2016-2017学年高中数学苏教版选修2-2学业分层测评13 演绎推理 Word版含解析

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高中数学苏教版高二选修2-2学业分层测评：第一章_导数及其应用_4

学业分层测评(四)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．函数y ＝－2e x sin x 的导数y ′＝________.【解析】 y ′＝(－2e x )′sin x ＋(－2e x )·(sin x )′＝－2e x sin x －2e x cos x ＝－2e x (sin x ＋cos x )．【答案】－2e x (sin x ＋cos x )2．函数f (x )＝x e －x 的导数f ′(x )＝________.【解析】 f ′(x )＝x ′·e －x ＋x (e －x )′＝e －x －x e －x ＝(1－x )e －x .【答案】 (1－x )e －x3．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，则f ′(3π)＝________. 【解析】因为f ′(x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4′ ＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，所以f ′(3π)＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π4＝－12sin 5π4＝24. 【答案】 244．曲线C ：f (x )＝e x ＋sin x ＋1在x ＝0处的切线方程是________．【解析】 ∵f ′(x )＝e x ＋cos x ，∴k ＝f ′(0)＝2，切点为(0,2)，切线方程为y ＝2x ＋2.【答案】 y ＝2x ＋25．(2016·东营高二检测)设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)，则f ′(0)＝________.【解析】 f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，则f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2，∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4.【答案】－46．(2016·佛山高二检测)若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________.【解析】 y ′＝k ＋1x ，则曲线在点(1，k )处的切线的斜率为k ＋1，∴k ＋1＝0，∴k ＝－1.【答案】－17．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________．【解析】设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )的切点为(x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1，y 0＝ln(x 0＋a )．又y ′＝(x ＋a )′x ＋a ＝1x ＋a 及导数的几何意义， ∴1x 0＋a＝1，即x 0＋a ＝1.因此，y 0＝ln(x 0＋a )＝0，∴x 0＝－1，∴a ＝2.【答案】 28．(2016·广州高二检测)若函数为y ＝sin 4x －cos 4x ，则y ′＝________________.【解析】 ∵y ＝sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )·(sin 2x －cos 2x )＝－cos 2x ，∴y ′＝(－cos 2x )′＝－(－sin 2x )·(2x )′＝2 sin 2x .【答案】 2sin 2x二、解答题9．求下列函数的导数．(1)y ＝1－2x 2；(2)y ＝e sin x ；(3)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1)．【解】 (1)设y ＝u ，u ＝1－2x 2，则y ′＝(u )′(1－2x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u －12·(－4x ) ＝12(1－2x 2) (－4x )＝－2x 1－2x2. (2)设y ＝e u ，u ＝sin x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·cos x ＝e sin x cos x .(3)设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′＝y u ′·u x ′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.10．求曲线y ＝2sin 2x 在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线方程．【解】因为y ′＝(2sin 2x )′＝2×2sin x ×(sin x )′＝2×2sin x ×cos x ＝2sin 2x ，所以y ′|x ＝π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＝ 3. 所以过点P 的切线方程为y －12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即3x －y ＋12－3π6＝0.能力提升]1．若f (x )＝sin x sin x ＋cos x，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4等于________．【解析】∵f ′(x )＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2 ＝1(sin x ＋cos x )2＝11＋sin 2x， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝11＋sin π2＝12. 【答案】 122．(2014·江西高考)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________.【导学号：01580010】【解析】令f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋1，设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2，∴x 0＝e ，此时y 0＝eln e ＝e ，∴点P 的坐标为(e ，e)．【答案】 (e ，e)3．已知函数y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线为y ＝2x －1，则函数g (x )＝x 2＋f (x )在(2，g (2))处的切线方程为________．【解析】由题意知，f (2)＝3，f ′(2)＝2，则g (2)＝4＋f (2)＝7.∵g ′(x )＝2x ＋f ′(x )，∴g ′(2)＝4＋f ′(2)＝6.∴函数g (x )在(2，g (2))处的切线方程为y －7＝6×(x －2)，即6x －y －5＝0.【答案】 6x －y －5＝04．已知函数f (x )＝x －1＋a e x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求l的直线方程．【解】(1)f′(x)＝1－ae x，因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝1－ae＝0，解得a＝e.(2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋1e x，f′(x)＝1－1e x.设切点为(x0，y0)，∵f(x0)＝x0－1＋1e x0＝kx0－1，①f′(x0)＝1－1e x0＝k，②①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0. 若k＝1，则②式无解，∴x0＝－1，k＝1－e.∴l的直线方程为y＝(1－e)x－1.。

2016-2017学年高中数学苏教版选修2-2章末综合测评3 含解析

章末综合测评(三)（时间120分钟,满分160分）一、填空题(本大题共14小题,每小题5分，共70分,请把答案填在题中的横线上）1。

若复数z满足z i＝1－i，则z＝________。

【解析】法一:由z i＝1－i得z＝错误!＝错误!－1＝－1－i。

法二：设z＝a＋b i（a，b∈R)，由z i＝1－i,得（a＋b i）i＝1－i,即－b＋a i＝1－i。

由复数相等的充要条件得错误!即错误!∴z＝－1－i。

【答案】－1－i2。

在复平面内，复数z＝i(1＋3i）对应的点位于第________象限。

【解析】∵z＝i（1＋3i）＝i＋3i2＝－3＋i，∴复数z对应的点为（－3，1）在第二象限.【答案】二3。

(2015·全国卷Ⅱ改编）若a为实数，且（2＋a i）(a－2i)＝－4i,则a＝________。

【解析】∵（2＋a i）（a－2i）＝－4i，∴4a＋（a2－4)i＝－4i。

∴错误!解得a＝0.【答案】04。

设z为纯虚数，且｜z－1－i｜＝1，则z＝________.【解析】设z＝b i（b∈R，b≠0),则｜z－1－i｜＝|(b－1)i－1｜，∴（b－1）2＋1＝1，∴b＝1，则z＝i。

【答案】i5.（2016·辽宁三校高二期末）复数z满足方程｜z－(－1＋i）｜＝4，那么复数z在复平面内对应的点P的轨迹方程是________。

【解析】设z＝x＋y i，由|z－（－1＋i）|＝4得|（x＋1)＋（y －1）i|＝4,即错误!＝4,则（x＋1）2＋（y－1)2＝16.【答案】(x＋1）2＋（y－1）2＝166.在复平面内,若复数（－6＋k2）－（k2－4）i所对应的点位于第三象限，则实数k的取值范围是________.【解析】由已知得错误!∴4<k2<6,∴k∈（－错误!,－2)∪(2，错误!）。

