2009-2010学年度海淀区高三年级上学期期末考试-理数

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北京市海淀区届高三上学期期末练习数学理试题含答案

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2015.1本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）抛物线22x y =-的焦点坐标是（）（A ）(1,0)-（B ）(1,0)（C ）1(0,)2-（D ）1(0,)2（2）如图所示，在复平面内，点A 对应的复数为z ，则复数2z =（）A1-2Oyx（A ）34i --（B ）54i +（C ）54i -（D ）34i -（3）当向量(2,2)==-a c ，(1,0)=b 时，执行如图所示的程序框图，输出的i 值为（）（A ）5（B ）4（C ）3（D ）2（4）已知直线1:(2)10l ax a y +++=，2:20l x ay ++=. 若12l l ⊥，则实数a 的值是（）（A ）0（B ）2或1-（C ）0或3-（D ）3-（5）设不等式组220,10,10x y x y x y --⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≥≥表示的平面区域为D . 则区域D 上的点到坐标原点的距离的最小值是（）（A ）1（B ）22（C ）12（D ）5（6）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥四个面的面积中最大的是（）344俯视图侧（左）视图正（主）视图（A ）234 （B ）12（C ）83（D ）62（7）某堆雪在融化过程中，其体积V （单位：3m ）与融化时间t （单位：h ）近似满足函数关系：31()(10)10V t H t =-（H 为常数），其图象如图所示. 记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为3(m /h)v . 那么瞬时融化速度等于3(m /h)v 的时刻是图中的（）t 4t 3t 2100t 1tOV（A ）1t（B ）2t（C ）3t（D ）4t（8）已知点A 在曲线2:(0)P y x x =>上， A e 过原点O ，且与y 轴的另一个交点为M .若线段OM ,A e 和曲线P 上分别存在点B 、点C 和点D ，使得四边形ABCD （点,,,A B C D 顺时针排列）是正方形，则称点A 为曲线P 的“完美点”. 那么下列结论中正确的是（）（A ）曲线P 上不存在“完美点”（B ）曲线P 上只存在一个“完美点”，其横坐标大于1（C ）曲线P 上只存在一个“完美点”，其横坐标大于12且小于1 （D ）曲线P 上存在两个“完美点”，其横坐标均大于12二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2009年海淀区高三二模试题——理数

海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科） 2009.05一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. （1）已知集合{A x y ==，集合{}1B x x = ，则A B 等于（）（A ）112x x 禳镲镲＃睚镲镲铪（B ）{}1x x ?（C ）112x x 禳镲镲-＃睚镲镲铪（D ）{}1x x ³ （2）某行业主管部门所属的企业有800家，按企业固定资产规模分为大型企业﹑中型企业﹑小型企业. 大﹑中﹑小型企业分别有80家，320家和400家，该行业主管部门要对所属企业的第一季度生产状况进行分层抽样调查，共抽查100家企业. 其中大型企业中应抽查（）（A ）20家（B ）16家（C ）10家（D ）8家（3）若102a b <<<，则（）（A ）22aba> （B ）22abb> （C ）2log ()1ab >- （D ）2log ()2ab <-（4）在ABC ∆中，,,A B C 行所对的边长分别为,,a b c ，如果cos cos a B b A =，那么ABC ∆一定是（）（A ）锐角三角形（B ）钝角三角形（C ）直角三角形（D ）等腰三角形（5）若直线()1:4l y k x =-与直线2l 关于点)1,2(对称，则直线2l 恒过定点（）（A ）()0,4 （B ）()0,2 （C ）()2,4- （D ）()4,2-（6）某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻.那么不同的发言顺序种数为（）（A ）360 （B ）520 （C ）600 （D ）720（7）在棱长均为2的正四棱锥P ABCD -中，点E 为PC 的中点，则下列命题正确的是（）（A ）BE ∥平面PAD ，且BE 到平面PAD（B ）BE ∥平面PAD ，且BE 到平面PAD（C ）BE 与平面PAD 不平行，且BE 与平面PAD 所成的角大于30︒ （D ）BE 与平面PAD 不平行，且BE 与平面PAD 所成的角小于30︒（8）已知点M 是矩形ABCD 所在平面内任意一点，则下列结论中正确的是（）（A ）MB MD MA MC -=- （B ）()()0MB MD MA MC -?（C ）MB MDMA MC ? （D ）MA MDMB MC 壮二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.（9）已知等比数列{}n a 中，12a =，26S =，那么5S 的值为 .E DCBAP（10）已知函数()120,0x x f x x a x +ìï>ï=íï+ ïî 是连续函数，则实数a 的值是 . （11）已知tan =2α，则3cos 22πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值等于______ _ . （12）已知函数()()sin (0,)2f x x πωφωφ=+><的导函数()'y f x =的部分图象如图所示，且导函数()'f x 有最小值2-，则ω= ，φ= .（13）以双曲线的一个顶点为圆心的圆经过该双曲线的一个焦点，且与该双曲线的一条准线相切，则该双曲线的离心率为 . （14）下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R 的映射过程：区间()0,1中的实数m 对应数轴上的点M ，如图1；将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为()0,1，如图3.图3中直线AM 与x 轴交于点(),0N n ，则m 的象就是n ，记作()f m n =.（ⅰ）方程()0f x =的解是x = ；（ⅱ）下列说法中正确命题的序号是 .（填出所有正确命题的序号）①114f ⎛⎫= ⎪⎝⎭； ②()f x 是奇函数； ③()f x 在定义域上单调递增； ④()f x 的图象关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称．三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. （15）（本小题共13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =, 21(1)n n nS n S n cn +-+=+（c ∈R ，1,2,3,...n =）. 且1S ，22S ，33S 成等差数列. （Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式.M B A 图1 图2 图3（16）（本小题共13分）检测部门决定对某市学校教室的空气质量进行检测，空气质量分为A 、B 、C 三级. 每间教室的检测方式如下：分别在同一天的上、下午各进行一次检测，若两次检测中有C 级或两次都是B 级，则该教室的空气质量不合格. 设各教室的空气质量相互独立，且每次检测的结果也相互独立. 根据多次抽检结果，一间教室一次检测空气质量为A 、B 、C 三级的频率依次为311488，，.（Ⅰ）在该市的教室中任取一间，估计该间教室的空气质量合格的概率；（Ⅱ）如果对该市某中学的4间教室进行检测，记在上午检测空气质量为A 级的教室间数为ξ，并以空气质量为A 级的频率作为空气质量为A 级的概率，求ξ的分布列及期望.（17）（本小题共14分）如图，斜三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，90ACB ∠=︒，点1B 在底面ABC 上的射影恰好是BC 的中点，且1BC CA AA ==．（Ⅰ）求证：平面11ACC A ⊥平面11B C CB ；（Ⅱ）求证：1BC 1AB ⊥；（Ⅲ）求二面角11B AB C --的大小.B 1C 1A 1CBA（18）（本小题共13分）已知：函数()xe f x x a=-（其中常数0a <）.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域及单调区间；（Ⅱ）若存在实数(],0x a ∈，使得不等式()12f x ≤成立，求a 的取值范围．（19）（本小题共13分）已知抛物线C :2y x =，过定点()0,0A x 01()8x ≥，作直线l 交抛物线于,P Q （点P 在第一象限）. （Ⅰ）当点A 是抛物线C 的焦点，且弦长2PQ =时，求直线l 的方程；（Ⅱ）设点Q 关于x 轴的对称点为M ，直线PM 交x 轴于点B ，且BQ BP ⊥.求证：点B 的坐标是0(,0)x -并求点B 到直线l 的距离d 的取值范围.（20）（本小题共14分）已知)(x f 定义域为R ，满足：①)1(1)1(->=f f ；②对任意实数y x ,，有)1()1()()()1(--+=+-y f x f y f x f x y f . （Ⅰ）求)0(f ，(3)f 的值；（Ⅱ）求21(16)(3)2f x f x -+的值；（Ⅲ）是否存在常数B A ,，使得不等式2|)2()(|≤++-+B Ax x f x f 对一切实数x 成立.如果存在，求出常数B A ,的值；如果不存在，请说明理由.海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准 2009.05一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）ACDDB CDC二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）（9）62 （10）2 （11）45 （12）2，π3（131 （14）12，③④ 三、解答题（本大题共6小题,共80分） (15)（本小题共13分）解：（Ⅰ）∵21(1)n n nS n S n cn +-+=+（1,2,3,...n =），∴()2111n n S S n cn n n n n ++-=++（1,2,3,...n =）. ………………………………………1分 ∵1S ，22S ，33S 成等差数列， ∴32122132S S SS -=-. ………………………………………3分∴14226c c++=. ………………………………………5分 ∴1c =. ………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得111n nS S n n+-=+（1,2,3,...n =）. ∴数列{}n S n 为首项是11S，公差为1的等差数列. ………………………………………8分∴1(1)11n S Sn n n =+-⋅=.∴2n S n =. ………………………………………10分当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-. ………………………………………12分当1n =时，上式也成立. ………………………………………13分 ∴21n a n =-（1,2,3,...n =）.（16）（本小题共13分）解：（Ⅰ）该间教室两次检测中，空气质量均为A 级的概率为3394416?.………………………………2分该间教室两次检测中，空气质量一次为A 级，另一次为B 级的概率为31324816创=. …………………………………4分设“该间教室的空气质量合格”为事件E .则 …………………………………5分()33313244484P E =?创=. …………………………………6分答：估计该间教室的空气质量合格的概率为34.（Ⅱ）由题意可知，ξ的取值为0，1，2，3，4. …………………………………7分()443C )4i ii P i ξ-==3（）（1-4()0,1,2,3,4i =. 随机变量ξ的分布列为：ξ0 1 2 3 4P1256 364 27128 2764 81256…………………………………12分解法一： ∴132********+3432566412864256E ξ=??创+?. …………………………………13分解法二： 344B ξ～（，），∴3434E ξ=?. …………………………………13分（17）（本小题共14分）（Ⅰ）证明：设BC 的中点为M .在斜三棱柱111ABC A B C -中，点1B 在底面ABC 上的射影恰好是BC 的中点, 1B M ∴⊥平面ABC. ……………………1分AC Ì平面ABC ，1B M AC ∴⊥. ……………………2分90ACB ∠=︒，∴BC AC ⊥.1B M BC M = ，∴AC ⊥平面11B C CB . ……………………4分AC ⊂平面11ACC A ，∴平面11ACC A ⊥平面11B C CB . ………………………………………5分解法一：（Ⅱ）连接1B C ， AC ⊥平面11B C CB ，1B C ∴是直线1AB 在平面11B C CB 上的射影. ………………………………………5分1BC CC =，MB 1C 1A 1CBA∴四边形11B C CB 是菱形.11B C BC ∴⊥. ………………………………………7分 11AB BC ∴⊥. ………………………………………9分（Ⅲ）过点B 作1BH AB ⊥交1AB 于点H ，连接1C H .11AB BC ⊥ ，1AB ∴⊥平面1BHC . 11AB C H ∴⊥.1BHC ∴∠是二面角11B AB C --的平面角.设2BC =，则12,BC CA AA === 1,B M BC BM MC ⊥=，112B C B B ∴==. 112BB B C BC ∴===. 160.B B C ∴∠=︒ 1120BCC ∴∠=︒. 1BC ∴=.AC ⊥ 平面1BC ，1B C Ì平面1BC ，1AC B C ∴⊥.1B A ∴=.在1BB A ∆中，可求2BH =. ∵11111,B B B C B H B H ==，∴111Rt Rt BB H C B H ∆≅∆.∴12C H BH ==. 11414125cos 7BHC +-∴∠==-. ………………………………………13分15arccos 7BHC π∴∠=-.∴二面角11B AB C --的大小为5arccos 7π-. ………………………………………14分解法二：（Ⅱ）因为点1B 在底面ABC 上的射影是BC 的中点，设BC 的中点为O ，则1B M ⊥平面ABC.以O 为原点，过O 平行于CA 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，1OB 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.1MHB 1C 1A 1CBA设11BC CA AA ===，由题意可知，1111(0,,0),(0,,0),(1,,0)222B C B A --. 设1(,,)C x y z ，由11BC B C =，得1(0,C -………………………………………7分13(0,2BC ∴=- .又11(1,2AB =-.111310022AB BC ⎛⎫∴⋅=-⨯+⨯-= ⎪⎝⎭ 11AB BC ∴⊥.（Ⅲ）设平面1ABB 的法向量为111(,,1)x y =n .则1110,0.BA BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n∴1110,10.22x y y -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩1∴=n .设平面11AB C 的法向量为222(,,1)x y =n .则21210,0.AB AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n∴222210,2210.2x y x y ⎧-++=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩2∴=n . ………………………………………12分 1212125cos ,7⋅∴<>==n n n n n n . ………………………………………13分∴二面角11B AB C --的大小为5arccos 7π-. ………………………………………14分（18）（本小题共13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}x x a ≠． ………………………………………1分()()()()()2211x x x e x a e x a e f x x a x a -+⎡⎤--⋅⎣⎦'==--. ………………………………………3分由()0f x '>，解得1x a >+.由()0f x '<，解得1x a <+且x a ≠．∴()f x 的单调递增区间为()1,a ++∞，单调递减区间为(),a -∞，(),1a a +．（Ⅱ）由题意可知，0a <，且()xe f x x a =-在(],0a 上的最小值小于等于12时，存在实数(],0x a ∈，使得不等式()12f x ≤成立． ………………………………………7分若10a +<即1a <-时，x (),1a a + a +1()1,0a +()f x '- 0 + ()f x↘极小值↗∴()f x 在(],0a 上的最小值为()11a f a e ++=．则112a e+≤，得1ln 12a ≤-． ………………………………………10分若10a +≥即1a ≥-时，()f x 在(],0a 上单调递减，则()f x 在(],0a 上的最小值为()10f a=-．由112a -≤得2a ≤-（舍）． ………………………………………12分综上所述，1ln 12a ≤-． ………………………………………13分（19）（本小题共13分）解：（Ⅰ）由抛物线C :2y x =得抛物线的焦点坐标为1(,0)4，设直线l 的方程为：14x ny =+，()()1122,,,P x y Q x y . ………………………………………1分由2,14y x x ny ìï=ïïíï=+ïïî得2104y ny --=. 所以210n ∆=+>，12y y n +=.因为112211,44x ny x ny =+=+， …………………………………3分所以()12121211112442PQ x x x x n y y =+++=++=++=. 所以21n =.即1n = .所以直线l 的方程为：104x y --=或104x y +-=. ………………………………………5分（Ⅱ）设0:(0)l x my x m =+≠，1122(,),(,)P x y Q x y ，则22(,)M x y -.由02,x my x y x=+⎧⎨=⎩得200y my x --=. 因为018x ≥，所以2040m x ∆=+>，12120,y y m y y x +==-. ……………………………………7分（ⅰ）设(,0)B B x ，则2211(,),(,)B B BM x x y BP x x y =--=-.由题意知：BM ∥BP，211122B B x y y x x y x y ∴-=-+.即2212122112211212()()B y y x x y x y y y y y y y y y +=+=+=+.显然1212000,.(,0).B y y m x y y x B x +=≠∴==-∴- ………………………………………9分（ⅱ）由题意知：BMQ ∆为等腰直角三角形，1PB k ∴=，即12121y y x x +=-，即1222121y y y y +=-. 2212121201. ()4 1. 41y y y y y y m x ∴-=∴+-=∴+=. 20140m x ∴=->.014x ∴<. 018x ≥，01184x ∴≤<. ………………………………………11分1)2d ∴====. 即d的取值范围是1[)122. ………………………………………13分（20）（本小题共14分）解：（Ⅰ）取1==y x ，得(111)(1)(1)(11)(11)f f f f f -+=?-?，即22(1)(1)(0)f f f =+.因为(1)1f =，所以(0)0f =. ………………………………………1分取0==y x ，得21(1)(1)f f ==-.因为)1(1)1(->=f f ，所以(1)1f -=-. 取2,0==y x ，得(3)(0)(2)(1)(1)f f f f f =?- ，所以(3)1f =-.………………………………………3分（Ⅱ）在)1()1()()()1(--+=+-y f x f y f x f x y f 中取1=y 得)()2(x f x f =-. 所以(1)(1)f x f x +=-.在)1()1()()()1(--+=+-y f x f y f x f x y f 中取x y =，得1)1()(22=-+x f x f .在)1()1()()()1(--+=+-y f x f y f x f x y f 中取0x =，得(1)(0)()(1)(1)(1)f y f f y f f y f y +=+--=--.11 所以(2)0f -=.在)1()1()()()1(--+=+-y f x f y f x f x y f 中取1y =-，得()()(1)(1)(2)f x f x f f x f -=-+--.所以()()f x f x -=-.在)1()1()()()1(--+=+-y f x f y f x f x y f 中取y x =-，得()()()()()1211f x f x f x f x f x -=-+---()()()211f x f x f x =---+()()()()()()222211112f x f x f x f x f x f x =----=-+-=-. 所以211(12)()22f x f x -+=对任意实数x 均成立. 所以211(16)(3)22f x f x -+=. ………………………………………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知)()2(x f x f =-，2|)2()(|≤++-+∴B Ax x f x f 2|)(2|≤++⇔B Ax x f在2|)(2|≤++B Ax x f 中，取1-=x ，得222≤+--≤-B A ，即222A B -?- ① 取1=x ，得222≤++≤-B A ②取3=x ，得2322≤++-≤-B A ，即2232A B -?- ③②+①得0≤A ，②+③得0≥A .∴0=A .将0=A 代入①得0≥B .将0=A 代入②得0≤B .∴0=B .由（Ⅱ）知1)1()(22=-+x f x f ，所以|()|1f x £对一切实数x 成立.故当0==B A 时，2|)(2|≤++B Ax x f 对一切实数x 成立. ∴存在常数0==B A ，使得不等式2|)2()(|≤++-+B Ax x f x f 对一切实数x 成立，且0==B A 为满足题设的唯一一组值. ………………………………………14分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。

