2015届高考数学(理)一轮复习单元检测：三角函数、解三角形、平面向量
2015届高考数学(基础过关+能力训练)：三角函数、三角恒等变换及解三角形 三角函数的综合应用(含答案)
第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第9课时 三角函数的综合应用1. 若函数f[x]＝cos ωxcos ⎝⎛⎭⎫π2－ωx [ω>0]的最小正周期为π，则ω＝________．答案：1解析：由于f[x]＝cos ωxcos ⎝⎛⎭⎫π2－ωx ＝12sin2ωx ，所以T ＝2π2ω＝＝1.2. 在△ABC 中，若∠B ＝π4，b ＝2a ，则∠C ＝________.答案：7π12解析：根据正弦定理可得a sinA ＝b sinB ，即a sinA ＝2a sin π4，解得sinA ＝12.因为b ＝2a>a ，所以A<B ，所以A ＝π6，所以C ＝π－A －B ＝7π12.3. 已知tanx －1tanx ＝32，则tan2x ＝________．答案：－43解析：由tanx －1tanx ＝32，可得tanx 1－tan 2x ＝－23，所以tan2x ＝2tanx 1－tan 2x＝－43. 4. 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，1，b ＝[4，4cos α－3]，若a ⊥b ，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋4π3＝________．答案：－14解析：a·b ＝4sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋4cos α－3＝23sin α＋6cos α－3＝43sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－3＝0，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝14.所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋4π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－14.5. 设函数f[x]＝cos[ωx ＋φ]－3sin[ωx ＋φ]⎝⎛⎭⎫ω>1，|φ|<π2，且其图象相邻的两条对称轴为x 1＝0，x 2＝π2，则φ＝________．答案：－π3解析：由已知条件，得f[x]＝2cos[ωx ＋φ＋π3]，由题意得T 2＝π2，∴ T ＝π.∴ T ＝2πω，∴ ω＝2.∵ f[0]＝2cos ⎝⎛⎭⎫φ＋π3，x ＝0为f[x]的对称轴，∴ f[0]＝2或－2.∵ |φ|<π2，∴ φ＝－π3.6. 已知函数f[x]＝2sinx ，g[x]＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ，直线x ＝m 与f[x]，g[x]的图象分别交于M 、N 两点，则|MN|的最大值为________．答案：2 2解析：构造函数F[x]＝2sinx －2cosx ＝22sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，故最大值为2 2.7. 已知f[x]＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3[ω>0]，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f[x]在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3有最小值，无最大值，则ω＝________．答案：143解析：由题意知直线x ＝π6＋π32＝π4为函数的一条对称轴，且ω×π4＋π3＝2k π－π2[k ∈Z ]，∴ ω＝8k －103[k ∈Z ]． ①又π3－π6≤2πω[ω>0]，∴ 0<ω≤12. ② 由①②得k ＝1，∴ ω＝143.8. 已知函数f[x]＝sin[2x ＋φ]，其中φ为实数．f[x]≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2>f[π]，则f[x]的单调递增区间是________． 答案：⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3[k ∈Z ]解析：由x ∈R ，有f[x]≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6知，当x ＝π6时f[x]取最值，∴ f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1，∴ π3＋φ＝±π2＋2k π[k ∈Z ]，∴ φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π[k ∈Z ]．∵f ⎝⎛⎭⎫π2>f[π]，∴ sin[π＋φ]>sin[2π＋φ]，∴ －sin φ>sin φ，∴ sin φ<0.∴ φ取－5π6＋2kπ[k ∈Z ]．不妨取φ＝－5π6，则f[x]＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6.令－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π[k ∈Z ]，∴ π3＋2k π≤2x ≤4π3＋2k π[k ∈Z ]，∴ π6＋k π≤x ≤2π3＋k π[k ∈Z ]．∴ f[x]的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π[k ∈Z ]．9. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c.[1] 若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；[2] 若sinC ＋sin[B －A]＝sin2A ，试判断△ABC 的形状．解：[1] ∵ c ＝2，C ＝π3，∴ 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ，得a 2＋b 2－ab ＝4. ∵ △ABC 的面积为3， ∴ 12absinC ＝3，ab ＝4. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.[2] 由sinC ＋sin[B －A]＝sin2A ，得sin[A ＋B]＋sin[B －A]＝2sinAcosA ， 即2sinBcosA ＝2sinAcosA ，∴ cosA ·[sinA －sinB]＝0，∴ cosA ＝0或sinA －sinB ＝0， 当cosA ＝0时，∵ 0＜A ＜π，∴ A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sinA －sinB ＝0时，得sinB ＝sinA ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形． ∴ △ABC 为等腰三角形或直角三角形．10. 已知函数f[x]＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋32[ω∈R ，x ∈R ]的最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π6对称．[1] 求f[x]的解析式；[2] 若函数y ＝1－f[x]的图象与直线y ＝a 在⎣⎡⎦⎤0，π2上只有一个交点，求实数a 的取值范围．解：[1] f[x]＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋32＝32sin2ωx －12[1＋cos2ωx]＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋1.∵ 函数f[x]的最小正周期为π，∴ 2π|2ω|＝π，即ω＝±1，∴ f[x]＝sin ⎝⎛⎭⎫±2x －π6＋1.① 当ω＝1时，f[x]＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1，∴ f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin π6＋1不是函数的最大值或最小值，∴ 其图象不关于x ＝π6对称，舍去．② 当ω＝－1时，f[x]＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1，∴ f ⎝⎛⎭⎫π6＝－sin π2＋1＝0是最小值，∴ 其图象关于x ＝π6对称．故f[x]的解析式为f[x]＝1－sin ⎝⎛⎫2x ＋π6.[2] y ＝1－f[x]＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，在同一坐标系中作出y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6和y ＝a 的图象：由图可知，直线y ＝a 在a ∈⎣⎡⎭⎫－12，12或a ＝1时，两曲线只有一个交点，∴ a ∈⎣⎡⎭⎫－12，12或a ＝1.11. [2013·江苏]如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cosA ＝1213，cosC ＝35.[1] 求索道AB 的长；[2] 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？[3] 为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：[1] 在△ABC 中，因为cosA ＝1213，cosC ＝35，所以sinA ＝513，sinC ＝45.从而sinB ＝sin[π－[A ＋C]]＝sin[A ＋C]＝sinAcosC ＋cosAsinC ＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sinC ＝ACsinB ，得AB ＝AC sinB ×sinC ＝1 2606365×45＝1 040[m]．所以索道AB 的长为1 040 m.[2] 假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了[100＋50t]m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝[100＋50t]2＋[130t]2－2×130t ×[100＋50t]×1213＝200[37t 2－70t ＋50]，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537[min]时，甲、乙两游客距离最短．[3] 由正弦定理BC sinA ＝AC sinB ，得BC ＝AC sinB ×sinA ＝1 2606365×513＝500[m]．乙从B 出发时，甲已走了50×[2＋8＋1]＝550[m]，还需走710 m 才能到达C.设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤1 25043，62514[单位：m/min]范围内．。
高三理科数学一轮单元卷：第十单元 三角函数、平面向量、解三角形综合 A卷
一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）第十单元 三角函数、平面向量、解三角形综合注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若1sin 3α=，则cos2α=（ ）A ．89B ．79 C ．79-D ．89-2．已知()3,6AB =u u u r，点B 的坐标为()2,3，则点A 的坐标为（ ）A ．()1,3--B ．()3,1--C ．()1,3D ．()5,93．已知平面向量a ，b 的夹角为3π，且1=a ，12=b ，则2-=a b （ ）A ．1B C ．2D ．324．已知3sin 45απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，5,24αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin α=（ ）A B ． C ． D ．5．若()0,α∈π，()sin cos ααπ-+=，则sin cos αα-的值为（ ）A ．3B ．3C ．43 D ．43-6．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若()sin sin sin a A b B c b C =+-， 则角A 的值为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 7．函数()()sin f x A x ωϕ=+020,,A ωϕπ<⎛⎫>> ⎪⎝⎭的图象如图，则ϕ=（ ）A ．3π-B ．6π-C ．6π D ．3π 8．将函数()()sin 0,22f x x ωϕωϕππ⎛⎫=+>-≤< ⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移56π个单位长度得到cos y x =的图象，则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A ．52,21212k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦，k ∈ZB ．52,266k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦，k ∈ZC ．5,1212k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦，k ∈ZD ．5,66k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z9．关于函数2sin 314y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，下列叙述有误的是（ ） A ．其图象关于直线4x π=-对称 B ．其图象关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．其值域是[]1,3- D ．其图象可由2sin 14y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的13得到 10．在ABC △中，4C π∠=，2AB =，6AC =cos B 的值为（ ） A ．12B ．3C ．12或3D ．12或12- 11．已知a ，b 为平面向量，若+a b 与a 的夹角为3π，+a b 与b 的夹角为4π，则=a b （ ）A B C D 12．命题p ：若向量0⋅<a b ，则a 与b 的夹角为钝角；命题q ：若cos cos 1αβ⋅=，则()sin 0αβ+=． 下列命题为真命题的是（ ） A ．p B ．q ⌝C ．p q ∧D ．p q ∨二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．已知tan 2θ=，则sin cos θθ=____．14．在锐角ABC △中，1cos 3A =，AC ，ABC △BC =__________． 15．若函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(),(0)a b a b ≤<≤π上单调递增，则b a -的最大值为__________．16．设向量1,sin 2α⎛⎫= ⎪⎝⎭a ，23α⎫=+⎪⎪⎝⎭b ，若∥a b ，则5sin 26απ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是___________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知向量()1,2=a ，(),1x =b ， （1）当2+a b 与2-a b 平行时，求x ； （2）当2+a b 与2-a b 垂直时，求x ．18．（12分）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过 点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（1）求()sin α+π的值； （2）若角β满足()5sin 13αβ+=，求cos β的值．19．（12分）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=︒，45A ∠=︒，2AB =，5BD =． （1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC ．20．（12分）已知函数()2sin cos f x x x x =+． （1）求()f x 的值域；（2）已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，4a =，5b c +=，求ABC △的面积．21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos ,sin αα=a ，()sin ,cos ββ=-b ，（1，求()sin αβ-的值； （2，0β<<π，且()+∥a b c ，求β的值．22．（12分）在ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，向量()2,a c b =+x ， 向量()cos ,cos B C =y ，且0⋅=x y ． （1）求B 的大小；（2）若b =BA BC +u u u r u u u r的最小值．一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（A ） 第十单元 三角函数、平面向量、解三角形综合一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】B【解析】227cos212sin 199αα=-=-=，故答案为B ． 2．【答案】A【解析】设点A 的坐标为(),x y ，又由()3,6AB =u u u r ，()2,3B ，则()()2,33,6AB x y =--=u u u r，即2336 x y =-=⎧⎨⎩-，解得1x =-，3y =-，即点A 的坐标为()1,3--，故选A ． 3．【答案】A【解析】因为平面向量a ，b 的夹角为3π，且1=a ，12=b ，所以21-===a b ，故选A ．4．【答案】B【解析】∵5,24αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 45απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴,44αππ⎛⎫-∈π ⎪⎝⎭，∴4cos 45απ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，或45（舍去）∴34sin sin sin cos cos sin 44444455αααα⎡ππ⎤ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选B ． 5．【答案】C【解析】由诱导公式得()sin cos sin cos ααααπ-+=+=平方得()22sin cos 12sin cos 9αααα+=+=，则72sin cos 09αα=-<，所以()216sin cos 12sin cos 9αααα-=-=，sin cos 4αααπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又因为()0,α∈π，所以3,444απππ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4απ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以4sin cos 3αα-=，故选C ． 6．【答案】C【解析】在ABC △，因为()sin sin sin a A b B c b C =+- 由正弦定理可化简得222a b c bc =+-，所以222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，从而3A π=，故选C ．7．【答案】B 【解析】因为2362T πππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭=，所以T =π，22Tωπ==， 因为sin 213ϕπ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，所以()232k k ϕπππ∈Z 2+=+，()26k k ϕπ=-π∈Z +，因为2ϕπ<，因此6ϕπ=-，故选B ．8．【答案】C【解析】把函数cos y x =的图象向右平移56π个单位，得到函数5cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把所得函数的图象上每一点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变）， 得到函数5cos 2sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，即函数()()sin 0,22f x x ωϕωϕππ⎛⎫=+>-≤< ⎪⎝⎭的解析式为sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令222232k x k ππππ-≤-≤π+，k ∈Z ， 解得51212k x k πππ-≤≤π+，k ∈Z ， 则函数()f x 的单调增区间为5,1212k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，故选C ．9．【答案】B【解析】选项A ，将4x π=-代入2sin 314y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭中，1y =-为最小值，所以4x π=-是函数的一条对称轴． 选项B ，将12x π=-代入2sin 314y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭中，3y =，从而1y ≠，所以点,112π⎛⎫⎪⎝⎭不是函数的一个对称中心．选项C ，函数的最大值为3，最小值为1-，所以值域为[]1,3-． 选项D ，ω从3变为1，所以横坐标变为原来的13．所以选B ． 10．【答案】D 【解析】由题意4C π∠=，2c AB ==，6b AC ==， 由正弦定理sin sin b cB C=，则有6sin34sin 2B π==， 因为0B <<π，所以3B π=或23π， 当3B π=时，1cos 2B =，当23B π=时，1cos 2B =-，故选D ． 11．【答案】D 【解析】如图所示在平行四边形ABCD 中，AB =u u u r a ，AD =u u u r b ，AC =+u u u ra b ，3BAC π∠=，4DAC π∠=， 在ABC △中，由正弦定理可得，sin4sin 3π===πa b D ． 12．【答案】D【解析】命题p ：若向量0⋅<a b ，则a 与b 的夹角为钝角或平角，因此为假命题； 命题q ：若cos cos 1αβ⋅=，则cos cos 1αβ==±，因此12k α=π，22k β=π，或()121﹣k α=π，()221﹣k β=π，1k ，2k ∈*N ．则()sin 0αβ+=，为真命题．下列命题为真命题的是p q ∨，其余为假命题．故答案为D ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】25【解析】由tan 2θ=，则22sin cos 12sin cos 1sin cos 5tan tan θθθθθθθθ===++，故答案为25．14．【答案】2 【解析】由题得sin 3A =，1sin 2AC AB A AB ⋅ 2331cos 263BC A BC +-==⇒=，故答案为2．15．【答案】512π【解析】函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在50,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在511,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1112π⎛⎫,π⎪⎝⎭上单调递增， ∴b a -的最大值为5501212ππ-=或111212πππ-=，即b a -的最大值为512π，故答案为512π．16．【答案】79-【解析】因为∥a b ，所以12cos 23αα⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以11cos 23αα+=，所以1sin 63απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2527sin 2sin 2cos 22sin 116323699ααααπππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案是79-．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）12x =；（2）2x =-或72x =． 【解析】由已知得()212,4x +=+a b ，()22,3x -=-a b ， （1）由()()123420x x +⋅-⋅-=得12x =． （2）由()()122430x x +⋅-+⨯=得2x =-或72x =． 18．【答案】（1）45；（2）5665-或1665． 【解析】（1）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得4sin 5α=-，所以()4sin sin 5αα+π=-=． （2）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得3cos 5α=-，由()5sin 13αβ+=得()12cos 13αβ+=±． 由()βαβα=+-得()()cos cos cos sin sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65β=．19．【答案】（1；（2）5． 【解析】（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠．由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以sin 5ADB ∠=．由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos ADB ∠==（2）由题设及（1）知，cos sin BDC ADB ∠=∠=． 在ABD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠25825=+-⨯⨯ 25=．所以5BC =．20．【答案】（1）1⎡-+⎢⎣⎦；（2）ABC S △．【解析】（1）由题意知，())21sin cos 1cos2sin 22f x x x x x x =+-+1sin 22sin 223x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭． ∵[]sin 21,13x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴()sin 213f x x ⎡π⎛⎫=-+-+⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦．（2）∵sin 23A f A π⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴sin 03A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵()0,A ∈π，2,333A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴03A π-=，解得3A π=．∵4a =，5b c +=，∴由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 可得()222163253b c bc b c bc bc =+-=+-=-，解得3bc =，∴11sin 322ABC S bc A ==⨯=△． 21．【答案】（1）12-；（2）π2β=．【解析】（1）因为()cos ,sin αα=a ，()sin ,cos ββ=-b ， ，且()cos sin sin cos sin αβαβαβ⋅=-+=-a b ．2222+⋅+=a a b b c ，所以()12sin 11αβ+-+=，即()1sin 2αβ-=-．（2）因为5π6α=因为()+∥a b c ，所以11cos sin 022ββ⎫⎛⎫+---=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．化简得，11sin 222ββ-=，所以π1sin 32β⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 因为0πβ<<，所以ππ2π333β-<-<．所以ππ36β-=，即π2β=． 22．【答案】（1）23B =π；（2）1． 【解析】（1）()2cos cos 0a c B bC ⋅=++=x y ，由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ++=，∴()2sin cos sin 0A B B C ++=，∴()sin 2cos 10A B +=．∵(),0,A B ∈π，∴1sin 0,cos 2A B ≠=-，∴23B =π， （2）由余弦定理知2222232cos 2313a c ac c a ac ac ac ac ac =+-π=+≥+=⇒≤+． ∴2222222cos 213BA BC c a ac c a ac ac ac ac +=++π=+-≥-=≤u u u r u u u r ． ∴BA BC +u u u r u u u r 的最小值为1，当且仅当1a c ==时取“”．。
2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：第3章 三角函数、解三角形 第1节
