2018版数学新导学同步选修2-2人教A版作业及测试：课时作业17数学归纳法 Word版含解析

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陕西省2018版数学新导学同步选修2-2人教A版作业及测试：课时作业17数学归纳法

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一、选择题(每小题5分，共25分)
1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为()
A．1B．2
C．3 D．4
解析：边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3.
答案：C
2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上()
A．k2＋1
A．a＝，b＝
B．a＝b＝
C．a＝0，b＝
D．a＝，b＝
解析：法一：特值验证法，将各选项中a，b的值代入原式，令n＝1,2验证，易知选A.
法二：因为1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋对一切n∈N*都成立，
所以当n＝1,2时有
即解得
答案：A
12．用数学归纳法证明“当n∈N*时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”时，当n＝1时，原式为________，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是________．
14．已知数列{an}中，a1＝5，Sn－1＝an(n≥2且n∈N*)．
(1)求a2，a3，a4并由此猜想an的表达式．
(2)用数学归纳法证明{an}的通项公式．
解析：(1)a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝20.
猜想：an＝5×2n－2(n≥2，n∈N*)
答案：D
3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是()
A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确(k∈N*)
B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确(k∈N*)
C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确(k∈N*)

2018版数学新导学同步人教A版选修2-3：课时作业 17回归分析的基本思想及其初步应用含解析

课时作业 17 回归分析的基本思想及其初步应用 |基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．关于回归分析，下列说法错误的是( )A ．回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法B ．线性相关系数可以是正的或负的C ．回归模型中一定存在随机误差D ．散点图能明确反映变量间的关系解析：用散点图反映两个变量间的关系时，存在误差，故D 错误，选D. 答案：D2．在一线性回归模型中，计算其相关指数K 2＝0.96，下面哪种说法不够妥当( )A ．该线性回归方程的拟合效果较好B ．解释变量对于预报变量变化的贡献率约为96%C ．随机误差对预报变量的影响约占4%D ．有96%的样本点在回归直线上解析：由相关指数R 2表示的意义可知A ，B ，C 三种说法都很妥当，相关指数R 2＝0.96，其值较大，说明残差平方和较小，绝大部分样本点分布在回归直线附近，不一定有96%的样本点在回归直线上，故选D.答案：D3．工人月工资y (单位：元)关于劳动生产率x (单位：千元)的回归方程y ^＝650＋80x ，下列说法中正确的个数是( )①劳动生产率为1 000元时，工资为730元； ②劳动生产率提高1 000元，则工资提高80元； ③劳动生产率提高1 000元，则工资提高730元； ④当月工资为810元时，劳动生产率约为2 000元． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：代入方程计算可判断①②④正确．答案：C4．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )A ．r 2<r 4<0<r 3<r 1B ．r 4<r 2<0<r 1<r 3C ．r 4<r 2<0<r 3<r 1D ．r 2<r 4<0<r 1<r 3解析：由相关系数的定义及散点图所表达的含义，可知r 2<r 4<0<r 3<r 1，故选A. 答案：A5．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归方程为y ^＝7.19x ＋73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是( )A ．身高在145.83 cm 左右B ．身高在145.83 cm 以上C ．身高在145.83 cm 以下D ．身高一定是145.83 cm解析：回归方程得到的预报值是预报变量的估计值，它是预报变量可能取值的平均值．答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的线性回归方程：y ^＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析：由回归方程中系数b ^的含义知家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.254万元．答案：0.2547．有5组数据：(1,3)，(2,4)，(4,5)，(3,10)，(10,12)，去掉________后剩下的4组数据的线性相关性最大．解析：画散点图易知(3,10)明显异常，其余各点均在一条直线附近．答案：(3,10)8．在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得相关指数R 2≈0.85，则表明气温解释了________的热茶销售杯数变化，而随机误差贡献了剩余的________，所以气温对热茶销售杯数的效应比随机误差的效应大得多．必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一列数据，如下表所示：x (0.01%)104180190177147134150191204121y (min)100200210185155135170205235125(1)作出散点图，你能从散点图中发现含碳量与冶炼时间的一般规律吗？(2)求回归直线方程．解析：(1)以x轴表示含碳量，y轴表示冶炼时间，可作散点图如图所示．从图中可以看出，各点散布在一条直线附近，即它们线性相关．(2)列出下表，并用科学计算器进行计算：i 12345678910x i104180190177147134150191204121y i100200210185155135170205235125x i y i 10400360003990032745227851809025500391554794015125x－＝159.8，y－＝172，∑10x2＝265 448，∑10y2＝312 350，∑10x y＝287 640(1)求回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝－20，a ^＝y －－b ^x －；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解析：(1)x －＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8．5，y －＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，从而a ^＝y －＋20x －＝80＋20×8.5＝250，故y ^＝－20x ＋250.(2)由题意知，工厂获得利润z ＝(x －4)y ＝－20x 2＋330x －1 000＝－20⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3342＋361.25，所以当x ＝334＝8.25时，z max ＝361.25(元)．即当该产品的单价定为8.25元时，工厂获得最大利润． |能力提升|(20分钟，40分)11．通过下面的残差图，我们发现在采集样本点的过程中，样本点数据不准确的为( )A ．第四个B ．第五个由题图可知第六个数据的偏差最大，故选C.∑i ＝15x 2i ＝1 660，∑i ＝15y 2i ＝327，∑i ＝15x i y i ＝620，∑i ＝15(y i －y ^i )2＝0.3，∑i ＝15(y i －y －)2＝53.2)解析：(1)(2)因为x －＝18，y －＝7.4，∑i ＝15x 2i ＝1 660，∑i ＝15x i y i ＝620，所以b ^＝∑i ＝15x i y i －5x －y－∑5x 2－5x －2＝－1.15，a ^＝y －－b ^x －＝28.1.＝所以回归模型拟合效果很好．14．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局和某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期1月10日2月10日 3月10日 4月10日 5月10日 6月10日昼夜温差x (℃) 10 11 13 12 8 6 就诊人数y (人) 22 25 29 26 16 12该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)若选取的是1月与6月两组数据，请根据2至5月份的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝a ^＋b ^x .(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？⎝ ⎛⎭⎪⎫参考公式：b ^＝x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x n y n －n x － y －x 21＋x 22＋…＋x 2n －n x－2，a ^＝y －－b ^x －解析：(1)由数据求得x －＝11，y －＝24，由公式求得b ^＝187，再由a ^＝y －－b ^x －＝－307，赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321A1FB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°DEa +b-aa45°ABE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa+b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．ABFEDCF。

2018版检测及作业数学新导学同步选修2-2人教A版检测及作业章末检测卷01

项D中(x－5)′＝－5x－6.答案：C2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则() A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1解析：y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝a＝1.将点(0，b)代入切线方程，得b＝1.答案：A3．已知某物体运动的路程与时间的关系为s＝1t3＋ln t，则该物体在t＝4时的图象如图所示，下列数值的排序正确的是所以⎩⎪⎨⎪⎧3－2×4＝b 3⇒⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－24.所以a －b ＝－3＋24＝21.故选A. 答案：A7．函数f (x )＝x 2－ln2x 的单调递减区间是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞从x＝1处运动到x＝3处(单位：m)，则力F所作的功为() A．10 J B．14 JC．7 J D．28 J3F(x)d x解析：W＝⎠⎛13(4x－1)d x＝(2x2－x) |31＝⎠⎛1＝(2·32－3)－(2·12－1)＝14 J.答案：B1.又∵f (1)＝2，f (－1)＝－2，f (2)＝85，f (－2)＝－85，∴f (x )在[－2,2]上的最大值为2，最小值为－2.答案：2 －215．若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln2，则a 的值是________．解析：⎠⎛a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )| a 1又∵k＝f′(x0)＝3x0＋1，∴x30＋x0－16x0＝3x2＋1，解之得x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．18．(12分)物体A以速度v＝3t2＋1在一直线上运动，在此直线上与物体A 出发的同时，物体B在物体A的正前方5 m处以v＝10t的速度与A同向运动，润．解析：(1)总成本为c (x )＝14 000＋210x ，所以日销售利润Q (x )＝f (x )g (x )－c (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－11 000x 3＋65x 2－210x －14 000，0≤x ≤400，－210x ＋114 000，x >400. (2)①当0≤x ≤400时，Q ′(x )＝－3x 2＋12x －210，(2)求函数f (x )的单调区间和极大值；(3)证明：对任意x 1，x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立．解析：(1)∵f (x )是R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即－ax 3－cx ＋d ＝－ax 3－cx －d . ∴d ＝－d .∴d ＝0(或由f (0)＝0得d ＝0)． ∴f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c . 又当x ＝1时，f (x )取得极值－2， ∴⎩⎨⎧ f (1)＝－2，f ′(1)＝0，即⎩⎨⎧a ＋c ＝－2，3a ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，c ＝－3.∴f (x )＝x 3－3x .(2)f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)．令f ′(x )＝0，得x ＝±1. 当－1<x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．∴函数f (x )的递增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)，递减区间为(－1,1)．因此，f (x )在x ＝－1处取得极大值，且极大值为f (－1)＝2.(3)证明：由(2)知，函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，且f (x )在区间[－1,1]上的最大值为M ＝f (－1)＝2，最小值为m ＝f (1)＝－2.∴对任意x 1，x 2∈(－1,1)， |f (x 1)－f (x 2)|<M －m ＝4成立．即对任意x 1，x 2∈(－1,1)，不等式 |f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立．。

2017-2018学年人教A版数学选修2-2课时跟踪检测(十七) 数学归纳法含解析

课时跟踪检测(十七)数学归纳法一、选择题1．某个与正整数有关的命题：如果当n＝k（k∈N*）时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立．现已知n＝5时命题不成立,那么可以推得（）A．当n＝4时命题不成立B．当n＝6时命题不成立C．当n＝4时命题成立D．当n＝6时命题成立解析:选A 因为当n＝k(k∈N*）时命题成立，则可以推出当n ＝k＋1时该命题也成立,所以假设当n＝4时命题成立，那么n＝5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n＝4时命题不成立．2．证明1＋错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!〉错误!(n∈N＊）,假设n＝k 时成立，当n＝k＋1时，左端增加的项数是( )A．1 B．k－1C．k D．2k解析：选D 当n＝k时,不等式左端为1＋错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!；当n＝k＋1时,不等式左端为1＋错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!＋…＋错误!，增加了错误!＋…＋错误!项，共（2k ＋1－1）－2k ＋1＝2k 项．3．已知数列｛a n }的前n 项之和为S n 且S n ＝2n －a n （n ∈N *），若已经算出a 1＝1，a 2＝错误!，则猜想a n 等于( ）A 。

2n －1n B.错误!C 。

错误!D.错误! 解析:选D ∵a 1＝1，a 2＝错误!，S 3＝1＋32＋a 3＝6－a 3, ∴a 3＝错误!.同理可得a 4＝错误!.观察1,错误!，错误!，错误!，…，猜想a n ＝错误!错误!。

4．设f (x ）是定义在正整数集上的函数，且f （x )满足：“当f （k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥（k ＋1）2成立”，那么下列命题总成立的是( )A ．若f （3）≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k ）≥k 2成立B ．若f (5)≥25成立，则当k ≥4时，均有f （k ）≥k 2成立C ．若f (7)＜49成立,则当k ≥8时，均有f （k )＜k 2成立D ．若f （4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f （k )≥k 2成立解析:选D 对于A,若f(3)≥9成立，由题意只可得出当k≥3时，均有f(k）≥k2成立，故A错;对于B，若f(5）≥25成立，则当k≥5时均有f(k）≥k2成立,故B错;对于C应改为“若f（7）≥49成立，则当k≥7时，均有f（k）≥k2成立”．5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋错误!对一切n∈N＊都成立，那么a，b的值为（)A．a＝错误!，b＝错误! B．a＝b＝错误!C．a＝0，b＝错误!D．a＝错误!，b＝错误!解析:选A 法一：特值验证法，将各选项中a，b的值代入原式，令n＝1,2验证易知选A.法二：∵1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n（na－b)＋错误!对一切n∈N*都成立，∴当n＝1,2时有错误!即错误!解得错误!二、填空题6．设f（n）＝1＋12＋错误!＋…＋错误!(n∈N*），那么f(n＋1)－f(n)等于________．解析：f(n＋1)－f（n）＝13n＋错误!＋错误!.答案：错误!＋错误!＋错误!7．用数学归纳法证明错误!＋错误!＋…＋错误!>错误!－错误!。

