一元一次不等式与一次函数2

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一次函数二元一次方程与一元一次不等式

基本
性质
具有等式的基本性质
（1结果仍是等式。
（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。
1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3、一元一次不等式组的解法
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集
与一次函数和二元一次方程的关系
一元一次函数:y=2x+3
整理成二元一次方程为：2x-y=3
当:y=0时。，则x+3=0
即为一元一次方程
一元一次函数:y=2x+3
整理成二元一次方程为：2x-y=3
当：y>0时，则x+3>0
当：y<0时，则x+3<0
即为：一元一次不等式
解方程或不等式
求得方程的解或确定方程无解的过程叫做解方程
求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
步骤
（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1
（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1
解的
讨论
一元一次方程ax=b的解的情况：
（1）当a≠0时，ax=b有唯一的解
3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
解
能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解（在一元方程中也可叫做方程的根）；
对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。
解集
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

一次函数与一元一次不等式的关系

一次函数与一元一次不等式的关系一次函数和一元一次不等式是初中数学中比较基础的知识点，两者之间也有着密切的联系。

本文将从定义、性质、图像等方面探讨一次函数和一元一次不等式之间的关系。

一、一次函数的定义一次函数是指形如 $y=kx+b$ 的函数，其中 $k$ 和 $b$ 都是常数，$x$ 和 $y$ 是变量。

其中，$k$ 称为斜率，表示函数图像的倾斜程度；$b$ 称为截距，表示函数图像与 $y$ 轴的交点。

二、一元一次不等式的定义一元一次不等式是指形如 $ax+b>0$ 或 $ax+b<0$ 的不等式，其中 $a$ 和 $b$ 都是实数，$x$ 是变量。

其中，$a$ 表示不等式左侧的系数，$b$ 表示不等式右侧的常数。

三、一次函数的性质1. 斜率为正，则函数是单调递增的；斜率为负，则函数是单调递减的。

2. 截距表示函数与 $y$ 轴的交点，当 $x=0$ 时，$y=b$。

3. 一次函数的图像是一条直线，可以通过两个点来确定。

四、一元一次不等式的性质1. 当 $a>0$ 时，不等式的解集为 $x>-b/a$；当 $a<0$ 时，不等式的解集为 $x<-b/a$。

2. 如果不等式中的 $<$ 变成了 $leq$ 或 $geq$，则解集不变。

3. 如果不等式中的 $>$ 和 $<$ 交换，不等式的解集也随之交换。

五、一次函数和一元一次不等式的关系1. 一次函数的图像可以用来表示一元一次不等式的解集。

例如，不等式 $2x+3>0$ 的解集可以表示成一次函数 $y=2x+3$ 在$y>0$ 区域的图像。

2. 一元一次不等式的解集也可以用来表示一次函数的定义域或值域。

例如，不等式 $3x-1<5$ 的解集为 $x<2$，则一次函数$y=3x-1$ 的定义域为 $(-infty, 2)$。

3. 一次函数的斜率和截距也可以用来确定一元一次不等式的形式。

一元一次不等式与一次函数2

一元一次不等式与一次函数（二）授课人：兴化学校夏虹2012.3.12 一、学生知识状况分析学生在前面一学期已经学习过一次函数，会求一次函数的表达式，会画一次函数的图象。

在前面几节课中，相继学习了一元一次不等式概念，如何解一元一次不等式的方法，并且具备解运用函数图像、数形结合解一元一次不等式的基本技能。

在相关知识的学习过程中，学生已经接触一次函数和一元一次不等式解决了一些较为简单的实际问题，感受到了一次函数和一元一次不等式解决问题的必要性和其在生活中的作用；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作探究学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

二、教学任务分析本课属于八下第一章第五节《一元一次不等式与一次函数》第二课时内容，从属于“数与代数”这一数学学习领域，数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的生活经验基础之上，教师应帮助他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。

在对一次函数与一元一次不等式进行整合的教学时，我利用学生已掌握的知识，设计有层次、与现实生活有关联的问题，不断深入，力求从题目所提供的图形及已知条件中提取相关信息，结合函数图象的几何意义运用数形结合法来解答问题。

北师大版的数学教学由一系列相互联系而又层层递进的板块组成，因而具体的课堂教学过程也应满足于整个数学教学的远期目标。

教科书基于学生对一元一次不等式和一次函数认识的基础之上，提出了本课的具体学习任务，因而本节课的教学目标是：1、了解一元一次不等式与一次函数的关系.2、会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较大小.3、通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合，培养学生的数形结合意识.4、训练大家能利用数学知识去解决实际问题的能力.5、体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.在教学的过程中，采取了“二七一”式的教学模式，所谓“271课堂教学模式”，就是在时间分配及内容安排上做到：20%（约10分钟）展示点评，总结升华；70%（约30分钟）读书自学，自主探究，分组合作，讨论解疑；10% （约5分钟）总结反刍，当堂检测。

