股定理，OD=4，则AD=9，S△ABC=×6×9=27，当圆心在三角形外部时，0B=5，BD=3，根据勾股定理，OD=4，则AD=1，S△ABC=×6×1=3，故答案为：3或27．【解答】3或27．【点评】本题考查的是垂径定理、等腰三角形的性质和勾股定理，正确运用定理和性质是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．18．（4分）（2015•闸北区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的A′处．若△BED与△ABC相似，则相似比=．【考点】M33M 相似三角形性质、判定M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）M373 图形的翻折与轴对称图形【难度】中等题【分析】根据△BED与△ABC相似和△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，求出∠A=∠DBA=∠DBC=30°，设BC为x，利用三角函数求出则AC=x，BD=x，=．则：故答案为：．【解答】．【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和翻折变换等知识点，考生要注意理解并灵活运用，对于本题掌握相似三角形的对应角相等和锐角三角函数的应用是解题的关键．三、解答题（共7小题，满分78分）19．（10分）（2015•闸北区二模）计算：﹣|cos45°﹣1|+（﹣2015）0+3．【考点】M122 实数的运算M125 绝对值M213 整数指数幂的运算M226 二次根式的加、减、乘、除及其混合运算M227 分数指数幂M362 特殊角的锐角三角函数值【难度】容易题【分析】根据零指数幂、分数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=﹣|﹣1|+1+，然后分母有理化和去绝对值后合并即可．【解答】解：原式=﹣|﹣1|+1+ (3)=2﹣+﹣1+1+ (6)=2+． (10)【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和分数指数幂．20．（10分）（2015•闸北区二模）解方程组：．【考点】M233 二元一次方程（组）的概念、解法M255 简单的二元二次方程（组）M217 因式分解【难度】中等题【分析】把①化为x=±2y，把②化为x+y=±2，重新组成方程组，解二元一次方程组即可．【解答】解：，由①得，x=±2y， (2)由②得，x+y=±2， (4)则，，， (7)解得，，，，． (10)【点评】本题考查的是二元二次方程组的解法，把二元二次方程根据平方差公式和完全平方公式进行变形化为两个二元一次方程是解题的关键．21．（10分）（2015•闸北区二模）已知：如图，点E是矩形ABCD的边AD上一点，BE=AD，AE=8，现有甲乙两人同时从E点出发，分别沿EC，ED方向前进，甲的速度是乙的倍，甲到达目的地C点的同时乙恰好到达终点D处．（1）求tan∠ECD的值；（2）求线段AB及BC的长度．【考点】M33E 勾股定理M344 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的判定与性质M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）M241 一元二次方程的概念、解法【难度】容易题【分析】（1）设ED=a，则EC=a，在Rt△EDC中根据勾股定理用a表示出DC的长，在Rt△ABE中，根据BE2=AB2+AE2求出a的值，故可得出ED及CD的长，由锐角三角函数的定义即可得出结论；（2）由（1）中，DE=a，CD=3a，a=2可得出DE=2，CD=6，再根据四边形ABCD是矩形，BE=AD即可得出结论．【解答】解：（1）设ED=a，则EC=a， (1)在Rt△EDC中，∵DC===3a，∴BE=AE+ED=8+a． (3)在Rt△ABE中，∵BE2=AB2+AE2，即（8+a）2=（3a）2+82，解得a=2，∴ED=2，CD=6， (5)∴tan∠ECD===． (6)（2）∵由（1）知，DE=a，CD=3a，a=2，∴DE=2，CD=6． (8)∵四边形ABCD是矩形，BE=AD，AE=8，∴AB=CD=6，BC=AD=AE+DE=8+2=10． (10)【点评】本题主要考查的是勾股定理，矩形的性质、判定等知识点；熟知勾股定理即是在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．22．（10分）（2015•闸北区二模）某公司的物流业务原来由A运输队承接，已知其收费标准（公里）的函数解析式；（2）由于行业竞争激烈，现B运输队表示：若公司每次支付200元的汽车租赁费，则可按每公里0.9元收费．请写出B运输队每次收费y（元）关于所跑路程x（公里）的函数解析式；（不需写出定义域）（3）如果该公司有一笔路程500公里的运输业务，请通过计算说明应该选择哪家运输队？【考点】M124 实数大小比较M422 一次函数的的图象、性质M423 一次函数的关系式M424 一次函数的应用【难度】容易题【分析】（1）根据表可知：当运输路程跑80公里时，收费200元，所以每公里收费为2.5元，即可得出；（2）根据题意得出等量关系，列出函数解析式即可。

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