24.4(4)相似三角形的判定

上海市静安区实验中学九年级上学期沪教版五四制第二十四章24.4相似三角形的判定

EAB C DCDA BGA B CDFDEB CABED§24.4（1）相似三角形的判定1、已知一个三角形内角分别为︒︒70,30，另一个三角形内角分别为︒︒70,80，则这两个三角形…… ( )(A)一定相似 (B) 不一定相似 (C) 一定不相似 (D) 不能确定 2、如图，∠ADE=∠ACD=∠ABC,图中相似三角形共有…… ( ) (A)1对 (B) 2对 (C) 3对 (D) 4对3、如图(1)，△ABC 中，DG 、DF 、EG 分别平行于BC 、AC 、AB ，图中与△ADG 相似的三角形共有个4、如图(2)，△ABC 中，D 在AB 上，若∠ACD=∠B,AD=4,AB=6,则AC=5、如图(3),E 是□ABCD 的边BA 延长线上的一点，CE 交AD 于点F ，图中对相似三角形。

图（1）图（2）图（3）6、如图，矩形ABCD 中，BP⊥PQ，(1)求证: △ABP ∽△DPQ; (2)写出对应边成比例的式子.7、已知：在△ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 边上，且∠ADE=∠B,若AE=2,BE=3,AD=3,求CD 的长。

