高考第一轮复习三角函数试题(供参考)
高考数学一轮复习《三角函数》复习练习题(含答案)
高考数学一轮复习《三角函数》复习练习题（含答案）一、单选题 1．函数tan2x y =是 A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为2π的奇函数 C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的偶函数2．有一块矩形花圃ABCD 如图所示，其中10AB cm =，6BC cm =，现引进了新品种需将其扩大成矩形区域EFGH ，点A ，B ，C ，D 均落在矩形EFGH 的边上（不包括顶点），则扩大后的花圃的最大面积为（ ）A ．2100mB ．2128mC ．2144mD ．2196m3．已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωϕπ=+>><，其部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）A ．1()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．1()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．15()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．1()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭或15()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 4．若α是第四象限角，则π－α是第（ ）象限角.A ．一B ．二C ．三D ．四5．若一个底面半径为1的圆锥侧面展开图是一个顶角为23π的扇形，则该圆锥的体积为（ ）A ．353π B ．223πC ．35πD ．22π 6．已知函数()()sin 0,2f x x A πωϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则tan ϕ=（ ）A 3B ．1C 3D ．37．下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．222x x y -=+D ．4ln ln y x x=+8．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若()f x m =在[0,)π上有两个实根a ，b ，且||3a b π->，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭二、多选题9．设0θπ<<，非零向量()sin 2,cos a θθ=，()cos ,1b θ=，则（ ） A ．若1tan 2θ=，则//a b B ．若34πθ=，则a b ⊥ C ．存在θ，使2a b =D ．若//a b ，则1tan 2θ=10．关于函数()cos 23cos f x x x x =+，下列结论正确的有（ ） A ．函数()f x 有最小值2-B ．存在12,x x 有12x x π-=时，()()12f x f x =成立C ．函数()f x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称11．若ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是（ ）A ．若AB >，则sin sin A B >B ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 为直角三角形 C ．若cos cos a A b B =，则ABC 为等腰三角形D ．若2cos 22A c b c+=，则ABC 为直角三角形 12．已知函数()2sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．若函数()f x 的最小正周期为π，则其图象关于直线8x π=对称B ．若函数()f x 的最小正周期为π，则其图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．若函数()f x 在区间0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的最大值为2D ．若函数()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是192388ω≤< 三、填空题13．已知tan 312πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则tan 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.14．如图，某湖有一半径为1km 的半圆形岸边，现决定在圆心O 处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距2km 的点A 处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B 以及湖中的点C 处，再分别安装一套监测设备，且90BAC ∠=︒，AB AC =．定义：四边形OACB 及其内部区域为“直接监测覆盖区域”，设AOB θ∠=．则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为________．15．若1tan 3α=-，则3sin 2cos 2sin cos αααα+=-_______. 16．已知函数()sin 0,02y x πωϕωϕ⎛⎫=+><≤ ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则点(,)P ωϕ的坐标为___.四、解答题17．已知函数()sin 3cos 33x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求函数()1y f x =-的单调递增区间； （2）设函数()()()1sin g x x f x =+，求()g x 的值域.18．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，其中0A >，0>ω，22ππϕ-<<，x ∈R 其部分图象如图所示．（1）求函数()y f x =的解析式； （2）若23()f α=(0,)3πα∈，求cos2α的值.19．计算： （1）sin15︒；（2）sin cos cos sin 33ππαααα⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）sin13sin73cos13sin17︒︒+︒︒．20．已知函数()222sin 4cos 1f x x x =-+.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.21．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()3sin cos a bC C =+．(1)求B ；(2)已知23BC =，D 为边AB 上的一点，若1BD =，2ACD π∠=，求AC 的长．22．2020年一场突如其来的疫情让亿万中华儿女的心再一次凝结在一起，为控制疫情，让广大发热患者得到及时有效的治疗，武汉市某社区决定临时修建一个医院.医院设计平面图如图所示：矩形ABCD 中，400AB =米，300BC =米，图中DMN 区域为诊断区（M 、N 分别在BC 和AB 边上），ADN △、CDM 及BMN △区域为治疗区.受诊断区医疗设备的实际尺寸影响，要求MDN ∠的大小为4π.(1)若按照200AN CM ==米的方案修建医院，问诊断区是否符合要求？(2)按照疫情现状，病人仍在不断增加，因此需要治疗区的面积尽可能的大，以便于增加床位，请给出具体的修建方案使得治疗区面积S 最大，并求出最大值.23．已知向量,a b 满足2sin ,4a x x π⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(cos ,cos sin )b x x x =-，函数()()f x a b x R =⋅∈.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）在ABC 中，角A ､B ､C 所对的边分别为a ､b ､c ，且()222242cos a ac B a b c -=+-，求()f B参考答案1．A2．B3．B4．C5．B6．C7．C8．D 9．ABD10．ABC11．ABD12．ACD 13．12-14252km15．35 16．2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭17．（1）()2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦18．（1）()2sin()6f x x π=+（2）cos 2α=19．（1（2）；（3）12.20．（1）π；（2）最小值是-3，最大值是32.21．(1)6B π=(2)AC =22．(1)不符合要求(2)按照tan 18ADN ADN π⎛⎫∠∠= ⎪⎝⎭修建，治疗区面积最大，最大值为240000-（平方米）23．（1）单调增区间为7,,1212k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦k Z ∈；单调减区间为5,,1212k kππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k Z∈；（2）。
2024届高三数学一轮复习-三角函数与解三角形 第4练 二倍角公式及应用(解析版)
B． cos A cos B
C． sin 2A sin 2B
D． cos 2A cos 2B
12．（2023·全国·高三专题练习）给出下列说法，其中正确的是（ ）
A．若 cos 1 ，则 cos 2 7
3
9
C．若 x 1 ，则 x 1 的最小值为 2
2
x
B．若 tan 2 4 ，则 tan 1
D． 5 或
5
5
）
D． 24 25
7．（2023·全国·高三专题练习）下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是（ ）
A． f x cos2 x sin x cos x
B． f x 1 cos 2 x
2sin x cos x
C．
f
x
cos
x
π 3
cos
x
π 3
D．
f
x
sin
D
不
正确，
故选：BC.
10．AD
【分析】根据二倍角正弦公式、辅助角公式，结合正弦型函数的单调性、平移的性质、对称
性、换元法逐一判断即可.
【详解】 f (x) sin x cos x 1 sin 2x, g(x) sin x cos x 2 sin(x π ) ，
2
4
当
x
0,
π 4
时，
3 5 8
2
5 1 5 1．
16
4
故选：D．
2．B 【分析】根据三角恒等变换公式求解.
【详解】
sin
π 6
cos
3 sin 1 cos cos 3 ,
2
2
5
所以 3 sin 1 cos 3 ，
高考数学一轮复习《三角函数》复习练习题(含答案)
高考数学一轮复习《三角函数》复习练习题（含答案）一、单选题1．已知(0,)θπ∈且满足cos 2cos θθ=，则tan θ=A ．B ．CD 2．在△ABC 中，7,5a c ==，则sin :sin A C 的值是（ ）A ．75B ．57C ．712D ．5123．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 24．函数()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在下列区间内递减的是（ ） A ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[],0π-C ．22,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．232,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．已知a =116116tan tan +︒-，b =⎝⎭，c a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．c a b >> B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >> 6．函数f (x )＝3sin(2x －6π)在区间[0，2π]上的值域为 A ．[32-，32] B ．[32-，3]C ．[D ．[，3] 7．将函数cos 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，所得函数的解析式是（ ）A ．cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin 2y x =-D ．sin 2y x = 8．函数tan y x =周期为（ ）A ．2πB ．2πC ．πD ．3π9．在ABC 中，60A =︒，43a =，42b =，则B 等于（ ）A ．45︒B ．135︒C ．45︒或135︒D ．3010．函数()sin()f x A x b ωϕ=++的图象如下：则()f x 的解析式和(0)(1)(2)(2006)S f f f f =+++⋯+的值分别为A ．1()sin 122f x x π=+，2006S = B ．1()sin 122f x x π=+，120062S = C ．1()sin 122f x x π=+，120072S = D ．1()sin 122f x x π=+，2007S = 11．设函数f (x )＝2sin(2πx ＋5x )．若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．12 12．如图所示，在ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB AD =，23AB BD =，2BC BD =，若2BD =，则sin C 的值为（ ）A ．33B ．23C ．223D ．66二、填空题13．函数()()sin 0,0,y A x A ωϕωϕπ=+>><的图象如图所示，则该函数的解析式为y =______.14．在ABC ∆中，如果lg lg lgsin 2a c B -==-，且B 为锐角，则三角形的形状是__________．15．已知()2cos 3f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则(1)(2)(2022)f f f +++的值为________.16．sin 73cos13sin167cos 73︒︒-︒︒=________.17．已知△ABC 中，3cot 4A =-，则cos A =______. 18．252525sin cos tan 634πππ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭______． 19．已知扇形的半径为3cm ，圆心角为60︒，则扇形的面积为 2cm ．20．若sin 41cos 5γγ=+，则1cos 2sin γγ-=______.三、解答题21．求下列各式的值（1）2log 342233log 9log 2log 3log 432-++⋅； （2）()()()sin 1071sin99sin 171sin 261-︒︒+-︒-︒．22．已知一扇形的面积S 为定值，求当扇形的圆心角为多大时，它的周长最小？最小值是多少？23．在ABC 中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边，()cos sin cos cos A A a C c A =+； （1）求角A 的大小；（2）若a =ABC 14b c +的最小值．24．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2a =，b =2B A =. （1）求sin A ；（2）求△ABC 的面积.25．（1）已知tan()22βα-=，tan()32αβ-=-，求)tan(βα+的值； （2）化简：21tan 9sin (12sin 99)︒︒-︒-．26．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且有2cos (cos cos )C a B b A c +=. （1）求C ；（2）若3c =，求ABC ∆面积的最大值.27．已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-. （1）求()f x 的最大值及此时的x 的集合；（2）求()f x 的单调增区间；（3）若1()2f α=，求sin(4)6πα-. 28．已知矩形纸片ABCD 中，AB=6，AD=12，将矩形纸片右下角折起，使该角的顶点B 落在矩形的边AD 上，且折痕的两端点M 、N 分别位于边AB ，BC 上，此时的点B 记为点P ，设MNB θ∠=，MN y =.(1)当15MNB ∠=时，判断N 的位置；(2)试将y 表示成θ的函数并求y 的最小值。
高考理科第一轮复习练习(3.3三角函数的图像与性质)
课时提升作业(二十二)一、选择题1.函数f(x)=1-2sin2x是( )(A)最小正周期为2π的奇函数(B)最小正周期为2π的偶函数(C)最小正周期为π的奇函数(D)最小正周期为π的偶函数2.·等于( )(A)-sinα(B)-cosα(C)sinα(D)cosα3.(2013·黄山模拟)已知:tan(α+)=,则等于( )(A)3 (B)-3 (C)2 (D)-24.已知函数f(x)=2sin(ωx-)cos(ωx-)(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为π,则函数的一条对称轴可能是( )(A)x=(B)x=(C)x=(D)x=5.若函数f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x-m在[0,]上有零点,则实数m的取值范围为( )(A)[-1,] (B)[-1,1](C)[1,] (D)[-,-1]6.(2013·西安模拟)若cosα=-,α是第三象限的角,则等于( )(A)-(B)(C)2 (D)-2二、填空题7.(能力挑战题)已知tan2θ=-2,π<2θ<2π,化简= .8.(2013·上饶模拟)已知函数f(x)=sinx+acosx的图像的一条对称轴是x=,则函数g(x)=asinx+cosx的最大值是.9.函数y=的递增区间为.三、解答题10.(2013·吉安模拟)已知函数f(x)=sinωx·cosωx-cos2ωx+(ω∈R,x∈R)的最小正周期为π,且其图像关于直线x=对称.(1)求f(x)的解析式并求出f(x)的递增区间.(2)若函数y=1-f(x)的图像与直线y=a在[0,]上只有一个交点,求实数a的取值范围.11.(2013·合肥模拟)已知向量m=(cosθ,sinθ)和n=(-sinθ,cosθ),θ∈(π,2π),且|m+n|=,求cos(+)的值.12.(能力挑战题)已知函数f(x)=sinωx·sin(-φ)-sin(+ωx)sin(π+φ)是R上的偶函数.其中ω>0,0≤φ≤π,其图像关于点M(,0)对称,且在区间[0,]上是单调函数,求φ和ω的值.答案解析1.【解析】选D.∵f(x)=1-2sin2x=cos2x,∴T===π.∴f(x)是最小正周期为π的偶函数.2.【解析】选D.原式=·=·=cosα.3.【解析】选A.tan(α+)==,解得tanα=-.====3.4.【解析】选D.∵f(x)=2sin(ωx-)cos(ωx-)=sin(2ωx-).又最小正周期为π,故=π得ω=1.∴f(x)=sin(2x-).故当x=时,2〓-=-=,此时f(x)取得最大值,故一条对称轴为x=.5.【思路点拨】求出函数y=(sinx+cosx)2-2cos2x在[0,]上的值域,即为m的范围.【解析】选A.f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x-m=1+sin 2x-2cos2x-m=1+sin 2x-1-cos 2x-m=sin(2x-)-m.∵0≤x≤,∴0≤2x≤π,∴-≤2x-≤,∴-1≤sin(2x-)≤,故当-1≤m≤时,f(x)在[0,]上有零点.6.【解析】选A.=====,∵cosα=-,α为第三象限角,∴sinα=-=-,∴原式==-.7.【解析】原式==.∵2θ∈(π,2π),∴θ∈(,π).而tan2θ==-2.∴tan2θ-tanθ-=0,即(tanθ+1)(tanθ-)=0.故tanθ=-或tanθ=(舍去).∴==3+2.答案:3+28.【解析】由y=f(x)的图像的一条对称轴为x=得f(0)=f(π),即sin 0+acos 0=sin+acos,即a=--a,解得a=-,则g(x)=-sinx+cosx=(cosx-sinx)=cos(x+),故g(x)的最大值为.答案:【方法技巧】三角恒等变换的特点(1)三角恒等变换就是利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式、倍角公式、半角公式等进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.(2)对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,这是三角恒等变换的重要特点.9.【思路点拨】利用倍角公式展开约分后化为正切再求解.【解析】y=====tan(+).由kπ-<+<+kπ,k∈Z,知2kπ-<x<2kπ+,k∈Z.答案:(2kπ-,2kπ+),k∈Z10.【解析】(1)∵f(x)=sinωx·cosωx-cos2ωx+=sin 2ωx-(1+cos 2ωx)+=sin 2ωx-cos 2ωx+1=sin(2ωx-)+1由f(x)的最小正周期为π,∴=π,∴ω=〒1.①当ω=1时,f(x)=sin(2x-)+1,∵f()=sin+1=不是最大值也不是最小值,其图像不关于x=对称,舍去;②当ω=-1时,f(x)=-sin(2x+)+1,∵f()=-sin+1=0是最小值,其图像关于x=对称,故f(x)=-sin(2x+)+1为所要求的解析式. 由+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z)得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),∴递增区间是[kπ+,kπ+],k∈Z.(2)由(1)知y=1-f(x)=sin(2x+),在同一坐标系内作出y=sin(2x+)和y=a的图像,由图可知,直线y=a在a∈[-,)或a=1时,两曲线只有一个交点,∴a∈[-,)或a=1.11.【思路点拨】先根据条件求出cos(θ+),然后用倍角公式求解.【解析】∵|m+n|=,∴|m+n|2=m2+n2+2m·n=,即(cos2θ+sin2θ)+[(-sinθ)2+cos2θ]+2[cosθ(-sinθ)+sinθcosθ]=128 25,整理得(cosθ-sinθ)=,∴cos(θ+)=,∴2cos2(+)-1=,∴cos2(+)=,∵π<θ<2π,∴<+<,∴cos(+)=-.12.【解析】由已知得f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφ=sin(ωx+φ),∵f(x)是偶函数,∴φ=kπ+,k∈Z.又∵0≤φ≤π,∴φ=.∴f(x)=sin(ωx+)=cosωx.又f(x)关于(,0)对称,故ω=kπ+,k∈Z.即ω=+,k∈Z.又ω>0,故k=0,1,2,…当k=0时,ω=,f(x)=cos x在[0,]上是减少的.当k=1时,ω=2,f(x)=cos2x在[0,]上是减少的.当k=2时,ω=,f(x)=cos x在[0,]上不是单调函数, 当k>2时,同理可得f(x)在[0,]上不是单调函数,综上,ω=或ω=2.。
三角函数综合练习题(单调性、单调区间、最大最小值)
