高中数学人教版必修简单的三角恒等变换教案(系列一)
三角恒等变换教案
三角恒等变换教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解三角恒等变换的概念和意义；（2）掌握三角恒等变换的基本公式；（3）能够运用三角恒等变换解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳三角恒等变换的规律；（2）培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣和探究欲望；（2）培养学生的团队合作意识和克服困难的勇气。
二、教学内容1. 三角恒等变换的概念和意义；2. 三角恒等变换的基本公式；3. 三角恒等变换的运用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）三角恒等变换的概念和意义；（2）三角恒等变换的基本公式；（3）三角恒等变换的运用。
2. 教学难点：（1）三角恒等变换公式的灵活运用；（2）解决实际问题时的变形和计算。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究三角恒等变换的规律；2. 通过示例讲解，让学生掌握三角恒等变换的基本公式；3. 利用练习题和小组讨论，提高学生的实际应用能力和团队合作意识。
五、教学过程1. 导入新课：（1）复习相关三角函数知识；（2）提问：什么是三角恒等变换？为什么学习三角恒等变换？2. 知识讲解：（1）讲解三角恒等变换的概念和意义；（2）介绍三角恒等变换的基本公式；（3）示例讲解：如何运用三角恒等变换解决实际问题。
3. 课堂练习：（1）布置练习题，让学生独立完成；（2）选取部分学生的作业进行讲解和评价。
4. 小组讨论：（1）让学生分组讨论，分享解题心得和经验；5. 课堂小结：（1）回顾本节课所学内容；（2）强调三角恒等变换在数学和实际生活中的重要性。
6. 课后作业：（1）布置巩固练习题；（2）鼓励学生自主学习，深入探究三角恒等变换的运用。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答的正确性以及与同学的合作情况。
2. 练习作业评价：检查学生作业的完成质量，包括答案的正确性、解题方法的合理性以及书写的规范性。
简单的三角恒等变换(教案)
简单的三角恒等变换(一)张掖中学 宋娟一、教学目标知识与技能：理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用；过程与方法：通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、方程、逆向使用公式的数学思想，提高学生推理能力；情感、态度与价值观：通过例题的讲解，让学生体会化归、变形使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生推理能力. 二、教学重、难点教学重点：利用公式进行简单的恒等变换；教学难点：利用倍角公式推出半角公式，并利用变形的方法解决问题. 三、教学方法：探究式教学法. 四、教学类型：新授课. 五、教学内容复习引入(学生组织完成)问题1：和差角的正弦、余弦、正切公式(六个)； 问题2：二倍角的正弦、余弦、正切公式(三个)； 问题3：二倍角的变形公式(四个). 新课讲解思考1(学生组织完成)：如何用cos α表示222sin cos tan 222ααα、、？分析：观察α与2α的关系是2倍的关系，所以我们要利用刚刚学过的二倍角的变形公式.解：α是2α的二倍角.在倍角公式2cos 212sin αα=-中，以α代替2α，以2α代替α，即得2cos 12sin 2αα=-，所以21cos sin 22αα-=； ①在倍角公式2cos 22cos 1αα=-中，以α代替2α，以2α代替α，即得2cos 2cos 12αα=-，所以21cos cos 22αα+=. ②将①②两个等式的左右两边分别相除，即得21cos tan 21cos ααα-=+.思考2：若已知cos α，如何计算sincos tan 222ααα、、？sincos tan 222ααα=== (半角公式) 强调：“±”号由2α所在象限决定. 例1：已知5sin 13α=，且2παπ<<，求tan 2α的值.解512sin cos 13213,tan24222tan tan 522πααπαππαπααπαα=<<∴=-<<∴<<∴>=====因为且又由公式例2 求证sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+ 证明22sin sin2cossin sin 222tan21cos cos cos 2cos 2cos 2222sin sin 2sin 2sin1cos 2222tan2sin sin coscos2sin222αααααααααααααααααααααα⋅====+⋅⋅-====⋅利用例2的结论，再做一下例1，比较两种方法.例3 已知3sin 25θ=，022πθ<<，求22cos sin 12)4θθπθ--+.分析：由降幂公式知22cos 1cos 2αα=+，故有cos sin cos sin θθθθ-=+原式 ﹡ 此处有两种处理方法：方法一、由已知求出cos sin θθ、的值，带入﹡式计算，即可得到结果; 方法二、由﹡继续变形，将半角化为倍角进行计算. 解法一22cos sin......cos sin020cos0,sin02434sin2,02cos2525cos212sin2cos1sin121010θθθθππθθθθπθθθθθθθθ-=*+<<∴<<∴>>=<<==-=-∴==**==原式由由得又带入式得解法二222cos sincos sin(cos sin)(cos sin)(cos sin)12sin cos1sin2......cos sin cos234sin2,02cos252532115544255θθθθθθθθθθθθθθθθπθθθ-=+-=+---==*-=<<=*-*==原式由得带入式得=小结：对于例3，我们从不同角度出发，解法一先利用倍角计算半角，再带入求值，解法二先利用半角化为倍角，再带入求值.在三角恒等变换中,正所谓“条条大路通罗马”.在以后的学习当中，此类问题是三角恒等变换中常见的问题.万丈高楼平地起，在此告诫同学们，基础知识的理解和必要的记忆是很重要的，所以在以后的学习中，不管题目如何变化，都有一个固定的解题理论，那就是我们的倍角公式，及其逆用，掌握好了基础的理论知识，不管题目如何变化，我们都能将他们各个击破.所谓“咬定青山不放松，任尔东南西北风”.下面我们来分小组讨论一下这一个问题：(练一练)化简22221sin sin cos cos cos2cos22αβαβαβ⋅+⋅-⋅.分析：1.从“角”入手,倍角化半角;2.从“幂”入手,利用降幂公式将次;3.从“形”入手,利用配方法.本题目至少有6种解法，请同学们讨论完成.课堂小结三个数学方法1.从“角”入手,倍角化半角(半角化倍角);2.从“幂”入手,利用降幂公式将次(利用升幂公式升次);3.从“形”入手,利用配方法(分母有理化、分子有理化).两个人生哲理1.条条大路通罗马;2.咬定青山不放松，任尔东南西北风.布置作业习题3.2A组1(1)、(2)、(4)、(5)课后反思。
5.5.2 简单的三角恒等变换(1-2) (新版)人教版高中数学必修一教案
∴ B【解析】分子分母同除 得： ∴ ，
∴
5.B【解析】由角 的终边在直线 上可得， ，
二、新授课
（一）回顾公式，准备上课
活动一、问题1：回答两角和与差的正弦、余弦、正切公式；
sin(α±β)＝sinαcFra biblioteksβ±cosαsinβ
cos(α±β)＝cosαcosβ sinαsinβ
(1)用单角的三角函数表示它们的一半即半角的三角函数；
(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的).
这一组式子也可称为半角公式，但不要求大家记忆，只要理解并掌握这种推证方法.
另外，在这三式中，如果知道cosα的值和 角的终边所在象限，就可以将右边开方，从而求得sin 、cos 与tan .
