用正、反比例解决问题的知识梳理
数学人教版六年级下册正反比例及解决问题整理和复习
教学设计:
《正比例、反比例及解决问题整理和复习》
【教学背景分析】
“正反比例”的内容是隶属于代数的初步范畴,这部分内容的学习将是孩子们接触函数思想的开始。受已有经验影响,在解决比例相关的问题中,学生习惯用算术方法计算,不能较快较熟练的用比例解决,即使列出了比例,但所列比例意义不对。归根到底,是因为学生过多的记忆概念语言,硬套模式,而忽略了对概念的内涵和本质的理解。在具体问题情境中,所列比例必须要有意义,如何规范教学,需要我们老师做精心设计,帮助学生更好的理解和掌握用比例解决问题的办法。【复习内容】
人教版六年级下册第四单元正、反比例及解决问题相关练习
【复习目标】
1、以思维导图为载体,通过分类整理、辨析发现、举例说明、问题解决等丰富的活动进一步体会两个变量之间的关系,加深对正比例、反比例关系的认识。
2、在具体情境中准确运用不同方式表示正比例、反比例的量,并根据变化规律发展趋势,建立变量之间的应对关系,培养分析、判断、解决问题的能力。
3、渗透数学思想,发展抽象思维。
【复习重点】
深刻理解正反比例的关系
【复习难点】
能根据变化规律判断发展趋势,建立变量之间的对应关系解决问题。
【复习准备】
课前学生用思维导图绘制和整理《比例》单元知识网络图。
【教学过程】
一、分享导入,梳理沟通。(5分)
1、欣赏学生作品
老师布置大家
用思维导图把
第4单元比例
知识整理出
来,同学们完
成得认真,请
大家一起欣赏
欣赏。(适当
评价)
2、呈现单
元网络图
(PPT)
师:请看,这个单元主要涵盖了那几个方面的知识。
师:请同学们结合本单元的学习情况,说说在哪一部分的知识最模糊和薄弱?
数学人教版六年级下册正反比例及解决问题整理和复习
教学设计:
《正比例、反比例及解决问题整理和复习》
【教学背景分析】
“正反比例”的内容是隶属于代数的初步范畴,这部分内容的学习将是孩子们接触函数思想的开始。受已有经验影响,在解决比例相关的问题中,学生习惯用算术方法计算,不能较快较熟练的用比例解决,即使列出了比例,但所列比例意义不对。归根到底,是因为学生过多的记忆概念语言,硬套模式,而忽略了对概念的内涵和本质的理解。在具体问题情境中,所列比例必须要有意义,如何规范教学,需要我们老师做精心设计,帮助学生更好的理解和掌握用比例解决问题的办法。【复习内容】
人教版六年级下册第四单元正、反比例及解决问题相关练习
【复习目标】
1、以思维导图为载体,通过分类整理、辨析发现、举例说明、问题解决等丰富的活动进一步体会两个变量之间的关系,加深对正比例、反比例关系的认识。
2、在具体情境中准确运用不同方式表示正比例、反比例的量,并根据变化规律发展趋势,建立变量之间的应对关系,培养分析、判断、解决问题的能力。
3、渗透数学思想,发展抽象思维。
【复习重点】
深刻理解正反比例的关系
【复习难点】
能根据变化规律判断发展趋势,建立变量之间的对应关系解决问题。
【复习准备】
课前学生用思维导图绘制和整理《比例》单元知识网络图。
【教学过程】
一、分享导入,梳理沟通。(5分)
1、欣赏学生作品
老师布置大家
用思维导图把
第4单元比例
知识整理出
来,同学们完
成得认真,请
大家一起欣赏
欣赏。(适当
评价)
2、呈现单
元网络图
(PPT)
师:请看,这个单元主要涵盖了那几个方面的知识。
师:请同学们结合本单元的学习情况,说说在哪一部分的知识最模糊和薄弱?
正反比例拓展解决问题——2015.3.23
例2. 一根长4米的圆钢锯成80厘米的小段,需
要40分钟,如果改锯成20厘米的小段需要
多少时间?
•商店运来桔子、苹果和梨一共640千克。 •苹果和桔子的比是6:5,梨的重量和苹果之比3:10
,运来桔子、苹果和梨各多少千克?