北京市海淀区2010届高三上学期期末物理答案完全解析

海淀区高三年级2009~2010学年第一学期期末练习物理参考答案及评分标准2010．1一、本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项是正确的，有的小题有多个选项是正确的．全部选对的得3分，选对但不全的得２分，有选错或不答的得0分．1. D 【解析】库仑定律122q q F kr=，另外，两球接触后平分电荷． 2. C 【解析】线圈产生的磁场类比条形磁铁，上端为S 极，下端为N 极． 3. ABD 【解析】降压变压器副线圈两端有效值为220V ，通过0R 的电流的有效值为20A ．由于输电线有电阻，故升压变压器T 1的输出电压大于降压变压器T 2的输入电压． 4. BD 【解析】Q CU =，要使Q 增大，可增大C 或U ．5. AD 【解析】注意对电动机不能应用欧姆定律．电动机消耗的总功率为UI ，电动机消耗的热功率为2I R ，电源的输出功率为UI ，电源的效率为211I r IrEI E-=-．6. BC 【解析】开关S 断开或闭合时，电路中电流会发生突变，另外，由于自感现象的存在，电流会逐渐变化，最终达到稳定．7. D 【解析】磁场对线框的作用力F 方向始终向左，选D.8. BD 【解析】在线段M N 上只有一点的磁感应强度为零，该点为O 点，O 点左侧磁感应强度方向向下，右侧磁感应强度方向向上．9. D 【解析】无法判断场强方向，A 错；电荷沿x 轴从0移到x 1的过程中，可能受电场力的作用，但电场力不做功，B 错；正电荷沿x 轴从x 2移到x 3的过程中，电场力做负功，电势能增大，C 错；D 对．10. AC 【解析】设电子刚好能从极板右端飞出时，板间电压为U ，则l v t =，2122d eU t dm=⋅⋅，得到222md v U el =，可见A 对B 错．当2222m md v U el=时，有12m U U =，则30t ω=︒，有电子从极板右端射出的时间与无电子从极板右端射出的时间之比为30190302︒=︒-︒，C 对D错．二、本题共2小题，共14分．把答案填在题中的横线上． 11．（共7分）【解析】（1）D （2分）小灯泡电阻 3.8V12.7A 0.3AU R I ===，故选用1⨯档位。

北京市海淀区2010届高三第一学期期末考试_物理

海淀区高三年级2009—2010学年第一学期期末练习物理 2010.1一、本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项是正确的，有的小题有多个选项是正确的。

全部选对的得3分，选对但不全的得２分，有选错或不答的得０分。

把你认为正确答案的代表字母填写在题后的括号内。

1．使两个完全相同的金属小球（均可视为点电荷）分别带上-3Q 和+5Q 的电荷后，将它们固定在相距为a 的两点，它们之间库仑力的大小为F 1。

现用绝缘工具使两小球相互接触后，再将它们固定在相距为2a 的两点，它们之间库仑力的大小为F 2。

则F 1与F 2之比为（）A ．2：1B ．4：1C ．16：1 D ．60：12．如图1所示，线圈两端与电阻相连构成闭合回路，在线圈上方有一竖直放置的条形磁铁，磁铁的S 极朝下。

在将磁铁的S 极插入线圈的过程中（）A ．通过电阻的感应电流的方向由a 到b ，线圈与磁铁相互排斥B ．通过电阻的感应电流的方向由a 到b ，线圈与磁铁相互吸引C ．通过电阻的感应电流的方向由b 到a ，线圈与磁铁相互排斥D ．通过电阻的感应电流的方向由b 到a ，线圈与磁铁相互吸引3．某小型水电站的电能输送示意图如图2所示，发电机通过升压变压器T 1和降压变压器T 2向用户供电。

已知输电线的总电阻为R ，降压变压器T 2的原、副线圈匝数之比为4∶1，降压变压器副线圈两端交变电压u ＝t V ，降压变压器的副线圈与阻值R 0=11Ω的电阻组成闭合电路。

若将变压器视为理想变压器，则下列说法中正确的是（）A ．通过R 0电流的有效值是20AB ．降压变压器T 2原、副线圈的电压比为4：1C ．升压变压器T 1的输出电压等于降压变压器T 2的输入电压D ．升压变压器T 1的输出功率大于降压变压器T 2的输入功率4．平行板电容器C 与三个可变电阻器R1、R2、R3以及电源连成如图3所示的电路。

海淀区2009-2010学年第一学期期末高三数学(理科)试题

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2010.1一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．函数1(0)y x x x=+>的值域为A ．[)2,+∞B ．(2,)+∞C ．(0,)+∞D ．(][),22,-∞-+∞2．如图，PAB 、PC 分别是圆O 的割线和切线（C 为切点），若3PA AB ==，则PC 的长为A． B ．6 C．D ．33．已知双曲线2213y x -=，那么它的焦点到渐近线的距离为A ．1BC ．3D ．44．已知,m n 为两条不同直线，,αβ为两个不同平面，那么使//m α成立的一个充分条件是A ．//,//m βαβB ．,m βαβ⊥⊥C ．,,m n n m αα⊥⊥⊄D ．m 上有不同的两个点到α的距离相等5．先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为A ．16 B ．15C ．13D ．256．如图，向量-a b 等于 A ．1224--e e B ．1242--e e C ．123-e eD ．123-+e e7．某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开三个班.选课结束后，有四名同学要求改修数学，但每班至多可再接收2名同学，那么不同的分配方案有 A ．72种 B ．54种 C ．36种 D ．18种8．点P 在曲线C ：2214x y +=上，若存在过P 的直线交曲线C 于A 点，交直线l ：4x =于B 点，满足PA PB =或PA AB =，则称点P 为“H 点”，那么下列结论正确的是 A ．曲线.C .上的所有点都是“H 点” B ．曲线C 上仅有有限个点是“H 点” C ．曲线C 上的所有点都不是“H 点”D ．曲线C 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“H 点”第II 卷（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．若直线l 的参数方程为1 23x t t y t =+⎧⎨=-⎩，（为参数），，则直线l 的斜率为_______________.10．阅读右图所示的程序框图，若运行该程序后输出的y 值为1，则输入的实数x 值为________________.11．一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为__________________.12．设关于x 的不等式2*2()x x nx n -<∈N 的解集中整数的个数为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则100S 的值为_______________________.13．在区间[0,2]上任取两个数,a b ，那么函数22()f x x ax b =++无零点的概率为_________.正视图侧视图俯视图14．考虑以下数列{}n a ，*n N ∈：① 21n a n n =++；② 21n a n =+；③ ln 1n na n =+. 其中满足性质“对任意正整数n ，212n nn a a a +++≤都成立”的数列有（写出满足条件的所有序号）；若数列{}n a 满足上述性质，且11a =，2058a =，则10a 的最小值为 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c C π=，5b =，ABC ∆的面积为（Ⅰ）求a ，c 的值；（Ⅱ）求sin()6A π+的值.16．（本小题满分13分）某地区教研部门要对高三期中数学练习进行调研，考察试卷中某道填空题的得分情况.已知该题有两空，第一空答对得3分，答错或不答得0分；第二空答对得2分，答错或不答得0分.第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的.从所有试卷中随机抽取1000份试卷，其中该题的得分组成容量为1000的样本，统计结果如下表：（Ⅰ）求样本试卷中该题的平均分，并据此估计这个地区高三学生该题的平均分；（Ⅱ）这个地区的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，以样本中各种得分情况的频率（精确到0.1）作为该同学相应的各种得分情况的概率.试求该同学这道题第一空得分不低于第二空得分的概率.17．（本小题满分13分）已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为棱第一空得分情况第二空得分情况BC ，AD 的中点. （Ⅰ）求证：DE ∥平面PFB ；（Ⅱ）已知二面角P -BF -CP -ABCD 的体积.18.（本小题满分13分）已知函数2()1x af x x +=+（其中a R ∈）.（Ⅰ）若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线为12y x b =+，求实数,a b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.19．（本小题满分14分）已知抛物线:W 2y ax =经过点A (2,1)，过A 作倾斜角互补的两条不同直线12,l l . （Ⅰ）求抛物线W 的方程及准线方程；（Ⅱ）当直线1l 与抛物线W 相切时，求直线2l 与抛物线W 所围成封闭区域的面积；（Ⅲ）设直线12,l l 分别交抛物线W 于B ，C 两点（均不与A 重合），若以线段BC 为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC 的方程.20．（本小题满分14分）给定项数为m *(,3)m N m ∈≥的数列{}n a ，其中{0,1}i a ∈(1,2,,)i m = .若存在一个正整数(21)k k m ≤≤-，若数列{}n a 中存在连续的k 项和该数列中另一个连续的k 项恰好按次序对应相等，则称数列{}n a 是“k 阶可重复数列”，例如数列{}n a0,1,1,0,1,1,0.ABECPD F因为1234,,,a a a a 与4567,,,a a a a 按次序对应相等，所以数列{}n a 是“4阶可重复数列”. （Ⅰ）分别判断下列数列①{}:0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0.n b ②{}:1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1.n c 是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；（Ⅱ）若数为m 的数列{}n a 一定是 “3阶可重复数列”，则m 的最小值是多少？说明理由；（III ）假设数列{}n a 不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项m a 后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且41a ，求数列{}n a 的最后一项m a 的值.海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理）参考答案及评分标准 2010．1说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） 9．3- 10．34 11．2412π+ 12．10100 13．3414．②③;28 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知，3C π=，5b =，因为 1s i n 2ABC S ab C ∆= ，即 115s i n23a π⋅ ， ………………..1分解得 8a = .………………..3分由余弦定理可得:2642580cos493c π=+-=, ………………..5分所以 7c =. ………………..7分（Ⅱ）由（Ⅰ）有4925641cos 707A +-==,………………..9分由于A 是三角形的内角，易知 sin A = ………………..10分所以 s i n ()s i nc o sc o s s i n666A A A πππ+=+ ………………..11分1172=+⨯1314= . ………………..13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设样本试卷中该题的平均分为x ，则由表中数据可得: 01983802069823023.011000x ⨯+⨯+⨯+⨯== ，……………….4分据此可估计这个地区高三学生该题的平均分为3.01分.……………….5分（Ⅱ）依题意，第一空答对的概率为0.8，第二空答对的概率为0.3，……………….7分记“第一空答对”为事件A ，“第二空答对”为事件B ，则“第一空答错”为事件A ， “第二空答错”为事件B .若要第一空得分不低于第二空得分，则A 发生或A 与B 同时发生，……………….9分故有： ()()0.80.20.70.94P A P A B +⋅=+⨯= .……………….12分答：该同学这道题第一空得分不低于第二空得分的概率为0.94. ……………….13分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为E ，F 分别为正方形ABCD 的两边BC ，AD 的中点，所以BE FD ∥,所以，BEDF 为平行四边形,……………….2分得//ED FB ，……………….3分又因为FB ⊂平面PFB ，且ED ⊄平面PFB ,……………….4分所以DE ∥平面PFB .……………….5分（Ⅱ）如图，以D 为原点，射线DA ,DC ,DP 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系.设PD =a , 可得如下点的坐标：P (0,0,a ),F (1,0,0),B (2,2,0) 则有：(1,0,),(1,2,0),PF a FB =-=因为PD ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)=m ，设平面PFB 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则可得=0PF FB ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩n n即+2=0 x a zx y-=⎧⎨⎩令x=1,得11,2z ya==-，所以11(1,,)2a=-n. ……………….9分由已知，二面角P-BF-C:1cos<,>||||⋅===m nm nm n, ……………….10分解得a =2. ……………….11分因为PD是四棱锥P-ABCD的高，所以，其体积为182433P ABCDV-=⨯⨯=. ……………….13分18.（本小题满分13分）解：由2()1x af xx+=+，可得222()(1)x x af xx+-'=+. ……………….2分（Ⅰ）因为函数()f x在点(1,(1))f处的切线为12y x b=+，得:1(1)21(1)2ff b⎧'=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩……………….4分解得112ab=⎧⎪⎨=⎪⎩……………….5分（Ⅱ）令()0f x'>，得220x x a+->…①……………….6分当440a∆=+≤，即1a≤-时，不等式①在定义域内恒成立，所以此时函数()f x的单调递增区间为(,1)-∞-和(1,)-+∞. ……………….8分当440a∆=+>，即1a>-时，不等式①的解为1x>-+1x<-……………….10分又因为1x≠-，所以此时函数()f x的单调递增区间为(,1-∞-和(1)-+∞，单调递减区间为(11)--和(1,1--..……………….12分所以，当1a ≤-时，函数()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和(1,)-+∞；当1a >-时，函数()f x的单调递增区间为(,1-∞-和(1)-+∞，单调递减区间为(11)--和(1,1--..……………….13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由于A (2,1)在抛物线2y ax =上，所以 14a =，即14a =. ……………….2分故所求抛物线的方程为214y x =，其准线方程为1y =-. ……………….3分（Ⅱ）当直线1l 与抛物线相切时，由21x y ='=，可知直线1l 的斜率为1，其倾斜角为45︒，所以直线2l 的倾斜角为135︒，故直线2l 的斜率为1-，所以2l 的方程为3y x =-+ …….4分将其代入抛物线的方程214y x =，得 24120x x +-=, 解得 122,6x x ==-, …….5分所以直线2l 与抛物线所围成封闭区域的面积为:2222266611(3)d d (3)d 44x x x x x x x ----+-=-+-⎰⎰⎰ ……………….6分 223611(3)212x x x -=-+-643=……………….8分（Ⅲ）不妨设直线AB 的方程为1(2) (0)y k x k -=->，……………….9分由21(2)14y k x y x -=-⎧⎪⎨=⎪⎩ 得24840x kx k -+-=, ……………….10分易知该方程有一个根为2，所以另一个根为42k -，所以点B 的坐标为2(42,441)k k k --+, 同理可得C 点坐标为2(42,441)k k k --++,……………….11分所以||BC=, ……………….12分线段BC 的中点为2(2,41)k -+，因为以BC 为直径的圆与准线1y =-相切，所以 241(1)2k +--=,由于0k >，解得 k =. …………….13分此时，点B 的坐标为2,3-，点C 的坐标为(2,3-+，直线BC 1=-，所以，BC 的方程为(3[2)]y x --=--，即10x y +-=. …….14分 20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）记数列①为{}n b ，因为23456,,,,b b b b b 与678910,,,,b b b b b 按次序对应相等，所以数列①是“5阶可重复数列”，重复的这五项为0,0,1,1,0;记数列②为{}n c ，因为12345,,,,c c c c c 、23456,,,,c c c c c 、34567,,,,c c c c c 、45678,,,,c c c c c 、 56789,,,,c c c c c 、678910,,,,c c c c c 没有完全相同的，所以{}n c 不是“5阶可重复数列”.……………….3分（Ⅱ）因为数列{}n a 的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有328=种不同的情形.若m ＝11，则数列{}n a 中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为11的数列{}n a 一定是“3阶可重复数列”；若m ＝10，数列0,0,1,0,1,1,1,0,0,0不是“3阶可重复数列”；则310m ≤<时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列{}n a .所以，要使数列{}n a 一定是“3阶可重复数列”，则m 的最小值是11. ……………….8分（III ）由于数列{}n a 在其最后一项m a 后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，即在数列{}n a 的末项m a 后再添加一项01或，则存在i j ≠，使得1234,,,,i i i i i a a a a a ++++与321,,,,0m m m m a a a a ---按次序对应相等，或1234,,,,j j j j j a a a a a ++++与321,,,,1m m m m a a a a ---按次序对应相等，11 如果1234,,,a a a a 与321,,,m m m m a a a a ---不能按次序对应相等，那么必有2,4i j m ≤≤-，i j ≠，使得123,,,i i i i a a a a +++、123,,,j j j j a a a a +++与321,,,m m m m a a a a ---按次序对应相等.此时考虑11,i j a a --和4m a -，其中必有两个相同，这就导致数列{}n a 中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列{}n a 是“5阶可重复数列”，这和题设中数列{}n a 不是“5阶可重复数列”矛盾！所以1234,,,a a a a 与321,,,m m m m a a a a ---按次序对应相等，从而4 1.m a a == ……………….14分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。