[课堂练通考点]1．如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ)解析：选A 由三角函数的定义知P (cos θ，sin θ)，选A.2．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1或4 B ．1 C ．4D ．8解析：选A 设扇形的半径和弧长分别为r ，l ， 则易得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2，解得⎩⎨⎧ l ＝4r ＝1或⎩⎨⎧l ＝2，r ＝2.故扇形的圆心角的弧度数是4或1.3．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上． ∴⎩⎨⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.故选A. 4．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．解析：2 010°＝676π＝12π－5π6，∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为5π6. 答案：5π65．(2014·辽源模拟)若三角形的两个内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形为________．解析：∵sin αcos β＜0，且α，β是三角形的两个内角． ∴sin α＞0，cos β＜0，∴β为钝角． 故此三角形为钝角三角形． 答案：钝角三角形6．已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求α的三角函数值．解：∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴－1<cos θ<0，∴r ＝9cos 2θ＋16cos 2θ＝－5cos θ， 故sin α＝－45，cos α＝35，tan α＝－43.[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A.π3B.π6 C ．－π3D ．－π6解析：选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角． 故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16. 即为－16×2π＝－π3.2．已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是( ) A ．第一或第二象限角B ．第二或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角解析：选C 易知sin θ<0，且cos θ≠0，∴θ是第三或第四象限角． 3．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( ) A ．－32 B.32 C ．－12D.12解析：选D 因为角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )，又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.4．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 解析：选A 由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.5．给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④sin 7π10cos πtan 17π9，其中符号为负的是( ) A ．① B ．② C ．③D ．④解析：选C sin(－1 000°)＝sin 80°>0；cos(－2 200°) ＝cos(－40°)＝cos 40°>0；tan(－10)＝tan(3π－10)<0； sin 7π10cos πtan 17π9＝－sin 7π10tan 17π9，sin 7π10>0，tan 17π9<0，∴原式>0. 6．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．答案：(－1，3)7.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝________.解析：因为A 点纵坐标y A ＝45，且A 点在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.答案：－358．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第________象限角．解析：由α是第三象限角，知2k π＋π<α<2k π＋3π2(k ∈Z )，k π＋π2<α2<k π＋3π4(k ∈Z )，知α2是第二或第四象限角，再由⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2知sin α2<0，所以α2只能是第四象限角．答案：四9．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .解：设圆的半径为r cm ， 弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎨⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr ＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H .则∠AOH ＝1弧度． ∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)， ∴AB ＝2sin 1(cm)． 10．已知sin α<0，tan α>0. (1)求α角的集合； (2)求α2终边所在的象限； (3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号． 解：(1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α>0，知α在第一、三象限， 故α角在第三象限，其集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪(2k ＋1)π<α<2k π＋3π2，k ∈Z. (2)由(2k ＋1)π<α<2k π＋3π2， 得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ， 故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时， tan α2<0，sin α2>0，cos α2<0， 所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2<0，sin α2<0，cos α2>0， 所以tan α2sin α2cos α2也取正号． 因此，tan α2sin α2cos α2取正号． 第Ⅱ组：重点选做题1．满足cos α≤－12的角α的集合为________．解析作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP 的坐标为________．解析：如图，连接AP ，分别过P ，A 作PC ，AB 垂直x 轴于C ，B 点，过A作AD ⊥PC 于D 点．由题意知 BP的长为2. ∵圆的半径为1， ∴∠BAP ＝2， 故∠DAP ＝2－π2.∴DP ＝AP ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝－cos 2，∴PC ＝1－cos 2，DA ＝AP cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝sin 2.∴OC ＝2－sin 2.故OP＝(2－sin 2,1－cos 2)． 答案：(2－sin 2,1－cos 2)。
【高考导航】2015高考数学一轮总复习 专题二 三角函数、平面向量综合题的解答课件 理
求 f(x0＋1)的值．
聚焦考向透析
例题精编
考向二
三角函数图象性质的应用
方法分析 解题过程 回归反思
(2012·高考四川卷)函数
f(x)＝6cos2
ωx ＋ 3sin ω x－3(ω ＞0) 2
在一个周期内的图象如图所示，A 为图象 的最高点 B，C 为图象与 x 轴的交点， 且△ABC 为正三角形． (1)求 ω 的值及函数 f(x)的值域；
f(x)＝6cos2
ωx ＋ 3sin ω x－3(ω ＞0) 2
在一个周期内的图象如图所示，A 为图象 的最高点 B，C 为图象与 x 轴的交点， 且△ABC 为正三角形． (1)求 ω 的值及函数 f(x)的值域；
10 2 8 3 (2)若 f(x0)＝ ，且 x0∈－ ， ， 5 3 3
π 1 不等式 sinx＋ ≥ . 6 2
x g(x)＝2sin2 . 2
3 3 (1)若 α 是第一象限角，且 f(α )＝ ， 5 求 g(α )的值； (2)求使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合．
聚焦考向透析
例题精编
考向二 三角函数图象性质的应用
方法分析 解答过程 回归反思
第一章 从实验学化学
第四章 平面向量、数系的扩充 与复数的引入
专题二 三角函数、平面向量综合问题的解答
目 录
ONTENTS
1
聚焦考向透析
2
学科能力提升
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聚焦考向透析
例题精编
考向一 三角恒等变换与化简求值
方法分析 解答过程 回归反思
(2013·高考湖南卷)
π π 已知函数 f(x)＝sinx－ ＋cosx－ ， 6 3
2015高考数学(文)一轮复习质量检测 三角函数、解三角形、平面向量 (北师大版)
2015高考数学（文）一轮复习质量检测 三角函数、解三角形、平面向量(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（2014·龙岩质检）已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(1,2)，向量c 满足(c ＋b )⊥a ，(c－a )∥b ，则c ＝( )A. (2,1)B. (1,0)C. (32，12)D. (0，－1)解析：设c ＝(x ，y )，则c ＋b ＝(x ＋1，y ＋2)，c －a ＝(x －1，y ＋1)．由(c ＋b )⊥a ，(c －a )∥b 可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y －2＝0y ＋1＝x －，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1，因此c ＝(2,1)．答案：A2．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别是CD ，BC 的中点，那么EF →＝ A.12AB →＋12AD → B ．－12AB →－12AD → C ．－12AB →＋12AD → D.12AB →－12AD →解析：在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →，因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 的中点，所以CF →＝12CB →.所以EF →＝12DC →＋12CB →＝12AB →＋12DA →＝12AB →－12AD →.故选D.答案：D3．已知|a |＝2，b 是单位向量，且a 与b 的夹角为60°，则a ·(a ·b )等于( ) A ．1 B ．2－ 3 C ．3D ．4－ 3解析：依题意得a ·(a －b )＝a 2－ab ＝22－2×1×cos 60°＝3，故选C. 答案：C4．在△ABC 中，角A ，B 均为锐角，且cos A >sin B ，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：cos A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A >sin B ，π2－A ，B 都是锐角，则π2－A >B ，A ＋B <π2，C >π2. 答案：C5．计算tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1，选D.答案：D6．(2013年唐山月考)将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝π9 B ．x ＝π8 C ．x ＝π2D ．x ＝π解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3――→横坐标伸长到原来的2倍y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，则其对称轴为x 2－π4＝kπ，x ＝2kπ＋π2(x ∈Z )．∴x ＝π2是其中一条对称轴．答案：C7．已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →) A ．最大值为8 B ．最小值为2 C ．是定值6D ．与P 的位置有关解析：设BP →＝λBC →，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋λBC →.∴AP →·(AB →＋AC →)＝(AB →＋λBC →)(AB →＋AC →)＝AB →2＋λBC →·AB →＋AB →·AC →＋λBC →·AC →＝22＋λ×2×2×cos 120°＋2×2×cos 60°＋λ×2×2×cos 60°＝4－2λ＋2＋2λ＝6.答案：C8．函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)的图象如图所示，其中A >0，ω>0，|φ|<π2.则下列关于函数f (x )的说法中，正确的是( )A ．对称轴方程是x ＝π3＋2kπ(k ∈Z ) B ．φ＝－π6 C ．最小正周期是πD ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－5π6上单调递减解析：由图象可得A ＝1，因为T 2＝πω＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，所以ω＝1，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，0代入得56π＋φ＝2kπ＋π，所以φ＝2kπ＋π6.又|φ|<π2，所以φ＝π6，故B ，C 错；由解析式可得对称轴方程为x ＝π3＋kπ(k ∈Z )，故A 错；又函数f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2kπ＋π3，2kπ＋4π3， 当k ＝－1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－5π6⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π3，－2π3，答案选D.答案：D9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若b 2＋c 2－bc ＝a 2，且ab ＝3，则角B 的值为( )A ．30°B ．45°C ．90°D ．120°解析：b 2＋c 2－bc ＝a 2，则cos A ＝12，A ＝60°，a b ＝3，sin A sin B ＝3，则sin B＝12，又可知b <a ，故B 为锐角，B ＝30°.答案：A10．(2013年冀州中学期中)已知钝角三角形ABC 的最长边的长为2，其余两边长为a ，b ，则集合P ＝{(x ，y )|x ＝a ，y ＝b }所表示的平面图形的面积是( )A ．2B ．4C ．π－2D ．4π－2解析：根据三角形两边之和大于第三边，有a ＋b >2，由余弦定理可知cos C <0，这样可知a 2＋b 2<4，作出图象可知其面积为π－2，选C.答案：C11．若函数f (x )＝－2cos (ωx －φ)(0<φ<π)的图象关于原点对称，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4时，f (x )单调递减且最小值是－1，那么ω＝( )A ．－23 B.23 C.43D.103解析：由函数f (x )＝－2cos (ωx －φ)(0<φ<π)的图象关于原点对称，得函数f (x )是奇函数，所以φ＝kπ＋π2(k ∈Z )．又因为0<φ<π，所以φ＝π2，所以f (x )＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2＝－2sin ωx .因为当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4时，f (x )单调递减且最小值是－1，所以ω>0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－2sin π4ω＝－1，π4≤T 4＝π2ω，解得ω≤2，且ω＝8k ＋23或ω＝8k ＋103(k∈Z )，故ω＝23.答案：B12．已知平面向量a 、b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与向量a ＋b 的夹角为( )A.π2B.π3C.π6D ．π解析：|2a ＋b |2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝7，∴a ·b ＝0，则a ⊥b . 从而|a ＋b |＝2，设a 与a ＋b 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·(a ＋b )|a |·|a ＋b |＝12，则θ＝π3.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13，π3<α<π，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝______.解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13>0，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π，α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，7π6，∴π2<α＋π6<π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－223，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝22×⎝⎛⎭⎪⎫－223－22×13＝－(4＋2)6.答案：－4＋2614．如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m ＝________.解析：因为AN →＝13NC →，AP →＝mAB →＋811AN →，可得m ＋811＝1，所以实数m 的值为311.答案：31115．（2014·南通学情调研）“温馨花园”为了美化小区，给居民提供更好的生活环境，在小区内如图的一块三角形空地上种植草皮(单位：m)，已知这种草皮的价格是120元/m 2，则购买这种草皮需要______元．解析：三角形空地的面积S ＝12×123×25×sin120°＝225，故共需225×120＝27000元．答案：2700016．在△ABC 中，A ＝30°，BC ＝25，D 是边AB 上的一点，CD ＝2，△BCD 的面积为4，则AC 的长为________．解析：过点C 作CE ⊥AB ，垂足为点E .因为S △DCB ＝12CD ·BC ·sin ∠DCB ＝4，所以sin ∠DCB ＝845＝255.当∠DCB 为锐角时，cos ∠DCB ＝55，所以BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠DCB ＝16，解得BD ＝4.又S △DCB ＝12BD ·CE ＝4，所以CE ＝2.又CE ⊥AE ，∠CAE ＝30°，所以AC ＝2CE ＝4；当∠DCB 为钝角时，cos ∠DCB ＝－55，所以BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠DCB ＝32，解得BD ＝4 2.又S △DCB ＝12BD ·CE ＝4，所以CE ＝ 2.又CE ⊥AE ，∠CAE ＝30°，所以AC ＝2CE ＝2 2. 答案：22或4三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9的值；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＋π4＝2，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值．解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝tan π3＋tan π41－tan π3tan π4＝3＋11－3＝－2－ 3. (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π4＋π4＝tan(α＋π)＝tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sinα＝2cos α.①因为sin 2α＋cos 2α＝1②由①②联立，解得cos 2α＝15.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以cos α＝－55，sin α＝－255，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝－55×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－255×22＝－31010.18．已知函数f (x )＝sin 2x cos 2x －3sin 22x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的取值范围．解：(1)因为f (x )＝sin 2x cos 2x －3sin 22x ＝12sin 4x －3·1－cos 4x 2 ＝12sin 4x ＋32cos 4x －32 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3－32，所以函数f (x )的最小正周期为π2. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3－32.因为0≤x ≤π4， 所以π3≤4x ＋π3≤43π. 所以－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3≤1.所以－3≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3－32≤1－32.所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，1－32.19．在△ABC 中，AB →·AC →＝0，|AB →|＝8，|AC →|＝6，l 为线段BC 的垂直平分线，l 与BC 交于点D ，E 为l 上异于D 的任意一点，(1)求AD →·CB →的值．(2)判断AE →·CB →的值是否为一个常数，并说明理由． 解：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图，由题意可知A (0,0)，B (8,0)，C (0,6)．(1)∵D 为BC 中点，∴D 点坐标为(4,3)， ∵AD →＝(4,3)，CB →＝(8，－6)， ∴AD →·CB →＝4×8＋3×(－6)＝14. (2)设E 点坐标为(x ，y )，其中x ≠4. 由DE ⊥BC ，得DE →·BC →＝0， ∴(x －4，y －3)·(－8,6)＝0， ∴4x －3y －7＝0.∴AE →·CB →＝(x ，y )·(8，－6) ＝8x －6y ＝2(4x －3y )＝14， 故AE →·CB →的值为常数14.20．(2012年东北四校质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＋b ＝5，c ＝7，且4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72.(1)求角C 的大小； (2)求△ABC 的面积．解：(1)因为A ＋B ＋C ＝180°，由4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，得4cos 2C2－cos 2C＝72，所以4·1＋cos C 2－(2cos 2C －1)＝72.整理得4cos 2C －4cos C ＋1＝0，解得cos C ＝12. 因为0°<C <180°，所以C ＝60°.(2)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即7＝a 2＋b 2－2ab ×12，所以7＝(a ＋b )2－3ab ＝25－3ab ，解得ab ＝6.所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.21．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2cos C2，－sin C )，n ＝(cos C2，2sin C )，且m ⊥n .(1)求角C 的大小；(2)若a 2＝2b 2＋c 2，求tan A 的值．解：(1)因为m ⊥n ，所以m ·n ＝0.则2cos 2C2－2sin 2C ＝0.因为C ∈(0，π)，所以cos C 2>0，sin C >0，所以cos C 2＝sin C ，则sin C 2＝12.又C 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以C 2＝π6.则C ＝π3.(2)因为C ＝π3，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－ab . 又因为a 2＝2b 2＋c 2，所以a 2＝2b 2＋a 2＋b 2－ab ， 解得a ＝3b .由正弦定理，得sin A ＝3sin B . 因为C ＝π3，所以sin A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A .即sin A ＝－33cos A .因为cos A ＝0上式不成立，即cos A ≠0， 所以tan A ＝－3 3.22．(2012年浙江六校联考)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2－a 2－c 2ac＝cos (A ＋C )sin A cos A .第 11 页 共 11 页 (1)求角A ；(2)若a ＝2，求bc 的取值范围．解：(1)∵b 2－a 2－c 2ac ＝cos (A ＋C )sin A cos A ，∴－2ac cos B ac ＝－cos Bsin A cos A ，∵△ABC 为锐角三角形，∴cos B ≠0，∴2sin A cos A ＝1，即sin 2A ＝1， ∴2A ＝π2，A ＝π4.(2)根据正弦定理可得：a sin A ＝b sin B ＝csin C ，∴bc ＝4sin B sin C ，又C ＝3π4－B ，∴bc ＝4sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－B ＝4sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos B ＋22sinB ＝2sin 2B ＋2(1－cos 2B )⇒bc ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π4＋ 2.又△ABC 为锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0<B <π2，0<3π4－B <π2，得到B 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.∴2B －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，则bc 的范围为(22，2＋2]．。
2015届高考数学一轮复习单元检测：简易逻辑、函数、导数、平面向量、解三角形(广东专用,文科)
2015届高考数学一轮复习单元检测：简易逻辑、函数、导数、平面向量、解三角形(时间:120分钟满分:150分)【选题明细表】一、选择题(每小题5分,共50分)1.(2013惠州市三调)已知向量p=(2,-3),q=(x,6),且p∥q,则|p+q|的值为( B )(A) (B)(C)5 (D)13解析:由p∥q知,2³6+3x=0,∴x=-4∴p+q=(-2,3),从而|p+q|=,故选B.2.(2013河南省六市第二次联考)设a=20.3,b=0.32,c=log x(x2+0.3)(x>1),则a,b,c的大小关系是( B ) (A)a<b<c (B)b<a<c(C)c<b<a (D)b<c<a解析:∵x>1,∴c=log x(x2+0.3)>log x x2=2,又∵1<a<2,0<b<1,∴b<a<c.故选B.3.(2013银川、吴忠联考)下列结论正确的是( B )(A)若p∨q为真命题,则p∧q为真命题(B)“x=5”是“x2-4x-5=0”的充分不必要条件(C)命题“若x<-1,则x2-2x-3>0”的否命题为“若x<-1,则x2-2x-3≤0”(D)已知命题p:∃x∈R,使得x2+x-1<0,则p:∀x∈R,使得x2+x-1>0 解析:对于A,“p真q假”时,p∨q为真命题,但p∧q为假命题,即A 错;对于B,x=5时x2-4x-5=0,当x2-4x-5=0时x=-1或5,即B正确;对于C,否命题应为“若x≥-1,则x2-2x-3≤0”,即C错;对于D,p应为“∀x∈R,使得x2+x-1≥0”,即D错.故选B.4.已知α是第二象限角,且sin(π+α)=-,则tan 2α的值为( D )(A)(B)-(C)(D)-解析:∵sin(π+α)=-,∴sin α=,又∵α是第二象限角,∴cos α=-,∴tan α=-,∴tan 2α===-.故选D.5.要得到f(x)=cos(2x+)的图象,只需把y=sin 2x的图象( A )(A)向左平移π个单位长度(B)向右平移π个单位长度(C)向左平移π个单位长度(D)向右平移π个单位长度解析:y=cos(2x+)⇒y=sin(2x++)=sin(2x+)=sin2(x+),所以把y=sin 2x的图象向左平移个单位长度即可得到y=cos(2x+)的图象.故选A.6.(2013茂名二模)向量a=(2,0),b=(x,y),若b与b-a的夹角等于,则|b|的最大值为( A )(A)4 (B)2(C)2 (D)解析:设=a=(2,0),=b=(x,y),则b-a=.因为b与b-a的夹角为,因此∠OBA=;由||=|a|=2,||=|b|及正弦定理得=得|b|=4sin ∠OAB≤4,(当∠OAB=时取等号),因此|b|的最大值是4,故选A.7. (2014²宜昌模拟)在△ABC中,若=,则B的值为( )A.30°B.45°C.60°D.90°解析:.由正弦定理,得==,所以sinB=cosB,又0°<B<180°,因此B=45°. 故选B8.(2013郑州市第二次质检)函数f(x)=x-e x在R上的零点个数是( A )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:f′(x)=1-e x,令f′(x)>0得x<0,令f′(x)<0得x>0,即f(x)在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数,f(x)max=f(0)=-1<0,因此f(x)不存在零点.故选A.9.(2013年高考福建卷)在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为( C )(A) (B)2(C)5 (D)10解析:因为²=(1,2)²(-4,2)=1³(-4)+2³2=0,所以⊥,且||==,||==2,所以S||||=³³2=5.故选C.10.(2013深圳二调)非空数集A={a1,a2,a3,…,a n}(n∈N*)中,所有元素的算术平均数记为E(A),即E(A)=.若非空数集B满足下列两个条件:①B⊆A;②E(B)=E(A),则称B为A的一个“保均值子集”.据此,集合A={1,2,3,4,5}的“保均值子集”有( C )(A)5个(B)6个(C)7个(D)8个解析:E(A)=3,则A的“保均值子集”为{3},{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共7个.故选C.二、填空题(每小题5分,共20分)11.若向量a=(-1,x)与b=(-x,2)共线且方向相同,则x= . 解析:∵a∥b,∴-1³2+x2=0,∴x=±,∵a与b同向,∴a²b>0,即-1³(-x)+2x>0,∴x>0,因此x=.答案:12.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=x+2,则f(1)+f′(1)= .解析:点M在切线上,∴f(1)=³1+2=.又f′(1)=k=,∴f(1)+f′(1)=+=3.答案:313.在△ABC中,a,b分别为角A,B的对边,若B=75°,C=60°,a=10,则边c的长等于.解析:由题意知A=45°,由正弦定理得c===5.答案:514.(2013山西康杰中学模拟)设F为抛物线y2=4x的焦点,A、B、C为该抛物线上三点,若++=0,则||+||+||= .解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),∵++=0且F(1,0),∴(x1-1,y1)+(x2-1,y2)+(x3-1,y3)=(0,0).∴x1+x2+x3=3.∴||+||+||=x1+x2+x3+3=3+3=6.答案:6三、解答题(共80分)15.(本小题满分12分)(2013深圳一调)在平面直角坐标系xOy中,M(sin2θ,1),N(1,-2cos2θ)(θ∈R),且²=-.