专题2.4 等比数列(练)-2016-2017学年人教版高二数学同步精品课堂(提升版)(原卷版)

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人教新课标版数学高二人教A版必修5同步学案 2.4(第2课时) 等比数列的应用

2.4第二课时等比数列的应用一、课前准备1.课时目标搞清等比数列的应用，利用等比数列的性质解决问题，搞清数列在实际问题中的应用，能解决与数列有关的应用问题，熟练掌握等比数列的性质解决问题2. 基础预测（1）对于正整数,m n ，,p q ，若满足m n p q +=+，则等比数列{}n a 中，满足_______. （2）等比数列{}n a 满足_______是单调递增数列，满足_______时，单调递减数列. （3）在等比数列{}n a 中满足n m >且（,*n m N ∈），则_______. （4）遇到等比数列问题，一般先求_______和_______. 二、基本知识习题化1. 已知各项均为实数的数列{}n a 为等比数列，且满足122412,1a a a a +==，则1()a =. A.9或116 B. 19或16 C. 11916或 D.9或16 2. 在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a =，则3132310log log log a a a +++的值为（）.A.12B.10C.8D. 32log 5+3. 在等比数列{}n a 中，已知7125,a a ⋅=则891011a a a a ⋅⋅⋅等于（）. A.10 B.25 C.50 D.754.已知数列121,,,4a a --成等差，数列1231,,,,4b b b --，成等比数列，则212a ab -的值为（） A.12 B. 12- C. 12-或12D. 14三、学法引领（1）对于等比数列问题，搞清等比数列的通项公式，遇到等比数列问题，要先用等比数列的性质解题，能够用性质解题首先利用性质解题，不能用性质要通过计算求出首项与公比再求解.（2）在等比数列的单调递增与递减问题，注意要由首项与公比同时确定数列是单调递增数列，即当11,0q a >>或101,0q a <<<是单调递增数列，当满足11,0q a ><或101,0q a <<>单调递减数列.（3）利用等比数列解决应用问题，首先要确定公比，再确定首项与项数进行求解.四、典例导析变式练习题型1 等比数列性质的应用例1 已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数. 思路导析：根据等比数列求出前三项，再求出第四项解方程求出四个数.解：依题意可设这四个数分别为:2(4)4d -,4d -,4, 4d +,则由前三个数和为19可列方程得,2(4)44194d d -+-+=,整理得,212280d d -+=,解得2d =-或14d =. ∴这四个数分别为:25,-10,4,18或9,6,4,2.规律总结：对于等比数列与等差数列，在设变量时越少越好，利用解方程求解.变式训练1．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数题型2 等比数列的应用问题例2 2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40%，从2003年开始，计划每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的2%被非绿化.（1）设该县的总面积为1，2002年底绿化面积为a 1=104，经过n 年后绿化的面积为a n +1，试用a n 表示a n +1；（2）求数列{a n }的第n +1项a n +1；（3）至少需要多少年的努力，才能使绿化率超过60%.（lg2=0.3010，lg3=0.4771）思路剖析：当年的绿化面积等于上年被非绿化后剩余面积加上新绿化面积. 解：（1）设现有非绿化面积为b 1，经过n 年后非绿化面积为b n +1. 于是a 1+b 1=1，a n +b n =1.依题意，a n +1是由两部分组成，一部分是原有的绿化面积a n 减去被非绿化部分1002a n 后剩余的面积10098a n ，另一部分是新绿化的面积1008b n ，于是 a n +1=10098a n +1008b n =10098a n +1008（1－a n ）=109a n +252.（2）a n +1=109a n +252，a n +1－54=109（a n －54）.数列{a n －54}是公比为109，首项a 1－54=104－54=－52的等比数列.∴a n +1=54+（－52）（109）n .（3）a n +1＞60%，54+（－52）（109）n ＞53，（109）n ＜21，n （lg9－1）＜－lg2，n ＞3lg 212lg -≈6.5720.至少需要7年，绿化率才能超过60%.规律总结：利用数列解应用问题，要首先审清题意，列出关系式，求出满足的关系式，如果有指数的问题可以求导解决. 变式训练2.某林厂年初有森林木材存量S m 3，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x m 3，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x 的值是A.32S B.34S C.36S D.38S 题型3三等差与等比数列的应用例3 设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ （I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列（II ）求数列{}n a 的通项公式。

高中数学优质课件精选人教版必修五2.4.1等比数列精讲优练课型

(2)定义中“每一项与它的前一项的比”这一运算要求的含义也有两个：其一是作商的顺序，即后面的项比前面的项；其二强调这两项必须相邻. (3)注意定义中要求“同一常数”，否则这个数列不是等比数列.
2.等比数列定义的符号表示
在数列{an}中，若 an1 =q(n∈N*)，q为不为0的常数，则数列{an}是等比数a列n .
ab
【即时小测】 1.判断 (1)等比数列的公比可以为任意实数.( ) (2)若b2=ac，则a，b，c成等比数列.( ) (3)若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比是常数，则这个数列是等比数列.( ) (4)常数列既是等差数列又是等比数列.( )
【解析】(1)错误.等比数列的公比不能为零. (2)错误.如02=3×0，但是3，0，0不成等比数列. (3)错误.这里未强调每一项与前一项的比是同一常数，不符合等比数列的定义，因而是错误的. (4)错误.非零常数列既是等差数列又是等比数列. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
比数列，则p+q的值等于( )
A.6
B.7
C.8
D.9
2.(2015·广东高考)若三个正数a，b，c成等比数列，
其中a=5+2 ，c=5-2 ，则b=________.
6
6
【解题探究】 1.典例1中，如何确定a，b的符号？进一步如何找出关于a，b的等量关系？提示：由a+b=p>0，ab=q>0知a>0，b>0. 2.典例2中，a，b，c满足的关系是什么？提示：b2=ac.
(2)归纳法：
a2=a1q，a3=a2q=a1q2，a4=a3q=a1q3，…， an=an-1q=a1qn-1. (3)累乘法：

人教A版高中同步学案数学选择性必修第二册精品习题课件第四章数列等比数列

3.设等比数列{ }的前项和 = 3−1 + ,则的值为() D
1
1
A.1B.−1C. D.−
3
3
[解析]∵等比数列{ }的前项和 = − + ,∴ = = + ,
= − = ( + ) − ( + ) = ,
= − = ( + ) − ( + ) = ,
2.已知数列{ }满足+1 = 2 + 2,且1 = 1,则() D
A.{ }是等差数列B.{ }是等比数列
C.{ + 1}是等比数列D.{ + 2}是等比数列
[解析]由题意得+ + = + = ( + ),又 + = ,
所以{ + }是首项为3,公比为2的等比数列.
6
log 3 2
5
−1
=____.
[解析]因为{ }是等差数列,且是数列{ }的前项和,
所以 =
( + )

= = ,解得 = ,因为{ }是等比数列,所以
= = ,则

= = −.
又2 = 1 + 1 + 1 = 3,2 + 1 = 4,1 + 1 = 2,所以
+1 +1
+1
所以
= 2满足上式,
= 2对∀ ∈ ∗ 都成立,故数列{ + 1}是首项为2,公比为2的等比数列.
（2）设 = + log 2 ( + 1),求数列{ }的前项和 .
= 2−1 ,或 = (−2)−1 .