北京市海淀区高三数学上学期期末考试试题理(扫描版)新人教A版

北京市海淀区2014届高三数学上学期期末考试试题理（扫描版）新人教A版海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理）参考答案及评分标准2014．1阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由sin cos 0x x +≠得ππ,4x k k≠-∈Z . 因为cos2()2sin sin cos xf x x x x =++22cos sin 2sin sin cos x x x x x-=++-----------------------------------2分cos sin x x =+π)4x+，-------------------------------------4分因为在ABC ∆中，3cos 05A =-<，所以ππ2A <<，-------------------------------------5分所以4sin 5A ==,------------------------------------7分所以431()sin cos 555f A A A =+=-=.-----------------------------------8分9． 2 10．4511. (0,1)；412． 13 14．43；①②③（Ⅱ）由（Ⅰ）可得π())4f x x +,所以()f x 的最小正周期2πT =. -----------------------------------10分因为函数sin y x =的对称轴为ππ+,2x k k =∈Z,-----------------------------------11分又由πππ+,42x k k +=∈Z ,得ππ+,4x k k =∈Z , 所以()f x 的对称轴的方程为ππ+,4x k k =∈Z .----------------------------------13分16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由上图可得0.010.190.290.451a ++++=,所以0.06a =.--------------------------------3分（Ⅱ）由图可得队员甲击中目标靶的环数不低于8环的概率为0.450.290.010.75++=----------------------------------4分由题意可知随机变量X 的取值为：0,1,2,3.----------------------------------5分事件“X k =”的含义是在3次射击中，恰有k 次击中目标靶的环数不低于8环.3333()1(0,1,2,3)44kkk P X k C k -⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭----------------------------------8分即X 的分布列为所以X 的期望是1927279()0123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.------------------------10分（Ⅲ）甲队员的射击成绩更稳定.---------------------------------13分17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为底面ABCD 是菱形，AC BD O =,所以O 为,AC BD 中点.-------------------------------------1分又因为,PA PC PB PD ==,所以,P O A ⊥⊥,---------------------------------------3分所以PO ⊥底面A.----------------------------------------4分（Ⅱ）由底面ABCD 是菱形可得AC BD ⊥,又由（Ⅰ）可知,PO AC PO BD ⊥⊥. 如图，以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -.由PAC ∆是边长为2的等边三角形，PB PD ==，可得PO OB OD ===所以(1A C-.---------------------------------------5分所以(1CP =,(1AP =-.由已知可得13(,0,44O FOA A =+= -----------------------------------------6分设平面BDF 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,OB OF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,30.4x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 令1x =，则z =，所以(1,0,=n .----------------------------------------8分因为1cos 2||||CP CP CP ⋅<⋅>==-⋅n n n ，----------------------------------------9分所以直线CP 与平面BDF 所成角的正弦值为12，所以直线CP 与平面BDF 所成角的大小为30.-----------------------------------------10分（Ⅲ）设BMBPλ=(01)λ≤≤，则(1)CM CB BM CB BP λλ=+=+=-.---------------------------------11分若使CM ∥平面B D F ，需且仅需0CM ⋅=n 且CM ⊄平面B D F ，---------------------12分解得1[0,1]3λ=∈,----------------------------------------13分所以在线段PB 上存在一点M ，使得CM ∥平面BDF .此时BMBP=13.-----------------------------------14分 18.（本小题共13分）解：（Ⅰ）2e (2)(2)'()(e )e x x xa x a x f x ----==，x ∈R .------------------------------------------2分当1a =-时，()f x ,'()f x 的情况如下表：所以，当1a =-时，函数()f x 的极小值为2e --.-----------------------------------------6分（Ⅱ）(2)'()'()e xa x F x f x --==. ①当0a <时，(),'()F x F x 的情况如下表：--------------------------------7分因为(F =>,------------------------------8分若使函数()F x 没有零点，需且仅需2(2)10eaF =+>，解得2e a >-,-------------------9分所以此时2e 0a -<<；-----------------------------------------------10分 ②当0a >时，(),'()F x F x 的情况如下表：--------11分因为(2F F >>,且10110101110e 10e 10(1)0eea aaF a------=<<,---------------------------12分所以此时函数()F x 总存在零点.--------------------------------------------13分综上所述，所求实数a 的取值范围是2e 0a -<<. 19.（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意得1c =,---------------------------------------1分由12c a =可得2a =,------------------------------------------2分所以23b a c =-=,-------------------------------------------3分所以椭圆的方程为22143x y +=. ---------------------------------------------4分（Ⅱ）由题意可得点3(2,0),(1,)2A M -, ------------------------------------------6分所以由题意可设直线1:2l y x n =+,1n ≠.------------------------------------------7分设1122(,),(,)B x y C x y ，由221,4312x y y x n ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得2230x nx n ++-=.由题意可得2224(3)1230n n n ∆=--=->,即(2,2)n ∈-且1n ≠.-------------------------8分21212,3x x n x x n +=-=-.-------------------------------------9分因为1212332211MB MCy y k k x x --+=+-------------------------------------10分 121212121212131311222211111(1)(2)1()1x n x n n n x x x x n x x x x x x +-+---=+=++-----+-=+-++2(1)(2)102n n n n -+=-=+-， ---------------------------------13分所以直线,MB MC 关于直线m 对称. ---------------------------------14分20.（本小题共13分）解：（Ⅰ）①②③都是等比源函数. -----------------------------------3分（Ⅱ）函数()2x f x =+不是等比源函数. ------------------------------------4分证明如下：假设存在正整数,,m n k 且m n k <<，使得(),(),()f m f n f k 成等比数列， 2(21)(21)(21)n m k +=++，整理得2122222n n m k m k +++=++，-------------------------5分等式两边同除以2,m 得2122221n m n m k k m --+-+=++.因为1,2n m k m -≥-≥，所以等式左边为偶数，等式右边为奇数，所以等式2122221n m n m k k m --+-+=++不可能成立，所以假设不成立，说明函数()21x f x =+不是等比源函数.-----------------------------8分（Ⅲ）法1：因为*,b n ∀∈N ，都有(1)()g n g n d +-=，所以*,d b ∀∈N ，数列{()}g n 都是以(1)g 为首项公差为d 的等差数列. *,d b ∀∈N ，2(1),(1)(1),(1)(1)g g d g d ++成等比数列，因为(1)(1)(1)((1)11)[(1)1]g d g g d g g +=++-=+，2(1)(1)(1)(2(1)(1)11)[2(1)(1)1]g d g g g d d g g g d +=+++-=++，所以(1),[(1)1],[2(1)(1)1]g g g g g g d +++*{()|}g n n ∈∈N ，所以*,d b ∀∈N ，函数()g x dx b =+都是等比源函数.-------------------------------------------13分（Ⅲ）法2：因为*,b n ∀∈N ，都有(1)()g n g n d +-=，所以*,d b ∀∈N ，数列{()}g n 都是以(1)g 为首项公差为d 的等差数列. 由2()(1)()g m g g k =⋅，（其中1m k <<）可得2[(1)(1)](1)[(1)(1)]g m d g g k d +-=⋅+-，整理得(1)[2(1)(1)](1)(1)m g m d g k -+-=-，令(1)1m g =+，则(1)[2(1)(1)](1)(1)g g g d g k +=-，所以2(1)(1)1k g g d =++，所以*,d b ∀∈N ，数列{()}g n 中总存在三项(1),[(1)1],[2(1)(1)1]g g g g g g d +++成等比数列.所以*,d b ∀∈N ，函数()g x dx b =+都是等比源函数.-------------------------------------------13分。

