陕西省宝鸡市宝鸡中学2019届高三数学上学期模拟考试试题一文A卷201904020479

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陕西省宝鸡中学2019届高三上学期月考理科数学试卷Word版含解析

陕西省宝鸡中学2019届高三上学期月考理科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为R，M={x|x（x﹣3）＜0}，N={x|x＜1或x≥3}，则正确的为（）A．M⊆N B．N⊆M C．∁R N⊆M D．M⊆∁RN2．给出命题：若函数y=f（x）是幂函数，则函数y=f（x）的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．33．下列函数中是偶函数，且在（1，+∞）上是单调递减的函数为（）A．B．y=﹣x2+|x| C．y=ln|x| D．y=﹣x2+x4．若函数f（x+3）的定义域为[﹣5，﹣2]，则F（x）=f（x+1）•f（x﹣1）定义域为（）A．[﹣3，2] B．[﹣7，﹣6] C．[﹣9，﹣4] D．[﹣1，0]5．若sin（θ﹣）=，，则的值为（）A．B．C．D．6．等于（）A．B．C．D．7．函数y=logax，y=a x，y=x+a（a＞0，a≠1）在同一直角坐标系中的图象如图，正确的为（）A．B．C．D．8．对于∀x∈[，+∞）都有2x+a≥恒成立，则a的取值范围为（）A． B． C． D．9．若函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3，若f（a）=0，g（b）=0，则（）A．g（a）＞f（b）B．g（a）＜f（b）C．g（a）≤f（b）D．g（a）≥f（b）10．若函数，，则函数f（x）值域为（）A．[﹣1，1] B．[﹣2，1] C．D．11．在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=1，点M，N分别为AB，BC的中点，点P为△ABC内部任一点，则取值范围为（）A．B．C．D．12．已知函数，（a＜0，a≠1），若函数y=|f（x）|在上单调递增，且关于x的方程|f（x）|=x+3恰有两个不同的实根，则a的取值范围为（）A．B．C．{2，6} D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在△ABC中，，BC=3，∠C=60°，则AC= ．14．若函数，则f（﹣2016）= ．15．定义在R上的奇函数f（x）的导函数为f'（x），且f（﹣1）=0，当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＜0则不等式f（x）＜0的解集为．16．在△ABC中，，，，，点P满足，λ∈R，则为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知集合A={x|x2﹣4x+3=0}，B={x|mx+1=0，m∈R}，A∩B=B，求实数m的取值的集合．18．定义在R上的函数f（x），g（x），其中f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g （x）=a2x3+x2+a3（a≠0）（1）求f（x）和g（x）的解析式；（2）命题P：对任意x∈[1，2]，都有f（x）≥1，命题Q：存在x∈[﹣2，3]，使g（x）≥17，若P∨Q为真，求a的取值范围．19．已知函数的最大值为，图象关于对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（1）求f（x）的解析式，并写出f（x）的单调增区间．（2）若把f（x）的图象向左平移个单位，横坐标伸长为原来的2倍得y=g（x）图象当x ∈[0，1]时，试证明，g（x）≥x．20．某市渭河的某水域有夹角为120°的两条直线河岸l1，l2（如图所示）：在该水域中，位于该角平分线且距A地相距1公里的D处有座千年古亭，为保护古亭，沿D所在直线BC建一河堤（B，C分别在l1，l2上，河堤下方有进、出水的桥洞）；现要在△ABC水域建一个水上游乐城，如何设计AB、AC河岸的长度，AB、AC都不超过5公里（不妨令AB=x公里，AC=y公里）．（1）求y关于x的函数关系式，并写出定义域．（2）求该游乐城的面积至少可以有多少平方公里，此时AB、AC是如何设计的．21．已知函数（1）求f（x）的单调区间和极值．（2）若g（x）=f（x）﹣1有三个零点，求实数a的取值范围．（3）若对∀x1∈（2，+∞），∃x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，求实数a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣2）2+y2=9．（1）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程．（2）直线L的参数方程为（t为参数），L交C于A、B两点，且，求L 的斜率．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+1|，M为不等式f（x）≤4的解集．（1）求集合M．（2）当a，b∈M时，求证．陕西省宝鸡中学2019届高三上学期月考理科数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为R，M={x|x（x﹣3）＜0}，N={x|x＜1或x≥3}，则正确的为（）A．M⊆N B．N⊆M C．∁R N⊆M D．M⊆∁RN【考点】集合的表示法．【分析】化简集合M，即可得出结论．【解答】解：M={x|x（x﹣3）＜0}={x|0＜x＜3}，N={x|x＜1或x≥3}，∴∁RN⊆M，故选C．2．给出命题：若函数y=f（x）是幂函数，则函数y=f（x）的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用；四种命题间的逆否关系．【分析】原命题与逆否命题真假性相同，逆命题与否命题真假性相同．【解答】因为命题：若函数y=f（x）是幂函数，则函数y=f（x）的图象不过第四象限．为真；则其逆否命题也为真．逆命题：若函数y=f（x）的图象不过第四象限，则函数y=f（x）是幂函数．假命题；反例：y=2．否命题：若函数y=f（x）不是幂函数，则函数y=f（x）的图象过第四象限．假命题，反例：y=2．故选B．3．下列函数中是偶函数，且在（1，+∞）上是单调递减的函数为（）A．B．y=﹣x2+|x| C．y=ln|x| D．y=﹣x2+x【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数是否为偶函数，再根据函数单调性判断函数是否为减函数．【解答】解：对于A，y=﹣是非奇非偶的函数，不合题意；对于B，y=﹣x2+|x|=﹣，是R上的偶函数，且在（1，+∞）上是单调增函数，满足题意；对于C，y=ln|x|是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，不合题意；对于D，y=﹣x2+x不是偶函数，不合题意．故选：B．4．若函数f（x+3）的定义域为[﹣5，﹣2]，则F（x）=f（x+1）•f（x﹣1）定义域为（）A．[﹣3，2] B．[﹣7，﹣6] C．[﹣9，﹣4] D．[﹣1，0]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由函数f（x+3）的定义域求出f（x）的定义域，然后再由x+1，x﹣1在函数f（x）的定义域内，联立不等式组求解x的取值集合即可．【解答】解：函数f（x+3）的定义域为[﹣5，﹣2]，即﹣5≤x≤﹣2，则﹣2≤x+3≤1，∴函数f（x）的定义域为[﹣2，1]，由，解得﹣1≤x≤0．∴F（x）=f（x+1）+f（x﹣1）的定义域为[﹣1，0]．故选：D．5．若sin（θ﹣）=，，则的值为（）A．B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据sin（θ﹣）求出cos（θ﹣）的值，再化简=sinθ=sin[（θ﹣）+]，从而求出计算结果．【解答】解：sin（θ﹣）=，，∴θ﹣∈（0，），∴cos（θ﹣）==，∴=sinθ=sin[（θ﹣）+]=sin（θ﹣）cos+cos（θ﹣）sin=×+×=．故选：A．6．等于（）A．B．C．D．【考点】定积分．【分析】=dx﹣xdx，利用定积分的几何意义，即可得出结论．【解答】解： =dx﹣xdx=﹣=，故选A．x，y=a x，y=x+a（a＞0，a≠1）在同一直角坐标系中的图象如图，正确的为（）7．函数y=logaA．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】分类讨论函数的单调性，在y轴上的交点的位置，可以选答案．【解答】解：函数y=x+a和y=a x，y=logx，a当a＞1时，y=x+a单调递增，y=a x单调递增，y=logx，且直线与y轴交点为（0，a），在（0，a1）上边，D正确，A、B、C不正确；当0＜a＜1时，一次函数单调递增，指数函数单调递减，且直线在y轴交点为在（0，1）下边，A、B、C、D都不正确故选：D．8．对于∀x∈[，+∞）都有2x+a≥恒成立，则a的取值范围为（）A． B． C． D．【考点】函数恒成立问题．【分析】问题转化为则a≥﹣2x在[，+∞）恒成立，令f（x）=﹣2x，x∈[，+∞），根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：对于∀x∈[，+∞）都有2x+a≥恒成立，则a≥﹣2x在[，+∞）恒成立，令f（x）=﹣2x，x∈[，+∞），f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：≤x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，故f（x）在[，）递增，在（，+∞）递减，=f（）=﹣，故f（x）max故a≥﹣，故选：D．9．若函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3，若f（a）=0，g（b）=0，则（）A．g（a）＞f（b）B．g（a）＜f（b）C．g（a）≤f（b）D．g（a）≥f（b）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先判断函数f（x）和g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围即可．【解答】解：由于y=e x及y=x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x﹣2在R上单调递增．分别作出y=e x，y=2﹣x的图象，∵f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，f（a）=0，∴0＜a＜1．同理g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，由于g（）=ln+（）2﹣3=ln3＞0，故由 g（b）=0，可得1＜b＜．∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=e b+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0．∴g（a）＜0＜f（b）．故选：B．10．若函数，，则函数f（x）值域为（）A．[﹣1，1] B．[﹣2，1] C．D．【考点】三角函数的最值．【分析】化函数为正弦型函数，根据正弦函数的有界性和x的取值范围求出f（x）的最值即可．【解答】解：函数=2（sinx ﹣cosx ）=2sin （x ﹣），当时，﹣≤x ﹣≤，所以当x ﹣=﹣，即x=﹣时，f （x ）取得最小值为2×（﹣1）=﹣2；当x ﹣=，即x=时，f （x ）取得最大值为2×=；所以函数f （x ）的值域为[﹣2，]．故选：C ．11．在等腰直角三角形ABC 中，AC=BC=1，点M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点P 为△ABC 内部任一点，则取值范围为（）A ．B ．C ．D ．【考点】向量在几何中的应用．