概率论第13讲

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高中数学第13章概率132概率及其计算1321古典概率模型应用案巩固提升课件湘教版必修5

第13章概率
9．已知关于 x 的二次函数 f(x)＝ax2－4bx＋1.设集合 P＝{－1，1，2，3，4，5}和 Q＝{－2，－1，1，2，3，4}，分别从集合 P 和 Q 中任取一个数作为 a 和 b 的值，求函数 y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．
第13章概率
解：函数 f(x)＝ax2－4bx＋1 的图象的对称轴为 x＝2ab，要使函数 f(x)＝ax2－4bx＋1 在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当 a>0 且2ab≤1，即 a≥2b 且 a>0. 若 a＝1，则 b＝－2，－1；若 a＝2，则 b＝－2，－1，1；若 a＝3，则 b＝－2，－1，1；若 a＝4，则 b＝－2，－1，1，2；若 a＝5，则 b＝－2，－1，1，2. 所以事件包含的基本事件的个数是 2＋3＋3＋4＋4＝16，又所有基本事件的个数是 6×6＝36，所以所求事件的概率为1366＝49.
解析：选 B.点(a，b)取值的集合共有 36 个元素．方程组只有一个解等价于直线 ax＋by＝3 与 x＋2y＝2 相交，即a1≠b2，即 b≠2a，而满足 b＝2a 的点只有(1，2)，(2，4)，(3，6)，共 3 个，故方程组axx＋＋2by＝y＝23，只有一个解的概率为3336＝1112.
第13章概率
13．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为 1，2，3，4. (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于 4 的概率； (2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为 m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为 n，求 n<m ＋2 的概率．
第13章概率
第13章概率
10．某学在高二年级开设了 A、B、C 三个兴趣小组，为

第2章13节概率论

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2.1随机变量的概念
定义设随机试验E的样本空间为，
若对于每一个样本点，变量X 都有确
定的实数值与之对应，则X 是定义在上的
实值函数，即X X（），称这样的变量X 为随机变量，通常用英文字母X ,Y, Z L L 或希腊字母，，来表示.
随机变量是定义在样本空间上的实值函数；
解 :以 X 表示该公路段在这一天出事故的次数,则
X P(3) 所求概率为 P(X 3/ X 2)
P( X 3)P( X 2 / X 3) P( X 3)
P( X 2)
P( X 2)
1 P( X 0) P( X 1) P( X 2) 1 P( X 0) P( X 1)
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在前一章，我们学习了随机试验和随机事件概率的计算，随机现象大量存在，基本结果的描述也千变万化，例如
正面，反面男孩，女孩红球，白球，黑球
1，2，3，4，5，6 L L
从概率的定义和前面的实例来看，计算概率时我们关心的
不是基本结果的描述，而更多的是一种数量关系.
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1000)
P( 正面)
1 ；P( X 2
1000)
1； 2
令X 表示掷骰子出现点数的平方，则
X（i） i2，则P(X 25)
P(i 5) 1 . 6
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随机变量
离散型：取值为有限个或可列无穷个
连续型：取值为某个实数区间
2.2 离散型随机变量
(1) 概率分布为了完整地描述离散型随机变量,不仅要知道它取哪
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设一批产品共N件，其中有M 件次品，从这批产品中放回地取n件样品，则样品中的次品数为 0，1，2，3L n.

第13讲协方差与相关系数太原理工大学工程硕士概率论与数理统计

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[例] 已知解
X 服从 0, 2π
上的均匀分布，求 E ( X 2 ), E (sin X )
X 的概率密度
1 ， 0 ≤ x ≤ 2π， f ( x) 2 π 其他， 0，
E( X 2 )

1 2 x f ( x)dx 2π

2π 0
3 2 2 π 1 x 4 π x 2 dx 2π 3 0 3
则： 2 X Y ~ N (0,25)
( 2) D(2 X Y ) 4 DX DY 2 2COV ( X , Y ) 1 25 - 4 XY DX DY 25 4 2 3 13 2
则： 2 X Y ~ N (0,13)
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小结
本讲首先介绍二维随机向量 (X,Y) 的分量 X与Y 的协方差及相关系数的概念、性质和计算；然后介绍随机变量的各种矩(k 阶原点矩、 k 阶中心矩、k+m 阶混合原点矩、k+m 阶混合中心矩)，n 维随机向量的协方差阵的概念、性质和计算；最后简单介绍了n 元正态分布的概念和三条重要性质。
则(Y1,Y2, …, Yk)'服从k 元正态分布。
这一性质称为正态变量的线性变换不变性。
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(3) 设(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布，则 “X1, X2, …, Xn 相互独立” 等价于 “X1,X2, …,Xn两两不相关”。
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例2 设X和Y相互独立，且X~N(1, 2), Y~N(0, 1)。求 Z = 2X-Y+3 的概率密度。解: 由X~N(1,2), Y~N(0,1)，且X与Y相互独立,
c22 E{[ X 2 E ( X 2 )]2 } c11 c12 排成一个2×2矩阵， c 21 c 22

概率论第十三讲-1

概率论与数理统计
定理5.4 (独立同分布的中心极限定理)
设随机变量 { X 1 , X 2 , , X n ,} 相互独立同分布，E ( X i ) = , D ( X i ) = σ 2 , i = 1, 2, , 则前n个变量的和的标准化变量为： Yn =
∑X
i =1
n
i
n
nσ
, x ∈ R, 有：
2
n ∑ X i n lim P (Yn ≤ x ) = lim P i =1 ≤ x = 1 n →+∞ n →+∞ 2π nσ 即：Yn N (0,1)
∫
x
∞
e dt
t 2
概率论与数理统计
概率论与数理统计
此定理表明，当n充分大时，Yn 近似服从N ( 0,1) , 即：
i =1 n
则根据定理5.4： n N (20n, 400n) Y
概率论与数理统计
概率论与数理统计
则：P (Yn ≥ 2000 ) = 1 P (Yn < 2000 )
2000 20n ≈ 1 Φ = 0.95 20 n 由此得： Φ n 100 = 0.95 n n 100 = 1.64 n ≈ 118. 查表得： n
概率论与数理统计
概率论与数理统计
随机变量序列依概率收敛的定义
定义5.1：设随机变量序列{ X 1 , X 2 , X 3 ,} , 若存在某常数，使得
n →+∞
ε > 0, 均有： P { X n ≥ ε } = 0, 则称随机变量序列{ X n } lim
p 依概率收敛于常数，记为：X → n
n
所以：E ( X ) = np = 0.75n, E ( X 2 ) = E (∑ X k2 ) + E (∑ X i X j )

曹显兵.概率论讲义(打印版)

