浙江省杭州第二中学2015届高考仿真考试数学理科试题及答案(扫描版)
2015浙江省杭州二中高考考前仿真卷(理科)
2014学年杭州二中高三年级仿真考数学试卷（理科） 第I 卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数()f x 不是奇函数，则下列命题一定为真命题的是（ ） A ．()()x R f x f x ∀∈-≠-， B ．()()x R f x f x ∀∈-=， C ．000()()x R f x f x ∃∈-≠-， D ．000,()()x f x f x ∃-=2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3813a a +=且735S =，则7a =（ ） A ．11 B ．10 C ．9 D ．8 3．函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中)2,0πϕ<>A ）的图象如图所示，为了得到()sin g x x ω=的图象，则只要将)(x f 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度4．设R b a ∈,，则“a b >”是“a a b b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．若变量,x y 满足210201x y x y x -+≤⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则点(2,)P x y x y -+所在区域的面积为（ ）A ．34 B. 43 C. 12D. 1 6．已知函数2|log |,02()sin(),2104x x f x x x π<<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，且1234()()()()f x f x f x f x ===，则3412(2)(2)x x x x -⋅-⋅的取值范围是（ ）A ．(4,16)B ．(0,12)C ．(9,21)D ．(15,25)7．已知点P2 1,F F分别为双曲线的左右焦点，且I为三角形21FPF的内心，若1212IPF IPF IF FS S Sλ∆∆∆=+成立，则λ的值为（）ABCD8．过正方体ABCD-A1B1C1D1棱DD1的中点与直线BD1所成角为40°，且与平面AC C1A1所成角为50°的直线条数为（）A.1B.2C.3D.无数第II卷（共110分）二、填空题：本大题共7小题，第9至12题每小题6分，第13至15题每题4分，共36分．9．设全集为R，集合2{|430},M x R x x=∈-+>集合{|24},xN x R=∈>则M N⋃=；M N⋂=；()RC M N⋂=.10．已知02πα<<,02πβ-<<,3cos()5αβ-=，且3tan4α=，则cosα=________,sinβ=_______ . 11．在如图所示的空间直角坐标系O—xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(2，0，0)，(0，2，0)，(0，0，2)，(2，2，2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图、侧视图和俯视图分别为（填写编号），此四面体的体积为.12．已知圆22:(cos)(sin)9(R)C x yααα-++=∈与直线:cos sin10(R)l x yβββ--=∈，则圆C的圆心轨迹方程为，直线l与圆C的位置关系是______．④③②①1A13．已知点)21,21(-A 在抛物线)0(2:2>=p px y C 的准线上，点M ，N 在抛物线C 上，且位于x 轴的两侧，O 是坐标原点，若3=⋅，则点A 到动直线MN 的最大距离为 ．14．在直径AB 为2的圆上有长度为1的动弦CD ，则AC BD ⋅的取值范围是 ．15．已知,,a b c 为非零实数，()ax b f x cx d +=+，且(2)2,(3)3f f ==.若当dx c≠-时，对于任意实数x ，均有(())f f x x =，则()f x 值域中取不到的唯一实数是 ．三、解答题：本大题共5小题，第16至19题每题15分，第20题14分，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．ABC ∆中，内角,A B C ,的对边分别是,,a b c ，已知,,a b c 成等比数列，且3cos 4B =. （Ⅰ）求11tan tan A B+的值； （Ⅱ）设32BA BC ⋅=，求a c +的值.17．已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为23ABC π∠=的菱形，PA ⊥平面ABCD ，点Q 在直线PA 上.（Ⅰ）证明：直线QC ⊥直线BD ；（Ⅱ）若二面角B QC D --的大小为23π，点M 为BC 的中点，求直线QM 与AB 所成角的余弦值.CA18．已知数列{}n a 中，111,1,33,n n na n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数，（Ⅰ）求证：数列23{}2n a -是等比数列；（Ⅱ）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，求满足0n S >的所有正整数n ．19．如图，中心在坐标原点，焦点分别在x 轴和y 轴上的椭圆1T ，2T 都过点(0,M ，且椭圆1T 与2T （Ⅰ）求椭圆1T 与椭圆2T 的标准方程；（Ⅱ）过点M 引两条斜率分别为,k k '的直线分别交1T ，2T 于点P ，Q ，当4k k '=时，问直线PQ 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.20．设1)(2+--=ax x x f ，22()ax x ag x x++=， （Ⅰ）若0)(=+b x f 在]2,1[上有两个不等实根，求(1)g b +的取值范围；（Ⅱ）若存在]2,1[1∈x ，使得对任意的21[,1]2x ∈，都有)()(21x g x f ≥成立，求实数a 的取值范围.参考答案二、填空题：9. (,1)(2,)-∞⋃+∞；(3,)+∞；(,3]-∞ 10.45；725- 11. ③ ② ② ；83；12. 221x y +=；相交; 13. 214. 31[,]22-; 15. 52三、解答题：16. 解：（Ⅰ）因为,,a b c 成等比数列，所以ac b =2,由余弦定理可知：)1(2122cos 22222-+=-+=-+=caa c ac ac c a acbc a B 又3cos 4B =，所以47sin =B ，且43)1(21=-+c a a c ，解得212或=a c . 于是772778sin sin sin sin sin cos sin cos tan 1tan 1或=⋅=⋅=+=+B a c B A C B B A A B A . （Ⅱ）因为32BA BC ⋅=,所以23cos =B ca ，所以2=ca ，又212或=a c ，于是3=+a c . 【另解】由32BA BC ⋅=得3cos 2ca B ⋅=，由3cos 4B =可得2ca =，即22b =由余弦定理 2222cos b a c ac B =+-⋅得2222cos 5a c b ac B +=+⋅=()2222549a c a c ac +=++=+= ∴ 3a c +=.17. （Ⅰ）证明：显然BD AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，则PA BD ⊥，故BD PAC ⊥平面,QC PAC ⊆平面,则直线QC ⊥直线BD ；（Ⅱ）由已知和对称性可知，二面角A B QC --的大小为3π，设底面ABCD 的棱长为单位长度2，AQ x = ，设AC ，BD 交于点E,则有点B 到平面AQC 的距离BE 为1，过点E 做QC 的垂线，垂足设为F ，则有tan tan3BE BFE EF π∠==，BE=1，则，点A 到QCx =⋅x =.过点M 作AB 的平行线交AD 的中点为G ，则GM=2，2QG ==，AM ==QM =，22234104cos 2QM GM QG QMG QM GM +-+-∠===⋅， 即所求的QM 与AB所成角的余弦值为34.18.（Ⅰ）证明：21222(1)22221313113(21)(6)(21)13232322333332222n n n n n n n n a n a n n a a a a a a ++++--++---====----， 所以数列23{}2n a -是以23126a -=-为首项，13为公比的等比数列。
【全国 百强校】浙江省杭州第二中学2015届高三高考仿真考试自选模块试题(pdf版)答案
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浙江省杭州市2015年高考数学命题比赛模拟试卷(6)及答案
2015年高考模拟试卷数学卷（理科）第（Ⅰ）卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（原创）已知集合}21{，=A ，}12{A a a B ∈-=，则=B A （ ） A ．{}1 B ．{}1,2 C ．{}1,2,3 D ．∅ 2．（改编）若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的侧面积等于( ) A ．212cm π B ．215cm π C ．224cm π D ．230cm π 3．（改编）已知0log log ,10<<<<n m a a a ，则( ) A ． 1n m <<B ． 1m n <<C ． 1m n <<D ． 1n m <<4．（原创）若实数x ，y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≤083024733y x y x y ， 则y x z 2+=的最大值是( )A ．6B ．7C ．8D ．9 5．（原创）在三角形ABC 中，“0tan tan tan >++C B A ”是“三角形ABC 为锐角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．（原创）已知sin cos (0,)3αααπ+=∈，则s i n ()12πα+的值为（ ） ABCD ．7．（改编）已知圆M ：25)2()322=-+-y x （，过点)0,1(P 作两条相互垂直的弦AC 和BD ，那么四边形ABCD 的面积最大值为( ) A ．21 B ．321 C ．221D ． 42 8．（改编）设函数2)(-+-=x a x x f ，若函数)()()(x f a x x g ⋅+=的图象中心对称，则a 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．0D ． 32-第（Ⅱ）卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题7小题，9-12题每题6分，13-15每题4分，共36分，把答案填在题中的横线上．9．(原创)已知首项为1，公差不为0的等差数列{}n a 的第2，4，9项成等比数列，则这个等（第2题图）比数列的公比=q ；等差数列{}n a 的通项公式n a = ；设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S = 。
浙江省杭州市高考数学二模试卷理(含解析)
2015年浙江省杭州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的是（）A． B． y=cosx C． y=e x D． y=ln|x|2．命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2x0＞0 B．存在x0∈R，2x0≥0C．对任意的x∈R，2x＜0 D．对任意的x∈R，2x＞03．设等比数列{a n}的各项均为正数，若+=+，+=+，则a1a5=（） A． 24 B． 8 C． 8 D． 164．设函数y=sinax+b（a＞0）的图象如图所示，则函数y=log a（x+b）的图象可能是（）A． B． C．D．5．设平行于y轴的直线分别与函数y1=log2x及y2=log2x+2的图象交于B，C两点，点A（m，n）位于函数y2的图象上，若△ABC为正三角形，则m•2n=（）A． 8 B． 12 C． 12 D． 156．已知ABC﹣A1B1C1是所有棱长均相等的直三棱柱，M是B1C1的中点，则下列命题正确的是（）A．在棱AB上存在点N，使MN与平面ABC所成的角为45°B．在棱AA1上存在点N，使MN与平面BCC1B1所成的角为45°C．在棱AC上存在点N，使MN与AB1平行D．在棱BC上存在点N，使MN与AB1垂直7．设P是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）右支上的任意一点，已知A（a，b），B（a，﹣b），若=λ+μ（O为坐标原点），则λ2+μ2的最小值为（）A．ab B． C．ab D．8．设f0（x）=|x|﹣10，f n（x）=|f n﹣1（x）|﹣1（n∈N*），则函数y=f20（x）的零点个数为（）A． 19 B． 20 C． 21 D． 22二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每小题6分，第13-15题每题4分，共36分）9．设集合{（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣2）2≤10}所表示的区域为A，过原点O的直线l将A 分成两部分，当这两部分面积相等时，直线l的方程为；当这两部分面积之差最大时，直线l的方程为，此时直线l落在区域A内的线段长为．10．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体中最长的棱长等于，体积等于．11．设直线l：y=kx+1经过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F，则p= ；已知Q，M分别是抛物线及其准线上的点，若=2，则|MF|= ．12．设非负实数x，y满足（m＜0），则不等式所表示的区域的面积等于（用m表示）；若z=2x﹣y的最大值与最小值之和为19，则实数m= ．13．在正四面体ABCD中，M是AB的中点，N是棱CD上的一个动点，若直线MN与BD所成的角为α，则cosα的取值范围是．14．在△ABC中，||=3，||=5，M是BC的中点，=λ（λ∈R），若=+，则△ABC的面积为．15．已知单位正方形的四个顶点A（0，0），B（1，0），C（1，1）和D（0，1），从A点向边CD上的点P（，1）发出一束光线，这束光线被正方形各边反射（入射角等于反射角），直到经过正方形某个顶点后射出，则这束光线在正方形内经过的路程长度为．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=6，sinA﹣sinC=sin（A﹣B）．（Ⅰ）若b=2，求△ABC的面积；（Ⅱ）若1≤a≤6，求sinC的取值范围．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，且满足AB∥CD，AD=DC=AB，PA⊥平面ABCD．（1）求证：平面PBD⊥平面PAD；（2）若PA=AB，求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），点D（0，b），直线DF的斜率为．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设过点F的直线交椭圆于A，B两点，过点P（﹣4c，0）作与直线AB的倾斜角互补的直线l，交椭圆C于M，N两点，问：是否为定值，若是，求出此定值，若不是，说明理由．19．数列{a n}与{b n}满足：①a1=a＜0，b1=b＞0，②当k≥2时，若a k﹣1+b k﹣1≥0，则a k=a k﹣1，b k=；若a k﹣1+b k﹣1＜0，则a k=，b k=b k﹣1．（Ⅰ）若a=﹣1，b=1，求a2，b2，a3，b3的值；（Ⅱ）设S n=（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+…+（b n﹣a n），求S n（用a，b表示）；（Ⅲ）若存在n∈N*，对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有b k﹣1＞b k，求n的最大值（用a，b表示）．20．设a＞0，b＞0，函数f（x）=ax2﹣bx﹣a+b．（Ⅰ）（i）求不等式f（x）＜f（1）的解集；（ii）若f（x）在[0，1]上的最大值为b﹣a，求的取值范围；（Ⅱ）当x∈[0，m]时，对任意的正实数a，b，不等式f（x）≤（x+1）|2b﹣a|恒成立，求实数m的最大值．2015年浙江省杭州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的是（）A． B． y=cosx C． y=e x D． y=ln|x|考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的单调性、奇偶性的定义逐项判断即可．