6.4 反常积分
反常积分
同理
b f xdx lim
b
f (x)dx
a
0 a
b f xdx lim
c
f (x)dx lim
b
f (x)dx
a
0 a
0 c
小结
广义积分的定义及计算
注意 与定积分的区别与联系；
有时题目可能含两类广义积分，要会处理
f (x)dx F(x) F() F()
二、无界函数的反常积分
引例2 如图所示曲线y 1 和直线 x 1及 y 轴所
x
围成的开口曲边梯形的面积记为:
A 1 1 dx
0x
y
可将其理解为
y 1 x
11
A lim
dx
x 0
围成的开口曲边梯形的面积记为:
A 1 dx
1 x2
可将其理解为
A lim
b1 dx
x b 1 2
y 1
y x2
01
b x
定义 设 f (x)在[a,)上连续，取 b a，如果
极限 lim b f (x)dx 存在，则称此极限值为函数 f (x) b a
函数 f (x)在(,)上反常积分定义为：
a
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a
例1 解
计算 ex dx 0
ex dx lim b exdx lim (ex ) b
0
b 0
b
0
lim (1 eb ) 1 0 1 b
在[a,
反常积分常用的计算公式
反常积分常用的计算公式在数学中，积分是一种非常重要的运算，它在求解曲线下面积、求解定积分、求解不定积分等方面都有着广泛的应用。
而在积分的计算中，反常积分是一种特殊的积分形式，它在一定范围内无法求解的情况下，需要通过特定的计算公式来求解。
本文将介绍反常积分常用的计算公式，并对其应用进行详细的讲解。
首先，我们来看一下反常积分的定义。
反常积分是指在积分区间上存在无穷限的积分，或者被积函数在积分区间上有无穷大的间断点的积分。
反常积分分为两类，第一类是无穷限的反常积分，第二类是间断点的反常积分。
对于这两类反常积分，我们都可以通过特定的计算公式来求解。
对于第一类无穷限的反常积分，常用的计算公式有以下几种：1. 收敛的无穷限反常积分。
对于收敛的无穷限反常积分，我们可以使用以下计算公式进行求解：\[ \int_{a}^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{t \to \infty} \int_{a}^{t} f(x) \, dx \]其中，\( f(x) \) 是被积函数，\( a \) 是积分下限。
这个公式的意义是将积分区间扩展到一个无穷大的范围，然后求解极限值，从而得到无穷限反常积分的结果。
2. 发散的无穷限反常积分。
对于发散的无穷限反常积分，我们可以使用以下计算公式进行求解：\[ \int_{a}^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{t \to \infty} \int_{a}^{t} f(x) \, dx \]但是需要注意的是，如果极限值不存在或者为无穷大，那么这个反常积分就是发散的，无法求解出具体的结果。
接下来，我们来看一下第二类间断点的反常积分，常用的计算公式有以下几种：1. 无穷间断点的反常积分。
对于无穷间断点的反常积分，我们可以使用以下计算公式进行求解：\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{a}^{b-\epsilon} f(x) \, dx + \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{b+\epsilon}^{a} f(x) \, dx \]其中，\( f(x) \) 是被积函数，\( a \) 和 \( b \) 分别是积分区间的下限和上限。
反常积分概念
反常积分讨论的是无穷区间上的积 分和无界函数的积分，是定积分概念 的推广. 一、反常积分的背景 二、两类反常积分的定义
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一、反常积分的背景
在讨论定积分时有两个最基本的条件：积分区间 的有穷性; 被积函数的有界性. 但以下例子告诉我们有时我们需要考虑无穷区间
上的“积分”或无界函数的“积分”. 例1(第二宇宙速度问题）在地球表面垂直发射火 箭, 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初
lim f ( x ) A.
3. f ( x ) 在 [a, ) 上定义, 且
当
x
a
f ( x )dx 收敛时,是否必有 A 0?
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通常称a 为 f 的瑕点. 又称 a f ( x )dx 为瑕积分, 类似定义瑕点为 b 时的瑕积分
f ( x ) dx . a f ( x ) dx ulim a b
b
则称 f ( x )dx 发散.
a
a b
u a
b
b
u
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其中 f 在 [a, b) 有定义, 在 b 的任一左邻域内无界,
前页 后页 返回
类似定义
f ( x )dx , f ( x )dx ulim u
b b
f ( x )dx
a
f ( x )dx
a
f ( x )dx .
其中 a 是( ， ) 内任意一点 .