2016-2017学年高二数学人教A版必修5第2.4 等比数列含

绝密★启用前2.4 等比数列一、选择题1．【题文】已知1,,,,5a b c 五个数成等比数列，则的值为（）A ．3B ．．52【答案】B【解析】设等比数列的公比为q .由题意得，215b b =⨯⇒=，又2210b q q =⨯=>，所以b =B ．考点：等比数列的性质．【题型】选择题【难度】较易2．【题文】已知数列{}n b 是等比数列，9b 是1和3的等差中项，则216b b =（） A ．16 B ．8 C ．2 D ．4 【答案】D【解析】因为9b 是1和3的等差中项，所以92b =，又数列{}n b 是等比数列，所以221694b b b ==，故选D ．考点：等差、等比数列的性质．【题型】选择题【难度】较易3．【题文】在等比数列 {a n } 中，,3,210275=+=a a a a 则412a a = （） A ．2 B ．21 C ．2或21D ．2-或12- 【答案】C【解析】由等比数列性质知57210=2a a a a =，又2103a a +=，所以21a =，102a =或22a =，101a =，所以1012422a a a a ==或21，故选C ．考点：等比数列性质．【题型】选择题【难度】较易4．【题文】在等比数列{}n a 中，若48,a a 是方程2430x x -+=的两根，则6a 的值是（） A．．．3± 【答案】B【解析】由48,a a 是方程2430x x -+=的两根有484840,3a a a a +=>=，故48,a a 都为正数，而26483a a a ==，所以6a =2640a a q =>，所以6a B. 考点：一元二次方程根与系数的关系，等比数列的性质. 【题型】选择题【难度】一般5．【题文】若等比数列{}n a 的各项均为正数，且310119122e a a a a +=（e 为自然对数的底数），则=+⋅⋅⋅++2021ln ln ln a a a （） A ．20 B ．30 C ．40 D ．50 【答案】B【解析】在等比数列中，q p n m a a a a q p n m =⇒+=+，所以3310119121011101122e e a a a a a a a a +==⇒=，由对数的运算可知1220ln ln ln a a a ++⋅⋅⋅+12201202191011ln()ln[()()......()]a a a a a a a a a =⋅⋅⋅=1031011ln()10lne 30a a ===，故选B.考点：等比数列的性质，对数的运算. 【题型】选择题【难度】一般6．【题文】已知等比数列{}n a 中，3462,16a a a ==，则101268a a a a --的值为（）A ． 2B ． 4C ． 8D ．16 【答案】B【解析】由题意得246516a a a ==，所以54a =±，因为32a =，所以54a =，所以2532a q a ==，所以91141012115768114a a a q a q q a a a q a q--===--，故选B. 考点：等比数列的通项公式的应用. 【题型】选择题【难度】一般7．【题文】各项均为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a 的等比中项为，则27211log log a a +的值为（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】B【解析】由4a 与14a 的等比中项为4148a a =，所以27211271124142log log log log log 83a a a a a a +====，故选B ．考点：等比数列的性质及对数的运算．【题型】选择题【难度】一般8．【题文】已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的首项都是1，公差和公比都是2，则=++432b b b a a a （）A ．24B ．25C ．26D ．27 【答案】B【解析】等比数列}{n b 首项是，公比是，所以2342,4,8b b b ===，等差数列}{n a 首项都是，公差都是，所以2342481311311225b b b a a a a a a a d ++=++=+=+⨯=，故选B ．考点：等差数列与等比数列的应用．【题型】选择题【难度】一般二、填空题9．【题文】在等比数列{}n a 中，21a =，公比1q ≠±．若135,4,7a a a 成等差数列，则6a 的值是．【答案】149【解析】由题意得342231511878778107=+⇒=+⇒-+=⇒=a a a q q q q q q 或21=q （舍去），从而461.49a q ==考点：等比数列的性质与通项公式. 【题型】填空题【难度】较易10．【题文】已知单调递减的等比数列{}n a 满足23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项，则公比q = ，通项公式为n a = .【答案】12；612n -⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由题意得，3243332(2)2(2)288a a a a a a +=+⇒++=⇒=，∴2481208202a a q q q +=⇒+=⇒=或（舍），∴通项公式为63312n n n a a q --⎛⎫== ⎪⎝⎭.考点：等比数列的通项公式及其运算. 【题型】填空题【难度】一般11．【题文】已知数列{}n a 满足()1322n n a a n -=+≥，且1a =2，则n a =__________．【答案】31n -【解析】()11322,2n n a a n a -=+≥=，()31,13111=++=+∴-a a a n n ，即数列{}1+n a 是以3为首项、3为公比的等比数列，则n n a 31=+，即13-=n n a .故填31n -．考点：等比数列，数列的递推公式．【题型】填空题【难度】较难三、解答题12.【题文】等比数列{}n a 中，2766a a +=，36128a a =，求等比数列的通项公式n a . 【答案】12n n a -=或82n n a -=【解析】设等比数列的首项为1a ，公比为，由题意得272727362766,66,2,64128128a a a a a a a a a a +=+==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨===⎩⎩⎩或2764,2.a a =⎧⎨=⎩ ∴55722a q a ==或512，∴2q =或12.∴2122n n n a a q --==或812n -.∴12n n a -=或82n n a -=. 考点：等比数列的通项公式. 【题型】解答题【难度】较易13．【题文】已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （1）求321,,a a a ；（2）求证：数列{1}n a +为等比数列.【答案】（1）,73=a 213,1a a == （2）详见解析【解析】（1）由121n n a a -=+及415a =知432115,a a =+=解得,73=a 同理，.1,312==a a（2）证明：由121+=-n n a a 得2211+=+-n n a a ，)1(211+=+-n n a a ，{}1+∴n a 是以211=+a 为首项，2为公比的等比数列. 考点：数列递推公式，等比数列的定义. 【题型】解答题【难度】一般14.【题文】已知数列{}n a 的前项和为n S ，数列{}n b 中，11b a =，()12n n n b a a n -=-≥，且n n a S n +=.(1)设1n n c a =-，求证：{}n c 是等比数列； (2)求数列{}n b 的通项公式．【答案】(1)证明详见解析 (2)12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】(1)证明：∵n n a S n +=，①∴111n n a S n +++=+，②②−①得111n n n a a a ++-+=，∴121n n a a +=+，∴()1211n n a a +-=-， ∴11112n n a a +-=-，∴{}1n a -是等比数列．∵首项111c a =-，111a a +=. ∴112a =，∴112c =-，∴{}n c 是以12-为首项，12为公比的等比数列． (2)由(1)可知1111222n n n c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴1112nn n a c ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭. ∴当2n ≥时，111111*********n n n n n n n n b a a ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=---=-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.又1112b a ==代入上式也符合，∴b n ＝12n⎛⎫⎪⎝⎭.考点：等比数列的通项公式与性质. 【题型】解答题【难度】较难。

专题2.4 等比数列(课件)-2017-2018学年高二数学同步精品课堂(提升版)(必修五)

(2)1 ，1 ，1 ，1 ，1 ，… 2 4 8 16
(3) 5，5，5，5，5，5，…
当 a1 0, q 1 时，该数列为非零常数列
小结
思考：判断下列等比数列的单调性？
(4) -2，-4，-8，-16，-32，…
当 a1 0, q 1 时，该数列为递减数列当 a 0, 0 q 1 时，该数列为递增数列
2.4 等比数列
一、创设情境
情境一：如下图是某种细胞分裂的模型：
细胞分裂个数可以组成下面的数列：
1 2 4 8 16 …
情境二：折纸
如果能将一张厚度为0.05mm的报纸对折，再对折，
再对折‥‥‥依次对折50次，你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥？
对折
对
对
对
纸的 n
次数
折一次
思考：（1）在右图的直角坐标系中，画出通项公式为 an 2n1 的数列的图像和函数 y 2x1的图像，你发现什么？
图像
二、合作探究
探究四：探究等比数列的函数特征。
例2.已知数列{an}的通项公式 an 2n1 ，求证：{an }是等比数列。
思考：（的数2）列在的直图角像坐和标函系数中y，画(1出)x通1 的项图公像式，为你a发n 现(12什)n么1 ？
二、合作探究
例1．求下列各等比数列的通项公式： (1) a1 2, 且2an1 4an (2) a1 2, a3 8
变式：在等比数列{an}中，a1
2, an
1 32
,公比q
1 2
,
则n?
二、合作探究
探究四：探究等比数列的函数特征。
例2.已知数列{an}的通项公式 an 2n1 ，求证：{an }是等比数列。

人教版数学高二-课时作业 2-4第1课时等比数列

第2章 2.4 第1课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知等比数列{a n }中，a 5＝4，a 7＝6，则a 9等于( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析： ∵a 5＝4，a 7＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 4＝4 ①a 1·q 6＝6 ②②①得q 2＝32a 9＝a 7·q 2＝6×32＝9答案： C2．2＋3和2－3的等比中项是( )A ．1B ．－1C ．±1D ．2解析：等比中项G ＝±(2＋3)·(2－3)＝±1.答案： C3．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝()A ．－12 B ．－2C ．2 D.12解析：根据a n ＝a m ·q n －m ，得a 5＝a 2·q 3.∴q 3＝14×12＝18.∴q ＝12.答案： D4．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( ) A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2解析：由题意知2×12a 3＝a 1＋2a 2 即a 1q 2＝a 1＋2a 1q∴q 2－2q －1＝0∴q ＝1＋2或q ＝1－2(舍)a 9＋a 10a 7＋a 8＝(a 7＋a 8)q 2a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋22，故选C. 答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1，若a m ＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5，则m ＝________. 解析： a m ＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝a 15· q 1＋2＋3＋4＝a 15q 10＝a 1·q 10∴m ＝11.答案： 116．在数列{a n }中，a 1＝2，且对任意自然数n,3a n ＋1－a n ＝0，则a n ＝________.解析：由3a n ＋1－a n ＝0得a n ＋1a n ＝13，∴a n ＝2·⎝⎛⎭⎫13n －1 答案： 2·⎝⎛⎭⎫13n －1 三、解答题(每小题10分，共20分)7．一个等比数列的前三项依次是a,2a ＋2,3a ＋3，则－1312是否是这个数列中的一项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．解析： ∵a,2a ＋2,3a ＋3是等比数列的前三项，∴a (3a ＋3)＝(2a ＋2)2.解得a ＝－1或a ＝－4.当a ＝－1时，数列的前三项依次为－1,0,0，与等比数列定义矛盾，故a ＝－1舍去．当a ＝－4时，数列的前三项依次为－4，－6，－9，则公比为q ＝32，∴a n ＝－4⎝⎛⎭⎫32n －1，令－4⎝⎛⎭⎫32n －1＝－1312，即⎝⎛⎭⎫32n －1＝278＝⎝⎛⎭⎫323，∴n －1＝3，即n ＝4，∴－1312是这个数列中的第4项． 8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知ba n －2n ＝(b －1)S n . 证明：当b ＝2时，{a n －n ·2n －1}是等比数列．证明：由题意知a 1＝2，且ba n －2n ＝(b －1)S n ，ba n ＋1－2n ＋1＝(b －1)S n ＋1，两式相减得b (a n ＋1－a n )－2n ＝(b －1)a n ＋1，即a n ＋1＝ba n ＋2n ①当b ＝2时，由①知a n ＋1＝2a n ＋2n ，于是a n ＋1－(n ＋1)·2n ＝2a n ＋2n －(n ＋1)·2n ＝2(a n －n ·2n －1)．又a 1－1·21－1＝1≠0，所以{a n －n ·2n －1}是首项为1，公比为2的等比数列．尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋5n ，数列{b n }中b 1＝8,64b n ＋1－b n ＝0，问是否存在常数c ，使得对任意的正整数n (n ∈N *)，a n ＋log c b n 恒为常数m ？若存在，求出常数c 和m 的值；若不存在，请说明理由．解析： ∵S n ＝3n 2＋5n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋2，而a 1＝S 1＝8适合上式．∴a n ＝6n ＋2.由64b n ＋1－b n ＝0得b n ＋1b n ＝164， ∴{b n }是首项为8，公比为8－2的等比数列． ∴b n ＝8·(8－2)n －1＝83－2n .假设存在常数c 和m ，使a n ＋log c b n ＝m 恒成立，则6n ＋2＋log c 83－2n ＝m .即(6－2log c 8)n ＋(2＋3log c 8)＝m 对任意n ∈N *恒成立． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 6－2log c 8＝02＋3log c 8＝m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2m ＝11. 故存在常数c ＝2，使对任意n ∈N *，a n ＋log c b n 恒为常数11.。

