解析几何中的最值问题题

合集下载

高中数学：解析几何中求最值的几种方法

解析几何中的求最值问题在中学数学中占有一席之地，近几年的高考也经常出现。最值问题涉及的知识面宽，解题方法较灵活，学生时常感到无从下手。为了解决这个问题，现举例说明求最值的几种方法，请大家指正。

一、利用定义

圆锥曲线的定义，是曲线上的动点本质属性的反映。研究圆锥曲线的最值，巧妙地应用定义，可把问题简化，速达目的。

例1、若使双曲线上一点M到定点A（7，）的距离与M到右焦点F的距离之半的和有最小值，求M点的坐标。

解析：如图1所示，由双曲线定义2可知，，所以

|MF|=2|MP|。令，即。此问题转化为折线AMP的最短问题。显然当A、M、P同在一条与x轴平行的直线上时，折线AMP最短，故M点的纵坐标为，代入双曲线方程得M（，）。

图1

二、利用对称

对称思想是研究数学问题常用的思想方法，利用几何图形的对称性去分析思考最值问题，常可获得简捷明快的解法。

例2、已知点A（2，1），在直线和上分别求B点和C点，使△ABC的周长最小。

分析：这里的主要理论依据是：轴对称的几何性质以及两点间的

距离以直线段为最短。

解析：先找A（2，1）关于直线、的对称点分别记为和，如图2所示，若在、上分别任取点和，则△ABC周长=

周长。

故当且仅当、、、四点共线时取等号，直线方程为：，与、的交点分别为B（，）、C（，0）。

图2

三、利用几何

利用参数的几何意义，把它转化为几何图形中某些确定的几何量（如角度、长度、斜率）的最大值、最小值问题，这样可以化难为易，提高解题速度。

例3、椭圆内有两点A（4，0），B（2，2），M是椭圆上一动点，求|MA|+|MB|的最大值与最小值。

解析几何最值、范围问题

1、已知两定点12(1

,0),(1,0)F F -，满足124PF PF +=

的动点P 的轨迹是曲线C . (Ⅰ) 求曲线C 的标准方程；

（Ⅱ）直线:l y x b =-+与曲线C 交于,A B 两点, 求AOB ∆面积的最大值.

2、已知椭圆(2222:1>>0)y x C a b a b

+=的离心率为,22

且椭圆上一点到两个焦点的

距离之和为22.斜率为()0≠k k 的直线l 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与y 轴相交于点M （0，m ）.

（1）求椭圆的标准方程；（2）求m 的取值范围.

（3）试用m 表示△MPQ 的面积S ，并求面积S 的最大值. 3、（2012潍坊期末）如图，椭圆G 的中心在坐标原点，其中一个焦点为圆F ：

0222=-+x y x 的圆心，右顶点是圆F 与x 轴的一个交点．已知椭圆G 与直线l ：

01-=-my x 相交于A 、B 两点．

(I)求椭圆的方程；

(Ⅱ)求∆AOB 面积的最大值．

第4题图

第3题图

4、如图，椭圆C ：22

212x y a

+=焦点在x 轴上，左、右顶点分别为1A A ，，上顶点为B ．抛物线12C C 、：分别以A B ，为焦点，其顶点均为坐标原点O ，12C C 与相

交于直线y =上一点P ． ⑴求椭圆C 及抛物线12C C 、的方程；

⑵若动直线l 与直线OP 垂直，且与椭圆C 交于不同两点M N 、，已知点

Q (,0)

，求⋅的最小值． 5、如图，椭圆的方程为)0(1222

第八课解析几何中的最值定值对称问题

二轮复习之八解析几何中的最值、定值、对称问题

一、最值问题（1）函数法

例1、已知P 点在圆()

