竞赛课件2：点击静力学问题解答技巧

处理静力学平衡问题技法三巧巧取研究对象巧解汇交力系巧用矢量图解F 1F 2F矢量求和图解法则12=+F F F 矢量求差图解法则12=-F F F F 1F 2F 相加矢量首尾相接，和从第一个加数“尾”指向最后一个加数“头”相减两矢量箭尾共点，差连接两箭头，方向指向“被减数”A CB O D EF如图所示，三角形ABC 三边中点分别为D 、E 、F ，在三角形中任取一点O ，如果、、三个矢量代表三个力，那么这三个力的合力为A. B. C. D. OAOB OC DO OE OF DOO A GR θmgθL+Δl R F N F T cos 2L l R θ+∆=由几何关系知由力△与几何△相似得k l G L l R ⋅∆=+∆G L k G l R ∆=-()cos 2kRL R kR G θ=-()1cos 2kL kR G θ-=-如图所示，一个重为G 的小环，套在竖直放置的半径为R 的光滑大圆环上．有一劲度系数为k ，自然长度为L (L ＜2R )的轻弹簧，其上端固定在大圆环的最高点A ，下端与小环相连，不考虑一切摩擦，则小环静止时弹簧与竖直方向的夹角θ为多大？θmmgF 约tan -1μF max F 约F min tan -1μ()1max tan tan -=+F mg θμ()1min tan tan -=-F mg θμsin cos sin cos cos sin cos sin -+≤≤+-F θμθθμθθμθθμθ如图所示，倾角为θ的斜面与水平面保持静止,斜面上有一重为G 的物体A 与斜面间的动摩擦因数为μ,且μ<tan θ,现给A 施以一水平力F ,设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等,求水平推力F 多大时物体能地斜面上静止？静摩擦力达到最大时,斜面约束力作用线方向与斜面法线成摩擦角!θθF 1F 2F 1F 2F 2FF sec 22F θcot F θ将力F 分解为F 1和F 2两个分力，若已知F 的大小及F 1和F 2的夹角θ，且θ为钝角，则当F 1、F 2大小相等时，它们的大小为;当F 1有最大值时，F 2大小为.2θπθ-专题2-问题1F 1如图所示，放在水平面上的质量为m 的物体，在水平恒力F 1作用下，刚好做匀速直线运动．若再给物体加一个恒力，且使F 1＝F 2（指大小），要使物体仍按原方向做匀速直线运动，力F 2应沿什么方向？此时地面对物体的作用力大小如何？专题2-问题2G F tan -1μ水平恒力与重力、地面约束力作用而平衡时,三力构成闭合三角形：F F +=-211地1μμμF F +=+211地2μμμF 2F 2加F 2仍构成闭合三角形：如图所示，一光滑三角支架，顶角为θ=45°，在AB 和AC 两光滑杆上分别套有铜环，两铜环间有细线相连，释放两环，当两环平衡时，细线与杆AB 夹角60°，试求两环质量比M/m ．系统处于平衡时,两环所受绳拉力沿绳且等值反向,支架施支持力垂直各杆,以此为依据作每环三力平衡矢量图:B A mgMg F T F T 对环M sin 30sin 22T F Mg πθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭ 60 15 θ对环M θ/230θ/2sin15sin 22T F mg πθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭ sin 30sin15M m = 622+=如图所示，用细绳拴住两个质量为m 1、m 2（m 1＜m 2）的质点，放在表面光滑的圆柱面上，圆柱的轴是水平的，绳长为圆柱横截面周长的1/4．若绳的质量及摩擦均不计，系统静止时，m 1处细绳与水平夹角α是多少？系统处于平衡时,两质点所受绳拉力沿绳切向且等值, 圆柱施支持力垂直柱面,以此为依据作每质点三力平衡矢量图:αO m 1m 2m 1gm 2gαα对质点11sinTF m g α=对质点22cos T F m g α=21sin tan cos m m ααα==121tanm m α-=F TF T如图所示，两个质量相等而粗糙程度不同的物体m 1和m 2，分别固定在一细棒的两端，放在一倾角为α的斜面上，设m 1和m 2与斜面的摩擦因数为μ1和μ2，并满足tanα= ，细棒的质量不计，与斜面不接触，试求两物体同时有最大静摩擦力时棒与斜面上最大倾斜线AB 的夹角θ．12μμsin mg α系统处于平衡时,两物体所受轻杆力等值反向,沿斜面上每物体受下滑力、最大静摩擦力及杆作用力，每物体三力平衡矢量关系如图:AB m1m 2θαF 1cos mg μαsin mg α2cos mg μα分别以a 、b 、c 表示各力：cbac ϕθ在力矢量三角形中运用余弦定理：()22224cos b c a ca ϕ=+-222co 4s 4c a bcaϕ+-=()()2222444sin ac c a b caϕ-+-=在力矢量三角形中运用余弦定理：222sin 2cos sin a a c ac ϕϕθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭22222sin sin 2cos a a c ac ϕθϕ=+-()()2222222182a b c a c c -=-+-()()222222cos 82a b cac cθ-=+-代入题给数据：1212s 2o 2c μμθμμ+=+尽量取整体需“化内为外”时取部分方程数不足时取部分整、分结合，方便解题取两环一线为研究对象F N 2mgF fF2NF mg=f F F=取下环为研究对象mgFF T F T一个直角支架AOB ，AO 水平放置，表面粗糙，OB 竖直，表面光滑，AO 上套有小环P ，OB 上套有小环Q ，两环质量均为m ，两环间由一不可伸长的轻绳相连，并在某一位置平衡，如图所示．