【答案】(－错误!,－2)∪(2,错误!）7。

设a，b∈R,a＋b i＝错误!（i为虚数单位）,则a＋b的值为________。

2016-2017学年高三数学(苏教版选修2-2)配套习题：第二章推理与证明 2.1.3 Word版含解析

2.1.3　推理案例赏析明目标、知重点　1.通过对具体的数学思维过程的考察，进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的联系.2.尝试用合情推理和演绎推理研究某些数学问题，提高分析问题、探究问题的能力．1．数学活动与探索数学活动是一个探索创造的过程，是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程．2．合情推理和演绎推理的联系在数学活动中，合情推理具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用，演绎推理为合情推理提供了前提，对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据．[情境导学]合情推理和演绎推理之间具有怎样的联系和差别？合情推理和演绎推理是怎样推进数学发展活动的？下面通过几个案例进一步来熟悉．探究点一　运用归纳推理探求结论思考1　在数学活动中，归纳推理一般有几个步骤？答　(1)实验、观察：列举几个特别的例子，并推演出相应的结论．(2)概括、推广：分析上述实验的共性，如位置关系、数量关系及变化规律，找出通性．(3)猜测一般性结论：由上述概括出的通性，推广出一般情形下的结论，此结论就涵盖所有特例的结论．思考2　归纳推理的结论是否正确？它在数学活动中有什么作用？答　归纳推理的结论具有猜测的性质，结论不一定正确；它可以为数学活动的结论提供目标和方向．例1　已知数列的前4项为，1，，，试写出这个数列的一个通项公式．32710917解　把已知4项改写为，，，，记此数列的第n 项为a n ，则有a 1＝；a 2＝32557109172×1＋112＋1；a 3＝，2×2＋122＋12×3＋132＋1a 4＝，….2×4＋142＋1据此猜测a n ＝.2n ＋1n 2＋1反思与感悟　运用归纳推理猜测一般结论，关键在于挖掘事物的变化规律和相互关系，可以对式子或命题进行适当转换，使其中的规律明晰化．跟踪训练1　下列各图均由全等的小等边三角形组成，观察规律，归纳出第n 个图形中小等边三角形的个数为________．答案　n 2解析　前4个图中小三角形个数分别为1,4,9,16.猜测：第n 个图形中小等边三角形的个数为n 2.探究点二　运用类比推理探求结论思考1　在数学活动中，类比推理一般有几个步骤？答　(1)观察、比较：对比两类对象，挖掘它们之间的相似(同)点和不同点．(2)联想、类推：提炼出两类对象的本质的共同的属性，并根据一类对象所具有的性质推测另一类对象也具有某种类似的性质．(3)猜测新的结论：把猜测的某种结论用相关语言确切地表述出来．思考2　类比推理的结论是否一定正确？答　从类比推理的思维过程可以看出：类比的前提是观察、比较和联想，其结论只是一种直觉的、经验式的推测，它还只是一种猜想，结论的正确与否，有待于进一步论证．例2　Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，则BC 2＝BD ·BA .(如图甲)类比这一定理，在三条侧棱两两垂直的三棱锥P —ABC (如图乙)中，可得到什么结论？解　如图在三棱锥P —ABC 中，作PO ⊥平面ABC ，连结OB 、OC 猜想下列结论：S ＝S △OBC ·S △ABC .2△PBC 证明：连结AO ，并延长交BC 于D ，连结PD .PA ⊥PB ，PA ⊥PC ⇒PA ⊥平面PBC .∵PD ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴PA ⊥PD ，PA ⊥BC .∵PO ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PO ⊥AD ，PO ⊥BC .∴BC ⊥平面PAD .∴BC ⊥AD ，BC ⊥PD .S ＝2＝BC 2·PD22△PBC (12BC ·PD )14S △OBC ·S △ABC ＝BC ·OD ·BC ·AD 1212＝BC 2·OD ·AD .14∵PD 2＝OD ·AD ，∴S ＝S △OBC ·S △ABC .2△PBC 反思与感悟　在类比推理中，要提炼两类事物的共同属性．一般而言，提炼的共同属性越本质，则猜想的结论越可靠．跟踪训练2　如图，设△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，BC 边上的高AD ＝h .扇形A 1B 1C 1中，＝l ，半径为R ，△ABC 的面积可通过下列公式计算：B 1C 1(1)S ＝ah ；12(2)S ＝bc sin ∠BAC .12运用类比的方法，猜想扇形A 1B 1C 1的面积公式，并指出其真假．(1)________________________________________________________________________；(2)________________________________________________________________________．答案　(1)S ＝lR 真命题12(2)S ＝R 2sin A 1　假命题12探究点三　运用演绎推理证明结论的正确性思考1　合情推理与演绎推理有何异同之处？答　合情推理是从特殊到一般，思维开放，富于创造性，但结论不一定正确，是一种或然推理．演绎推理是从一般到特殊，思维收敛，较少创造性，当前提和推理形式都正确时，结论一定正确，是一种必然推理．合情推理为演绎推理确定了目标和方向，而演绎推理又论证了合情推理结论的正误，二者相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程．思考2　应用三段论推理时，一定要严格按三段论格式书写吗？答　在实际应用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表述方式．前一个三段论的结论往往作为下一个三段论的前提．例3　在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *.(1)求证数列{a n －n }是等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)求证不等式S n ＋1≤4S n 恒成立(n ∈N *)．(1)证明　由a n ＋1＝4a n －3n ＋1，得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，n ∈N *.∴＝4 (n ∈N *)．an ＋1－(n ＋1)an －n∴数列{a n －n }是以a 1－1，即2－1＝1为首项，以4为公比的等比数列．(2)解　由(1)可知a n －n ＝4n －1，∴a n ＝n ＋4n －1.∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(1＋40)＋(2＋41)＋…＋(n ＋4n －1)＝(1＋2＋…＋n )＋(1＋4＋…＋4n －1)＝＋·4n －.n (n ＋1)21313(3)证明　由(2)知，S n ＋1－4S n ＝＋·4n ＋1－－(n ＋1)(n ＋2)213134[n (n ＋1)2＋13·4n －13]＝－2n (n ＋1)＋1(n ＋1)(n ＋2)2＝－≤0，(n －1)(3n ＋4)2∴S n ＋1≤4S n 恒成立(n ∈N *)．反思与感悟　演绎推理的一般形式是三段论，证题时要明确三段论的大前提、小前提和结论，写步骤时常省略大前提或小前提．跟踪训练3　已知函数f (x )对任意的x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．求证：f (x )是奇函数．证明　∵对任意x ，y ∈R ，有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．∴当x ＝y ＝0时，f (0)＝2f (0)，∴f (0)＝0.又令y ＝－x ，则f (－x )＋f (x )＝f (0)＝0.∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．1．一个数列的第2项到第4项分别是3，，，据此可以猜想这个数列的第一项是1521________．答案　3解析　∵a 2＝＝，a 3＝＝，96×2－3156×3－3a 4＝＝，∴猜想a 1＝＝.216×4－36×1－332．在平面中，圆内接平行四边形一定是矩形．运用类比，可猜想在空间有如下命题：________________________________.答案　球内接平行六面体一定是长方体3．设x i >0 (i ∈N *)，有下列不等式成立，x 1＋x 2≥2；x 1＋x 2＋x 3≥3，…类比上x 1x 23x 1x 2x 3述结论，对于n 个正数x 1，x 2，…，x n ，猜想有下述结论______________________．答案　x 1＋x 2＋…＋x n ≥n nx 1x 2…xn4．已知a 、b ∈N *，f (a ＋b )＝f (a )f (b )，f (1)＝2，则＋＋…＋＝________.f (2)f (1)f (3)f (2)f (2 013)f (2 012)答案　4 024解析　令b ＝1，则f (a ＋1)＝f (a )f (1)，∴＝f (1)＝2.f (a ＋1)f (a )∴＋＋…＋＝2＋2＋…＋2f (2)f (1)f (3)f (2)f (2 013)f (2 012)＝2×2 012＝4 024.[呈重点、现规律]1．数学活动中，合情推理和演绎推理相辅相成，共同推动发现活动的进程．2．合情推理中要对已有事实进行分析，作出猜想，猜想的结论为演绎推理提供了目标和方向.一、基础过关1．有两种花色的正六边形地板砖，按下面的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有底纹的正六边形的个数是________．答案　31解析　有底纹的正六边形的个数组成等差数列a 1＝6，d ＝5，∴a 6＝6＋(6－1)×5＝31.2．观察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋...＋>，1＋＋＋...＋>2,1＋＋＋...＋>， (1)21213121317321213115121313152由此猜测第n 个等式为______________________(n ∈N *)．答案　1＋＋＋…＋>121312n －1n23．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2＋1.则此数列的前4项分别为a 1＝________，a 2＝________，a 3＝________，a 4＝________.据此猜测，数列{a n }的通项公式为a n ＝_______.答案　2　3　5　7　Error!4．正方形ABCD 中，对角线AC ⊥BD .运用类比的方法，猜想正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，相关结论：________________________.答案　对角面AA 1C 1C ⊥BB 1D 1D5．如果函数f (x )是奇函数，那么f (0)＝0.因为函数f (x )＝是奇函数，所以f (0)＝0.这段演绎1x 推理错误的原因是______________．答案　大前提错误6．已知△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，三边是a ，b ，c ，则有a ＝c cos B ＋b cos C ；类比上述推理结论，写出下列条件下的结论：四面体P —ABC 中，△ABC ，△PAB ，△PBC ，△PCA 的面积分别是S ，S 1，S 2，S 3，二面角P —AB —C ，P —BC —A ，P —AC —B 的度数分别是α，β，γ，则S ＝____________________________________.答案　S 1cos α＋S 2cos β＋S 3cos γ7．已知等式：(tan 5°＋1)(tan 40°＋1)＝2；(tan 15°＋1)(tan 30°＋1)＝2；(tan 25°＋1)(tan 20°＋1)＝2；据此可猜想出一个一般性命题：______________________________.答案　(tan α＋1)[tan(45°－α)＋1]＝2二、能力提升8．仔细观察下面○和●的排列规律：○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________．答案　14解析　进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，则前n 组两种圈的总数是f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n ＋1)＝，n (n ＋3)2易知f (14)＝119，f (15)＝135，故n ＝14.9．设M 是具有以下性质的函数f (x )的全体：对于任意s >0，t >0，都有f (s )＋f (t )<f (s ＋t )．给出函数f 1(x )＝log 2x ，f 2(x )＝2x －1.下列判断正确的是________．①f 1(x )∈M ；②f 1(x )∉M ；③f 2(x )∈M ；④f 2(x )∉M .答案　②③解析　对于f 1(x )＝log 2x ；log 22＋log 24>log 2(2＋4)，所以f 1(x )∉M .对于f 2(x )＝2x －1：2s －1＋2t －1－(2s ＋t －1)＝－(2s －1)(2t －1)<0，f 2(x )∈M .10．已知命题：平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A (－p,0)和C (p,0)，顶点B 在椭圆＋＝1 (m >n >0，p ＝)上，椭圆的离心率是e ，则＝.x 2m 2y 2n 2m 2－n 2sin A ＋sin Csin B1e 将该命题类比到双曲线中，给出一个命题：________________________________________.答案　平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A (－p,0)和C (p,0)，顶点B 在双曲线－＝1 (m ，n >0，p ＝)上，双曲线的离心率为e ，则＝x 2m 2y 2n 2m 2＋n 2|sin A －sin C |sin B1e11．已知命题：“若数列{a n }是等比数列，且a n >0，则数列b n ＝(n ∈N *)也是等na 1a 2…an 比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．解　类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{a n }是等差数列，则数列b n ＝也是等差数列．a 1＋a 2＋…＋ann证明：设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＝＝＝a 1＋(n －1)，a 1＋a 2＋…＋annna 1＋n (n －1)d2nd 2所以数列{b n }是以a 1为首项，为公差的等差数列．d212．在平面中有命题：等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高．把此结论类比到空间的正三棱锥，猜想并证明相关结论．解　猜想结论：正三棱锥底面上任一点到三个侧面的距离之和等于以侧面为底时三棱锥的高．证明如下：设P 为正三棱锥A —BCD 底面上任一点，点P 到平面ABC 、ACD 、ABD 的距离分别为h 1、h 2、h 3，以侧面ABC 为底时对应的高为h ，则：V P —ABC ＋V P —ACD ＋V P —ABD ＝V D —ABC .即：S △ABC ·h 1＋S △ACD ·h 2＋S △ABD ·h 3131313＝S △ABC ·h .13∵S △ABC ＝S △ACD ＝S △ABD∴h 1＋h 2＋h 3＝h ，此即要证的结论．三、探究与拓展13．记S n 为数列{a n }的前n 项和，给出两个数列：(Ⅰ)5,3,1，－1，－3，－5，－7，…(Ⅱ)－14，－10，－6，－2,2,6,10,14,18，…(1)对于数列(Ⅰ)，计算S 1，S 2，S 4，S 5；对于数列(Ⅱ)，计算S 1，S 3，S 5，S 7；(2)根据上述结果，对于存在正整数k ，满足a k ＋a k ＋1＝0的这一类等差数列{a n }的和的规律，猜想一个正确的结论，并加以说明．解　(1)对于数列(Ⅰ)，S 1＝S 5＝5，S 2＝S 4＝8；对于数列(Ⅱ)，S 1＝S 7＝－14，S 3＝S 5＝－30.(2)对于等差数列{a n }，当a k ＋a k ＋1＝0时，猜想S n ＝S 2k －n (n ≤2k ，n ，k ∈N *)．下面给出证明：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .∵a k ＋a k ＋1＝0，∴a 1＋(k －1)d ＋a 1＋kd ＝0，∴2a 1＝(1－2k )d .又S 2k －n －S n ＝(2k －n )a 1＋d －na 1－d(2k －n )(2k －n －1)2n (n －1)2＝[(k －n )(1－2k )＋－]d ＝0.(2k －n )(2k －n －1)2n (n －1)2∴S2k－n＝S n，猜想正确．。

高中数学苏教版高二选修2-2学业分层测评：第二章_推理与证明_17 含解析

高中数学苏教版高二选修2-2学业分层测评：第二章_推理与证明_17 含解析学业分层测评(十七)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1.设f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于________.【解析】f(n＋1)－f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1＋13n＋13n＋1＋13n＋2－f(n)＝13n＋13n＋1＋13n＋2.【答案】13n＋13n＋1＋13n＋22.(2016·无锡高二期末)用数学归纳法证明不等式“1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋13n＋1＞2512”，当n＝1时，不等式左边的项为：________.【解析】不等式左边分子是1，分母是从n＋1一直到3n＋1的分数之和，当n＝1时，n＋1＝2,3n＋1＝4，左边项为12＋13＋14.【答案】12＋13＋143.用数学归纳法证明：“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取值________.【导学号：01580053】【解析】∵当n＝1时，21＝12＋1；当n＝2时，22＜22＋1，当n＝3时，23＜32＋1；当n＝4时，24＜42＋1；当n≥5时，2n＞n2＋1恒成立.∴n0＝5.【答案】 54.若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，n∈N*，则f(k＋1)－f(k)＝______________.【解析】f(k)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2，f (k ＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，则f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.【答案】 (2k ＋1)2＋(2k ＋2)25.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n ＝________.【解析】 a 1＝1＝21×2，a 2＝22×3，a 3＝23×4，a 4＝24×5，猜想a n ＝2n (n ＋1). 【答案】 2n (n ＋1)6.用数学归纳法证明a n ＋b n 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2n (a ，b 是非负实数，n ∈N *)时，假设n ＝k 命题成立之后，证明n ＝k ＋1时命题也成立的关键是两边同乘以________.【解析】要想办法出现a k ＋1＋b k ＋1，两边同乘以a ＋b 2，右边也出现了要证的⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2k ＋1. 【答案】 a ＋b 27.以下是用数学归纳法证明“n ∈N *时，2n ＞n 2”的过程，证明：(1)当n ＝1时，21＞12，不等式显然成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即2k ＞k 2.那么，当n ＝k ＋1时，2k ＋1＝2×2k ＝2k ＋2k ＞k 2＋k 2≥k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2. 即当n ＝k ＋1时不等式也成立.根据(1)和(2)，可知对任何n ∈N *不等式都成立.其中错误的步骤为________(填序号).【解析】在2k ＋1＝2×2k ＝2k ＋2k ＞k 2＋k 2≥k 2＋2k ＋1中用了k 2≥2k ＋1，这是一个不确定的结论.如k ＝2时，k 2＜2k ＋1.【答案】 (2)8.用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是_____.【解析】当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12. 当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，所以左边添加的式子为(k ＋1)2＋k 2.【答案】 (k ＋1)2＋k 2二、解答题9.用数学归纳法证明：当n ∈N *时，1＋22＋33＋…＋n n ＜(n ＋1)n .【证明】 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2,1＜2，不等式成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即1＋22＋33＋…＋k k ＜(k ＋1)k ，那么，当n ＝k ＋1时，左边＝1＋22＋33＋…＋k k ＋(k ＋1)k ＋1＜(k ＋1)k ＋(k ＋1)k ＋1＝(k ＋1)k (k ＋2)＜(k ＋2)k ＋1＝(k ＋1)＋1]k ＋1＝右边，即左边＜右边，即当n ＝k ＋1时不等式也成立.根据(1)和(2)，可知不等式对任意n ∈N *都成立.10.已知数列{a n }满足a n ＋1＝12－a n ，a 1＝0.试猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明. 【解】由a n ＋1＝12－a n ，a 1＝0，得 a 2＝12－0＝12，a 3＝12－12＝23，a 4＝12－23＝34， a 5＝12－34＝45，….归纳上述结果，可得猜想a n ＝n －1n (n ＝1,2,3，…).下面用数学归纳法证明这个猜想：(1)当n ＝1时，猜想显然成立.(2)假设当n ＝k 时猜想成立，即a k ＝k －1k ，那么，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12－a k＝12－k －1k＝k k ＋1＝(k ＋1)－1k ＋1，即当n ＝k ＋1时，猜想也成立.根据(1)和(2)，可知猜想a n ＝n －1n 对所有正整数都成立，即为数列{a n }的通项公式.能力提升]1.用数学归纳法证明“当n 为正偶数时x n －y n 能被x ＋y 整除”第一步应验证n ＝________时，命题成立；第二步归纳假设应写成________.【解析】由于n 为正偶数，第一步应检验n ＝2时，命题成立.第二步，应假设n ＝2k (k ∈N *)时命题成立，即n ＝2k (k ∈N *)时x 2k －y 2k 能被x ＋y 整除.【答案】 2 假设n ＝2k (k ∈N *)时x 2k －y 2k 能被x ＋y 整除2.用数学归纳法证明：凸n 边形对角线的条数f (n )＝12n (n －3)(n ≥4)时，f (k ＋1)与f (k )的关系是_______________________________________________.【解析】假设n＝k(k≥4，k∈N*)时成立，则f(k)＝12k(k－3)，当n＝k＋1时，多出一条边，实际上增加的对角线条数为k＋1－2＝k－1条，所以f(k＋1)＝f(k)＋k－1.【答案】f(k＋1)＝f(k)＋k－13.用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n－1＜n(n＞1)”，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项的项数是________.【解析】当n＝k＋1时，左边是1＋12＋13＋…＋12k－1＋12k＋…＋12k＋1－1增加的是12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1，共有2k＋1－1－2k＋1＝2k项，故左边应增加的项的项数是2k.【答案】2k4.用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为__________.【导学号：01580054】【解析】当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81·34k＋2＋25·52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k ＋2.【答案】25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋25.设函数y＝f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy.(1)求f(0)的值；(2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N*)的表达式，并用数学归纳法加以证明.【解】(1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0⇒f(0)＝0.(2)f(1)＝1，f(2)＝f(1＋1)＝1＋1＋2＝4，f(3)＝f(2＋1)＝4＋1＋2×2×1＝9，f(4)＝f(3＋1)＝9＋1＋2×3×1＝16.(3)猜想f(n)＝n2，下面用数学归纳法证明.当n＝1时，f(1)＝1满足条件.假设当n＝k(k∈N*)时成立，即f(k)＝k2，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2k＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，从而可得当n＝k＋1时满足条件，所以对任意的正整数n，都有f(n)＝n2.。