§24.4（2）相似三角形的判定A BCD EABCPABCDE1、下列能判定△ABC 和△DEF 相似的是（）（A ）∠A=40°，∠B =∠E=58°，∠D=82°；（B ）∠A=∠E ，AB DFBC EF=；（C ）∠A=∠B ，∠D =∠E ；（D ）AB=BC=DE=EF. 2、如图，AD 和BE 分别是三角形的高，则图中相似三角形有（）（A ）4对；（B ）5对；（C ）6对；（D ）7对. 3、如图，点P 是△ABC 边AB 上一点（AB>AC ），下列条件不一定能使△AC P ∽△ABC 的是（）（A ）AC AP AB AC =；（B ）PC ACBC AB=；（C ）∠A CP =∠B ；（D ）∠A PC =∠A CB. 4、下列说法中，正确的是（）①有两边成比例且一对内角相等的两个三角形相似；②有一对锐角相等的两个直角三角形相似；③有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；④一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似. （A ）①，②；（B ）②，③；（C ）③，④；（D ）①，④.第2题图第3题图第5题图5、如图，在△ABC 中，DE∥BC，13AD BD =，则△ABC∽ ，其相似比为 . 6、如图，一张长8cm ，宽6cm 的矩形纸片，将它沿某直线折叠使得A 、C 重合，求折痕EF 的长.OADFO7、如图，∠C=90°，AC=CD=DE=BE，试找出图中的一对相似三角形，并加以证明.§24.4 （3）相似三角形的判定1、在△ABC中，直线DE分别与AB、AC相交于点D、E，下列条件不能推出△ABC与△ADE相似的是（）（A）AD AEBD EC=；（B）∠ADE=∠ACB；（C）AE﹒AC=AB﹒AD；（D）AD DE AB BC=.2、已知△ABC和△ADC均为直角三角形，点B、D位于AC的两侧，∠ACB=∠ACD=90°，BC=a，AC=b，AB=c，要使△ADC和△ABC相似，CD可以等于（）（A）2ac；（B）2ba；（C）a bc；（D）2bac.3、下列各组图形有可能不相似的是（）（A）各有一个角是45°的两个等腰三角形；（B）各有一个角是60°的两个等腰三角形；（C）各有一个角是105°的两个等腰三角形；（D）两个等腰直角三角形.4、点D在△ABC的边AB上，且AC2=AD﹒AB，则△ABC∽△ACD，理由是 .5、如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，已知AB=6，AC=9，BC=12，AD=3，AE=2，那么DE= .6、在△ABC中，D为AB上一点，且AD=1，AB=4，AC=7，若AC上有一点E，且△ADE 与原三角形相似，则AE= .7、如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且满足AB BC AC AD DE AE==，求证：△ABD∽△ACE.AB C EDABCDEAB CDE§24.4 （4）相似三角形的判定1、RT △ABC，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，下列等式成立的是（）（A ）AD 2=AB ﹒AC ；（B ）AC 2=AB ﹒AD ；（C ）AB ﹒AC=BD ﹒DC ；（D ）AB ﹒CD=BD ﹒AC.2、在RT △ABC 和RT △DEF 中，∠C =∠F=90°，由下列条件判定△ABC ∽△DEF 的是（）①∠A=55°，∠D=35°；②AC=3，BC=4，DF=6，DE=8；③AC=9，BC=12， DF=6，EF=8；④AB=10，AC=8，EF=9，DE=15.（A ）1个；（B ）2个；（C ）3个；（D ）4个.3、点P 是RT △ABC 的斜边BC 上异于B 、C 的点，过点P 作直线截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样的直线共有条.4、如图1，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，DA ⊥DC ，DC=6，AD=8， AC ⊥BC ，则AB= .5、如图2，在矩形ABCD 中，AB=2，CB=1，E 是DC 上一点，∠DAE= ∠BAC ，则EC 的长为 .6、如图，AB ⊥AD ，BD ⊥DC ，且BD 2=AB ﹒BC.求证：∠ABD=∠DBC.7、如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 上的一点，F 是BC 的延长线上的一点，且CE=CF ，BE 的延长线交DF 于点G ，求证：△B GF ∽△DCF.§24.4 （5）相似三角形的判定1、将一张矩形纸片对折后裁下，得到两张大小完全一样的矩形纸片，已知它们都与原来的矩形相似，那么原来矩形长与宽的比为（）AB CD图1ABCDE图2A B CDABCD EFG（A ）2:1；（B ）：1；（C ）3:1；（D ）：1.2、下列命题中，假命题是（）（A ）正方形都相似；（B ）对角线和一边对应成比例的矩形相似；（C ）等腰直角三角形都相似；（D ）底角为60°的两个等腰梯形相似. 