全等三角形动点问题
数学全等三角形动点问题
数学全等三角形动点问题数学这东西，听起来就有点让人打哈欠，尤其是当你碰上了全等三角形动点问题的时候，简直让人想直接躲进床底下。
不过别担心，今天咱们就来聊聊这个话题，轻松点儿，搞笑点儿，保证让你哈哈大笑，顺便脑袋里也装点儿知识。
想象一下，你跟朋友一起去游乐园，前面是个大旋转木马，大家都在排队。
这个木马就像一个个三角形，转来转去，根本停不下来。
好啦，先说说全等三角形。
全等的意思就是两个三角形一模一样，无论你怎么转、怎么动，都还是那样。
就好比双胞胎，真是一看就知道是兄弟姐妹。
你要是把这俩三角形放在一起，哦哟，简直就像是复制粘贴，连角度和边长都跟着一模一样。
这就有意思了，咱们来设想一下：如果这两个三角形有一个动点，那就像是在给它们穿上舞鞋，在舞池里翩翩起舞。
不管怎么转，这舞姿总是那么优雅，简直让人目不暇接。
想象一下这俩三角形之间的关系，简直就是一对恩爱的小情侣。
一个在这里，另一个在那儿，距离虽然不变，但感觉就像在做双人舞。
它们的边长、角度都保持着一致，这就是全等三角形的神奇之处。
想想，如果我们生活中也能有这种“全等”关系，那可真是太好了。
每天都可以找一个人一起“相约”，不管走到哪儿都不会迷路，心里总是有一份安全感。
不过，这个动点问题就有点麻烦了。
你知道，当一个三角形的某个点动起来的时候，其他的就得跟着动。
这就像你在冰箱前，想喝可乐，结果冰箱门关上了，那可真是让人捶心肝。
你得想办法把这动点的位置确定下来，不然整个三角形就乱了套，跟着你在厨房里晃悠，根本停不下来。
数学里的动点就像生活中的那些变化一样，让人琢磨不透。
你以为这个点在这儿，结果它一下子跑到那边，搞得你摸不着头脑。
想想看，谁没有遇到过这种情况呢？就像在约会时，原本想去的餐厅没了位子，你就得随便找个地方，结果最后吃到了你最讨厌的那道菜，真是让人哭笑不得。
再说说这动点问题的性质。
这个动点在三角形里游来游去，就像小猫追蝴蝶一样。
你永远不知道它下一步会往哪儿去，角度变来变去，让人眼花缭乱。
全等三角形之动点问题
全等三角形之动点问题（一）1、已知:如图,在△ABC中,AB=AC=18,BC=12,点D为AB的中点.点P在线段BC上以每秒3个单位的速度由B点向C点运动,同时点Q在线段CA上由C点向A点以每秒a个单位的速度匀速运动.设运动时间为t秒,若某一时刻△BPD与△CQP全等,求t的值与相应的点Q的运动速度a2、如图，在等边ABC∆的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1各单位的速度油A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D,E处，请问（1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？（2）若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，，求证：︒CQE=∠60（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确3、在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证BA O DC E图84. 如下图，已知正方形ABCD 中，边长为10厘米，点E 在AB 边上，BE=6厘米．（1）如果点P 在线段BC 上以4厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CD 上由C 点向D 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，△BPE 与△CQP 是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPE 与△CQP 全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿正方形ABCD 四边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在正方形ABCD 边上的何处相遇？5、如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小；6、ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小.C B OD图7AE全等构造角平分线类1如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：AB BD AC +=．DC B A2如图，在ABC ∆中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．DC B A3如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC4如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠，求证： 0180=∠+∠C A5已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、 CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．OED CBA6如图，在ABC ∆中，60B ∠=︒，AD 、CE 分别平分BAC ∠、BCA ∠，且AD 与CE 的交点为F ．求证：FE FD =．CDBACBAFBEDCA7如图，已知在ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。
三角形全等之动点问题
三角形全等之动点问题1. 已知：如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =10，点E 为边AD 上一点，且AE =7．动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC 向点C 运动，连接AP ，DP ．设点P 运动时间为t 秒．（1）当t =1.5时，△ABP 与△CDE 是否全等？请说明理由；（2）当t 为何值时，△DCP ≌△CDE ．2. 已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，AD =12，BC =24，动点P 从点A出发以每秒1个单位的速度沿AD 向点D 运动，动点Q 从点C 出发以每秒2个单位的速度沿CB 向点B 运动，P ，Q 同时出发，当点P 停止运动时，点Q 也随之停止，连接PQ ，DQ ．设点P 运动时间为x 秒，请求出当x 为何值时，△PDQ ≌△CQD ．A E DCPBA E DCB Q P DCB A DA3.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=10 cm，BC=8 cm，点D为AB的中点．点P在线段BC上以每秒3 cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A 运动．设点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPD与△CQP全等，求此时t的值及点Q的运动速度．4. 已知：如图，正方形ABCD 的边长为10 cm ，点E 在边AB 上，且AE =4 cm ，点P 在线段BC 上以每秒2 cm 的速度由点B 向点C 运动，同时点Q 在线段CD 上由点C 向点D 运动．设点P 运动时间为t 秒，若某一时刻△BPE 与△CQP 全等，求此时t 的值及点Q 的运动速度．QP EDCA5. 已知：如图，在长方形ABCD 中，AB =DC =4，AD =BC =5．延长BC 到E ，使CE =2，连接DE ．动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC -CD -DA 向终点A 运动，设点P 运动时间为t 秒．（1）请用含t 的式子表达△ABP 的面积S ．（2）是否存在某个t 值，使得△DCP 和△DCE 全等？若存在，请求出所有满足条件的t 值；若不存在，请说明理由．EDC B A6.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=CD=3 cm，AD=BC=5 cm，动点P从点B出发，以每秒1 cm的速度沿BC方向向点C运动，动点Q从点C出发，以每秒2 cm的速度沿CD-DA-AB向点B运动，P，Q同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止，设点P运动时间为t秒．请回答下列问题：（1）请用含t的式子表达△CPQ的面积S，并直接写出t的取值范围．（2）是否存在某个t值，使得△ABP和△CDQ全等？若存在，请求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由．