一次函数与一元一次不等式2

五.小结一下
回顾反思
1.这节课我们学到了哪些知识？
2.我们是用哪些方法获得这些知识的？
3.你觉得还有什么问题需要继续讨论吗？
我们学校做一批校徽，需要拍照，若到照相馆拍，每张需要8元；若学校自己拍，除买摄象机，需120元，每张还需成本4元，设需要拍x张，到照相馆拍需要y1 元，学校自己拍需要y2元。 1.求y1和y2与x的函数关系式 2.问拍这批照片到照相馆拍，费用省还是由学校自己拍费用省？请说明理由。
问题2：求自变量x在什么范围内，一次函数 y=ax+b的值大于0
从数的角度看
上面两个问题有什么关系？
从实践中得出，由于任何一元一次不等式都可以转化为 ax+b＞0或ax+b＜0 从形的角度看（a，b为常数，a≠0)的形式，所以解求ax+b＞0(a≠0)的解确定直线y=ax+b在x轴上方的一元一次不等式可以看作：当一次函数图象所对应的 x的值 y=ax+b的值大于0（或小于 0）时，求自变量相应的取值范围。
3
B.x ≤3
C.2 ≤ x ≤ 3
D.x ≤ 4
3.利用函数图象解不等式：3x－4＜x+2(用两种方法) 解法1：化简不等式得2x－6＜0，画出函数y＝2x－6的图象，当x＜3时y＝2x－6＜ 0，所以不等式的解集为x＜3。
y y＝x＋2 0 3 x y y=2x-6
0
3 -6
x
y＝3x－4
解法2：画出函数y＝3x－4和函数y＝x+2的图象，交点横坐标为 3，当x＜3时，对于同一个x，直线y＝3x－4上的点在直线y＝x+2 上相应点的下方，这表示3x－4 ＜x+2，所以不等式的解集为x ＜ 3。

一元一次不等式与一次函数

一元一次不等式与一次函数
一元一次不等式和一次函数是初中数学中的两个重要概念，它们的关系如下：
一元一次不等式：指只有一个未知数（一元），且方程中未知数的最高次数为1（一次）的不等式，例如：2x+1>5 或者x-3<7。

一次函数：指只有一个未知数（一元），且方程中未知数的最高次数为1（一次）的函数，例如：y=2x+1 或者y=x-3。

这两个概念之间的关系在于，我们可以将一元一次不等式转化为一次函数的形式进行分析和解决。

具体来说，我们可以将不等式中的未知数视为函数的自变量x，将不等式的两边分别视为函数的因变量y，例如：2x+1>5 可以转化为y=2x+1 和y=5 两个函数，我们可以画出这两个函数的图像，通过比较函数图像来解决不等式的解集。

例如，将不等式x-3<7 转化为一次函数的形式，得到y=x-3 和y=7 两个函数，我们可以在坐标系中画出这两个函数的图像，发现两个函数的交点在x=10 处，因此不等式的解集为x<10。

总之，一元一次不等式和一次函数之间有着紧密的联系，将不等式转化为函数的形式可以帮助我们更好地分析和解决问题。

一元一次不等式与一次函数讲解

一元一次不等式与一次函数讲解一元一次不等式与一次函数是数学中非常重要的概念，它们在我们的生活中都有广泛的应用。

本文将从定义、性质、解法等多个方面介绍一元一次不等式与一次函数，帮助读者更加深入地理解这两个概念。

一、一元一次不等式一元一次不等式，简单来说，就是只有一个未知量的一次不等式。

比如：ax + b > c，其中a、b、c是已知实数，x是未知实数。

一元一次不等式常常用于解决一些实际问题，比如数量关系、利润计算等。

一、一元一次不等式的性质1. 对于一元一次不等式ax + b > c，如果a > 0，则当x > (c-b)/a时，不等式成立；如果a < 0，则当x < (c-b)/a时，不等式成立。

2. 对于一元一次不等式ax + b < c，如果a > 0，则当x < (c-b)/a时，不等式成立；如果a < 0，则当x > (c-b)/a时，不等式成立。