3、在△ABC 中，D 为AB 上一点，过点D 作一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC 相似，这样的直线可以作（）（A ）2条；（B ）3条；（C ）4条；（D ）5条. 4、如图1，在△ABC 中，DE ∥BC ，则= .5、如图2，在RT △ABC 中，∠ACB=90°，BA=12cm ，AD 、BE 是两条中线，F 为其交点，那么CF= cm.6、如图3，D 为AB 上一点，且AD=2BD ，∠ACD=∠B ，那么= .7、如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠D=90°，过点D 作对角线AC 的垂线，交AC 于点E ，交BC 于点F ，求证：CD 是CF 和CB 的比例中项.8、如图，DF 为RT △ABC 斜边AB 的中垂线，交BC 及AC 的延长线于点E 、F ，已知CD=6，DE=4，求DF 的长.§24.4（1）相似三角形的判定 1.答案：AA BCDE图1ABCDFE图2ABCD 图3ABCDE F解析：两个内角对应相等的两个三角形相似2.答案：C解析：△ADE∽△ACD∽△ABC3.答案：5解析：图中所有其他的三角形都与△ADG相似4.答案：解析：AC2=AD×AB=24，AC=5.答案：3解析：△AEF∽△FCD∽△EBC6.答案：（1）证明过程如解析（2）AP AB BP== DQ PD PQ解析：（1）∵矩形ABCD，BP⊥PQ∴∠A=∠D=∠BPQ=90°∴∠ABP+∠APB =90°，∠DPQ+∠APB =90 ∴∠ABP=∠DPQ∴△ABP∽△DPQ（2）AP AB BP== DQ PD PQ7.答案：CD的长为3解析：∵∠ADE=∠B，∠A=∠A ∴△ADE∽△ABC∴AE AD= AC AB∴23= AC5∴AC=10 3∴CD=1 3§24.4（2）相似三角形的判定1.答案：A解析：两个内角对应相等的两个三角形相似2.答案：C解析：△AOE∽△BOD∽△ACD∽△BCE3.答案：B解析：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，而B不是夹角相等4.答案：B解析：①必须是夹角，④必须是第三边的平行线5.答案：△A DE ；4解析：∵13AD BD =，∴1A 4AD B =6.答案：EF 的长为152解析：联结CF ∵翻折 ∴AF=CF设AF=x ，则DF=8-x2226(8)x x +-=254x =∵OC=5 ∴OF=154可证OE=OF ∴EF=1527.答案：△ADE ∽△BDA解析：∵∠C=90°，AC=CD=DE=BE∴，BD=2CD ∴ED AD AD BD == ∵∠ADB=∠ADB ∴△ADE ∽△BDA§24.4 （3）相似三角形的判定1.答案：D解析：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，而D不是夹角相等2.答案：B解析：CD AC AC BC=3.答案：A解析：45°有可能是顶角，也有可能是底角4.答案：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似解析：AD ACAC AB=且∠A=∠A5.答案：DE=4解析：∵AD ACAC AB=13=，∠A=∠A∴△ADE∽△ACB∴13 ED BC=∴DE=46.答案：74AE=或47AE=解析：分类讨论i.AE ADAC AB=，74AE=ii .AE ADAB AC=，47AE=7.答案：证明过程如解析解析：∵AB BC AC AD DE AE==∴△ADE∽△ABC∴∠DAE=∠BAC ∴∠DAB=∠EAC∵AB AD AC AE∴△ABD∽△ACE§24.4 （4）相似三角形的判定1.答案：B解析：射影定理2.答案：C解析：①③④是正确的，②没有边对应成比例3.答案：4解析：A字型或斜交型各2个4.答案：50 3解析：DC AC=AC AB，610=10AB，50AB=35.答案：3 2解析：ED AD=BC AB，ED1=12，1DE=2，3CE=26.答案：证明如解析解析：∵AB⊥AD，BD⊥DC∴△ABD和△DBC都是Rt△∵BD2=AB﹒BC∴AB BD= BD BC∴Rt△ABD∽Rt△DBC ∴∠ABD=∠DBC7.答案：证明如解析解析：∵正方形ABCD∴∠DCB=∠DCF=90°，DC=BC∵CE=CF∴△DCF ≌△ECB∴∠CDF =∠CBE∵∠CDF ＋∠F=90°∴∠CBE ＋∠F=90°∴∠BGF=90°=∠DCF∴△B GF ∽△DCF§24.4 （5）相似三角形的判定1.答案：B解析：设矩形长2a ，宽b ，则b =b 2a a ，=b a ，2b 1a =2.答案：B解析：B 没说清楚一边是矩形的长还是宽3.答案：C解析：A 字型或斜交型各2个4.答案：=AB AD AE AC解析：三角形一边的平行线性质定理推论5.答案：4解析：AB 上的中线长为6cm ，因为点F 是重心，所以CF 长为2643⨯=cm6.答案：3解析：∵∠ACD=∠B ，∠A=∠A∴△ACD ∽△ACB ∴=BC DC AD AC AC AB= ∴2AC AD AB =⋅ 223AC AB AB =⋅ 2223AC AB =AC AB =∴=BC DC 37.答案：证明如解析解析：∵∠ACD= ∠ACD ，∠DEC=∠CDA∴△DEC ∽△CDA∴2CD CE AC =⋅同理可得△FEC ∽△CBA ∴=BC CE CF AC∴CF CB CE AC ⋅=⋅∴2CD CF CB =⋅∴CD 是CF 和CB 的比例中项8.答案：9解析：∵DF 为RT △ABC 斜边AB 的中垂线∴∠BDE =90°，6AD BD CD ===∵DE=4∴BE =∵∠ACB= ∠BDE ，∠B=∠B∴△ACB ∽△BDE ∴=AC DE BE AB∴2413AC =∴3613BC =同理可得△ADF ∽△CBA∴=AC AD DFBC∴DF=9A B C D E F。