北京市海淀区2010届高三一模(数学理)word版含答案

海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科） 2010.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．在复平面内，复数1iiz =-（i 是虚数单位）对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在同一坐标系中画出函数log a y x =，x y a =，y x a =+的图象，可能正确的是（）3．在四边形ABCD 中，AB DC = ，且AC·BD＝0，则四边形ABCD 是（）A.矩形B. 菱形C. 直角梯形D. 等腰梯形4．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1,.若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是（）A ．1,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．42,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．42,3π⎛⎫-⎪⎝⎭5．一个体积为则这个三棱柱的左视图的面积为（） A ． B ．8C ．D ．126．已知等差数列1,,a b ，等比数列3,2,5a b ++，则该等差数列的公差为（）A ．3或3-B ．3或1-C ．3D ．3-7．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是( )A ．1-B ．1B AC DC ．2D ．128．已知数列()1212:,,,0,3n n A a a a a a a n ≤<<<≥ 具有性质P ：对任意(),1i j i j n ≤≤≤，j i a a +与j i a a -两数中至少有一个是该数列中的一项. 现给出以下四个命题： ①数列0,1,3具有性质P ；②数列0,2,4,6具有性质P ；③若数列A 具有性质P ，则10a =；④若数列()123123,,0a a a a a a ≤<<具有性质P ，则1322a a a +=. 其中真命题有（） A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间,绘成频率分布直方图（如图）.则这100名同学中学习时间在6~8小时内的人数为 _______.10．如图，AB 为O 的直径，且8AB = ，P 为OA 的中点，过P 作O 的弦CD ，且:3:4CP PD =，则弦CD 的长度为 . 11．给定下列四个命题：①“6x π=”是“1sin 2x =”的充分不必要条件； ②若“p q ∨”为真，则“p q ∧”为真；A B③若a b <，则22am bm <； ④若集合A B A = ，则A B ⊆.其中为真命题的是（填上所有正确命题的序号）.12．在二项式25()ax x -的展开式中，x 的系数是10-，则实数a 的值为 .13．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且它们在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形.若110PF =，双曲线的离心率的取值范围为(1,2).则该椭圆的离心率的取值范围是 .14．在平面直角坐标系中，点集22{(,)|1}A x y x y =+≤，{(,)|4,0,,340}B x y x y x y =≤≥-≥，则（1）点集1111{(,)3,1,(,)}P x y x x y y x y A ==+=+∈所表示的区域的面积为_____；（2）点集12121122{(,),,(,),(,)}Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分）已知函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的图象如图所示. （Ⅰ）求,ωϕ的值；（Ⅱ）设()()()4g x f x f x π=-，求函数()g x 的单调递增区间.16．（本小题满分13分）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在A 区域返券60元；停在B 区域返券30元；停在C 区域不返券. 例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.（Ⅰ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X （元）.求随机变量X 的分布列和数学期望. 17．（本小题满分14分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，112,AA AC AC AB BC ====, 且AB BC ⊥,O 为AC 中点. （Ⅰ）证明：1AO ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求直线1A C 与平面1A AB 所成角的正弦值；（Ⅲ）在1BC 上是否存在一点E ，使得//OE 平面1A AB ，若不存在，说明理由；若存在，确定点E 的位置.18．（本小题满分13分）已知函数()ln ,f x x a x =+其中a 为常数，且1a ≤-.（Ⅰ）当1a =-时，求()f x 在2[e,e ]（e=2.718 28…）上的值域；（Ⅱ）若()e 1f x ≤-对任意2[e,e ]x ∈恒成立,求实数a 的取值范围.1A BCO A 1B 1C19．（本小题满分13分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且12||2F F =，点（1，32）在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，且2AF B ∆2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程.20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：10a =，21221,,12,,2n n n n a n n a a -+⎧⎪⎪=⎨++⎪⎪⎩为偶数为奇数，2,3,4,.n =（Ⅰ）求567,,a a a 的值；（Ⅱ）设212n n na b -=，试求数列{}n b 的通项公式；（Ⅲ）对于任意的正整数n ，试讨论n a 与1n a +的大小关系.海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理）参考答案及评分标准 2010．4说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9．30 10．7 11．①，④ 12．1 13．12(,)35 14．π；18π+.三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由图可知πππ=-=)42(4T ,22==Tπω， ………………2分又由1)2(=πf 得，1)sin(=+ϕπ，又(0)1f =-，得sin 1ϕ=-πϕ<||2πϕ-=∴， ………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：x x x f 2cos )22sin()(-=-=π………………6分因为()(cos 2)[cos(2)]cos 2sin 22g x x x x x π=---=1sin 42x =………………9分所以，24222k x k ππππ-≤≤+，即(Z)2828k k x k ππππ-≤≤+∈.……………12分故函数()g x 的单调增区间为[,] (Z)2828k k k ππππ-+∈.……………13分16．（本小题满分13分）解：设指针落在A ,B ,C 区域分别记为事件A ,B ,C .则111(),(),()632P A P B P C ===. ………………3分（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A 或B 区域.111()()632P P A P B ∴=+=+=………………6分即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是12. （Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次.随机变量X 的可能值为0，30，60，90，120.………………7分111(0);224111(30)2;23311115(60)2;263318111(90)2;369111(120).6636P X P X P X P X P X ==⨯===⨯⨯===⨯⨯+⨯===⨯⨯===⨯= ………………10分………………12分其数学期望115110306090120404318936EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= .………13分 17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：因为11A A AC =，且O 为AC 的中点，所以1AO AC ⊥. ………………1分又由题意可知，平面11AA C C ⊥平面ABC ，交线为AC，且1AO ⊂平面11AA C C ，所以1AO ⊥平面ABC .………………4分（Ⅱ）如图，以O 为原点，1,,OB OC OA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系. 由题意可知，112,A A AC AC ===又,AB BC AB BC =⊥1,1,2OB AC ∴== 所以得:11(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(1,0,0)O A A C C B -则有：11(0,1,(0,1(1,1,0).AC AA AB ===………………6分设平面1AA B 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则有110000AA y x y AB ⎧⎧⋅==⎪⎪⇔⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩n n ，令1y =，得1,x z =-=所以(1,1,=-n . ………………7分111cos ,|||A C A C A C ⋅<>==n n |n ………………9分因为直线1A C 与平面1A AB 所成角θ和向量n 与1A C所成锐角互余，所以sin θ=………………10分（Ⅲ）设0001(,,),,E x y z BE BC λ==………………11分即000(1,,)(1x y z λ-=-，得00012x y z λλ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩所以(1,2),E λλ=-得(1,2),OE λλ=-………………12分令//OE 平面1A AB ，得=0OE ⋅n ，………………13分即120,λλλ-++-=得1,2λ=即存在这样的点E ，E 为1BC 的中点.………………14分18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1a =-时，()ln ,f x x x =-得1()1,f x x '=-………………2分令()0f x '>，即110x->，解得1x >，所以函数()f x 在(1,)+∞上为增函数，据此，函数()f x 在2[e,e ]上为增函数，………………4分而(e)e 1f =-，22(e )e 2f =-，所以函数()f x 在2[e,e ]上的值域为2[e 1,e 2]--………………6分（Ⅱ）由()1,a f x x '=+令()0f x '=，得10,ax+=即,x a =-当(0,)x a ∈-时，()0f x '<，函数()f x 在(0,)a -上单调递减；当(,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 在(,)a -+∞上单调递增； ……………7分若1e a ≤-≤，即e 1a -≤≤-，易得函数()f x 在2[e,e ]上为增函数，此时，2max ()(e )f x f =，要使()e 1f x ≤-对2[e,e ]x ∈恒成立，只需2(e )e 1f ≤-即可，所以有2e 2e 1a +≤-，即2e e 12a -+-≤而22e e 1(e 3e 1)(e)022-+---+--=<，即2e e 1e 2-+-<-，所以此时无解.………………8分若2e e a <-<，即2e e a ->>-，易知函数()f x 在[e,]a -上为减函数，在2[,e ]a -上为增函数，要使()e 1f x ≤-对2[e,e ]x ∈恒成立，只需2(e)e 1(e )e 1f f ≤-⎧⎨≤-⎩，即21e e 12a a ≤-⎧⎪⎨-+-≤⎪⎩，由22e e 1e e 1(1)022-+--++--=<和222e e 1e e 1(e )022-+-+---=>得22e e 1e 2a -+--<≤.………………10分若2e a -≥，即2e a ≤-，易得函数()f x 在2[e,e ]上为减函数，此时，max ()(e)f x f =，要使()e 1f x ≤-对2[e,e ]x ∈恒成立，只需(e)e 1f ≤-即可，所以有e e 1a +≤-，即1a ≤-，又因为2e a ≤-，所以2e a ≤-.……………12分综合上述，实数a 的取值范围是2e e 1(,]2-+--∞.……………13分19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设椭圆的方程为22221,(0)x y a b a b+=>>，由题意可得：椭圆C 两焦点坐标分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ..……………1分532422a ∴==+=..……………3分2,a ∴=又1c = 2413b =-=，……………4分故椭圆的方程为22143x y +=. .……………5分（Ⅱ）当直线l x ⊥轴，计算得到：33(1,),(1,)22A B ---，21211||||32322AF B S AB F F ∆=⋅⋅=⨯⨯=，不符合题意..……………6分当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：(1)y k x =+，由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得 2222(34)84120k x k x k +++-=， .……………7分显然0∆>成立，设1122(,),(,)A x y B x y ，则221212228412,,3434k k x x x x k k-+=-⋅=++ .……………8分又||AB =即2212(1)||34k AB k +==+， .……………9分又圆2F的半径r ==.……………10分所以22221112(1)12|||2234347AF Bk k S AB r k k ∆+==⨯==++ 化简，得4217180k k +-=，即22(1)(1718)0k k -+=，解得1k =±所以，r ==.……………12分故圆2F 的方程为：22(1)2x y -+=. .……………13分（Ⅱ）另解：设直线l 的方程为 1x ty =-，由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得 22(43)690t y ty +--=，0∆>恒成立，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122269,,4343t y y y y t t+=⋅=-++ ……………8分所以12||y y -===.……………9分又圆2F的半径为r ==，.……………10分所以212121221||||||2437AF BS F F y y y y t ∆=⋅⋅-=-==+，解得21t =，所以r ==……………12分故圆2F 的方程为：22(1)2x y -+=. .……………13分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵ 10a =，21121a a =+=，31222a a =+=，42123a a =+=， ∴ 52325a a =+=；63125a a =+=；73428a a =+=. ………………3分（Ⅱ）由题设，对于任意的正整数n ，都有：12121111221222n n n n n n n a a b b +--++++===+， ∴ 112n n b b +-=.∴ 数列{}n b 是以1211102a b -==为首项，12为公差的等差数列. ∴ 12n n b -=. …………………………………………………………7分（Ⅲ）对于任意的正整数k ，当2n k =或1,3n =时，1n n a a +<；当41n k =+时，1n n a a +=；当43n k =+时，1n n a a +>. ……………………………………8分证明如下：首先，由12340,1,2,3a a a a ====可知1,3n =时，1n n a a +<；其次，对于任意的正整数k ，2n k =时，()()122112120n n k k k k a a a a a k a k ++-=-=+-++=-<；…………………9分41n k =+时，14142n n k k a a a a +++-=-()()()()2212212121222222122120k k k k k k k a a k a a k a k a ++=++-+=+-=++-++=所以，1n n a a +=.…………………10分43n k =+时，14344n n k k a a a a +++-=-()()()()()21222122112221221222121221241k k k k k k k k k a a k a a k k a a k a a ++++++=++-+=++-=++++-+=+-+事实上，我们可以证明：对于任意正整数k ，1k k k a a ++≥（*）（证明见后），所以，此时，1n n a a +>. 综上可知：结论得证.…………………12分对于任意正整数k ，1k k k a a ++≥（*）的证明如下： 1）当2k m =（*m ∈N ）时，()()12212212120k k m m m m k a a m a a m a m a m +++-=+-=++-++=>，满足（＊）式。

北京市海淀区高三数学上学期期末考试试题理(含解析)

北京市海淀区2016届高三年级第一学期期末练习数学（理科）2016.1本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知(1i)i 1i(b b +=-+∈R)，则b 的值为A.1B.1-C. iD.i - 【考点】复数乘除和乘方【试题解析】因为（1+bi ）i=i+bi =-b+i=-1+i ，所以【答案】A2. 抛物线24x y =的准线与y 轴的交点的坐标为A. 1(0,)2- B.(0,1)- C.(0,2)- D.(0,4)-【考点】抛物线【试题解析】抛物线的准线方程为：所以与轴的交点的坐标为（0，-1）。

【答案】B3. 如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若ADAC AE λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ-的值为A. 3B.2C. 1D.3- 【考点】平面向量的几何运算【试题解析】因为E 为DC 的中点，所以【答案】D4. 某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a 值为1，则输EA BCD输出输入开始结束是否出的a 值为A.1B.2C.3D.5【考点】算法和程序框图【试题解析】由题知：a=1，i=1，a=2-1=1，i=2，否；a=3，i=3，否；a=6-3=3，i=4，是，则输出的a 为3．【答案】C5. 已知数列12345:,,,,A a a a a a ，其中{1,0,1},1,2,3,4,5i a i ∈-=, 则满足123453a a a a a ++++=的不同数列A 一共有A. 15个B.25个C.30个D.35个【考点】数列综合应用【试题解析】由题知：若，则中可能有3个1，2个0或有4个1，1个-1．所以数列共有：个。

【答案】A6. 已知圆22(2)4C x y -+=：, 直线1:3l y x =，2:1l y kx =- 若12,l l 被圆C 所截得的弦的长度之比为1:2，则k 的值为 A. 3 B.1 C. 12D.3【考点】复数乘除和乘方【试题解析】圆圆心为（2，0），半径为2，圆心到的距离为所以被圆所截得的弦长为：圆心到的距离为所以被圆所截得的弦长为：4，所以所以【答案】C7. 若,x y满足+20,40,0,x yx yy-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则2||z y x=-的最大值为A.8- B.4- C.1 D.2【考点】线性规划【试题解析】作可行域：A(-2，0)，B(4，0)，C(1，3)，D（0，2）由图知：目标函数过点D时，目标函数值最大，为【答案】D8. 已知正方体''''ABCD A B C D-，记过点A 与三条直线,,'AB AD AA所成角都相等的直线条数为m, 过点A与三个平面．．',,'AB AC AD所成角都相等的直线的条数为n，则下面结论正确的是A. 1,1m n== B. 4,1m n==C. 3,4m n== D. 4,4m n==【考点】立体几何综合点线面的位置关系【试题解析】连接，显然与所成角都相等。