上述性质可以帮助我们更好地解决一元一次不等式的问题。

二、一次函数一次函数，是指一个函数的自变量只有一个，且函数的表达式是一个一次多项式。

一次函数通常表示成f(x) = kx + b的形式，其中k 和b为常数。

一次函数在实际问题中经常被用到，比如直线运动、物品价格变化等，因为它的表达式简单，易于计算，而且有明确的几何意义。

二、一次函数的性质1. 一次函数的图像是一条直线。

2. 当k > 0时，函数图像单调递增；当k < 0时，函数图像单调递减。

3. 如果k = 0，则函数是一个常函数，图像为一条水平直线；如果b = 0，则函数是一个零函数，图像过原点。

4. 一次函数的x轴截距为-b/k，y轴截距为b。

上述性质有助于我们更好地理解一次函数的性质，同时也为我们解决一些实际问题提供了帮助。

三、一元一次不等式的解法对于一元一次不等式ax + b > c，我们可以通过以下几个步骤来解决：1. 将不等式移项得到ax > c-b。

一元一次不等式与一次函数(2

“一元一次不等式与一次函数（2）”教学设计设计者：深圳实验学校初中部詹欣豪老师一、教材分析本节课是北师大版初中数学八年级下册第二章第五节第二课时的内容，承接第一课时，旨在进一步研究一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关联性，并综合运用一次函数与一元一次不等式解决实际问题．本节课既是对前面所学知识的丰富与应用，也是为后续学习反比例函数、二次函数与方程、不等式的知识奠定了重要基础．二、学情分析1．认知基础：学生已经学习了一次函数、一元一次方程、一元一次不等式等内容，具备进一步探索三者联系和解决实际问题的学习经验和心理需求；2．认知障碍：八年级学生处于从形象思维向抽象思维过渡的阶段，对于从“数”与“形”两方面理解这三者关系存在一些困难．三、教学目标1．通过具体实例，进一步体会一次函数、一元一次方程、一元一次不等式的内在联系及解决实际问题中的作用；2．经历“代数法”和“图象法”解决实际问题的过程，感受数形结合、数学建模、分类讨论等思想，培养问题解决能力，积累活动经验；3．通过较优方案选择，体会数学源于生活又服务于生活，感受数学知识和数学方法的辩证统一，发展数学核心素养．四、教学重难点1．教学重点：探究一次函数、一元一次方程、一元一次不等式的内在联系，会用“代数法”和“图象法”解决实际问题；2．教学难点：分段函数图象的绘制及“图象法”思路的形成．五、教学过程（一）回顾思考，藤蔓之美回顾：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式有什么联系呢？教师引导学生共同得出：当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值；当已知一次函数中的一个变量的取值范围时，可以用一元一次不等式确定另一个变量的取值范围．设计意图：复习第一课时的内容，从“数”的角度建立了一次函数与一元一次不等式、一元一次方程的内在联系．教师顺势总结：我们所学习的代数内容沿着从“数→式”的脉络，进而发展出方程与不等式，最后以函数的视角统领全局，如同一条渐次生长的藤蔓．设计意图：藤蔓之美，让三个“一次”串珠成线，使得学生不仅拥有了整体观，而且对不同知识的整体一致与和谐美妙有了更深的理解．（二）函数统领，高屋建瓴例1 已知一次函数y =kx +b 的图象经过（0, 4），（3, 0）两点，求不等式kx +b >0的解集．问题1：可以通过待定系数法求出k ，b ，再解一元一次不等式吗？问题2：可以从函数图象来解决问题吗？教师引导：从一次函数的图象上看，y >0表示图象在x 轴上方的部分，这部分上的点的横坐标的范围是x <3，即不等式kx +b >0的解集是x <3．并总结：一次函数y =kx +b kx +b =c （一元一次方程） kx +b <c 或kx +b >c （一元一次不等式）对于直线y =kx +b ：① 图象在x 轴的上方部分，表示y >0，即kx +b >0；② 图象与x 轴相交于（x , 0），表示y =0，即kx +b =0；③ 图象在x 轴的下方部分，表示y <0，即kx +b <0．设计意图：以一次函数的图象特点及不等式解集的意义为生长点，以数形结合思想为生长路径，构建了一次函数与一元一次不等式的联系．变式1 如图，直线y =kx +b 的图象经过A （3, 1），B （6, 0）两点，求：（1）直线OA 的解析式；（2）不等式13kx b x +<的解集．有了例1的铺垫，容易联想到从函数图象的视角来看待不等式．这是一个“双函数”的问题，需确定当x 取何值时，直线13y x =的图象在直线y =kx +b 的图象上方．当x >3时，13y x =对应的函数值要比y =kx +b 对应的函数值大．变式2 如图，已知直线1123y x =-+，213y x =，若无论x 取何值，y 都取y 1，y 2中的较小值，求y 的最大值．实际上，这是一个“三函数”的问题，y 是由y 1，y 2产生的新函数，理解题意、数形结合，描绘出y 的函数图象，确定何处取得最值为关键．由图得：y max =1．设计意图：在例1学习的基础上，通过变式及问题串，实现“垂直数学化”，帮助学生进一步强化理解“利用函数图象解不等式”的威力．（三）生活情境，学以致用例 2 某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10至25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元．经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，其余游客八折优惠．该单位选择哪家旅行社支付的费用较少？请大家先猜想一下，你选哪家旅行社？再通过计算验证．教师引导学生分析：首先要根据题意，分别表示出两家旅行社关于人数的费用，然后才能比较．而且比较情况有三种：等于、大于、小于．