解答：解：y=在（0，+∞）上递增，但不具有奇偶性，排除A；y=cosx为偶函数，但在（0，+∞）上不单调，排除B；y=e x在（0，+∞）上递增，但不具有奇偶性，排除C；y=ln|x|的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，且ln|﹣x|=ln|x|，故y=ln|x|为偶函数，当x＞0时，y=ln|x|=lnx，在（0，+∞）上递增，故选D．点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，属基础题，定义是解决问题的基本方法．2．命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2x0＞0 B．存在x0∈R，2x0≥0C．对任意的x∈R，2x＜0 D．对任意的x∈R，2x＞0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．解答：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是：对任意的x∈R，2x＞0．故选：D．点评：本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．3．设等比数列{a n}的各项均为正数，若+=+，+=+，则a1a5=（） A． 24 B． 8 C． 8 D． 16考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：化简整理利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：∵+=+，∴，∵等比数列{a n}的各项均为正数，∴a1a2=4，同理可得：a3a4=16．∴q4=4，解得，．则a1a5==4q3=8．故选：C．点评：本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．4．设函数y=sinax+b（a＞0）的图象如图所示，则函数y=log a（x+b）的图象可能是（）A． B． C．D．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据条件求出a、b的范围，可得函数y=log a（x+b）的单调性以及图象经过的定点，结合所给的选项得出结论．解答：解：有函数的图象可得0＜b＜1，=＞2π﹣π，∴0＜a＜1．故函数y=log a（x+b）为减函数，且图象经过点（1﹣b，0），（0，log a b），log a b＞0．结合所给的选项，故选：C．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，对数函数的图象和性质，属于基础题．5．设平行于y轴的直线分别与函数y1=log2x及y2=log2x+2的图象交于B，C两点，点A（m，n）位于函数y2的图象上，若△ABC为正三角形，则m•2n=（）A． 8 B． 12 C． 12 D． 15考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意，设出A、B、C的坐标，由线段BC∥y轴，△ABC是等边三角形，得出AB、AC与BC的关系，求出p、q的值，计算出结果解答：解：根据题意，设A（m，n），B（x0，log2x0），C（x0，2+log2x0），∵线段BC∥y轴，△ABC是等边三角形，∴BC=2，2+log2m=n，∴m=2n﹣2，∴4m=2n；又x0﹣m=，∴m=x0﹣，∴x0=m+；又2+log2x0﹣n=1，∴log2x0=n﹣1，x0=2n﹣1=；∴m+=；2m+2=2n=4m，∴m=，2n=4；∴m•2n=×4=12；故选：B点评：本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了指数，对数的运算问题，是较难的题目．6．已知ABC﹣A1B1C1是所有棱长均相等的直三棱柱，M是B1C1的中点，则下列命题正确的是（）A．在棱AB上存在点N，使MN与平面ABC所成的角为45°B．在棱AA1上存在点N，使MN与平面BCC1B1所成的角为45°C．在棱AC上存在点N，使MN与AB1平行D．在棱BC上存在点N，使MN与AB1垂直考点：棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：根据题意画出图形，如图所示，连接A1M，AM，根据直三棱柱得到侧棱与底面垂直，在直角三角形AA1M中，利用锐角三角函数定义求出tan∠AMA1的值，判断出∠AMA1与45°大小判断即可．解答：解：根据题意画出图形，如图所示，连接A1M，AM，由题意得到AA1⊥面A1B1C1，∴AA1⊥A1M，在Rt△AA1M中，设AA1=1，则有A1B1=A1C1=B1C1=1，A1M=，∴tan∠AMA1==＞1，∴∠AMA1＞45°，则在棱AA1上存在点N，使MN与平面BCC1B1所成的角为45°，故选：B．点评：此题考查了棱柱的结构特征，直线与面垂直的性质，锐角三角函数定义，以及正弦函数的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．7．设P是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）右支上的任意一点，已知A（a，b），B（a，﹣b），若=λ+μ（O为坐标原点），则λ2+μ2的最小值为（）A．ab B． C．ab D．考点：双曲线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定A，B的坐标，根据=λ+μ，确定坐标之间的关系，可得4λμ=1，利用基本不等式，即可得出结论．解答：解：由题意，设P（x，y），则∵=λ+μ，∴x=（λ+μ）a，y=（λ﹣μ）b∵P为双曲线C右支上的任意一点，∴（λ+μ）2﹣（λ﹣μ）2=1∴4λμ=1∴λ2+μ2≥2λμ=∴λ2+μ2的最小值为．故选：D．点评：本题考查向量知识的运用，考查基本不等式的运用，属于中档题．8．设f0（x）=|x|﹣10，f n（x）=|f n﹣1（x）|﹣1（n∈N*），则函数y=f20（x）的零点个数为（）A． 19 B． 20 C． 21 D． 22考点：根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：令f n（x）=|f n﹣1（x）|﹣1=0，则|f n﹣1（x）|=1，问题转化为方程|f n﹣1（x）|=1的根的个数，依次递推下去即得结果．解答：解：令f n（x）=|f n﹣1（x）|﹣1=0，则|f n﹣1（x）|=1，即方程f n（x）=0有两个解f n﹣1（x）=±1；又∵f n﹣1（x）=|f n﹣2（x）|﹣1=±1，∴|f n﹣2（x）|=0或者2，所以方程f n（x）=0有3个解：f n﹣2（x）=0或±2；又∵f n﹣2（x）=|f n﹣3（x）|﹣1=0或±2，∴|f n﹣3（x）|=1或3，所以方程f n（x）=0有4个解：f n﹣3（x）=±1或±3；又∵f n﹣3（x）=|f n﹣4（x）|﹣1=±1或±3，∴方程f n（x）=0有5个解：f n﹣4（x）=0，±2或±4；又∵f n﹣4（x）=|f n﹣5（x）|﹣1=0，±2或±4，∴方程f n（x）=0有6个解：f n﹣5（x）=±1，±3或±5；又∵f n﹣5（x）=|f n﹣6（x）|﹣1=±1，±3或±5，∴方程f n（x）=0有7个解：f n﹣6（x）=0，±2，±4或±6；…类似地，最终得出方程f n（x）=0有n+1个解，从而函数y=f20（x）=0有21个解，故选：C．点评：本题考查求函数零点的个数，注意条件中的递推关系，属于中档题．二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每小题6分，第13-15题每题4分，共36分）9．设集合{（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣2）2≤10}所表示的区域为A，过原点O的直线l将A 分成两部分，当这两部分面积相等时，直线l的方程为2x﹣y=0 ；当这两部分面积之差最大时，直线l的方程为x+2y=0 ，此时直线l落在区域A内的线段长为2．考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用；直线与圆．分析：作出集合{（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣2）2≤10}表示的区域A，再结合直线与圆的位置关系确定直线的方程，并求线段的长度即可．解答：解：集合{（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣2）2≤10}表示的区域A如下，故过圆心E（1，2）时，两部分面积相等；此时直线l的方程为y=x，即2x﹣y=0；当直线l与OE垂直时，两部分面积之差最大；此时直线l的方程为y=﹣x；即x+2y=0；此时与圆相交于C、D两点，CO==；故CD=2；故答案为：2x﹣y=0，x+2y=0，2．点评：本题考查了学生的作图能力，同时考查了直线与圆的位置关系的应用，属于中档题．10．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体中最长的棱长等于，体积等于．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：可以得出空间几何体是如下图：面PAD⊥面ABCD，PA⊥面ABCD，DC⊥AD，是四棱锥，运用空间几何体的性质，求解边长，面积体积，计算准确，可以得出答案．解答：解：某几何体的三视图如图所示可以得出空间几何体是如下图：面PAD⊥面ABCD，PA⊥面ABCD，DC⊥AD，PA=4，AD=1，DC=4，运用三视图得出：AC==，AB=，根据这个几何体得出：PB==，PC==，PD==，∴这个几何体中最长的棱长等于，底面积为：4×2=5体积为：（4×2×1×2）×4=故答案为：，．点评：本题考查了运用几何体的三视图求解棱长，体积，属于计算题，关键是运用三视图恢复空间几何体的原图．11．设直线l：y=kx+1经过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F，则p= 2 ；已知Q，M分别是抛物线及其准线上的点，若=2，则|MF|= 4 ．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由直线方程求出直线所过定点的坐标，从而得到抛物线的焦点坐标，则p可求；作出抛物线图形，数形结合得到|MF|=2p，则答案可求．解答：解：∵直线l：y=kx+1过定点（0，1），即抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F为（0，1），∴，则p=2；则抛物线方程为x2=4y，如图，∵=2，∴|MQ|=2|QE|，则∠EMQ=30°，∴|MF|=2p=4．故答案为：2；4．点评：本题考查了抛物线的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．12．设非负实数x，y满足（m＜0），则不等式所表示的区域的面积等于（用m表示）；若z=2x﹣y的最大值与最小值之和为19，则实数m= ﹣10 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，求出交点坐标，利用数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：当y=0时，x=﹣m，由，解得，即A（，﹣），则三角形OAB的面积S=（﹣m）（﹣）=，由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A（，﹣）时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z最小．即最小值z=2×（）﹣（﹣）=，当直线y=2x﹣z经过点B（﹣m，0）时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大，即最大值z=﹣2m，∵z=2x﹣y的最大值与最小值之和为19，∴﹣2m+=19，即m=﹣10．故答案为：，﹣10．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合求出相应的交点坐标是解决本题的关键．13．在正四面体ABCD中，M是AB的中点，N是棱CD上的一个动点，若直线MN与BD所成的角为α，则cosα的取值范围是[] ．考点：直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：首先①当N点与C点重合时，线段MN与BD所成的角最大，进一步利用解三角形知识利用余弦定理求出角的余弦值．②当N点与C点重合时，线段MN与BD所成的角最大，直接在△MBD中，线段MD与BD所成角为30°，求出夹角的余弦值．最后求出角的余弦值的范围．解答：解：在正四面体ABCD中，M是AB的中点，N是棱CD上的一个动点，则：①当N点与C点重合时，线段MN与BD所成的角最大，设：正四面体的边长为2，取AD的中点，连接MN、NG，利用勾股定理得：CM=，M、G是AB和AD的中点，所以：MG=1，同理解得：CG=，在△CMG中，利用余弦定理得：，即：所成角的余弦值最小为．②当N点与C点重合时，线段MN与BD所成的角最大，连接DM，在△MBD中，线段MD与BD所成角为30°，所以：cos，即所成角的余弦值最大为．所以：cosα的范围为：[]．故答案为：[]点评：本题考查的知识要点：异面直线的夹角的应用，余弦定理的应用，主要考查学生的应用能力和空间想象能力．14．在△ABC中，||=3，||=5，M是BC的中点，=λ（λ∈R），若=+，则△ABC的面积为．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：在△ABC的顶点A作边BC的垂线BO，垂足为O，这样可表示出cosB=，cosC=，从而得到，而根据已知条件及中线向量的表示即可得到，所以便得出O是BC的中点，即M，O重合．所以在Rt△ABM中可以求出sinB，所以根据三角形的面积公式可求出△AB C的面积．解答：解：如图所示，过A作边BC的垂线，垂足为O，则：cosB=，cosC=；∴；根据题意知λ≠0；∴；∴；∴；即O是边BC的中点，M与O重合；∴在Rt△ABM中，；∴；∴．故答案为：．点评：考查余弦函数的定义，向量加法的平行四边形法则，以及直角三角形三边的关系，三角形的面积公式：S=．15．已知单位正方形的四个顶点A（0，0），B（1，0），C（1，1）和D（0，1），从A点向边CD上的点P（，1）发出一束光线，这束光线被正方形各边反射（入射角等于反射角），直到经过正方形某个顶点后射出，则这束光线在正方形内经过的路程长度为 5 ．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：直线与圆．分析：由题意，画出图形，根据入射光线和反射光线的对称性以及正方形的性质得到I，J 的坐标，利用两点之间的距离公式可得．解答：解：从A点向边CD上的点P（，1）发出一束光线，经过各边发射后最后由B点射出，如图，因为已知是单位正方形，这束光线在正方形内经过的路程如图，由对称性可以得到OP=FI=HE=FJ=，所以这束光线在正方形内经过的路程的长度为=5；故答案为：5．点评：本题考查了点关于直线的对称以及两点之间的距离公式的运用；关键是画出图形．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=6，sinA﹣sinC=sin（A﹣B）．（Ⅰ）若b=2，求△ABC的面积；（Ⅱ）若1≤a≤6，求sinC的取值范围．考点：余弦定理；两角和与差的余弦函数．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由两角和与差的余弦函数公式化简已知可得cosB=，由余弦定理可解得a的值，由三角形面积公式即可求值．（Ⅱ）当a=3∈[1，6]时，可求sinC=1，当a=1时，由余弦定理和正弦定理可得sinC=，当a=6时，△ABC为等边三角形，则sinC=，即可求得sinC的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵sinA﹣sinC=sin（A﹣B），∴sinA=sinC+sin（A﹣B）=sin（A+B）+sin（A﹣B）=sinAcosB+cosAsinB+sinAcosB﹣cosAsinB=2sinAcosB，∴cosB=，由余弦定理可得（2）2=a2+62﹣12acos，即a2﹣6a+8=0，解得a=2或a=4．当a=2时，△ABC的面积S=acsinB=×2×6sin=3；当a=4时，△ABC的面积S=acsinB=×4×6sin=6；…8分（Ⅱ）当a=3∈[1，6]时，sinC=1，当a=1时，b2=a2+c2﹣2accosB=1+36﹣2×=31，∴b=，于是，从而：sinC=，当a=6时，△ABC为等边三角形，则sinC=，因为，从而得到sinC的取值范围是：[，1]…15分．点评：本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式，考查了余弦定理和正弦定理的综合应用，属于基本知识的考查．