海淀区高三年级第一学期期末练习数学考试答案

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理）答案及评分参考2011．1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分） 9． 222x y x += (1,0) 10． 180 11． 512． M P N e e e << 13．① ④ 14． 4 32 (1)2 3 (01)k kk k ⎧+≥⎪⎨⎪+<<⎩ 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（共12分）解：（I ） x x x f 2cos )32cos()(--=πx x x 2cos 3sin2sin 3cos2cos -+=ππ .......................................2分x x 2cos 212sin 23-=)62si n(π-=x . .......................................4分)2,0(π∈x Θ，)65,6(62πππ-∈-∴x ， .......................................5分]1,21()62sin(-∈-∴πx ，即)(x f 在(0,2π）的值域为]1,21(- . .......................................6分（II ）由（I ）可知，)62sin()(π-=A A f ，1)62sin(=-∴πA ， ......................................7分π<<A 0Θ ， 611626πππ<-<-∴A ， .....................................8分 3,262πππ==-∴A A . ....................................9分A bc c b a cos 2222-+=Θ ， .....................................10分把3a b ==代入，得到2320c c -+=， ..................................11分1=∴c 或2=c . ....................................12分 16.（共13分）解：（I ）方法一设选手甲在A 区投两次篮的进球数为X ，则)109,2(~B X ，故591092)(=⨯=X E ， ....................................... 2分则选手甲在A 区投篮得分的期望为6.3592=⨯ . ....................................... 3分设选手甲在B 区投篮的进球数为Y ，则)31,3(~B Y ，故1313)(=⨯=Y E ， ....................................... 5分则选手甲在B 区投篮得分的期望为313=⨯ . ....................................... 6分 36.3>Θ，∴选手甲应该选择A 区投篮. .......................................7分方法二：（I ）设选手甲在A 区投篮的得分为ξ，则ξ的可能取值为0，2，4，212291(0)(1)101009918(2)(1)1010100981(4)().10100P P C P ξξξ==-===⋅-====；；所以ξ的分布列为.......................................2分6.3=∴ξE .......................................3分同理，设选手甲在B 区投篮的得分为η，则η的可能取值为0，3，6，9，3123223318(0)(1);327114(3)(1);339112(6)()(1);33911(9)().327P P C P C P ηηηη==-===⋅-===-====所以η的分布列为：.......................................5分3E η∴=， .......................................6分ηξE E >Θ，∴选手甲应该选择A 区投篮. .......................................7分（Ⅱ）设选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分为事件C ，甲在A 区投篮得2分在B 区投篮得0分为事件1C ，甲在A 区投篮得4分在B 区投篮得0分为事件2C ，甲在A 区投篮得4分在B 区投篮得3分为事件3C ，则123C C C C =U U ，其中123,,C C C 为互斥事件. .......................................9分则： 12312318881881449()()= ()()()1002710027100975P C P C C C P C P C P C =++=⨯+⨯+⨯=U U 故选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率为4975..................................13分17. （共14分）解：（I ）Θ棱柱ABCD —1111A B C D 的所有棱长都为2，∴四边形ABCD 为菱形，AC BD ⊥ . .......................................1分又1A O ⊥平面ABCD, BD ⊂平面ABCD ，1AO BD ∴⊥ . .......................................2分又1AC AO O =Q I ，1,AC AO ⊂平面11ACC A ， ⊥∴BD 平面11ACC A ， .......................................3分⊂1AA Θ平面11ACC A ，∴ BD ⊥1AA . .......................................4分（Ⅱ）连结1BCΘ四边形ABCD 为菱形，AC BD O =IABC1B 1C 1A DF1D OO ∴是BD 的中点. ....................................... 5分又Θ点F 为1DC 的中点，∴在1DBC ∆中，1//BC OF ， .......................................6分 ⊄OF Θ平面11BCC B ，⊂1BC 平面11BCC B∴//OF 平面11BCC B .......................................8分（III ）以O 为坐标系的原点，分别以1,,OA OB OA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. Θ侧棱1AA 与底面ABCD 的所成角为60°，1A O ⊥平面ABCD ．ο601=∠∴AO A ，在AO A Rt 1∆中，可得11,AO AO == 在Rt AOB ∆中，OB ===得1(1,0,0),(0,A A D B ...............................10分设平面D AA 1的法向量为),,(1111z y x n =⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴0111AD n AA n )0,3,1(),3,0,1(1--=-=Θ111100x x ⎧-+=⎪∴⎨-=⎪⎩ 可设)1,1,3(1-=n .......................................11分又ΘBD ⊥平面11ACC A所以，平面11A ACC的法向量为2n OB ==u u r u u u r.......................................12分55353,cos 21-=⋅-=>=<∴n n , Θ二面角D —1AA —C 为锐角，故二面角D —1AA —C 的余弦值是55. ....................................14分18. （共13分）解：2211(21)()1(1)(1)a x ax a f x a x x x --+-'=--=+++，1x >-， .......................................2分（I ）由题意可得13(1)24af -'==-，解得3a =， ....................................3分因为(1)ln 24f =-，此时在点(1,(1))f 处的切线方程为(ln24)2(1)y x --=--，即2ln22y x =-+-，与直线:21l y x =-+平行，故所求a 的值为3. ....................4分（II ）令()0f x '=，得到1212,0x x a=-= ，由12a ≥可知120a-≤ ，即10x ≤. ................................5分 ① 即12a =时，12120x x a=-==. 所以,2'2()0,(1,)2(1)x f x x x =-≤∈-+∞+， ................................6分故()f x 的单调递减区间为(1,)-+∞ . ................................7分 ② 当112a <<时，1120a-<-<，即1210x x -<<=，所以，在区间1(1,2)a--和(0,)+∞上，'()0f x <； ...............................8分在区间1(2,0)a-上，'()0f x >. .................................9分故 ()f x 的单调递减区间是1(1,2)a --和(0,)+∞，单调递增区间是1(2,0)a -. .........10分③当1a ≥时，1121x a=-≤-，所以，在区间(1,0)-上()0f x '>； ................................11分在区间(0,)+∞上()0f x '< ， ...............................12分故()f x 的单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞. ............................13分综上讨论可得：当12a =时，函数()f x 的单调递减区间是(1,)-+∞；当112a <<时，函数()f x 的单调递减区间是1(1,2)a --和(0,)+∞，单调递增区间是1(2,0)a-；当1a ≥时，函数()f x 的单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞. 19. （共14分）解：（Ⅰ）抛物线22y px = (0)p >的准线为2px =-， .....................................1分由抛物线定义和已知条件可知||1()1222p pMF =--=+=，解得2p =，故所求抛物线方程为24y x =. 2880y y b +-= ......................................3分（Ⅱ）联立2124y x by x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消x 并化简整理得.依题意应有64320b ∆=+>，解得2b >-. ..............................................4分设1122(,),(,)A x y B x y ，则12128,8y y y y b +=-=-， .............................................5分设圆心00(,)Q x y ，则应有121200,422x x y yx y ++===-. 因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，得到圆半径为0||4r y ==， ........................6分又||AB =. 所以||28AB r ==， .........................................7分解得85b =-. .........................................8分所以12124822224165x x b y b y b +=-+-=+=，所以圆心为24(,4)5-. 故所求圆的方程为2224()(4)165x y -++=. ............................................9分方法二：联立2124y x b y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消掉y 并化简整理得22(416)40x b x b -++=，依题意应有2216(4)160b b ∆=+->，解得2b >-. ............................................4分设1122(,),(,)A x y B x y ，则21212416,4x x b x x b +=+= . .............................................5分设圆心00(,)Q x y ，则应有121200,422x x y yx y ++===-，因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，得到圆半径为0||4r y ==. .....................................6分又||AB =，又||28AB r ==8， .............................................7分解得85b =-， ..............................................8分所以12485x x +=，所以圆心为24(,4)5-. 故所求圆的方程为2224()(4)165x y -++=. .............................................9分（Ⅲ）因为直线l 与y 轴负半轴相交，所以0b <，又l 与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知2b >-，所以20b -<<，...........................................10分直线l ：12y x b =-+整理得220x y b +-=，点O 到直线l的距离d ， .................................................11分所以1||42AOB S AB d ∆==-= ..................................................12分令32()2g b b b =+，20b -<<，24()343()g b b b b b '=+=+，由上表可得()g b 最大值为432()327g -= . ...............................................13分所以当43b =-时，AOB ∆. ...............................................14分20．（共14分）解：（Ⅰ）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A =L ,{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>=L 不具有性质P ． ...................................1分因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到该集合中两个元素110b =与210b m =+，使得12b b m -=成立．...............2分集合{}*31,C x A x k k N =∈=-∈具有性质P ． ................................................3分因为可取110m =<，对于该集合中任意一对元素112231,31c k c k =-=-，*12,k k N ∈ 都有121231c c k k -=-≠． .....................................................................4分（Ⅱ）当1000n =时，则{}1,2,3,,1999,2000A =L①若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P ．...................5分首先因为{}2001T x x S =-∈，任取02001,t x T =-∈ 其中0x S ∈，因为S A ⊆，所以0{1,2,3,...,2000}x ∈，从而0120012000x ≤-≤，即,t A ∈所以T A ⊆. ...........................6分由S 具有性质P ，可知存在不大于1000的正整数m ，使得对S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠．对于上述正整数m ，从集合{}2001T x x S =-∈中任取一对元素11222001,2001t x t x =-=-，其中12,x x S ∈，则有1212t t x x m -=-≠,所以集合{}2001T x x S =-∈具有性质P ． .............................8分②设集合S 有k 个元素．由第①问知，若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P ．任给x S ∈，12000x ≤≤，则x 与2001x -中必有一个不超过1000，所以集合S 与T 中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，不妨设S 中有t 2k t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭个元素12,,,t b b b L 不超过1000．由集合S 具有性质P ，可知存在正整数1000m ≤，使得对S 中任意两个元素12,s s ，都有12s s m -≠，所以一定有12,,,t b m b m b m S +++∉L .又100010002000i b m +≤+=，故12,,,t b m b m b m A +++∈L , 即集合A 中至少有t 个元素不在子集S 中，因此2k k +≤2000k t +≤，所以20002kk +≤，得1333k ≤，当{}1,2,,665,666,1334,,1999,2000S =L L 时，取667m =，则易知对集合S 中任意两个元素12,y y ，都有12||667y y -≠，即集合S 具有性质P ，而此时集合Ｓ中有1333个元素．因此集合S 元素个数的最大值是1333． .....................................14分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。

(全优试卷)北京市海淀区高三上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2018.1第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1A. B. C.2）在极坐标系A. B. C. D.（3A.4B.5C.6D.7（4的曲线为双曲线”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（5A. B. C. D.（6）从编号分别为1,2,3,4,5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为A. B. C. D.（7）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：②三棱锥的四个面全是直角三角形所有正确的说法是A. ①B. ①②C. ②③D. ①③（8．．的是A.4个B.4个C. 4个D. 4个第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9的渐近线的距离是 .（10）已知公差为1100项和为 .（11（12）各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64:1，（13）长度的最小值为 .（14的取值范围是；的取值范围为 .三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）.（16）（本小题13分）据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器。

为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下（数值越小．．．．．．．，速度越快．，单位是MIPS）（Ⅰ）从品牌A的12次测试中，随机抽取一次，求测试结果小于7的概率；（Ⅱ）从12次测试中，随机抽取三次，记X为品牌A的测试结果大于品牌B的测试结果的次数，求X的分布列和数学期望E（X）；（Ⅲ）经过了解，前6次测试是打开含有文字和表格的文件，后6次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.（17）（本小题14分）如题1.将2.（图中未画出）的体积大小，并说明理由.（18）（本小题13分）.（19）（本小题14分）.（只需写出结论）（20）（本小题13分），，，.7项；（Ⅲ）求证:条件。

北京市海淀区2009届高三上学期期末考试数学(理)试题(WORD精校版)

