高中数学双基限时练16
北师大版高中数学必修2双基限时练：第一章++立体几何初步(16套,含解析)双基限时练8
双基限时练(八)一、选择题1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AB，BC，A1B1，B1C1的中点，下列结论错误的是()A．GH∥EFB．GH∥ACC．GE∥HFD．GB∥B1F解析GB与B1F异面．答案 D2．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS不平行的两个图是()A．①②B．②③C．③④D．①④解析③中的PQ与RS异面，④中的PQ与RS相交于一点，故选C.答案 C3．在四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形(称这样的几何体为平行六面体)，与AB共面也与CC1共面的棱的条数为() A．3 B．4C．5 D．6解析根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD，BC，BB1，AA1，C1D1符合条件．答案 C4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，M，N分别为A1D1，A1B1，DC，BC的中点，下列说法中错误的是()A．EF∥MN B．AF∥C1MC．AF∥C1N D．AE∥C1N解析∵B1D1∥BD，MN∥BD，∴MN∥B1D1.又EF∥B1D1，∴MN∥EF，故A正确，如图取AD的中点G，连接D1G，GN，则D1C1綊GN，∴D1G∥C1N，而E，G为A1D1，AD的中点，∴AE∥D1G，∴AE∥C1N，故D正确，同理可证AF∥C1M，故B正确，而AF与C1N 异面．答案 C5．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，M分别为A1B1，B1C1，BB1的中点，下列说法中错误的是()A ．∠BA 1C 1＝∠MEFB ．∠A 1BC 1＝∠EMF C ．∠B 1EM ＝∠EA 1BD ．∠EFM ＝∠A 1C 1F解析 由等角定理，可知A 、B 、C 均正确． 答案 D6．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F 分别在AB ，AC 上，且AE ＝13AB ，AF ＝13AC ，则下列说法正确的是( )A ．EF ⊥BB 1 B ．EF ∥A 1B 1C ．EF ∥B 1C 1D ．EF ∥AA 1解析 ∵AE ＝13AB ，AF ＝13AC ，∴EF ∥BC ，又ABC －A 1B 1C 1为棱柱，∴BC ∥B 1C 1，∴EF ∥B 1C 1.答案 C 二、填空题7．如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，H 分别为AB ，AD 的中点，F ，G 分别是BC ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，若BD ＝6 cm ，梯形EFGH 的面积为28 cm 2，则平行线EH ，FG 间的距离为________．解析 EH ＝3，FG ＝6×23＝4，S EFGH ＝(EH ＋FG )h 2＝28，得h ＝8(cm)． 答案 8 cm8．用一个平面去截一个正方体，截面可能是________． 解析(注：这儿画了其中的特例来说明有这几种图形) 答案 三角形、四边形、五边形、六边形9．空间中两个角α，β且α，β的角的两边分别平行，且α＝60°，则β＝________.答案 60°或120° 三、解答题10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱CC 1和AA 1的中点．画出平面BED 1F 与平面ABCD 的交线．解 如图，在平面AA 1D 1D 内，延长D 1F ，DA .∵D 1F 与DA 不平行，∴D 1F 与DA 必相交于一点，设为P ，则P ∈D 1F ，P ∈DA .又∵D 1F ⊂平面BED 1F ，DA ⊂平面ABCD ， ∴P ∈平面BED 1F ，且P ∈平面ABCD . 又∵B 为平面ABCD 与平面BED 1F 的公共点，∴连接PB ，则PB 即为平面BED 1F 与平面ABCD 的交线．11．如图，两个三角形ABC 和A ′B ′C ′的对应顶点的连线AA ′，BB ′，CC ′交于同一点O ，且AO OA ′＝BO OB ′＝CO OC ′＝23.(1)求证：A ′B ′∥AB ，A ′C ′∥AC ，B ′C ′∥BC ； (2)求S △ABCS △A ′B ′C ′的值．解 (1)证明：∵AA ′与BB ′交于点O ，且 AO OA ′＝BO OB ′＝23，∴AB ∥A ′B ′.同理AC ∥A ′C ′，BC ∥B ′C ′.(2)∵A ′B ′∥AB ，AC ∥A ′C ′，且AB 和A ′B ′，AC 和A ′C ′方向相反，∴∠BAC ＝∠B ′A ′C ′. 同理∠ABC ＝∠A ′B ′C ′. 因此△ABC ∽△A ′B ′C ′，且AB A ′B ′＝AO OA ′＝23.∴S △ABCS △A ′B ′C ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49. 12．如图，E ，F ，G ，H 分别是三棱锥ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE EB ＝AH HD ＝λ，CF FB ＝CGGD ＝μ.(1)若λ＝μ，判断四边形EFGH 的形状； (2)若λ≠μ，判断四边形EFGH 的形状； (3)若λ＝μ＝12，且EG ⊥HF ，求ACBD 的值．解 (1)∵AE EB ＝AHHD ＝λ，∴EH ∥BD ，且EH ＝λ1＋λBD .①又∵CF FB ＝CG GD ＝μ，∴FG ∥BD ，且FG ＝μ1＋μBD .②又λ＝μ，∴EH 綊FG (公理4)．因此λ＝μ时，四边形EFGH 为平行四边形．(2)若λ≠μ，由①②，知EH ∥FG ，但EH ≠FG ，因此λ≠μ时，四边形EFGH 为梯形．(3)∵λ＝μ，∴四边形EFGH 为平行四边形． 又∵EG ⊥HF ，∴四边形EFGH 为菱形． ∴FG ＝HG .∴BD ＝1＋μμFG ＝3FG ， AC ＝(λ＋1)HG ＝32HG ＝32FG . ∴AC BD ＝12.思 维 探 究13．如图，一个梯形纸片ABCD ，AB ∥CD ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，将四边形ABFE 绕EF 旋转到A ′B ′FE 的位置，G ，H 分别为A ′D ，B ′C 的中点．求证：(1)四边形A ′B ′CD 是梯形； (2)四边形EFHG 是平行四边形．证明(1)∵四边形ABCD是梯形，AB∥CD，∴AB≠CD. ∵E，F分别为AD，BC的中点，∴EF∥AB，EF∥CD，旋转后A′B′∥EF.∴A′B′∥CD，且A′B′＝AB≠CD.∴四边形A′B′CD是梯形．(2)由(1)知四边形A′B′CD是梯形，∴GH＝12(A′B′＋CD)．又GH∥CD，∴EF∥GH.∵EF＝12(AB＋CD)，∴EF綊GH. ∴四边形EFHG是平行四边形．。
北师大版高中数学必修2双基限时练：第一章++立体几何初步(16套,含解析)双基限时练1
双基限时练(一)一、选择题1．下面几何体的截面一定是圆面的是()A．圆柱B．圆锥C．球D．圆台答案 C2．下列说法正确的是()A．圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成B．在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线C．圆柱的任意两条母线所在直线互相平行D．用一平面截圆锥，截面与底面之间的部分为圆台解析由旋转的过程，可知圆柱的任意两条母线所在直线互相平行．答案 C3．如图所示，观察下面四个几何体，其中判断正确的是()A．①是圆台B．②是圆台C．③是圆锥D．④是圆台答案 C4．如图①是由下面哪个平面旋转得到的()解析由旋转的知识，可知答案为C.答案 C5．一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为()A．10 3 cm B．20 3 cmC．20 cm D．10 cm解析由图可知，h＝20cos30°＝103(cm)，答案为A.答案 A6．有下列四个命题：①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②以直角三角形的一边为旋转轴，旋转所得几何体是圆锥；③圆台的任意两条母线的延长线可能相交也可能不相交；④圆锥的轴截面是等腰三角形．其中错误命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析 ①错，以矩形某一边为轴旋转才是圆柱，以对角线为轴旋转则不是圆柱；②错，以其直角边为轴旋转才是圆锥；③错，一定相交；④正确．答案 C 二、填空题7．圆台的两底面半径分别为2 cm 和5 cm ，母线长为310 cm ，则它的轴截面面积为________．解析 圆台的高h ＝(310)2－(5－2)2＝9(cm)， S 轴截面＝(4＋10)×92＝63(cm 2)． 答案 63 cm 28．用一张4 cm ×8 cm 的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，接头忽略不计，则轴截面面积是________．解析 若圆柱的高为8 cm ，则2πr ＝4(cm)， 2r ＝4π，轴截面面积S ＝8·4π＝32π(cm 2)， 若圆柱的高为4 cm ，则2πr ＝8(cm)， 2r ＝8π，轴截面面积S ＝4·8π＝32π(cm 2)， 故答案为32π cm 2.答案 32π cm 29．一直角梯形上底长为1，下底长为3，高为2，现绕着直角梯形的下底旋转一周，所围成的几何体的轴截面的面积为________．解析 其轴截面由两部分组成其中一个为矩形，一个为三角形，S ＝4×1＋12×4×2＝8.答案 8 三、解答题 10.如图所示，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD <BC ，当梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成一个几何体，试描述该几何体的结构特征．解 如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体．11．如果一个圆锥的侧面展开图是半圆，求这个圆锥的轴截面的顶角．解 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，由题意，可得πl ＝2πr ，∴r ＝l2. ∴轴截面的顶角α满足 sin α2＝r l ＝12，∴α2＝30°.∴α＝60°，即圆锥轴截面的顶角为60°.12．已知一个圆台的母线长是5 cm ，上、下底面的面积分别是9π cm 2和16π cm 2，求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．解 (1)设圆台的上、下底面半径为r 、R ，高为h ， 则r ＝3，R ＝4，h ＝l 2－(R －r )2＝52－12＝ 26(cm)；(2)设圆锥母线长为l ′，则l ′－l l ′＝r R ，即l ′－5l ′＝34，l ′＝20(cm)．思 维 探 究13．一个圆锥的底面直径为4，高为8，在其中有一个高为x 的内接圆柱．(1)用x 表示圆柱的轴截面面积； (2)当x 为何值时，S 最大．解 作出圆锥和内接圆柱的轴截面，设圆柱的底面半径为r . 由三角形相似可得x 8＝2－r 2，得r ＝2－x4.(1)圆柱的轴截面面积S ＝2rx ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x 4x ＝－12x 2＋4x ，x ∈(0,8) (2)∵S ＝－12x 2＋4x ＝－12(x －4)2＋8，x ∈(0,8)， ∴当x ＝4时，S 取得最大值8.。
北师大版高中数学必修2双基限时练：第一章++立体几何
双基限时练(二)一、选择题1．下列说法中正确的是()A．棱柱的各个面中，至少有两个面互相平行B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C．棱柱中侧棱的长叫做棱柱的高D．棱柱的侧面是矩形，但它的底面一定不是矩形解析据棱柱的概念，知答案为A.答案 A2．若棱台上、下底面的对应边之比为1:2，则上、下底面的面积之比为()A．1:2 B．1:4C．2:1 D．4:1解析面积之比等于对应边之比的平方，可知答案为B.答案 B3．棱台不一定具有的性质是()A．侧面都是梯形B．侧棱都相等C．两底面相似D．侧棱延长后交于一点解析据棱台的性质，知答案为B.答案 B4．以下命题正确的是()A．棱锥的各侧棱长相等B．棱柱的各侧面都是矩形C．棱台的各侧棱延长线相交于一点D．圆锥的母线长等于底面圆的周长答案 C5．一个正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是() A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥解析由于正六边形的中心到顶点的距离与边长都相等，故正六棱锥的侧棱长大于底面边长．答案 D6．给出下列命题：①有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围成的几何体一定是棱柱；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形所围成的几何体是棱锥；③用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台．以上命题中真命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析对于①②不符合棱柱、棱锥的定义；对于③，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得的几何体一个是棱台，另一个是棱锥，故③不正确．答案 A二、填空题7．四棱柱有________条侧棱；________个顶点；________个侧面．答案48 48．给出下列几个命题：①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；③棱台的侧棱所在直线均相交于一点；④将直角梯形绕着它的一条腰所在的直线旋转一周所得的几何体为圆台．