ADCB1. 解：（1）当t =1.5时，△ABP ≌△CDE ．理由如下：如图，由题意得BP =2t ∴当t =1.5时，BP =3 ∵AE =7，AD =10 ∴DE =3 ∴BP =DE 在矩形ABCD 中AB =CD ，∠B =∠CDE在△ABP 和△CDE 中 ∴△ABP ≌△CDE （SAS ） （2）如图，由题意得BP =2t ∵BC =10 ∴CP =10-2t若使△DCP ≌△CDE ，则需CP =DE即10-2t =3，t =∴当t =时，△DCP ≌△CDE ．2. 解：如图，由题意得AP =x ，CQ =2x∵AD =12AB CD B CDE BP DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩7272要使△PDQ ≌△CQD ，则需DP =QC 即12-x =2x ，x =4∴当x =4时，△PDQ ≌△CQD ．3. 解：如图，由题意得BP =3t∵BC =8 ∴PC =8-3t∵AB =10，D 为AB 中点∴BD =AB =5①要使△BDP ≌△CPQ ， 则需BD =CP ，BP =CQ 即5=8-3t ，t =1 ∴CQ =3t =3则Q 的速度为===3（cm/s ）即当t =1，Q 的速度为每秒3cm 时，△BDP ≌△CPQ ． ②要使△BDP ≌△CQP ，则需BP =CP ，BD =CQ 即3t =8-3t ，CQ =5∴t =则Q 的速度为==5×=（cm/s ）即当t =，Q 的速度为每秒cm 时，△BDP ≌△CQP ．综上所述，当t =1，Q 的速度为每秒3cm 或t =，Q 的速度为每秒cm 时，△BPD 与△CQP 全等．4. 解：如图，由题意得BP =2t∵正方形ABCD 的边长为10cm ∴AB =BC =10 ∴PC =10-2t ∵AE =4 ∴BE =10-4 =6 ①要使△BEP ≌△CPQ ， 则需EB =PC ，BP =CQ 即6=10-2t ，CQ =2t12Q v s t 3143Q v s t 341544315443154则点Q 的速度为===2（cm/s ）即当t =2，Q 的速度为每秒2cm 时，△BEP ≌△CPQ ． ②要使△BEP ≌△CQP ， 则需BP =CP ，BE =CQ即2t =10-2t ，CQ =6∴t =则点Q 的速度为==6×=（cm/s ）即当t =，Q 的速度为每秒cm 时，△BEP ≌△CQP ．综上所述，当t =2，Q 的速度为每秒2cm 或t =，Q 的速度为每秒cm 时，△BEP 与△CQP 全等．5. 解：（1）①当P 在BC 上时，如图，由题意得BP =2t （0<t ≤2.5）②当P 在CD 上时，（2.5<t ≤4.5）③当P 在AD 上时，由题意得AP =14-2t （4.5<t <7）（2）①当P 在BC 上时， 如图，由题意得BP =2t 要使△DCP ≌△DCE ，则需CP =CEQ v s t 4252Q v s t2512552125521251214224ABP S AB BPt t ∆=⋅=⨯⨯=∴ 12145210ABP S AB BC∆=⋅=⨯⨯=∴12141422284ABP S AB APt t ∆=⋅=⨯⨯=∴--（）∵CE =2∴5-2t =2，t =1.5即当t =1.5时，△DCP ≌△DCE②当P 在CD 上时，不存在t 使△DCP 和△DCE 全等 ③当P 在AD 上时，由题意得BC +CD +DP =2t ∵BC =5，CD =4， ∴DP =2t -9要使△DCP ≌△CDE ，则需DP =CE 即2t -9=2，t =5.5即当t =5.5时，△DCP ≌△CDE ．综上所述，当t =1.5或t =5.5时，△DCP 和△DCE 全等．6. 解：（1）①当Q 在CD 上时，如图，由题意得CQ =2t ，BP=t ∴CP=5-t （0<t ≤1.5）②当Q 在DA 上时，（1.5<t ≤4）③当Q 在AB 上时，由题意得BQ =11-2t （4<t <5）（2）①当Q 在CD 上时，不存在t 使△ABP 和△CDQ 全等 ②当Q 在AD 上时， 如图，由题意得DQ =2t -3 要使△ABP ≌△CDQ ，则需BP =DQ ∵DQ =2t -3，BP =t ∴t =2t -3，t =32121(5)22 5CPQ S CP CQt t t t ∆=⋅=-⋅=-∴121(5)327.5 1.5CPQ S CP CDt t∆=⋅=⨯=∴--2121(5)(112)2215522CPQ S CP BQt t t t ∆=⋅=-⨯-=-+∴即当t=3时，△ABP≌△CDQ．③当Q在AB上时，不存在t使△ABP和△CDQ全等综上所述，当t=3时，△ABP和△CDQ全等．。
全等三角形中的动点问题
FE E'EBD全等三角形中的动点问题【例1】如图所示，在北京某街道的部分示意图，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E、F ，且BD =CD ，2008 年北京奥运会，熊熊燃烧的奥运圣火在这个城市传递和平、友谊、进步的“和平之旅”.传递路线有两种：路线一：沿B→E→D→A的顺序传递到A ；路线二：沿A→D→F→C的顺序传递到C .为了使奥运圣火短笛路线更长，请你判断那条路线最佳，说明你的理由.AFC【例2】如图1，Rt∆ABC 种，∠ACB = 90︒，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F .（1）求证：CE =CF ；（2）将图1 中的∆ADE 沿AB 向右平移到∆A'D'E'的位置，使点E'落在BC 边上，其他条件不变，如图2 所示.试猜想：BE'与CF 有怎样的数量关系？C CA DB A图1F EDQ PEAB F P CQEQ A' D'B图2【例3】 如图所示，已知∆ABC 中，∠B = ∠C ， AB =AC = 10cm ，BC = 8cm ，点 D 为A B的中点.（1） 如果点 P 在线段 BC 上以3cm / s 的速度由 B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C点向A点运动.①若点Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过1s 后，∆BPD 与∆CQP 是否全等，请说明理由.②若点Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使∆BPD 与∆CQP 全等？（2） 若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点 P 以原来的速度从点 B 同时出发，都逆时针沿∆ABC 三边运动，求经过多长时间点 P 与点Q 第一次在∆ABC 的那条边上相遇？A B C【例4】 如图 1，∆ABC 的边 BC 在在直线l 上，AC ⊥ BC ，且 AC = BC ；∆EFP 的边 FP 也在直线l 上，边 EF 与边 AC重合，且 EF = FP .（1） 图 1 种，请猜想并写出 AB 与 AP 所满足的数量关系和位置关系；（2） 在∆EFP 沿直线l 向左平移到图 2 的位置时， EP 交 AC 于点Q ，连接 AP ， BQ .猜想并写出 BQ 与 AP 所满足的数量关系和位置关系，并证明.（3） 将∆EFP 沿直线l 向左平移到图3 的位置时，EP 的延长线交 AC 的延长线与点Q ， 连接 AP ，BQ .你认为（2）中所猜想的 BQ 与 AP 的数量关系和位置关系还成立吗？请说明理由.（E ） B C （F ）P l图1l BF C P图2图3【例5】 （1）操作发现如图 1，D 是等边∆ABC 边 BA 上一动点（点 D 与点 B 不重合），连接 DC ，以 DC 为边在 BC 上方做等边∆DCF ，连接 AF .你能发现线段 AF 与 BD 之间的数量关系吗？并证明你的结论.（2）类比猜想如图 2，当动点 D 运动至等边∆ABC 边 BA 的延长线上时，其他做法与（1）相同，猜想 AF 与 BD 在（1）中的结论是否仍然成立？ （3）深入探究 ①如图 3，当动点 D 在等边∆ABC 边 BA 上运动时（点 D 与点 B 不重合），连接 DC ，以 DC 为边在 BC 上方、下方分别作等边∆DCF 和等边∆DCF ' ，连接 AF 、BF ' ，探究 AF 、BF ' 与 AB 有何数量关系？并证明你的结论. ②如图 4，当动点 D 在等边三角形边 BA 的延长线上运动时，其他做法与图 3 相同，①中结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论.AFD AABF'F'B C。
初二数学全等三角形动点专题
如图,已知三角形ABC中,AB=AC=24 厘米,角ABC=角ACB,BC=16,点D为 AB的中点。如果点P在线段BC上从4 厘米/秒的速度由B向C运动,同时, 点Q在线段CA上由C向A运动,当Q的 运动速度为多少厘米/秒时,能在某 一时刻使三角形BPD与三角形CQP全
等.