一艘轮船所带柴油最多可以用6小时 ,驶出顺风,每 小时行驶30千米;驶回时逆风,每小时行驶的路程是顺 风的4/5.这艘船最多行驶出多少就应该返回了?
y (一定) k , x与y 成正比例关系 x
典型例题精讲
例1.一桶盐水200克,盐和水的质量比是1:24。要使盐水中,盐 和水的质量比是1:29,要加入多少克水?
盐:水=1:24
盐:水=1:29
解 析
原来有盐200÷(1+24)=8(克),有水200-8=192(克) 解设:加入水x克. 8 : (192+x) =1 : 29 192+x =8×29 x =40 答:加入40克水。
例3.一段路程分成上坡,平路,下坡三段,各段路程之 比依次是1:2:3.某人走各段路所用的时间之比依 次是4:5:6,已知他上坡时速度为每小时3千米,路 程全长60千米.此人走完全程用了多少小时?
例4. 张家与李家的收入钱数之比是8:5,支出的钱数之比是8:3,结果张家 结余240元,李家结余270元。问每家各收入多少元?
张家 李家
用正反比例知识解决问题课标要求
用正反比例知识解决问题课标要求
全文共四篇示例,供读者参考
第一篇示例:
正反比例是数学中一个重要的概念,它经常被应用于实际生活中,帮助我们解决各种问题。根据课标要求,学生需要掌握正反比例的知识,并能够灵活运用它们解决不同的问题。本文将介绍正反比例的相
关概念和应用,并通过实例演示如何利用这一知识解决问题。
首先,我们来了解一下正反比例的概念。正比例是指两个变量之
间的关系是随着一个变量的增加而增加,反之亦然;反比例则是指两
个变量之间的关系是随着一个变量的增加而减少,反之亦然。在数学中,我们经常用比例来表示这种关系,一般是用两个变量的比值来表
示它们之间的关系。利用正反比例的知识,我们可以很方便地解决各
种实际生活中的问题,例如物件之间的价格、数量或者速度之间的关
系等。
在教学中,教师们可以通过一些具体的例子来向学生解释正反比
例的概念和应用。比如,通过“工人多少,天数减少”的问题来说明
正比例的概念;通过“水的量增加,浸泡时间减少”的问题来说明反
比例的概念。通过这些例子,可以让学生更直观地理解正反比例之间
的关系,并掌握利用正反比例解决问题的方法。
除了理论的学习,学生还需要通过实际的练习来巩固所学的知识。比如,让学生做一些关于正反比例的练习题,提高他们运用正反比例
解决问题的能力。通过这些练习,学生可以更加深入地理解正反比例
的原理,掌握解题的方法,并提高数学解决问题的能力。
在现实生活中,正反比例的知识也经常被应用于各种问题的解决中。比如,在购买商品时,我们可以通过比较不同商品的价格和质量
之间的正反比例关系,选择性价比最高的商品;在计算机应用中,通
小学数学“正反比例问题、 按比例分配问题、百分数问题”总结+解题思路+例题整理(经典应用题10收藏!)
小学数学“正反比例问题、按比例分配问题、百分数问题”总结
+解题思路+例题整理
一、正反比例问题
【含义】两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定(即商一定),那么这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。【数量关系】
判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决,而且比较简捷。
【解题思路和方法】
解决这类问题的重要方法是:把分率(倍数)转化为比,应用比和比例的性质去解应用题。
正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。
例1
修一条公路,已修的是未修的1/3,再修300米后,已修的变成未修的1/2,求这条公路总长是多少米?
解:
由条件知,公路总长不变。
原已修长度∶总长度=1∶(1+3)=1∶4=3∶12
现已修长度∶总长度=1∶(1+2)=1∶3=4∶12
比较以上两式可知,把总长度当作12份,则300米相当于(4-3)份,从而知公路总长为300÷(4-3)×12=3600(米)
答:这条公路总长3600米。
例2
张晗做4道应用题用了28分钟,照这样计算,91分钟可以做几道应用题?