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，且满足AB∥CD，AD=DC=AB，PA⊥平面ABCD．（1）求证：平面PBD⊥平面PAD；（2）若PA=AB，求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面PBD⊥平面PAD；（2）根据二面角的定义先作出二面角的平面角，进行求解即可．解答：证明：（1）取AB的中点E，连接CE，则由题意知，△BCE为正三角形，∴∠ABC=60°，由等腰梯形知∠BCD=120°，设AD=DC=BC=2，则AB=4，BD=2，故AD2+BD2=AB2，即得∠ADB=90°，则AD⊥BD，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，∴BD⊥平面PAD，BC⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAD；（2）在平面ABCD中，过C作CH∥BD，交AD的延长线于H，由（1）知，BD⊥平面PAD，∴CH⊥平面PAD，则CH⊥PD，在平面PAD中，过点H作HG⊥PD，交PD的延长线于G，连接CG，则PG⊥平面HGC，∴PG⊥GC，则∠HGC为二面角A﹣PD﹣C的平面角，在直角三角形CHD中，CD=2，∠CDH=60°，∴CH=，∵Rt△PAD∽Rt△HGD，∴GH=，在Rt△GHC，GC==，则cos∠GHC==，则二面角A﹣PD﹣C的余弦值为﹣．点评：本题主要考查空间面面垂直的判定以及空间二面角的求解，利用定义法是解决空间二面角的常用方法．本题也可以使用向量法进行求解．18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），点D（0，b），直线DF的斜率为．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设过点F的直线交椭圆于A，B两点，过点P（﹣4c，0）作与直线AB的倾斜角互补的直线l，交椭圆C于M，N两点，问：是否为定值，若是，求出此定值，若不是，说明理由．考点：椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）运用直线的斜率公式和离心率公式，结合a，b，c的关系，即可得到；（Ⅱ）设直线AB：x=ty﹣c，直线MN：x=﹣ty﹣4c，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），将直线方程分别代入椭圆方程，运用韦达定理，再由两点的距离公式，化简整理，即可得到定值．解答：解：（Ⅰ）由题意可得，k DF==，a==2c，则椭圆的离心率为e==；（Ⅱ）设直线AB：x=ty﹣c，直线MN：x=﹣ty﹣4c，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），将直线x=ty﹣c代入椭圆方程+=1，可得（3t2+4）y2﹣6tcy﹣9c2=0，则y1y2=﹣，再将直线x=﹣ty﹣4c代入椭圆方程+=1，可得（3t2+4）y2+24tcy+36c2=0，则y3y4=，即有====．故为定值．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的运用，同时考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及两点的距离公式的运用，正确设出直线方程是解题的关键．19．数列{a n}与{b n}满足：①a1=a＜0，b1=b＞0，②当k≥2时，若a k﹣1+b k﹣1≥0，则a k=a k﹣1，b k=；若a k﹣1+b k﹣1＜0，则a k=，b k=b k﹣1．（Ⅰ）若a=﹣1，b=1，求a2，b2，a3，b3的值；（Ⅱ）设S n=（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+…+（b n﹣a n），求S n（用a，b表示）；（Ⅲ）若存在n∈N*，对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有b k﹣1＞b k，求n的最大值（用a，b表示）．考点：数列的应用．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）由题意可直接写出答案；（Ⅱ）分情况计算b k﹣a k，得{b k﹣a k}是以b1﹣a1=b﹣a为首项，为公比的等比数列，从而可得S n；（Ⅲ）由b k﹣1＞b k，数列{a n}与{b n}满足的关系倒推出对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有a k=a，结合（Ⅱ）知，解之即可．解答：解：（Ⅰ）a2=﹣1，b2=0，a3=，b3=0；（Ⅱ）∵=，=，∴无论是a k﹣1+b k﹣1≥0，还是a k﹣1+b k﹣1＜0，都有b k﹣a k=，即{b k﹣a k}是以b1﹣a1=b﹣a为首项，为公比的等比数列，所以S n=（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+…+（b n﹣a n）=；（Ⅲ）∵b k﹣1＞b k，及数列{a n}与{b n}满足的关系，∴a k﹣1+b k﹣1≥0，∴a k=a k﹣1，即对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有a k=a，由（Ⅱ）知b k﹣a k=，∴b k=a+，所以a k﹣1+b k﹣1=，解得，所以n的最大值为不超过的最大整数．点评：本题考查数列中递推关系，以及解指数不等式，考查学生对数学知识的应用能力，属于中档题．20．设a＞0，b＞0，函数f（x）=ax2﹣bx﹣a+b．（Ⅰ）（i）求不等式f（x）＜f（1）的解集；（ii）若f（x）在[0，1]上的最大值为b﹣a，求的取值范围；（Ⅱ）当x∈[0，m]时，对任意的正实数a，b，不等式f（x）≤（x+1）|2b﹣a|恒成立，求实数m的最大值．考点：二次函数的性质；函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）（i）（x﹣1）（ax+a﹣b）＜0，分类讨论得出：当b＞2a时，解集为（1，），当b＜2a时，解集为（，1），当b=2a时，解集为∅（ii）分类得出①当0时，②当时，≥1，判断结果是不是符合题意．（Ⅱ）把不等式f（x）≤（x+1）|2b﹣a|，得ax2﹣（b+|2b﹣a|）x﹣a+b﹣|2b﹣a|≤0，即x2﹣（+|2﹣1|）x﹣1﹣|2﹣1|≤0，令t=，则x2﹣（t+|2t﹣1|）xt﹣1﹣|2t﹣1|≤0，当△=（t+|2t﹣1|）2﹣4（t﹣1﹣|2t ﹣1|）＞0，时，求解不等式，分类讨论即可．（1）当t时，只需m≤恒成立．即m≤12）当0时，只需要m≤=恒成立，转化为函数最值即可．解答：解：（Ⅰ）（i）求不等式f（x）＜f（1），即f（x）＜0，即（x﹣1）（ax+a﹣b）＜0，当b＞2a时，解集为（1，）当b＜2a时，解集为（，1），当b=2a时，解集为∅（ii）∵a＞0，b＞0，∴＞0，①当0时，即0＜b＜a时，f（0）=b﹣a＜0=f（1），不符合题意，②当时，即b≥a时，f（0）=b﹣a≥0=f（1），符合题意，≥1，∴的取值范围：[1，∞）（Ⅱ）由不等式f（x）≤（x+1）|2b﹣a|，得ax2﹣（b+|2b﹣a|）x﹣a+b﹣|2b﹣a|≤0，则x2﹣（+|2﹣1|）x﹣1﹣|2﹣1|≤0，令t=，则x2﹣（t+|2t﹣1|）x+t﹣1﹣|2t﹣1|≤0，当△=（t+|2t﹣1|）2﹣4（t﹣1﹣|2t﹣1|）＞0，时，解得≤x≤，（1）当t时，≤x≤，又因为＜0，≥1，只需m≤恒成立．即m≤1（2）当0时，≤x≤，显然＜0，且y==在（0，）上递减，所以＞1，所以只需要m≤=恒成立，即m≤1，综上，m的最大值为1．点评：本题综合考查了函数的性质，不等式的求解，分类讨论，利用好方程的根，与不等式解集的关系，难度较大，属于难题，关键是确定根，写解集．。
浙江省杭州二中2015届高三第二次月考数学理试卷
浙江省杭州二中2015届高三第二次月考数学理试卷第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、若集合{|2}-==xM y y，{|==P y y ，则M P =A ．}1|{>y yB ．}1|{≥y yC ．}0|{>y yD ．}0|{≥y y2、实数等比数列{}n a 中，01>a ，则“41a a <”是“53a a <” 的（ ）A.充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3、已知圆22:21C x y x +-=，直线:(1)1l y k x =-+，则与C 的位置关系是 A ．一定相离 B ．.一定相切 C ．相交且一定不过圆心 D ．相交且可能过圆心4、已知实数等比数列{}n a 公比为q ，其前n 项和为n S ，若3S 、9S 、6S 错误！未找到引用源。
成等差数列，则3q 等于（ ）A ．错误！未找到引用源。
B ．1C ．错误！未找到引用源。
或1D ．错误！未找到引用源。
5、已知x 、y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（ ）A ．34B ．14C ．211D ．4 6、等差数列{}n a 前n 项和为n S ，已知254523335,25S S a a ==，则6543Sa =（ ） A ．125 B ．85 C ．45 D ．357、若正数a ，b 满足111a b +=，则1911a b +--的最小值为( ) A ．1 B ．6 C ．9 D ．168、已知12,F F 分别是椭圆的左，右焦点，现以2F 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点,M N ，若过1F 的直线1MF 是圆2F 的切线，则椭圆的离心率为 A ．13- B ．32- C ．22 D ．239、若等差数列{}n a 满足2211010a a +=，则101119...S a a a =+++的最大值为 （ ） A ．60 B ．50 C ． 45 D ．40 10、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，在(0,2]上是增函数，且(4)()f x f x -=-，给出下列结论：①若1204x x <<<且124x x +=，则12()()0f x f x +>；②若1204x x <<<且125x x +=，则12()()f x f x >；③若方程()f x m =在[8,8]-内恰有四个不同的实根1234,,,x x x x ，则12348x x x x +++=-或8；④函数()f x 在[8,8]-内至少有5个零点，至多有13个零点其中结论正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11、如图为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度（单位：km ）:AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,如图所示，且A 、B 、C 、D 四点共圆，则AC 的长为_________km ． 12、在△ABC 中，6A π=，D 是BC 边上任意一点（D 与B 、C 不重合），且22||||AB AD BD DC =+⋅，则角B 等于 ．13、函数21()log 0x x f x xx +≤⎧=⎨>⎩，则函数[()]1y f f x =+的所有零点所构成的集合为________．14、已知正三棱柱111ABC A B C -体积为94.若P 为底面ABC 的中心，则1PA 与平面111A B C 所成角的大小为15、已知sin ,cos αα是关于x 的方程20x ax a -+=的两个根，则1cos 2sin 21sin 2cos 21sin 2cos 21cos 2sin 2a a a aa a a a+---+=--+- ．16、已知O 是ABC ∆外心，若2155AO AB AC =+，则cos BAC ∠= ． 17、已知函数()af x x x=-，对(0,1)x ∀∈，有()(1)1f x f x ⋅-≥恒成立，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答请写在答卷纸上，应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18、在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 0b C C a c +--=. （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b =2a c +的取值范围.19、如图，在三棱锥P ABC -中，BC ⊥平面PAB ．已知PA AB =，点D ，E 分别为PB ，BC 的中点．（Ⅰ）求证：AD ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若F 在线段AC 上，满足//AD 平面PEF ，求AFFC的值．20、已知数列{}n a 的首项为(0)a a ≠，前n 项和为n S ，且有1(0)n n S tS a t +=+≠，1n n b S =+． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）当1t =时，若对任意*n N ∈，都有5n b b ≥，求a 的APBCD EF取值范围；（Ⅲ）当1t ≠时，若122...n n c b b b =++++，求能够使数列{}n c 为等比数列的所有数对(,)a t ．21、如图，已知圆2220G x y x +-=：，经过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点F及上顶点B ，过圆外一点))(0,(a m m >倾斜角为65π的直线交椭圆于C ，D 两点， （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的外部，求m 的取值范围．22、已知函数2()1,()|1|f x x g x a x =-=-．（Ⅰ）若当x ∈R 时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）求函数()|()|()h x f x g x =+在区间[2,2]-上的最大值．2014学年杭州二中高三年级第二次月考数学试卷（理科）参考答案一、选择题 1-10 CACAB CBABC 二、填空题 11、7；12、512π； 13、113,,24⎧--⎨⎩； 14、3π；151；16 17、14a ≤-或1a ≥ 三、解答题18、解：（1）由正弦定理知：sin cos sin sin sin 0B C B C A C --=sin sin()sin cos cos sin A B CA C A C =+=+代入上式sin cos sin sin 0B C B C C --=sin 0C >,cos 10B B --=.即1sin()62B π-=,(0,)B π∈,3B π∴= （2）由（1）得：22sin bR B==222(2sin sin )2[2sin sin()]5sin )3a c R A C A A A A A πθ∴+=+=+-=+=+ 2(0,)3A π∈,2)a c A θ∴+=+∈ 19、（1）证明：BC ⊥平面PAB BC AD ∴⊥ PA AB =，D 为PB 中点AD PB ∴⊥,PB BC B ⋂=,AD ∴⊥平面PBC（2）连接DC 交PE 于G ，连接FG//AD 平面PEF ，平面ADC ⋂平面PEF=FG//AD FG ∴,又G 为PBC ∆重心,12AF DG FC GC ∴== 20、解：（1）当1n =时，由21S tS a =+解得2a at = 当2n ≥时，1n n S tS a -=+，11()()n n n n S S t S S +-∴-=-，即1n n a ta +=又10a a =≠，综上有1(*)n na t n N a +=∈，即{}n a 是首项为a ，公比为t 的等比数列,1n n a at -∴= （2）当1t =时，,1n n S anb an ==+，当0a >时，{}n b 单调递增，且0n b >，不合题意； 当0a <时，{}n b 单调递减，由题意知：460,0b b >< ，且4565||||b b b b ≥⎧⎨-≥⎩解得22911a -≤≤-, 综上a 的取值范围为22[,]911-- （3）1t ≠，11nn a at b t-∴=+-22(1)2(1)(...)2(1)111(1)n nn a a a at t c n t t t n t t t t -∴=++-+++=++-----1222(1)(1)1(1)n at a at n t t t +=-+++---由题设知{}n c 为等比数列，所以有,220(1)101at t t a t⎧-=⎪-⎪⎨-+⎪=⎪-⎩，解得12a t =⎧⎨=⎩，即满足条件的数对是(1,2)．