【分析】建立坐标系，设P （x ，y ），用x ，y 表示出，利用线性规划知识求出最值．【解答】解：以C 为原点建立平面直角坐标系如图所示：则A （0，1），B （1，0），M （，），N （，0），∴直线AB 的方程为x+y=1．设P （x ，y ），则=（，﹣1），=（x ﹣，y ﹣）， ∴=（x ﹣）﹣（y ﹣）=﹣y+，令z=﹣y+，则y=x ﹣z+．∵P （x ，y ）在△ABC 内部，由图可知当直线y=x ﹣z+经过点A 时，截距最大，即z 最小，当直线y=x ﹣z+经过点B 时，截距最小，即z 最大，∴z min ==﹣，z max =﹣0+=．故选A．12．已知函数，（a＜0，a≠1），若函数y=|f（x）|在上单调递增，且关于x的方程|f（x）|=x+3恰有两个不同的实根，则a的取值范围为（）A．B．C．{2，6} D．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意求出a的范围，再画出图形，结合图形可得y=x+3与y=x2+（a+1）x+2a的图象有一个切点，再由判别式等于0求得a的范围．【解答】解：由，（a＞0，a≠1），且y=|f（x）|在上单调递增，可得，解得a．∵关于x的方程|f（x）|=x+3恰有两个不同的实根，∴作出函数图象大致形状如图：∵x＞0，∴x2+（a+1）x+2a＞2a＞3，（x+1）+1必有一个交点，直线y=x+3与y=loga∴要使关于x的方程|f（x）|=x+3恰有两个不同的实根，则联立，得x2+ax+2a﹣3=0．∴△=a2﹣4（2a﹣3）=a2﹣8a+12=0，解得a=2或a=6．∴a的取值范围为{2，6}．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在△ABC中，，BC=3，∠C=60°，则AC= 1或2 ．【考点】正弦定理．【分析】由已知利用余弦定理即可计算得解．【解答】解：∵，BC=3，∠C=60°，∴由余弦定理可得：AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cosC，可得：AC2﹣3AC+2=0，∴解得：AC=1或2．故答案为：1或2．14．若函数，则f（﹣2016）= 2 ．【考点】分段函数的应用．【分析】由f（x）=f（x+5）得f（﹣2016）=f（﹣2016+5×404）=f（4）即可．【解答】解：由x≤1时，有f（x）=f（x+5）得f（﹣2016）=f（﹣2016+5×404）=f（4）=2，故答案为：215．定义在R上的奇函数f（x）的导函数为f'（x），且f（﹣1）=0，当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＜0则不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）．【考点】导数的运算．【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＜0等价于x•g（x）＜0，数形结合解不等式组即可【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为g′（x）=，∵当x＞0时总有xf'（x）﹣f（x）＜0成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵定义在R上的奇函数f（x），∴g（﹣x）=g（x）∴函数g（x）为定义域上的偶函数．又∵g（1）=0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得不等式f（x）＜0⇔x•g（x）＜0，可得不等式f（x）＜0的解集是（﹣1，0）∪（1，+∞），故答案为（﹣1，0）∪（1，+∞）．16．在△ABC中，，，，，点P满足，λ∈R，则为 5 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量垂直与数量积的关系可得AD⊥BC，利用向量共线定理可得||与||的值，利用勾股定理可得||的值，再建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和数量积运算即可求出．【解答】解：△ABC中，，∴⊥，即AD⊥BC；∵||=5， =，∴||=||，即||=2，||=3；又||=3，∴||=．如图所示，建立直角坐标系．则D（0，0），A（0，），B（﹣2，0），C（3，0）．∴=（﹣2，﹣），=（3，﹣），=（0，﹣）．点P满足=λ+（1﹣λ），∴=λ（﹣2，﹣）+（1﹣λ）（3，﹣）=（3﹣5λ，﹣），∴•=（3﹣5λ，﹣）•（0，﹣）=5．故答案为：5．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知集合A={x|x2﹣4x+3=0}，B={x|mx+1=0，m∈R}，A∩B=B，求实数m的取值的集合．【考点】交集及其运算．【分析】求出A中方程的解确定出A，根据A与B的交集为B，得到B为空集或B为A的子集，求出m的值即可．【解答】解：∵A={1，3}，且A∩B=B，∴B⊆A，当m=0时，B=∅，满足B⊆A；当m≠0时，B≠∅，此时x=﹣，由B⊆A，得到﹣=1或3，解得：m=﹣1或﹣，则实数m取值的集合为{﹣1，﹣，0}．18．定义在R上的函数f（x），g（x），其中f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g （x）=a2x3+x2+a3（a≠0）（1）求f（x）和g（x）的解析式；（2）命题P：对任意x∈[1，2]，都有f（x）≥1，命题Q：存在x∈[﹣2，3]，使g（x）≥17，若P∨Q为真，求a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）利用函数的奇偶性列出方程组，转化求解函数的解析式即可．（2）求出两个命题为真命题时，a的范围，然后利用复合命题求解即可．【解答】解：（1）∵f（x）+g（x）=a2x3+x2+a3①，f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，﹣f（x）+g（x）=﹣a2x3+x2+a3②，解得f（x）=a2x3，g（x）=x2+a3 a≠0，a∈R．≥1，x∈[1，2]，（2）若p真，f（x）min∴a2≥1⇔a≥1或a≤﹣1，≥17，若q真，g（x）min即9+a3≥17解得a≥2，P∨Q为真，则a的范围为：（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞]．19．已知函数的最大值为，图象关于对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（1）求f（x）的解析式，并写出f（x）的单调增区间．（2）若把f（x）的图象向左平移个单位，横坐标伸长为原来的2倍得y=g（x）图象当x ∈[0，1]时，试证明，g（x）≥x．【考点】正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）根据函数的最大值为，图象关于对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π，求出相应的参数，即可求f（x）的解析式，并写出f（x）的单调增区间．（2）当x∈[0，1]时，要证g（x）≥x，即证，令，x∈[0，1]，确定函数的单调性，求最值，即可证明结论．【解答】（1）解：∵，，∴ω=2又∵而，∴，∴令，（k∈Z）∴，（k∈Z）则f（x）的增区间为，（k∈Z）（2）证明：∵当x∈[0，1]时，要证g（x）≥x，即证令，x∈[0，1]，∵当φ'（x）=0，得当时，φ'（x）＞0，即φ（x）递增时，φ'（x）＜0，即φ（x）递减，∴，则φ（x）≥0，即，故g（x）≥x．20．某市渭河的某水域有夹角为120°的两条直线河岸l1，l2（如图所示）：在该水域中，位于该角平分线且距A地相距1公里的D处有座千年古亭，为保护古亭，沿D所在直线BC建一河堤（B，C分别在l1，l2上，河堤下方有进、出水的桥洞）；现要在△ABC水域建一个水上游乐城，如何设计AB、AC河岸的长度，AB、AC都不超过5公里（不妨令AB=x公里，AC=y公里）．（1）求y关于x的函数关系式，并写出定义域．（2）求该游乐城的面积至少可以有多少平方公里，此时AB、AC是如何设计的．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）由S△ABD +S△ACD=S△ABC，将y表示成x的函数，由0＜y≤5，0＜x≤5，求其定义域；（2），变形，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：（1）设AB=x，AC=y（单位：公里）∵S△ABC =S△ABD+S△ACD，∴即x+y=xy∴又∵∴，，∴所求定义域为（2）由（1）知令游乐城面积为=（x﹣1）++2≥4，当且仅当x﹣1=，即时，上式取等号．∴x=y=2时，S 取最小值．答：当AB 、AC 长都设计为2公里时，游乐城的面积至少为平方公里．21．已知函数（1）求f （x ）的单调区间和极值．（2）若g （x ）=f （x ）﹣1有三个零点，求实数a 的取值范围．（3）若对∀x 1∈（2，+∞），∃x 2∈（1，+∞），使得f （x 1）•f （x 2）=1，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）问题转化为f （x ）=1有三个不同实根，根据函数的单调性求出a 的范围即可；（3）通过讨论a 的范围，得到函数的单调性，结合集合的包含关系从而确定a 的范围即可．∴f （x ）减区间（﹣∞，0），增区间∴x=0时，f （x ）取极小值，且f （0）=0，x=a 时，f （x ）取极大值，且．（2）若g （x ）=0有三个根，即f （x ）=1有三个不同实根，由（1）知，得则a的取值范围为．（3）∵及由（1）知：当时，f（x）＞0；时，f（x）＜0．设集合A={f（x）|x∈（2，+∞）}，，已知“对∀x1∈（2，+∞），∃x2∈（1，+∞），使f（x1）f（x2）=1”⇔A⊆B，若即时，，∵0∈A，而0∉B，∴不满足A⊆B；若即时，f（2）≤0，此时f（x）在（2，+∞）上单调递减，故A=（﹣∞，f（2））⊆（﹣∞，0），此时f（1）＞0，∴B⊇（﹣∞，0）满足A⊆B；若即时，有f（1）＜0，此时f（x）在（1，+∞）上单调递减，故，A=（﹣∞，f（2）），∴不满足A⊆B．综上所述，a的取值范围为．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣2）2+y2=9．（1）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程．（2）直线L的参数方程为（t为参数），L交C于A、B两点，且，求L 的斜率．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，求C的极坐标方程．（2）求出圆心（2，0）到直线l的距离，利用勾股定理建立方程，即可求L的斜率．【解答】解：（1）∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣5=0．（2）∵l为y=xtanα=kx（k=tanα），圆心（2，0）到直线l的距离为，又∵∴，解得k2=1，∴k=±1．综上所述，l的斜率为±1．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+1|，M为不等式f（x）≤4的解集．（1）求集合M．（2）当a，b∈M时，求证．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）两边平方，问题转化为证明4a2+4b2﹣a2b2﹣16≤0即可，根据a，b的范围证出即可．【解答】解：（1）∵，∵f（x）≤4，∴x∈（﹣1，1）恒成立，当x≤﹣1时，﹣2x≤4得x≥﹣2，∴﹣2≤x≤﹣1，当x≥1时，2x≤4，得x≤2，∴1≤x≤2，综上所述M={x|﹣2≤x≤2}；（2）证明：由（1）知：﹣2≤a≤2，﹣2≤b≤2，要证，只需4（a2﹣2ab+b2）≤16﹣7a2b2，只需4a2+4b2﹣a2b2﹣16≤0，只需（a2﹣4）（4﹣b2）≤0（*），∵0≤a2≤4，0≤b2≤4，∴（*）恒成立，则原不等式得证．。