教案
学科：数学年级：高一教师：授课时间：
教学内容
5.5.2 简单的三角恒等变换（1）
教
学
目
标
四基： 1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能熟练应用。
2.能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）。
四能：通过公式的运用能够解决数学的三角变换问题，培养学生分析问题解决问题能力。
学情分析
公式掌握有待加强，计算需要加强训练
教法模式
以学生为主体，采用诱思探究式教学，让学生独立思考，合作学习。
媒体运用
多媒体展台
备注
教 学 过 程
知 识
师生活动
设计意图
一、小测检验（检测上节课所学内容）
1.若 ，则
A． B． C．1 D．
高中数学教案《三角恒等变换》
教学计划：《三角恒等变换》一、教学目标知识与技能：学生能够理解并掌握三角恒等变换的基本公式，包括和差化积、积化和差、二倍角公式等。
学生能够熟练运用三角恒等变换公式进行化简、求值及证明。
培养学生的逻辑推理能力和代数运算能力。
过程与方法：通过观察、分析、归纳等数学活动，引导学生发现三角恒等变换的规律。
采用“公式推导—例题讲解—练习巩固”的教学模式，帮助学生逐步掌握三角恒等变换的方法。
鼓励学生自主探究，通过小组合作解决复杂问题，培养团队协作能力。
情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，感受数学的美妙与和谐。
培养学生的耐心和细心，养成严谨的科学态度。
引导学生认识到数学在解决实际问题中的重要性，增强应用数学的意识。
二、教学重点和难点重点：三角恒等变换的基本公式及其推导过程;运用公式进行化简、求值及证明。
难点：灵活运用三角恒等变换公式解决复杂问题;理解并记忆众多公式的内在联系。
三、教学过程1. 导入新课（5分钟）情境引入：通过展示一些与三角恒等变换相关的实际问题(如天文学中的角度计算、物理学中的波动分析等)，引导学生思考这些问题背后可能涉及的数学知识，从而引出三角恒等变换的主题。
复习旧知：简要回顾三角函数的基本性质、图像及诱导公式，为学习三角恒等变换做好铺垫。
明确目标：介绍本节课的学习目标，即掌握三角恒等变换的基本公式及其应用。
2. 公式推导（15分钟）和差化积公式推导：通过图形展示和代数运算相结合的方式，引导学生推导出和差化积公式。
强调公式的推导过程，帮助学生理解公式的来源和含义。
积化和差公式推导：类比和差化积公式的推导过程，引导学生自主推导积化和差公式。
鼓励学生提出疑问和见解，促进课堂互动。
二倍角公式推导：利用三角函数的倍角关系，引导学生推导出二倍角公式。
强调公式的记忆方法和应用技巧。
3. 例题讲解（10分钟）基础例题：选取具有代表性的基础例题进行讲解，如利用三角恒等变换公式化简表达式、求三角函数值等。
三角恒等变换教案
三角恒等变换教案三角恒等变换教案一、教学目标：1.能够掌握三角恒等变换的概念和基本性质；2.能够灵活运用三角恒等变换求解简单的三角函数值；3.能够理解三角恒等变换与三角函数的图像、周期、奇偶性之间的关系。
二、教学内容：1.三角恒等变换的定义和基本性质；2.三角恒等变换与三角函数的图像、周期、奇偶性之间的关系；3.使用三角恒等变换求解简单的三角函数值。
三、教学重难点：1.三角恒等变换的基本性质的理解和运用；2.三角恒等变换与三角函数的图像、周期、奇偶性之间的关系。
四、教学方法：1.讲授结合练习，理论与实际相结合；2.举例分析和解题演练。
五、教学过程：第一步：引入新知识（10分钟）向学生简单介绍三角恒等变换的概念，并与他们讨论三角函数的图像、周期、奇偶性。
通过讨论的方法，激发学生的兴趣，引导学生主动思考。
第二步：讲解三角恒等变换的基本性质（15分钟）1.角的关系：讲解正弦、余弦、正切函数之间的关系，以及正角、负角之间的关系。
2.平方关系：讲解正弦、余弦、正切函数的平方和、平方差以及积与商之间的关系。
3.倒数关系：讲解正弦、余弦、正切函数的倒数之间的关系。
第三步：练习应用（20分钟）1.通过示例的方式，向学生展示如何使用三角恒等变换求解简单的三角函数值。
2.组织学生进行练习，让学生分小组进行解题，及时给予指导和反馈。
第四步：总结归纳（10分钟）请学生总结三角恒等变换的基本性质，并与他们讨论三角恒等变换与三角函数的图像、周期、奇偶性之间的关系。
第五步：小结（5分钟）对本节课学习的内容进行小结，并激发学生对三角函数的兴趣，鼓励他们进一步实践和研究。
六、教学反思本节课采用了理论与实际相结合的教学方法，通过讨论、演示和练习，使学生能够深入理解三角恒等变换的基本性质，并能够熟练灵活地应用。
课堂上，我积极引导学生思考和互动，激发了学生的学习兴趣和积极性。
但是，部分学生在练习环节遇到了一些困难，建议将练习题目难易程度适当调整，以使学生在解题过程中能够灵活运用所学知识。
人教A版高中数学必修4第三章 三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换教案(1)
3.2《简单的三角恒等变换》教学设计【教学目标】1会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆），2使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力. 【导入新课】 习引入：复习倍角公式2S α、2C α、2Tα先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意2C α.既然能用单角表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？ 新授课阶段半角公式的推导及理解 ： 例1、 试以cos α表示222sin,cos ,tan 222ααα．解析：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．（二倍角公式中以α代2α，2α代α） 解：因为2cos 12sin2αα=-，可以得到21cos sin22αα-=；因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 两式相除可以得到222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+．点评：⑴以上结果还可以表示为：1cos sin 221cos cos22αααα-=±+=±1cos tan 21cos ααα-=±+并称之为半角公式（不要求记忆），符号由2α角的象限决定.⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明. ⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点.例2 求证：（１）()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）sin sin 2sin cos22θϕθϕθϕ+-+=． 解析：回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式，观察公式与所证式子的联系. 证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=， 那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．点评：在例２证明中用到了换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３ 求函数sin 3cos y x x =+的周期，最大值和最小值． 解析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值. 解： 13sin 3cos 2sin cos 2sin 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．课堂小结用和（差）角公式、倍角公式进行简单的恒等变换.我们要对三角恒等变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业课本p143 习题3.2 A 组1、（1）（5） 3 、5 拓展提升1．已知cos （α+β）cos （α－β）=31，则cos 2α－sin 2β的值为（ ）A ．－32B ．－31C ．31D ．32 2．在△ABC 中，若sin A sin B =cos 22C，则△ABC 是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形3．sin α+sin β=33（cos β－cos α），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（ ）A ．－3π2 B ．－3π C ．3πD ．3π2 4．已知cos （α+β）cos （α－β）=31，则cos 2α－sin 2β的值为（ ）A ．－32B ．－31C ．31D ．32 5．在△ABC 中，若sin A sin B =cos 22C，则△ABC 是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形6．sin α+sin β=33（cos β－cos α），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（ ）A ．－3π2 B ．－3πC ．3πD ．3π2 7．已知sin （α+β）sin （β－α）=m ，则cos 2α－cos 2β等于（ ） A ．－m B ．m C ．－4m D ．4m二、填空题8．sin20°cos70°+sin10°sin50°=_________．9．已知α－β=3π2，且cos α+cos β=31，则cos （α+β）等于_________． 三、解答题10．已知f （x ）=－21+2sin 225sinxx，x ∈（0，π）． （1）将f （x ）表示成cos x 的多项式； （2）求f （x ）的最小值．12．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A +C =2B ，B C A cos 2cos 1cos 1-=+，求cos 2CA -的值．13． 已知sin A +sin3A +sin5A =a ，cos A +cos3A +cos5A =b ， 求证：（2cos2A +1）2=a 2+b 2．14． 求证：cos 2x +cos 2（x +α）－2cos x cos αcos （x +α）=sin 2α．15． 求函数y =cos3x ·cos x 的最值．参考答案一、选择题：1．C 2． B 3． D 4．C 5． B 6． D 7． B 二、填空题：8．41 9．－97三、解答题10．解：（1）f （x ）=2cos 23cos 22sin 2sin 23cos 22sin 22sin 25sinx x x xx x x x ==-=cos2x +cos x =2cos 2x +cos x－1．（2）∵f （x ）=2（cos x +41）2－89，且－1≤cos x ≤1， ∴当cos x =－41时，f （x ）取得最小值－89． 11 分析：本小题考查三角函数的基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力． 解：由题设条件知B =60°，A +C =120°， ∵－︒60cos 2=－22，∴CA cos 1cos 1+=－22． 将上式化简为cos A +cos C =－22cos A cos C ， 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为 2cos2C A +cos 2CA -=－2［cos （A +C ）+cos （A －C ）］， 将cos2C A +=cos60°=21，cos （A +C ）=cos120°=－21代入上式得cos 2CA -=22－2cos （A －C ），将cos （A －C ）=2cos 2（2C A -）－1代入上式并整理得42cos 2（2C A -）+2cos 2C A -－32=0，即［2cos2C A -－2］［22cos 2CA -+3］=0． ∵22cos 2C A -+3≠0，∴2cos 2CA -－2=0． ∴cos 2C A -=22．12．证明：由已知得 ⎩⎨⎧=+=+，，b A A A a A A A 3cos 2cos 3cos 23sin 2cos 3sin 2 ∴⎩⎨⎧=+=+.)12cos 2(3cos )12cos 2(3sin b A A a A A ，两式平方相加得（2cos2A +1）2=a 2+b 2． 13．证明：左边=21（1+cos2x ）+21［1+cos （2x +2α）］－2cos x cos αcos （x +α） =1+21［cos2x +cos （2x +2α）］－2cos x cos αcos （x +α） =1+cos （2x +α）cos α－cos α［cos （2x +α）+cos α］ =1+cos （2x +α）cos α－cos αcos （2x +α）－cos 2α =1－cos 2α=sin 2α =右边，∴原不等式成立． 14．解：y =cos3x ·cos x =21（cos4x +cos2x ） =21（2cos 22x －1+cos2x ） =cos 22x +21cos2x －21 =（cos2x +41）2－169． ∵cos2x ∈［－1，1］， ∴当cos2x =－41时，y 取得最小值－169； 当cos2x =1时，y 取得最大值1．。
高二数学简单的三角恒等变换教案(通用11篇)