定义2 设函数 f 定义在 (a, b] 上, 在 a 的任意右邻
r
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当 r 时,其极限 mgR 就是火箭无限远离地
《反常积分初步》课件
04
CATALOGUE
在概率论与数理统计中，反常积分用于计算概率密度函数和累积分布函数等。
概率论与数理统计
在复变函数中，反常积分用于计算复函数的积分和级数展开等。
复变函数
在微分方程中，反常积分用于求解初值问题和边值问题等。
微分方程
信号处理
控制系统
材料科学
反常积分的扩展知识
05
详细描述
在无穷区间上的反常积分，其积分上限或下限可能趋于无穷。这种情况下，我们需要考虑如何处理无穷大或无穷小的量，以及如何确定积分的值。
总结词：无界函数的反常积分是指被积函数在积分区间内无界的情况。
总结词：含参变量的反常积分是指被积函数中含有参数的情况。
详细描述：含参变量的反常积分是反常积分的一种复杂类型。在这种情况下，被积函数中的参数可能会影响积分的值。因此，我们需要仔细分析参数的变化对积分的影响。
反常积分可积的条件
被积函数在积分区间上连续或具有有限个第一类间断点时，反常积分可能可积。
反常积分可积的判断方法
通过定积分存在的充分条件、定积分存在的必要条件等方法判断反常积分的可积性。
03
02
01
反常积分的计算方法
03
CATALOGUE
03
微分法
通过积分函数的微分性质，将反常积分转化为定积分，再利用定积分的计算方法求解。
反常积分的性质
02
CATALOGUE
反常积分收敛的定义
如果反常积分在某个区间上的积分值存在，则称该反常积分在该区间上收敛。
反常积分收敛的判断方法
通过比较测试、Cauchy收敛定理等方法判断反常积分的收敛性。
反常积分收敛的条件
当被积函数在积分区间上非负或单调递减时，反常积分可能收敛。
反常积分的知识点总结
反常积分的知识点总结一、反常积分的概念和性质1. 反常积分的定义反常积分是指在某些情况下，定积分的积分区间非有限区间，导致积分结果不存在或者收敛性不足的积分。
具体来说，若被积函数 f(x) 在积分区间内存在无穷大或者间断点，则定积分就无法进行，这时需要使用反常积分来进行求解。
反常积分可以分为第一类反常积分和第二类反常积分两种。
第一类反常积分指的是区间端点处的函数值为无穷大或定义间断的情况。
第二类反常积分则是函数在积分区间范围内的某一点发散的情况。
2. 反常积分的分类反常积分根据积分区间的不同性质可以分为以下几种情况：（1）无穷区间上的反常积分当被积函数在整个实数轴上无穷大或者间断时，就出现了无穷区间上的反常积分。
（2）有限区间上的反常积分当被积函数在积分区间内的某一点为无穷大或者不连续时，就出现了有限区间上的反常积分。
3. 反常积分的性质反常积分具有一些特殊的性质，这些性质对于理解和处理反常积分都具有重要意义。
（1）线性性质反常积分具有线性性质，即两个反常积分的和或差仍然是反常积分。
（2）可加性对于有限区间上的反常积分，如果将积分区间进行分割，可加性成立，即将积分进行分割后分别积分再求和等于整体积分。
（3）定积分收敛性的判定若函数在区间端点处的正负极限只要有一个是无穷大，则对应的反常积分就发散。
否则，就收敛。
二、反常积分的计算方法1. 无穷区间上的反常积分对于无穷区间上的反常积分，计算方法一般采用积分限的变换，将无穷区间转化为有限区间，然后再进行积分运算。
常用的方法包括极限计算和变量代换等。
极限计算法的基本思路是将无穷区间上的反常积分转化为有限区间上的积分，再利用定积分的性质进行求解。
变量代换法则是利用变量代换将无穷区间变换为有限区间，再进行积分求解。
2. 有限区间上的反常积分对于有限区间上的反常积分，可以采用逐点定义的方法，即将积分区间内的无穷大或间断点分别处理，再将结果求和，从而得到整体的反常积分结果。
反常积分表
反常积分表反常积分表是一种数学工具，用于计算反常积分的值。
反常积分是指无法通过基本积分公式或分部积分法等方法直接求解的积分。
反常积分的计算需要借助极限或无穷级数等概念。
以下是一些常见的反常积分表：1. 第一类反常积分当积分区间为无穷区间时，即∫ f(x)dx其中n为正无穷或负无穷。
此时，如果积分结果无限大或不存在，则称为第一类反常积分。
反之，如果积分结果有限，则称为收敛的第一类反常积分。
一些常见的收敛的第一类反常积分如下：∫ 1/x dx = ln(n) (n趋近于正无穷)∫-∞ e dx = 1∫ ln(x) dx = -12. 第二类反常积分当被积函数在积分区间上存在无限大的点时，即∫a f(x)dx其中a和n都是实数。
此时，如果积分结果无限大或不存在，则称为第二类反常积分。
反之，如果积分结果有限，则称为收敛的第二类反常积分。
一些常见的收敛的第二类反常积分如下：∫ 1/√x dx = 2∫ 1/x dx = 13. 第三类反常积分当被积函数既在积分区间上存在无限大的点，又在某些点上不连续或发散时，即∫a f(x)dx其中a和n都是实数。
此时，如果积分结果无限大或不存在，则称为第三类反常积分。
反之，如果积分结果有限，则称为收敛的第三类反常积分。