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在 线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键 是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数 学思想：分类思想、数形结合思想、转化思想
全等三角形之 动点问题
如图，在直角三角形ABC中，∠B＝ 90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从 点B开始沿BA以1cm／s的速度向点A 运动，同时，点Q从点B开始沿BC以 2cm／s的速度向点C 运动．几秒后， △PBQ的面积为9cm2？
2、如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm， 点P从点A出发沿AB边向点B以1 cm/秒的速度移动，点Q从点 B出发沿BC边向点C以2 cm/秒的速度移动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过多长时间， △PBQ的面积为8 cm2？
（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，当P、Q两点运动几 秒时，PQ有最小值，并求这个最小值。
3、如图所示，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P 、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其 中点P运动的速度是1m/s，点Q运动的速度是2m/s，当点Q到 达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t s，解答下
如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点P从A点出发沿A-C-B路 径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B-C-A路径向终点运动， 终点为A点．点P和Q分别以1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到 相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E， QF⊥l于F，问：点P运动多少时间时，△PEC与QFC全等？请说明理由。
全等的三角形里的动点问题
全等的三角形里的动点问题是一个比较复杂的问题，需要结合全等三角形的性质和动点的运动规律来解决。
首先，我们需要明确动点的运动规律，比如是匀速运动还是变速运动，以及运动的速度和方向。
其次，我们需要结合全等三角形的性质，比如边长相等、角度相等，来建立方程或不等式，从而求出动点的轨迹方程或范围。
最后，我们可以利用数学工具来解决方程或不等式，从而得到动点的轨迹或范围。
需要注意的是，全等的三角形里的动点问题往往涉及到多种情况，需要对各种情况进行分类讨论，从而得到完整的答案。
全等三角形的动点问题
当遇到全等三角形中的动点问题时，你如何思考？
方法总结
策略：化动为静
方法：全面审题
图形背景 分析运动过程
检验！
分类画出图形 表达线段长，建等式。
凡事全力以赴，让自己动作起来时，浑身充满无比的冲劲，使得我们的灵魂几乎也跟不上这样的动作，这是真正用心 做事时，最美好的境界
动——让我们全身心的投入 静——让我们静下心来审视和消化自己 能动能静，动静结合，方能实现自己的理想。
BC上以每秒2cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CD上由点C向点D
运动。设点P运动的时间为t秒。 （1）请表示线段BP、PC （2）△BPE与△CQP全等，可分为几种情况？
（3）这几种情况下对应边分别为什么？
A
D
E Q
B 2t P 10-2t C
当t为何值时，△BPE与△CQP全等？并求出此时点Q的运动速度。
B
P
C
E
探究新知
如图，在长方形ABCD中，AD=BC=10，AB=CD=4，点E在边BC的延长线上， 且CE=3，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运 动。设点P的运动时间为ts。
问：当t为何值时，使得△DCE与点D、C、P构成的三角形全等?
A
D
A
PD
P
B
C
EB
C
E
A
2t
A P
t
B Q
AP= ，QB= ；
探究新知
如图，在长方形ABCD中，AD=BC=10，AB=CD=4，点E在边BC的延长线上，
且CE=3，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC向点C运动。设
点P的运动时间为ts。
A
全等三角形动点问题
ABCDEF全等三角形动点问题一）、知识回顾动态几何题，是指以几何知识和几何图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题；而通过对几何图形运动变化，使同学们经历由观察、想象、推理等发现、探索的过程，是中考数学试题中，考查创新意识、创新能力的重要题型；解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律，抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动．热身练习：1、如图，在等腰△ACB 中，AC ＝BC ＝5，AB ＝8，D 为底边AB 上一动点 （不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，则DE ＋DF ＝ ． 二）、例题辨析例1、 如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=CB ，AC=8，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且始终保持AD=CE ，连接DE 、DF 、EF. （1）、求证：△ADF ≌△CEF.（2）、试证明△DFE 是等腰直角三角形.（3）、在此运动变化的过程中，四边形CDFE 的面积是否保持不变？试说明理由．（4）、求△CDE 面积的最大值．例2如图，△ABC 的边BC 在直线 上，AC ⊥BC ，且AC ＝BC ，△EFP 的边FP 也在直线 上，边EF 与边AC 重合，且EF ＝FP 。
（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将△EFP沿直线向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP、BQ。
猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想。
练习：1、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E 分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值为4；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE 面积的最大值为8．其中正确的结论是（ ） A ．①②③ B ．①③ C ．①③④ D ．②③④2、（2011随州，18，7分）在等腰三角形ABC 中，∠ABC=90°，D 为AC 边上中点，过D 点作DE ⊥DF ，交AB 于E ，交BC 于F ，若AE=4，FC=3，求EF 长．例2：在ABC ∆中，AB AC =，CG BA ⊥交BA 的延长线于点G ．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F ，一条直角边与AC 边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B ． （1）在图1中请你通过观察、测量BF 与CG 的长度，猜想并写出BF 与CG 满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC 方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC 边在同一直线上，另一条直角边交BC 边于点D ，过点D 作DE BA ⊥于点E ．此时请你通过观察、测量DE 、DF 与CG 的长度，猜想并写出DE DF +与CG 之间满足的数量关系，然后证明你的猜想； （3）当三角尺在⑵的基础上沿AC 方向继续平移到图3所示的位置(点F 在线段AC 上，且点F 与点C 不重合)时，⑵中的猜想是否仍然成立？(不用说明理由)例3、如图，在等边△ABC 中，AB=9cm ，点P 从点C 出发沿CB 边向点B 点以2cm/s 的速度移动，点Q 点从B 点出发沿BA 边向A 点以5cm/s 速度移动．P 、Q 两点同时出发，它们移动的时间为t 秒钟．（1）你能用t 表示BP 和BQ 的长度吗？请你表示出来． （2）请问几秒钟后，△PBQ 为等边三角形？ABE G图3BC GC G图1（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？三）、归纳总结动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路。