高中数学苏教版高二选修2-2学业分层测评：章末综合检测_02

章末综合测评(二)(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中的横线上)1.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，若f(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点.因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是f(x)＝x3的极值点.以上推理中________错误.【解析】大前提是错误的，若f′(x0)＝0，x＝x0不一定是函数f(x)的极值点.【答案】大前提2.下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为________.图1【解析】由图形可知，着色三角形的个数依次为：1,3,9,27，…，故a n＝3n－1.【答案】3n－13.(2016·日照联考)已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，计算得f(22)＞2，f(23)＞52，f(24)＞3，f(25)＞72，由此推测，当n≥2时，有________.【解析】因为f(22)＞42，f(23)＞52，f(24)＞62，f(25)＞72，所以推测，当n≥2时，f(2n)＞n＋22.【答案】f(2n)＞n＋2 24.已知圆x2＋y2＝r2(r＞0)的面积为S＝πr2，由此类比椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的面积最有可能是________.【解析】将圆看作椭圆的极端情况，即a＝b情形.∴类比S圆＝πr2，得椭圆面积S＝πab.【答案】πab5.已知a＞0，b＞0，m＝lg a＋b2，n＝lga＋b2，则m与n的大小关系为________.【解析】∵(a＋b)2＝a＋b＋2ab＞a＋b＞0，∴a ＋b ＞a ＋b ＞0，则a ＋b 2＞a ＋b2.∴lga ＋b 2＞lg a ＋b2，则m ＞n .【答案】 m ＞n6.已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }是各项均为正数的等比数列，且公比q ＞1，若a 1＝b 1，a 2 013＝b 2 013，则a 1 007与b 1 007的大小关系是________.【解析】由2a 1 007＝a 1＋a 2 013，得a 1 007＝a 1＋a 2 0132.又b 21 007＝b 1·b 2 013，得b 1 007＝b 1·b 2 013， ∵a 1＝b 1＞0，a 2 013＝b 2 013＞0，且a 1≠a 2 013， ∴a 1 007＞b 1 007. 【答案】 a 1 007＞b 1 007 7.利用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n＞12(n ＞1，n ∈N *)的过程中，第一步的代数式为____________________.【解析】第一步：n ＝2时，左边为12＋1＋12＋2，故代数式为12＋1＋12＋2＞12. 【答案】12＋1＋12＋2＞12 8.(2016·江西一模)观察下列等式： (1＋x ＋x 2)1＝1＋x ＋x 2，(1＋x ＋x 2)2＝1＋2x ＋3x 2＋2x 3＋x 4，(1＋x ＋x 2)3＝1＋3x ＋6x 2＋7x 3＋6x 4＋3x 5＋x 6，(1＋x ＋x 2)4＝1＋4x ＋10x 2＋16x 3＋19x 4＋16x 5＋10x 6＋4x 7＋x 8，由以上等式推测：对于n ∈N *，若(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则a 2＝________. 【解析】观察知，a 2为数列1,3,6,10，…中的第n 项，而1＝22＝1×22，3＝62＝2×32，6＝122＝3×42，10＝202＝4×52，…，归纳得a 2＝n (n ＋1)2.【答案】n (n ＋1)29.将全体正整数排成一个三角形数阵：图2根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左到右的第三个数是________. 【解析】前n －1行共有正整数1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n 2－n2个， ∴第n 行第3个数是n 2－n 2＋3＝n 2－n ＋62.【答案】 n 2－n ＋6210.(2016·东北三校二模)观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n 个等式为________.【解析】由题知13＝12； 13＋23＝⎝⎛⎭⎪⎫2×322； 13＋23＋33＝⎝⎛⎭⎪⎫3×422； 13＋23＋33＋43＝⎝⎛⎭⎪⎫4×522； …∴13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22. 【答案】 13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)2211.已知点A (x 1,3x 1)，B (x 2,3x 2)是函数y ＝3x 的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论3x 1＋3x 22＞3x 1＋x 22成立.运用类比思想方法可知，若点A (x 1，tan x 1)，B (x 2，tan x 2)是函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜x ＜0的图象上任意不同两点，则类似地有____________成立.【解析】因为y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜x ＜0图象是上凸的，因此线段AB 的中点的纵坐标tan x 1＋tan x 22总是小于函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜x ＜0图象上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，tan x 1＋x 22的纵坐标，即有tan x 1＋tan x 22＜tan x 1＋x 22成立.【答案】 tan x 1＋tan x 22＜tan x 1＋x 2212.定义映射f ：A →B ，其中A ＝{(m ，n )|m ，n ∈R }，B ＝R ，已知对所有的有序正整数对(m ，n )满足下述条件：①f (m,1)＝1；②若n ＞m ，则f (m ，n )＝0；③f (m ＋1，n )＝nf (m ，n )＋f (m ，n －1)].则f (2,2)＝________，f (n,2)＝________.【解析】根据定义得f (2,2)＝f (1＋1,2)＝2f (1,2)＋f (1,1)]＝2f (1,1)＝2×1＝2. f (3,2)＝f (2＋1,2)＝2f (2,2)＋f (2,1)]＝2×(2＋1)＝6＝23－2，f (4,2)＝f (3＋1,2)＝2f (3,2)＋f (3,1)]＝2×(6＋1)＝14＝24－2，f (5,2)＝f (4＋1,2)＝2f (4,2)＋f (4,1)]＝2×(14＋1)＝30＝25－2，所以根据归纳推理可知f (n,2)＝2n －2.【答案】 2 2n －213.(2014·陕西高考)观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中F ，V ，E所满足的等式是_______________________________________________.【解析】观察表中数据，并计算F ＋V 分别为11,12,14，又其对应E 分别为9,10,12，易观察并猜想F ＋V －E ＝2.【答案】 F ＋V －E ＝214.(2016·北京顺义区统考)数列{a n }的前n 项和为S n ，若数列{a n }的各项按如下规则排列： 12；13，23；14，24，34；15，25，35，45；…1n ，2n ，…，n －1n ….则a 15＝______；若存在正整数k ，使S k －1＜10，S k ＞10，则a k ＝________.【解析】从题中可看出分母n ＋1出现n 次，当分母为n ＋1时，分子依次是1,2,3，…n 共n 个，由于1＋2＋3＋4＋5＝15.因此a 15＝56.计算分母为n ＋1的各分数的和，依次为12，1，32，2，52，3，…，而12＋1＋32＋2＋52＋3＝10.5＞10，但12＋1＋32＋2＋52＝7.5＜10，再计算17＋27＋3 7＋47＋57＝217，而712＋217＝9914＜10，故a k＝67.【答案】5667二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)用反证法证明：如果x＞12，那么x2＋2x－1≠0.【导学号：01580057】【证明】假设x2＋2x－1＝0，则x＝－1±2.容易看出－1－2＜12，下面证明－1＋2＜12.要证：－1＋2＜12，只需证：2＜32，只需证：2＜94.上式显然成立，故有－1＋2＜12.综上，x＝－1±2＜12.而这与已知条件x＞12相矛盾，因此假设不成立，也即原命题成立.16.(本小题满分14分)设数列{a n}的前n项和S n＝n(a n＋1)2(n∈N*)，a2＝2.(1)求{a n}的前三项a1，a2，a3；(2)猜想{a n}的通项公式，并证明.【解】(1)由S n＝n(a n＋1)2得a1＝1，又由a2＝2，得a3＝3.(2)猜想：a n＝n.证明如下：①当n＝1时，猜想成立.②假设当n＝k(k≥2)时，猜想成立，即a k＝k，那么当n＝k＋1时，a k＋1＝S k＋1－S k＝(k＋1)(a k＋1＋1)2－k(a k＋1)2.＝(k＋1)(a k＋1＋1)2－k(k＋1)2.所以a k＋1＝k2k－1－1k－1＝k＋1，所以当n＝k＋1时，猜想也成立.根据①②知，对任意n∈N*，都有a n＝n.17.(本小题满分14分)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若1a，1b，1c成等差数列.(1)比较ba与cb的大小，并证明你的结论；(2)求证：角B不可能是钝角.【解】(1)ba＜cb.证明如下：要证ba＜cb，只需证ba＜cb.∵a，b，c＞0，∴只需证b2＜ac.∵1a，1b，1c成等差数列，∴2b＝1a＋1c≥21ac，∴b2≤ac.又a，b，c均不相等，∴b2＜ac.故所得大小关系正确.(2)法一：假设角B是钝角，则cos B＜0.由余弦定理得，cos B＝a2＋c2－b22ac≥2ac－b22ac＞ac－b22ac＞0，这与cos B＜0矛盾，故假设不成立.所以角B不可能是钝角.法二：假设角B是钝角，则角B的对边b为最大边，即b＞a，b＞c，所以1a＞1b＞0，1c＞1b＞0，则1a＋1c＞1b＋1b＝2b，这与1a＋1c＝2b矛盾，故假设不成立.所以角B不可能是钝角.18.(本小题满分16分)(2016·南通月考)诺贝尔奖的发放方式为：每年一次，把奖金总额平均分成6份，奖励在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出了最有益贡献的人.每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增.假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：2002年诺贝尔奖发奖后基金总额约为19 800万美元.设f(x)表示为第x(x∈N*)年诺贝尔奖发奖后的基金总额(2002年记为f(1)).(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2012年度诺贝尔各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由.(参考数据：1.031 29≈1.32)【解】(1)由题意知：f(2)＝f(1)(1＋6.24%)－12f(1)·6.24%＝f(1)(1＋3.12%)，f(3)＝f(2)(1＋6.24%)－12f(2)·6.24%＝f(1)·(1＋3.12%)2，∴f(x)＝19 800·(1＋3.12%)x－1(x∈N*).(2)2011年诺贝尔奖发奖后基金总额为f(10)＝19 800×(1＋3.12%)9＝26 136万美元，∴2012年度诺贝尔奖各项奖金额为16×12×f(10)×6.24%≈136万美元，与150万美元相比少了约14万美元.所以新闻“2012年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”不真，是假新闻.19.(本小题满分16分)(2016·南通三模)各项均为正数的数列{x n}对一切n∈N*均满足x n＋1x n＋1<2.证明：(1)x n<x n＋1；(2)1－1n<x n<1.【证明】(1)因为x n>0，x n＋1x n＋1<2，所以0<1x n＋1<2－x n，所以x n＋1>12－x n，且2－x n>0.因为12－x n －x n＝x2n－2x n＋12－x n＝(x n－1)22－x n≥0，所以12－x n≥x n，所以x n ≤12－x n <x n ＋1，即x n <x n ＋1. (2)下面先证明x n ≤1.假设存在自然数k ，使得x k >1，则一定存在自然数m ，使得x k >1＋1m . 因为x k ＋1x k ＋1<2，x k ＋1>12－x k >12－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m ＝mm －1. x k ＋2>12－x k ＋1>12－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m －1>m －1m －2，…，x k ＋m －1>m －(m －2)m －(m －1)＝2，与题设x k ＋1x k ＋1<2矛盾，所以x k ≤1. 若x k ＝1，则x k ＋1>x k ＝1，根据上述证明可知存在矛盾. 所以x k <1成立.下面用数学归纳法证明：x n >1－1n .①当n ＝1时，由题设x 1>0可知结论成立； ②假设n ＝k 时，x k >1－1k ，当n ＝k ＋1时，由(1)得，x k ＋1>12－x k >12－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＝k k ＋1＝1－1k ＋1，故x n >1－1n .20.(本小题满分16分)在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *).(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此归纳出{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论； (2)证明：1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋1a 3＋b 3＋…＋1a n ＋b n <512. 【解】 (1)由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1，由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25.猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2. 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立. ②假设当n ＝k 时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2.所以当n ＝k ＋1时，结论也成立.由①②，可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数n 都成立. (2)1a 1＋b 1＝16<512. 当n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)>2(n ＋1)n . 1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋1a 3＋b 3＋…＋1a n ＋b n <16＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×3＋13×4＋…1n (n ＋1)＝16＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝16＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋1 <16＋14＝512.综上，原不等式成立.。