（或通过{}n c 的前3项成等比数列先求出数对(,)a t ，再进行证明）21、解：（Ⅰ）∵圆G ：02222=--+y x y x 经过点F 、B ．∴F （2，0），B （0，2），∴2=c ，2=b ． ∴62=a ．故椭圆的方程为12622=+y x ．（Ⅱ）设直线的方程为)6)((33>--=m m x y ．由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==+)(3312622m x y y x 消去y 得0)6(2222=-+-m mx x ．设),(11y x C ，),(22y x D ，则m x x =+21，26221-=m x x ，∴3)(331)](33[)](33[221212121m x x m x x m x m x y y ++-=--⋅--=．∵),2(11y x -=，),2(22y x -=，∴⋅=2121)2)(2(y y x x +-- 43)(3)6(3422121+++-=m x x m x x=3)3(2-m m ． ∵点F 在圆G 的外部， ∴0FC FD ⋅>，即2(3)03m m ->，解得0m <或3m >．由△=0)6(8422>--m m ，解得3232<<-m ．又6>m ，326<<m ．∴3m <<．22、解：（1）不等式()()f x g x ≥对x ∈R 恒成立，即2(1)|1|x a x --≥（*）对x ∈R 恒成立，①当1x =时，（*）显然成立，此时a ∈R ；②当1x ≠时，（*）可变形为21|1|x a x -≤-，令21,(1),1()(1),(1).|1|x x x x x x x ϕ+>⎧-==⎨-+<-⎩ 因为当1x >时，()2x ϕ>，当1x <时，()2x ϕ>-，所以()2x ϕ>-，故此时2a -≤. 综合①②，得所求实数a 的取值范围是2a -≤.（2）因为2()|()|()|1||1|h x f x g x x a x =+=-+-=2221,(1),1,(11),1,(1).x ax a x x ax a x x ax a x ⎧+--⎪--++-<⎨⎪-+-<-⎩≤≥…10分①当1,22aa >>即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增， 且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，经比较，此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +. ②当01,22a a 即0≤≤≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a -上递减，在[1,]2a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=++，经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +.③当10,02a a -<<即-2≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a-上递减， 在[1,]2a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=++，经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +.④当31,222a a -<-<-即-3≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,]2a -，[1,]2a-上递减， 在[,1]2a ，[,2]2a-上递增，且(2)330h a -=+<, (2)30h a =+≥，经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +. 当3,322a a <-<-即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增， 故此时()h x 在[2,2]-上的最大值为(1)0h =.综上所述，当0a ≥时，()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +； 当30a -<≤时，()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +； 当3a <-时，()h x 在[2,2]-上的最大值为0.。
2015年杭州二中仿真卷(教师版)
2014学年杭州二中高三年级仿真考数学试卷（理科） 第I 卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知定义域为R 的函数()f x 不是奇函数，则下列命题一定为真命题的是（ ） A ．()()x R f x f x ∀∈-≠-， B ．()()x R f x f x ∀∈-=，C ．000()()x R f x f x ∃∈-≠-，D ．)()(,0,0000x f x f x R x =-≠∈∃且 答案：C 知识点：命题的真假、量词的理解 难度：12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3813a a +=且735S =，则7a =（ ） A ．11 B ．10 C ．9 D ．8 答案：D 知识点：等差数列通项公式、前n 项和 难度：1解析：设{}n a 的公差为d ，由题得：13921=+d a ，352171=+d a ，于是1,21==d a ，则87=a . 3．函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中)2,0πϕ<>A ）的图象如图所示，为了得到()sin g x x ω=的图象，则只要将)(x f 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度答案：A 知识点：函数图象的变换 难度：2 解析：首先1=A ，31274ππ-=T ，得到π=T ，于是2=ω，又根据“五点作图法”可知)2(3ππϕπωk +=+⋅，故3πϕ=，于是向右平移6π个单位得到()sin g x x ω=的图象. 4．设R b a ∈,，则“a b >”是“a a b b >”的（ ）A ．充要不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充要也不必要条件 答案：C 知识点：不等式、充要条件 难度：2解析：考虑||)(x x x f =的单调性，显然这是一个单调递增的函数，故而选C. 5．若变量,x y 满足210201x y x y x -+≤⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则点(2,)P x y x y -+所在区域的面积为（ ）第3题图A ．34 B. 43 C. 12D. 1 答案：D 知识点：一元二次不等式组表示的区域 难度：3解析：令t y x s y x =+=-,2，于是32,3t s y t s x +-=+=，代入210201x y x y x -+≤⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩中得到⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≤+-3001t s s t s于是),(t s P 所构成的区域容易画出，计算得到面积为1.6．已知函数2|log |,02()sin(),2104x x f x x x π<<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，且1234()()()()f x f x f x f x ===，则3412(2)(2)x x x x -⋅-⋅的取值范围是（ ）A ．(4,16)B ．(0,12)C ．(9,21)D ．(15,25) 答案：B 知识点：函数图像、函数的应用 难度：4由图可知：2212log log x x =-，所以121=x x ；)4,2(3∈x ，且122643=⨯=+x x 于是原式可化为)12,0(10)12(203343∈--=-x x x x7．已知点P 右支上一点，21,F F分别为双曲线的左右焦点，且I 为三角形21F PF 的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ∆∆∆=+成立， 则λ的值为（ ）ABCD答案：D 知识点：双曲线的几何性质 难度：4 解析：设三角形21F PF 的内切圆半径为r ，则121IP FI P F I F F S S S λ∆∆∆=+可化为r F F r PF r PF ⋅+⋅=⋅||21||21||212121λ，所以||||||2121F F PF PF λ+=，即||||||2121F F PF PF λ=-，c a 22⋅=λ，所以c a =λ；另一方面，c a b F F 2||221==，所以ac a c 222=-，于是c a c a ⋅=-2)(12，解得12-==caλ.8．过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1棱DD 1的中点与直线BD 1所成角为40°，且与平面AC C 1A 1所成角为50°的直线条数为（ ）A.1B.2C.3D.无数答案：B 知识点：异面直线所成的角、线面角 难度：5 解析：与平面AC C 1A 1所成角为50°，即与其法向（B 1D 1是其一个法向）成40°，于是问题转化为：过DD 1的中点作与BD 1，B 1D 1都成40°的直线有多少条？ 如图：作出这两条直线的角平分线。
2015年浙江省杭州二中高三年级仿真考理科综合试题卷及参考答.
2015年浙江省杭州二中高三年级仿真考理科综合试题卷可能用到的相对原子质量:Al-27 Cl-35.5 Fe-56 O-16 S-32 I-127 Ba-137 Cr-52注意:(1本试卷分Ⅰ卷(选择题和Ⅱ卷(非选择题 ;(2选择题涂在答题卡上,非选择题写在答卷纸上;(3考试时间 150分钟;第 I 卷选择题(共 120分一、选择题(本题共 17小题.在每个小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求.本卷可能用到的相对原子质量:H-1 N-14 O-16 S-32 Na-23 C-121.下列关于植物激素调节的叙述正确的是A .植物激素调节的特点是具有两重性B .乙烯是指由成熟的果实产生的激素C .赤霉素能影响根的生长和分化D .脱落酸能够解除种子的休眠2.下图为高等植物叶肉细胞内的叶绿体中一个类囊体内的相关反应。
下列有关叙述不正确的是A . 类囊体膜的主要成分包括蛋白质、磷脂和光合色素等B . 与碳反应有关的酶主要分布于叶绿体基质和内膜上C . H +运出类囊体的方式为被动转运,需要转运蛋白参与D . 产生的 O 2被相邻细胞的线粒体利用至少需要穿过 7层单位膜3.下图是按顺时针方向表示的 4种动物细胞的细胞周期,其中说法正确的是A .图丁细胞的分裂期时间最长B .图乙b → a 过程中,同源染色体可能发生联会C .图丙b → a 过程中,染色体组一直保持不变D .图甲与图丙的 b 时刻细胞中都已经存在 4个中心粒4. 小儿 X 连锁无丙种球蛋白血症是由于个体内 B 细胞成熟过程受阻, 无法产生抗体, 患儿出生六个月后, 来自母体的抗体耗尽而发病,主要症状表现为反复化脓性细菌感染。
下列有关说法不正确的是A . 该病属于先天性免疫缺陷病B . 该病患者的细胞免疫功能正常C . 该病可以通过注射减毒疫苗的方式进行治疗D . 患病原因可能是 B 细胞分化受阻5.兴奋在中枢神经系统的传导过程中,有时存在一个突触引起的兴奋被后一个突触抑制的现象。
2015杭州二模数学(理)
……………………8 分
（II）当 a 3[1,6] 时， sin C 1 ， 当 a 1时， b2 a2 c2 2ac cos B 1 36 2 1 6 于是
1 31 ，∴ b 31 ， 2
3 93 6 31 ，从而： sin C ， 31 sin C sin π 3 3 3 93 3 ，因为 ， 2 31 2
D A G E
C B
PA DH 4 1 2 ， PD 2 5 5
4 19 ， 3 5 5
P
在 Rt△GHC 中， GC HG2 HC2
GH 2 19 所以 cos GHC ． GC 19
所以二面角 A－PD－C 的余弦值为－
A
H D G
2 19 ． 19
……………………8 分
1 ． 2
π ，即 a2－6a＋8＝0， 3
根据余弦定理 b2＝a2＋c2－2accosB，得 (2 7 )2＝a2＋62－12acos 解得：a＝2 或 a＝4．
当 a＝2 时， SABC ac sin B 2 6 sin 当 a＝4 时， SABC
1 1 3 3； 2 2 3 1 1 ac sin B 4 6 sin 6 3 ． 2 2 3
浙江省杭州二中2015届高三高考仿真考试 自选模块 PDF版含答案
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浙江省杭州二中2015届高三第二次月考 数学(理)--含答案
杭州二中2015届高三第二次月考数学（理）试题第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、若集合{|2}-==xM y y，{|==P y y ，则M P =A ．}1|{>y yB ．}1|{≥y yC ．}0|{>y yD ．}0|{≥y y2、实数等比数列{}n a 中，01>a ，则“41a a <”是“53a a <” 的（ ）A.充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3、已知圆22:21C x y x +-=，直线:(1)1l y k x =-+，则与C 的位置关系是A ．一定相离B ．.一定相切C ．相交且一定不过圆心D ．相交且可能过圆心4、已知实数等比数列{}n a 公比为q ，其前n 项和为n S ，若3S 、9S 、6S 成等差数列，则3q 等于（ ）A ．12-B ．1C ．12-或1D ．112-或 5、已知x 、y 满足2y xx y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最大值是最小值的4倍，则a 的值是 （ ）A ．34 B ．14 C ．211D ．4 6、等差数列{}n a 前n 项和为n S ，已知254523335,25S S a a ==，则6543Sa =（ ） A ．125 B ．85 C ．45 D ．35 7、若正数a ，b 满足111a b +=，则1911a b +--的最小值为( ) A ．1 B ．6 C ．9 D ．168、已知12,F F 分别是椭圆的左，右焦点，现以2F 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点,M N ，若过1F 的直线1MF 是圆2F 的切线，则椭圆的离心率为A ．13-B ．32-C ．22 D ．23 9、若等差数列{}n a 满足2211010a a +=，则101119...S a a a =+++的最大值为 （ ）A ．60B ．50C ． 45D ．4010、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，在(0,2]上是增函数，且(4)()f x f x -=-，给出下列结论：①若1204x x <<<且124x x +=，则12()()0f x f x +>；②若1204x x <<<且125x x +=，则12()()f x f x >；③若方程()f x m =在[8,8]-内恰有四个不同的实根1234,,,x x x x ，则12348x x x x +++=-或8；④函数()f x 在[8,8]-内至少有5个零点，至多有13个零点其中结论正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11、如图为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度（单位：km ）:AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,如图所示，且A 、B 、C 、D 四点共圆，则AC 的长为_________km ． 12、在△ABC 中，6A π=，D 是BC 边上任意一点（D 与B 、C 不重合），且22||||AB AD BD DC =+⋅，则角B 等于 ．13、函数210()log 0x x f x xx +≤⎧=⎨>⎩，则函数[()]1y f f x =+的所有零点所构成的集合为________．14、已知正三棱柱111ABC A B C -体积为94若P 为底面ABC 的中心，则1PA 与平面111A B C 所成角的大小为15、已知sin ,cos αα是关于x 的方程20x ax a -+=的两个根，则1cos 2sin 21sin 2cos 21sin 2cos 21cos 2sin 2a a a aa a a a+---+=--+- ．16、已知O 是ABC ∆外心，若2155AO AB AC =+，则cos BAC ∠= ． 