高二数学简单的三角恒等变换教案（通用11篇）高二数学简单的三角恒等变换教案 1教学目标1、理解并掌握基本的三角恒等式，如和差化积、积化和差公式。
2、能够运用三角恒等式进行简单的三角恒等变换。
3、培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。
教学重点1、三角恒等式的理解和记忆。
2、三角恒等变换的方法和步骤。
教学难点三角恒等式的灵活运用和复杂三角表达式的化简。
教学准备1、多媒体课件，包含三角恒等式、例题和练习题。
2、黑板和粉笔。
教学过程一、导入新课复习上节课内容，回顾三角函数的定义和性质。
提出问题：如何利用已知的三角函数公式推导出新的三角恒等式？二、新课讲解1、讲解三角恒等式的基本概念，介绍和差化积、积化和差等公式。
2、通过实例演示如何使用三角恒等式进行三角恒等变换。
3、引导学生总结三角恒等变换的.一般方法和步骤。
三、课堂练习布置一些简单的三角恒等变换练习题，让学生尝试运用所学知识解决问题。
教师巡视指导，及时纠正学生的错误，并给予适当的提示和帮助。
四、巩固提升分析一些较复杂的三角恒等变换问题，引导学生思考如何灵活运用三角恒等式进行化简。
鼓励学生相互讨论，分享解题思路和方法。
五、课堂小结总结本节课的重点内容，强调三角恒等变换的重要性和应用价值。
布置课后作业，要求学生完成一些三角恒等变换的练习题，以巩固所学知识。
教学反思本节课通过实例演示和课堂练习，使学生初步掌握了三角恒等变换的基本方法和步骤。
但在处理较复杂问题时，部分学生仍显得不够熟练，需要进一步加强练习和指导。
在今后的教学中，可以设计更多具有针对性的练习题，帮助学生巩固和提高三角恒等变换的能力。
同时，也要注重培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力，为后续的数学学习打下坚实的基础。
高二数学简单的三角恒等变换教案 2理解并掌握三角恒等变换的基本公式，包括正弦、余弦、正切的和差公式，二倍角公式，半角公式等。
能够运用三角恒等变换解决一些简单的三角函数化简、求值及证明问题，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。
人教版高一数学必修第一章 三角恒等变换教案
第一章 三角恒等变换3.1.1 两角和与差的余弦公式（三）典型例题选讲： 例1不查表，求下列各式的值. (1)cos105°（2）cos15°(3)cos(4)cos80°cos20°+sin80°sin20°(5)cos 215°-sin 215°(6)cos80°cos35°+cos10°cos55°例2已知sin α= ，α∈ ，cos β= - ,β是第三象限角，求cos （α-β）的值.（2）已知sin θ＝1715，且θ为第二象限角，求cos （θ－3π）的值．（3）已知sin （30°＋α）＝，60°＜α＜150°，求cos α．103sin 5sin 103cos 5ππππ-54⎝⎛⎪⎭⎫ππ,21353. 化简cos （36°＋α）cos （α－54°）＋sin （36°＋α）sin （α－54°）．4. 已知32=αsin ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππα,2，53-=βcos ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23ππβ,，求)cos(βα+的值.5. 已知1312-=αcos ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23ππα,，求)cos(4πα+的值。
6. 已知α，β都是锐角，31=αcos ，51-=+)cos(βα，求βcos 的值。
6. 在△ABC 中，已知sin A ＝53，cos B ＝135，求cos C 的值.例3：已知cos(2α-β)=- ,sin(α-2β)= ,且 ，求cos(α+β)的值.例4：cos(α- )=- ,sin( -β)= ,且 ＜α＜π，0＜β＜ ， 求cos 的值.【课堂练习】 1.求cos75°的值2.计算：cos65°cos115°-cos25°sin115°141173440,24πβπαπ〈〈〈〈2β912α322π2π2βα+3.计算：-cos70°cos20°+sin110°sin20°4.sin α-sin β=- ,cos α-cos β= , α∈(0, ), β∈(0, ),求cos(α-β)的值.5.已知锐角α，β满足cos α= ,cos(α-β)=- ,求cos β.6.已知cos(α-β)= ,求(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2的值.2121π22π5313531【课堂小结】1、=+οοοο313sin 253sin 223sin 163sin 。
简单的三角恒等变换教案
简单的三角恒等变换教案（一）一．教学目标1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。
2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。
3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．二、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．三、教学设想：（一）复习：三角函数的和（差）公式，倍角公式（二）新课讲授：1、由二倍角公式引导学生思考：2αα与有什么样的关系？学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台． 例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα． 解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．例2．已知135sin =α，且α在第三象限，求2tan α的值。
人教版高中必修43.2简单的三角恒等变换教学设计
人教版高中必修43.2简单的三角恒等变换教学设计一、教学目标1.理解三角恒等变换的相关概念；2.掌握三角恒等变换的基本性质；3.能够运用三角恒等变换解决实际问题。
二、教学重点和难点教学重点：三角恒等变换的基本性质。
教学难点：如何应用三角恒等变换解决实际问题。
三、教学准备1.教师准备好课件；2.准备好白板笔、橡皮、直尺和三角板等教学用具。
四、教学过程1. 导入环节教师首先通过简单的实例热身，让学生了解三角恒等变换的概念和作用。
例如：已知 $\\sin x=\\dfrac{3}{5}$，求 $\\cos x$ 和 $\\tan x$。
2. 讲授环节（1）三角恒等变换的定义教师通过课件和白板，讲解三角恒等变换的概念和定义。
（2）三角恒等变换的基本性质教师通过课件和三角板等教学用具，讲解三角恒等变换的基本性质。
例如，$\\sin(\\pi+\\theta)=-\\sin\\theta$，$\\cos(\\pi+\\theta)=-\\cos\\theta$，$\\tan(\\pi+\\theta)=\\tan\\theta$ 等。
（3）三角恒等变换的应用教师通过课件和实例，讲解如何应用三角恒等变换解决实际问题。
例如，根据所学的三角恒等变换，求证$\\sin\\left(\\dfrac{\\pi}{4}+\\theta\\right)=\\cos\\left(\\dfrac{\\pi}{ 4}-\\theta\\right)$。
3. 练习环节教师布置一些练习题，让学生在课堂上完成。
例如：已知 $\\cos\\alpha=-\\dfrac{3}{5}$，求$\\sin(90^{\\circ}+\\alpha)$ 和 $\\tan\\alpha$。
4. 总结环节教师通过回顾本节课的重点和难点，让学生对本节课所学内容有较深刻的认识和理解。
五、教学反思本节课是关于三角恒等变换的基本性质和应用，学生反应良好，能够很好地理解和掌握三角恒等变换的基本性质，在实例应用中也表现出较好的运用能力。
人教版高中数学必修4-3.2《简单的三角恒等变换(第1课时)》教学设计
3.2简单的三角恒等变换3.2.2简单的三角恒等变换（第1课时）（李蓉）一、教学目标（一）核心素养这节课通过三角恒等变换在数学中应用的举例，进一步加深理解变换思想，提高学生的推理能力，通过数学实例的解决，促进学生对函数模型多样性的理解，提升学生数学建模的能力.（二）学习目标1．理解并掌握辅助角公式.2.会利用公式进行简单的恒等变形.3.体会三角恒等变形在数学中的应用.能通过数学建模解决实际问题.（三）学习重点1通过三角恒等变换推导辅助角公式． 2．灵活利用公式，通过三角恒等变换，解决函数的最值、周期、单调性等问题.（四）学习难点灵活运用三角公式解决一些实际问题.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）写一写：复习三角恒等变换的一系列公式及回忆相应公式的使用依据.()cos αβ±=cos cos sin sin αβαβ；cos 2α=2222cos sin 2cos 112sin αααα-=-=- ()sin αβ±=sin cos cos sin αβαβ±；sin 2α=2cos sin αα2sin α=1cos 22α-；2cos α=1cos 2,2α+（降幂公式） （2）填一填：阅读教材140页例3.把下列式子化成一个角的三角函数sin cos a x b x +=)sin(22ϕ++x b a2．预习自测 （1）sin cos x x -等于（ ）A ．sin 2xB ．2sin )4(π+xC ．2sin )4(π-xD ．sin )4(π-x【知识点】辅助角公式【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】sin cos x x -cos sin sin cos 44x x x x ππ⎫⎫=+=+⎪⎪⎪⎭⎭4x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【思路点拨】一般地，先提公因式sin cos a b αααα⎫+=+⎪⎭，再令cos ϕϕ==，可得：)sin cos cos sin sin cos a b ααϕαϕα+=+最后利用两角和差的正余弦公式进行合角：()sin cos a b αααϕ+=+．【答案】C ．（2）函数sin 2cos 2y x x =的最小值等于________．【知识点】二倍角公式【解题过程】y =11sin 2cos 22sin 2cos 2sin 422x x x x x =⨯=，故min 12y =-． 【思路点拨】牢记二倍角公式的形式． 【答案】12-（3）函数2sin sin cos 1y x x x =++的最小正周期是________，最小值是________．【知识点】二倍角公式【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】21cos 213sin sin cos 1sin 2122242x y x x x x x π-⎛⎫=++=++=-+ ⎪⎝⎭，故最小正周期是T π= 【思路点拨】将函数化为()sin y A x ωϕ=+的形式，牢记利用二倍角公式进行降次的三种形式：①1sin cos sin 22ααα=，②21cos 2sin 2αα-=,③21cos 2cos 2αα+=．【答案】最小正周期是T π=． （4）已知1sin cos 3αα+=，则2sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（ ） A ．118 B ．1718 C ．89 D【知识点】二倍角公式【数学思想】转化化归的数学思想 【解题过程】由1sin cos 3αα+=两边平方得112sin cos 9αα+=，解得8sin 29α=-， 所以21cos 21sin 2172sin 42218παπαα⎛⎫-- ⎪-⎛⎫⎝⎭-=== ⎪⎝⎭． 【思路点拨】由1sin cos 3αα+=平方可得8sin 29α=-，牢记利用二倍角公式进行降次的三种形式：①1sin cos sin 22ααα=，②21cos 2sin 2αα-=,③21cos 2cos 2αα+=． 【答案】B ．(二)课堂设计1．知识回顾（1）两角和差的正余弦公式.（2）二倍角公式及变形.2．问题探究探究公式()sin cos a b αααϕ+=+ 的变形过程.●活动1公式()sin cos a b αααϕ+=+的理论基础.你能把函数()sin f x x x =化成()()sin f x A x ωϕ=+的形式吗？引导学生操作如下三步：①12sin 2y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭②1cos sin 2cos sin sin cos 23333y x x ππππ⎛⎫==⇒=+ ⎪⎝⎭③2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭若把3x π+看成一个角，你还能把函数()sin f x x x =化成别的一个角的三角函数形式吗？由12sin 2y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若令1sin cos 266ππ==，那么此时表达式就变为： 2sin sin cos cos 66y x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，使用两角差的余弦公式：2cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 在上述两种变换过程中使用了两角和差的正余弦公式【设计意图】连续两个问题的提出让学生动手进行简单的三角恒等变换，既让学生体会到变换结果的不唯一性，也让学生感受从特殊到一般的数学归纳推理方法．