(完整版)相似三角形的判定方法

(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

相似三角形的判定和判定方法

相似三角形的判定和判定方法1.边长比较法：通过比较两个三角形的各个边长，可以判断它们是否相似。

如果两个三角形的对应边长成比例关系，即每对对应边长之比相等，那么这两个三角形是相似的。

比如，如果一个三角形的边长是另一个三角形的边长的两倍，那么这两个三角形就是相似的。

2.角度比较法：通过比较两个三角形的各个角度，可以判断它们是否相似。

如果两个三角形的对应角度相等（或互为对应角的补角），那么这两个三角形是相似的。

比如，如果一个三角形的一对内角是另一个三角形的一对内角的两倍，那么这两个三角形就是相似的。

3.角边比较法：通过比较两个三角形的一个角和对边的比值，可以判断它们是否相似。

如果两个三角形的一个角相等，并且对应边长之比相等，那么这两个三角形是相似的。

比如，如果一个三角形的一个角是60度，它的对边长是另一个三角形的一个角是30度，它的对边长的两倍，那么这两个三角形就是相似的。

4.比例关系法：通过使用相似三角形的比例关系，可以判断两个三角形是否相似。

根据数学原理，如果两个三角形的对应边长之比相等，那么它们是相似的。

这个比例关系可以表示为：AB/DE=BC/EF=AC/DF其中AB、BC、AC分别是一个三角形的三条边长，DE、EF、DF分别是另一个三角形的对应边长。

如果这个比例关系满足，那么这两个三角形就是相似的。

需要注意的是，相似三角形的判定必须满足两个条件：对应角度相等（或互为对应角的补角），以及对应边长成比例关系。

如果只满足其中一个条件，那么这两个三角形不是相似的。

此外，还可以根据相似三角形的性质解决一些图像类问题，比如计算物体在投影变换下的大小、角度等。

在计算机图形学和计算机视觉领域，相似三角形的概念被广泛应用于图像识别、图像重建等算法中。

总之，判定两个三角形是否相似有多种方法，包括比较边长、角度和使用比例关系。

通过这些方法，可以解决一些几何和图像问题，应用广泛。

沪教版数学九年级上册24.4《相似三角形的判定》(第1课时)教学设计

沪教版数学九年级上册24.4《相似三角形的判定》（第1课时）教学设计一. 教材分析《相似三角形的判定》是沪教版数学九年级上册第24章第4节的内容，本节内容是在学生已经掌握了三角形的基本概念、三角形的性质、三角形的判定等知识的基础上进行授课的。

本节课的主要内容是引导学生探究相似三角形的判定方法，让学生通过观察、操作、猜想、证明等过程，体会数学的转化思想，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对三角形的相关知识有一定的了解。

但是，学生对相似三角形的判定方法还没有接触过，对于如何证明两个三角形相似还有一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生观察、操作、猜想、证明，帮助学生理解和掌握相似三角形的判定方法。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握相似三角形的判定方法，能够运用相似三角形的性质解决一些简单的问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、猜想、证明等过程，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

3.情感态度与价值观目标：让学生在探究过程中体验数学的转化思想，培养学生的团队合作意识和克服困难的勇气。

四. 教学重难点教学重点：相似三角形的判定方法。

教学难点：如何证明两个三角形相似。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法、探究学习法、讲授法等教学方法，引导学生观察、操作、猜想、证明，从而掌握相似三角形的判定方法。

六. 教学准备准备一些三角形模型、多媒体教学设备等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些三角形模型，让学生观察并思考：这些三角形有什么特点？你能找出它们之间的联系吗？从而引导学生进入本节课的主题——相似三角形的判定。

2.呈现（10分钟）教师通过多媒体展示一些相似三角形的图片，让学生观察并回答问题：这些三角形为什么相似？你是如何判断的？引导学生总结出相似三角形的判定方法。

3.操练（10分钟）教师提出一些判断相似三角形的问题，让学生分组进行讨论、操作、证明。

相似三角形的判定方法

相似三角形的判定方法1.AA（角-角）相似判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则可以判断它们是相似三角形。