41x y +-=上移动，Q 点在椭圆2

219

x y +=上移动,试求PQ 的

最大值。

练习：若(,0)A a ，P 为双曲线22

1169

x y -=上一点，若P 为双曲线左顶点时，AP 长

度最小，则_____________∈a

（2）不等式法

例2、已知：21,F F 是椭圆)0(122

22>>=+b a b y a x 的两个焦点，P 是椭圆上任一点。

证明：（1）当P 为椭圆短轴端点时，三角形21F PF 面积最大。（2）当P 为椭圆短轴端点时，21F PF ∠最大。

练习：设21,F F 是椭圆14

=+y x 的两个焦点，P 是这个椭圆上任一点，则21PF PF ∙的最大值是

（3）几何法

例题：函数8x 4x 73x 6x y 22+-+++=的最小值为____________。

练习：函数1)4x (25)4x (y 22++-+-=

的最大值为M ，最小值为N ，则M －N

＝_________ 二、定值问题

例题：如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB. （1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；

（2）若M 为动点，且∠EMF=90°，求△EMF 的重心G 的

轨迹。

练习：在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点．（1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→

--OA →

解析几何中最值问题的处理方法

--------椭圆的内接四边形面积的最值

【前置作业】

1直线AB 的方程为____________________________；

2.设用表示下列各量：

（1）点E 到直线AB 的距离 _____________，点F 到直线AB 的距离

(2)

3.设用表示下列各量：

（1）直线EF 的方程为________________,

（2）点A 到直线EF 的距离，

(3)点B 到直线EF 的距离

(4)

【情景设置】

00(,)E x y 00,x y 2_______

d =1d =______ABE S ∆=____ABF S ∆=_____AEBF S =四（本题结果均去掉绝对值）00(,)E x y 00,x y 2_______d =1_______d =_________AEF S ∆=_____AEBF S =四_______BEF S ∆=AOE AOF BOE BOF AEBF AOBE S S S S S S ∆∆∆∆四四请找出“与”，“与”，“与”的关系。221,,34x y A B AB D E F +=已知椭圆点分别是椭圆的上顶点和右顶点，过原点的直线与线段交于点，与椭圆交于、两点。

1,,34x y A B AB D E F AEBF +=已知椭圆点分别是椭圆的上顶点和右顶点，过原点的直线与线段交于点，与椭圆交于、两点。求四边形面积的最大值。

【合作探究一】表示AEBF

四边形面积

方案一：

方案二：

方案三：

四边形面积的最值【合作探究二】求AEBF

解析几何中的最值问题.

解析几何中的最值问题

解析几何中的最值问题是很有代表性的一类问题，具有题形多样，涉及知识面广等特点。解决这类问题，需要扎实的基础知识和灵活的解决方法，对培养学生综合解题能力和联想思维能力颇有益处。本文通过实例，就这类问题的解法归纳如下：

一、转化法

例1、点Q 在椭圆

147

x y +=上，则点Q 到直线32160x y --=的距

离的最大值为（）

分析：可转化为求已知椭圆平行于已知直线的切线，其中距离已知直线较远的一条切线到该直线的距离即为所求的最大值。

解：设椭圆的切线方程为

y x b

=+，与

147

x y +=消去y 得

224370x bx b ++-=由∆=01272=+-b 可得4(4)b b ==-舍去，与

32160x y --=平行且距离远的切线方程为3280x y -+=

所以所求最大值为d =

，故选C 二、配方法

例2、在椭圆

221x y a b

+=的所有内接矩形中，何种矩形面积最大？分析：可根据题意建立关系式，然后根据配方法求函数的最值。解：设椭圆内接矩形在第一象限的顶点坐标为A (),x y ，则由椭圆对称性，矩形的长为2x ，宽为2y ，面积为4xy ，与