解：设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时, 所需的费用为y1元；选择乙旅行社时，所需的费用为y2元，则：y1=200×0.75x=150x，y2=200×0.8（x–1）=160x–160由y1=y2，得150x=160x–160，解得：x=16；由y1>y2，得150x>160x–160，解得：x<16；由y1<y2，得150x<160x–160，解得：x>16．因为参加旅游的人数为10至25人，所以：当x=16时，甲、乙两家旅行社的收费相同；当17≤x≤25时，选择甲旅行社费用较少；当10≤x≤15时，选择乙旅行社费用较少．设计意图：让学生经历运用一元一次不等式解决一次函数问题的过程，师生共同梳理解决决策型应用题的步骤及格式规范，起到示范作用．（四）推陈出新，深化理解例 3 小明买了部手机准备入网，咨询了电信公司后，得到了以下两种计费套餐，他该如何选择？解法1：设每月通话时间为x分钟，A套餐每月话费为y A元，B套餐每月话费为y B元，则：y A=0.4x+50，y B=0.6x由y A=y B，得0.4x+50=0.6x，解得：x=250；由y A>y B，得0.4x+50>0.6x，解得：x<250；由y A<y B，得0.4x+50<0.6x，解得：x>250．答：当x=250时，A套餐与B套餐相同；当0≤x<250时，选择B套餐较为省钱；当x>250时，选择A套餐较为省钱．教师整理：在解决这一问题时我们采用了分类讨论的思想．这种利用方程和不等式的思想来解决较优方案问题的方法我们称之为代数法．解法2：由解法1得：y A =0.4x +50，y B =0.6x ，在同一平面直角坐标系中画出函数图象，得：当x =250时，A 套餐与B 套餐相同；当0≤x <250时，选择B 套餐较为省钱；当x >250时，选择A 套餐较为省钱．教师整理：这种利用函数图象来解决较优方案问题的方法我们称之为图象法．设计意图：对同一问题多种解法的思考，意在激发学生的学习兴趣，开拓学生思路，培养学生发散性思维能力以及勇于创新的精神．变式小颖也买了部手机准备入网，咨询了电信公司后，得到了两种新的计费套餐，她该如何选择？C 套餐D 套餐月租费30元 50元每月免费通话时间50分钟 150分钟超出后每分钟收费 0.4元 0.4元头脑风暴：结合该背景，思考如下问题：1．服务质量相同，选择套餐的依据是什么？2．每月付费金额与什么有关？3．涉及哪些量？哪些已知？哪些未知？4．怎样用式子来表示每月话费与通话时间的关系？5．怎样求这个数学问题的解？6．解法是否具有多样性？7．用数学知识解决实际问题一般要经历哪几个环节？设计意图：套餐的变更既是知识的巩固又是知识的拓展，它激发了学生思考的欲望，头脑风暴则引导着学生对新问题的自主思考．解法1：设每月通话时间为x 分钟，C 套餐每月话费为y C 元，D 套餐每月话费为y D 元，则：30(050)0.410(50)C x y x x ≤≤⎧=⎨+>⎩， 50(0150)0.410(150)D x y x x ≤≤⎧=⎨->⎩这两个函数均为分段函数，在同一平面直角坐标系中画出函数图象：结合图象得：当x =100时，C 套餐与D 套餐相同；当0≤x <100时，选择C 套餐较为省钱；当x >100时，选择D 套餐较为省钱．解法2：由解法1得：30(050)0.410(50)C x y x x ≤≤⎧=⎨+>⎩， 50(0150)0.410(150)D x y x x ≤≤⎧=⎨->⎩ ① 当0≤x ≤50时，y C <y D ；② 当50<x ≤150时，由0.4x +10<50，解得：x <100；由0.4x +10=50，解得：x =100；由0.4x +10>50，解得：x >100；③ 当x >150时，由0.4x －10<0.4x +10，得：y D <y C ．综上所述：当x =100时，C 套餐与D 套餐相同；当0≤x <100时，选择C 套餐较为省钱；当x >100时，选择D 套餐较为省钱．教师总结：代数法的优点是准确严密，缺点是分类要求高且运算量大；图象法的优点是直观形象，缺点是画图要求高．就本题而言，图象法更为简便，选择较优方法能让我们节省时间，少犯错．设计意图：本题的两种解法，既是对前面知识的巩固和拓展，又可以检查学生知识的掌握情况，而对解法优劣的判断又可以帮助学生选择较优解法．教师带领学生共同整理问题解决的一般环节：实际问题理想化问题寻找变量关系建立数学模型纯数学问题求解数学模型解释数学结果反思发散、评价、引申设计意图：本例意在培养学生的“识图”和“释图”能力，将提取的有效信息进行分析、整合、数学化的能力，以及数学建模、数学抽象、数学运算等核心素养．（五）小结反思，布置作业小结清单：1．你在学习过程中获得了哪些知识？感受到了哪些思想方法？2．你在学习过程中碰到哪些困难？有哪些收获？教师与学生共同整理，这节课我们解决了一个问题：怎样选择较优方案；得出了两种方法：代数法和图象法；渗透了多种思想：数形结合思想、函数思想、转化化归思想、分类讨论思想、数学建模思想等．布置作业：1．（基础练习）课本53页习题2.7第1-3题；2．（拓展练习）如果将例3中的A，B，C，D四个套餐共同纳入考虑，又应该如何选择？3．（课题研究）任选一个生活中的选择性问题，以研究报告的形式上交研究成果．要求：①问题是有意义的且自己想解决的；②提供尽可能多的数学方法；③有研究后的思考与体会．设计意图：学生总结收获，有利于学生理清思路、整理经验；教师在学生总结的基础上进一步小结内容，可提纲挈领、升华主题．由浅入深的分层作业，能够强化本节课所学知识，也能尊重个体差异，满足不同程度学生的需求．六、教学反思1．本节课的要让学生体会：刻画运到变化的规律需要用函数模型；刻画变化过程中同类量之间的大小，需要用不等式模型；刻画运动变化过程中的某一瞬间需要用方程模型．解决实际问题时，要合理选择这三种数学模型；2．教学过程中，要让学生在“活动”中学习，在“主动”中体验，在“合作”中发展，在“探究”中创新．在自主学习中探究，在质疑问难中探究，在观察比较中探究，在矛盾冲突中探究，在问题解决中探究，在实践活动中探究；3．教师要注重从学生的生活实际出发，通过设计问题串引导学生思考、促进学生理解，宏观引导，适时点拨，规范演示，及时提炼．。