解:
做题效率一定,做题数量与做题时间成正比例关系
设91分钟可以做X应用题则有28∶4=91∶X
正比例反比例讲解
正比例反比例讲解
正比例和反比例是数学中常见的两个概念,它们描述了两个变量之间的关系。理解这两个概念对于解决实际问题非常重要。
正比例:
当两个变量的值随着彼此的变化而同步增加或减少时,我们说它们成正比例关系。换句话说,如果一个变量增加或减少了一定数量,另一个变量也会按相同的比例增加或减少,那么这两个变量就成正比例。
例如:
- 如果一个人的工资与工作时间成正比例,那么工作时间增加10%,工资也会增加10%。
- 如果一辆汽车的行驶距离与油箱中汽油量成正比例,那么油箱中汽油量增加20%,行驶距离也会增加20%。
数学上,如果y = kx,其中k是一个非零常数,那么y与x成正比例关系。
反比例:
当一个变量的值增加时,另一个变量的值减少,反之亦然,我们说它们成反比例关系。也就是说,如果一个变量增加了一定数量,另一个变量会按相同的比例减少,那么这两个变量就成反比例关系。
例如:
- 如果一个人完成一项工作所需的时间与工人数量成反比例,那么工人数量增加25%,完成工作所需时间会减少25%。
- 如果一个圆的面积与半径的平方成反比例,那么半径增加10%,面积会减少19%(因为面积与半径的平方成反比)。
数学上,如果y = k/x,其中k是一个非零常数,那么y与x成反比例关系。
理解正比例和反比例关系对于解决许多实际问题非常有帮助,如计算工资、距离、面积等。掌握这些概念有助于我们更好地分析和解决现实生活中的问题。
正比例关系的知识点总结
正比例关系的知识点总结
正比例关系有很多实际生活中的应用,可以帮助我们更好地理解和分析各种现象。本文将从数理知识、实际应用和解题技巧三个方面总结正比例关系的知识点。
数理知识
1. 正比例关系的定义
在数学中,我们使用 y=kx(k≠0)表示正比例关系,其中x和y分别表示两个变量,k表示比例系数。比例系数k表示了两个变量之间的比例关系:当x增加一定比例时,y也会增加相应的比例。这种关系可以用图像表示为一条直线,直线的斜率就是比例系数k。
2. 正比例关系的图像表示
在坐标平面上,正比例关系可以用一条通过原点的直线来表示。直线的斜率等于比例系数k,斜率越大表示y随着x的增加变化得越快,反之亦然。
3. 正比例关系的性质
正比例关系具有以下性质:
(1)两个变量之间存在着恒定的比例关系,即y=kx;
(2)直线的斜率等于比例系数k,斜率越大表示两个变量之间的比例关系越大;
(3)正比例关系在坐标平面上表示为通过原点的直线。
4. 正比例关系与反比例关系的区别
正比例关系和反比例关系都是描述两个变量之间的数学关系,但它们有着不同的特点:
(1)正比例关系描述的是两个变量之间的增长趋势一致,即一个变量增加时,另一个变量也随着增加;
(2)反比例关系描述的是两个变量之间的增长趋势相反,即一个变量增加时,另一个变量减少,反之亦然。
实际应用
1. 实际生活中的正比例关系
正比例关系在我们的日常生活中有着广泛的应用,例如:
(1)时间与距离:当我们以恒定的速度行驶时,时间与距离之间就是正比例关系,时间增加时,行驶的距离也随之增加;
(2)成本与产量:在生产过程中,成本与产量之间也存在着正比例关系,成本增加时,产量也随之增加;
用正比例和反比例解决问题
1、骑自行车从甲地到乙地,每小时 行50千米,需要6小时,如果每小时 提速10千米,可提前几小时到达?
2、用同样的砖铺地,铺18平方米 要用40块。如果铺24平方米,要 用多少块砖?
3、一间教室的地面用边长是0.4米的方砖 铺,需要300块,如果改用边长是0.5米的 方砖铺,需要用多少块砖?
2.如果x=6y(y≠0),那么x和y成( 正 )比例关系。
3.三角形的面积一定,底和高成( 反 )比例关系。
4.把正方形的边长按1︰2缩小后,周长缩小为原来的(
1 2
),面
积缩小为原来的( 1 )。
wenku.baidu.com
4
一本故事书,笑笑已读的页数与未 读页数的比是2∶3,再读45页就 能读完整本书,这本故事书共有 多少页?
判断下列各组中的四个数能否组成比例,如果能, 把组成的比例写下来。 (1) 4,20,5和1 能( )
___2__0_∶__4__=__5_∶__1_(_所___写__比__例__不__唯___一__)__________ (2) 2,0.6,5和2.5 (不能 )
___________________________________________
4.线段比例尺
,表示图上(1 cm)相当于
( 实际距离50 km )。按这样的比例尺,图上4
用正反比例解决问题
2、圆的周长公式中当C一定时,π与d成反比例。(× )
× 3、速度与路程成正比例。( )
4、y︰8=x(x不等于0),y和x成正比例。( ) √
数学诊所
我们家上个月用了8 吨水,水费是12.8元。
我们家用了 10吨水。
李奶奶
张大妈
李奶奶家上个月的水费是多少元?