2018版数学新导学同步选修2-2人教A版作业及测试：章末检测卷02

1
解析：①选择(2)式计算如下 sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－2sin30°＝ 3
4. ②三角恒等式为
sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α) 3
＝4.
证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°
a⊥(b－c)，故④错误．
2
1
答案：B 9．观察下列各式： a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则 a10＋b10＝( ) A．28 B．76 C．123 D．199 解析：记 an＋bn＝f(n)，则 f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)
解析：A 中类比的结果应为 loga(xy)＝logax＋logay，B 中如 x＝y＝2时不成立，C 中如 x＝y＝1 时不成立，D 中对于任意实数分配律成立．
答案：D
4．若 a>0，b>0，则有( )
b2
b2
A. a >2b－a B. a <2b－a
b2
b2
C. a ≥2b－a D. a ≤2b－a
一个相交．
结论是正确的，证明如下：设 α∥β，且 γ∩α＝a，则必有 γ∩β＝b，若 γ
与 β 不相交，则必有 γ∥β.
又 α∥β，∴α∥γ，与 γ∩α＝a 矛盾，∴必有 γ∩β＝b.
2
1
(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，
结论是错误的，这两个平面也可能相交．
a＋b 2ab
1＋22<2， 1 15
1＋22＋32<3， 1 1 17