●活动2 公式()sin cos a b αααϕ+=+的推导满足“同角（均为α），齐一次，正余全”这样三个特点，形如sin cos a b αα+的式子，能否将其化为()()sin f x A x ωϕ=+的形式?如果遇到了符合以上三个条件的式子，可以通过以下三步：sin cos a b αααα⎫+=+⎪⎭ ②二找：由221+=，故可看作同一个角的正余弦（称ϕ为辅助角），如cos ϕϕ==，可得：)sin cos cos sin sin cos a b ααϕαϕα+=+③三合：利用两角和差的正余弦公式进行合角：()sin cos a b αααϕ+=+ 常常称该公式为辅助角公式.【设计意图】通过公式的推导可以加深学生对公式的记忆与利用.在尝试之后对辅助角公式的特点有一个加深的认识.●活动3 使用辅助角公式注意事项：①在找角的过程中，一定要找“同一个角”的正余弦，因为辅助角公式理论基础是两角和差的正余弦公式，所以构造的正余弦要同角②此公式不要死记硬背，找角的要求很低，只需同一个角的正余弦即可，所以可以从不同的角度构造角，从而利用不同的公式进行合角，例如活动1中的那个例子：12sin 2y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可视为1sin cos 266ππ==，那么此时表达式就变为： 2sin sin cos cos 66y x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，使用两角差的余弦公式：2cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 所以，找角可以灵活，不必拘于结论的形式. 当然，角寻找的不同，自然结果形式上也不一样，但2cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭与2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭本质是同一个式子（为什么？想想诱导公式的作用）③通常遇到的辅助角都是常见的特殊角，这也为我们的化简提供了便利，如果提完系数发现括号里不是特殊角的正余弦，那么可用抽象的ϕ来代替，再在旁边标注ϕ的一个三角函数值.【设计意图】让学生掌握记忆公式的同时，归纳总结公式适用的条件，培养学生分析问题和解决问题的能力．活动4 巩固基础，检查反馈例1：化简下列三角函数解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)+B 的形式： (1)sin cos 6y x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ （2）2sin 2cos sin 2y x x x =-+ 【知识点】辅助角公式【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】（1）11sin sin sin =sin 223y x x x x x x π∴=-=++⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）21cos 251sin 2cos sin 2sin 22(cos 2sin 2)222x y x x x x x x -=-+=-+=-+()522x ϕ=+其中sin ϕϕ==【思路点拨】（1）将cos 6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭打开 （2）用公式221cos21cos2cos ,sin 22αααα+-==降幂【答案】（1）sin 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ （2）()522y x ϕ=+ 同类训练 把函数44cos 2sin cos sin y x x x x =-－化成y ＝A sin(ωx ＋φ)+B 的形式.【知识点】三角恒等变换.【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】y ＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ＝(cos 4x －sin 4x )－2sin x cos x＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )－2sin x cos x ＝cos2x －sin2x ＝2)2cos 222sin 22(x x +-2)43sin 2cos 43cos 2(sin ππx x +＝2sin )432(π+x . 【思路点拨】使用降幂公式及两角和差的正余弦公式化简三角函数式． 2sin )432(π+x ． ●活动5 强化提升、灵活应用例2 已知函数f (x )＝sin 2x ＋a sin x cos x －cos 2x ，且()14f π=. (1)求常数a 的值及f (x )的最小值；(2)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求f (x )的单调增区间． 【知识点】三角恒等变换及三角函数的性质.【数学思想】转化化归的数学思想．【解题过程】(1)∵()14f π=， ∴sin 2π4＋a sin π4cos π4－cos 2π4＝1，解得a ＝2.∴f (x )＝sin 2x ＋2sin x cos x －cos 2x ＝sin2x －cos2x ＝2sin )42(π-x . 当2x －π4＝2k π－π2(k ∈Z )，即x ＝k π－π8(k ∈Z )时，sin )42(π-x 有最小值－1，则f (x )的最小值为－ 2.(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，整理得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )； 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则0≤x ≤3π8. ∴f (x )的单调增区间是30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【思路点拨】利用相应三角公式进行三角恒等变换，在对函数sin()y A x ωϕ=+的性质进行研究【答案】(1) a ＝2 (2)30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 同类训练 已知函数()cos 22sin sin 344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 求函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域 【知识点】三角恒等变换及三角函数的性质.【数学思想】转化化归的数学思想．【解题过程】()cos 22sin sin 344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1cos 2222x x x x x x ⎫=++-+⎪⎪⎭221cos 22sin cos 2x x x x =+-11cos 22cos 22cos 222x x x x x =+-=- sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦Q 52,636x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦()sin 26f x x π⎡⎤⎛⎫∴=-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦【思路点拨】将26x π-视为一个整体，先根据x 的范围求出26x π-的范围，再判断其正弦值的范围【答案】⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 例3 如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，记COP ∠=α ，问当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积.【知识点】三角恒等变换及三角函数性质.【数学思想】数学建模与转化化归的数学思想.【思路点拨】（1）找出S 与α之间的函数关系，（2）由得出的函数关系，求S 的最大值【解题过程】DA Rt OBC OB cos ,BC sin .Rt OAD tan 60OA∆=α=α∆==在中，在中，oOA ,AB OB OA cos .===α=-=αα所以所以2ABCD S,S AB BC (cos )sin sin cos =⋅=ααα=ααα设矩形的面积为则11sin 2cos 2)2cos 2))226πααααα=-=+-=+ O A B P50223666626Sπππππππ<α<<α+<αα=最大由得所以当，即时，+==,.【答案】=ABCD6πα当时，矩形同类训练如图所示，已知矩形ABCD中，,AB a AD b==，试求其外接矩形EFGH面积的最大值【知识点】三角恒等变换及三角函数最值.【数学思想】数学建模与转化化归的数学思想.【思路点拨】以角为变量建立矩形面积的的函数关系，从而求相应的最大值【解题过程】,,CBF EABθθ∠=∠=设则,,,,EB asin BF bcos AE acos HA bsinθθθθ====∴()()S bsin acos bcos asinθθθθ=++矩形EFGH2222b sin cos absin abcos a sin cosθθθθθθ=+++=()222,a b sin abθ++由2|1|sinθ≤，知4πθ=时，S矩形EFGH取得最大值为()2221()221.a b ab a b++=+【答案】()21.2a b+3.课堂总结知识梳理（1）通过三角恒等变换推导辅助角公式并应用到三角函数中，对函数sin()y A xωϕ=+的性质进一步研究.(2)通过用角为自变量建立函数模型，从而求解相应最值，既促进学生对函数模型多样性的理解，也使学生感受到以角为自变量的优点，体现了化归思想.重难点归纳（1）进一步学习三角变换的内容，思想和方法，体会三角变换的特点，提高推理，运算能力.（2）进一步认识三角变换的特点，并熟练运用数学思想方法指导变换过程的设计，提高从整体上把握变换过程的能力.（三）课后作业基础型 自主突破1．3sin x －3cos x ＝（ ）A ．sin )6(π-xB ．3sin )6(π-x C.3sin )6(π+x D ．23sin )6(π-x 【知识点】辅助角公式．【数学思想】转化化归的数学思想 【解题过程】3sin x －3cos x ＝23)cos 21sin 23(x x - ＝23)6sin cos 6cos (sin ππx x - ＝23sin )6(π-x .【思路点拨】直接使用公式()sin cos a b αααϕ+=+【答案】D ．2．函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为（ ）A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．[－32，32]【知识点】三角恒等变换及三角函数值域．【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】由f (x )＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3(32sin x －12cos x )＝3cos(x －π6)【思路点拨】将cos 6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭打开，整理后再运用辅助角公式． 【答案】B3．函数y ＝2cos 2(x －π4)－1是（ ）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数 【知识点】三角恒等变换及三角函数性质．【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】由y ＝2cos 2(x －π4)－1＝cos2(x －π4)＝cos(2x －π2)＝cos(π2－2x )＝sin2x ，而y ＝sin2x 为奇函数，其最小正周期T ＝2π2＝π 【思路点拨】使用公式21cos 2cos ,2αα+=及诱导公式变形． 【答案】A.4．函数f (x )＝cos2x ＋2sin x 的最小值和最大值分别为（ ）A ．－3, 1B ．－2, 2C ．－3，32D ．－2，32 【知识点】三角函数与二次函数有关的最值． 【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】由f (x )＝cos2x ＋2sin x ＝－2sin 2x ＋2sin x ＋1，令sin x ＝t ，t ∈[－1,1]，则y ＝－2t 2＋2t ＋1＝－2(t －12)2＋32，当t ＝12时，y max ＝32，当t ＝－1时，y min ＝－3．【思路点拨】统一函数解析式中的角及函数名，再通过换元法把函数转化为二次函数求解． 【答案】C.5．设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于（ ） A ．2525 B ．255 C ．2525或255 D ．55或525 【知识点】两角和与差的三角函数． 【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin 2α＋β＝±45.