一些常见的收敛的第三类反常积分如下：∫ ln(ln(1/x))/x dx = γ (Euler-Mascheroni常数)∫ sin(1/x)/x dx = π/2以上是一些常见的反常积分表，可以作为参考工具用于计算反常积分的值。
反常积分常用结论
反常积分常用结论你知道吗，数学界里头有个挺有意思的东西，叫“反常积分常用结论”。
听起来挺高大上，但其实就像咱们生活里那些不起眼的智慧小妙招，用起来特顺手。
想象一下，你手里拿着一把尺子，准备量量家里那扇大窗户的宽度。
可窗户太大了，尺子不够长，咋办？这时候，你就得用上点“反常”的法子，比如找个小伙伴，你俩一人站一边，用绳子量，然后再把绳子拉直了对着尺子看。
这“反常”一量，问题不就解决了嘛！反常积分啊，就是这么个道理。
它对付的是那些普通积分搞不定的“大块头”函数，就像咱们遇到的超长窗户。
这些函数啊，要么在积分区间上“调皮捣蛋”，一会儿无穷大，一会儿又不知道跑哪儿去了；要么就直接在积分上下限那儿“玩消失”，让人摸不着头脑。
这时候，反常积分就像那个聪明的你，想出了各种招儿来对付它们。
比如说，有个函数在积分区间上老是“吹牛皮”，说自己无穷大，可咱们不怕它。
咱们用个“分段治理”的法子，把它分成好几段，每段都乖乖地听话，然后再把它们加起来。
嘿，这不就搞定了吗？还有啊，有些函数在积分上下限那儿“躲猫猫”，咱们就来个“极限追踪”，看看它们到底想跑哪儿去。
只要咱们跟紧了，它们就无处遁形了。
这些反常积分的常用结论啊，就像是数学世界里的“武林秘籍”，里面藏着各种高招儿。
学会了它们啊，你就能在数学的江湖里游刃有余了。
不过啊，这些结论可不是凭空来的哦，它们都是数学家们辛辛苦苦研究出来的。
所以啊，咱们在学习的时候啊，可得用心点儿哦！其实啊，数学这东西啊，说难也难说简单也简单。
只要你肯动脑筋、肯下功夫啊，就没有什么能难倒你的。
就像咱们平时说的那句话一样：“世上无难事只怕有心人。
”所以啊，大家在学习反常积分的时候啊也别怕难哦！只要咱们用心去琢磨、去实践啊就一定能掌握它的精髓的！。
反常积分的计算
d
x
[
ar
c
s
in
x a
]
a 0
lim arc s in x
x a
a
0
2
下页
当c (acb)为瑕点时,
b
a
f
(
x)d
x
c
a
f
(
x)d
x
b
c
f
(
x)dx
[ lim xc
F
(x)
F
(a)]
[F
(b)
lim
xc
F
(x)]
例例55
讨
论
反
常
积
分
1
1
1 x2
dx
的
收
敛
性
解解
在 区 间 [1,
1]上
x0
为函数
(s) xs1ex d x (s 0) 0
2. 性质
(1) 递推公式 (s 1) s (s) (s 0)
证: (s 1) xsex d x xs d ex (分部积分)
0
0
xsex
s
xs1ex d x
0
0
s (s)
注意到: (1)
n N , 有
ex d x
§6.4 反常积分
一、无穷限的反常积分 二、无界函数的反常积分
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铃
❖无穷限的反一常积、分无的定穷义 限的反常积分
连续函数f(x)在区间[a, )上的反常积分定义为
a
f
(
x)d
x
lim
b
b
a
f
6.4 无穷区间上的反常积分简介
6.4.1 无穷区间上的反常积分的概念 .4.1 6.4.2 无穷区间上反常积分计算举例 .4.2
一、无穷区间上的广义积分
y 例 1 求由曲线 y = e-x， 轴及 x 轴所围成开口 曲边梯形的面积. 曲边梯形的面积 这是一个开口曲边梯形，为求其面积， 解 这是一个开口曲边梯形，为求其面积，任取 y b ∈[0, + ∞)，在 有 限 区 间 ， [0, b] 上， 以曲线 y = e- x ] 为曲边的曲边梯形面积为
b
数 a > b， 如果极限 ，
a → −∞ a
lim
∫
f ( x )dx
在无穷区间( b] 存在， 存在，则称此极限值为函数 f (x) 在无穷区间(- ∞, b] 上的广义积分， 上的广义积分， 记作 ∫ f ( x )dx , 即 −∞
b
∫
b
−∞
f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx
且 lim f ( x ) = ∞ , 取 ε > 0 ， 如果极限
ε →0
lim ∫ +
b
a +ε
f ( x )dx
存在， 存在， 则称此极限值为函数 f (x) 在区间 (a, b] 上 ] 的反常积分， 的反常积分， 记作
∫
b
a
f ( x )dx , 即
b
∫
b
a
f ( x)dx = lim ∫ +
ε →0
a+ε
f ( x)dx.
这时也称反常积分收敛，否则称反常积分发散 这时也称反常积分收敛，否则称反常积分发散. 反常积分收敛 反常积分发散.
定义 5
−
反常积分计算技巧
反常积分计算技巧嘿，朋友们！今天咱们来唠唠反常积分这个有点小调皮的家伙。
你可以把反常积分想象成一个在数学世界里不走寻常路的小怪兽。
首先呢，对于无穷区间上的反常积分，就像是一场没有尽头的马拉松。
比如说从a到正无穷的积分，就好比你在一条永远跑不到头的跑道上计算面积。
这个时候，极限就成了我们的魔法棒。