一元一次不等式与一次函数(2)

y2=0.5ax+（40-x）a，即y2=（40-0.5x）a。
令y1=y2，得32a=（40-0.5x）a，解得x=16；令y1＞y2，得32a ＞（40-0.5x）a，解得x ＞ 16；
令y1＜y2，得32a ＜（40-0.5x）a，解得x ＜ 16。
所以，当x=16时，两种购票方案费用相同；当17≤x ≤ 40时，选择女士票价打五折的购票方案；当0 ＜ x ＜ 16时，选择买团体票的购票方案。
一元一次不等式与一次函数
一、复习练习
1、一次函数 y= -3x+12中x为何值时：（1）当x取何值时，y＞0；（2）当x取何值时， y＝0；（3）当x取何值时，y＜0 。解：（1）当y＞0时，则有-3x+12＞0，
-3x＞－12， x＜4
（2）当y＝0时，则有-3x+12＝0， -3x＝－12， x＝4 （3）当y＜0时，则有-3x+12＜0， -3x＜－12， x＞4 注意：（1）不等式两边同时乘以（或除以）一个负数，不等号的方向要改变。
三随堂练习
解：设此公司40名员工中女士有x人，则男士有（40-x）人，景点票价每张a元，打八折的购票方案费用为y1元，女士票价打五折的购票方案费用为y2元。
根据题意得：y1=40×0.8a，即y1=32a；
某公司40名员工到一景点集体参观，景点门票价格为30元/人。该景点规定满40人可以购买团体票，票价打八折。这天恰逢妇女节，该景点做活动，女士票价打五折，但不能同时享受两种优惠。请你帮助他们选择购票方案。
四、考考你
某电信公司的Ａ类手机收费标准：不管通话时间多长，每部手机必须缴月租费５０元，另外每通话１分钟交费０.４元；Ｂ类手机收费如下：没有月租费，但每通话１分钟收费０.６元。（1）分别写出Ａ类、Ｂ类标准下每月应交费用y元与通话时间x（分）之间的关系式；（2）什么情况下选择Ａ类收费标准？（3）什么情况下选择Ｂ类收费标准？解（1）A类：y1=50+0.4x, B类:y2=0.6x (2)y1<y2,即50+0.4x<0.6x,x>250,通话时间超过 250分钟时选择A类标准。（3）y1>y2,50+0.4x>0.6x,x<250,通话时间少于 250分钟时选择B类标准。

一元一次不等式与一次函数整理

一元一次不等式与一次函数整理一元一次不等式和一次函数是初中数学中的重要内容，它们在实际生活中有着广泛的应用。

本文将从概念、性质、解法和应用四个方面来介绍一元一次不等式和一次函数。

一、概念一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次不等式，例如：ax+b>c，其中a、b、c为已知数，x为未知数。

一次函数是指函数的表达式为y=kx+b，其中k、b为常数，x、y为自变量和因变量。

二、性质1. 一元一次不等式的解集是一个区间，可以用数轴表示出来。

2. 一次函数的图像是一条直线，斜率k表示函数的增长速度，截距b表示函数的起点。

3. 一元一次不等式和一次函数都具有可加性和可减性，即若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。

三、解法1. 一元一次不等式的解法有两种：图像法和代数法。

图像法是将不等式转化为数轴上的图形，通过观察图形来确定解集。

代数法是通过移项、化简等代数运算来求解。

2. 一次函数的解法是通过求出函数的斜率和截距，然后画出函数的图像，根据图像来确定函数的性质和解析式。

四、应用1. 一元一次不等式和一次函数在经济学中有着广泛的应用，例如：利润、成本、收益等问题都可以用一次函数来描述。

2. 一元一次不等式和一次函数在物理学中也有着重要的应用，例如：速度、加速度、力等问题都可以用一次函数来描述。

3. 一元一次不等式和一次函数在生活中也有着实际的应用，例如：购物打折、优惠券等问题都可以用一元一次不等式来描述，而房价、工资等问题都可以用一次函数来描述。

一元一次不等式和一次函数是初中数学中的重要内容，它们在实际生活中有着广泛的应用。

掌握一元一次不等式和一次函数的概念、性质、解法和应用，对于提高数学素养和解决实际问题都有着重要的意义。

一次函数与一元一次不等式的关系

一次函数与一元一次不等式的关系一次函数与一元一次不等式的关系一次函数是数学中非常重要的一个概念，而它与一元一次不等式之间也存在着密切的关系。

下面就让我们来了解一下。

一、一次函数的定义与性质一次函数指的是形如y=kx+b的函数，其中x为自变量，y为因变量，k 和b为常数。

它的图像是一条直线，具有以下性质：1. 斜率k表示线性关系的比例系数，k越大，直线越陡峭；k为正数时，直线右上方倾斜；k为负数时，直线左下方倾斜。

2. 截距b表示直线与y轴的交点，当x=0时，y=b。

当k=0时，直线平行于x轴，即为一条水平直线。

3. 一次函数图像在直线上每个点的斜率都相等，斜率就是函数的导数。

二、一元一次不等式的定义与性质一元一次不等式是指形如ax+b>0或ax+b<0的不等式，其中x为变量，a和b为常数。

它的解集是一个区间。

不等式的基本性质如下：1. 如果不等式两边同时加上一个正数，则不等式不变。

2. 如果不等式两边同时乘上一个正数，则不等式不变。

3. 如果不等式两边同时乘上一个负数，则不等式的不等号方向改变。

三、一次函数与一元一次不等式的关系一次函数与一元一次不等式之间存在着密切的关系，具体表现在以下几个方面：1. 根据一次函数的性质，我们可以根据一次不等式求解其解集合并确定一次函数的定义域和值域。