其中正确的是________．解析①②③显然正确，对于④，只有当直角梯形绕着它的一条垂直于底边的腰所在的直线旋转一周时，所形成的几何体才是圆台，故④不正确．答案①②③9．已知正四棱锥V—ABCD，底面面积为16，一条侧棱长为211，则它的斜高为________．解析由S底＝16，知底面边长为4，又侧棱长为211，故斜高h′＝(211)2－22＝210.答案210三、解答题10．如图所示的棱柱ABCD—A1B1C1D1为正四棱柱，用平面BCEF把该棱柱分成两部分后，各部分的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，说明理由．解∵ABCD—A1B1C1D1为正四棱柱，∴截面BCEF右边的部分是三棱柱BFB1—CEC1，截面BCEF左边的部分也是棱柱，是一个四棱柱ABF A1—DCED1.11．如图所示的几何体所有的棱长都相等，分析此几何体的面数，顶点数和棱数，并判断该几何体是不是棱柱、棱锥、棱台的一种．解该几何体有8个面，6个顶点，12条棱，它不满足棱柱、棱锥、棱台的定义，故不是棱柱，也不是棱锥，也不是棱台，但它是一个多面体．12．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为1，高为4，一动点从A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点A1，求动点所经过的最短路程长．解将三棱柱沿AA1将侧面展开，如图所示其中AA′＝3，A′A′1＝4，∴AA′1＝AA′2＋A′A′21＝32＋42＝5.∴动点所经过的最短路程长为5.思维探究13．已知底面是正方形，侧棱都相等的棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面等腰三角形底边上的高．解如图，在棱锥S－ABCD中，高OS＝3，侧棱SA＝SB＝SC＝SD ＝7，解Rt△SOA，得OA＝2，则AC＝4，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2 2.作OE⊥AB于E，则E为AB中点．连接SE，则SE即为所求．由于SO⊥OE，在Rt△SOE中，∵OE＝12BC＝2，SO＝3，∴SE＝ 5.∴棱锥侧面等腰三角形底边上的高为 5.。
北师大版高中数学必修2双基限时练：第一章++立体几何初步(16套,含解析)双基限时练10
双基限时练(十)一、选择题1．在空间中，下列命题正确的是()A．若a∥α，b∥a，则b∥αB．若a∥α，b∥α，aβ，bβ，则α∥βC．若α∥β，b∥α，则b∥βD．若α∥β，aα，则a∥β解析对于A，当a∥α，b∥a时，b可能在α内，故A不正确；对于B，a，b有可能平行，此时α∥\β，故B不正确；对于C，α∥β，b∥α，此时b 有可能在平面β内，故C不正确．答案 D2．平面α∥平面β，平面γ∥平面δ，且α∩γ＝a，α∩δ＝b，β∩γ＝c，β∩δ＝d，则交线a，b，c，d的位置关系是()A．互相平行B．交于一点C．相互异面D．不能确定解析由面面平行的性质定理，可知答案为A.答案 A3．给出下列命题：①一条直线与另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面平行；②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的所有直线平行；③经过两条异面直线a，b外一点，必有一个平面与a，b都平行；④经过两条异面直线中的一条，有且只有一个平面平行于另一条直线．其中正确的命题有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析①因为两条平行直线可确定一个平面，其中的一条直线可能在另一条直线所在的平面内，故①不对；对于②，一条直线和一个平面平行，它和这个平面内的直线有的平行，有的异面，故②不对；③中，经过两条异面直线外一点P，可作a′∥a，b′∥b，a′∩b′＝P，可确定一个平面，但有可能aα或bα，故③不正确；④显然正确，故选B.答案 B4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱AA1，BB1，CC1，DD1上的点，且E，F，G，H四点共面，则四边形EFGH一定是() A．平行四边形B．菱形C．不是菱形D．不一定是平行四边形解析据两平面平行的性质定理，可知EFGH一定为平行四边形．答案 A5．过长方体ABCD—A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有()A．4条B．6条C．8条D．12条解析与面BDD1B1平行的平面有EFGH，MNPQ，其中E，F，G，H，M，N，P，Q分别为棱的中点，每一个平面由中点构成的线有6条，据面面平行的性质定理，可知与面BDD1B1平行的线共有12条．答案 D6．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与面ABB1A1平行的直线的条数有()A．4 B．5C．6 D．7解析画出图形，结合图形作出判断．如图所示，E，F，G，H分别是所在棱的中点，显然EF，EH，HG，GF，EG，FH都与平面ABB1A1平行．答案 C二、填空题7．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别在AB1，BC1上，且AM＝BN，那么①AC∥MN；②MN∥面ABCD；③MN∥面A1B1C1D1.其中正确的是________．解析如图，过M ，N 分别作MG ∥BB 1，NH ∥BB 1，分别交AB ，BC 于G ，H 两点．∴MG BB 1＝AM AB 1＝AG AB ，又NH CC 1＝BN BC 1＝BH BC ，又ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体，∴AB 1＝BC 1，又AM＝BN ，∴MG ＝NH ，AG ＝BH .故当G ，H 不是AB ，BC 的中点时，GH AC ， 故①不正确，由MG 綊NH ，知MN ∥GH ，∴MN ∥面ABCD ，同理可得MN ∥面A 1B 1C 1D 1. 答案 ②③8．如图a ∥α，A 是α的另一侧的点，B ，C ，D ∈a ，线段AB ，AC ，AD 交α于E ，F ，G ，若BD ＝4，CF ＝4，AF ＝5，则EG ＝________.解析 由相似比EG BD ＝AF AC ，∴EG ＝AF ·BD AC ＝5×49＝209. 答案 2099．如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，正确的是________．①AC ∥面PQMN ；②AC ＝BD ；③BD ∥面PQMN ；④AC ⊥BD 解析 由PQMN 为正方形，知PQ ∥MN ， ∴PQ ∥面ADC .又PQ面ABC ，面ABC ∩面ADC ＝AC ，∴PQ ∥AC . ∴AC ∥面PQMN ，同理BD ∥面PQMN .故①③正确，又AC ∥MN ，BD ∥MQ ，MN ⊥MQ ， ∴AC ⊥BD ，故④正确．∴正确的有①③④.答案①③④三、解答题10．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点．判断直线A1B 与平面ADC1的关系．解A1B∥面ADC1，证明如下：证法1：如图①，连接A1C交AC1于F，则F为A1C的中点．连接FD.∵D是BC的中点，∴DF∥A1B.又DF平面ADC1，A1B平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1.证法2：如图②，取C1B1的中点D1，则AD∥A1D1，C1D∥D1B，∴AD∥平面A1D1B，且C1D∥平面A1D1B.又AD∩C1D＝D，∴平面ADC1∥平面A1D1B.∵A1B平面A1D1B，∴A1B∥平面ADC1.11．如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，DC＝2，E，E1分别为AD，AA1的中点，F为AB的中点．求证：EE1∥面FCC1.证明∵ABCD—A1B1C1D1为直棱柱，∴DD1∥CC1.又CC1面ADD1A1，DD1面ADD1A1，∴CC 1∥面ADD 1A 1.又ABCD 为梯形，AB ∥CD ，AB ＝4，DC ＝2， F 为AB 的中点， ∴AF ∥DC ，且AF ＝DC .故四边形AFCD 为平行四边形，故FC ∥AD . 又AD面ADD 1A 1，FC面AD 1，∴FC ∥面ADD 1A 1. 又FC ∩CC 1＝C ， ∴面FCC 1∥面ADD 1A 1. 又EE 1面ADD 1A 1，∴EE 1∥面FCC 1.12．在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，E 为线段PD 上的点，F 为线段AB 上的点，且PE ED ＝BFF A ，试判断EF 与平面PBC 的关系，并证明．证明 EF ∥平面PBC .证明如下： 如图作FG ∥BC 交CD 于点G ，连接EG ， 则BF F A ＝CGGD .∵PE ED ＝BF F A ，∴PE ED ＝CG GD . ∴PC ∥EG .又FG ∥BC ，BC ∩PC ＝C ，FG ∩GE ＝G ， ∴平面PBC ∥平面EFG .又EF 平面PBC ， ∴EF ∥平面PBC .思 维 探 究13.在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 为AC 的中点，点D 1是A 1C 1上的一点．(1)当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1?(2)当BC 1∥平面AB 1D 1时， 求证：平面BC 1D ∥平面AB 1D 1.解(1)A1D1D1C1＝1.证明如下：如图，此时D1为线段A1C1的中点，连接A1B交AB1于O，连接OD1.由棱柱的定义知四边形A1ABB1为平行四边形，∴点O为A1B的中点．在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，∴OD1∥BC1.又∵OD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1，∴当A1D1D1C1＝1时，BC1∥平面AB1D1.(2)证明：由(1)知，当BC1∥平面AB1D1时，点D1是线段A1C1的中点，则有AD∥D1C1，且AD＝D1C1，∴四边形ADC1D1是平行四边形．∴AD1∥DC1.又∵DC1平面AB1D1，AD1平面AB1D1，∴DC1∥平面AB1D1.又∵BC1∥平面AB1D1，BC1平面BC1D，DC1平面BC1D，DC1∩BC1＝C1，∴平面BC1D∥平面AB1D1.。
北师大版高中数学必修2双基限时练：第一章++立体几何初步(16套,含解析)双基限时练15
双基限时练(十五)一、选择题1．已知正四棱锥的侧棱长为23，高为3，则该棱锥的体积为( ) A ．3 B ．6 C ．9D ．18解析 设棱锥的底面边长为a ，则(23)2＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2，∴a 22＝3，∴a 2＝6，V 锥＝13a 2h ＝13×6×3＝6. 答案 B2．已知一正四棱台的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．624B ．208C ．131D .1313解析 由图可知，棱台的上底面边长为4，下底面边长为10，高为4，所以棱台的体积为V ＝13(S 上＋S下＋S 上·S 下)h ＝13×(16＋100＋40)×4＝6243＝208.答案 B3．直角梯形的一个内角为45°，下底为上底长的32倍，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为(5＋2)π，则旋转体的体积为( )A ．2πB .4＋23πC .5＋23πD .73π解析 设该直角梯形的上底长为r ，下底长则为32r.该几何体为圆柱与圆锥的组合体．S 全＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22＋πr 2＋π2r ×22r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋24πr 2＝(5＋2)π，∴r ＝2，∴V ＝V 圆柱＋V 圆锥＝73π. 答案 D4．在棱长为1的正方体上，分别用过公共顶点的三条棱的中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的多面体的体积是( )A .23B .76C .45D .56解析 V ＝1－8V 锥＝1－8×13×12×12×12×12＝56. 答案 D5．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标明的尺寸(单位：cm )可得这个几何体的体积是( )A .40003 cm 3 B .80003 cm 3 C ．2000 cm 3D ．4000 cm 3解析 由三视图得几何体S －ABCD ，且面SCD ⊥面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，作SE ⊥CD 于E ，得SE ⊥面ABCD ，SE ＝20 cm .∴V S －ABCD ＝13S ABCD ·SE ＝80003(cm 3)． 答案 B6．图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm 3的几何体的三视图，则该几何体的高为( )A ．4B ．12C .43D ．24解析 由三视图可知该几何体为一个三棱锥S －ABC ，其中SA ⊥面ABC ，AB ⊥AC ，∴V ＝13S △ABC ·h ＝13×12×5×6×h ＝5h ，得h ＝4.答案 A 二、填空题7．用一张圆弧长为12π，半径为10的扇形纸片制作一个圆锥体，则这个圆锥体的体积是________．解析 由2πr ＝12π，得r ＝6，h ＝102－r 2＝8，∴V 锥＝13S 底·h ＝13π×62×8＝96π. 答案 96π8．正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为，体积为14 cm 3，则棱台的高为________．解析 设正四棱台上底为2a ，下底为8a ，斜高为5a ，则(5a)2＝h 2＋9a 2， ∴h 2＝16a 2，∴h ＝4a ，又由棱台的体积公式求得h ＝2(cm )． 