全等三角形及动点问题分析
FED CBA举一反三：【变式】已知：如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE．(2)．作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形例2、如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．举一反三：【变式】如图，AD是ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD.(1)求证：∠B与∠AHD互补；(2)若∠B＋2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明.（3）.利用截长(或补短)法作构造全等三角形例3、如图，△ABC中，AB=AC，点P是三角形右外一点，且∠APB=∠ABC．（1）如图1，若∠BAC=60°，点P恰巧在∠ABC的平分线上，PA=2，求PB的长；（2）如图2，若∠BAC=60°，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明；（3）如图3，若∠BAC=120°，请直接写出PA，PB，PC的数量关系．举一反三：【变式】如图，AD是△ABC的角平分线，AB＞AC,求证：AB－AC＞BD－DC（4）.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段例4、如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．例5、如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，12AE BD，求证：BD是∠ABC的平分线．类型二、全等三角形动态型问题例6、在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，垂足分别为E，F.（1）如图1当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF.（2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB相交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系，①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD.举一反三：【变式】【问题情境】如图，在正方形ABCD中，点E是线段BG上的动点，AE⊥EF，EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．【探究展示】（1）如图1，若点E是BC的中点，证明：∠BAE+∠EFC=∠DCF．（2）如图2，若点E是BC的上的任意一点（B、C除外），∠BAE+∠EFC=∠DCF是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，若点E是BC延长线（C除外）上的任意一点，求证：AE=EF．知识梳理三角形全等中的动点问题分析思路：审题:要明白动点问题的关键是什么,一是点的运动路径,也就是点往哪里运动?有多少个点运动?点的运动速度是多少?运动到何时停止?运动情景分析:点运动的过程中会发生哪些变化?线段长的变化和线段长的表示.经过转折点后,图形会发生什么变化?线段长的表示是否发生变化,能否用代数式表示出来等;建立等量关系解答:动点问题到最后都是等量关系建立起来解答,如全等三角形对应边相等的讨论时,建立的就是线段长方程。
八年级上册数学动点问题三角形全等
一、动点问题概述动点问题是数学中的一个重要概念，它涉及到物体或点在特定条件下的运动轨迹和位置变化。
在数学中，我们常常会遇到关于动点问题的题目，通过对动点的运动进行分析和建模，从而得出数学解决方案。
在八年级上册数学学习中，动点问题也是一个重要的内容，尤其是在进行三角形全等的学习中，动点问题的应用更是凸显出其重要性。
二、三角形全等的概念1. 三角形全等是指在平面解析几何中，两个三角形在形状和大小上完全相同。
当两个三角形的对应边长相等，对应角度相等时，我们就可以认为它们是全等三角形。
2. 三角形全等的性质：全等的三角形，对应边相等，对应角相等，面积相等。
三、动点问题与三角形全等的联系1. 在动点问题中，三角形全等常常被用来描述动点的运动轨迹。
一个动点在平面内作定点旋转、平移等运动时，可以利用三角形全等的性质来描述动点的位置变化。
2. 通过观察动点在三角形内的运动，我们可以将动点与三角形全等的概念进行结合，从而更深刻地理解动点问题和三角形全等。
四、动点问题三角形全等的举例分析1. 假设动点A在平面内作匀速直线运动，点B、点C分别为该平面内两个定点，且直线AB与BC共线，以BC为直线方向。
如果C到A的距离等于B到A的距离，根据三角形全等的性质，我们可以推断出△ABC与△ACB是全等三角形，即两个三角形的三边和三个角都相等。
2. 再做一个动点问题的三角形全等的举例，如果A、B、C三个点共线，并且A点到B点的距离等于B点到C点的距离。
那么，如果D是AC 上的一个任意一点，那么我们可以得出△ABD与△BCD是全等三角形。
五、动点问题三角形全等的解题方法在解决动点问题与三角形全等的题目时，我们需要遵循以下步骤：1. 观察动点在平面内的运动轨迹，分析三角形的形状和位置变化。
2. 利用三角形全等的性质，建立动点与三角形全等的关系。
3. 根据题目给出的条件和要求，构建方程或等式，求解动点问题与三角形全等。
六、动点问题三角形全等的应用举例1. 在解析几何中，我们常常会遇到这样的动点问题：一个点以一定的规律在平面内作运动，问它经过的点的轨迹是什么形状？这种问题就可以通过分析三角形全等来解决。
全等三角形中的动点问题
全等三角形中的动点问题
在全等三角形中，如果动点M在三角形内部移动，那么全等三角形的另外两个顶点A和B，以及动点M之间的关系会如何变化呢？
全等三角形的定义是具有完全相同的三边和三角，并且对应的角度也完全相等。
在全等三角形ABC中，如果动点M在三角形内部移动，那么它与点A、B以及点C之间的距离关系会保持不变。
具体来说，假设动点M在全等三角形ABC内部的位置不变，比如点M 在三角形内部的中心位置，或者在三角形内部的任意位置。
那么，点M与点A、B以及C之间的距离关系如下：
1. 点M与点A之间的距离保持不变；
2. 点M与点B之间的距离保持不变；
3. 点M与点C之间的距离保持不变。
即使动点M在全等三角形内部移动，这些距离关系也不会改变。
这是因为全等三角形的边长和角度是固定的，无论动点M在三角形内部的位置如何变化，都不会影响到这些距离关系。
总结起来，全等三角形中的动点问题可以简单地归结为，动点M与三角形的顶点之间的距离关系保持不变。
这个性质可以用来解决一些问题，比如证明三角形的垂心、重心等特殊点的存在性，以及构造线段的平分线、垂线等。
全等三角形的动点问题
全等三角形的动点问题
一、两点同时运动
题1：如图，在△ABC中，AB＝AC＝12cm，∠B＝∠C，BC＝8cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当点Q的速度为多少cm/s时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等。
二、三点同时运动
题2：如图，在长方形ABCD中，AD＝BC＝8，BD＝10，点E从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB向点B匀速移动，点G从点B出发，沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t秒，求t为何值时，△DEG和△BFG全等。
如图，AB＝12cm，∠CBA=∠DBA=60°，AC=BD=9cm，点P在线段AB上以3cm/s的速度由点B向点A 匀速运动，同时点Q在线段BD上由点B向点D匀速运动，设点Q的速度为xcm/s，当△BPQ与△ACP 全等时，x的值为多少？。
全等三角形动点