201904陕西省宝鸡市高三三检考试(文科)(数学)试题和答案

201904宝宝宝宝宝宝宝宝宝宝宝宝宝(宝宝)宝宝宝宝宝题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1,2，3，4}，B={x|(x+1)(x−3)=0}，则A∪B=()A. {−1,3}B. {3}C. {−1,1，2，3，4}D. {1,2，3，4}2.复数z=2i41+i在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.平面向量a⃗与b⃗ 的夹角为120°，a⃗=(1,0)，|b⃗ |=1，则|a⃗+2b⃗ |=A. 4B. 3C. 2D. √34.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且x>0时，f(x)=lnx−x+1，则函数y=f(x)的大致图象是()A. B.C. D.5.设x，y满足约束条件{x−y+2≥0,x+y≥0,x≤3,则z=(x+1)2+y2的最大值为A. 41B. 5C. 25D. 16.下列推理不属于合情推理的是()A. 由铜、铁、铝、金、银等金属能导电，得出一切金属都能导电B. 半径为r的圆面积S=πr2，则单位圆面积为S=πC. 由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质D. 猜想数列2，4，8，…的通项公式为a n=2n，n∈N+7.双曲线x236−y29=1的一条弦被点P(4,2)平分，那么这条弦所在的直线方程是A. x−y−2=0B. 2x+y−10=0C. x−2y=0D. x+2y−8=08.甲乙两名同学分别从“象棋”、“文学”、“摄影”三个社团中随机选取一个社团加入，则这两名同学加入同一个社团的概率是()A. 14B. 13C. 12D. 239.一个算法的程序框图如图，若该程序输出2542，则判断框内应填入的条件是()A. i ≤4B. i ≤5C. i ≤6D. i ≥510. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，M 、N 是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点，且直线PM 、PN 的斜率分别为k 1、k 2，若|k 1k 2|=14，则椭圆的离心率为A. 12B. √22C. √32 D. √2311. 定义在R 上的函数y =f(x)满足以下三个条件：①对于任意的x ∈R ，都有f(x +1)=f(x −1)； ②函数y =f(x +1)的图象关于y 轴对称；③对于任意的x 1，x 2∈[0,1]，都有(f(x 1)−f(x 2))(x 1−x 2)>0．则f(32)，f(2)，f(3)从小到大的关系是A. f(32)>f(2)>f(3) B. f(3)>f(2)>f(32) C. f(32)>f(3)>f(2)D. f(3)>f(32)>f(2)12. 异面直线a ，b 所成的角为π6，直线a ⊥c ，则异面直线b 与c 所成角的范围为( )A. [π3,π2]B. [π6,π2]C. [π3,2π3]D. [π6,5π6]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若数列{a n }满足a 1+2a 2+4a 3+⋯+2n−1a n =8n(n ∈N ∗)，则a n =________．14. 二次函数y =f(x)的图象经过坐标原点，若其导函数为f′(x)=3x −12，则f(x)=________；15. 一个圆锥的轴截面是一个边长为2的正三角形，这个圆锥的侧面积等于________； 16. 斐波那契数列{a n }：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．若b n =a n a n+2−a n+12，则b 1+b 2+b 3+⋯+b 2019=________．三、解答题（本大题共7小题，共80.0分） 17. 已知a ⃗ =(√3cosx,cosx)，b ⃗ =(sinx,cosx)，函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ ．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期及对称轴方程； (Ⅱ)当x ∈(−π,π]时，求f(x)单调递增区间．18.在如图所示的多面体中，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，EC⊥AC，EF//AC，AB=√2，EF=EC=1．(Ⅰ)求证：EC//平面BFD；(Ⅱ)求三棱锥D−BEF的体积．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，上顶点A(0,√3)，△AF1F2是正三角形．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)O为坐标原点，P是直线F1A上的一个动点，求|PF2|+|PO|的最小值，并求出此时点P的坐标．20.十八大以来，我国新能源产业迅速发展以下是近几年某新能源产品的年销售量数据：年份20142015201620172018年份代码x12345新能源产品年销量y(万个) 1.6 6.217.733.155.6(Ⅰ)请画出上表中年份代码x 与年销量y 的数据对应的散点图，并根据散点图判断，y =ax +b 与y =cx 2+d 中哪一个更适宜作为年销售量y 关于年份代码x 的回归方程类型；(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程，并预测2019年某新能源产品的销售量(精确到0.01)．参考公式：b =i −w)(y i −y)n i=1∑(w −w)2n ，y ̂=bw +a ．参考数据：x =3，y =22.84，t =11，∑(x i −x)25i=1=10，∑(t i −t)25i=1=374，∑(x i −x)(y i −y)5i=1=134.90，∑(t i −t)(y i −y)5i=1=849.10，其中t i =x i 2．21. 设函数f(x)=alnx −x(a ≠0)，f(x)的导函数为f′(x)．(Ⅰ)当a =1时，求函数f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；(Ⅱ)对于曲线C ：y =f(x)上的不同两点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，x 1<x 2，求证：在(x 1,x 2)内存在唯一的x 0，使直线AB 的斜率等于f′(x 0).22. 在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为{x =2+2cosα,y =2sinα,(α为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(√3sinθ+cosθ)=1． (Ⅰ)求C 的极坐标方程；(Ⅱ)射线θ=θ1(θ1∈[π6,π3],ρ>0)与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求|OP|·|OQ|的取值范围．23.已知函数f(x)=|x−2|−|x+3|．(Ⅰ)求不等式f(x)≤2的解集；(Ⅱ)若不等式f(x)<a2+6a的解集非空，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了并集的求法，属于基础题．先求出集合B ，再利用并集的运算即可求出A ∪B ．【解答】解：∵集合A ={1,2，3，4}，B ={x|(x +1)(x −3)=0}={−1,3}， ∴A ∪B ={−1,1，2，3，4}．故选C ． 2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了复数的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．利用复数代数形式的除法运算化简，求其共轭后得到其共轭复数对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：z =2i 41+i=1−i ，在复平面内对应的点为(1,−1)，故选D ． 3.【答案】D【解析】【分析】根据向量的模，以及向量的数量积公式计算即可．本题考查了向量的模，以及向量的数量积公式，属于基础题．【解答】解：∵平面向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°，a ⃗ =(1,0)，|b ⃗ |=1，∴|a ⃗ |=1，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ |⋅|b ⃗ |⋅cos120°=1×1×(−12)=−12，∴|a ⃗ +2b ⃗ |2=|a ⃗ |2+4|b ⃗ |2+4a ⃗ ⋅b ⃗ =1+4−4×(−12)=3，∴|a ⃗ +2b ⃗ |=√3 ．故选D ． 4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查函数的图象特征，偶函数的性质，根据当x >0时，f(x)=lnx −x +1的图象经过点(1,0)，且函数在(0,+∞)上缓慢增长．再根据此图象关于y 轴对称，可得函数f(x)在R 上的大致图象，属于中档题．【解答】解：先作出当x >0时，f(x)=lnx −x +1的图象，显然图象经过点(1,0)， f′(x)=1x −1，在(0,1)上，f′(x)>0，函数单调递增，在(1,+∞)上，单调递减．再把此图象关于原点对称，可得函数f(x)在R上的大致图象，如图A所示，故选A．5.【答案】D【解析】略6.【答案】B【解析】【分析】本题考查合情推理，属于基题．【解答】解：A.由铜、铁、铝、金、银等金属能导电，得出一切金属都能导电，归纳推理；B.半径为r的圆面积S=πr2，则单位圆面积为S=π，不是合情推理；C.由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质，类比推理；D.猜想数列2，4，8，…的通项公式为a n=2n，n∈N+，归纳推理．故选B．7.【答案】C【解析】【分析】设弦的端点坐标为(x1,y1)，(x2,y2)，则x1+x2=8，y1+y2=4，代入双曲线方程可得，x1236−y129=1①，x2236−y229=1②，两式相减变形可求得直线斜率，利用点斜式可得直线方程，注意检验．本题考查直线与双曲线的位置关系，属中档题，涉及弦中点问题常采取“平方差法”解决．【解答】解：设弦的端点坐标为(x1,y1)，(x2,y2)，则x1+x2=8，y1+y2=4，代入双曲线方程可得，x1236−y129=1①，x2236−y229=1②，①−②得，x12−x2236−y12−y229=0，整理可得y1−y2x1−x2=12，即k AB=12，由点斜式可得直线方程为：y−2=12(x−4)，即x−2y=0，经检验符合题意，故选C．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查等可能事件概率计算公式等基础知识，是基础题．先求出基本事件总数n=3×3=9，再求出这两名同学加入同一个社团包含的基本事件个数m=3，由此能求出这两名同学加入同一个社团的概率．【解答】解：甲乙两名同学分别从“象棋”、“文学”、“摄影”三个社团中随机选取一个社团加入，基本事件总数n=3×3=9，这两名同学加入同一个社团包含的基本事件个数m=3，∴这两名同学加入同一个社团的概率是p=mn =39=13．故选：B．9.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．模拟执行程序框图，可得当s=2542时，i=6，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出结果为2542，则判断框中应填入的条件是：i≤5.【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1，s=0满足条件，s=11×3=13，i=2，满足条件，s=11×3+12×4=1124，i=3，满足条件，s=11×3+12×4+13×5=2140，i=4，满足条件，s=11×3+12×4+13×5+14×6=1730，i=5，满足条件，s=11×3+12×4+13×5+14×6+15×6=2542，i=6，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出结果为2542，则判断框中应填入的条件是：i≤5.故选B.10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．