2017-2018学年高中数学选修2-2全册学案人教A版含解析238P

2017~2018学人教A版高中数学选修2-2全册导学案汇编目录第一章导数及其应用1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念第一章导数及其应用1.1.3导数的几何意义第一章导数及其应用1.2导数的计算1第一章导数及其应用1.2导数的计算2第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数第一章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数第一章导数及其应用1.3.3函数的最大小值与导数第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例第一章导数及其应用1.5定积分的概念第一章导数及其应用1.5.2汽车行驶的路程第二章推理与证明2.1.1合情推理第二章推理与证明2.1.2演绎推理第二章推理与证明2.2.1综合法和分析法第二章推理与证明2.2.2反证法第二章推理与证明2.3数学归纳法第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.3定积分的概念第一章导数及其应用1.6微积分基本定理第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用第三章数系的扩展与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念第三章数系的扩展与复数的引入3.1.2复数的几何意义第三章数系的扩展与复数的引入3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义第三章数系的扩展与复数的引入3.2.2复数代数形式的乘除运算1．1.1～1.1.2 变化率问题导数的概念A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示．自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)．问题1：若旅游者从点A 爬到点B ，且这段山路是平直的，自变量x 和函数值y 的改变量Δx ，Δy 分别是多少？提示：自变量x 的改变量为Δx ＝x 2－x 1，函数值的改变量为Δy ＝y 2－y 1. 问题2：能否根据Δy 的大小判断山路的陡峭程度？提示：不能．问题3：怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？提示：对山坡AB 来说，Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1可以近似地刻画．问题4：能用ΔyΔx刻画山路陡峭程度的原因是什么？提示：因ΔyΔx 表示A ，B 两点所在直线的斜率k ，显然，“线段”所在直线的斜率越大，山路越陡．这就是说，竖直位移与水平位移之比ΔyΔx越大，山路越陡；反之，山路越缓．问题5：从A 到B 与从A 到C ，两者ΔyΔx 相同吗？提示：不相同．1．函数的平均变化率对于函数y ＝f (x )，给定自变量的两个值x 1和x 2，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，我们把式子f x 2 －f x 1x 2－x 1称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率．习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1 的一个“增量”，可用x 1＋Δx 代替x 2；类似地，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．于是，平均变化率可表示为ΔyΔx.2．平均变化率的几何意义设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx ＝f x 2 －f x 1 x 2－x 1＝f x 1＋Δx －f x 1 Δx为割线AB 的斜率，如右图所示．对Δx ，Δy 的理解(1)Δx ，Δy 是一个整体符号，而不是Δ与x ，y 相乘．(2)x 1，x 2是定义域内不同的两点，因此Δx ≠0，但Δx 可正也可负；Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是Δx ＝x 2－x 1相应的改变量，Δy 的值可正、可负，也可为零，因此平均变化率可正、可负，也可为零.一质点的运动方程为s ＝8－3t 2，其中s 表示位移，t 表示时间．问题1：试求质点在这段时间内的平均速度．提示：Δs Δt ＝8－3 1＋Δt 2－8＋3³12Δt＝－6－3Δt .问题2：当Δt 趋近于0时，问题1中的平均速度趋近于何值？如何理解这一速度？提示：当Δt 趋近于0时，ΔsΔt趋近于－6.这时的平均速度即为t ＝1时的瞬时速度． 1．瞬时速度(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度：若物体运动的路程与时间的关系式是s ＝f (t )，当Δt 趋近于0时，函数f (t )在t 0到t 0＋Δt 之间的平均变化率f t 0＋Δt －f t 0Δt趋近于常数，我们就把这个常数叫做物体在t 0时刻的瞬时速度．2．导数的定义一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是li m Δx →0ΔyΔx＝li m Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x＝x 0，即f ′(x 0)＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx.导数概念的解读(1)导数是一个局部概念，它只与函数y ＝f (x )在x ＝x 0处及其附近的函数值有关，与Δx 无关．(2)f ′(x 0)是一个常数，即当Δx →0时，存在一个常数与f x 0＋Δx －f x 0Δx无限接近．如果当Δx →0时，li m Δx →0 ΔyΔx不存在，则称函数f (x )在x ＝x 0处不可导．(1)已知函数( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43D ．0.44(2)已知函数f (x )＝x ＋1x，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．(1)选B Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝f (2.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41. (2)自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为 f 2 －f 1 2－1＝2＋12－ 1＋1 1＝12；自变量x 从3变到5时，函数f (x )的平均变化率为 f 5 －f 3 5－3＝5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋132＝1415.因为12＜1415，所以函数f (x )＝x ＋1x 在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快．求函数平均变化率的步骤(1)求自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1； (2)求函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (3)求平均变化率Δy Δx ＝f x 2 －f x 1 x 2－x 1.分别计算下面三个图象表示的函数h (t )在区间上的平均变化率．解：对于图①，Δh ＝h (3)－h (0)＝10－0＝10， ∴Δh Δt ＝103－0＝103，即平均变化率为103.同理可以算得图②、图③中函数h (t )在区间上的平均变化率均为103.(1)设函数000x ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b(2)求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数． (1)选C f ′(x 0)＝li m Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx＝li m Δx →0(a ＋b ²Δx )＝a . (2)由导数的定义知，函数在x ＝1处的导数f ′(1)＝li m Δx →0f 1＋Δx －f 1Δx，而f 1＋Δx －f 1 Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1，又li m Δx →0 11＋Δx ＋1＝12，所以f ′(1)＝12.利用定义求导数的三步曲由导数的定义知，求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝li m Δx →0 ΔyΔx . 简认为：一差，二比，三趋近．求函数y ＝4x2 在x ＝2处的导数．解：∵Δy ＝4 Δx ＋2 2－422＝4Δx ＋22－1＝－ Δx 2＋4Δx Δx ＋2 2，∴Δy Δx ＝－Δx ＋4 Δx ＋22. ∴f ′(2)＝li m Δx →0 Δy Δx ＝－li m Δx →0 Δx ＋4 Δx ＋2 2 ＝－1.若一物体的运动方程为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧29＋3 t －3 ，0≤t ＜3，3t 2＋2，t ≥3，(路程单位：m ，时间单位：s)．求：(1)物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．(1)因为Δs ＝3³52＋2－(3³32＋2)＝48，Δt ＝2，所以物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)因为Δs ＝29＋32－29－3³(1－3)2＝3(Δt )2－12Δt ，所以Δs Δt ＝3 Δt 2－12ΔtΔt＝3Δt －12，则物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为s ′(1)＝li m Δt →0 ΔsΔt ＝li m Δt →0 (3Δt －12)＝－12(m/s)．求瞬时速度的步骤(1)求位移增量，Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)；(2)求平均速度，v －＝ΔsΔt； (3)取极限，li m Δx →0 Δs Δt ＝li m Δt →0 s t 0＋Δt －s t 0Δt ； (4)若极限存在，则t 0时刻的瞬时速度为v ＝lim Δt →0ΔsΔt.一质点按规律s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．解：因为Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ²22－1＝4a Δt ＋a (Δt )2，所以ΔsΔt＝4a ＋a Δt ，故在t ＝2 s 时，瞬时速度为s ′(2)＝li m Δt →0 Δs Δt＝4a (m/s)．由题意知，4a ＝8，所以a ＝2.1.对导数的概念理解不透彻已知f (x )在x ＝x 0处的导数为4，则li m Δx →0 f x 0＋2Δx －f x 0Δx＝________.li m Δx →0f x 0＋2Δx －f x 0Δx＝li m Δx →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x 0＋2Δx －f x 0 2Δx ³2＝2li m Δx →0f x 0＋2Δx －f x 0 2Δx＝2f ′(x 0)＝2³4＝8. 81．本题分子中x 的增量是2Δx ，即(x 0＋2Δx )－x 0＝2Δx ，而分母为Δx ，两者不是等量的，如果忽视该点，则易得出结论为4的错误答案．2．在导数的概念中，增量的形式是多种多样的，但无论是哪种形式，分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致，常见的形式还有：li m Δx →0f x 0－Δx －f x 0Δx＝－li m Δx →0f x 0－Δx －f x 0－Δx＝－f ′(x 0)．已知f ′(1)＝－2，则li m Δx →0 f 1－2Δx －f 1Δx＝________.解析：li m Δx →0f 1－2Δx －f 1Δx＝(－2)³li m Δx →0f 1－2Δx －f 1－2Δx＝(－2)³(－2)＝4. 答案：41．如果函数y ＝ax ＋b 在区间上的平均变化率为3，则a 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．3D ．－2解析：选C 根据平均变化率的定义，可知Δy Δx ＝ 2a ＋b － a ＋b 2－1＝a ＝3.2．若f (x )在x ＝x 0处存在导数，则li m h →0 f x 0＋h －f x 0h( )A ．与x 0，h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．以上答案都不对解析：选B 由导数的定义知，函数在x ＝x 0处的导数只与x 0有关．3．已知函数y ＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx 等于________．解析：Δy Δx ＝2 1＋Δx 2－1－1Δx ＝4＋2Δx .答案：4＋2Δx4．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2(t ≥0)，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么该物体在3秒末的瞬时速度是________．解析：∵Δs Δt ＝s 3＋Δt －s 3 Δt ＝Δt ＋5，li m Δt →0 (Δt ＋5)＝5， ∴该物体在3秒末的瞬时速度是5米/秒．答案：5米/秒5．求y ＝x 2＋1x＋5在x ＝2处的导数．解：∵Δy ＝(2＋Δx )2＋12＋Δx ＋5－⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12＋5＝4Δx ＋(Δx )2－Δx 2 2＋Δx ，∴Δy Δx ＝4＋Δx －14＋2Δx， ∴f ′(2)＝li m Δx →0 Δy Δx＝li m Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋Δx －14＋2Δx ＝4＋0－14＋2³0＝154.一、选择题1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx 满足( ) A ．Δx ＜0 B ．Δx ＞0 C ．Δx ＝0 D ．Δx ≠0解析：选D 根据定义知Δx 可正、可负，但不能为0. 2．设f (x )＝1x，则f ′(a )等于( )A ．－1a B.2aC ．－1a2 D.1a2解析：选C ∵f a ＋Δx －f a Δx ＝1a ＋Δx －1aΔx＝－Δx a Δx a ＋Δx ＝－1a a ＋Δx，∴f ′(a )＝li m Δx →0－1a a ＋Δx ＝－1a2.3．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1＞k 2B ．k 1＜k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析：选D k 1＝f x 0＋Δx －f x 0 Δx ＝ x 0＋Δx 2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ；k 2＝f x 0 －f x 0－Δx Δx ＝x 20－ x 0－Δx 2Δx＝2x 0－Δx .因为Δx 可正也可负，所以k 1与k 2的大小关系不确定．4．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是( )A ．－3B ．3C ．6D ．－6解析：选D 当Δt 趋于0时，式子－3Δt －6趋于－6. 5．设函数在x ＝1处存在导数，则li m Δx →0 f 1＋Δx －f 13Δx等于( )A ．f ′(1) B．3f ′(1) C.13f ′(1) D．f ′(3) 解析：选C li m Δx →0f 1＋Δx －f 13Δx＝13li m Δx →0 f 1＋Δx －f 1 Δx ＝13f ′(1)．二、填空题6．在雨季潮汛期间，某水文观测员观察千岛湖水位的变化，在24 h 内发现水位从102.7 m 上涨到105.1 m ，则水位涨幅的平均变化率是________m/h.解析：水位涨幅的平均变化率为105.1－102.724＝0.1(m/h)．答案：0.17．已知曲线y ＝1x －1上两点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋Δx ，－12＋Δy ，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为________．解析：∵Δx ＝1,2＋Δx ＝3，∴Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝13－12＝－16， ∴k AB ＝Δy Δx ＝－16.答案：－168．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀率(体积的变化量与半径的变化量之比)为28π3，则m 的值为________．解析：∵ΔV ＝4π3m 3－4π3³13＝4π3(m 3－1)，∴ΔV ΔR ＝4π3 m 3－1m －1＝28π3，即m 2＋m ＋1＝7，解得m ＝2或m ＝－3(舍去)．答案：2 三、解答题9．已知函数f (x )＝13－8x ＋2x 2，且f ′(x 0)＝4，求x 0的值．解：∵f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx＝li m Δx →0 [13－8 x 0＋Δx ＋2 x 0＋Δx 2]－ 13－8x 0＋2x 2Δx ＝li m Δx →0 －8Δx ＋22x 0Δx ＋2 Δx 2Δx ＝li m Δx →0 (－8＋22x 0＋2Δx ) ＝－8＋22x 0， ∴－8＋22x 0＝4， ∴x 0＝3 2.10．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移：m ；时间：s)． (1)求此物体的初速度．(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度． (3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度．解：(1)初速度v 0＝li m Δt →0s Δt －s 0Δt＝li m Δt →0 3Δt － Δt2Δt ＝li m Δt →0 (3－Δt )＝3(m/s)，即物体的初速度为3 m/s. (2)v ＝li m Δt →0s 2＋Δt －s 2Δt＝li m Δt →0 3 2＋Δt － 2＋Δt 2－ 3³2－4Δt＝li mΔt→0－ Δt 2－ΔtΔt＝li mΔt→0(－Δt－1)＝－1(m/s)，即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反．(3)v＝s 2 －s 02－0＝6－4－02＝1(m/s)，即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.1．1.3 导数的几何意义如下图，P n n n 00)，直线PT 为过点P 的切线．问题1：割线PP n 的斜率k n 是什么？提示：割线PP n 的斜率k n ＝Δy n Δx n ＝f x n －f x 0x n －x 0.问题2：当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 与过点P 的切线PT 有什么关系？提示：当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于过点P 的切线PT . 问题3：当P n 无限趋近于点P 时，k n 与切线PT 的斜率k 有什么关系？提示：k n 无限趋近于切线PT 的斜率k . 问题4：如何求得过点P 的切线PT 的斜率？提示：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线PT 的斜率k ，即k ＝li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝f ′(x 0)．导数的几何意义函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线PT 的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)＝li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.导数与函数图象升降的关系若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数存在且f ′(x 0)＞0(即切线的斜率大于零)，则函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的图象是上升的；若f ′(x 0)＜0(即切线的斜率小于零)，则函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的图象是下降的．导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢.对于函数f(x)＝－x2＋2. 问题1：如何求f′(x0)?提示：f′(x0)＝li mΔx→0－ x0＋Δx 2＋2－－x20＋2Δx＝li mΔx→0(－2x0－Δx)＝－2x0.问题2：若x0是一变量x，f′(x)是常量吗？提示：f′(x)＝－2x，说明f′(x)不是常量，而是关于x的函数．导函数的定义对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0) 是一个确定的数．当x变化时，f′(x) 便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝li mΔx→0f x＋Δx －f xΔx.f′(x0)与f′(x)的异同(1)y＝－3x2＋2x－1；(2)y＝3x2＋a(a为常数)．(1)∵Δy＝－3(x＋Δx)2＋2(x＋Δx)－1－(－3x2＋2x－1)＝(2－6x)Δx－3(Δx)2，∴ΔyΔx＝2－6x Δx－3 Δx 2Δx＝2－6x－3Δx，∴y ′＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 (2－6x －3Δx )＝2－6x . (2)∵Δy ＝3 x ＋Δx 2＋a －3x2－a＝－6x ²Δx －3 Δx2x 2 x ＋Δx 2，∴Δy Δx ＝－6x ²Δx －3 Δx 2x 2 x ＋Δx 2Δx ＝－6x －3Δx x 2 x ＋Δx 2， ∴li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 －6x －3Δx x 2 x ＋Δx 2＝－6x 3，即y ′＝－6x3.求函数y ＝f (x )的导数的步骤(1)求Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )； (2)求Δy Δx ＝f x ＋Δx －f x Δx ；(3)计算f ′(x )＝li m Δx →0 Δy Δx .利用导数的定义求函数f (x )＝x 3＋x －2的导数f ′(x )，并利用f ′(x )求f ′(－1)，f ′(1)．解：利用导数的定义，得f ′(x )＝li m Δx →0f x ＋Δx －f xΔx＝li m Δx →0 x ＋Δx 3＋ x ＋Δx －2－ x 3＋x －2Δx ＝li m Δx →0＝3x 2＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋1，则f ′(－1)＝4，f ′(1)＝4.已知曲线y ＝3x 3及其上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3.(1)求点P 处切线的斜率； (2)写出点P 处的切线方程． (1)∵y ＝13x 3，∴y ′＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 13 x ＋Δx 3－13x 3Δx ＝13li m Δx →0 3x 2Δx ＋3x Δx 2＋ Δx 3Δx ＝13li m Δx →0 ＝x 2，∴y ′|x ＝2＝22＝4， ∴点P 处切线的斜率为4.(2)由(1)知，点P 处切线斜率为4，且点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，∴在点P 处的切线方程是y －83＝4(x －2)，即12x －3y －16＝0.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤(1)求出函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)； (2)写出切线方程，即y －f (x 0)＝f ′(x 0)²(x －x 0)．特别注意：若在点(x 0，y 0)处切线的倾斜角为π2，此时所求的切线平行于y 轴，所以直接得切线方程为x ＝x 0.求曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2处的切线的斜率．解：因为y ′＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 1x ＋Δx －1x Δx ＝li m Δx →0－1x 2＋x ²Δx ＝－1x2，所以曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝12＝－4.若曲线y ＝x 2＋6P 的坐标及切线方程．设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为f ′(x 0)＝li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0 Δx＝li m Δx →0 x 0＋Δx 2＋6－ x 20＋6Δx ＝li m Δx →0(2x 0＋Δx )＝2x 0，所以2x 0²2＝－1，解得x 0＝－14，所以y 0＝x 20＋6＝9716，故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，9716，切线方程为y －9716＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋14，即8x ＋16y －95＝0.根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x 0，y 0)； (2)求导函数f ′(x )； (3)求切线的斜率f ′(x 0)；(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0；(5)由点(x 0，y 0)在曲线f (x )上，将(x 0，y 0)代入求y 0得切点坐标．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点P 处的切线平行于直线y ＝9x －1，则切线方程为( ) A ．y ＝9x B ．y ＝9x －26 C ．y ＝9x ＋26D ．y ＝9x ＋6或y ＝9x －26 解析：选DΔy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0 Δx＝ x 0＋Δx 3－3 x 0＋Δx 2＋1－x 30＋3x 20－1Δx＝(Δx )2＋3x 0Δx －3Δx ＋3x 20－6x 0. 所以f ′(x 0)＝li m Δx →0＝3x 20－6x 0，于是3x 20－6x 0＝9，解得x 0＝3或x 0＝－1，因此，点P 的坐标为(3,1)或(－1，－3)．又切线斜率为9，所以曲线在点P 处的切线方程为y ＝9(x －3)＋1或y ＝9(x ＋1)－3，即y ＝9x －26或y ＝9x ＋6.2.搞错导数的几何意义致误若函数y＝f(x)的导函数在区间上是增函数，则函数y＝f(x)在区间上的图象可能是下图中的( )由导数的几何意义知导函数递增说明函数切线的斜率随x增大而变大，因此应选A.应会灵活运用导数的几何意义辨析曲线的凹凸性．A1．本题易搞错导数的几何意义，混淆导函数的单调性与函数图象的凹凸变化间的关系而误选B或D.2．导数的几何意义就是切线的斜率．借助图象，用斜率的正负及大小来说明曲线的变化情况既科学又直观，注意归纳总结．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如下图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( )解析：选D 从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B、C.再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x)的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A.1．下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在解析：选C 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x 0，y 0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A 、B 、D 错误．2．曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在解析：选B 根据导数的几何意义，f (x )在x 0处的导数即f (x )在x 0处切线的斜率，故f ′(x 0)＝－12＜0.3．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由导数的几何意义得f ′(1)＝12，由点M 在切线上得f (1)＝12³1＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝3.答案：34．曲线y ＝13x 3－2在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－73处切线的倾斜角为________．解析：因为li m Δx →0f x ＋Δx －f xΔx＝li m Δx →0 13 x ＋Δx 3－2－13x 3＋2Δx ＝x 2，所以y ′＝x 2，y ′|x ＝－1＝1，因此倾斜角为45°. 答案：45°5．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10.求： (1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝13.∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)． (2)∵y ＝x 2＋4，∴y ′＝li m Δx →0 x ＋Δx 2＋4－ x 2＋4Δx ＝li m Δx →0 Δx 2＋2x ²Δx Δx ＝li m Δx →0 (Δx ＋2x ) ＝2x ，∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6.∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0；在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.一、选择题1．若函数f (x )＝－3x －1，则f ′(x )等于( ) A ．0 B ．－3x C ．3 D ．－3解析：选D 法一：f ′(x )＝li m Δx →0f x ＋Δx －f xΔx＝li m Δx →0 －3 x ＋Δx －1＋3x ＋1Δx＝li m Δx →0 (－3)＝－3. 法二：由导数的几何意义可知，f ′(x )为直线y ＝－3x －1的斜率，∴f ′(x )＝－3. 2．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x 轴相交但不垂直解析：选B ∵f ′(x 0)＝0，∴曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率为0. 3．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 解析：选D ∵k ＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 x ＋Δx 2－x 2Δx ＝li m Δx →0(2x ＋Δx )＝2x ， ∴2x ＝tan π4＝1，∴x ＝12，从而y ＝14.4．已知曲线y ＝－12x 2－2上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52，则在点P 处的切线的倾斜角为( )A ．30° B．45° C ．135° D．165°解析：选C ∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52在曲线y ＝f (x )＝－12x 2－2上，∴在点P 处的切线斜率为k＝f ′(1)＝－1，∴在点P 处的切线的倾斜角为135°.5．已知y ＝f (x )的图象如下图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：选B 由题图可知，曲线在点A 处的切线的斜率比曲线在点B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f ′(x A )<f ′(x B )．二、填空题6．y ＝－1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线方程是________．解析：先求y ＝－1x的导数：Δy ＝－1x ＋Δx ＋1x ＝Δx x x ＋Δx ，Δy Δx ＝1x x ＋Δx ，lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 1x x ＋Δx ＝1x 2，即y ′＝1x 2，所以y ＝－1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线斜率为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，所以切线方程是y ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝4x －4.答案：y ＝4x －47．对于函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 解析：因为f ′(x 0)＝li m Δx →0a x 0＋Δx ＋4－ax 0－4Δx＝a ，f ′(1)＝2，所以a ＝2.答案：28．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则点P 的坐标为________．解析：设P 点坐标为(x 0,2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0 Δx＝li m Δx →02 Δx 2＋4x 0Δx ＋4Δx Δx ＝4x 0＋4. 又∵f ′(x 0)＝16，∴4x 0＋4＝16，∴x 0＝3，∴P 点坐标为(3,30)．答案：(3,30) 三、解答题9．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求满足f ′(x )＋2＝g ′(x )的x 的值．解：f ′(x )＝li m Δx →0 x ＋Δx 2－x2Δx ＝2x ， g ′(x )＝li m Δx →0 x ＋Δx 3－x 3Δx ＝3x 2. 因为f ′(x )＋2＝g ′(x )，所以2x ＋2＝3x 2，解得x ＝1－73或x ＝1＋73.10．已知曲线y ＝2x 2＋a 在点P 处的切线方程为8x －y －15＝0，求切点P 的坐标和实数a 的值．解：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，切线斜率为k . 由y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 [2 x ＋Δx 2＋a ]－ 2x 2＋aΔx ＝lim Δx →0 (4x ＋2Δx )＝4x ，得k ＝f ′(x 0)＝4x 0. 根据题意得4x 0＝8，x 0＝2. 分别代入y ＝2x 2＋a 和y ＝8x －15，解得y 0＝1，a ＝－7，故所求切点P 的坐标为(2,1)，a ＝－7.第一课时几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则已知函数：(1)y ＝f (x )＝c ；(2)y ＝f (x )＝x ；(3)y ＝f (x )＝x 2；(4)y ＝f (x )＝1x；(5)y ＝f (x )＝x .问题1：函数y ＝f (x )＝c 的导数是什么？提示：∵Δy Δx ＝f x ＋Δx －f x Δx ＝c －cΔx ＝0，∴y ′＝li m Δx →0 ΔyΔx＝0. 问题2：函数(2)(3)(4)(5)的导数分别是什么？提示：由导数的定义得(2)(x )′＝1，(3)(x 2)′＝2x ，(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2，(5)(x )′＝12x .问题3：若(1)(2)中的函数表示路程关于时间的函数，则其导数的意义是什么？提示：y ′＝0说明某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态；y ′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．问题4：函数(2)(3)(5)均可表示为y ＝x α(α∈Q *)的形式，其导数有何规律？提示：∵(2)(x )′＝1²x1－1，(3)(x 2)′＝2²x2－1，(5)(x )′＝(x 12)′＝12x 112－＝12x ，∴(x α)′＝αx α－1.基本初等函数的导数公式对公式(log a x )′＝1x ln a与(a x )′＝a xln a 的理解和记忆 (1)区分公式的结构特征，从纵的方面“(ln x )′与(log a x )′”和“(e x)′与(a x)′”的区分，又要从横的方面“(log a x )′与(a x)′”的区分找出差异，记忆公式．(2)对公式(log a x )′，用(ln x )′和复合函数求导法则证明来帮助记忆，即求证对数函数导数公式(log a x )′＝1xlog a e.证明如下： (log a x )′＝⎝⎛⎭⎪⎫ln x ln a ′＝1ln a ²1x ＝1x log ae.这样就能知道log a e 的来历，对于记忆和区分很有必要.已知f (x )＝x ，g (x )＝1x.问题1：f (x )，g (x )的导数分别是什么？提示：f ′(x )＝1，g ′(x )＝－1x2.问题2：试求Q (x )＝x ＋1x ，H (x )＝x －1x的导数．提示：∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝Δx ＋－Δx x x ＋Δx， ∴Δy Δx ＝1－1x x ＋Δx， ∴Q ′(x )＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1x x ＋Δx ＝1－1x 2. 同理H ′(x )＝1＋1x2.问题3：Q (x )，H (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有何关系？提示：Q (x )的导数等于f (x )，g (x )的导数的和，H (x )的导数等于f (x )，g (x )的导数的差．问题4：′＝f ′(x )g ′(x )对吗？提示：不对，因为f (x )g (x )＝1，′＝0，而f ′(x )g ′(x )＝1³⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x＝－1x2.导数运算法则1．′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 3.⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′ x g x －f x g ′ x [g x ]2(g (x )≠0)．导数的运算法则的认识1．在两个函数积与商的导数运算中，不能认为′＝f ′(x )g ′(x )以及⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′ xg ′ x.2．注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”．3．(1)′＝f 1′(x )＋f 2′(x )＋…＋f n ′(x )；(2)′＝cf ′(x )，也就是说，常数与函数的积的导数等于常数乘函数的导数．(1)y ＝10x；(2)y ＝lg x ；(3)y ＝log 12x ；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 22－1. (1)y ′＝(10x)′＝10xln 10； (2)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10； (3)y ′＝(log 12x )′＝1x ln12＝－1x ln 2；(4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x；(5)∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x2＋cos 2x2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .应用求导公式应注意的问题求函数的导数，一般不再用定义，而主要应用导数公式，这就要求必须熟记常见的求导公式，应用公式时一般遵循“先化简，再求导”的基本原则．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．求下列函数的导数：(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x；(3)y ＝lg 5；(4)y ＝3lg 3x ； (5)y ＝2cos 2x2－1.解：(1)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ln 1e＝－1e x ＝－e －x；(2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ln 110＝－ln 1010x＝－10－xln 10；(3)∵y ＝lg 5是常数函数， ∴y ′＝(lg 5)′＝0； (4)∵y ＝3lg 3x ＝lg x ， ∴y ′＝(lg x )′＝1x ln 10； (5)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .(1)y ＝x 3²e x；(2)y ＝x －sin x 2cos x2；(3)y ＝x 2＋log 3x ；(4)y ＝e x＋1e x －1.(1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x. (2)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－12(sin x )′＝1－12cos x .(3)y ′＝(x 2＋log 3x )′ ＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3. (4)y ′＝ e x＋1 ′ e x－1 － e x＋1 e x－1 ′e －1 ＝e xe x－1 － e x＋1 e xe x －1 2＝－2e xe x －1 2.利用运算法则求导数的方法对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式．在不宜直接应用导数公式时，应先对函数进行化简，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．求下列函数的导数：(1)y ＝cos xx；(2)y ＝x sin x ＋x ；(3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ；(4)y ＝lg x －1x 2.解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝ cos x ′²x －cos x ² x ′x 2＝－x ²sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos xx2. (2)y ′＝(x sin x )′＋(x )′＝sin x ＋x cos x ＋12x.(3)∵y ＝ 1＋x 21－x ＋ 1－x 21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x －2，∴y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4 1－x ′ 1－x ＝4 1－x .(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2′＝1x ln 10＋2x3.(1)(．(2)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋13上，且在第一象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．(1)∵y′＝－5e x，∴所求曲线的切线斜率k＝y′|x＝0＝－5e0＝－5，∴切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.(2)设点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝3x2－10，所以3x20－10＝2，解得x0＝±2.又点P在第一象限内，所以x0＝2.又点P在曲线C上，所以y0＝23－10³2＋13＝1，所以点P 的坐标为(2,1)．答案：(1)5x＋y＋2＝0 (2)(2,1)导数几何意义的应用根据导数的几何意义，可直接得到曲线上一点处的切线的斜率．需注意直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征．当问题中涉及相切但未出现切点坐标时，要设出切点坐标，然后根据已知条件求出切点坐标．若曲线f(x)＝a cos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝________.解析：f′(x)＝－a sin x，g′(x)＝2x＋b，∵曲线f(x)＝a cos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，∴f(0)＝a＝g(0)＝1，且f′(0)＝0＝g′(0)＝b，∴a＋b＝1.答案：11.切线方程的求法已知a∈R，函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．由已知得f′(x)＝3x2－6x＋3a，故f′(1)＝3－6＋3a＝3a－3，且f(1)＝1－3＋3a－3a＋3＝1.故所求切线方程为y －1＝(3a －3)(x －1)，即3(a －1)x －y ＋4－3a ＝0.1．利用导数研究切线问题是一个很重要的知识点，它突出表现了导数几何意义的价值，也是高考的常考内容．利用导数求解切线方程常常要先求出原函数的导函数，再利用导数的几何意义求出切点或斜率，最后借助直线方程的点斜式写出所求的切线方程．2．本题比较简单，属于“已知切点求切线方程”问题，只要求出导数，再利用点斜式方程求解即可．另外，高考对切线的考查还有以下几种方式．：已知斜率，求切线方程．此类问题可以设出切点，利用导数与已知直线的斜率关系来确定切点，进而求出切线方程．例：求与直线x ＋4y ＋1＝0垂直的曲线f (x )＝2x 2－1的切线方程．解：因为所求切线与直线x ＋4y ＋1＝0垂直，所以所求切线的斜率k ＝4. 设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝4x 0＝4，即x 0＝1，所以切点坐标为(1,1)，故所求切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.：已知过曲线上一点，求切线方程．过曲线上一点的切线，该点不一定是切点，故应先设出切点，再利用该点在切线上来确定切点，进而求出切线方程．例：求过曲线f (x )＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程．解：设切点坐标为(x 0，y 0) 因为f ′(x )＝3x 2－2，所以f ′(x 0)＝3x 20－2，且y 0＝f (x 0)＝x 30－2x 0，所以切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)，即y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0)．因为切线过点(1，－1)，故－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)²(1－x 0)，即2x 30－3x 20＋1＝0，解得x 0＝1或x 0＝－12，故所求切线方程为x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0. ：已知过曲线外一点，求切线方程．这一题型要设出切点，再利用斜率公式及导数的几何意义列方程求出切点，从而求出切线方程．例：已知函数f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线y ＝f (x )的切线，求切线方程．解：由题意知点A (0,16)不在曲线f (x )＝x 3－3x 上，设切点坐标为M (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3，故切线方程为y －y 0＝3(x 20－1)(x －x 0)．又因为点A (0,16)在切线上，所以16－(x 30－3x 0)＝3(x 20－1)(0－x 0)，化简得x 30＝－8，解得x 0＝－2，即切点为M (－2，－2)，故切线方程为9x －y ＋16＝0.1．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ；④⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝12x x.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B (cos x )′＝－sin x ，所以①错误； sin π3＝32，而⎝ ⎛⎭⎪⎫32′＝0，所以②错误；⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝0－ x 2′x 4＝－2x x 4＝－2x －3，所以③错误； ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝－0－ x 12′x ＝12x 12－x ＝12x 32－＝12x x，所以④正确． 2．函数y ＝sin x ²cos x 的导数是( ) A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2x B ．y ′＝cos 2x －sin 2x C ．y ′＝2cos x ²sin x D ．y ′＝cos x ²sin x解析：选B y ′＝(sin x ²cos x )′＝cos x ²cos x ＋sin x ²(－sin x )＝cos 2x －sin 2x . 3．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.解析：f (x )＝4x 2＋4ax ＋a 2，∴f ′(x )＝8x ＋4a ， ∴f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1. 答案：14．(全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1，∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 答案：15．求下列函数的导数：(1)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(2)y ＝1＋cos xx2； (3)y ＝(4x －x )(e x＋1)．解：(1)∵y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x，∴y ′＝3x 2－2x3.(2)y ′＝ 1＋cos x ′²x 2－ 1＋cos x x 2′x4＝－x sin x －2cos x －2x3. (3)法一：∵y ＝(4x －x )(e x ＋1)＝4x e x ＋4x －x e x－x ， ∴y ′＝(4x e x ＋4x －x e x－x )′ ＝(4x )′e x ＋4x (e x )′＋(4x)′－－x ′ ＝e x 4x ln 4＋4x e x ＋4x ln 4－e x －x e x－1 ＝e x (4x ln 4＋4x －1－x )＋4xln 4－1.法二：y ′＝(4x －x )′(e x ＋1)＋(4x －x )(e x＋1)′ ＝(4x ln 4－1)(e x ＋1)＋(4x －x )e x＝e x (4x ln 4＋4x －1－x )＋4xln 4－1.一、选择题1．函数y ＝x 3cos x 的导数是( ) A ．y ′＝3x 2cos x ＋x 3sin xB ．y ′＝3x 2cos x －x 3sin x C ．y ′＝3x 2cos x D ．y ′＝－x 3sin x解析：选 B y ′＝(x 3cos x )′＝(x 3)′cos x ＋x 3(cos x )′＝3x 2cos x ＋x 3(－sin x )＝3x 2cos x －x 3sin x ，故选B.2．对任意的x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则此函数解析式为( ) A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝x 4－2 C ．f (x )＝x 3＋1 D ．f (x )＝x 4－1解析：选B 由f ′(x )＝4x 3知，f (x )中含有x 4项，然后将x ＝1代入选项中验证可得． 3．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12解析：选A 因为y ′＝x 2－3x ，所以根据导数的几何意义可知x 2－3x ＝12，解得x ＝3(x ＝－2不合题意，舍去)．4．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12 B.12C ．－22 D.22解析：选B y ′＝cos x sin x ＋cos x －sin x cos x －sin xsin x ＋cos x 2＝11＋sin 2x ，把x ＝π4代入，得导数值为12，即为所求切线的斜率．5．已知直线y ＝3x ＋1与曲线y ＝ax 3＋3相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．－1 D ．－2解析：选A 设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝3x 0＋1，且y 0＝ax 30＋3，所以3x 0＋1＝ax 30＋3…①.对y ＝ax 3＋3求导，得y ′＝3ax 2，则3ax 20＝3，ax 20＝1…②，由①②可得x 0＝1，所以a ＝1.二、填空题6．(天津高考)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析：f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ²1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案：37．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________. 解析：∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4³22＋22 ，得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝ 2－1，∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1. 答案：18．若曲线f (x )＝ln x ＋ax 存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝1x＋a ，∵曲线f (x )＝ln x ＋ax 存在与直线2x －y ＝0平行的切线，∴1x ＋a ＝2有解，即1x＝2－a 有解．又∵x >0，∴2－a >0，∴a <2. 答案：(－∞，2) 三、解答题9．求下列函数的导数： (1)y ＝3x 2＋x sin x ； (2)y ＝(x 2＋3)(e x＋ln x )； (3)y ＝x ln x1＋x. 解：(1)y ′＝(3x 2)′＋(x sin x )′ ＝6x ＋sin x ＋x (sin x )′ ＝6x ＋sin x ＋x cos x .(2)y ′＝(x 2＋3)′(e x ＋ln x )＋(x 2＋3)(e x＋ln x )′＝2x (e x ＋ln x )＋(x 2＋3)⎝⎛⎭⎪⎫e x ＋1x＝e x (x 2＋2x ＋3)＋2x ln x ＋x ＋3x. (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ln x 1＋x ′＝ x ln x ′ 1＋x －x ln x 1＋x ′ 1＋x 2＝ln x ＋1＋x1＋x2.10．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R.求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．解：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b .又因为f ′(1)＝2a ，所以3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b .又因为f ′(2)＝－b ，所以12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32，则f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52. 又因为f ′(1)＝2³⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.第二课时复合函数求导及应用已知y ＝(3x ＋2)2，y ＝sin ⎝ ⎭⎪⎫2x ＋6.问题1：这两个函数是复合函数吗？提示：是复合函数．问题2：试说明y ＝(3x ＋2)2是如何复合的．提示：令u ＝g (x )＝3x ＋2，y ＝f (u )＝u 2，则y ＝f (u )＝f (g (x ))＝(3x ＋2)2.问题3：试求y ＝(3x ＋2)2，f (u )＝u 2，g (x )＝3x ＋2的导数．提示：y ′＝(9x 2＋12x ＋4)′＝18x ＋12，f ′(u )＝2u ，g ′(x )＝3. 问题4：观察问题3中的导数有何关系．提示：y ′＝′＝f ′(u )²g ′(x )．1．复合函数的概念对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))．2．复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′²u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．对复合函数概念的理解(1)在复合函数中，内层函数的值域必须是外层函数定义域的子集．(2)对于复合函数，中间变量应该选择基本初等函数．判断一个函数是基本初等函数的标准是：运用求导公式可直接求导．(1)y ＝1－2x 2；(2)y ＝esin x；(3)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1)．(1)设y ＝u 12，u ＝1－2x 2，则y ′＝(u 12)′(1－2x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 12－²(－4x )＝12(1－2x 2) 12－ (－4x )＝－2x 1－2x2. (2)设y ＝e u，u ＝sin x ，则y x ′＝y u ′²u x ′＝e u²cos x ＝e sin xcos x .(3)设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′²u x ′＝cos u ²2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′＝5(log 2u )u ′(2x ＋1)x ′＝10u ln 2＝10 2x ＋1 ln 2.复合函数的求导步骤求下列函数的导数： (1)y ＝(2x －1)4； (2)y ＝102x ＋3；(3)y ＝sin 4x ＋cos 4x .解：(1)令u ＝2x －1，则y ＝u 4，∴y ′x ＝y ′u ²u ′x ＝4u 3²(2x －1)′＝4u 3²2 ＝8(2x －1)3.(2)令u ＝2x ＋3，则y ＝10u，∴y ′x ＝y ′u ²u ′x ＝10u²ln 10²(2x ＋3)′ ＝2ln 10²102x ＋3.(3)y ＝sin 4x ＋cos 4x＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x ²cos 2x。