(1)求点M,N的坐标;(2)若角α,β的顶点都为坐标原点且始边都与x轴的非负半轴重合,终边分别经过点M,N,求tan(α+β)的值.解:(1)∵²=-,∴sin2θ-2cos2θ=-,∴sin2θ-2(1-sin2θ)=-,解得sin2θ=,∴cos2θ=,∴M(,1),N(1,-).(2)由(1)可知M(,1),N(1,-),∴tan α=6,tan β=-,∴tan(α+β)===.16.(本小题满分12分)已知O为坐标原点,向量=(sin α,1),=(cos α,0),=(-sin α,2),点P满足=.(1)记函数f(α)=²,α∈,求函数f(α)的值域;(2)若O、P、C三点共线,求|+|的值.解:(1)=(cos α-sin α,-1),设=(x,y),则=(x-cos α,y).由=得x=2cos α-sin α,y=-1,故=(2cos α-sin α,-1).=(sin α-cos α,1),=(2sin α,-1),f(α)=²=(sin α-cos α,1)²(2sin α,-1)=2sin2α-2sin αcos α-1=-(sin 2α+cos 2α)=-sin,又α∈,故0<2α+<,所以sin∈,故函数f(α)的值域为[-,1).(2)由(1)知=(2cos α-sin α,-1),=(-sin α,2), 由O、P、C三点共线可得(-1)³(-sin α)=2³(2cos α-sin α),得tan α=.sin 2α===.∴|+|===.17.(本小题满分14分)(2013惠州一模)已知f(x)=Asin (ωx+ϕ)+1(x∈R,其中A>0, ω>0,0<ϕ<)的周期为π,且图象上一个最低点为M(,-1).(1)求f(x)的解析式;(2)当x∈[0,]时,求f(x)的值域.解:(1)由f(x)=Asin(ωx+ϕ)+1的周期为π,知T==π,则有ω=2,所以f(x)=Asin(2x+ϕ)+1.因为函数图象有一个最低点M(,-1),A>0,所以A=2且sin(2³+ϕ)=-1,则有2³+ϕ=+2kπ(k∈Z),解得ϕ=+2kπ(k∈Z),因为0<ϕ<,所以ϕ=.所以f(x)=2sin(2x+)+1(x∈R).(2)当x∈[0,]时,2x+∈[,],则有sin(2x+)∈[,],所以f(x)=2sin(2x+)+1∈[2,1+].即f(x)的值域为[2,1+].18.(本小题满分14分)(2013东莞一模)向量a=(,sin x+cos x),b=(1,y),已知a∥b,且有函数y=f(x).(1)求函数y=f(x)的周期;(2)已知锐角△ABC的三个内角分别为A,B,C,若有f(A-)=,边BC=,sin B=,求AC的长及△ABC的面积.解:由a∥b得y-(sin x+cos x)=0,即y=f(x)=2sin(x+).(1)函数f(x)的周期为T=2π.(2)由f(A-)=得2sin(A-+)=,即sin A=,∵△ABC是锐角三角形,∴A=.由正弦定理=及条件BC=,sin B=,得AC===2,又∵BC2=AB2+AC2-2AB²AC²cos A,即7=AB2+4-2²AB³2³,解得AB=3.∴△ABC的面积S=AB²AC²sin A=.19.(本小题满分14分)(2013深圳市高三二调)已知△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,sin(2C-)=,且a2+b2<c2.(1)求角C的大小;(2)求的取值范围.解:(1)法一因为a2+b2<c2,所以cos C=<0,所以∠C为钝角.因为sin(2C-)=,又<2C-<,所以2C-=,解得∠C=.法二因为a2+b2<c2,所以cos C=<0,所以∠C为钝角.所以π<2C<2π,又cos 2C=-sin(2C-)=-.所以2C=,所以∠C=.(2)法一由(1)得∠B=-∠A,0<∠A<.根据正弦定理,===[sin A+(cos A-sin A)]=sin(A+).又<A+<,所以<sin(A+)≤1,从而的取值范围为(1, ].法二由(1),∠C=,根据余弦定理,c2=a2+b2-2abcos=a2+b2+ab=(a+b)2-ab≥(a+b)2-()2=(a+b)2.所以()2≤,所以≤.又a+b>c,所以>1.所以的取值范围为(1,].20.(本小题满分14分)(2013梅州市高三质检)已知函数f(x)=(a-)x2+ln x(a∈R).(1)当a=1时,∃x0∈[1,e]使不等式f(x0)≤m,求实数m的取值范围;(2)若在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax的下方,求实数a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)=x2+ln x(x>0),f′(x)=x+.由x∈[1,e],f′(x)>0,得函数f(x)在区间[1,e]上为增函数,则当x∈[1,e]时,f(x)∈[,1+e2].故要使∃x0∈[1,e],使不等式f(x0)≤m成立,只需m≥即可.(2)在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax的下方,等价于对∀x∈(1,+∞),f(x)<2ax,即(a-)x2+ln x-2ax<0恒成立.设g(x)=(a-)x2-2ax+ln x(x∈(1,+∞)),则g′(x)=(2a-1)x-2a+=(x-1)(2a-1-).当x∈(1,+∞)时,x-1>0,0<<1.①若2a-1≤0,即a≤时,g′(x)<0,函数g(x)在区间(1,+∞)上为减函数.则当∀x∈(1,+∞)时,g(x)<g(1)=a--2a=--a,只需--a≤0,即当-≤a≤时,g(x)=a-x2+ln x-2ax<0恒成立.②若0<2a-1<1,即<a<1时,令g′(x)=(x-1)2a-1-=0,得x=>1,函数g(x)在区间1,上为减函数,,+∞上为增函数,则g(x)∈g,+∞,不合题意.③若2a-1≥1,即0<≤1时,当x>1时,g′(x)>0,函数g(x)在区间(1,+∞)上为增函数,则g(x)∈(g(1),+∞),不合题意.综上可知,当-≤a≤时,g(x)=a-x2+ln x-2ax<0在(1,+∞)上恒成立,即当-≤a≤时,在区间(1,+∞)上函数f(x)的图象恒在直线y=2ax的下方.。
2015年高考数学(理)三轮冲刺模拟：三角函数、解三角形与平面向量_Word版含新题解析
三角函数、解三角形与平面向量本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U ＝R ，集合P ＝{x |x 2≤1}，那么∁U P ＝( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞) C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)2．函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( )A ．(0,1)B ．[0,1)C ．(0,1]D ．[0,1]3．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的( )A ．既不充分也不必要的条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．充要条件4．已知f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，若a ＝f (lg 5)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15，则( ) A ．a ＋b ＝0 B ．a －b ＝0 C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝15．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( )A ．对任意x ∈R ，都有x 2<0B ．不存在x ∈R ，使得x 2<0C ．存在x 0∈R ，使得x 20≥0D ．存在x 0∈R ，使得x 20<06．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定7．将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜π2的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，则φ的值可以是( )A.5π3 B ．5π6 C ．π2 D ．π68．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C＝( )A ．π3B ．2π3C ．3π4D ．5π69．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．210．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( ) A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0 B ．函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形 C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递减 D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0第Ⅱ卷二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为________．12．设f (x )＝3sin 3x ＋cos 3x ，若对任意实数x 都有|f (x )|≤a ，则实数a 的取值范围是________． 13．设e 1，e 2为单位向量， 且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的射影为________．14．已知点A (1，－1)，B (3,0)，C (2,1)．若平面区域D 由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为________．15．在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝________. 三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)函数f (x )＝A sin(ωx －π6)＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.（1）求函数f (x )的解析式；（2）设α∈(0，π2)，f (α2)＝2，求α的值．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，（1）求cos A 的值； （2）求c 的值．18．(本小题满分12分)(2013·广东高考)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，x ∈R .（1）求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6的值；（2）若cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3.19．(本小题满分12分)已知向量a ＝(cos 3x 2，sin 3x 2)，b ＝(－sin x 2，－cos x 2)，其中x ∈[π2，π]． （1）若|a ＋b |＝3，求x 的值；（2）函数f (x )＝a ·b ＋|a ＋b |2，若c >f (x )恒成立，求实数c 的取值范围．20．(本小题满分13分)(2013·湖北高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1.（1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值．21．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2.（1）求a ，b ，c ，d 的值；（2）若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围． 参考答案DCD CBBAC 11.120° 12.[2，＋∞) 13.52 14.3 15.63 16.【解】 (1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2. ∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，∴函数f (x )的解析式为y ＝2sin(2x －π6)＋1. (2)∵f (α2)＝2sin(α－π6)＋1＝2，∴sin(α－π6)＝12. ∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴α－π6＝π6，∴α＝π3. 17.【解】 (1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ， 所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A . 所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋ cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin Csin A ＝5.18.【解】 (1)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－π122cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝2cos π4＝2×22＝1.(2)因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，cos θ＝35，所以sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45， cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725， sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－2425. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3－π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos 2θ－22sin 2θ ＝cos 2θ－sin 2θ＝－725－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425＝1725.19.【解】 (1)∵a ＋b ＝(cos 3x 2－sin x 2，sin 3x 2－cos x2)， ∴|a ＋b |＝cos 3x 2－sin x 22＋sin 3x 2－cos x 22＝2－2sin 2x ，由|a ＋b |＝3，得2－2sin 2x ＝3，即sin 2x ＝－12. ∵x ∈[π2，π]，∴π≤2x ≤2π.因此2x ＝π＋π6或2x ＝2π－π6，即x ＝7π12或x ＝11π12. (2)∵a·b ＝－cos 3x 2sin x 2－sin 3x 2cos x2＝－sin 2x ， ∴f (x )＝a·b ＋|c ＋b |2＝2－3sin 2x ， ∵π≤2x ≤2π，∴－1≤sin 2x ≤0， ∴2≤f (x )＝2－3sin 2x ≤5，∴[f (x )]max ＝5. 又c >f (x )恒成立， 因此c >[f (x )]max ，则c >5.∴实数c 的取值范围为(5，＋∞)．20.【解】 (1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，得 2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0. 解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)． 因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ＝53，得bc ＝20. 又b ＝5，所以c ＝4.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝21. 又由正弦定理，得sin B sin C ＝b a sin A ·c a sin A ＝bc a 2·sin 2A ＝2021×34＝57. 21.【解】 (1)∵曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)， ∴b ＝d ＝2.∵f ′(x )＝2x ＋a ，故f ′(0)＝a ＝4. ∵g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )， ∴g ′(0)＝2＋c ＝4，故c ＝2. 从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.(2)令F (x )＝kg (x )－f (x )，则F ′(x )＝(k e x －1)(2x ＋4)， 由题设可得F (0)≥0，故k ≥1， 令F ′(x )＝0得x 1＝－ln k ，x 2＝－2， ①若1≤k ＜e 2，则－2＜x 1≤0， 从而当x ∈[－2，x 1)时，F ′(x )＜0， 当x ∈(x 1＋∞)时，F ′(x )＞0，即F (x )在[－2，＋∞)上最小值为F (x 1)＝2x 1＋2－x 21－4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0，此时f (x )≤kg (x )恒成立；②若k ＝e 2，F ′(x )＝(e x ＋2－1)(2x ＋4)，故F (x )在[－2，＋∞)上单调递增， 因为F (－2)＝0，所以f (x )≤kg (x )恒成立；③若k ＞e 2，则F (－2)＝－2k e －2＋2＝－2e －2(k －e 2)＜0， 从而当x ∈[－2，＋∞)时， f (x )≤kg (x )不可能恒成立． 综上所述k 的取值范围为[1，e 2]．。
2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：第3章 三角函数、解三角形 第2节
[课堂练通考点]1．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( ) A ．sin θ<0，cos θ>0 B ．sin θ>0，cos θ<0 C ．sin θ>0，cos θ>0D ．sin θ<0，cos θ<0解析：选B sin(θ＋π)<0，∴－sin θ<0，sin θ>0. ∵cos(θ－π)>0，∴－cos θ>0.∴cos θ<0.2．(2014·济南质检)α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，则cos(－α)的值为( )A ．－45 B.45 C.35D ．－35解析：选B 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，所以cos α＝45，即cos(－α)＝45，故选B.3．(2014·青岛高三教学评估)若△ABC 的内角A 满足sin 2A ＝23，则sin A ＋cos A ＝( )A.153 B ．－153 C.53D ．－53解析：选A ∵0<A <π，∴0<2A <2π. 又∵sin 2A ＝23，即2sin A cos A ＝23，∴0<A <π2. ∴(sin A ＋cos A )2＝53，∴sin A ＋cos A ＝153. 4．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4的值是________．解析：原式＝cos 17π4＋sin 17π4＝cos π4＋sin π4＝ 2. 答案： 25．已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2的值． 解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α) ＝cos(π－α)＝－cos α＝－35， ∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2 ＝sin(π＋α)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α ＝sin α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·皖北模拟)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝( )A ．－35 B.35 C.45D ．－45解析：选B cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝35，故选B.2．(2013·辽宁五校第二次联考)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则1－2sin (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝( )A ．sin θ－cos θB ．cos θ－sin θC ．±(sin θ－cos θ)D ．sin θ＋cos θ解析：选A ∵1－2sin (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝|sin θ－cos θ|， 又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin θ－cos θ>0， 故原式＝sin θ－cos θ.3．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( )A ．－33 B.33 C ．－ 3D. 3解析：选D cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝sin φ＝32， 又|φ|<π2，则cos φ＝12，所以tan φ＝ 3.4．(2013·石家庄模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是( )A.355 B.377 C.31010D.13解析：选C 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，故sin α＝31010.5．已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos (－π－α)tan α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π的值为( )A.12B ．－13C ．－12D.13解析：选C ∵f (α)＝sin αcos α－cos αtan α＝－cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π＋π3 ＝－cos π3＝－12.6．(2014·成都一模)已知sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为________．解析：sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23， 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，得cos α＝1－sin 2α＝53，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255. 答案：2557．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (π＋α)＋sin (π－α)·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (π＋α)＝________.解析：原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α(－sin α)－sin α＝－sin α＋sin α＝0. 答案：0 8．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝________.解析：由sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，两边平方得：1＋2sin θcos θ＝4(1－2sin θcos θ)， 故sin θcos θ＝310，∴sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝sin θcos θ＝310.答案：3109．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°.解：原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945° ＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45° ＝32×32＋12×12＋1＝2.10．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α. 解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85. 第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·周口一模)若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( ) A.12B ．2C ．－12D ．－2解析：选B 由cos α＋2sin α＝－5，可知cos α≠0，两边同除以cos α得，1＋2tan α＝－51cos α，两边平方得(1＋2tan α)2＝5cos 2α＝5(1＋tan 2α)，∴tan 2α－4tan α＋4＝0，解得tan α＝2.2．(2013·黄冈二模)已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 013)的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：选D ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，∴f(2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－(a sin α＋b cos β)＝－3.即f(2 013)＝－3.。
2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：第3章 三角函数、解三角形 第3节
[课堂练通考点]1．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝cos 2x B ．y ＝sin 2x C ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2解析：选B 选项A 、D 中的函数均为偶函数，C 中函数的最小正周期为π2，故选B.2．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)的最小正周期为π，则f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π3(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ) 解析：选D 根据已知得2πω＝π，得ω＝2.由不等式2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． 3．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调减区间为________．解析：由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4得 2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )4．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像与x 轴交点的坐标是________． 解析：由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得， x ＝k π2－π8(k ∈Z )．∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，05．(2013·陕西高考)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的最小正周期．(2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解：f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ，－12·( 3 sin x ，cos 2x )＝3cos x sin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.(1)f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π， 即函数f (x )的最小正周期为π. (2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6.由正弦函数的性质，知当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1. 当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值－12. 因此，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是1，最小值是－12.[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷 1．函数y ＝ cos x －32的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6，k ∈Z D ．R解析：选C ∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .2．(2013·洛阳统考)如果函数y ＝3sin(2x ＋φ)的图像关于直线x ＝π6对称，则|φ|的最小值为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选A 依题意得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1，则π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π6(k ∈Z )，因此|φ|的最小值是π6，选A.3．(2014·聊城期末)已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23 B.32 C ．2D ．3解析：选B ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4. 由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.4．(2014·安徽黄山高三联考)设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，且其图像关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上为增函数D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上为减函数 解析：选B f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ) ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，∵其图像关于x ＝0对称，∴f (x )是偶函数， ∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z . 又∵|φ|<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π6＝2cos 2x .