用同样的砖铺地,铺18平方米要用618块。 如果铺24平方米,要用多少块砖?
一堆煤,原计划每天烧3吨,可以 烧96天,由于改进炉灶,每天烧2.4 吨,这堆煤实际可以烧多少天?
每吨水多少元?
先算出每吨水的价 钱,再算出10吨水 的钱。
12.8÷8=1.6(元)
10吨水多少元?
1.6×10=16(元)
因为每吨水的价钱一定,所以水费和用 水的吨数成正比例。也就是说,两家的 水费和用水吨数的的比值相等。 也可以用比例 的方法解决
解:设李奶奶家上个月的水费是X元。
X 12.8 = 10 8
8X = 12.8×10
12.8×10 X= 8
X = 16
答:李奶奶家上个月的水费是16元。
这批书如果每包20 本,要捆18包。
如果每包30本, 要捆多少包?
因为书的总数一定,所以包数和每包 的本数成反比例。也就是说,每包的本 数和包数的乘积相等。 也可以用比例 的方法解决
正反比例的知识点归纳总结
正反比例的知识点归纳总结
正反比例是数学中常见的一种关系,它描述了两个变量之间的比例
关系。在正反比例中,当一个变量增大时,另一个变量会相应地减小;反之,当一个变量减小时,另一个变量会相应地增大。正反比例具有
一定的特点和规律,下面将对其进行归纳总结。
一、什么是正反比例
正反比例是指两个变量之间满足某种比例关系,当一个变量的增大
与另一个变量的减小成正比时,就称为正比例关系;反之,当一个变
量的增大与另一个变量的增大成反比时,就称为反比例关系。例如,
当物体的速度增加时,所需的时间减少;反之,当物体的速度减小时,所需的时间增加。
二、正反比例的数学表示
正反比例可以用数学表达式来表示。设两个变量分别为x和y,它
们的关系可以表示为y=k/x,其中k为比例系数。在正比例关系中,k
为正数;在反比例关系中,k为负数。或者,可以将正反比例表示为
xy=k,其中k为常数。这两种表示方式是等价的,只是表达形式不同。
三、正反比例的图像特点
1. 正比例关系的图像特点:
当两个变量成正比时,它们的图像经过原点(0,0);并且呈现直线关系,斜率为正。直线越陡峭,变量之间的比例关系越大。
2. 反比例关系的图像特点:
当两个变量成反比时,它们的图像不经过原点(0,0);并且呈现倒U 型曲线关系。曲线在第一象限逐渐下降,和y轴和x轴无交点。
四、正反比例的性质和应用
1. 一般情况下,正比例中任意两组变量值的乘积相等,即xy=k;反比例中任意两组变量值的乘积相等,即xy=k。这一性质使得正反比例可以在实际中广泛应用,比如比率、速度、密度等计算中。
正反比例的知识点归纳总结
正反比例的知识点归纳总结
正反比例是数学中一个重要的概念,它描述的是两个变量之间的关系。在正反比例中,当
一个变量的值增加时,与之相关联的另一个变量的值会减少;反之亦然。这种关系在现实
生活中也有很多应用,比如说汽车的速度与行驶时间、工人的数量与完成工作的时间等等。在这篇文章中,我们将对正反比例的相关知识点进行归纳总结,从基本概念到实际应用,
帮助大家更好地理解并掌握这一概念。
1. 基本概念
在正反比例中,我们通常用变量x和y来表示两个相关联的量。如果当x增加时,y减少,我们称之为正比例;反之亦然,我们称之为反比例。通常我们使用y=kx来表示正比例关系,其中k是一个常数;使用y=k/x来表示反比例关系,同样k也是一个常数。这两种
关系的图像分别是直线和曲线。
2. 正比例的性质
对于正比例关系,当x增加时,y也会按照一定的比例增加。如果我们知道其中一个变量
的值,通过这个比例关系,我们就可以计算出另一个变量的值。正比例关系通常在现实生
活中有很多应用,比如说物体的重量和体积、时间和距离等等。在这些情况下,我们可以
利用正比例关系来进行一些问题的求解。
3. 反比例的性质
对于反比例关系,当x增加时,y会按照一个倒数的比例减少。这意味着当x变得越大,
y的变化越小。反比例关系在现实生活中也有着很多的应用,比如说密度和体积、速度和