2017-2018学年高中数学人教A版选修2-2：课时跟踪检测(十七) 数学归纳法 Word版含解析

课时跟踪检测（十七）数学归纳法层级一学业水平达标1．设S k＝1k＋1＋1k＋2＋1k＋3＋…＋12k，则S k＋1为()A．S k＋12k＋2B．S k＋12k＋1＋12k＋2C．S k＋12k＋1－12k＋2D．S k＋12k＋2－12k＋1解析：选C因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由S k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，①得S k＋1＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12(k＋1).②由②－①，得S k＋1－S k＝12k＋1＋12(k＋1)－1k＋1＝12k＋1－12(k＋1).故S k＋1＝S k＋12k＋1－12(k＋1).2．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n－1＜n(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了()A．1项B．k项C．2k－1项D．2k项解析：选D当n＝k时，不等式左边的最后一项为12k－1，而当n＝k＋1时，最后一项为12k＋1－1＝12k－1＋2k，并且不等式左边和式的分母的变化规律是每一项比前一项加1，故增加了2k项．3．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则()A．该命题对于n＞2的自然数n都成立B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与k取值无关D．以上答案都不对解析：选B由n＝k时命题成立可推出n＝k＋2时命题也成立，又n＝2时命题成立，根据逆推关系，该命题对于所有的正偶数都成立，故选B.4．对于不等式n2＋n＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2＋k＜k＋1，则当n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2＜(k2＋3k＋2)＋k＋2＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，∴n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法()A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析：选D在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，故选D.5．设f(n)＝5n＋2×3n－1＋1(n∈N*)，若f(n)能被m(m∈N*)整除，则m的最大值为() A．2 B．4C．8 D．16解析：选C f(1)＝8，f(2)＝32，f(3)＝144＝8×18，猜想m的最大值为8.6．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2n＞n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是________．解析：∵210＝1 024＞103,29＝512＜93，∴n0最小应为10.答案：107．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1(n＋1)2＞12－1n＋2，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是____________________________________．解析：观察不等式中分母的变化便知．答案：122＋132＋…＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2＞12－1k＋38．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.解析：当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5；当a＝3且n＝2时，310＋35不能被14整除，故a＝5.答案：59．已知n∈N*，求证1·22－2·32＋…＋(2n－1)·(2n)2－2n·(2n＋1)2＝－n(n＋1)(4n＋3)．证明：(1)当n＝1时，左边＝4－18＝－14＝－1×2×7＝右边．(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时成立，即1·22－2·32＋…＋(2k－1)·(2k)2－2k·(2k＋1)2＝－k(k＋1)(4k＋3)．则当n＝k＋1时，1·22－2·32＋…＋(2k－1)·(2k)2－2k·(2k＋1)2＋(2k＋1)·(2k＋2)2－(2k＋2)·(2k＋3)2＝－k(k＋1)(4k＋3)＋(2k＋2)[(2k＋1)(2k＋2)－(2k＋3)2]＝－k (k ＋1)(4k ＋3)＋2(k ＋1)·(－6k －7)＝－(k ＋1)(k ＋2)(4k ＋7) ＝－(k ＋1)·[(k ＋1)＋1][4(k ＋1)＋3]，即当n ＝k ＋1时成立．由(1)(2)可知，对一切n ∈N *结论成立．10．用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N *)．证明：(1)当n ＝1时，32≤1＋12≤32，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ＞1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ＜12＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)，即n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有n ∈N *都成立．层级二应试能力达标1.凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形对角线的条数f (n＋1)为( )A ．f (n )＋n ＋1B ．f (n )＋nC ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －2解析：选C 增加一个顶点，就增加n ＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f (n ＋1)＝f (n )＋1＋n ＋1－3＝f (n )＋n －1.故应选C.2．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )A.13n ＋2B.13n ＋13n ＋1C.13n ＋1＋13n ＋2D.13n ＋13n ＋1＋13n ＋2解析：选D f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋13n ＋1＋13n ＋2. 3．设平面内有k 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条直线的交点个数为f (k )，则f (k ＋1)与f (k )的关系是( )A ．f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋1B ．f (k ＋1)＝f (k )＋k －1C ．f (k ＋1)＝f (k )＋kD ．f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋2解析：选C当n＝k＋1时，任取其中1条直线记为l，则除l外的其他k条直线的交点的个数为f(k)，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点)；又因为任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同，从而n＝k＋1时交点的个数是f(k)＋k＝f(k＋1)．4．若命题A(n)(n∈N*)n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有()A．命题对所有正整数都成立B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D．以上说法都不正确解析：选C由题意知n＝n0时命题成立能推出n＝n0＋1时命题成立，由n＝n0＋1时命题成立，又推出n＝n0＋2时命题也成立…，所以对大于或等于n0的正整数命题都成立，而对小于n0的正整数命题是否成立不确定．5．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝1－a n＋21－a(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1成立时，左边所得的项为____________．解析：当n＝1时，n＋1＝2，所以左边＝1＋a＋a2.答案：1＋a＋a26．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：①当n＝1时，左边＝20＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1.则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝1－2k＋11－2＝2k＋1－1，所以当n＝k＋1时，等式也成立．由①②知，对任意n∈N*，等式成立．上述证明中的错误是________．解析：由证明过程知，在证从n＝k到n＝k＋1时，直接用的等比数列前n项和公式，没有用上归纳假设，因此证明是错误的．答案：没有用归纳假设7．平面内有n(n∈N*)个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成n2－n＋2部分．证明：(1)当n＝1时，n2－n＋2＝2，即一个圆把平面分成两部分，故结论成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时命题成立，即k个圆把平面分成k2－k＋2部分．则当n＝k＋1时，这k＋1个圆中的k个圆把平面分成k2－k＋2个部分，第k＋1个圆被前k 个圆分成2k 条弧，这2k 条弧中的每一条把它所在的平面部分都分成两部分，这样共增加2k 个部分，故k ＋1个圆把平面分成k 2－k ＋2＋2k ＝(k ＋1)2－(k ＋1)＋2部分，即n ＝k ＋1时命题也成立．综上所述，对一切n ∈N *，命题都成立．8．已知某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n ≥2，数列的前n 项之积为n 2. (1)写出这个数列的前5项；(2)写出这个数列的通项公式并加以证明．解：(1)已知a 1＝1，由题意，得a 1·a 2＝22，∴a 2＝22. ∵a 1·a 2·a 3＝32，∴a 3＝3222.同理，可得a 4＝4232，a 5＝5242.因此这个数列的前5项分别为1,4，94，169，2516.(2)观察这个数列的前5项，猜测数列的通项公式应为： a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1(n ＝1)，n 2(n －1)2(n ≥2).下面用数学归纳法证明当n ≥2时，a n ＝n 2(n －1)2.①当n ＝2时，a 2＝22(2－1)2＝22，结论成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k 2(k －1)2.∵a 1·a 2·…·a k －1＝(k －1)2， a 1·a 2·…·a k －1·a k ·a k ＋1＝(k ＋1)2，∴a k ＋1＝(k ＋1)2(a 1·a 2·…·a k －1)·a k ＝(k ＋1)2(k －1)2·(k －1)2k 2＝(k ＋1)2k 2＝(k ＋1)2[(k ＋1)－1]2.这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立．根据①②可知，当n ≥2时，这个数列的通项公式是 a n ＝n 2(n －1)2.∴这个数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1(n ＝1)，n 2(n －1)2(n ≥2).。

2018版数学新导学同步选修2-2人教A版作业及测试：课时作业2导数的几何意义

②曲线 y＝x3 在点(0,0)处没有切线； ③曲线 y＝ 3 x在点(0,0)处没有切线；
④曲线 y＝2x3 上一点 A(1,2)处的切线斜率为 6.
其中正确命题的序号是________．解析：①f(x)＝ x在点 x＝0 处导数不存在．
②y＝x3 在点(0,0)处切线方程为 y＝0.
③y＝ 3 x在点(0,0)处切线方程为 x＝0.
解析：根据题意可知与直线 x－y－2＝0 平行的抛物线 y＝x2 的切线对应的
切点到直线 x－y－2＝0 的距离最短，设切点坐标为(x0，x20)，则 y′|x＝x0＝li
x0＋Δx2－x20
1
m
Δx→0
Δx
＝2x0＝1，所以 x0＝2，
( )1 1 ，所以切点坐标为 2 4 ，
切点到直线 x－y－2＝0 的距离
答案：A 5．与直线 2x－y＋4＝0 平行的抛物线 y＝x2 的切线方程为( ) A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0 C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0
2
1
解析：由导数定义求得 y′＝2x，
∵抛物线 y＝x2 的切线与直线 2x－y＋4＝0 平行，
∴y′＝2x＝2⇒x＝1，即切点为(1,1)，
当 x0＝－1 时，k＝－2；
当 x0＝3 时，k＝6.
∴所求直线的斜率为－2 或 6.
当 x0＝－1 时，y0＝1，切线方程为 y－1＝－2(x＋1)，即 2x＋y＋1＝0；
当 x0＝3 时，y0＝9，切线方程为 y－9＝6(x－3)，即 6x－y－9＝0. 14．已知抛物线 y＝x2，直线 x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．
解析：由Error!得Error!
∴两曲线的交点坐标为(1,1)．

