泛函与变分

第1章 泛函和变分

1.1引言

以前我们在微积分中遇到的都是类似下面的函数极值问题: 一个足够光滑的连续函数

12(,,...,)n y f x x x =，其在区域n R Ω⊂内任何一点12(,,...,)T n x x x =x 都可以作以下的

Taylor 展开

2

12

1

2()()()()(||||)(),,...,T T T T

n f f f f o f f f f x x x +∆=+∆+∆∆+∆⎛⎫∂∂∂= ⎪

∂∂∂⎝⎭x x x x x x D x x x x ∇∇ (

函数在某一点有极值的必要条件是

但是，我们这们课程中要讨论的则是另一类极值问题—泛函的极值问题(泛函简单地讲， 就是函数的函数，详细见后面)。

例1.1 一个简单的变分问题: 最短线问题

图1.1最短线问题

假设经过,A B 两点距离最短的曲线方程为

*()y y x =

(

另有一任意的连续可导函数()x ηη=，()x η满足两端固定的边界条件

01()()0x x ηη== (

显然()()y y x x αη=+依旧是过固定两点,A B 的连续曲线，其对应的长度为

1

()x x L x α=⎰

(

当0α=,()y y x =时()L α取到极小值，也就是说

0d ()

|0d L ααα

== ( 把(, 展开后有

(

)()

101

1

1

000110

000

33

d ()||d |d ''''''d d 0

x x x x x x x x x x x x L y x y y y x x y y y y y x x

ααααηηη==='⎛⎫==-⎛⎫ ⎪=-=-⎪⎪⎭=⎰⎰⎰⎰⎰ (

由于( 对于任意的()x ηη=都成立，根据变分引理(见, 我们可以得到

(

)

3

''

0y = (

意味着

12y C x C =+ (

因此, 在平面上过固定两点距离最近的光滑曲线是直线。

下面我们来看几类比较典型的变分问题。 例1.2 最速降线问题

图1.2最速降线问题

我们在该铅直平面上取一直角坐标系，以A 为坐标原点，水平为x 轴，向下为y 轴。曲线的方程为()y y x =， A 点坐标00(,)(0,0)x y =, B 点坐标11(,)x y 。曲线上任意一点P 时的速度为

d d s

v t

=

=

( d d s t x v ==== (

因此，重物沿该曲线从A 点滑到B 点所需要的总时间为

[]d x x T y t x ==⎰⎰

(

[]T y 我们也称之为泛函。该曲线参数形式为

1122(sin ),(1cos )x C y C θθθ=-=-

( 短程

线问题

短程线问题可以描述为：给定一个光滑曲面(,,)0x y z φ=，在该曲面上有两个固定A 和B ，要求在曲面上找到一根连接该两点的最短曲线。

记A 和B 的坐标分别为111(,,)x y z 和222(,,)x y z ，连接该两点的曲线方程为 (),()y y x z z x ==

(

它们满足

(,,)0x y z φ=

(

那么该曲线的长度为

2

1

[,]x x L y z x =⎰

(

因此，短程线问题所对应的变分问题为：在连接A 111(,,)x y z 和B 222(,,)x y z 而且满足

(,,)0x y z φ=的光滑曲线()y y x =，()z z x =中，找到其中的一条，使得([,]L y z

和前面速降线问题中不同的是，这里的自变函数()y y x =，()z z x =不是自由的，它们受到约束条件(,,)0x y z φ=的限制，因此短程线问题对所应的是个泛函的条件极值问题，其约束条件是代数关系。

例1.4 等周问题

用参数表示的平面曲线方程为

(),()x x s y y s ==

(

参数s 可以理解为曲线从起点的长度。如果曲线的长度为l ,那么[0,]s l ∈。由于曲线是封闭，

所以有边界条件

(0)(),(0)()x x l y y l ==

(

而该曲线的长度为

l s =⎰

(

该曲线所围成的面积为(根据Green 公式)

1212[,]d d (d d )

('')d A x y x y x y y x xy yx s

==-=-⎰⎰⎰⎰ÑÑ (

因此, 等周问题所对应的变分问题可以描述为: 在所有满足(0)(),(0)()x x l y y l ==以

及约束条件0

l

l s =

⎰

的曲线中, 找到其中一根使得([,]A x y ，等周变分问题是

泛函的条件极值问题，其约束条件是个积分等式。

例1.5 最优控制问题 状态方程为

0()[(),(),],[,]f t t t t t t t =∈x f x u &

(

其中n R ∈x 为状态向量, 0()t x 为初始状态, ()f t x 为终止状态, m

R ∈u 为输入向量。要求

寻找合适的()(,)t t =u g x ，使得

[(),(),]d min f

t t J L t t t t =→⎰x u

(

其中J 是一个性能泛函。 和上面几个问题不同的，这是一个带微分约束(

1.2 泛函

定义1.1 记{()}C y x =是给定的函数集合，如果对于该集合中的任何一个函数)(x y ，都有一个数(在本讲义中全部为实数)与之相对应，我们记为)]([x y J 或者][y J 。这样我们说

][y J 是定义在函数集合)}({x y 上的一个泛函。

简单地讲，泛函就是以函数集合为定义域的实值映射。

泛函的定义域是指泛函定义中的函数集合。如例1.2中最速降线中的泛函

(

[]d x T y t x ==⎰⎰

，

其定义域为

此外，在等周问题中泛函( 中的定义域为

象短程线问题中的( 、等周问题中的( 、最优控制问题中的(，一般不被视为泛函定义域中对函数的限制，而被认为是一种外加的约束，这样的约束称为条件。

以上定义还可以推广到依赖于多元函数或多个函数的泛函。举两个例子。

{(,)(,)}C z x y x y =∈Ω是定义在区域Ω上连续函数的集合，那么下式就定义了一个

泛函

如果1{(),(),[,]}C y x z x y z C a b =∈是定义在区间[[,]a b 上的一阶连续可微函数对的