易知f (x )的最小正周期为π，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数．5．(2013·浙江高考改编)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的________条件．解析：若f (x )是奇函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z )； 当φ＝π2时，f (x )为奇函数．答案：必要不充分6．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的值域为________，并且取最大值时x 的值为________．解析：∵0≤x ≤π3，∴π3≤2x ＋π3≤π， ∴0≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1≤1，即值域为[－1,1]；且当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1，即x ＝π12时，y 取最大值．答案：[－1,1] π12 7．设f (x )＝1－2sin x . (1)求f (x )的定义域；(2)求f (x )的值域及取最大值时x 的值．解：(1)由1－2sin x ≥0，根据正弦函数图像知：定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋56π≤x ≤2k π＋13π6，k ∈Z .(2)∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤1－2sin x ≤3， ∵1－2sin x ≥0，∴0≤1－2sin x ≤3， ∴f (x )的值域为[0，3]，当x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，f (x )取得最大值．8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<2π3的最小正周期为π.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：∵由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2. ∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )．∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)， 展开整理得sin 2x cos φ＝0， 由已知上式对∀x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32.又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π. ∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3. ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2013·福建质检)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，x ∈R . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值；(2)试写出一个函数g (x )，使得g (x )f (x )＝cos 2x ，并求g (x )的单调区间． 解：(1)因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π4＝2sin π3＝62.(2)g (x )＝cos x －sin x . 理由如下：因为g (x )f (x )＝(cos x －sin x )(sin x ＋cos x )＝cos 2x －sin 2x ＝cos 2x ， 所以g (x )＝cos x －sin x 符合要求．又g (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由2k π＋π<x ＋π4<2k π＋2π，得2k π＋3π4<x <2k π＋7π4，k ∈Z . 所以g (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋3π4，2k π＋7π4，k ∈Z .由2k π<x ＋π4<2k π＋π，得2k π－π4<x <2k π＋3π4，k ∈Z . 所以g (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π4，2k π＋3π4，k ∈Z .2. (创新题)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6.(1)求y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，求当x ∈[0,1]时，函数y ＝g (x )的最大值．解：(1)由题意知f (x )＝32sin πx 3－32cos πx 3－1＝3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 3－π3－1，所以y ＝f (x )的最小正周期T ＝2ππ3＝6.由2k π－π2≤π3x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得6k －12≤x ≤6k ＋52，k ∈Z ，所以y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6k －12，6k ＋52，k ∈Z .(2)因为函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线y ＝2对称， 所以当x ∈[0,1]时，y ＝g (x )的最大值即为x ∈[3,4]时， y ＝f (x )的最大值，当x ∈[3,4]时，π3x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23π，π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，即此时y ＝g (x )的最大值为12.3．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解：(1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]， 又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1， ∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12，∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ， 其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时， g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ， ∴g (x )的单调增区间为 ⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时， g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z . ∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。
2015届高考数学总复习：三角函数、三角恒等变换及解三角形三角函数的综合应用(含答案)
第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第 9 课时 三角函数的综合应用π1. 若函数 f(x) ＝cos ω xcos 2 －ωx (ω>0)的最小正周期为 π ，则 ω＝ ________．答案： 1分析： 因为 f(x) ＝ cos ωxcos π ＝12π ＝ 1. ＝2 － ωx 2sin2ωx ，因此 T ＝ 2ωπ2. 在△ ABC 中，若∠ B ＝ 4 ， b ＝2a ，则∠ C ＝ ________.7π答案：12分析： 依据正弦定理可得a ＝b ，即 a＝ 2a，解得 sinA ＝ 1sinA sinB sinAπ 2.因为 b ＝ 2a>a ，所sin 4π7π以 A<B ，因此 A ＝ 6 ，因此 C ＝π－A － B ＝ 12 .3. 已知 tanx － 1 ＝ 3，则 tan2x ＝________． tanx 2答案：－43分析： 由 tanx －1＝ 3，可得 tanx ＝－ 2，因此 tan2x ＝2tanx ＝－ 4tanx 21－ tan 2x31－ tan 2x3.4. 已知向量 a ＝ sin α ＋π， 1 ， b ＝ (4， 4cos α － 3)，若 a ⊥b ，则 sin α＋ 4π ＝63 ________．1答案：－4π＋ 4cos α－ 3＝ 2 3sin α＋6cos α－ 3＝ 4 3sin α＋π分析： a ·b ＝ 4sin α＋－ 3＝0，63π14ππ1因此 sinα＋ 3＝4.因此 sin α＋ 3 ＝－ sinα＋ 3＝－4.π5. 设函数 f(x) ＝ cos(ωx＋ φ)－ 3sin( ωx＋ φ) ω >1， |φ |< 2 ，且其图象相邻的两条对称轴为 x 1＝ 0， x 2 ＝π，则 φ＝ ________．2π答案：－3分析：由已知条件， 得 f(x) ＝ 2cos(ωx＋ φ＋ π T π 2π3)，由题意得 2＝ 2 ，∴ T ＝π.∴ T ＝ ω ，∴ ω ＝2.∵ f(0) ＝ 2cos φ＋ π f(0) ＝ 2 或－ 2.， x ＝ 0 为 f(x) 的对称轴，∴3π π∵ |φ|<2 ，∴ φ＝－3 .π－ x ，直线 x ＝ m 与 f(x) ， g(x) 的图象分别交于6. 已知函数 f(x) ＝ 2sinx ， g(x)＝ 2sin 2M 、N 两点，则 |MN| 的最大值为 ________．答案：2 2分析： 结构函数 F(x) ＝ 2sinx － 2cosx ＝ 2 2sinπ，故最大值为 2 2.x － 4ππ πππ7. 已知 f(x) ＝ sin ωx＋ 3 ( ω >0)， f 6 ＝ f 3 ，且 f(x) 在区间6 ， 3 有最小值，无最大值，则 ω＝ ________．答案：143π π＋ ππ π πx ＝ 62分析： 由题意知直线 3＝ 4为函数的一条对称轴，且ω× 4 ＋ 3 ＝ 2k π－2 (k ∈ Z )，10 ∴ ω＝8k － 3 (k ∈ Z )． ①π π 2π又 3－ 6 ≤ ω(ω >0)，∴ 0<ω≤ 12. ②14由 ①② 得 k ＝ 1，∴ ω＝ 3 .π对 x ∈ R 恒建立，且8. 已知函数 f(x) ＝ sin(2x ＋ φ)，此中 φ 为实数． f(x) ≤ f 6πf 2 >f( π )，则 f(x) 的单一递加区间是 ________．答案： π 2π(k ∈ Z )k π＋6 ， k π＋ 3x ∈R ，有 f(x) ≤ f ππ＝ sin＝ ±1，分析： 由 π知，当 x ＝ 时 f(x) 取最值，∴ fπ66 63 ＋ φ∴ π π π 5ππ 3 ＋ φ＝ ± ＋ 2k π(k ∈ Z )，∴ φ＝ ＋ 2k π或 φ＝－ 6 ＋ 2k π(k ∈ Z ) ．∵ f >f( π)，∴ sin( π2 6 25π5π ＋φ)>sin(2 π＋φ)，∴ － sin φ>sin φ，∴sin φ<0.∴ φ取－ 6 ＋ 2k π(k ∈ Z )．不如取 φ＝－ 6 ，则5π π 5π πf(x) ＝ sin 2x － 6 .令－ 2 ＋ 2k π≤ 2x － ≤2 ＋ 2k π(k ∈ Z )，∴ 6 (k ∈ Z )，∴ π 2π 6 ＋ k π≤x ≤ 3＋ k π(k ∈ Z )．∴ f(x) 的单一递加区间为9. 在△ ABC 中，内角 A 、 B 、 C 所对的边长分别是 a 、 b 、 c.π，且△ ABC 的面积为 3，求 a ， b 的值；(1) 若 c ＝ 2，C ＝ 3π 4π3＋ 2k π≤ 2x ≤ 3 ＋ 2k π π2π ＋ k π， ＋ k π (k ∈ Z )．6 3(2) 若 sinC ＋ sin(B －A) ＝ sin2A ，试判断△ ABC 的形状．π 解： (1) ∵ c ＝ 2， C ＝ 3 ，∴ 由余弦定理 c 2＝ a 2＋ b 2－2abcosC ，得 a 2＋ b 2－ ab ＝ 4. ∵ △ABC 的面积为 3，1 ∴ 2absinC ＝ 3， ab ＝ 4.。
2015届高考数学一轮总复习 阶段性测试题4(三角函数与三角形)
阶段性测试题四(三角函数与三角形)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2014·威海期中)角α的终边经过点P (sin10°，－cos10°)，则α的可能取值为( ) A ．10° B ．80° C ．－10° D ．－80°[答案] D[解析] 由条件知tan α＝－cos10°sin10°＝－tan80°＝tan(－80°)，故选D.2．(文)(2014·北京海淀期中)在△ABC 中，若tan A ＝－2，则cos A ＝( ) A.55B ．－55 C.255 D ．－255[答案] B[解析] 在△ABC 中，若tan A ＝－2，则A ∈(π2，π)，cos A ＝－11＋tan 2A＝－15＝－55，故选B.(理)(2014·三亚市一中月考)若tan α＝2，则cos2α＋sin2α的值为( ) A ．0 B.15 C ．1 D.54[答案] B[解析] ∵tan α＝2，∴cos2α＋sin2α＝cos 2α－sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝15.3．(文)(2014·江西临川十中期中)已知sin(θ＋π2)＝35，则cos2θ等于( )A.1225B ．－1225C ．－725D.725[答案] C[解析] ∵sin(θ＋π2)＝cos θ＝35，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝－725.(理)(2014·枣庄市期中)化简cos (π＋α)cos (π2＋α)cos (11π2－α)cos (π－α)sin (－π－α)sin (9π2＋α)的结果是( ) A ．－1 B ．1 C ．tan α D ．－tan α[答案] C[解析] 原式＝－cos α·(－sin α)·(－sin α)－cos α·sin α·cos α＝tan α，故选C.4．(2014·山东省菏泽市期中)要得到y ＝sin(2x －2π3)的图象，只要将函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象向右平移( )个单位即可( )A.π3 B ．π C.2π3 D.π2 [答案] D[解析] ∵sin[2(x －π2)＋π3]＝sin(2x －2π3)，∴只需将y ＝sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位可得到y ＝sin(2x －2π3)的图象．5．(2014·九江市七校联考)在△ABC 中，AC ＝7，∠B ＝2π3，△ABC 的面积S ＝1534，则AB ＝( )A ．5或3B ．5C ．3D ．5或6 [答案] A[解析] 设AB ＝x ，BC ＝y ，则x >0，y >0，由条件得，⎩⎨⎧72＝x 2＋y 2－2xy cos 2π3，12xy sin 2π3＝1534，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋xy ＝49，xy ＝15， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3，∴AB ＝3或5. 6．(2014·山东省菏泽市期中)已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．2sin1C ．2sin －11D ．sin2[答案] C[解析] 设圆半径为R ，由条件知sin1＝1R ，∴R ＝1sin1，∴l ＝2R ＝2sin1，故选C.7．(文)(2014·辽宁师大附中期中)在△ABC 中，角A 、B 均为锐角，且cos A >sin B ，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形[答案] C[解析] ∵cos A ＝sin(π2－A )>sin B,0<π2－A <π2，0<B <π2，∴π2－A >B ，∴A ＋B <π2，∴C >π2，故选C.(理)(2014·安徽程集中学期中)在△ABC 中，“sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1”是“△ABC 是直角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 由条件式得sin A ≥1，∴sin A ＝1，∴A 为直角，但△ABC 为直角三角形时，不一定A 为直角，故选A.8．(2014·浙江省五校联考)函数y ＝2sin(π4－x 2)sin(π4＋x2)的图象的一条对称轴为( )A ．x ＝－π2B ．x ＝π2C ．x ＝πD ．x ＝3π2[答案] C[解析] y ＝2sin(π4－x 2)sin(π4＋x 2)＝2sin(π4－x 2)cos(π4－x 2)＝sin(π2－x )＝cos x ，其对称轴方程为x ＝k π，k ∈Z .9．(文)(2014·江西白鹭洲中学期中)函数y ＝cos2x 在下列哪个区间上是减函数( ) A ．[0，π2]B ．[π4，3π4]C ．[－π4，π4]D ．[π2，π][答案] A[解析] 由2k π≤2x ≤2k π＋π得k π≤x ≤k π＋π2(k ∈Z )，令k ＝0知选A.(理)(2014·福州市八县联考)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12]D ．(0,2] [答案] A[解析] 由2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋3π2及ω>0得，2k πω＋π4ω≤x ≤2k πω＋5π4ω，k ∈Z . ∵f (x )在(π2，π)上单调递减，∴(π2，π)⊆[2k πω＋π4ω，2k πω＋5π4ω]， ∴k ＝0，⎩⎨⎧π4ω≤π2，5π4ω≥π.∴12≤ω≤54，故选A. 10．(2014·营口三中期中)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈(－π6，π3)，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12B.22C.32D ．1[答案] C[解析] ∵x 1，x 2∈(－π6，π3)时，f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝f (π6)，由图象知，T 2＝π3－(－π6)＝π2，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，由于f (x )的图象过点(π12，1)，∴sin(π6＋φ)＝1，∴φ＝π3，∴f (π6)＝sin(2×π6＋π3)＝sin 2π3＝32，故选C.11．(2014·哈六中期中)2sin 225°－1sin20°cos20°的值为( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2[答案] B[解析] 原式＝－cos50°12sin40°＝－2.12．(文)(2014·威海期中)函数f (x )＝sin x ＋cos2x 的图象为( )[答案] B[解析] f (0)＝sin0＋cos0＝1，排除A 、D ；f (－π)＝sin(－π)＋cos(－2π)＝1，排除C ，故选B. (理)(2014·山东省菏泽市期中)函数f (x )＝2x －tan x 在(－π2，π2)上的图象大致为( )[答案] C[解析] ∵f (－x )＝－2x －tan(－x )＝－(2x －tan x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，排除A 、B ； f ′(x )＝(2x －sin x cos x )′＝2－1cos 2x ，令f ′(x )≥0得，cos 2x ≥12，∴cos x ≥22或cos x ≤－22， ∵x ∈(－π2，π2)，∴－π4≤x ≤π4，故选C.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中六校联考)在△ABC 中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，若a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝0，则角C 的大小为________．[答案] 135°[解析] ∵a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝0， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－22，∵0°<C <180°，∴C ＝135°.14．(文)(2014·甘肃临夏中学期中)函数f (x )＝3sin(2x －π3)的图象为C ，则如下结论中正确的序号是________．①图象C 关于直线x ＝1112π对称；②图象C 关于点(2π3，0)对称；③函数f (x )在区间(－π12，5π12)内是增函数；④由y ＝3sin2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .[答案] ①②③[解析] ①当x ＝11π12时，f (11π12)＝3sin 3π2＝－3，∴正确；②当x ＝2π3时，f (2π3)＝0，∴正确；③由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2可得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12](k∈Z )，∴正确；④y ＝3sin2x 的图象向右平移π3个单位长度得到y ＝3sin2(x －π3)，∴④错误．(理)(2014·威海期中)将函数y ＝sin(x －π3)，x ∈[0,2π]的图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π6个单位，所得函数的单调递增区间为____________．[答案] [－π6，3π2]，[7π2，23π6][解析]由2k π－π2≤12x －π4≤2k π＋π2得，4k π－π2≤x ≤4k π＋3π2，k ∈Z ，由已知函数中x ∈[0,2π]得所求函数的定义域为[－π6，23π6]，令k ＝0得，－π2≤x ≤3π2，令k ＝1得，7π2≤x ≤11π2，故所求函数的单调增区间为[－π6，3π2]和[7π2，23π6]．15．(文)(2014·吉林省实验中学一模)设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π3)＝________.[答案]2425[解析] ∵α为锐角，∴0<α＋π6<π，∵cos(α＋π6)＝45，∴sin(α＋π6)＝35，∴sin(2α＋π3)＝2sin(α＋π6)·cos(α＋π6)＝2×35×45＝2425.(理)(2014·吉林延边州质检)设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的三边分别为a 、b 、c ，若△ABC 的面积为S ＝a 2－(b －c )2，则sin A1－cos A＝________.[答案] 4[解析] ∵S ＝12bc sin A ，a 2－(b －c )2＝2bc －(b 2＋c 2－a 2)＝2bc －2bc cos A ，S ＝a 2－(b －c )2，∴12bc sin A ＝2bc －2bc cos A ，∴sin A 1－cos A＝4. 16．(2014·浙江省五校联考)已知O (0,0)，A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)，C (cos γ，sin γ)，若kOA →＋(2－k )OB →＋OC →＝0(0<k <2)，则cos(α－β)的最大值是________．[答案] －12[解析] ∵kOA →＋(2－k )OB →＋OC →＝0，OA →＝(cos α，sin α)，OB →＝(cos β，sin β)，OC →＝(cos γ，sin γ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k cos α＋(2－k )cos β＋cos γ＝0，k sin α＋(2－k )sin β＋sin γ＝0， ∵cos 2γ＋sin 2γ＝1，∴k 2＋(2－k )2＋2k (2－k )cos αcos β＋2k ·(2－k )sin αsin β＝1， ∴cos(α－β)＝－2k 2＋4k －3－2k 2＋4k ＝1＋32k 2－4k ， ∵0<k <2，∴－2≤2k 2－4k <0，∴cos(α－β)≤－12.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)已知函数f (x )＝2sin x (sin x ＋cos x )． (1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π2]时，求f (x )的最大值．[解析] f (x )＝2sin x (sin x ＋cos x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝1－cos2x ＋sin2x＝2(22sin2x －22cos2x )＋1 ＝2sin(2x －π4)＋1，(1)f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)∵0≤x ≤π2，∴－π4≤2x －π4≤3π4，∴当2x －π4＝π2，即x ＝3π8时，f (x )取得最大值，且最大值为f (3π8)＝2sin π2＋1＝2＋1.(理)(2014·北京东城区联考)已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的最大值及相应的x 的值．[解析] (1)因为f (x )＝32sin2x －12cos2x －12＝sin(2x －π6)－12，所以T ＝2π2＝π，故f (x )的最小正周期为π.(2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6.所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )有最大值12.18．(本小题满分12分)(文)(2014·辽宁师大附中期中)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2.(1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值． [解析] (1)∵cos B ＝45，∴sin B ＝35.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin30°＝103.∴a ＝53.(2)∵△ABC 的面积S ＝12ac sin B ，sin B ＝35，S ＝3，∴ac ＝10.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得， 4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20.∴(a ＋c )2－2ac ＝20，(a ＋c )2＝40，∴a ＋c ＝210.(理)(2014·威海期中)△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋b sin B －c sin C ＝a sin B .(1)求角C ；(2)若a ＋b ＝5，S △ABC ＝323，求c 的值．[解析] (1)根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，原等式可转化为：a 2＋b 2－c 2＝ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∵0°<C <180°，∴C ＝60°.(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12ab ·32＝332，∴ab ＝6，c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝25－18＝7， ∴c ＝7.19．(本小题满分12分)(2014·江西白鹭洲中学期中)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，已知tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B＝－3，c ＝7，三角形面积为332.(1)求∠C 的大小； (2)求a ＋b 的值．[解析] (1)∵tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－3，且tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )， ∴tan C ＝3，又∵0<C <π，∴∠C ＝π3.(2)由题意可知：S △ABC ＝12ab sin C ＝12ab sin π3＝34ab ＝332，∴ab ＝6.由余弦定理可得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， ∴(a ＋b )2＝3ab ＋c 2＝3×6＋(7)2＝25， 又a >0，b >0，∴a ＋b ＝5.20．(本小题满分12分)(文)(2014·马鞍山二中期中)已知A ，B ，C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈(π2，3π2)．(1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值；(2)若AC →·BC →＝－1，求2sin 2α＋sin2α1＋tan α的值． [解析] (1)∵AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)，∴AC →2＝(cos α－3)2＋sin 2α＝10－6cos α，BC →2＝cos 2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α，由|AC →|＝|BC →|，可得AC →2＝BC →2，即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α.又∵α∈(π2，3π2)，∴α＝5π4. (2)由AC →·BC →＝－1，得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，∴sin α＋cos α＝23.① 又2sin 2α＋sin2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αcos α. 由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝49， ∴2sin αcos α＝－59.∴2sin 2α＋sin2α1＋tan α＝－59. (理)(2014·辽宁师大附中期中)已知向量a ＝(2sin x ，sin x －cos x )，b ＝(cos x ，3(cos x ＋sin x ))，函数f (x )＝a ·b ＋1.(1)当x ∈[π4，π2]时，求f (x )的最大值和最小值； (2)求f (x )的单调区间．[解析] (1)f (x )＝sin2x －3cos2x ＋1＝2sin(2x －π3)＋1. ∵π4≤x ≤π2，∴π2≤2x ≤π，∴π6≤2x －π3≤2π3， ∴12≤sin(2x －π3)≤1，∴1≤2sin(2x －π3)≤2， 于是2≤2sin(2x －π3)＋1≤3， ∴f (x )的最大值是3，最小值是2.(2)由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z 得2k π－π6≤2x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ， ∴k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ， 即f (x )的单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z ， 同理由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z 得，f (x )的单调递减区间为[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈Z . 21．(本小题满分12分)(2014·马鞍山二中期中)如图A 、B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)n mile 的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203n mile 的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30n mile/h ，该救援船到达D 点需要多长时间？[解析] 由题意知AB ＝5(3＋3)n mile ，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB 中，由正弦定理得，DB sin ∠DAB ＝AB sin ∠ADB∴DB ＝AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB＝5(3＋3)·sin45°sin105°＝5(3＋3)·sin45°sin45°·cos60°＋sin60°·cos45°＝53(3＋1)3＋12＝103(n mile)． 又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(n mile)，在△DBC 中，由余弦定理得，CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1200－2×103×203×12＝900， ∴CD ＝30(n mile)，则需要的时间t ＝3030＝1(h)． 答：救援船到达D 点需要1h.22．(本小题满分14分)(文)(2014·安徽程集中学期中)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象过点(0，12)，最小正周期为2π3，且最小值为－1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若x ∈[π6，m ]，f (x )的值域是[－1，－32]，求m 的取值范围． [解析] (1)由函数的最小值为－1，可得A ＝1，因为最小正周期为2π3，所以ω＝3.可得f (x )＝cos(3x ＋φ)，又因为函数的图象过点(0，12)，所以cos φ＝12，而0<φ<π2，所以φ＝π3，故f (x )＝cos(3x ＋π3)． (2)由x ∈[π6，m ]，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，因为f (π6)＝cos 5π6＝－32，且cosπ＝－1，cos 7π6＝－32， 由余弦曲线的性质知，π≤3m ＋π3≤7π6，得2π9≤m ≤5π18，即m ∈[2π9，5π18]． (理)(2014·浙江省五校联考)已知函数f (x )＝(3sin ωx ＋cos ωx )cos ωx －12，其中ω>0，f (x )的最小正周期为4π.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．[解析] f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin2ωx ＋12cos2ωx ＝sin(2ωx ＋π6)． (1)∵2π2ω＝4π，∴ω＝14，f (x )＝sin(x 2＋π6)． 由2k π－π2≤x 2＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得： 4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3. ∴f (x )的单调递增区间是[4k π－4π3，4k π＋2π3](k ∈Z )． (2)由正弦定理得，(2sin A －sin C )cos B ＝sin B ·cos C ，∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，∵sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A >0，∴cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3， ∴0<A <2π3，π6<A 2＋π6<π2，∴f (A )∈(12，1)．。