又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)．因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45. 于是cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525．【思路点拨】角的范围一定要确定准确，以免导致开方时符号错误． 【答案】A ．6．已知函数f (x )＝4cos x sin(x ＋π6)－1. 则f (x )在区间[－π6，π4]上的最大值和最小值为（ ）A ．2，-2B ．2，1C ．1，-2D ．2，-1 【知识点】三角恒等变换及三角函数的最值. 【数学思想】转化化归的数学思想.【解题过程】f (x )＝4cos x sin(x ＋π6)－1＝4cos x (32sin x ＋12cos x )－1＝3sin2x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)，因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3. 于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.【思路点拨】打开sin(x ＋π6)，降幂再利用辅助角公式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)+B 的形式，再求该函数的区间最值． 【答案】D ． 能力型 师生共研7．已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，则cos(α＋β)的值为________．【知识点】两角和与差的三角函数 【数学思想】转化化归的数学思想.【解题过程】∵0＜β＜π2＜α＜π， ∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝53，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝459，∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729．【思路点拨】角α2－β、α－β2的范围一定要确定准确，以免导致开方时符号错误． 【答案】－239729．8．已知向量m ＝(cos θ，sin θ)，n ＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m ＋n |＝825，求cos(θ2＋π8)的值．【知识点】三角恒等变换及三角函数与向量. 【数学思想】转化化归的数学思想.【解题过程】m ＋n ＝(cos θ－sin θ＋2，cos θ＋sin θ)，|m ＋n |＝(cos θ－sin θ＋2)2＋(cos θ＋sin θ)2＝4＋22(cos θ－sin θ)＝4＋4cos(θ＋π4)＝21＋cos(θ＋π4)，由已知|m ＋n |＝825，得cos(θ＋π4)＝725.又cos(θ＋π4)＝2cos 2(θ2＋π8)－1，∴cos 2(θ2＋π8)＝1625.∵π<θ<2π，∴5π8<θ2＋π8<9π8. ∴cos(θ2＋π8)<0. ∴cos(θ2＋π8)＝－45. 方法二：|m ＋n |2＝(m ＋n )2＝m 2＋2m ·n ＋n 2＝|m |2＋|n |2＋2m ·n＝(cos 2θ＋sin 2θ)2＋[(2－sin θ)2＋cos 2θ]2＋2[cos θ(2－sin θ)＋sin θcos θ] ＝4＋22(cos θ－sin θ)＝4[1＋cos(θ＋π4)]＝8cos 2(θ2＋π8)． 由已知|m ＋n |＝825，得|cos(θ2＋π8)|＝45.又π<θ<2π，∴5π8<θ2＋π8<9π8 ∴cos(θ2＋π8)<0. ∴cos(θ2＋π8)＝－45.【思路点拨】思路一：先进行向量坐标运算再三角恒等变换. 思路二：先应用向量的模长运算在利用模长公式结合三角恒等变换.【答案】cos(θ2＋π8)＝－45. 探究型 多维突破9.如图，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使长方形截面面积最大？最大面积为（ ）A ．22R B ．2R C ．22RD ．24R【知识点】三角恒等变换及三角函数性质. 【数学思想】数学建模与转化化归的数学思想.【解题过程】设圆心为O ，长方形截面面积为S ，∠AOB ＝α，则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α，S ＝(R sin α)·2(R cos α)＝2R 2sin αcos α＝R 2sin2α.当sin2α＝1时，即α＝π4时，长方形截面面积最大，最大截面面积等于R 2.【思路点拨】（1）设长方形截面面积为S ，∠AOB ＝α找出S 与α之间的函数关系，（2）由得出的函数关系，求S 的最大值 【答案】B ．10.已知函数f (x )＝sin x ，x ∈R .(1)函数g (x )＝2sin x ·(sin x ＋cos x )－1的图像可由f (x )的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到； (2)设h (x )＝f )22(x -π＋4λf (x －π2)，是否存在实数λ，使得函数h (x )在R 上的最小值是－32？若存在，求出对应的λ值；若不存在，说明理由． 【知识点】三角恒等变换及三角函数的最值的逆向问题. 【数学思想】转化化归与分类讨论的数学思想.【解题过程】(1)g (x )＝2sin 2x ＋sin2x －1＝sin2x －cos2x ＝2sin )42(π-x ，先将f (x )的图像向右平移π4个单位长度得到y ＝sin )4(π-x 的图像；再将y ＝sin(x －π4)图像上各点的横坐标变为原来的12倍，得到函数y ＝sin )42(π-x 的图像；最后将曲线上各点的纵坐标2倍得到函数g (x )的图像．(2)h (x )＝cos2x －4λcos x ＝2cos 2x －4λcos x －1＝2(cos x －λ)2－2λ2－1， ⎩⎪⎨⎪⎧λ<－1，1＋4λ＝－32或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤λ≤1，－2λ2－1＝－32或⎩⎪⎨⎪⎧λ>1，1－4λ＝－32.∴λ＝±12.【思路点拨】（1）降幂再利用辅助角公式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)+B 的形式，（2）转化为二次函数的最值.【答案】(1)见解题过程. (2) λ＝±12. 自助餐1.下列各值中，函数2sin y x x =+不能取得的是（ ） A.3B.3.5C.4D.4.5【知识点】三角恒等变换及三角函数的值域. 【数学思想】转化化归数学思想.【解题过程】因为2sin y x x =+14sin 4sin 423x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数2sin y x x =+不能取得的是4.5.【思路点拨】利用辅助角公式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)+B 的形式再根据三角函数范围求解. 【答案】D.2．已知函数f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是（ ）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数【知识点】三角恒等变换及三角函数性质． 【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ＝(1＋cos2x )·1－cos2x 2＝12(1－cos 22x )＝12(1－1＋cos4x 2)，可知f (x )的最小正周期为π2的偶函数． 【思路点拨】使用公式21cos 2sin 2αα-=与21cos 2cos ,2αα+=进行三角恒等变换 【答案】D3．若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2等于（ ）A ．33B ．－33C ．539D ．－69【知识点】两角和与差的三角函数． 【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2，∵0＜α＜π2，∴π4＜π4＋α＜3π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223.又－π2＜β＜0，则π4＜π4－β2＜π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63.故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539．【思路点拨】角的范围一定要确定准确，以免导致开方时符号错误． 【答案】C ．4．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是________． 【知识点】两角和与差的三角函数． 【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】∵cos(α－π6)＋sin α＝453， ∴32cos α＋32sin α＝453，3(12cos α＋32sin α)＝453，3sin(π6＋α)＝453， ∴sin(π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45．【思路点拨】先把cos(α－π6)展开再利用辅助角公式化简变形，最后注意分析已知角与未知角之间的关系． 【答案】－45．5．已知在△ABC 中，sin(A ＋B )＝23，cos B ＝－34，则cos A ＝________. 【知识点】两角和与差的三角函数． 【数学思想】转化化归的数学思想 【解题过程】在△ABC 中，∵cos B ＝－34， ∴π2＜B ＜π，sin B ＝1－cos 2B ＝74. ∵π2＜B ＜A ＋B ＜π，sin(A ＋B )＝23， ∴cos(A ＋B )＝－1－sin 2A ＋B ＝－53，∴cos A ＝cos[(A ＋B )－B ] ＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－53×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋23×74＝35＋2712.【思路点拨】角的范围一定要确定准确(注意cos B ＝－34隐含钝角)，以免导致开方时符号错误． 【答案】35＋2712． 6．已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x .(1)求f(π3)的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．【知识点】三角恒等变换及函数最值．【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】(1)f(π3)＝2cos2π3＋sin2π3－4cosπ3＝－1＋34－2＝－94.(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cos x＝3cos2x－4cos x－1＝3(cos x－23)2－73，x∈R，因为cos x∈[－1,1]，所以，当cos x＝－1时，f(x)取得最大值6；当cos x＝23时，f(x)取得最小值－73.【思路点拨】统一三角函数名称及角度，转化为二次函数求解最值.【答案】(1)－94. (2) f(x)取得最大值6，最小值－73.。
5.5.2 简单的三角恒等变换 教案-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
《5.5.2 简单的三角恒等变换》教学设计第二课时教材内容：三角恒等变换是本章教学的一个重点内容。
倍角公式、半角公式、积化和差、和差化积是在学习了两角和与差的正弦、余弦和正切公式后，借助两角和与差公式进行推导出的。
本节所学的公式对于解决三角恒等变化问题有着极为重要的作用，也为后续的学习奠定了教学基础。
教学目标：1.通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式.2.理解积化和差与和差化积公式的推导方法，并能应用其进行化简和计算.3.通过两角和与差的正弦、余弦公式的变形，会把形如sin cos y a x b x =+的三角函数转化成一个角的一个三角函数的形式，并能用来解决有关周期、最值等问题.教学重点与难点：重点：半角公式、积化和差、和差化积公式； 难点：半角公式、积化和差、和差化积公式。