第一讲随机事件与概率考试要求1. 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系与运算.2. 理解概率、条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何型概率, 掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式, 以及贝叶斯公式.3. 理解事件独立性的概念, 掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概率, 掌握计算有关事件概率的方法. 一、古典概型与几何概型1．试验，样本空间与事件.2．古典概型：设样本空间Ω为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性，则基本事件总数中有利事件数A A P =)(3．几何概型：设Ω为欧氏空间中的一个有界区域, 样本点的出现具有等可能性，则、体积）Ω的度量（长度、面积、体积）A的度量（长度、面积=)(A P【例1】一个盒中有4个黄球, 5个白球, 现按下列三种方式从中任取3个球, 试求取出的球中有2个黄球, 1 个白球的概率. （1）一次取3个；（2）一次取1 个, 取后不放回；（3）一次取1个, 取后放回.【例2 】从（0，1）中随机地取两个数，试求下列概率：（1）两数之和小于1.2；（2）两数之和小于1且其积小于163. 一、事件的关系与概率的性质1. 事件之间的关系与运算律（与集合对应）, 其中特别重要的关系有：（1） A 与B 互斥（互不相容） ⇔ Φ=AB （2） A 与B 互逆（对立事件） ⇔ Φ=AB ,Ω=B A（3） A 与B 相互独立⇔ P （AB ）=P （A ）P （B ）.⇔ P （B|A ）=P （B ）（P （A ）>0）. ⇔(|)(|)1P B A P B A += （0<P （A ）<1）.⇔P （B|A ） =P （B|A ）（ 0 < P （A ） < 1 ）注: 若（0<P （B ）<1）,则,A B 独立⇔ P （A|B ）=P （A ）（P （B ）>0）⇔ 1)|()|(=+B A P B A P （0<P （B ）<1）. ⇔ P （A |B ）=P （A |B ）（0<P （B ）<1） ⇔ P （A |B ）=P （A |B ）（0<P （B ）<1）（4） A, B, C 两两独立 ⇔ P （AB ）=P （A ）P （B ）;P （BC ）=P （B ）P （C ）; P （AC ）=P （A ）P （C ）.（5） A, B, C 相互独立 ⇔ P （AB ）=P （A ）P （B ）;P （BC ）=P （B ）P （C ）; P （AC ）=P （A ）P （C ）;P （ABC ）=P （A ）P （B ）P （C ）.2. 重要公式（1） )(1)(A P A P -=（2）)()()(AB P A P B A P -=-（3） )()()()(AB P B P A P B A P -+=)()()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=（4）若A 1, A 2,…,A n 两两互斥, 则∑===ni i ni iA P AP 11)()(.（5）若A 21,A , …, A n 相互独立, 则 )(1)(11in i n i iA P A P ∏==-= )](1[11ini A P ∏=--=.∏===ni i n i i A P A P 11)()( .（6）条件概率公式: )()()|(A P AB P A B P =（P （A ）>0）【例3】已知（A ＋B ）（B A +）＋B A B A +++＝C, 且P （ C ）＝31, 试求P （B ）. 【例4】设两两相互独立的三事件A, B, C 满足条件: ABC ＝Φ, P （A ）＝P （B ）＝P （C ）<21,且已知9()16P A B C =, 则P （A ）＝ .【例5】设三个事件A 、B 、C 满足P （AB ）＝P （ABC ）, 且0<P （C ）<1, 则【】（A ）P （A B|C ）＝P （A|C ）+ P （B|C ）. （B ）P （A B|C ）＝P （AB ）.（C ）P （AB|C ）＝P （A|C ）+ P （B|C ）. （D ）P （AB|C ）＝P （AB ）.【例6】设事件A, B, C 满足条件: P （AB ）＝P （AC ）＝P （BC ）18=, P （ABC ）＝116, 则事件A, B, C 中至多一个发生的概率为 .【例7】设事件A, B 满足 P （B| A ）＝1则【】（A ） A 为必然事件. （B ） P （B|A ）=0.（C ） A B ⊃. （D ） A B ⊂.【例8】设A, B, C 为三个相互独立的事件, 且0<P （C ）<1, 则不独立的事件为【】（A ）B A +与C . （B ） AC 与C（C ）B A -与C （D ） AB 与C【例9】设A ，B 为任意两个事件，试证P （A ）P （B ）－P （AB ） ≤ P （A －B ） P （B －A ） ≤41. 三、乘法公式，全概率公式，Bayes 公式与二项概率公式 1．乘法公式：).|()|()|()()().|()()|()()(1212131212121212121-===n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P A A P A P A A P A P A A P2．全概率公式：11()(|)(),,,.i i i j i i i P B P B A P A A A i j A ∞∞====Φ≠=Ω∑ 3．Bayes 公式：11(|)()(|),,,.(|)()j j j i j i i iii P B A P A P A B A i j A P B A P A ∞∞====Φ≠=Ω∑　A 4．二项概率公式:()(1),0,1,2,,.k kn k n n P k C P P k n -=-=　,【例10】 10件产品中有4件次品, 6件正品, 现从中任取2件, 若已知其中有一件为次品,试求另一件也为次品的概率.【例11】设10件产品中有3件次品, 7件正品, 现每次从中任取一件, 取后不放回.试求下列事件的概率. （1）第三次取得次品; （2）第三次才取得次品;（3）已知前两次没有取得次品, 第三次取得次品; （4）不超过三次取到次品;【例12】甲, 乙两人对同一目标进行射击,命中率分别为0.6和0.5, 试在下列两种情形下, 分别求事件“已知目标被命中,它是甲射中”的概率.（1）在甲, 乙两人中随机地挑选一人, 由他射击一次; （ 2）甲, 乙两人独立地各射击一次.【例13】设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份,7份和5份. 随机地取一个地区的报名表,从中先后任意抽出两份. (1) 求先抽到的一份是女生表的概率p;(2)已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q .第二讲随机变量及其分布考试要求1. 理解随机变量及其概率分布的概念.理解分布函数（()()F x P X x =≤）的概念及性质.会计算与随机变量有关的事件的概率.2. 理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson ）分布及其应用.3. 了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.4. 理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布2(,)N μσ、指数分布及其应用，其中参数为(0)λλ>的指数分布的概率密度为,0,()0,0.x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩5. 会求随机变量函数的分布. 一、分布函数1．随机变量：定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量. 2．分布函数：∞+-∞=＜＜),≤ ()(x x X P x FF （x ）为分布函数 ⇔（1） 0≤F （x ） ≤1（2） F （x ）单调不减（3）右连续F （x+0）=F （x ）（4）1)(,0)(=+∞=-∞F F3．离散型随机变量与连续型随机变量（1）离散型随机变量∑∞=====1i 10,≥,,,2,1,)(i i i i p p n i p x X P分布函数为阶梯跳跃函数.（2）连续型随机变量⎰∞-=xtt f x F d )( )(f （x ）为概率密度 ⇔ （1） f （x ）≥0, （2） ⎰+∞∞- f （x ）1d =x⎰=≤≤=<<bax f b X a P b X a P )()()(4．几点注意【例1 】设随机变量X 的分布函数为0,1,57(),11,16161, 1.x F x x x x <-⎧⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎩则2(1)P X== .【例2 】设随机变量X 的密度函数为 f （x ）, 且 f （－x ） = f （x ）, 记()X F x 和()X F x -分别是X 和X -的分布函数, 则对任意实数x 有【】（A ）()()X X F x F x -=. （B ）()()X X F x F x -=-.（C ）()1()X X F x F x -=-.（D ）()2()1X X F x F x -=-.【例3 】设随机变量X 服从参数为0λ>的指数分布, 试求随机变量 Y= min { X, 2 } 的分布函数【例4 】设某个系统由 6 个相同的元件经两两串联再并联而成, 且各元件工作状态相互独立每个元件正常工作时间服从参数为 0λ>的指数分布, 试求系统正常工作的时间 T 的概率分布.【例5】设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<-=.,0,1|||,|1)(其他x x x f 试求（1）X 的分布函数)(x F ; （2）概率)412(<<-X P .二、常见的一维分布（1） 0-1分布：1,0,)1()(1 =-==-k p p k XP k k .（2）二项分布n k p p C k X P p n B k n k k n ,,1,0,)1()(:),( =-==- .（3） Poisson 分布)(λP ： ,2,1,0,0＞,e !)(===-k k k XP k λλλ.（4）均匀分布⎪⎩⎪⎨⎧-=.,＜＜1)(:),(其他０，，　b x a a b x f b a U（5）正态分布N （μ，σ2）：0,,eπ21)(222)(+∞<<∞->=--μσσσμ x x f（6）指数分布⎩⎨⎧=-. ,0 ＞0,,e )(:)(其他x x f E x λλλ ＞0λ.（7）几何分布.2110,)1()(:)(1 ,,k ,＜p＜p p k XP p G k =-==- （8）超几何分布H （N,M,n ）: },min{,,1,0,)(M n k C C C k X P nNkn M N k M ===--　. 【例6】某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p （0<p<1）, 则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为【】（A ） 2)1(3p p -.（B ） 2)1(6p p -.（C ） 22)1(3p p-. （D ） 22)1(6p p-.【例7】设X ～Ｎ（μ, σ2）, 则 P （ X ≤1＋μ）【】（A ）随μ的增大而增大 . （B ）随μ的增大而减小. （C ）随σ的增大而不变 . （D ）随σ的增大而减小. 