设M(x0,y0)，N(−x0,−y0)，P(x,y)，可得k1=y−y0x−x0，k2=y+y0x+x0．由于M、N、P都在椭圆x2a2+y2b2=1上，可得x02a2+y02b2=1，x2a2+y2b2=1，相减可得|k1|⋅|k2|=b2a.即可得出．【解答】解：设M(x0,y0)，N(−x0,−y0)，P(x,y)，则k1=y−y0x−x0，k2=y+y0x+x0．又∵M、N、P都在椭圆x2a2+y2b2=1上，∴x02a2+y02b2=1，x2a2+y2b2=1，∴(x0+x)(x0−x)a2+(y0+y)(y0−y)b2=0，∴x−x 0y−y 0=−a 2b 2⋅y+y0x+x 0．∴1k1=−a 2b2k 2，即|k 1|⋅|k 2|=b 2a 2=14．e 2=1−b 2a 2=34,e =√32故选C ．11.【答案】D【解析】【分析】本题考查抽象函数的单调性、对称性的综合应用，属中档题．利用①②得到f(3)=f(1)，f (32)=f(12)，f(2)=f(0);再利用③得到函数的单调性，即可得到最后结果．【解答】解：①对于任意的x ∈R ，都有f(x +1)=f(x −1)；则f(3)=f(1);②函数y =f(x +1)的图象关于y 轴对称；则函数y =f(x)关于直线x =1对称，所以f (32)=f(12)，f(2)=f(0);③对于任意的x 1，x 2∈[0,1]，都有(f(x 1)−f(x 2))(x 1−x 2)>0，则函数y =f(x)在区间[0,1]上单调递增；所以f(1)>f(12)>f(0)，则f(3)>f(32)>f(2)．故选D ． 12.【答案】A【解析】【分析】本题考查了异面直线所成的角、空间位置关系、圆锥的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解答】解：如图所示，PO 为圆锥的对称轴，⊙O 所在平面为α，PO ⊥α，取PO 为直线a ，母线PB 为c ，∠OPB =30°，c 与a 为异面直线时，可把直线c 平移到母线位置，直线b ⊂α，b 为不经过点O 的直线，可以把直线b 平移到经过点O 的直线b′．由图可知：在α内，经过点B与直线c所成的角中，∠PBO=60°为最小角，最大角为直角．因此c与b所成角的范围是[60°,90°]，故选A．13.【答案】24−n【解析】【分析】本题主要考查数列的递推关系，属于中档题．∵数列{a n}满足：a1+2a2+22a3+⋯+2n−1a n=8n①∴数列{a n}满足：a1+2a2+22a3+⋯+2n−2a n−1=8(n−1)(n≥2)，②①−②，即可得通项，验证n=1即可【解析】解：∵数列{a n}满足：a1+2a2+22a3+⋯+2n−1a n=8n①∴数列{a n}满足：a1+2a2+22a3+⋯+2n−2a n−1=8(n−1)(n≥2)，②①−②，得：2n−1a n=8，n≥2，∴a n=82n−1=24−n，n≥2，当n=1时，a1=8，符合上式，故a n=24−n，故答案为24−n，14.【答案】32x2−12x【解析】【分析】本题考查函数解析式的求法，涉及导数的计算，难度不大．先根据题意，设出函数解析式，再利用导数求解即可．【解答】解：因为二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点，依题意，设f(x)=ax2+bx,a≠0，则f′(x)=2ax+b，又因为其导函数为f′(x)=3x−12，所以2a=3,b=−12∴a=32，则f(x)=32x2−12x．故答案为32x2−12x．15.【答案】2π【解析】【分析】本题考查圆锥的侧面积，难度一般．【解答】解：∵圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，∴底面半径=1，底面周长=2π，∴圆锥的侧面积=12×2π×2=2π．故答案为2π．16.【答案】1.【解析】【分析】本题考查了归纳推理，寻找每项的变化规律是关键点．【解答】解：∵b n=a n a n+2−a n+12，∴b1=a1a3−a22=1，b2=a2a4−a32=−1，b3=a3a5−a42=1，…，b2019=a2019a2021−a20202=1，则b1+b2+b3+⋯+b2019=1+(−1)+...+1=1．故答案为1．17.【答案】解：(Ⅰ，所以f(x)的周期T=2π2=π，令2x+π6=kπ+π2(k∈Z)，即x=kπ2+π6(k∈Z)，所以f(x)的对称轴方程为x=kπ2+π6(k∈Z).(Ⅱ)令2kπ−π2⩽2x+π6⩽2kπ+π2(k∈Z)，解得kπ−π3⩽x⩽kπ+π6(k∈Z)，由于x∈(−π, π]所以当k=−1, 0或1时，得函数f(x)的单调递增区间为(−π, −5π6],[−π3, π6]和[2π3, π]．【解析】本题为综合题，主要考查了向量的数量积和余弦函数的图象与性质，属于中档题正弦．(Ⅰ)利用向量的数量积求出f(x)函数解析式，再由正弦函数的性质得到周期和对称轴；(Ⅱ)由正弦函数在区间上的普遍性规律得到特定区间的值域单调区间可知f(x)在2kπ−π2⩽2x+π6⩽2kπ+π2为单调递增区间，代入所求取值范围即可得到结论．18.【答案】(Ⅰ)证明：连接BD交AC于点O，连接FO，∵正方形ABCD 边长为√2，∴AC =BD =2，∴CO =1，∵EF//AC ，EF =1，∴四边形EFOC 为平行四边形，∴EC//FO ， ∵FO ⊂平面BFD ，EC ⊄平面BFD ， ∴EC//平面BFD ；(Ⅱ)解：∵平面ABCD ⊥平面ACEF ，平面ABCD ∩平面ACEF =AC ，EC ⊥AC ，EC ⊂平面ACEF ，∴EC ⊥平面ABCD ，由(Ⅰ)知EC//平面BFD ，∴V D−BEF =V E−BDF =V C−BDF =V F−BCD ， OF =CE =1，OF//EC ，OF 即为点F 到平面BCD 的距离，则V F−BCD =13×OF ×S △BCD =13×1×(12×√2×√2)=13，故三棱锥D—BEF 的体积为13．【解析】本题考查了线面平行的判定，棱锥体积的求解，属于中档题．(Ⅰ)连接BD 交AC 于点O ，可证四边形EFOC 为平行四边形，得到EC//FO ，即可证明EC//平面BFD ；(Ⅱ)由已知可证EC ⊥平面ABCD ，由(Ⅰ)知EC//平面BFD ，利用V D−BEF =V E−BDF =V C−BDF =V F−BCD ，即可求出三棱锥D—BEF 的体积．19.【答案】解：(Ⅰ)由题意，得{a =2cb =√3a 2=b 2+c 2，解之得a =2，b =√3，c =1 故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)∵△AF 1F 2是正三角形，可得直线AF 1的斜率为k =tan π3=√3 ∴直线AF 1的方程为y =√3(x +1)设点O 关于直线AF 1的对称点为M(m,n)，则{nm ⋅√3=−1n2=√3(m2+1)，解之得m =−32，n =√32，可得M 坐标为(−32,√32)，∵|PO|=|PM|，|PF 2|+|PO|=|PF 2|+|PM|>|MF 2|∴|PF 2|+|PM|的最小值为|MF 2|=32(√32=√7直线MF 2的方程为y =√32−0−32−1(x −1)，即y =−√35(x −1)由{y =−√35(x−1)y =√3(x +1)解得{x =−23y =√33，所以此时点P 的坐标为(−23,√33). 综上所述，可得求|PF 2|+|PO|的最小值为√7，此时点P 的坐标为(−23,√33).【解析】本题在已知椭圆上顶点与焦距构成正三角形的周长情况下，求椭圆的标准方程并依此求一个距离和的最小值．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质和运用对称解决距离之和最小值等知识，属于中档题．(Ⅰ)根据题意，建立关于a 、b 、c 的方程组，解之得a =2，b =√3且c =1，即可得到椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)设直线AF 1的方程为y =√3(x +1)，求出原点O 关于直线AF 1的对称点M 的坐标为(−32,√32)，从而得到|PF 2|+|PM|的最小值为|MF 2|=√7，再由MF 2的方程y =−√35(x −1)与AF 1方程联解，即可得到此时点P 的坐标．20.【答案】解：(Ⅰ)以年份代码x 为x 轴，以年销量y 为y 轴，作散点图如下：根据散点图，y =cx 2+d 更适宜作为年销售量y 关于年份代码x 的回归方程； (Ⅱ)依题意y =22.84, t =11，c =5i=1i −t)(y i −y)∑(t −t)25i=1=849.10374≈2.27，d =y −c ⋅t =22.84−2.27×11=−2.13，所以y =2.27t −2.13=2.27x 2−2.13，即y 关于x 的回归方程为y =2.27x 2−2.13．令x =6，y =2.27×62−2.13=79.59，故预测2019年新能源产品的销售量为79.59万个．【解析】本题考查了散点图、变量间的相关关系、非线性回归分析等基础知识，也考查了数据处理能力、运算求解能力和应用概率统计知识进行决策的意识，是中档题，利用回归方程计算x =6时y ∧的值即可．(Ⅰ)根据散点图知y =cx 2+d 更适宜回归方程； (Ⅱ)依题意计算回归系数，写出回归方程．21.【答案】(Ⅰ)解：a =1时，， f′(x )=1x −1，f′(2)=−12，f (2)=ln2−2，∴f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为x +2y −2ln2+2=0；(Ⅱ)证明：∵k AB =f′(x 0)， ∴alnx 1−x 1−alnx 2+x 2x 1−x 2=a x 0−1，化简得lnx 1−lnx 2x 1−x 2=1x 0，即x 0(lnx 2−lnx 1)+(x 1−x 2)=0，因此，要证明原命题成立，只需证明x 0(lnx 2−lnx 1)+(x 1−x 2)=0, x 0∈(x 1,x 2)，且x 0唯一．设g (x )=x(lnx 2−lnx 1)+(x 1−x 2)，g(x 0)=0 ① 则g (x 1)=x 1(lnx 2−lnx 1)+(x 1−x 2)，再设ℎ(x )=x(lnx 2−lnx)+(x −x 2)，0<x <x 2， ∴ℎ′(x )=lnx 2−lnx >0，∴y =ℎ(x )在0<x <x 2是增函数，又0<x 1<x 2， ∴g (x 1)=ℎ(x 1)<ℎ(x 2)=0 ② ，同理g(x2)>0③∵一次函数g(x)=(lnx2−lnx1)x+x1−x2在(x1,x2)上是增函数，因此由①②③得x(lnx2−lnx1)+(x1−x2)=0在(x1,x2)有唯一解x0，故原命题成立．【解析】本题考查导数的几何意义的应用，难度一般．(Ⅰ)a=1时，，求出函数的导数，利用导数的几何意义求解；(Ⅱ)由k AB=f′(x0)，故alnx1−x1−alnx2+x2x1−x2=ax0−1，只需证明x0(lnx2−lnx1)+(x1−x2)=0, x0∈(x1,x2)，且x0唯一，构造函数，求出导数，然后由导数证明即可．22.【答案】解：(Ⅰ)圆C的普通方程是(x−2)2+y2=4，又，，所以圆C的极坐标方程为；(Ⅱ)设P(ρ1, θ1)，则有，设Q(ρ2, θ1)，且直线l的方程是，则有，所以，所以1⩽|OP|⋅|OQ|⩽2，故|OP|⋅|OQ|的范围为[1, 2].【解析】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查两线段的积的取值范围的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(1)圆C的参数方程消去参数能求出圆C的普通方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出C的极坐标方程．(2)设P(ρ1,θ1)，则有ρ1=4cosθ1，设Q(ρ2,θ1)，且直线l的方程是，由此能求出|OP|·|OQ|的范围．23.【答案】解：(Ⅰ)由f(x)=|x−2|−|x+3|⩽2可化为：{x<−3−x+2+x+3⩽2或{−3⩽x⩽2−x+2−x−3⩽2或{x>2x−2−x−3⩽2不等式解集为：{x|x⩾−32 }．(Ⅱ)因为|f(x)|=||x−2|−|x+3||⩽|x−2−x−3|=5，所以−5⩽f(x)⩽5，即f(x)min=−5；要使不等式f(x)<a2+6a解集非空，需f(x)min<a2+6a从而a2+6a+5>0，解得a<−5或a>−1所以a的取值范围为【解析】本题考查绝对值不等式的解法，分类讨论的数学思想等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．(1)结合函数的解析式零点分段即可求得最终结果；(2)结合不等式的性质和二次函数的性质分类讨论即可求得实数m的取值范围．。