高二数学苏教版选修2-2阶段质量检测(二)推理与证明

3 _______ () 8 9 4AC BD ABCD AC BD51 21 21 46 ( )F V E8 x y R x 2 y 2 __________ 甘y X 1.91 2 22 2n 1 2n 1(n N *) n 1121 1 1[ 120 160 ](14)5 70ABCB②假设当n = k(k € N *)时，等式成立，即 1+ 2 + 22+…+ 2k 「1 = 2k — 1; 高中数学14 .(湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数 1,3,6,10，…，第n 个三角形数为中+1 = *n 2+切.记第n 个k 边形数为N(n , k)(k >3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 1 2 1N(n ,3) = ?n +尹正方形数 N(n,4) = n 2, 五边形数3 2 1 N(n,5) = ?n 2—1n ,六边形数N( n,6) = 2n 2— n ,可以推测N(n , k)的表达式，由此计算 N(10,24) = _________、解答题(本大题共6个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)③则当n = k + 1时,k + 11+ 2+尸+…十2k —1 + 2k=等—T =2k +1 -1则当n = k + 1时等式* »成立•由此可知，对任何 n € N ,等式都成立.上述证明步骤中错误的是 _________ •2 2 210.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，圆x + y = r (r > 0)内切于正方形 ABCD ，任取圆上一点 P ,若 OP = m OA + n OB (m , n € R ), 则和2 2m 2, n 2的等差中项；现有一椭圆 X 2+ y ^= 1(a >b > 0)内切于矩形 ABCD ,a b任取椭圆上一点 P ,若OP = m OA + n OB (m , n € R )，贝U m 2, n 2的等差中项为 ____________11.(安徽高考)如图，在等腰直角三角形 ABC 中，斜边BC = 2 . 2. 过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为 A 3 ;…，依此类推.设 BA = a 1 , AA 1 =a 2 , A 1A 2= a 3，…， A 5A 6= a 7，贝a 7=___________________________________________ .1 4 27 a12 .已知 x>0，不等式 x +-> 2, x + -2 >3, x + r > 4,…，可推广为 x + n + 1,则x x x xa 的值为 _________ .13.如图，第n 个图形是由正n + 2边形“扩展”而来(n = 1,2,3，…)，则第n 个图形中共有 ________ 个顶点.15 ( 14 ) a>0 b>0 a b 1 1 1 1 a b ab16 (14 ) {a n}a1 a3 52a n 5n 3 b n 6T n 5n a n{b n}1 a n a n 1 g"n N *)T n a1 a2 5n17 ( 14 ) sin210 2cos 40 sin 10 cos 402 si n262cos 36 sin 6 cos 3634.18 ( 16 ) a b c 0<a b c<2 (2 a)b (2 b)c1.(2 c)a19. (本小题满分16分)数列｛a n｝满足S n= 2n-a n(n € N ).(1)计算a i, a2, a3, a4,并由此猜想通项a n的表达式；⑵用数学归纳法证明(1)中的猜想.1 320. (本小题满分16分)已知函数f(x) = 3X -x，数列｛a n｝满足条件：a1> 1, a n+1>f' (a n+ 1),(1) 证明：a n> 2n- 1(n€ N ).1 1 1(2) 试比较一 + -一+…+ —与1的大小，并说明理由.1 + a1 1 + a2 1 + a n答案1. 解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市.答案：A2. 解析：平面图形中的图类比空间几何体中的球，周长类比表面积，面积类比体积.故可以得到的结论是：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大.答案：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大3. 解析：如果演绎推理的大前提和小前提都正确，则结论一定正确.大前提和小前提中，只要有一项不正确，则结论一定也不正确•故②错误.答案：①③④4. 形对角线互相垂直且平分V1_竺_包也」1_ 15.解析:V2 1 S2 h2 4 2 8'1站2答案：1 : 8高中数学12x6 6 10 26 8 12 2F V E 2.8x y 4x 2 122222x (1 y ) 1 y (1 x ) 2yp1 x 2y x 2 1 x 2 y 2.y)2 0 yx 2 y 2 1.1944 2 XT XT x xa n n n n10P(x y) 227 p 2 1 A(a b) B( a b)m OA n OBn 2(m n a (m n p22 , m n 1 ~~24m 2 n 21 4.11 ABCBC 2^2 ABAC a 1AA 1 a 2 V 2 A 1A 2a 3 1 ABCAn 1A nan 12 /(m n) (m A 5A 6 a 7 a 11 4.2 , 2A 2a7a 1 2 AA 13 27 3 P x4 x xn n -n n x13 a n a1 3 3 3 a2 4 4 4高中数学12 xa n -2 = n + n •,22a n = (n + 2) + n + 2 = n + 5n + 6. 答案：n 5+ 5n + 614. 解析：N(n , k) = a k n 2 + b k n(k 》3)，其中数列｛a k ｝是以舟为首项，2为公差的等差数列; 数列｛b k ｝是以*为首项，一1为公差的等差数列；所以N(n,24) = 11n 2- 10n,当n = 10时，N(10,24)=11 x 102- 10 x 10= 1 ooo.答案：1 00015. 证明：•/ a>0, b>0, a + b = 1.1 11 = a + b >2 ab , ab <㊁，ab <4, •-存4当a = 2, b = 2时等号成立又 a +6=(a +b) 1+b当a =1，b =2■时等号成立 1 1 1 •1+ b +新 8. 16. 解：因为 T n = a 1 + a2 5+ a3 52+ …+ an 5nS ① 所以 5T n = a 1 5+ a 2 5 + a 3 5 + …+ a n -1 5 1+a n 5，② 由①+②得：6T n = a 1+ (a 1 + a ?) 5+ @+ 83) 52 + …+ (a n -1+ a *) 5n 1+ a * 5n=1 + 5x 5+ 1 2x 52+-+n -1x 5n -1 + a n 5n=n+ an 5 ,所以 6T n — 5n a n = n ,所以数列｛ b n ｝的通项公式为b n = n.17•解：观察 40。

2016-2017学年高中数学苏教版选修2-2章末综合测评1 含解析

章末综合测评（一）(时间120分钟,满分160分)一、填空题（本大题共14小题,每小题5分，共70分，请把答案填在题中的横线上)1．函数f（x)＝错误!在点(1，－2)处的切线方程为________．【解析】f′（x）＝错误!,则f′（1)＝1,故函数f（x）在点(1，－2）处的切线方程为y－(－2)＝x－1,即x－y－3＝0。

【答案】x－y－3＝02．若函数f(x）＝错误!x3－f′（1）·x2－x,则f′(1）的值为________．【解析】f′(x)＝x2－2f′（1）·x－1，则f′（1）＝12－2f′(1）·1－1,解得f′(1）＝0.【答案】03．函数f(x）＝错误!的导数为________．【解析】f′（x）＝错误!′＝错误!＝错误!＝－错误!。

【答案】－错误!4．f(x)＝2x3－3x2＋a的极大值为6,则a＝________。

【解析】f′（x）＝6x2－6x＝6x(x－1)，令f′(x）＝0，则x＝0或x＝1.∴f(x）在（－∞,0）上递增，在（0，1)上递减，在（1,＋∞)上递增,∴f（x)极大值＝f（0)＝a，∴a＝6。

【答案】65．若a〉2，则函数f（x）＝错误!x3－ax2＋1在区间(0,2)恰好有________个零点．【解析】f′（x)＝x2－2ax＝x（x－2a）,令f′（x）＝0得x1＝0,x2＝2a〉4，∴x∈(0,2)时，f′（x）〈0,f（x）为减函数．∵f(0)＝1>0,f(2）＝错误!－4a〈0,∴f（0)f(2)〈0，∴f（x）在（0，2)内有且只有一个零点．【答案】16．(2016·长沙雅礼中学质检）函数f（x)＝x－ln x的单调递减区间是_______．【解析】令f′（x）＝1－错误!＝错误!≤0，得x∈(0，1]，∴函数f（x）的单调递减区间是（0，1］．【答案】(0，1]7．(2016·汕头检测)曲线y＝错误!x3＋x在点错误!处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为________．【解析】∵y′＝x2＋1，∴曲线在点错误!处的切线斜率为k＝12＋1＝2，故曲线在点错误!处的切线方程为y－错误!＝2(x－1),∴该切线与两坐标轴的交点分别是错误!，错误!。

2016-2017学年高中数学苏教版选修2-2学业分层测评3 常见函数的导数 Word版含解析

学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．已知f (x )＝x 2，则f ′(－2)＝________.【解析】 f ′(x )＝2x ，∴f ′(－2)＝2×(－2)＝－4.【答案】－42．若函数f (x )＝3x ，则f ′(8)＝________.【解析】 f ′(x )＝(x 13)′＝13x －23，则f ′(8)＝13×(23)－23＝13×2－2＝112.【答案】 1123．已知f (x )＝x z (z 为常数)，若f ′(－1)＝－4，则z 的值是________．【解析】 f ′(x )＝zx z －1，由f ′(－1)＝－4，得z ·(－1)z －1＝－4，所以z ＝4.【答案】 44．点P 在曲线y ＝4x 2上，曲线在该点处的切线倾斜角为135°，则点P 的坐标为________．【解析】 y ′＝(4x －2)′＝－8x －3，设点P (x 0，y 0)，依题意得－8x －30＝tan 135°＝－1，∴x 0＝2.又P (x 0，y 0)在曲线y ＝4x 2上，∴y 0＝1.【答案】 (2,1)5．曲线y ＝12x 2的平行于直线x －y ＋1＝0的切线方程为________．【解析】 ∵y ′＝x ，设切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，12x 20， ∴x 0＝1，则y 0＝12，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，切线的斜率为1， ∴切线方程为：y －12＝x －1，即x －y －12＝0.【答案】x－y－12＝06．已知f(x)＝1x，g(x)＝mx，且g′(2)＝1f′(2)，则m＝________.【解析】∵f′(x)＝－1x2，∴f′(2)＝－14，又g′(x)＝m，∴g′(2)＝m，由g′(2)＝1f′(2)，∴m＝－4.【答案】－47．函数y＝x2(x>0)的图象在点(a k，a2k)处的切线与x轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．【解析】由y＝x2(x>0)得，y′＝2x，∴函数y＝x2(x>0)在点(a k，a2k)处的切线方程为：y－a2k＝2a k(x－a k)，令y＝0，得x＝a k2，即a k＋1＝a k2，∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.【答案】218．(2016·南京高二检测)已知函数y＝f(x)的图象在M(1，f(1))处的切线方程是y＝12x＋2，则f(1)＋f′(1)＝__________.【解析】依题意知，f(1)＝12×1＋2＝52，f′(1)＝12，∴f(1)＋f′(1)＝52＋12＝3.【答案】 3二、解答题9．求下列函数的导数(1)y＝5x2；(2)y＝sin⎝⎛⎭⎪⎫x＋π2；(3)y＝2sin x2cosx2；(4)y＝log12x2－log12x.【解】 (1)y ′＝(5x 2)′＝(x 25)′＝25x＝25x .(2)∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ， ∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .(3)∵y ＝2sin x 2cos x 2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .(4)∵y ＝log 12x 2－log 12x ＝log 12x ， ∴y ′＝(log 12x )′＝1x ln 12＝－1x ln 2.10．求证：双曲线xy ＝1上任何一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数．【证明】由xy ＝1，得y ＝1x ，从而y ′＝－1x 2.在双曲线xy ＝1上任取一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，1x 0，则在点P 处的切线斜率k ＝－1x 20. 切线方程为y －1x 0＝－1x 20(x －x 0)，即y ＝－1x 20x ＋2x 0. 设该切线与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，则A (2x 0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2x 0，故S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12|2x 0|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＝2. 所以双曲线上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数．[能力提升]1．已知f (x )＝x 2，g (x )＝ln x ，若f ′(x )－g ′(x )＝1，则x ＝________.【导学号：01580008】【解析】 f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝1x ，由f ′(x )－g ′(x )＝1，得2x －1x ＝1，解之得x 1＝－12，x 2＝1.∵x >0，∴x ＝1.【答案】 12．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 016(x )＝________.【解析】由题意f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，…，则可知周期为4.从而f 2 016(x )＝f 4(x )＝sin x .【答案】 sin x3．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．【解析】 ∵y ′＝(n ＋1)x n ，∴曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，则x n ＝n n ＋1.故a n ＝lg n n ＋1＝lg n －lg (n ＋1)．所以a 1＋a 2＋…＋a 99＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋…＋(lg 98－lg 99)＋(lg 99－lg 100)＝lg 1－lg 100＝－2.【答案】－24．已知曲线C ：y ＝x 2－2x ＋3，直线l ：x －y －4＝0，在曲线C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最短，并求出最短距离．【解】设与直线l ：x －y －4＝0平行，且与曲线C ：y ＝x 2－2x ＋3相切的直线为x －y ＋k ＝0设P (x 0，y 0)，y ′＝2x －2∴2x 0－2＝1，解得x 0＝32y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－2×32＋3＝94，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94 ∴k ＝94－32＝34∴d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪34＋42＝1928 综上所述，点P 为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，最短距离为d ＝1928.。