【例8】设X ～Ｎ（μ, σ2）, ()F x 为其分布函数，0μ<，则对于任意实数a ，有【】（A ） ()() 1.F a F a -+> （B ） ()() 1.F a F a -+= （C ） ()() 1.F a F a -+< （D ） 1()().2F a F a μμ-++=【例9】甲袋中有1个黑球，2个白球，乙袋中有3个白球，每次从两袋中各任取一球交换放入另一袋中，试求交换n 次后，黑球仍在甲袋中的概率.三、随机变量函数的分布： 1. 离散的情形2. 连续的情形3. 一般的情形【例10】设随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<-=.,0,20,41,01,21)(其他x x x f X令),(,2y x F X Y=为二维随机变量（X, Y ）的分布函数.（Ⅰ）求Y 的概率密度)(y f Y ;（Ⅱ） )4,21(-F . 第三讲多维随机变量及其分布考试要求1. 理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度.会求与二维随机变量相关事件的概率.2. 理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握随机变量相互独立的条件.3. 掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义 .4. 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布. 一、各种分布与随机变量的独立性 1. 各种分布（1）一般二维随机变量 F （x, y ）=P{ X ≤ x, Y ≤ y }, x ∈ （−∞, +∞）, y ∈ （−∞, +∞）的性质F （x, y ）为联合分布函数 ⇔ 1） 0 ≤F （x, y ）≤1 , ∀x ∈ （−∞, +∞）,, y ∈ （−∞, +∞）;2） F （−∞, y ）= F （x, −∞）=0, F （+∞,+∞）=1;3） F （x, y ）关于x, y 均为单调不减函数； 4） F （x, y ）关于x, y 均分别右连续.（2）二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分布联合概率分布律 P{X = x i , Y = y j } = p i j , i, j =1, 2 ,⋅⋅⋅ , p i j ≥ 0,1=∑∑ijji p.边缘分布律 p i • = P{X = x i }=∑jji p, i =1, 2 ,⋅⋅⋅ ,p • j = P{ Y = y j }=∑iji p, j =1, 2 ,⋅⋅⋅ ,条件分布律 P{X = x i |Y = y j } =jj i p p •, P{ Y = y j | X = x i } =•i j i p p .二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度f （x, y ）为联合概率密度 ⇔ 1︒ f （x, y ）≥0,2︒1=⎰⎰∞+∞-∞+∞- ),(dxdy y x f .设（ X, Y ）~ f （x, y ）则分布函数: ⎰⎰∞-∞-=xydxdy y x f y x F ),(),(;边缘概率密度:⎰∞+∞-= ),()(dy y x f x f X , ⎰∞+∞-= ),()(dx y x f x f Y .条件概率密度:)(),()|(|y f y x f y x f Y Y X =, )(),()|(|x f y x f x y f X X Y =.⎰⎰=∈Ddxdy y x f D Y X P ),(}),{(.),(),(yx y x F y x f ∂∂∂=22. 随机变量的独立性和相关性X 和Y 相互独立 ⇔ F （x, y ）= F X （x ）F Y （y ）;⇔ p i j = p i • ⨯ p • j （离散型）⇔ f （x, y ）= f X （x ）f Y （y ）（连续型）【注】1︒ X 与Y 独立, f （x ）, g （x ）为连续函数 ⇒ f （X ）与g （Y ）也独立. 2︒ 若X 1, ⋅⋅⋅⋅, X m , Y 1, ⋅⋅⋅⋅, Y n 相互独立, f , g 分别为m 元与 n 元连续函数 ⇒ f （X 1, ⋅⋅⋅⋅, X m ）与g （Y 1, ⋅⋅⋅⋅, Y n ）也独立. 3︒ 常数与任何随机变量独立.3. 常见的二维分布（1）二维均匀分布（X, Y ）~ U （D ）, D 为一平面区域. 联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=.,.),(,)(),(其他01D y x D S y x f （2）二维正态分布（X, Y ）~ N （μ1 , μ2, σ12,σ22, ρ ）, −∞ <μ1, μ2 < +∞, σ1>0, σ2 > 0, | ρ | <1. 联合概率密度为221121ρσπσϕ-=),(y x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+------22222121212122121σμσσμμρσμρ)())(()()(y y x x e性质:（ a ） X ~ N （μ1, σ12 ）, Y ~ N （μ2, σ22）（ b ） X 与Y 相互独立 ⇔ ρX Y =0 , 即 X 与Y 不相关.（ c ） C 1X+C 2Y ~ N （C 1 μ1+ C 2 μ2, C 12σ12+ C 22σ22+2C 1C 2 ρ σ1σ2 ）. （ d ） X 关于Y=y 的条件分布为正态分布: )](),([22122111ρσμσσρμ--+y N 【例1 】设A ，B 为事件，且P （A ）＝41, P （B|A ）＝21, P （A|B ）＝12令 X ＝⎩⎨⎧否则发生若,0,1A , Y ＝⎩⎨⎧否则发生若,0B ,1（1）试求（X, Y ）的联合分布律；（2）计算Cov （ X, Y ）；（3）计算 22(2,43)Cov XY +.【例2 】设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X, Y ）联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表中的空白处.【例3 】设随机变量X 与Y 独立同分布, 且X 的概率分布为313221PX 记{}{}Y X V Y X U,m in ,,m ax ==.（I ）求（U, V ）的概率分布;（II ）求（U, V ）的协方差Cov （U, V ）.【详解】（I ）易知U, V 的可能取值均为: 1, 2. 且{}{}})1,m in ,1,(m ax )1,1(=====Y X Y X P V U P)1,1(===Y X P 94)1()1(====Y P X P , {}{}0})2,m in ,1,(m ax )2,1(======Y X Y X P V U P , {}{}})1,m in ,2,(m ax )1,2(=====Y X Y X P V U P)2,1()1,2(==+===Y X P Y X P)2()1()1()2(==+===Y P XP Y P X P 94=, {}{}})2,m in ,2,(m ax )2,2(=====Y X Y X P V U P)2()2()2,2(======Y P X P Y X P 91=, 故（U, V ）的概率分布为:（II ） 9122941209411)(⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=UV E 916=, 而 914952941)(=⨯+⨯=U E , 910912981)(=⨯+⨯=V E . 故 814910914916)()()(),(=⨯-=-=V E U E UV E V U Cov . 【例4】设随机变量X 在区间（0, 1）上服从均匀分布, 在)10(<<=x x X 的条件下,随机变量Y 在区间),0(x 上服从均匀分布, 求（Ⅰ）随机变量X 和Y 的联合概率密度;（Ⅱ）Y 的概率密度; （Ⅲ）概率}1{>+Y XP .二、二维（或两个）随机变量函数的分布 1．分布的可加性（1）若X~B （m, p ）, Y~B （n, p ）, 且X 与Y 相互独立，则 X+Y ~ B （m+n, p ）. （2）若X~P （λ1）, Y~P （λ2）, 且X 与Y 相互独立，则 X+Y ~ P （λ1+λ2）.（3）若X~N （211,μσ）, Y~P （222,μσ）, 且X 与Y 相互独立，则 X+Y ~ N （221212,μμσσ++）.一般地，若X i ~N （2,i i μσ）, i =1, 2, …, n, 且X 1，X 2，…，X n 相互独立，则Y=C 1X 1+C 2X 2+…+C n X n +C 仍服从正态分布，且此正态分布为2211(,),n ni i i i i i N C C Cμσ==+∑∑ 其中C 1，…，C n 为不全为零的常数.2. 两个随机变量函数的分布. 【例5】设X 与Y 相互独立, 且~(1),~(2),X P Y P 则{max(,)0}______;P X Y ≠={min(,)0}__________.P X Y ≠=【例6】设X 与Y 相互独立, 其密度函数分别为:1,01,()X x f x <<⎧=⎨⎩0,其他. ,0,()y Y e y f x -⎧>=⎨⎩0,其他.求Z ＝2X ＋Y 的概率密度.【例7】设二维随机变量（X, Y ）的概率密度为2,01,01,(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其它.（I ）求{}Y X P 2>；（II ）求Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度)(z f Z .【详解】（I ）{}Y X P 2>⎰⎰>=yx dxdy y x f 2),(⎰⎰--=12210)2(ydx y x dy 247=. （II ）方法一：先求Z 的分布函数: ⎰⎰≤+=≤+=zy x Z dxdy y x f Z Y X P z F ),()()(当z<0时, 0)(=z F Z ; 当10<≤z 时, ⎰⎰=1),()(D Z dxdy y x f z F ⎰⎰---=yz zdx y x dy 00)2(3231z z -=；当21<≤z 时, ⎰⎰-=2),(1)(D Z dxdy y x f z F ⎰⎰-----=111)2(1yz z dx y x dy3)2(311z --=；当2≥z时, 1)(=z F Z .故Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度)(z f Z =)(z F Z '⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<<-=.,0,21,)2(,10,222其他z z z z z方法二：⎰∞+∞--=dx x z x f z f Z ),()(，⎩⎨⎧<-<<<---=-.,0,10,10),(2),(其他x z x x z x x z x f ⎩⎨⎧+<<<<-=.,0,1,10,2其他x z x x z 当z ≤0 或z ≥ 2时, 0)(=z f Z ;当01z <<时,⎰-=z Z dx z z f 0)2()()2(z z -=；当21<≤z 时, ⎰--=11)2()(z Z dx z z f 2)2(z -=；故Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度)(z f Z ⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<<-=.,0,21,)2(,10,222其他z z z z z【例8】设随机变量X 与Y 相互独立, X 有密度函数f （x ）, Y 的分布律为 ()i i P Y a p ==,　i =1,2. 试求Z ＝X ＋Y 的概率分布.第四讲数字特征与极限定理考试要求1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念, 会运用数字特征的基本性质, 并掌握常用分布的数字特征.2．