三角函数综合练习题考查单调性，单调区间，最大最小值，周期，零点，对称性，对称中心一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）1.已知函数f(x)=cosxsin(x−π3)+√34(x∈R)．(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)求f(x)在区间[−π4,π4]上的最大值和最小值．2.已知函数f(x)=cos(2x+π3)．(1)求函数y=f(x)的对称轴方程；(2)求函数f(x)在区间[−π12,π2]上的最大值和最小值．3.设函数f(x)=cosx⋅sin(x+π3)−√3cos2x+√34．(1)求f(x)的最小正周期和对称中心；(2)当x∈[0,π3]时，求函数f(x)的最值．4.已知函数f(x)=cos2x−sin2x−2√3sinxcosx(x∈R)．(2)求f(x)的最小正周期及单调递减区间．5.已知函数f(x)=cos(2x−π3)+2sin(x−π4)sin(x+π4)．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若将函数f(x)图象上每点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在区间[−π12,π]上的值域．6.已知函数f(x)=2sinx⋅sin(π2−x)+√3(cos2x−sin2x)．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)求方程f(x)=2的解构成的集合．7.已知函数f(x)=2sin2x+2√3sinxcosx．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若x∈[0,5π12]，求函数f(x)的值域．8.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象过点P(−5π12,0)，且图象上与P点最近的一个最低点坐标为(−π6,−2)．(1)求函数的解析式；(2)若将此函数的图象向左平移π6个单位长度后，再向上平移2个单位长度得到g(x)的图象，求g(x)在[−π6,π3]上的值域．9.已知f(x)=2sin(2x+π3)．(1)求f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值时，x值的集合．(2)求f(x)的单调递增区间．10.已知函数f(x)=cosx(2sinx+√3cosx)−√3sin2x．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；(Ⅱ)若当x∈[0,π2]时，关于x的不等式f(x)≥m有解，求实数m的取值范围．11.已知函数f(x)=2sin(2x−π6).(1)求函数f(x)的对称轴；(2)当x∈[0,π2]时，求函数f(x)的最大值与最小值．12.已知函数f(x)=4sinxcos(x−π3)−√3．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(Ⅱ)若方程f(x)=m在(π2,5π3)有两个不同的实根，求m的取值范围．13.已知向量a⃗=(3sinx,cos2x)，b⃗ =(cosx,12)，x∈R，设函数f(x)=a⃗⋅b⃗ ．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)求函数f(x)在[0,π2]上的最大值和最小值．14.已知函数f(x)=sinωx(sinωx+cosωx)的最小正周期为π，ω为正实数．(1)求ω的值；(2)求函数f(x)的单调递减区间及对称轴方程．15.已知向量m⃗⃗⃗ =(cosx,−1)，n⃗=(√3sinx,cos2x)，设函数f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗+1．(1)求函数y=f(x)的单调递减区间，并说明由函数y=sinx的图象如何变换可得到函数y=f(x)的图象．(2)若x∈[0,π2]，f(x)=56，求cos2x的值．16.已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x．(I)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)求f(x)在[0,π2]上的单调递增区间．17.已知向量a⃗=(√3sinx,cosx)，b⃗ =(−cosx,cosx)，c⃗=(2,1)．(Ⅰ)若a⃗//c⃗，求a⃗⋅b⃗ 的值；(Ⅱ)若x∈[0,π2]，求f(x)=a⃗⋅b⃗ 的值域．18.已知函数f(x)=2asinωxcosωx+2√3cos2ωx−√3(a>0,ω>0)的最大值为2，且最小正周期为π．(1)求函数f(x)的对称轴方程；(2)若f(α)=43,求sin(4α+π6)的值．19.设函数f(x)=sinx+√3cosx(x∈R)．(1)求函数f(x)的最值和最小正周期；(2)将函数f(x)的图像先保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将图像向π20.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)，其中A>0，ω>0，−π2<φ<π2，x∈R其部分图象如图所示．(1)求函数y=f(x)的解析式与单调增区间；(2)当x∈[0,π]时，求函数y=f(x)的最大值与最小值及此时相应x的值．21.已知函数f(x)=2sinx(√3cosx+sinx)−1．(I)求f(x)的单调递增区间；(II)若f(α2)=25，求sin(2α+π6)的值．22.已知函数f(x)=12cos2x+√32sinxcosx+1．(1)求函数f(x)的最小正周期和其图象对称中心的坐标；(2)求函数f(x)在[π12,π4]上的值域．23.已知f(x)=sin(2x+π6)+3cos(2x−π3).(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间;(2)若f(α2)=45，α∈(0,π)，试求cosα的值．24.已知函数f(x)=cos2x+2√3sinxcosx−sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[−π3,π3]上的最大值和最小值．25.已知函数f(x)=(cosx+√3sinx)⋅sin(π2−x)+12．(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；(2)求函数f(x)在区间[712π,56π]上的最小值以及取得该最小值时x的值．26.已知函数f(x)=√3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2)的图像关于直线x=π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π．(1)求ω和φ的值；(2)若f(α2)=√34(π6<α<2π3)，求sin (α+π3)的值．27.已知函数f(x)=cos2x+√3sinxcosx−12(x∈R)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)讨论f(x)在区间[−π4,π4]上的单调性；28.已知函数f(x)=2cosx(λsinx−cosx)+sin2x+1(λ<0)，且f(x)的最小值为−2．(1)求实数λ的值及函数f(x)的单调递减区间;(2)当x∈[−π12,π2]时，若函数g(x)=f(x)−k有且仅有一个零点，求实数k的取值范围．29. 已知函数f(x)=Acos(ωx +φ)+B(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图像如下图所示．(Ⅰ)求f (x )的解析式及对称中心坐标；(Ⅱ)先将f (x )的图像纵坐标缩短到原来的12倍，在向右平移π6个单位，最后将图像向上平移1个单位后得到g (x )的图像，求函数y =g (x )在x ∈[π12,3π4]在上的单调减区间和最值．)(x∈R)．30.已知函数f(x)=2sinxsin(x+π2(Ⅰ)求f(0)的值；(Ⅱ)求f(x)的最小正周期；)为偶函数，求φ的值．(Ⅲ)若y=f(x+φ)(0<φ<π2答案和解析1.【答案】解：(1)因为f(x)=cosxsin(x−π3)+√34，=12sinxcosx−√32cos2x+√34=14sin2x+√34(1−2cos2x)，=14sin2x−√34cos2x，=12sin(2x−π3)所以最小正周期为：T=π；由−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，k∈Z得−π12+kπ≤x≤5π12+kπ，k∈Z，即单调递增区间是：[−π12+kπ,5π12+kπ]，k∈Z，(2)因为x∈[−π4,π4]，所以2x−π3∈[−5π6,π6]，因此sin(2x−π3)∈[−1,12]，当2x−π3=−π2即x=−π12时，取最小值−12；当2x−π3=π6即x=π4时，取最大值14；【解析】(1)先利用和差角公式及辅助角公式进行化简，然后结合周期公式即可求解；(2)结合正弦函数的性质即可直接求解．本题主要和差角公式，辅助角公式在三角化简求值中的应用2.【答案】解：(1)函数f(x)=cos(2x+π3)．由2x+π3=kπ得x=kπ2−π6，即函数的对称轴方程为x=kπ2−π6，k∈Z，(2)当−π12≤x≤π2时，−π6≤2x≤π，π6≤2x+π3≤4π3，所以当2x+π3=π，即x=π3时，函数f(x)取得最小值，最小值为f(x)=cosπ=−1，当2x+π3=π6，即x=−π12时，函数f(x)取得最大值，最大值为f(x)=cosπ6=√32．【解析】(1)直接利用余弦型函数的性质和整体思想求出函数的对称轴方程．(2)利用整体思想，进一步利用函数的定义域求出函数的值域，再求出函数的最值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．3.【答案】解：(1)f(x)=cosx⋅sin(x+π3)−√3cos2x+√34=cosx(12sinx+√32cosx)−√3cos2x+√34=14sin2x−√34cos2x=12sin(2x−π3)，∴f(x)的最小正周期是2π2=π，令2x−π3=kπ，k∈Z，解得x=12kπ+π6，k∈Z，可得对称中心为(12kπ+π6,0)，k∈Z．(2)当x∈[0,π3]时，2x−π3∈[−π3,π3]，可得sin(2x−π3)∈[−√32,√32]，可得函数f(x)=12sin(2x−π3)∈[−√34,√34]，即函数f(x)的最小值为−√34，最大值为√34．【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式f(x)=12sin(2x−π3)，利用三角函数周期公式可求f(x)的最小正周期，利用正弦函数的性质可求其对称中心．(2)由已知可求范围2x−π3∈[−π3,π3]，进而根据正弦函数的性质即可求其最值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和函数思想，属于基础题．4.【答案】解：(1)f(x)=cos2x−sin2x−2√3sinxcosx=cos2x−√3sin2x=2cos(2x+π3)，则f(π6)=2cos2π3=2×(−12)=−1．(2)f(x)的最小正周期T=2π2=π，令2kπ≤2x+π3≤2kπ+π，k∈Z，得kπ−π6≤x≤kπ+π3，k∈Z，即f(x)的单调递减区间为[kπ−π6,kπ+π3]，k∈Z．【解析】(1)利用辅助角公式进行化简，然后代入求值即可．(2)结合三角函数的周期公式，以及单调递减区间的性质建立不等式进行求解．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，然后结合三角函数的性质是解决本题的关键．难度不大．5.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=cos(2x−π3)+2sin(x−π4)sin(x+π4)=cos(2x−π3)+sin(2x−π2)=12cos2x+√32sin2x−cos2x=sin(2x−π6)，故它的最小正周期为2π2=π．(Ⅱ)若将函数f(x)的图象上每点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)=sin(x−π6)的图象．在区间[−π12,π]上，x−π6∈[−π4,5π6]，故g(x)在区间[−π12,π]上的值域为[−√22,1]．【解析】(Ⅰ)由题意利用三角恒等变换花简f(x)的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．(Ⅱ)由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于中档题．6.【答案】解：(Ⅰ)∵函数f(x)=2sinx⋅sin(π2−x)+√3(cos2x−sin2x)=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3)，故f(x)的最小正周期为2π2=π．(Ⅱ)方程f(x)=2，即sin(2x+π3)=1，2x+π3=2kπ+π2，即x=kπ+π12，k∈Z．故方程f(x)=2的解构成的集合为{x|x═kπ+π12,k∈Z}．【解析】(Ⅰ)由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性，得出结论．(Ⅱ)根据方程f(x)=2，可得2x+π3=2kπ+π2，由此求得x的取值集合．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，解三角方程，属于中档题．7.【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)=2sin2x+2√3sinxcosx=1−cos2x+√3sin2x=2sin(2x−π6)+1，∴函数f(x)的最小正周期T=2π2=π．(Ⅱ)∵x∈[0,5π12]，∴2x−π6∈[−π6,2π3]，∴sin(2x−π6)∈[−12,1]，∴f(x)=2sin(2x−π6)+1∈[0,3]，即函数f(x)的值域为[0,3]．【解析】(Ⅰ)利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得f(x)的最小正周期．(Ⅱ)利用正弦函数的定义域和值域，即可求解．本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题．8.【答案】解：(1)由题可知，A=2，|−5π12+π6|=14T，∴最小正周期T=π，∴ω=2πT=2，∵函数f(x)过点(−π6,−2)，∴−2=2sin[2×(−π6)+φ]，∴φ=−π6+2kπ，k∈Z，又|φ|<π2，∴φ=−π6，∴函数的解析式y=2sin(2x−π6).(2)g(x)=2sin[2(x+π6)−π6]+2=2sin(2x+π6)+2，∵x∈[−π6,π3]，∴2x+π6∈[−π6,5π6]，∴sin(2x+π6)∈[−12,1]，g(x)∈[1,4]．故g(x)在[−π6,π3]上的值域为[1,4]．【解析】(1)由题可知，A=2，|−5π12+π6|=14T，再结合ω=2πT可求得ω的值，然后将点(−π6,−2)代入函数f(x)的解析式中，并利用|φ|<π2，可求出φ的值，故而得解．(2)根据函数图象的变换法则可得g(x)=2sin(2x+π6)+2，然后根据x∈[−π6,π3]，求出2x+π6的取值范围，再结合正弦函数的图象即可得解．本题考查正弦型函数解析式的求法、正弦函数的图象变换与性质，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．9.【答案】解：(1)f(x)max=2，当f(x)=2时，有sim(2x+π3)=1∴2x+π3=2kπ+π2(k∈z)，解得x=kπ+π12，∴f(x)取最大值时x值的集合为{x|x=kπ+π12,k∈z}．(2)由2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2,k∈z，解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12∴f(x)的单调递增区间为：[kπ−5π12,kπ+π12],k∈z．【解析】(1)由正弦函数的有界性得出函数的最值，再整体代换解出x的值，写成集合形式；(2)将2x+π3整体代入正弦函数的单调递增区间，解出x的范围写成区间形式．本题考查复合三角函数的单调性与三角函数的最值，考查正弦函数的性质，考查分析与运算能力，属于中档题．10.【答案】解：(Ⅰ)因为f(x)=2sinxcosx+√3cos2x−√3sin2x=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3)，所以函数f(x)的最小正周期T=π，因为函数y=sinx的的单调递减区间为[2kπ+π2,2kπ+3π2],k∈Z，所以2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2(k∈Z)，解得kπ+π12≤x≤kπ+7π12(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递减区间是[kπ+π12,kπ+7π12],(k∈Z)．(Ⅱ)由题意可知，不等式f(x)≥m有解，即m≤f(x)max．由(Ⅰ)可知f(x)=2sin(2x+π3)，当x∈[0,π2]时，2x+π3∈[π3,4π3]，故当2x+π3=π2，即x=π12时，f(x)取得最大值，最大值为2．所以m≤2.故实数m的取值范围是(−∞,2]．【解析】(Ⅰ)先将函数f(x)进行化简，然后根据三角函数的图象和性质即可求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；(Ⅱ)转化为m≤f(x)max.结合变量的范围求出其最大值即可求解结论．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角化简公式将函数化简是解决本题的关键．11.【答案】解：(1)函数f(x)=2sin(2x−π6).令2x−π6=kπ+π2(k∈Z)，解得x=kπ2+π3(k∈Z)，所以函数f(x)的对称轴方程为：x=kπ2+π3(k∈Z)．(2)由于x∈[0,π2]，所以2x−π6∈[−π6,5π6]，故sin(2x−π6)∈[−12,1]．则：−1≤f(x)≤2．故：当x=0时，函数的最小值为−1．当x=π3时，函数的最大值为2．【解析】(1)直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的对称轴方程．(2)利用函数的定义域的应用求出函数的值域，进一步求出函数的最大和最小值．本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=4sinxcos(x −π3)−√3，=4sinx(12cosx +√32sinx)−√3=2sinxcosx +2√3sin 2x −√3，=sin2x −√3cos2x =2sin(2x −π3)， 所以f(x)的最小正周期T =2π2=π，由−π2+2kπ≤2x −π3≤π2+2kπ,k ∈Z 得 −π12+kπ≤x ≤5π12+kπ,k ∈Z ，所以f(x)的单调递增区间是[−π12+kπ,5π12+kπ],k ∈Z ， (Ⅱ)令t =2x −π3，因为x ∈(π2,5π3)，所以t ∈(2π3,3π)， 即方程2sint =m 在t ∈(2π3,3π)有两个不同的实根，由函数y =2sint 的图象可知，当m ∈(−2,0]∪[√3,2)时满足题意，所以m 的取值范围为(−2,0]∪[√3,2)．【解析】(I)先结合和差角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解；(II)由已知可转化为函数图象的交点，结合正弦函数的性质可求．本题主要考出来和差角公式，辅助角公式在三角化简中的应用，体现了转化思想的应用，属于中档试题．13.【答案】解：(1)∵a ⃗ =(3sinx,cos2x)，b ⃗ =(cosx,12)，x ∈R ， ∴函数f(x)=a⃗ ⋅b ⃗ =(3sinx,cos2x)⋅(cosx,12)=3sinxcosx +12cos2x =32sin2x +12cos2x =√102sin(2x +φ)(tanφ=13，取φ为锐角)．∴函数f(x)的最小正周期为2π2=π；(2)由(1)得f(x)=√102sin(2x +φ)(tanφ=13，取φ为锐角)．∵x ∈[0,π2]，∴2x +φ∈[φ,π+φ]．则当2x +φ=π+φ时，f(x)取得最小值为√102sin(π+φ)=−√102sinφ=−√102×√1010=−12；当2x +φ=π2时，f(x)取得最大值为√102sin π2=√102．∴函数f(x)在[0,π2]上的最大值和最小值分别为√102，−12．【解析】(Ⅰ)利用平面向量的数量积的坐标运算可得f(x)的解析式，利用周期公式求周期；(Ⅱ)由x 的范围求得相位的范围，进一步求得函数的最值．本题考查平面向量数量积的坐标运算，训练了三角函数最值的求法，是中档题． 14.【答案】解：(1)∵函数f(x)=sinωx(sinωx +cosωx)=sin 2ωx +sinωxcosωx =1−cos2ωx2+12sin2ωx=√22sin(2ωx −π4)+12 的最小正周期为2π2ω=π，∴ω=1，f(x)=√22sin(2x −π4)+12．(2)对于函数f(x)=√22sin(2x −π4)+12，令2kπ+π2≤2x −π4≤2kπ+3π2，求得kπ+3π8≤x ≤π+7π8，可得函数的减区间为[kπ+3π8,π+7π8]，k ∈Z ．令2x −π4=kπ+π2，求得x =kπ2+3π8，可得函数的图象的对称轴方程为x =kπ2+3π8，k ∈Z ．【解析】(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求出ω的值．(2)由题意利用正弦函数的单调性、以及它的图象的对称性，得出结论．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性、以及它的图象的对称性，属于中档题．15.【答案】解：(1)由题可知，f(x)=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ +1=√3sinxcosx −cos 2x +1 =√32sin2x −12cos2x +12=sin(2x −π6)+12．令π2+2kπ≤2x −π6≤3π2+2kπ，则π3+kπ≤x ≤5π6+kπ,k ∈Z ，∴y =f(x)的单调递减区间为[π3+kπ,5π6+kπ],k ∈Z ．由y =sinx 变换成y =f(x)的过程如下所示：y =sinx 的图象纵坐标不变，横坐标先向右平移π6个单位，再缩小为原来的12，然后横坐标不变，纵坐标向上平移12个单位．(2)令f(x)=sin(2x −π6)+12=56，则sin(2x −π6)=13， ∵x ∈[0,π2]，∴2x −π6∈[−π6,5π6]，∴cos(2x −π6)=±2√23， 而cos2x =cos[(2x −π6)+π6]=√32cos(2x −π6)−12sin(2x −π6)，∴当cos(2x −π6)=2√23时，cos2x =√32×2√23−12×13=2√6−16； 当cos(2x −π6)=−2√23时，cos2x =√32×(−2√23)−12×13=−2√6−16， 综上，cos2x 的值为2√6−16或−2√6−16．【解析】(1)结合平面向量数量积的坐标运算和二倍角公式、辅助角公式可将函数f(x)化简为f(x)=sin(2x−π6)+12，再利用正弦函数的单调性即可求得f(x)的单调递减区间；结合三角函数的平移变换与伸缩变换法则即可得解．(2)由题可知，sin(2x−π6)=13，由于x∈[0,π2]，所以2x−π6∈[−π6,5π6]，利用平方关系可求得cos(2x−π6)=±2√23，然后结合拼凑角的方法可知cos2x=cos[(2x−π6)+π6]，利用余弦的两角和公式展开后，代入数据进行运算即可得解．本题主要考查三角恒等变换与三角函数图象的综合，还涉及平面向量数量积的坐标运算，熟练运用二倍角公式、辅助角公式等基本公式是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．16.【答案】解：f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x=1+sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)+1．(I)f(x)的最小正周期T=2π2=π．(Ⅱ)令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2,k∈Z，解得kπ−3π8≤x≤kπ+π8,k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为[kπ−3π8,kπ+π8],k∈Z，∵x∈[0,π2]，∴k=0，f(x)在[0,π2]上的单调递增区间为[0,π8]．【解析】利用平方关系、辅助角公式将函数化简为f(x)=√2sin(2x+π4)+1．(I)根据正弦函数的周期性即可得解；(Ⅱ)根据正弦函数的单调性即可得解，需要注意限定了区间[0,π2].本题考查三角恒等变换与三角函数的综合，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)由a⃗//c⃗可得，√3sinx=2cosx，∴tanx=2√33，∴a⃗⋅b⃗ =−√3sinxcosx+cos2x=−√3sinxcosx+cos2xcos2x+sin2x =−√3tanx+1tan2x+1=−173=−37．(Ⅱ)函数f(x)=a⃗⋅b⃗ =−√3sinxcosx+cos2x=−√32sin2x+1+cos2x2=−sin (2x−π6)+12，∵x∈[0,π2]，，∴sin (2x−π6)∈[−12,1]，∴−sin (2x−π6)+12∈[−12,1]，即f(x)的值域为[−12,1]．【解析】本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换，函数y= Asin(ωx+φ)的图象与性质，平面向量共线的充要条件，属于中档题．(Ⅰ)由a⃗//c⃗求得tanx=2√33，再利用同角三角函数的基本关系以及两个向量的数量积公式求出a⃗⋅b⃗ 的值．(Ⅱ)利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换求出函数f(x)=a⃗⋅b⃗ =−sin (2x−π6)+12，再由x的范围，求出f(x)的值域．18.【答案】解：，其中tanφ=√3a．∵f(x)的最小正周期为T=π，∴2ω=2πT=2，即ω=1．又∵f(x)的最大值为2，∴√a2+3=2，即a=±1，∵a>0，∴a=1．所以不妨取φ=π3，因此，(1)令2x+π3=π2+kπ，(k∈Z)．对称轴方程为x=π12+kπ2，(k∈Z)．(2)由f(α)=43，得，即，则．【解析】本题考查了两角和与差的三角函数公式，二倍角公式及应用，辅助角公式和函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质．(1)根据条件函数最值和周期，利用三角函数的公式进行化简，即可求a和ω的值，即可求出函数的解析式和对称轴方程；(2)根据f(α)=43，利用余弦函数的倍角公式进行化简即可求sin(4α+π6)的值．19.【答案】解：(1)由辅助角公式得：f(x)=sinx+√3cosx=2sin (x+π3)，当sin (x+π3)=±1，故最大值为2，最小值为−2．最小正周期为T=2π|ω|=2π．，令2kπ+π2⩽x2+π4⩽2kπ+3π2(k ∈Z)，则4kπ+π2⩽x ⩽4kπ+5π2(k ∈Z)，即单调递减区间为：[4kπ+π2,4kπ+5π2](k ∈Z)．【解析】本题考查了函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，是基础题． (1)先由辅助角公式化简f(x)，由三角函数性质可得最值和最小正周期；； (2)由三角函数图象变换得g(x)=2sin(x2+π4)，令2kπ+π2⩽x2+π4⩽2kπ+3π2(k ∈Z)，可得g(x)的单调递减区间．20.【答案】解：(1)根据函数f(x)=Asin(ωx +φ)，其中A >0，ω>0，−π2<φ<π2，x ∈R 其部分图象，可得A =2，14⋅2πω=5π6−π3，∴ω=1． 再根据五点法作图，可得1×π3+φ=π2，求得φ=π6， ∴函数f(x)=2sin(x +π6). (2)当x ∈[0,π]时，x +π6∈[π6,7π6]，故当x +π6=π2时，即x =π3时，函数f(x)取得最大值为2； 当x +π6=7π6时，即x =π时，函数f(x)取得最小值为−1．【解析】(1)由题意利用由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．(2)根据函数的解析式、正弦函数的最值，求出函数y =f(x)的最大值与最小值及此时相应x 的值．本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的最值，属于中档题． 21.【答案】解：(I)f(x)=2√3sin xcos x +2sin 2x −1=√3sin2x −cos2x=2(√32sin2x −12cos2x)=2sin(2x −π6)，令−π2+2kπ⩽2x −π6⩽π2+2kπ，k ∈Z ，解得−π6+kπ⩽x ⩽π3+kπ,k ∈Z ， 故所求单调增区间为[−π6+kπ,π3+kπ](k ∈Z)；(Ⅱ)由题意得：f(α2)=25，得sin(α−π6)=15，所以sin(2α+π6)=sin[2(α−π6)+π2]=cos2(α−π6)=1−2sin2(α−π)=2325．