221x y a b

+=消去

y 得： 22b S x a

=⋅=

可知当x a =

时，max 2S ab =

三、基本不等式法

例3、设21,F F 是椭圆14

=+y x 的两个焦点，P 是这个椭圆上任一点，则21PF PF •的最大值是解：

124PF PF +=

由12PF PF +≥得

解析几何中最值问题的求法

相切的直线ｚ的方程为３－ｙ￡，ｘ２：则由｛＋ｏ７ｘ
得ｌ６＋ｘ
ｊ２ｔ一ｙ＋＝Ｕ
例３知椭圆ｃ筝＋１曰椭圆中已：孚＝，是过Ａ心的任意弦，ｆ
是线段Ａ的垂直平分线．是与椭圆的交点．求 △ＡＭＢ的面积的最小值解：设线段ＡＢ所在直线的斜率存在且不为零．Ａ所假设Ｂ在的直线方程为ｙｋ（ ≠０，ｘ，Ａ，＝ｘｋ）Ａ（＾）Ｙ
８０的距离为ｄ上＝＝
＝Ｖ３ｑ－８
，．
・
８３Ｖｑ即为椭圆
．
一
解程｛一器器。方组
ｙ＝ｔＡ￣Ｘａ
・
．
Ｖ３（２一） ¨ １３７￣４２上的点到直线３一ｖ１＝ｘ＋ｙ＝８２一６０的最短距离解析：直线与圆锥曲线相离时．在一个圆锥曲线上的点当存到直线的距离最短．决此类问题．往利用圆锥曲线的切线到解往已知直线的距离，此时应注意用判别式来求圆锥曲线的切线。五、用数形结合。利尤其是切线的性质求最值

解析几何中的最值问题

1.已知ABC

∆边长分别为5

3、

、，点P是它的内切圆上一点，求以PC

PA、

、为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值。

2.已知抛物线x

2=上的动点P到顶点与焦点的距离之比是m，求m的最大值，并

求m最大时点P的坐标。

3.已知b

a、是正的常数，()y

P，是第一象限内的点，且在曲线1

上移动，求y

x+的最小值。

4.已知椭圆()0

x和两定点()()3

3，

、

，B

A-

-。若椭圆与线段AB无公共点，求a的取值范围。

的弦，求所引弦长的最大值。

6.有一长度为l 的线段，其两端点在抛物线y x =2上移动，线段l 的中点为M ，且1≥l 。当点M 离x 轴最近时，求点M 的坐标。

7.过点()()()400，，∈a a M 作直线l 与圆1622=+y x 交于 B A 、两点，当直线l 的倾斜角为何值时，AOB ∆的面积

最大？并求这个最大值。

8.平移抛物线2x y =，使其顶点恒在抛物线12

12+=x y ，问平移后的抛物线中的哪一条上的哪一点到直线x y =的距离最小？

9.已知点()m P ，0到椭圆

()02242>=+k k y x 上的点的最大距离是7，求解析式 ()m f k =。

高考解析几何中的最值问题

高考解析几何中的最值问题，以直线或圆锥曲线为背景，综合函数、不等式、三角等知识，所涉及的知识点较多。对解题能力考查的层次要求较高，因而这类最值问题已成为历年高考数学中的热点和难点。

【定义法】有些问题先利用圆锥曲线定义或性质给出关系式，再利用几何或代数法求最值，可使题目中数量关系更直观，解法更简捷。

1.已知抛物线 24y x =，定点A(3,1)，F 是抛物线的焦点，在抛物线上求一点 P,使|AP|+|PF|取最小值，并求其最小值。

2.（2015全国卷1）已知是双曲线的右焦点，P 是C 左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为．

【参数法】参数方程是曲线的另一种表示形式，参数法是解决数学问题的一种重要方法，利用椭圆、双曲线参数方程转化为三角函数问题，或利用直线、抛物线参数方程转化为函数问题求解。 3.已知Q （0，-4）、P （6，0），动点C 在椭圆=1上运动，求△QPC 面积的最大值。

F 2

:18y C x -

=(A APF ∆4

2y x

【导数法】用导数求解解析几何的最值问题：导数的几何意义是曲线上某点处切线的斜率，因而解析几何中的有关切线和最值问题用导数来处理，就避免解析几何中一些繁琐的计算。

4.（2007全国卷1）已知椭圆

=1的左、右焦点分别在F1、F2，过F1的直线交椭圆

与B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P。

（Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：

001 32

x y

+<；

（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值。

专题05 解析几何中的最值问题 (解析版)

专题05 解析几何中的最值问题

常见考点

考点一面积最值问题

典例1．已知椭圆C ∶22

221(0)x y a b a b

+=>>经过点P

32），O 为坐标原点，若直线l 与椭圆C

交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，直线l 与直线OM 的斜率乘积为-14

. (1)求椭圆C 的标准方程；

(2)

若OM =AOB 面积的最大值.