我们把这个无穷区间分成一段一段的，就像把马拉松分成一个个小赛程。
当这个小段不断趋近于无穷的时候，我们就用极限来抓住这个小怪兽的尾巴。
那遇到瑕积分呢，就像是在一个到处是陷阱的迷宫里找宝藏。
瑕点就像迷宫里的那些危险陷阱。
比如说函数在某一点无界，这个点就是瑕点。
我们要小心翼翼地绕过这个陷阱来计算积分。
这时候呢，把积分拆分成两部分，一部分在瑕点左边，一部分在瑕点右边，就像从陷阱的两边偷偷绕过去一样。
再说说换元法在反常积分里的运用吧。
换元就像是给这个小怪兽换了一身衣服，让它看起来没那么吓人。
比如说，我们用一个合适的变量替换，就像给它穿上了一件伪装服，原本复杂的积分可能就变得简单多啦。
这就好比你把一个看起来很凶的怪兽，通过一个魔法道具，变成了一只温顺的小绵羊。
分部积分法在反常积分里也是个有趣的家伙。
它就像两个小伙伴在玩跷跷板。
一个函数是跷跷板的这头，另一个函数是那头。
通过不断地让它们在跷跷板上上下下，我们就能算出反常积分的值。
有时候这个跷跷板会晃得很厉害，那我们就得更小心地控制两边的力量，也就是函数的选择。
比较判别法呢，就像是在一群小怪兽里找出最厉害的那个。
我们找一个已知的积分来和要计算的反常积分比较。
如果已知的积分像一个大力士，我们要算的积分像个小瘦子，而且小瘦子比大力士还小，那小瘦子的积分就是收敛的。
这就好比在一群小动物里，你看到一只小兔子比一头大象还小很多，那你就知道这只小兔子肯定没大象那么“占地方”。
还有极限判别法，这就像是给反常积分做一个身体检查。
通过检查它在某个点或者趋近于无穷的时候的极限情况，来判断它是健康的（收敛）还是生病的（发散）。
反常积分柯西判别法的证明
反常积分柯西判别法的证明反常积分柯西判别法，听起来是不是有点高深莫测？别着急，我来给你捋一捋。
想象一下你在逛市场，看到一堆苹果，表面上光鲜亮丽，但当你咬一口，可能发现里面烂掉了。
反常积分就是这样的东西，表面上看上去好像可以积分，但实际上可能会出现一些意想不到的问题。
我们需要一种方法来判断它们是否真的“好吃”，也就是柯西判别法。
这个判别法就像你的老朋友，见面时总能给你个靠谱的建议。
你可能会问，它到底是怎么工作的？简单来说，它的核心思想是比较。
我们先设定一个函数，如果它的绝对值能跟另一个函数进行比较，那就可以得出结论了。
听起来简单吧？可是，咱们得仔细一点，这个比较的过程就像是两位选手在赛场上较量，谁更强，谁就能获得最终的胜利。
咱们来想象一下，有一天你在家里泡茶，想看看茶叶的好坏。
你把几种茶放在一起，慢慢品尝，最终找到最爱的那一款。
这个过程其实跟柯西判别法很像。
反常积分的核心就是把那些复杂的积分问题简化，最终找出哪个是“好茶”。
要是一个函数的绝对值比另一个函数要小，那它的积分也能被判断。
没错，就这么简单。
说到这里，可能有人会问，这样的判别法有啥实际应用呢？好吧，想象一下，你在学习物理，遇到一堆复杂的公式，光看公式脑袋就大了。
可柯西判别法就像那位老教师，能帮你把复杂的公式变得简单易懂。
它在解决物理和工程中的问题时，帮助我们确定某些积分是否存在。
就像一把钥匙，能打开那些看似难以破解的门。
反常积分的世界其实是个冒险的旅程，有时你会遇到一些奇怪的情况。
比如，你积分的范围是无穷大，听起来就让人头疼。
但别怕，柯西判别法就像是一张地图，带你穿越这些未知的领域。
它能告诉你，当积分从某个点无限延伸时，结果到底是个什么样子。
对吧，这就像是你在山顶俯瞰风景，清楚地看到每一个细节。
不过，这个判别法也不是万能的。
有时候你可能会碰到一些特例，让你哭笑不得。
比如说，有些函数在某些点的行为特别“反常”，这就需要你仔细分析。
这就像是你去参加一个派对，看到一个人总是站在角落里，想知道他到底是害羞还是别有用心。
反常积分初步少学时
a
a
有相同的敛散性.
性质 6.8 设 f ( x)dx 与 g( x)dx 收敛，则
a
a
[
f
(
x)
g(
x)]dx
收敛，且
a
a [ f ( x) g( x)]dx a f ( x)dx a g( x)dx.
关于无穷限积分 f ( x)dx 的计算也有类似 a
的牛顿 莱布尼茨公式.
性质 6.9 设 F ( x) 是 f ( x) 在 [a, ) 上的原函数，
(n 1) n(n) n(n 1)(n 1) n(n 1) 2 1 (1) n!
2 . B 函数
反常积分 1 x p1(1 x)q1dx 作为参变量 p，q 的 0
函数就称为B 函数，记为
B( p, q) 1 x p1(1 x)q1dx 0
(6 40)
性质 6.11 B 函数满足下列条件：
注意 以下计算是错误的：
1 1 dx 1 x
ln
x
1 1
0,
这是因为 1 的原函数 ln x 在 x 0 点不连续. x
三、Γ函数与 B函数
1 . 函数
反常积分 x1exdx (其中 称为参变量) 作 0
为参变量 的函数称为 函数，记为
( ) x1exdx 0
性质6.10 ( ) 满足下列关系：
解 (1) x a 是瑕点，令 x a sin t，则
a
1
dx
π 2
a
cos
t
dx
0 a2 x2
0 a cos t
π
2 dt
π,
0
2
即瑕积分 a 1 dx 收敛于 π .