17、已知函数()af x x x=-，对(0,1)x ∀∈，有()(1)1f x f x ⋅-≥恒成立，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答请写在答卷纸上，应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18、在ABC ∆中，角A，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 0b C Ca c --=. （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b =2a c +的取值范围.19、如图，在三棱锥P ABC -中，BC ⊥平面PAB ．已知PA AB =，点D ，E 分别为PB ，BC 的中点．（Ⅰ）求证：AD ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若F 在线段AC 上，满足//AD 平面PEF ，求AFFC的值．20、已知数列{}n a 的首项为(0)a a ≠，前n 项和为n S ，且有1(0)n n S tS a t +=+≠，1n n b S =+． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）当1t =时，若对任意*n N ∈，都有5n b b ≥，求a 的取值范围；（Ⅲ）当1t ≠时，若122...n n c b b b =++++，求能够使数列{}n c 为等比数列的所有数对(,)at ．21、如图，已知圆2220G x y x +-=：，经过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点F 及上顶点B ，过圆APCD EF))(0,(a m m >倾斜角为65π的直线l 交椭圆于C ，D 两点， （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的外部，求m 的取值范围．22、已知函数2()1,()|1|f x x g x a x =-=-．（Ⅰ）若当x ∈R 时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）求函数()|()|()h x f x g x =+在区间[2,2]-上的最大值．参考答案一、选择题 1-10 CACAB CBABC 二、填空题 11、7； 12、512π； 13、113,,24⎧--⎨⎩； 14、3π；151； 16、4 17、14a ≤-或1a ≥ 三、解答题18、解：（1）由正弦定理知：sin cos sin sin sin 0B C B C A C +--=sin sin()sin cos cos sin A B C A C A C =+=+代入上式sin cos sin sin 0B C B C C --=sin 0C >,cos 10B B --=.即1sin()62B π-=,(0,)B π∈,3B π∴=（2）由（1）得：22sin bR B==222(2sin sin )2[2sin sin()]5sin )3a c R A C A A A A A πθ∴+=+=+-=+=+2(0,)3A π∈,2)a c A θ∴+=+∈19、（1）证明：BC ⊥平面PAB BC AD ∴⊥ PA AB =，D 为PB 中点AD PB ∴⊥,PB BC B ⋂=,AD ∴⊥平面PBC （2）连接DC 交PE 于G ，连接FG//AD 平面PEF ，平面ADC ⋂平面PEF=FG//AD FG ∴,又G 为PBC ∆重心,12AF DG FC GC ∴== 20、解：（1）当1n =时，由21S tS a =+解得2a at = 当2n ≥时，1n n S tS a -=+，11()()n n n n S S t S S +-∴-=-，即1n n a ta +=又10a a =≠，综上有1(*)n na t n N a +=∈，即{}n a 是首项为a ，公比为t 的等比数列,1n n a at -∴= （2）当1t =时，,1n n San b an ==+，当0a >时，{}n b 单调递增，且0n b >，不合题意；当0a <时，{}n b 单调递减，由题意知：460,0b b >< ，且4565||||b b b b ≥⎧⎨-≥⎩解得22911a -≤≤-, 综上a 的取值范围为22[,]911--（3）1t ≠，11nn a at b t-∴=+-22(1)2(1)(...)2(1)111(1)n nn a a a at t c n t t t n t t t t -∴=++-+++=++-----1222(1)(1)1(1)n at a at n t t t +=-+++---由题设知{}n c 为等比数列，所以有,220(1)101at t t a t⎧-=⎪-⎪⎨-+⎪=⎪-⎩，解得12a t =⎧⎨=⎩，即满足条件的数对是(1,2)．（或通过{}n c 的前3项成等比数列先求出数对(,)a t ，再进行证明）21、解：（Ⅰ）∵圆G ：02222=--+y x y x 经过点F 、B ．∴F （2，0），B （0，2），∴2=c ，2=b ． ∴62=a ．故椭圆的方程为12622=+y x ． （Ⅱ）设直线l 的方程为)6)((33>--=m m x y ．由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==+)(3312622m x y y x 消去y 得0)6(2222=-+-m mx x ．设),(11y x C ，),(22y x D ，则m x x =+21，26221-=m x x ，∴3)(331)](33[)](33[221212121m x x m x x m x m x y y ++-=--⋅--=．∵),2(11y x -=，),2(22y x -=，∴⋅=2121)2)(2(y y x x +-- 43)(3)6(3422121+++-=m x x m x x=3)3(2-m m ． ∵点F 在圆G 的外部， ∴0FC FD ⋅>，即2(3)03m m ->，解得0m <或3m >．由△=0)6(8422>--m m ，解得3232<<-m ．又6>m ，326<<m ．∴3m <<．22、解：（1）不等式()()f x g x ≥对x ∈R 恒成立，即2(1)|1|x a x --≥（*）对x ∈R 恒成立，①当1x =时，（*）显然成立，此时a ∈R ；②当1x ≠时，（*）可变形为21|1|x a x -≤-，令21,(1),1()(1),(1).|1|x x x x x x x ϕ+>⎧-==⎨-+<-⎩ 因为当1x >时，()2x ϕ>，当1x <时，()2x ϕ>-，所以()2x ϕ>-，故此时2a -≤. 综合①②，得所求实数a 的取值范围是2a -≤.（2）因为2()|()|()|1||1|h x f x g x x a x =+=-+-=2221,(1),1,(11),1,(1).x ax a x x ax a x x ax a x ⎧+--⎪--++-<⎨⎪-+-<-⎩≤≥…10分①当1,22aa >>即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增， 且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，经比较，此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +. ②当01,22a a 即0≤≤≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a -上递减，在[1,]2a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=++，经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +.③当10,02a a -<<即-2≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a-上递减， 在[1,]2a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=++，经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +. ④当31,222a a -<-<-即-3≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,]2a -，[1,]2a-上递减， 在[,1]2a ，[,2]2a-上递增，且(2)330h a -=+<, (2)30h a =+≥，经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +. 当3,322a a <-<-即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增， 故此时()h x 在[2,2]-上的最大值为(1)0h =.综上所述，当0a ≥时，()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +； 当30a -<≤时，()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +； 当3a <-时，()h x 在[2,2]-上的最大值为0.。
2015年杭二中数学高考模拟试卷(理科)
绝密★考试结束前杭州市第二中学2015年普通高等学校招生适应性考试数 学（理科）姓名 准考证号 本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分 (共50分)注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式： 球的表面积公式 柱体的体积公式 S =4πR 2 V =Sh球的体积公式 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 V =34πR 3 台体的体积公式 其中R 表示球的半径 V =31h (S 1+21S S +S 2) 锥体的体积公式 其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积， V =31Sh h 表示台体的高其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高如果事件A ，B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B )一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的2．（5分）已知集合M={y|y=2x}，N={x|y=}，则M ∩N=（ ）3．（5分）命题p ：α=2k π+（k ∈Z ）的充分不必要条件是tan α=1，q ：y=ln是奇函数，4．（5分）由曲线y=x 和直线y=t （0＜t ＜1），x=1，x=0所围城的图形的面积的最小值为 B5．（5分）已知正三棱锥P﹣ABC的正视图和俯视图如图所示，则此三棱柱的外接球的表面积为（）6．（5分）△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且3+4+5=，则在上的投影﹣8．（5分）已知F1、F2为椭圆的左、右焦点，若M为椭圆上一点，且△MF1F2的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M有9．（5分）已知平面区域D1={（x，y）||x|＜2，|y|＜2}，D2={（x，y）|kx﹣y+2＜0}，在D1内随机取一点M，若点M恰好取自区域D2的概率为p，且0＜p≤，则k的取值范围是（）]∪[，]10．（5分）已知f（x）=，则关于F（x）=f（f（x））+a的零点个数，判断为何值，若﹣二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（一）必考题（11-14）11．（5分）从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知体重的平均值为_________kg；若要从体重在[60，70），[70，80），[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12人选两人当正、负队长，则这两人身高不在同一组内的概率为_________．12．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是_________．13．（5分）在的展开式中，x的有理项共有_________项．14．（5分）对于函数f（x），若对于任意的a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”，已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是_________．（二）选考题：请考生在第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按第一题作答计分【选修4-1：几何证明选讲】15．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，BE∥MN交AC于点E．若AB=6，BC=4，则AE的长为_________．【选修4-4：坐标系与参数方程】16．已知圆C 的参数方程为（α为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ=1，（ρ≥0，0≤θ＜2π）则直线l与圆C的交点的极坐标为_________．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知．（1）求f（x）的最大值及取得最大值时相应的x的值；（2）若函数y=f（2x）﹣a 在区间上恰有两上零点x1，x2，求tan（x1+x2）的值．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=（n﹣1）2（n∈N*），数列{b n}满足a n=2log3b n﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n b n}的前n项和T n．19．（12分）某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动4人．由于部分数据丢失，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率；（Ⅲ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．20．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．（Ⅰ）证明：AE⊥PD；（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E﹣AF ﹣C的余弦值．21．（13分）已知圆M：（x+1）2+y2=，圆N：（x﹣1）2+y2=，动圆P与两圆均相切，圆心P的轨迹为曲线G，直线l1：y=k1x+m1与曲线G交于A、C两点，直线l2：y=k2x+m2与曲线G交于B、D两点．（1）求曲线G的方程；（2）若四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD面积的最小值．22．（14分）已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x有且只有一个零点，其中a＞0．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若对任意的x∈（0，+∞），有f（x）≥kx2成立，求实数k的最大值；（Ⅲ）设h（x）=f（x）+x，对任意x1，x2∈（﹣1，+∞）（x1≠x2），证明：不等式＞恒成立．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的=2．（5分）已知集合M={y|y=2x}，N={x|y=}，则M∩N=（）3．（5分）命题p：α=2kπ+（k∈Z）的充分不必要条件是tanα=1，q：y=ln是奇函数，（+（，由（+（，由可得（4．（5分）由曲线y=x2和直线y=t2（0＜t＜1），x=1，x=0所围城的图形的面积的最小值为B（﹣x+x=，p=t=故面积的最小值是5．（5分）已知正三棱锥P﹣ABC的正视图和俯视图如图所示，则此三棱柱的外接球的表面积为（）2AH=××=2SH==2=2R=π×．6．（5分）△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且3+4+5=，则在上的投影﹣3+4+5，可得=，化为，得到3+4+5，可得•．利用在，∴+4+5=，可得==．9+16+24∴，∴+4+5=，可得，∴××=∴•．∴在=﹣523458．（5分）已知F1、F2为椭圆的左、右焦点，若M为椭圆上一点，且△MF1F2的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M有r=9．