北京市海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）2009.01．07一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.（1）已知全集U ，A B ⊆，那么下列结论中可能不成立的是（）（A ）A B A = （B ）A B B =（C ）()U A B ≠∅ ð （D ）()U B A =∅ ð（2）抛物线22y x =的准线方程为（）（A ）18y =- （B ）14y =-（C ）12y =- （D ）1y =- （3）将函数cos 2y x =的图象按向量(,1)4a π= 平移后得到函数()f x 的图象，那么（）（A ）()sin 21f x x =-+ （B ）()sin 21f x x =+ （C ）()sin 21f x x =-- （D ）()sin 21f x x =- （4）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果a c 3=，30B = ，那么角C 等于（）（A ）120° （B ）105° （C ）90° （D ）75° （5）位于北纬x 度的A 、B 两地经度相差90︒，且A 、B 两地间的球面距离为3R π（R 为地球半径），那么x 等于（）（A ）30 （B ） 45 （C ） 60 （D ）75 （6）已知定义域为R 的函数()f x ，对任意的R x Î都有1(1)()22f x f x +=-+恒成立，且1()12f =，则(62)f 等于（）（A ）1 （B ） 62 （C ） 64 （D ）83（7）已知{},1,2,3,4,5αβÎ，那么使得sin cos 0αβ?的数对(),αβ共有（）(A) 9个 (B) 11个 (C) 12个 (D) 13个（8）如果对于空间任意()2n n ³条直线总存在一个平面α，使得这n 条直线与平面α所成的角均相等，那么这样的n （）（A ）最大值为3 （B ）最大值为4 （C ）最大值为5 （D ）不存在最大值二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.（9）22462limn nn++++ = . （10）如果()1,10,1x f x x ì£ïï=íï>ïî，，那么()2f f 轾=臌；不等式()1212f x - 的解集是 .（11）已知点1F 、2F 分别是双曲线的两个焦点， P 为该双曲线上一点，若12PF F ∆为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为_____________.（12）若实数x 、y 满足20,,,x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩且2z x y =+的最小值为3，则实数b 的值为 .（13）已知直线0=++m y x 与圆222x y +=交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，||||OA OB AB +，那么实数m 的取值范围是 .（14）已知：对于给定的*q N Î及映射*:,N f A B B．若集合C A Í，且C 中所有元素对应的象之和大于或等于q ，则称C 为集合A 的好子集． ① 对于2q =，{},,A a b c =，映射:1,f x x A ，那么集合A 的所有好子集的个数为；② 对于给定的q ，{}1,2,3,4,5,6,A π=，映射:f A B ®的对应关系如下表： x1 2 3 4 5 6π ()f x11111yz若当且仅当C 中含有π和至少A 中2个整数或者C 中至少含有A 中5个整数时，C 为集合A 的好子集．写出所有满足条件的数组(),,q y z ：．三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. (15)（本小题共12分）已知函数22()sin )cos()cos 44f x x x x x ππ=++--. （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）求函数)(x f 在25,1236ππ轾犏-犏臌上的最大值和最小值并指出此时相应的x 的值.（16）（本小题共12分）已知函数)(x g 是2()(0)f x x x =>的反函数，点),(00y x M 、),(00x y N 分别是)(x f 、)(x g 图象上的点，1l 、2l 分别是函数)(x f 、)(x g 的图象在N M ,两点处的切线，且1l ∥2l ．（Ⅰ）求M 、N 两点的坐标；（Ⅱ）求经过原点O 及M 、N 的圆的方程．已知正三棱柱111C B A ABC -中，点D 是棱AB的中点，11,BC AA ==.（Ⅰ）求证：//1BC 平面DC A 1；（Ⅱ）求1C 到平面1A DC 的距离；（Ⅲ）求二面角1D AC A --的大小.（18）（本小题共14分）某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T （单位：年）有关. 若1≤T ，则销售利润为0元；若31≤<T ，则销售利润为100元；若3>T ，则销售利润为200元. 设每台该种电器的无故障使用时间1≤T ，31≤<T 及3>T 这三种情况发生的概率分别为321,,p p p ，又知21,p p 是方程015252=+-a x x 的两个根，且32p p =. （Ⅰ）求321,,p p p 的值；（Ⅱ）记ξ表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求ξ的分布列；（Ⅲ）求销售两台这种家用电器的销售利润总和的平均值.D C 1B 1A 1CBA已知点()0,1A 、()0,1B -，P 是一个动点，且直线PA 、PB 的斜率之积为12-. （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设()2,0Q ，过点()1,0-的直线l 交C 于M 、N 两点，QMN ∆的面积记为S ，若对满足条件的任意直线l ，不等式tan S MQN λ≤恒成立，求λ的最小值.如果正数数列{}n a 满足：对任意的正数M ，都存在正整数0n ，使得0n a M >，则称数列{}n a 是一个无界正数列．（Ⅰ）若()32si n ()1,2,3,n a n n =+= ， 1, 1,3,5,,1, 2,4,6,,2n n nb n n ⎧=⎪⎪=⎨+⎪=⎪⎩ 分别判断数列{}n a 、{}n b 是否为无界正数列，并说明理由；（Ⅱ）若2n a n =+，是否存在正整数k ，使得对于一切n k ≥，有1223112n n a a a n a a a ++++<- 成立；（Ⅲ）若数列{}n a 是单调递增的无界正数列，求证：存在正整数m ，使得122312009m m m a a a a a a +-+++< ．海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准 2009.01一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）CABAB DDA二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）（9）1 （10）1，[0,1] （111 （12）94（13）(2,- （14） 4，(5,1,3) 三、解答题（本大题共6小题,共80分） (15)（本小题共12分）解：（Ⅰ）22()sin )cos()cos 44f x x x x x ππ=++--2()cos 24x x π=+-2cos 2x x =-2sin(2)6x π=- ………………………………………………4分所以22T ππ==. ………………………………………………5分由()3222262Z k x k k πππππ+?? 得()536Z k x k k ππππ+＃+所以函数)(x f 的最小正周期为π，单调递减区间为5[,]36k k ππππ++()k ∈Z .………………………………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）有()2sin(2)6f x x π=-.因为25,1236x ππ轾犏?犏臌，所以112,639x πππ轾犏-?犏臌. 因为411sin()sin sin 339πππ-=<，所以当12x π=-时，函数)(x f 取得最小值-3x π=时，函数)(x f 取得最大值2.………………………………………………12分（16）（本小题共12分）解：（Ⅰ）因为2()(0)f x x x =>，所以()0)g x x =>.从而,2)(x x f ='()g x ¢=. ………………………………………………3分所以切线21,l l 的斜率分别为,2)(001x x f k ='=00221)(y y g k ='=.又2000(0)y x x =>，所以2012k x =. ………………………………………………4分因为两切线21,l l 平行，所以21k k =. ………………………………………………5分从而20(2)1x =. 因为00x >，所以012x =. 所以N M ,两点的坐标分别为)21,41(),41,21(. ………………………………………7分（Ⅱ）设过O 、M 、N 三点的圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=.因为圆过原点，所以0F =.因为M 、N 关于直线y x =对称，所以圆心在直线y x =上. 所以D E =.又因为11(,)24M 在圆上，所以512D E ==-. 所以过O 、M 、N 三点的圆的方程为：225501212x y x y +--=. ………………12分（17）（本小题共14分）（Ⅰ）证明：连结1AC 交1AC 于点G ，连结DG .在正三棱柱111C B A ABC -中，四边形11ACC A 是平行四边形， ∴1AG GC =. ∵AD DB =，GA 1A∴DG ∥1BC . ………………………………………2分 ∵DG ⊂平面1A DC ，1BC ⊄平面1A DC ，∴1BC ∥平面1A DC .………………………………………4分解法一：（Ⅱ）连结1DC ，设1C 到平面1A DC 的距离为h .∵四边形11ACC A 是平行四边形，∴111ACA A CC SS ∆∆=.∴111D ACA D A CC V V --=.∵1111138D ACA A ACD ACD V V S AA --∆==⋅=，∴1118C A CD V -=. ………………………………………6分在等边三角形ABC 中，D 为AB 的中点，∴CD CD AB =^. ∵AD 是1A D 在平面ABC 内的射影，∴1CD A D ^. ………………………………………8分∴112A DC DC DA S ∆⋅==.∴1113C A DC A DCV h S -∆==. ………………………………………9分（Ⅲ）过点D 作DE AC ⊥交AC 于E ，过点D 作1DF AC ⊥交1AC于F ，连结EF . ∵平面ABC ⊥平面11ACC A ，DE ⊂平面ABC ，平面ABC 平面11ACC A AC =， ∴DE ⊥平面11ACC A .∴EF 是DF 在平面11ACC A 内的射影.F ED C 1B 1A 1CBA∴1EF AC ⊥. ∴DFE Ð是二面角1D AC A --的平面角. ………………………………………12分在直角三角形ADC中，AD DC DE AC ×==. 同理可求：11A D DCDF A C×==∴sin 13DE DFE DF ==. ∵0,2DFEπ骣÷ç形÷ç÷ç桫，∴arcsin13DFE?. ………………………………………14分解法二：过点A 作AO BC ⊥交BC 于O ，过点O 作OE BC ⊥交11B C 于E .因为平面ABC ⊥平面11CBB C ，所以AO ⊥平面11CBB C .分别以,,CB OE OA 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.因为11,BC AA ==，ABC ∆是等边三角形，所以O 为BC的中点.则()0,0,0O，A ⎛ ⎝⎭，1,0,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，12A ⎛ ⎝⎭，1(,0,44D，112C ⎛⎫- ⎪⎝⎭. ………………………………………6分（Ⅱ）设平面1A DC 的法向量为(),,n x y z =，则10,0.n CD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∵3(4CD =，11(,2AC =- ，∴30,4410.22x zx z⎧+=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩取x=1A DC的一个法向量为)3n=-. ………………………………………8分∴1C到平面1A DC的距离为：1CC nn⋅=………………………………………10分(Ⅲ)解：同（Ⅱ）可求平面1ACA的一个法向量为)11n=-. …………………………12分设二面角1D AC A--的大小为θ，则1cos cos,n nθ=<>=.∵()0,θπ∈，∴arccos13θ=. ………………………………………14分（18）（本小题共14分）解：（Ⅰ）由已知得1321=++ppp.32pp=, ∴1221=+pp.21,pp是方程015252=+-axx的两个根,∴5321=+pp.∴511=p,5232==pp. ………………………………………3分（Ⅱ）ξ的可能取值为0，100，200，300，400. ………………………………………4分()0=ξP=2515151=⨯,()100=ξP=25452512=⨯⨯,()200=ξP=258525252512=⨯+⨯⨯,()300=ξP=25852522=⨯⨯,()400=ξP =2545252=⨯. ………………………………………9分随机变量ξ的分布列为：ξ 0 100200 300 400P251254258258254………………………………………11分（Ⅲ）销售利润总和的平均值为E ξ=2544002583002582002541002510⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=240. ∴销售两台这种家用电器的利润总和的平均值为240元.………………………………………14分注：只求出E ξ，没有说明平均值为240元，扣1分. （19）（本小题共14分）解：（Ⅰ）设动点P 的坐标为(),x y ，则直线,PA PB 的斜率分别是11,y y x x-+. 由条件得1112y y x x-+?-. 即()22102x y x += . 所以动点P 的轨迹C 的方程为()22102x y x += . ………………………………………5分注：无0x ¹扣1分. （Ⅱ）设点,M N 的坐标分别是()()1122,,,x y x y .当直线l 垂直于x 轴时，21212111,,2x x y y y ==-=-=. 所以()()()1122112,,2,2,QM x y QN x y x y =-=-=--.所以()22111722QM QNx y ?--=. ………………………………………7分当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为()1y k x =+,由221,2(1)x y y k x ìïï+=ïíïï=+ïî得()2222124220k x k x k +++-=. 所以 2122, 21422212221kk x x k k x x +-=+-=+. ………………………………………9分所以()()()12121212122224QM QN x x y y x x x x y y?--+=-+++.因为()()11221,1y k x y k x =+=+，所以()()()()2221212217131712422212QM QNk x x k x x k k ?++-+++=-<+ .综上所述⋅的最大值是217. ………………………………………11分因为tan S MQN λ≤恒成立,即1sin ||||sin 2cos MQNQM QN MQN MQNλ⋅≤ 恒成立. 由于()2171302212QM QNk ?->+ . 所以cos 0MQN >.所以2QM QN λ⋅≤恒成立. ………………………………………13分所以λ的最小值为174. ………………………………………14分注：没有判断MQN Ð为锐角，扣1分.（20）（本小题共14分）解：（Ⅰ）{}n a 不是无界正数列．理由如下：取M = 5，显然32sin()5n a n =+≤，不存在正整数0n 满足05n a >；{}n b 是无界正数列．理由如下：对任意的正数M ，取0n 为大于2M 的一个偶数，有0012122n n M b M ++=>>，所以{}n b 是无界正数列． ………………………………………4分（Ⅱ）存在满足题意的正整数k .理由如下：当3n ³时，因为12231n n a a a n a a a +⎛⎫-+++⎪⎝⎭ 32121231n n n a a a aa a a a a ++---=+++11111114534562n =+++≥++>+ ，即取3k =，对于一切n k ≥，有1223112n n a a a n a a a ++++<- 成立. ……………………9分注：k 为大于或等于3的整数即可.（Ⅲ）证明：因为数列{}n a 是单调递增的正数列，所以12231n n a a a n a a a +⎛⎫-+++⎪⎝⎭ 32121231n n n a a a aa a a a a ++---=+++32111211111111n n n n n n n n a a a a a a a a aa a a a a +++++++---->+++==- . 即12123111n n n a a a a n a a a a +++++<-+ . 因为{}n a 是无界正数列，取12M a =，由定义知存在正整数1n ，使1112n a a +>. 所以1112123112n n a a a n a a a ++++<- . 由定义可知{}n a 是无穷数列，考察数列11n a +，12n a +，13n a +，…，显然这仍是一个单调递增的无界正数列，同上理由可知存在正整数2n ，使得()112112122123112n n n n n n a a a n n a a a ++++++++<-- .重复上述操作，直到确定相应的正整数4018n .则401840181212140184017231111222n n a a a n n n n n a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<-+--++-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 40182009n =-.即存在正整数4018m n =，使得122312009m m m a a a a a a +-+++< 成立. ………………………………………14分。

海淀区0910学年第一学期期末高三数学理科试题参考答案

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理）参考答案及评分标准 2010．1说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） 9．3- 10．34 11．2412π+ 12．10100 13．3414．②③;28 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知，3C π=，5b =，因为 1sin 2ABC S ab C ∆= ，即 15sin 23a π⋅ ，………………..1分解得 8a = .………………..3分由余弦定理可得:2642580cos493c π=+-=, ………………..5分所以 7c =. ………………..7分（Ⅱ）由（Ⅰ）有4925641cos 707A +-==,………………..9分由于A 是三角形的内角，易知 sin A = ………………..10分所以 sin()sin cos cos sin 666A A A πππ+=+………………..11分1172+⨯1314= . ………………..13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设样本试卷中该题的平均分为x ，则由表中数据可得: 01983802069823023.011000x ⨯+⨯+⨯+⨯== ，……………….4分据此可估计这个地区高三学生该题的平均分为3.01分.……………….5分（Ⅱ）依题意，第一空答对的概率为0.8，第二空答对的概率为0.3，……………….7分记“第一空答对”为事件A ，“第二空答对”为事件B ，则“第一空答错”为事件A ， “第二空答错”为事件B .若要第一空得分不低于第二空得分，则A 发生或A 与B 同时发生，……………….9分故有： ()()0.80.20.70.94P A P A B +⋅=+⨯= .……………….12分答：该同学这道题第一空得分不低于第二空得分的概率为0.94. ……………….13分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为E ，F 分别为正方形ABCD 的两边BC ，AD 的中点，所以BE FD ∥,所以，BEDF 为平行四边形,……………….2分得//ED FB ，……………….3分又因为FB ⊂平面PFB ，且ED ⊄平面PFB ,……………….4分所以DE ∥平面PFB .……………….5分（Ⅱ）如图，以D 为原点，射线DA ,DC ,DP 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系.设PD =a , 可得如下点的坐标：P (0,0,a ),F (1,0,0),B (2,2,0) 则有：(1,0,),(1,2,0),PF a FB =-=因为PD ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)=m ，设平面PFB 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则可得=0PF FB ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩n n即+2=0 x azx y-=⎧⎨⎩令x=1,得11,2z ya==-，所以11(1,,)2a=-n. ……………….9分由已知，二面角P-BF-C:1cos<,>||||⋅===m nm nm n……………….10分解得a =2. ……………….11分因为PD是四棱锥P-ABCD的高，所以，其体积为182433P ABCDV-=⨯⨯=. ……………….13分18.（本小题满分13分）解：由2()1x af xx+=+，可得222()(1)x x af xx+-'=+. ……………….2分（Ⅰ）因为函数()f x在点(1,(1))f处的切线为12y x b=+，得:1(1)21(1)2ff b⎧'=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩……………….4分解得112ab=⎧⎪⎨=⎪⎩……………….5分（Ⅱ）令()0f x'>，得220x x a+->…①……………….6分当440a∆=+≤，即1a≤-时，不等式①在定义域内恒成立，所以此时函数()f x的单调递增区间为(,1)-∞-和(1,)-+∞. ……………….8分当440a∆=+>，即1a>-时，不等式①的解为1x>-1x<-……………….10分又因为1x≠-，所以此时函数()f x的单调递增区间为(,1-∞--和(1)-++∞，单调递减区间为(11)--和(1,1--+..……………….12分所以，当1a≤-时，函数()f x的单调递增区间为(,1)-∞-和(1,)-+∞；当1a >-时，函数()f x的单调递增区间为(,1-∞-和(1)-++∞，单调递减区间为(11)---和(1,1--..……………….13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由于A (2,1)在抛物线2y ax =上，所以 14a =，即14a =. ……………….2分故所求抛物线的方程为214y x =，其准线方程为1y =-. ……………….3分（Ⅱ）当直线1l 与抛物线相切时，由21x y ='=，可知直线1l 的斜率为1，其倾斜角为45︒，所以直线2l 的倾斜角为135︒，故直线2l 的斜率为1-，所以2l 的方程为3y x =-+ …….4分将其代入抛物线的方程214y x =，得 24120x x +-=, 解得 122,6x x ==-, …….5分所以直线2l 与抛物线所围成封闭区域的面积为:2222266611(3)d d (3)d 44x x x x x x x ----+-=-+-⎰⎰⎰……………….6分223611(3)212x x x -=-+-643=……………….8分（Ⅲ）不妨设直线AB 的方程为1(2) (0)y k x k -=->，……………….9分由21(2)14y k x y x -=-⎧⎪⎨=⎪⎩ 得24840x kx k -+-=, ……………….10分易知该方程有一个根为2，所以另一个根为42k -，所以点B 的坐标为2(42,441)k k k --+, 同理可得C 点坐标为2(42,441)k k k --++,……………….11分所以||BC=, ……………….12分线段BC 的中点为2(2,41)k -+，因为以BC 为直径的圆与准线1y =-相切，所以 241(1)k +--=,由于0k >，解得 k =. …………….13分此时，点B 的坐标为2,3-，点C 的坐标为(2,3-+，直线BC 1=-，所以，BC 的方程为(3[2)]y x --=--，即10x y +-=. …….14分 20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）记数列①为{}n b ，因为23456,,,,b b b b b 与678910,,,,b b b b b 按次序对应相等，所以数列①是“5阶可重复数列”，重复的这五项为0,0,1,1,0;记数列②为{}n c ，因为12345,,,,c c c c c 、23456,,,,c c c c c 、34567,,,,c c c c c 、45678,,,,c c c c c 、 56789,,,,c c c c c 、678910,,,,c c c c c 没有完全相同的，所以{}n c 不是“5阶可重复数列”.……………….3分（Ⅱ）因为数列{}n a 的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有328=种不同的情形.若m ＝11，则数列{}n a 中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为11的数列{}n a 一定是“3阶可重复数列”；若m ＝10，数列0,0,1,0,1,1,1,0,0,0不是“3阶可重复数列”；则310m ≤<时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列{}n a .所以，要使数列{}n a 一定是“3阶可重复数列”，则m 的最小值是11. ……………….8分（III ）由于数列{}n a 在其最后一项m a 后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，即在数列{}n a 的末项m a 后再添加一项01或，则存在i j ≠，使得1234,,,,i i i i i a a a a a ++++与321,,,,0m m m m a a a a ---按次序对应相等，或1234,,,,j j j j j a a a a a ++++与321,,,,1m m m m a a a a ---按次序对应相等，如果1234,,,a a a a 与321,,,m m m m a a a a ---不能按次序对应相等，那么必有2,4i j m ≤≤-，i j ≠，使得123,,,i i i i a a a a +++、123,,,j j j j a a a a +++与321,,,m m m m a a a a ---按次序对应相等.此时考虑11,i j a a --和4m a -，其中必有两个相同，这就导致数列{}n a 中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列{}n a 是“5阶可重复数列”，这和题设中数列{}n a 不是“5阶可重复数列”矛盾！所以1234,,,a a a a 与321,,,m m m m a a a a ---按次序对应相等，从而4 1.m a a ==……………….14分说明：其它正确解法按相应步骤给分.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