0 a2 x2
反常积分的比较判别法的极限形式
反常积分的比较判别法的极限形式反常积分的比较判别法，说白了就是一种用来判断不太“好”积分的技巧。
咱们知道，积分这个玩意儿，得看它到底能不能收敛，也就是能不能得出一个有意义的数字。
可是有些积分，根本就是捉摸不透，好像有个“反常”的劲儿，老是让你猜不透。
说到这里，可能有同学会觉得，这么一听，好像是在说某种“神秘”的数学魔法。
其实不然，反常积分就是某些特别“刁钻”的积分，它们或者有无限的积分区间，或者在某些点上无穷大，这让我们得小心翼翼地判断它们是不是能“安稳”下去。
别担心，咱们的比较判别法来啦！说它是“比较”，其实就是在比、比、比：拿它和一个比较简单的积分来比，看看它是不是也能稳定下来。
你要知道，咱们这儿提的比较判别法，也没那么复杂，反而有点像一场比赛。
咱们找一个对手，看看哪个更“能扛”得住。
如果你找的对手比这个积分还“弱”，那肯定没戏，反过来，找个比它更强的对手，那个积分肯定是要跑得更远。
简单说，就是通过比较来猜测原积分的“性格”，它会不会发疯——不收敛，或者会不会平稳地收敛下来。
这个方法，一开始可能觉得有点玄，搞不懂为什么找一个对手就能判断出来，但一旦深入去理解，就像揭开了谜团的面纱，顿时豁然开朗。
但有个问题就是，反常积分可不是所有的积分都能用比较法判定的。
你得学会选择合适的“对手”。
这时候，反常积分的极限形式就派上了用场。
什么意思呢？就是通过观察这个积分在某些特殊点的表现，比如它是在哪个区间发疯，或者接近无穷大时是怎么“玩命”的。
你得通过这些“极限”的行为，挑选出一个合适的对手来，才能做到精准判断。
就像你挑选选手参加比赛一样，得确保对手的“强度”正好能和你想测试的积分“拼一拼”，这样才能得出正确的结论。
再说这个极限形式，它其实就像是比赛的规则书，告诉你怎么玩才能不“翻车”。
通过这些规则，你能精确地知道该在哪些情况下使用比较法，哪个积分该用哪个标准去比。
想想看，这不就像在打游戏，拿到一个特别详细的攻略，你就能轻松过关了嘛。
6.4反常积分
无穷限的反常积分也称为第一类反常积分. 说明: 上述定义中若出现 , 并非不定型 ,
它表明该反常积分发散 .
机动
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f ( x ) dx a a lim
c
lim
f ( x ) dx b c
b
机动
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引入记号
F () lim F ( x) ;
第四节 反常积分
常义积分
推广
第六章
积分限有限
被积函数有界
反常积分 (广义积分)
一、无穷限的反常积分 二、无界函数的反常积分
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引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积 可记作
A
定义为
1
dx x2
b
A lim
b 1
b
dx 1 lim 2 b x 1 x
x
F () lim F ( x)
x
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
a
f ( x ) dx F ( x )
F ( ) F (a )
f ( x) dx F ( x) f ( x) dx F ( x)
b
F (b) F ( )
机动
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(2) 当一题同时含两类反常积分时, 应划分积分区间, 分别讨论每一区间上的反常积分.
0 1 1 1 dx dx dx x 0 x x
反常积分的计算
0
b
一、无穷限的反常积分
无穷限的反常积分的定义 连续函数f(x)在区间[a, )上的反常积分定义为
a
f ( x )dx lim
f ( x )dx a b
b
•反常积分的计算 如果F(x)是f(x)的原函数, 则有
a
f ( x )dx lim
b
b f ( x ) dx lim [ F ( x )] a a b
常积分收敛 .
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铃
计算
0
dx 4 1 x
dx 1 x4
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铃
f ( x )dx [ F ( x )] lim F ( x ) lim F ( x ) x x
例1 1 计算反常积分 例 解 解
1 dx 1 x 2
1 dx [arctan x] 1 x 2 lim arc tan x lim arc tan x
f ( x) d f ( x) 1 f 2 ( x) d x 1 f 2 ( x) arctan f ( x) C
] 2
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32 ] arctan 2 2 27
下页 结束 铃
说明: (1) 有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以 互相转化 .
1 dx ( a >0) 的 敛 散 性 a x p 1 1 解 当 p 1 时 , dx dx [ln x ] a a x a xp 1 1 x1 p ] 当 p <1 时 , dx [ a a xp 1 p
东南大学高等数学复习 考研数学