人教新课标版数学高二-人教A必修5练习 2.4 等比数列(二)

§2.4 等比数列(二)课时目标1．进一步巩固等比数列的定义和通项公式．2．掌握等比数列的性质，能用性质灵活解决问题．1．一般地，如果m ，n ，k ，l 为正整数，且m ＋n ＝k ＋l ，则有a m ·a n ＝a k ·a l ，特别地，当m ＋n ＝2k 时，a m ·a n ＝a 2k .2．在等比数列{a n }中，每隔k 项(k ∈N *)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．3．如果{a n }，{b n }均为等比数列，且公比分别为q 1，q 2，那么数列{1a n }，{a n ·b n }，{b n a n}，{|a n |}仍是等比数列，且公比分别为1q 1，q 1q 2，q 2q 1，|q 1|.一、选择题1．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12答案 C解析在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10.∵a m ＝a 1q m －1＝q m －1，∴m －1＝10，∴m ＝11.2．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于( )A ．3B ．2C ．1D ．－2答案 B解析 ∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2.又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2.3．若a ，b ，c 成等比数列，m 是a ，b 的等差中项，n 是b ，c 的等差中项，则a m ＋c n＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1答案 C解析设等比数列公比为q .由题意知：m ＝a ＋b 2，n ＝b ＋c 2，则a m ＋c n ＝2a a ＋b ＋2c b ＋c ＝21＋q ＋2q 1＋q＝2. 4．已知各项为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( )A ．5 2B ．7C ．6D ．42答案 A解析 ∵a 1a 2a 3＝a 32＝5，∴a 2＝35.∵a 7a 8a 9＝a 38＝10，∴a 8＝310.∴a 25＝a 2a 8＝350＝5013，又∵数列{a n }各项为正数，∴a 5＝5016. ∴a 4a 5a 6＝a 35＝5012＝5 2. 5．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为( )A.43B.34 C ．2 D ．343答案 A解析 ∵a 4a 6＝a 25，∴a 4a 5a 6＝a 35＝3，得a 5＝313. ∵a 1a 9＝a 2a 8＝a 25，∴log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝log 3(a 1a 2a 8a 9)＝log 3a 45＝log 3343＝43. 6．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( ) A.56 B.65 C.23 D.32答案 D解析设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q＋6q ＝5. 解得q ＝26，∴a 5a 7＝1q 2＝(62)2＝32. 二、填空题7．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝16，则a 3＝________.答案 4解析由题意知，q 4＝a 5a 1＝16，∴q 2＝4，a 3＝a 1q 2＝4. 8．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 答案－6 解析由题意知，a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6.∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋4)2＝(a 1＋6)a 1，解得a 1＝－8，∴a 2＝－6.9．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．答案 8解析设这8个数组成的等比数列为{a n }，则a 1＝1，a 8＝2.插入的6个数的积为a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝(a 2a 7)·(a 3a 6)·(a 4a 5)＝(a 1a 8)3＝23＝8.10．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则a 2－a 1b 2的值是________．答案 12解析 ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1， ∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2.若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，∴b 2<0.∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12. 三、解答题11．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数．解设这四个数分别为x ，y,18－y,21－x ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x (18－y )2(18－y )＝y ＋(21－x )，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝6或⎩⎨⎧ x ＝754，y ＝454.故所求的四个数为3,6,12,18或754，454，274，94. 12．设{a n }、{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n ，证明数列{c n }不是等比数列．证明设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠0，q ≠0，p ≠q ，c n ＝a n ＋b n .要证{c n }不是等比数列，只需证c 22≠c 1·c 3成立即可．事实上，c 22＝(a 1p ＋b 1q )2＝a 21p 2＋b 21q 2＋2a 1b 1pq ， c 1c 3＝(a 1＋b 1)(a 1p 2＋b 1q 2)＝a 21p 2＋b 21q 2＋a 1b 1(p 2＋q 2)．由于c 1c 3－c 22＝a 1b 1(p －q )2≠0，因此c 22≠c 1·c 3，故{c n }不是等比数列．能力提升13．若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a 等于( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4答案 D解析依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2b ＝a ＋c ， ①a 2＝bc ， ②a ＋3b ＋c ＝10， ③①代入③求得b ＝2.从而⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝4，a 2＝2c ⇒a 2＋2a －8＝0，解得a ＝2或a ＝－4.当a ＝2时，c ＝2，即a ＝b ＝c 与已知不符，∴a ＝－4.14．等比数列{a n }同时满足下列三个条件：①a 1＋a 6＝11 ②a 3·a 4＝329 ③三个数23a 2，a 23，a 4＋4a依次成等差数列，试求数列{a n }的通项公式．解由等比数列的性质知a 1a 6＝a 3a 4＝329∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 6＝11a 1·a 6＝329解得⎩⎨⎧ a 1＝13a 6＝323求⎩⎨⎧ a 1＝323a 6＝13 当⎩⎨⎧a 1＝13a 6＝323时q ＝2 ∴a n ＝13·2n －1 23a 2＋a 4＋49＝329，2a 23＝329 ∴23a 2，a 23，a 4＋49成等差数列， ∴a n ＝13·2n －1 当⎩⎨⎧ a 1＝323a 6＝13时q ＝12，a n ＝13·26－n 23a 2＋a 4＋49≠2a 23， ∴不符合题意，∴通项公式a n ＝13·2n －1.1．等比数列的基本量是a 1和q ，依据题目条件建立关于a 1和q 的方程(组)，然后解方程(组)，求得a 1和q 的值，再解决其它问题．2．如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明，即存在a n ，a n ＋1，a n ＋2，使a 2n ＋1≠a n ·a n ＋2.3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．。

人教版数学高二A版必修五2.4等比数列同步练习一

2.4《等比数列的性质》作业1、32+和32-的等比中项是（）A. 1B. 1-C. 1±D. 22、在3和9之间插入两个正数，使前3个数成等比数列，后3个数成等差数列，则这两个正数之和为（）A. 227B. 445C. 225D. 447 3、在等比数列{}n a 中，0>n a 且34129,1a a a a -=-=，则54a a +的值为（）A. 16B. 27C. 36D. 814、已知公比为q 的等比数列{}n a ，若*2,2N n a a b n n n ∈+=+，则数列{}n b 是（）A. 公比为q 的等比数列B. 公比为2q 的等比数列C. 公差为q 的等差数列D. 公差为q 的等差数列5、在正项等比数列{}n a 中，991,a a 是方程016102=+-x x 的两个根，则605040a a a 的值为（）A. 32B. 256C. 64±D. 646、若c b a ,,成等差数列，而c b a ,,1+和2,,+c b a 都分别成等比数列，则b 的值为（）A ．16B ．15C ．14D ．127、若正数c b a ,,组成等比数列，则c b a 222log ,log ,log 一定是（）A. 等差数列B.既是等差数列有是等比数列C. 等比数列D. 既不是等差数列也不是等比数列8、在等比数列{}n a 中，已知30,341515=-=+a a a a ，则3a = （）A. 8B. －8C. 8±D. 169、若正项等比数列{}n a 的公比为q ，且1≠q ，653,,a a a 成等差数列，则=++6453a a a a 。

10、设{}n a 是各项均为正数的等比数列，3,3,log 3213212-==++=b b b b b b a b n n ，求n a 。

11、已知等差数列{}n a 的前4项和为10，且732,,a a a 成等比数列，求数列{}n a 的通项公式。

高中数学第二章数列2.4等比数列第1课时等比数列的概念和通项公式优化练习新人教A版必修5(2021

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第1课时等比数列的概念和通项公式［课时作业]［A组基础巩固］1．已知等比数列{a n}中,a1＝32，公比q＝－错误!，则a6等于( ）A．1 B．－1C．2 D.错误!解析：由题知a6＝a1q5＝32×错误!5＝－1，故选B。

答案：B2．已知数列a,a(1－a)，a(1－a)2,…是等比数列,则实数a的取值范围是（）A．a≠1 B．a≠0且a≠1C．a≠0 D．a≠0或a≠1解析：由a1≠0，q≠0，得a≠0，1－a≠0，所以a≠0且a≠1。

答案：B3．在等比数列｛a n}中，a2 016＝8a2 013,则公比q的值为( )A．2 B．3C．4 D．8解析：q3＝错误!＝8，∴q＝2.答案：A4．已知等比数列{a n｝满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于( )A．64 B．81C．128 D．243解析：∵｛a n}为等比数列,∴错误!＝q＝2。

又a1＋a2＝3，∴a1＝1。

故a7＝1×26＝64.答案：A5．等比数列{a n｝各项均为正数，且a1，错误!a3,a2成等差数列，则错误!＝（) A．－错误! B.错误!C。

高中数学2.4等比数列(1)学案新人教版必修

高中数学2.4等比数列（1）学案新人教版必修2、4等比数列（1）学习目标1理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质；2、能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；3、体会等比数列与指数函数的关系、学习过程一、课前准备（预习教材P48 ~ P51，找出疑惑之处）复习1：等差数列的定义？复习2：等差数列的通项公式，等差数列的性质有：二、新课导学※ 学习探究观察：①1，2，4，8，16，…②1，，，，，…③1，20，，，，…思考以上三个数列有什么共同特征？新知：1、等比数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，一项与它的一项的等于常数，那么这个数列就叫做等比数列、这个常数叫做等比数列的，通常用字母表示（q≠0），即：=（q≠0）2、等比数列的通项公式：；；；… … ∴ 等式成立的条件3、等比数列中任意两项与的关系是：※ 典型例题例1 （1）一个等比数列的第9项是，公比是－，求它的第1项；（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项、小结：关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式、例2 已知数列{}中，lg ，试用定义证明数列{}是等比数列、小结：要证明一个数列是等比数列，只需证明对于任意正整数n，是一个不为0的常数就行了、※ 动手试试练1、某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84％、这种物质的半衰期为多长(精确到1年)?练2、一个各项均正的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比（）、A、B、C、D、练3、若直角三角形三边成等比数列，求最小锐角的正弦值。