具体来说，如果两个三角形的两个角分别相等，则其他角也必然相等。

根据三角形内角和定理，一个三角形的三个角之和等于180度。

因此，两个角相等的三角形的第三个角也必然相等，这样就可以判断两个三角形是相似的。

2.SSS（边-边-边）相似判定法：如果两个三角形的三条边的比值相等，则它们是相似三角形。

具体来说，如果两个三角形的对应边的长度比值相等，则可以判断它们是相似三角形。

3.SAS（边-角-边）相似判定法：如果两个三角形的一个边与对应顶角的比值相等，而且另一对边的比值也相等，则可以判断它们是相似三角形。

4.AAA（角-角-角）相似判定法：如果两个三角形的三个角对应相等，则可以判断它们是相似三角形。

根据角度对应定理，如果两个三角形的三个角对应相等，则它们是相似的。

除了以上的几种判定方法，还有一些相似三角形的性质和定理可以用于判定。

例如：1.周角的比值定理：如果两个相似三角形的三个内角对应相等，那么它们的周角的比值也相等。

2.面积的比值定理：如果两个相似三角形的边长比值为a:b，则它们的面积比值为a²:b²。

3.高的比值定理：如果两个相似三角形的边长比值为a:b，则它们的高的比值也为a:b。

4.相似三角形的中位线定理：如果两个相似三角形的边长比值为a:b，则它们的中位线的比值也为a:b。

需要注意的是，这些判定方法和定理都是基于相似三角形的基本定义和性质推导出来的。

在应用时，需要根据所给条件具体判断是否可以使用相应的判定方法和定理。

以上是一些常见的相似三角形的判定方法和定理。

相似三角形是几何学中重要的概念之一，对于解决与三角形相关的问题有很大的帮助。

同时也为后续学习更高级的几何概念和定理打下了基础。

(精心整理)相似三角形的判定方法

(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

相似三角形的判定

相似三角形的判定相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个三角形。

在几何学中，判定两个三角形是否相似是非常重要的，它们的相似性质可以帮助我们解决许多几何问题。

本文将介绍相似三角形的判定方法，涵盖三个常用的相似性条件。

一、边比例相等法边比例相等法是最简单且常用的相似三角形判定方法。

根据边比例相等的性质，如果两个三角形的各边长度成比例，则它们是相似的。

具体来说，如果在两个三角形ABC和DEF中，对应边的比值相等，即AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么它们就是相似的。

二、角度相等法角度相等法是判定相似三角形的另一种常用方法。

根据角度相等的性质，如果两个三角形的对应角度相等，则它们是相似的。

具体来说，如果在两个三角形ABC和DEF中，对应角度的度数相等，即∠A =∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，那么它们就是相似的。

三、边角对应相等法边角对应相等法是一种综合利用边长和角度信息的相似三角形判定方法。

根据边角对应相等的性质，如果两个三角形的一个角度和与其对应的两条边的比值相等，则它们是相似的。

具体来说，如果在两个三角形ABC和DEF中，存在一个角度相等，且它与两个对应边的比值相等，即∠A = ∠D，AB/DE = AC/DF 或 AB/DE = BC/EF 或 AC/DF = BC/EF，那么它们就是相似的。

相似三角形的判定对于解决实际问题具有重要意义。

例如，我们可以利用相似三角形的性质测量无法直接测量的高度，计算远离的距离以及解决一些实际建筑和工程问题。

在解决这些问题时，我们可以利用上述相似三角形判定方法来确定是否存在相似性。

然而，在应用相似三角形判定方法时，我们需要注意以下几点：1. 注意约定符号：在比较边长或角度大小时，确保使用相同的单位，并始终遵循约定的符号规范。

2. 角度的对应性：在进行边角对应相等法判定时，确保对应的边与对应的角度匹配，以免出现误判。

3. 正确标记相似标志：在证明或应用相似三角形时，可以使用符号“∼”来表示相似，例如ΔABC ∼ΔDEF。

24.4(4)相似三角形的判定

A A1
B
C
B1
C1
直角三角形相似的判定定理：
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一
个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，
那么这两个直角三角形相似．
简述为：
斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似.
AB BC 符号语言： C C1 90 , A1 B1 B1C1
0
Rt ABC ∽ RtA1 B1C1
24.4（4）相似三角形的判定
1．我们学习了几种判定三角形相似的方法？
（5种） 2．叙述预备定理、判定定理1、2、3
A A1
D E A
B
C
B1
C1
B
C
问题4：如图在 Rt ABC, Rt A1B1C1 中，如果相似吗？
AB BC C C1 90 , A1 B1 B1C1
0
，那么 Rt ABC, Rt A1B1C1
例题4：已知如图，在四边形ABCD中， BAC ADC 900 , AD a, BC b, AC ab 求证：（1）ABC ∽ DCA
（2）DC BC
A D
B
C
练习：在 ABC 中，A 90 , AC CE CD BC
0
求证： ED BC
B
D
A
E
C
练习：已知，在 ABC ， C 90 , CD AB ，
0
E是BC的中点，DE交AC的延长线于点F. 求证：AD CF CD DF
B D E
F
C
A

相似三角形的五种判定方法

相似三角形的五种判定方法
1.两角分别对应相等的两个三角形相似；
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
3、三边成比例的两个三角形相似；
4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似；
5、用一个三角形的两边去比另一个三角形与之相对应的两边，分别对应成比例，如果三组对应边相比都相同，则三角形相似。

方法一:定理法，即平行于三角形一边的直线和其他俩边（或他的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似，俗话来讲就是一个大的三角形包含一个小的三角形，小的三角形两边延长就成为了大三角形的两边；
方法二:俩角对应相等的三角形相似，俗话来讲先找到这两个三角形的对应
边，间接找出三角形三组对应角有俩组相等则相似；
方法三:两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，俗话来讲:先找到各对应边对应角，一一对应后会很方便。