时间等等。在这些情况下,我们同样可以利用反比例关系来进行一些问题的求解。
4. 正反比例的图像
正比例的图像通常是一条通过原点的直线,而反比例的图像则是一个经过原点的曲线。在
图像中,我们可以清晰地看到这两种关系的特点,通过图像我们也能更好地理解正反比例
六年级下学期第四单元 正比例与反比例 非常详细知识点总结+题型训练+课后练习,所有习题 带答案
考点三、正比例
系的必须是两个量,可以取不同数值的两个量,不能是具体的数字。
4、生活中正比例的例子:
(1)正方形的周长与边长成正比例关系。
(2)如果汽车行驶速度一定,路程与时间成正比例关系。
(3)平行四边形的高一定,面积和底成正比例关系。
【练习三】
一、判断
(1)如果3x=8y ,那么y 与x 成正比例。( )
(2)黄豆的出油率一定,榨出豆油的重量和所需要的黄豆的重量成正比例( )
(3)装订每个练习本所用纸的页数一定,装订的本数和所需要的纸的总张数成正比例。( )
(4)如果14x =20
y ,那么y 与x 成正比例。( ) (5)一个加数不变,和与另一个加数成正比例。( )
(6)小明的身高和体重。( )
(7)长方形的周长一定,长和宽。( )
(8)收入一定,支出和结余。
二、判断下面语句中的两个量是否成正比例关系,是打√,不是打×
(1)平行四边形的高一定,它的面积和底( )
(2)被减数一定,减数和差。( )
(3)单价一定,总价和数量。( )
(4)分母一定,分子和数值。( )
(5)少先队员每人做好事的件数一定,做好事的总件数和做好事的少先队员的人数。( )
三、填空题
1、《中古少年报》的总份数和总价是两种像关联的量,总份数扩大,总价也随着( ),如果总份数缩小,总价也随着( ),这两种量中( )的两个数的( )一定,也就是( )一定,《中国少年报》的总价和总份数成( )关系。
2、已知a ÷b=5,(a 和b 均不为0),则a 和b 是成( )的量,他们的关系叫做( )关系。
3、每台电视机的价格一定,购买电视机的台数和钱数成( )比例。
初中数学知识归纳正比例和反比例
初中数学知识归纳正比例和反比例正比例和反比例是初中数学中的重要知识点之一。了解和运用正比例和反比例可以帮助我们更好地理解数学问题,并在实际生活中应用数学知识。下面将对初中数学中的正比例和反比例进行归纳和总结。
一、正比例
正比例是指两个变量之间的关系满足一个常数的倍数关系。如果两个变量x和y满足y与x成正比,可以用以下公式表示:y = kx
其中,k是常数,表示比例因子或比例常数。
在实际问题中,我们经常会遇到正比例的例子。比如,“苹果的价格和购买的重量成正比”,可以用数学表达式表示为“价格 = 比例因子 ×重量”。这意味着购买的重量越多,价格也会相应增加。
在解决正比例问题时,我们可以通过给定的已知条件,通过比例关系得到未知数的值。比如已知购买2kg苹果的价格是5元,那么购买
4kg苹果的价格可以通过比例关系计算得出为10元。
二、反比例
反比例是指两个变量之间的关系满足一个常数的倒数关系。如果两个变量x和y满足y与x成反比,可以用以下公式表示:y = k/x
其中,k是常数,表示比例因子或比例常数。
在实际问题中,反比例也是常见的。比如,“行驶的时间和速度成
反比”,可以用数学表达式表示为“时间 = 比例因子 ÷速度”。这意味着
速度越快,所需行驶的时间越短。
解决反比例问题时,我们也可以根据已知条件,利用比例关系计算
未知数的值。例如已知行驶6小时能够到达目的地,而速度为60km/h,那么距离可以通过比例关系计算得出为360km。
三、正比例和反比例的图像特征
正比例和反比例的关系可以通过图像来表示。正比例的图像呈直线,通过原点,并且斜率为正数。反比例的图像则呈现出一条曲线,通过
六年级下册正比例和反比例数学知识点
六年级下册正比例和反比例数学知识点
一、变化的量