（5分）已知平面区域D1={（x，y）||x|＜2，|y|＜2}，D2={（x，y）|kx﹣y+2＜0}，在D1内随机取一点M，若点M恰好取自区域D2的概率为p，且0＜p≤，则k的取值范围是（）]∪[，]，则10．（5分）已知f（x）=，则关于F（x）=f（f（x））+a的零点个数，判断为何值，若﹣=＞+a=kx+1=二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（一）必考题（11-14）11．（5分）从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知体重的平均值为64.5kg；若要从体重在[60，70），[70，80），[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12人选两人当正、负队长，则这两人身高不在同一组内的概率为．×=6××=66=，12．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是30．13．（5分）在的展开式中，x的有理项共有四项．14．（5分）对于函数f（x），若对于任意的a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”，已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是[，2]．=1+．综上可得，≤[，[（二）选考题：请考生在第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按第一题作答计分【选修4-1：几何证明选讲】15．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，BE∥MN交AC于点E．若AB=6，BC=4，则AE的长为．∴，∴==∴【选修4-4：坐标系与参数方程】16．已知圆C的参数方程为（α为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ=1，（ρ≥0，0≤θ＜2π）则直线l与圆C的交点的极坐标为．（=即可得到交点的极的参数方程为（，解得．=∴或，=三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知．（1）求f（x）的最大值及取得最大值时相应的x的值；（2）若函数y=f（2x）﹣a在区间上恰有两上零点x1，x2，求tan（x1+x2）的值．（2x（t=答：=），（，∵，∴的两个相应零点（即（∴18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=（n﹣1）2（n∈N*），数列{b n}满足a n=2log3b n﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n b n}的前n项和T n．=．﹣（19．（12分）（2014•朝阳区一模）某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔4人．由于部分数据丢失，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率；（Ⅲ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．，由此建立方程即可求出=，解得）﹣===，=．0 1 2×+1×+2×==．20．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．（Ⅰ）证明：AE⊥PD；（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E﹣AF ﹣C的余弦值．，，，中，中，．21．（13分）已知圆M：（x+1）2+y2=，圆N：（x﹣1）2+y2=，动圆P与两圆均相切，圆心P的轨迹为曲线G，直线l1：y=k1x+m1与曲线G交于A、C两点，直线l2：y=k2x+m2与曲线G交于B、D两点．（1）求曲线G的方程；（2）若四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD面积的最小值．PN=PM=PN=＞，的方程为yy﹣（﹣，，且联立方程OA=OC=，同理OB=OD=OB=2•=．面积的最小值为．22．（14分）已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x有且只有一个零点，其中a＞0．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若对任意的x∈（0，+∞），有f（x）≥kx2成立，求实数k的最大值；（Ⅲ）设h（x）=f（x）+x，对任意x1，x2∈（﹣1，+∞）（x1≠x2），证明：不等式＞恒成立．．时，，即时，对于）在于是，当取≥只需证明，．，则只需证明．，则。
浙江省2015届高考数学全真模拟试卷(理科)(Word版含解析)
浙江省2015届高考数学全真模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，N={2，3，6}，则∁U（M∪N）=（）A．{1，2，3} B．{5} C．{1，3，4} D．{2}2．（5分）已知p：x2﹣5x+6≤0，q：|x﹣a|＜1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，3]B．[2，3]C．（2，+∞）D．（2，3）3．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=2x+y的最小值为（）A．6B．4C．3D．24．（5分）设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α⊥β，m⊥α，则m∥βD．若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥β5．（5分）设，为两个互相垂直的单位向量，已知=，=，=m+n．若△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则m+n=（）A．1或﹣3 B．﹣1或3 C．2或﹣4 D．﹣2或46．（5分）已知xy=1，且O＜y＜，则的最小值为（）A．2B．C．4D．47．（5分）如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC 的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．8．（5分）如图，已知点S（0，3），SA，SB与圆C：x2+y2﹣my=0（m＞0）和抛物线x2=﹣2py（p＞0）都相切，切点分别为M，N和A，B，SA∥ON，=λ，则实数λ的值为（）A．4B．2C．3D．3二、填空题：本大题有7小题，共36分（其中1道三空题，每空2分，3道两空题，每空3分，3道一空题，每空4分）．9．（6分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则A=，ω=，F（）=．10．（6分）已知等差数列{a n）的前n项和为S n=﹣n2+（10+k）n+（k﹣1），则实数k=，a n=．11．（6分）设函数f（x）=，则f（1）=，若f（f（a））≤3，则实数a的取值范围是．12．（6分）若如图为某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去一部分后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，则其正视图的面积为，三棱锥D﹣BCE的体积为．13．（4分）点F是抛物线T：x2=2py（y＞0）的焦点，F1是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，若线段FF1的中点P恰为抛物线T与双曲线C的渐近线在第一象限内的交点，则双曲线C的离心率e=．14．（4分）已知向量=（1，），=（﹣2，0）若⊥（≠），当t∈[﹣，2]时，|﹣t|的取值范围为．15．（4分）对于任意实数x，记[x]表示不超过x的最大整数，{x}=x﹣[x]，＜x＞表示不小于x的最小整数，若x1，x2，…x m（0≤x1＜x2＜…＜x m≤n+1是区间[0，n+1]中满足方程[x]•{x}•＜x＞=1的一切实数，则x1+x2+…+x m的值是．三、解答题：本大题共5小题，共74分（16.17.18.19小题各为15分，20小题为14分）．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若1+=．（1）求角A的大小；（2）若函数f（x）=2sin2（x+）﹣cos2x，x∈[，]，在x=B处取到最大值a，求△ABC的面积．17．（15分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2AB，F是CD的中点．（1）求证：平面CBE⊥平面CDE；（2）求二面角C﹣BE﹣F的余弦值．18．（15分）如图，椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，上、下顶点为A，B，点P（0，2）关于直线y=﹣x的对称点在椭圆M上，过点P的直线l与椭圆M相交于两个不同的点C，D（C在线段PD之间）．（1）求椭圆M的方程；（2）求•的取值范围；（3）当AD与BC相交于点Q时，试问：点Q的纵坐标是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．19．（15分）已知等差数列{a n}的公差为d（d≠0），等比数列{b n}的公比为q（q＞0），且满足a1=b1=1，a2=b3，a6=b5（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}的前n项和为T n，求证：++…+＜2．20．（14分）已知函数f（x）=log22x﹣mlog2x+a，g（x）=x2+1．（1）当a=1时，求f（x）在x∈[1，4]上的最小值；（2）当a＞0，m=2时，若对任意的实数t∈[1，4]，均存在x i∈[1，8]（i=1，2），且x1≠x2，使得=f（t）成立，求实数a的取值范围．浙江省2015届高考数学全真模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，N={2，3，6}，则∁U（M∪N）=（）A．{1，2，3} B．{5} C．{1，3，4} D．{2}考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：由M与N求出两集合的并集，根据全集U求出并集的补集即可．解答：解：∵M={1，2，4}，N={2，3，6}，∴M∪N={1，2，3，4，6}，∵U={1，2，3，4，5，6}，∴∁U（M∪N）={5}．故选B点评：此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知p：x2﹣5x+6≤0，q：|x﹣a|＜1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，3]B．[2，3]C．（2，+∞）D．（2，3）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：求出不等式的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义建立条件关系即可．解答：解：由x2﹣5x+6≤0得，即2≤x≤3，由|x﹣a|＜1得a﹣1＜x＜a+1，若p是q的充分不必要条件，则，即，则2＜a＜3．故选：D点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的性质求出命题的等价条件是解决本题的关键．3．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=2x+y的最小值为（）A．6B．4C．3D．2考点：简单线性规划．专题：计算题；数形结合．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数2x+y的最小值．解答：解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令2x+y=z，y=﹣2x+z，显然当平行直线过点A（1，1）时，z取得最小值为3；故选C．点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．4．（5分）设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α⊥β，m⊥α，则m∥βD．若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥β考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：逐个选项进行验证：A中α与γ可以平行，也可以相交；B中的直线m与n可以平行、相交或异面；C中可能有m⊂β；选项D由条件可得m∥β．解答：解：选项A中α与γ可以平行，也可以相交，故错误；选项B中的直线m与n可以平行、相交或异面，故错误；选项C中可能有m⊂β，故错误；选项D正确，若α∥β，m∥α，可得m⊄β，或m∥β，结合条件可得m∥β．故选D点评：本题为直线与平面位置关系的判断，熟练掌握定理结合图象是解决问题的关键，属基础题．5．（5分）设，为两个互相垂直的单位向量，已知=，=，=m+n．若△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则m+n=（）A．1或﹣3 B．﹣1或3 C．2或﹣4 D．﹣2或4考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：空间向量及应用．分析：根据△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形可得出和的关系，用已知向量表示出和，列出关系式，即可求出答案．解答：解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠A为直角，∴AB⊥AC，=0；由已知得，==；==（m﹣1）+n；∴=（）[（m﹣1）+n]=m﹣n﹣1=0；即m﹣n=1；又△ABC是等腰三角形，∴AB=AC，=；∵=，∴==，得（m﹣1）2+n2=2；∵m﹣n=1，∴m=n+1，代入方程，得2n2=2，n=±1；∴或；∴m+n=3或m+n=﹣1．故答案选：B．点评：本题考查了平面向量的基本定理，解题的关键是熟练掌握向量的运算法则．6．（5分）已知xy=1，且O＜y＜，则的最小值为（）A．2B．C．4D．4考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：xy=1，且O＜y＜，可得4y=，x＞2，．代入变形利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵xy=1，且O＜y＜，∴4y=，x＞2，∴．则===+=4，当且仅当x﹣=2，解得x=时取等号．∴的最小值为4．故选：C．点评：本题考查了基本不等式的性质、变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC 的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B时x的值及y的值，再研究点P从点B向点C运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项．解答：解：设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的边长为连接BG，可得tan∠BGM==，即∠BGM=，所以tan∠BGA=，由图可得当x=时，射影为y取到最小值，其大小为﹣（BC长为），由此可排除A，B两个选项；又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D，C是适合的；故选：C．点评：由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法．8．（5分）如图，已知点S（0，3），SA，SB与圆C：x2+y2﹣my=0（m＞0）和抛物线x2=﹣2py（p＞0）都相切，切点分别为M，N和A，B，SA∥ON，=λ，则实数λ的值为（）A．4B．2C．3D．3考点：抛物线的简单性质．专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由圆的切线的性质，结合平行的条件可得四边形MSNO为菱形，由直线和圆相切的条件和勾股定理、弦长公式，解方程可得m=2，直线的斜率为，可得MN=，由直线和抛物线相切的条件：判别式为0，可得切点A，B的坐标，可得AB的长为4，由向量共线定理，即可得到所求值．解答：解：由S向圆作切线，可得SM=SN，∠MSO=∠NSO，若SA∥ON，即有四边形MSNO为菱形，在直角△SMO中，tan∠SMN==，圆C：x2+y2﹣my=0的圆心为（0，），半径r=，设切线为y=kx+3，k＞0，由相切的条件可得=，①MN=2=，即有k=，②将②代入①可得m=2，k=，则MN=，由y=x+3和抛物线x2=﹣2py，可得x2+2px+6p=0，由判别式12p2﹣24p=0，解得p=2，求得切点A（﹣2，﹣3），由于=λ，即MN∥AB，则AB=4，即有λ==4．