2015届高三(理)一轮同步训练：第4单元《三角函数与解三角形》(含答案)
第四单元 三角函数与解三角形 第18讲 任意角的三角函数1.已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.若角α与角β终边相同，则一定有( ) A ．α＋β＝180° B ．α＋β＝0° C ．α－β＝k·360°，k ∈Z D ．α＋β＝k ·360°，k ∈Z3.已知角α的终边经过点(－8，－6)，则sin α＝( ) A.35 B ．－35C ．－45 D.454.在(0,2π)内，使sin x ＞cos x 成立的x 的取值范围为( )A ．(π4，π2)∪(π，5π4)B ．(π4，π)C ．(π4，5π4)D ．(π4，π)∪(5π4，3π2)5.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，已知点A 的纵坐标为45，则cos α＝________.6.(2013·东城二模)在平面直角坐标系xOy 中，将点A (3，1)绕原点O 逆时针旋转90°到点B ，那么点B 的坐标为__________．7.设扇形的周长为8 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数为______． 8.已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径为6，求此扇形所含弓形的面积．9.已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x ，求sin α＋1tan α的值．第19讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式1.cos(－20π3)的值等于( )A.12B.32C ．－12D ．－322.(2013·安徽省合肥市质检)已知sin(π3－x )＝35，则cos(5π6－x )＝( )A.35B.45C ．－35D ．－453.已知f (cos x )＝sin x ，设x 是第一象限角，则f (sin x )为( )A.1cos xB ．cos xC ．sin xD ．1－sin x4.已知sin α＝－23，且α∈(－π2，0)，则tan α等于( )A ．－255 B.255C ．－55 D.555.已知α∈(π2，π)，cos α＝－45，则tan(π－α)＝ .6.已知tan α＝2，则sin (π＋α)－sin (π2＋α)cos (3π2＋α)＋cos (π－α)的值为________________________________________________________________________．7.已知f (α)＝sin(π－α)tan(3π2－α)，则f (－49π4)的值为________．8.已知3π4＜α＜π，tan α＋1tan α＝－103.(1)求tan α的值；(2)求sin 2(π＋α)＋2sin αsin (π2＋α)＋13sin αcos (π2－α)－2cos αcos (π－α)的值．9.已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值；(2)把1cos2α－sin2α用tan α表示出来，并求出值．第20讲 两角和与差及二倍角的三角函数1.tan 15°＋1tan 15°＝( )A. 2 B ．2 C ．4 D ．2 22.已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝( ) A.711 B ．－711 C.713 D ．－7133.(2013·广东省中山市期末)已知sin(π4＋θ)＝35，则sin 2θ的值为( )A ．－1925B ．－725C ．－1625 D.7254.若cos 2αsin (α＋7π4)＝－22，则sin α＋cos α的值为( )A ．－22B ．－12C.12D.725.若3cos(π2－θ)＋cos(π＋θ)＝0，则tan 2θ的值为________________________________________________________________________．6.(2013·南通市教研室全真模拟)已知π2≤θ≤π，且sin(θ－π6)＝12，则cos θ＝________.7.若sin α＝255，sin β＝31010，α，β都为锐角，则α＋β＝ .8.已知0<α<π2，sin α＝45.(1)求sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α的值；(2)求tan(α－5π4)的值．9.(2013·广州一模)已知函数f (x )＝tan(3x ＋π4)．(1)求f (π9)的值；(2)设α∈(π，3π2)，若f (α3＋π4)＝2，求cos(α－π4)的值．第21讲 简单的三角恒等变换1.tan (2α＋3β)＋tan (α－3β)1－tan (2α＋3β)tan (α－3β)＝( )A ．tan αB ．tan 2αC ．tan 3αD ．tan 6β2.已知sin αsin β＝13，cos αcos β＝－16，则cos(α＋β)的值为( )A ．－12 B.22C ．－32 D.123.已知△ABC 的三个内角满足：sin A ＝sin C cos B ，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形4.3－sin 70°2－cos 210°＝( )A.12B.22C ．2 D.325.(2013·宁波市期末)若α∈(0，π2)，且cos 2α＋sin(π2＋2α)＝12，则tan α＝______.6.已知sin 2α＝513，α∈(0，π4)，则tan α＝________.7.(2013·湖南省岳阳县第一次)已知x ＋y ＝2sin(α＋π4)，x －y ＝2sin(α－π4)，则x 2＋y 2的值是________．8.求值：cos 40°＋sin 50°(1＋3tan 10°)sin 70°1＋cos 40°.9.(2013·甘肃省天水段考)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，0<β<α<π2.(1)求tan 2α的值； (2)求β.第22讲 三角函数的图象1.(2013·河南郑州市模拟)函数y ＝2sin(x ＋π4)cos(x －π4)图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π8B ．x ＝π4C ．x ＝π2D ．x ＝π2.右图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)在一个周期内的图象，此函数的解析式可为( )A ．y ＝2sin(2x ＋π3)B ．y ＝2sin(2x ＋2π3)C ．y ＝2sin(x 2－π3)D ．y ＝2sin(2x －π3)3.把函数y ＝3cos x －sin x 的图象向左平移m (m >0)个单位，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小正值是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π64.(2013·山东省模拟)把函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移π6个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得的图象解析式为y ＝sin x ，则( )A ．ω＝2，φ＝π6B ．ω＝2，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝π125.若f (x )＝sin(x ＋π4)，x ∈[0,2π]，关于x 的方程f (x )＝m 有两个不相等实数根x 1，x 2，则x 1＋x 2等于( )A.π2或5π2B.π2C.5π2D ．不确定 6.如图是y ＝sin(ωx ＋φ)(|φ|<π2)的图象的一部分，则φ＝________，ω＝______.(第6题图) (第7题图)7.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…f (2013)＝________.8.已知函数f (x )＝a ＋b sin x ＋c cos x (b >0)的图象经过点A (0,1)，B (π2，1)，当x ∈[0，π2]时，f (x )的最大值为22－1.(1)求f (x )的解析式；(2)由f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位，再向上平移k (k >0)个单位得到一个奇函数y ＝g (x )的图象，求出一个符合条件的φ与k 的值．9.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中x ∈R ，A >0，ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求A ，ω，φ的值；(2)已知在函数f (x )图象上的三点M ，N ，P 的横坐标分别为－1,1,3，求sin ∠MNP 的值．第23讲 三角函数的性质1.下列函数中，周期是π，又是偶函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝cos x C ．y ＝sin 2x D ．y ＝cos 2x2.(2013·浙江省温州)函数y ＝lg(sin 2x －cos 2x )的定义域是( )A ．{x |2k π－3π4<x <2k π＋π4}(k ∈Z )B ．{x |2k π＋π4<x <2k π＋5π4}(k ∈Z )C ．{x |k π－π4<x <k π＋π4}(k ∈Z )D ．{x |k π＋π4<x <k π＋3π4}(k ∈Z )3.函数y ＝sin 2x －sin x ＋2的最大值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．54.已知函数f (x )＝2cos(ωx －π6)与函数g (x )＝3sin(2x ＋φ)(0<φ<π2)图象的对称中心完全相同，则函数f (x )图象的一条对称轴是( )A ．x ＝3π4B ．x ＝π2C ．x ＝π4D ．x ＝π125.(2013·太原市模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx －π6)(ω>0)在(0，4π3)上单调递增，在(4π3，2π)上单调递减，则ω＝( )A.12 B ．1 C.32 D.436.设函数f (x )＝cos 3x ，若f (x ＋t )是奇函数，则t 的一个可能值为________________．7.y ＝2sin x －1的定义域为____________________．8.已知函数f (x )＝4cos x sin(x ＋π6)－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π6，π4]上的最大值和最小值．9.已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2xsin x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间．第24讲 解斜三角形1.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，c ＝3，B ＝5π6，则b ＝( )A.7 B ．27 C ．37 D ．72.在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则C ＝( )A.π4或3π4B.3π4C.π4D.π63.(2013·宁德质检)已知△ABC 的面积为32，AC ＝3，∠ABC ＝π3，则△ABC 的周长等于( )A ．3＋ 3B ．3 3C ．2＋ 3 D.3324.若满足条件AB ＝3，C ＝π3的三角形ABC 有两个，则边长BC 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(2，3)C ．(3，2)D ．(2，2) 5.(2013·天津市五区县期末)在△ABC 中，若B ＝2A ，a ∶b ＝1∶3，则A ＝________. 6.(2013·广东省肇庆市)在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则△ABC 的面积等于________．7.△ABC 中，如果(a ＋b ＋c )·(b ＋c －a )＝3bc ，那么A 等于__________．8.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R )且ac ＝14b 2.(1)当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值；(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．9.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a 2＋c 2－b 2＝65ac .(1)求2sin 2A ＋C2＋sin 2B 的值；(2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值．第25讲 三角函数的模型及应用1.设向量a ＝(1，sin θ)，b ＝(3sin θ，1)，且a ∥b ，则cos 2θ等于( )A ．－13B ．－23C.23D.132.函数y ＝sin x (3sin x ＋4cos x )(x ∈R )的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对(M ，T )为( )A ．(5，π)B ．(4，π)C ．(－1,2π)D ．(4，π2)3.若0<x <π2，则4x 与sin 3x 的大小关系是( )A ．4x >sin 3xB ．4x <sin 3xC ．4x ≥sin 3xD ．与x 的值有关4.已知电流I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝A sin ωt ，t ∈[0，＋∞)，设ω＝100π，A ＝5，则电流I (A)首次达到峰值时t 的值为( )A.150B.1100C.1200D.14005.(2013·山东省冲刺预测)如图，在台湾“莫拉克”台风灾区的搜救现场，一条搜救狗沿正北方向行进x m 发现生命迹象，然后向右转105°，行进10 m 发现另一生命迹象，这时它向右转135°回到出发点，那么x ＝__________m.6.如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30 m ，并在C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔的高度为 m.7.(2013·无锡市第一次模拟)如图，两座相距60 m 的建筑物AB 、CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角∠CAD 的大小是________________________________________________________________________．8.化工厂主控制表盘高1 m ，表盘底边距地面2 m ，问值班人员坐在什么位置看表盘看得最清楚？(设值班人员坐在椅子上时，眼睛距地面1.2 m)9.某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝14，BC ＝10，AC＝16，∠C＝∠D.(1)求AB的长度；(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低，请说明理由．第四单元 三角函数与解三角形 第18讲 任意角的三角函数1．B 因为点P (tan α，cos α)在第三象限，所以tan α<0，cos α<0，则角α的终边在第二象限．2．C3．B r ＝(－8)2＋(－6)2＝10，于是sin α＝y r ＝－35，故选B.4．C 在单位圆中画三角函数线，如图所示，要使在(0,2π)内，sin x ＞cos x ，则x ∈(π4，5π4)．5．－35 将y ＝45代入x 2＋y 2＝1(x <0)，得x ＝－35，于是cos α＝－35.6．(－1，3) 由三角函数定义知tan ∠xOA ＝33，所以∠xOA ＝π6，则∠xOB ＝2π3.又r ＝|OB |＝|OA |＝2，所以B 点的坐标为(2cos 2π3，2sin 2π3)，即B (－1，3)．7．2 设扇形的半径为r ，弧长为l ，由⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝812lr ＝4，得l ＝4，r ＝2，弧度数为l r＝2.8．解析：弧长l ＝2π3×6＝4π，△ABO 的高h ＝R sin 30°＝3，AB ＝2R cos 30°＝2×6×cos 30°＝63，弓形的面积S ＝S 扇形－S △ABO ＝12lR －12AB ·h＝12×4π×6－12×63×3 ＝12π－9 3.9．解析：因为P (x ，－2)(x ≠0)， 所以点P 到原点的距离r ＝x 2＋2.又cos α＝36x ，所以x x 2＋2＝36x .因为x ≠0，所以x ＝±10，所以r ＝2 3.当x ＝10时，P (10，－2)，sin α＝－66，1tan α＝－5，所以sin α＋1tan α＝－65＋66.当 x ＝－10时，P (－10，－2)，sin α＝－66，1tan α＝5，所以sin α＋1tan α＝－66＋5＝65－66.第19讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式1．C cos(－20π3)＝cos 20π3＝cos(6π＋2π3)＝－cos π3＝－12，故选C.2．C cos(5π6－x )＝cos(π2＋π3－x )＝－sin(π3－x )＝－35，选C.3．B f (sin x )＝f [cos(π2－x )]＝sin(π2－x )＝cos x ，故选B.4．A 因为sin α＝－23，且α∈(－π2，0)，所以cos α＝1－sin 2α＝53，所以tan α＝sin αcos α＝－255.5.34 依题意得sin α＝1－cos 2α＝35， 所以tan α＝sin αcos α＝－34，于是tan(π－α)＝－tan α＝34.6．－3 因为tan α＝2，则sin (π＋α)－sin (π2＋α)cos (3π2＋α)＋cos (π－α)＝－sin α－cos αsin α－cos α＝1＋tan α1－tan α＝1＋21－2＝－3.7.22 因为f (α)＝sin α·sin (3π2－α)cos (3π2－α)＝sin α·－cos α－sin α＝cos α， 所以f (－49π4)＝cos(－49π4)＝cos 49π4＝cos(12π＋π4)＝cos π4＝22.8．解析：(1)因为tan α＋1tan α＝－103，所以3tan 2α＋10tan α＋3＝0，解得tan α＝－13或tan α＝－3，因为3π4＜α＜π，所以－1＜tan α＜0，所以tan α＝－13.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos α＋13sin 2α＋2cos 2α＝2sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α3sin 2α＋2cos 2α＝2tan 2α＋2tan α＋13tan 2α＋2＝521. 9．解析：(1)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＋cos α＝15sin 2α＋cos 2α＝1，①②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得25sin 2α－5sin α－12＝0. 因为α是三角形的内角，所以⎩⎨⎧sin α＝45cos α＝－35，所以tan α＝－43.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α ＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2 ＝tan 2α＋11－tan 2α. 因为tan α＝－43，所以1cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝(－43)2＋11－(－43)2＝－257. 第20讲 两角和与差及二倍角的三角函数1．C tan 15°＋1tan 15°＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15°＝sin 215°＋cos 215°sin 15°cos 15°＝2sin 30°＝4. 2．B tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3＋41－3×4＝－711.3．B sin 2θ＝－cos(π2＋2θ)＝2sin 2(π4＋θ)－1＝－725.4．C 由已知三角等式得cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－22，整理得sin α＋cos α＝12.5.34 由条件得3sin θ－cos θ＝0，所以tan θ＝13， 则tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝34. 6．－1 由π2≤θ≤π，得π3≤θ－π6≤5π6，且sin(θ－π6)＝12，所以π2<θ－π6≤5π6，则cos(θ－π6)＝－32，此时cos θ＝cos[(θ－π6)＋π6]＝－32×32－12×12＝－1. 7.3π4 cos α＝1－45＝15＝55，cos β＝1－910＝110＝1010， 则cos(α＋β)＝55×1010－255×31010＝－22，又因为α＋β∈(0，π)，故α＋β＝3π4.8．解析：cos α＝1－sin 2α＝35，所以tan α＝sin αcos α＝43.(1)原式＝sin 2α＋2sin αcos α2cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋2tan α2－tan 2α＝169＋2×432－169＝20.(2)tan(α－5π4)＝tan α－tan 5π41＋tan αtan 5π4＝43－11＋1×43＝17.9．解析：(1)f (π9)＝tan(π3＋π4)＝tan π3＋tan π41－tan π3tanπ4＝3＋11－3＝－2－ 3. (2)因为f (α3＋π4)＝tan(α＋3π4＋π4)＝tan(α＋π)＝tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α，①因为sin 2α＋cos 2α＝1，②由①、②解得cos 2α＝15，因为α∈(π，3π2)，所以cos α＝－55，sin α＝－255，所以cos(α－π4)＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝－55×22＋(－255)×22＝－31010.第21讲 简单的三角恒等变换1．C 原式＝tan [(2α＋3β)＋(α－3β)]＝tan 3α，故选C. 2．A cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－16－13＝－12.3．B 由sin A ＝sin C cos B ，得sin(B ＋C )＝sin C cos B ， 于是sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin C cos B ， 即sin B cos C ＝0，因为sin B ≠0，所以cos C ＝0，故C ＝90°， 所以△ABC 为直角三角形，故选B.4．C 因为3－sin 70°2－cos 210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝2(3－sin 70°)3－sin 70°＝2，故选C.5．1 因为cos 2α＋sin(π2＋2α)＝12，所以cos 2α＋cos 2α＝12，即cos 2α＋cos 2αcos 2α＋sin 2α＝12＝2－tan 2α1＋tan 2α，解得tan α＝1. 6.15 由sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝513， 得2tan αtan 2α＋1＝513，解得tan α＝15或5.因为α∈(0，π4)，所以tan α＜1，故tan α＝15.7．1 联立条件中的两个等式得2x ＝2sin(α＋π4)＋2sin(α－π4)＝(sin α＋cos α)＋(sin α－cos α)＝2sin α，所以x ＝sin α，y ＝cos α，所以x 2＋y 2＝sin 2α＋cos 2α＝1.8．解析：原式＝cos 40°＋sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°sin 70°·2cos 220°＝cos 40°＋cos 40°·2sin (10°＋30°)cos 10°2sin 70°·cos 20°＝cos 40°＋sin 80°cos 10°2cos 220°＝1＋cos 40°2cos 220°＝2cos 220°2cos 220°＝ 2.9．解析：(1)由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－(17)2＝437，所以tan α＝sin αcos α＝437×7＝43，于是tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－(43)2＝－8347. (2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2，又因为cos(α－β)＝1314，所以sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－(1314)2＝3314.由β＝α－(α－β)，得 cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314 ＝12，所以β＝π3.第22讲 三角函数的图象1．B 因为y ＝2sin(x ＋π4)cos(x －π4)＝2sin 2(x ＋π4)＝1－cos(2x ＋π2)＝sin 2x ＋1，由2x ＝π2知x ＝π4是其一条对称轴，故选B. 2．B 由于最大值为2，所以A ＝2， 又T 2＝5π12－(－π12)＝π2⇒T ＝π⇒2πω＝π⇒ω＝2， 所以y ＝2sin(2x ＋φ)，将x ＝－π12代入得sin(－π6＋φ)＝1，结合点的位置，知－π6＋φ＝2k π＋π2⇒φ＝2k π＋2π3(k ∈Z )，所以函数的解析式可为y ＝2sin(2x ＋2π3)，故选B.3．D y ＝2cos(x ＋π6)，向左平移m 个单位得y ＝2cos(x ＋m ＋π6)为偶函数，所以当x ＝0时，cos(m ＋π6)＝±1，m ＋π6＝k π，m ＝－π6＋k π(k ∈Z )，取k ＝1，得m 的最小正值为5π6，故选D.4．B 把y ＝sin x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的12，得到的函数解析式是y ＝sin2x ，再把这个函数图象向右平移π6，得到的函数图象的解析式是y ＝sin 2(x －π6)＝sin(2x －π3)，与已知函数比较得ω＝2，φ＝－π3，故选B.5．A 对称轴x ＝π4＋k π∈[0,2π]，得对称轴x ＝π4或x ＝5π4，所以x 1＋x 2＝2×π4＝π2或x 1＋x 2＝2×5π4＝5π2，故选A.6.