第二节 初等函数

w z z e
n
n ln z n 2 k i
e
n
e
n ln z
m 3、当 (n 1)时，幂函数是一个n值函数。 n m
事实上，
e
2 k i
e
2 k i
只能取n个不同的值，即k=0,1,…,n-1
复变函数 4、当α是无理数或虚数时，幂函数是一多值函数； 例
2
1 i
z
同样k Z ,
z
e
z 2 k i
e . (4.7)
z
(8) 极限 lim e z 不存在.
z z x 0
lim e z lim e x
x
z z x 0
lim e z lim e x 0
x
复变函数
（3）指数函数的映射（几何）性质
复变函数
第二节
4.
初等函数
指数函数
5.
6. 7. 8.
辐角函数
对数函数 幂函数 三角函数
复变函数
6、对数函数 ⑴ 复对数的定义
定义 满足方程z ew ( z 0)的复数w确定的函数,
称为对数函数，记为w Lnz或Logz。
那么，复数z的对数具体是一个什么样的呢？
结论：
w Lnz ln | z | iArgz. (6.1)
讨论z在带形 B= z z C , 0 Im z 2 (4.8)
中变化时，w e 的映射性质。
z
1、把直线L： Im z y0映射为w平面上的射线 L1： arg w y0 .
2、把线段:Re z x0 , 0 Im z 2 映射为w平面
0 上的一个圆: w e x （除去点（ e x0，0）） .
变动到它在预先指定的其它任一值。
即，从Argz的一个单值连续分支在该点的 值连续变动到预先指定的其它单值连续分支在 该点的值。
复变函数
注解
1、 一般地说，支割线可以区分为两沿（岸）。
2、 每一单值分支在支割线上是不连续的。 不过，多值函数的每一个单支连续分支， 可以扩充成为直到支割线的上沿（或下沿）连
e e e
(1 i )Ln2
e
(1 i )[ln 2 i (arg 2 2 k )]
(1 i )[ln 2 2 k i )]
e
ln 2 2 k i i ln 2 2 k
(ln 2 2 k ) i (ln 2 2 k ) 2 k
复变函数 三种对数函数的联系与区别
函数
ln x
单值与多值
定义域
注解
单值 多值 单值
所有正实数
所有非零复数 所有非零复数 一个单值 分支为ln z z x 0时， 为ln x
Lnz ln z
复变函数
（2）对数函数的基本性质
1、对数函数w Lnz定义在整个复平面减去原点上, 是一个多值函数;
复变函数
第二节
4、指数函数
初等函数
5、多值函数导引：辐角函数 6、对数函数
复变函数
4. 指数函数
（1）指数函数的定义
要求复变数z=x+iy的函数f(z)满足下列条件：
(1) x R, f ( x) e ;
x
(2)
f ( z)在C上解析；
(3) z1, z2 C, f ( z1 z2 ) f ( z1 ) f ( z2 );
z
(5) 指数函数w e 在整个复平面内有定义
z
并且解析，且有：(e )' e
z
z
(4.3)
复变函数
(6) 从定义得， z z x | e | e ; Arge y 2k，k 0, 1, 2,
(7) 周期性：
指数函数w e 是以2 i为周期的周期函数。 z 2 i z 即 e e (4.6)
复变函数
z-平面
L
y
2 i
w-平面
u
we
z
L1
y0
x
x0
y0i
v
复变函数
3、w e 把B= z z C ,0 Im z 2 映射为
z
除去原点和正实轴的w平面.
z-平面
L
y
2 i
w-平面
u
we
z
L1
y0
B x
x0
B'
v
y0i
复变函数
5. 多值函数导引：辐角函数 （1） 辐角函数的定义 定义 函数 w Argz
解：因为 | 1 | 1， arg( 1) ，所以有
Ln(-1) ln1 i( 2k )
(2k 1)i (k 0,1,2,)。
复变函数
例2
计算Ln (2 3i )的值。
解：因为 | 2 3i | 13， arg( 2 3i ) arctan 3 2 ，所以有
记作 arg z 2k (arg z1 1 )
复变函数
w A rg z也可以分解成 无穷个单值连续分支.
K1
D1=C-K1
每个单值连续分支 由一个初值（起点） 唯一确定。记作 arg z 2k (arg z1 1 )
复变函数
Argz在C上任一点（非原点）的各值之间的联系： 通过作一条简单连续曲线围绕0或∞，让z从 某点按一定方向沿曲线连续变动若干周后，回 到该点时，Argz相应地可从辐角函数的一值连续
数在这区域内的一个单值连续分支。
复变函数
(2) 辐角函数的单值（连续）分支
结论： w Argz在区域D内可以分解成(5.1)中所表示的
无穷多个单值连续函数，它们都是w Argz在区域D内的
单值连续分支。
1、D是把复平面沿负实轴割开而得到. 负实轴称为一条割线。 2、此割线有上、下两沿。
arg z |上沿
即，一个非零复数z的对数仍是复数，它的实部 是z的模的通常实自然对数，它的虚部是z的辐角 的一般值。
复变函数
注解
1、对数函数必然是（无穷） 多值函数。 2、对数函数的主值 相应与辐角函数的主值，我们定义对数函数
Lnz的主值lnz为：
w ln z ln | z | i arg z( arg z )
w Lnz ln | z | i arg z 2k i ln z 2k i ,
复变函数 沿负实轴的割线的取值情况：
w ln z |上沿 i
上沿 下沿
w ln z |下沿 i
复变函数
一般区域：
K1
Lnz也可以分解成无 穷个单值连续分支
若规定arg z1 1 , 则
( z C {0})称为辐角函数。
显然，w=Argz函数有无穷个不同的值： 其中argz表示Argz的主值：
w Argz arg z 2k
(k Z )
arg z
(5.1)
把辐角（5.1）函数在某些区域内分解为一些 单值连续函数，每一个单值连续函数称为辐角函
定义 复数的指数函数定义为
z x
w e e (cos y i sin y) (4.1)
复变函数
注：1、由此得到欧拉公式：
iy
e cos y i sin y
z1 z2 z1 z2
2、条件（3）可以写作：
z1 , z2 C, e e e
（2）指数函数的基本性质
.
(4) z C, e 0;
w z e