转专业复习高等数学知识清单2019.7一．极限，连续，微分学1.1极限1.1.1数列极限的定义式：1.1.2函数极限的定义式：1.1.3函数极限和数列极限的局部有界性：1.1.4局部保序（号）性：1.1.5海涅定理：1.1.6利用极限求函数渐近线的方法：1.1.7极限存在准则：夹逼定理：1.1.8单调有界性原理：1.1.9柯西收敛准则：1.1.10二元函数极限的定义：1.1.11二元函数连续的定义：1.1.12二元函数极限存在（不存在）的判断：1.2两个重要极限1.2.1第一个重要极限：1.2.2第二个重要极限：1.3无穷小与无穷大1.3.1无穷小的定义：1.3.2无穷大的定义：1.3.3等价无穷小的定义：1.3.4高阶无穷小同阶无穷小的符号表示：1.3.5常见的等价无穷小代换：1.4函数的连续1.4.1一元函数连续的定义：1.4.2一元函数与其反函数连续的关系：1.4.3函数的间断点的定义及判断：1转专业复习1.5连续函数的性质：1.5.1最值定理：1.5.2介值定理：1.5.3零点存在性定理：1.6函数的一致连续性1.6.1一致连续性的定义：1.7导数1.7.1一元函数导数的定义和可导性的定义：1.7.2一元函数可导性与连续性的关系：1.7.3常见一元函数的导数公式：1.7.4隐函数求导的方法：1.7.5高阶导数求导方法：（注意：莱布尼兹公式86页和多个数乘积的区别）1.7.6二元函数偏导数的定义与可偏导：1.7.7二元函数的高阶偏导数：1.8微分1.8.1一元函数的微分和可微的定义：1.8.2一元函数某点的线性主部与局部线性化：1.8.3高阶微分的计算：1.8.4二元函数的全微分与可微：1.8.5二元函数可微的充分条件：1.8.6一元函数连续，可导，可微的关系：1.8.7二元函数连续可导可微偏导连续的关系：1.8.8二元函数复合函数微分法：1.8.9一阶全微分形式不变性：1.8.10二元函数隐函数微分法：1.8.11※多元函数隐函数微分法：1.9微分基本定理：1.9.1费马引理：2转专业复习1.9.2罗尔中值定理：1.9.3拉格朗日中值定理：1.9.4拉理之有限增量公式：1.9.5柯西中值定理:1.9.6洛必达法则求未定式极限：1.9.7泰勒公式：1.9.8麦克劳林公式，peano余项，拉格朗日余项：1.9.9一些特殊函数的泰勒公式：1.10一元函数性态的研究1.10.1一元函数单调性：1.10.2一元函数极值定义：1.10.3一元函数极值第一充分条件：1.10.4一元函数取极值第二充分条件：1.10.5一元函数求最值：1.10.6※一元函数的凹凸性：1.10.7拐点与驻点：1.10.8平面曲线的曲率和曲率半径：1.10.9多元函数极值的必要条件：1.10.10多元函数极值的充分条件：1.10.11多元函数的最值：1.10.12多元函数在约束条件下的极值的求法：1.10.13多元函数的方向导数：1.10.14空间曲线的切线与法平面：（参数方程）1.10.15空间曲线的切线与法平面：（两柱面交线或两一般方程交线）：1.10.16空间曲面的法线和切平面（参数方程）：1.10.17空间曲线的法线和切平面（z=f（x，y）形式）：3转专业复习4二．一元函数积分学2.1基本积分方法2.1.1第一换元积分法：2.1.2第二换元积分法：2.1.3分部积分法：2.1.4以上积分方法在定积分中的运用：2.2一些特殊函数的积分公式2.2.1tanx=2.2.2cotx=2.2.3secx=2.2.4cscx=2.2.5secx ×tanx=2.2.6cscx ×cotx= 2.2.722a x += 2.2.822a x -= 2.2.922x a -= 2.2.10221a x ±= 2.2.11221x a - = 2.2.12==⎰⎰x x n n 220cos sin ππ2.3有关反常积分的初步探究2.3.1用定义法求反常积分的书写：2.3.2用定义法判断反常积分的敛散性：2.4一元函数积分学的综合运用2.4.1弧微分（直角坐标形式）：2.4.2弧微分（极坐标形式）：2.4.3弧微分（参数方程形式）：2.4.4图形面积（直角坐标形式）：转专业复习2.4.5图形面积（极坐标形式）：2.4.6图形面积（参数方程形式）：2.4.7截面面积已知求体积：2.4.8与坐标轴连接的平面绕轴转：2.4.9“球壳”型旋转体：2.4.10一重积分求质量：2.4.11一重积分求做功：2.4.12一重积分求液体压力2.5定积分的定义2.5.1定积分的定义：三．微分方程3.1一阶可分离变量微分方程3.1.1直接求解：3.1.2如何转化成？（3种情况）：3.2 一阶线性微分方程3.2.1一阶线性齐次微分方程的形式和通解：3.2.2一阶线性非齐次微分方程的特解：3.2.3常数变易法：3.3伯努利方程3.3.1形式：3.3.2解法：3.4可降阶的高阶微分方程3.4.1解法：3.5二阶线性微分方程3.5.1齐次通解的三种形式3.5.2e的幂指数乘幂函数型非齐次通解：3.5.2e的幂指数乘三角函数型非齐次通解：5转专业复习3.6高阶微分方程3.6.1高阶齐次微分方程通解的特征：3.7欧拉方程3.7.1欧拉方程的形式：3.7.2欧拉方程的解法：四．多元函数积分学4.1二重积分4.1.1定义式：4.1.2极坐标式：4.2三重积分4.2.1切片法：4.2.2细棒法：4.2.3柱坐标：4.2.4球坐标：4.3第一型曲线积分：4.3.1直角坐标形式：4.3.2极坐标形式：4.3.3参数方程形式：4.4第二型曲线积分：4.4.1直角坐标形式：4.4.2极坐标形式：4.4.3参数方程形式：4.5第一型曲面积分：4.5.1隐函数式形式：4.5.2一般方程形式：4.6第二型曲面积分：4.6.1定义法求解：4.7第一型曲面→第二型曲面关系式：4.8格林公式4.8.1定义式：4.8.2四个等价命题：4.9高斯公式：6转专业复习4.10.斯托克斯公式4.10.1定义式：4.10.2四个等价命题：（p167）4.11场论4.11.1梯度grad：4.11.2散度div:4.11.3旋度rot：4.11.4（罕见）格林第一公式（P162）：※4.11.5有势场=无源场=保守场（P171）4.11.6势函数：五．有关复变函数5.1复数5.1.1辐角定义：5.1.2共轭复数：5.1.3欧拉公式：5.2复变函数的导数与解析函数5.2.1复变函数可微的定义：5.2.2复变函数导数的定义：5.2.3柯西黎曼条件：5.2.4可微的充要条件：5.2.5解析函数的定义与判断：5.2.6可单独表示定理：5.2.7调和函数：5.2.8共轭调和函数：5.2.9如何将有关x，y的函数化为有关z的：5.3初等函数的复变函数5.3.1指数函数去指数法：5.3.2主值：5.3.3三角函数化为指数函数：5.3.4对数函数的化简公式：5.3.5幂函数的指数化：5.3.6幂函数的多值性问题：7转专业复习85.4复变函数的积分5.4.1复变函数积分定义法展开式： 5.4.2⎰-L n z z )(dz 0=5.4.3何时积分实部=实部积分：5.4.4柯西积分定理：5.4.5复合闭路定理：5.4.6闭路变形原理：5.4.7柯西积分公式：5.4.8高阶柯西积分公式：六．