【答案】(1)22

1123

x y +=

(2)3 【解析】【分析】

（1）根据椭圆经过点P

），得到

223914a b

+=，再利用点差法，根据直线l 与直线OM 的斜率乘积为-14，得到 221

b a -=-求解；

（2）当AB x ⊥

轴时，易得12AOB

OM AB =

⋅AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为

y kx t =+，联立22

1123x y y kx t ⎧+

=⎪⎨⎪=+⎩

，根据OM =k ，t 的关系，再求得AB 和点O 到直线AB 的距

离为d ，由1

AOB S AB d =⋅⋅求解.

(1)

解：因为椭圆经过点P

），所以

14a b +=，设()()1122,,,A x y B x y ，因为直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，

所以22

1122

222211

x y a b x y a

b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，

因为线段AB 的中点为M ，且直线l 与直线OM 的斜率乘积为-14

，

所以 221

4b a -=-，解得223,12b a ==，

解析几何最值问题的归类解析

解析几何最值问题是一类综合性强、变

量多的难点问题，当然也是高考中的热点问

题．常见的解析几何最值问题有：关于线段长、

多边形面积、线段夹角以及有关目标函数的

最值等．本文就解析几何最值问题作如下归纳

解析，旨在探索题型规律，揭示解题方法与技

巧，以飨读者．

一、线段及线段和的最值问题

例１点Ａ，Ｂ分别是椭圆长轴的左、右

端点，点Ｆ是椭圆的右焦点，点Ｐ在椭圆上，

且位于ｘ轴上方，ＰＡ⊥ＰＦ．

（１）求点Ｐ的坐标；

（２）设Ｍ是椭圆长轴ＡＢ上的一点，Ｍ到

直线ＡＰ的距离等于ＭＢ，求椭圆上的点到

点Ｍ的距离ｄ的最小值．

解（１）点Ｐ的坐标是

３

２

，５

２

３

" #$．

（２）由条件知直线ＡＰ的方程是：

ｘ－３

"ｙ＋６＝０．

设点Ｍ的坐标是（ｍ，０），则Ｍ到直线ＡＰ

的距离是ｍ＋６

２

，于是ｍ＋６

２

＝ｍ－６．

又－６≤ｍ≤６，解得ｍ＝２．椭圆上的点（ｘ，ｙ）到点Ｍ的距离ｄ有：ｄ２＝（ｘ－２）２＋ｙ２＝ｘ２－４ｘ＋

４＋２０－５

９ｘ２＝４

９

ｘ－９

２

&$２＋１５，由于－６≤

ｘ≤６，∴当ｘ＝９

２时，ｄ取得最小值１５

"．

评注本题首先求出定点的坐标，然后代入消元转化为二次函数，利用配方法求最值．也可利用椭圆的参数方程代入式子，转化为三角函数的最值问题求解．

二、多边形面积的最值问题

例２在平面直角

坐标系ｘＯｙ中，抛物线ｙ＝

ｘ２上异于坐标原点Ｏ的

两不同动点Ａ，Ｂ满足

ＡＯ⊥ＢＯ（如图所示）．

（１）求△ＡＯＢ的重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程．

（２）△ＡＯＢ的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．解设Ｂ点坐标为（ｋ，ｋ２），则Ａ点坐标

高三高考数学专题09以解析几何中的最值、定值和探索性问题为背景的专题训练

专题9 以解析几何中的最值、定值和探索性问题为背景的专题训练

题型一最值问题

1.【安徽阜阳市2017高三第二次质量检测】已知点P 为22

142x y E +

=：上的动点，点Q 满足13

OQ OP =

（1）求点Q 的轨迹M 的方程；

（2）直线:l y kx n =+与M 相切，且与圆224

x y +=相交于,A B 两点，求ABO ∆面积的最大值（其中O 为坐标原点）.