【解析】本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式，函数的单调性以及函数求值，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．(I)利用二倍角公式、两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用正弦函数的单调性求解函数f(x)的单调递增区间；(II)由(I)可得sin(α−π6)=15，由角之间的关系、诱导公式、二倍角余弦公式的变形求出答案．22.【答案】解：函数f(x)=12cos2x+√32sinxcosx+1，化简可得：f(x)=1+cos2x4+√34sin2x+1=12sin(2x+π6)+54．(1)∴函数f(x)的最小正周期T=2π2=π．令2x+π6=kπ,k∈Z，可得，对称中心的坐标：x=kπ2−π12,k∈Z．∴函数f(x)的对称中心(kπ2−π12,54),k∈Z．(2)∵π12≤x≤π4，∴π3≤2x+π6≤2π3∴√32≤sin(2x+π6)≤1，∴5+√34≤12sin(2x+π6)+54≤74，故得函数f(x)在[π12,π4]上的值域是[5+√34,74]．【解析】本题主要考查对三角函数的化简能力和函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．(1)利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，结合三角函数的图象和性质可求对称中心的坐标；(2)x∈[π12,π4]上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，即得到f(x)的取值范围．23.【答案】解：f(x)=√32sin2x+12cos2x+32cos2x+3√32sin2x =2√3sin2x+2cos2x=4sin(2x+π6).(1)f(x)的最小正周期T=2π2=π，由π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ，k∈Z，解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递减区间为[π6+kπ,2π3+kπ]，k∈Z.(2)由f(α2)=4sin(α+π6)=45知sin(α+π6)=15，因为α∈(0,π)，所以α+π6∈(π6,7π6)，又sin(α+π6)=15，所以α+π6∈(5π6,π)，所以cos(α+π6)=−2√65，则cosα=cos(α+π6−π6)=−2√65×√32+15×12=1−6√210．【解析】本题考查三角恒等变换以及三角函数的性质，属于中档题．化简得到f(x)=4sin(2x+π6).(1)根据周期公式求得周期，再解不等式得到单调递减区间；(2)运用同角三角函数关系以及两角和差的三角函数公式计算即可得到答案．24.【答案】解：(1)∵f(x)=cos2x+2√3sinxcosx−sin2x=cos2x+√3sin2x= 2sin(2x+π6)，∴函数f(x)的最小正周期T=2π2=π．(2)∵x∈[−π3,π3 ]，∴2x+π6∈[−π2,5π6]，∴sin(2x+π6)∈[−1,1]，f(x)=2sin(2x+π6)∈[−2,2]，∴f(x)在区间[−π3,π3]上的最大值为2，最小值为−2．【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简可得f(x)，由周期公式可得；(2)由x的范围逐步可得f(x)的范围，进而利用正弦函数的图象和性质可得最值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的应用，涉及函数的周期的求解，属于基础题．25.【答案】解：(1)因为函数f(x)=(cosx+√3sinx)⋅sin(π2−x)+12=(cosx+√3sinx)⋅cosx+1 2=cos2x+√3sinxcosx+1 2=1+cos2x2+√32sin2x+12=sin(2x+π6)+1；∴函数f(x)最小正周期是T=π；当2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，即kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，函数f(x)单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z；(2)x∈[712π,56π]⇒4π3≤2x+π6≤11π6；所以当2x+π6=32π时，即x=23π时，f(x)取得最小值0．【解析】(1)函数解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数f(x)的最小正周期，根据正弦函数的单调性即可确定出f(x)的单调递增区间；(2)由x∈[712π,56π]可得：43π≤2x+π6≤116π，所以当2x+π6=32π时，即x=23π时，f(x)取得最小值0．本题主要考查了三角函数的图象和性质，以及三角函数求最值，是中档题．26.【答案】解：(1)因f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T=π，从而ω=2πT=2，又因f(x)的图象关于直线x=π3对称，所以2×π3+φ=kπ+π2,k∈Z，因为−π2≤φ≤π2，得k=0，所以φ=−π6;(2)由(1)得f(α2)=√3sin(α−π6)=√34，所以sin(α−π6)=14，由，得，所以，因此sin(α+π3)=sin(α−π6+π2)=cos(α−π6)=√154．【解析】本题考查正弦型函数的图象性，考查诱导公式，属于中档题．(1)由函数图象上相邻两个最高点的距离为π求出周期，再利用公式T=2πω求出ω的值，然后由图象关于x=π3对称，求出φ;(2)由(1)及已知求出sin(α−π6)=14，利用同角关系式求出cos(α−π6)=√154，然后由sin(α+π3)=cos(α−π6)求解即可．27.【答案】解：(1)f(x)=12+12cos2x+√32sin2x−12=sin(2x+π6)，∴T=π；(2)依题意，令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z，解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ],k∈Z；设A=[−π4,π4],B=[−π3+kπ,π6+kπ]，易知A∩B=[−π4,π6]，∴当x∈[−π4,π4]时，f(x)在区间[−π4,π6]上单调递增，区间(π6,π4]上单调递减．【解析】(1)化简可得f(x)=sin(2x+π6)，进而求得最小正周期；(2)先求得f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ],k∈Z，进而求得f(x)在区间[−π4,π4]上的单调性．本题考查三角函数的恒等变换，以及三角函数的图象及性质，考查运算化简能力，属于基础题．28.【答案】解：(1)由题意知，f(x)=2cosx(λsinx−cosx)+sin2x+1=(λ+1)sin2x−2cos2x+1=(λ+1)sin2x−cos2x=√(λ+1)2+1sin(2x−φ)，其中tanφ=1λ+1，由f(x)的最小值为−2，得−√(λ+1)2+1=−2，解得λ=√3−1或λ=−√3−1，∵λ<0，∴λ=−√3−1，∴f(x)=−√3sin2x−cos2x=−2sin(2x+π6 ).令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，故函数f(x)的单调递减区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z.(2)∵g(x)=f(x)−k=−2sin(2x+π6)−k在[−π12,π2]上有且仅有一个零点，∴当x∈[−π12,π2]时，y=−k2与y=sin(2x+π6)的图象有且仅有一个交点．当x∈[−π12,π2]时，2x+π6∈[0,7π6]，令t=2x+π6，ℎ(t)=sint，t∈[0,7π6]，则y=−k2与ℎ(t)=sint，t∈[0,7π6]的图象有且仅有一个交点，数形结合可知当−k2∈[−12,0)或−k2=1时符合要求，即k∈(0,1]或k=−2时符合要求，故实数k的取值范围为{k|0<k≤1或k=−2}．【解析】本题主要考查二倍角公式、三角恒等变换、三角函数的图象与性质、函数的零点等知识，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算．(1)先根据二倍角公式及辅助角公式将函数f(x)化为Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数，且A≠0，ω≠0)的形式，再根据函数f(x)的最小值求实数λ的值，最后根据正弦函数的单调性求函数f(x)的单调递减区间;(2)将g(x)在[−π12,π2]上有且仅有一个零点等价转化为当看答案x∈[−π12,π2]时，y=−k2与y=sin(2x+π6)的图象有且仅有一个交点，然后数形结合即可求解．29.【答案】解：(Ⅰ)由所给图像知：A=2,B=−1,T2=πω=7π−π12⇒ω=2，∴f(x)=2cos (2x+φ)−1，把点(π12,1)代入得：cos (π6+φ)=1，即π6+φ=2kπ,k∈Z，又∵|φ|<π2，∴φ=−π6，∴f(x)=2cos (2x−π6)−1；由图可知(π3,−1)是其中一对称中心，故所求对称中心坐标为：(π3+kπ2,−1),k∈Z．(Ⅱ)易知g(x)=12f(x−π6)+1=12{2cos [2(x−π6)−π6]−1}+1．化简得g(x)=sin (2x)+12，当x∈[π12,3π4]时，由−π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ，k∈Z得增区间是：[π12,π4]，由π2+2kπ≤2x≤3π2+2kπ，k∈Z得减区间是：[π4,3π4]，故所求求区间为：[π4,3π4]，．当x=π12时，g(x)的值：sin(2×π12)+12=1，当x=π4时，g(x)的值32，当x=3π4时，g(x)的值：sin(2×3π4)+12=−12．故所求最大值为：32;最小值为−12．【解析】本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质和余弦函数的图象与性质，是中档题．(Ⅰ)由图象可得A，B，周期T可得ω，代入点(π12,1)可得φ，即可得出f(x)的解析式，由图可知(π3,−1)是其中一对称中心，可得对称中心坐标；(Ⅱ)由三角函数图象变换可得g(x)=sin (2x)+12，由三角函数性质可得单调减区间和最值．30.【答案】解：(Ⅰ)由f(x)=2sinxsin(x+π2)，得f(0)=2sin0sinπ2=0；(Ⅱ)∵f(x)=2sinxsin(x+π2)=2sinxcosx=sin2x，∴f(x)的最小正周期为π；(Ⅲ)∵y=f(x+φ)=sin(2x+2φ)为偶函数，，∵0<φ<π2，∴φ=π4．【解析】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查y=Asin(ωx+φ)型函数的图象与性质，是基础题．(Ⅰ)直接在函数解析式中取x=0求解；(Ⅱ)利用诱导公式及倍角公式变形，再由周期公式求周期；(Ⅲ)由y=f(x+φ)=sin(2x+2φ)为偶函数，可得，再结合φ的范围求解．。
高考数学一轮复习 第3篇 三角函数及三角函数的图像与性质步骤规范2 北师大版(1)
步骤规范练——三角函数及三角函数的图像与性质(建议用时：90分钟)一、选择题1．(2013·山东师大附中月考)化简sin 235°－12cos 10°cos 80°＝( )．A ．－2B ．－12C ．－1D ．1解析 sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°·sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.答案 C2．(2014·咸阳二模)在△ABC 中，A ＝π3，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则边AC 的长为( )．A ．1B ． 3C ．2D ． 2解析 由题意知S △ABC ＝12×AB ×AC ×sin A ＝12×2×AC ×32＝32，∴AC ＝1.答案 A3．(2013·陕西五校联考)已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin2α等于( )．A.12 B ．－12 C.22 D ．－22解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)，π4－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4.又cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，2α＝π4－α或2α＋π4－α＝0，∴α＝π12或α＝－π4(舍)．∴sin 2α＝sin π6＝12，故选A.答案 A4．(2014·南昌模拟)已知角A 为△ABC 的内角，且sin 2A ＝－34，则sin A －cos A ＝( )．A.72B ．－72C ．－12D ．12解析 ∵A 为△ABC 的内角，且sin 2A ＝2sin A cos A ＝－34＜0，∴sin A ＞0，cos A ＜0，∴sin A －cos A ＞0.又(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝74.∴sin A －cos A ＝72. 答案 A5．(2013·铜川模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2A ＋sin 2C －sin 2B ＝3sin A sinC ，则角B 为 ( )．A.π6B ．π3C.23π D ．56π 解析 由正弦定理可得a 2＋c 2－b 2＝3ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，所以B＝π6. 答案 A6．(2013·湛江二模)若三条线段的长分别为3,5,7，则用这三条线段( )．A ．能组成直角三角形B ．能组成锐角三角形C ．能组成钝角三角形D ．不能组成三角形解析 设能构成三角形的最大边为a ＝7，所对角为A ，则cos A ＝32＋52－722×3×5＝－12＜0，故A 为钝角，即构成的三角形为钝角三角形． 答案 C7．(2013·安徽卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，C.若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝ ( )．A.π3 B ．2π3C.3π4 D ．5π6解析 由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b ，∴a ＝53b ，代入b ＋c ＝2a 中，得c ＝73B ．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴C ＝2π3.答案 B8．(2013·东北三校联考)设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝( )．A.2525B ．255C.2525或255D ．55或2525解析 α，β都是锐角， 当cos α＝55时，sin α＝255. 因为cos α＝55＜12，所以α＞60°. 又sin(α＋β)＝35＜32，所以α＋β＜60°或α＋β＞120°.显然α＋β＜60°不可能，所以α＋β为钝角． 又sin(α＋β)＝35，因此cos(α＋β)＝－45，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝－45＋6525＝2525.答案 A9．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝ ( )．A ．10B ．9C ．8D ．5解析 化简23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，解得cos A ＝15.由余弦定理，知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入数据，得b ＝5. 答案 D10．(2013·天津卷)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )．A.1010B ．105C.31010D ．55解析 由余弦定理，得AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC cos B ＝(2)2＋32－2×2×3cos π4＝5.∴AC ＝5，由正弦定理BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC，得sin ∠BAC ＝BC ·sin∠ABCAC ＝3×sin π45＝3×225＝31010.答案 C 二、填空题11．(2013·浙江五校联盟联考)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝34，且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－π4，则cos 2x 的值为________．解析 sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝－18，∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－π4，∴2x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2. ∴cos 2x ＝－1－sin 22x ＝－378.答案 －37812．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．解析 由△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，可得B ＝60°，又在△ABD 中，AB ＝1，BD ＝2，由余弦定理可得AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝ 3.答案313．(2013·济宁期末考试)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23π，则S △ABC ＝________.解析 因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin2π3＝2，即sin B ＝12，所以B ＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34. 答案3414．(2014·天水模拟)f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，则f (x )的最小值为________ .解析 f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，因为π4≤x ≤π2，所以π6≤2x －π3≤2π3，所以12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，所以1≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤2，即1≤f (x )≤2，所以f (x )的最小值为1. 答案 1 三、解答题15．(2014·金华十校模拟)已知函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x －12，△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f (B )＝1.(1)求角B 的大小；(2)若a ＝3，b ＝1，求c 的值． 解 (1)因为f (x )＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝ sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 所以f (B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝1，又2B ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，所以2B ＋π6＝π2，所以B ＝π6.(2)法一 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得c 2－3c ＋2＝0，所以c ＝1或c ＝2. 法二 由正弦定理asin A ＝bsin B，得sin A ＝32，所以A ＝π3或A ＝2π3， 当A ＝π3时，C ＝π2，所以c ＝2；当A ＝2π3时，C ＝π6，所以c ＝1.所以c ＝1或c ＝2.16．(2013·延安模拟)△ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的三条边长分别是a ，b ，c ，且满足c sin A －3a cos C ＝0.(1)求角C 的大小；(2)若cos A ＝277，c ＝14，求sin B 和b 的值．解 (1)由c sin A －3a cos C ＝0 得sin C sin A －3sin A cos C ＝0， ∵A 为△ABC 的内角，∴sin A ≠0， ∴sin C －3cos C ＝0， 即tan C ＝3，所以C ＝π3.(2)由cos A ＝277，得sin A ＝217，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝217×12＋277×32＝32114.在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C，得b ＝c sin BsinC＝14×3211432＝3 2.17．(2013·潍坊一模)已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且 a cos B ＋3b sin A ＝C.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，AB →·AC →＝3，求b ＋c 的值． 解 (1)由a cos B ＋3b sin A ＝c ，得 sin A cos B ＋3sin B sin A ＝sin (A ＋B )， 即 3sin B sin A ＝cos A sin B ， 所以tan A ＝33，故A ＝π6. (2)由AB →·AC →＝3，得bc cos π6＝3，即bc ＝23，①又a ＝1，∴1＝b 2＋c 2－2bc cos π6，②由①②可得(b ＋c )2＝7＋43，所以b ＋c ＝2＋ 3.18．(2013·福建卷)如图，在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝90°，OP ＝22，点M 在线段PQ 上．(1)若OM ＝5，求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝30°，问：当∠POM 取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．解 (1)在△OMP 中，∠OPM ＝45°，OM ＝5，OP ＝22， 由余弦定理得OM 2＝OP 2＋MP 2－2×OP ×MP × cos 45°，即MP 2－4MP ＋3＝0，解得MP ＝1或MP ＝3. (2)设∠POM ＝α，0°≤α≤60°， 在△OMP 中，由正弦定理得OM sin ∠OPM ＝OPsin ∠OMP，所以OM ＝OP sin 45°sin45°＋α，同理，ON ＝OP sin 45°sin 75°＋α.故S △OMN ＝12×OM ×ON ×sin∠MON＝14×OP 2sin 2 45°sin 45°＋αsin 75°＋α＝1sin45°＋αsin 45°＋α＋30°＝1sin 45°＋α⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin 45°＋α＋12cos 45°＋α＝132sin 245°＋α＋12sin 45°＋αcos 45°＋α＝134[]1－cos ()90°＋2α＋14sin 90°＋2α＝134＋34sin 2α＋14cos 2α＝134＋12sin 2α＋30°. 因为0°≤α≤60°，30°≤2α＋30°≤150°， 所以当α＝30°时，sin(2α＋30°)的最大值为1， 此时△OMN 的面积取到最小值．即∠POM ＝30°时 ，△OMN 的面积的最小值为8－4 3.。
高三一轮复习三角函数过关试题