高中数学(苏教版选修2-2)学业分层测评11 归纳推理 Word版含答案

学业分层测评(十一)(建议用时：分钟)[学业达标]一、填空题．观察下列各式：＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，…，则＋＝.【解析】从给出的式子特点观察可推知等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则＋＝.【答案】．经计算发现下列不等式：＋<，＋<，＋<，…根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数，都成立的条件不等式：.【解析】∵＝，＝，＝，∴不难得出，若＋＝，＋<.【答案】若＋＝，则＋<．观察下列等式：＝－＝－－＋＝－＋－＝－…，照此规律，第个等式可为．【解析】＝，－＝－(＋)，－＋＝＋＋，－＋－＝－(＋＋＋)，…，－＋－＋…＋(－)＋＝(－)＋(＋＋…＋)＝(－)＋.【答案】－＋－＋…＋(－)＋＝(－)＋．观察下列各式：＝＝＝，…，则的末两位数字为.【导学号：】【解析】因为＝＝＝＝＝，＝，…，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期＝.又＝×＋，所以的末两位数字与的末两位数字相同，为.【答案】．设函数()＝(>)，观察：()＝()＝，()＝((())＝，()＝((())＝，()＝((())＝，…根据以上事实，由归纳推理可得：当∈*且≥时，()＝(－())＝.【解析】函数结果的分母中项系数所组成的数列为，…，可推知该数列的通项公式为＝－.分母中常数项依次为，…，其通项为.又函数中，分子都是.())＝.∴当≥时，()＝(－【答案】．容易计算×＝×＝，×＝，×＝.根据此规律猜想…×…所得结果由左向右的第八位至第十位的三个数字依次为．【解析】由已知可归纳出…×…＝，所得结果由左向右的第八位至第十位的三个数字依次为.【答案】．某种平面分形图如图--所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为，两两夹角为°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为°，…，依此规律得到级分形图．。

高中数学(苏教版选修2-2)学业分层测评17 数学归纳法 Word版含答案

学业分层测评(十七)(建议用时：分钟)[学业达标]一、填空题.设()＝＋＋＋…＋(∈*)，那么(＋)－()等于.【解析】(＋)－()＝＋＋＋…＋＋＋＋－()＝＋＋.【答案】＋＋.(·无锡高二期末)用数学归纳法证明不等式“＋＋＋…＋＞”，当＝时，不等式左边的项为：.【解析】不等式左边分子是，分母是从＋一直到＋的分数之和，当＝时，＋＝＋＝，左边项为＋＋.【答案】＋＋.用数学归纳法证明：“＞＋对于≥的正整数都成立”时，第一步证明中的起始值应取值.【导学号：】【解析】∵当＝时，＝＋；当＝时，＜＋，当＝时，＜＋；当＝时，＜＋；当≥时，＞＋恒成立.∴＝.【答案】.若()＝＋＋＋…＋()，∈*，则(＋)－()＝.【解析】()＝＋＋＋…＋()，(＋)＝＋＋＋…＋()＋(＋)＋(＋)，则(＋)－()＝(＋)＋(＋).【答案】(＋)＋(＋).已知数列{}的前项和＝(≥)，而＝，通过计算，，，猜想＝.【解析】＝＝，＝，＝，＝，猜想＝.【答案】.用数学归纳法证明≥(，是非负实数，∈*)时，假设＝命题成立之后，证明＝＋时命题也成立的关键是两边同乘以.【解析】要想办法出现＋＋＋，两边同乘以，右边也出现了要证的＋.【答案】.以下是用数学归纳法证明“∈*时，＞”的过程，证明：()当＝时，＞，不等式显然成立.()假设当＝(∈*)时不等式成立，即＞.那么，当＝＋时，＋＝×＝＋＞＋≥＋＋＝(＋).即当＝＋时不等式也成立.根据()和()，可知对任何∈*不等式都成立.其中错误的步骤为(填序号).【解析】在＋＝×＝＋＞＋≥＋＋中用了≥＋，这是一个不确定的结论.如＝时，＜＋.【答案】().用数学归纳法证明＋＋…＋(－)＋＋(－)＋…＋＋＝时，由＝的假设到证明＝＋时，等式左边应添加的式子是.【解析】当＝时，左边＝＋＋…＋(－)＋＋(－)＋…＋＋.当＝＋时，左边＝＋＋…＋＋(＋)＋＋(－)＋…＋＋，所以左边添加的式子为(＋)＋.【答案】(＋)＋二、解答题.用数学归纳法证明：当∈*时，＋＋＋…＋＜(＋).【证明】()当＝时，左边＝，右边＝＜，不等式成立.()假设当＝(∈*)时不等式成立，即＋＋＋…＋＜(＋)，那么，当＝＋时，左边＝＋＋＋…＋＋(＋)＋＜(＋)＋(＋)＋＝(＋)(＋)＜(＋)＋＝[(＋)＋]＋＝右边，即左边＜右边，即当＝＋时不等式也成立.根据()和()，可知不等式对任意∈*都成立..已知数列{}满足＋＝，＝.试猜想{}的通项公式，并用数学归纳法证明.＝，＝，得【解】由＋＝＝，＝＝，＝＝，＝＝，….归纳上述结果，可得猜想＝(＝，…).。

高中数学(苏教版选修2-2)学业分层测评1 平均变化率 Word版含答案

学业分层测评(一)(建议用时：分钟)[学业达标]一、填空题．函数()＝在[]上的平均变化率为．【解析】＝＝－.【答案】－．函数()＝在区间[]上的平均变化率是．【解析】函数的平均变化率是＝＝.【答案】．已知某质点的运动规律为()＝(单位：)，则在到这段时间内，该质点的平均速度为.【解析】＝＝()．【答案】．在雨季潮汛期间，某水位观测员观察千岛湖水位的变化，在内发现水位从上涨到，则水位涨幅的平均变化率是.【解析】＝()．【答案】．已知函数()＝＋在区间[]上的平均变化率为，则实数＝.【解析】对于一次函数，在其定义域内的任一区间上的平均变化率相等．与一次函数对应直线的斜率相等．故＝.【答案】．已知某物体运动的速度与时间之间的关系式是()＝＋，则该物体在时间间隔内的平均加速度为．【解析】平均加速度＝.【答案】．设某产品的总成本函数为()＝＋)，其中为产量数，生产个单位到个单位时总成本的平均变化率为．【解析】( )－()＝(－(( )则(－(( －)＝＋(× ×)＝.【答案】．汽车行驶的路程和时间之间的函数图象如图--所示．在时间段[，]，[，]，[，]上的平均速度分别为，，，其三者的大小关系是．图--【解析】∵＝＝，＝＝，＝＝，由图象可知：<<，∴>>.【答案】>>二、解答题．假设在生产到台机器的情况下，生产台机器的成本是()＝－＋(元)，而售出台的收入是()＝－＋(元)，则生产并售出台至台的过程中平均利润是多少元？【解】依题意，生产并售出台所获得的利润是()＝()－()＝－(元)，∴取值从台至台的平均利润为＝＝(元)，故所求平均利润为元．．年冬至年春，某国北部某省冬麦区遭受严重干旱，根据某市农业部门统计，该市小麦受旱面积如图--所示，据图回答：图--。

2016-2017学年高中数学苏教版选修2-2学业分层测评20 复数的乘方与除法含解析

学业分层测评(二十）(建议用时：45分钟）[学业达标]一、填空题1。

（2016·盐城期末)设复数z满足i z＝－3＋i（i为虚数单位)，则z的实部为________。

【解析】由i z＝－3＋i得，z＝错误!＝1＋3i,则z的实部为1。

【答案】12。

(2016·吉林一中高二期末)复数错误!的共轭复数是________.【解析】∵错误!＝错误!＝－1－2i。

∴错误!的共轭复数是－1＋2i。

【答案】－1＋2i3.复数错误!＝________。

【解析】原式＝错误!＝错误!＝－错误!－错误!i.【答案】－错误!－错误!i4.设i是虚数单位，则i3i＋1i－1等于________.【解析】(1）∵错误!＝－错误!＝错误!＝－i，∴错误!＝i3·（－i）＝－i4＝－1。

【答案】－15.（2015·全国卷Ⅰ改编）设复数z满足错误!＝i，则｜z|＝________。

【解析】由错误!＝i，得z＝错误!＝错误!＝错误!＝i,所以｜z｜＝|i｜＝1。

【答案】16。

（2014·北京高考)若（x＋i）i＝－1＋2i，(x∈R），则x＝________.【解析】由（x＋i）i＝－1＋2i，得x＝错误!－i＝错误!－i＝2.【答案】27。

设i是虚数单位,复数1＋a i2－i为纯虚数,则实数a的值是________。

【解析】错误!＝错误!＝错误!，由纯虚数定义，则2－a＝0，∴a ＝2.【答案】28.已知错误!＝b＋i（a,b∈R），其中i为虚数单位,则a＋b＝__________。

【解析】∵错误!＝b＋i，∴a＋2i＝(b＋i)i＝－1＋b i,∴a＝－1，b＝2，∴a＋b＝1。

【答案】1二、解答题9。

计算：(1）错误!＋错误!6；(2）错误!＋错误!2＋错误!.【解】(1）原式＝错误!＋i6错误!6＝i＋i2＝i－1。

(2）原式＝错误!＋错误!＋错误!＝i＋错误!＋错误!＝i＋(－i）＋0＝0。

2016-2017学年高中数学苏教版选修2-2学业分层测评15 直接证明含解析

学业分层测评（十五）(建议用时：45分钟）[学业达标］一、填空题1.命题“函数f（x)＝x－x ln x在区间（0,1］上是增函数”的证明过程“对函数f（x）＝x－x ln x求导得f′（x)＝－ln x，当x∈(0，1)时,f′（x）＝－ln x>0，故函数f（x)在区间（0,1)上是增函数”应用了________的证明方法。

【答案】综合法2.已知a，b是不相等的正数，x＝错误!，y＝错误!,则x，y的大小关系是x________y.【解析】要比较x，y的大小。

∵x〉0，y〉0，只需比较x2，y2的大小,即错误!与a＋b的大小.∵a，b为不相等的正数,∴2错误!〈a＋b,∴错误!<a＋b,则x2〈y2，∴x〈y.【答案】〈3。

已知sin θ＋cos θ＝错误!且错误!≤θ≤错误!,则cos 2θ＝______________.【解析】由sin θ＋cos θ＝错误!得1＋2sin θcos θ＝错误!。

则2sin θcos θ＝－错误!，∵错误!≤θ≤错误!，∴sin θ〉0,cos θ<0。

∴sin θ－cos θ＝错误!＝错误!.∴sin θ＝错误!，∴cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×错误!＝－错误!。

【答案】－错误!4。

（2016·南京高二期末）已知函数f(x）＝e x－ax在区间(0，1)上有极值，则实数a的取值范围是________。

【解析】函数f（x）＝e x－ax在区间(0,1）上有极值,就是导函数f′（x）＝e x－a在区间(0,1)上有零点。

即方程e x－a＝0在区间（0，1）上有解。

所以a＝e x∈（1，e）.【答案】（1，e）5。

已知f（x）＝错误!是奇函数，那么实数a的值等于________.【解析】函数的定义域为R,函数为奇函数，当x＝0时f(0）＝0,即错误!＝0,∴a＝1.【答案】16.已知等差数列｛a n}的公差d≠0,且a1，a3,a9成等比数列,则错误!＝________.【解析】∵a1·a9＝a错误!，即a1·（a1＋8d)＝(a1＋2d)2,∴4d(a1－d)＝0，∵d≠0，∴a1＝d，∴错误!＝错误!＝错误!。