两边对应成比例:两组对应边之比相等，即按同一种比法相比。

夹角相等:即所成比例的两边之间的那个角相等；方法四:三边
对应成比例，俗话来讲:如上均先找到对应边对应角,将其一一对应。

三边对应成比例:就是三组对应边之比相等，比法均一致；
判定五:只适用于直角三角形:直角边和斜边对应成比例则这俩个三角形相
似，俗话来讲俗话来讲:某种意义上直角三角形一个直角边和一个斜边对应成比例也同时代表着另外一个直角边也对应成比例。

相似三角形的判定方法总结

相似三角形的判定方法总结相似三角形是指具有相同形状但不一定相等的三角形，它们对应角相等，对应边成比例。

相似三角形的判定方法是数学中的重要知识点，下面将对相似三角形的判定方法进行总结。

一、AA判定法AA判定法是指当两个三角形的两个对应角分别相等时，这两个三角形相似。

具体来说，如果两个三角形有两对对应角相等，则这两个三角形相似。

这是由于相等的对应角可以确定相似三角形的对应边成比例。

二、SAS判定法SAS判定法是指当两个三角形的一个对应边成比例，同时夹在这两个边之间的两个对应角分别相等时，这两个三角形相似。

具体说来，如果两个三角形有一个对应边成比例，且夹在这两个边之间的两个对应角分别相等，则这两个三角形相似。

三、SSS判定法SSS判定法是指当两个三角形的三对对应边成比例时，这两个三角形相似。

具体说来，如果两个三角形的三对对应边长度成比例，则这两个三角形相似。

四、辅助线法辅助线法是指通过引入辅助线，使得两个三角形之间存在相等的对应角或对应边长度成比例的关系来判定相似。

常用的辅助线有角平分线、中位线、高、垂线等。

五、等角三角形判定法等角三角形是指拥有相同大小的三个角的三角形，对应的边长成比例。

如果两个三角形中有一个角相等，且另两个角分别相等，则这两个三角形相似。

六、勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理也可以用来判定两个三角形是否相似。

勾股定理指出若两个三角形的两条直角边比例相等，则这两个三角形相似；逆定理则指出若两个三角形相似，则它们的两条直角边比例相等。

七、相似三角形的性质相似三角形具有一些特殊的性质，包括对应角相等、对应边成比例、周长比例相等、面积比例相等等。

通过以上总结，我们可以看到不同的判定方法适用于不同的情况。

在解决问题时，我们可以根据已知条件选择合适的判定方法，从而得出结论。

熟练掌握相似三角形的判定方法，对于解决相关的几何问题具有重要的指导意义。

24.4(4)相似三角形的判定

卢教院附校注：教具安排主要指电子课件、实验器具，演示器具等。
推进二期课改实施素质教育卢教院附校教师教案
九年级
*教材题目 *课时教材分析 40 分钟教学目标重点难点 24.4（4）用 H L 判定两个三角形相似 *课次掌握用 H L 判定两个三角形相似的题目特征与解题方法用 H L 判定两个三角形相似的解题方法及两次三角形相似步骤两次三角形相似的解法思路培养
（三）学生操作：仿举例格式，练习书写 P65，N1 （四）小结：注意 H L 判定格式及两次三角形相似的解法作业布置必做题练习册 24.4（4）（课内外）选做题课课练（课内外）课后反思 1、对于 H L 判定格式的书写需多指点 2、两次三角形相似的解法思路培养，基础不好学生会有困难年日月
பைடு நூலகம்
A AB AD AC A ，求证△ABC∽△ AB C AB AD AC C B 证明 AD⊥BC， AD ⊥ BC ， ∠ADB=∠ AD B =90 D B D C AB AD 又 Rt△ABD∽Rt△ AB D ∠B=∠ B , AB AD 同理 Rt△ACD∽Rt△ AC D ∠C=∠ C △ABC∽△ AB C
姓名
学科数学
*教学过程：（一）引入 H L 判定定理（判定定理 4）直角三角形相似的判定定理：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似。在 Rt△ABC 与 Rt△ A1B1C1 中，∠C=∠ C1 =90°
AB BC ，求证△ABC∽△ A1B1C1 A1 B1 B1C1
证明设
AB BC 2 2 2 = k,则∠C=90° CA AB BC ，又 AB kA 1B 1 , BC kB 1C1 A1 B1 B1C1 AB BC CA =k k，而 A1 B1 B1C1 C1 A1