2018版数学新导学同步选修2-2人教A版课件：1.1.3.1函数的单调性与导数

解析：由函数f(x)的图象知f(x)在(－∞，0)上单调递增， ∴f′(x)>0，故排除A、C.又f(x)在(0，＋∞)上有三个单调区间，故排除B，故选D. 答案：D
类型二利用导数求函数的单调区间 [例2] 求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝x3－2x2＋x； (2)f(x)＝3x2－2lnx.
(2)函数的定义域为(0，＋∞)， 2 3 x －1 2 f′(x)＝6x－x ＝2· x . 3x2－1 令f′(x)>0，即2· x >0， 3 解得x> 3 ；
3x2－1 令f′(x)<0，即2· x <0， 3 解得0<x< 3 .
所以f(x)的单调递增区间为 3 单调递减区间为0， . 3 3 ，＋ ∞ ， 3
综上讨论可知：当a>0时，函数f(x)在(－∞，0)上是增函数； 2 2 在0，a上是减函数，在a，＋∞上是增函数； 2 当a<0时，函数f(x)在－∞，a上是减函数； 2 在a，0上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数.
方法归纳讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准.
(2)函数f(x)的定义域为R. f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)．当0<x<2时，f′(x)>0，所以函数f(x)的单调递增区间为 (0,2)；当x<0或x>2时，f′(x)<0，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞).
类型三求含参数的函数的单调区间 3 [例3] 试讨论函数f(x)＝ax －3x ＋1－a的单调性．

2018版数学新导学同步选修2-2人教A版课件：2.3数学归纳法

答案：1×4＋2×7…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋ 2)2
课堂探究互动讲练
类型一用数学归纳法证明等式
[例 1]
用
数
学
归
纳
法
证
明
：
1 2×4
＋
1 4×6
＋
1 6×8
＋
…
＋
2n×12n＋2＝4nn＋1.
【证明】 (1)当 n＝1 时，左边＝2×1 4＝18，右边＝18，等式成立．
|巩固提升|
1．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n
－1)(n∈N＋)，从 n＝k 推导到 n＝k＋1 时，左边需要增乘的代数
式为( )
A．2(2k＋1)
B．2k＋1
2k＋1 C. k＋1
2k＋3 D. k＋1
解析：当 n＝k 时，等式左端为(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)，当 n ＝k＋1 时，等式左端为(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋k)(k＋k＋1)(2k ＋2)，
跟踪训练 3 在同一平面内的 n 条直线，每两条不平行，任意三条不共点，求证：它们将此平面分成n2＋2n＋2个部分(n∈N*)．
证明：(1)当 n＝1 时，一条直线将平面分成两部分， f(1)＝2， ∴n＝1 时命题成立．
(2)假设 n＝k(k∈N*)时，k 条直线将平面分成k2＋2k＋2个部分．
(2)假设当 n＝k 时，等式成立，即2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2k×12k＋2＝4k＋k 1成立．
当 n＝k＋1 时，
2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2k×12k＋2＋2k＋2×1 2k＋4 ＝4k＋k 1＋4k＋11k＋2＝4kk＋k＋12k＋＋12 ＝4k＋k＋11k＋2 2＝4kk＋＋12＝4[k＋k＋11＋1]. 所以 n＝k＋1 时，等式也成立．由(1)(2)可得，对一切 n∈N*，等式成立.

2018版数学新导学同步选修2-2人教A版：课时作业3几个常用函数的导数含解析

基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ；④⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝12x x.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误； sin π3＝32，而⎝ ⎛⎭⎪⎫32′＝0，所以②错误；⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，所以③错误； ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝(－x 12-)′＝12x 32-＝12x x，所以④正确，故选B.答案：B2．曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为( )A ．1B ．－π4 C.π4 D.5π4解析：∵y ′＝x 2，∴y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝π4.D.⎝ ⎭⎪2解析：因为y ′＝－1x 2，令－1x 2＝－4，得x ＝±12，P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，故选B.答案：B5．曲线y ＝ln x 在点M 处的切线过原点，则该切线的斜率为( ) A ．1 B ．eC ．－1 D.1e解析：设M (x 0，ln x 0)，由y ＝ln x 得y ′＝1x ，所以切线斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝1x 0，所以切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)．由题意得0－ln x 0＝1x 0(0－x 0)＝－1，即ln x 0＝1，所以x 0＝e.所以k ＝1x 0＝1e .故选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，则适合f ′(x )＋1＝g ′(x )的x 值为________．解析：由导数的公式知，f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝3x 2. 因为f ′(x )＋1＝g ′(x )，所以2x ＋1＝3x 2，即3x 2－2x －1＝0，解得x ＝1或x ＝－13.答案：1或－13(3)y ＝x ；(4)y ＝2cos 2x2－1.解析：(1)y ′＝(lg5)′＝0；(2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ln 12；(3)∵y ＝x 2x ＝x 12-2＝x 32，∴y ′＝(x 32)′＝32x 12；(4)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ， ∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .10．在曲线y ＝1x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°. 解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝－2x －3，所以y ′|x ＝x 0＝－2x －30＝tan135°＝－1，即2x －30＝1，所以x 0＝32.将x 0＝32代入曲线方程得y 0＝3164，所以所求P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，3164. |能力提升|(20分钟，40分)11．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n 的值为( )赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321DA1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°DEa +b-aa45°ABE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．DE3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE ＝45°. （1）求线段AB 的长；（2）动点P 从B 出发，沿射线．．BE 运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t ，则t 为何值时，△ABP 为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．ABFEDCF。

2018版数学新导学同步选修2-2人教A版作业及测试：课时作业12定积分在几何中的应用 Word版含解析

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11．以初速度40 m/s竖直向上抛一物体，ts时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为()
A. m B. m
C. m D. m
解析：由v＝40－10t2＝0，得到物体达到最高时t＝2，高度h＝ (40－10t2)dt＝＝ (m)．
答案：A
12．如图，已知点A ，点P(x0，y0)(x0>0)在曲线y＝x2上，若阴影部分面积与△OAP面积相等，则x0＝________.
解析：由题意得∫x00x2dx＝ × ×x0，即 x ＝ x0，
解得x0＝ .
答案：
13．过原点的直线l与抛物线y＝x2－4x所围成图形的面积为36，求l的方程．
解析：由题意可知直线的斜率存在，故设直线l的方程为y＝kx，
则由，
得或 .
(1)当k＋4>0，即k>－4时，
面积S＝∫ (kx－x2＋4x)dx
答案：0.36 J
7．由曲线y2＝x，y＝x2所围图形的面积S＝________.
解析：由得交点的横坐标为x＝0及x＝1.
因此，所求图形的面积为
S＝S曲边梯形OABC－S曲边梯形OABD
＝ dx－ x2dx
＝ x － x3 ＝－＝ .
答案：
8．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则汽车在1分钟内行驶的路程为________．
＝－1(－2x2＋2x＋4)dx
＝＝9，故选B.
答案：B
5．一物体在力F(x)＝3x2－2x＋5(力的单位：N，位移单位：m)的作用下沿与力F(x)相同的方向由x＝5 m运动到x＝10 m，则F(x)做的功为()
A．925 J B．850 J
C．825 J D．800 J

2018版数学新导学同步选修2-2人教A版：课时作业5函数的单调性与导数含解析

|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是()A．y＝sin x B．y＝x e xC．y＝x3－x D．y＝ln x－x解析：B中，y′＝(x e x)′＝e x＋x e x＝e x(x＋1)>0在(0，＋∞)上恒成立，∴y＝x e x在(0，＋∞)上为增函数．对于A、C、D都存在x>0，使y′<0的情况．答案：B2．函数f(x)＝(a2＋1)x＋b在R上()A．单调递增B．单调递减C．有增有减D．单调性与a、b有关解析：f′(x)＝a2＋1>0，∴f(x)在R上单调递增．答案：A3．若函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能为()解析：观察题图可知：当x<0时，f′(x)>0，则f(x)单调递增；当0<x<1时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，即f(x)的图象在x＝0左侧上升，右侧下降．故选C.答案：Cln x，则有()(3)<f(e)<f(2)(2)<f(e)<f(3)∴x∈(0，＋∞)时，答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．函数f (x )＝(x 2＋x ＋1)e x (x ∈R )的单调递减区间为________．解析：f ′(x )＝(2x ＋1)e x ＋(x 2＋x ＋1)e x ＝e x (x 2＋3x ＋2)＝e x (x ＋1)(x ＋2)，令f ′(x )<0，解得－2<x <－1，∴函数f (x )的单调减区间为(－2，－1)．答案：(－2，－1)7．使y ＝sin x ＋ax 为R 上的增函数的a 的取值范围是________．解析：因为y ′＝cos x ＋a ≥0，所以a ≥－cos x 对x ∈R 恒成立．所以a ≥1.答案：[1，＋∞)8．设f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，则a 的取值范围是________．解析：f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝3ax 2＋1.若a >0，则f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)，此时，f (x )只有一个单调区间，与已知矛盾；若a ＝0，则f (x )＝x ，此时，f (x )也只有一个单调区间，亦与已知矛盾；若a <0，则f ′(x )＝3a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－3a ，综上可知a <0时，f (x )恰有三个单调区间．答案：(－∞，0)三、解答题(每小题10分，共20分) 9．求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x －x 3；(2)f (x )＝x 2－ln x . 解析：(1)f ′(x )＝1－3x 2所以函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，22.10．求函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋1的单调区间．解析：f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x .当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)单调递增；当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)单调递减；当－1<a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－a ＋12a则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 时，f ′(x )>0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减． |能力提升|(20分钟，40分)由条件知⎩⎪⎨f ′(3)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－2b ＋c ＝0，27＋6b ＋c ＝0. 解得b ＝－3，c ＝－9. 答案：－3 －913．已知函数f (x )＝ln x －(x －1)22. (1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)证明：当x >1时，f (x )<x －1.解析：(1)f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x ，x ∈(0，＋∞)．由f ′(x )>0得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－x 2＋x ＋1>0，解得0<x <1＋52.故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)．则F ′(x )＝1－x 2x .当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )<0，所以F (x )在(1，＋∞)上单调递减，故当x >1时，F (x )<F (1)＝0，即当x >1时，f (x )<x －1.14．已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)由f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立． ∴a ≥3x 2在x ∈(－1,1)上恒成立．又∵－1<x <1，∴3x 2<3，只需a ≥3.当a ＝3时，f ′(x )＝3(x 2－1)在x ∈(－1,1)上，f ′(x )<0，即f (x )在(－1,1)上为减函数，∴a ≥3.故存在实数a ≥3，使f (x )在(－1,1)上单调递减．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321DA1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +bx -b-ab 45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°DEa+b-aa45°A BE 挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa+b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.A变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．DABFEDCF。

2018版数学新导学同步选修2-2人教A版作业及测试：章末检测卷03

则1－i＝ 1－i ＝ 1－i1＋i ＝2[(2－b)＋(2＋b)i]． z＋2
∵1－i∈R，∴2＋b＝0，∴b＝－2，∴z＝－2i. 答案：D
z
7．若复数 z 满足1＋i＝2i，则 z 对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
z
解析：∵1＋i＝2i， ∴z＝2i(1＋i)＝－2＋2i，故选 B.
答案：B 2－i2
8．复数 z＝ i A．25 B. 41
C．5 D. 5
(i 为虚数单位)，则|z|＝( )
2－i2
解析：z＝ i ＝－4－3i，所以|z|＝－42＋－32＝5.
答案：C a＋2i
9．已知 i ＝b＋i(a，b∈R)，其中 i 为虚数单位，则 a＋b＝( ) A．－1 B．1 C．2 D．3
所以点 A，B 的坐标分别为(2,1)，(0，－1)．所以|AB|＝ 2－02＋1＋12＝2 2. 20．(12 分)设复数 z＝a2＋a－2＋(a2－7a＋6)i，其中 a∈R，问当 a 取何值
2
1
时，－ z
(1)z∈R；(2)z 是纯虚数；(3) ＝28＋4i； (4)z 所对应的点在复平面的第四象限内．解析：(1)z∈R，只需 a2－7a＋6＝0， ∴a＝1 或 a＝6. (2)z 是纯虚数，只需Error! ∴a＝－2.
因为(1＋3i)·(3＋bi)为纯虚数，
所以 3－3b＝0，且 9＋b≠0，所以 b＝1.
答案：1
→
→
AC
BD
15．若复平面上的平行四边形 ABCD 中，对应的复数为 6＋8i，对应
→ DA 的复数为－4＋6i，则对应的复数为________．
→→→→→ AB AD AC AD AB 解析：法一由复数加、减法的几何意义，可得＋＝，－＝