生活中存在着大量互相依存的变量,一种量变化,另一种量也随着变化。
二、正比例
1. 正比例的意义:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量,用字母k表示它们的比值(一定),正比例关系可以表示为:y/x=k(一定)。
2. 应用正比例的意义判断两种量是否成正比例:有些相关联的量,虽然也是一种量随着另一种量的变化而变化,但它们相对应的数的比值不一定,就不成正比例,如被减数与差,正方形的面积与边长等。
三、画一画
正比例的图像是一条直线。
四、反比例
1. 反比例的意义:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量,用k表示它们
的乘积,反比例的关系式可以表示为:xy=k(一定)。
2. 判断两个量是不是成反比例:要先想这两个量是不是相关联的量;再运用数量关系式进行判断,看这两个量的积是否一定;最后作出结论。
五、观察与探究
当两个变量成反比例关系时,所绘成的图像是一条光滑曲线。
六、图形的放缩
一幅图放大或缩小,只有按照相同的比来画,画的图才像。
七、比例尺
1. 比例尺:图上距离与实际距离的比,叫做这幅图的比例尺。图上距离=实际距离比例尺实际距离=图上距离比例尺
2. 比例尺的分类:比例尺根据实际距离是缩小还是扩大,分为缩小比例尺和放大比例尺。根据表现形式的不同,比例尺还可分为线段比例尺和数值比例尺。
正比例和反比例-用比例解决问题
用正比例解决问题
1.张大妈家上个月用水量为8吨,收了水费28元。王大爷家上个月的水费是42元,求上个月用了多少吨水?
2.据测算,喜马拉雅山平均每100年上升7cm,照这样计算,喜马拉雅山上升17.5cm 需要多少年?
3.小红的身高是1.6m,他的影子尝试2.5m,如果同一时间、同一地点测得一棵树的影子长4m,那么这棵树有多高?
4.一根圆柱形木料锯成3段需要24分钟,锯成5段需要多少分钟?
用反比例解决问题
1.装修一间客厅,用边长5dm的方砖铺地,需要80块,用边长4dm的方砖铺地,需要多少块?
2.车队向灾区运送一批救灾物资,去时每小时行60km,6.5小时到达灾区。回来时每小时行78km,多长时间能返回出发地?
3.修路队计划修一条路,计划每天修120m,8天就可以修完,实际6.4天就全部修完。实际每天比计划多修多少米?
用比例知识解答部分与总体问题
1.张叔叔5小时装配了300个零件,照这样的速度,再装2小时,一共可以装配多少的零件?
2.某工程队修一条公路,4天修了144m。照这样计算,还要用8天才能完成任务,这条公路一共长多少米?
用比例知识解答稍复杂的(百分数)比问题
1.袋子里有绿球7个,黄球24个。增加多少个绿球,可是袋子里绿球与黄球的个数比是5:3?
2.水泥厂购进一堆煤,原计划每天烧12t,可以烧45天,实际每天烧煤比原计划节约25%,这堆煤实际烧了多少天?
3.小华要买一些圣诞卡,由于圣诞卡减价20%出售,用同样多的钱可以多买6张。小华原来可以买多少张圣诞卡?
用正比例图像解决问题
1.
用正反比例解决问题
2、圆的周长公式中当C一定时,π与d成反比例。(× )
× 3、速度与路程成正比例。( )
4、y︰8=x(x不等于0),y和x成正比例。( √)
数学诊所
我们家上个月用了8 吨水,水费是12.8元。
张大妈
我们家用了 10吨水。
李奶奶
李奶奶家上个月的水费是多少元?
8X = 12.8×10
12.8×10 X= 8
X = 16
答:李奶奶家上个月的水费是16元。
这批书如果每包20 本,要捆18包。
如果每包30本, 要捆多少包?
因为书的总数一定,所以包数和每包 的本数成反比例。也就是说,每包的本 数和包数的乘积相等。 也可以用比例 的方法解决
解:设要捆X包。 30X = 20×18
每吨水多少元?
先算出每吨水的价 钱,再算出10吨水 的钱。
12.8÷8=1.6(元)
10吨水多少元?