答案 2 cm9．在三棱锥P —ABC 中，三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，设PA ＝x ，PB ＝y ，PC ＝1，若x ＋y ＝4，则此三棱锥体积的最大值是________．解析 V ＝13×12xy ＝16xy ＝16x(4－x)＝16(4x －x 2)＝16×[－(x －2)2＋4]， ∴当x ＝2即x ＝y 时，V max ＝46＝23. 答案 23 三、解答题10．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD ＝a ，求三棱锥D —ABC 的体积．解取AC的中点M，连接BM，DM，∵BD＝a，BM＝22a，DM＝22a，∴DM2＋BM2＝BD2.∴∠DMB＝90°，又AD＝DC，∴DM⊥AC.又AC∩BM＝M，∴DM⊥面ABC.∴V＝13S底·h＝13×a22×22a＝212a3.11．在下图所示的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； (2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积． 解 (1)俯视图如下图所示．(2)所求多面体的体积V ＝V 长方体－V 三棱锥＝4×4×6－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×2＝2843(cm 3)．12．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，若正方体的棱长为a.(1)求三棱锥O —AB 1D 1的体积； (2)求O 到平面AB 1D 1的距离． 解 (1)∵V O －AB 1D 1＝V A —B 1D 1O ， S △B 1D 1O ＝12B 1D 1·a ＝22a 2， 又AO ⊥面BDD 1B 1， 且AO ＝22a ，∴V A —B 1D 1O ＝V O —AB 1D 1＝13×22a 2×22a ＝a 36. (2)∵AB 1＝B 1D 1＝AD 1＝2a ， ∴S △AB 1D 1＝12B 1D 1·AB 1 sin 60°＝32a 2， 设O 到平面AB 1D 1的距离为h. 由等积转化得13×32a 2h ＝a 36， ∴h ＝33a.思 维 探 究13．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝2，M 是AB 的中点，将△ACM 沿CM 折起，使A ，B 间的距离为22，求三棱锥A －BCM 的体积．解 由题意知在Rt △ABC 中，AB ＝4，BC ＝2 3. 又∵CM 为中线，∴MA ＝MB ＝MC ＝12AB ＝2.∴在三棱锥A －BCM 中，M 在面ABC 上的射影为△ABC 的外心． 又∵在折叠后的△ABC 中，AC ＝2，AB ＝22，BC ＝23， ∴AC 2＋AB 2＝BC 2，即折叠后的△ABC 也为直角三角形．取BC 的中点E ，连接ME ，则E 为点M 在面ABC 上的射影，即ME 的长为三棱锥M －ABC 的高．∵ME 为△MBC 的高，MB ＝MC ＝2，∠MBE ＝30°， ∴ME ＝12MB ＝1.∴V A －BCM ＝V M －ABC ＝13S △ABC ·ME ＝223.。
人教A版高中数学必修三试卷双基限时练16.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作双基限时练(十六)1．下列事件中，随机事件的个数为( )①明天是阴天；②方程x 2＋2x ＋5＝0有两个不相等的实根；③明年长江武汉段的最高水位是29.8米；④一个三角形的大边对小角，小边对大角．A ．1B ．2C ．3D ．4解析 由题易知①、③为随机事件，②、④为不可能事件，所以选B 项．答案 B2．随机事件A 的频率mn 满足( ) A.mn ＝0 B.m n ＝1 C ．0<mn ≤1D ．0≤mn ≤1解析 ∵0≤m ≤n ，∴0≤mn ≤1. 答案 D3．下列事件中不是随机事件的是( ) A ．某人购买福利彩票中奖B．从10个杯子(8个正品，2个次品)中任取2个，2个均为次品C．在常温下，焊锡熔化D．某人投篮10次，投中8次解析由题易知A、B、D项是随机事件，C项为不可能事件．答案 C4．一个家庭中有两个小孩，则他(她)们的性别情况可能为() A．男女、男男、女女B．男女、女男C．男男、男女、女男、女女D．男男、女女解析用列举法知C项正确．答案 C5．给出下列3种说法：①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；②作7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，出现正面的概率是nm＝37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．其中正确说法的个数是()A．0B．1C．2D．3解析由频率与概率之间的联系与区别知，①②③均不正确．答案 A6．在掷一枚硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频率为0.51，则“正面朝下”的频率为________．答案0.497．同时掷两枚骰子，点数之和在2～12点间的事件是________事件，点数之和为12点的事件是________事件，点数之和小于2或大于12的事件是________事件；将一枚骰子连掷两次，点数之差为5点的事件是______事件，点数之差为6点的事件是______事件．解析根据对概念的理解可知．答案必然随机不可能随机不可能8．给出关于满足A B的非空集合A，B的四个命题：①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；②若任取x∉A，则x∈B是不可能事件；③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；④若任取x∉B，则x∉A是必然事件．其中正确的命题是________．答案①③④9．(1)某厂一批产品的次品率为110，问任意抽取其中的10件产品是否一定会发现一件次品？为什么？(2)10件产品的次品率为110，问这10件中必有一件次品的说法是否正确？为什么？解(1)不一定，此处次品率指概率．从概率的统计定义看，当抽取件数相当多时，其中出现次品的件数与抽取总件数之比在110附近摆动，110是随机事件结果，而不是确定性数字结果，事实上这10件产品中有11种可能，全为正品，有1件次品，2件次品，……直至有10件次品，本题若改为“可能有一件次品”便是正确的了．(2)正确．这是确定性数学问题．10．用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径检验，结果如下：直径 个数 直径 个数 6.88<d ≤6.89 1 6.93<d ≤6.94 26 6.89<d ≤6.90 2 6.94<d ≤6.95 15 6.90<d ≤6.91 10 6.95<d ≤6.96 8 6.91<d ≤6.92 17 6.96<d ≤6.97 2 6.92<d ≤6.93176.97<d ≤6.982从这100个螺母中任意抽取一个，求： (1)事件A (6.92<d ≤6.94)的频率； (2)事件B (6.90<d ≤6.96)的频率； (3)事件C (d >6.96)的频率； (4)事件D (d ≤6.89)的频率．解 (1)事件A 的频率P (A )＝17＋26100＝0.43.(2)事件B 的频率P (B )＝10＋17＋17＋26＋15＋8100＝0.93. (3)事件C 的频率P (C )＝2＋2100＝0.04. (4)事件D 的频率P (D )＝1100＝0.01.11．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每道题10分，然后作了统计．统计结果如下表所示．贫困地区： 参加测试的人数 30 50 100 200 500 800 得60分以上的人数 16 27 52 104 256 402 得60分以上的频率发达地区：参加测试的人数3050100200500800 得60分以上的人数172956111276440 得60分以上的频率(1)计算两地区参加测试的儿童得60分以上的频率；(2)求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率；(3)分析贫富差距为什么会带来人的智力的差别．解(1)贫困地区得60分以上的频率依次是0．53,0.54,0.52,0.52,0.51,0.50.发达地区得60分以上的频率依次是0．57,0.58,0.56,0.56,0.55,0.55.(2)由(1)知概率分别为0.52和0.56.(3)经济上的贫困导致该地区生活水平落后，儿童的健康与发育会受到一定的影响；另外，经济落后也会使教育事业的发展落后，从而导致人的智力出现差别．12．某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10000个鱼卵能孵出8513尾鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题：(1)这种鱼卵的孵化概率(孵化率)是多少？(2)30000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗？(3)要孵化5000尾鱼苗，大概需备多少鱼卵？(精确到整数)解(1)这种鱼卵的孵化频率为851310000＝0.8513，可把它近似作为孵化的概率．(2)设能孵化x条鱼苗，则x30000＝0.8513，∴x＝25539.即30000个鱼卵大约能孵化25539条鱼苗．(3)设大约需准备y个鱼卵，则5000y＝0.8513，∴y≈5900，即大约需准备5900个鱼卵．。
北师大版高中数学必修2双基限时练：第一章++立体几何初步(16套,含解析)双基限时练16
双基限时练(十六)一、选择题1．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2解析由题意得，2R＝4a2＋a2＋a2＝6a，∴R＝62a，∴球的表面积S＝4πR2＝6πa2.答案B2．已知某几何体的三视图如图所示，则其表面积为()A．4πB．3πC．2πD．π解析由三视图可知，该几何体为半径为1的半球体，∴S表＝πr2＋2πr2＝3πr2＝3π.答案B3．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积之比为()A ．1:2:3B ．2:3:4C ．3:2:4D ．3:1:2解析 V 圆柱＝2πR 3，V 圆锥＝13πR 2·(2R)＝2π3R 3， V 球＝43πR 3.则体积之比为：2:23 :43即3:1:2. 答案 D4．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( ) A .6π B ．43π C ．46πD ．63π解析 如图，设平面α截球O 所得圆的圆心为O 1，则|OO 1|＝2，|O 1A|＝1，∴球的半径R ＝|OA|＝2＋1＝ 3.∴球的体积V ＝43πR 3＝43π.故选B .答案 B5．如图，正四棱锥P —ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果V P —ABCD ＝163，那么球O 的表面积是( )A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π解析 由题意，可得AB ＝2R ，PO ＝R ，又V P —ABCD ＝13(2R)2R ＝163，得R ＝2，∴S 表＝4πR 2＝16π.答案 D6．64个直径都为a4的球，记它们的体积之和为V 甲，表面积之和为S 甲，一个直径为a 的球记其体积为V 乙，表面积为S 乙，则( )A ．V 甲>V 乙，S 甲>S 乙B ．V 甲<V 乙，S 甲>S 乙C ．V 甲＝V 乙，S 甲>S 乙D ．V 甲＝V 乙，S 甲<S 乙解析 V 甲＝64×43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4×123＝16πa 3，S 甲＝64×4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 82＝4πa 2，V 乙＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 23＝16πa 3，S 乙＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝πa 2，∴V 甲＝V 乙，S 甲>S 乙． 答案 C 二、填空题7．一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为43π，则该正方体的表面积为________．解析 设正方体的棱长为a ，球的半径为r ，则2r ＝3a ， ∴a ＝233r ，∵43πr 3＝43π，∴r ＝3，∴a ＝2. ∴S 表＝6a 2＝24. 答案 248．圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm ，两个直径为5 cm 的玻璃小球都浸没于该容器的水中，若取出两个小球，则容器的水面将下降________．解析 由题意，得2×43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫523＝π×52×h ，得h ＝53.答案 53 cm9．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都是在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，那么这个球的体积为________．解析 球的半径R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫362＝1，故V 球＝43πR 3＝43π. 答案 43π 三、解答题10．已知某几何体的三视图如图所示，求它的体积和表面积．解 由三视图可知该几何体是半径为1的球被挖出了18部分得到的几何体，∴其体积V ＝78V 球＝78×43π×13＝76π，S 表＝78×4π×12＋3×14π×12＝174π.11．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，求这个圆锥的高与球的半径之比．解 如图，作出轴截面，设公共底面圆的半径为R ，圆锥的高为h.∴V 锥＝13πR 2h ，V 半球＝12·43πR 3.∵V 锥＝V 半球， ∴h ＝2R ，即h:R ＝2:1.12．桌面上有三个半径均为r 的小球，它们两两相切，现有第四个半径为r 的小球放在三个小球上面，且与这三个小球都相切，求第四个小球的球心离桌面的距离．解 如图所示，设桌面上三个小球的球心分别为O 1，O 2，O 3，第四个小球的球心为O 4.因每两个小球都相切，所以O 1，O 2，O 3，O 4构成一个棱长都为2r 且各面都全等的正三角形的三棱锥．设O 4在平面O 1O 2O 3的正投影为O ，则O 4到桌面的距离为O 4O ＋r. 连接O 3O ，由于O 为正三角形△O 1O 2O 3的中心，∴OO 3＝23×32×2r ＝233r. ∴O 4O ＝(2r )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫233r 2＝263r. 因此，第四个小球的球心离桌面的距离为⎝ ⎛⎭⎪⎫263＋1r. 思 维 探 究13．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为多少？解 如图，设球的半径为R ，圆锥底面半径为r ，由题意得πr 2＝316×4πR 2.∴r ＝32R ，∴OO 1＝12R.体积较小的圆锥的高AO 1＝R －12R ＝12R ，体积较大的圆锥的高BO 1＝R ＋12R ＝32R.故这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为13.。
