高三数学二轮复习教案：专题三 数列、推理与证明 第一讲 等差数列、等比数列

专题三 数列、推理与证明第1讲 等差数列、等比数列自主学习导引真题感悟1．(·浙江)设公比为q (q ＞0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.解析 利用等比数列的通项公式及前n 项和公式求解． 解法一 S 4＝S 2＋a 3＋a 4＝3a 2＋2＋a 3＋a 4＝3a 4＋2， 将a 3＝a 2q ，a 4＝a 2q 2代入得，3a 2＋2＋a 2q ＋a 2q 2＝3a 2q 2＋2，化简得2q 2－q －3＝0， 解得q ＝32(q ＝－1不合题意，舍去)．解法二 设等比数列{a n }的首项为a 1，由S 2＝3a 2＋2，得 a 1(1＋q )＝3a 1q ＋2.①由S 4＝3a 4＋2，得a 1(1＋q )(1＋q 2)＝3a 1q 3＋2.② 由②－①得a 1q 2(1＋q )＝3a 1q (q 2－1)． ∵q ＞0，∴q ＝32. 答案 322．(·课标全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝ A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7解析 解法一 利用等比数列的通项公式求解．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎨⎧q 3＝－12，a 1＝－8，∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.解法二 利用等比数列的性质求解．由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎨⎧q 3＝－12，a 1＝－8，∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. 答案 D考题分析等差数列与等比数列的基本性质与运算是各地高考考查的热点，突出了通性通法．三种题型都有可能出现，有较容易的低档题，也有与其他知识交汇命题的压轴题．网络构建高频考点突破考点一：等差、等比数列的基本运算【例1】(·盘锦模拟)已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2，a 3＋a 4＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＋1a 4. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a 2n ＋log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . [审题导引] (1)利用所给的条件式求出a 1与q ，可求a n ； (2)把数列{b n }分解为一个等差数列与一个等比数列，分组求和．[规范解答] (1)∵a 1＋a 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＝2×a 1＋a 2a 1a 2，a 3＋a 4＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＋1a 4＝32×a 3＋a 4a 3a 4，数列{a n }各项均为正数，∴a 1a 2＝2，a 3a 4＝32， ∴q 4＝a 3a 4a 1a 2＝16，∴q ＝2，又a 1a 2＝a 1·a 1q ＝2，∴a 1＝1，∴a n ＝a 1q n －1＝2n －1.(2)∵b n ＝a 2n ＋log 2a n ，∴b n ＝4n －1＋(n －1)， ∴S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝(40＋41＋42＋…＋4n －1)＋(0＋1＋2＋…＋n －1) ＝4n －13＋n (n －1)2. 【规律总结】方程思想在等差(比)数列的基本运算中的运用等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a 1、d (或q )、n 、a n 与S n 这五个量，如果已知其中的三个，就可以求其余的两个．其中a 1和d (或q )是两个基本量，所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现．[易错提示] 等差(比)数列的基本运算中，容易出现的问题主要有两个方面：一是忽视题中的条件限制，如公差与公比的符号、大小等，导致增解；二是不能灵活利用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量． 【变式训练】1．(·安徽师大附中模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则S 10－S 7的值是A ．24B ．36C ．48D ．72 解析 ∵S 3＝3a 2＝6，∴a 2＝2， 又a 5＝8，∴3d ＝a 5－a 2＝6，∴d ＝2. ∴S 10－S 7＝a 8＋a 9＋a 10＝3a 9 ＝3[a 5＋(9－5)d ]＝48.答案 C2．(·青岛模拟)设等比数列{a n }的各项均为正数，公比为q ，前n 项和为S n .若对∀n ∈N ＋，有S 2n ＜3S n ，则q 的取值范围是A ．(0,1]B ．(0,2)C ．[1,2)D ．(0，2)解析 当q ＝1时，显然有S 2n ＜3S n ， 当q ≠1时，∵S 2n ＜3S n ， 即S 2n －3S n ＝a 1(1－q n )1－q (q n－2)＜0.∵a 1(1－q n )1－q ＞0，∴q n －2＜0恒成立， ∴0＜q ＜1，故q ∈(0,1]． 答案 A考点二：等差、等比数列的判定与证明【例2】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a n －2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N ＋，S n ≠0)，a 1＝12，判断⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 与{a n }是否为等差数列，并说明你的理由．[审题导引] 因为已知关系式中包含a n ，S n ，S n －1，所以应根据a n 与S n 的关系式：a n ＝S n －S n －1(n ≥2)将已知条件转化为关于S n 与S n －1之间的关系，从而判断⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是否为等差数列，并求出S n 的表达式，然后求出数列{a n }的通项公式，并判断其是否为等差数列．[规范解答] 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， 所以由a n －2S n S n －1＝0，可得S n －S n －1－2S n S n －1＝0(n ≥2)，所以1S n －1－1S n＝2(n ≥2)，又因为S 1＝a 1＝12，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列．