2. 根据一元一次不等式的基本性质，我们可以对一次函数的图像进行平移、伸缩和翻折等操作，从而得到不同的函数图像。

3. 一元一次不等式的解与一次函数的斜率有关，当一次不等式为ax+b>0时，解集表示函数图像位于y轴上方的区间，此时函数的斜率为正数a；当一次不等式为ax+b<0时，解集表示函数图像位于y轴下方的区间，此时函数的斜率为负数a。

综上所述，一次函数与一元一次不等式之间存在着密切的关系，掌握了它们之间的关系，不仅有助于我们深入理解函数与不等式的概念，还能够为我们解决实际问题提供很多有益的启示。

一次函数一元一次方程和一元一次不等式讲解

一次函数一元一次方程和一元一次不等式讲解1.什么是一次函数一次函数，也称为一次多项式函数或线性函数，是指形如$y=a x+b$的函数，其中$a$和$b$是常数，$x$是自变量，$y$是因变量。

一次函数的图像为一条直线，具有特定的斜率和截距。

一次函数的基本形式为$y=ax+b$，其中$a$表示斜率，决定了函数图像的倾斜程度，$b$表示截距，决定了函数图像与$y$轴的交点。

2.一元一次方程的求解等式性质一元一次方程是指只含有一个变量的一次方程。

解一元一次方程的核心思想是通过运用和**方程统一变形原则**，将方程逐步化简，最终得到变量的解。

求解一元一次方程的一般步骤如下：1.对方程中的项进行整理和合并，使得方程成为$a x+b=0$的形式；2.根据方程统一变形原则，将方程中的常数项移至方程的右侧，得到$a x=-b$；3.利用解方程的等式性质，将方程两边同时乘以$\fr ac{1}{a}$，得到$x=\f ra c{-b}{a}$；4.化简得到最终解，即$x$的值。

通过以上步骤，可以求得一元一次方程的解。

3.一元一次不等式的求解等式性质一元一次不等式是指只含有一个变量的一次不等式。

求解一元一次不等式的方法与求解一元一次方程类似，同样可以运用和**不等式统一变形原则**。

求解一元一次不等式的一般步骤如下：1.对不等式中的项进行整理和合并，使得不等式成为$a x+b<c$或$a x+b>c$的形式；2.根据不等式的性质，将常数项移至不等式的右侧；3.根据不等式统一变形原则，将不等式两边同时乘以正数或除以负数，注意在乘或除的过程中要考虑到反号问题；4.根据不等式的性质，得到不等式的最终解。

需要注意的是，在进行不等式符号的翻转时，需要根据乘或除的正负进行对应，以确保不等式符号的方向正确。

4.总结一次函数、一元一次方程和一元一次不等式在数学中起着重要的作用。

掌握了一次函数的概念和性质，以及求解一元一次方程和不等式的方法，能帮助我们更好地理解和解决数学问题。

一次函数与一元一次方程、一元一次不等式PPT

函数值与不等式解的范围
通过观察函数值的正负变化，可以确定不等式解的范围。当函数值从负数变为正数时，对应的x值范围即为不等式的解集。
函数图像与不等式解的关系
函数图像与不等式解的交点
一次函数图像与不等式的交点即为满足不等式条件的x值。在图像上表现为直线上的某些点。
函数图像与不等式解的个数
函数图像与不等式的交点个数即为满足不等式条件的x值的个数。若只有一个交点，则不等式有一个解；若有多个交点，则不等式有多个解。
详细描述
一元一次方程的标准形式是 ax + b = 0，其中 a 和 b 是常数，且 a ≠ 0。这个方程只有一个未知数 x，且 x 的最高次数为1。
一元一次方程的解法
总结词
求解一元一次方程通常涉及移项、合并同类项和系数化为1等步骤。
详细描述
解一元一次方程时，首先将方程中的未知数项移到等式的一侧，常数项移到另一侧。然后合并同类项，最后将方程两边的系数化为1，即可得到未知数的解。
一次函数与一元一次方程、一元一次不等式
目录
• 一次函数 • 一元一次方程 • 一元一次不等式 • 一次函数与一元一次方程、一元一次不等
式的关系 • 综合应用
01 一次函数
一次函数的定义
一次函数的一般形式为 $y = kx + b$，其中 $k$ 和 $b$ 是常数，
且 $k neq 0$。
$k$ 称为函数的斜率，$b$ 称为函数的截距。
一元一次方程与一元一次不等式的综合应用
一元一次方程与一元一次不等式在形式上具有相似性，可以通过对方程或不等式进行变形，转化为对方的形式，从而利用对方的形式进行求解。
例如，对于方程 $y = kx + b$ 和不等式 $y < kx + b$，可以通过将方程变形为 $y - kx - b = 0$，将不等式变形为 $y - kx - b < 0$，从而利用对方的形式进行求解。