π62 解析：由图象可知T ＝π，所以ω＝2ππ＝2，当x ＝－π12时，sin [2×(－π12)＋φ]＝0，即φ－π6＝k π，所以φ＝π6＋k π，又|φ|<π2，所以φ＝π6，故填φ＝π6，ω＝2.7．2＋2 由图可得：T ＝8，A ＝2，φ可取0.且f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＋f (8)＝0，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2013)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝2＋2.8．解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝a ＋c ＝1f (π2)＝a ＋b ＝1⇒b ＝c .所以f (x )＝a ＋2b sin(x ＋π4)，最大值为 f (π4)＝a ＋2b ＝22－1，所以a ＝－1，b ＝2，c ＝2，所以f (x )＝22sin(x ＋π4)－1. (2)取φ＝π4，k ＝1， 则平移后得f (x )＝22sin x 为奇函数．9．解析：(1)由图可知，A ＝1，f (x )的最小正周期T ＝4×2＝8，所以T ＝2πω＝8，故ω＝π4， 又f (1)＝sin(π4＋φ)＝1，且－π2<φ<π2， 所以π4＋φ＝π2，所以φ＝π4. (2)因为f (－1)＝0，f (1)＝1，f (3)＝0，所以M (－1,0)，N (1,1)，P (3,0)．设Q (1,0)，在等腰三角形MNP 中，设∠MNQ ＝α，则sin α＝25，cos α＝15， 所以sin ∠MNP ＝sin 2α＝2sin αcos α＝2×25×15＝45. 第23讲 三角函数的性质1．D 周期是π的函数是y ＝sin 2x 和y ＝cos 2x ，其中y ＝cos 2x 是偶函数，故选D.2．D 由sin 2x －cos 2x >0，得cos 2x <0，所以2x ∈[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )， 即x ∈[k π＋π4，k π＋3π4](k ∈Z )，故选D. 3．C 配方得y ＝sin 2x －sin x ＋2＝(sin x －12)2＋74. 显然，当sin x ＝－1时，y max ＝4，故选C.4．D 由题意可知两函数的周期相同，所以ω＝2，故f (x )＝2cos(2x －π6)． 令2x －π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝π12＋12k π，k ∈Z ， 所以函数f (x )图象的对称轴是x ＝π12＋12k π，k ∈Z . 当k ＝0时，x ＝π12，故选D. 5．A 由题意可知函数f (x )当x ＝4π3时取得最大值，则4ωπ3－π6＝2k π＋π2，所以ω＝32k ＋12(k ∈Z )，故当k 取0时可得ω＝12，故选A. 6.π6(满足π6＋k π3即可) 解析：因为f (x ＋t )＝cos 3(x ＋t )＝cos(3x ＋3t )为奇函数，所以令3t ＝π2＋k π，k ∈Z ， 可得t ＝π6＋k π3，k ∈Z ，可取其中一个可能值t ＝π6. 7．[2k π＋π6，2k π＋5π6](k ∈Z ) 解析：要使函数有意义，2sin x －1≥0，即sin x ≥12.由图象可知2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z )． 8．解析：(1)因为f (x )＝4cos x sin(x ＋π6)－1 ＝4cos x (32sin x ＋12cos x )－1 ＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x＝2sin(2x ＋π6)， 所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3. 于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2； 当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1. 9．解析：(1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )，故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }．因为f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x sin x＝2cos x (sin x －cos x )＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin (2x －π4)－1. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )， 得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(x ≠k π，k ∈Z )， 所以f (x )的单调递增区间为[k π－π8，k π)和(k π，k π＋3π8](k ∈Z )． 第24讲 解斜三角形1．A 由余弦定理，得b ＝1＋3－2×1×3cos 5π6＝7. 2．C 由正弦定理得sin C ＝AB sin A BC ＝22， 又BC ＝3，AB ＝6，所以A >C ，则C 为锐角，所以C ＝π4，故选C. 3．A 由题意可得12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝32， 即12AB ·BC ·32＝32，所以AB ·BC ＝2. 再由余弦定理可得3＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos π3＝AB 2＋BC 2－2， 所以AB 2＋BC 2＝5，所以(AB ＋BC )2＝AB 2＋BC 2＋2AB ·BC ＝5＋4＝9，所以AB ＋BC ＝3，所以△ABC 的周长等于AB ＋BC ＋AC ＝3＋3，故选A.4．C 若满足条件的三角形有两个，则应32＝sin C <sin A <1，又因为BC sin A ＝AB sin C＝2， 故BC ＝2sin A ，所以3<BC <2，故选C. 5.π6 由正弦定理得sin 2A sin A ＝b a， 得2sin A cos A sin A ＝31，即cos A ＝32，故A ＝π6. 6．33 由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝9＋16－132×3×4＝12， 所以sin A ＝32， 所以S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝12×3×4×32＝3 3. 7.π3(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝[(b ＋c )＋a ][(b ＋c )－a ]＝(b ＋c )2－a 2＝3bc ，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12， 又0<A <π，所以A ＝π3. 8．解析：(1)由题设并利用正弦定理，得⎩⎨⎧ a ＋c ＝54ac ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，c ＝14，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，c ＝1. (2)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B＝p 2b 2－12b 2－12b 2cos B ， 即p 2＝32＋12cos B ， 因为0<cos B <1，得p 2∈(32，2)， 由题设知p >0，所以62<p < 2. 9．解析：(1)由已知a 2＋c 2－b 22ac ＝35， 所以cos B ＝35，sin B ＝1－cos 2B ＝45， 所以2sin 2A ＋C 2＋sin 2B ＝2cos 2B 2＋sin 2B ＝1＋cos B ＋2sin B cos B＝1＋35＋2×35×45＝6425. (2)因为b ＝2，所以a 2＋c 2＝65ac ＋4， 又因为a 2＋c 2≥2ac ，所以2ac ≤65ac ＋4，所以ac ≤5，所以S △ABC ＝12ac sin B ≤12×5×45＝2. 所以△ABC 的面积的最大值为2.第25讲 三角函数的模型及应用1．D 2.B3．A 令f (x )＝4x －sin 3x ，则f ′(x )＝4－3cos 3x >0，所以f (x )为增函数．又0<x <π2，所以f (x )>f (0)＝0， 即4x －sin 3x >0，所以4x >sin 3x .4．C 易得周期T ＝2π100π＝150，则函数I ＝A sin ωt ，t ∈[0，＋∞)首次达到峰值时t ＝T 4＝1200. 5.1063因为∠ABC ＝180°－105°＝75°，∠BCA ＝180°－135°＝45°，∠A ＝180°－75°－45°＝60°，所以x sin 45°＝10sin 60°，所以x ＝1063 m. 6．156 在△BCD 中，根据正弦定理得， BC ＝CD sin ∠CBD ·sin ∠CDB ＝30sin (180°－15°－30°)×sin 30°＝152， 在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan ∠ACB ＝152×tan 60°＝156为所求．7．45° tan ∠ADC ＝tan ∠DAB ＝BD AB ＝6020＝3， tan ∠DCA ＝6050－20＝2， 所以tan ∠DAC ＝tan(π－∠ADC －∠DCA )＝－tan ∠ADC ＋tan ∠DCA 1－tan ∠ADC ·tan ∠DCA＝－2＋31－2×3＝1， 而∠ADC ＞45°，∠DCA ＞45°，所以0°<∠DAC <90°，所以∠DAC ＝45°.8．解析：如图，设∠CAD ＝β，∠BAD ＝α，∠BAC ＝φ，CD ＝2－1.2＝0.8，设AD ＝x (x >0)， 则tan α＝BD AD ＝1＋0.8x ＝1.8x； tan β＝CD AD ＝0.8x， 因为tan φ＝tan(α－β)＝1.8x －0.8x 1＋1.8x ·0.8x＝1x ＋1.44x ≤12x ·1.44x＝12.4＝512. 当x ＝1.44x，即x ＝1.2时，tan φ达到最大值， 因为φ是锐角，所以tan φ最大时，视角φ最大，所以值班人员看表最清楚的位置为AD ＝1.2 m ，即表盘前1.2 m 处．9．解析：(1)在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C＝162＋102－2×16×10cos C ，①在△ABD 中，由余弦定理及∠C ＝∠D 整理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos D＝142＋142－2×142cos C ，②由①②得：142＋142－2×142cos C ＝162＋102－2×16×10cos C ，解得cos C ＝12. 又因为∠C 为三角形的内角，所以C ＝60°，又∠C ＝∠D ，AD ＝BD ，所以△ABD 是等边三角形，故AB ＝14，即AB 的长度为14.(2)小李的设计符合要求，理由如下：S △ABD ＝12AD ·BD sin D ， S △ABC ＝12AC ·BC sin C ， 因为AD ·BD >AC ·BC ，sin D ＝sin C ，所以S △ABD >S △ABC ，由已知建造费用与用地面积成正比，故选择△ABC 建造环境标志费用较低，即小李的设计符合要求．。
2015届高考数学一轮复习单元检测： 三角函数( 人教A版必修4)
2015届高考数学一轮复习单元检测： 三角函数一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 1、集合{2ππ4ππ|+≤≤+k k αα，∈k Z }中的角所表示的范围（阴影部分）是……（ ） （A ） （B ） （C ） （D ）2、已知角α的终边经过点P （m 4-，m 3）（0≠m ），则α+αcos sin 2的值是…（ ）（A ）1或1- （B ）52或52- （C ）1或52- （D ）1-或52 3、已知x x f 3cos )(cos =，则)(sin x f 等于……………………………………………（ ）（A ）x 3sin （B ）x 3cos （C ）x 3sin - （D ）x 3cos - 4、已知β>αsin sin ，那么下列命题中成立的是………………………………………（ ） （A ）若α，β是第一象限角，则β>αcos cos （B ）若α，β是第二象限角，则β>αtan tan （C ）若α，β是第三象限角，则β>αcos cos （D ）若α，β是第四象限角，则β>αtan tan 5、要得到函数)42sin(3π+=x y 的图象，只需将函数x y 2sin 3=的图象……………（ ）（A ）向左平移4π个单位 （B ）向右平移4π个单位 （C ）向左平移8π个单位 （D ）向右平移8π个单位6、(2014·宜昌模拟)在△ABC 中,若=,则B 的值为( ) A.30°B.45°C.60°D.90°二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）7、(2014·东城模拟)在△ABC 中,a,b,c 分别为角A,B,C 所对的边.已知角A 为锐角,且b=3asinB,则tanA=__________. 8、函数|tan |tan cos |cos ||sin |sin x x x x x x y ++=的值域是 ．9、已知2tan =θ，则=θ+θθ-θcos 3sin cos 2sin 3 ．10、已知41)6sin(=π+x ，则=-π+-π)3(cos )65sin(2x x ．11、不等式0tan 31≥+x 的解集是 ． 12、设函数)32sin(3)(π+=x x f ，给出四个命题：①它的周期是π；②它的图象关于直线12π=x 成轴对称；③它的图象关于点（3π，0）成中心对称；④它在区间[125π-，12π] 上是增函数．其中正确命题的序号是 ．14、已知α是第二象限角，且11)sin(+-=α+πk k ，113)25sin(+-=α+πk k ． （1）求角α的正弦值、余弦值和正切值；（2）在图中作出角α的三角函数线，并用有向线段表示αsin ，αcos 和αtan ．15、设xxx f sin 21sin 21log )(3+-=．（1）判断函数)(x f y =的奇偶性； （2）求函数)(x f y =的定义域和值域．16、已知交流电的电流强度I （安培）与时间t （秒）满足函数关系式)sin(ϕ+ω=t A I ，其中0>A ，0>ω，π<ϕ≤20．（1）如图所示的是一个周期内的函数图象，试写出)sin(ϕ+ω=t A I 的解析式． （2）如果在任意一段1501秒的时间内电流强度I 能同时取得最大值A 和最小值A -，那么正整数ω的最小值是多少？四、附加题（本大题10分）已知a 为常数，∈x R ，试利用三角恒等式)4πsin(2cos sin +=+x x x ，求函数)cos (sin 2cos sin x x a x x y +-=的最大值)(a M 和最小值)(a m ．参考答案： 一、选择题CBCDCB 二、填空题7、 8、{1-，3} 9、5410、165 11、26|{π+π<≤π-πk x k x ，∈k Z } 12、 ①②③④ 三、解答题13、（1）原式1-=．（2）略． 14、（1）1=k （舍去）或91=k ；54sin =α，53cos -=α，34tan -=α．（2）作图略，MP =αsin ，OM =αcos ，AT =αtan ． 15、（1）奇函数；（2）定义域66|{π+π<<π-πk x k x ，∈k Z }，值域R ． 16、（1）)6150sin(300π+π=t I ；（2）943min =ω． 四、附加题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<-=0,2210,221)(a a a a a M ；⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+-≤≤----<+=1,21211,211,212)(2a a a a a a a m ．。
三角函数与平面向量的综合应用复习检测(带解析2015高考数学一轮)
三角函数与平面向量的综合应用复习检测（带解析2015高考数学一轮）三角函数与平面向量的综合应用复习检测（带解析2015高考数学一轮） A组基础演练 1．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(2,3)，若a∥b，则sin2α－sin 2α的值等于 ( ) A．－513B．－313 C.313 D.513 解析：由a∥b，得2sin α－3cos α＝0得tan α＝32. sin2α－sin 2α＝sin2α－2sin αcos αsin2α＋cos2α＝tan2α－2tan αtan2α＋1＝322－2×32322＋1＝－313. 答案：B 2．(经典考题)△ABC中，AB边的高为CD，若CB→＝a，CA→＝b，a•b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD→等于 ( ) A.13a－13b B.23a －23b C.35a－35b D.45a－45b 解析：利用向量的三角形法则求解．如图，∵a•b＝0，∴a⊥b，∴∠ACB＝90°，∴AB＝AC2＋BC2＝5. 又CD⊥AB，∴AC2＝AD•AB，∴AD＝455. ∴AD→＝45AB→＝45(a －b)＝45a－45b. 答案：D 3．已知π2＜θ＜π，sinπ2＋θ＝－35，则tanπ－θ的值为 ( ) A.34 B.43 C．－34 D．－43 解析：因为sinπ2＋θ＝－35，所以cos θ＝－35，因为π2＜θ＜π，所以sin θ＝45，所以tan θ＝sin θcos θ＝－43，所以tan(π－θ)＝－tan θ. 答案：B 4．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(3，－1)，n＝(cos A，sin A)．若m⊥n，且acos B＋bcos A＝csin C，则角A，B的大小分别为 ( ) A.π6，π3 B.2π3，π6 C.π3，π6 D.π3，π3 解析：由m⊥n得m•n＝0，即3cos A－sin A＝0，即2cosA＋π6＝0，∵π6＜A＋π6＜7π6，∴A＋π6＝π2，即A＝π3. 又acos B＋bcos A＝2Rsin Acos B＋2Rsin Bcos A ＝2Rsin(A＋B)＝2Rsin C＝c＝csin C，所以sin C ＝1，C＝π2，所以B＝π－π3－π2＝π6. 答案：C 5．若1＋tan α1－tan α＝2 014，则1cos 2α＋tan 2α＝________. 解析：1cos 2α＋tan 2α＝1cos 2α＋sin 2αcos 2α＝α＋cos αα－sin2α＝sin α＋cos αcos α－sin α＝tan α＋11－tan α＝2 014. 答案：2 014 6．在直角坐标系xOy中，已知点A(－1,2)，B(2cos x，－2cos 2x)，C(cos x,1)，其中x∈[0，π]，若AB→⊥OC→，则x的值为________．解析：因为AB→＝(2cos x＋1，－2cos 2x －2)，OC→＝(cos x,1)，所以AB→•OC→＝(2cos x＋1)cos x＋(－2cos 2x－2)•1 ＝－2cos2x＋cos x＝0，可得cos x＝0或cos x＝12，所以x的值为π2或π3. 答案：π2或π3 7．已知等腰△ABC 的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b＋a，c－a)，若p∥q，则角A的大小为________．解析：由p∥q得(a＋c)(c－a)＝b(b＋a)，即－ab＝a2＋b2－c2，由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c22ab＝－ab2ab＝－12，因为0°＜C＜180°，所以C＝120°.又由△ABC为等腰三角形得A＝12(180°－120°)＝30°. 答案：30° 8．(2014•金丽衢十二校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝π3，cos B＝63，且c2＝a2＋(6－1)b. (1)求sin C的值； (2)求边b的长．解：(1)∵A，B，C为△ABC的内角，且A＝π3，cos B＝63. ∴C＝π－(A＋B)，sin B ＝33，∴sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝32＋36. (2)由余弦定理得：c2＝a2＋(6－1)b＝b2＋c2－2bccos A＋(6－1)b，即b－c＋6－1＝0. 又由正弦定理得：c＝bsin Csin B＝6＋12b，∴b＝2. ∴边b的长为2. 9．已知A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，α∈π2，3π2. (1)若|AC→|＝|BC→|，求角α的值； (2)若AC→•BC→＝－1，求2sin2α＋sin 2α1＋tan α的值．解：(1)∵AC→＝(cos α－3，sin α)，BC→＝(cos α，sin α－3)，∴AC→2＝(cos α－3)2＋sin2α＝10－6cos α，BC→2＝cos2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α，由|AC→|＝|BC→|，可得AC→2＝BC→2，即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α. 又α∈π2，3π2，∴α＝5π4. (2)由AC→•BC→＝－1，得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，∴sin α＋cos α＝23.① 又2sin2α＋sin 2α1＋tan α＝2sin2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αcos α. 由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝49，∴2sin αcos α＝－59. ∴2sin2α＋sin 2α1＋tan α＝－59. B组能力突破 1．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－π＜φ＜0)的部分图象如图，则f(x)的表达式为 ( ) A．f(x)＝2sin12x－23πB．f(x)＝2sinx－23πC．f(x)＝2sin12x＋π3 D．f(x)＝2sin2x－23π解析：由T2＝5π6－π3＝π2⇒T＝π，ω＝2πT＝2，A＝2，且－π＜φ＜0，∴2sin2×π3＋φ＝0⇒φ＝－2π3，∴f(x)＝2sin2x－2π3. 答案：D 2．若O为平面内任一点且(OB→＋OC→－2OA→)•(AB→－AC→)＝0，则△ABC是 ( ) A．直角三角形或等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形但不一定是直角三角形 D．直角三角形但不一定是等腰三角形解析：由(OB→＋OC→－2OA→)•(AB→－AC→)＝0得(AB→＋AC→)•(AB→－AC→)＝0，∴(AB→)2－(AC→)2＝0，即|AB→|＝|AC→|，∴AB＝AC. 答案：C 3．已知函数f(x)＝sin x－cos x，且f′(x)＝2f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，则1＋sin2xcos2x－sin 2x＝________. 解析：由题意知，f′(x)＝cos x＋sin x，由f′(x)＝2f(x)，得cos x＋sin x＝2(sin x－cos x)，得tan x＝3，所以1＋sin2xcos2x－sin 2x＝1＋sin2xcos2x－2sin xcos x ＝2sin2x＋cos2xcos2x－2sin xcos x＝2tan2x＋11－2tan x＝－195. 答案：－195 4．(2014•乌鲁木齐地区诊断)已知函数f(x)＝sin x(1＋sin x)＋cos2x. (1)求f(x)在－π6，2π3上的最大值和最小值； (2)在△ABC中，已知cos A＝725，cos B＝35，求f(C)．解：(1)∵f(x)＝sin x＋1，∴f(x)在－π6，π2上为增函数，在[π2，2π3]上为减函数，又f－π6＜f2π3，∴当x＝－π6时，f(x)在－π6，2π3上有最小值 f－π6＝sin－π6＋1＝12；当x＝π2时，f(x)在－π6，2π3上有最大值fπ2＝ sin π2＋1＝2. (2)由题知A、B为锐角，∴sin A＝2425，sin B＝45，sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝2425×35＋725×45＝45，∴f(C)＝sin C＋1＝95.。
2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：第3章 三角函数、解三角形 第8节
[课堂练通考点]1．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海里解析：选A 如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝ABsin 45°，解得BC ＝102(海里)． 2．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析：如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)，ON ＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)， 在△MON 中，由余弦定理得， MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)． 答案：10 33.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？解： 如图，连接A 1B 2，由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102， ∴A 1A 2＝A 2B 2.又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形， ∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2. 由已知，A 1B 1＝20，∴∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°， 在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45° ＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200， ∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船的速度为10220×60＝30 2(海里/时)．[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1.两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°解析：选D 由条件及图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.2．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量，已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，则∠DEF 的余弦值为( )A.1665B.1965C.1657D.1757解析：选A如图所示，作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M . DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1702＝10298(m)， DE ＝DN 2＋EN 2 ＝502＋1202＝130(m)， EF ＝(BE －FC )2＋BC 2 ＝902＋1202＝150(m)． 在△DEF 中，由余弦定理，得cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ×EF ＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.故选A.3.如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：选B 依题意可得AD ＝2010 (m)，AC ＝305(m)，又CD ＝50(m)，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝(305)2＋(2010)2－5022×305×2010＝ 6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.4．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m解析：选A 设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.5．(2014·厦门模拟)在不等边三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2 解析：选D 由题意得sin 2A <sin 2B ＋sin 2C ， 再由正弦定理得a 2<b 2＋c 2，即b 2＋c 2－a 2>0. 则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0， ∵0<A <π，∴0<A <π2. 又a 为最大边，∴A >π3.因此得角A 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.6.(2014·大连联合模拟)如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________．解析：在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，BC sin 45°＝CD sin 30°，BC ＝CD sin 45°sin 30°＝10 2.在Rt △ABC 中tan 60°＝AB BC ，AB ＝BC tan 60°＝10 6.答案：10 67.(2013·福建高考)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．解析：因为sin ∠BAC ＝223，且AD ⊥AC ， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋∠BAD ＝223，所以cos ∠BAD ＝223，在△BAD 中，由余弦定理得， BD ＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ＝(32)2＋32－2×32×3×223＝ 3.答案： 38．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20 m ，则折断点与树干底部的距离是________ m.解析：如图，设树干底部为O ，树尖着地处为B ，折断点为A ，则∠ABO ＝45°，∠AOB ＝75°，所以∠OAB ＝60°.由正弦定理知，AO sin 45°＝20sin 60°，解得AO ＝2063 m. 答案：20639．在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距离A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船；在A 处北偏西75°方向，距离A 处2海里的C 处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？解：如图，设缉私船t 小时后在D 处追上走私船， 则有CD ＝103t ，BD ＝10t .在△ABC 中，AB ＝3－1，AC ＝2， ∠BAC ＝120°.利用余弦定理可得BC ＝ 6. 由正弦定理，得sin ∠ABC ＝AC BC sin ∠BAC ＝26×32＝22，得∠ABC ＝45°，即BC 与正北方向垂直． 于是∠CBD ＝120°.在△BCD 中，由正弦定理，得 sin ∠BCD ＝BD sin ∠CBDCD＝10t ·sin 120°103t＝12，得∠BCD ＝30°， ∴∠BDC ＝30°. 又CD sin 120°＝BC sin 30°， 103t 3＝6，得t ＝610. 所以缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船，最少要花610小时． 10．(2013·江苏高考)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝1213，cos C＝35.(1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：(1)在△ABC中，因为cos A＝1213，cos C＝35，所以sin A＝513，sin C＝45.从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理ABsin C＝ACsin B，得AB＝ACsin B·sin C＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB的长为1 040 m.(2)假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t) m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×1213＝200(37t2－70t＋50)．由于0≤t≤1 040130，即0≤t≤8，故当t＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BCsin A＝ACsin B，得BC＝ACsin B·sin A＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3， 解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ， 乙步行的速度应控制在1 25043，62514(单位：m/min)范围内． 第Ⅱ组：重点选做题1.如图，一艘船上午9∶30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°的方向，且与它相距8 2 n mile.此船的航速是________n mile/h.解析：设航速为v n mile/h ，在△ABS 中AB ＝12v ，BS ＝82，∠BSA ＝45°， 由正弦定理得82sin 30°＝12v sin 45°，则v ＝32. 答案：322．(2013·湖北八市联考)如图所示，已知树顶A 离地面212米，树上另一点B 离地面112米，某人在离地面32米的C 处看此树，则该人离此树________米时，看A ，B 的视角最大．解析：过C 作CF ⊥AB 于点F ，设∠ACB ＝α，∠BCF ＝β， 由已知得AB ＝212－112＝5(米)，BF ＝112－32＝4(米)， AF ＝212－32＝9(米)． 则tan(α＋β)＝AF FC ＝9FC ， tan β＝BF FC ＝4FC ， ∴tan α＝[(α＋β)－β]＝tan(α＋β)－tan β1＋tan(α＋β)tan β＝9FC－4FC1＋36FC2＝5 FC＋36FC≤52 FC·36FC＝512.当且仅当FC＝36FC，即FC＝6时，tan α取得最大值，此时α取得最大值．答案：6。