北师大版高中数学必修2双基限时练：第一章++立体几何初步(16套,含解析)双基限时练3
双基限时练(三)一、选择题1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中两条线段结论错误的是()A．原来相交的仍相交B．原来垂直的仍垂直C．原来平行的仍平行D．原来共点的仍共点解析斜二测画法保平行，保相交，保平行线段的比，但不保垂直．答案 B2．如图所示的直观图中A′B′∥y′轴，B′C′∥A′D′∥x′轴，且B′C′≠A′D′.其对应的平面图形ABCD是()A．任意梯形B．直角梯形C．任意四边形D．平行四边形解析由直观图的画法，可知原四边形ABCD为直角梯形．答案 B3．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，如图若O′B′＝1，那么原△ABO的面积是()A.12B.22C. 2D ．2 2解析 由斜二测画法，可知原三角形为直角三角形，且∠AOB ＝90°，OB ＝1，OA ＝2O ′A ′＝22，∴S △AOB ＝12×1×22＝ 2. 答案 C 4.如图所示为等腰直角三角形，其中AB＝AC＝2，则△ABC的直观图的面积为()A．2 B. 2C.22D．2 2解析△ABC的直观图如图所示，则S△A′B′C′＝12×2×1×sin45°＝22.答案 C5．已知△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，如图，则在△ABC 的三边及中线AD中，最长的线段是()A．AB B．ADC．BC D．AC解析由斜二测画法，可知原三角形ABC为直角三角形，AC为斜边，D为BC的中点，故AC>AD，故最长的线段为AC，故答案为D.答案 D6．已知等边三角形的边长为2，那么它的直观图的面积为()A.32B.34C.64D.62解析 如图①②分别为平面图与直观图，由②可知，A ′B ′＝2，h ′＝C ′O ′sin45°＝32×22＝64，S △A ′B ′C ′＝12×64×2＝64.答案 C 二、填空题7．在一等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠A ＝45°，DC ＝2，AD ＝2，建立如图所示的直角坐标系，其中O 为AB 的中点，则其直观图的面积为________．解析 由图可知AB ＝DC ＋2AD cos45°＝4，EO ＝2sin45°＝1，其直观图如图所示，其中A ′B ′＝4，C ′D ′＝2，高h ′＝E ′O ′.sin45°＝24，∴S A ′B ′C ′D ′＝(2＋4)×242＝324.答案 3248．一个水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________．解析 由斜二测画法，知△ABC 为直角三角形，AB ＝AC 2＋BC 2＝9＋16＝5，∴AB 边上的中线为52. 答案 529．如图所示，ABCD 为边长为2的正方形，其中B (2,2)，则在斜二测画法中，直观图A ′B ′C ′D ′中B ′点到x ′轴的距离为________．解析 在直观图中，A ′B ′C ′D ′是有一个角为45°的平行四边形，B ′到x ′轴的距离为d ＝1×sin45°＝22.答案 22三、解答题10．把下图水平放置的直观图P ′Q ′R ′S ′还原为真实图形．若S ′R ′＝2，P ′Q ′＝4，S ′P ′＝2，S ′R ′∥P ′Q ′∥O ′x ′，P ′S ′∥O ′y ′，试求其真实图形PQRS 的面积．解 由斜二测画法，知P ′Q ′∥O ′x ′，P ′S ′∥O ′y ′，R ′S ′∥O ′x ′.故PQ ∥Ox ，PS ∥Oy ，RS ∥Ox ，且PS ＝2P ′S ′，PQ ＝P ′Q ′，RS ＝R ′S ′.故真实图形如图所示．由上知PQ ＝P ′Q ′＝4，SR ＝S ′R ′＝2，SP ＝2S ′P ′＝4，且四边形PQRS 是直角梯形，其面积S ＝12(SR ＋PQ )·SP ＝12 (2＋4)×4＝12.11．已知正△ABC 的边长为a ，求△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积．解 由斜二测画法可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ， 在图②中，作C ′D ′⊥A ′B ′于点D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a ，所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.12．画出长为5，宽为4，高为5的长方体的直观图．解 (1)画出x 轴，y 轴，z 轴三轴相交于O 点，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°，∠yOz ＝90°.(2)在x 轴上取OA ＝5，OC ＝2，过A 作AB ∥OC ，过C 作CB ∥OA ，则四边形OABC 为下底面．(3)在z 轴上取OO ′＝5，过O ′作O ′x ′∥Ox ，O ′y ′∥Oy ，建立坐标系x ′O ′y ′，重复(2)的步骤作出上底面O ′A ′B ′C ′.(4)连接AA ′，BB ′，CC ′，OO ′，即得到长方体OABC －O ′A ′B ′C ′的直观图．思 维 探 究13．已知水平放置的三角形ABC 是正三角形，其直观图的面积为64a 2，求△ABC 的周长．解 图△ABC 是△A ′B ′C ′的原图形，设△ABC 的边长为x ，由斜二测画法，知A ′B ′＝AB ＝x ，O ′C ′＝12OC ＝34x ，作C ′D ′⊥A ′B ′，垂足为D ′，∵∠C ′O ′D ′＝45°，∴C ′D ′＝22O ′C ′＝22×34x ＝68x ，∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′×C ′D ′＝12x ×68x ＝616x 2. ∴616x 2＝64a 2，∴x ＝2a ， ∴△ABC 周长为3×2a ＝6a .。
高中数学 双基限时练16 新人教B版必修4
双基限时练(十六)基 础 强 化1．在平行四边形ABCD 中，AB →＋CA →＋BD →＝( ) A.AB →B.BC →C.CD →D.BA →解析 AB →＋CA →＋BD →＝CA →＋AB →＋BD →＝CD →. 答案 C2．已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，则|a ＋b |＝( ) A ．0 B ．1 C. 2D ．2 2解析 a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →，∵正方形ABCD 边长为1，∴|AC →|＝ 2. ∴|a ＋b |＝ 2. 答案 C3．平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则用a ，b 表示向量AC →＋DB →的是( ) A ．a ＋a B ．b ＋b C ．0D ．a ＋b解析 AC →＋DB →＝AB →＋BC →＋DC →＋CB → ＝(AB →＋DC →)＋(BC →＋CB →) ＝AB →＋AB →＝a ＋a . 答案 A4．下列结论错误的是( ) ①AB →＋BC →＝AC →； ②AB →＋BC →＋CA →＝0；③AB →＋CB →＝AC →；④任一向量与零向量的和都为零向量． A ．①② B ．②③ C ．③④D ．②④解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴①正确，③错误； ∵任一向量与零向量的和都为这个向量，∴④错误． 答案 C 5．下列命题中：①△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；②若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点； ③若a 、b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等． 其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①正确；②中A 、B 、C 三点有可能共线，∴②错误；③中|a |＋|b |≥|a ＋b |，当且仅当a 与b 同向时等号成立，∴③错误；故选B. 答案 B6．如图，已知△ABC 是直角三角形且∠A ＝90°，则在下列各结论中，正确的结论个数为( )①|AB →＋AC →|＝|BC →|； ②|AB →＋BC →|＝|CA →|； ③|AB →＋CA →|＝|BC →|；④|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2. A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个解析 ∵△ABC 是直角三角形，∴以AB 、AC 为邻边作平行四边形，所得平行四边形为矩形．∴①②③④均正确．故选A.答案 A7．若a 等于“向东走8 km”，b 等于“向北走8 km”，则|a ＋b |＝________，a ＋b 的方向是________．解析 如图所示，设AB →＝a ，BC →＝b ，则AC →＝a ＋b ，且△ABC 为等腰直角三角形，则|AC →|＝82，∠BAC ＝45°.答案 8 2 北偏东45°8．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为________． ①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |<|a |＋|b |； ⑤|a ＋b |＝|a |＋|b |解析 a ＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0， ∴正确的有①③⑤. 答案 ①③⑤能 力 提 升9．已知|OA →|＝|OB →|＝1，∠AOB ＝60°，则|OA →＋OB →|＝________. 解析 ∵|OA →|＝|OB →|，∴OA →，OB →为邻边做平行四边形， 该平行四边形为菱形，∵∠AOB ＝60°，|OA →|＝1，∴|OA →＋OB →|＝ 3. 答案310．如图所示，已知向量a ，b ，c ，试作出向量a ＋b ＋c .解析 解法1：如图所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，再作向量AB →＝b ，则得向量OB →＝a ＋b ；然后作向量BC →＝c ，则向量OC →＝(a ＋b )＋c ＝a ＋b ＋c 即为所示．解法2：如图所示，首先在平面内任取一点O ，然后作向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，以OA ，OB 为邻边作▱OADB ，连接OD ，则OD →＝OA →＋OB →＝a ＋b .再以OD ，OC 为邻边作▱ODEC ，连接OE ，则OE →＝OD →＋OC →＝a ＋b ＋c 即为所求． 11．化简或计算： (1)CD →＋BC →＋AB →； (2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →.解析 (1)CD →＋BC →＋AB →＝(AB →＋BC →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. (2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA → ＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DF →)＋FA → ＝AC →＋CF →＋FA →＝AF →＋FA →＝0.12．如图，在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线上取点E 、F ，使BE ＝DF ，用向量的方法证明：四边形AECF 也是平行四边形．证明 AE →＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →，AB →＝DC →，FD →＝BE →， ∴AE →＝FC →，即AE 与FC 平行且相等， ∴四边形AECF 是平行四边形．品 味 高 考13．下列等式不正确的是( ) A ．a ＋0＝aB ．a ＋b ＝b ＋aC.AB →＋BA →≠0D.AC →＝DC →＋AB →＋BD →解析 ∵AB →与BA →为相反向量， ∴AB →＋BA →＝0， 故C 不正确． 答案 C。
人教A版数学必修一双基限时练16
7．已知log3[log3(log2x)]＝0，则x＝________.