故选：A．点评：本题考查直线和圆、抛物线相切的条件，向量共线的定理的运用，考查直线和圆相交的弦长公式，以及平面几何的勾股定理，考查运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题有7小题，共36分（其中1道三空题，每空2分，3道两空题，每空3分，3道一空题，每空4分）．9．（6分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则A=2，ω=2，F（）=1．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据图象由最值确定A=2，由周期确定ω=2π÷T=2，得到f（x）=2sin（2x+φ），然后以点（，2）代人求φ．解答：解：由图象易知A=2，T=π﹣，∴T=π，ω==2，∴f（x）=2sin（2x+φ），由f（）=2sin（2×+φ=2，且0＜φ＜π，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x+），∴f（）=2sin（2×+）=1，故答案为：2；2；1．点评：本题主要考查由部分图象怎样求函数的解析式问题及计算能力．10．（6分）已知等差数列{a n）的前n项和为S n=﹣n2+（10+k）n+（k﹣1），则实数k=1，a n=﹣2n+12．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：等差数列{a n）的前n项和为S n=﹣n2+（10+k）n+（k﹣1），可得k=1，可得S n=﹣n2+11n；当n=1时，可得a1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，即可得出．解答：解：∵等差数列{a n）的前n项和为S n=﹣n2+（10+k）n+（k﹣1），∴k=1，∴S n=﹣n2+11n，当n=1时，a1=﹣1+11=10；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣n2+11n﹣[﹣（n﹣1）2+11（n﹣1）]=﹣2n+12，当n=1时上式也成立．∴a n=﹣2n+12．故答案为：1；﹣2n+12．点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（6分）设函数f（x）=，则f（1）=﹣1，若f（f（a））≤3，则实数a的取值范围是（﹣∞，]．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中函数f（x）=，将x=1代入，可求出f（1）；再讨论f（a）的正负，代入求出f（a）≥﹣3，再讨论a的正负，求实数a的取值范围．解答：解：∵函数f（x）=，∴f（1）=﹣12=﹣1，①若f（a）＜0，则f2（a）+2f（a）≤3，解得，﹣3≤f（a）≤1，即﹣3≤f（a）＜0，②若f（a）≥0，则﹣f2（a）≤3，显然成立；则f（a）≥﹣3，③若a＜0，则a2+2a≥﹣3，解得，a∈R，即a＜0．④若a≥0，则﹣a2≥﹣3，解得，0≤a≤，综上所述，实数a的取值范围是：（﹣∞，]．故答案为：﹣1；（﹣∞，]．点评：本题考查了分段函数的应用，再已知函数值的范围时，要对自变量讨论代入函数求解，属于基础题．12．（6分）若如图为某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去一部分后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，则其正视图的面积为4，三棱锥D﹣BCE的体积为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：由题意可知，正视图为直角三角形，直角边长为2，4，可得正视图的面积；证明AB⊥平面ACDE，求出四棱锥B﹣ACDE的体积、三棱锥E﹣ACB的体积，即可求出三棱锥D﹣BCE的体积．解答：解：由题意可知，正视图为直角三角形，直角边长为2，4，故正视图的面积为=4；四棱锥B﹣ACDE中，AE⊥平面ABC，∴AE⊥AB，又AB⊥AC，且AE和AC相交，∴AB⊥平面ACDE，又AC=AB=AE=2，CD=4，则四棱锥B﹣ACDE的体积V==4，又三棱锥E﹣ACB的体积为=，∴三棱锥D﹣BCE的体积为4﹣=．故答案为：4；．点评：本题考查正视图的面积，考查考查几何体的体积，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．13．（4分）点F是抛物线T：x2=2py（y＞0）的焦点，F1是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，若线段FF1的中点P恰为抛物线T与双曲线C的渐近线在第一象限内的交点，则双曲线C的离心率e=．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线C的渐近线方程为y=x，代入x2=2py，可得P（，），利用P是线段FF1的中点，可得P（，），由此即可求出双曲线C的离心率．解答：解：双曲线C的渐近线方程为y=x，代入x2=2py，可得P（，），∵F（0，），F1（c，0）∴线段FF1的中点P（，），∴=，=，∴a2=8b2，∴c2=9b2，∴e==．故答案为：．点评：本题考查双曲线C的离心率，考查抛物线、双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定P的坐标是关键．14．（4分）已知向量=（1，），=（﹣2，0）若⊥（≠），当t∈[﹣，2]时，|﹣t|的取值范围为[1，]．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知求出用t表示的坐标，得到t的坐标，然后用t表示|﹣t|，根据t∈[﹣，2]求其范围．解答：解：由已知向量=（1，），=（﹣2，0）若⊥（≠），设=（x，y），则﹣2x+0=0，即x=0，所以=（0，y），则t=（0，t），所以﹣t=（1，﹣t），所以，|﹣t|2=1+（﹣t）2，又t∈[﹣，2]，所以当t=时，|﹣t|2的最小值为1；当t=时，|﹣t|2的最大值为13；所以|﹣t|的取值范围为[1，]；故答案为：[1，]．点评：本题考查了向量的加减法的坐标运算以及向量模的求法．15．（4分）对于任意实数x，记[x]表示不超过x的最大整数，{x}=x﹣[x]，＜x＞表示不小于x的最小整数，若x1，x2，…x m（0≤x1＜x2＜…＜x m≤n+1是区间[0，n+1]中满足方程[x]•{x}•＜x＞=1的一切实数，则x1+x2+…+x m的值是+．考点：数列与函数的综合；函数的值．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：根据新定义，[x]表示不超过x的最大整数，{x}=x﹣[x]，需要分类讨论，根据条件得到x═a+，继而求出a的可能值，最后代入计算即可．解答：解：显然，x不可能是整数，否则由于{x}=0，方程[x]•{x}•＜x＞=1不可能成立．设[x]=a，则{x}=x﹣a，x=a+1，代入得a（x﹣a）（a+1）=1，解得x=a+．考虑到x∈[0，n+1]，且[x]≠0，所以a=1，2，3，4，5，…，n，故符合条件的解有n个，即m=n，则x1+x2+…+x m=x1+x2+…+x n=+1﹣+…+﹣=+1﹣=+．故答案为：+．点评：本题考查了函数的值，需要分类进行讨论，新定义一般需要认真读题，理解题意，灵活利用已知定义，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分（16.17.18.19小题各为15分，20小题为14分）．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若1+=．（1）求角A的大小；（2）若函数f（x）=2sin2（x+）﹣cos2x，x∈[，]，在x=B处取到最大值a，求△ABC的面积．考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用．专题：解三角形．分析：（1）把已知等式中的切化弦，利用正弦定理把边转化为角的正弦，整理可求得cosA 的值，进而求得A．（2）把利用两角和公式对函数解析式化简，利用正弦函数的性质求得函数最大值时B，C 和a的值，进而利用正弦定理求得c，最后利用三角形面积公式求得答案．解答：解：（1）因为1+•=，所以=2sinC，又因为sinC≠0，所以cosA=，所以A=．（2）因为f（x）=2sin2（x+）﹣cos2x=1+2sin（2x﹣），所以，当2x﹣=，即x=时，f（x）max=3，此时B=，C=，a=3．因为=，所以c===，则S=acsinB=×3××=．点评：本题主要考查了正弦定理和三角函数图象与性质．考查了学生基础公式的运用和一定的运算能力．17．（15分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2AB，F是CD的中点．（1）求证：平面CBE⊥平面CDE；（2）求二面角C﹣BE﹣F的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．分析：（1）取CE的中点M，连接BM、FM，通过证明BM⊥平面CDE，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面BCE⊥平面CDE．（2）过F作FN⊥CE交CE于N，过N作NH⊥BE，连接HF，则∠NHF就是二面角C﹣BE﹣F的平面角．解答：（1）证明：因为DE⊥平面ACD，DE⊂平面CDE，所以平面CDE⊥平面ACD．在底面ACD中，AF⊥CD，由面面垂直的性质定理知，AF⊥平面CDE．取CE的中点M，连接BM、FM，由已知可得FM=AB且FM∥AB，则四边形FMBA为平行四边形，从而BM∥AF．所以BM⊥平面CDE．又BM⊂平面BCE，则平面CBE⊥平面CDE．…（7分）（2）解：过F作FN⊥CE交CE于N，过N作NH⊥BE，连接HF，则∠NHF就是二面角C﹣BE﹣F的平面角．在Rt△FNH中，NH=，FH=，所以cos∠NHF==故二面角C﹣BE﹣F的余弦值为…（15分）点评：本题考查平面与平面垂直的判定，考查二面角的余弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（15分）如图，椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，上、下顶点为A，B，点P（0，2）关于直线y=﹣x的对称点在椭圆M上，过点P的直线l与椭圆M相交于两个不同的点C，D（C在线段PD之间）．（1）求椭圆M的方程；（2）求•的取值范围；（3）当AD与BC相交于点Q时，试问：点Q的纵坐标是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由已知得a=2，又e==，故c=，b=1，即可求椭圆M的方程；（2）分类讨论，y=kx+2代入椭圆方程消去y，得（1+4k2）x2+16kx+12=0，利用数量积公式求•的取值范围；（3）由题意得：AD：y=x+1，BC：y=x﹣1，联立方程组，消去x，解得y=，即可得出结论．解答：解：（1）由已知得a=2，又e==，故c=，b=1，∴椭圆M的方程．…（4分）（2）①当直线l斜率不存在时，C（0，1），D（0，﹣1），•=﹣1；…（5分）当直线斜率存在时，设直线l方程为y=kx+2，C（x1，y1），D（x2，y2），则y=kx+2代入椭圆方程消去y，得（1+4k2）x2+16kx+12=0，x1+x2=﹣，x1x2=，△＞0，可得4k2＞3，…（7分）•=x1x2+y1y2=﹣1+，∴得﹣1＜•＜．综上可知，•的取值范围是[﹣1，）．…（10分）②由题意得：AD：y=x+1，BC：y=x﹣1，联立方程组，消去x，解得y=，又4kx1x2=﹣3（x1+x2），得y=．∴点Q的纵坐标为定值．…（15分）点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（15分）已知等差数列{a n}的公差为d（d≠0），等比数列{b n}的公比为q（q＞0），且满足a1=b1=1，a2=b3，a6=b5（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}的前n项和为T n，求证：++…+＜2．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）由（1）可得：b n=2n﹣1，可得T n=2n﹣1，可得＜（n≥2时），即可证明．解答：（1）解：满足a1=b1=1，a2=b3，a6=b5，∴，解得：，故a n=3n﹣2．（2）证明：由（1）可得：b n=2n﹣1，∴T n==2n﹣1，∵＜（n≥2时），∴当n≥2时，∴++…+=+…+＜+…+=1+++…+==2＜2．当n=1时，=1＜2符合．综上所述，不等式成立．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（14分）已知函数f（x）=log22x﹣mlog2x+a，g（x）=x2+1．（1）当a=1时，求f（x）在x∈[1，4]上的最小值；（2）当a＞0，m=2时，若对任意的实数t∈[1，4]，均存在x i∈[1，8]（i=1，2），且x1≠x2，使得=f（t）成立，求实数a的取值范围．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：（1），转化成二次函数问题，利用单调性研究最小值．（2）令log2t=u（0≤u≤2），则f（t）=u2﹣2u+a的值域是[a﹣1，a]．由条件列式求解．解答：解：（1），其中0≤log2x≤2．所以①，即m≤0，此时f（x）min=f（1）=1，②当，即m≥4，此时f（x）min=f（4）=5﹣2m，③0＜m＜4时，当时，．所以，f（x）min=…（6分）（2）令log2t=u（0≤u≤2），则f（t）=u2﹣2u+a的值域是[a﹣1，a]．因为y=，利用图形可知解得…（14分）点评：本题主要考查以对数函数为背景的二次函数问题，属于中档题目，2015届高考常考题型．。
浙江省杭州二中2015届高三仿真考数学理试题-Word版含答案
2015 年浙江省杭州二中高三年级仿真考数学（理科）试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共 4 页, 选择题部分 1 至 2 页 , 非选择题部分3 至 4 页．满分 150分 , 考试时间120 分钟．请考生按规定用笔将全部试题的答案涂、写在答题纸上．参照公式：柱体的体积公式 V=Sh此中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高1此中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高锥体的体积公式 V= Sh31台体的体积公式 V h (S1S1 S2 S2 )此中 S1,S2分别表示台体的上 ,下底面积3球的表面积公式 S=4πR2此中 R 表示球的半径， h 表示台体的高4πR3此中 R 表示球的半径球的体积公式 V=3第 I 卷（共 40分）一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的．1．已知定义域为R 的函数 f ( x)不是奇函数，则以下命题必定为真命题的是（）A ．x R， f (x) f ( x)B．x R， f (x) f (x)C．x0R， f (x0 ) f ( x0 )D．x0R， f (x0 ) f ( x0 )35 ，则a7（）2．设等差数列{ a n} 的前n 项和为S n， a3a813且S7A ．11B． 10C． 9D． 83．函数 f (x)Asin( x)（其中A0,)）的图象如下图，为了获得2g(x)sin x 的图象，则只需将 f (x) 的图象（）A ．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度612C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度6124．设a,b R ，则“a > b”是“a a > b b ”的（）A ．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件 D ．既不充足也不用要条件x 2 y105．若变量x, y知足2 x y0，则点 P(2 x y, x y) 所在地区的面积为（）x13B.4C.1D.1A ．32 4| log 2 x |,0x26．已知函数f (x)sin(x),2x，若存在实数 x1，x2，x3，x4，知足 x1 x2 x3 x4，104且 f ( x1 ) f ( x2 ) f (x3 ) f (x4 ) ，则(x32)( x42)的取值范围是（）x1 x2A ．(4,16)B．(0,12)C．(9,21) D ．(15,25)7．