现将P 向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么移动后的平衡状态与原来相比，AO 杆对P 环的支持力F N 、摩擦力F f 及细绳上的拉力F T 的变化情况是A. F N 不变，F f 变大，F T 变大B.F N 不变，F f 变小，F T 变小C. F N 变大，F f 不变，F T 变大D.F N 变大，F f 变小，F T 变大P Q O ABF312取2、3两环为研究对象，3环重力设为GTT3GT G=取2环为研究对象θ2G 2cos 3GT θ=2cos 3θ=θhr 由几何关系得tan r hθ=00co 25t 5r r h θ==三根不可伸长的相同细绳，一端系在半径为r 0的环1上，彼此间距相等．绳穿过半径为r 0的第3个圆环，另一端用同样方式系在半径为2r 0的圆环2上，如图所示．环1固定在水平面上，整个系统处于平衡．试求第2个环中心与第3个环中心之距离（三个环用同种金属丝制作，摩擦不计）T一个底面粗糙质量为Ｍ的劈放在粗糙的水平面上，劈的斜面光滑且与水平面成30°夹角，用一端固定的轻绳系一质量为m 的小球，轻绳与斜面的夹角为30°,如图所示．当劈静止时，求绳中拉力的大小；若地面对劈的最大静摩擦力等于地面对劈的支持力的k 倍，为使整个系统静止，求k 的最小值30°专题2-问题3取小球为研究对象求绳中拉力:30°30302cos 303T mg F mg ==T F T F 取整体为研究对象求地面k 值(M +m )gΦ=tan -1k tan -1kT F F 地()()sin sin 30 TM m gF ϕϕ+=+()()sin 303sin M m m ϕϕ++=()2313M m m k+=+363m k M m =+如图所示，一长L 、质量均匀为M 的链条套在一表面光滑，顶角为α的圆锥上，当链条在圆锥面上静止时，链条中的张力是多少？专题2-问题4链条的受力具有旋转对称性．链条各部分间的张力属于内力,需将内力转化为外力，我们可以在链条中隔离出任一微元作为研究对象，链条其它部分对微元的拉力就成为外力，对微元根据平衡规律求解:F TF T F i αnπ∆θ=2当∆∆∆→,sin 22θθθi T T F F F ∆∆==⋅2sin 222θθ链条微元处于平衡△mgF NiF iT F mg ∆⋅=∆2cot22θα2αT n M F g n =⋅cot22απMg =cot 22απ压延机由两轮构成，两轮直径各为d ＝50cm ，轮间的间隙为a ＝0.5 cm ，两轮按反方向转动，如图2-15上箭头所示．已知烧红的铁板与铸铁轮之间的摩擦系数μ＝0.1．问能压延的铁板厚度b 是多少？ab分析铁板受力如图：F NF fθθ铁板能前进，应满足cos sin N N F F μθθ≥分析几何关系求角θ：22d b a --2dθ22222tan 22d d b a d b a θ-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--解得b ≤0.75 cmμ≤,其各部分所受力的作用线延长后必汇交于一点,其合力为零.m 1m 2O6030 (m 1+m 2)g取两球一杆为研究对象，分析受力研究对象处于静止，所受三力矢量构成闭合三角形!N 1N 230由力矢量三角形即得21tan 3013N N ==1231N N :=:如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O 是球心，碗的内表面光滑．一根轻质杆的两端固定有两个小球，质量分别是m 1、m 2，当它们静止时，m 1、m 2与球心的连线跟水平面分别成60°30°角，则碗对两小球的弹力大小之比是A. 1∶2 B. ∶1 C. 1∶ D.∶2333CAB6030D解:FABBC 球系统为一“三力杆”！60⑴由三力平衡关系图得2cos60CD GF G ==2sin603AB F G G==⑵由几何关系图得F AB60细线BC 与竖直成60°角如图所示，BC 两个小球均重G ,用细线悬挂而静止于A 、G 两点，细线BC 伸直.求:⑴AB 和CD 两根细线的拉力各多大？⑵细线BC 与竖直方向的夹角是多大？如图所示，光滑半球壳直径为a ，与一光滑竖直墙面相切，一根均匀直棒AB 与水平成60°角靠墙静止，求棒长．专题2-问题5棒AB 受三力:ABOGF AF B棒AB 处于静止,三力作用线汇交于一点!30θ在三角形BCD 中由正弦定理:C()L L ⋅=-sin 6022sin sin 30θθ-=13tan6θ又aL a ⋅-=sin 302sin /2θL a =-1L a -=3139aL =+131313如图所示，在墙角处有一根质量为m 的均匀绳，一端悬于天花板上的A 点，另一端悬于竖直墙壁上的B 点，平衡后最低点为C ，测得绳长AC=2CB ，且在B 点附近的切线与竖直成α角，则绳在最低点C 处的张力和在A 处的张力各多大？专题2-问题6AαC取BC 段绳为研究对象:αmg/3最低点C 处的张力F TC 为F T CF Btan 3TCmg F α=取AC 段绳为研究对象:F T CF A2mg/32mg/3tan 3mgα222tan 33A mg mg F α⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24tan 3mg α+=如图所示，有一轻杆AO 竖直放在粗糙的水平地面上，A 端用细绳系住，细绳另一端固定于地面上B 点，已知θ=30°，若在AO 杆中点施一大小为F 的水平力，使杆处于静止状态，这时地面O 端的作用力大小为________，方向________ 。