三、总结提升※ 学习小结1、等比数列定义；2、等比数列的通项公式和任意两项与的关系、※ 知识拓展在等比数列中，⑴ 当，q >1时，数列是递增数列；⑵ 当，，数列是递增数列；⑶ 当，时，数列是递减数列；⑷ 当，q >1时，数列是递减数列；⑸ 当时，数列是摆动数列；⑹ 当时，数列是常数列、※ 当堂检测：1、在为等比数列，，，则（）、A、36B、48C、60D、722、等比数列的首项为，末项为，公比为，这个数列的项数n＝（）、A、3B、4C、5D、63、已知数列a，a（1－a），，…是等比数列，则实数a的取值范围是（）、A、a≠1B、a≠0且a≠1C、a≠0D、a≠0或a≠14、设，，，成等比数列，公比为2，则＝、5、在等比数列中，，则公比q＝、课后作业在等比数列中，1 ，q＝－3，求；2 ，，求和q；3 ，，求；⑷ ，求、夯基达标：1、等比数列,1,,…的第4与第5项是（）A、,1B、,C、,2D、,2、等比数列{an}的第9项为,公比为-，则a1= ( )A、B、36C、436D、3、公差不为零的首长差数列{an+},a2, a3 ,a7成等比数列，则它的公比为（）A、-4B、-2C、2D、-44、若k,2k+2,3k+3是等比数列的前3项，则第4项为 ( )A、12B、-13、5C、13、5D、-275、已知等比数列{an}中，a3=-4,a6=54,则a9=( )A、54B、-81C、-729D、7296、等比数列{an}中，a5-a1=15,a4-a2=6，则a3=___________、7、45和80的等比中项是___________。

人教新课标版数学高二数学必修五练习2-4等比数列的概念及通项公式(第1课)

2.4 等比数列第1课时等比数列的概念及通项公式双基达标 (限时20分钟)1．设等比数列的前三项依次为3，33，63，则它的第四项是( )． A ．1 B.83 C.93 D.1215解析 a 4＝a 3q ＝a 3·a 2a 1＝63×333＝＝30＝1.答案 A2．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( )． A ．64 B ．81 C ．128 D ．243解析由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q ＝3，a 1q ＋a 1q 2＝6，，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2，∴a 7＝a 1q 6＝64，选A.答案 A3．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )．A ．b ＝3，ac ＝9B ．b ＝－3，ac ＝9C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝－3，ac ＝－9解析 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9且b 与首项－1同号，∴b ＝－3，且a ，c 必同号．∴ac ＝b 2＝9.答案 B4．在等比数列{a n }中，若2a 4＝a 6－a 5，则公比q 是________．解析法一由已知得2a 1q 3＝a 1q 5－a 1q 4，即2＝q 2－q ，∴q ＝－1或q ＝2.法二 ∵a 5＝a 4q ，a 6＝a 4q 2，∴由已知条件得2a 4＝a 4q 2－a 4q ，即2＝q 2－q ，∴q ＝－1或q ＝2.答案－1或25．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________.解析由已知(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，得a ＝5，则a 1＝4，q ＝64＝32，a n ＝4·⎝⎛⎭⎫32n －1. 答案 4·⎝⎛⎭⎫32n －1 6．设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝kn 2＋n ，n ∈N *，其中k 是常数．(1)求a 1及a n ；(2)若对于任意的m ∈N *，a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，求k 的值．解 (1)由S n ＝kn 2＋n ，得a 1＝S 1＝k ＋1，a n ＝S n －S n －1＝2kn －k ＋1(n ≥2)．a 1＝k ＋1也满足上式，所以a n ＝2kn －k ＋1，n ∈N *.(2)由a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，得(4mk －k ＋1)2＝(2km －k ＋1)(8km －k ＋1)，将上式化简，得2km (k －1)＝0，因为m ∈N *，所以m ≠0，故k ＝0或k ＝1.综合提高(限时25分钟) 7．下列数列为等比数列的是( )． A ．2,22,222，… B.1a ，1a 2，1a 3，… C ．s －1，(s －1)2，(s －1)3，… D ．0,0,0，…解析 A 项中，222≠22222，∴A 不是；B 项是首项为1a ，公比为1a的等比数列；C 项中，当s ＝1时，数列为0,0,0，…，∴不是；D 项显然不是．答案 B8．设x ∈R ，记不超过x 的最大整数为[x ]，令{x }＝x －[x ]，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫5＋12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋12，5＋12( )． A ．是等差数列但不是等比数列B ．是等比数列但不是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列也不是等比数列解析可分别求得⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫5＋12＝5－12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋12＝1，5－12×5＋12＝1，由等比中项易得⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫5＋12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋12，5＋12三者构成等比数列．答案 B9．数列{a n }中，a 1＝1且a n ＋1＝3a n ＋2，则a n ＝________.解析由a n ＋1＝3a n ＋2得a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，令a n ＋1＝b n 则b n ＋1＝3b n 且b 1＝a 1＋1＝2，∴{b n }是以2为首项，以3为公比的等比数列，∴b n ＝2·3n －1，∴a n ＝b n －1＝2·3n －1－1.答案 2·3n －1－110．已知f (1,1)＝1，f (m ，n )∈N *(m ，n ∈N *)，且对任何m ，n ∈N *，都有：①f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，②f (m ＋1,1)＝2f (m,1)，给出以下三个结论：(1)f (1,5)＝9；(2)f (5,1)＝16；(3)f (5,6)＝26，其中正确的个数是________个．解析 ∵f (1,1)＝1且f (m ＋1,1)＝2f (m,1)，∴数列{f (m,1)}构成以1为首项以2为公比的等比数列，∴f (5,1)＝1·24＝16，∴(2)正确；当m ＝1时，条件①变为f (1，n ＋1)＝f (1，n )＋2，又f (1,1)＝1，∴数列{f (1，n )}是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴f (1,5)＝f (1,1)＋4×2＝9.故(1)正确．∵f (5,1)＝16，f (5，n ＋1)＝f (5，n )＋2，∴{f (5，n )}也成等差数列．∴f (5,6)＝16＋(6－1)·2＝26，∴(3)正确，故有3个正确．答案 3 11．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1.(1)证明：数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明法一因为a n ＋1＝2a n ＋1，所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)．由a 1＝1，知a 1＋1≠0，从而a n ＋1≠0.所以a n ＋1＋1a n ＋1＝2(n ∈N *)．所以数列{a n ＋1}是等比数列．法二 ∵a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1＋1a n ＋1＝2(a n ＋1)a n ＋1＝2(n ∈N *)， ∴数列{a n ＋1}是等比数列．(2)解由(1)知{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列．所以a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，即a n ＝2n －1.12．(创新拓展)已知数列{a n }的前n 项之和为S n ，S n 与a n 满足关系S n ＝2－n ＋2n a n(n ∈N *)． (1)求a n ＋1与a n 的关系式，并求a 1的值；(2)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列，并求{a n }的通项公式； (3)是否存在常数p 使数列{a n ＋1－pa n }为等比数列？若存在，请求出常数p 的值；若不存在，请说明理由．(1)解 ∵S n ＝2－n ＋2n a n① ∴S n ＋1＝2－n ＋3n ＋1a n ＋1② ②－①得a n ＋1＝n ＋2n a n －n ＋3n ＋1a n ＋1，即2(n ＋2)n ＋1a n ＋1＝n ＋2n a n ，即2n ＋1a n ＋1＝1n a n .而a 1＝2－1＋21a 1，∴a 1＝12. (2)证明由(1)知a n ＋1n ＋1＝a n n ·12，而a 11＝12， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以12为首项，以12为公比的等比数列， ∴a n n ＝12·⎝⎛⎭⎫12n －1＝⎝⎛⎭⎫12n ，∴a n ＝n 2n .(3)解 ∵a n ＋1－pa n ＝n ＋12n ＋1－pn 2n ＝(1－2p )n ＋12n ＋1. 由等比数列的通项公式知若{a n ＋1－pa n }是等比数列，则1－2p ＝0，∴p ＝12.。