2.5 一元一次不等式与一次函数(2)

解:(2)设购进A型节能灯m只，总费用为w元， w=5m+7×(50-m)= -2m+350. k= -2＜0， ∴w随m的增大而减小，当m取最大值时，w最小。又∵m≤3(50-m)，解得：m≤37.5， ∵ m为正整数，∴当m=37时， w最小=-2×37+350=276. 此时50-37=13. 所以最省钱的购买方案是购进37只A型节能灯， 13只B型节能灯.
当x=16时，甲、乙两家旅行社的收费相同；
当17≤x≤25时，选择甲旅行社费用较少；
当10≤x≤15时，选择乙旅行社费用较少.
课堂练习
1.某公司40名员工到一景点集体参观，该景点规定满40人可以购买团体票，票价打八折.这天恰逢妇女节，该景点做活动，女士票价打五折，但不能同时享受两种优惠.请你帮助他们选择购票方案.
解：设该公司参观者中有女士x人，选择购买女士五折票时
Hale Waihona Puke 所需费用为y1元，选择购买团体票时所需费用为y2元，则
乙商场的优惠条件是：每台优惠20%. 那么乙商场的收费y2(元)与所买电脑台数 x 之间的关系式是： y2=4800x .
(1)什么情况下到甲商场购买更优惠？ (2)什么情况下到乙商场购买更优惠？ (3)什么情况下两家商场的收费相同？
新课讲解
解: (1)∵到甲商场更优惠则要 y1＜y2, 即： 4500x＋1500＜4800x. 解得x＞5, ∴购5台以上到甲商场更优惠.
∴当x=4时, y=0.
(3)由y<0, 得 -3x+12<0, -3x<-12, x>4. ∴当x>4时, y<0.
复习练习
2.当x为何值时, 一次函数y＝－x＋5的值大于 y＝4x－3的值.

一次函数二元一次方程一元一次不等式的关系

19.2.3一次函数与方程、不等式（1）学习目标：1、认识一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系．会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义；2、经历用函数图象表示方程、不等式解的过程，进一步体会“以形表示数，以数解释形”的数形结合思想．重点：理解一次函数与二元一次方程的联系。

难点：利用一次函数的性质，得出一元一次不等式的解集过程：一、自主学习：学习教材P96-98页解答下列问题：1、直线y=2x+1与x轴交点的横坐标是，方程2x+1=0的解是。

从图象上看，一元一次方程ax+b=0相当于已知直线y=ax+b,确定它与轴焦点的坐标的值。

2、直线y=3x+2与x轴的交点的横坐标是，不等式3x+2﹤0的解集是，不等式3x+2﹥0的解集是。

从图象上看，一元一次不等式ax+b﹤0可以看做一次函数y=ax+b的值小于0时，求量相应的取值范围。

3、因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0（a≠0）的形式，所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为时，求自变量x 的。

4、因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b﹥0或（a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y= 的值或者时，求自变量x的。

二、合作探究1、若方程ax+b=0的解是x=－2则图中不一定是直线y=ax+b的是（）A B C D2、已知关于x 的不等式ax+1﹥0 (a ≠0)的解集是x ﹤1，则直线y=ax+1与x 轴的交点是（）A 、（0,1）B 、（－1,0）C 、（0，－1）D 、（1,0）三、巩固练习：1、直线y=－3x －3与x 轴的交点坐标是，不等式－3x+9﹥12的解集是。

2、当x 时，直线y=－x+2上的点在x 轴下方。

3、函数y=mx+n 的图象如图所示，则方程mx+n=0的解是，不等式mx+n ﹤0的解集是，不等式mx+n ﹥－0.5的解集是4、画出函数y=2x+1的图象，根据图像解答下列问题（1）求在x 轴上方的图象对应的自变量x 的取值范围；（2）求直线y=1与图象的交点A 的坐标。

一次函数与一次方程,一次不等式的关系

一次函数与一次方程,一次不等式的关系知识点：一、一次函数与一元一次方程的关系直线y=kx+b （k ≠0）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx+b=0（k ≠0）的解。

求直线y=kx+b 与x 轴交点时，可令y=0，得到方程kx+b=0，解方程得x=-b/k 。

直线y=kx+b 交x 轴于（-b/k ，0），-b/k 就是直线y=kx+b 与x 轴交点的横坐标。

二、一次函数与一元一次不等式的关系任何一元一次不等式都可以转化为ax=b>0或ax=b<0 (b a 、为常数，a ≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。

三、一次函数与二元一次方程（组）的关系一次函数的解析式y=kx+b （k ≠0）本身就是一个二元一次方程，直线y=kx+b （k ≠0）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y=kx+b （k ≠0），因此二元一次方程的解也就有无数个。