2009-2010学年北京海淀区第一学期高三年级期中练习理

2009-2010学年度北京市海淀区第一学期高三年级期中练习数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答卷前将学校、班级、姓名填写清楚.2．选择题的每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑.其它小题用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．已知全集U 为实数集，}1|{},02|{2≥=<-=x x B x x x A ，则B C A U ⋂=（） A ．}10|{<<x x B ．}20|{<<x xC ．}1|{<x xD ．∅2．命题“0>∀x ，都有02≤-x x ”的否定（） A ．0,02≤->∃x x x 使得 B ．0,02>->∃x x x 使得C ．0,02>->∀x x x 都有D ．0,02>-≤∀x x x 都有3．已知等差数列{}n a 中，10795=-+a a a ，记n n a a a S +++= 21，则13S 的值为（）A ．130B ．260C ．156D ．168 4．已知α是第四象限角，ααπsin ,125)tan(则=-= （）A ．51B ．—51C ．135 D ．—135 5．已知向量)1,2(),,1(==b k a ，若a 与b 的夹角大小为︒90，则实数k 的值为（）A ．12-B ．12C ．2-D ．2 6．函数1()()sin 2xf x x =-在区间［0，π2］上的零点个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．已知函数x x x f sin )(=，∈x R ，则)5(πf ，)1(f ，）（3π-f 的大小关系为（） A ．)5()1()3(ππf f f >>-B ．)5()3()1(ππf f f >->C ．)3()1()5(ππ->>f f fD ．)1()5()3(f f f >>-ππ8．对于定义域为R 的函数()f x ，给出下列命题：①若函数()f x 满足条件2)1()1(=-=-x f x f ，则函数()f x 的图象关于点（0，1）对称； ②若函数()f x 满足条件)1()1(x f x f -+-，则函数()f x 的图象关于y 轴对称； ③在同一坐标系中，函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称；④在同一坐标系中，函数(1)y f x =+与(1)y f x =-其图象关于y 轴对称. 其中，真命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．若点在幂函数)(x f y =的图象上，则()f x = . 10．计算=+⎰ex xx 1d )12( .11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,,a b c 若13=a ，c =4，A=60°，则b =__________． 12．把函数sin(2)6y x π=-的图象向左平移ϕ(0)ϕ>个单位，所得到的图象对应的函数为奇函数，则ϕ的最小值是 .13．已知函数2 1()(2) 1ax bx c x f x f x x ⎧++≥-=⎨--<-⎩，其图象在点(1,(1)f )处的切线方程为21y x =+,则它在点(3,(3))f --处的切线方程为 .14．已知数列{}n b 满足11=b ，x b =2（∈x N *），*11||(2,)n n n b b b n n N +-=-≥∈.①若2=x ，则该数列前10项和为；②若前100项中恰好含有30项为0，则x 的值为 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分）已知函数2()(sin cos )+cos2f x x x x =+．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值，并写出x 相应的取值．16．（本小题满分14分）已知等比数列{}n a 中，13,a =481a =*()n ∈N .（Ⅰ）若{}n b 为等差数列，且满足2152,b a b a ==，求数列{}n b 的通项公式;（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n b a =,求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .17．（本小题满分13分）已知函数32()4f x ax bx x =++的极小值为-8，其导函数()y f x '=的图象经过点(2,0)-，如图所示.（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若函数()y f x k =-在区间[3,2]-上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围. 18．（本小题满分13分）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4。

北京市海淀区高三数学上学期期末考试试题理北师大版

北京市海淀区2013届高三第一学期期末考试数学（理）试题2013.1本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 复数21i-化简的结果为 A.1i + B.1i -+ C. 1i - D.1i --2.已知直线2,:2x t l y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与圆2cos 1,:2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是A.π,(1,0)4 B.π,(1,0)4- C.3π,(1,0)4 D.3π,(1,0)4- 3.向量(3,4),(,2)x ==a b , 若||⋅=a b a ,则实数x 的值为 A.1- B.12-C.13- D.1 4.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的p 为24，则输出的,n S 的值分别为A.4,30n S ==B.5,30n S ==C.4,45n S ==D.5,45n S ==5.如图，PC 与圆O 相切于点C ，直线PO 交圆O 于,A B 两点，弦CD 垂直AB 于E . 则下面结论中，错误．．的结论是Ａ.BEC ∆∽DEA ∆ B.ACE ACP ∠=∠ C.2DE OE EP =⋅ D.2PC PA AB =⋅6.数列{}n a 满足111,n n a a r a r +==⋅+（*,n r ∈∈N R 且0r ≠），则“1r =”是“数列{}n a 成等差数列”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 用数字0,1,2,3组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为A. 144B.120C. 108D.72B8. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是A.12(,)33B.1(,1)2C. 2(,1)3D.111(,)(,1)322二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 以y x =±为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为______.10.数列{}n a 满足12,a =且对任意的*,N m n ∈，都有n mn ma a a +=，则3_____;a ={}n a 的前n 项和n S =_____.11. 在261(3)x x+的展开式中，常数项为______.(用数字作答) 12. 三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为_________.13. 点(,)P x y 在不等式组 0,3,1x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥+⎩表示的平面区域内，若点(,)P x y 到直线1y kx =-的最大距离为___.k =14. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -表面上运动，且PA r =（0r <<，记点P 的轨迹的长度为()f r ，则1()2f =______________;关于r 的方程()f r k =的解的个数可以为________.（填上所有可能的值）.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题满分13分）已知函数21()cos cos 2222x x x f x +-，ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .（I ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()1,f B C +=1a b ==，求角C 的大小.DABC左视图16.（本小题满分13分）汽车租赁公司为了调查A,B 两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表:（I ）从出租天数为3天的汽车（仅限A,B 两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A 型车的概率；（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A ，B 两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.17. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12,AB AC AA ===E 是BC 中点.（I ）求证：1//A B 平面1AEC ；（II ）若棱1AA 上存在一点M ，满足11B M C E ⊥，求AM 的长；（Ⅲ）求平面1AEC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.18. （本小题满分13分）EC 1B 1A 1CBA已知函数e ().1axf x x =- （I ）当1a =时,求曲线()f x 在(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.19. （本小题满分14分）已知()2,2E 是抛物线2:2C y px =上一点，经过点(2,0)的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点（不同于点E ），直线,EA EB 分别交直线2x =-于点,M N . （Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；（Ⅱ）已知O 为原点，求证：MON ∠为定值.20. （本小题满分13分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若2()f x y x =在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”. 我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω. (Ⅰ)已知函数32()2f x x hx hx =--，若1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω，求实数h 的取值范围； (Ⅱ)已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出，求证：(24)0d d t +->；(Ⅲ)定义集合{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取,请问：是否存在常数M ，使得()f x ∀∈ψ，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由.海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理）参考答案及评分标准 2013．1说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（I ）因为21()cos cos 2222x x x f x +-cos 122cos 121x x x x =+-=++ πsin()6x =+ ………………6分又sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π 22k k -+（），()Z k ∈ 所以令πππ2π2π262k x k -<+<+ 解得2ππ2π2π 33k x k -<<+ 所以函数()f x 的单调增区间为2ππ(2π,2π) 33k k -+，()Z k ∈ ………………8分 (Ⅱ) 因为()1,f B C +=所以πsin()16B C ++=，又(0,π)B C +∈，ππ7π(,)666B C ++∈所以πππ,623B C B C ++=+=，所以2π3A =………………10分由正弦定理sin sin B Ab a=把1a b ==代入，得到1s i n 2B =………………12分又,b a <B A <，所以π6B =，所以π6C =………………13分16.（本小题满分13分）解：（I ）这辆汽车是A 型车的概率约为3A 3A,B =出租天数为天的型车辆数出租天数为天的型车辆数总和300.63020=+这辆汽车是A 型车的概率为0.6 (3)分（II ）设“事件i A 表示一辆Ａ型车在一周内出租天数恰好为i 天”，“事件j B 表示一辆Ｂ型车在一周内出租天数恰好为j 天”，其中,1,2,3,...,7i j = 则该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为132231132231()()()()P A B A B A B P A B P A B P A B ++=++ ………………5分132231()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++ ………………7分520102030141001001001001001009125=⋅+⋅+⋅=该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为9125………………9分设Y 为B 型车出租的天数，则Y 的分布列为()10.0520.1030.3040.3550.1560.0370.02=3.62E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()10.1420.2030.2040.1650.1560.1070.05E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=3.48………………12分一辆A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B 类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天. 从出租天数的数据来看，A 型车出租天数的方差小于B 型车出租天数的方差,综合分析，选择A 类型的出租车更加合理 . ………………13分17.（本小题满分14分）(I) 连接A C 1交AC 1于点O ，连接EO因为1ACC A 1为正方形，所以O 为A C 1中点，又E 为CB 中点，所以EO 为1A BC ∆的中位线，所以1//EO A B………………2分又EO ⊂平面1AEC ，1A B ⊄平面1AEC 所以1//A B 平面1AEC………………4分（Ⅱ）以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系所以111(0,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,2,2),(1,1,0),A A B B C C E 设(0,0,)(02)M m m ≤≤，所以11(2,0,2),(1,1,2)B M m C E =--=--，因为11B M C E ⊥，所以 110B M C E ⋅=，解得1m =，所以1AM = ………………8分（Ⅲ）因为1(1,1,0),(0,2,2)AE AC ==，设平面1AEC 的法向量为(,,)n x y z =，则有10AE n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1,y =-则1,1x z ==，所以可以取(1,1,1)n =-， ………………10分因为AC ⊥平面1A B B A 1,取平面1ABB A 1的法向量为(0,2,0)AC = ………………11分所以c o||A CAC A C ⋅<>………………13分平面1AEC 与平面1A B B A 1所成锐二面角的余弦值为………………14分 18. （本小题满分13分）解：当1a =时，e ()1axf x x =-，2e (2)'()(1)x x f x x -=- ………………2分又(0)1f =-，'(0)2f =-，所以()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为21y x =-- ………………4分（II ）2e [(1)]'()(1)ax ax a f x x -+=-当0a =时，21'()0(1)f x x -=<-又函数的定义域为{|1}x x ≠ 所以()f x 的单调递减区间为(,1-∞+∞ ………………6分当 0a ≠时，令'()0f x =，即(1)0ax a -+=，解得1a x a+= ………………7分当0a >时，11a x a+=>，所以()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表所以()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，1(1,)a a+，单调递增区间为1(,)a a++∞ ………………10分当0a <时，11a x a+=< 所以()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：所以()f x 的单调递增区间为1(,)a a+-∞，单调递减区间为1(,1)a a+，(1,)+∞ ………………13分 19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）将()2,2E 代入22y px =，得1p =所以抛物线方程为22y x=，焦点坐标为1(,0)2………………3分（Ⅱ）设211(,)2y A y ，222(,)2y B y ，(,),(,)M M N N M x y N x y ，法一：因为直线l 不经过点E ，所以直线l 一定有斜率设直线l 方程为(2)y k x =-与抛物线方程联立得到 2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去x ，得：2240ky y k --=则由韦达定理得：121224,y y y y k=-+=………………6分直线AE 的方程为：()12122222y y x y --=--，即()12222y x y =-++，令2x =-，得11242M y y y -=+………………9分同理可得：22242N y y y -=+………………10分又 4(2,),(2,)m mOM y ON y -=-=-，所以121224244422M N y y OM ON y y y y --⋅=+=+⋅++ 121212124[2()4]4[2()4]y y y y y y y y -++=++++44(44)444(44)k k--+=+-++0= ………………13分所以OM ON ⊥，即MON ∠为定值π2………………14分法二：设直线l 方程为2x my =+与抛物线方程联立得到 222x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，得：2240y my --=则由韦达定理得：12124,2y y y y m=-+=………………6分直线AE 的方程为：()12122222y y x y --=--，即()12222y x y =-++，令2x =-，得11242M y y y -=+………………9分同理可得：22242N y y y -=+………………10分又 4(2,),(2,)m mOM y ON y -=-=-， 12124(2)(2)44(2)(2)M N y y OM ON y y y y --⋅=+=+++121212124[2()4]4[2()4]y y y y y y y y -++=++++4(424)44(424)m m --+=+-++=………………12分所以OM ON ⊥，即MON ∠为定值π2………………13分20. （本小题满分14分）解：（I ）因为1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω，即2()()2f x g x x hx h x==--在(0,)+∞是增函数，所以0h ≤ ………………1分而2()()2f x h h x x h x x ==--在(0,)+∞不是增函数，而2'()1hh x x =+ 当()h x 是增函数时，有0h ≥，所以当()h x 不是增函数时，0h < 综上，得h <………………4分(Ⅱ) 因为1()f x ∈Ω，且0a b c a b c <<<<++ 所以()()4=f a f a b c a a b c a b c++<++++，所以4()af a d a b c=<++，同理可证4()b f b d a b c =<++，4()cf c t a b c=<++三式相加得4()()()()24,a b c f a f b f c d t a b c++++=+<=++所以2d t +-<………………6分因为,d d a b <所以()0,b a d ab-< 而0a b <<，所以0d < 所以(d d +-………………8分(Ⅲ) 因为集合{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取, 所以()f x ∀∈ψ，存在常数k ，使得 ()f x k < 对(0,)x ∈+∞成立我们先证明()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立假设0(0,),x ∃∈+∞使得0()0f x >，记020()0f x m x => 因为()f x 是二阶比增函数，即2()f x x 是增函数. 所以当0x x >时，022()()f x f x m x x >=，所以2()f x mx > 所以一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k >> 这与()f x k< 对(0,)x ∈+∞成立矛盾 ………………11分()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立所以()f x ∀∈ψ，()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立下面我们证明()0f x =在(0,)+∞上无解假设存在20x >，使得2()0f x =，则因为()f x 是二阶增函数，即2()f x x 是增函数一定存在320x x >>，322232()()0f x f x x x >=，这与上面证明的结果矛盾所以()0f x =在(0,)+∞上无解综上，我们得到()f x ∀∈ψ，()0f x <对(0,)x ∈+∞成立所以存在常数0M ≥，使得()f x ∀∈ψ，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立又令1()(0)f x x x=->，则()0f x <对(0,)x ∈+∞成立，又有23()1f x x x-=在(0,)+∞上是增函数，所以()f x ∈ψ，而任取常数0k <，总可以找到一个00x >，使得0x x >时，有()f x k >所以M的最小值为0 ………………13分。