1.6×10=16(元)
因为每吨水的价钱一定,所以水费和用 水的吨数成正比例。也就是说,两家的 水费和用水吨数的的比值相等。 也可以用比例 的方法解决
解:设李奶奶家上个月的水费是X元。
X 12.8 = 10 8
20×18 X= 30
X = 12
答:要捆12包。
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用正、反比例解决问题的知识梳理
正反比例应用题是前边归一应用题的又一种解法,学生学习的难点是怎样用比例解决,所以讲新课时,我紧紧抓住什么是正反比例,要研究比例,必须确定两种相关联的量,这两种量可以求出的第三种量是什么,是乘法还是除法,从而确定成什么比例。而学生学习时,从题里找两种相关联的量、找对应数据、判断成什么比例都是难点,所以我为了突破难点。我采用了下面的方法:
一、研讨模式,学会方法。
例1:2个箱子能装24瓶啤酒。照这样,装480瓶啤酒需要几个箱子?
箱子的个数瓶数
2个——————————24瓶
?个———————————480瓶
瓶数/箱子数=每箱啤酒的瓶数(一定)
解:设装480瓶啤酒需要x个箱子 .
24:2=480:x
(略)
例2:一批啤酒用载重8吨的汽车运,需要15辆。如果改用载重10吨的汽车运,需要多少辆?
载重量辆数
8吨—————————15辆
10吨—————————?辆
解:设需要x辆。
10x=8×15
(略)
通过两道例题的学习,归纳出用比例解决应用题的步骤是:
1、找出两种相关联的量;找出题中和这两种量相对应的两组数据。
2、判断这两种量成什么比例?列出数量关系式。
3、设x列出比例式,说一说确定以谁为等量列比例?
4、解比例并检验。
二、变化练习,突破难点。
第一组:
一、装订一种练习本,装订15本,用了480页纸。照这样计算,装订24本,一共要用多少页纸?
二、小明读一本故事书,每天读12页,15天可以读完。如果每天读18页,多少天可以读完?
第二组:用比例解答。
一、明明家用方砖铺地,72块方砖课铺地面18平方米。用同样的方砖铺27平方米的地,需要多少块?
二、铺一个长4米,宽3米得房间要用48块方砖。如果铺长18米,宽12米得多功能教室,要用这样的方砖多少块?
三、学校计划用方砖铺教室地面。如果用边长5分米得,需要360块。如果改用边长6分米的,需要多少块?
第三组:
一、100千克黄豆可以榨出豆油15千克。照这样计算,
??? 1、10吨黄豆可以榨出豆油多少吨?
??? 2、要榨出豆油10.5吨,需要豆油多少吨?
第四组:
一、发电厂运来一批煤,计划每天用30吨,12天用完,实际每天节约6吨煤,实际比计划多用多少天?
学生通过变化训练,明白只有找准对应,确定了成什么比例才可以真正解决比例问题。
复合应用题中的某些问题,解题时需先根据已知条件,求出一个单位量的数值,如单位面积的产量、单位时间的工作量、单位物品的价格、单位时间所行的距离等等,然后,再根据题中的条件和问题求出结果。这样的应用题就叫做归一问题,这种解题方法叫做“归一法”。有些归一问题可以采取同类数量之间进行倍数比较的方法进行解答,这种方法叫做倍比法。
由上所述,解答归一问题的关键是求出单位量的数值,再根据题中“照这样计算”、“用同样的速度”等句子的含义,抓准题中数量的对应关系,列出算式,求得问题的解决。
归一问题可以分为直进归一,返回归一两种.在一些实际问题中,常常要先算出一个单位的数量是多少,然后求所需求的问题.例如:“买3支铅笔要4角8分,买同样的5支铅笔要多少钱?”这样的问题,称为归一问题.归一问题有:(1) 直进归一.如上例便是直进归一,需先求买1支铅笔要几分,再求买5支铅笔要多少钱.列式为:48÷3×5=80(分).
(2) 返回归一(逆归一).例如:“一辆汽车4小时行120千米,照这样计算,行180千米要用几小时?”先求平均1小时行多少千米,再求行180千米要几小时.列式为:180÷(120÷4)=180÷30=6(时).
(3)两次归一.例如:“2台拖拉机4天耕地32公顷,照这样计算,5台拖拉机7天耕地多少公顷?”先求1台拖拉机1天耕地多少公顷,再求5台拖拉机7天耕地多少公顷.列式为:
32÷2÷4×5×7=140(公顷).