会根据随机变量X 的概率分布求其函数)(X g 的数学期望)(X Eg ；会根据随机变量X 和Y 的联合概率分布求其函数),(Y X g 的数学期望),(Y X Eg .3．了解切比雪夫不等式.4．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量的大数定律）5．了解棣莫弗—拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维—林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理）；（经济类还要求）会用相关定理近似计算有关随机事件的概率一、数学期望与方差（标准差） 1. 定义（计算公式）离散型{}i i p x X P ==, ∑=iii px X E )(连续型)(~x f X , xx xf X E d )()(⎰+∞∞-=方差：[]222)()())(()(X E X E X E X E X D -=-=标准差：)(X D ,2. 期望的性质：1° )())((,)(X E X E E C C E == 2° )()()(2121Y E C X E C Y C X C E +=+ 3° )()()(Y E X E XY E ，Y X =则独立与若4° [])()(≤)(222Y E X E XY E3. 方差的性质：1° 0))((,0))((,0)(===X D D X E D C D 2°)()()(Y D X D Y X D Y X +=±相互独立，则与3° )()(2121X D C C X C D =+ 4° 一般有 ),Cov(2)()()(Y X Y D X D Y XD ±+=±)()(2)()(Y D X D Y D X D ρ±+=5°2()()C D X E X <-, )(X E C ≠【例1】设试验成功的概率为43, 失败的概率为41, 独立重复试验直到成功两次为止. 试求试验次数的数学期望. 【例2】 n 片钥匙中只有一片能打开房门, 现从中任取一片去试开房门, 直到打开为止. 试在下列两种情况下分别求试开次数的数学期望与方差: （1）试开过的钥匙即被除去; （2）试开过的钥匙重新放回.【例3】设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0,0,2cos 21)(其他πx x x f 对X 独立地重复观察4次, 用Y 表示观察值大于3π的次数, 求2Y 的数学期望.【例4】设有20人在某11层楼的底层乘电梯上楼, 电梯在中途只下不上, 每个乘客在哪一层（2-11层）下是等可能的, 且乘客之间相互独立, 试求电梯须停次数的数学期望. 二、随机变量函数的期望（或方差） 1、一维的情形 )(X g Y =离散型：{}i i P Xx p == ， ∑=ii ipx g Y E )()(连续型：~()X f x x x f x g Y E d )()()(⎰+∞∞-=2、二维的情形 ),(Y X g Z =离散型{}iji i p y Y x X P Y X ===,~),(,∑∑=jij jiipy x g Z E ),()(连续型),(~),(y x f Y X , y x y x f y x g Z E d d ),(),()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-=【例5】设X 与Y 独立且均服从N （0，1），求Z ＝22Y X + 的数学期望与方差.【例6】设两个随机变量X 与Y 相互独立且均服从N （0，21）, 试求Z ＝｜X －Y ｜的数学期望与方差. 三、协方差，相关系数与随机变量的矩 1、重要公式与概念：协方差 []))()((()Cov(Y E Y X E X E X,Y --=相关系数 )()()Cov(Y D X D X,Y XY =ρ)(k X E k 阶原点矩[]kX E X E k ))((- 阶中心矩2、性质：1°),(Cov ),(Cov X Y Y X =2° ),(Cov ),(Cov Y X ab bY aX = 3° ),(Cov ),(Cov ),(Cov 2121Y X Y X Y X X +=+4° |(,)|1X Y ρ≤5° 1)(1),(=+=⇔=b aX Y P Y X ρ )＞0(a 1)(1),(=+=⇔-=b aX Y P Y X ρ )＜0(a 3、下面5个条件互为充要条件：（1）0),(=Y X ρ（2）0)Cov(=X,Y （3）)()()(Y E X E XY E = （4）)()()(Y D X D Y X D +=+ （5）)()()(Y D X D Y X D +=- 【例7】设)2(,,,21>n X X X n 为独立同分布的随机变量, 且均服从)1,0(N , 记∑==ni iX n X 11,.,,2,1,n i X X Y i i =-= 求:（I ） i Y 的方差n iY D i ,,2,1),( =；（II ） 1Y 与n Y 的协方差),(1n Y Y Cov ; （III ） }.0{1≤+n Y Y P四、极限定理1. 切比雪夫不等式{}{}()()|()|,|()|<1-22D X D X P XE X P X E X εεεε-≥≤-≥或2. 大数定律3. Poisson 定理4. 中心极限定理列维—林德伯格定理: 设随机变量X 1，X 2，…，X n ，…相互独立同分布, 且2(),(),i i E X D X μσ== 1,2,,,i n =，则对任意正数x ，有2-2lim d n t i x n X n P x t μ-∞→∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑⎰ 棣莫弗—拉普拉斯定理: 设~(,),nB n p η（即X 1，X 2，…，X n，…相互独立, 同服从0一1分布）则有22lim d t x n P x t --∞→∞⎧⎫⎪≤=⎬⎪⎭⎰. 【例8】银行为支付某日即将到期的债券须准备一笔现金，已知这批债券共发放了500张，每张须付本息1000元，设持券人（1人1券）到期到银行领取本息的概率为0.4.问银行于该日应准备多少现金才能以99.9%的把握满足客户的兑换.【分析】若X 为该日到银行领取本息的总人数，则所需现金为1000X ，设银行该日应准备现金x 元.为使银行能以99.9%的把握满足客户的兑换，则 P （1000X ≤x ）≥0.999.【详解】设X 为该日到银行领取本息的总人数，则X~B （500，0.4）所需支付现金为1000X ，为使银行能以99.9%的把握满足客户的兑换，设银行该日应准备现金x 元，则 P （1000 X ≤x ）≥0.999.由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理知：(1000)()1000x P X x P X ≤=≤5000.4x P ⎛⎫-⨯ ⎪=≤=≤0.999(3.1).ΦΦ≈≥=即3.1,≥得 x ≥ 233958.798.因此银行于该日应准备234000元现金才能以99.9%的把握满足客户的兑换.第五讲数理统计考试要求1. 理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念.其中样本方差定义为.)(11212X X n S i ni --=∑=2. 了解2χ分布、t 分布和F 分布的概念及性质，了解分位数的概念并会查表计算. 3. 了解正态总体的常用抽样分布.4. 理解经验分布函数的概念和性质, 会根据样本值求经验分布函数.5. 理解参数的点估计、估计量与估计值的概念.6. 掌握矩估计法（一阶、二阶矩）和最大似然的估计法.7. 了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性.8. 理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间. 9. 理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误.10. 了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验一、样本与抽样分布1. 总体、个体与简单随机样本:2. 常用统计量:1° 样本均值 i ni X nX ∑==112° 样本方差 212)(11X X n S i ni --=∑=3° 样本标准差: S =4° 样本k 阶原点矩 11,1,2,n kk i i A X k n ===∑5° 样本k 阶中心矩 11(),1,2,n kk i i B X X k n ==-=∑3．分位数 4. 重要抽样分布（1）分布2χ （2） t 分布（3） F 分布5. 正态总体的常用抽样分布:22,,,(,),n X X X N μσ1设为来自正态总体的样本11nii X X n ==∑,2211()1ni i S X X n ==--∑, 则（1）2~,~(0,1).X N N n σμ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）222221(1)1()~(1).ni i n S X X n χσσ=-=--∑（3）22211()~().ni i X n μχσ=-∑（4） ~(1).X t n - （5）X 与2S 相互独立, 且 μ=)(X E , 22)(σ=S E , nX D 2)(σ=.【例1】设总体2~(,),XN μσ设12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本, 且22111,()nni nii i X X S XX n====-∑∑，求21()n E X S .【例2】设总体2~(,),X N μσ 设12,,,nX X X 是取自总体X 的一个样本, 且221111,()1nni i i i X X S X X nn ====--∑∑，则 2()_________D S=.【例3】设随机变量~()(1),X t n n >, 则 21~________Y X =【例4】设总体X 服从正态分布)2,0(2N , 而1521,,,X X X 是来自总体X 的简单随机样本, 求随机变量)(221521121021X X X X Y ++++= 的分布. 【例5】设总体2~(,),X N μσ 设121,,,,n n X X X X +是来自总体X 的一个样本, 且*221111,()()nni ii i X X S XX nn====-∑∑，试求统计量的分布. 二、参数估计1. 矩估计2. 最大似然估计3. 区间估计4. 估计量的评选标准【例6】设总体12~(,)XU θθ，n X X X ,,,21 为来自总体X 的样本，试求12,θθ的矩估计和最大似然估计.【例7】设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<<=.,0,21,1,10,),(其他x x x f θθθ其中θ是未知参数)10(<<θ, n X X X ,,2,1 为来自总体X 的简单随机样本, 记N 为样本值n x x x ,,2,1 中小于1的个数, 求：（1）θ的矩估计；（2） θ的最大似然估计.【例8】设总体X 的概率密度为36(),0,()0,xx x f x θθθ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他. n X X X ,,,21 为来自X 的简单随机样本，（1）求θ的矩估计量ˆθ；（2）判断θ的无偏性; （3）判断θ的一致性. 三、假设检验1. 假设检验的基本思想：对总体分布中的未知参数作出某种假设，根据样本在假设为真的前提下构造一个小概率事件，基于“小概率事件”在一次试验中几乎不可能发生而对假设作出拒绝或接受.2. 单个正态总体均值和方差的假设检验.3. 假设检验两类错误：第一类错误：原假设0H 为真，但拒绝了0H .第二类错误；原假设0H 为假，但接受到了0H .。