高中数学(人教版必修5)配套练习：2.4 等比数列第2课时

第二章 2.4 第2课时一、选择题1．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，那么a 4＋a 5＝( ) A ．27 B ．27或－27 C ．81 D ．81或－81[答案] B[解析] ∵q 2＝a 3＋a 4a 2＋a 1＝9，∴q ＝±3，因此a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27或－27.故选B ． 2．如果数列{a n }是等比数列，那么( )A ．数列{a 2n}是等比数列 B ．数列{2a n }是等比数列 C ．数列{lg a n }是等比数列 D ．数列{na n }是等比数列 [答案] A [解析] 设b n ＝a 2n ，则b n ＋1b n ＝a 2n ＋1a 2n ＝(a n ＋1a n)2＝q 2，∴{b n }成等比数列；2a n ＋12a n ＝2a n ＋1－a n ≠常数；当a n <0时lg a n 无意义；设c n ＝na n ，则c n ＋1c n ＝(n ＋1)a n ＋1na n ＝(n ＋1)qn≠常数． 3．在等比数列{a n }中，a 5a 7＝6，a 2＋a 10＝5.则a 18a 10等于( )A ．－23或－32B ．23C ．32D ．23或32[答案] D[解析] a 2a 10＝a 5a 7＝6.由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2a 10＝6a 2＋a 10＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝2a 10＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3a 10＝2. ∴a 18a 10＝a 10a 2＝32或23.故选D ． 4．若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4[答案] D[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋ca 2＝bc 消去a 得：4b 2－5bc ＋c 2＝0，∵b ≠c ，∴c ＝4b ，∴a ＝－2b ，代入a ＋3b ＋c ＝10中得b ＝2，∴a ＝－4.5．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于( )A ．210B ．220C ．216D ．215[答案] B[解析] 设A ＝a 1a 4a 7…a 28，B ＝a 2a 5a 8…a 29， C ＝a 3a 6a 9…a 30，则A 、B 、C 成等比数列，公比为q 10＝210，由条件得A ·B ·C ＝230，∴B ＝210， ∴C ＝B ·210＝220.6．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项[答案] B[解析] 设前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1q n －3，a 1q n －2，a 1q n －1.所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q 3n －6＝4. 两式相乘得，a 61q3(n－1)＝8，即a 21qn －1＝2. 又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n －1＝a n 1qn (n －1)2＝64，即(a 21q n －1)n ＝642，即2n ＝642.所以n ＝12. 二、填空题7．已知1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2b 2的值为________．[答案] 52[解析] 解法一：∵a 1＋a 2＝1＋4＝5， b 22＝1×4＝4，且b 2与1,4同号， ∴b 2＝2.∴a1＋a2 b2＝52.解法二：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，∵1＋3d＝4，∴d＝1，∴a1＝2，a2＝3.∵q4＝4.∴q2＝2.∴b2＝q2＝2.∴a1＋a2b2＝2＋32＝52.8．公差不为零的等差数列{a n}中，2a3－a27＋2a11＝0，数列{b n}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.[答案]16[解析]∵2a3－a27＋2a11＝2(a3＋a11)－a27＝4a7－a27＝0，∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4.∴b6b8＝b27＝16.三、解答题9．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数．[解析]由题意设此四个数为bq，b，bq，a，则有⎩⎪⎨⎪⎧b3＝－82bq＝a＋bab2q＝－80，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝10b＝－2q＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a＝－8b＝－2q＝52.所以这四个数为1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8.10．已知数列{a n}为等比数列，(1)若a3a5＝18，a4a8＝72，求公比q；(2)若a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，a n＝1，求项数n.[解析](1)∵a4a8＝a3q·a5q3＝a3a5q4＝18q4＝72，∴q4＝4，故q＝±2.(2)由a3＋a6＝(a2＋a5)·q，得9＝18q，故q＝12.又∵a2＋a5＝a1q＋a1q4＝18，解得a1＝32.再由a n＝a1q n－1，得1＝32×(12)n－1，解得n＝6.一、选择题1．设等比数列的前三项依次为3，33，63，则它的第四项是()A ．1B ．83C ．93D ．1215[答案] A[解析] a 4＝a 3q ＝a 3·a 2a 1＝63×333＝316×313312＝1.2．已知2a ＝3,2b ＝6,2c ＝12，则a ，b ，c ( ) A ．成等差数列不成等比数列 B ．成等比数列不成等差数列 C ．成等差数列又成等比数列 D ．既不成等差数列又不成等比数列 [答案] A[解析] 解法一：a ＝log 23，b ＝log 26＝log 2 3＋1， c ＝log 2 12＝log 2 3＋2. ∴b －a ＝c －B ．解法二：∵2a ·2c ＝36＝(2b )2，∴a ＋c ＝2b ，∴选A ．3．在数列{a n }中，a 1＝2，当n 为奇数时，a n ＋1＝a n ＋2；当n 为偶数时，a n ＋1＝2a n －1，则a 12等于( )A ．32B ．34C ．66D ．64[答案] C[解析] 依题意，a 1，a 3，a 5，a 7，a 9，a 11构成以2为首项，2为公比的等比数列，故a 11＝a 1×25＝64，a 12＝a 11＋2＝66.故选C ．4．若方程x 2－5x ＋m ＝0与x 2－10x ＋n ＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则mn的值是( )A ．4B ．2C ．12D ．14[答案] D[解析] 由题意可知1是方程之一根，若1是方程x 2－5x ＋m ＝0的根则m ＝4，另一根为4，设x 3，x 4是方程x 2－10x ＋n ＝0的根，则x 3＋x 4＝10，这四个数的排列顺序只能为1、x 3、4、x 4，公比为2、x 3＝2、x 4＝8、n ＝16、m n ＝14；若1是方程x 2－10x ＋n ＝0的根，另一根为9，则n ＝9，设x 2－5x ＋m ＝0之两根为x 1、x 2则x 1＋x 2＝5，无论什么顺序均不合题意．二、填空题5．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6则成等比数列，则此未知数是__________．[答案] 3或27[解析] 设此三数为3、a 、b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3＋b (a －6)2＝3b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15b ＝27. ∴这个未知数为3或27.6．a ，b ，c 成等比数列，公比q ＝3，又a ，b ＋8，c 成等差数列，则三数为__________． [答案] 4,12,36[解析] ∵a ，b ，c 成等比数列，公比q ＝3，∴b ＝3a ，c ＝9a ，又a ，b ＋8，c 成等差数列，∴2b ＋16＝a ＋c ，即6a ＋16＝a ＋9a ，∴a ＝4，∴三数为4,12,36. 三、解答题7．等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }前20项的和S 20. [解析] 设数列{a n }的公差为d ，则 a 3＝a 4－d ＝10－d ，a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d ， a 10＝a 4＋6d ＝10＋6D ．由a 3，a 6，a 10成等比数列得，a 3a 10＝a 26，即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2，整理得10d 2－10d ＝0，解得d ＝0，或d ＝1.当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200；当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7，因此，S 20＝20a 1＋20×192d ＝20×7＋190＝330.8．设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝kn 2＋n ，n ∈N *，其中k 是常数． (1)求a 1及a n ；(2)若对于任意的m ∈N *，a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，求k 的值． [解析] (1)由S n ＝kn 2＋n ，得a 1＝S 1＝k ＋1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2kn －k ＋1. 经验证，n ＝1时，上式也成立，∴a n＝2kn－k＋1.(2)∵a m，a2m，a4m成等比数列，∴a22m＝a m·a4m，即(4mk－k＋1)2＝(2km－k＋1)(8km－k＋1)，整理得mk(k－1)＝0.∵对任意的m∈N*成立，∴k＝0或k＝1.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

浙江省宁波市兴宁中学高中数学五：2.4等比数列随堂练习

2.4等比数列练习教学目标： 1、理解等比数列的概念；2、探索并掌握等比数列的通项公式。

教学重点：等比数列的通项公式。

教学难点：等比数列的定义。

一、新知测评：1。

等比数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，一项与它的一项的等于常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ,通常用字母表示(q ≠0），即:1nn a a -=（q ≠0）2。

等比数列的通项公式：21a a = ； 3211()a a q a q q a === ；24311()a a q a q q a === ； … …∴11n n a a q a -==⋅ 等式成立的条件3。

等比数列中任意两项n a 与ma 的关系是：4. 等比中项定义：如果在a 与b 中间插入一个数G,使a ，G ，b 成等比数列,那么称这个数G 称为a 与b 的等比中项。

即G= （a ，b 同号)。

试试：数4和6的等比中项是。

二、等比数列应用测评1. 在{}n a 为等比数列,112a =，224a =，则3a =（）。

A 。

36 B 。

48 C. 60 D. 722. 等比数列的首项为98,末项为13，公比为23，这个数列的项数n ＝( ）.A 。

3 B. 4 C 。

5 D. 63. 已知数列a ，a （1－a )，2(1)a a -，…是等比数列，则实数a 的取值范围是（）.A. a ≠1B. a ≠0且a ≠1C 。

a ≠0 D. a ≠0或a ≠14。

设1a ， 2a ，3a ，4a 成等比数列，公比为2,则123422a a a a ++＝ . 5. 在等比数列{}n a 中,4652a a a =-，则公比q ＝ .6在等比数列{}n a 中， ⑴ 427a =,q ＝－3,求7a ； ⑵ 218a =，48a =，求1a 和q ； ⑶ 44a =，76a =，求9a ； ⑷ 514215,6a a a a -=-=，求3a拓展提升:已知｛n a ｝、｛n b }是项数相同的等比数列，求证:{n a ·n b ｝，{c n a ｝（c 为非零常数)是等比数列．。

专题2.4 等比数列-高二数学人教版(必修5)