又如:“2台拖拉机4小时耕地32公顷,照这样计算5台这样的拖拉机,耕210公顷需几小时?”先求1台拖拉机1小时耕地多少公顷,再求5台拖拉机耕200公顷需几小时.列式为:
200÷(32÷2÷4×5)=10(时).
归一问题中必有一种不变的量.如前面的例子中铅笔的单价不变,汽车的速度不变,拖拉机每小时耕地的公顷数不变.在应用题中,常常用“照这样计算”、“用同样的……”等词句来表达不变的量.
归一问题的教学关键是要让学生熟练掌握乘除法的数量关系.例如,知道每小时生产24个零件,就可以知道2小时、3小时……各生产多少个零件.或者,知道每小时生产24个零件,就可以知道生产48个、72个、144个……零件各需要多少小时.教学中,可用如下的形式,让学生熟悉数量之间的对应关系:
时数生产零件个数要生产的零件个数需要的时数
1—24 24—1
2—48 48—2
3—72 72—3
6—144 144—6
分析应用题时,可从问题出发去思考.如:“生产小组5小时生产120个零件,照这样计算,生产同样的零件720个,需要几小时?”先摘录应用题的条件和问题:时数零件个数
5—120
?—720
或者 5时—120个
?时—720个
从对应关系就可以清楚地看到,要求生产720个零件需要几小时,可先由“5小时生产零件120个”求出每小时生产多少个零件.列式为:
720÷(120÷5)= 720÷24=30(时).
对于单位名称相同的数量学生容易混淆.例如:“50千克黄豆可以榨豆油5千克,照这样计算,生产豆油114千克,需要黄豆多少千克?”摘录条件和问题:
黄豆豆油
50千克—5千克
?千克—114千克
要注意不要把对应的数量搞混.解题时,可以先求榨1千克豆油需要多少千克黄豆,再求榨114千克豆油需要多少公斤黄豆:
50÷5×114=1140(千克).
也可以先求1千克黄豆榨多少千克豆油,再求榨114千克豆油需多少千克黄豆:
114÷(5÷50)=1140(千克).
编题目时要注意变化.例如:
①某铁厂5小时炼铁20吨,照这样计算一昼夜可炼铁多少吨?
②修路队4天修路100米,照这样算,修2千米需要多少天?
两次归一问题的教学,仍要训练学生从问题出发进行分析.例如:“2台拖拉机4小时耕地6公顷.照这样计算,5台拖拉机6小时可以耕地多少公顷?”要求5台拖拉机6小时耕地多少公顷,先要知道1台拖拉机1小时耕地多少公顷.可先求2台1小时耕地的公顷数,再求1台1小时耕地的公顷数(6÷4÷2);也可先求1台4小时耕地的公顷数,再求1台1小时耕地的公顷数(6÷2÷4).然后求5台拖拉机6小时耕地的公顷数,列式为:6÷2÷4×5×6或 6÷2÷4×6×5.
两次归一应用题的条件与问题比较典型,容易被学生认为解题是“先连除再连乘”.因此,在练习时要注意安排变式.例如:
①第一车间有120人,5天用粮450千克.第二车间有250人,目前有粮食750千克.照一车间用粮情况推算,二车间吃7天,还必须再拨给他们粮食多少千克?(562.5千克)
②一件工程原计划18人每天工作8小时,50天完成.现在少用3人,每天工作10小时,多少天可以完成(假定每人工作效率相同)?(48天)
上述的归一问题实际上是指正比例关系的归一问题:当题中某一种量不变时,另外两种相关联的量成正比例关系(见[成正比例的量]).在实际工作和生活中我们还可能遇到成反比例关系的归一问题:当题中某一种量不变时,另外两种相关联的量成反比例关系.例如:一件工作,6个人做25天可以完成.照这样计算,10个人做,多少天可以完成?
6个人—25天
10个人—?天
根据题意,完成这件工作所需要的工作日的总数是一定的,这可由条件“6个人做25天可以完成”来求得:25×6=150(个工作日),然后再求10个人做几天可以完成:150÷10=15(天).
这里是先求工作日的总数,然后再求所需求的问题,因此这类问题常被叫做归总问题.但是从另一角度看,工作日的总数就是“1个人做这件工作所需的天数”或“1天完成这件工作所需的人数”,所以这类应用题也叫做归一问题.题中当每个人的工作效率不变时,参加工作的人数与工作的天数成反比例.