解析log3[log3(log2x)]＝0⇒log3(log2x)＝1⇒log2x＝3⇒x＝23⇒x＝8.
答案8
8．(1)若log3 ＝1，则x＝________；
(2)若log2014(x2－1)＝0，则x＝________.
A. B.
C．10D．100
解析因为lga＝2.31，lgb＝1.31，
所以a＝102.31，b＝101.3()
①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若10＝lgx，x＝10；④若log25x＝ ，得x＝±5.
A．1个B．2个
C．3个D．4个
解析(1)由已知 ＝3，解得x＝－13.验证知适合题意．
(2)由1的对数等于0，得x2－1＝1，x2＝2，x＝± .验证知适合题意．
答案(1)－13(2)±
9．若logx( －2)＝－1，则x的值为________．
解析x－1＝ －2，∴x＝ ＝ ＋2.
答案 ＋2
10．求下列各式的值．
(1)log381；
A．a>5，或a<2B．2<a<5
C．2<a<3，或3<a<5D．3<a<4
解析由 ⇒ ∴2<a<3，或3<a<5.
答案C
5．下列指数式与对数式的互化中，不正确的一组是()
A．100＝1与lg1＝0
B．27－ ＝ 与log27 ＝－
C．log39＝2与9 ＝3
D．log55＝1与51＝5
4．已知lga＝2.31，lgb＝1.31，则 等于()
得(x－2)2＋(y－1)2＝0，
高二数学 双基限时练16
双基限时练(十六)1．下列表述正确的是( )①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A ．①②③B ．②③④C ．②④⑤D ．①③⑤答案 D2．已知函数f (x )＝x 3＋m ·2x ＋n 是奇函数，则( )A ．m ＝0B ．m ＝0或n ＝0C ．n ＝0D ．m ＝0且n ＝0答案 D3．设a ＝(x,4)，b ＝(3,2)，若a ∥b ，则x 的值是( )A ．－6B.83 C ．－83 D ．6 解析 ∵a ∥b ，∴x 3＝42，∴x ＝6.答案 D4．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠B 是两条平行线的同旁内角，那么∠A ＋∠B ＝180°B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．某高校共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式答案 A5．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的是( )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．余弦函数答案 C6. 在演绎推理中，只要________是正确的，结论必定是正确的． 答案 大前提和推理过程7．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系是________．解析 当0<a <1时，函数f (x )＝a x 为减函数，a ＝5－12∈(0,1)，∴函数f (x )＝(5－12)x 为减函数故由f (m )>f (n )，得m <n .答案 m <n8．关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)，有下列命题：①其图象关于y 轴对称；②当x >0时，f (x )为增函数；③f (x )的最小值是lg2；④当－1<x <0，或x >1时，f (x )是增函数；⑤f (x )无最大值，也无最小值．其中正确结论的序号是________．解析 易知f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，①正确．当x >0时，f (x )＝lg x 2＋1|x |＝lg(x ＋1x )．∵g (x )＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故②不正确，而f (x )有最小值lg2，∴③正确，④也正确，⑤不正确．答案 ①③④9．因为中国的大学分布在全国各地，大前提北京大学是中国的大学，小前提所以北京大学分布在全国各地．结论(1)上面的推理形式正确吗？为什么？(2)推理的结论正确吗？为什么？解 (1)推理形式错误．大前提中的M 是“中国的大学”它表示中国的所有大学，而小前提中M 虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误．(2)由于推理形式错误，故推理的结论错误．10．定义在实数集R 上的函数f (x )，对任意x ，y ∈R ，有f (x －y )＋f (x ＋y )＝2f (x )f (y )，且f (0)≠0，求证：f (x )是偶函数．证明 令x ＝y ＝0，则有f (0)＋f (0)＝2f (0)f (0)，即f (0)＝f (0)f (0)．∵f (0)≠0，∴f (0)＝1.令x ＝0，则有f (－y )＋f (y )＝2f (0)f (y )＝2f (y )，∴f (－y )＝f (y )．因此，f (x )是偶函数．11．已知a，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，当|x|≤1时，|f(x)|≤1，证明|c|≤1，并分析证明过程中的三段论．证明∵|x|≤1时，|f(x)|≤1.x＝0满足|x|≤1，∴|f(0)|≤1，又f(0)＝c，∴|c|≤1.证明过程中的三段论分析如下：大前提是|x|≤1，|f(x)|≤1；小前提是|0|≤1；结论是|f(0)|≤1.12．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，求证：EF∥平面BCD.(要求用三段论的形式写出证明)证明三角形的中位线平行底边，大前提点E，F分别是AB，AD的中点，小前提所以EF∥BD.结论若一个平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，大前提而EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，EF∥BD，小前提所以EF∥平面BCD.结论13．设a >0，f (x )＝e x a ＋a e x 是R 上的偶函数，求a 的值． 解 ∵f (x )＝e x a ＋a e x 是R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即e －x a ＋a e－x ＝e x a ＋a e x ， ∴1a (e －x －e x )＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －x －1e x ＝0. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1e x ＝0对一切x ∈R 恒成立， ∴a －1a ＝0，即a 2＝1. 又a >0，∴a ＝1.新课标第一网系列资料 。
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高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作双基限时练(十六)1．已知随变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝()A．0.477 B．0.628C．0.954 D．0.977解析∵ξ～N(0，σ2)，∴μ＝0，即图象关于y轴对称，∴P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ<－2)－P(ξ>2)＝1－2P(ξ>2)＝1－2×0.023＝0.954.答案 C2．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤c)＝P(X>c)，则c的值是() A．－μB．0C．μD．σ2答案 C3．已知随机变量X～N(0,1)，则X在区间(－3，＋∞)内取值的概率为()A．0.8874 B．0.0026C．0.0013 D．0.9987解析由X～N(0,1)知，正态曲线的对称轴为y轴，在区间[－3,3]上的概率为0.9974，则(－3，＋∞)内取值的概率比0.9974还大，故选D.答案 D4．如果提出统计假设：某工人制造的零件尺寸服从正态分布N(μ，σ2)，当随机抽取某一个值a时，下列哪种情况可以说明假设不成立()A．a∈(μ－3σ，μ＋3σ) B．a∉(μ－3σ，μ＋3σ)C．a∈(μ－2σ，μ＋2σ) D．a∉(μ－2σ，μ＋2σ)解析如果是正态分布，那么零件尺寸落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率为0.9974，而任取一个值a∉(μ－3σ，μ＋3σ)，说明不是正态分布，所以假设不成立．答案 B5．已知X～N(0，σ2)，且P(－2≤X<0)＝0.4，则P(X>2)＝() A．0.1 B．0.2C．3 D．0.4解析由X～N(0，σ2)知，P(0＜X≤2)＝P(－2≤X＜0)＝0.4.∴P(X＞2)＝12－P(0＜X≤2)＝0.5－0.4＝0.1.答案 A6．某市组织了一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数f(x)＝12π·10e－(x－80)2200，x∈(－∞，＋∞)，则下列命题不正确的是()A．该市这次考试的数学平均成绩为80分B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D．该市这次考试的数学成绩的标准差为10答案 B7．设离散型随机变量ξ～N(0,1)，则P(ξ≤0)＝________；P(－2<ξ<2)＝________.解析P(ξ≤0)＝1 2.P(－2＜ξ<2)＝P(0－2＜ξ＜0＋2) ＝P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544.答案120.95448．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在(3,5)里的概率相等，那么这个正态分布的均值为________．解析∵区间(－3，－1)与(3,5)．关于x＝1对称，也就是说正态曲线的对称轴为x＝1，∴μ＝1.答案 19．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，δ2)(δ>0)，若ξ在(0,1)内的取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．解析由正态分布N(1，δ2)(δ>0)知，正态曲线的对称轴为x＝1，所以P(0<ξ<2)＝2P(0<ξ<1)＝2×0.4＝0.8.答案0.810．商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布N(10,0.12)(单位：kg)．任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2 kg的概率是多少？解因为大米的质量服从正态分布N(10,0.12)，要求质量在9.8～10.2 kg的概率，需化为(μ－2σ，μ＋2σ)的形式，然后利用特殊值求解．由正态分布N(10,0.12)在，μ＝10，σ＝0.1，所以质量在9.8～10.2 kg的概率为P(10－2×0.1<X≤10＋2×0.1)＝0.9544.11．在某次考试中，考生的数学成绩ξ服从正态分布N(90,100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试中共有2000名学生，试估计考试成绩在(80,100)间的学生大约有多少人？解∵ξ～N(90,100)．∴μ＝90，σ＝100＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.9544，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.9544.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.6826，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率是0.6826.一共有2000名考生，所以，考试成绩在(80,100)间的考生大约有2000×0.6826≈1365(人)．12．某糖厂用自动打包机打包，每包重量x(kg)服从正态分布N(100,1.22)，一公司从该糖厂进货1500包，试估计重量在下列范围内的糖包数量．(1)(100－1.2,100＋1.2)；(2)(100－3×1.2,100＋3×1.2)．解(1)由正态分布N(100,1.22)知，μ＝100，δ＝1.2，又P(100－1.2<x<100＋1.2)＝0.6826，所以糖包重量在100－1.2～100＋1.2范围内的包数为1500×0.6826≈1024包．(2)因为P(100－3×1.2<x<100＋3×1.2)＝0.9974.所以糖包重量在100－3×1.2～100＋3×1.2范围内的包数为1500×0.9974≈1496包．。