高中数学第13章概率131试验与事件1311事件1312事件的运算应用案巩固提升课件湘教版必修5

语同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油。
第13章概率
解析：选 D.a∥b，a⊥α⇒b⊥α，故 A 错；a∥b，a⊂α⇒b∥
α 或 b⊂α，故 B 错；当 α⊥ν，β⊥ν时，α 与 β 有可能平行，
也可能相交(包括垂直)．故 C 错；如果两条直线垂直于同一平面，则这两条直线必平行，故 D 正确．
第13章概率
12．给出关于满足 A B 的非空集合 A、B 的四个命题： ①若任取 x∈A，则 x∈B 是必然事件；②若任取 x∉A，则 x∈B 是不可能事件；③若任取 x∈B，则 x∈A 是随机事件；④ 若任取 x∉B，则 x∉A 是必然事件．其中正确的命题有________．
第13章概率
解：(1)由于事件 C“至多订一种报”中有可能“只订甲报”，即事件 A 与事件 C 有可能同时发生，故 A 与 C 不是互斥事件． (2)事件 B“至少订一种报”与事件 E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故 B 与 E 是互斥事件．且 B 和 E 必有一个发生，故 B 与 E 也是对立事件．
第13章概率
解析：200 件产品中，8 件是二级品，现从中任意选出 9 件，当然不可能全是二级品，不是一级品的件数最多为 8，小于 10. 答案：③④ ② ①
第13章概率
8．下列事件：①一个口袋内装有 5 个红球，从中任取一球是红球；②抛掷两枚骰子，所得点数之和为 9；③x2≥0(x∈R)； ④方程 x2－3x＋5＝0 有两个不相等的实数根；⑤巴西足球队会在下届世界杯足球赛中夺得冠军，其中随机事件的个数为________．

边际分布

fη ( y) = ∫
+∞
−∞
− 1 f (x, y)dx = e 2πσ2
( y−µ2 )2 2σ22
− ∞ < y < +∞
即
η ~ N(µ2 ,σ )
2 2
因而二维正态分布N(µ1，µ2，σ12,，σ22，ρ)的两个边际概率密度都是一维正态分布，分别为N(µ1，σ12) 和N(µ2，σ22)，且不依赖于参数ρ，也即，如果ρ1≠ρ2，则两个二维正态分布：N (µ1，µ2，σ12，σ22 ，ρ1)、 N(µ1，µ2，σ12，σ22 ，ρ2)是不相同的。但由上例知它们有完全相同的两个边际概率密度，由此可知，由边际分布不能唯一确定联合分布。事实上，二维随机变量(ξ，η)的联合分布的确含有比边际分布更多的内容，因而对单个随机变量ξ和η 的研究并不能代替对二维随机变量(ξ，η)整体的研究。
0 1
p
i•
η的分布
5 9 4 9
j
p•
5 ⋅ 9 5 ⋅ 9 5 9
5 9 4 9
4 ⋅ 9 4 ⋅ 9 4 9
5 9 4 9
1
由以上例子可以看出，如果知道了二维随机变量(ξ，η)的联合分布律，那么ξ和η的边际分布律即可由联合分布律求出，这个事实直观上是容易理解的，因为(ξ，η)的总体规律性（即联合分布律）如果确定了，那么它的个别分量的规律性（即边际分布律）当然也确定了。反之，知道(ξ，η)的边际分布，则不一定能求出它的联合分布律。事实上，今后将会看到，只有当ξ，η相互独立时，才能由(ξ，η)的边际分布求出它的联合分布律。
设二维连续型随机变量(ξ，η)的联合概率密度为 f(x，y)，由
Fξ ( x) = P{ξ ≤ x} = F ( x,+∞) = ∫

概率论基础讲义全

概率论基础知识第一章随机事件及其概率随机事件§几个概念1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验|;（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。

例如：曰：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；E3:观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件:常记为A，B, C例如，在E i中，A表示掷出2点”，B表示掷出偶数点”均为随机事件3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Q。

每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为①。

例如，在E i中，掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而掷出大于6点”的事件便是不可能事件，以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。

例如，在曰中，掷出1点”，掷出2点”，……，掷'出6点”均为此试验的基本事件由基本事件构成的事件称为复,例如，在E i中掷出偶数点”便是复合事件5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点,常记为e.例如，在E i中，用数字1, 2,......,6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}, {2}, (6)便是E i中的基本事件。

在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有(H , H),( H , T),( T, H ),( T, T),其基本事件便是{ ( H, H) }, { ( H , T) }, { (T, H ) }, { (T, T) }显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。

例如，在E i中掷出偶数点”的事件便可表为{2, 4, 6}。

试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。

记为Qo例如，在E i 中，Q={1 , 2, 3, 4, 5, 6}在E2 中，Q={ ( H , H),( H , T),( T, H),( T, T) }在E s 中，Q={0 , 1, 2,……}例1, 一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种此试验样本空间所有样本点的个数为N Q=P 210=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京）若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为10）=452（组合）例2 .随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，观察15名新生分配的情况。