已知点 P 为双曲线x2y21(a0,b0) 右支上一点，F1, F2分别b2a2为双曲线的左右焦点，且| F1F2 |b2， I为三角形PF1 F2的心里，若aSIPF1SIPF2SIF1F2建立，则的值为（）D1C1122B．231C．21D．21A ．2A1 B 18．过正方体 ABCD-A 1B 1C1D1棱 DD 1的中点与直线 BD 1所成角为 40°，且与平面 AC C 1A1所成角为 50°的直线条数为（）A ．1B． 2C．3D．无数D CA B第 II 卷（共 110 分）二、填空题：本大题共7 小题，第9 至 12 题每题 6 分，第 13至 15 题每题 4 分，共36 分．9．设全集为R，会合M{ x R | x24x30},集合 N{ x R | 2x4}, 则M N； M N； C R(M N).10．已知απ,πβ 0,α β3，且tanα3，则22cos()54cosα________, sin β_______.11．在如下图的空间直角坐标系—中，一个四周体的极点坐标分别是(2，0，0) ，(0 ，O xyz2， 0) ， (0 ， 0， 2) ， (2 ，2， 2) ．给出编号为① ，② ，③ ，④ 的四个图，则该四周体的正视图、侧视图和俯视图分别为（填写编号），此四周体的体积为 .① ②③④12．已知 圆C : (x cos)2 ( ysin )22( R) 与直线 l : x cos y sin 1 0(R) ，则圆C 的圆心轨迹方程为，直线 l 与圆 C 的地点关系是 ______．13．已知点 A(1 , 1 ) 在抛物线 C : y2 2 px( p 0) 的准线上，点 M ， N 在抛物线 C 上，且2 2位于 x 轴的双侧， O 是坐标原点，若 OM ON3 ，则点 A 到动直线 MN 的最大距离为．uuur uuur14．在直径 AB 为 2 的圆上有长度为 1 的动弦 CD ，则 AC BD 的取值范围是．15．已知 a, b, c 为非零实数， f (x)axb, x R ，且 f (2) 2, f (3) 3.若当 xd 时，cx dc对于随意实数 x ，均有 f ( f ( x)) x ，则 f (x) 值域中取不到的独一的实数是．三、解答题：本大题共 5 小题，第 16 至 19 题每题 15 分，第 20 题 14 分，共74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16． ABC 中，内角 A, B,C3 的对边分别是 a, b, c ，已知 a,b, c 成等比数列，且 cos B.1 14（Ⅰ）求 的值；tan A tan Buuur uuur 3 ，求 a c 的值 . （Ⅱ）设 BA BC217．已知四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD为ABC2的菱形，3PA 平面 ABCD ，点 Q 在直线 PA 上 . （Ⅰ）证明：直线QC 直线 BD ；PQDACMB（Ⅱ）若二面角 B QC D 的大小为2，点M为BC的中点，求直线QM 与 AB 所成角的余3弦值 .1为奇数，n1,a n 1a nn, n18．已知数列 {a } 中， a 13a n为偶数3n, n3 （Ⅰ）求证：数列{ a 2n} 是等比数列；2（Ⅱ）设 S n 是数列 { a n } 的前 n 项和，求知足 S n 0 的全部正整数 n ．19．如图，中心在座标原点，焦点分别在 x 轴和 y 轴上的椭圆 T 1 ， T 2 都过点 M (0,2) ，且椭圆 T 1 与 T 2 的离心率均为2 . y2（Ⅰ）求椭圆 T 1 与椭圆 T 2 的标准方程；QxOP（Ⅱ）过点M 引两条斜率分别为 k, k 的直线分别交 T 1 T 2 于点 P Qk 4k， ， ，当M时，问直线 PQ 能否过定点？若过定点，求出定点坐标；若可是定点，请说明原因 .20．设 f ( x)x 2ax 1， g( x)ax 2 xax 2 ，（Ⅰ）若 f ( x) b 0 在 [1,2] 上有两个不等实根，求 g(1)b 的取值范围；（Ⅱ）若存在 x[1,2] ，使得对随意的1，都有 f ( x ) g (x ) 建立，务实数 a 的取x 2[ ,1] 11 22值范围 .参照答案一、 选择题题号12345678答案CDACDBDB二、填空题： 9. (,1) (2,)； (3,) ； (,3]10. 4 ；7 11.③②② ； 8 ；5253 12. x2y21；订交 ;13. 5 2 ;14. [3,1];15.52222三、解答题：16. 解：（Ⅰ）由于 a, b, c 成等比数列，因此 b 2 ac ,由余弦定理可知：cos Ba 2c 2 b 2 a 2c 2 ac 1 ( c a1)2ac2ac2 ac又 cos B3 ，因此 sin B 7 ，且 1 ( c a 1)3，解得c2或1.44 2 a c4a2于是1 1 cos A cos B sin C a c 8 7或 27 .tan A tan B sin A sin B sin A sin B sin B 7 7 uuur uuur 3 3 ca 2（Ⅱ）由于 BA BC ,因此 ca cosB ，因此 ，2 2又c2或 1，于是 ca 3 .a uuur 2uuur 3得ca cos B3，由 cos B3 可得 ca 2 ，即 b 22 【另解】由 BA BC224由余弦定理b 2a 2c 2 2ac cos B 得 a 2 c 2 b 2 2ac cos B 5a c2c 2 2ac 54 9 ∴ ac3 .a 217. （Ⅰ）证明：明显 BD AC ， PA 平面 ABCD ，则 PABD ，故 BD平面PAC ,QC平面 PAC ,则直线 QC 直线 BD ；（Ⅱ）由已知和对称性可知，二面角 B QC A 的大小为3 ，设底面 ABCD 的棱长为单位长度2， AQ x ，设 AC ，BD 交于点 E,则有点 B 到平面 AQC 的距离 BE 为 1，过点 E 做 QC 的垂线，垂足设为 F ，则有tan BFE tanBE 3，BE=1 ，则 BE=3 EF3，点A 到QC 的距离为2 3，则有32 3 x 2 (2 3)2x 2 3 ，得 x6 .32过点 M 作 AB 的平行线交 AD 的中点为 G ，则 GM=2 ， QG( 6 ) 21210 ，22AM221222117，则 QM( 6)27234 ，222QM 2GM 2QG 2344 105 34cos QMG442QM GM3434，2 22即所求的 QM 与 AB 所成角的余弦值为5 3434 .18.（Ⅰ）证明：a1) 31a 2 n 1(2n 1) 31( a 2 n 6n) (2 n 1) 3 1a 2 n 11 ， 2( n2 323 2 3233a2 n3 a 2na 2na2n3 3 2222因此数列 { a 2 n 3 31 1} 是以 a 2 2为首项，为公比的等比数列。
浙江省杭州二中高三年级仿真考.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2015年浙江省杭州二中高三年级仿真考数学（理科）试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页, 选择题部分1至2页, 非选择题部分3至4页．满分150分, 考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式：柱体的体积公式V =Sh 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式 V =13Sh 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式1()11223V h S S S S =++ 其中S 1,S 2分别表示台体的上,下底面积球的表面积公式S =4πR 2其中R 表示球的半径，h 表示台体的高 球的体积公式V =43πR 3其中R 表示球的半径第I 卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知定义域为R 的函数()f x 不是奇函数，则下列命题一定为真命题的是（ ） A ．()()x R f x f x ∀∈-≠-， B ．()()x R f x f x ∀∈-=， C ．000()()x R f x f x ∃∈-≠-， D ．000()()x R f x f x ∃∈-=， 2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3813a a +=且735S =，则7a =（ ）A ．11B ．10C ．9D ．8 3．函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中)2,0πϕ<>A ）的图象如图所示，为了得到()sin g x x ω=的图象，则只要将)(x f 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度4．设R b a ∈,，则“a b >”是“a a b b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．若变量,x y 满足210201x y x y x -+≤⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则点(2,)P x y x y -+所在区域的面积为（ ）A ．34 B. 43 C. 12D. 1 6．已知函数2|log |,02()sin(),2104x x f x x x π<<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，且1234()()()()f x f x f x f x ===，则3412(2)(2)x x x x -⋅-⋅的取值范围是（ ）A ．(4,16)B ．(0,12)C ．(9,21)D ．(15,25)7．已知点P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 右支上一点，21,F F 分别为双曲线的左右焦点，且ab F F 221||=，I 为三角形21F PF 的内心，若1212IPF IPF IF FS S S λ∆∆∆=+成立， 则λ的值为（ ）A ．2221+ B ．132- C ．12+ D ．12- 8．过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1棱DD 1的中点与直线BD 1所成角为40°，且与平面AC C 1A 1所成角为50°的直线条数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．无数第II 卷（共110分）二、填空题：本大题共7小题，第9至12题每小题6分，第13至15题每题4分，共36分． 9．设全集为R ，集合2{|430},M x R x x =∈-+>集合{|24},xN x R =∈>则M N ⋃= ；D1C 1B 1A 1D ACBM N ⋂= ；()R C M N ⋂= .10．已知02πα<<,02πβ-<<,3cos()5αβ-=，且3tan 4α=，则cos α=________,sin β=_______. 11．在如图所示的空间直角坐标系O —xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(2，0，0)，(0，2，0)，(0，0，2)，(2，2，2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图、侧视图和俯视图分别为（填写编号） ，此四面体的体积为 .12．已知圆22:(cos )(sin )2(R)C x y ααα-++=∈与直线:cos sin 10(R)l x y βββ--=∈，则圆C 的圆心轨迹方程为 ，直线l 与圆C 的位置关系是______．13．已知点)21,21(-A 在抛物线)0(2:2>=p px y C 的准线上，点M ，N 在抛物线C 上，且位于x 轴的两侧，O 是坐标原点，若3=⋅ON OM ，则点A 到动直线MN 的最大距离为 ． 14．在直径AB 为2的圆上有长度为1的动弦CD ，则AC BD ⋅的取值范围是 ． 15．已知,,a b c 为非零实数，(),ax b f x x R cx d +=∈+，且(2)2,(3)3f f ==.若当dx c≠-时，对于任意实数x ，均有(())f f x x =，则()f x 值域中取不到的唯一的实数是 ．三、解答题：本大题共5小题，第16至19题每题15分，第20题14分，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．ABC ∆中，内角,A B C ,的对边分别是,,a b c ，已知,,a b c 成等比数列，且3cos 4B =. （Ⅰ）求11tan tan A B+的值； （Ⅱ）设32BA BC ⋅=，求a c +的值.17．已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为23ABC π∠=的菱形，PA ⊥平面ABCD ，点Q 在直线PA 上.④③②①（Ⅰ）证明：直线QC ⊥直线BD ；（Ⅱ）若二面角B QC D --的大小为23π，点M 为BC 的中点，求直线QM 与AB 所成角的余弦值.MCBDAPQyxMOPQ18．已知数列{a n }中，111,1,33,n n na n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数， （Ⅰ）求证：数列23{}2n a -是等比数列；（Ⅱ）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，求满足0n S >的所有正整数n ．19．如图，中心在坐标原点，焦点分别在x 轴和y 轴上的椭圆1T ，2T 都过点(0,2)M -，且椭圆1T 与2T 的离心率均为22.（Ⅰ）求椭圆1T 与椭圆2T 的标准方程；（Ⅱ）过点M 引两条斜率分别为,k k '的直线分别交1T ，2T 于点P ，Q ，当4k k'=时，问直线PQ 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.20．设1)(2+--=ax x x f ，22()ax x a g x x ++=，（Ⅰ）若0)(=+b x f 在]2,1[上有两个不等实根，求(1)g b +的取值范围；（Ⅱ）若存在]2,1[1∈x ，使得对任意的21[,1]2x ∈，都有)()(21x g x f ≥成立，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CDACDBDB二、填空题：9. (,1)(2,)-∞⋃+∞；(3,)+∞；(,3]-∞ 10.45；725- 11. ③ ② ② ；83； 12. 221x y +=；相交; 13. 522; 14. 31[,]22-; 15. 52三、解答题：16. 解：（Ⅰ）因为,,a b c 成等比数列，所以ac b =2,由余弦定理可知：)1(2122cos 22222-+=-+=-+=ca a c ac ac c a acbc a B 又3cos 4B =，所以47sin =B ，且43)1(21=-+c a a c ，解得212或=a c .于是772778sin sin sin sin sin cos sin cos tan 1tan 1或=⋅=⋅=+=+B a c B A C B B A A B A . （Ⅱ）因为32BA BC ⋅=,所以23cos =B ca ，所以2=ca ，又212或=a c ，于是3=+a c . 【另解】由32BA BC ⋅=得3cos 2ca B ⋅=，由3cos 4B =可得2ca =，即22b =由余弦定理 2222cos b a c ac B =+-⋅得2222cos 5a c b ac B +=+⋅=()2222549a c a c ac +=++=+= ∴ 3a c +=.17. （Ⅰ）证明：显然BD AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，则PA BD ⊥，故BD PAC ⊥平面,QC PAC ⊆平面,则直线QC ⊥直线BD ；（Ⅱ）由已知和对称性可知，二面角A B QC --的大小为3π，设底面ABCD 的棱长为单位长度2，AQ x = ，设AC ，BD 交于点E,则有点B 到平面AQC 的距离BE 为1，过点E 做QC 的垂线，垂足设为F ，则有tan tan3BEBFE EFπ∠==，BE=1，则BE=33，点A 到QC 的距离为233，则有2223(23)233x x ⋅+=⋅，得62x =.过点M 作AB 的平行线交AD 的中点为G ，则GM=2，22610()122QG =+=， 2212122172AM =++⋅⋅⋅=，则22634()722QM =+=， 2223410453444cos 23434222QM GM QG QMG QM GM +-+-∠===⋅⋅⋅， 即所求的QM 与AB 所成角的余弦值为53434.18.（Ⅰ）证明：21222(1)22221313113(21)(6)(21)13232322333332222n n n n n n n n a n a n n a a a a a a ++++--++---====----， 所以数列23{}2n a -是以23126a -=-为首项，13为公比的等比数列。