宝鸡中学2019届高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题及答案

陕西省宝鸡中学2019届高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题（版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|−1≤x≤23}，N={x|log2(2x−1)≤0}，则M∩(∁R N)=()A. [−1,1]B. (12,23] C. ⌀ D. [−1,12]【答案】D【】解：∵集合M={x|−1≤x≤23}，N={x|log2(2x−1)≤0}={x|12<x≤1}，∴∁R N={x|x≤12或x>1}，∴M∩(∁R N)={x|−1≤x≤12}=[−1,12].故选：D．先分别求出集合M，N，从而求出∁R N，由此能求出M∩(∁R N)．本题考查补集、交集、的求法，考查补集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.3+2i2−3i=()A. 1+iB. 1−iC. iD. −i【答案】C【】解：3+2i2−3i =(3+2i)(2+3i)(2−3i)(2+3i)=13i13=i．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3.如图所示，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影部分的面积是()A. 23B. 2 C. 43D. 3【答案】C【】解：根据几何概型的概率公式，计算P=S阴影S正方形=13，∴S阴影=13×22=43．故选：C．根据几何概型的概率公式，求出阴影部分的面积．本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．4.我国古代数学著作(算法统宗》中有这样一个问题(意为)：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.“那么，此人第4天和第5天共走路程是()A. 24里B. 36里C. 48里D. 60里【答案】B【】解：记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比q=12的等比数列，由S6=378，得S6=a1(1−126)1−12=378，解得：a1=192，∴a4+a5=192×(12)3+192×(12)4=24+12=36．此人第4天和第5天共走了24+12=36里．故选：B．记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比q=12的等比数列，由S6=378，得S6=a 1(1−126)1−12=378，解得：a 1，利用通项公式可得a 4+a 5．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5. 若实数x ，y 满足{x +y ≤3x ≤y 2x +y ≥3，则z =yx 的取值范围为( ) A. (1,+∞) B. [1,+∞) C. (2,+∞) D. (0,1)【答案】B【】解：由约束条件{x +y ≤3x ≤y 2x +y ≥3画出可行域，如下图，z =yx 的几何意义为(0,0)与可行域内动点(x,y)连线的斜率，由图可知k OA =1，∴z ≥1，则z =y x 的取值范围为[1,+∞)．故选：B ．由约束条件作出可行域，再由z =yx 的几何意义，即(0,0)与可行域内动点(x,y)连线的斜率求解．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6. 现执行如图所示的程序框图，该算法的功能是( )A. 求两个正数a，b的最小公倍数B. 判断两个正数a，b是否相等C. 判断其中一个正数是否能被另个正数整除D. 求两个正数a，b的最大公约数【答案】D【】解：根据题意执行如图所示的程序框图知，该算法的功能是利用更相减损术求两个数的最大公约数问题．故选：D．根据程序框图知该算法的功能是利用更相减损术求两个数的最大公约数问题．本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．7.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=√7，c=4，cosB=34，则△ABC的面积等于()A. 3√7B. 3√72C. 9 D. 92【答案】B【】解：∵b=√7，c=4，cosB=34，∴sinB=√1−cos2B=√74，∴由余弦定理b2=a2+c2−2accosB，可得：7=a2+16−2×a×4×34，整理可得：a2−6a+9=0，解得：a=3，∴S△ABC=12a⋅c⋅sinB=12×3×4×√74=3√72．故选：B．由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，根据余弦定理可求a的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．8.平面直径坐标系xOy中，动点P到圆(x−2)2+y2=1上的点的最小距离与其到直线x=−1的距离相等，则P点的轨迹方程是()A. y2=8xB. x2=8yC. y2=4xD. x2=4y【答案】A【】解：设动点P(x,y)，∵动点P到直线x=−1的距离等于它到圆：(x−2)2+y2=1的点的最小距离，∴|x+1|=√(x−1)2+(y−0)2−1，化简得：6x−2+2|x+1|=y2，当x≥−1时，y2=8x，当x<−1时，y2=4x−4<−8，不合题意．∴点P的轨迹方程为：y2=8x．故选：A．设动点P(x,y)，由已知得|x+1|=√(x−1)2+(y−0)2−1，由此能求出点P的轨迹方程．本题考查点的轨迹方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．9.等差数列{a n}的前n项和为S n，若公差d>0，(S8−S5)(S9−S5)<0，则()A. |a7|>|a8|B. |a7|<|a8|C. |a7|=|a8|D. |a7|=0【答案】B【】解：根据题意，等差数列{a n}中，有(S8−S5)(S9−S5)<0，即(a6+a7+a8)(a6+a7+a8+a9)<0，又由{a n}为等差数列，则有(a6+a7+a8)=3a7，(a6+a7+a8+a9)=2(a7+a8)，(a6+a7+a8)(a6+a7+a8+a9)<0⇔a7×(a7+a8)<0，a7与(a7+a8)异号，又由公差d>0，必有a7<0，a8>0，且|a7|<|a8|；故选：B．根据题意，由(S8−S5)(S9−S5)<0分析可得(a6+a7+a8)(a6+a7+a8+a9)<0，结合等差数列的性质可得(a6+a7+a8)(a6+a7+a8+a9)<0⇔a7×(a7+a8)< 0，又由{a n}的公差d>0，分析可得a7<0，a8>0，且|a7|<|a8|；即可得答案．本题考查等差数列的性质，关键是由(S8−S5)(S9−S5)<0，分析得到a7、a8之间的关系．10.已知正三棱柱ABC−A1B1C1，AB=AA1=2，则异面直线AB1与CA1所成角的余弦值为()A. 0B. −14C. 14D. 12【答案】C【】解：以A 为原点，在平面ABC 内过A 作AC 的垂线为x 轴，以AC 为y 轴，以AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的各条棱长为2，则A(0,0，0)，B 1(√3,1，2)，A 1(0,0，2)，C(0,2，0)， AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1，2)，A1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2)，设异面直线AB 1和A 1C 所成的角的余弦值为θ，则cosθ=|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1C⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=√8×√8=14，故选：C ．以A 为原点，在平面ABC 内过A 作AC 的垂线为x 轴，以AC 为y 轴，以AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB 1和A 1C 所成的角的余弦值大小．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.属于中档题．11. 已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，点F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足|PF|=3|FQ|，若|OP|=b ，则E 的离心率为( ) A. √2 B. √3C. 2D. √5【答案】B【】解：由题意可知：双曲线的右焦点F 1，由P 关于原点的对称点为Q ，则丨OP 丨=丨OQ 丨，∴四边形PFQF1为平行四边，则丨PF1丨=丨FQ丨，丨PF丨=丨QF1丨，由|PF|=3|FQ|，根据椭圆的定义丨PF丨−丨PF1丨=2a，∴丨PF1丨=a，|OP|=b，丨OF1丨=c，∴∠OPF1=90∘，在△QPF1中，丨PQ丨=2b，丨QF1丨=3a，丨PF1丨=a，∴则(2b)2+a2=(3a)2，整理得：b2=2a2，则双曲线的离心率e=ca =√1+b2a2=√3，故选：B．由题意可知：四边形PFQF1为平行四边，利用双曲线的定义及性质，求得∠OPF1=90∘，在△QPF1中，利用勾股定理即可求得a和b的关系，根据双曲线的离心率公式即可求得离心率e．本题考查双曲线的简单几何性质简单几何性质，考查数形结合思想，属于中档题．12.设函数f(x)=(x−a)2+(lnx2−2a)2，其中x>0，a∈R，存在x0使得f(x0)≤45成立，则实数a值是()A. 15B. 25C. 12D. 1【答案】A【】解：函数f(x)可以看作是动点M(x,lnx2)与动点N(a,2a)之间距离的平方，动点M在函数y=2lnx的图象上，N在直线y=2x的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y=2lnx得，，解得x=1，∴曲线上点M(1,0)到直线y=2x的距离最小，最小距离d=√5=2√55，则f(x)≥45，根据题意，要使f(x0)≤45，则f(x0)=45，此时N恰好为垂足，由k MN=2a−0a−1=2aa−1=−12，解得a=15．故选：A．把函数看作是动点M(x,lnx2)与动点N(a,2a)之间距离的平方，利用导数求出曲线y=2lnx上与直线y=2x平行的切线的切点，得到曲线上点到直线距离的最小值，结合题意可得只有切点到直线距离的平方等于45，然后由两直线斜率的关系列式求得实数a的值．本题考查利用导数求曲线上过某点切线的斜率，考查了数形结合和数学转化思想方法，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知a⃗=(2,1)，a⃗−2b⃗=(1,1)，则a⃗⋅b⃗=______．【答案】1【】解：根据题意，设b⃗=(x,y)，则a⃗−2b⃗=(2−2x,1−2y)=(1,1)，则有2−2x=1，1−2y=1，解可得x=12，y=0，则b⃗=(12,0)，则a⃗⋅b⃗=2×12+1×0=1；故答案为：1根据题意，设b⃗=(x,y)，由向量加减法的计算公式可得a⃗−2b⃗=(2−2x,1−2y)=(1,1)，解可得x、y的值，即可得b⃗=(12,0)，进而由数量积的计算公式计算可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，注意求出b⃗的坐标．14.中国古代数学名草《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用符号表示为a2+b2=c2(a,b，c∈N∗)，我们把a，b，c叫做勾股数.下列给出几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41，以此类推，可猜测第5组股数的三个数依次是______．【答案】11，60，61【】解：先找出勾股数的规律：①以上各组数均满足a2+b2=c2；②最小的数(a)是奇数，其余的两个数是连续的正整数；③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，如32=9=4+5，52=25=12+13，72=49=24+25，92=81=40+41…，由以上特点我们可第⑤组勾股数：112=121=60+61，故答案为11，60，61．先找出勾股数的规律：①以上各组数均满足a2+b2=c2；②最小的数(a)是奇数，其余的两个数是连续的正整数；③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，即可得出结论．本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．15.已知一个四面体ABCD的每个顶点都在表面积为9π的球O的表面上，且AB=CD=a，AC=AD=BC=BD=√5，则a=______．【答案】2√2【】解：由题意可知，四面体ABCD的对棱都相等，故该四面体可以通过补形补成一个长方体，如图所示：设AF=x，BF=y，CF=z，则√x2+z2=√y2+z2=√5，又4π×(√x2+y2+z2)2=9π，2可得x=y=2，∴a=√x2+y2=2√2．故答案为：2√2．由题意可知，四面体ABCD的对棱都相等，故该四面体可以通过补形补成一个长方体，设出过一个顶点的三条棱长，由已知求出三条棱长，则a可求．本题考查球的表面积与体积，考查数学补形思想方法，是中档题．16.已知定义在实数集R的函数f(x)满足f(1)=4且f(x)导函数f′(x)<3，则不等式f(lnx)>3lnx+1的解集为______．【答案】(0,e)【】解：设t=lnx，则不等式f(lnx)>3lnx+1等价为f(t)>3t+1，设g(x)=f(x)−3x−1，则g′(x)=f′(x)−3，∵f(x)的导函数f′(x)<3，∴g′(x)=f′(x)−3<0，此时函数单调递减，∵f(1)=4，∴g(1)=f(1)−3−1=0，则当x>1时，g(x)<g(1)=0，即g(x)<0，则此时g(x)=f(x)−3x−1<0，即不等式f(x)>3x+1的解为x<1，即f(t)>3t+1的解为t<1，由lnx<1，解得0<x<e，即不等式f(lnx)>3lnx+1的解集为(0,e)，故答案为：(0,e)．