全等三角形动点1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点B出发，以每秒4cm的速度沿折线B→A→C→B运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，求出此时线段PC的长（用含t的代数式表示）；（2）在运动过程中，当t为何值时，△BCP是以PB为底边的等腰三角形．2、如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，点P从点A出发，在△ABC的边上以2cm/秒的速度沿A→C→B→A运动一周，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）如图，点P运动到BC边上，且AP恰好平分∠BAC，求t的值；（2）在点P运动过程中，当△CBP是以CB为腰的等腰三角形时，求t的值．3、如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BC＝12厘米，点D为AB上一点且BD＝8厘米，点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，设运动时间为t，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）用含t的式子表示PC的长为；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝2时，三角形BPD与三角形CQP 是否全等，请说明理由；（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，请求出点Q的运动速度是多少时，能够使三角形BPD与三角形CQP全等？4、如图，在△ABC中，∠ACB＝90，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC﹣﹣CB 以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC﹣CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设点P的运动时间为t（秒）：（1）当P、Q两点相遇时，求t的值；（2）在整个运动过程中，求CP的长（用含t的代数式表示）；（3）当△PEC与△QFC全等时，直接写出所有满足条件的CQ的长．5、如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．（1）如图（1），当t＝时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC 的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．6、如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB 上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．参考答案与试题解析1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点B出发，以每秒4cm的速度沿折线B→A→C→B运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，求出此时线段PC的长（用含t的代数式表示）；（2）在运动过程中，当t为何值时，△BCP是以PB为底边的等腰三角形．【分析】（1）首先利用勾股定理求出AC，然后利用t表示AP，接着表示PC即可求解；（2）根据已知条件可以得到CP＝CB，然后可以得到关于t的方程即可求解．【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴AC＝＝8cm，当点P在AC上，∴4t＝AB+AP，∴AP＝4t﹣10，∴PC＝AC﹣AP＝8﹣（4t﹣10）＝（18﹣4t）cm；（2）∵△BCP是以PB为底边的等腰三角形，∴CP＝CB，∴18﹣4t＝6，∴t＝3．【点评】此题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键．2、如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，点P从点A出发，在△ABC的边上以2cm/秒的速度沿A→C→B→A运动一周，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）如图，点P运动到BC边上，且AP恰好平分∠BAC，求t的值；（2）在点P运动过程中，当△CBP是以CB为腰的等腰三角形时，求t的值．【分析】（1）过P作PE⊥AB，根据角平分线的性质和勾股定理，列方程进行解答即可；（2）分两种情况讨论：当P在AC上时，△BCP为等腰三角形；当P在AB上时，△BCP 为等腰三角形，①PB＝BC时；②PC＝BC，进行讨论易得t的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴AC＝＝8（cm），当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP＝（14﹣2t）cm，PE＝PC＝（2t﹣8）cm，BE＝10﹣8＝2（cm），在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，即：（2t﹣8）2+22＝（14﹣2t）2，解得：t＝，∴当t＝时，点P恰好在∠BAC的平分线上；（2）根据题意得：AP＝2tcm，当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，∴PC＝BC，即8﹣2t＝6，∴t＝1，当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，①PB＝BC，即2t﹣6﹣8＝6，解得：t＝10，②PC＝BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，∴BF＝BP，∵∠ACB＝90°，依题意有CF＝8×6÷10＝（cm），在Rt△BFC中，BF＝（cm），∴PB＝2BF＝（cm），∴t＝（8+6+）÷2＝，∴当t＝1或10或时，△BCP为等腰三角形．【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定，三角形的面积，难度适中．利用分类讨论的思想是解（2）题的关键．3、如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BC＝12厘米，点D为AB上一点且BD＝8厘米，点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，设运动时间为t，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）用含t 的式子表示PC 的长为 ；（2）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t ＝2时，三角形BPD 与三角形CQP 是否全等，请说明理由；（3）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，请求出点Q 的运动速度是多少时，能够使三角形BPD 与三角形CQP 全等？【分析】（1）先表示出BP ，根据PC ＝BC ﹣BP ，可得出答案； （2）根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS 判定两个三角形全等．（3）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程＝速度×时间公式，先求得点P 运动的时间，再求得点Q 的运动速度．【解析】（1）BP ＝2t ，则PC ＝BC ﹣BP ＝12﹣2t ；（2）当t ＝2时，BP ＝CQ ＝2×2＝4厘米，∴BD ＝8厘米．又∵PC ＝BC ﹣BP ，BC ＝12厘米，∴PC ＝12﹣4＝8厘米，∴PC ＝BD ，又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，在△BPD 和△CQP 中，{BD =PC∠B =∠C BP =CQ，∴△BPD ≌△CQP （SAS ）；③∵v P ≠v Q ，∴BP ≠CQ ，又∵△BPD ≌△CPQ ，∠B ＝∠C ，∴BP ＝PC ＝6cm ，CQ ＝BD ＝8cm ，∴点P ，点Q 运动的时间t =PB 2=62=3秒，∴V Q =CQ t =83厘米/秒．即点Q 的运动速度是83厘米/秒时，能够使三角形BPD 与三角形CQP 全等． 【小结】考查全等三角形判定，主要运用了路程＝速度×时间的公式，熟练运用全等三角形判定和性质．4、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90，AC ＝6，BC ＝8．点P 从点A 出发，沿折线AC ﹣﹣CB 以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动，点Q 从点B 出发沿折线BC ﹣CA 以每秒3个单位长度的速度向终点A 运动，P 、Q 两点同时出发．分别过P 、Q 两点作PE ⊥l 于E ，QF ⊥l 于F ．设点P 的运动时间为t （秒）：（1）当P 、Q 两点相遇时，求t 的值；（2）在整个运动过程中，求CP 的长（用含t 的代数式表示）；（3）当△PEC 与△QFC 全等时，直接写出所有满足条件的CQ 的长．