相似三角形的判定(解析版)

相似三角形的判定(解析版)相似三角形的判定（解析版）相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个或多个三角形。

判定两个三角形是否相似有多种方法，本文将介绍三种常见的相似三角形判定方法，并以解析的方式解释其原理和应用。

一、AA相似判定法AA相似判定法是通过两个三角形的相似角和对应边的比值来判定它们是否相似。

具体步骤如下：1. 选取两个三角形，分别记为△ABC和△DEF。

2. 观察两个三角形中的对应角，如果∠A = ∠D 且∠B = ∠E（或∠C = ∠F），则可以得出两个三角形的相似角。

3. 检查两个三角形中对应边的比值，如果AB/DE = BC/EF（或AC/DF）成立，则可以得出两个三角形相似。

通过AA相似判定法，我们可以快速判定两个三角形是否相似，并且可以进一步得出它们对应边的比值关系。

二、SSS相似判定法SSS相似判定法是通过两个三角形的边长比值来判定它们是否相似。

具体步骤如下：1. 选取两个三角形，分别记为△ABC和△DEF。

2. 检查两个三角形中各对应边的比值，如果AB/DE = BC/EF =AC/DF成立，则可以得出两个三角形相似。

通过SSS相似判定法，我们可以根据三个对应边的比值关系来判断两个三角形是否相似。

三、SAS相似判定法SAS相似判定法是通过两个三角形的两组对应边的比值和夹角的相等关系来判定它们是否相似。

具体步骤如下：1. 选取两个三角形，分别记为△ABC和△DEF。

2. 检查两个三角形中对应边的比值和夹角的相等关系。

如果AB/DE = AC/DF，并且∠A = ∠D，则可以得出两个三角形相似。

SAS相似判定法是一种灵活且常用的判定方法，通过两组对应边的比值和夹角的相等关系来判断两个三角形是否相似。

结论：通过以上三种相似三角形的判定方法，我们可以准确地判断两个三角形是否相似。

在实际应用中，相似三角形的判定对于解决实际问题具有重要意义。

例如，在建筑、地图测量和航空导航中，我们需要利用相似三角形的性质来进行距离和高度的估算。

沪教版九年级上册数学 24.4 相似三角形的判定

求证：△FKG∽△GHC
【析】注意从对应点所给于的信息。
3、已知AB⊥DB, CD⊥DB,AB=6,CD=4，BD=14，在DB上是否存在点P，使以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如果存在，求出DP的长，如果不存在，说明理由
备选例题
1、已知与不相似，其中∠C、∠F为直角，能否分别将这两个三角形分割成两个小三角形，使得分成的两个三角形与所分成的两个三角形相似？若能，请给出一种分割方案，若不能，请说明理由
3、已知等边三角形ABC，D是AC上一点，BD的垂直平分线交AB于E点，交BC于F点
（1）当点D在边AC上移动时，△DEF中哪一个角的大小始终保持不变？并求出其度数
（2）当点D在边AC上移动时，△ADE与哪一个三角形始终相似？并写出证明过程
（3）在（2）的基础上，当D移动到什么位置时，这两三角形相似比为1
自我测试
一、选择
1.如图，AD∥BC，AB∥CE，则图中相似的三角形共有( )对。
A.3 B.4 C.5 D.6
2.如图，△ABC中，于点D，于E，则与Rt△CDE相似的直角三角形共有( )个。
A.3 B.4 C.5 D.6
3.如图，Rt△ABC中，平分若BC=6，AC=8，则CD=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
（3）如果要在这个直角三角形直板上接触一个面积最大的正方形，那么（a）中的正方形DEFG是否符合要求？为什么？
4.下列命题中，说法正确的个数是( )
①有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似；
②斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形一定相似；
③两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形必相似；
④两边对应成比例的两三角形相似

《24.4相似三角形的判定》作业设计方案-初中数学沪教版上海九年级第一学期

《相似三角形的判定》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在巩固学生在初中数学课程中对于相似三角形判定的理解，能够熟练运用相关定理和性质，通过实际操作和练习，提升学生对相似三角形问题的分析和解决能力。