所以1S n＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n . 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝－12n (n －1)， 所以a n ＋1＝－12n (n ＋1)，而a n ＋1－a n ＝－12n (n ＋1)－－12n (n －1)＝－12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n －1＝1n (n －1)(n ＋1).所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数， 故数列{a n }不是一个等差数列．综上，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，{a n }不是等差数列．【规律总结】判断数列是否为等差(比)数列的方法在判断一个数列是否为等差(比)数列时，应该根据已知条件灵活选用不同的方法，一般是先建立a n ＋1与a n 的关系式或递推关系式，表示出a n ＋1－a n ⎝⎛⎭⎪⎫或a n ＋1a n ，然后验证其是否为一个与n 无关的常数．另外，常数列{a n }的通项公式a n ＝a ，它是一个首项a 1＝a ，公差d ＝0的等差数列，若a ≠0，则该数列也是一个首项a 1＝a ，公比q ＝1的等比数列．如果一个数列中包含有0的项，那么这个数列一定不是等比数列． 【变式训练】3．(·西安模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋2. (1)求证：数列{a n ＋2}是等比数列(要求指出首项与公比)； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解析 (1)证明 由a n ＋1＝2a n ＋2，得a n ＋1＋2＝2a n ＋4， 即a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，即a n ＋1＋2a n ＋2＝2(n ∈N ＋)，又由a 1＝2得a 1＋2＝4，所以数列{a n ＋2}是以4为首项，以2为公比的等比数列． (2)由(1)知a n ＋2＝4·2n －1＝2n ＋1， 所以a n ＝2n ＋1－2，所以S n ＝22＋23＋…＋2n ＋1－2n ＝22(1－2n )1－2－2n ＝2n ＋2－2n －4.考点三：等差、等比数列的性质及应用【例3】(1)已知正数组成的等差数列{a n }，前20项和为100，则a 7·a 14的最大值是A ．25B ．50C ．100D ．不存在(2)(·株洲模拟)设等比数列{a n }各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝ A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 35[审题导引] (1)求出a 1＋a 20，利用a 1＋a 20＝a 7＋a 14与基本不等式求解；(2)利用等比数列的性质结合对数的运算法则解题．[规范解答] (1)∵{a n }为等差数列， ∴S 20＝12×20×(a 1＋a 20)＝100， ∴a 7＋a 14＝a 1＋a 20＝10. ∵a 7＞0，a 14＞0， ∴a 7·a 14≤⎝⎛⎭⎪⎫a 7＋a 1422＝25， 当且仅当a 7＝a 14＝5时，等号成立． (2)∵a 5a 6＝a 4·a 7，a 5a 6＋a 4a 7＝18， ∴a 5a 6＝9，log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10) ＝log 3(a 5a 6)5＝5log 39＝10. 答案 (1)A (2)B 【规律总结】等差、等比数列性质的应用技巧(1)等差数列与等比数列有很多性质很类似，但又有区别，学习时需对比记忆，灵活应用．(2)等差数列与等比数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用．(3)应用等差数列、等比数列的性质要注意结合其通项公式、前n 项和公式． 【变式训练】4．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13等于 A ．120B ．105C ．90D ．75解析 设公差为d 且d ＞0，∵a 1＋a 2＋a 3＝15， ∴a 2－d ＋a 2＋a 2＋d ＝15， ∴a 2＝5.又a 1a 2a 3＝80，∴d 2＝9. ∵d ＞0，∴d ＝3.则a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 2＋10d )＝105.答案 B名师押题高考【押题1】在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝a 3a 5，则a 7＝A.116B.18C.14D.12 解析 解法一 设等比数列{a n }的公比为q . ∵a 4＝a 3a 5，a 1＝8，∴8·q 3＝8·q 2·8·q 4， 即q 3＝18，∴q ＝12， a 7＝a 1q 6＝8·⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝18. 解法二 ∵a 4＝a 3a 5＝a 24，且a 4≠0，∴a 4＝1. 又∵a 24＝a 1a 7，即1＝8a 7，∴a 7＝18. 答案 B[押题依据] 本题可根据给出的条件利用等比数列的通项公式求解，也可以利用等比数列的性质求解，解题切口较宽，不仅考查数列的通性通法，同时也突出了对能力的考查，符合高考的要求，故押此题．【押题2】在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n . (1)设b n ＝a n2n －1，证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解析 (1)证明 由已知a n ＋1＝2a n ＋2n ，得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n2n －1＋1＝b n ＋1.又b 1＝a 1＝1，因此{b n }是首项为1，公差为1的等差数列． (2)由(1)知a n 2n －1＝n ，即a n ＝n ·2n －1， S n ＝1＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1， 两边乘以2得2S n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ， 两式相减得S n ＝－1－21－22－…－2n －1＋n ·2n ＝－(2n －1)＋n ·2n ＝(n －1)2n ＋1.[押题依据] 等差数列、等比数列的判定与证明、数列的求和一直是高考的热点，本题综合考查了等差数列的证明、通项公式的求法、错位相减法求和等知识点，难度中等，故押此题．。