教学过程设计：1、新课导入学习了和（差）角公式、二倍角公式以后，我们就有了进行三角恒等变换的新工具，从而使三角恒等变换的内容、思路和方法更加丰富.这节课我们就来继续学习一下其他的三角恒等变换公式. 2、探索新知例1 试以cos α表示2sin 2α，2cos2α，2tan2α.解：α是2α的二倍角. 在倍角公式2cos 212sin αα=-中，以α代替2α，以2α代替α，得2cos 12sin2αα=-，所以21cos sin22αα-=.① 在倍角公式2cos 22cos 1αα=-中，以α代替2α，以2α代替α， 得2cos 2cos12αα=-，所以21cos cos 22αα+=.② 将①②两个等式的左右两边分别相除，得21cos tan 21cos ααα-=+.知识点1 半角公式1cos sin22αα-=1cos cos 22αα+=1cos tan 21cos a αα-=+ 符号由2α所在象限决定.例2 求证：（1）1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；（2）sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=.证明：（1）因为sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+，sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-，将以上两式的左右两边分别相加，得sin()sin()2sin cos αβαβαβ++-=，即1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-.（2）由（1）可得sin()sin()2sin cos αβαβαβ++-=.① 设αβθ+=，αβϕ-=，那么2θϕα+=，2θϕβ-=.把α，β的值代入①，即得sin sin 2sin cos22θϕθϕθϕ+-+=.知识点2 积化和差公式1sin cos [sin()sin()]2a αβαββ=++-；1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--；1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-；1sin sin [cos()cos()]2a αββαβ=-+--.知识点3 和差化积公式sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=； sin sin 2cossin22θϕθϕθϕ+--=； cos cos 2coscos22θϕθϕθϕ+-+=； cos cos 2sinsin22θϕθϕθϕ+--=-.例3 求下列函数的周期，最大值和最小值：（1）sin 3y x x =+；（2）3sin 4cos y x x =+. 解：（1）sin 3cos y x x =+132sin 2x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭ππ2sin cos cos sin 33x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2sin 3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因此，所求周期为2π，最大值为2，最小值为2-. （2）设3sin 4cos sin()x x A x ϕ+=+， 则3sin 4cos sin cos cos sin x x A x A x ϕϕ+=+， 于是cos 3A ϕ=，sin 4A ϕ=， 于是2222cos sin 25A A ϕϕ+=， 所以225A =. 取5A =，则3cos 5ϕ=，4sin 5ϕ=. 由5sin()y x ϕ=+可知，所求周期为2π，最大值为5，最小值为5-.例4 如图，在扇形OPQ 中，半径1OP =，圆心角π3POQ ∠=，C 是扇形弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇形.记POC α∠=，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积.解：在Rt OBC △中，cos OB α=，sin BC α=. 在Rt OAD △中，πtan 33DA OA == 所以333OA BC α===，3cos AB OB OA αα=-=. 设矩形ABCD 的面积为S ，则S AB BC =⋅3cos sin ααα⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭23sin cos 3ααα=-13sin 2cos 2)26αα=--133sin 22266αα=+-3132cos 223αα⎫=+-⎪⎪⎭3263πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 由π03α<<，得ππ5π2666α<+<， 所以当22ππ6α+=，即π6α=时， 333S ==最大. 因此，当π6α=时，矩形ABCD 3知识点4 辅助角公式22sin cos )a x b x a b x ϕ+=++，其中tan baϕ=. 3、课堂练习1.已知1cos 5α=，3π,2π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α等于( ) 10 B.102625答案：A解析：3π,2π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3π,π24α⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，1cos 10sin 22αα-∴==.故选A.2.若3sin 33)x x x ϕ-=+，(π,π)ϕ∈-，则ϕ=___________.答案：π6-解析：313sin 323cos 2x x x x ⎫=-⎪⎪⎭π36x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 因为(π,π)ϕ∈-，所以π6ϕ=-. 3.函数2sin sin cos 1y x x x =++的最小正周期是___________，单调递增区间是___________.答案：π；π3ππ,π88k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z解析：21cos 2sin 2sin sin cos 1122x x y x x x -=++=++23242x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 所以最小正周期2ππ2T ==，令πππ2π22π242k x k -+<-<+，k ∈Z ，解得π3πππ88k x k -+<<+，k ∈Z ，所以函数的单调递增区间是π3ππ,π()88k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z .4、小结作业小结：本节课学习了半角公式、积化和差公式、和差化积公式以及辅助角公式. 作业：完成本节课课后习题. 四、板书设计5.5.2 简单的三角恒等变换1.半角公式：1cos sin 22αα-=1cos cos 22αα+=1cos tan 21cos a αα-=+符号由2α所在象限决定.2.积化和差公式：1sin cos [sin()sin()]2a αβαββ=++-；1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--；1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-；1sin sin [cos()cos()]2a αββαβ=-+--.3.和差化积公式：sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=；sin sin 2cossin22θϕθϕθϕ+--=； cos cos 2coscos22θϕθϕθϕ+-+=；cos cos 2sin sin22θϕθϕθϕ+--=-.4.辅助角公式：22sin cos )a x b x a b x ϕ+=++，其中tan ba ϕ=.。
人教A版高中数学第一册(必修1)教学设计1：5.5.2 简单的三角恒等变换教案
5.5.2 简单的三角恒等变换【课标要求】课程标准：1.能用二倍角公式导出半角公式.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式进行化简、求值以及证明三角恒等式． 教学重点：利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明． 教学难点：利用三角恒等变换来解决问题.【知识导学】知识点一 半角公式知识点二 积化和差与和差化积公式 (1)积化和差公式sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]．sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]．(2)和差化积公式sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2.sin α－sin β＝2cos α＋β2sin α－β2.cos α＋cos β＝2cos α＋β2cos α－β2.cos α－cos β＝－2sin α＋β2sin α－β2.【新知拓展】辅助角公式辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎫tan φ＝ba . 推导过程：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x .令cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b 2， 则a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)， 其中角φ所在象限由a ，b 的符号确定，角φ的值由tan φ＝b a 确定或由sin φ＝b a 2＋b 2和cos φ＝aa 2＋b2共同确定．【基础自测】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知cos α＝13，α∈(0，π)，则sin α2＝－33.( )(2)cos 2π8－14＝2＋14.( )(3)函数f (x )＝3sin x ＋cos x (x ∈R )的最小正周期为π.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× 2．做一做(1)若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.63 B ．－63 C ．±63 D ．±33(2)已知cos α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) A ．－1010 B.1010 C.3310 D ．－35(3)函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上的最大值是( ) A ．1 B.1＋32 C.32 D ．1＋ 3(4)若tan α＝2，则tan α2＝________.答案 (1)A (2)B (3)C (4)－1±52【题型探究】题型一利用半角公式求值例1 已知sin α＝－45，π<α<3π2，求sin α2，cos α2，tan α2的值．[解] ∵π<α<3π2，sin α＝－45，∴cos α＝－35，且π2<α2<3π4，∴sin α2＝1－cos α2＝255， cos α2＝－1＋cos α2＝－55， tan α2＝sinα2cos α2＝－2. 金版点睛由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤(1)若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论．一般讨论角所在象限． (2)由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤： ①先化简所求的式子．②观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手)． ③将已知条件代入所求式子，化简求值．[跟踪训练1] 已知sin α2－cos α2＝－15，450°<α<540°，求tan α2的值．解 由题意，得⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＝15， 即1－sin α＝15，得sin α＝45.∵450°<α<540°，∴cos α＝－35，∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝⎛⎭⎫－3545＝2.题型二三角函数式的化简例2 化简：(1＋sin α＋cos α)⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＋2cos α(π<α<2π)．[解] 原式＝⎝⎛⎭⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22·2cos 2α2＝2cos α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2(－cos α)⎪⎪⎪⎪cos α2.又∵π<α<2π，∴π2<α2<π，∴cos α2<0，∴原式＝cos α2·(－cos α)－cosα2＝cos α.[变式探究] 将本例改为化简：(1＋sin α－cos α)⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22－2cos α(180°<α<360°)．解 原式＝⎝⎛⎭⎫2sin 2α2＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22·2sin 2α2＝2sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪sin α2＝2sin α2(－cos α)2⎪⎪⎪⎪sin α2＝sin α2(－cos α)⎪⎪⎪⎪sin α2.