例题解析一、一次函数与一元一次方程综合已知直线y=(3m-2)x+2和y=-3x-2交于x 轴上同一点，m 的值为______已知一次函数y=-x+a 与y=x-b 的图象相交于点(m,8)，则b-a=______．二、一次函数与一元一次不等式综合1.已知一次函数y=-2x+525y x =-+．（1）画出它的图象；（2）求出当x=3/2时，y 的值；（3）求出当y=-3时，x 的值；（4）观察图象，求出当x 为何值时，y>0，y<0,y=02.当自变量x 满足什么条件时，函数y=-4x+1的图象在：（1）x 轴上方；（2）y 轴左侧；（3）第一象限．3.已知直线A 为y=x+5，直线B 为y=-2x-6．当A>B 时，x 的取值范围是_____4.已知一次函数y=-2x+3（1）当x 取何值时，函数y 的值在-1与2之间变化?（2）当x 从-2到3变化时，函数y 的最小值和最大值各是多少?5.直线A:y=Mx+b 与直线B:y=Nx 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式Nx>Mx+b 的解集为______．6.当x_________时直线y=x+2上的点在直线y=3x-2上相应点的上方．7.如图，直线y=kx+b （k ≠0）经过A(5,1)，B(-2,-3)两点，则不等式0.5x> kx+b>-3的解集为______．5题图 7题图8已知一次函数经过点（1，-2）和点（-1，3），求这个一次函数的解析式，并求：（1）当x=2时，y 的值；（2）x 为何值时，y<0？（3）当-2<x<1时，x 的值范围；（4）当-2<y<1时，y 的值范围．。

一次函数与一元一次不等式知识讲解

一次函数与一元一次不等式知识讲解一次函数是指变量的最高次数为1的函数，表达式一般为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，且a不等于0。

一元一次不等式是指一个未知数的一次函数与一个不等式关系。

一次函数与一元一次不等式是二元关系，它们在数学中具有重要的意义和应用。

一次函数的性质与特点：1.常数项b表示函数在y轴上的截距，在函数图像上表示函数曲线与y轴的交点。

2.系数a表示函数的斜率，代表了函数图像的倾斜程度。

当a>0时，函数是增函数；当a<0时，函数是减函数。

3.函数曲线是一条直线，通过两个点即可确定一条直线。

因此，一次函数的图像是一条直线。

一元一次不等式的性质与特点：1.不等式中的未知数只有一个，并且只有一次。

2.不等式关系可能是大于、小于、大于等于、小于等于等形式，根据实际问题选择不同的不等号。

3.解不等式的方法与解方程类似，但需要注意不等号的取等情况。

下面通过一个具体的例子来进一步讲解一次函数与一元一次不等式的应用。

例子：家庭的月度水费与用水量x的关系可以用一次函数表示，已知该家庭用水量每增加10立方米，水费增加12元。

如果一个月的水费超过100元，那么最少要用多少立方米的水？解析：设该家庭每个月用水量为x立方米，月度水费为f(x)元。

根据题意，我们可以列出一次函数的表达式：f(x)=12/10x+b其中，12/10x表示每增加10立方米，水费增加12元，b表示常数项。

根据题目中提到的条件，水费超过100元，即f(x)>100。

将f(x)代入不等式中，得到不等式：12/10x+b>100解不等式的步骤如下：1.将不等式转化为等式，得到12/10x+b=100。

2.消去分数，得到12x+10b=1000。

3.根据题意，b为常数项，所以可将10b看作常数C，得到12x+C=1000。

4.求解x，得到x=(1000-C)/12、由于x代表用水量，所以要求最少用水量，即x的值应该尽量小。

一元一次不等式与一次函数(第2课时)八年级数学

探究新知
方法总结解答决策性问题的一般步骤： (1)列出相关的一次函数解析式y1=k1x+b1(k1≠0)和 y2=k2x+b2(k2≠0). (2)根据y1和y2之间的大小关系分情况求得相应的x的值. (3)比较所得的结果,根据问题要求进行判断或决策.
巩固练习
变式训练
如图所示,某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的
探究新知
所以当顾客每个月的通话时长等于100分钟时，选择甲乙两种业务一样合算；如果通话时长大于100 分钟，选择甲种业务比较合算；如果通话时长小于100 分钟，选择乙种业务比较合算.
探究新知
方案选择问题解题思路： (1)根据题意分别写出方案A、B的函数解析式yA、yB； (2)将方案A、B进行比较：①yA>yB , ②yA<yB , ③yA=yB；从而分别得到自变量的取值范围； (3)根据实际情况选择方案.
即 y 4.2x
包月制： y 60 0.02x 50
即 y 1.2x 50
（2）当
时
计时制： x 20 （元）
包月制： y 4.2 20（元8）4
所以，若某用y 户 1估.2计一2个0月上50网207小4时，采用包月制
较为合算.
课堂检测
能力提升题
某公司40名员工到一景点集体参观，该景点规定满40人可以购买团体票，票价打八折.这天恰逢妇女节，该景点做活动，女士票价打五折，但不能同时享受两种优惠.请你帮助他们选择购票方案.
此外，每一种上网方式都得加收通信费0.02元/分．（1）请你分别写出两种收费方式下用户每月应支付的费用y（元）与上网时间x （小时）之间的函数关系式；（2）若某用户估计一个月内上网的时间为20小时，你认为采用哪种方式较为合算？