高三数学一轮复习三角函数及解三角形测试题一、选择题（每小题5分，共60分）1、点A ()02011cos ,2011sin 在直角坐标平面上位于（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 2、计算068cos 23sin 67sin 68sin -的值为（ ） A 、22-B 、22C 、23D 、1 3、设23,33tan παπα<<=，则ααcos sin -的值为（ ） A 、2321+-B 、2321--C 、2321+D 、2321- 4、已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点⎪⎭⎫⎝⎛3-54,5，则αcos 的值为（ ） A 、54 B 、43- C 、54-D 、53-5、已知214tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα，且02<<-απ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+4cos 2sin sin 22πααα（ ）A 、552-B 、1053-C 、10103-D 、5526、已知(),cos sin sin 2x x x x f +=，则()x f 的最小正周期和一个单调增区间分别为（ ） A 、],0[,ππ B 、]43,4[,2πππ-C 、]83,8[,πππ-D 、]4,4[,2πππ-7、已知函数①x x y cos sin += ②x x y cos sin 22=，则下列结论正确的是（ ） A 、两个函数图象均关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0,4π成中心对称图形； B 、两个函数的图象均关于直线4π-=x 成轴对称图形；C 、两个函数在区间⎪⎭⎫⎝⎛-4,4ππ上者是单调递增函数；D 、两个函数的最小正周期相同；8、使()()()y x y x x f +++=2cos 32sin 为奇函数，且在]4,0[π上是减函数的y 的一个值是（ ） A 、3π B 、35π C 、34π D 、32π9、在∆ABC 中，2,3,600===BC AB C ,那么A 等于（ ）A 、0135 B 、0105 C 、045 D 、07510、在∆ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若045,4,1===B c a ，则C sin 等于（ ） A 、414 B 、54 C 、254 D 、4141411、若满足条件060=C a BC AB ==,3的∆ABC 有两个，那么a 的取值范围是（ ） A 、()2,1 B 、()3,2 C 、()2,3 D 、()2,112、若,2,2BC AC AB ==则∆ABC 的最大值为：（ ） A 、22 B 、23 C 、32D 、23 二、填空题（每小题4分，共16分）13、设向量()θsin ,1=→a ，()1,sin 3θ=→b ，且→→b a //，则cos θ2=_____________; 14、将函数x y 2sin 2=的图象向右平移6π个单位后，其图象的一条对称轴方程是_____________; 15、函数⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+=3cos 212sin 2ππx x y 的最大值为_____________; 16、∆ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，已知3,2==b a ，则()=+C A Asin sin _____________;三、解答题（本题共6个小题，共74分） 17、（本小题12分） 已知函数()()R x x x x x f ∈+=2cos cos sin 2 （1）求()x f 的最小正周期和最大值；（2）若θ为锐角，且328=⎪⎭⎫⎝⎛+πθf ，求θtan 的值； 18、（本小题12分）∆ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，a A b B A a 2cos sin sin 2=+（1）求ab ；（2）若,3222a bc +=求B 19、（本小题12分）函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<<>>∈+=20,0,0,sin πϕωϕωA R x x A x f 的部分图象如图所示： （1）求()x f 的解析式； （2）设()2]12[⎪⎭⎫⎝⎛-=πx f x g ，求函数()x g 在]3,6[ππ-∈x 上的最大值，并确定此时x 的值。
2021年高考数学一轮复习《三角函数》精选练习(含答案)
2021年高考数学一轮复习《三角函数》精选练习一、选择题1.若函数f(x)=ax ＋b 的零点是2，那么函数g(x)=bx 2-ax 的零点是( )A ．0，2B ．0，0.5C ．0，-0.5D ．2，-0.52.若函数f(x)=ax ＋1在区间(-1，1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(-∞，1)C ．(-∞，-1)∪(1，＋∞)D ．(-1，1) 3.函数f(x)=3x＋x 2-2的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 4.函数f(x)=e x ＋2x-3的零点所在的一个区间为( )A ．(-1，0)B ．0，0.5 C.0.5，1 D ．1，1.5 5.函数f(x)=3x |ln x|－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 6.下列函数中，在(－1，1)内有零点且单调递增的是( )A ．y=log 0.5xB ．y=2x－1 C ．y=x 2－0.5 D ．y=－x 37.一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 8.点P(cos 2 019°，sin 2 019°)所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9.-510°是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.某扇形的面积为1cm 2，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数为（ ）A.2°B.2C.4°D.4 11.如果弓形的弧所对的圆心角为3π，弓形的弦长为4 cm ，则弓形的面积是（ ） A.(344-9π)cm 2 B.(344-3π)cm 2 C.(348-3π)cm 2 D.(328-3π)cm 212.已知角θ的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点M(－3，4)，则cos 2θ－sin 2θ＋tanθ的值为( )A ．－12175 B.12175 C ．－7975 D.797513.已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( )A ．sin 2B ．－sin 2C ．cos 2D ．－cos 214.已知tan(α-π)=0.75，且α∈[23,2ππ]，则sin(2πα+)=( ) A.0.8 B.-0.8 C.0.6 D.-0.6 15.计算：0190sin 160sin 2350cos --=( )16.若(),2,53cos παππα<≤=+则()πα2sin --的值是（ ） A.3/5 B.-3/5 C.4/5 D.-4/517.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边经过点P(3,4)，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－2 019π2=( ) A ．－45 B ．－35 C.35 D.4518.已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3=0垂直，则)222017cos(απ-的值为( ) A.0.8 B.－0.8 C.2 D.-0.5 19.)2cos()2sin(21++-ππ等于（ ）A.sin2－cos2B.cos2－sin2C.±(sin2－cos2)D.sin2+cos220.已知函数f(x)=asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)=3，则f(2018)的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3 21.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12=13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋17π12等于( ) A.13 B.223 C ．－13 D ．－223 22.log 2⎝⎛⎭⎪⎫cos 7π4的值为( )A ．－1B ．－12 C.12 D.2223.将函数f(x)=sin 2x 图象上的所有点向右平移π4个单位长度后得到函数g(x)的图象．若g(x)在区间[0，a]上单调递增，则a 的最大值为( ) A.π8 B.π4 C.π6 D.π224.关于函数y=tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，下列说法正确的是( ) A ．是奇函数 B ．在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减C.⎝⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π25.若函数y=3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫4π3，0对称，则|φ|的最小值为( )A.π6 B ．π4 C.π3 D ．π226.已知函数f(x)=cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－cos 2x ，其中x∈R，给出下列四个结论：①函数f(x)是最小正周期为π的奇函数； ②函数f(x)图象的一条对称轴是直线x=2π3；③函数f(x)图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0；④函数f(x)的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kx ＋π6，k π＋2π3，k ∈Z.则正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 27.函数y=sin x ＋cos x 的最小值和最小正周期分别是( )A.-2，2πB.-2,2πC.-2，πD.-2，π 28.y=|cos x|的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π29.设函数f(x)=3sin ωx＋cos ωx(ω>0)，其图象的一条对称轴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内，且f(x)的最小正周期大于π，则ω的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[1,2) 30.已知函数f(x)=2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则以下判断中正确的是( ) A ．函数f(x)的图象可由函数y=2cos 2x 的图象向左平移π8个单位长度得到B ．函数f(x)的图象可由函数y=2cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度得到C ．函数f(x)的图象可由函数y=2sin 2x 的图象向右平移3π8个单位长度得到D ．函数f(x)的图象可由函数y=2sin 2x 的图象向左平移3π4个单位长度得到31.已知函数f(x)=Asin(ωx＋φ)( ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则φ的值为( )A ．－π3 B.π3 C ．－π6 D.π632.将函数y=f(x)=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，则下面对函数y=g(x)的叙述正确的是( )A ．函数g(x)=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3B ．函数g(x)的周期为πC ．函数g(x)的一个对称中心为点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0D ．函数g(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上单调递增33.已知函数f(x)=2sin(ωx＋φ)( ω>0，φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π )的部分图象如图所示，其中f(0)=1，|MN|=52，将f(x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式是( )A ．g(x)=2cos π3xB ．g(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋2π3C ．g(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3x ＋π3 D ．g(x)=－2cos π3x34.已知函数f(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π3(ω>0)图象的最高点与相邻最低点的距离是17，若将y=f(x)的图象向右平移16个单位长度得到y=g(x)的图象，则函数y=g(x)图象的一条对称轴方程是( )A ．x=56B ．x=13C ．x=12 D ．x=0二、填空题35.函数f(x)=3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n∈N)内，则n=________． 36.已知α是第二象限角，则α3是第________象限角.37.已知()()()()29cos sin 4cos sin 3=+---++απαααπ，则αtan = ． 38.已知向量a=(sin θ,-2)与b=(1,cos θ)互相垂直，其中θ∈(20π，)，则cos θ=________．39.已知θ是第三象限角，且sinθ-2cosθ=-25，则sinθ＋cosθ=________.40.已知函数f(x)=sin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最低点的距离为22，且图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数f(x)=____________.答案解析41.答案为：C ； 42.答案为：C ；解析：由题意知，f(-1)f(1)<0，即(1-a)(1＋a)<0，解得a<-1或a>1. 43.答案为：C ；解析：函数f(x)=3x＋x 2-2的零点个数即为函数y=3x与函数y=2-x 2的图象的交点个数， 由图象易知交点个数为2，则f(x)=3x＋x 2-2的零点个数为2，故选C. 44.答案为：C ； 45.答案为：B ；解析：选B.函数f(x)=3x|ln x|－1的零点即3x|ln x|－1=0的解，即|ln x|=⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的解， 作出函数g(x)=|ln x|和函数h(x)=⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象，由图象可知，两函数图象有两个公共点， 故函数f(x)=3x|ln x|－1有2个零点．46.答案为：B ；解析：选B.函数y=log 12x 在定义域上单调递减，y=x 2－12在(－1，1)上不是单调函数，y=－x 3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y=2x－1， 当x=0∈(－1，1)时，y=0且y=2x－1在R 上单调递增．故选B. 47.答案为：C ； 48.答案为：C ；49.[答案] C [解析] -510°=-720°＋210°，∴-510°角与210°角终边相同，故选C. 50.B 51.C 52.答案为：A解析：由已知得|OM|=5，因而cosθ=－35，sinθ=45，tanθ=－43，则cos 2θ－sin 2θ＋tanθ=925－1625－43=－12175.故选A.53.答案为：D ； 54.B. 55.D. 56.C57.答案为：C ；解析：∵角α的终边经过点P(3,4)，∴sin α=45，cos α=35.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2 019π2=sin ( α－2 020π2＋π2 )=sin ( α＋π2 )=cos α=35.故选C. 58.A ． 59.A60.答案为：C ；解析：∵f(4)=asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)=asinα＋bcosβ=3，∴f(2018)=asin(2018π＋α)＋bcos(2018π＋β)=asinα＋bcosβ=3.故选C. 61.答案为：A ；解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋17π12=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12=13.故选A. 62.答案为：B ；解析：log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 7π4=log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4=log 222=－12.故选B.63.答案为：D ；f(x)的图象向右平移π4个单位长度得到g(x)=sin [ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ]=-cos 2x 的图象．根据余弦函数的图象可知，当0≤2x≤π，即0≤x≤π2时，g(x)单调递增，故a 的最大值为π2. 64.答案为：C ；函数y=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错；函数y=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D 错；由2x －π3=kπ2，k ∈Z ，得x=kπ4＋π6，k ∈Z.当k=0时，x=π6，所以它的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称．65.答案为：A.解析：由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ=3cos(2π3＋φ＋2π)=3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ=0，∴2π3＋φ=kπ＋π2，k ∈Z ，∴φ=k π－π6，k ∈Z. 取k=0，得|φ|的最小值为π6. 66.答案为：C.解析：f(x)=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－cos 2x=cos 2xcos π3－sin 2xsin π3－cos 2x=－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，不是奇函数，故①错误；当x=2π3时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3=－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋π6=1，故②正确；当x=5π12时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12=－sin π=0，故③正确；令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，故④正确．综上，正确的结论个数为3. 67.A68.答案为：D ；将y=cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y=|cos x|的图象(如图)．故选D.69.答案为：C ；由题意f(x)=3sin ωx＋cos ωx=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π6(ω>0)．令ωx＋π6=π2＋kπ，k ∈Z ， 得x=π3ω＋kπω，k ∈Z.∵函数图象的一条对称轴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内，∴π6<π3ω＋kπω<π3，k ∈Z ，∴3k ＋1<ω<6k＋2，k ∈Z. 又∵f(x)的最小正周期大于π，∴2πω>π，解得0<ω<2.∴ω的取值范围为(1,2)．故选C.70.答案为:A;解析：因为f(x)=2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以函数f(x)的图象可由函数y=2cos 2x 的图象向左平移π8个单位长度得到，故选A.71.答案为:B;解析：由题意，得T 2=π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6=π2，所以T=π，由T=2πω，得ω=2，由图可知A=1，所以f(x)=sin(2x ＋φ)．又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ=0，－π2<φ<π2，所以φ=π3.72.答案为：C.解析：将函数f(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位，可得函数y=2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再把所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y=g(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图象，故g(x)的周期为2π4=π2，排除A ，B.令x=－π12，求得g(x)=0，可得g(x)的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0，故C 满足条件． 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上，4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，5π3，函数g(x)没有单调性，故排除D.73.答案为:A ；解析：设函数f(x)的最小正周期为T.由题图及|MN|=52，得T 4=32，则T=6，ω=π3.又由f(0)=1，φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π得sin φ=12，φ=5π6.所以f(x)=2sin ( π3x ＋5π6 ).则g(x)=2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3x －1＋5π6=2cos π3x.故选A.74.答案为:B ；解析：函数f(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π3的最大值为2，由172－42=1可得函数f(x)的周期T=2×1=2，所以ω=π，因此f(x)=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx＋π3.将y=f(x)的图象向右平移16个单位长度得到的图象对应的函数解析式为g(x)=2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x －16＋π3=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx＋π6，当x=13时，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6=2， 为函数的最大值，故直线x=13为函数y=g(x)图象的一条对称轴．故选B.75.答案为：2；解析：因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)=－1＋ln 2＜0，f(3)=2＋ln 3＞0，所以函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故n=2.76.[答案] 一或第二或第四 [解析] 将平面直角坐标系中的每一个象限进行三等分，从x 轴右上方开始在每一等份中依次标数字1、2、3、4，如图所示.∵α第二象限角，∴图中标有数字2的位置即为α3角的终边所在位置，故α3是第一或第二或四象限角. 77.答案为：0.2; 78.答案：55. 79.答案为：-3125；解析：观察得sinθ=45，cosθ=35满足方程，但此时θ是第一象限角，不合题意．由⎩⎪⎨⎪⎧sinθ－2cosθ＝－25，sin 2θ＋cos 2θ＝1，得5cos 2θ-85cosθ-2125=0，解得cosθ=35或-725.因为θ是第三象限角，所以cosθ=-725，从而sinθ=-2425，所以si nθ＋cosθ=-3125.80.答案为：sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6； 解析：依题意得22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫πω2=22，ω>0，所以ω=π2，所以f(x)=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ.因为该函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，所以sin(π＋φ)=－12，即sin φ=12. 因为－π2≤φ≤π2，所以φ=π6，所以f(x)=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6.。
2022届高三数学(理)一轮总复习练习-第三章 三角函数、解三角形 3-4 Word版含答案