2016-2017学年高中数学模块综合测评苏教版选修2-2

模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把正确答案填在题中的横线上) 1.已知复数z ＝5i1＋2i(i 是虚数单位)，则|z |＝________. 【解析】 |z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5i 1＋2i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－5＝|i ＋2|＝ 5. 【答案】52.若f (x )＝sin α－cos x (α是常数)，则f ′(α)＝________. 【解析】 f ′(x )＝(sin α－cos x )′＝sin x ， ∴f ′(α)＝sin α. 【答案】 sin α3.(2016·重庆一中高二期末)复数z 满足z i －2i ＋1＝0(其中i 为虚数单位)，则z ＝________.【解析】由z i －2i ＋1＝0得z ＝－1＋2i i ＝－1＋－－＝2＋i.【答案】 2＋i4.若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为________. 【解析】 f ′(x )＝2x －2－4x >0，x 2－x －2x>0.∵x >0，∴(x －2)(x ＋1)>0. ∴x >2.【答案】 (2，＋∞)5.(2016·淄博质检)设复数z ＝1m ＋5＋(m 2＋2m －15)i 为实数，则实数m 的值是________.【解析】由题意知m 2＋2m －15＝0，解之得m ＝3或m ＝－5.当m ＝－5时，1m ＋5无意义，所以m ＝3.【答案】 36.函数y ＝ln x (x >0)的图象与直线y ＝12x ＋a 相切，则a 等于________.【导学号：01580074】【解析】 y ′＝(ln x )′＝1x(x >0)，又y ＝ln x 的图象与直线y ＝12x ＋a 相切，∴1x ＝12，∴x ＝2，因此，切点P (2，ln 2)在直线y ＝12x ＋a 上，∴ln 2＝1＋a ，∴a ＝ln 2－1. 【答案】 ln 2－17.观察下列的图形中小正方形的个数，则第10个图形中有________个小正方形.图1【解析】第n 个图形中有小正方形1＋2＋…＋(n ＋1)＝n ＋n ＋2(个)，故第10个图形中有66个小正方形.【答案】 668.用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)”时，由n ＝k (k >1，k ∈N *)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是________.【解析】令f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1，∴f (k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋…＋12k ＋1－1，因此应增加的项为12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，共2k项.【答案】 2k9.(2016·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab的值为________.【解析】因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R ，所以1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，所以a b＝2.【答案】 210.(2016·咸阳模拟)n ]表示不超过n 的最大整数.S 1＝1]＋2]＋3]＝3，S 2＝4]＋5]＋6]＋7]＋8]＝10，S 3＝9]＋10]＋11]＋12]＋13]＋14]＋15]＝21，……那么S n ＝________.【解析】 S 1＝12]＋12＋1]＋12＋2]＝1×3，S 2＝22]＋22＋1]＋22＋2]＋22＋3]＋22＋4]＝2×5，S 3＝32]＋32＋1]＋32＋2]＋32＋3]＋32＋4]＋32＋5]＋32＋6]＝3×7，观察式子规律，可以得出S n ＝n 2]＋n 2＋1]＋n 2＋2]＋…＋n 2＋2n ]＝n (2n ＋1). 【答案】 n (2n ＋1)11.(2014·湖南高考改编)若0<x 1<x 2<1，则下列四个结论正确的是________(填序号) ①e x 2－e x 1>ln x 2－ln x 1； ②e x 2－e x 1<ln x 2－ln x 1； ③x 2e x 1>x 1e x 2； ④x 2e x 1<x 1e x 2.【导学号：01580075】【解析】设f (x )＝e x－ln x (0<x <1)，则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x－1x.令f ′(x )＝0，得x e x －1＝0，根据函数y ＝e x与y ＝1x的图象可知两函数图象交点x 0∈(0,1)，因此函数f (x )在(0,1)上不是单调函数，故①②不正确.令g (x )＝exx(0<x <1)，则g ′(x )＝x e x －e x x 2＝e x x －x 2.当0<x <1时，g ′(x )<0，即g (x )在(0,1)上单调递减，∵0<x 1<x 2<1，∴g (x 2)<g (x 1)，即e x 2x 2<e x 1x 1，∴x 2e x 1>x 1e x 2.即③正确.【答案】 ③12.函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间是________.【解析】 y ′＝x －1x ＝x 2－1x＝x －x ＋x(x >0)令y ′<0，∵x >0，∴0<x <1，即函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间是(0,1).【答案】 (0,1)13.(2016·大连测试)已知函数f (x )＝e x－2x －1(其中e 为自然对数的底数)，则y ＝f (x )的图象大致为________(填序号).图2【解析】依题意得f ′(x )＝e x－2.当x <ln 2时，f ′(x )<0，f (x )是减函数，f (x )>f (ln 2)＝1－2ln 2；当x >ln 2时，f ′(x )>0，f (x )是增函数，因此对照图象知③正确.【答案】 ③14.观察下列推理过程：∵tan 2α－1tan α＝2tan 2α－12tan α＝－2tan 2α，∴tan α－1tan α＝－2tan 2α， ∴tan 2α－1tan 2α＝－2tan 4α，∴tan 4α－1tan 4α＝－2tan 8α，…由此可化简：tan π31＋2tan 2π31＋4tan 4π31＋8tan 8π31＋16tan 16π31＝________.【解析】由推理过程得tan α＝1tan α－2tan 2α，2tan 2α＝2tan 2α－4tan 4α，4tan 4α＝4tan 4α－8tan 8α，8tan 8α＝8tan 8α－16tan 16α，16tan 16α＝16tan 16α－32tan 32α，将这五个等式相加，得tan α＋2tan 2α＋4tan 4α＋8tan 8α＋16tan 16α＝1tan α－32tan 32α，令α＝π31，可得原式＝－31tan π31.【答案】－31tan π31二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15.复数z 1＝3a ＋5＋(a 2－10)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值.【解】 z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13a ＋a －＋(a 2＋2a －15)i.∵z 1＋z 2是实数， ∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.∵a ＋5≠0，∴a ≠－5，故a ＝3.16.(本小题满分14分)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1. (1)当a ＝－2时，讨论f (x )的单调性；(2)若x ∈2，＋∞)时，f (x )≥0，求a 的取值范围. 【解】 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 3－32x 2＋3x ＋1，f ′(x )＝3x 2－62x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝2－1，x 2＝2＋1.当x ∈(－∞， 2－1)时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，2－1)上是增函数；当x ∈(2－1，2＋1)时，f ′(x )＜0，f (x )在(2－1, 2＋1)上是减函数；当x ∈(2＋1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(2＋1，＋∞)上是增函数. (2)由f (2)≥0，得a ≥－54.当a ≥－54，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥3⎝⎛⎭⎪⎫x 2－52x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)＞0，所以f (x )在(2，＋∞)上是增函数，于是当x ∈2，＋∞)时，f (x )≥f (2)≥0.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，＋∞. 17.(本小题满分14分)设等差数列{a n }的公差为d ，S n 是{a n }中从第2n －1项开始的连续2n －1项的和，即S 1＝a 1， S 2＝a 2＋a 3， S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7，……S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋…＋a 2n －1，……若S 1，S 2，S 3成等比数列，问：数列{S n }是否成等比数列？请说明你的理由. 【解】 ∵S 1，S 2，S 3成等比数列， ∴S 1＝a 1≠0，且S 1·S 3＝S 22，由S 1·S 3＝S 22，得a 1(a 4＋a 5＋a 6＋a 7)＝(a 2＋a 3)2，即a 1(4a 1＋18d )＝(2a 1＋3d )2,2a 1d ＝3d 2.∴d ＝0或a 1＝32d .当d ＝0时，S n ＝2n －1a 1≠0，S n ＋1S n ＝2n a 12n －1a 1＝2(常数)，n ∈N *，{S n }成等比数列；当a 1＝32d 时，S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋a 2n －1＝2n －1a 2n －1＋2n －1n －1－2d＝2n －1a 1＋(2n －1－1)d ]＋2n －1n －1－2d＝2n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫32d ·2n －1＋a 1－32d ＝32d ·4n －1≠0， S n ＋1S n ＝32d ·4n32d ·4n －1＝4(常数)，n ∈N *，{S n }成等比数列. 综上所述，若S 1，S 2，S 3成等比数列，则{S n }成等比数列.18.(本小题满分16分)已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设函数g (x )＝14f (x )＋ax 3＋92x 2－b (x ∈R )，其中a ，b ∈R ，若函数g (x )仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围.【解】 (1)因为f (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数，所以－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0，所以－1<m <3，又m ∈Z ，所以m ＝0,1,2. 而m ＝0,2时，f (x )＝x 3不是偶函数，m ＝1时，f (x )＝x 4是偶函数，所以f (x )＝x 4.(2)由(1)知g (x )＝14x 4＋ax 3＋92x 2－b ，则g ′(x )＝x (x 2＋3ax ＋9)，显然x ＝0不是方程x 2＋3ax ＋9＝0的根. 为使g (x )仅在x ＝0处有极值，必须x 2＋3ax ＋9≥0恒成立，即有Δ＝9a 2－36≤0，解不等式得a ∈－2,2]. 这时，g (0)＝－b 是唯一极值，所以a ∈－2,2].19.(本小题满分16分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n .(1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想到数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想. 【解】 (1)由S 1＝a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1，因为a n >0，所以a 1＝1.由S 2＝a 1＋a 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2，得a 22＋2a 2－1＝0，所以a 2＝2－1，由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋1a 3，得a 23＋22a 3－1＝0，所以a 3＝3－ 2. (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *). 证明：①当n ＝1时，a 1＝1－0＝1，命题成立；②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，a k ＝k －k －1成立，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ，即a k ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，所以a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0.所以a k ＋1＝k ＋1－k ，则n ＝k ＋1时，命题成立.则①②知，n ∈N *，a n ＝n －n －1.20.(本小题满分16分)设函数f (x )＝a e xln x ＋b e x －1x，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ； (2)证明：f (x )>1.【解】 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋bxe x －1.由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e.故a ＝1，b ＝2. (2)证明：由(1)知，f (x )＝e xln x ＋2xe x －1，从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x－2e .设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x .所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0. 故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e . 设函数h (x )＝x e －x －2e ，则h ′(x )＝e －x(1－x ).所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0.故h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e .综上，当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1.。

高中数学苏教版高二选修2-2学业分层测评：第一章_导数及其应用_1

学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．函数f(x)＝1x在2,6]上的平均变化率为________．【解析】f(6)－f(2)6－2＝16－126－2＝－112.【答案】－1 122．函数f(x)＝log2x在区间2,4]上的平均变化率是________．【解析】函数的平均变化率是f(4)－f(2)4－2＝2－12＝12.【答案】1 23．已知某质点的运动规律为s(t)＝5t2(单位：m)，则在1 s到3 s这段时间内，该质点的平均速度为________m/s.【解析】s(3)－s(1)3－1＝5×32－5×122＝20(m/s)．【答案】204．在雨季潮汛期间，某水位观测员观察千岛湖水位的变化，在24 h内发现水位从102.7 m 上涨到105.1 m，则水位涨幅的平均变化率是________m/h.【解析】105.1－102.724＝0.1(m/h)．【答案】0.15．已知函数f(x)＝ax＋b在区间1,8]上的平均变化率为3，则实数a＝________.【解析】对于一次函数，在其定义域内的任一区间上的平均变化率相等．与一次函数对应直线的斜率相等．故a＝3.【答案】 36．已知某物体运动的速度与时间之间的关系式是v(t)＝t＋13t3，则该物体在时间间隔⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32内的平均加速度为________．【解析】平均加速度32＋13·⎝ ⎛⎭⎪⎫323－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1332－1＝3112. 【答案】 31127．设某产品的总成本函数为C (x )＝1 100＋x 21 200，其中x 为产量数，生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为________．【解析】 C (1 000)－C (900)＝(1 000)2－(900)21 200则C (1 000)－C (900)1 000－900＝(1 000＋900)×1001 200×100＝1912. 【答案】 19128．汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图1-1-2所示．在时间段t 0，t 1]，t 1，t 2]，t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，其三者的大小关系是________．图1-1-2【解析】 ∵v 1＝s (t 1)－s (t 0)t 1－t 0＝k MA ， v 2＝s (t 2)－s (t 1)t 2－t 1＝k AB ， v 3＝s (t 3)－s (t 2)t 3－t 2＝k BC ，由图象可知：k MA <k AB <k BC ，∴v 3>v 2>v 1.【答案】 v 3>v 2>v 1二、解答题9．假设在生产8到30台机器的情况下，生产x 台机器的成本是c (x )＝x 3－6x 2＋15x (元)，而售出x 台的收入是r (x )＝x 3－3x 2＋12x (元)，则生产并售出10台至20台的过程中平均利润是多少元？【解】依题意，生产并售出x 台所获得的利润是L (x )＝r (x )－c (x )＝3x 2－3x (元)，∴x 取值从10台至20台的平均利润为L (20)－L (10)20－10＝3×202－3×20－(3×102－3×10)10 ＝87(元)，故所求平均利润为87元．10．2015年冬至2016年春，某国北部某省冬麦区遭受严重干旱，根据某市农业部门统计，该市小麦受旱面积如图1-1-3所示，据图回答：图1-1-3(1)2015年11月至2015年12月间，小麦受旱面积变化大吗？(2)哪个时间段内，小麦受旱面积增幅最大？(3)从2015年11月到2016年2月，与从2016年1月到2016年2月间，试比较哪个时间段内，小麦受旱面积增幅较大？【解】 (1)在2015年11月至2015年12月间，Δs 变化不大，即小麦受旱面积变化不大．(2)由图形知，在2016年1月至2016年2月间，平均变化率Δs Δt 较大，故小麦受旱面积增幅最大．(3)在2015年11月至2016年2月间，平均变化率为s B －s A 3，在2016年1月至2016年2月间，平均变化率为s B －s C 1＝s B －s C ，显然k BC >k AB ，即s B －s C >s B －s A 3，∴在2016年1月至2016年2月间，小麦受旱面积增幅较大．能力提升]1．如图1-1-4是函数y ＝f (x )的图象，则函数f (x )在区间0,2]上的平均变化率为________.【导学号：01580002】图1-1-4【解析】由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以，函数f (x )在区间0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34. 【答案】 342．已知曲线y ＝1x －1上两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋Δx ，－12＋Δy ，当Δx ＝1时，直线AB 的斜率为________．【解析】 ∵Δx ＝1,2＋Δx ＝3，∴f (2＋Δx )－f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1 ＝13－12＝－16.k AB ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－16. 【答案】－163．函数y ＝x 3＋2在区间1，a ]上的平均变化率为21，则a ＝________.【解析】 (a 3＋2)－(13＋2)a －1＝a 3－1a －1＝a 2＋a ＋1＝21. 解之得a ＝4或a ＝－5.又∵a >1，∴a ＝4.【答案】 44．(2016·泰安检测)巍巍泰山为我国五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？图1-1-5【解】山路从A 到B 高度的平均变化率为h AB ＝Δy Δx ＝10－050－0＝15，山路从B 到C 高度的平均变化率为h BC ＝Δy Δx ＝15－1070－50＝14， ∵h BC >h AB ，∴山路从B 到C 比从A 到B 要陡峭得多.。