【分析】（1）由题意得t +3t ＝6+8，即可求得P 、Q 两点相遇时，t 的值；（2）根据题意即可得出CP 的长为{6−t(t ≤6)t −6(6＜t ≤14)； （3）分两种情况讨论得出关于t 的方程，解方程求得t 的值，进而即可求得CQ 的长．【解析】（1）由题意得t +3t ＝6+8，解得t =72（秒），当P 、Q 两点相遇时，t 的值为72秒； （2）由题意可知AP ＝t ，则CP 的长为{6−t(t ≤6)t −6(6＜t ≤14)； （3）当P 在AC 上，Q 在BC 上时，∵∠ACB ＝90，∴∠PCE +∠QCF ＝90°，∵PE ⊥l 于E ，QF ⊥l 于F ．∴∠EPC +∠PCE ＝90°，∠PEC ＝∠CFQ ＝90°，∴∠EPC ＝∠QCF ，∴△PCE ≌△CQF ，∴PC ＝CQ ，∴6﹣t ＝8﹣3t ，解得t ＝1，∴CQ ＝8﹣3t ＝5；当P 在AC 上，Q 在AC 上时，即P 、Q 重合时，则CQ ＝PC ，由题意得，6﹣t ＝3t ﹣8， 解得t ＝3.5，∴CQ ＝3t ﹣8＝2.5，当P 在BC 上，Q 在AC 上时，即A 、Q 重合时，则CQ ＝AC ＝6，综上，当△PEC 与△QFC 全等时，满足条件的CQ 的长为5或2.5或6．【小结】本题考查了三角形全等的判定和性质，根据题意得出关于t 的方程是解题的关键．5、如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝9cm ，AC ＝12cm ，AB ＝15cm ，现有一动点P ，从点A 出发，沿着三角形的边AC →CB →BA 运动，回到点A 停止，速度为3cm /s ，设运动时间为ts ．（1）如图（1），当t ＝ 112或192 时，△APC 的面积等于△ABC 面积的一半；（2）如图（2），在△DEF 中，∠E ＝90°，DE ＝4cm ，DF ＝5cm ，∠D ＝∠A ．在△ABC 的边上，若另外有一个动点Q ，与点P 同时从点A 出发，沿着边AB →BC →CA 运动，回到点A 停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ ≌△DEF ，求点Q 的运动速度．【分析】（1）分两种情况进行解答，①当点P 在BC 上时，②当点P 在BA 上时，分别画出图形，利用三角形的面积之间的关系，求出点P 移动的距离，从而求出时间即可；（2）由△APQ ≌△DEF ，可得对应顶点为A 与D ，P 与E ，Q 与F ；于是分两种情况进行解答，①当点P 在AC 上，②当点P 在AB 上，分别求出P 移动的距离和时间，进而求出Q 的移动速度．【解析】（1）①当点P 在BC 上时，如图①﹣1，若△APC 的面积等于△ABC 面积的一半；则CP =12BC =92cm ，此时，点P 移动的距离为AC +CP ＝12+92=332，移动的时间为：332÷3=112秒，②当点P 在BA 上时，如图①﹣2若△APC 的面积等于△ABC 面积的一半；则PD =12BC ，即点P 为BA 中点，此时，点P 移动的距离为AC +CB +BP ＝12+9+152=572cm ，移动的时间为：572÷3=192秒， （2）△APQ ≌△DEF ，即，对应顶点为A 与D ，P 与E ，Q 与F ；①当点P 在AC 上，如图②﹣1所示：此时，AP ＝4，AQ ＝5，∴点Q 移动的速度为5÷（4÷3）=154cm /s ，②当点P 在AB 上，如图②﹣2所示：此时，AP ＝4，AQ ＝5，即，点P 移动的距离为9+12+15﹣4＝32cm ，点Q 移动的距离为9+12+15﹣5＝31cm ， ∴点Q 移动的速度为31÷（32÷3）=9332cm /s ，综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ ≌△DEF ，点Q 的运动速为154cm /s 或9332cm /s ．【小结】考查直角三角形性质，全等三角形判定，画出相应图形，求出各点移动的距离是正确解答关键．6、如图（1），AB ＝7cm ，AC ⊥AB ，BD ⊥AB 垂足分别为A 、B ，AC ＝5cm ．点P 在线段AB 上以2cm /s 的速度由点A 向点B 运动，同时点Q 在射线BD 上运动．它们运动的时间为t （s ）（当点P 运动结束时，点Q 运动随之结束）．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t ＝1时，△ACP 与△BPQ 是否全等，并判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），若“AC ⊥AB ，BD ⊥AB ”改为“∠CAB ＝∠DBA ”，点Q 的运动速度为xcm /s ，其它条件不变，当点P 、Q 运动到何处时有△ACP 与△BPQ 全等，求出相应的x 的值．【分析】（1）利用AP ＝BQ ＝2，BP ＝AC ，可根据“SAS ”证明△ACP ≌△BPQ ；则∠C ＝∠BPQ ，然后证明∠APC +∠BPQ ＝90°，从而得到PC ⊥PQ ；（2）讨论：若△ACP ≌△BPQ ，则AC ＝BP ，AP ＝BQ ，即5＝7﹣2t ，2t ＝xt ；②若△ACP ≌△BQP ，则AC ＝BQ ，AP ＝BP ，即5＝xt ，2t ＝7﹣2t ，然后分别求出x 即可．【解析】（1）△ACP ≌△BPQ ，PC ⊥PQ ．理由如下：∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，∴∠A ＝∠B ＝90°，∵AP ＝BQ ＝2，∴BP ＝5，∴BP ＝AC ，在△ACP 和△BPQ 中,{AP =BQ∠A =∠B AC =BP，∴△ACP ≌△BPQ （SAS ）；∴∠C ＝∠BPQ ，∵∠C +∠APC ＝90°，∴∠APC +∠BPQ ＝90°，∴∠CPQ ＝90°，∴PC ⊥PQ ；（2）①若△ACP ≌△BPQ ，则AC ＝BP ，AP ＝BQ ，可得：5＝7﹣2t ，2t ＝xt,解得：x ＝2，t ＝1；②若△ACP ≌△BQP ，则AC ＝BQ ，AP ＝BP ，可得：5＝xt ，2t ＝7﹣2t,解得：x =207，t =74． 综上所述，当△ACP 与△BPQ 全等时x 的值为2或207．【小结】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．。
全等三角形动点问题
WORD 完美格式全等三角形动点问题一）、知识回顾动态几何题，是指以几何知识和几何图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题；而通过对几何图形运动变化，使同学们经历由观察、想象、推理等发现、探索的过程，是中考数学试题中，考查创新意识、创新能力的重要题型；解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律，抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动．热身练习：C1、如图，在等腰△ ACB中， AC＝ BC＝ 5，AB＝ 8，D 为E F底边 AB上一动点A D B （不与点 A，B 重合）， DE⊥ AC， DF⊥ BC，垂足分别为E， F，则 DE＋ DF＝．二）、例题辨析例1、如图，在等腰 Rt△ ABC中，∠ ACB=90°，AC=CB，AC=8，F 是 AB边上的中点，点D、E 分别在 AC、BC边上运动，且始终保持 AD=CE，连接 DE、 DF、 EF.（1）、求证：△ ADF≌△ CEF.（2）、试证明△ DFE是等腰直角三角形 .（3）、在此运动变化的过程中，四边形 CDFE的面积是否保持不变？试说明理由．（4）、求△ CDE面积的最大值．例 2 如图，△ ABC的边 BC在直线上，AC⊥ BC，且AC＝BC，△ EFP的边 FP 也在直线上，边EF与边AC重合，且EF＝FP。
（ 1）在图 1 中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与 AP 所满足的数量关系和位置关系；（ 2）将△ EFP沿直线向左平移到图 2 的位置时， EP交 AC 于点 Q，连结 AP、 BQ。
猜想并写出BQ与 AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想。