课时规范训练[A 级 基础演练]1．设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >b解析：选C.∵a ＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°，c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°，又0<cos 35°<1，∴c >b >a .2．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析：选B.由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )． 3．(2022·高考山东卷)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C.32πD ．2π解析：选B.法一：由题意得f (x )＝3sin x cos x －3sin 2x ＋3cos 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 .故该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.故选B.法二：由题意得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6×2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.故该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.故选B.4．(2022·高考全国甲卷)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )解析：选B.法一：将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．由2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )得，∴x ＝π6＋k 2π.(k ∈Z )，即平移后图象的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )． 法二：∵y ＝2sin 2x 的对称轴为x ＝π4＋k 2π，向左平移π12个单位后为x ＝π4－π12＋k 2π＝π6＋k2π，故选B.5．(2021·长春模拟)函数f (x )＝sin(2x ＋ф)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2向左平移π6个单位后是奇函数，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为 ． 解析：函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2向左平移π6个单位后得到函数为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，由于此时函数为奇函数，所以π3＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝－π3＋k π(k ∈Z )．由于|φ|<π2，所以当k ＝0时，φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，即当2x －π3＝－π3时，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3有最小值为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32. 答案：－326．当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝ ．解析：由已知条件可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，又由0≤x <2π得－π3≤x －π3<5π3，当x －π3＝π2时y 取得最大值，此时x ＝5π6.答案：5π67．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为 ．解析：分析三角函数图象，依据最小值求k ，再求最大值．依据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.答案：88．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为 ．解析：利用正弦函数的对称性求周期． ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，∴T 2≥π2－π6，∴T ≥2π3.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3. ∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π.答案：π9．(2022·高考北京卷)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．解：(1)由于f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.依题意，πω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－38π，k π＋π8k ∈Z .10．已知函数y ＝f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x ＋a (x ∈R )，其中a 为常数． (1)求函数y ＝f (x )的最小正周期；(2)假如y ＝f (x )的最小值为0，求a 的值，并求此时f (x )的最大值及图象的对称轴方程． 解：(1)y ＝f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1，所以函数的最小正周期T ＝π.(2)f (x )的最小值为0，所以－2＋a ＋1＝0，故a ＝1，所以函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2的最大值等于4.当2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π2＋π6(k ∈Z )时函数有最大值或最小值， 故函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )． [B 级 力量突破]1．同时具有性质：“①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3上是增函数”的一个函数是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3解析：选C.对于A ，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6的最小正周期为4π，故排解A ；对于B ，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6的最小正周期为4π，故排解B ；对于D ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3时，2x ＋π3∈(0，π)，此时y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3单调递减，故排解D.选C.2．函数f (x )＝|sin x |＋2|cos x |的值域为( ) A ．[1， 5 ] B ．[1，2] C ．[2， 5 ]D ．[5，3]解析：选A.∵f (x ＋π)＝|sin(x ＋π)|＋2|cos(x ＋π)|＝|－sin x |＋2|－cos x |＝|sin x |＋2|cos x |， ∴f (x )为偶函数，f (x )为周期函数，其中的一个周期为π，故只需考虑f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域即可．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ＋2cos x ＝5sin(x ＋α)，其中cos α＝15，sin α＝25，∴f (x )max＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝5，f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时， f (x )＝sin x －2cos x ＝5sin(x ＋β)，其中cos β＝15， sin β＝－25，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝5，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，∴f (x )的值域为[1， 5 ]．3．(2021·江西南昌一模)如图，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )分别是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与两条直线l 1：y ＝m (A ≥m ≥0)，l 2：y ＝－m 的两个交点，记S (m )＝|x N －x M |，则S (m )的图象大致是( )解析：选C.如图所示，作曲线y ＝f (x )的对称轴x ＝x 1，x ＝x 2，点M 与点D 关于直线x ＝x 1对称，点N 与点C 关于直线x ＝x 2对称，所以x M ＋x D ＝2x 1，x C ＋x N ＝2x 2，所以x D ＝2x 1－x M ，x C ＝2x 2－x N ，又点M 与点C 、点D 与点N 都关于点B 对称，所以x M ＋x C ＝2x B ，x D ＋x N ＝2x B ，所以x M ＋2x 2－x N ＝2x B ，2x 1－x M ＋x N ＝2x B ， 得x M －x N ＝2(x B －x 2)＝－T2， x N －x M ＝2(x B －x 1)＝T2，所以|x M －x N |＝T2(常数)，其中，T 为f (x )的周期，选C.4．设函数f (x )＝|cos x |＋|sin x |，下列四个结论正确的是 ．①f (x )是奇函数；②f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称；③当x ∈[0，2π]时，f (x )∈[1，2]；④当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )单调递增．解析：对于①，f (－x )＝|cos(－x )|＋|sin(－x )|＝|cos x |＋|sin x |，∴f (－x )＝f (x )是偶函数，①不正确；对于②，留意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝|sin x |＋|cos x |＝f (x )，因此函数f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称，②正确；对于③④，留意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝|sin x |＋|cos x |＝f (x )，因此函数f (x )是以π2为周期的函数，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝|sin x |＋|cos x |＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的值域是[1，2]，故当x ∈[0，2π]时，f (x )∈[1，2]，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2>1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，因此f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上不是增函数，故③正确，④不正确．综上所述，其中正确的结论是②③.答案：②③5．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2(ω>0)，其图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个长度单位得到函数g (x )的图象恰好经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间．解：(1)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2＝32sin 2ωx －12cos 2ωx －4×1－cos 2ωx 2＋2＝32sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3(ω>0)，依据函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，可得函数f (x )的最小正周期为2×π2＝2π2ω，得ω＝1，故函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)将f (x )的图象向左平移m (m >0)个长度单位得到函数g (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋m ）＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2m ＋π3的图象， 依据g (x )的图象恰好经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，可得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2m ＋π3＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m －π3＝0，所以2m －π3＝k π(k ∈Z )，m ＝k π2＋π6(k ∈Z )，由于m >0，所以当k ＝0时，m 取得最小值，且最小值为π6. 此时，g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3.令2k π－π2≤2x ＋2π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z ，故函数g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，k π－π12，k ∈Z .结合x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12，可得g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，－π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，7π12.。
2023版高考数学一轮总复习4-1三角函数的概念同角三角函数的基本关系和诱导公式习题
4.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系和诱导公式基础篇 固本夯基考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系和诱导公式 1.(2022届河南重点中学模拟,1)已知sin37°=35,则cos593°=( ) A.35 B.-35 C.45 D.-45 答案 B2.(2022届江西十七校期中,3)当θ∈(0,π2)时,若cos (5π6-θ)=-12,则sin (θ+π6)的值为( )A.12 B.√32 C.-√32D.-12答案 B3.(2020课标Ⅱ,2,5分)若α为第四象限角,则 ( ) A.cos2α>0 B.cos2α<0 C.sin2α>0 D.sin2α<0 答案 D4.(2021陕西榆林一模,3)如图,角α,β的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆O 分别交于A,B 两点,则θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.cos(α-β)B.cos(α+β)C.sin(α-β)D.sin(α+β) 答案 A5.(2021四川宜宾二诊,3)若点sin5π6,cos5π6在角α的终边上,则sinα=( )A.√32 B.12 C.-√32 D.-12 答案 C6.(2021河南中原名校联盟4月联考,4)已知cos 20212π+α=-12,α∈(π2,π),则cosα=( )A.12 B.-12 C.√32 D.-√32 答案 D7.(2020成都七中模拟,2)记cos(-80°)=k,那么tan100°=( ) A.√1-θ2θ B.-√1-θ2θ C.√ D.-√答案 B8.(2021云南顶级名校期末联考,6)设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β都是非零实数,若f(2020)=1,则f(2021)=( ) A.1 B.2 C.0 D.-1 答案 D9.(2020皖北名校3月联考,13)sin613°+cos1063°+tan30°的值为 . 答案√3310.(2021安徽黄山二模,13)若一扇形的圆心角为144°,半径为10cm,则扇形的面积为 cm 2. 答案 40π11.(2021山西三市五校3月联考,14)已知cos (π2-α)+sin (π2+β)=1,则cos 2(32π+θ)+cosβ-1的取值范围为 .答案 [-14,0]12.(2022届湖南名校10月联考,14)如图所示的时钟显示的时刻为3:30,此时时针与分针的夹角为α(0<θ≤π2).若一个半径为12的扇形的圆心角为α,则该扇形的弧长为 .答案 5π13.(2022届黑龙江八校期中,14)化简:tan(π-θ)cos(2π-θ)sin (-θ+3π2)cos(-θ-π)sin(-π-θ)的值为 .答案 -1综合篇 知能转换考法一 三角函数定义的应用1.(2022届成都蓉城名校联盟联考一,8)已知角θ的终边过点A(6,a),且sin(θ-3π)=45,则tan (2θ-π4)=( )A.1731B.-3117C.317D.-731答案 A2.(2022届安徽六安一中月考三,9)在平面直角坐标系xOy 中,α为第四象限角,角α的终边与单位圆O 交于点P(x 0,y 0),若cos α+π6=45,则x 0=( ) A.4√3-310B.4√3+310C.4√3-410D.4√3±310答案 A3.(2021黑龙江牡丹江二模,6)角α的终边上一点P(a,2a)(a≠0),则2sinα-cosα=( ) A.√55B.-√55C.√55或-√55D.3√55或-3√55答案 D4.(2021河南洛阳重点中学模拟,6)现有如下结论:①若点P(a,2a)(a≠0)为角α的终边上一点,则sinα=2√55;②同时满足sinα=12,cosα=√32的角有无数个;③设tanα=12且π<α<32π,则sinα=-√55;④设cos(sinθ)·tan(cosθ)>0(θ为象限角),则θ是第一象限角,其中正确结论的序号为( )A.①②B.②③C.①③D.②④ 答案 B5.(2020太原名校联盟4月模拟,7)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,将角α的终边按顺时针方向旋转π6后经过点(-3,4),则cosα=( )A.3√3+410B.-3√3+410C.3√3-410D.4-3√310答案 B6.(2018浙江,18,14分)已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P (-35,-45). (1)求sin(α+π)的值;(2)若角β满足sin(α+β)=513,求cosβ的值.解析 (1)由角α的终边过点P (-35,-45)得sinα=-45,所以sin(α+π)=-sinα=45.(2)由角α的终边过点P (-35,-45)得cosα=-35,由sin(α+β)=513得cos(α+β)=±1213.由β=(α+β)-α得cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,所以cosβ=-5665或cosβ=1665.考法二 同角三角函数的基本关系的应用1.(2022届江西十七校期中,5)已知tanθ=2,则(sinθ-3cosθ)2-1的值为( ) A.-45 B.45 C.-15 D.15 答案 A2.(2021江西萍乡二模,5)已知tanα=-2,则sin2α+cos 2α的值为( ) A.45B.-45C.35D.-35答案 D3.(2021湘豫名校联盟4月联考,8)若tanα=2sin(α-π),则cos2α=( ) A.-14B.1C.-12或0 D.-12或1答案 D4.(2020河南禹州高级中学月考,4)α∈(π4,π2),12sin θ+12cos θ=35,则tan2α=( ) A.247B.-247C.±247D.-724答案 B5.(2020辽宁丹东二模,8)在△ABC 中,cosA+sinA=15,则tan (θ-π4)=( ) A.7 B.-17 C.±7 D.±17答案 A6.(2020浙江,13,6分)已知tanθ=2,则cos2θ= ,tan (θ-π4)= . 答案 -35;137.(2022届新疆克拉玛依模拟三,15)在△ABC 中,已知sinA+cosA=15,则sinA-cosA= . 答案 758.(2022届宁夏长庆高级中学月考一,17)已知函数y=sinθ+cosθ+2sinθcosθ. (1)设变量t=sinθ+cosθ,试用t 表示y=f(t),并写出t 的取值范围; (2)求函数y=f(t)的值域.解析 (1)因为t=sinθ+cosθ(θ∈R),sin 2θ+cos 2θ=1,所以2sinθcosθ=t 2-1,故f(t)=t 2+t-1,t=sinθ+cosθ=√2sin (θ+π4)∈[-√2,√2],故t 的取值范围为[-√2,√2]. (2)由(1)知y=f(t)=t 2+t-1=(θ+12)2-54(t∈[-√2,√2]),由二次函数的性质可知,y=f(t)的最小值为f (-12)=-54,又f(-√2)=1-√2,f(√2)=1+√2,所以y=f(t)的值域为[-54,1+√2].。
2024届高三数学一轮复习--三角函数与解三角形第2练 同角三角函数的基本关系及诱导公式(解析版)
参考答案：
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母
(1 sin2 cos2 )，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入 tan 2 即可得到结果． 【详解】将式子进行齐次化处理得：
sin 1 sin 2 sin sin2 cos2 2sin cos sin sin cos
上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P 的角速度大小为 2rad/s ，起点为 e O 与 x 轴正半轴
的交点；Q 的角速度大小为 5rad/s ，起点为射线 y 3x x 0 与 e O 的交点．则当 Q 与
P 重合时，Q 的坐标可以为（ ）
A．
cos
2 9
, sin
2 9
C．
cos
9
20．（2023·全国·高三专题练习）已知 VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，
b
3
，
a
c
，且
sin
π 3
A
cos
π 6
A
1 4
．
(1)求 A 的大小；
(2)若 a sin A c sin C 4 3 sin B ，求 VABC 的面积．
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1．C
B．
cos
7π 8
1 3
C．
sin
13π 8
2
2 3
D．
tan
π 8
2
2
10．（2023·全国·高一假期作业）已知 sin cos 1 ， 0, π ，则（ ）
5
A． sin cos 12 25
B． sin cos 12 25
C． sin cos 7 5
D． tan 4 3
06-三角函数、诱导公式、三角函数的图像(高三数学第一轮复习同步测试题)
高三数学第一轮复习同步测试题(06)—三角函数、诱导公式、三角函数的图像 一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为( )． A ．－55 B.255 C ．－255 D ．－122.将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A.π3 B.π6 C ．－π3 D ．－π63.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．2sin1 C.2sin1 D ．sin2 4.已知角α的终边落在直线y ＝－3x (x <0)上，则|sin α|sin α－|cos α|cos α＝（） A ．2 B ．1 C.0 D ．-2 5．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( ) A ．－32 B.32 C ．－12D.126. 已知f (cos x )＝cos 3x ，则f (sin 30°)的值为( )． A ．0 B ．1 C ．－1 D.327.已知sin α－cos α＝43，则sin2α＝( )A ．－79B ．－29 C.29 D.79 8. 若sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，则sin (－α－3π2)sin (3π2－α)tan 2(2π－α)cos (π2－α)cos (π2＋α)sin (π＋α)＝( )A.35B.53C.45D.549. 下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2) 10.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11. 已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23B.32 C ．2 D ．3 12.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ＝________.14. 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝________.15. 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－2π3＝________．16. 若*()sin ,()6n f n n N π=∈，则(1)(2)(102)f f f +++＝________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分。
2022版高考一轮总复习数学(理)习题 第3章 三角函数、解三角形 3-6 Word版含答案