构造函数g(x)=f(x)−3x−1，求函数的导数，判断函数的单调性即可得到结论．本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f(x)=2sinxcosx+2√3cos2x−√3．(1)求函数f(x)的单调减区间；(2)将函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求y=g(x)在(−π12,π8)上的值域．【答案】解：(1)函数f(x)=2sinxcosx+2√3cos2x−√3=sin2x+√3cos2x= 2sin(2x+π3)，∴当2kπ+π2≤2x+π3≤3π2+2kπ,k∈Z时,解得：kπ+π12≤x≤7π12+kπ,k∈Z，因此，函数f(x)的单调减区间为[kπ+π12,7π12+kπ](k∈Z)．(2)将函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位，可得y=2sin(2x+π3+π3)的图象，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)=2sin(4x+2π3)的图象，∵x∈(−π12,π8)，∴4x+2π3∈(π3,7π6)，∴sin(4x+2π3)∈(−12,1],∴y=g(x)的值域为(−1,2]．【】(1)利用三角恒等变换化简函数f(x)的式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f(x)的单调减区间．(2)利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得g(x)的式，再利用正弦定义域和值域，求得g(x)的值域．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦定义域和值域，属于中档题．18. 如图，PA ⊥平面ABCD ，AD//BC ，∠ABC =90∘，AB =BC =PA =1，AD =3，E 是PB 的中点．(1)求证：AE ⊥平面PBC ； (2)求二面角B −PC −D 的余弦值．【答案】 (1)证明：根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，A(0,0，0)，B(1,0，0)，C(1,1，0)， D(0,3，0)，P(0,0，1)，E(12,0，12)， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,0，12)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，0)， BP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)． ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．所以AE ⊥BC ，AE ⊥BP ．因为BC ，BP ⊂平面PBC ，且BC ∩BP =B ，所以AE ⊥平面PBC.(2)解：设平面PCD 的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，则n ⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0．因为CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2，0)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3，−1)，所以{3y −z =0−x+2y=0．令x =2，则y =1，z =3．所以n ⃗ =(2,1，3)是平面PCD 的一个法向量. …8分因为AE ⊥平面PBC ，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 平面PBC 的法向量．所以cos <AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n⃗ >=AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |AE⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=5√714．根据图形可知，二面角B −PC −D 的余弦值为−5√714. …10分【】(1)建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，求得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即可证得结论；(2)确定平面PCD 、平面PBC 的法向量，利用向量的夹角公式可得结论．本题考查线面垂直，考查面面接哦，考查利用向量知识解决立体几何问题，正确用坐标表示向量是关键．19. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点和短轴的两个端点都圆x 2+y 2=1上．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若斜率为k 的直线经过点M(2,0)，且与椭圆C 相交于A ，B 两点，试探讨k 为何值时，OA ⊥OB ．【答案】解：(I)依题意椭圆的两个焦点和短轴的两个端点都圆x 2+y 2=1上，可得b =1，c =1所以a 2=2，所以椭圆C 的方程；x 22+y 2=1；(II)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线AB 的方程为：y =k(x −2)，由{y =k(x −2)x 22+y 2=1消去y 得：(1+2k 2)x 2−8k 2x +8k 2−2=0，所以x 1+x 2=8k 21+2k ,x 1x 2=8k 2−21+2k ，因为OA ⊥OB ，所以y 1y 2x 1x 2=−1，即x 1x 2+y 1y 2=0，而y 1y 2=k 2(x 1−2)(x 2−2)，所以x 1x 2+k 2(x 1−2)(x 2−2)=0，所以(1+k 2)(8k 2−2)1+2k 2−16k 41+2k 2+4k 2=0，解得：k 2=15，此时△>0，所以k =±√5．【】(Ⅰ)由题意可得焦点为(±1,0)，短轴的端点为(0,±1)，可得b =c =1，求得a ，进而得到椭圆方程；(II)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线AB 的方程为：y =k(x −2)，代入椭圆方程，消去y ，可得x 的方程，运用韦达定理和两直线垂直的条件：斜率之积为−1，化简计算即可得到所求k 的值．本题考查椭圆的方程的求法，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和两直线垂直的条件，考查运算能力，属于中档题．20. 某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元．(Ⅰ)若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润(单位：元)关于当周需求量n(单位：台，n ∈N)的函数式f(n)；(Ⅱ)该商场记录了去年夏天(共10周)空调器需求量n(单位：台)，整理得表：以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，X 表示当周的利润(单位：元)，求X 的分布列及数学期望．【答案】解：(I)当n ≥20时，f(n)=500×20+200×(n −20)=200n +6000，当n ≤19时，f(n)=500×n −100×(20−n)=600n −2000， ∴f(n)={600n −2000 (n ≤19)200n+6000(n≥20)(n ∈N)．(II)由(1)得f(18)=8800，f(19)=9400，f(20)=10000，f(21)=10200，f(22)=10400，∴P(X=8800)=0.1，P(X=9400)=0.2，P(X=10000)=0.3，P(X=10200)= 0.3，P(X=10400)=0.1，X的分布列为X8800 9400 10000 10200 10400P0.10.20.30.30.1∴EX=8800×0.1+9400×0.2+10000×0.3+10200×0.3+10400×0.1= 9860．【】(I)对n分类讨论，利用利润与周需求量的关系即可得出．(II)利用频率估计概率，利用随机变量的分布列即可得出．本题考查了利润与需求量的关系、频率估计概率、随机变量的分布列及其期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.已知函数f(x)=(x−2)e x+a(x−1)2．(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)由f(x)=(x−2)e x+a(x−1)2，可得f′(x)=(x−1)e x+2a(x−1)=(x−1)(e x+2a)，①当a≥0时，由f′(x)>0，可得x>1；由f′(x)<0，可得x<1，即有f(x)在(−∞,1)递减；在(1,+∞)递增(如右上图)；②当a<0时，(如右下图)若a=−e，则f′(x)≥0恒成立，即有f(x)2在R上递增；若a<−e时，由f′(x)>0，可得x<1或x>ln(−2a)；2由f′(x)<0，可得1<x<ln(−2a)．即有f(x)在(−∞,1)，(ln(−2a),+∞)递增；在(1,ln(−2a))递减；<a<0，由f′(x)>0，可得x<ln(−2a)或x>1；若−e2由f′(x)<0，可得ln(−2a)<x<1．即有f(x)在(−∞,ln(−2a))，(1,+∞)递增；在(ln(−2a),1)递减；(Ⅱ)①由(Ⅰ)可得当a>0时，f(x)在(−∞,1)递减；在(1,+∞)递增，且f(1)=−e<0，x→+∞，f(x)→+∞；当x→−∞时f(x)>0或找到一个x<1使得f(x)>0对于a>0恒成立，f(x)有两个零点；②当a=0时，f(x)=(x−2)e x，所以f(x)只有一个零点x=2；③当a<0时，时，f(x)在(1,ln(−2a))递减，若a<−e2在(−∞,1)，(ln(−2a),+∞)递增，又当x≤1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点；当a≥−e时，在(−∞,ln(−2a))单调增，在(1,+∞)单调增，2在(1n(−2a),1)单调减，只有f(ln(−2a))等于0才有两个零点，而当x≤1时，f(x)<0，所以只有一个零点不符题意．综上可得，f(x)有两个零点时，a的取值范围为(0,+∞)．【】(Ⅰ)求出f(x)的导数，讨论当a ≥0时，a <−e 2时，a =−e 2时，−e2<a <0，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；(Ⅱ)由(Ⅰ)的单调区间，对a 讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，注意运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{y =sinαx=3cosα(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=√2． (1)求C 的普通方程和l 的倾斜角；(2)设点P(0,2)，l 和C 交于A ，B 两点，求|PA|+|PB|．【答案】解：(1)由{y =sinαx=3cosα消去参数α，得x 29+y 2=1即C 的普通方程为x 29+y 2=1由ρsin(θ−π4)=√2，得ρsinθ−ρcosθ① 将{y =ρsinθx=ρcosθ代入①得y =x +2 所以直线l 的斜率角为π4．(2)由(1)知，点P(0,2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为{x =tcosπ4y =2+tsinπ4(t 为参数)即{x =√22t y =2+√22t (t 为参数)，代入x 29+y 2=1并化简得5t 2+18√2t +27=0△=(18√2)2−4×5×27=108>0设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2．则t 1+t 2=−18√25<0,t 1t 2=275>0，所以t 1<0，t 2<0所以|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=18√25．【】(1)直接把曲线的参数方程转化为直角坐标方程，进一步把极坐标方程转化为直角坐标方程，在求出直线的倾斜角．(2)利用定点把直线的直角坐标式转化为参数式，进一步建立一元二次方程根与系数的关系，最后求出结果．本题考查的知识要点：直角坐标方程与参数方程的互化，直线和曲线的位置关系的应用，一元二次方程根与系数的关系的应用．23.已知函数f(x)=|x+1|．(1)求不等式f(x)<|2x+1|−1的解集M；(2)设a，b∈M，证明：f(ab)>f(a)−f(−b)．【答案】(1)解：①当x≤−1时，原不等式化为−x−1<−2x−2解得：x<−1；②当−1<x≤−1时，原不等式化为x+1<−2x−2解得：x<−1，此时不等式无解；2③当x>−1时，原不等式化为x+1<2x，解得：x>1．2综上，M={x|x<−1或x>1}；(2)证明：设a，b∈M，∴|a+1|>0，|b|−1>0，则f(ab)=|ab+1|，f(a)−f(−b)=|a+1|−|−b+1|．∴f(ab)−[f(a)−f(−b)]=f(ab)+f(−b)−f(a)=|ab+1|+|1−b|−|a+1|=|ab+1|+|b−1|−|a+1|≥|ab+1+b−1|−|a+1|=|b(a+1)|−|a+1|=|b|⋅|a+1|−|a+1|=|a+1|⋅(|b|−1|)>0，故f(ab)>f(a)−f(−b)成立．【】(1)把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．(2)由题意可得|a+1|>0，|b|−1>0，化简f(ab)−[f(a)−f(−b)]为|a+1|⋅(|b|−1|)>0，从而证得不等式成立．本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，属于中档题．。