练习： 1、如图，在等腰Rt △ ABC 中，∠ C=90°， AC=8， F 是AB 边上的中点，点 D、E 分别在 AC、 BC边上运动，且保持AD=CE．连接 DE、 DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△ DFE是等腰直角三角形；② DE长度的最小值为 4；③四边形 CDFE的面积保持不变；④△ CDE 面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A．①②③B．①③C．①③④D．②③④2、（ 2011 湖北随州， 18， 7 分）在等腰三角形ABC 中，∠ABC=90°，D 为 AC边上中点，过 D 点作 DE⊥DF，交 AB于 E，交BC于 F，若 AE=4， FC=3，求 EF 长．例 2：在ABC中，AB AC，CG BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图 1 所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为 F ，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点 B ．（ 1）在图 1 中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出 BF 与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（ 2）当三角尺沿AC方向平移到图 2 所示的位置时，一条直角边仍与 AC 边在同一直线上，另一条直角边交 BC 边于点D，过点D 作 DE BA 于点 E ．此时请你通过观察、测量 DE 、DF 与CG的长度，猜想并写出 DE DF 与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（ 3）当三角尺在⑵的基础上沿AC 方向继续平移到图 3 所示的位置 ( 点F在线段AC上，且点F与点C不重合 ) 时，⑵中的猜想是否仍然成立？ ( 不用说明理由 )GF G F AAEBB D CC图 2图 1GE AFB DC图3例 3、如图，在等边△ ABC中， AB=9cm，点 P 从点 C 出发沿CB边向点 B 点以 2cm/s 的速度移动，点 Q 点从 B 点出发沿 BA 边向 A 点以 5cm/s 速度移动． P、 Q 两点同时出发，它们移动的时间为 t 秒钟．（1）你能用 t 表示 BP和 BQ的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒钟后，△ PBQ为等边三角形？（3）若 P、 Q 两点分别从 C、 B 两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P 与点 Q 第一次在△ ABC的哪条边上相遇？三）、归纳总结动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路。
全等三角形动点问题
例1、如图，已知正方形ABCD中，正方形的四边相等，四个角都是直角．边长为40厘米，点E在AB边上，BE=25厘米．如果点P在线段BC上以7厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少厘米/秒时，能够使ΔBPE与ΔCQP全等.练习1、如图，已知正方形ABCD中，正方形的四边相等，四个角都是直角．边长为10厘米，点E 在AB边上，BE=6厘米．如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CD上由C点向D点运动．若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使ΔBPE与ΔCQP全等．练习2、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90∘，AB=BC=5cm，CD=4cm.点P从点C出发以1cm/s的速度沿CB向点B匀速移动，点M从点A出发以1.5cm/s的速度沿AB向点B匀速移动，点N从点D出发以a cm/s的速度沿DC向点C匀速移动.点P、NN同时出发，当其中一个点到达终点时，其他两个点也随之停止运动，设移动时间为t s.当a为多少时，ΔPBM与ΔPCN全等.变式1、如图,AB＝6cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，AC＝BD＝4cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．求当点Q 的运动速度为多少时，△ACP与△BPQ全等练习1、如图所示，已知ΔABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，∠ABC=∠ACB，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上由B出发向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点出发向A点运动．设运动时间为t秒．（1）若点P的速度3cm/s，用含t的式子表示第t秒时，BP=______cm，CP=______cm．若点Q 运动速度与点P的运动速度相等，经过______秒ΔBPD≌ΔCQP；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，且点P的速度比点Q的速度慢1cm/s时，点Q 的运动速度为______cm/s时，能够使ΔBPD与ΔCPQ全等.练习2、如图，在△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛D、E，它们同时出发，分别以每分钟1米和2米的速度由A向B和由C向A爬行，AB=AC=6米，请问：当ΔABE≅ΔACD时，它们用了______分钟.变式2、如图所示，有一直角三角形△ABC，∠C=90°，AC=10cm，BC=4cm，一条线段PQ=AB，P、Q 两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AM上运动，如果点P在线段AC上以2厘米/秒的速度由A点向C点运动，同时，点Q在射线AM上由A点向M点运动．当点Q的运动速度为多少时，能够使△ABC与△APQ全等.练习：如图,AB＝8cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝5cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A 向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．当点Q的运动速度为cm/s时，△ACP与△BPQ全等补充练习：1、如图，已知△ABC中，AB=AC=18厘米，∠B=∠C，BC=13厘米，点D为AB的中点．如果点P 在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为______厘米/秒，ΔBPD≌ΔCQP（点B、P、D分别与点C、Q、P对应）2、如图，AB=6，BC=12，AB⊥BC于点B，直线l⊥BC于点C,点P从点B开始沿射线BC以2cm/s的速度移动，过点P作PQ⊥PA，交直线l于点Q。
全等三角形的动点问题
3.如图（1）△ABC为等边三角形，动点D在边CA上，动点P边BC上，若这两点分别从C、B点同时出发，以相同的速度由C向A和由B向C运动，连接AP，BD交于点Q，两点运动过程中AP=BD成立吗？请证明你的结论；（2）如果把原题中“动点D在边CA上，动点P边BC上，”改为“动点D，P在射线CA 和射线BC上运动”，其他条件不变，如图（2）所示，两点运动过程中∠BQP的大小保持不变．请你利用图（2）的情形，求证：∠BQP=60°；（3）如果把原题中“动点P在边BC上”改为“动点P在AB的延长线上运动，连接PD交BC于E”，其他条件不变，如图（3），则动点D，P在运动过程中，DE始终等于PE吗？写出证明过程．4.如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿射线AB，BC运动，且它们的速度都为1cm/s．（Ⅰ）当△PQB是直角三角形时，求AP的长；（Ⅱ）连接AQ，CP交于点M，则在点P，Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；5.如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．图1图2 图36如图，已知∠AOB=120°，OM平分∠AOB，将等边三角形的一个顶点P放在射线OM 上，两边分别与OA、OB（或其所在直线）交于点C、D．（1）如图①，当三角形绕点P旋转到PC⊥OA时，证明：PC=PD．（2）如图②，当三角形绕点P旋转到PC与OA不垂直时，线段PC和PD相等吗？请说明理由．（3）如图③，当三角形绕点P旋转到PC与OA所在直线相交的位置时，线段PC和PD 相等吗？直接写出你的结论，不需证明．。
全等三角形动点问题的解题思路
一、问题描述在平面几何学中，全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形。
动点问题是指在平面上确定一个点，而后移动这个点以满足一定条件。
全等三角形动点问题则是要求在平面上确定一个点，使得以该点为顶点的所有全等三角形的面积之和最大或最小。
这个问题在数学竞赛和几何学研究中常常出现，解题思路精妙而严谨。
二、解题思路1. 确定顶点我们可以考虑在给定的平面上确定一个点作为全等三角形的顶点，用坐标(x,y)表示。
这个顶点的选取形成了问题的基础。
2. 寻找基线我们需要确定一个基线，可以是平行于x轴或y轴的直线，也可以是不平行于坐标轴的直线。
该基线将与顶点形成两条边，作为全等三角形的两条边。
3. 定义第三顶点在确定了顶点和基线之后，我们需要找到以确定的顶点和基线为两边的所有全等三角形的第三个顶点。