高斯小学奥数六年级上册含答案第13讲概率初步

第十三讲概率初步日常生活中，我们经常会遇到一些无法事先预测结果的事情，比如抛掷一枚硬币出现正面还是反面，明天会不会下雨，欧洲杯谁会夺冠等，这些事情我们称作随机事件，它们的结果都有不确定性，是无法预知的．尽管无法预知结果，但有时我们可以根据一些迹象或者经验了解结果发生的可能性的大小，例如：今天乌云密布，那么明天很有可能下雨；中国足球队参加世界杯夺冠的可能性非常小；一次投掷10枚硬币，出现10个正面的可能性非常小．为了能够更准确的描述这种“可能性的大小”，法国数学家费马和帕斯卡在17世纪创立了概率论，把对随机事件的研究上升到一门科学．（当时他们通过信件讨论了社会上的两个热点问题——掷骰子问题和比赛奖金分配问题）概率基本概念概率反应了一个随机事件结果发生的可能性，例如：投掷一枚硬币，正面和反面出现的可能性相同，所以概率均为；投掷一个骰子，每种点数出现的可能性相同，所以概率均为．关于概率，大家要有一个正确的认识，投掷1枚硬币，正面出现的概率为，并不是说投掷2次一定会有1次正面，而是说每次扔都有可能性出现正面．虽然投掷2次硬币，不见得正面会出现一半，但是，投掷次数越多，正面出现的比例越接近一半（例如无论谁投掷10000次硬币，正面出现的比例都会很接近0.5）．（这个特点在概率论中被称为大数定律）换言之，概率可以展示出大量重复实验结果的规律性．基于此，在17世纪概率刚创始的年代，人们提出了古典概率模型．古典概率模型古典概率模型是最简单的概率计算模型，它的想法非常简单，用“条件要求的情况总量”除以“全部情况数量”即可．古典概型中，第一个重要条件是“全部情况的数量是有限个．．．．．．．．．．．”，下面我们先用几个简单例子来看一下古典概型的用法：1．A 、B 、C 排成一排，共有6种排法，其中A 占排头的方法共2种，所以A 站排头的概率是． 2．从3个男生、2个女生中，随意选出2个人去参加数学竞赛，共有10种方法，其中选出2个男生的方法数有3种，所以选出2个男生的概率是． 3．3个男生、2个女生站成一排照相共有120种站法，其中女生互不相邻的站法共72种，所以3男、2女站成一排，女生互不相邻的概率是．上面的例子都比较简单，因为计算概率所需要的两个数都非常好算，接来下我们再看几个例子，从这几个例子中，大家要能体会到古典概型的第二个重要条件——等可能．．．性．． 4．从10个红球、1个白球中，随意的取出1个球，取到红球的概率是． 5．投掷两枚硬币，出现2个正面的概率是，出现1正1反的概率是，出现2反的概率是． 6．从3个红球、2个白球中，随意取出2个球，取到2个红球的概率是．例4比较简单，在例5中，从硬币的结果看，只有3种情况——“2正、1正1反、31014 12 14 1011 35310131212 1 122反”，但概率都不是，因为这3种结果出现的可能性不同，给硬币编上A 和B ，那么出现1正1反有两种情况“A 正B 反、A 反B 正”，而2正和2反都只有1种情况（投掷2枚硬币共4种情况）．而例6和例2是相同的题目（把红球换成男生，白球换成女生即可）．从这3个例子可以看出，在计算概率时，不能简单的看有几种最终结果，因为结果必须是“等可能”才行（例4的结果只有红球和白球两种，但概率显然不相等）．为了计算“等可能”的结果，一个简单方法是给每个物体编号，例如例4，假设红球是1号到10号，白球是11号，那么显然共有11种不同取法，其中有10种取到红球，所以概率是．例题1. 4个男生、2个女生随机站成一排照相，请问：（1）女生恰好站在一起的概率是多少？（2）女生互不相邻的概率是多少？（3）男生互不相邻的概率是多少？「分析」对于排队问题大家还记得“捆绑”和“插空”法吗？练习1、关羽、张飞、赵云、黄忠、马超随机的站成一行上台领奖，请问：（1）关羽站在正中间的概率是多少？（2）关羽和张飞相邻的概率是多少？（3）关羽和张飞中间恰好隔着一个人的概率是多少？例题2. 一个不透明的袋子里装着2个红球，3个黄球和4个黑球．从口袋中任取一个球，请问：（1）这个球是红球的概率是多少？（2）这个球是黄球或者是黑球的概率是多少？（3）这个球是绿球的概率是多少；不是绿球的概率是多少？「分析」首先计算一下取球的总的情况数，再计算问题要求的取球情况数．练习2、北京数学学校从集训队中随机选出3个人去参加比赛，已知集训队中共有4个男生、3个女生，请问：（1）选出3个男生的概率是多少？（2）选出2男1女的概率是多少？1011 13例题3.一次投掷两个骰子，请问：（1）两个骰子点数相同的概率是多少？（2）两个骰子点数和为5的概率是多少？（3）两个骰子点数差是1的概率是多少？「分析」骰子是一个正方体，每个面上的点数从1到6，可以按题目要求枚举一些情况，根据枚举结果总结规律计算最后答案．练习3、一次投掷3枚硬币，请问：（1）出现3个正面的概率是多少？（2）出现1正2反的概率是多少？例题4.两个盒子中分别装有形状大小相同的黑球、白球和黄球各1个，现在从两个盒子中各取一个球，那么它们同色的概率是多少？不同色的概率是多少？「分析」任取两球它们颜色的可能情况有多少种？其中有多少同色情况？练习4、一个不透明的袋子里装着2个红球、3个黄球和4个黑球．从中任取两个球，请问：取出2个黑球的概率是多少？取出1红1黄的概率是多少？取出1黄1黑的概率是多少？概率的独立性如果两个或多个随机事件的结果互不影响，则称它们相互独立，例如：A买彩票是否中奖和B买彩票是否中奖是独立的；甲考试能否及格和乙考试能否及格是独立的；如果两个随机事件相互独立，那么它们同时发生的概率是它们单独发生概率的乘积．例题5.神射手和神枪手两人打靶，已知他们的命中率分别为0.8和0.9，他们每人开一枪，那么他们都命中的概率是多少？都没命中的概率是多少？「分析」理解概率独立性，根据独立性解题即可．需要分步计算的概率问题有些随机事件，在发生时有先后顺序，这时在计算概率时需要分步计算，这时只要把每步的概率算出来，然后相乘即可，例如：一个盒子中装有形状大小相同的黑球和白球各2个，从中先取出1个球，然后从剩下的球中再取出一个，那么第一次抽到黑球的概率是，第二次抽到黑球的概率是，所以两次都抽到黑球的概率是．在分步拿球的问题中，大家还要注意“无放回拿球．．．．．”和“有放回拿球．．．．．”的区别，它关系到每步的概率计算结果．例如：一个盒子中装有形状大小相同的黑球和白球各2个，从中先取出1个球，然后把它放回去，再从盒子中取出一个，那么两次都抽到黑球的概率是．例题6. 3个人进行抽签，已知3个签中只有一个写有“中奖”，3个人先后抽取，那么第一个抽和第二个抽的中奖概率哪个大？「分析」分步计算概率即可．111224⨯= 111236⨯= 13 12小概率事件之买彩票彩票市场产生于16世纪的意大利，从古罗马、古希腊开始，即有彩票开始发行．发展到今天，世界上已经有139个国家和地区发行彩票，规模比较大的国家和地区有美国、西班牙、德国、日本、法国、英国、意大利、加拿大、希腊、巴西、泰国、香港、韩国、新加坡、印度、挪威、比利时、澳大利亚、新西兰、南非、俄罗斯、保加利亚等．发行彩票集资可以说是现代彩票的共同目的．各国、各地区的集资目的多种多样，社会福利、公共卫生、教育、体育、文化是主要目标．以合法形式、公平原则，重新分配社会的闲散资金，协调社会的矛盾和关系，使彩票具有了一种特殊的地位和价值．目前，彩票的种类随着社会的发展而发展．在不断追求提高彩票娱乐性的过程中，彩票类型已经从以传统型彩票为主发展到传统型彩票、即开型彩票和乐透彩票等多种彩票并存的局面．2011年，全国彩票销售规模首次突破了2000亿元，达到2215亿元，彩票公益金筹集量达634亿元．1987年到2011年，我国累计销售彩票达10951亿元，累计筹集彩票公益金3433亿元．在我国有两个彩票发行机构，进而形成了以下彩票：福利彩票：福利彩票是指1987年以来由中国福利彩票管理中心发行的彩票．福利彩票早期有传统型彩票和即开型彩票，近年来主要有即开型彩票（如刮刮乐）、乐透型彩票（如双色球、36选5）和数字型彩票(如3D)三种，后两种均是电脑型彩票．体育彩票：体育彩票是指由1994年3月以来由中国体育彩票管理中心发行的彩票．其种类主要有即开型彩票（如顶呱刮）、乐透型彩票(如大乐透、22选）．截止到2013年世界上中得彩票最大额为一个美国80多岁的老太太，独中5.9亿美元．作业1.在一只口袋里装着4个红球，5个黄球和6黑球．从口袋中任取一个球，请问：（1）这个球是红球的概率有多少？（2）这个球是黄球或者是黑球的概率有多少？（3）如果从口袋中任取两个球出来，取到两个红球的概率是多少？2.小高与墨莫做游戏：由小高抛出3枚硬币，如果抛出的结果中，有2枚或2枚以上的硬币正面朝上，小高就获胜；否则就墨莫获胜．请问这个游戏公平吗？3.神射手和神枪手两人打靶，已知他们的命中率均为0.3，他们每人开一枪，那么他们都命中的概率是多少？都没命中的概率是多少？4.连续抛掷2个骰子．如果已知点数之和大于9，那么点数之和是12的概率有多大？5.6名小朋友在操场上做游戏．他们被老师分成3组，每组2个人．请问：赵倩和孙莉恰好分到了同一组的概率是多少？第十三讲概率初步例题：例1．答案：（1）13；（2）23；（3）0 详解：若没有任何要求共有66A 种排法，（1）捆绑法：两个女生捆绑当作一人和其他4名男生一起排队共55A 种排法，两个女生可互换位置，所以女生站一起的概率是5566213A A ⨯=；（2）总的情况去掉（1）问的情况的即可，所以12133-=，该问用插空法也可以；（3）男生无法互不相邻，所以该问概率为0．例2．答案：（1）29；（2）79；（3）0、1 详解：共有9个球每个球都有可能被取到（1）红球的数量是2个，所以取到红球的概率是29；（2）排除法可得：27199-=；（3）没有绿球，所以绿球出现的概率是0．一定不是绿球，概率是1．例3．答案：（1）16；（2）19；（3）518 详解：（1）两个骰子点数共有6636⨯=种情况，其中相同的情况有6种，所以概率为16（2）和为5可以是1+4、2+3、3+2、4+1，共四种，概率为19，（3）按第一个骰子的点数分类，第一个骰子点数为1~6时，第二骰子的点数依次有1、2、2、2、2、1种情况所以概率为518．例4．答案：13；23详解：两个盒子各取一个球放在一起有3×3=9种取法，同色的情况有黑黑、白白、黄黄三种，所以，同色概率为三分之一，不同色为1－13=23．例5．答案：0.72；0.02详解：他们都命中的概率是他们分别命中的概率的乘积，即0.80.90.72⨯=；都没命中的概率是他们分别没命中的概率的乘积，即0.10.20.02⨯=．例6．答案：一样大详解：先计算第一个人的中奖概率为13，再计算第二个人中奖的概率，首先第一个人要没有中奖概率为23，此时第二个人抽中的概率为12，所以，第二个人中奖的概率为211323⨯=，综上，两个人中奖的概率一样大．练习：1. 答案：0.2；0.4；0.3简答：45450.2A A ÷=；425425()0.4A A A ⨯÷=；． 2. 答案：435；1835 简答：共有七人选出3人的的选法总数是3776535321C ⨯⨯==⨯⨯种，（1）选出3男有4种选法，所以，概率为443535÷=；（2）2男有6种选法，1女有3种选法，2男1女共有18种选法，所以，概率为1835． 3. 答案：18；38 简答：（1）每枚硬币出现正面的概率为12，3个正面的概率是11112228⨯⨯=，（2）投掷3枚硬币可能的情况有：正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反，共8种，其中1正2反的次数是3次，所以，概率为38． 4. 答案：16；16；13简答：任取2球，取法总数为2936C =种，其中2黑的取法有246C =种，1红1黑取法有2×3=6种，1黄1黑有3×4=12种，所以，概率为16，16，13．作业：6. 答案：（1）；（2）；（3）简答：（1）任取一个球，全部情况的数量是15，取到红球的数量是4，所以概率是；（2）取到黄球或黑球的数量是11，所以概率是；（3）任取两个球，全部情况的数量是，取到两个红球的数量是，所以概率是．7. 答案：公平简答：每枚硬币正面朝上与反面朝上的概率都是，按照这个游戏规则，小高获胜的概率是：，墨莫获胜的概率是，这个游戏对于小高和墨莫来说，获胜的概率都是一样的，所以这个游戏是公平的. 12353235()0.3C A A A ⨯⨯÷=13111111311222222882C ⨯⨯⨯+⨯⨯=+= 23111111311222222882C ⨯⨯⨯+⨯⨯=+= 12 2610535÷= 246C = 215105C = 1115 415 235 1115 4158. 答案：0.09；0.49简答：；．9. 答案：简答：点数和大于9的情况有6种：（4，6）、（5，5）、（5，6）、（6，4）、（6，5）、（6，6）．其中和为12的概率为．10. 答案：1/5简答：赵倩与其它另一位同学分到一起的概率都是1/5，所以赵倩与孙莉分到一起的概率是1/5．16 160.70.70.49⨯= 0.30.30.09⨯=。