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 三角函数、三角恒等变形、解三角形阶段性测试题四 北师大版
阶段性测试题四(三角函数、三角恒等变形、解三角形)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·某某调研)设sin(π4＋θ)＝13，则sin2θ＝( )A ．－79B ．－19C.19D.79 [答案]A[解析]sin(π4＋θ)＝22(sin θ＋cos θ)＝13，sin θ＋cos θ＝23，两边平方得，1＋2sin θcos θ＝29，故sin2θ＝－79.2．(文)(2014·某某期末测试)已知tan α2＝2，则6sin α＋cos α3sin α－2cos α的值为( )A.76B ．7C ．－67D ．－7[答案]A[解析]由已知得tan α＝2tanα21－tan 2α2＝－43，故6sin α＋cos α3sin α－2cos α＝6tan α＋13tan α－2＝76. (理)(2014·某某模拟)已知函数f (x )＝sin x －cos x 且f ′(x )＝2f (x ), f ′(x )是f (x )的导函数，则sin2x ＝( )A.13B ．－35 C.35D ．－13 [答案]C[解析]由f (x )＝sin x －cos x 且f ′(x )＝2f (x )得 cos x ＋sin x ＝2sin x －2cos x ，所以tan x ＝3，sin2x ＝2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan x 1＋tan 2x ＝610＝35，故选C.3. (文)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34D ．－43[答案]D[解析]因为α是第二象限角，所以cos α＝15x <0，即x <0.又cos α＝15x ＝x x 2＋16，解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43，选D.(理)(2014·潍坊质检)已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P (sin120°，cos120°)，则α可以是( )A ．60°B ．330°C ．150°D ．120° [答案]B[解析]由三角函数的定义得sin α＝cos120°＝－12，在选项中只有B 选项的正弦值为－12.4．(2014·某某一中月考)函数y ＝3sin 2(ω2x ＋π4)的最小正周期为π，则ω为 ( )A ．2B ．4C ．±2D ．±4 [答案]C[解析]∵y ＝3sin 2(ω2x ＋π4)＝32[1－cos(ωx ＋π2)]＝32(1＋sin ωx )，所以2π|ω|＝π，解得ω＝±2，故选C.5．(2014·某某联考)为了得到函数y ＝3sin(2x －π6)的图像，只需把函数y ＝3sin(x －π6)的图像上所有的点的( )A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变[答案]B[解析]将函数y ＝3sin(x －π6)中的x 变为2x ，即得到y ＝3sin(2x －π6)，故横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，选B.6．(2014·某某调研)在△ABC 中，若sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )，则△ABC 的形状一定是( )A ．等边三角形B ．不含60°的等腰三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形 [答案]D[解析]sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C ) ＝1－2cos A sin B ，sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝1－2cos A sin B ， 所以sin A cos B ＋cos A sin B ＝1，即sin(A ＋B )＝1， 所以A ＋B ＝π2，故三角形为直角三角形．7．(文)(2014·武昌中学月考)计算sin15°sin75°＋cos15°cos75°＝( ) A.32B.12C.1＋32D.3－12[答案]B[解析]sin15°sin75°＋cos15°cos75°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝12.(理)(2014·潍坊期末)已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1，12]，则b －a 的值不可能是( )A.4π3B.2π3 C ．π D.π3[答案]D[解析]由正弦曲线知，在一个周期内sin π6＝sin 5π6＝12，sin 3π2＝－1，∴可取a ＝5π6，3π2≤b ≤2π＋π6，∴2π3≤b －a ≤4π3，D 中π3不在此X 围内，故选D. 8．(2014·某某一模)△ABC 中，∠A ＝30°，AB ＝3，BC ＝1，则△ABC 的面积等于( ) A.32B.34C.32或3D.32或34[答案]D[解析]由余弦定理cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ，代入各值整理可得AC 2－3AC ＋2＝0，解得AC ＝1或AC ＝2三角形面积S ＝12AB ·AC ·sin A 所以面积为32或34.9．(文)(2014·某某一中第三次联考)将函数y ＝sin(6x ＋π4)图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移π8个单位，得到的函数的一个对称中心是( )A ．(π2，0)B ．(π4，0)C ．(π9，0)D ．(π16，0)[答案]A[解析]将函数y ＝sin(6x ＋π4)图像上各点横坐标伸长到原来的3倍后得y ＝sin(2x ＋π4)，再向右平移π8个单位得y ＝sin[2(x －π8)＋π4]＝sin2x ，由2x ＝k π(k ∈Z)得对称中心为(k π2，0)(k ∈Z)，故选A.(理)(2014·某某一中第三次联考)将函数f (x ) ＝2sin(ωx －π3)(ω>0)的图像向左平移π3ω个单位，得到函数y ＝g (x )的图像．若y ＝g (x )在[0，π4]上为增函数，则ω的最大值( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案]B[解析]由题意g (x )＝2sin ωx ，要使其在[0，π4]为增函数，如图所示，只需π2ω≥π4，所以0<ω≤2，选B.10．(文)(2014·某某一中月考) 如下图是函数y ＝4sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)图像的一部分，则 ( )A ．ω＝135，φ＝5π6B ．ω＝115，φ＝π6C ．ω＝75，φ＝5π6D ．ω＝235，φ＝π6[答案]C[解析]∵y ＝4sin(ωx ＋φ)的图像过点(0,2)，所以4sin φ＝2⇒sin φ＝12，由于函数y ＝4sin(ωx ＋φ)在x ＝0附近单调递减，且|φ|<π，故φ＝5π6，∴y ＝4sin(ωx ＋5π6)．由于(5π6，0)是函数y ＝4sin(ωx ＋5π6)的图像在y 轴右侧第二个对称中心，故有5π6ω＋5π6＝2π，解得ω＝75，故选C.(理)(2014·某某一中月考)设x ∈R ，则f (x )＝coscos x 与g (x )＝sinsin x 的大小关系为( )A ．f (x )<g (x )B ．f (x )≤g (x )C ．f (x )>g (x )D ．f (x )≥g (x ) [答案]C[解析]∵f (x )＝coscos x ＝sin(π2－cos x )，由于sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2<π2，所以sin x <π2－cos x ，且－π2<sin x <π2－cos x <π2，由于函数y ＝sin x 在(－π2，π2)上单调递增，所以sinsin x <sin(π2－cos x )＝coscos x ，即f (x )>g (x )，故选C.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．(2014·某某月考)若sin (3π＋α)＝12，α∈(－π2，0)，则tan α＝________.[答案]－33[解析]sin(3π＋α)＝12，α∈(－π2，0)得sin α＝－12，cos α＝32，故tan α＝－3312．(文) (2014·某某师大附中调研)直线2x －y ＋1＝0的倾斜角为θ，则1sin 2θ－cos 2θ的值为________．[答案]53[解析]由题意可知，tan θ＝2，则 1sin 2θ－cos 2θ＝sin 2θ＋cos 2θsin 2θ－cos 2θ＝tan 2θ＋1tan 2θ－1＝53.(理)若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则cos(2α＋3π2)的值等于________．[答案]－45[解析]因为点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，所以sin α＝－2cos α，即tan α＝－2，所以cos(2α＋3π2)＝sin2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝－45.13．(2014·某某区模拟)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若cos Bcos C ＝－b 2a ＋c，则B ＝________.[答案]2π3[解析]由已知得cos B cos C ＝－sin B2sin A ＋sin C ，化简得2sin A cos B ＋sin C cos B ＋sin B cos C ＝0， 所以2sin A cos B ＋sin A ＝0，因此cos B ＝－12，∵B ∈(0，π)，∴B ＝2π3.14．(2014·长丰一模)如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________m.[答案]10 6[解析]由题意知，∠BCD ＝90°＋15°＝105°，又∠BDC ＝45°，CD ＝10，故∠CBD ＝30°，由正弦定理得BC ＝DCsin ∠CBD ·sin ∠CDB ＝102，又因为∠ABC ＝90°，∠ACB ＝60°， 所以AB ＝BC ·tan60°＝10 6.15．(2014·某某调研测试)对于△ABC ，有如下四个命题： ①若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；②若sin B ＝cos A ，则△ABC 不一定是直角三角形； ③若sin 2A ＋sin 2B >sin 2C ，则△ABC 是钝角三角形；④若a cos A 2＝B cos B 2＝c cos C 2，则△ABC 是等边三角形．其中正确的命题是________．[答案]④[解析]对于命题①，若A ＋B ＝π2，则2A ＋2B ＝π，所以2A ＝π－2B ，所以sin2A ＝sin(π－2B )＝sin2B ，故△ABC 也可能是直角三角形，故命题①为假命题；对于命题②，取A ＝30°，B ＝120°，则 sin B ＝32＝cos A ，此时△ABC 为钝角三角形，故△ABC 不一定是直角三角形，故命题②为真命题；对于命题③，由于sin 2A ＋sin 2B >sin 2C ，所以a 2＋b 2>c 2.故有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab>0，故角C 为锐角，并不能说明A ，B 其中一个为钝角，即△ABC 不一定是钝角三角形，所以命题③为假命题；对于命题④，由于a cos A 2＝b cos B 2＝ccos C 2，所以sin A cos A 2＝sin B cos B 2＝sin Ccos C 2，于是得到sin A 2＝sin B 2＝sin C2，由于0<A <π，所以0<A 2<π2，同理可得0<B 2<π2，0<C 2<π2，由于函数y ＝sin x 在(0，π2)上是单调递增的，故A 2＝B 2＝C2，于是有A ＝B ＝C ，所以△ABC 为等边三角形． 故正确的命题为②④.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)(文)已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，且θ∈(0,2π)，求：(1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值． [解析](1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ. 由条件知sin θ＋cos θ＝3＋12，故sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tanθ＝3＋12.(2)由sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝1＋2sin θcos θ ＝(sin θ＋cos θ)2，得1＋m ＝(3＋12)2，即m ＝32. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θ·cos θ＝34得⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎨⎧sin θ＝12，cos θ＝32.又θ∈(0,2π)，故θ＝π6或θ＝π3.(理)(2014·某某一模)已知函数f (x )＝－cos 2x －sin x ＋1. (1)求函数f (x )的最小值； (2)若f (α)＝516，求cos2α的值．[解析](1)因为f (x )＝－cos 2x －sin x ＋1 ＝sin 2x －sin x ＝(sin x －12)2－14，又sin x ∈[－1,1]，所以当sin x ＝12时，函数f (x )的最小值为－14.(2)由(1)得(sin α－12)2－14＝516，所以(sin α－12)2＝916.于是sin θ＝54(舍)或sin α＝－14.故cos2α＝1－2sin 2α＝1－2(－14)2＝78.17．(本小题满分12分)(文)(2014某某模拟)已知函数f (x )＝3sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x －2. (1)求f (π4)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． [解析](1)依题意f (x )＝2sin 2x ＋sin2x －1 ＝sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)．则f (π4)＝2sin(2×π4－π4)＝1.(2)f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.当2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2时，即k π－π8≤x ≤k π＋3π8时，f (x )为增函数．则函数f (x )的单调增区间为[k π－π3，k π＋3π8]，k ∈Z.(理)(2014·某某模拟)已知向量a ＝(2sin x ，3cos x )，b ＝(sin x,2sin x )，函数f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若不等式f (x )≥m 对x ∈[0，π2]都成立，某某数m 的最大值．[解析](1)f (x )＝2sin 2x ＋23sin x cos x ＝1－cos2x ＋23sin x cos x ＝3sin2x －cos2x ＋1 ＝2sin(2x －π6)＋1由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z)．得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)，∴f (x )的单调增区间是[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z)(2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6.∴－12≤sin(2x －π6)≤1， ∴f (x )＝2sin(2x －π6)＋1∈[0,3]， ∴m ≤0，m 的最大值为0.18．(本小题满分12分)(文)(2014·海淀期中)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，2b cos C ＝2a －c .(1)求B ；(2)若cos C ＝23，求sin A 的值． [解析](1)由余弦定理知得2b ×a 2＋b 2－c 22ab＝2a －c ， ∴b 2＝a 2＋c 2－ac ，∴cos B ＝12，又0<B <π，∴B ＝π3. (2)∵cos C ＝23，0<C <π，∴sin C ＝53， ∴sin A ＝sin(π－B －C )＝sin(2π3－C ) ＝sin 2π3cos C －cos 2π3sin C ＝23＋56. (理)(2014·某某模拟)已知函数f (x )＝sin(π2－x )cos x －sin x ·cos(π＋x )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)在△ABC 中，若A 为锐角，且f (A )＝1，BC ＝2，B ＝π3，求AC 边的长． [解析](1)f (x )＝sin(π2－x )cos x －sin x ·cos(π＋x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝cos 2x ＋12sin2x ＝12(sin2x ＋cos2x ＋1) ＝22sin(2x ＋π4)＋12令－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z. 可得函数f (x )的单调增区间为：[－3π8＋k π，π8＋k π]， k ∈Z.同理可得函数f (x )的单调减区间为：[π8＋k π，5π8＋k π]，k ∈Z. (2)因为f (A )＝1，所以22sin(2A ＋π4)＋12＝1 所以sin(2A ＋π4)＝22， 因为A 为锐角，所以π4<2A ＋π4<5π4所以2A ＋π4＝3π4，所以A ＝π4， 在△ABC 中，由正弦定理得，BC sin A ＝AC sin B， 即2sin π4＝AC sin π3， 解得AC ＝ 6.19．(本小题满分12分)(文)(2014·内江市第一次模拟)已知向量m ＝(sin x ，－1)，向量n ＝(3cos x ，－12)，函数f (x )＝(m ＋n )·m . (1)求f (x )的最小正周期T ；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a ＝23，c ＝4，且f (A )恰是f (x )在[0，π2]上的最大值，求A 和b . [解析](1)f (x )＝(m ＋n )·m＝sin 2x ＋1＋3sin x cos x ＋12， ＝1－cos2x 2＋1＋32sin2x ＋12＝32sin2x －12cos2x ＋2 ＝sin(2x －π6)＋2， ∴T ＝2π2＝π. (2)由(1)知，f (x )＝sin(2x －π6)＋2， x ∈[0，π2]时，－π6≤2x －π6≤5π6∴当2x －π6＝π2时f (x )取得最大值3，此时x ＝π3.由f (A )＝3得A ＝π3. 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴12＝b 2＋16－2×4b ×12，∴b ＝2. (理)(2014·内江市第一次模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，AB →·AC→＝8，∠BAC ＝θ，a ＝4.(1)求bc 的最大值及θ的取值X 围；(2)求函数f (θ)＝3sin2θ＋cos2θ＋1的最大值和最小值．[解析](1)bc ·cos θ＝8，b 2＋c 2－2bc cos θ＝42，即b 2＋c 2＝32，又b 2＋c 2≥2bc ，所以bc ≤16，即bc 的最大值为16.即8cos θ≤16， 所以cos θ≥12，又0<θ<π，所以0<θ≤π3. (2)f (θ)＝3sin2θ＋cos2θ＋1＝2sin(2θ＋π6)＋1 因0<θ≤π3，所以π6<2θ＋π6≤5π6， 12≤sin(2θ＋π6)≤1， 当2θ＋π6＝5π6，即θ＝π3时，f (θ)min ＝2×12＋1＝2， 当2θ＋π6＝π2，即θ＝π6时，f (θ)max ＝2×1＋1＝3. 20．(本小题满分13分)(2014·东城综合练习)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列．(1)求B 的值；(2)求2sin 2A ＋cos(A －C )的X 围．[解析](1)∵a cos C ，b cos B ，a cos A 成等差数列，∴a cos C ＋c cos A ＝2b cos B ，由正弦定理得，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入得2R sin A cos C ＋2R cos A sin C ＝4R sin B cos B ，即：sin(A ＋C )＝sin2B ，∴sin B ＝sin2B ，∵B 是三角形内角，∴B ＝2B 或B ＋2B ＝π，∵0<B <π，∴B ＝π3. (2)∵B ＝π3，∴A ＋C ＝2π3， ∴2sin 2A ＋cos(A －C )＝1－cos2A ＋cos(2A －2π3) ＝1－cos2A －12cos2A ＋32sin2A ＝1＋32sin2A －32cos2A ＝1＋3sin(2A －π3)． ∵0<A <2π3，∴－π3<2A －π3<π， ∴－32<sin(2A －π3)≤1， ∴2sin 2A ＋cos(A －C )的取值X 围是(－12，1＋3]． 21．(本小题满分14分)(文) (2014·东北三校模拟)已知函数g (x )＝34－12sin x cos x －32sin 2x ，将其图像向左移π4个单位，并向上移12个单位，得到函数f (x )＝a cos 2(x ＋φ)＋b (a >0，b ∈R ，|φ|≤π2)的图像． (1)某某数a ，b ，φ的值；(2)设函数φ(x )＝g (x )－3f (x )，x ∈[0，π2]，求函数φ(x )的单调递增区间和最值． [解析](1)依题意化简得g (x )＝12sin(π3－2x )， 平移g (x )得f (x )＝12sin(π3－2(x ＋π4))＋12＝12sin(－2x －π6)＋12＝12cos(2x ＋2π3)＋12＝cos 2(x ＋π3) ∴a ＝1，b ＝0，φ＝π3.(2)φ(x )＝g (x )－3f (x )＝12sin(2x ＋2π3)－32cos(2x ＋2π3)－32＝sin(2x ＋π3)－ 32， 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z)得 －π12＋k π≤x ≤π12＋k π，因为x ∈[0，π2]， 所以当k ＝0时，在[0，π12]上单调增， ∴φ(x )的单调增区间为[0，π12]， 值域为[－3，1－32]， 故φ(x )的最小值为－3，最大值为1－32. (理)已知函数f (x )＝2cos x sin(x ＋π3)－32. (1)求函数f (x )的最小正周期T ；(2)若△ABC 的三边a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且边b 所对角为B ，试求cos B 的取值X 围，并确定此时f (B )的最大值．[解析](1)f (x )＝2cos x ·sin(x ＋π3)－32＝2cos x (sin x cos π3＋cos x sin π3)－32＝2cos x (12sin x ＋32cos x )－32＝sin x cos x ＋3cos 2x －32＝12sin2x ＋3·1＋cos2x 2－32＝12sin2x ＋32cos2x ＝sin(2x ＋π3)． ∴T ＝2π|ω|＝2π2＝π. (2)由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac及b 2＝ac 得， cos B ＝a 2＋c 2－ac 2ac＝a 2＋c 22ac －12≥2ac 2ac －12＝12， ∴12≤cos B <1， 而 0<B <π，∴0<B ≤π3.函数f (B )＝sin(2B ＋π3)， ∵π3<2B ＋π3≤π， ∴当2B ＋π3＝π2，即B ＝π12时，f (B )max ＝1.。
2015届高三数学(理)湘教版一轮复习解答题规范专练2 三角函数、解三角形
解答题规范专练(二) 三角函数、解三角形1．(2014·西安一模)已知函数f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝0，sin B ＝2sin A ，求a ，b 的值．2．(2014·石家庄模拟)已知f (x )＝4cos x ·cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－2. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值．3．(2014·沈阳模拟)已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，向量m ＝(sin A －sin B ，sin C )，向量n ＝(2sin A －sin C ，sin A ＋sin B )，且m ∥n .(1)求角B ；(2)若sin A ＝35，求cos C 的值．答 案1．解：(1)∵f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1， ∴函数f (x )的最小正周期是T ＝2π2＝π. (2)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1，且f (C )＝0，∴f (C )＝sin ⎝⎛⎭⎫2C －π6－1＝0， 即sin(2C －π6)＝1， ∵0<C <π，∴0<2C <2π，∴－π6<2C －π6<11π6， ∴2C －π6＝π2，∴C ＝π3. ∵sin B ＝2sin A ，∴由正弦定理得a b ＝12，① 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3， 即a 2＋b 2－ab ＝3，②由①②解得a ＝1，b ＝2.2．解：(1)因为f (x )＝4cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－2 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x －2＝3sin 2x ＋2cos 2x －2＝3sin 2x ＋cos 2x －1＝ 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1. 所以f (x )的最小正周期是T ＝2π2＝π. (2)因为－π6≤x ≤π4， 所以－π6≤2x ＋π6≤2π3. 于是当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时， f (x )取得最大值1；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时， f (x )取得最小值－2.3．解：(1)依题意得sin 2A －sin 2B ＝sin C (2sin A －sin C )＝2sin A sin C －sin 2C ，由正弦定理得，a 2－b 2＝2ac －c 2，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac .由余弦定理知，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22， ∴B ＝π4. (2)∵sin A ＝35，∴sin A <22，∴A <B .又B ＝π4，∴A <π4，∴cos A ＝45，∴cos C ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π4－A ＝cos 3π4cos A ＋sin 3π4sin A ＝－210.。
2015高考数学二轮复习热点题型-三角函数、解三角形、平面向量