∵180°<α<360°，∴90°<α2<180°，∴sin α2>0，∴原式＝－cos α. 金版点睛化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．[跟踪训练2] 化简：(1)1＋sin θ－1－sin θ⎝⎛⎭⎫3π2<θ<2π； (2)cos 2α1tan α2－tan α2.解 (1)原式＝⎪⎪⎪⎪sin θ2＋cos θ2－⎪⎪⎪⎪sin θ2－cos θ2， ∵3π2<θ<2π，∴3π4<θ2<π， ∴0<sin θ2<22，－1<cos θ2<－22，从而sin θ2＋cos θ2<0，sin θ2－cos θ2>0.∴原式＝－⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ2－⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ2＝－2sin θ2. (2)原式＝cos 2αtan α21－tan 2α2＝12cos 2α·2tanα21－tan2α2＝12cos 2α·tan α＝12cos αsin α＝14sin2α. 题型三三角恒等式的证明例3 求证：tan 3x 2－tan x 2＝2sin x cos x ＋cos2x .[证明] 证法一：tan 3x 2－tan x2＝sin 3x 2cos 3x 2－sin x2cosx2＝sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 2cos 3x 2cos x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫3x 2－x2cos 3x 2cosx 2＝sin x cos 3x 2cos x 2＝2sin x cos ⎝⎛⎭⎫3x 2＋x 2＋cos ⎝⎛⎭⎫3x 2－x 2 ＝2sin xcos x ＋cos2x.∴原式成立．证法二：2sin xcos x ＋cos2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x 2－x 2cos ⎝⎛⎭⎫3x 2－x 2＋cos ⎝⎛⎭⎫3x 2＋x 2＝2⎝⎛⎭⎫sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 22cos 3x 2cos x 2＝sin 3x 2cos 3x 2－sin x2cosx 2＝tan 3x 2－tan x2.∴原式成立． 金版点睛在三角恒等式的证明中，化繁为简是化简三角函数式的一般原则，按照目标确定化简思路，由复杂的一边化到简单的一边.如果两边都比较复杂，也可以采用左右归一的方法. [跟踪训练3] 求证：sin (α＋β)sin (α－β)sin 2αcos 2β＝1－tan 2βtan 2α.证明 证法一：左边＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β)sin 2αcos 2β＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β＝1－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β＝1－tan 2βtan 2α＝右边．∴原等式成立．证法二：右边＝1－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β)sin 2αcos 2β＝sin (α＋β)sin (α－β)sin 2αcos 2β＝左边．∴原式成立.题型四利用辅助角公式研究函数性质例4 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合． [解] (1)∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2⎩⎨⎧⎭⎬⎫32sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－12cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为{x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π＋5π12，k ∈Z . 金版点睛(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.(2)解此类题时要充分运用两角和(差)公式、二倍角公式、辅助角公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障. [跟踪训练4] 已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1 ＝3sin2x ＋2cos 2x －1 ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )max ＝2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )min ＝－1.题型五三角变换的实际应用例5 如图，A ，B 是半径为1的圆O 上任意两点，以AB 为一边作等边三角形ABC .当点A ，B 处于怎样的位置时，四边形OACB 的面积最大？最大面积是多少？[解] 如图，设∠AOB ＝θ(0<θ<π)，四边形OACB 的面积为S . 取AB 的中点D ，连接OD ，CD ，则OD ⊥AB ，CD ⊥AB .在Rt △ODA 中，OA ＝1，∠AOD ＝θ2，所以AD ＝OA sin ∠AOD ＝sin θ2，OD ＝OA cos ∠AOD ＝cos θ2，所以AB ＝2AD ＝2sin θ2.因为△ABC 为等边三角形，所以CD ＝AC sin ∠CAB ＝2sin θ2sin60°＝3sin θ2.所以S ＝S △ABC ＋S △AOB ＝12CD ·AB ＋12OD ·AB＝12×3sin θ2×2sin θ2＋12×cos θ2×2sin θ2 ＝3sin 2θ2＋12sin θ＝3×1－cos θ2＋12sin θ＝12sin θ－32cos θ＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋32. 因为0<θ<π，所以－π3<θ－π3<2π3.所以当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，S 取得最大值1＋32.所以当OA 与OB 的夹角为5π6时，四边形OACB 的面积最大，最大面积是1＋32.金版点睛解答此类问题，关键是合理引入辅助角，先将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.在求解过程中，要注意角的取值范围.[跟踪训练5] 有一块以O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 建为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另外两点B ，C 落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为a ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，才能使矩形ABCD 的面积最大？ 解 画出图形如图所示．设∠AOB ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则AB ＝a sin θ，OA ＝a cos θ. 设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝2OA ·AB ＝2a cos θ·a sin θ＝a 2·2sin θcos θ＝a 2sin2θ. 因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以2θ∈(0，π)． 当2θ＝π2，即θ＝π4时，S max ＝a 2，此时点A ，D 距离点O 均为22a . 【随堂达标】1．已知sin α＝35⎝⎛⎭⎫0<α<π2，则cos α2等于( ) A.45 B ．－45 C ．－31010 D.31010 答案 D解析 ∵sin α＝35且0<α<π2，∴cos α＝45.又cos α＝2cos 2α2－1，∴cos 2α2＝1＋cos α2＝910，∵0<α2<π4，∴cos α2＝31010.2.2sin 2αsin2α·2cos 2αcos2α等于( ) A ．tan α B ．tan2α C ．1 D.12答案 B解析 原式＝(2sin αcos α)2sin2αcos2α＝sin 22αsin2αcos2α＝sin2αcos2α＝tan2α.3．函数y ＝3sin x ＋3cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的值域为________． 答案 [－3,23]解析 函数y ＝3sin x ＋3cos x ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 又x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－32，1，∴23sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6∈[－3,23]． 4．求值：sin 235°－12cos10°cos80°＝________.答案 －1解析 sin 235°－12cos10°cos80°＝1－cos70°2－12cos10°sin10°＝－12cos70°12sin20°＝－1.5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2cos 2x －1，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＋sin2x cos π3－cos2x sin π3＋cos2x＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π8上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π8，π4上单调递减， 又f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫π4＝1， 故函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1.。
人教A版高中数学必修五人教简单的三角恒等变换教案(1)
§3.2 简单的三角恒等变换（二）学习目标：⒈了解三角恒等变换在数学中的一些应用．⒉体会三角恒等变换在化简三角函数式中的应用．教学重点：三角恒等变换在化简三角函数式中的应用．教学难点：形如sin cos y a x b x =+的函数的变换．教学方法：讲练结合．教具准备：多媒体投影．教学过程：（Ⅰ）新课引入：师：上节课，我们通过两个具体的实例，了解了三角恒等变换的特点和变换方法．本节课我们通过两个具体的例子来了解三角恒等变换在数学中的应用． （Ⅱ）讲授例题：例3求函数sin y x x =+的周期，最大值和最小值以及它的单调递增区间．分析：这个函数我们并没有专门进行过研究，但是我们可以通过三角恒等变换先把函数式化简，然后再对它的性质进行研究．解：略．师：这个例子先通过三角恒等变换化简函数表达式，然后再讨论有关性质的问题．例4如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形．记COP α∠=，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．分析：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大，可分二步进行：⑴找出S 与α之间的函数关系；⑵有的处的函数关系，求出S 的最大值．解：略．师：由例3、例4可以看到，通过三角变换，我们把形如sin cos y a x b x=+转化为形如sin()y A x ωϕ=+的函数，从而使问题得到简化，这个过程蕴含了化归的思想．（Ⅲ）课后练习：课本155P 练习 ⒋ （Ⅳ）课时小结:通过三角恒等变换将形如sin cos y a x b x =+的函数转换为形如sin()y A x ωϕ=+的函数，这是求三角函数式最值及周期的常用方法．（Ⅴ）课后作业：课本156P 习题3.2 A 组 ⒌ B 组 ⒍ 板书设计：教学后记:。
人教A版新课标高中数学必修一教案 《简单的三角恒等变换》