高中数学苏教版高二选修2-2学业分层测评：第一章_导数及其应用_8

学业分层测评(八)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件．【解析】因为y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0，得x ＝9. 当0<x <9时，y ′>0；当x >9时，y ′<0.故当x ＝9时，函数有极大值，也是最大值．【答案】 92．做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．【解析】设半径为r ，则高h ＝27r 2， ∴S ＝2πr ·h ＋πr 2＝2πr ·27r 2＋πr 2＝54πr ＋πr 2. 令S ′＝2πr －54πr 2＝0，得r ＝3， ∴当r ＝3时，用料最省．【答案】 33．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为________．【解析】设直棱柱的底面边长为a ，高为h ，依题意，34a 2·h ＝V ，∴ah ＝4V 3a.因此表面积S ＝3ah ＋2·34a 2＝43V a ＋32a 2. ∴S ′＝3a －43V a 2，由S ′＝0，得a ＝34V . 易知当a ＝34V 时，表面积S 取得最小值．【答案】34V4．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.则最大毛利润为______元．(毛利润＝销售收入－进货支出)【解析】设毛利润为L(p)由题意知：L(p)＝pQ－20Q＝(8 300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，所以，L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．此时，L(30)＝23 000.因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元．【答案】23 0005．为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为a米，高为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a＝________，b＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)．图1-4-4【解析】设y为流出的水中杂质的质量分数，则y＝kab，其中k(k>0)为比例系数．依题意，即所求的a，b值使y值最小，根据题设，4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)得b＝30－a 2＋a.于是y＝kab＝k30a－a2 2＋a ＝k(2＋a)30a－a2.(0<a<30)令y′＝a2k＋4ak－60k (30a－a2)2＝0得a＝6或a＝－10(舍去)．∵只有一个极值点，∴此极值点即为最值点．当a＝6时，b＝3，即当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．6．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新墙壁，当砌新墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为______.【导学号：01580022】【解析】设矩形堆料场中与原有的墙壁平行的一边的边长为x 米，其他两边的边长均为y 米，则xy ＝512.则所用材料l ＝x ＋2y ＝2y ＋512y (y >0)，求导数，得l ′＝2－512y 2.令l ′＝0，解得y ＝16或y ＝－16(舍去)．当0<y <16时，l ′<0；当y >16时，l ′>0.所以y ＝16是函数l ＝2y ＋512y (y >0)的极小值点，也是最小值点．此时，x ＝51216＝32.所以当堆料场的长为32米，宽为16米时，砌新墙壁所用的材料最省．【答案】 32米 16米7．如图1-4-5，将边长为1 m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则s 的最小值是________．图1-4-5【解析】设DE ＝x ，则梯形的周长为3－x ，梯形的面积为12(x ＋1)·32(1－x )＝34(1－x 2)，∴s ＝(3－x )234(1－x 2)＝43·x 2－6x ＋91－x 2，x ∈(0,1)，设h (x )＝x 2－6x ＋91－x 2，h ′(x )＝－6x 2＋20x －6(1－x 2)2.令h ′(x )＝0，得x ＝13或x ＝3(舍)， ∴h (x )最小值＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝8，∴s 最小值＝433×8＝3233. 【答案】32338．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10 km/h 时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，当行驶每千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为__________km/h.【解析】设轮船的速度为x km/h 时，燃料费用为Q 元，则Q ＝kx 3(k ≠0)．因为6＝k ×103，所以k ＝3500，所以Q ＝3500x 3. 所以行驶每千米的费用总和为 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3500x 3＋96·1x ＝3500x 2＋96x (x >0)．所以y ′＝3250x －96x 2.令y ′＝0，解得x ＝20. 因为当x ∈(0,20)时，y ′<0，此时函数单调递减；当x ∈(20，＋∞)时，y ′>0，此时函数单调递增，所以当x ＝20时，y 取得最小值，即此轮船以20 km/h 的速度行驶时，每千米的费用总和最小．【答案】 20 二、解答题9．如图1-4-6，一矩形铁皮的长为8 cm ，宽为5 cm ，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？图1-4-6【解】设小正方形的边长为x cm ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <52，则盒子底面长为(8－2x ) cm ，宽为(5－2x ) cm ，V ＝(8－2x )(5－2x )x ＝4x 3－26x 2＋40x ， V ′＝12x 2－52x ＋40，令V ′＝0，得x ＝1或x ＝103(舍去)，V 极大值＝V (1)＝18，在定义域内仅有一个极大值，所以V 最大值＝18，即当小正方形的边长为1 cm 时，盒子容积最大．10．(2016·银川高二检测)一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？【解】设每次进书x 千册(0<x <150)，手续费与库存费之和为y 元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即x 2，故有y ＝150x ×30＋x 2×40，y ′＝－4 500x 2＋20＝20(x ＋15)(x －15)x 2，令y ′＝0，得x ＝15，列表如下：单调递减单调递增所以当x ＝15取得最小值，此时进货次数为15015＝10(次)．即该书店分10次进货，每次进15千册书，所付手续费与库存费之和最少．能力提升]1．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为________米．【解析】设广场的长为x 米，则宽为40 000x 米，于是其周长为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋40 000x (x >0)，所以y ′＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－40 000x 2，令y ′＝0，解得x ＝200(x ＝－200舍去)，这时y ＝800.当0<x <200时，y ′<0；当x >200时，y ′>0.所以当x ＝200时，y 取得最小值，故其周长至少为800米．【答案】 8002．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为________cm. 【解析】设该漏斗的高为x cm ，体积为V cm 3，则底面半径为202－x 2 cm ，V ＝13πx (202－x 2)＝13π(400x －x 3)(0<x <20)，则V ′＝13π(400－3x 2)．令V ′＝0，解得x 1＝2033，x 2＝－2033(舍去)．当0<x <2033时，V ′>0；当2033<x <20时，V ′<0.所以当x ＝2033时，V 取得最大值．【答案】20333．现有一批货物由海上从A 地运往B 地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A 地至B 地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．为了使全程运输成本最小，轮船行驶速度应为________海里/时．【解析】设轮船行驶速度为x 海里/时，运输成本为y 元．依题意得y ＝500x (960＋0.6x 2)＝480 000x ＋300x ，x ∈(0，35]．则y ′＝300－480 000x 2，x ∈(0,35]．又当0＜x ≤35时，y ′<0，所以y ＝480 000x ＋300x 在(0,35]上单调递减，故当x ＝35时，函数y ＝480 000x ＋300x 取得最小值．故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶．【答案】 354．如图1-4-7，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A ，B 在抛物线上运动，C ，D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是__________．图1-4-7【解析】设CD ＝x ，则点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，0，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1－⎝⎛⎭⎪⎫x 22， ∴矩形ABCD 的面积 S ＝f (x )＝x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22 ＝－x 34＋x ，x ∈(0,2)．由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0，得x 1＝－233(舍)，x 2＝233，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫233，2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故当x ＝233时，f (x )取最大值439. 【答案】4395．(2016·广州高二检测)如图1-4-8所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km 的B 处，乙厂到海岸的垂足D 与A 相距50 km.两厂要在此岸边A ，D 之间合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，则供水站C 建在何处才能使水管费用最省？图1-4-8【解】设C 点距D 点x km ，则AC ＝50－x (km)，所以BC ＝BD 2＋CD 2＝x 2＋402(km)．又设总的水管费用为y 元，依题意，得y ＝3a (50－x )＋5a x 2＋402(0<x <50)． y ′＝－3a ＋5axx 2＋402.令y ′＝0，解得x ＝30.在(0,50)上，y 只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x ＝30 km 处取得最小值，此时AC ＝50－x ＝20(km)．故供水站建在A ，D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省.。

【创新设计-课堂讲义】2016-2017学年高中数学(苏教版选修2-2)综合检测卷-Word版含解析

综合检测卷(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝________. 答案－1＋3i解析 (－1＋i)(2－i)＝－2＋3i －i 2＝－1＋3i.2．演绎推理“因为对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)是增函数，而函数y ＝log 12x 是对数函数，所以y ＝log 12x 是增函数”所得结论错误的原因是________．答案大前提错误解析对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)，当a >1时是增函数，当0<a <1时是减函数，故大前提错误．3．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为________．答案 a ，b 都不能被3整除解析 “至少有一个”的否定为“一个也没有”．4．i 为虚数单位，复平面内表示复数z ＝－i 2＋i 的点在第________象限．答案三解析因为z ＝－i 2＋i ＝－i (2－i )5＝－15－25i ，所以复平面内表示复数z ＝－i 2＋i 的点在第三象限．5．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系为________．答案 P <Q解析要比较P 与Q 的大小，只需比较P 2与Q 2的大小，只需比较2a ＋7＋2a (a ＋7)与2a＋7＋2(a ＋3)(a ＋4)的大小，只需比较a 2＋7a 与a 2＋7a ＋12的大小，即比较0与12的大小，而0<12，故P <Q .6．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且(x －1)f ′(x )>0，a ＝f (0)，b ＝f (12)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c >a >b解析因为(x －1)f ′(x )>0，所以当x >1，f ′(x )>0，即函数y ＝f (x )在(1，＋∞)上是增函数．又f (x )＝f (2－x )，所以a ＝f (0)＝f (2)，b ＝f (12)＝f (32)，所以c >a >b .7．设f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f (x )的单调递增区间为________．答案 (2，＋∞)解析 f (x )定义域为(0，＋∞)，又由f ′(x )＝2x －2－4x ＝2(x －2)(x ＋1)x >0，解得－1<x <0或x >2，所以f ′(x )>0的解集为(2，＋∞)．8．设x ，y ，z 都是正数，则三个数x ＋1y ，y ＋1z ，z ＋1x 的值说法正确的是________．①都小于2 ②至少有一个不大于2 ③至少有一个不小于2 ④都大于2 答案 ③解析假设这三个数都小于2，即x ＋1y <2，y ＋1z <2，z ＋1x <2，则(x ＋1y )＋(y ＋1z )＋(z ＋1x)<6，又由基本不等式x >0，y >0，z >0时，(x ＋1y )＋(y ＋1z )＋(z ＋1x )≥2x ·1x ＋2y ·1y ＋2z ·1z＝6，与假设矛盾．故选③.9．曲线f (x )＝x 3＋x －2在点P 处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 的坐标为________．答案 (1,0)或(－1，－4)解析设点P 的坐标为(a ，b )，因为f ′(x )＝3x 2＋1，所以点P 处的切线的斜率为f ′(a )＝3a 2＋1，又切线平行于直线y ＝4x －1，所以3a 2＋1＝4，解得a ＝±1. 当a ＝1时，由P (a ，b )为曲线f (x )＝x 3＋x －2上的点，得b ＝0；当a ＝－1时，同理可得b ＝－4，所以点P 的坐标为(1,0)或(－1，－4)．10．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c ，类比这个结论可知：四面体S —ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S —ABC 的体积为V ，则R ＝________. 答案3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V 四面体S —ABC ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.11．若复数z ＝cos θ－sin θi 所对应的点在第四象限，则θ为第________象限角．答案一解析由已知得⎩⎨⎧cos θ>0－sin θ<0，∴θ为第一象限角．12．变速直线运动的物体的速度为v (t )＝1－t 2(m/s)(其中t 为时间，单位：s)，则它在前2 s 内所走过的路程为________m. 答案 2解析由1－t 2≥0得－1≤t ≤1，所求路程为s ＝⎠⎛01v (t )d t －⎠⎛12v (t )d t ＝⎠⎛01(1－t 2)d t －⎠⎛12(1－t 2)d t ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫t －t 3310－⎪⎪⎝⎛⎭⎫t －t 3321＝2(m)． 13.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是________．答案 [－3，3]解析依题意可知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是单调减函数，所以f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，则Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤ 3.14．设函数f (x )＝e x ＋x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，若存在b ∈[0,1]使f (f (b ))＝b 成立，则a 的取值范围是________．答案 [1，e]解析若存在b ∈[0,1]使f (f (b ))＝b 成立，则A (b ，f (b ))，A ′(f (b )，b )都在y ＝f (x )的图象上．又f (x )＝e x ＋x －a 在[0,1]上单调递增，∴(x A ′－x A )(y A ′－y A )≥0，即(f (b )－b )(b －f (b ))≥0， ∴(f (b )－b )2≤0，∴f (b )＝b . ∴f (x )＝x 在x ∈[0,1]上有解，即e x ＋x －a ＝x 在[0,1]上有解，∴a ＝e x ＋x －x 2，x ∈[0,1]．令φ(x )＝e x ＋x －x 2，x ∈[0,1] 则φ′(x )＝e x ＋1－2x ≥0，x ∈[0,1]，∴φ(x )在[0,1]上单调递增，又φ(0)＝1，φ(1)＝e ， ∴φ(x )∈[1，e]，即a ∈[1，e]．二、解答题(本大题共6小题，共90分) 15．(14分)已知z ＝1＋i.(1)设ω＝z 2＋3z －4，求复数ω；(2)如果z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，求实数a ，b 的值．解 (1)由z ＝1＋i ，得ω＝z 2＋3z －4＝(1＋i)2＋3(1＋i )－4 ＝2i ＋3(1－i)－4＝－1－i. (2)由z ＝1＋i ，有z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝(1＋i )2＋a (1＋i )＋b (1＋i )2－(1＋i )＋1＝(a ＋b )＋(a ＋2)i i ＝(a ＋2)－(a ＋b )i.由题设条件知(a ＋2)－(a ＋b )i ＝1－i.根据复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝1，－(a ＋b )＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.16.(14分)已知a >5，求证：a －5－a －3<a －2－a . 证明要证a －5－a －3<a －2－a ，只需证a －5＋a <a －3＋a －2，只需证(a －5＋a )2<(a －3＋a －2)2，只需证2a －5＋2a 2－5a <2a －5＋2a 2－5a ＋6，只需证a 2－5a <a 2－5a ＋6，只需证a 2－5a <a 2－5a ＋6，只需证0<6. 因为0<6恒成立，所以a －5－a －3<a －2－a 成立．17．(14分)在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3a na n ＋3，求a 2、a 3、a 4的值，由此猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．解 a 1＝12＝36，a 2＝37，a 3＝38，a 4＝39，猜想a n ＝3n ＋5，下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝31＋5＝12，猜想成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想成立，即a k ＝3k ＋5.则当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝3a ka k ＋3＝3·3k ＋53k ＋5＋3＝3(k ＋1)＋5，所以当n ＝k ＋1时猜想也成立，由①②知，对n ∈N *，a n ＝3n ＋5都成立． 18.(16分)已知△ABC 的三边长为a 、b 、c ，且其中任意两边长均不相等．若1a ，1b ，1c 成等差数列． (1)比较b a与cb的大小，并证明你的结论． (2)求证：B 不可能是钝角． (1)解大小关系为b a<c b ，证明如下：要证b a <c b，只需证b a <c b，由题意知a 、b 、c >0，只需证b 2<ac ， ∵1a ，1b ，1c 成等差数列， ∴2b ＝1a ＋1c ≥21ac ， ∴b 2≤ac ，又a 、b 、c 任意两边均不相等， ∴b 2<ac 成立．故所得大小关系正确．(2)证明假设B 是钝角，则cos B <0，而cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac >2ac －b 22ac >ac －b 22ac >0.这与cos B <0矛盾，故假设不成立． ∴B 不可能是钝角．19.(16分)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋k2x 2(k ≥0)．(1)当k ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )的单调区间．解 (1)当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2， f ′(x )＝11＋x －1＋2x .由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.(2)f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x ，x ∈(－1，＋∞)．当k ＝0时，f ′(x )＝－x1＋x .所以，在区间(－1,0)上，f ′(x )>0；在区间(0，＋∞)上，f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间是(－1,0)，单调递减区间是(0，＋∞)．当0<k <1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x ＝0，得x 1＝0，x 2＝1－kk>0.所以，在区间(－1,0)和(1－kk ，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(0，1－kk)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1,0)和(1－kk ，＋∞)，单调递减区间是(0，1－kk )．当k ＝1时，f ′(x )＝x 21＋x.故f (x )的单调递增区间是(－1，＋∞)．当k >1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x ＝0，得x 1＝1－kk∈(－1,0)，x 2＝0.所以，在区间(－1，1－kk )和(0，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(1－kk，0)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1，1－kk )和(0，＋∞)，单调递减区间是(1－kk，0)．20．(16分)设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解 (1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，故f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为 y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)，f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)x .令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3. 当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，故f (x )在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2<x <3时，f ′(x )<0，故f (x )在(2,3)上为减函数．由此可知，f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3.。