二、作业内容（一）理论复习学生需回顾相似三角形的定义、性质及判定定理，如AA相似、SSS相似等，并尝试通过例题理解各种判定方法的应用场景。

（二）练习题设计1. 基础题：选择、填空题，涉及相似三角形的概念及基本判定方法。

2. 综合题：设计实际问题，要求学生通过画图、计算、推理等步骤，判断三角形的相似性。

3. 拓展题：提供复杂图形，要求学生运用所学知识，分析并判定多个三角形之间的相似关系。

（三）实践操作学生需自行寻找或绘制实际生活中的相似三角形实例，如地图上的建筑物与实地建筑物的关系等，并尝试用所学知识解释其相似性。

三、作业要求1. 理论复习部分：学生需自行总结相似三角形的判定方法，并尝试举一反三，通过典型例题加深理解。

2. 练习题部分：要求学生在规定时间内独立完成，综合题和拓展题需有详细的解题步骤和思路说明。

3. 实践操作部分：学生需拍摄或绘制实例的照片或草图，附在作业中，并简要说明其相似性的判定过程。

4. 作业需整洁、字迹清晰，解答过程逻辑严谨，表达准确。

四、作业评价1. 教师根据学生完成情况，对理论复习部分进行批改，并给出相应的指导建议。

2. 对练习题部分进行评分，重点关注学生的解题思路和步骤是否正确，表达是否清晰。

3. 对实践操作部分进行评价，关注学生是否能从实际生活中找到相似三角形的例子，并正确分析其相似性。

五、作业反馈1. 教师将批改后的作业发回给学生，让学生了解自己的不足之处。

2. 对于共性问题，教师将在课堂上进行讲解，帮助学生解决疑惑。

3. 鼓励学生之间互相交流学习，分享解题经验和思路。

4. 定期收集学生的作业反馈，了解学生的学习需求和困难，以便调整教学策略和作业设计。

通过以上作业设计旨在通过多维度、多层次的练习，帮助学生全面掌握相似三角形的判定方法，并能够灵活运用所学知识解决实际问题。

24.4相似三角形的判定

求证：△OAD∽△OBC.
D A
O
B
C
例 3、已知如图，点 D 是△ABC 的边 AB 上的一点，且 AC2 AD • AB ,求证：△ACD∽△ABC.
A
D
C
B
猜想
3：在△ABC
与△
A1B1C1 中，如果
AB A1B1
BC B1C1
CA C1 A1
,那么△ABC
与△
A1B1C1 相似吗？为什么？
8．如图，在△ABC 中，CD，AE 是三角形的两条高，写出图中所有相似的三角形，简要说明理由．
9．如图，D，E 是 AB 边上的三等分点，F，G 是 AC 边上的三等分点，•写出图中的相似三角形，并求出对应的相似比．
6
2.相似三角形的等价关系：（1）反身性：对于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC；（2）对称性：若△ABC∽△A’B’C’，则△A’B’C’∽△ABC （3）传递性：若△ABC∽△A’B’C’，并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’，则△ABC∽△A’’B’’C’’。 3、三角形相似的判定（1）三角形相似的判定方法 ①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似 ②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 ③判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。 ④判定定理 2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 ⑤判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似课程引入：

相似三角形的判定方法

(一)相似三角形1、定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做相似三角形.①当一个三角形的三个角与另一个(或几个）三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形,即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等;③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等,对应边成比例.2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等,而相似要求对应边成比例.②相似比具有顺序性.例如△ＡBＣ∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′Ｂ′Ｃ′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=ｋ′=1.③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数,这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线,截其它两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况,如图其符号语言:∵ＤE∥BＣ,∴△ＡBC∽△ADE；(双A型)②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础,故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行,想比例”,还要想到“见平行,想相似”.(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理１:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。

可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

例1、已知:如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ＡDE．例2、如图,E 、F 分别是△AB Ｃ的边BC 上的点，ＤＥ∥AB,D Ｆ∥ＡC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

相似三角形的判定方法.docx

（一）相似三角形1定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形.①当一个三角形的三个角与另一个（或几个）三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个（或几个）三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例.2、相似三角形对应边的比叫做相似比.①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1 •所以全等三角形是相似三角形的特例•其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例•②相似比具有顺序性.例如△ ABC A B，的对应边的比，即相似比为k ,则△ A B' 0△ ABC的相似比！.，当它们全等时，才有k=k' =1③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出.3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似.①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：T DE // BC ,•••△ABC ADE ;②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理. 它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到见平行，想比例”，还要想到见平行，想相似（二）相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

例1、已知：如图，∠ 1 = ∠ 2=∠ 3,求证：△ AB（0^ ADE判定定理2:如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。