数学(文科) 2019年宝鸡市高考模拟检测(一)数学(文科)参考答案

2019年宝鸡市高考模拟检测（一）数学（文科）参考答案一、选择题13. 1 14、11,60,61 15、π8 16、⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,1 三、解答题17、（本小题满分12分）与理科17题相同18．（本小题满分12分）(1)证明：;1111ABC BB C B A ABC 面中，直三棱柱⊥-ABC AD 平面⊂ 中点；为又BC D AC AB AD BB ,,1=⊥∴;,,1B BB BC BC AD =⋂⊥∴11B BCC AD 平面⊥∴ ………………………….6分（2）由(1)知11B BCC AD 平面⊥111B BCC D C 平面⊂ 1DC AD ⊥∴1111的棱长为直三棱柱C B A ABC - 25,2,2311=∴==∴D C AC AD 8321,8152111=⋅==⋅=∴∆∆DC AD S DC AD S ADC ADC 设113131,1CC S d S d D AC C ADC ADC ⋅=⋅⋅∆∆则的距离为到平面点 .55,551的距离为到平面点解得D AC D d ∴= …… …… ……12分19．（本小题满分12分）与理科19题相同20、（本小题满分12分）解 (1)a ＝[1－(0.01＋0.015＋0.03＋0.015＋0.005)×10]÷10＝0.025， …… …… ……2分x ＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.05＝69. …… …… ……6分 (2)2×2列联表如下：因为K 2＝200×(5×115－35×45)240×160×50×150＝256≈4.167>3.841， ……11分所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关” …12分 21、（本小题满分12分）解：（1）函数()h x 定义域为(0,)+∞，222213231(21)(1)()2x x x x h x x x x x -+--'=-+-=-=- ……2分 ()h x ∴的单调递减区间是10,2⎛⎫⎪⎝⎭和()1,+∞.……4分（2）问题等价于1ln a x x=有唯一的实根显然0a ≠，则关于x 的方程1ln x x a=有唯一的实根 …… …… ……6分构造函数()ln ,x x x ϕ=则()1ln ,x x ϕ'=+由()1ln 0,x x ϕ'=+=得1x e -=当10x e -<<时，()0,()x x ϕϕ'<单调递减当1,()0,()x e x x ϕϕ-'>>时单调递增所以()x ϕ的极小值为11()e e ϕ--=- …… …… ……8分如图，作出函数()x ϕ的大致图像，则要使方程1ln x x a=的唯一的实根，只需直线1y a =与曲线()y x ϕ=有唯一的交点，则11e a -=-或10a>解得0a e a =->或故实数a 的取值范围是{}(0,)e -⋃+∞ …… …… ……12分22、23 与理科22、23题相同。

陕西省宝鸡中学2019届高三第二次模拟数学(文)试卷附答案解析

则�� ‒ 2�� = (�� ‒ 4,�� + 6)
若�� ‒ 2��与��垂直，则�� ‒ 4 + �� + 6 = 0. 解得�� = ‒ 1.
故选 B.
点睛：本题主要考查了向量数量积的坐标运算，属于基础题.
=
1．
综上可得�� = 1．
故选 A．
【点睛】本题考查两直线平行的等价条件，解题的关键是将问题转化为对直线斜率存在性的讨论．也可利用以下结论求解：若��1:��1�� + ��1�� + ��1 = 0,��2:��2�� + ��2�� + ��2 = 0，则��1 ∥ ��2⇔ ��1��2 = ��2��1且��1��2 ≠ ��2��1或��1��2 = ��2��1且��1��2 ≠ ��2��1．
=
1
��④��(��)
=
��2，则输
出的函数是（）
A. ��(��) = ��
B. ��(��) = ��
C.
��(��)
=
1 ��
∴|��| + |��| = 2 5，

陕西省宝鸡中学2019届高三第一次模拟考试数学(文)试题(精品解析)

陕西省宝鸡中学2019届高三第一次模拟数学（文）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合是小于5的自然数，集合，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化简集合，直接利用交集定义求解即可．【详解】集合是小于5的自然数，集合，，故选A．【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2.已知i为虚数单位，复数z满足，则z =A. B. C. D.【答案】A【解析】复数z满足，故答案为：A。

3.设是定义在R上的奇函数，且当时，，则A. 1B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：由奇函数可得，故选A.考点：函数的奇偶性.4.我国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地“那么，此人第4天和第5天共走路程是A. 24里B. 36里C. 48里D. 60里【答案】B【解析】记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，由，利用等比数列求和公式解得，利用等比数列的通项公式可得．【详解】记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，由，得，解得：，．所以此人第4天和第5天共走了里，故选B．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考属于中档题．等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.5.若实数满足则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】作出不等式表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部：其中，，，设为区域内的点，定点，可得表示两点连线的斜率，由图象可知，的最小值是1，即，所以的取值范围是6.现执行如图所示的程序框图，该算法的功能是A. 求两个正数的最小公倍数B. 判断两个正数是否相等C. 判断其中一个正数是否能被另个正数整除D. 求两个正数的最大公约数【答案】D【解析】【分析】根据程序框图知该算法的功能是利用更相减损术求两个数的最大公约数问题．【详解】根据题意执行如图所示的程序框图知，该算法的功能是利用更相减损术求两个数的最大公约数问题，故选D．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．解决算法的交汇性问题的方法：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.7.△的内角，，所对的边分别为，，，已知，，，则△的面积等于A. B. C. D.【答案】B【解析】由余弦定理得：，即，解得：∴故选：B8.已知点在抛物线上，则当点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为点到抛物线焦点距离等于点到抛物线的准线的距离，所以到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小等价于到点的距离与点到抛物线准线距离之和取得最小，如图，由几何性质可得，从向准线作垂线，其与抛物线交点就是所求点，将代入，可得，点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为，故选D.【方法点晴】本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线的定义求最值，属于难题.与抛物线的定义有关的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.本题是将到焦点的距离转化为到准线的距离，再根据几何意义解题的.9.等差数列的前项和为，若公差，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由公差可得，由可得，可得，，由等差数列的性质可得，，从而可得结论．【详解】公差，，，，，,，，，，，故选D．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与性质以及单调性、不等式的性质，属于中档题．解答等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）.10.已知正三棱柱，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，以AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB1和A1C所成的角的余弦值大小．详解：以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，以AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长为2，则A（0，0，0），B1（，1，2），A1（0，0，2），C（0，2，0），=（），=（0，2，﹣2），设异面直线AB1和A1C所成的角的余弦值为θ，则cosθ===．∴异面直线AB1和A1C所成的角的余弦值大小为．故选：A．点睛：求空间两条异面直线所成角的大小是立体几何中最为常见的基本题型之一。

陕西省宝鸡中学2019届高三上学期模拟考试(二)文科数学答案

（2）若q为真，则（m-t）（m-t-1）＜0，即t＜m＜t+1，
∵p是q的必要不充分条件，则{m|t＜m＜t+1} {m|-4＜＜-2，或m＞4}
即或t≥4解得-4≤t≤-3或t≥4
所以所求实数的范围为 ……………………12’
20、解：（1）
…………………6’
(2)由（1）且
又则
而周长的取值范围为 ……………….12’
陕西省宝鸡中学2019届高三上学期模拟考试（二）
文科数学参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
A卷
A
D
A
D
D
B
B卷
A
D
A
D
C
D
题号
7
8
9
10
11
12
A卷
B
C
C
A
B
D
B卷
BHale Waihona Puke CCAB
C
填空题：13、；14、 15、 16、
17、解： …………6’ …………12’
18、解：
…………6’
…………………12’
19、解：（1）若p为真：则，解得-4＜＜-2，或m＞4；…………6’
21、解：（1）
x
－
0
＋
极小值
在区间上函数单调递增；
而函数仅仅有极小值 ,无极大值．……………………6’
（２）对
令，则由题意的ｋ
而
在时单调递增，此时
在单调递增而
而实数k的取值范围为 …………………12’
选做题：
22、解：（1） C: ………………4’

精品解析：陕西省宝鸡中学2019届高三年级第二次模拟数学(文科)试题(解析版)

宝鸡中学2019届高三年级第二次模拟数学（文科）试题注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，集合，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由集合交集运算即可得解．【详解】由M＝{x|﹣1＜x＜3}，集合N＝{x|x＜1}，得：M∩N＝（﹣1，1），故选：C．【点睛】本题考查了集合交集及其运算，准确计算是关键，属简单题．2.若复数满足（为虚数单位），则为（）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】由z（1﹣i）2=1+i，得∴|z|=.故选：B．3.若直线与直线平行，则的值是（）A. 1B. -2C. 1或-2D.【答案】A【解析】【分析】分类讨论直线的斜率情况，然后根据两直线平行的充要条件求解即可得到所求．【详解】①当时，两直线分别为和，此时两直线相交，不合题意．②当时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得，解得．综上可得．故选A．【点睛】本题考查两直线平行的等价条件，解题的关键是将问题转化为对直线斜率存在性的讨论．也可利用以下结论求解：若，则且或且．4.设向量，，若与垂直，则实数的值等于（）A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】B【解析】分析：由两个向量垂直得向量的数量积为0，利用向量的坐标表示计算即可.详解：向量，则若与垂直，则.解得.故选B.点睛：本题主要考查了向量数量积的坐标运算，属于基础题.5.下列函数中，是偶函数且在上为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：选项A非单调函数，选项B是减函数，选项D是奇函数，故选C.考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性.6.设为椭圆上任意一点，，，延长至点，使得，则点的轨迹方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意得，从而得到点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，进而可得其轨迹方程．【详解】由题意得，又点为椭圆上任意一点，且为椭圆的两个焦点，∴，∴，∴点的轨迹是以点A为圆心，半径为的圆，∴点的轨迹方程为．故选C．【点睛】本题考查圆的方程的求法和椭圆的定义，解题的关键是根据椭圆的定义得到，然后再根据圆的定义得到所求轨迹，进而求出其方程．考查对基础知识的理解和运用，属于基础题．7.执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①②③④，则输出的函数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：对①，显然满足，且存在零点.故选A.考点：程序框图及函数的性质.8.若实数满足约束条件则的最小值是（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据的几何意义，利用数形结合即可得到最小值【详解】由题意，作出不等式对应得平面区域，如图所示，则平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小则的最小值为故选【点睛】本题主要考查了线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于基础题。

陕西省宝鸡市宝鸡中学2019届高三数学上学期模拟考试试题一理A卷201904020477

位后得到的函数为奇函数，则函数��(��)的图像( )
7��
A. 关于点(12,0)对称
��
B. 关于点( ― 12,0)对称
��
C.
关于直线��
=
―
对称
12
7��
D.
关于直线��
=
对称
12
��2 tan��
10.在
△
）
5�� 7��
D. ( 4 , 4 )
{ 7.已知函数��(��) =
�� ―�� ― ��2 ― 2�� + 1
�� ≤ 0 �� > 0，若 ��(��) ≥ ��(1 ― ��)，则实数 a 的取值范围是
的最大值和最小值，并求出取得最值时的 x 值．
19.（12 分）已知在 △ ��中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c， �� = (a cos B b cos A, 2 cos C) ，�� = (1, c) ，且�� ⊥ ��．
5��
��
[�� ― 12,�� + 12]，�� ∈ ��．-------------------6
��
(Ⅱ)若将��(��)的图像向左平移6个单位，得到函数
)
=
0，则��
―
��与��夹角的大小为

陕西省宝鸡市宝鸡中学2019届高三数学上学期模拟考试试题(一)理(B卷)