八年级数学上册第十三章事件与可能性 13.2 随机事件发生的可能性课件

同样，事件发生的可能性很大，不一定就会发生.比如，乒乓球运动员小平和小芳的身体条件、技战术水平相当，两人在一局乒乓球比赛中，小芳已经以9:1遥遥领先于小平，赢得这局比赛的可能性非常(fēicháng)大，但是小芳却在最后输了这局比赛.
第十三页，共十八页。
议一议
袋中装有许多质地、大小都相同(xiānɡ tónɡ)的球.搅匀后从中取出10个球，发现有7个红球、3个白球，将取出的球放回后搅乱，又取出10个球，发现有8个红球、2
第五页，共十八页。
课堂探究
我们来做一个摸球实验. 一个箱子里装有5个除颜色外都相同的球，其中(qízhōng)4个红球，一个黑球. 如果从箱子里随意摸出一个(yī ɡè)球，摸到的球一定是红球吗？为什么？
不一定，可能(kěnéng)是红球，也可能(kěnéng)是黑球.
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课堂探究
13.2 随机(suí jī)事件发生的可能性
八年级上册
第一页，共十八页。
学习目标
1、了解随机事件发生的可能性是有大小的. 2、了解随机事件发生的可能性的大小就是概率(gàilǜ)的大小.
3、会用概率的知识解决实际问题.
第二页，共十八页。
自主学习检测
1.晴天的早晨，太阳(tàiyáng)一定从东边升起来吗？
黑球，其它都是黄球，从中任摸一个，摸中哪种球的可能性最大？
4.一个人随意翻书三次，三次都翻到了偶数页，我们能否说翻到偶数页的可能性就大？
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课堂小结
事件
确定性事件
必然(bìrán)事件
不可能(kěnéng)事件
随机(suí jī)事件
随机事件的可能性有大有小.
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周洋鑫概率论13

周洋鑫概率论13【最新版】目录1.概论2.随机事件与概率3.概率分布4.概率论的应用正文一、概论概率论是研究随机现象的理论，它通过对随机事件的研究，揭示了随机现象背后的规律。