常数项级数与函数项级数1常数项级数的性质6.1.1级数收敛的必要条件：6.1.2余项的趋向：6.1.3柯西收敛准则：6.2常数项级数的判敛法6.2.1与部分和数列的关系：6.2.2比较判敛法：6.2.3比较判敛法的极限形式：6.2.4比值判敛法：6.2.5根值判敛法：6.2.6积分判敛法：6.3交错级数的判敛法6.3.1莱布尼兹判别法：6.3.2条件收敛与绝对收敛：6.4反常积分的判敛法6.4.1无穷区间上的反常积分：6.4.2无界函数的反常积分：6.5.√函数6.5.1特征：6.5.2对某几个特殊值时的函数值：6.6一致收敛性6.6.1定义：转专业复习6.6.2柯西一致收敛准则：6.6.3M判别法：6.6.4P227页两个定理6.7幂级数6.7.1阿贝尔定理：6.7.2求收敛域的方法：6.7.3 求幂级数和函数的两种方法：6.7.4如何将函数展开为幂级数：6.7.5实函数可以展开为幂级数的条件：6.7.6一些常见函数展开为幂级数的形式：6.8罗伦级数6.8.1如何将函数在圆域内展开为罗伦级数：6.9孤立奇点与留数6.9.1奇点的三个分类与判别方法6.9.2如何判断极点的级数6.9.3有关无穷远点处极点的判断的不同之处6.9.4 留数的定义：6.9.5计算一级，n级极点处留数公式6.9.6比值形式下留数的计算公式：6.9.7无穷远处留数6.9.8留数定理求复积分6.9.9三类利用留数计算的实积分：6.10傅里叶级数6.10.1公式：6.10.2奇偶延拓，正余弦函数：6.10.3杜利克雷条件：6.10.4将函数展开为傅里叶级数的方法9转专业复习六．其他知识7.1三角公式7.1.1和差化积（4个）7.1.2积化和差（4个）7.1.3万能公式（3个）7.2常见曲线及其表达式7.2.1星型线7.2.2摆线7.2.3心形线7.2.4阿基米德螺旋线7.2.5对数螺线7.2.6双曲螺线7.2.7伯努利双扭线7.2.8贝努利双扭线7.2.9三叶玫瑰线7.2.10四叶玫瑰线（2种）10。
7反常积分——反常积分的概念和计算
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例6. 证明反常积分
当 q < 1 时收敛 ; q≥1
时发散 .
证: 当 q = 1 时,
ln
x
a
b a
当 q≠1 时
(x a)1q 1 q
b
a
(b a)1q 1 q
,
,
q 1 q 1
常义积分的极限
p 1 p 1
,
q 1
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说明: (1) 有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以互 相转化 .
例如 ,
1 0
1
1 x2
x2
1 x2
dt
1 d(x 1x) 0 (x 1x)2 2
0 dt 2 t2
(2) 当一题同时含两类反常积分时, 应划分积分区间,
b 1
dx x2
lim b
1 x
b 1
lim 1 b
1 b
1
y
1 x2
A
1b
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定义1. 设 f (x)C[a, ), 取b a, 若
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作
这时称反常积分
若 a , b 都为瑕点, 则
b
a
f
(x)
dx
F
(b
)
F
(a
)
注意: 若瑕点 c (a,b), 则
反常积分的主值
反常积分的主值
反常积分的主值指的是对于某些反常积分，当积分的区间包含一个奇点时，我们可以通过在奇点附近取极限的方式定义积分的值。
这种方式通常被称为主值。
具体来说，假设我们要计算的反常积分是∫f(x)dx，其中f(x)在区间[a, b]上定义，且在c点（c可能是a或b）附近有一个奇点。
我们可以将积分分为两部分，即∫f(x)dx = ∫[a, c-ε]f(x)dx + ∫[c+ε, b]f(x)dx，其中ε>0。
然后，我们可以定义主值为lim(ε→0) [∫[a, c-ε]f(x)dx + ∫[c+ε, b]f(x)dx]，即在ε趋近于0的情况下，对两部分积分的结果取极限。
需要注意的是，主值只对某些具有奇点的反常积分定义，而对于其他反常积分，可能不存在主值。
此外，即使反常积分存在主值，也并不意味着主值一定存在或唯一。
反常积分的主值是一种在奇点附近取极限的方式来定义积分的值。
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1
dx ln x 1 x
所以该反常积分发散.
p 1 时，则
1
dx 1 1 p x p 1 x 1 p
1 , 当 p 1, p 1 , 当 p 1.
综合上述，当 p > 1 时， 该反常积分收敛. 当 p ≤ 1 时，
该反常积分发散.
点a称为函数f(x)的瑕点(也称无界间断点).无界函数的
反常积分又称为瑕积分. 定义4. 若函数f (x)在(a,b]上连续,a是f (x)的瑕点，则
这时称反常积分
b
a
f ( x)dx lim f (x )dx
t a t
b
收敛 ; 如果上述极限不存在,
就称反常积分
发散 .
定义5.若函数f (x)在[a,b)上连续,b是f (x)的瑕点，则
x x
则定义 1，2，3 中的广义积分可表示为
a
f ( x )dx F ( x ) a F ( ) F (a )，
b
f ( x )dx F ( x ) F (b) F ( )， f ( x )dx F ( x ) F ( ) F ( ) .
b
a b
f ( x )dx F ( x) |b F (b) F (a ) a f ( x )dx F ( x ) F (b ) F (a ). a
c b
c b
b
a
b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx F ( x ) a F ( x ) c a c
故积分收敛.