【答案】（Ⅰ）22199

x y +=；（Ⅱ） 2

试题解析：（Ⅰ）设()()00,,,Q x y P x y ，由于13OD OP = ，则有()()001

,,3

x y x y =，则

03{3x x y y ==，又()00,P x y 在椭圆E 上，故有()()22

33142

x y +=，

即点Q 的轨迹M 的方程为22

14299

x y +

=；（Ⅱ）直线:l y kx n =+与椭圆22:14299x y D +=相切，故由22{142

y kx n

x y =++= 可得： ()

222189361840k x knx n +++-=

因为()()()()

22223641891844184920kn k n k n ∆=-+-=⨯-+=，则有22492k n =- （显然0n ≠）.

点O 到直线AB

的距离d =

AB = 因为2

492k n =-，则2

29n ≥，所以22

424,21999n d k n ⎡⎫==

=∈⎪⎢+⎣⎭

则112229AOB S AB d d ∆=

⋅⋅=⋅=，

当且仅当2249d d -=时，即22

解析几何中的最值问题

解方程组
y2 4x x y m 0 y2 4y 4m 0
Y A O
16 16m 0 m 1
当 m=1 时，直线 L 到直线 AB 的距离为最大，也是点 C 到直线 AB 的距离最大。把 m=1 代入得：
D
X C B
C 1 ,2
2
设 y=x2 时
（为抛物线）
2 2
x 4 y 3
2

x 0 y 2
M’
建立几何模型： “抛物线 y=x2 上的动点M（x，y）到两个定点A（4，3）、B（0，2）的距离之差的最大值。” 易知：
Y
A
M
O
B
X
s MA MB AB 17
Smax 17
x 1 y
2
2
x2 y 1 x 1 y 1
2 2
2
求：使 S 最小的 x 与 y 的值。
分析：由题设的代数结构，联想到平面上两点间的距离。
可设：四个根号的几何意义分别为点P（x，y）到点O（0，0）、 A（1、0）、C（0，1）、B（1，1）四点的距离。
A 2 1 ,0 B0,1 2k k s 2 1 1 2k k

k0

例4、已知：实数 x、y 满足求：

解析几何中的一些最值问题

OCCUPATION

2011 7

162

解析几何中的一些最值问题

文/王海滔

最值问题遍及中学数学的代数、三角、立体几何及解析几何等学科内的各个分支，在生产实践当中广泛应用，解析几何中的最值问题也是历届各类考试的热点。如何利用相关的数学方法，运用数形结合的思想解决这类问题，来提高学生分析问题和解决问题的能力，为进一步学好高等数学中的最值问题打下基础，是中学数学复习中不可忽视的问题。下面，笔者结合具体的例子，对解析几何中的最值问题介绍几种解答方法。

一、利用对称性求最值（动点在直线上）

动点在直线上求最值，解决的办法是把折线问题转化成直线问题，利用平面内两点间直线段最短的公理，或利用两点间距离公式求出线段长的最值。

【例1】已知点P 在x 轴上运动，A (-2，2），B （1，3）

（1）则│P A │+│PB │的最小值为多少？

分析：作出A 点关于x 轴的对称点A'(-2，2），那么│P A │+│PB │=│P A'│+│PB │，利用三角形两边之和大于第三边，可得：│P A'│+│PB │≥│A'B │，当且仅当A'，P ，B 三点共线时取得最小值│A'B

（2）则│PB │-│P A 分析：此题不用找对称点，利用三角形两边之差小于第三边，只要延长BA 交x 轴于P ，│PB │-│PA │此时得到的最大值为│BA

小结：当动点在直线上时，

（1）求线段长之和的最小值时，若定点是异侧，则两定点距离即为最小值。若是同侧，作对称点即可解决。（2）求线段长之差的最大值时，若定点是同侧，则两定点距离即为最大值。若是异侧，就利用对称性，转化到同侧，也可解决。

微专题26解析几何中的最值与范围问题(解析)

微专题26 解析几何中的最值与范围问题

考题导航

题组一利用数形结合或三角换元等方法解决直线与圆的相关范围问题

1. (－∞，－2)∪(2，＋∞)∪{3，－3} 解析：由题意知直线y ＝kx ＋2与半圆x 2

＋y 2＝1(y ≥0)只有一个交点．结合如图所示的图形，易得k<－2或k>2或k ＝± 3.