2.4 等比数列一、等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于_____________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(0)q ≠．定义也可叙述为：在数列{}n a 中，若1(n na q q a +=为常数且0)q ≠，则{}n a 是等比数列．二、等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么____________叫做a 与b 的等比中项．三、等比数列的通项公式设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则这个等比数列的通项公式是1__________(,0)n a a q =≠．四、等比数列与指数函数 1．等比数列的图象等比数列{}n a 的通项公式11n n a a q -=还可以改写为1nn a a q q=⋅，当1q ≠且时，是指数函数，是指数型函数，因此数列{}n a 的图象是函数的图象上一些孤立的点．例如，教材第50页【探究】（2），12n n a -=的图象如下图所示．2．等比数列的单调性已知等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则10a ≠x y q =1x a y q q =⋅1x ay q q=⋅①当101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩时，{}n a 是______________数列；②当1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩时，{}n a 是______________数列；③当1q =时，{}n a 为常数列；④当0q <时，{}n a 为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号．一、同一常数二、G三、11n a q- 四、递增递减帮—重点等比数列的定义、通项公式、性质的理解与简单应用帮—难点灵活应用等比数列的定义及性质解决一些相关问题帮—易错对等比数列的定义理解不深刻、忽略等比数列问题中的隐含条件1．等比数列的判定与证明判断数列{}n a 是否为等比数列的方法：（1）定义法：判断1n na a +是否为常数；（2）等比中项法：判断1*1(2,)n n n n a an n a a +-=≥∈N 是否成立；（3）通项公式法：若数列{}n a的通项公式形如(0)nn a tq tq =≠，则数列{}n a 是等比数列．（1）若{}n a 的通项公式为，试判断数列{}n a 是否为等比数列．（2）若成等比数列，均不为零，求证：成等比数列．(0)n a ≠212n n a -=,,,a b c d ,,a b b c c d +++,,a b b c c d +++【答案】（1）{}n a 是等比数列，证明见解析；（2）成等比数列，证明见解析．【解析】（1），4为非零常数，由定义可知{}n a 是等比数列．（2）由成等比数列，可设，因为均不为零，所以，所以成等比数列．【名师点睛】不能仅由数列的前有限项成等比数列得出数列是等比数列，而要否定一个数列是等比数列，只需得到其连续三项不成等比数列即可． 2．等比数列的通项公式及应用（1）在等比数列{}n a 中，若则n a =______________；（2）在等比数列{}n a 中，已知若，则n =______________．【答案】（1）22n -；（2）10．【解析】（1）方法1：因为，所以，两式相除得，即，于是，所以．方法2：因为，所以，即，所以．（2）方法1：因为，两式相除得，所以，由，可得，解得．方法2：因为，所以，由可得，由，可得，解得．【名师点睛】（1）已知数列{}n a 为等比数列时，可利用条件构建方程（组）求出基本量与，即可写出数列{}n a 的通项公式；（2）当已知等比数列{}n a 中的某项，求出公比后，可绕过求而直接写出其通项公式，即．,,a b b c c d +++2(1)121212242n n n n a a +-+-===,,,a b c d (0)b c dq q a b c===≠,,a b b c c d +++b c c dq a b b c++==++,,a b b c c d +++474,32,a a ==253636,72,a a a a +=+=1024n a =47432a a =⎧⎨=⎩3161432a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩38q =2q =41334122a a q ===11211222n n n n a a q ---==⨯=37432a a q ==38q =2q =4424422n n n n a a q---==⨯=425112536113672a a a q a q a a a q a q ⎧+=+=⎪⎨+=+=⎪⎩2q =12a =1024n a =1112221024n n na q --=⨯==10n =3625()a a q a a +=+2q =41136a q a q +=12a =1024n a =1112221024n n na q --=⨯==10n =1a q q 1a (,)n m n m a a q m n -=∈*N3．等比数列的性质的应用若数列{}n a 是公比为的等比数列，由等比数列的定义可得等比数列具有如下性质：（1）若，则；若，则．推广：若，则．（2）若成等差数列，则成等比数列．（3）数列仍是公比为的等比数列；数列是公比为的等比数列；数列是公比为的等比数列；若数列是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列．（4）成等比数列，公比为．（5）连续相邻项的和（或积）构成公比为或的等比数列．已知等比数列满足（1）若则______________；（2）若，则当时，______________．【答案】（1）6；（2）2n ．【解析】（1）方法1：因为由等比数列的性质可得，所以方法2：由等比数列的性质知成等比数列，所以，所以．（2）方法1：由得又所以故．q m n p q +=+m n p q a a a a =2m n r +=2(,)m n r a a a m n,p,q,r =∈*N 1211;n n i n i a a a a a a -+-===①②m n t p q r ++=++m n t p q r a a a a a a =,,m n p ,,m n p a a a {}(0)n a ≠λλq 1{}n a 1q{}||n a ||q {}n b q'{}n n a b qq'23,,,,k k m k m k m a a a a +++mq k (kq 2)k q {}n a 0,n a >1237894,9,a a a a a a ==456a a a =25253(3)nn a a n -⋅=≥1n ≥3133321log log log n a a a -+++=31231322789798()4,()a a a a a a a a a a a a a ====389,a ==12328536a a a ==133324564655()366.a a a a a a a ⨯====123456789,,a a a a a a a a a 123789a a a a a a ⋅=2456()a a a 456496a a a ⨯=25253n n a a -⋅=，42622221113n n n a q a q a q --⋅==，0,n a >113n na q -=，313332131321log log log log ()n n a a a a a a --+++==022231log []n n a q +++-=(1)1231313log []log ()log (3)n n n n n n n a q a q n --===方法2：由等比数列的性质，得由于所以所以【名师点睛】在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算，往往是建立关于的方程组，但这样解起来很麻烦，若能避开求，直接利用等比数列的性质求解，则比较简捷，同时在应用等比数列的性质时，需注意等比数列性质成立的前提条件． 4．由递推公式构造等比数列求数列的通项公式（1）形如的递推关系式 ①利用待定系数法可化为，当时，数列是等比数列；②由，两式相减，得当时，数列是公比为的等比数列．（2）形如的递推关系式除利用待定系数法直接化归为等比数列外，也可以两边同时除以，进而化归为等比数列．（1）在数列{}n a 中，则数列{}n a 的通项公式为n a =______________；（2）在数列{}n a 中，则数列{}n a 的通项公式为n a =______________．【答案】（1）1433n -⨯-；（2）113(23)n n -+-．【解析】（1）方法1：令即与比较得，又，故数列{3}n a +是以4为首项，3为公比的等比数列，所以，所以方法2：因为所以所以所以1{}n n a a +-是等比数列，首项公比，所以即，即225253,n n n a a a -⋅==0,n a >3nn a =，23133321log log log 13(21).n a a a n n -+++=+++-=1a q ,1a q ,1(1,0)n n a pa q p pq +=+≠≠1n a +-()11n q q p a p p =---101q a p -≠-{}1n q a p--1n n a pa q +=+1(2)n n a pa q n -=+≥，11()n n n n a a p a a +--=-，210a a -≠1{}n n a a +-p +1(,0)nn n a ca d c d cd =+≠≠1n d +111,36,n n a a a +==+1111,63,n n n a a a ++==+13(),n n a k a k ++=+132,n n a a k +=+136n n a a +=+3k =134a +=1343n n a -+=⨯143 3.n n a -=⨯-136,n n a a +=+136(2),n n a a n -=+≥113()(2)n n n n a a a a n +--=-≥，2111136268,a a a a a -=+-=+=3q =1183,n n n a a -+-=⨯13683n n n a a -+-=⨯143 3.n n a -=⨯-（2）方法1：令即与比较可得，又，所以{3}nn a +是以4为首项，6为公比的等比数列，所以，即方法2：由，两边同时除以得由待定系数法易得故数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以即【名师点睛】当已知数列不是等比数列时，往往需要利用待定系数法构造与之相关的等比数列．利用等比数列的通项公式，求出包含n a 的关系式，进而求得n a ． 5．忽略等比数列中所有项不为零导致错误已知等比数列{}n a 的前三项分别为,22,33a a a ++，则a =______________．【答案】4-【错解】因为22a +为a 与33a +的等比中项，所以2(22)(33)a a a +=+，解得1a =-或4-．【错因分析】若1a =-，则,22,33a a a ++这三项为1,0,0-，不符合等比数列的定义．【正解】因为22a +为a 与33a +的等比中项，所以2(22)(33)a a a +=+，解得1a =-或4-．由于1a =-时，220a +=，330a +=，所以1a =-应舍去，故4a =-．【名师点睛】因为等比数列中各项均不为零，所以解题时一定要注意将所求结果代入题中验证，若所求结果使等比数列中的某些项为零，则一定要舍去． 6．忽略等比数列中项的符号导致错误在等比数列{}n a 中，246825a a a a =，则19a a =______________．【答案】5【错解】因为{}n a 为等比数列，所以192846a a a a a a ==，由246825a a a a =可得219()25a a =，故195a a =±．【错因分析】错解中忽略了在等比数列中，奇数项或偶数项的符号相同这一隐含条件．1136(3),n n n n a k a k +++⋅=+⋅1163,n n n a a k ++=+⋅1163n n n a a ++=+1k =1134a k +⋅=1346n n n a -+=⨯1114633(23).n n n n n a --+=⨯-=-1163n n n a a ++=+13n +1121,33n nn na a ++=⋅+1112(1),33n n n n a a +++=+{1}3n n a +114133a +=141233n n n a -+=⨯，113(23).n n n a -+=-【正解】因为{}n a 为等比数列，所以192846a a a a a a ==，由246825a a a a =可得219()25a a =，故195a a =±．又在等比数列中，所有的奇数项的符号相同，所以190a a >，所以195a a =．【名师点睛】在等比数列中，奇数项或者偶数项的符号相同．因此，在求等比数列的某一项或者某些项时要注意这些项的正负问题，要充分挖掘题目中的隐含条件．1．在等比数列{}n a 中，若11a =，464a =，则公比q = A ．1 B ．2 C ．4D ．82．已知1-，x ，4成等比数列，则x = A ．2B ．52-C ．2或2-D 2或2-3．在等比数列{}n a 中，若48a =-，公比2q =，则8a = A ．128 B ．128- C ．64D ．64-4．在等比数列{}n a 中，若11a =，516a =，则3a = A ．2B ．4-C ．4或4-D ．45．已知1,,,,5a b c 五个数成等比数列，则b 的值为 A ．3B 5C ．5±D ．526．已知等比数列{}n a 满足375a a +=，则2446682a a a a a a ++= A ．5 B ．10 C ．20D ．257．已知等比数列{}n a 中，3462,16a a a ==，则的值为A ．2B ．4C ．8D ．168．若a ，b ，c 成等比数列，则关于x 的方程20ax bx c ++= A ．必有两个不等实根 B ．必有两个相等实根 C ．必无实根D ．以上三种情况均有可能9．已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，且1a ，2a ，5a 成等比数列，其前n 项和为n S ，则8S = A ．36 B ．49 C ．64D ．8110．在等比数列{}n a 中，已知11a =，48a =-，则n a =______________．11．已知数列{}n a 满足13n n a a +=，且2469a a a ++=，则15793log ()a a a ++=______________．12．某计算机病毒开机时占据2M 内存，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机______________秒，该病毒占据64 G 内存 (1G ＝210M)． 13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1(1)()3n n S a n =-∈*N ．（1）求1a ，2a ；（2）求证：数列{}n a 是等比数列．101268a a a a --14．已知数列{}n a 为等差数列且公差，{}n a 的部分项组成下列数列：恰为等比数列，其中，求．15．已知数列{}n a 与等比数列{}n b 满足．（1）试判断{}n a 是何种数列；（2）若，求．0d ≠12,,,n k k k a a a 1231,5,17k k k ===n k 3()n an b n =∈*N 813a a m +=1220b b b16．各项均为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a 的等比中项为2227211log log a a +的值为A ．4B ．3C ．2D ．117．若数列{}n a 满足12a =，21n n a a +=，且0n a >，则n a =A ．210n -B ．110n -C ．1210n -D ．122n -18．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的首项都是1，公差和公比都是2，则A ．24B ．25C ．26D ．2719．已知实数a 1，a 2，b 1，b 2，b 3满足数列1，a 1，a 2，9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3，9是等比数列，则212b a a =+ A ．310±B ．310C ．310-D ．120．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且310119122e a a a a +=（e 为自然对数的底数），则12ln ln a a ++⋅⋅⋅+20ln a =A ．50B ．40C ．30D ．2021．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若161133a a a ⋅⋅=-，16117b b b ++=π，则3948tan1b b a a +=-⋅A ．1B ．22C ．22-D ．3-=++432b b b a a a22．已知数列{}n a 满足132(2)n n a a n -=+≥，且12a =，则n a =______________． 23．已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+，则n a =______________． 24．已知成等差数列，成等比数列，则______________． 25．已知单调递减的等比数列{}n a 满足23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项，则数列{}n a 的通项公式n a =______________．26．已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，且2a ，31a +，4a 成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21221log log n n n b a a ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．1,,,4a b --1,,,,4m n t --b an-=27．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，在数列{}n b 中，11b a =，1(2)n n n b a a n -=-≥，且n n a S n +=．（1）设1n n c a =-，求证：{}n c 是等比数列；（2）求数列{}n b 的通项公式．28．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，2212(1)n n n S n a n a +=+-，数列{}n b 满足12n a n n b b λ+=⋅，且11b =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在正实数λ，使得数列{}n b 为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．