《简单的三角恒等变换（1）》本节主要包括利用已有的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用，本课时则是运用三角函数公式进行简单的三角恒等变换的起始课，帮助学生认识三角变换的特点，并能运用化归思想指导整个变换过程的设计，提高从整体上把握变换过程的能力，加深学生对变换过程中体现的换元法、逆向使用公式等数学思想方法的认识，提高数学推理和数学运算能力．在此之前，学生已经掌握了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并了解它们的内在联系，为本节课运用这些公式进行简单的恒等变换提供了知识与方法的准备．1．通过推导半角公式，引导学生对变换对象和变换目标进行类比和归纳；2．促使学生形成对推导过程中如何选择公式、如何根据问题的条件进行恒等变换的认识．教学重点：推导半角公式．1．教学问题： （1）推导过程中，学生对如何选择公式产生困难；（2）推导过程中，学生对变换过程的整体把握能力较弱．2．教学支持条件：科大讯飞“智慧课堂”．【问题1】请用不同的方法，表示出cos2α，其中只含α的正弦或余弦．【设计意图】通过倍角公式，为半角公式的推导做铺垫．【预设师生活动】（1）学生在“智慧课堂”上传结果．（2）教师选取学生的典型过程展示，与学生展开讨论． （3）教师提问：同学们用了三种不同的方法来表示出cos2α，请大家观察“cos2α=◆教材分析 ◆教学目标 ◆教学重难点◆◆课前准备◆ ◆教学过程2cos2α−1”和“cos2α=1−2sin2α”这两个公式，它们与“cos2α=cos2α−sin2α”有什么不同？（4）学生讨论得出结论：前者分别只用到了α的余弦或正弦，后者两个都用到了．【问题2】用cosα表示sin2α2，cos2α2，tan2α2．【设计意图】通过倍角公式，结合换元法，推导半角公式．【预设师生活动】（1）教师提问：①α与α2有什么关系？与学生讨论得出结论——前者是后者的两倍，后者是前者的一半．（2）教师提问：②我们能否通过倍角公式，用含α2的余弦或正弦，来表示cosα？③反过来，我们又如何通过cosα表示sin2α2和cos2α2？（3）学生在“智慧课堂”上传结果，教师选取学生的典型过程展示，与学生展开讨论．（4）教师提问：④tan2α2与sin2α2，cos2α2有什么关系？⑤如果不通过sin2α2，cos2α2，能否参照问题2的方法推导tan2α2？（5）学生讨论得出结论——利用正切的倍角公式T2α．【问题3】求证：tanα=sinα1+cosα=1−cosαsinα．【设计意图】类比半角公式的推导过程，进行简单的三角恒等变换．【预设师生活动】（1）教师：这是一个连等式，同学们可试着自行选择其中一个等式先证明．（2）学生在“智慧课堂”上传结果．（3）教师选取学生的典型过程展示，与学生展开讨论．【问题4】计算：cos25π12+cos2π12+cos5π12cosπ12．【设计意图】应用半角公式，进行简单的三角恒等变换．【预设师生活动】（1）教师：这里出现的余弦都是二次的，我们是否有公式可以起到“降幂”的作用？（2）学生讨论得出结论：利用半角公式．（3）学生在“智慧课堂”上传结果．（4）教师选取学生的典型过程展示，与学生展开讨论．《简单的三角恒等变换（2）本节主要包括利用已有的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用，本课时则是运用两角和与差的正弦公式进行简单的三角恒等变换，帮助学生认识三角变换的特点，并能运用化归思想和方程思想指导整个变换过程的设计，提高从整体上把握变换过程的能力，加深学生对变换过程中体现的换元法、逆向使用公式等数学思想方法的认识，提高数学推理和数学运算能力．在此之前，学生已经掌握了两角和与差的正弦公式，并了解它们的内在联系，为本节课运用这些公式进行简单的恒等变换提供了知识与方法的准备．1．通过推导两角的正弦与余弦之积化两角的正弦之和（下称“积化和”）以及两角的正弦之和化两角的正弦与余弦之积（下称“和化积”），引导学生对变换对象和变换目标进行类比和归纳；2．促使学生形成对推导过程中如何选择公式、如何根据问题的条件进行恒等变换的认识．教学重点：推导“积化和”与“和化积”．1．教学问题： （1）推导过程中，学生对如何选择公式产生困难；（2）推导过程中，学生对变换过程的整体把握能力较弱．2．教学支持条件：科大讯飞“智慧课堂”．【问题1】请表示出sin（α+β）和sin（α−β），其中只含α的正弦或余弦．◆教材分析 ◆教学目标 ◆教学重难点◆◆课前准备◆ ◆教学过程【设计意图】通过两角和与差的正弦公式，为“积化和”的推导做铺垫．【预设师生活动】（1）学生在“智慧课堂”上传结果．，教师选取学生的典型过程展示并点评．【问题2】通过问题1的两个式子，你能得到什么恒等式？【设计意图】通过两角和与差的正弦公式，推导“积化和”．【预设师生活动】（1）教师提问：问题1中的两式相加，可以得到什么结论么？（2）学生在“智慧课堂”上传结果，教师选取学生的典型过程展示，与学生展开讨论．（3）教师提问：问题1中的两式相减呢？还可以得到什么结论么？（4）学生在“智慧课堂”上传结果，教师选取学生的典型过程展示，与学生展开讨论．（5）教师提问：我们得到了sinα⋅cosβ和cosα⋅sinβ的恒等式，它们之间能否互相推导？（6）学生在“智慧课堂”上传结果，教师选取学生的典型过程展示，与学生展开讨论．【问题3】通过问题1的两个式子，结合换元法，你还能得到什么恒等式？【设计意图】通过两角和与差的正弦公式，推导“和化积”．（1）教师：同学们可试着用θ，φ换α+β，α−β．（2）学生在“智慧课堂”上传结果，教师选取学生的典型过程展示，与学生展开讨论．【问题4】求证：（1）sinα⋅sinβ=−12[cos(α+β)−cos(α−β)]；（2）cosα⋅cosβ=12[cos(α+β)+cos(α−β)]．【设计意图】进行简单的三角恒等变换．【预设师生活动】（1）学生在“智慧课堂”上传结果，教师选取学生的典型过程展示，与学生展开讨论．【问题5】求证：tan3x2−tan x2=2sinxcosx+cos2x．【设计意图】进行简单的三角恒等变换．【预设师生活动】（1）学生在“智慧课堂”上传结果，教师选取学生的典型过程展示，与学生展开讨论．《简单的三角恒等变换（3）》本节主要包括利用已有的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用，帮助学生认识三角变换的特点，并能运用化归思想和方程思想指导整个变换过程的设计，提高从整体上把握变换过程的能力，加深学生对变换过程中体现的换元法、逆向使用公式等数学思想方法的认识，提高数学推理和数学运算能力．1．引导学生对变换对象和变换目标进行类比和归纳；2．促使学生形成对推导过程中如何选择公式、如何根据问题的条件进行恒等变换的认识．1．教学问题： （1）推导过程中，学生对如何选择公式产生困难；（2）推导过程中，学生对变换过程的整体把握能力较弱．2．教学支持条件：科大讯飞“智慧课堂”．【问题1】化简：sin50°⋅(1+√3tan10°)． 【设计意图】两角和的正弦公式的逆应用．【预设师生活动】（1）学生在“智慧课堂”上传结果．，教师选取学生的典型过程展示并点评． 【问题2】已知函数f (x )=cos 4x −2sinxcosx −sin 4x ．（1）求f (x )的最小正周期；（2）若x ∈[0，π2]，求求f (x )的最大、最小值．◆教材分析 ◆教学目标 ◆课前准备◆ ◆教学过程【设计意图】两角和的正弦公式的逆应用（辅助角公式）．【预设师生活动】（1）学生在“智慧课堂”上传结果．，教师选取学生的典型过程展示并点评．【问题3】已知函数f(x)=12sin2xsinφ+cos2x cosφ−12sin(π2+φ)，0<φ<π，其图象过点(π6，12)．（1）求φ的值；（2）将函数f(x)的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半，纵坐标不变，得到新的函数g(x)的图象，求函数g(x)在[0，π4]上的最大、最小值．【设计意图】两角和的正弦公式的逆应用（辅助角公式）．（1）学生在“智慧课堂”上传结果，教师选取学生的典型过程展示，与学生展开讨论．【问题4】已知向量m⃗⃗ =(sinx，1)，n⃗=(√3Acosx，A2cos2x)，A>0，函数f(x)=mn 的最大值为6．（1）求A的值；（2）将函数f(x)的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上的各点的横坐标缩小为原来的一半，纵坐标不变，得到新的函数g(x)的图象，求函数g(x)在[0，5π24]上的值域．【设计意图】两角和的正弦公式的逆应用（辅助角公式）．（1）学生在“智慧课堂”上传结果，教师选取学生的典型过程展示，与学生展开讨论．。
人教版高中数学教案-简单的三角恒等变换(一)
3.2簡單的三角恒等變換（一）一．教學目標1、通過二倍角的變形公式推導半形的正弦、余弦、正切公式，體會化歸、換元、方程、逆向使用公式等數學思想，提高學生的推理能力。
2、理解並掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，並會利用公式進行簡單的恒等變形，體會三角恒等變形在數學中的應用。
3、通過例題的解答，引導學生對變換物件目標進行對比、分析，促使學生形成對解題過程中如何選擇公式，如何根據問題的條件進行公式變形，以及變換過程中體現的換元、逆向使用公式等數學思想方法的認識，從而加深理解變換思想，提高學生的推理能力．二、教學重點與難點教學重點：引導學生以已有的十一個公式為依據，以推導積化和差、和差化積、半形公式的推導作為基本訓練，學習三角變換的內容、思路和方法，在與代數變換相比較中，體會三角變換的特點，提高推理、運算能力．教學難點：認識三角變換的特點，並能運用數學思想方法指導變換過程的設計，不斷提高從整體上把握變換過程的能力．三、教學設想：（一）複習：三角函數的和（差）公式，倍角公式（二）新課講授：1、由二倍角公式引導學生思考：2αα与有什麼樣的關係？學習和（差）公式，倍角公式以後，我們就有了進行變換的性工具，從而使三角變換的內容、思路和方法更加豐富，這為我們的推理、運算能力提供了新的平臺．例1、試以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα． 解：我們可以通過二倍角2cos 2cos12αα=-和2cos 12sin 2αα=-來做此題． 因為2cos 12sin2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=； 因為2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 又因為222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+．思考：代數式變換與三角變換有什麼不同？代數式變換往往著眼於式子結構形式的變換．對於三角變換，由於不同的三角函數式不僅會有結構形式方面的差異，而且還會有所包含的角，以及這些角的三角函數種類方面的差異，因此三角恒等變換常常首先尋找式子所包含的各個角之間的聯繫，這是三角式恒等變換的重要特點．例2．已知135sin =α，且α在第二象限，求2tan α的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.2 简单的三角恒等变换
一．教学目标
1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向
使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。
2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三
角恒等变形在数学中的应用。
3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中
如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．
二、教学重点与难点
教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．
教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．
三、教学设想：
（一）复习：三角函数的和（差）公式，倍角公式
（二）新课讲授：
1、由二倍角公式引导学生思考：2
αα与有什么样的关系？ 学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．
例1、试以cos α表示222
sin ,cos ,tan 222α
α
α． 解：我们可以通过二倍角2cos 2cos
12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin 2
2α
α-=；
因为2cos 2cos 12α
α=-，可以得到21cos cos 22
α
α+=． 又因为222
sin 1cos 2tan 21cos cos 2α
α
ααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？
代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．
例2．已知135sin =
α，且α在第二象限，求2tan α的值。
例3、求证：
（１）、()()1sin cos sin sin 2
αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）、sin sin 2sin cos 22θϕ
θϕ
θϕ+-+=．
证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．
()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．
两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2
αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=， 那么,22θϕ
θϕ
αβ+-==．
把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sin
cos 22θϕθϕθϕ+-+=．
思考：在例3证明中用到哪些数学思想？ 例3证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，
（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．
三．练习：P142面1、2、3题。
四．小结：要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．。