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双基限时练(十六)1．给出下列四个结论 ①AB →－AC →＝BC →； ②0(a )＝0； ③0(0)＝0；④若两个非零向量a ，b 满足a ＝k b (k ≠0)，则a ，b 方向相同． 其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析 ①AB →－AC →＝CB →，∴①错．②0(a )＝0，∴②错．③0(0)＝0正确．④a 与b 共线，方向可能相同，也可能相反，∴④错．因此正确的只有③，应选B.答案 B2．下列叙述不正确的是( )A ．若a ，b 共线，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb . B. b ＝3a (a 为非零向量)，则a ，b 共线 C ．若m ＝3a ＋4b ，n ＝32a ＋2b ，则m ∥n D ．若a ＋b ＋c ＝0，则a ＋b ＝－c解析 判断a 与b 共线的方法是：存在实数λ，使a ＝λb .在A 中，若b ＝0时不成立．B 正确．在C 中，m ＝2n ，∴m ∥n ，∴C 正确．D 也正确，所以应选A.答案 A3．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →，且有一个公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．答案 A4．若AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD →＝a ，BE →＝b ，则BC →为( )A.43a ＋23bB.23a ＋43bC.23a －23bD ．－23a ＋23b解析 如右图所示，设AD 与BE 相交于O ，则AO →＝23AD →，OD →＝13AD →，BO →＝23BE →，OE →＝13BE →.∴BC →＝2BD →＝2(BO →＋OD →)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23BE →＋13AD →＝43b ＋23a ，应选B.答案 B5．已知O 是直线AB 外一点，C ，D 是线段AB 的三等分点，且AC ＝CD ＝DB .如果OA →＝3e 1，OB →＝3e 2，那么OD →等于( )A ．e 1＋2e 2 B. 2e 1＋e 2 C.23e 1＋13e 2D.13e 1＋23e 2解析 如图所示，OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋23AB →＝OA →＋23(OB →－OA →)＝13OA →＋23OB →＝e 1＋2e 2，应选A.答案 A6．已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λP A →＋PB →，λ∈R ，则点P 一定在( )A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上D ．BC 边所在的直线上解析 易得CB →－PB →＝λP A →，即CP →＝λP A →，从而CP →∥P A →.又CP →，P A →有一个公共点P ， 所以C ，P ，A 三点共线．又λ∈R ， 所以点P 在直线AC 上． 答案 B7．已知|a |＝4，b 与a 的方向相反，且|b |＝2，a ＝m b ，则实数m ＝________.答案 －28．若a ，b 为已知向量，且23(4a －3c )＋3(5c －4b )＝0，则c ＝________.解析 23(4a －3c )＋3(5c －4b )＝0， 83a －2c ＋15c －12b ＝0， ∴13c ＝12b －83a ， ∴c ＝1213b －839a . 答案 1213b －839a 9．有下面四个命题：①对于实数m 和向量a ，b ，恒有m (a －b )＝m a －m b ； ②对于实数m ，n 和向量a ，恒有(m －n )a ＝m a －n a ； ③对于实数m 和向量a ，b ，若m a ＝m b ，则a ＝b ； ④对于实数m ，n 和非零向量a ，若m a ＝n a ，则m ＝n .其中真命题有________．解析 由实数与向量积的运算知，①、②、④正确． 答案 ①②④10．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于__________．解析 由AD →＝2DB →， 得CD →－CA →＝2(CB →－CD →) ⇒CD →＝13CA →＋23CB →， 所以λ＝23. 答案 23 11．计算：(1)8(2a －b ＋c )－6(a －2b ＋c )－2(2a ＋c )；(2)13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(2a ＋8b )－(4a －2b )； (3)(m ＋n )(a －b )－(m ＋n )(a ＋b )．解 (1)原式＝16a －8b ＋8c －6a ＋12b －6c －4a －2c ＝(16－6－4)a ＋(－8＋12)b ＋(8－6－2)c ＝6a ＋4b .(2)原式＝13[(a ＋4b )－(4a －2b )]＝13(－3a ＋6b ) ＝2b －a .(3)原式＝(m ＋n )a －(m ＋n )b －(m ＋n )a －(m ＋n )b ＝－2(m ＋n )b .12．如图所示，已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝3CD ，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示向量AC →.解 因为AB ∥CD ，且AB ＝3CD ， 所以AB →＝3DC →，DC →＝13AB →＝13a ， 所以AC →＝AD →＋DC →＝b ＋13a .13．已知：AD →＝3AB →，AE →＝3AC →，且B ，C ，D ，E 不共线． 求证：BC ∥DE .证明 ∵AD →＝3AB →，AE →＝3AC →， ∴DE →＝AE →－AD →＝3AC →－3AB → ＝3(AC →－AB →)＝3BC →.∴BC →与DE →共线．又∵B ，C ，D ，E 不共线． ∴BC ∥DE .。
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双基限时练(十六)1．已知随变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝()A．0.477 B．0.628C．0.954 D．0.977解析∵ξ～N(0，σ2)，∴μ＝0，即图象关于y轴对称，∴P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ<－2)－P(ξ>2)＝1－2P(ξ>2)＝1－2×0.023＝0.954.答案 C2．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤c)＝P(X>c)，则c的值是() A．－μB．0C．μD．σ2答案 C3．已知随机变量X～N(0,1)，则X在区间(－3，＋∞)内取值的概率为()A．0.8874 B．0.0026C．0.0013 D．0.9987解析由X～N(0,1)知，正态曲线的对称轴为y轴，在区间[－3,3]上的概率为0.9974，则(－3，＋∞)内取值的概率比0.9974还大，故选D.答案 D4．如果提出统计假设：某工人制造的零件尺寸服从正态分布N(μ，σ2)，当随机抽取某一个值a时，下列哪种情况可以说明假设不成立()A．a∈(μ－3σ，μ＋3σ) B．a∉(μ－3σ，μ＋3σ)C．a∈(μ－2σ，μ＋2σ) D．a∉(μ－2σ，μ＋2σ)解析如果是正态分布，那么零件尺寸落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率为0.9974，而任取一个值a∉(μ－3σ，μ＋3σ)，说明不是正态分布，所以假设不成立．答案 B5．已知X～N(0，σ2)，且P(－2≤X<0)＝0.4，则P(X>2)＝() A．0.1 B．0.2C．3 D．0.4解析由X～N(0，σ2)知，P(0＜X≤2)＝P(－2≤X＜0)＝0.4.∴P(X＞2)＝12－P(0＜X≤2)＝0.5－0.4＝0.1.答案 A6．某市组织了一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数f(x)＝12π·10e－(x－80)2200，x∈(－∞，＋∞)，则下列命题不正确的是()A．该市这次考试的数学平均成绩为80分B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D．该市这次考试的数学成绩的标准差为10答案 B7．设离散型随机变量ξ～N(0,1)，则P(ξ≤0)＝________；P(－2<ξ<2)＝________.解析P(ξ≤0)＝1 2.P(－2＜ξ<2)＝P(0－2＜ξ＜0＋2) ＝P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544.答案120.95448．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在(3,5)里的概率相等，那么这个正态分布的均值为________．解析∵区间(－3，－1)与(3,5)．关于x＝1对称，也就是说正态曲线的对称轴为x＝1，∴μ＝1.答案 19．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，δ2)(δ>0)，若ξ在(0,1)内的取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．解析由正态分布N(1，δ2)(δ>0)知，正态曲线的对称轴为x＝1，所以P(0<ξ<2)＝2P(0<ξ<1)＝2×0.4＝0.8.答案0.810．商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布N(10,0.12)(单位：kg)．任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2 kg的概率是多少？解因为大米的质量服从正态分布N(10,0.12)，要求质量在9.8～10.2 kg的概率，需化为(μ－2σ，μ＋2σ)的形式，然后利用特殊值求解．由正态分布N(10,0.12)在，μ＝10，σ＝0.1，所以质量在9.8～10.2 kg的概率为P(10－2×0.1<X≤10＋2×0.1)＝0.9544.11．在某次考试中，考生的数学成绩ξ服从正态分布N(90,100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试中共有2000名学生，试估计考试成绩在(80,100)间的学生大约有多少人？解∵ξ～N(90,100)．∴μ＝90，σ＝100＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.9544，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.9544.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.6826，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率是0.6826.一共有2000名考生，所以，考试成绩在(80,100)间的考生大约有2000×0.6826≈1365(人)．12．某糖厂用自动打包机打包，每包重量x(kg)服从正态分布N(100,1.22)，一公司从该糖厂进货1500包，试估计重量在下列范围内的糖包数量．(1)(100－1.2,100＋1.2)；(2)(100－3×1.2,100＋3×1.2)．解(1)由正态分布N(100,1.22)知，μ＝100，δ＝1.2，又P(100－1.2<x<100＋1.2)＝0.6826，所以糖包重量在100－1.2～100＋1.2范围内的包数为1500×0.6826≈1024包．(2)因为P(100－3×1.2<x<100＋3×1.2)＝0.9974.所以糖包重量在100－3×1.2～100＋3×1.2范围内的包数为1500×0.9974≈1496包．。
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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作双基限时练(十六) 向量的减法一、选择题1．如图，在▱ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则必有( ) A.AD →＝0 B.AB →＝0或AD →＝0 C ．ABCD 为矩形 D ．ABCD 为正方形解析 由|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|知|AC →|＝|DB →|，即对角线相等，故ABCD 为矩形．答案 C2．如图D 为△ABC 中边AB 的中点，则CD →等于( )A. －BC →－BD →B. BC →＋BD →C. BC →－BD →D. －BC →＋DA →解析 CD →＝BD →－BC →＝DA →－BC →答案 D3．在平行四边形ABCD 中，AB →－CD →＋BD →等于( ) A.DB →B.AD →C.AB →D.AC →解析 AB →－CD →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＝AC →. 答案 D4．在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝( ) A. a －b ＋c B. b －(a ＋c ) C. a ＋b ＋c D. b －a ＋c解析 ∵DC →＝BC →－BD →＝BC →－(AD →－AB →)＝BC →＋AB →－AD →＝c ＋a －b答案 A5．下列各式中不能化简为PQ →的是( ) A.AB →＋P A →＋BQ → B.AB →＋PC →＋BA →－QC → C.QC →－QP →＋CQ → D.P A →＋AB →－BQ →解析 对于A ：AB →＋P A →＋BQ →＝P A →＋AB →＋BQ →＝PQ →； 对于B ：可化为AB →＋BA →＋PC →＋CQ →＝PQ →； 对于C ：可化为CQ →＋QC →＋PQ →＝PQ →；对于D ：P A →＋AB →－BQ →＝PB →－BQ →≠PQ →，故选D. 答案 D6．已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足P A →＋PB →＝PC →，下列结论中正确的是( )A ．P 在△ABC 的内部B ．P 在△ABC 的边AB 上 C ．P 在AB 边所在直线上D ．P 在△ABC 的外部解析 由P A →＋PB →＝PC →可得P A →＝PC →－PB →＝BC →，∴四边形PBCA 为平行四边形． 可知点P 在△ABC 的外部．选D. 答案 D 二、填空题7．在边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为__________． 解析 |AB →－BC →|＝|－BA →－BC →|＝|BA →＋BC →|＝2×32＝ 3. 答案 38.