(时间：40分钟)1．△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，B ＝60°，则cos C ＝( ) A.33 B ．±63 C ．－63 D.63答案 D解析 由正弦定理得AC sin B ＝ABsin C ，∴sin C ＝AB ·sin B AC ＝2×sin60°3＝33，又AB <AC ，∴0<C <B ＝60°，∴cos C ＝1－sin 2C ＝63.2．已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sinC ，且a >c ，cos B ＝14，则a c ＝( )A ．2 B.12 C ．3 D.13答案 A解析 由正弦定理可得b 2＝2ac ，故cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－2ac 2ac ＝14，化简得(2a －c )(a －2c )＝0，又a >c ，故a ＝2c ，ac＝2，故选A.3．在△ABC 中，若sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，πC.⎝⎛⎦⎥⎤0，π3 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π 答案 C解析 由正弦定理角化边，得a 2≤b 2＋c 2－bc .∴b 2＋c 2－a 2≥bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥12，∴0<A ≤π3.4．在△ABC 中，cos A2＝1＋cos B2，则△ABC 肯定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．无法确定答案 A 解析 由cos A2＝1＋cos B 2得2cos 2A 2－1＝cos A ＝cos B ，∴A ＝B ，故选A. 5．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )A.1010 B.105 C.31010 D.55答案 C解析 由于∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，依据余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos∠ABC ，得AC 2＝(2)2＋32－2×2×3×22＝5，解得AC ＝ 5.结合BC ＝3，sin ∠ABC ＝22，依据正弦定理AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠BAC，得522＝3sin ∠BAC，解得sin ∠BAC ＝31010.6．△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 答案1534解析 由于AC ＝7，AB ＝5，B ＝120°， 由余弦定理得AC 2＝BC 2＋AB 2－2BC ·AB cos B ， 即49＝BC 2＋25－2×5×BC ·cos120°. 整理得BC 2＋5BC －24＝0，解得BC ＝3或BC ＝－8(舍去)．∴S △ABC ＝12BC ·AB ·sin120°＝12×3×5×sin120°＝1534.7．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________. 答案 23π解析 由于3sin A ＝5sin B ，结合正弦定理的变形a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，得3a ＝5b ，所以a ＝53b .又b ＋c ＝2a ，所以c ＝73b .依据余弦定理的推论cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，把a ＝53b ，c ＝73b 代入，化简得cos C ＝－12，所以C ＝23π.8．在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________. 答案6解析 如图所示，在△ABD 中，由正弦定理得AD sin B ＝ABsin ∠ADB，即3sin120°＝2sin ∠ADB， 所以sin ∠ADB ＝22，从而∠ADB ＝45°，则∠BAD ＝∠DAC ＝15°，所以∠ACB ＝30°，∠BAC ＝30°，所以△BAC 是等腰三角形，BC ＝AB ＝ 2. 由余弦定理得AC ＝AB 2＋BC 2－2·AB ·BC ·cos120°＝22＋22－2×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝ 6. 9．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中c 为最长边． (1)若sin 2A ＋ sin 2B ＝1，试推断△ABC 的外形； (2)若a 2－c 2＝2b ，且sin B ＝4cos A sin C ，求b 的值．解 (1)由已知，sin 2A ＋sin 2B ＝1，∴sin 2A ＝1－sin 2B ＝cos 2B . 由于c 为最长边，∴A ，B 均为锐角，则sin A ＝cos B ， ∴sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，∴A ＝π2－B ，即A ＋B ＝π2. 故△ABC 为直角三角形．(2)由已知sin B ＝4cos A sin C ，结合正弦定理和余弦定理得b ＝4b 2＋c 2－a 22bc×c ，即b 2＝2(a 2－c 2)，又a 2－c 2＝2b ，∴b 2＝4b ，又b ≠0，∴b ＝4.10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解 (1)由于0<A <π，cos A ＝23，得sin A ＝1－cos 2A ＝53，又5cos C ＝sinB ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C ，所以tan C ＝ 5.(2)由tan C ＝5，得sin C ＝56，cos C ＝16.于是sin B ＝5cos C ＝56，由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝ 3.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ac sin B ＝52.(时间：20分钟)11．在△ABC 中，三边之比a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，则sin A －2sin Bsin2C ＝( )A ．1B ．2C ．－2 D.12答案 B解析 不妨设a ＝2，b ＝3，c ＝4，故cos C ＝4＋9－162×2×3＝－14，故sin A －2sin B sin2C ＝a －2b 2c cos C ＝2－68×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝2，故选B.12．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且cos2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于( )A ．3∶1 B.3∶1 C.2∶1 D ．2∶1 答案 D解析 由cos2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，得2cos 2B －3cos B ＋1＝0，解得cos B ＝1(舍去)或cos B ＝12，所以sin B ＝32，所以c ∶sin C ＝b ∶sin B ＝2∶1. 13．在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________.答案 1解析 在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ， 将∠A ＝2π3，a ＝3c 代入，可得(3c )2＝b 2＋c 2－2bc ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，整理得2c 2＝b 2＋bc .∵c ≠0，∴等式两边同时除以c 2，得2＝b 2c 2＋bc c 2，即2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋b c.令t ＝b c (t >0)，有2＝t 2＋t ，即t 2＋t －2＝0，解得t ＝1或t ＝－2(舍去)，故bc＝1.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc.(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .解 (1)证明：依据正弦定理， 可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)．则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C .代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C ，变形可得sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )． 在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，得sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，所以sin A sin B ＝sin C . (2)由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，依据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，故tan B ＝sin Bcos B ＝4.。
2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)3-4-1 三角函数的性质(1)(精练)(含详解)
3.4.1 三角函数的性质（1）（精练）（基础版）1．（2022·广西南宁）下列四个函数，最小正周期是2π的是（ ） A ．sin 2y x =B ．cos 2xy = C ．sin 4y x =D ．tan 3y x =2.（2021年湖南）下列函数中，周期为2π的奇函数为( )A ．y ＝sin x 2cos x2 B ．y ＝sin 2x C ．y ＝tan 2x D ．y ＝sin 2x ＋cos 2x3．（2022·江西景德镇）函数2π2sin tan()16y x x =+-+的最小正周期为（ ）A ．2π B ．πC ．32π D ．2π4．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学）函数()cos sin f x x x =+ 的最小正周期为________. 5．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学）已知函数f (x )＝sin(ωx ＋3π)(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝____. 6．（2022·全国·高三专题练习）求下列三角函数的周期： (1)y ＝3sin x ，x∈R ； (2)y ＝cos 2x ，x∈R ； (3)y ＝sin 1()34x π-，x∈R ； (4)y ＝|cos x|，x∈R .7（2021·上海·高三专题练习）求下列函数的周期： （1）cos 2sin 2cos 2sin 2x xy x x+=-； （2）66sin cos y x x =+.1．（2022·全国·单元测试）函数()1tan 36x f x ππ⎛⎫=+-⎪⎝⎭图象的对称中心的坐标为（ ） A ．16,0()2k k Z +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ B ．13,0()2k k Z +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ C ．16,1()2k k Z +⎛⎫∈⎪⎝⎭D ．13,1()2k k Z +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2．（2022·安徽）“3πϕ=”是“函数()sin 2x f x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于3x π=对称”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2021·青海西宁）已知函数()sin 022f x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象过点30,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则()f x 图象的一个对称题组一 周期题组二 对称性中心为（ ） A ．1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0C ．4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()2,04．（2022·浙江金华）下列函数中，关于直线6x π=-对称的是（ ）A ．sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5（2022·全国·单元测试）函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像（ ）A ．关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称C ．关于直线6x π=对称 D ．关于直线3x π=对称6．（2022·河北省）关于()4sin 2()3f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭有下列结论:∈函数的最小正周期为π； ∈表达式可改写成()4cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；∈函数的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称； ∈函数的图象关于直线6x π=-对称.其中错误的结论是( ) A ．∈∈B ．∈∈C ．∈D ．∈∈7．（2021·北京市）最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的一个函数是（ ）A ．sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭8．（2022·江西·南昌十五中）若函数()sin (0)3⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭f x x πωω的图象与()2cos()=+g x x a π的图象都关于直线6x π=对称，则||||+a ω的最小值为（ ）A ．56B ．76C ．316D ．3761．（2022·江西）下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（ ） A ．sin 2y x =B ．cos 2y x =C ．cos 21y x =+D ．sin 21y x =+2．（2022·全国·高二课时练习）函数3sin(2)y x π=+是（ ） A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π的奇函数D ．周期为2π的偶函数 题组三 奇偶性3．（2021·全国·课时练习）下列函数中，最小正周期是π且是奇函数的是（ ） A ．sin 2y x =B ．sin y x =C ．tan2xy = D ．cos 2y x =4．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学）下列函数中为周期是π的偶函数是（ ） A ．sin y x = B ．sin ||y x = C ．sin y x =-D ．sin 1y x =+5．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，周期为2π的奇函数为（ ）． A ．sin cos 22x x y =B ．2sin y x =C ．tan 2y x =D ．sin 2cos2y x x =+6．（2022·新疆昌吉）已知函数()sin f x x x =，则下列关于函数3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的描述错误的是（ ）A ．奇函数B ．最小正周期为πC ．其图象关于点(,0)π-对称D ．其图象关于直线2x π=对称7．（2022·全国·课时练习）下列函数中，其图像关于原点对称的是（ ）． A ．2sin y x =B ．sin y x x =C ．sin x y x =D ．πsin 2y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭8．（2021·全国·课时练习）下列函数具有奇偶性的是（ ） A ．()()sin 0f x x x => B ．()()2sin 0f x x x =<C ．()1sinf x x= D ．()f x =9．（2022·河南）“函数f (x )=sin2x +(a 2-1)cos x 为奇函数”是“a =1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．（2022·全国·专题练习）函数f （x ）=21sin cos 1sin x x x +-+是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数11．（2022·上海市）函数212cos 4y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是（ ）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+，则“2ϕπ=”是“()f x 为偶函数”的（ ）条件A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件13．（2022·全国·高三专题练习）函数f (x 的奇偶性为（ ） A ．奇函数 B ．既是奇函数也是偶函数 C ．偶函数 D ．非奇非偶函数14．（2022·全国·高三专题练习）函数∈()sin cos f x x x =+，∈()sin cos f x x x =，∈21()cos 42f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭中，周期是π且为奇函数的所有函数的序号是（ ） A ．∈∈B ．∈C ．∈D ．∈∈15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()2cos 2f x x x ϕϕ+++为奇函数，且存在00,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()02f x =，则ϕ的一个可能值为（ ）A ．56πB ．3πC ．6π-D ．23π-16．（2022·全国·高三专题练习）使函数()sin())f x x x ϕϕ=++为偶函数的ϕ的一个值为（ ） A ．23πB ．3π C ．3π-D ．56π-17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωϕ=+>>∈R ．则“()f x 是偶函数“是“2ϕπ=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件18．（2022·全国·高三专题练习）在下列四个函数中，周期为2π的偶函数为（ ） A ．2sin 2cos2y x x = B ．22cos 2sin 2y x x =- C ．sin 2y x x =D ．22cos sin y x x =-19．（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））已知函数()2cos 2cos 42x f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．14y f x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭为奇函数B ．14y f x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭为奇函数C ．14y f x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为偶函数D ．14y f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数20．（2022·河南濮阳·高三开学考试（理））设0a <，若函数()()()3cos 4sin 4f x x a x a =+-+的图象关于原点对称，则a 的最大值为（ ） A ．6π-B ．4π-C ．3π-D ．23π-1．（2022·内蒙古包头·高三期末（理））下列区间中，函数()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭2．（2022·全国·高三专题练习）函数()tan 24f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为（ ）A ．114,422k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈B ．314,422k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈C ．312,222k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z∈ D ．112,222k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈3．（2022·河北·模拟预测）（多选）下列四个函数中，以π为周期且在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的偶函数有（ ）A ．cos 2y x =B ．sin 2y x =C ．tan y x =D ．lg sin y x =4．（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）在下列区间中，函数()2022cos 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ） A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭5．（2022·湖北武汉·高三期末）下列四个函数中，以π为最小正周期，其在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是（ ）A ．sin y x =B ．sin y x =C ．cos 2y x =D ．sin 2y x =6．（2022·全国·高三专题练习）在下列函数中，同时满足：∈在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；∈最小正周期为2π的是（ ） A ．tan y x =B ．cos y x =C ．tan2x y = D ．tan y x =-7．（2022·山东·昌乐）若()cos 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[],a a -上单调递增，则实数a 的最大值为__________.8．（2022·天津河西·高三期末）已知函数()()cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，其图象题组四 单调性的一条对称轴为43x π=，则23f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭______. 9．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知函数()sin cos f x x x ωω=+（0>ω）在ππ,48⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的一个取值为________．3.4.1 三角函数的性质（1）（精练）（基础版）1．（2022·广西南宁）下列四个函数，最小正周期是2π的是（ ） A ．sin 2y x = B ．cos 2x y =C ．sin 4y x =D ．tan 3y x =【答案】C【解析】A 选项：22T ππ==，错误；B 选项：2412T ππ==，错误； C 选项：242T ππ==，正确；D 选项：3T π=，错误.故选：C. 2.（2021年湖南）下列函数中，周期为2π的奇函数为( )A ．y ＝sin x 2cos x2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2x【答案】A【解析】 y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，故B 、C 、D都不正确，故选A.3．（2022·江西景德镇）函数2π2sin tan()16y x x =+-+的最小正周期为（ ）A ．2π B ．πC ．32π D ．2π【答案】B【解析】函数2ππ2sin tan()1tan()cos 2266y x x x x =+-+=--+，其中函数πtan()6y x =-的最小正周期为π，函数cos 2y x =的最小正周期为2ππ2T ==所以函数πtan()cos 226y x x =--+的最小正周期为π.故选：B.4．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学）函数()cos sin f x x x =+ 的最小正周期为________. 【答案】2π【解析】因为()cos sin f x x x =+，所以22()2cos sin 2sin 224f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1ω=，所以函数的最小正周期22T ππω==；故答案为：2π5．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学）已知函数f (x )＝sin(ωx题组一 周期＋3π)(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝____. 【答案】2 【解析】由2T ππω==，又ω>0，故2ω=.故答案为：2.6．（2022·全国·高三专题练习）求下列三角函数的周期： (1)y ＝3sin x ，x∈R ； (2)y ＝cos 2x ，x∈R ； (3)y ＝sin 1()34x π-，x∈R ； (4)y ＝|cos x|，x∈R .【答案】（1）2π ； （2）π ； （3）6π ； （4）π.【解析】(1)因为3sin(x ＋2π)＝3sinx ，由周期函数的定义知，y ＝3sinx 的周期为2π. (2)因为cos2(x ＋π)＝cos(2x ＋2π)＝cos2x ，由周期函数的定义知，y ＝cos2x 的周期为π.(3)因为()111sin 6sin 2sin 343434x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭，由周期函数的定义知，1sin 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的周期为6π.