作为一门理论科学，概率论在实际生活中的应用广泛，如物理学、生物学、经济学、社会学等领域。

周洋鑫的《概率论 13》为我们提供了一个学习概率论的途径，帮助我们更好地理解和应用概率论。

二、随机事件与概率随机事件是指在一定条件下可能发生的事件，其结果具有不确定性。

概率是用来描述随机事件发生可能性的数值，它的取值范围在 0 和 1 之间。

当概率为 0 时，表示事件不可能发生；当概率为 1 时，表示事件肯定会发生。

概率的计算方法有多种，如古典概率、条件概率和独立事件概率等。

古典概率主要用于计算具有等可能性的事件的概率，如投掷均匀骰子的点数。

条件概率则用于计算在某些条件下事件发生的概率，如从一副牌中抽取一张牌，第一张抽到红桃，第二张抽到黑桃的概率。

独立事件概率则用于计算多个独立事件同时发生的概率，如在多个独立的硬币投掷中，出现一定数量正面朝上的硬币的概率。

三、概率分布概率分布是描述随机变量取值范围及其对应概率分布情况的统计量。

常见的概率分布有离散型概率分布和连续型概率分布。

离散型概率分布用于描述离散型随机变量的概率分布情况，如二项分布、泊松分布等；连续型概率分布则用于描述连续型随机变量的概率分布情况，如正态分布、指数分布等。

四、概率论的应用概率论在各个领域的应用非常广泛，如在保险业中，通过概率论计算保险事故发生的概率，从而制定合理的保费；在医学领域，通过概率论分析疾病的发病率和死亡率，为制定预防措施提供依据；在工程领域，通过概率论预测产品的寿命，以确保产品的可靠性和稳定性。

课件2概率论1.3.ppt

=1
1 8
=
7 8
.
有放回抽样和无放回抽样问题
设在10 件产品中，有2件次品，8件正品． A=“第一次抽取正品，第二次
n 1010
mA 8 2
P(A) 8 2 0.16 10 10
情形2：第一次抽取后，产品不放回去
82
n 109
mA 8 2
P(A) 0.1778 10 9
例1.3.3 某人外出旅游两天，据气象预报，第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3，两天都下雨的概率为0.1.试求：
（1）第一天下雨而第二天不下雨的概率；（2）第一天不下雨而第二天下雨的概率；（3）至少有一天下雨的概率；（4）两天都不下雨的概率；（5）至少有一天不下雨的概率.
8
解：（1）由于A，B互不相容，则 AB ，于是
P( AB) P(B A) P B AB P B 1 .
2 （2）由于 A B ，所以
P( AB) P(B A) P(B) P( A) 1 1 1 . 23 6
(3) P( AB) P(B A) P(B AB)
解每一个人都可以被分到N间房中任意一间,所以事
件总数为Nn .
P( A) n! Nn
P(B)
CNn n! Nn
P(C) Cnm (N 1)nm Nn
有名的生日问题
某班有50个学生，求他们的生日无重复的概率（设一年365天）
分析 ——此问题可以用分房问题模型来模拟
50个学生
50个人
365天
它具有下述性质:
1 0 f n ( A) 1 ;
2 f n() 1; fn () 0;
3 若A1, A2,, Ak 是两两互不相容事件,则 f n ( A1 A2 Ak) f n ( A1) f n ( A2) f n ( Ak)

概率论数理统计第13讲(王)

g(x) = x2. 注：这里的
23
随机变量X 二项分布B(n , p), 例5. 设随机变量服从二项分布 Y = eaX, 求 E(Y)。。解:
24
例6.设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分布如下设二维离散型随机向量( ) 表所示, 的期望. 表所示,求:Z=X2+Y的期望. = 的期望
, 其中λ>0, 0<p<1, 求E(XY). 解:
26
注意到二项分布的数学期望,就有注意到二项分布B(n , p)的数学期望就有二项分布的数学期望
X P
8
8 50
9
7 50
10
15 50
11
10 50
12
10 50
个零件的平均直径为则这 50 个零件的平均直径为
D = ∑ k × P( X = k ) = ∑ kpk = 10.14
k =8 k =8
12
12
个数字的加权平均加权平均，称之为这 5 个数字的加权平均，数学期望的概念源于此. 概念源于此.
q k −1 p, k = 1,2,L, n − 1; P{ X = k } = q n −1 , k = n. 其中q = 1 − p，于是
E( X ) =
∑
k =1
n −1
kq k −1 p + nq n −1
11
例2.（续） 2.（
E( X ) =
=
k =1 n −1
k =1
注意：注意：不是所有的随机变量都有数学期望例如：分布的密度函数例如：Cauchy分布的密度函数为分布的密度函数为
1 f ( x) = , 2 π (1 + x )

2013概率统计讲义.pdf介绍

i =1 n
若 A1 , A2 ,L, An ,L 为一列事件，则“ A1 , A2 ,L, An ,L 同时发生”作记作：A1 I A2 ILI An IL ，为事件，称之为 A1 , A2 ,L, An ,L 的交事件，简记为： I An ；（可列交）
n =1 ∞
若 A, B 两事件不可能同时发生，则称 A, B 互不相容（互斥），记作： A I B = Φ ；若 A1 , A2 ,L, An 互不相容（两两互不相容），则又称 A1 , A2 ,L, An 的并为 A1 , A2 ,L, An 的和，记作： ∑ Ai ；即有：
5
事件， “命中目标三次”就是不可能事件。常用大写英文（拉丁）字母 A, B, C 等或 Ai , B j , Ck 等表示；有时也用{ LL }、 “ LL ” 表示事件，花括弧中和双引号下指明事件的内容。随机试验的共同特点为； 1、在相同的条件下可重复进行； 2、每次试验的结果可能不止一个，但事先明确所有可能的结果； 3、试验之前不能确定那个结果会出现。概率论只关心在随机试验中可能会观察到的那些事件以及每次具体的试验中出现了的事件；因此，与每个随机试验相联系的有一个事件的集合，即在试验中可以观察到的事件的全体。至于这个事件集应该具备什么性质，以后将会讨论。既然数学本身从来不只研究那些只由孤立元素组成的集合，我们就有必要在上述事件集中定义事件之间的各种关系与运算。【注 5】自从集合论进入了概率论，概率论才真正进入了现代化门槛。事件的关系 1．【包含关系】若事件 A 出现必然会导致事件 B 出现，则称，记作 A ⊂ B ； “ A 是 B 的特款”或“ A 包含于 B ” 易见对任意事件 A ⊂ Ω ，这里规定 Φ ⊂ A ； 2．【等价（相等）关系】若事件 A, B 满足 A ⊂ B 且 B ⊂ A ,则称事件 A, B 等价或相等；【注 6】在概率论中，对同一事件给出不同的等价表示是一种主要的技巧。事件的运算 1【事件的并运算】设 A, B 为两事件，则“ A, B 至少一个发生” 这种情况可能出现也可能不出现，其作为一个随机事件，称，记作： A U B ；之为 A, B 的并（事件）若 A1 , A2 ,L, An 均为事件，则“ A1 , A2 ,L, An 至少一个发生”作为事件，称之为 A1 , A2 ,L, An 的并事件，记作： A1 U A2 ULU An ，简记为： U Ai ；

概率论第十三章-马尔可夫链

k 1
s
s u s u v
t
i, j 1,2,
这就是著名的chapman kolmogorov方程，简称C K 方程
即"从时刻s所处的状态ai出发，经时段u v转移到状态a j "
这一事件可分解成： "从X s ai出发，先经时段u转移到中间状态ak k 1, 2, 再从ak 经时段v转移到状态a j"这样一些事件和
p j i P i, j 0,1 ij P X n 1 j | X n i q j i
p P q
q p
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例2：排队模型
随机到达者
等候室
服务台
离去者
系统
服务系统由一个服务员和只可以容纳两个人的等候室组成。服务规则为：先到先服务，后来者需在等候室依次排队；若一个需要服务的顾客到达系统时发现系统内已有3个顾客，则该顾客立即离去。设：（1）时间间隔⊿t内有一个顾客进入系统的概率为q，有一接受服务的顾客离开系统(即服务完毕)的概率为p；（2）当⊿t充分小时，在这时间间隔内多于一个顾客进入或离开系统实际上是不可能的；（3）再设有无顾客来到与服务是否完毕是相互独立的。 10
Pin1in tn tn 1
pi 0 Pii1 t1 Pi1i2 t2 t1
马尔可夫链的有限维分布完全由初始分布和转移概率所确定
例如：P{X 0 a0，X 2 a2} P{X 2 a2 | X 0 a0}P{X 0 a 0} p0 (0) p02 (2)
, X (tn 1 ) xn 1}
马尔可夫性（无后效性）：已知过程“现在” 的条件下， “将来”不依赖于“过去”。