5 5
��
3.
B. ― 5
5
C.
2 5 5
D. ― 5
2 5
4.
设向量 = (��,1)， = (1,��)，如果��与��共线且方向相反，则 t 的值为（ B. ―1 A. 1 函数�� = sin�� + ��|��|在区间 C. ―2 的图像大致为（ D. 2 ）
3
30, 0 x 30, 打车的平均时间为 f ( x) (单位:分钟) ,而乘坐定制公 1800 2x 90, 30 x 100 x
交的平均时间不受 x 影响,恒为 40 分钟,试根据上述分析结果回答下列问题: （1）当 x 在什么范围内时,乘坐定制公交的平均时间少于自行打车的平均时间? （2）求该校学生参加考试平均时间 g ( x) 的表达式:讨论 g ( x) 的单调性,并说明其实际意义.
�� 12. 已知函数��(��)是定义在 R 上的奇函数，当�� < 0 时，��(��) = (�� + 1)�� ，则对任意的 �� ∈ ��，方程 ��(��(��)) = ��的根的个数至多有( ) A. 9 个 B.6 个 C.4 个 D. 3 个
1
三、解答题：（本大题共 6 小题,共 70 分） 17.（10 分）已知�� > 0，p：��2 ― 2�� ― 8 ≤ 0，q：2 ― �� ≤ �� ≤ 2 + ��． (1) 若 q 是 p 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围； (2) 若�� = 5，“�� ∧ ��”为假命题,�� ∨ ��”为真命题，求实数 x 的取值范围．

宝鸡中学2019届高三第一次模拟数学(文)试题(含答案)

��
的取值范围为[1, + ∞)．
故选：B．由约束条件作出可行域，再由 �� = ��
��
的几何意义，即(0,0)与可行域内动点(��,��)连线的斜率求解．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
6.
现执行如图所示的程序框图，该算法的功能是( )
陕西省宝鸡中学 2019 届高三第一次模拟数学（文）试题（解析版）
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 已知集合�� = {��|�� ∈ ��,�� < 5}，集合�� = {−1,0，1，3，5}，则�� ∩ �� = ( )
4.
我国古代数学著作(算法统宗》中有这样一个问题(意为)：“有一个人要走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地.“那么，此人第 4 天和第 5 天共走路程是( )
A. 24 里
【答案】B
B. 36 里
C. 48 里
D. 60 里
�� = 2 【解析】解：记每天走的路程里数为{��}，可知{��}是公比的等比数列， ��6 =
2 设点��(1,��)，代入抛物线方程1 = 4��，解
得
�� = 4
1
，
1 ∴ ��(1, ). 4 故选：D．过点 P 作�� ⊥ ��，连接 FP，利用抛物线的定义可得|��| = |��|.，可知当��//��轴时，点 P、Q、N 三点共线，因此，|��| + |��|取得最小值|��|，求出即可．本题考查抛物线的简单性质，着重考查抛物线的定义的应用，突出转化思想的运用，属于中档题．等差数列{��}的前 n 项和为��，若公差�� > 0，(��8−��5)(��9−��5) < 0，则( )

2019年宝鸡市高中必修三数学上期中第一次模拟试题带答案

2019年宝鸡市高中必修三数学上期中第一次模拟试题带答案一、选择题1．民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为（）A ．518B ．13C ．718D ．492．用电脑每次可以从区间()0,1内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于13的概率为（） A ．127 B ．23 C ．827 D ．493．已知变量,x y 之间满足线性相关关系ˆ 1.31yx =-，且,x y 之间的相关数据如下表所示： x 1 2 3 4 y0.1m3.14则实数m =（） A ．0.8B ．0.6C ．1.6D ．1.84．我校高中生共有2700人,其中高一年级900人,高二年级1200人,高三年级600人,现采取分层抽样法抽取容量为135的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 ( ) A ．45,75,15B ．45,45,45C ．45,60,30D ．30,90,155．下面的算法语句运行后，输出的值是（）A ．42B ．43C ．44D ．456．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A ．5B ．7C ．9D ．117．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p u v ＝(m ，n)，q v ＝(3,6)．则向量p u v 与q v共线的概率为( )A ．13B ．14C ．16D ．1128．我国古代名著《庄子g 天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )A ．17?,,+1i s s i i i≤=-= B ．1128?,,2i s s i i i≤=-= C ．17?,,+12i s s i i i ≤=-= D ．1128?,,22i s s i i i≤=-= 9．从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4n m B ．2n mC ．4mn D ．2mn10．若同时掷两枚骰子，则向上的点数和是6的概率为（） A ．16B ．112C ．536D ．51811．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为312．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，...，960，分组后某组抽到的号码为41．抽到的32人中，编号落入区间[]401,755 的人数为（） A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题13．如果执行如图所示的程序框图，输入正整数()2N N ≥和实数12,,...,N a a a ，输出,A B ，若输入的N 为20，12,,...,N a a a 依次为87，76，89，98，68，76，89，94，83，86，68，79，95，93，89，87，76，77，84，96，则A B =－________．14．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得101ii x =∑＝80， 101ii y =∑＝20， 110i i i x y =∑＝184， 1210i ix =∑＝720.则家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程为__________．附：线性回归方程y ＝bx ＋a 中， 1221ni i i n i i x y nxy b x nx==-=-∑∑，a ＝y －b x ，其中x ， y 为样本平均值．线性回归方程也可写为ˆy＝ˆb x ＋ˆa . 15．假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为_________________16．执行如图所示的程序框图，则输出S 的结果为________．17．课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市的个数分别为4、12、8．若用分层抽样的方法抽取6个城市，则乙组中应抽取的城市数为_________．18．在1270x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩的可行域内任取一点(),x y ，则满足230x y -≥的概率是__________．19．某路公交车站早上在6:30,7:00,7:30准点发车，小明同学在6:50至7:30之间到达该车站乘车，且到达该站的时刻是随机的，则他等车时间不超过8分钟的概率是__________．20．如图程序框图的输出结果是_________.三、解答题21．某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示．组别 [)30,40 [)40,50 [)50,60 [)60,70 [)70,80 [)80,90 [)90,100频数25150200250 225 100 50（1）已知此次问卷调查的得分Z 服从正态分布(),210N μ，μ近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求()3679.5P Z <≤；（2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案. （ⅰ）得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费；（ⅱ）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表. 赠送的随机话费/元 20 40 概率3414现市民甲要参加此次问卷调查，记X 为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列及数学期望．14.5≈，若()2,X Nμσ:，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，()220.9545P X μσμσ-<≤+=，()330.9973P X μσμσ-<≤+=.22．2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为,,,,,A B C D E F .享受情况如下表，其中“d ”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率.23．艾滋病是一种危害性极大的传染病，由感染艾滋病病毒(HIV 病毒)引起，它把人体免疫系统中最重要的CD 4T 淋巴细胞作为主要攻击目标，使人体丧失免疫功能.下表是近八年来我国艾滋病病毒感染人数统计表：()1请根据该统计表，画出这八年我国艾滋病病毒感染人数的折线图；()2请用相关系数说明：能用线性回归模型拟合y 与x 的关系；()3建立y 关于x 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年我国艾滋病病毒感染人数．参考数据：42 6.48≈；81449.6iiy==∑，812319.5i i i x y ==∑，821()46.2i i y y =-=∑，参考公式：相关系数)12211()()()ni nniii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑，回归方程y bx a =+$$$中，b $()121()()ni i i n i i x x y y x x ==--=-∑∑，a y bx =-$$． 24．某市实施二手房新政一年多以来，为了了解新政对居民的影响，房屋管理部门调查了2018年6月至2019年6月期间购买二手房情况，首先随机抽取了其中的400名购房者，并对其购房面积m （单位：平方米，60130m ≤≤）讲行了一次统计，制成了如图1所示的频率分布直方图，接着调查了该市2018年6月至2019年6月期间当月在售二手房的均价y （单位：万元/平方米），制成了如图2所示的散点图（图中月份代码1－13分别对应2018年6月至2019年6月）（1）试估计该市市民的平均购房面积m （同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）从该市2018年6月至2019年6月期间所有购买二手房的市民中任取3人，用频率估计概率，记这3人购房面积不低于100平方米的人数为X ，求X 的分布列与数学期望；（3）根据散点图选择ˆˆˆya b x =+和ˆˆˆln y c d x =+两个模型讲行拟合，经过数据处理得到两个回归方程，分别为ˆ0.93690.0285yx =+和ˆ0.95540.0306ln y x =+，并得到一些统计量的值，如表所示：ˆ0.93690.0285yx =+ ˆ0.95540.0306ln yx =+ ()()1niii x x y y =--∑0.0054590.005886()()2211nni i i i x x y y ==--∑∑ 0.006050请利用相关系数判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测2019年8月份的二手房购房均价（精确到0.001）.参考数据：ln 20.69≈，ln3 1.10≈，ln15 2.71≈，3 1.73≈，15 3.87≈，17 4.12≈参考公式：()()()()12211niii nniii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑25．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x )与数学成绩相应分数段的人数(y )之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数. 分数段 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) x ∶y1∶12∶13∶44∶526．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),...,[80,90),[90,100]（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50)的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】【分析】分别求出③和④的巧板的面积，根据几何概型的概率关系转化为面积比. 【详解】设巧板①的边长为1，则结合图2可知大正方形的边长为3，其面积239S ==.其中巧板③是底边长为2的等腰直角三角形，其面积为112112S =⨯⨯=2的正方形与腰长为1的等腰直角三角形的组合图形，其面积为221511(2)22S ⨯⨯+==，故所求的概率12718S S P S +==. 故选:C . 【点睛】本题考查几何概型的概率求法，转化为面积比，属于中档题 .2．C解析：C【解析】由题意可得：每个实数都大于13的概率为12133p =-=，则3个实数都大于13的概率为328327⎛⎫= ⎪⎝⎭. 本题选择C 选项.3．D解析：D 【解析】分析：由题意结合线性回归方程的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：12345 2.542x +++===，0.1 3.14 1.844m my +++==+，线性回归方程过样本中心点，则：1.8 1.3 2.514m+=⨯-，解得：8.1=m . 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查线性回归方程的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．C解析：C 【解析】因为共有学生2700，抽取135，所以抽样比为1352700，故各年级分别应抽取135900452700⨯=，1351200602700⨯=，135600302700⨯=，故选C. 5．C解析：C 【解析】【分析】根据算法语句可知，程序实现功能为求满足不等式22000i <的解中最大自然数，即可求解. 【详解】由算法语句知，运行该程序实现求不等式22000i <的解中最大自然数的功能，因为24520252000=>，24419362000=<，所以44i =，故选：C 【点睛】本题主要考查算法语句，考查了对循环结构的理解，属于中档题.6．C解析：C 【解析】循环依次为123,123;S K =+==+=369,325;S K =+==+=91019,527;S K =+==+=191433,729;S K =+==+=结束循环,输出9;K =选C.7．D解析：D 【解析】【分析】由将一枚骰子抛掷两次共有36种结果，再列举出向量p u r 与q r共线的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解。