人教A版选修2-2数学归纳法课时作业

------------------------- 天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤劳------------------------------2019-2020 学年人教 A 版选修 2-2数学概括法课时作业1. 用数学概括法证明3n≥n3( n≥ 3, n∈ N* ), 第一步应考证 ()A. 当n=1 时, 不等式建立B. 当n=2 时, 不等式建立C.当n=3 时, 不等式建立D.当n=4 时, 不等式建立分析 : 由题意知n 的最小值为3, 所以第一步应考证当n=3时,不等式建立,应选C.答案:C2.已知 f ( nA.f ( n)共有 n 项,当 n=2时, f (2B.f ( n)共有( n+1)项,当 n=2时, f (2C.f( n)共有( n2-n )项,当 n=2时, f (2D.f( n)共有( n2-n+ 1)项,当 n=2时, f (2分析 : 由题意知 f ( n)的最后一项的分母为n2,故 f (2A, 选项 C.又 f ( n2所以 f ( n)的项数为n -n+1.答案:D3.已知n为正偶数,用数学归纳法证n=k( k ≥2,且为偶数) 时 , 命题为真 , 则还需要用概括假定再证()A. 当n=k+1 时 , 等式建立B. 当n=k+2 时 , 等式建立C.当n=2k+2 时 , 等式建立-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤劳------------------------------分析 : 由于假定n=k( k≥2,且为偶数),所以下一个偶数为k+2,应选B.答案:B4. 用数学概括法证明不等*) n∈N )建立,其初始值起码应取(分析:左侧= n 的最小值是8.答案:B5. 用数学概括法证n=k+1时,等式左边应在 n=k 的基础上加上( )ABCD解析: 当n=k 时, 左边= n=k+1时, 左边=答案:C6. 用数学概括法证明“当n 为正奇数时, x n+y n能被 x+y 整除”,当第二步假定n=2k- 1( k∈N*)命题为真时 , 从而需证n= 时 , 命题为真 .分析 : 由于n为正奇数 , 所以奇数 2k- 1 以后的奇数是 2k+1.答案:2 k+17.在用数学概括法证明“34n+2+52n+1( n∈N* ) 能被 14 整除”的过程中 , 当n=k+1 时 , 式子 34(k+ 1)+2+52( k+1) +1应变形为.答案 : (3 4k+2+52k+1)3 4+52k+1(5 2- 34)8.用数学概括法证明n≥2, n∈N*) .剖析 : 考证当n=2 时不等式建立→假定当n=k 时不等式建立→证明当n=k+1时不等式建立→结论-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤劳------------------------------证明 (1) 当n=2 时 , 左=因.(2)假定当 n=k( k≥2, k∈N*)时,不等式建立,则当 n=k+1时,==所以当 n=k+1时,不等式也建立 .由(1)(2)知,对随意n≥ 2的正整数,不等式都建立.9. 用数学概括法证明1×4+2×7+3×10++n(3 n+1) =n( n+1)2(此中 n∈N*) .证明 (1) 当n=1 时 , 左侧=1×4=4, 右侧=1×22=4, 左侧=右侧 , 等式建立.(2)假定当 n=k( k∈N*)时等式建立,即 1×4+2×7+3×10+ +k(3 k+1) =k( k+1) 2,则当 n=k+1时,1 ×4+2 ×7+3 ×10++k(3 k+1) +( k+1)·[3( k+1) +1] =k( k+1)2 +( k+1)[3( k+1) +1] =( k+1)( k2+4k+4) =( k+1)[( k+1) +1]2, 即当 n=k+1时等式也建立 .依据 (1) 和 (2), 可知等式对任何n∈N*都建立 .能力提高1. 某同学解答“用数学概括法证n∈N*)”的过程以下:证明 : ① 当n=1时, 明显命题是正确的;②假设当 n=k( k ≥1, k ∈* N )时, n=k+1 时k+1) +1,所以当n=k+1时命题是正确的. 由①②可知关于 n∈N*,命题都是正确的. 以上证法是错误的, 错误的原由在于()A. 从n=k到n=k+1 的推理过程中没有使用概括假定B. 假定的写法不正确C.从 n=k 到 n=k+1 的推理不严实D.当 n=1 时, 考证过程不详细答案:A2. 用数学概括法证明“凸( n ≥ 3, ∈ N * ) 边形的内角和公式”时 , 由n=k 到 1 内角和增添了nnn=k+( )A C分析 : 如图 , 由 n=k 到 n=k+1 时, 凸 n 边形的内角和增添的是∠ 1+∠ 2+∠ 3=π , 应选 B.答案:B3. 用数学概括法证明 ( n+1)( n+2) · · ( n+n ) =2n · 1·3· · (2 n- 1), 从 n=k 到 n=k+1, 左侧需要增乘的代数式为 () A.2 k+1 B.2(2 k+1)C解析 : 当 n=k 时 , 等式左边为 ( k+1)( k+2) ·· ( k+k ), 而当n=k+1时 , 等式左边为( k+1+1)( k+1+2) · · ( k+1+k+1) =( k+2) · ( k+3) · · ( k+k+2), 前边少了一项 ( k+1), 后边多了两项 ( k+k+1)( k+k+2), 故增乘的代数式 2k+1) .答案:B4. ★某个与正整数相关的命题 : 若当 n=k ( k ∈ N * ) 时 , 命题建立 , 则能够推出当 n=k+1 时 , 该命题也建立 . 现已知当 n=5 时 , 命题不建立 , 则能够推得 ()A. 当 n=4 时, 命题不建立B. 当 n=6 时, 命题不建立C.当 n=4 时, 命题建立D.当 n=6 时, 命题建立分析 : “若n=k时 , 命题建立 , 则n=k+1 时 , 该命题也建立”的等价命题是“若n=k+1时,命题不建立, 则 n=k 时,命题也不建立 . ”应选 A.答案:A5. ★用数学概括法证明“n3+5n 能被6整除”的过程中, 当n=k+1 时, 式子 ( k+1) 3+5( k+1) 应变形为.分析 : 采纳凑配法 , 凑出概括假定k3+5k 来,( k+1)3+5( k+1) =k3+3k2+3k+1+5k+5=( k3+5k) +3k( k+1) +6.答案 : ( k3+5k) +3k( k+1) +66. 设实数c>0, 整数p>1, n∈ N*.(1)用数学概括法证明 : 当x>- 1, 且x≠0 时 ,(1 +x) p>1+px;(2) 数列 { a } 知足a an+ a >an nn+证明 (1) ①当p=2 时 ,(1 +x) 2=1+2x+x2>1+2x,原不等式建立 .②假定当 p=k( k≥2, k∈N*) 时 , 不等式 (1 +x) k>1+kx建立.则当 p=k+1时,(1 +x)k+1=(1 +x)(1 +x)k>(1 +x)(1 +kx) =1+( k+1) x+kx2>1+( k+1) x. 所以当 p=k+1时,原不等式也建立.综合①②可得 , 当x>- 1, x≠ 0 时, 对全部整数p>1,不等式(1 +x)p>1+px 均建立 .(2)先用数学概括法证明 a n①当 n=1 时, 由题设a a n .②假定当 n=k( k≥1, k∈N*)时,不等式 a k .由 n+a n 0, ∈ N*.a a > n 则当 n=k+1 =由 a k - 1< .由(1) 中的结论+p·k+ a所以当1时, 不等式 a.n综合 ①② 可得 , 对全部正整数 n , 不等式 a n . 所以 a n+.再即n+ 1n综上所述 ,nn+∈ N *.a <a .a >an7. 已知会合{1,2,3},n{1,2,3,,n }( ∈ N * ), 设 n {( , ) 整除 b 或 b 整除 ,∈ , ∈ n }.X= Y =n S = a b |aa a Xb Y 令 f ( n ) 表示会合 S n 所含元素的个数 .(1) 写出 f (6) 的值 ;(2) 当 n ≥6 时, 写出 f ( ) 的表达式 , 并用数学概括法证明.n 解:(1) f (6) =13.(2) 当 n ≥ 6 时 , f ( n *t ∈ N ) .下边用数学概括法证明 :①当 n=6 时, f (6) =6+;② 假设当n=k ( k ≥ 6) 时结论成立 , 那么 n=k+1 时 , S k+1 在S k 的基础上新增加的元素在(1, k+1),(2,k+1),(3, k+1) 中产生 , 分以下情况议论 :1) 若 k+1=6t , 则 k=6( t- 1) +5, 此时有f ( k+1) =f ( k ) +3=k+ =( k+1) +;2) 若 k+1=6t+ 1, 则 k=6t , 此时有f ( k+1) =f ( k ) +1=k+( 1)+ ;= k+3) 若 k+1=6t+ 2, 则 k=6t+ 1, 此时有f ( k+1) =f ( k) +2=k+( 1)+ ;= k+4)若 k+1=6t+ 3,则 k=6t+ 2,此时有f ( k+1) =f ( k) +2=k+=( k+1) +;5)若 k+1=6t+ 4,则 k=6t+ 3,此时有f ( k+1) =f ( k) +2=k+=( k+1) +;6)若 k+1=6t+ 5,则 k=6t+ 4,此时有f ( k+ 1) =f ( k) +1=k+( 1)+ .= k+综上所述 , 结论对知足n≥6的自然数 n 均建立 .。

2018版检测及作业数学新导学同步选修2-2人教A版检测及作业课时作业基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

答案：B
5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2exf′(1)＋3lnx，则f′(1)＝()
A．－3 B．2e
C. D.
解析：因为f′(1)为常数，
所以f′(x)＝2exf′(1)＋，
所以f′(1)＝2ef′(1)＋3，
所以f′(1)＝ .
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
解析：y′＝ ′＝＝，由x －a2＝0，得x0＝±a.
答案：B
4．曲线y＝在点(1,1)处的切线方程为()
A．x－y－2＝0 B．x＋y－2＝0
C．x＋4y－5＝0 D．x－4y－5＝0
解析：y′＝＝－，当x＝1时，y′＝－1，所以切线方程是y－1＝－(x－1)，整理得x＋y－2＝0，故选B.
解析：(1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′
＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′
＝5x4－9x2－10x.
(2)方法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′
＝4x(3x－2)＋3(2x2＋3)＝18x2－8x＋9.
方法二：∵y＝(2x2＋)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，
解析：∵y′＝(e2x)′·cos3x＋e2x·(cos3x)′
＝2e2x·cos3x－3e2x·sin3x，
∴y′|x＝0＝2，∴经过点(0,1)的切线方程为y－1＝2(x－0)，
即y＝2x＋1.
设适合题意的直线方程为y＝2x＋b，
根据题意，得＝，解得b＝6或－4.
∴适合题意的直线方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.
|
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()