如图所示，已知O 到平行四边形的三个顶点A ，B ，C 的向量分别为a ，b ，c ，则OD →＝________.解析 OD →＝OC →＋CD →，又CD →＝BA →＝OA →－OB →＝a －b ，∴OD →＝c ＋a －b .答案 c ＋a －b9．已知菱形ABCD 的边长为2，求向量AB →－CB →＋CD →的模为________．解析 ∵AB →－CB →＋CD →＝AB →＋(CD →－CB →) ＝AB →＋BD →＝AD →，又|AD →|＝2，∴|AB →－CB →＋CD →|＝2. 答案 210.OA →＋AB →－AC →＋OC →＋BD →－CD →＋CO →＋BO →的结果为________． 解析 原式＝OB →－AC →＋BD →－CD →＋BO →＝CA →＋BD →＋DC →＝CA →＋BC →＝BA →.答案 BA →三、解答题11．如图所示，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示AC →，AD →，AD →－AB →，AB →＋CF →，BF →－BD →，DF →＋FE →＋ED →.解 AC →＝OC →－OA →＝c －a ， AD →＝OD →－OA →＝d －a ，AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →＝d －b ，AB →＋CF →＝OB →－OA →＋OF →－OC →＝b －a －c ＋f ， BF →－BD →＝DF →＝OF →－OD →＝f －d ， DF →＋FE →＋ED →＝0.12．如图所示，P 、Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC . 求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.证明 AB →＝AP →＋PB →，AC →＝AQ →＋QC →，∴AB →＋AC →＝AP →＋PB →＋AQ →＋QC →. ∵PB →和QC →大小相等、方向相反， ∴PB →＋QC →＝0，故AB →＋AC →＝AP →＋AQ →＋0＝AP →＋AQ →.13．若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－OA →－OA →|，试判断△ABC 的形状．解 由|OB →＋OC →－OA →－OA →|＝|AB →＋AC →|， ∵|OB →－OC →|＝|CB →|，即|AB →＋AC →|＝|CB →|，由平行四边形法则， 即BC 边上的中线等于BC 边上的一半． ∴△ABC 为直角三角形．。
北师大版高中数学必修一双基限时练16.docx
双基限时练(十六) 指数运算的性质基 础 强 化1．已知a >0，b >0，m ，n ∈R ，以下运算正确的是( ) A. a m ·a n ＝a mn B. (a m )n ＝a m ＋nC. a m b n ＝(ab )m ＋nD. ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a m ＝b ma m 答案 D2．化简－a ·3a 的结果是( ) A. 5－a 2 B. －6－a 5 C.6－a 5D. －6a 5解析 由题意得a ≤0，故原式＝(－a ) 12·a 13＝－(－a ) 12(－a ) 13＝－(－a ) 56＝－6－a 5.答案 B3．下列各式运算错误的是( ) A. (－a 2b )2·(－ab 2)3＝－a 7b 8B. (－a 2b 3)3÷(－ab 2)3＝a 3b 3C. (－a 3)2·(－b 2)3＝a 6b 6D. [(a 3)2·(－b 2)3]3＝－a 18b 18 答案 C4．下列结论中正确的个数是( ) ①当a <0时，(a 2) 32＝a 3； ②na n ＝|a |；③函数y ＝(x －2)12－(3x －7)0的定义域是[2，＋∞)； ④622＝32. A. 0个 B. 1个 C. 2个D. 3个解析 对于①，∵a <0，∴a 3<0，而(a 2) 32>0，故①不对；对于②，当n 为奇数时显然不对；对于③函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，3x －7≠0，即⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫73，＋∞，故③也不对；对于④显然正确，故答案为B.答案 B5．设2x ＝8y ＋1,9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为( ) A. 18 B. 21 C. 24 D. 27答案 D6．已知a －1a ＝3(a >0)，则a 2＋a ＋a －2＋a －1的值等于( ) A ．13－11B ．11－13C ．13＋11D ．11＋13解析 由a －1a ＝3，得⎝⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝9，因此a 2＋1a 2－2＝9，故a 2＋a－2＝11. 又(a ＋a －1)2＝a 2＋a －2＋2＝11＋2＝13，且a >0，所以a ＋a －1＝13.于是a 2＋a ＋a －2＋a －1＝11＋13.答案 D7．化简a3a －4－b 5b 的结果是________．解析 a3a －4－b 5b ＝a 3a 2＋4－b5b 4＝a ＋4－b .答案 a ＋4－b能 力 提 升8．设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.解析 ∵α，β是方程的两根，故α＋β＝－105＝－2，αβ＝15，故2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14.(2α)β＝2αβ＝215 .答案 14 2159．解析答案 26310．计算下列各式：考 题 速 递13．已知m －x ＝5＋2，则m 2x－1＋m－2x m －3x ＋m 3x 的值为________．解析 ∵m －x ＝5＋2，∴m 2x－1＋m－2x m －3x ＋m 3x＝(m x )2－m x m －x ＋(m －x )2(m x ＋m －x )[(m x )2－m x m －x ＋(m －x )2] ＝1m x ＋m －x ＝115＋2＋5＋2＝510. 答案 510。
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双基限时练(十六) 指数运算的性质基 础 强 化1．已知a >0，b >0，m ，n ∈R ，以下运算正确的是( ) A. a m ·a n ＝a mn B. (a m )n ＝a m ＋nC. a m b n ＝(ab )m ＋nD. ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a m ＝b m am 答案 D2．化简－a ·3a 的结果是( ) A. 5－a 2B. －6－a 5C. 6－a 5D. －6a 5解析 由题意得a ≤0，故原式＝(－a ) 12·a 13＝－(－a ) 12(－a ) 13 ＝－(－a ) 56＝－6－a 5.答案 B3．下列各式运算错误的是( ) A. (－a 2b )2·(－ab 2)3＝－a 7b 8 B. (－a 2b 3)3÷(－ab 2)3＝a 3b 3 C. (－a 3)2·(－b 2)3＝a 6b 6 D. [(a 3)2·(－b 2)3]3＝－a 18b 18 答案 C4．下列结论中正确的个数是( ) ①当a <0时，(a 2) 32＝a 3；②na n ＝|a |；③函数y ＝(x －2)12－(3x －7)0的定义域是[2，＋∞)；④622＝32. A. 0个 B. 1个 C. 2个D. 3个解析 对于①，∵a <0，∴a 3<0，而(a 2) 32>0，故①不对；对于②，当n 为奇数时显然不对；对于③函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，3x －7≠0，即⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫73，＋∞，故③也不对；对于④显然正确，故答案为B.答案 B5．设2x ＝8y ＋1,9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为( ) A. 18 B. 21 C. 24 D. 27答案 D6．已知a －1a＝3(a >0)，则a 2＋a ＋a －2＋a －1的值等于( )A ．13－11B ．11－13C ．13＋11D ．11＋13解析 由a －1a＝3，得⎝⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝9，因此a 2＋1a2－2＝9，故a 2＋a －2＝11. 又(a ＋a －1)2＝a 2＋a －2＋2＝11＋2＝13，且a >0，所以a ＋a －1＝13.于是a 2＋a ＋a －2＋a －1＝11＋13.答案 D7．化简a 3a －4－b 5b 的结果是________．解析 a 3a －4－b 5b＝a 3a 2＋4－b 5b 4＝a ＋4－b . 答案a ＋4－b能 力 提 升8．设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.解析 ∵α，β是方程的两根，故α＋β＝－105＝－2，αβ＝15，故2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14.(2α)β＝2αβ＝2 15.答案 142 159．解析答案26310．计算下列各式：考 题 速 递13．已知m －x＝5＋2，则m 2x －1＋m －2xm －3x ＋m 3x的值为________．解析 ∵m －x ＝5＋2，∴m 2x －1＋m－2x m －3x ＋m3x ＝(m x )2－m x m －x ＋(m －x )2(m x ＋m －x )[(m x )2－m x m －x ＋(m －x )2] ＝1m x ＋m －x＝115＋2＋5＋2＝510. 答案 510。
人教B版高中数学必修二双基限时练16
双基限时练(十六)基础强化1．下列命题正确的个数为( )①若α是直线l的倾斜角，则α∈[0°，180°)；②任何直线都存在倾斜角，但不一定存在斜率；③任何直线都存在斜率，但不一定存在倾斜角；④任何直线都存在倾斜角和斜率．A．1 B．2C．3 D．4解析任何直线都存在倾斜角，但当倾斜角为90°时，斜率不存在．故正确的是①②.答案 B2．直线l过点P(－2，a)，Q(a,4)，若直线l的斜率为1，则a 的值为( )A．1 B．4C．1或4 D．1或－4解析 k PQ ＝a －4－2－a ＝1，∴a －4＝－2－a ，∴a ＝1.答案 A3．已知直线y ＝(3a －1)x ＋2的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围为( )A ．a <13B ．a >13C ．a >3D ．a <3解析 直线y ＝(3a －1)x ＋2的斜率为3a －1， ∵该直线的倾斜角为钝角，∴3a －1<0，∴a <13.答案 A4．设点P 在y 轴上，点M 与点N 关于y 轴对称，若直线PM 的斜率为2，则直线PN 的斜率为( )A ．2B ．－2 C.12D ．－12解析 设P (0，y 0)，M (a ，b )，则N (－a ，b )． ∵k PM ＝y 0－b 0－a ＝2，∴y 0－ba＝－2， ∴k PN ＝y 0－b 0－(－a )＝－2.答案 B5．已知M (1,2)，N (4,3)，直线l 过点P (2，－1)且与线段MN 相交，那么直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．[－3,2]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，12 C ．(－∞，－3]∪[2，＋∞)D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞答案 C6．斜率为2的直线经过点(3,5)，(a,7)，(－1，b )，则a ，b 的值为( )A ．a ＝4，b ＝0B ．a ＝－4，b ＝－3C ．a ＝4，b ＝－3D ．a ＝－4，b ＝3解析 7－5a －3＝b －5－1－3＝2，∴a ＝4，b ＝－3.答案 C7．过原点引直线l ，使l 与连接A (1,1)和B (1，－1)两点间的线段相交，则直线l 的倾斜角θ的取值范围是__________．答案 0°≤θ≤45°或135°≤θ＜180°8．已知直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，如图所示，则k 1，k 2，k 3的大小关系为________．解析由于l3过二、四象限，故l3的斜率小于0，l1与l2过一、三象限，故它们的斜率大于0，因为l2倾斜角大于l1的倾斜角，∴k2>k1>0.答案k2>k1>k3能力提升9．已知点M(5,3)和点N(－3,2)，若直线PM和PN的斜率分别为2和－74，则P的坐标为________．解析设P(x，y)，则y－3x－5＝2，y－2x＋3＝－74.∴x＝1，y＝－5，故P(1，－5)．答案(1，－5)10．如图，已知A (3,2)，B (－4,1)，C (0，－1)，求直线AB ，BC ，CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．解 直线AB 的斜率 k AB ＝1－2－4－3＝17；直线BC 的斜率k BC ＝－1－10－(－4)＝－12；直线CA 的斜率k CA ＝－1－20－3＝1.由k AB >0及k CA >0知，直线AB 与CA 的倾斜角均为锐角； 由k BC <0知，直线BC 的倾斜角为钝角．11．已知点A (3,4)，在坐标轴上有一点B ，使得直线AB 的斜率等于2，求出点B 的坐标．解 如果点B 在x 轴上，可设B (x 0,0)，x 0≠3.则直线AB 的斜率k ＝0－4x 0－3＝2，解得x 0＝1，即B (1,0)；如果点B 在y 轴上，可设B (0，y 0)，y 0≠4.则直线AB 的斜率k ＝y 0－40－3＝2，解得y 0＝－2，即B (0，－2)．12．已知直线l ：y ＝ax ＋2和两点A (1,4)，B (3,1)，当直线l 与线段AB 相交时，求实数a 的取值范围．解 如图所示，直线l 过定点C (0,2)，直线BC 的斜率k CB ＝1－23－0＝－13，直线AC 的斜率k CA ＝4－21－0＝2，直线l 的斜率k l ＝a .当直线l 与线段AB 相交时，k CB ≤k l ≤k CA ， ∴－13≤a ≤2.品味高考13．下列四个命题：①一条直线向上的方向与x 轴正向所成的角，叫做这条直线的倾斜角②直线l 的倾斜角要么是锐角，要么是钝角③已知直线l 经过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，则直线l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1④若直线l 的方程是ax ＋by ＋c ＝0，则直线l 的斜率k ＝－ab.其中正确命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析 根据倾斜角的定义知，①正确；倾斜角θ的范围为0°≤θ＜180°，②不正确；当x 1＝x 2时，直线P 1P 2的斜率k 不存在，不能用公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1求解，③不正确；当b ＝0时，直线斜率不存在，④不正确．故选C.答案 C。