word 格式-可编辑-感谢下载支持三角函数、解三角形、平面向量1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2k π(k ∈Z )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2>0，那么sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关．[问题1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为________． 答案 －152．同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限－α π－α π＋α 2π－α π2－α sin －sin α sin α －sin α －sin α cos α coscos α－cos α－cos αcos αsin α[问题2] cos 9π4＋tan ⎝⎛⎭⎫－7π6＋sin 21π的值为___________________________． 答案22－333．三角函数的图象与性质 (1)五点法作图；(2)对称轴：y ＝sin x ，x ＝k π＋π2，k ∈Z ；y ＝cos x ，x ＝k π，k ∈Z ；对称中心：y ＝sin x ，(k π，0)，k ∈Z ；y ＝cos x ，⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0，k ∈Z ；y ＝tan x ，⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z . (3)单调区间：y ＝sin x 的增区间：⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π (k ∈Z )， 减区间：⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π (k ∈Z )； y ＝cos x 的增区间：[]－π＋2k π，2k π (k ∈Z )， 减区间：[2k π，π＋2k π] (k ∈Z )；word 格式-可编辑-感谢下载支持y ＝tan x 的增区间：⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )． (4)周期性与奇偶性：y ＝sin x 的最小正周期为2π，为奇函数；y ＝cos x 的最小正周期为2π，为偶函数；y ＝tan x 的最小正周期为π，为奇函数．易错警示：求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，容易出现以下错误： (1)不注意ω的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反； (2)忘掉写＋2k π，或＋k π等，忘掉写k ∈Z ；(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起．如[0,90°]应写为⎣⎡⎦⎤0，π2. [问题3] 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的递减区间是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z ) 4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β――→令α＝βsin 2α＝2sin αcos α.cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β――→令α＝βcos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，tan 2α＝2tan α1－tan 2α.在三角的恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如： α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)， α＝12[(α＋β)＋(α－β)]．α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4，α＝⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4. [问题4] 已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 答案 －56655．解三角形 (1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(ⅱ)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；(ⅲ)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC 中A >B ⇔sin A >sin B . (2)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状． [问题5] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则B ＝________.答案 45°6．向量的平行与垂直设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且b ≠0，则a ∥b ⇔b ＝λa ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. a ⊥b (a ≠0)⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.0看成与任意向量平行，特别在书写时要注意，否则有质的不同．[问题6] 下列四个命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若a ∥b ，则|a |＝|b |；④若a ＝0，则－a ＝0.其中正确命题是________． 答案 ④ 7．向量的数量积 |a |2＝a 2＝a·a ，a·b ＝|a||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2， cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22，a 在b 上的投影＝|a |cos 〈a ，b 〉＝a·b |b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 22＋y 22. 注意：〈a ，b 〉为锐角⇔a·b >0且a 、b 不同向； 〈a ，b 〉为直角⇔a·b ＝0且a 、b ≠0； 〈a ，b 〉为钝角⇔a·b <0且a 、b 不反向．易错警示：投影不是“影”，投影是一个实数，可以是正数、负数或零．[问题7] 已知|a |＝3，|b |＝5，且a ·b ＝12，则向量a 在向量b 上的投影为________． 答案1258．当a ·b ＝0时，不一定得到a ⊥b ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0；a ·b ＝c ·b ，不能得到a ＝c ，消去律不成立；(a ·b )c 与a (b ·c )不一定相等，(a ·b )c 与c 平行，而a (b ·c )与a 平行．[问题8] 下列各命题：①若a ·b ＝0，则a 、b 中至少有一个为0；②若a ≠0，a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；③对任意向量a 、b 、c ，有(a ·b )c ≠a (b ·c )；④对任一向量a ，有a 2＝|a |2.其中正确命题是________． 答案 ④9．几个向量常用结论：①P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心； ②P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →⇔P 为△ABC 的垂心； ③向量λ(AB →|AB →|＋AC→|AC →|) (λ≠0)所在直线过△ABC 的内心；④|P A →|＝|PB →|＝|PC →|⇔P 为△ABC 的外心．易错点1 图象变换方向或变换量把握不准致误例1 要得到y ＝sin(－3x )的图象，需将y ＝22(cos 3x －sin 3x )的图象向______平移______个单位(写出其中的一种特例即可)． 错解 右 π4或右 π12找准失分点 y ＝22(cos 3x －sin 3x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12. 题目要求是由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π4→y ＝sin(－3x )． 右移π4平移方向和平移量都错了；右移π12平移方向错了．正解 y ＝22(cos 3x －sin 3x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12， 要由y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12得到y ＝sin(－3x )只需对x 加上π12即可，因而是对y ＝22(cos 3x －sin 3x )向左平移π12个单位． 答案 左π12易错点2 忽视隐含条件的挖掘致误例2 已知cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，0<α<π2，0<β<π2，求cos β.错解 由0<α<π2，0<β<π2，得0<α＋β<π，则cos(α＋β)＝±1114.由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝437.故cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝7198或12.找准失分点 由0<α＋β<π，且sin(α＋β)＝5314<32，∴0<α＋β<π3或2π3<α＋β<π，又cos α＝17<12，∴π3<α<π2，即α＋β∈⎝⎛⎭⎫2π3，π，∴cos(α＋β)＝－1114.word 格式-可编辑-感谢下载支持正解 ∵0<α<π2且cos α＝17<cos π3＝12，∴π3<α<π2，又0<β<π2， ∴π3<α＋β<π，又sin(α＋β)＝5314<32， ∴2π3<α＋β<π. ∴cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1114，sin α＝1－cos 2α＝437. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝12.易错点3 忽视向量共线致误例3 已知a ＝(2,1)，b ＝(λ，1)，λ∈R ，a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是__________． 错解 ∵cos θ＝a·b |a|·|b |＝2λ＋15·λ2＋1.因θ为锐角，有cos θ>0， ∴2λ＋15·λ2＋1>0⇒2λ＋1>0，得λ>－12，λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 找准失分点 θ为锐角，故0<cos θ<1，错解中没有排除cos θ＝1即共线且同向的情况． 正解 由θ为锐角，有0<cos θ<1. 又∵cos θ＝a·b|a|·|b |＝2λ＋15·λ2＋1，∴0<2λ＋15·λ2＋1≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2λ＋1>0，2λ＋1≠5·λ2＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ>－12，λ≠2.∴λ的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ|λ>－12且λ≠2.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ|λ>－12且λ≠21．(2014·大纲全国)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35D ．－45答案 D解析 因为角α的终边经过点(－4,3)，所以x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.2．(2014·大纲全国)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b 答案 C解析 ∵a ＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°，c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°，又0<cos 35°<1，∴c >b >a .3．已知sin θ＋cos θ＝43 (0<θ<π4)，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B ．－23 C.13 D ．－13答案 B解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝169，∴sin 2θ＝79，又0<θ<π4，∴sin θ<cos θ.∴sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2 ＝－1－sin 2θ＝－23. 4．已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( ) A ．[2－1，2＋1] B ．[2－1，2＋2] C ．[1，2＋1] D ．[1，2＋2]答案 A解析 ∵a ·b ＝0，且a ，b 是单位向量，∴|a |＝|b |＝1. 又∵|c －a －b |2＝c 2－2c ·(a ＋b )＋2a ·b ＋a 2＋b 2＝1， ∴2c ·(a ＋b )＝c 2＋1.∵|a |＝|b |＝1且a ·b ＝0，∴|a ＋b |＝2，∴c 2＋1＝22|c |cos θ(θ是c 与a ＋b 的夹角)． 又－1≤cos θ≤1，∴0<c 2＋1≤22|c |， ∴c 2－22|c |＋1≤0， ∴2－1≤|c |≤2＋1.5.函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ，φ∈R )的部分图象如图所示，那么f (0)等于( ) A ．－12B ．－1C ．－32D ．－ 3答案 B解析 由题图可知，函数的最大值为2，因此A ＝2. 又因为函数经过点⎝⎛⎭⎫π3，2，则2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝2， 即2×π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝－π6＋2k π，k ∈Z .f (0)＝2sin φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋2k π＝－1. 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( ) A.32 B.22 C.12 D ．－12答案 C解析 ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab ，又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2ab ≤2c 2. ∴cos C ≥12.∴cos C 的最小值为12.7．(2014·山东)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．答案 16解析 已知A ＝π6，由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6，|AB →||AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →||AC →|sin π6＝12×23×12＝16. 8．(2014·江苏)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________． 答案 π6解析 由题意，得sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝cos π3， 因为0≤φ<π，所以φ＝π6.9．已知函数f (x )＝A sin(ω＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0，－π2<φ<π2)，其部分图象如图所示．若横坐标分别为－1,1,5的三点M ，N ，P 都在函数f (x )的图象上，记∠MNP ＝θ，则cos 2θ的值是________． 答案 －725解析 由图可知，A ＝1，f (x )的最小正周期T ＝8， 所以T ＝2πω＝8，即ω＝π4.又f (1)＝sin(π4＋φ)＝1，且－π2<φ<π2，所以－π4<φ＋π4<3π4，即φ＋π4＝π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝sin π4(x ＋1)．因为f (－1)＝0，f (1)＝1，f (5)＝－1， 所以M (－1,0)，N (1,1)，P (5，－1)．所以NM →＝(－2，－1)，NP →＝(4，－2)，NM →·NP →＝－6， |NM →|＝5，|NP →|＝25， 则cos ∠MNP ＝NM →·NP →|NM →|·|NP →|＝－35，即cos θ＝－35.于是cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－725. 10．(2014·天津)已知函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值和最小值．解 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·(12sin x ＋32cos x )－3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin(2x －π3)． 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间[－π4，－π12]上是减函数，在区间[－π12，π4]上是增函数，f (－π4)＝－14，f (－π12)＝－12，f (π4)＝14，所以，函数f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值为14，最小值为－12.。
江苏省2015届高三数学一轮复习备考试题：三角函数(含答案)
江苏省2015年高考一轮复习备考试题三角函数一、填空题1、（2014年江苏高考）已知函数x y cos =与)0)(2sin(πϕϕ≤≤+=x y ，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 ▲ ． 2、（2013年江苏高考）函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 。
3、（2012年江苏高考）设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(π+a 的值为 ▲ ．4、（2015届江苏南京高三9月调研）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．已知a ＋2c ＝2b ，sin B ＝2sin C ，则cos A ＝ ▲ ．5、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）函数22()cos sin f x x x =-的最小正周期为 ▲ ．6、（2015届江苏苏州高三9月调研）已知函数()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的图象上有一个最高点的坐标为()2,2,由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图像与x 轴交于点()6,0,则此解析式为 ▲7、（南京市2014届高三第三次模拟）已知tan α＝－2，，且π2＜α＜π，则cos α＋sin α＝ ▲ ．8、（南通市2014届高三第三次调研）已知函数()sin()f x x ωϕ=+的图象如图所示，则(2)f = ▲ ．9、（徐州市2014届高三第三次模拟）在平面直角坐标系xOy 中，直线1y =与函数π3sin (010)2y x x =≤≤的图象所有交点的横坐标之和为 ▲ ．10、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如下图所示，则f (π3)的值为 ▲ ．二、解答题1、（2014年江苏高考）已知5sin 2παπα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，， （1）求sin()4πα+的值；（2）求5cos(2)6πα-的值。
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2015届高考数学（理）一轮复习单元检测：三角函数、解三角形、平面向量一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. (2014²长沙一中模拟)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，若cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3的值为( )A ．325 B ．1225 C ．1725D ．24252、(2014²吉林一中调研)在△ABC 中，若a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，A ＝60°，b ＝1，三角形面积为32，则b －c ＋a sin B －sin C ＋sin A＝( ) A ．2 B ．2213C ．2 3D ．273. (2014²普通高三质检)函数f (x )＝x 2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤x ≤π2的图象大致是( )4. 在平面直角坐标系中,A(,1),B 点是以原点O 为圆心的单位圆上的动点,则|+|的最大值是( )A.4B.3C.2D.15.(2014²随州模拟)已知函数f(x)=sin (x ∈R),给出下面命题错误的是( )A.函数f(x)的最小正周期为πB.函数f(x)是偶函数C.函数f(x)的图象关于直线x=对称D.函数f(x)在区间上是增函数6.(2014²天门模拟)若函数f(x)=sin ωx+cos ωx,x ∈R,又f(α)=-2,f(β)=0,且|α-β|的最小值为,则正数ω的值为( )A.B.C.D.7. 【2014高考湖南卷第9题】已知函数()sin(),f x x ϕ=-且230()0,f x dx π=⎰则函数()f x 的图象的一条对称轴是( )A.56x π=B.712x π=C.3x π=D.6x π= 8. (2014²辽宁实验中学模拟)△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，向量p ＝(1，－3)，q ＝(cos B ，sin B )，p ∥q 且b cos C ＋c cos B ＝2a sin A ，则C ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°二、填空题(本大题共7小题,每小题5分,共35分.请把正确答案填在题中横线上) 9.(2014²保定模拟)若函数f(x)=sin (3x+φ),满足f(a+x)=f(a-x),则f 的值为____________.10.(2014²东城模拟)在△ABC 中,a,b,c 分别为角A,B,C 所对的边.已知角A 为锐角,且b=3asinB,则tanA=__________.11.在△ABC 中,a=2,则b ²cosC+c ²cosB 的值为__________. 12.(2014²武汉模拟)△ABC,A=60°,b=1,三角形ABC 面积S=,=________.13. (2014年汕尾模拟)在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB →²AC →＝－1，则|BC →|的最小值是________．三、解答题(本大题共5小题,共65分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)14. (2014²济南模拟)已知函数f(x)=sin ωx-sin 2+(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值及函数f(x)的单调递增区间. (2)当x ∈时,求函数f(x)的取值范围. 15. 已知向量=,=,定义函数f(x)=².(1)求函数f(x)的表达式,并指出其最大值和最小值.(2)在锐角△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且f(A)=1,bc=8,求△ABC 的面积S. 16. (2014²哈尔滨统考)已知锐角△ABC 中的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，定义向量m ＝(2sin B ，3)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2B2－1，cos 2B ，且m ⊥n .(1)求函数f (x )＝sin 2x cos B －cos 2x sin B 的单调递增区间及对称中心； (2)如果b ＝4，求△ABC 的面积的最大值．答案解析1. 解析：选C f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3－π12＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝cos 2θ－sin 2θ.因为cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以sin θ＝－45， 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－725，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝cos 2θ－sin 2θ＝－725－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425＝1725. 故选C.2. 解析：选A 根据题意S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×c ×sin 60°＝32，解得c ＝2，由余弦定理可得a＝3，由正弦定理得b －c ＋a sin B －sin C ＋sin A ＝2R sin B －sin C ＋sin A sin B －sin C ＋sin A ＝2R ＝a sin A ＝3sin 60°＝2.3. 选B.因为f (－x )＝(－x )2cos(－x )＝x 2cos x ＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，排除C 、D ；又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π32cos π3＝π218＞0，故排除A ，应选B.4. 【解析】选B.由题意可知向量的模是不变的,所以当与同向时,|+|最大,结合图形可知,|+|max =||+1=+1=3.【一题多解】本题还有如下解法： 由题意,得||==2,||=1,设向量,的夹角为θ, 所以|+|== ==. 所以当θ=0,即与同向时,|+|max ==3.5.【解析】选C.f(x)=sin =-cos2x,故其最小正周期为π,故A 正确;易知函数f(x)是偶函数,B 正确;由函数f(x)=-cos2x 的图象可知,函数f(x)的图象关于直线x=不对称,C 错误;由函数f(x)的图象易知,函数f(x)在上是增函数,D 正确.6.【解析】选B.f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin,因为f(α)=-2,f(β)=0,且|α-β|的最小值为,所以函数f(x)的周期为3π,所以ω===.7. 【解析】8.【解析】解析：选A 由p∥q，得－3cos B＝sin B，所以tan B＝－3，∴B＝120°，∵b cos C＋c cos B＝2a sin A，由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝2sin2A，即sin A＝sin(B＋C)＝2sin2A，因为sin A≠0所以sin A＝12，∴A＝30°，∴C＝180°－A－B＝30°，故选A.9.【解析】方法一：易知x=a为对称轴,所以f(a)=sin(3a+φ)=±1,则f=sin=cos(3a+φ)=0.方法二：因为x=a为对称轴,又f(x)的周期是,故x=a+是与x=a相邻的对称轴,而x=a+是两相邻对称轴中间的f(x)的零点.即f=0.答案：010.【解析】由b=3asinB,得sinB=3sinAsinB,所以sinA=,cosA=,即tanA=.答案：11.【解析】由余弦定理知b²cosC+c²cosB=b²+c²==a=2.答案：212.【解析】由三角形的面积公式得S=bcsinA=³1³c³sin60°=,所以c=4,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=12+42-2³1³4³cos60°=13,所以a=,所以==³=.答案：13.【思路点拨】将角的关系转化为边的关系,再消去a 可得b,c 的等式,从而可求. 【解析】解析：∵AB →²AC →＝－1，∴|AB →|²|AC →|cos 120°＝－1，即|AB →|²|AC →|＝2，∴|BC →|2＝|AC →－AB →|2＝AC →2－2AB →²AC →＋AB →2≥2|AB →|²|AC →|－2AB →²AC →＝6，∴|BC →|min ＝ 6. 答案： 614.【解析】(1)f(x)=sin ωx-+=sin ωx+cos ωx=sin.因为f(x)最小正周期为π,所以ω=2. 所以f(x)=sin.由2k π-≤2x+≤2k π+,k ∈Z, 得k π-≤x ≤k π+,k ∈Z. 所以函数f(x)的单调递增区间为,k ∈Z.(2)因为x ∈,所以2x+∈,所以-≤sin ≤1.所以函数f(x)在上的取值范围是.15. 【解析】(1)f(x)=²=(-2sinx,-1)²(-cosx,cos2x) =sin2x-cos2x=sin,所以f(x)的最大值和最小值分别是和-.(2)因为f(A)=1,所以sin =.所以2A-=或2A-=. 所以A=或A=.又因为△ABC 为锐角三角形, 所以A=.因为bc=8,所以△ABC 的面积S=³8³=2.16. 解：(1)∵m ＝(2sin B ，3)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2B2－1，cos 2B ，m ⊥n ，∴2sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2B2－1＋3cos 2B ＝0，即sin 2B ＝－3cos 2B ，∴tan 2B ＝－3，又B 为锐角，∴2B ∈(0，π)， ∴2B ＝2π3，B ＝π3， ∴f (x )＝sin 2x cos B －cos 2x sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.令－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z)，解得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)， ∴函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)，又由2x －π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝π6＋k π2(k ∈Z)， ∴函数f (x )的对称中心是点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋k π2，0(k ∈Z)． (2)由(1)知B ＝π3，b ＝4, 由余弦定理得：16＝a 2＋c 2－ac .∵a 2＋c 2≥2ac ，∴ac ≤16(当且仅当a ＝c ＝4时等号成立)， ∴S △ABC ＝12ac sin B ≤43(当且仅当a ＝c ＝4时等号成立)，∴△ABC 的面积的最大值为4 3.。