Байду номын сангаас
ln z
e
2k i

(ln1 0, k Z )
的个数。
因此，对同一个 z
0, w z 的不同数值的个数
2 k i
等于不同数值的因子 e
(k Z )
复变函数 从而，有下面的结论： 1、由对数的多值性，幂函数一般是一个多值函数； 2、当α= n,是整数时，幂函数是一个单值函数； 事实上，
续的函数。
扩充的函数值称为上述单值连续分支在支 割线的上沿（或下沿）所取的值。
复变函数
例
在C上作割线
K {z || z 1 | 1, Im z 0} (3,2) {z || z 4 | 1, Im z 0} (,5)
得到区域D=C-K，取Argz在D内的一个单值
由于对数函数的每个单值分支都是解析的， 所以我们也将它的连续分支称为解析分支。 称对数函数是一个无穷多值解析函数。
复变函数
(5) 对数函数的几何性态
对数函数的单值解析分支w ln z 把z平面上的区域
D=C {Re z 0, Im z 0}
映照w平面的带形区域：
Re w ,(2k 1) Im w (2k 1)
2、对数函数的代数性质（运算性质）:
Ln( z1 z2 ) Lnz1 Lnz2 Ln(z1 / z2 ) Lnz1 Lnz2
集合相等.
(6.3) (6.4)
和辐角的加法一样上面的等式应该理解为
复变函数
但下面的等式将不再成立：
Lnz 2Lnz,
2
Ln z 1 n Lnz
n
（3）对数函数的单值分支 考虑复平面除去负实轴（包括0）而得的区域D 。 显然，在D内，对数函数可以分解为无穷多 个单值连续分支。
一般地，用来割破平面，以分出多值函数的 单值连续分支的割线，称为多值函数的支割线。
支割线 连接所有支点的曲线。
复变函数
对w=Argz来说，负实轴是一条支割线。 同样，连接0及∞的一条无界简单曲线K1也是 它的一条支割线。 即， w=Argz在K1为割线（边界）的区域D1内 可以分解成无穷个单值连续分支。