2016-2017学年高二数学苏教版选修2-2模块综合测评

( ) 1 1
a3＋
由 S3＝a1＋a2＋a3＝2
a3 ，
得 a23＋2 2a3－1＝0，所以 a3＝ 3－ 2.
(2)猜想 an＝ n－ n－1(n∈N*).
证明：①当 n＝1 时，
a1＝ 1－ 0＝1，命题成立；
②假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时，
tan2 α－1 tan2α－1
2
∵ tan α ＝2 2tan α ＝－tan 2α，
1
2
∴tan α－tan α＝－tan 2α，
1
2
∴tan 2α－tan 2α＝－tan 4α，
1
2
∴tan 4α－tan 4α＝－tan 8α，
…
π
2π
4π
8π
16π
由此可化简：tan 31＋2tan 31＋4tan 31＋8tan 31＋16tan 31 ＝________.
数 a 的值.
3
2
【解】 z1＋z2＝a＋5＋(a2－10)i＋1－a＋(2a－5)i
( ) 3 2 ＋＝ a＋5 1－a ＋[(a2－10)＋(2a－5)]i
a－13 ＝a＋5a－1＋(a2＋2a－15)i.
∵z1＋z2 是实数，
∴a2＋2a－15＝0，
解得 a＝－5 或 a＝3.
∵a＋5≠0，∴a≠－5，故 a＝3. 16.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1. (1)当 a＝－ 2时，讨论 f(x)的单调性； (2)若 x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求 a 的取值范围. 【解】 (1)当 a＝－ 2时，f(x)＝x3－3 2x2＋3x＋1， f′(x)＝3x2－6 2x＋3. 令 f′(x)＝0，得 x1＝ 2－1，x2＝ 2＋1. 当 x∈(－∞， 2－1)时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞， 2－1)上是增函数；

2016-2017学年高二数学苏教版选修2-2学业分层测评14 推理案例赏析

学业分层测评(十四)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．如图2119所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是________.【导学号：01580042】图2119【解析】　由图形中数字，不难得出每行两头数字均为1，其它数字均为其肩上两数字之和，∴a ＝3＋3＝6.【答案】　62．对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝Error!　33＝Error!　43＝Error!….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是2 015，则m ＝________.【解析】　根据分裂特点，设最小数为a 1，则ma 1＋×2＝m 3，∴a 1＝m 2－m ＋1.m (m －1)2∵a 1为奇数，又452＝2 025，∴猜想m ＝45.验证453＝91 125＝.(1 979＋2 071)×452【答案】　453．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：________________________.【解析】　平面几何中的线与立体几何中的面相类比，可得：夹在两个平行平面间的平行线段相等．【答案】　夹在两个平行平面间的平行线段相等4．观察下面不等式：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，猜122321221325312213214274想第n 个不等式为________．【解析】　当n ≥2时，则不等式左端就为1＋＋＋…＋，而右端的1221321n 2分母正好是n ，分子是2n －1，因此可以猜想，n ≥2时，满足的不等式为1＋＋＋…＋<.1221321n 22n －1n故可归纳式子为：1＋＋＋…＋<(n ≥2)．1221321n 22n －1n【答案】　1＋＋＋…＋<(n ≥2)1221321n 22n －1n5．若a 1，a 2，a 3，a 4∈R ＋，有以下不等式成立：，≥，≥.由a 1＋a 22a 1a 2a 1＋a 2＋a 333a 1a 2a 3a 1＋a 2＋a 3＋a 444a 1a 2a 3a 4此推测成立的不等式是_______________________________________________．(要注明成立的条件)【答案】　(a 1，a 2，a 3，…，a n ∈R ＋)a 1＋a 2＋a 3＋…＋annna 1a 2a 3…an 6．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…则52 015的末四位数字为________．【解析】　∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，58末四位数字为0 625,59末四位数字为3 125，510末四位数字为5 625,511末四位数字为8 125，512末四位数字为0 625，…，由上可得末四位数字周期为4，呈规律性交替出现，∴52 015＝54×503＋3末四位数字为8 125.【答案】　8 1257．(2016·湖北调研)如图2120①②③④所示，它们都是由小圆圈组成的图案．现按同样的排列规则进行排列，记第n 个图形包含的小圆圈个数为f (n )，则图2120(1)f (5)＝________；(2)f (2 015)的个位数字为________．【解析】　观察规律可知：f (5)＝4×5＋1＝21，f (2 015)＝2 014×2015＋1，它的个位数字是1.【答案】　(1)21　(2)18．(2016·江西稳派调研)将2n 按如表所示的规律填在5列的数表中，设22015排在数表的第n 行，第m 列，则第m －1列中的前n 个数的和S n ＝________.212223242827262529210211212216215214213……………【解析】　由于2 015＝4×503＋3，故22 015位于表格的第504行第4列，所以n ＝504，m ＝4.所以S n ＝＝.22[1－(24)504]1－2422 018－415【答案】　22 018－415二、解答题9．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝S n (n ∈N *)，证明：n ＋2n (1)数列是等比数列；{Snn }(2)S n ＋1＝4a n .【导学号：01580043】【证明】　(1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n ，n ＋2n ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n .故＝2·，数列是以1为首项，2为公比的等比数列．Sn ＋1n ＋1Snn {Snn }(2)由(1)知＝4·(n ≥2)．Sn ＋1n ＋1Sn －1n －1∴S n ＋1＝4(n ＋1)·＝4··S n －1＝4a n (n ≥2)．Sn －1n －1n －1＋2n －1又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝4＝4a 1，∴对任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .10．在平面几何中，研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a 的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值a .类比上述32命题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明．【解】　类比所得的真命题是：棱长为a 的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值a .63证明：设M 是正四面体P ABC 内任意一点，M 到面ABC ，面PAB ，面PAC ，面PBC 的距离分别为d 1，d 2，d 3，d 4.由于正四面体四个面的面积相等，故有：V P ABC ＝V M ABC ＋V M PAB ＋V M PAC ＋V M PBC＝·S △ABC ·(d 1＋d 2＋d 3＋d 4)，13而S △ABC ＝a 2，V P ABC ＝a 3，34212故d 1＋d 2＋d 3＋d 4＝a (定值)．63[能力提升]1．(2016·盐城高二期终)已知＝2，＝3，＝4，…类比这些等式，若2＋23233＋38384＋415415＝6(a ，b 均为正实数)，则a ＋b ＝______.6＋ab ab 【解析】　类比已知的3个等式，知a ＝6，b ＝62－1＝35.所以a ＋b ＝41.【答案】　412．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的AGGD 四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则等于________．AOOM 【解析】　如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高AM ＝，此时点63O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等体积法有4××r ＝××⇒r ＝，故AO ＝AM －MO ＝－＝，故13341334636126361264AO ∶OM ＝∶＝3.64612【答案】　33．(2016·湖北宜昌高三模拟)观察下列等式：①sin 2θ＝cos θ·2sin θ；②sin 4θ＝cos θ(4sin θ－8sin 3θ)；③sin 6θ＝cos θ(6sin θ－32sin 3θ＋32sin 5θ)；④sin 8θ＝cos θ(8sin θ－80sin 3θ＋192sin 5θ－128sin 7θ)；⑤sin 10θ＝cos θ(10sin θ－160sin 3θ＋m sin 5θ－1 024sin 7θ＋n sin 9θ)．则可以推测(1)n ＝________，(2)m ＝________.【解析】　由给定等式的规律可知奇数式的最后一项系数为正数．数值为2n ，n 的值与sin θ的次数相同，所以式子⑤中n ＝29＝512.另一特征为括号中所有系数的和奇数式与θ的系数相等，偶数式与θ的系数相反，所以⑤式中10－160＋m －1 024＋512＝10，∴m ＝672.【答案】　512　672【答案】　145．设f (x )＝，g (x )＝(其中a >0，a ≠1)．ax ＋a －x2ax －a －x2(1)请你推测g (5)能否用f (2)，f (3)，g (2)，g (3)来表示．(2)如果(1)中获得一个结论，请你推测能否推广并加以证明．【解】　(1)由题意可得f (2)＝，f (3)＝，g (2)a 2＋a －22a 3＋a －32＝，g (3)＝.a 2－a －22a 3－a －32则f (3)·g (2)＋g (3)·f (2)＝＝.a 5－a ＋a －1－a －5＋a 5＋a －a －1－a －54a 5－a －52又g (5)＝，a 5－a －52因此，g (5)＝f (3)·g (2)＋g (3)·f (2)．(2)g (5)＝f (3)·g (2)＋g (3)·f (2)，即g (3＋2)＝f (3)·g (2)＋g (3)·f (2)．于是猜测g (x ＋y )＝f (x )·g (y )＋g (x )·f (y )．证明：∵f (x )＝，g (x )＝，ax ＋a －x2ax －a －x2∴g (x ＋y )＝，a (x ＋y )－a －(x ＋y )2g (y )＝，f (y )＝，ay －a －y 2ay ＋a －y2所以f (x )·g (y )＋g (x )·f (y )＝·＋·ax ＋a －x 2ay －a －y 2ax －a －x 2ay ＋a －y 2＝＝g (x ＋y )．a (x ＋y )－a －(x ＋y )2故g (x ＋y )＝f (x )·g (y )＋g (x )·f (y ).。