北师大版高中数学必修2双基限时练：第一章++立体几何初步(16套,含解析)双基限时练14
双基限时练(十四)一、选择题1．圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的全面积为( ) A ．6π B ．4π C ．2πD ．4解析 由题可知，r ＝1，l ＝2，∴S 全＝2πrl ＋2πr 2＝6π. 答案 A2．一个圆锥的高为10，侧面展开图为半圆，则圆锥的侧面积为( ) A ．200π B .2003 C .2003πD ．200解析 设圆锥的底面半径为x ，则侧面母线长为x 2＋102，又侧面展开图为半圆，∴2πx ＝πx 2＋102，得x ＝1033. ∴S 圆锥侧＝πrl ＝π×1033× 1003＋102＝2003π.即圆锥的侧面积为2003π. 答案 C3．若圆台的高为3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，其轴截面的一个底角为45°，则这个圆台的侧面积是( )A ．27πB ．272πC ．92πD ．362π解析 如图可知，2r 2＝2r 1＋6＝4r 1，∴r1＝3，r2＝6.S圆台侧＝π(r1＋r2)l＝π(6＋3)×32＝272π.答案B4．一个几何体的三视图中，主视图和左视图都是矩形，俯视图是等腰直角三角形(如图)，根据图中标准的长度，可以计算出该几何体的表面积是()A．12＋4 2 B．8＋4 2C．2＋8 2 D．6＋4 2解析由三视图可知，该几何体为直三棱柱，其中底面为等腰直角三角形，直角边长为2，高为2，S表＝2×12×2×2＋(2＋2＋22)×2＝12＋42，故选A.答案A5．正四棱台两底面面积分别为4 cm2,64 cm2，侧棱长为37 cm，则棱台的高为()A．6 5 cm B．12 cmC．6 cm D．3 5 cm解析由题可知，棱台上、下底面边长分别为2,8，由侧棱长为37知，高h＝(37)2－(42－2)2＝63－18＝35(cm)，故选D.答案D6．一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积(单位：cm2)为()A．48＋12 2 B．48＋24 2C．36＋12 2 D．36＋24 2解析由三视图可知，该几何体是一个底面为直角三角形且顶点在底面上的射影为斜边的中点的三棱锥，如图，SE＝5，SD＝4，AC＝62，AB＝BC＝6，∴S表＝S△ABC＋2S△SAB＋S△ASC＝12×6×6＋2×12×5×6＋12×62×4＝48＋12 2.答案A二、填空题7．若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其侧面积等于________．解析由图可知，此三棱柱的底面是一个边长为2的正三角形，此三棱柱的高为1，则此三棱柱的侧面积为2×1×3＝6.答案 68．某个几何体的三视图是两个边长为2 cm的菱形和一个直径为2 cm 的圆，则该几何体的表面积为________．解析由三视图可知，该几何体为两个共底的圆锥，其中底面圆的半径为1，母线长为2，则该几何体的表面积S表＝2πrl＝2π×1×2＝4π.答案4π9．已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积为________．解析由题可知，该几何体为圆柱、圆锥的组合体，S表＝πa2＋2πa·2a＋πa·2a＝5πa2＋2πa2＝(5＋2)πa2.答案(5＋2)πa2三、解答题10．已知一个圆台的轴截面的面积为F，母线与底面的夹角是30°，求圆台的侧面积．解如图是圆台的轴截面，设AO1＝r，BO ＝R ，BE ＝R －r ， AE ＝33(R －r)， AB ＝233(R －r)，由题意，得F ＝(R ＋r)33(R －r)＝33(R 2－r 2)． ∴R 2－r 2＝3F.∴S 圆台侧＝π(R ＋r)·233(R －r) ＝233π(R 2－r 2)＝2πF. 11.如图，在三棱锥S —ABC 中，SA ⊥面ABC ，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AC ＝1，SB ＝2 3.求三棱锥S —ABC 的表面积．解 ∵SA ⊥面ABC ，∴SA ⊥BC.又∠ACB ＝90°， ∴AC ⊥BC ，∴BC ⊥面SAC ，∴SC ⊥BC. ∴四个面都是直角三角形． ∵∠ABC ＝30°，AC ＝1，∴在Rt △ABC 中，AB ＝2，BC ＝3， 在Rt △SCB 中，SC ＝SB 2－BC 2＝3，在Rt △SAB 中，SA ＝SB 2－AB 2＝2 2. ∴S △SBC ＝12SC·BC ＝332， S △ABC ＝12AC·BC ＝32，S △SAB ＝12SA·AB ＝22，S △SAC ＝12SA·AC ＝ 2.∴三棱锥的表面积S 表＝S △ABC ＋S △SBC ＋S △SAB ＋S △SAC ＝23＋3 2. 12．已知，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．解 圆锥的高h ＝42－22＝23，设圆柱的底面半径为r ，由r 2＝h －3h ，得圆柱的底面半径r ＝1，所以S 表面＝2S 底面＋S 侧面＝2π＋2π×3＝2(1＋3)π.思 维 探 究13．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝9，BC ＝12，AB ＝15，AA 1＝12，点D 是AB 的中点．(1)求证：AC ⊥B 1C ； (2)求证：AC 1∥平面CDB 1； (3)求这个三棱柱的表面积．解 (1)证明：∵AB 2＝AC 2＋BC 2，∴∠ACB ＝90°，AC ⊥BC ，∵CC 1⊥AC ，CC 1∩BC ＝C ，∴AC ⊥面BB 1C 1C.∵B 1C 面BB 1C 1C ，∴AC ⊥B 1C.(2)证明：连接BC 1交B 1C 于点O ，连接OD. ∵四边形BB 1C 1C 为矩形，∴点O 为BC 1的中点． 又∵点D 为BA 的中点，∴OD ∥AC 1. ∵OD平面CDB 1，AC 1平面CDB 1，∴AC 1∥平面CDB 1.(3)S 表＝(9＋12＋15)×12＋2×12×9×12＝540.。
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双基限时练(十六)
1．给出下列四个结论 ①AB →－AC →＝BC →； ②0(a )＝0； ③0(0)＝0；
④若两个非零向量a ，b 满足a ＝k b (k ≠0)，则a ，b 方向相同． 其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
解析 ①AB →－AC →＝CB →
，∴①错．②0(a )＝0，∴②错． ③0(0)＝0正确．④a 与b 共线，方向可能相同，也可能相反，∴④错．因此正确的只有③，应选B.
答案 B
2．下列叙述不正确的是( )
A ．若a ，b 共线，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb . B. b ＝3a (a 为非零向量)，则a ，b 共线 C ．若m ＝3a ＋4b ，n ＝3
2a ＋2b ，则m ∥n D ．若a ＋b ＋c ＝0，则a ＋b ＝－c
解析 判断a 与b 共线的方法是：存在实数λ，使a ＝λb .在A 中，若b ＝0时不成立．B 正确．在C 中，m ＝2n ，∴m ∥n ，∴C 正确．D 也正确，所以应选A.
答案 A
3．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，
则一定共线的三点是( )
A ．A ，
B ，D B ．A ，B ，
C C ．B ，C ，D
D ．A ，C ，D
解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →
，且有一个公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．
答案 A
4．若AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD →
＝a ，BE →＝b ，则BC →
为( )
A.43a ＋23b
B.23a ＋43b
C.23a －23b
D ．－23a ＋23b
解析 如右图所示，设AD 与BE 相交于O ，则AO →＝23AD →，OD →
＝13AD →，BO →＝23BE →，OE →＝13BE →.
∴BC →＝2BD →＝2(BO →＋OD →)
＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23
BE →＋13AD →＝43b ＋23a ，应选B.
答案 B
5．已知O 是直线AB 外一点，C ，D 是线段AB 的三等分点，且AC ＝CD ＝DB .如果OA →＝3e 1，OB →＝3e 2，那么OD →
等于( )
A ．e 1＋2e 2 B. 2e 1＋e 2 C.23e 1＋1
3e 2
D.13e 1＋23e 2
解析 如图所示，OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋23AB →
＝OA →＋23(OB →－OA →)＝13OA →＋23OB →
＝e 1＋2e 2，应选A.
答案 A
6．已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λP A →＋PB →
，λ∈R ，则点P 一定在( )
A ．△ABC 的内部
B ．A
C 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上
D ．BC 边所在的直线上
解析 易得CB →－PB →＝λP A →，即CP →＝λP A →， 从而CP →∥P A →.
又CP →，P A →
有一个公共点P ，
所以C，P，A三点共线．又λ∈R，
所以点P在直线AC上．
答案 B
7．已知|a|＝4，b与a的方向相反，且|b|＝2，a＝m b，则实数m ＝________.
答案－2
8．若a，b为已知向量，且2
3(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，则c＝
________.
解析2
3(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，
8
3a－2c＋15c－12b＝0，
∴13c＝12b－8
3a，
∴c＝12
13b－
8
39a.
答案12
13b－
8
39a
9．有下面四个命题：
①对于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝m a－m b；
②对于实数m，n和向量a，恒有(m－n)a＝m a－n a；
③对于实数m和向量a，b，若m a＝m b，则a＝b；
④对于实数m，n和非零向量a，若m a＝n a，则m＝n. 其中真命题有________．
解析由实数与向量积的运算知，①、②、④正确．答案①②④
10．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝1
3CA →＋λCB →
，则λ等于__________．
解析 由AD →＝2DB →
， 得CD →－CA →＝2(CB →－CD →) ⇒CD →＝13CA →＋23CB →， 所以λ＝2
3. 答案 23 11．计算：
(1)8(2a －b ＋c )－6(a －2b ＋c )－2(2a ＋c )；
(2)13⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1
2(2a ＋8b )－(4a －2b )；
(3)(m ＋n )(a －b )－(m ＋n )(a ＋b )．
解 (1)原式＝16a －8b ＋8c －6a ＋12b －6c －4a －2c ＝(16－6－4)a ＋(－8＋12)b ＋(8－6－2)c ＝6a ＋4b .
(2)原式＝1
3[(a ＋4b )－(4a －2b )] ＝1
3(－3a ＋6b ) ＝2b －a .
(3)原式＝(m ＋n )a －(m ＋n )b －(m ＋n )a －(m ＋n )b ＝－2(m ＋n )b .
12．如图所示，已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝3CD ，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示向量AC →.
解 因为AB ∥CD ，且AB ＝3CD ， 所以AB →＝3DC →，DC →＝13AB →＝13a ， 所以AC →＝AD →＋DC →＝b ＋13a .
13．已知：AD →＝3AB →，AE →＝3AC →
，且B ，C ，D ，E 不共线． 求证：BC ∥DE .
证明 ∵AD →＝3AB →，AE →＝3AC →
， ∴DE →＝AE →－AD →＝3AC →－3AB → ＝3(AC →－AB →)＝3BC →. ∴BC →与DE →
共线．
又∵B ，C ，D ，E 不共线． ∴BC ∥DE .。