(4)y ＝|cosx|的图象如图(实线部分)所示，由图象可知，y ＝|cos x|的周期为π.7（2021·上海·高三专题练习）求下列函数的周期：（1）cos 2sin 2cos 2sin 2x xy x x+=-； （2）66sin cos y x x =+.【答案】（1）2π；（2）2π【解析】（1）cos 2sin 2cos 2sin 2x xy x x+=-，将各项同时除以cos2x ，结合正切函数和角公式化简可得cos 2sin 21tan 2cos 2sin 21tan 2x x x y x x x ++==--tantan 241tan tan 24x x ππ+=-⋅tan 24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∈函数的周期是2T π=. （2）由立方和公式及完全平方公式化简可得66sin cos y x x =+()()224224sin cos sin sin cos cos x x x x x x=+-+()22222231sin cos 3sin cos 1sin 24x x x x x ⎡⎤=⋅+-=-⎢⎥⎣⎦53cos 488x =+.所以函数的周期是242T ππ==.题组二 对称性1．（2022·全国·单元测试）函数()1tan 36x f x ππ⎛⎫=+-⎪⎝⎭图象的对称中心的坐标为（ ） A ．16,0()2k k Z +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ B ．13,0()2k k Z +⎛⎫∈⎪⎝⎭ C ．16,1()2k k Z +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．13,1()2k k Z +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】令()362x k k Z πππ-=∈，得13()2kx k Z +=∈， 故函数()1tan 36x f x ππ⎛⎫=+-⎪⎝⎭图象的对称中心的坐标为13,1()2k k Z +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选:D. 2．（2022·安徽）“3πϕ=”是“函数()sin 2x f x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于3x π=对称”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由22x k πϕπ+=+，k Z ∈可得22x k πϕπ=-+，k Z ∈，即函数()sin 2x f x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴为22x k πϕπ=-+，k Z ∈；若3πϕ=，则23x k ππ=+，k Z ∈，能推出函数()f x 的图象关于3x π=对称；若函数()sin 2x f x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于3x π=对称，则223k ππϕπ=-+，k Z ∈，即3k πϕπ=+，k Z ∈；所以“3πϕ=”是“函数()sin 2x f x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于3x π=对称”的充分不必要条件，故选：A.3．（2021·青海西宁）已知函数()sin 022f x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象过点⎛ ⎝⎭，则()f x 图象的一个对称中心为（ ） A ．1,03⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,0C ．4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()2,0【答案】C【解析】由题知()0sin f ϕ==π02ϕ<<，所以π3ϕ=，则()ππsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()ππ23x k k π+=∈Z ，则()223x k k =-∈Z ，当1k =时，43x =，即4,03⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，可验证其他选项不正确.故选：C.4．（2022·浙江金华）下列函数中，关于直线6x π=-对称的是（ ）A ．sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】A.将6x π=-代入sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得函数值为12，故6x π=-不是sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴；B.将6x π=-代入sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得函数值为0，故6x π=-不是sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴；C.将6x π=-代入cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭6x π=-不是cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴；D.将6x π=-代入cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得函数值为1，故6x π=-是cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一条对称轴；故选：D.5（2022·全国·单元测试）函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像（ ）A ．关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称C ．关于直线6x π=对称 D ．关于直线3x π=对称【答案】B 【解析】令2()3x k k Z ππ+=∈,得126x k ππ=-,所以对称点为1,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当1k =,为,03π⎛⎫⎪⎝⎭,故B 正确；令2()32x k k Z πππ+=+∈,则对称轴为212k x ππ=+, 因此直线6x π=和3x π=均不是函数的对称轴.故选B6．（2022·河北省）关于()4sin 2()3f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭有下列结论:∈函数的最小正周期为π； ∈表达式可改写成()4cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；∈函数的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称； ∈函数的图象关于直线6x π=-对称.其中错误的结论是( ) A ．∈∈ B ．∈∈ C ．∈ D ．∈∈【答案】C【解析】结论∈：周期2T ππω==，故本结论正确；结论∈：()4sin 24sin 24cos 226266f x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故本结论正确；结论∈：因为()4sin 2()0663f πππ⎛⎫-=⋅-+= ⎪⎝⎭，所以函数的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故本结论正确；结论∈：由∈的判断可知，函数函数的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故本结论不正确，综上，本题选C.7．（2021·北京市）最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的一个函数是（ ）A ．sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】函数sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为：22412T πππω===，故排除A. 将3x π=代入sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得：sin 236y ππ⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭=1，此时y 取得最大值，所以直线3x π=是函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭一条对称轴．故选D.8．（2022·江西·南昌十五中）若函数()sin (0)3⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭f x x πωω的图象与()2cos()=+g x x a π的图象都关于直线6x π=对称，则||||+a ω的最小值为（ ）A ．56B ．76C ．316D ．376【答案】B【解析】由题意可得(),()6326k k a n n ππππωπππ-=+∈+=∈Z Z ，即165(),()6k k a n n ω=+∈=-+∈Z Z ，故||||+a ω的最小值为17|1|66-+-=；故选：B.1．（2022·江西）下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（ ） A ．sin 2y x = B ．cos 2y x = C ．cos 21y x =+ D ．sin 21y x =+【答案】D【解析】选项A: sin 2()sin 2x x -=-，则sin 2y x =为奇函数.排除； 选项B: cos 2()cos 2x x -=，则cos 2y x =为偶函数.排除； 选项C: cos 2()1cos 21x x -+=+，则cos 21y x =+为偶函数.排除；选项D: 令()sin 21f x x =+，ππ()sin 1042f ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭，ππ()sin 1242f =+=则ππ()()44f f -≠，ππ()()44f f -≠-，则sin 21y x =+既不是奇函数也不是偶函数．可选.故选：D题组三 奇偶性2．（2022·全国·高二课时练习）函数3sin(2)y x π=+是（ ） A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数 【答案】C【解析】函数3sin(2)3sin 2y x x π=+=-, 其最小正周期为22T ππ== 由()3sin 23sin 2x x --=，可得函数为奇函数.故选：C3．（2021·全国·课时练习）下列函数中，最小正周期是π且是奇函数的是（ ） A ．sin 2y x = B ．sin y x = C ．tan2x y = D ．cos 2y x =【答案】A【解析】A 选项，sin 2y x =的最小正周期是π，且是奇函数，A 正确. B 选项，sin y x =的最小正周期是2π，且是奇函数，B 错误. C 选项，tan2xy =的最小正周期为2π，且是奇函数，C 错误. D 选项，cos y x =的最小正周期是π，且是偶函数，D 错误. 故选：A4．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学）下列函数中为周期是π的偶函数是（ ） A ．sin y x = B ．sin ||y x = C ．sin y x =- D ．sin 1y x =+【答案】A【解析】对于A ，sin y x =为偶函数,且最小正周期为π,所以A 正确; 对于B ，sin y x =为偶函数,但不具有周期性,所以B 错误; 对于C ，sin y x =-为奇函数，所以C 错误;对于D, sin 1y x =+为非奇非偶函数,所以D 错误.综上可知,正确的为A 故选:A 5．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，周期为2π的奇函数为（ ）． A ．sin cos 22x x y =B ．2sin y x =C ．tan 2y x =D ．sin 2cos2y x x =+【答案】A【解析】对于选项A ，11sin cos 2sin cos sin 222222x x x x y x ==⨯⨯⋅=，则2221T πππω===，且()11sin sin 22x x -=-是奇函数，所以A 选项正确； 对于选项B ，21cos 2sin 2x y x -==，则222T πππω===，且()1cos 21cos 222x x ---=是偶函数，所以B 选项错误；对于选项C ，tan 2y x =，则2ππT ω==，且()tan 2tan 2x x -=-是奇函数，所以C 选项错误；对于选项D ，sin 2cos 22224y x x x x x π⎫⎛⎫=+==+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，则222T πππω===()2244x x ππ⎡⎤⎛⎫-+-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭是非奇非偶函数，所以D 选项错误.故选：A.6．（2022·新疆昌吉）已知函数()sin f x x x =，则下列关于函数3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的描述错误的是（ ）A ．奇函数B ．最小正周期为πC ．其图象关于点(,0)π-对称D ．其图象关于直线2x π=对称【答案】B【解析】因为()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以2sin 3f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，最小正周期为2π，故B 错误；2sin 3f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭显然为奇函数，其图象关于点(,0)π-对称且关于直线2x π=对称，所以其它选项均正确；故选：B ．7．（2022·全国·课时练习）下列函数中，其图像关于原点对称的是（ ）． A ．2sin y x = B ．sin y x x = C ．sin xy x=D ．πsin 2y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】对于A ：2sin y x =的定义域为R ，()()()22sin sin f x x x f x -=-==，所以2sin y x =是偶函数，图象不关于原点对称，故选项A 不正确；对于B ：sin y x x =的定义域为R ，()()()()sin sin f x x x x x f x -=--==， 所以sin y x x =是偶函数，图象不关于原点对称，故选项B 不正确； 对于C ：sin xy x=的定义域为{}|0x x ≠ 关于原点对称， ()()()sin sin x xf x f x xx--===-，所以sin x y x =是偶函数，图象不关于原点对称，故选项C 不正确；对于D ：πsin 2y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域为R ，πsin cos 2y x x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，()()()()cos cos f x x x x x f x -=--=-=-，所以πsin 2y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是奇函数，图象关于原点对称，故选项D 正确； 故选：D.8．（2021·全国·课时练习）下列函数具有奇偶性的是（ ） A ．()()sin 0f x x x => B ．()()2sin 0f x x x =<C ．()1sin f x x= D ．()f x =【答案】C【解析】对A ，函数的定义域为()0,∞+，不关于原点对称，无奇偶性，故A 错误； 对B ，函数的定义域为(),0-∞，不关于原点对称，无奇偶性；故B 错误；对C ，函数的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()11sin sin f x f x x x ⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，故为奇函数，故C 正确；对D ，函数的定义域为{}22,x k x k k πππ≤≤+∈Z ，不关于原点对称，无奇偶性，故D 错误． 故选：C ．9．（2022·河南）“函数f (x )=sin2x +(a 2-1)cos x 为奇函数”是“a =1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因函数()2()sin 21cos f x x a x =+-是定义域为R 的奇函数，则R ∀∈，f (x )+f (-x )=0，于是得22(1)cos 0a x -=，而cos x 不恒为0，则有210a -=，解得1a =±，因此，当a =1时，f (x )是奇函数，而f (x )是奇函数时，a 可以为-1，所以“函数f (x )=sin2x +(a 2-1)cos x 为奇函数”是“a =1”的必要不充分条件.故选：B10．（2022·全国·专题练习）函数f （x ）=21sin cos 1sin x xx +-+是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数【答案】C【解析】由1+sin x ≠0得sin x ≠-1，所以2,2x k k Z ππ≠-+∈所以函数f （x ）的定义域为|2,2x x k k Z ππ⎧⎫≠-+∈⎨⎬⎩⎭，不关于原点对称，也不关于y 轴对称，所以f （x ）是非奇非偶函数.11．（2022·上海市）函数212cos 4y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是（ ）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 【答案】A【解析】2212cos 2cos 1cos 2sin 2442y x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=---=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为()()()sin 2sin 2f x x x f x -=--==-，所以为奇函数，周期22T ππ==， 所以此函数最小正周期为π的奇函数，故选：A.12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+，则“2ϕπ=”是“()f x 为偶函数”的（ ）条件A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】当2ϕπ=时，()2sin 22cos 22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∈()()()2cos 22cos2f x x x f x -=-==，∈()f x 为偶函数. 当()f x 为偶函数时，2k πϕπ=+，k Z ∈，综上所述2ϕπ=是()f x 为偶函数的充分不必要条件，故选：A.13．（2022·全国·高三专题练习）函数f (x 的奇偶性为（ ） A ．奇函数 B ．既是奇函数也是偶函数 C ．偶函数 D ．非奇非偶函数【答案】D【解析】由2sin x -1≥0，即sin x ≥12，得函数定义域为52,266k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z )，此定义域在x 轴上表示的区间不关于原点对称．所以该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数．故选：D14．（2022·全国·高三专题练习）函数∈()sin cos f x x x =+，∈()sin cos f x x x =，∈21()cos 42f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭中，周期是π且为奇函数的所有函数的序号是（ ） A ．∈∈ B ．∈C ．∈D ．∈∈【答案】D【解析】对于∈()sin cos f x x x =+，()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，周期为π，但不是奇函数；对于∈()sin cos f x x x =，1()sin 22f x x =，周期为22T ππ==； 又()()11()sin 2=sin 222f x x x f x =-=---，故()sin cos f x x x =符合题意；对于∈21()cos 42f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，211()cos cos 2sin 24222f x x =x =x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由∈推导过程可知：21()cos 42f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭周期是π且为奇函数，符合题意.故选：D15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()2cos 2f x x x ϕϕ+++为奇函数，且存在00,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()02f x =，则ϕ的一个可能值为（ ） A ．56π B ．3π C ．6π-D ．23π-【答案】C【解析】()()()2cos 22sin 26x x f x x πϕϕϕ⎛⎫+++=++ ⎪⎝=⎭为奇函数，则()6k k Z πϕπ+=∈，可得()6k k ϕπ=π-∈Z ，所以排除BD 选项；对于A ，当56πϕ=时，()()2sin 22sin 2f x x x π=+=-， 当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，220,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x <，不合题意；对于C ，当6πϕ=-时，()2sin 2f x x =，2sin 242f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭满足题意.故选：C.16．（2022·全国·高三专题练习）使函数()sin())f x x x ϕϕ=++为偶函数的ϕ的一个值为（ ） A ．23πB ．3π C ．3π-D ．56π-【答案】D 【解析】()sin())2sin()3f x x x x πϕϕϕ=++=++函数()f x 为偶函数，所以32k ππϕ+=（k 为奇数），当1k =-时，ϕ=56π-．故选：D ． 17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωϕ=+>>∈R ．则“()f x 是偶函数“是“2ϕπ=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】若2ϕπ=，则()sin()cos 2f x A x A x πωω=+=，()cos()cos ()f x A x A x f x ωω-=-==，所以()f x 为偶函数；若()sin()f x A x ωϕ=+为偶函数，则2k πϕπ=+，k Z ∈，ϕ不一定等于2π. 所以“()f x 是偶函数“是“2ϕπ=”的必要不充分条件.故选：B 18．（2022·全国·高三专题练习）在下列四个函数中，周期为2π的偶函数为（ ） A ．2sin 2cos2y x x = B ．22cos 2sin 2y x x =- C ．sin 2y x x = D ．22cos sin y x x =-【答案】B【解析】A.2sin 2cos 2sin 4y x x x ==，函数是奇函数，周期242T ππ==，故A 不正确； B.22cos 2sin 2cos 4y x x x =-=，函数是偶函数，周期242T ππ==，故B 正确； C. 函数sin 2y x x =，满足()()f x f x -=，是偶函数，但不是周期函数，44f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3344f ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即344f f ππ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数的周期不是2π，故C 不正确；D.22cos sin cos 2y x x x =-=，函数是偶函数，函数的周期22T ππ==，故D 不正确. 故选：B19．（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））已知函数()2cos 2cos 42x f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．14y f x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭为奇函数B ．14y f x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭为奇函数C ．14y f x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为偶函数D ．