人教A版选修2-2 数学归纳法的应用课时作业

人教A版选修2-2 数学归纳法的应用课时作业知识点一用数学归纳法证明整除问题1.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，下列关于步骤(2)的说法正确的个数是( )①假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立；②假设当n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明当n＝k＋2时命题也成立；③假设当n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，证明当n＝2k时命题也成立；④假设当n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，证明当n＝2k＋1时命题也成立．A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析因为n为正奇数，所以步骤(2)应为：假设当n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明当n＝k＋2时命题也成立；也可为：假设当n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，证明当n＝2k ＋1时命题也成立．故②④正确，选B.2．下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是( )A．6＋6·7k B．2＋7k－1C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k)答案 D解析(1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．(2)假设当k＝n(n∈N*)时，3(2＋7n)能被9整除．那么当k＝n＋1时，3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.这就是说，当k＝n＋1时，3(2＋7n＋1)也能被9整除．根据(1)和(2)，可知对任何k∈N*,3(2＋7k)均能被9整除．3．用数学归纳法证明“n∈N*,34n＋2＋52n＋1一定能被14整除”时，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为________．答案81×(34k＋2＋52k＋1)－56×52k＋1解析上一步是假设n＝k时，34k＋2＋52k＋1能被14整除，所以当n＝k＋1时，34(k ＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81×(34k＋2＋52k＋1)－56×52k＋1也能被14整除.知识点二归纳—猜想—证明4.设f(n)＝5n＋2×3n－1＋1(n∈N*)，若f(n)能被m(m∈N*)整除，则m的最大值为( )A．2 B．4 C．8 D．16答案 C解析f(1)＝8，f(2)＝32＝8×4，f(3)＝144＝8×18.猜想m的最大值为8.证明：①当n＝1时，由f(1)＝8知命题成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，即f (k )＝5k ＋2×3k －1＋1能被8整除．那么当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝5k ＋1＋2×3(k ＋1)－1＋1＝5×5k ＋6×3k －1＋1＝(5k ＋2×3k －1＋1)＋4(5k ＋3k －1)＝f (k )＋4(5k ＋3k －1)．这里，5k,3k －1都是奇数，二者的和为偶数，从而4(5k ＋3k －1)能被8整除，又f (k )能被8整除，故f (k ＋1)能被8整除．即当n ＝k ＋1时命题也成立．根据①和②，可知命题对任何n ∈N *都成立．5．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，f (32)＞72，观察上述结果，可推测出一般结论( ) A ．f (2n )＞2n ＋12 B ．f (n 2)≥n ＋22C ．f (2n )≥n ＋22 D ．以上都不对答案 C解析 f (2)＝32，f (4)＝f (22)＞42，f (8)＝f (23)＞52，f (16)＝f (24)＞62，f (32)＝f (25)＞72，所以f (2n )≥n ＋22.故选C.6．设函数y ＝f (x )，对任意实数x ，y 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy .(1)求f (0)的值；(2)若f (1)＝1，求f (2)，f (3)，f (4)的值；(4)在(2)的条件下，猜想f (n )(n ∈N *)的表达式并用数学归纳法证明．解 (1)令x ＝y ＝0，得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＋2×0×0，得f (0)＝0.(2)由f (1)＝1，得f (2)＝f (1＋1)＝f (1)＋f (1)＋2×1×1＝4；f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1)＋2×2×1＝9；f (4)＝f (3＋1)＝f (3)＋f (1)＋2×3×1＝16.(3)由(2)可猜想f (n )＝n 2(n ∈N *)．用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，f (1)＝1＝12显然成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，猜想成立，即f (k )＝k 2，则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＋f (1)＋2k ＝k 2＋1＋2k ＝(k ＋1)2，故当n ＝k ＋1时，猜想也成立．由①②可得，对一切n ∈N *都有f (n )＝n 2成立．1．用数学归纳法证明42n ＋1＋3n ＋2能被13整除，其中n ∈N *.解 (1)当n ＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，则当n ＝k ＋1时，42(k ＋1)＋1＋3k ＋3＝42k ＋1·42＋3k ＋2·3－42k ＋1·3＋42k ＋1·3＝42k ＋1·13＋3·(42k ＋1＋3k ＋2)．∴42k ＋1·13能被13整除，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，∴当n ＝k ＋1时命题也成立．由(1)(2)知，当n ∈N *时，42n ＋1＋3n ＋2能被13整除．2．平面内有n (n ∈N *)个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成n 2－n ＋2部分．证明 (1)当n ＝1时，n 2－n ＋2＝2，即一个圆把平面分成两部分，故结论成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时命题成立，即k 个圆把平面分成k 2－k ＋2部分．则当n ＝k ＋1时，这k ＋1个圆中的k 个圆把平面分成k 2－k ＋2个部分，第k ＋1个圆被前k 个圆分成2k 条弧，这2k 条弧中的每一条把它所在的平面部分都分成两部分，这样共增加2k 个部分，故k ＋1个圆把平面分成k 2－k ＋2＋2k ＝(k ＋1)2－(k ＋1)＋2部分，即n ＝k ＋1时命题也成立．综上所述，对一切n ∈N *，命题都成立．3．证明凸n 边形的对角线的条数f (n )＝12n (n －3)(n ≥4，n ∈N *)．证明 (1)当n ＝4时，f (4)＝12×4×(4－3)＝2，凸四边形有两条对角线，命题成立． (2)假设n ＝k (k ≥4且k ∈N *)时命题成立．即凸k 边形的对角线的条数f (k )＝12k (k －3)(k ≥4)，当n ＝k ＋1时，凸(k ＋1)边形是在k 边形基础上增加了一边，增加了一个顶点，设为A k ＋1，增加的对角线是顶点A k ＋1与不相邻顶点的连线再加上原k 边形一边A 1A k ，共增加了对角线的条数为k －2＋1＝k －1.∴f (k ＋1)＝12k (k －3)＋k －1 ＝12(k 2－k －2) ＝12(k ＋1)(k －2) ＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3]，故当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n ≥4，n ∈N *，命题成立．4．已知f (x )＝bx ＋1ax ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠－1a ，a ＞0，且f (1)＝log 162，f (－2)＝1. (1)求函数f (x )的表达式；(2)已知数列{x n }的项满足x n ＝(1－f (1))(1－f (2))…(1－f (n ))，试求x 1，x 2，x 3，x 4；(3)猜想{x n }的通项公式，并用数学归纳法证明．解 (1)把f (1)＝log 162＝14，f (－2)＝1，代入函数表达式得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋1a ＋12＝14，－2b ＋11－2a 2＝1，即⎩⎨⎧ 4b ＋4＝a 2＋2a ＋1，－2b ＋1＝4a 2－4a ＋1，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫舍去a ＝－13， ∴f (x )＝1x ＋12(x ≠－1)． (2)x 1＝1－f (1)＝1－14＝34， x 2＝34(1－f (2))＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19＝23，x 3＝23(1－f (3))＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116＝58， x 4＝58×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－125＝35. (3)由(2)知，x 1＝34，x 2＝23＝46， x 3＝58，x 4＝35＝610，…，由此可以猜想x n ＝n ＋22n ＋1. 证明：①当n ＝1时，∵x 1＝34，而1＋221＋1＝3 4，∴猜想成立．②假设当n＝k(k∈N*)时，x n＝n＋22n＋1成立，即x k＝k＋22k＋1，则n＝k＋1时，x k＋1＝(1－f(1))(1－f(2))…(1－f(k))(1－f(k＋1)) ＝x k·(1－f(k＋1))＝k＋22k＋1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1k＋1＋12＝k＋22k＋1·k＋1k＋3k＋22＝12·k＋3k＋2＝k＋1＋22[k＋1＋1].∴当n＝k＋1时，猜想也成立，根据①②可知，对一切n∈N*，猜想x n＝n＋22n＋1都成立．5．将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，…，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的结果，并用数学归纳法证明．S1＝1，S2＝2＋3＝5，S3＝4＋5＋6＝15，S4＝7＋8＋9＋10＝34，S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，…解分别计算n＝1,2,3,4时，S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的值，并将结果改写为统一形式，猜测出一般结果，然后用数学归纳法证明即可．由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34；当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44.猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4.那么，当n＝k＋1时，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k ＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4，即当n＝k＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知对于任何n∈N*，S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立．。

人教A版选修2-2 2.3 数学归纳法课时作业

自我小测1．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1时，左边所得的项为( )A ．1B ．1＋a ＋a 2C ．1＋aD ．1＋a ＋a 2＋a 32．用数学归纳法证明“凸n (n ≥3，n ∈N )边形的内角和公式”时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的是( )A ．π2B ．πC ．3π2D ．2π 3．利用数学归纳法证明1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)＜1(n ∈N *，且n ≥2)时，第二步由k 到k ＋1时不等式左端的变化是( )A ．增加了12k ＋1这一项 B ．增加了12k ＋1和12k ＋2两项 C ．增加了12k ＋1和12k ＋2两项，同时减少了1k这一项 D ．以上都不对4．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( )A ．假设n ＝k (k ∈N *)时正确，再推n ＝k ＋1时正确B ．假设n ≤k (k ∈N *)时正确，再推n ＝k ＋2时正确C ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N *)时正确，再推n ＝2k ＋3时正确D ．假设n ＝2k －1(k ∈N *)时正确，再推n ＝2k ＋1时正确5．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立B ．若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立C ．若f (7)＜49成立，则当k ≥8时，均有f (k )＜k 2成立D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立6．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ∈N *且n ＞1)时，假设当n ＝k 时不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是________．7．用数学归纳法证明(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(n ＋n )＝2n －1(n 2＋n )时，从n ＝k 到n ＝k ＋1左边需要添加的因式是________．8．用数学归纳法证明“n 3＋5n 能被6整除”的过程中，当n ＝k ＋1时，对式子(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为__________．9．已知数列{a n }的第一项a 1＝5且S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)．(1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式；(2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式．10．用数学归纳法证明对一切n ∈N *,1＋122＋132＋…＋1n 2≥3n 2n ＋1.参考答案1．B2．解析：如图，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，凸n 边形的内角和增加的是：∠1＋∠2＋∠3＝π，故选B ．答案：B3．解析：不等式左端共有n ＋1项，且分母是首项为n ，公差为1，末项为2n 的等差数列，当n ＝k 时，左端为1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ；当n ＝k ＋1时，左端为1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2，对比两式，可得结论．答案：C4．解析：因为n 为正奇数，据数学归纳法证题步骤知，第二步应先假设第k (k ∈N *)个正奇数成立，本题即假设n ＝2k －1(k ∈N *)时正确，再推第k ＋1个正奇数即n ＝2k ＋1时正确．答案：D5．解析：对于A 项，f (3)≥9，加上题设可推出当k ≥3时，均有f (k )≥k 2成立，故A 项错误．对于B 项，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B 项错误．对于C 项，没有奠基部分，即没有f (8)≥82，故C 项错误．对于D 项，f (4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D 项．答案：D6．1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1＜k ＋1 7．解析：∵当n ＝k 时，左边＝(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，左边＝(1＋1)(2＋2)(3＋3)＋…＋(k ＋k )(k ＋1＋k ＋1)，比较两式可知，由n ＝k 到n ＝k ＋1，左边需添加的因式为(2k ＋2)．答案：2k ＋28．解析：采取凑配法，凑出归纳假设k 3＋5k 来，(k ＋1)3＋5(k ＋1)＝k 3＋3k 2＋3k ＋1＋5k ＋5＝(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6.答案：(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋69．(1)解：a 2＝S 1＝a 1＝5，a 3＝S 2＝a 1＋a 2＝10，a 4＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝5＋5＋10＝20，猜想a n ＝5×2n －2(n ≥2，n ∈N *)．(2)证明：①当n ＝2时，a 2＝5×22－2＝5，猜想成立．②假设当n ＝k 时成立，即a k ＝5×2k －2(k ≥2，k ∈N *)，当n ＝k ＋1时，由已知条件和假设有a k ＋1＝S k ＝a 1＋a 2＋…＋a k ＝5＋5＋10＋…＋5×2k －2＝5＋5(1－2k －1)1－2＝5×2k －1. 故n ＝k ＋1时，猜想也成立．由①②可知，对n ≥2，n ∈N *，有a n ＝5×2n －2，所以数列{a n }的通项a n ＝⎩⎨⎧5，n ＝1，5×2n －2，n ≥2，n ∈N *.10．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝3×12×1＋1＝1，不等式成立． (2)假设当n ＝k 时，不等式成立，即1＋122＋132＋…＋1k 2≥3k 2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，要证1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1，只需证3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2k ＋3. 因为3(k ＋1)2k ＋3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2 ＝34(k ＋1)2－1－1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2(k ＋1)2[4(k ＋1)2－1]＝－k (k ＋2)(k ＋1)2(4k 2＋8k ＋3)≤0，所以3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2k ＋3，即1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时不等式成立．由(1)(2)知，不等式对一切n ∈N *都成立．。

2018版检测及作业数学新导学同步选修2-2人教A版检测及作业课时作业16反证法 Word版检测及作业含解析

答案：A
2．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为()
A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中或都是奇数或至少有两个偶数
解析：恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数(全为奇数)，其二是至少有两个偶数，故选D.
答案：D
3．下列四个命题中错误的是()
解析：“a，b全为0”即是“a＝0且b＝0”，
因此它的反设为“a≠0或b≠0”．
答案：a，b不全为0
7．命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是________________________________________________________________________．
所以ac＋bd≤1，
这与已知ac＋bd>1矛盾，
所以a，b，c，d中至少有一个是负数．
14．若a，b，c均为实数且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋ .求证：a，b，c中至少有一个大于0.
证明：假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，
则有a＋b＋c≤0.
而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，
答案：D
12．完成反证法证题的全过程．
题目：设a1，a2，…，a7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．
证明：假设p为奇数，则________均为奇数．
因奇数个奇数之和为奇数，故有
奇数＝________________
＝________________
③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.