29．【2019年高考全国Ⅲ卷理数文数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8 C ．4D ．230．【2018年高考北京卷文数】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率f ，则第八个单音频率为 A 32B 322C ．1252D ．127231．【2017年高考北京卷理数】若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11–1a b ==，448a b ==，则22a b =______________．32．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】设等比数列{}n a 满足a 1+a 2=–1,a 1–a 3=–3，则a 4=______________． 33．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和．34．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-．（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列；（2）求{a n }和{b n }的通项公式．35．【2019年高考北京卷文数】设{}n a 是等差数列，a 1=–10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记{}n a 的前n 项和为S n ，求S n 的最小值．36．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知数列{}n a 满足11a =，12(1)n n na n a +=+，设nn a b n=．（1）求1b ，2b ，3b ；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式．37．【2016年高考全国Ⅲ卷文数】已知各项都为正数的数列{}n a 满足，．（1）求；（2）求{}n a 的通项公式．11a =21(21)n n n a a a +---120n a +=23,a a1．【答案】C【解析】由题可得34164a q a ==，解得4q =．故选C ． 2．【答案】C【解析】由题可得24x =，解得2x =±．故选C ． 3．【答案】B【解析】由题可得448482128a a q ==-⨯=-．故选B ．4．【答案】D【解析】由题可得2316a =，又3a 与1a 同号，所以34a =．故选D ．5．【答案】B【解析】设等比数列的公比为q ．由题意得，2155b b =⨯⇒=，又2210b q q =⨯=>，所以5b =B ．6．【答案】D【解析】因为等比数列{}n a 满足375a a +=，所以根据等比数列的性质可得2446682a a a a a a ++=2223377372()25a a a a a a ++=+=．故选D ．7．【答案】B【解析】由题意得246516a a a ==，所以54a =±，因为32a =，所以54a =，所以2532a q a ==，所以91141012115768114a a a q a q q a a a q a q--===--，故选B ． 8．【答案】C【解析】因为a ，b ，c 成等比数列，所以0a ≠且20b ac =>，则2430b ac ac ∆=-=-<，所以方程20ax bx c ++=无实数根．故选C ． 9．【答案】C【解析】因为数列{}n a 是公差为2的等差数列，所以122a a =-，526a a =+，又1a ，2a ，5a 成等比数列，所以221522(2)(6)a a a a a ==-+，解得23a =，故11a =，88782642S ⨯=+⨯=．故选C ． 10．【答案】1(2)n --【解析】因为11a =，48a =-，所以318q ⨯=-，解得2q =-，故1(2)n n a -=-．11．【答案】−5【解析】因为13n n a a +=，所以数列{}n a 是以3为公比的等比数列，335579246()393a a a q a a a ∴++=++=⨯=，∴15793log ()5a a a ++=-．12．【答案】45【解析】由题意可知每3秒病毒占据的内存容量构成一个等比数列，设病毒占据64G 内存时共复制了n 次，则1016226422n ⨯=⨯=，所以15n =，从而开机45秒，该病毒占据64 G 内存． 13．【答案】（1）112a =-，214a =；（2）证明见解析．【解析】（1）由()11113S a =-，得()11113a a =-，所以112a =-．又()22113S a =-，所以()122113a a a +=-，解得214a =．（2）当2n ≥时，1111(1)(1)33n n n n n a S S a a --=-=---，即112n n a a -=-，又2112a a =-，所以{}n a 是首项为12-，公比为12-的等比数列．14．【答案】1231n n k -=⋅-．【解析】由题意有，即，所以，由化简可得，所以，所以等比数列的公比，由于是等差数列{}n a 的第k n 项，且是等比数列的第n 项，故，所以．15．【答案】（1）数列{}n a 是以为公差的等差数列；（2）103m ．2132k k k a a a =25117a a a =2111(4)(16)a d a a d +=+0d ≠12a d =5146a a d d =+=2151632k k a a d q a a d====n k a ()1111n n k n k a a k d a q-=+-=111(1)1231n n n a q k d---=+=⋅-3log q【解析】（1）设数列{}n b 的公比为，则，因为，所以，所以．方程两边取以3为底的对数，得．由于，所以数列{}n a 是以为公差的等差数列．（2）因为，所以=10m ，所以．16．【答案】B【解析】由4a 与14a 的等比中项为224148a a =，所以27211271124142log log log log log 83a a a a a a +====，故选B ． 17．【答案】D【解析】因为数列{}n a 满足12a =，21n na a +=且0n a >，所以212122log log 2log 2log n n n na a a a ++=⇒=，所以2{log }n a 是公比为2的等比数列，所以112221log log 22n n n n a a a --=⋅⇒=．故选D ． 18．【答案】B【解析】等比数列}{n b 首项是1，公比是2，所以2342,4,8b b b ===，等差数列{}n a 的首项是1，公差是2，所以2342481311311225b b b a a a a a a a d ++=++=+=+⨯=，故选B ． 19．【答案】B【解析】因为数列1，a 1，a 2，9是等差数列，所以121910a a +=+=．因为数列1，b 1，b 2，b 3，9是等比数列，所以2219b =⨯，再由题意可得2210b q =⨯>(q 为等比数列的公比)，所以23b =，则212310b a a =+，故选B ．20．【答案】C【解析】在等比数列中，q p n m a a a a q p n m =⇒+=+，q 0q >3n an b =113ab =1133n aan n b q -=⋅=11313log (3)(1)log an n a q a n q -=⋅=+-113133[log ][(1)log ]log n n a a a n q a n q q +-=+-+-=3log q 120813a a a a m +=+=1220a a a +++=()120202a a +2012201210122033333a a a a a a m b b b +++===所以3310119121011101122e e a a a a a a a a +==⇒=，由对数的运算可知1220ln ln ln a a a ++⋅⋅⋅+12201202191011ln()ln[()()()]a a a a a a a a a =⋅⋅⋅=1031011ln()10ln e 30a a ===，故选C ．21．【答案】D【解析】因为数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，且161133a a a ⋅⋅=-16117b b b ++=π，所以336(3)a =-，637πb =，所以63a =-，67π3b =，故396248627πtan tan tan()113b b b a a a +==--⋅-ππtan(2π)tan 333=--=-=-D ．22．【答案】31n -【解析】1132(2),2n n a a n a -=+≥=，1113(1),13n n a a a -∴+=++=，即数列{1}n a +是以3为首项、3为公比的等比数列，则n n a 31=+，即13-=nn a ．23．【答案】21n -【解析】因为，所以，由，知，从而．所以，所以数列{1}n a +是首项为2等比数列，公比为2的等比数列，所以，故21nn a =-．24．【答案】【解析】因为成等差数列，设公差为，所以，因为成等比数列，所以，即，由于与同号，所以，所以，所以． 25．【答案】612n -【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，有3242()2a a a =++ ①，又23428a a a ++=，将①式代入得38a =，所以2420a a +=，121n n a a +=+112(1)n n a a ++=+11a =110a +≠10n a +≠112()1n n a n a ++=∈+*N 11222n n n a -+=⨯=121,,,4a b --d 4(1)141b a d ----===--1,,,,4m n t --2(1)(4)4n =-⨯-=2n =±n 1,4--0n <2n =-1122b a n --==-所以31121208a q a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得122a q =⎧⎨=⎩或13212a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，又{}n a 为递减数列，所以132a =，12q =，所以161132()22n n n a --=⨯=． 26．【答案】（1）12n n a -=；（2）1n n T n =+．【解析】（1）因为数列{}n a 是公比为2的等比数列，所以212a a =，314a a =，418a a =，因为2a ，31a +，4a 成等差数列，所以324()21a a a +=+，即111(4)2182a a a +=+，解得11a =，所以12n n a -=．（2）由（1）可得21221111log log (1)1n n n b a a n n n n ++===-⋅++，所以1211111(1)()()22311n n n T b b b n n n =+++=-+-++-=++． 27．【答案】（1）见解析；（2）1()2nn b =．【解析】（1）因为n n a S n += ①，所以111n n a S n +++=+ ②， ②−①得111n n n a a a ++-+=，所以121n n a a +=+，所以12(1)1n n a a +-=-，所以11112n n a a +-=-，所以{1}n a -是等比数列．因为首项111c a =-，111a a +=，所以112a =，所以112c =-，所以{}n c 是以12-为首项，12为公比的等比数列．（2）由（1）可知1111()()()222n n n c -=-⋅=-，所以111()2n n n a c =+=-．故当2n ≥时，111111111()[1()]()()()22222n n n n nn n n b a a ---=-=---=-=．又1112b a ==代入上式也符合，所以1()2n nb =．28．【答案】（1）2n a n =；（2）存在，12λ=．【解析】（1）由2212(1)n n n S n a n a +=+-，可得221122(2)(1)n n n S n a n a +++=+-+，两式相减得2221(1)()2(1)n n n n a a n a ++++=+，即212n n n a a a +++=，故{}n a 为等差数列．由于1121242S a a a =-=，可得2124a a ==，所以等差数列{}n a 的公差为2，故2n a n =．（2）由12n a n n b b λ+=⋅，可得1122n a n n b b λ+++=⋅，两式相除可得24n n b b +=，即2{}n b 和21{}n b -都是以4为公比的等比数列．因为11224a bb λλ⋅==，11b =，所以24b λ=，由3144b b ==及2213b b b =，可得241λ=，又0λ>，所以12λ=．此时1212242n n n b --=⋅=，221)1(12222n n n b ----==，即12n n b -=，则12n n b b +=，因此存在正实数12λ=，使得数列{}n b 为等比数列． 29．【答案】C 【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则231111421111534a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键．30．【答案】D 【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为122，所以12*12(2,)n n a a n n -=≥∈N ，又1a f =，则1277712812)2a a q f ===，故选D ．【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列．等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1*(0,)n n a q q n a +=≠∈N 或1*(0,2,)n n a q q n a n -≠≥∈=N ，数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且*2123,()n n n a a a n n --≥∈=⋅N ，则数列{}n a 是等比数列．31．【答案】1【解析】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为d 和q ，则3138d q -+=-=，求得2,3q d =-=，那么221312a b -+==．32．【答案】8-【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，很明显1q ≠-，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：1212131(1)1(1)3a a a q a a a q +=+=-⎧⎨-=-=-⎩①②，由②①可得：2q =-，代入①可得11a =，由等比数列的通项公式可得3418a a q ==-．33．【答案】（1）212n n a -=；（2）2n ．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得22416q q =+，即2280q q --=，解得2q =-（舍去）或q =4．因此{}n a 的通项公式为121242n n n a --=⨯=．（2）由（1）得2(21)log 221n b n n =-=-，因此数列{}n b 的前n 项和为21321n n +++-=．【名师点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题．34．【答案】（1）见解析；（2）1122n n a n =+-，1122n n b n =-+．【解析】（1）由题设得114()2()n n n n a b a b +++=+，即111()2n n n n a b a b +++=+．又因为a 1+b 1=l ，所以{}n n a b +是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得114()4()8n n n n a b a b ++-=-+，即112n n n n a b a b ++-=-+．又因为a 1–b 1=l ，所以{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列．（2）由（1）知，112n n n a b -+=，21n n a b n -=-．所以111[()()]222n n n n n n a a b a b n =++-=+-，111[()()]222n n n n n n b a b a b n =+--=-+． 35．【答案】（1）212n a n =-；（2）当5n =或者6n =时，n S 取到最小值30-．【解析】（1）设{}n a 的公差为d ．因为110a =-，所以23410,102,103a d a d a d =-+=-+=-+．因为23410,8,6a a a +++成等比数列，所以2324(8)(10)(6)a a a +=++．所以2(22)(43)d d d -+=-+，解得2d =，所以1(1) 212n a a n d n =+-=-．（2）由（1）知，212n a n =-，所以当7n ≥时，0n a >；当6n ≤时，0n a ≤，所以n S 的最小值为630S =-．36．【答案】（1）11b =，22b =，34b =；（2）数列{}n b 是等比数列，理由见解析；（3）1·2n n a n -=．【解析】（1）由条件可得12(1)n n n a a n++=，将1n =代入得214a a =，而11a =，所以24a =．将2n =代入得323a a =，所以312a =．从而11b =，22b =，34b =．（2）数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下：由条件可得121n n a a n n+=+，即12n n b b +=，又11b =，所以数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列．（3）由（2）可得12n n a n-=，所以1·2n n a n -=． 37．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意得．（2）由，得．因为{}n a 的各项都为正数，所以，故{}n a 是首项为，公比为的等比数列，因此． 41,2132==a a 121-=n n a 41,2132==a a 02)12(112=---++n n n n a a a a )1()1(21+=++n n n n a a a a 211=+n n a a 121121-=n n a。