14y f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数【答案】C【解析】∈()2cos 2cos =cos cos 1422x f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 114x x x π⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭，∈124y f x x π⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭为偶函数，故A 错误；1cos 22sin 242y f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭既不是奇函数也不是偶函数，故B 错误；12cos 4y f x x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭为偶函数，故C 正确；12cos 2sin 42y f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为奇函数，故D 错误.故选：C.20．（2022·河南濮阳·高三开学考试（理））设0a <，若函数()()()3cos 4sin 4f x x a x a =+-+的图象关于原点对称，则a 的最大值为（ ） A ．6π-B ．4π-C ．3π-D ．23π-【答案】D【解析】()()()3cos 4sin 4f x x a x a =+-+2cos 46x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为函数的图象关于原点对称，所以当0x =时，62a k πππ+=+，k Z ∈，解得：3a k ππ=+，k Z ∈，因为0a <，所以当1k =-时，a 的最大值23a π=-.故选：D 1．（2022·内蒙古包头·高三期末（理））下列区间中，函数()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】对于A 选项，当02x π<<时，3365x πππ<+<，则()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调； 对于B 选项，当2x ππ<<时，54633x πππ<+<，则()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；对于C 选项，当32x ππ<<时，411336x πππ<+<，则()f x 在3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调； 对于D 选项，当322x ππ<<时，117633x πππ<+<，则()f x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.故选：D.2．（2022·全国·高三专题练习）函数()tan 24f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为（ ）A ．114,422k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈B ．314,422k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈C ．312,222k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈D ．112,222k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈【答案】C题组四 单调性【解析】令,2242k x k k Z ππππππ-+<+<+∈，解得3122,22k x k k Z -+<<+∈， 所以函数()f x 的单调递增区间为312,222k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈，故选：C3．（2022·河北·模拟预测）（多选）下列四个函数中，以π为周期且在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的偶函数有（ ）A ．cos 2y x =B ．sin 2y x =C ．tan y x =D ．lg sin y x =【答案】CD【解析】cos 2y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故A 错误；sin 2y x =为奇函数，故B 错误；tan y x =图象如下图：故最小正周期为π，在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且为偶函数，故C 正确；sin y x =最小正周期为π，在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且为偶函数，则lg sin y x =也是以π为周期且在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的偶函数，故D 正确.故选：CD4．（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）在下列区间中，函数()2022cos 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】D【解析】因为()2022cos 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令22,12k x k k Z ππππ-+≤-≤∈，解得1122,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以函数的单调递增区间为112,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，当1k =时可得函数的一个单调递增区间为1325,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1325,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以函数在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； 故选：D5．（2022·湖北武汉·高三期末）下列四个函数中，以π为最小正周期，其在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是（ ）A ．sin y x =B ．sin y x =C ．cos 2y x =D ．sin 2y x =【答案】A【解析】sin y x =的最小正周期为π，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，符合题意，故A 正确；sin y x =不是周期函数，故B 错误；cos 2y x =中，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2π,2πx ，故cos 2y x =中在,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时不是单调函数，故C 错误；sin 2y x =,,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2π,2πx ，故sin 2y x =中在,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时不是单调函数，故D 错误，故选：A.6．（2022·全国·高三专题练习）在下列函数中，同时满足：∈在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；∈最小正周期为2π的是（ ） A ．tan y x = B ．cos y x =C ．tan2x y = D ．tan y x =-【答案】C【解析】对于选项AD ，结合正切函数图象可知，tan y x =和tan =-y x 的最小正周期都为π，故AD 错误； 对于选项B ，结合余弦函数图象可知，cos y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故B 错误；对于选项C ，结合正切函数图象可知，tan 2x y =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且最小正周期212T ππ==，故C 正确.故选：C.7．（2022·山东·昌乐）若()cos 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[],a a -上单调递增，则实数a 的最大值为__________.【答案】3π【解析】x ∈[],a a -，则,333x a a πππ⎡⎤-∈---⎢⎥⎣⎦，由题可知，[],,033a a πππ⎡⎤---⊆-⎢⎥⎣⎦，则3303a a a ππππ⎧--≥-⎪⎪⇒≤⎨⎪-≤⎪⎩，则a 的最大值为3π.故答案为：3π. 8．（2022·天津河西·高三期末）已知函数()()cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，其图象的一条对称轴为43x π=，则23f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭______.【答案】【解析】∈f (x )最小正周期为4π，∈2142ππωω=⇒=；∈f (x )图象的一条对称轴为43x π=，∈14,23k k πϕπ⨯+=∈Z ， ∈2,3k k πϕπ=-∈Z ，02πϕ<<，1,.3k πϕ∴==∈()1cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()11sin 232f x x π⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭'，∈211sin 32332f πππ⎛⎫⎛⎫=-⨯'+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为： 9．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知函数()sin cos f x x x ωω=+（0>ω）在ππ,48⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的一个取值为________．【答案】1，答案不唯一【解析】()π4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1ω=时，()π4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， πππ3π,,0,4848x x ⎡⎤⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()f x 在ππ,48⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，符合题意. 故答案为：1，答案不唯一。
高考数学一轮复习全套课时作业4-4三角函数的图像和性质
题组层级快练4.4三角函数的图像和性质一、单项选择题1．函数y ＝3sin2x ＋cos2x 的最小正周期为()A.π2B.2π3C ．πD ．2π2．函数y ＝tan(π4－x)的定义域是()A ．{xx ≠π4}B ．{xx ≠－π4}C ．{xx ≠k π＋π4，k ∈Z }D ．{xx ≠k π＋3π4，k ∈Z }3．下列函数中，既是奇函数，又是周期函数的是()A ．y ＝sin|x|B ．y ＝cos2xC ．y ＝D ．y ＝x 34．(2018·课标全国Ⅲ)函数f(x)＝tanx1＋tan 2x 的最小正周期为()A.π4B.π2C ．πD ．2π5．(2021·南昌大学附中)设f(x)＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，则f(x)是偶函数的充要条件是()A ．f(0)＝1B ．f(0)＝0C ．f ′(0)＝1D ．f ′(0)＝06．函数f(x)＝sin 在区间0，π2上的最小值为()A ．－1B ．－22C.22D ．07．已知f(x)＝sin 2x ＋sinxcosx ，则f(x)的最小正周期和一个单调递增区间分别为()A ．π，[0，π]B ．2π，[－π4，3π4]C ．π，[－π8，3π8]D ．2π，[－π4，π4]8．(2021·安徽皖江名校高三联考)已知函数f(x)＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)为偶函数，且在0，π4上是增函数，则φ的一个可能值为()A.π3B.2π3C.4π3D.5π39．(2020·辽宁大连一模)若方程2sin(2x ＋π6)＝m 在区间[0，π2]上有两个不相等实根，则m 的取值范围是()A ．(1，3)B ．[0，2]C ．[1，2)D ．[1，3]二、多项选择题10．(2017·课标全国Ⅲ，改编)设函数f(x)＝cos(x ＋π3)，则下列结论正确的是()A ．f(x)的一个周期为－2πB ．y ＝f(x)的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f(x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f(x)在(π2，π)上单调递减11．已知函数f(x)＝sinx ＋cosx ，g(x)＝22sinx ·cosx ，则下列结论中正确的是()A －π4，B ．两函数的图象均关于直线x ＝－π4成轴对称C －π4，D ．两函数的最大值相同三、填空题与解答题12．函数y ＝cos ________．13．(2020·保定市一模)设函数f(x)＝2sinxsin(x ＋π3＋φ)是奇函数，其中φ∈(0，π)，则φ＝________．14．已知函数f(x)＝sinx ＋acosx 的图象的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g(x)＝asinx ＋cosx 的初相是________．15．已知函数f(x)＝(1＋cos2x)sin 2x(x ∈R )，则f(x)的最小正周期为________；当x ∈0，π4时，f(x)的最小值为________．16．已知函数f(x)＝3cos 2ωx ＋sin ωxcos ωx －32(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)>22，求x 的取值集合．17．(2017·北京)已知函数f(x)＝3cos(2x －π3)－2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求证：当x ∈[－π4，π4]时，f(x)≥－12.18．(2021·衡水中学调研)已知函数y ＝sin ωx 在[－π3，π3]上是增函数，则ω的取值范围是()A ．[－32，0)B ．[－3，0)C ．(0，32]D ．(0，3]19．(2018·北京，理)设函数f(x)＝cos(ωx －π6)(ω>0)．若f(x)≤f(π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________．4.4三角函数的图像和性质参考答案1．答案C 2．答案D解析y ＝tan(π4－x)＝－tan(x －π4)，由x －π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠k π＋3π4，k ∈Z .故选D.3．答案C 4．答案C解析f(x)＝tanx 1＋tan 2x ＝sinx cosx 1＋sin 2x cos 2x＝sinxcosx cos 2x ＋sin 2x＝sinxcosx ＝12sin2x ，所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.故选C.5．答案D解析若f(x)＝sin(ωx ＋φ)是偶函数，则有φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴f(x)＝±cos ωx.而f ′(x)＝∓ωsin ωx ，∴f ′(0)＝0，故选D.6．答案B 7．答案C解析由f(x)＝12(1－cos2x)＋12sin2x ＝2sin （2x －π4）＋12，得该函数的最小正周期是π.当2k π－π2≤2x－π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z 时，函数f(x)是增函数，即函数f(x)的单调递增区间是[k π－π8，k π＋3π8]，其中k ∈Z .由k ＝0得函数f(x)的一个单调递增区间是[－π8，3π8]，结合各选项知，选C.8．答案C解析根据题意，f(x)＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝＋φ若f(x)为偶函数，则有φ＋π6＝k π＋π2，即φ＝k π＋π3，k ∈Z ，所以可以排除B 、D ，对于A ，当φ＝π3时，f(x)＝2cos2x ，在0，π4上是减函数，不符合题意，对于C ，当φ＝4π3时，f(x)＝2cos2x ，在0，π4上是增函数，符合题意．故选C.9．答案C解析因为x ∈[0，π2]，所以2x ＋π6∈[π6，7π6]．当2x ＋π6∈[π6，π2]时，函数f(x)＝2sin(2x ＋π6)单调递增，此时，m ∈[1，2]；当2x ＋π6∈(π2，7π6]时，函数f(x)＝2sin(2x ＋π6)单调递减，此时，m ∈[－1，2)，因此要有两个不相等实根，即m 与函数f(x)＝2sin 在π6，7π6上有两个交点，结合图象可知，m 的取值范围是[1，2)．故选C.10．答案ABC解析由三角函数的周期公式可得T ＝2π1＝2π，所以周期是－2π也正确，所以A 正确；由于三角函数在对称轴上取得最值，所以把对称轴x ＝8π3代入函数，得f(x)＝cos(8π3＋π3)＝cos3π＝－1，所以B 正确；f(x ＋π)＝cos(x ＋π＋π3)＝－cos(x ＋π3)＝0，解得其中一个解是x ＝π6，所以C 正确；函数f(x)在区间(π2，π)有增有减，D 不正确．11．答案CD解析f(x)＝sinx ＋cosx ＝2sing(x)＝2sin2x ，因为＝2sin －π4＋＝2sin0＝0，所以f(x)－π4，因为＝2sin 2＝2sin ＝－2≠0，所以g(x)－π4，A 错误．由于f(x)－π4，g(x)关于x ＝－π4成轴对称，故B 错误．若－π4<x<π4，则0<x ＋π4<π2，此时函数f(x)为增函数，若－π4<x<π4，则－π2<2x<π2，此时函数g(x)为增函数，－π4，C 正确．两函数的最大值相同，都为2，故D 正确．12．答案k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )13．答案π6解析因为f(x)＝2sinxsin ＋π3＋y ＝sinx 也是奇函数，所以函数y ＝sin ＋π3＋函数，所以π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，则φ＝k π＋π6(k ∈Z )，又φ∈(0，π)，所以φ＝π6.14．答案2π3解析f ′(x)＝cosx －asinx ，∵x ＝5π3为函数f(x)＝sinx ＋acosx 的一条对称轴，∴f ′(5π3)＝cos 5π3－asin 5π3＝0，解得a ＝－33.∴g(x)＝－33sinx ＋cosx ＝233(－12sinx ＋32cosx)＝233sin(x ＋2π3)．15．答案π216．答案(1)π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z|－π24＋k π<x<5π24＋k π，k ∈解析(1)f(x)＝3cos 2ωx ＋sin ωxcos ωx －32＝32(1＋cos2ωx)＋12sin2ωx －32＝32cos2ωx ＋12sin2ωx ＝因为最小正周期为2π2ω＝π，所以ω＝1，所以f(x)＝由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f(x)的单调递减区间为[π12＋k π，7π12＋k π]，k ∈Z .(2)f(x)>22，即>22，由正弦函数的性质得π4＋2k π<2x ＋π3<3π4＋2k π，k ∈Z ，解得－π24＋kπ<x<5π24＋k π，k ∈Z ，则x －π24＋k π<x<5π24＋k π，k ∈17．答案(1)π(2)证明见解析解析(1)f(x)＝32cos2x ＋32sin2x －sin2x ＝12sin2x ＋32cos2x ＝sin(2x ＋π3)．所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)证明：因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6.所以sin(2x ＋π3)≥sin(－π6)＝－12.所以当x ∈[－π4，π4]时，f(x)≥－12.18．答案C解析方法一：由于y ＝sinx 在[－π2，π2]上是增函数，为保证y ＝sin ωx 在[－π3，π3]上是增函数，所以ω>0且π3·ω≤π2，则0<ω≤32.故选C.方法二(特值法)：取ω＝－1，则y ＝sin(－x)＝－sinx ，不合题意，故A 、B 不对．取ω＝2，则y ＝sin2x ，不合题意，故D 不对，所以选C.19．答案23解析由于对任意的实数都有f(x)≤f(π4)成立，故当x ＝π4时，函数f(x)有最大值，故f(π4)＝1，即πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z )，又ω>0，∴ωmin ＝23.。
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第一轮复习三角函数专题
一、 选择题（每题5分共60分） 1 ．sin 600=。
（ ）
A ．1
-
2 B ．
12
C
．-
2
D
．
2
2 ．已知0ω>,函数
()sin()4f x x πω=+在(,)2π
π上单调递减.则ω的取值范围是
（ ）
A ．13[,]24
B ．
15[,]24 C ．1(0,]2 D ．(0,2]
3 ．把函数y =cos2x +1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,
再向下平移1个单位长度,得到的图像是
4 ．设tan ,tan αβ是方程2
320x x -+=的两个根,则tan()αβ+的值为
（ ）
A ．1
B ．1-
C ．3-
D ．3
5 ．若42ππθ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
，
,sin 2θ,则sin θ=
（ ）
A ．
35 B ．45 C
D ．
3
4
6 ．
已知sin cos αα-=,α∈(0,π),则tan α=
（ ）
A ．-1 B
．2- C
．2
D ．1
7．若tan θ+1
tan θ =4,则sin2θ=
（ ）
A ．15
B ．14
C ．13
D ．
12
8．设R ϕ∈,则“=0ϕ”是“()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的
（ ）
A ．必要而不充分条件
B ．充分而不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
9.要得到函数 =cos 2y x 的图象，只需将函数=sin(2-)3
y x π
的图象 （ ）
A ．向左平移
56π个单位长度 B ．向左平移512π个单位长度 C ．向右平移512π个单位长度 D ．向右平移56π
个单位长度
10．sin 43cos13-sin13sin 47。
= （ ）
A ．1
-2
B ．12 C
．-2 D
．2
11．下列函数中，周期是2
π
的偶函数的是 （ ）
A ．y=sin 4x
B ．22
y=sin 2-cos 2x x C ．y=tan2x D ．y=cos2x
12.已知
1+sin 1=-cos 2x x ，那么cos =sin -1
x
x （ ）
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A ．1-
2
B ．
12
C ．2
D ．-2
二、填空题（每题5分共20分） 13．函数()sin(2)4
f x x π
=+
的最小正周期为_______.
14．函数f(x)=sin (x ωϕ+)的导函数()y f x '=的部分图像如图4所示,其中,P 为图
像与y 轴的交点,A,C 为图像与x 轴的两个交点,B 为图像的最低点.
若6
π
ϕ=
,点P 的坐标为
则ω=______ ; 15．
当函数sin (02)y x x x π=-≤<取得最大值时,x =_______________.
16.函数2
f(x)=2cos x+sin 2-1x ，给出下列四个命题（1）函数f(x)在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上
是减函数。
（2）直线=8
x π
是函数f(x)的图象的一条对称轴。
（3）函数f(x)
的图象可以由函数2y x 的图象向左平移
4π
个单位得到。
（4）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
则函数f(x)
的值域是⎡⎣，其中正确的命题是__________
三、解答题
17．（18分）已知函数
2()=sin (2+
)+sin(2)+2cos 13
3
f x x x x π
π
-
-,x R ∈.
(1)求函数()f x 的最小正周期及对称中心 （2）求函数()f x 的减区间及对称轴 (3)求函数()f x 在区间[,]44
ππ
-
上的最大值和最小值.
18．（18分）函数
()sin()16
f x A x π
ω=-+(0,0A ω>>)的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离
为
2
π, (1)求函数()f x 的解析式; （2）解不等式()f x 1.5≥ (3)设(0,
)2π
α∈,则()22
f α
=,求α的值.
19．（12分）已知向量(sin ,1),(
3cos ,
cos 2)(0)3
A
m x n A x x A ==>,函数()f x m n =⋅的最大值为6. (Ⅰ)求A ;
(Ⅱ)将函数()y f x =的图象向左平移ϕ个单位（0<ϕ<2
π
）,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
1
2
倍,纵坐标不变,得到偶函数函数()y g x =的图象.求ϕ的值 20．（12分）已知函数f(x)=sinx+sin cos(x+
)-32
x π
（1） 求()f x 值域 （2） 当5-
,46x ππ⎡
⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时求()f x 值域。