2010—2011海淀区高三数学(理)期末考试题(带答案)

2010—2011海淀区高三数学(理)期末考试题(带答案)海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理）答案及评分参考 2011．1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号 12345678答案B D DC A BD C第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分） 9． 222x y x += (1,0) 10． 180 11． 512．M P Ne e e << 13．① ④ 14． 432 (1)2 3 (01)k k k k ⎧+≥⎪⎨⎪+<<⎩三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（共12分）解：（I ）xx x f 2cos )32cos()(--=πxx x 2cos 3sin2sin 3cos2cos -+=ππ.......................................2分x x 2cos 212sin 23-=)62sin(π-=x . .......................................4分)2,0(π∈x Θ， )65,6(62πππ-∈-∴x ， .......................................5分 ]1,21()62sin(-∈-∴πx ，即)(x f 在(0,2π）的值域为]1,21(- . .......................................6分（II ）由（I ）可知，)62sin()(π-=A A f ， 1)62sin(=-∴πA ， ......................................7分 π<<A 0Θ ， 611626πππ<-<-∴A ， .....................................8分 3,262πππ==-∴A A . ....................................9分 Abc c b a cos 2222-+=Θ ， .....................................10分把73a b ==，代入，得到2320cc -+=， ..................................11分1=∴c 或2=c . ....................................12分 16.（共13分）解：（I ）方法一设选手甲在A 区投两次篮的进球数为X ，则)109,2(~B X ，故591092)(=⨯=X E ， ....................................... 2分则选手甲在A 区投篮得分的期望为6.3592=⨯ . ....................................... 3分设选手甲在B 区投篮的进球数为Y ，则)31,3(~B Y ，故1313)(=⨯=Y E ， ....................................... 5分则选手甲在B 区投篮得分的期望为313=⨯ . ....................................... 6分 36.3>Θ，∴选手甲应该选择A 区投篮. .......................................7分方法二：（I ）设选手甲在A 区投篮的得分为ξ，则ξ的可能取值为0，2，4，212291(0)(1)101009918(2)(1)1010100981(4)().10100P P C P ξξξ==-===⋅-====；；所以ξ的分布列为 ξ 0 2 4 p 1100 18100 81100.......................................2分6.3=∴ξE .......................................3分同理，设选手甲在B 区投篮的得分为η，则η的可能取值为0，3，6，9，3123223318(0)(1);327114(3)(1);339112(6)()(1);33911(9)().327P P C P C P ηηηη==-===⋅-===-====所以η的分布列为：η0 3 6 9p 827 49 29127.......................................5分3E η∴=， .......................................6分 ηξE E >Θ，∴选手甲应该选择A 区投篮. .......................................7分（Ⅱ）设选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分为事件C ，甲在A 区投篮得2分在B 区投篮得0分为事件1C ，甲在A 区投篮得4分在B 区投篮得0分为事件2C ，甲在A 区投篮得4分在B 区投篮得3分为事件3C ，则123C C C C =U U ，其中123,,C C C 为互斥事件. .......................................9分则： 123123188******** ()()= ()()()1002710027100975P C P C C C P C P C P C =++=⨯+⨯+⨯=U U 故选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率为4975 ..................................13分17. （共14分）解：（I ）Θ棱柱ABCD —1111A B C D 的所有棱长都为2，∴四边形ABCD 为菱形，AC BD ⊥ . .......................................1分又1A O ⊥平面ABCD,BD ⊂平面ABCD ，1AO BD ∴⊥ . .......................................2分又1AC AO O =Q I，1,AC AO ⊂平面11ACC A ，⊥∴BD 平面11ACC A ， .......................................3分⊂1AA Θ平面11ACC A ，∴BD ⊥1AA . .......................................4分（Ⅱ）连结1BCΘ四边形ABCD 为菱形，AC BD O=IO ∴是BD 的中点. ....................................... 5分又Θ点F 为1DC 的中点，∴在1DBC ∆中，1//BC OF ， .......................................6分⊄OF Θ平面11BCC B ，⊂1BC 平面11BCC B∴//OF 平面11BCC B .......................................8分（III ）以O 为坐标系的原点，分别以1,,OA OB OA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. Θ侧棱1AA 与底面ABCD 的所成角为60°，1A O ⊥平面ABCD ．ο601=∠∴AO A ，在AO A Rt 1∆中，可得11,3,AO AO ==在Rt AOB ∆中，22413OB AB AO =--ABC1B 1C 1A DF1D O得1(1,0,0),3),(0,3,0),3,0)A A D B - ...............................10分设平面D AA 1的法向量为),,(1111z y x n= ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴00111AD n AA n)0,3,1(),3,0,1(1--=-=Θ 11113030x z x ⎧-=⎪∴⎨-=⎪⎩ 可设)1,1,3(1-=n .......................................11分又ΘBD ⊥平面11ACC A所以，平面11A ACC 的法向量为23,0)n OB ==u u r u u u r .......................................12分 55353,cos 212121-=⋅-=⋅>=<∴n n n n , Θ二面角D —1AA —C 为锐角，故二面角D —1AA —C 的余弦值是55 . ....................................14分18. （共13分）解：2211(21)()1(1)(1)a x ax a f x a x x x --+-'=--=+++，1x >-， .......................................2分（I ）由题意可得13(1)24a f -'==-，解得3a =， ....................................3分因为(1)ln 24f =-，此时在点(1,(1))f 处的切线方程为(ln24)2(1)y x --=--，即2ln22y x =-+-，与直线:21l y x =-+平行，故所求a 的值为3. ....................4分（II ）令()0f x '=，得到1212,0x x a =-= ，由12a ≥可知120a -≤ ，即10x ≤. ................................5分 ① 即12a =时，12120x x a =-==. 所以,2'2()0,(1,)2(1)x f x x x =-≤∈-+∞+， ................................6分故()f x 的单调递减区间为(1,)-+∞ . ................................7分② 当112a <<时，1120a -<-<，即1210x x -<<=，所以，在区间1(1,2)a --和(0,)+∞上，'()0f x <； ...............................8分在区间1(2,0)a -上，'()0f x >. .................................9分故 ()f x 的单调递减区间是1(1,2)a --和(0,)+∞，单调递增区间是1(2,0)a-. .........10分 ③当1a ≥时，1121x a=-≤-，所以，在区间(1,0)-上()0f x '>； ................................11分在区间(0,)+∞上()0f x '< ， ...............................12分故()f x 的单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞. ............................13分综上讨论可得：当12a =时，函数()f x 的单调递减区间是(1,)-+∞；当112a <<时，函数()f x 的单调递减区间是1(1,2)a --和(0,)+∞，单调递增区间是1(2,0)a-；当1a ≥时，函数()f x 的单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞.19. （共14分）解：（Ⅰ）抛物线22y px = (0)p >的准线为2p x =-， .....................................1分由抛物线定义和已知条件可知||1()1222p p MF =--=+=，解得2p =，故所求抛物线方程为24y x =. ......................................3分（Ⅱ）联立2124y x b y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消x 并化简整理得2880y y b +-=.依题意应有64320b ∆=+>，解得2b >-. ..............................................4分设1122(,),(,)A x y B x y ，则12128,8y y y y b +=-=-， .............................................5分设圆心00(,)Q x y ，则应有121200,422x x y y x y ++===-.因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，得到圆半径为0||4r y ==， ........................6分又22221212121212||()()(14)()5[()4]5(6432)AB x x y y y y y y y y b =-+-+-+-=+.所以 ||25(6432)8AB r b =+， .........................................7分解得85b =-. .........................................8分所以12124822224165x x b y b y b +=-+-=+=，所以圆心为24(,4)5-. 故所求圆的方程为2224()(4)165x y -++=. ............................................9分方法二：联立2124y x b y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消掉y 并化简整理得22(416)40xb x b -++=，依题意应有2216(4)160b b ∆=+->，解得2b >-. ............................................4分设1122(,),(,)A x y B x y ，则21212416,4x x b x x b +=+= . .............................................5分设圆心00(,)Q x y ，则应有121200,422x x y y x y ++===-，因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，得到圆半径为0||4r y ==. .....................................6分又2222121212121215||()()(1)()[()4]5(6432)44AB x x y y x x x x x x b =-+-+-+-+，又||28AB r ==5(6432)8b +， .............................................7分解得85b =-， ..............................................8分所以12485x x +=，所以圆心为24(,4)5-. 故所求圆的方程为2224()(4)165x y -++=. .............................................9分（Ⅲ）因为直线l 与y 轴负半轴相交，所以0b <，又l 与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知2b >-，所以20b -<<，...........................................10分直线l ：12y x b =-+整理得220x y b +-=，点O 到直线l 的距离55d ， .................................................11分所以321||4224222AOB SAB d b b b b ∆==-++ ..................................................12分令32()2g b bb =+，20b -<<， 24()343()3g b b b b b '=+=+， b 4(2,)3-- 43- 4(,0)3-()g b ' ＋0 － ()g b 极大由上表可得()g b 最大值为432()327g -= . ...............................................13分所以当43b =-时，AOB ∆323. ...............................................14分20．（共14分）解：（Ⅰ）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A =L ,{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>=L 不具有性质P ． ...................................1分因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到该集合中两个元素110b =与210b m =+，使得12b b m -=成立．...............2分集合{}*31,C x A x k k N =∈=-∈具有性质P ． ................................................3分因为可取110m =<，对于该集合中任意一对元素112231,31c k c k =-=-，*12,k k N ∈ 都有121231c c k k -=-≠． .....................................................................4分（Ⅱ）当1000n =时，则{}1,2,3,,1999,2000A =L①若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P ．...................5分首先因为{}2001T x x S =-∈，任取02001,t x T =-∈ 其中0x S ∈，因为S A ⊆，所以0{1,2,3,...,2000}x ∈，从而0120012000x ≤-≤，即,t A ∈所以T A ⊆. ...........................6分由S 具有性质P ，可知存在不大于1000的正整数m ，使得对S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠．对于上述正整数m ，从集合{}2001T x x S =-∈中任取一对元素11222001,2001t x t x =-=-，其中12,x x S ∈，则有1212t t x x m -=-≠, 所以集合{}2001T x x S =-∈具有性质P ． .............................8分 ②设集合S 有k 个元素．由第①问知，若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P ．任给x S ∈，12000x ≤≤，则x 与2001x -中必有一个不超过1000，所以集合S 与T 中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，不妨设S 中有t 2k t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭个元素12,,,t b b b L 不超过1000．由集合S 具有性质P ，可知存在正整数1000m ≤，使得对S 中任意两个元素12,s s ，都有12s s m -≠，所以一定有12,,,t b m b m b m S +++∉L .又100010002000i b m +≤+=，故12,,,t b m b m b m A +++∈L ,即集合A 中至少有t 个元素不在子集S 中，因此2kk +≤2000k t +≤，所以20002kk +≤，得1333k ≤，当{}1,2,,665,666,1334,,1999,2000S =L L 时，取667m =，则易知对集合S 中任意两个元素12,y y ，都有12||667y y -≠，即集合S 具有性质P ，而此时集合Ｓ中有1333个元素．因此集合S 元素个数的最大值是1333． .....................................14分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。

北京市海淀区09届高三上学期期末物理.doc

北京市海淀区2008—2009学年度高三第一学期期末练习物理试题说明：本试卷共8页，共100分。

考试时间120分钟一、本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项是正确的，有的小题有多个选项是正确的。

全部选对的得3分，选对但不全的得2分，有选错或不答的得0分。

把你认为正确选项前的字母填写在题后的括号内。

1．关于电磁场和电磁波，下列叙述中正确的是（）A．恒定的电场能够产生电磁波B．电磁波的传播需要介质C．电磁波从一种介质进入另一种介质，频率不变D．电磁波的传播过程中也传递了能量2．图1所示为理想变压器原线圈所接正弦交流电源两端的电压—时间图像。

原、副线圈匝数比n1：n2=10：1，串联在原线圈电路中交流电流表的示数为1A，则（）A．变压器原线圈所接交流电压的有效值为220VB．变压器输出端所接电压表的示数为222VC．变压器输出端交变电流的频率为50HzD．变压器的输出功率为2202W3．如图2所示，A、B是两个相同的小灯泡，L是一个自感系数相当大的线圈，线圈直流电阻与定值电阻R的阻值相同。

关于这个电路的以下说法正确的是（）A．开关S闭合瞬间，A、B两灯亮度相同B．开关S闭合，B灯比A灯先亮C．开关S闭合，电路达到稳定后，断开开关S时，A、B两灯同时熄灭D．开关S闭合，电路达到稳定后，断开开关S时，B灯立即熄灭，A灯稍迟熄灭4．图3所示为研究决定平行板电容器电容大小因素的实验装置。

两块相互靠近的等大正对平行金属板M、N组成电容器，板A固定在绝缘座上并与静电计中心杆相接，板M和静电计的金属壳都接地，板M上装有绝缘手柄，可以扶手柄控制板M的位置。

在两板相距一定距离时，给电容器充电，静电计指针张开一定角度，在整个实验过程中，保持电容器所带电荷量不变，对此实验过程的描述，下列说法正确的是（）A．只将板M从图示位置稍向左平移，静电计指针张角变大B．只将板M从图示位置沿垂直纸面向外的方向稍微平移，静电计指针张角变大C．只将板M从图示位置稍向上平移，静电计指针张角变小D．只在M、N之间插入云母板，静电计指针张角变大。

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