人教新课标版数学高二人教A版必修5同步学案 2.4(第1课时) 等比数列相关概念

2.4第一课时等比数列相关概念一、课前准备 1.课时目标通过实例理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式、性质、能在具体的问题的情境中，发现数列的等比关系，提高数学的建模能力；体会等比数列与指数函数的关系，掌握等比数列的定义，理解等比数列的通项公式的推导过程，能够求数列的任一项. 2. 基础预测（1）如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于______，那么这个数列叫做等比数列，常数叫等比数列的公比常用q 表示.（2）如果一个等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，那么它的通项公式是_____n a =. （3）等比中项①如三个数,,x G y 组成_____，则G 叫做x 和y 等比中项；②如果G 是 x 和y 等比中项，那么_____，即_____. （4）在等比数列中任何一项与公比都不为_____.（5）三个数成等比，设三个数为____或设为____，四个数成等比可设为____或设为____二、基本知识习题化（1）在等比数列{}n a 中，12,3a q ==则，()n a = A.6 B. 132n -⨯ C. 123n -⨯ D. 6n（2）设1234,,,a a a a 成等比数列，其公比是2，那么123422a a a a ++的值（）A. 14B. 12C. 18D.1（3）在等比数列{}n a 中，201220098a a =，则公比q 的值为（） A.2 B.3 C4 D.8（4）已知等比数列{}n a 中，各项为正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a a a a ++=（）A.1B. 1C. 3+D. 3-（5）三个数成等差数列，它们的和是15，若它们分别加上1,3,9，就成为等比数列，求此三个数.三、学法引领（1）搞清等比数列的通项公式，求等比数列一般先求首项1a ，再求等比数列的公比，求出等比数列的通项公式，再求其它的项，对于三个数成等比数列可以设为,,aa aq q去解. （2）三个数成等比数列，中间项为等比中项，等比中项应当用两个值即,,x A y 成等比数列，满足A =等比数列求解的过程是解指数方程的过程，注意应用指数函数的性质解题. （3）证明一个数列是等比数列要用等比数列的定义进行证明，即1n na q a +=，或利用211n n n a a a -+=进行证明.搞清等比数列的公比与任一项不为零.四、典例导析变式练习题型1 求等比数列的通项例1 在等比数列{}n a 中，（1）已知2418,8a a ==，求1a q 与；（2）已知514215,6a a a a -=-=，求3a .思路导析：利用等比数列的通项，建立方程组进行求解解：（1）由已知得13118,8.a q a q =⎧⎨=⎩解得1127,27,22,,33a a q q ==-⎧⎧⎪⎪⎨⎨==-⎪⎪⎩⎩或（2）根据题意，有41131115,6.a q a a q a q ⎧-=⎨-=⎩得411311156a q a a q a q -=-. 整理得22520q q -+=. 解得12q=2或q=. 当q=2时，11a =；当12q=时，116a =-. 3344a a ∴==-或.规律总结：利用方程求等比数列的通项问题，首先求首项与公比，再求公比时注意解的个数，公比不同代表不同的等比数列. 变式训练 1 已知12,,,n a a a 为各项都大于零的等比数列，公比1q ≠，则（）.A. 1845a a a a +>+B. 1845a a a a +<+C. 1845a a a a +=+D. 18a a +和45a a +的大小关系不能确定题型二等比中项问题例2，已知等比数列的前三项和为168，2542a a -=，求57,a a 的等比中项. 思路导析：先求1,a q ，再求57,a a 的等比中项. 解：设等比数列的公比为q ，首项为1a那么2111141196,1681422a a a q a q q a q a q =⎧⎧++=⎪⇒⎨⎨=-=⎩⎪⎩ 若G 是57,a a 的等比中项，那么满足25793G a a G ==⇒=±规律总结：（1）首项与公比是构成等比数列的基本量，所以在求等比数列的基本量时要构造方程求出首项与公比；②再就是注意同号的等比数列的等比中项是互为相反数，而异号的等比数列没有等比中项. 变式训练2. 在等差数列{}n a 中，已知12a =，公差不为0，且1311,,a a a 恰好是某等比数列的前3项，则该等比数列的公比等于______. 题型三证明数列是等比数列例3已知数列}{n a 和}{n b 满足：λ=1a ，4321-+=+n a a n n ，)213()1(+--=n a b n n n ，其中λ为实数，n 为正整数。