2. 3 －2－6 7－43 解析：如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2，0)为圆心，以3为半径的圆．设y

x ＝k ，即y ＝kx ，即圆心(2，0)到直线y ＝kx 的距离为半径时直线

与圆相切，斜率取得最大、最小值．由

|2k －0|k 2＋1

＝3，解得k 2＝3，所以k max ＝3；

设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，仅当直线y ＝x ＋b 与圆切于第四象限时，截距b 取最小值，

由点到直线的距离公式，得|2－0＋b|

2＝3，即b ＝－2±6，故(y －x)min ＝－2－6；x 2＋y 2

表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图)．

又因为圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2，所以x 2＋y 2的最小值为(2－3)2＝7－4 3.

另解：设x ＝2＋3cos α，y ＝3sin α，所以y －x ＝3sin α－2－3cos α＝6sin ⎝⎛⎭⎫α－π4－2∈[－6－2，6－2]，x 2＋y 2＝(2＋3cos α)2＋(3sin α)2＝7＋43cos α∈[7－43，7＋

43]．

解析几何中的面积最值问题

解析几何最值问题是知识网络的交汇点，综合程度高，思维强度大，便于考查学习潜能，一直是高考考查的热点问题。面积最值问题是解析几何最值问题的一个重要方向，在高三复习中理应引起重视。

例题1 (1987年上海市中学数学竞赛题) F 为椭圆x2 /25+y2 /9=1的右焦点，AB为过原点的弦，则△ABF 的面积的最大值为（）

A 20

B 15

C 13.5

D 12

解:易知F (4,0),设点A的坐标为（x ,y ）,则B点的坐标为(-x ,-y ),由椭圆范围知-3≤y ≤ 3.椭圆长轴把△ABF 分成△AOF 与△BOF(O 为坐标原点)。则S

△ABF

=S△AOF+S△BOF= OF Y0+

OF Y

0= OF Y

=4 Y

≤12。等号当且仅当Y=3或–3时成立，故正确答案为（D）。

例题2圆O得到半径为1,B为圆上一点，A为圆外一点，OA=2,以AB为边向圆外侧作正三角形ABC，求A在什么位置时，四边形OACB的面积最大？并求其最大值。

解设∠AOB=θ，则AB2=12+22-4cosθ=5-4cosθ，∴S

△O AB

=sinθ， S△ABC=√3(5-4 cosθ)/4，

∴S

四边形OACB

=(sinθ-√3cosθ)+5√3/4则，当θ=2/3时，四边形OACB面积的最大值为2+5√3/4。

例题3①已知椭圆x2 /m2+y2 /n2=1(m>0,n>0)求椭圆内接矩形ABCD面积的最大值。

略解：设A(mcosθ,nsinθ),θ∈(0， /2 )。S

矩形ABCD

解析几何初步中的最值问题

（３）求￣／＝
的最小值．
＋
（３）￣／＋＋￣／（ｚ一３）＋（ｙ－３）。可
看成Ｐ（ｘ，）点到两定点０（０，０）与Ｑ（３，３）的
解析（１）由题意可得线段ＡＢ的方距离之和，如图２，因为０，Ｑ在线段ＡＢ的两
例３已知圆Ｃ：（ｘ－－１）。４－（＋１）ｚ一
２，直线Ｚ： — Ｙ＋４—０．
解析（１）因为Ａ，Ｂ两点位于直线同侧，如图３，当Ｍ与Ａ，Ｂ不共线时，三角形中两边之差小于第三边，即ＭＡ—ＭＢ＜ＡＢ；当
０／
解析（１）圆心点Ｃ到直线ｚ的距离
图３
（２）如图４可求得Ｂ点关于直线ｚ对称的点Ｂ（０，４），则直线ｚ是线段ＢＢ的垂直平分线，ＭＢ—ＭＢ，则ＭＡ＋ＭＢ— ＭＡ＋
点评解决这类最值问题的关键是能
惭ＵｉｖｃｒｓｉｔｖＥ
根据问题的特征，选择合适的代数方法或几
何方法进行求解．一般来说，点到直线的距