例8. 讨论反常积分
注1：分区间讨论
的收敛性 .
1 1 解: 2 2 x 1 x 0 1 x 1 0x 1 dx 1 2 1 1 2 , ∴积分收敛 1 x x 1
高等数学
本学期要求
1. 不许旷课！
（随时点名，每旷一次扣5分）
（迟到一次扣2分）
2. 尽量不迟到！
3. 按时完成作业！且每章有小结！
（＊每周二收，每次多少不限。 ＊必须保证每个月至少交一次作业！ ＊每周需2-3名学生帮我批作业！可自愿）
4. 课上溜号时间不许超过15分钟！
第四节 广义积分
常义积分 积分限有限 被积函数有界
第 6章
推 广 广义积分 (反常积分)
一、无穷限的广义积分 二、无界函数的广义积分
5
A
A f ( x) d x
a
b
y
(0,1) y = e- x O b x
一、无穷限的广义积分
y 轴及 x 轴所围成开口 例 1 求由曲线 y = e-x， 曲边梯形的面积. 解 这是一个开口曲边梯形，为求其面积，任取 y b [0, + )，在 有 限 区 间 [0, b] 上， 以曲线 y = e- x (0,1) 为曲边的曲边梯形面积为
穷区间 (- , + ) 内的广义积分， 记作 f ( x )dx, 即
f ( x )d x
c
f ( x )d x
c
f ( x )d x ,
这时也称广义积分收敛， 否则称广义积分发散.
若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，并记
F ( ) lim F ( x ), F ( ) lim F ( x ).
并记 F (a ) lim F ( x )， 若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，
x a
F (b ) lim F ( x ). F (c ) lim F ( x ) 或 F ( c ) lim F ( x ).
x b
x c
x c
则定义 4，5，6 中的广义积分可表示为
b
0
e dx e
x
x
b 0
1 1 b . e
y = e-x O b x
当 b + 时，阴影部分曲边梯形面积的极限就 是开口曲边梯形面积， 即
1 1 b 1. A lim e dx blim b a e
b x
y
(0,1) y = e-x O b x
F (c ) F (a) F (b) F (c ).
例6. 计算反常积分
解: 显然瑕点为 1 , 所以
原式 lim
t 1
t1 1 x2 Nhomakorabea0
arcsin x dx tlim 1
t 0
2
例7 判断
解
1
0
dx 收敛性. 1 x
1
0
1 dx 2 1 x 2. 0 1 x
解:
[ arctan x ] π π ( ) π 2 2
思考: 分析: 原积分发散 !
注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .
例5
证明反常积分 1
1 dx , 当 p > 1 时， p x
收敛；当 p ≤ 1 时，发散 . 证 p = 1 时，则
定义6.
b
a
f ( x)dx lim f (x )dx
t b a
t
c 是f(x)的 瑕点 , 则定义
a f ( x) dx c f ( x) dx
f ( x )dx lim f ( x )dx lim a
t a t b
c
b
t
t b
如果这两个反常积分都收敛，则 反常积分 收敛
取实 定义 1 设函数 f (x) 在 [a, + )上连续， 数 b > a， 如果极限
b a
lim f ( x )dx
b
存在， 则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间[a, + )
上的广义积分，记作
a
f ( x )dx , 即
a
f ( x )d x lim
b a
b
f ( x )dx lim
a a
b
f ( x ) dx
这时也称广义积分收敛， 否则称广义积分发散.
定义 3
设函数 f (x) 在 (- , + ) 内连续， 且
对任意实数 c， 如果广义积分
c
f ( x )dx 与
c
f ( x )dx
则称上面两个广义函数积分之和为 f (x) 在无 都收敛，
b
例2
求
1
1 dx 2 x
解
1
1 1 dx |1 (0 1) 1 2 x x
例3
解
判断
0
cos xdx 的收敛性.
0
cos xdx sinx 0 .
由于当 x + 时，sin x 没有极限，所以广义积分 发散 .
例4. 计算反常积分
1
故积分发散.
1 , 当 p 1时 ， 1 p 发 散, 当 p 1 时.
当p1时
dx 1 1 p x x p 1 p 0
综上所述，得：当 p < 1 时，该广义积分收敛，
1 其值为 ；当 p≥ 1 时，该广义积分发散. 1 p
b
f ( x )d x .
这时也称广义积分收敛， 否则称广义积分发散.
定义 2
设函数 f (x) 在 (- , b] 上连续， 取实
数 a > b， 如果极限
a a
lim f ( x )dx
b
b
存在，则称此极限值为函数 f (x) 在无穷区间(- , b] 上的广义积分， 记作 f ( x )dx, 即
0 dx 下述解法是否正确 : 1 dx
0
1
所以反常积分 另：
发散 . 可直接观察图像得出结论吗？ 呢？
内容小结
积分区间无限 被积函数无界
反常积分
常义积分的极限
作业 P109:12 ,13
思考 讨论广义积分
1
0
dx 的收敛性 . p x
解
当 p = 1 时， 则
1 0
1
0
1 1 dx ln x 0 . x
二、无界函数的反常积分
引例:曲线 与 x 轴, y 轴和直线 所围成的 开口曲边梯形的面积可记作
y
1 y x
其含义可理解为
1 dx A lim lim 2 x t t 0 x t 0 t lim 2(1 t ) 2
1
A
Ot
x
t 0
如果函数f (x)在点a的任一邻域内都无界,那么