这个顶点与已知两边的长度和角度有关，需要通过数学方法求解。
4. 计算面积我们可以根据已知的三角形三边长度和角度来计算全等三角形的面积，然后将所有全等三角形的面积相加，得到总的面积。
通过对顶点和基线的选择，使得总面积达到最大或最小。
三、求解方法1. 枚举法一种直观的方法是使用枚举法，即遍历所有可能的顶点和基线组合，计算出每一组合对应的全等三角形面积之和，然后找出最大或最小的值。
这种方法的缺点是计算量大，需要耗费大量时间和精力。
2. 几何分析法另一种方法是通过几何分析，利用三角形的性质和面积公式来推导出最优的顶点和基线选择。
这种方法需要一定的数学功底和几何直觉，但可以避免枚举法的缺点，得到更加精确和高效的解答。
3. 数学建模法还可以采用数学建模的方法，将全等三角形动点问题转化为数学问题，通过建立数学模型和运用优化理论来求解。
这种方法需要对数学理论和数值计算都有较高的要求，但可以得到较为严谨和可靠的结果。
四、举例说明以确定顶点为(-1,2)、基线为y=3和寻找基线不平行于坐标轴的情况为例，说明全等三角形动点问题的解题思路。
我们固定顶点为(-1,2)，然后确定基线为y=3，寻找第三个顶点在基线的两侧。
中考数学高频考点 因动点产生的全等三角形
因动点产生的全等三角形概述：全等三角形是学习相似三角形的基础，这一部分题目正、反比例函数，一次函数见多，也有动点移动时形成全等形。
全等三角形基础性很强，由于是动态题，往往答案很多，旨在锻炼学生综合分析问题的能力和发散性思维。
一、点在图形上运动1.如图，已知ΔABC中，，，点为的中点。
如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动。
（1）若点的运动速度与点的运动速度相等，经过后，ΔBPD与ΔCQP是否全等，请说明理由；（2）若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使ΔBPD与ΔCQP全等？2．如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，AH是△ABC的高，AH=4 cm，BC=8 cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接AD、AE，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）请写出CD、CE的长度（用含有t的代数式表示）：CD= cm，CE=cm；（2）当t为多少时，△ABD的面积为12 cm2？（3）请利用备用图探究，当t为多少时，△ABD≌△ACE？并简要说明理由．3．已知正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA=4，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．动点P以每秒1个单位速度从点B出发沿线段BC方向运动，动点Q同时以每秒4个单位速度从A点出发沿正方形的边AD﹣DC﹣CB方向顺时针作折线运动，当点P与点Q 相遇时停止运动，设点P的运动时间为t．（1）当运动时间为秒时，点P与点Q相遇；（2）当AP∥CQ时，求线段DQ的长度；（3）连接PA，当以点Q及正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAB全等时，求t的值．4．如图，直线L：与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4），动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．（1）求A、B两点的坐标；（2）求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；（3）当t为何值时△COM≌△AOB，并求此时M点的坐标．5．在平面直角坐标系中，点A的坐标（0，4），点C的坐标（6，0），点P是x轴上的一个动点，从点C出发，沿x轴的负半轴方向运动，速度为2个单位/秒，运动时间为t秒，点B在x轴的负半轴上，且S△AOC =3S△AOB．（1）求点B的坐标；（2）若点D在y轴上，是否存在点P，使以P、D、O为顶点的三角形与△AOB 全等？若存在，直接写出点D坐标；若不存在，请说明理由（3）点Q是y轴上的一个动点，从点A出发，向y轴的负半轴运动，速度为2个单位/秒．若P、Q分别从C、A两点同时出发，求：t为何值时，以P、Q、O 三点构成的三角形与△AOB全等．二、点在函数图像上运动1.直线与x轴的交点A的坐标为,与y轴的交点B的坐标为(1)求这条直线的表达式.(2)直线经过第二、三、四象限,且与x轴、y轴分别交于点C,点D,如果和全等,求直线的表达式.2.如图,在平面直角坐标系xoy内,点P在直线上(点P在第一象限),过点P作轴,垂足为点A,且.(1)求点P的坐标;(2)如果点M和点P都在反比例函数图象上,过点M作轴,垂足为点N,如果和全等(点M、N、A分别和点O、A、P对应),求点M的坐标.3.已知点和点,点R在反比例函数上,作轴于T,在x轴上是否存在点P,使R、T、P构成的三角形与全等?若存在,请求出点P的坐标,若不存在说明理由.4.如图:直线与x轴、y轴分别交于A、B两点,点是直线与A、B不重合的动点.(1)当点C运动到什么位置时的面积是6;(2)过点C的另一直线CD与y轴相交于D点,是否存在点C使与全等?若存在,请求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.28．（10分）（2011•常州）在平面直角坐标系XOY中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与直线l2相交于点P．点E为直线l2上一点，反比例函数（k＞0）的图象过点E与直线l1相交于点F．（1）若点E与点P重合，求k的值；（2）连接OE、OF、EF．若k＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标；（3）是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF 全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
全等三角形动点问题专练
班级：姓名：
1.已知:AB⊥BD, ED⊥BD, AC=CE, BC=DE。
（1）试猜想线段AC与CE的位置关系，并证明你的结论.
（2）若将CD沿CB方向平移至图2情形，其余条件不变, 结论AC1⊥C2E还成立吗?请说明理由。
（3）若将CD沿CB方向平移至图3情形，其余条件不变, 结论AC1⊥C2E还成立吗?请说明理由。
D
D
图1 图2 图3
2.如图所示，有一直角三角形△ABC，∠C=900，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AM上运动，问P点运动到AC上什么位置时，△ABC才能和△APQ全等？
3.在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ，CP；
（1）如图1，试说明BQ=CP；（2）若将点P在△ABC外，如图2，其它条件不变，结论依然成立吗？试说明理由。
2/ 4
4.如图1，在△ABC 中，点P 为BC 边中点，直线a 绕顶点A 旋转，若点B P 、在直线a 的异侧，BM ⊥直线a 于点M ，CN ⊥直线a 于点N ，连接.PM PN 、 （1）延长MP 交CN 于点E （如图2），①求证：BPM CPE △≌△；②求证：PM PN =； （2）若直线a 绕点A 旋转到图3的位置时，点B P 、在直线a 的同侧，其它条件不变.此时PM PN =还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）若直线a 绕点A 旋转到与BC 边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断PM PN =还成立吗？不必说明理由.
图1
图2
图3
5.在等边△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1米的速度由A 向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处，请问：
（1）如图1，在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？
（2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB与CD交于点Q，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变，请利用图2说明：∠CQE=60°；
（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，如图3，则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确？
C
图1 图2 图3
4/ 4。