【金版优课】高中数学人教B版选修2-1练习：3-2-3直线与平面的夹角b Word版含解析

04课后课时精练

一、选择题

1．直线l 与平面α所成角为π

6，直线m 在平面α内且与直线l 异面，则直线l 与m 所成角取值范围为( )

A ．[π6，π

2] B ．[0，π

6] C ．[π3，π2]

D ．[π6，56π]

解析：m 与l 异面，故其夹角最大为π

2，最小即为线面角，故范围为[π6，π

2]，故选A.

答案：A

2．若平面α的一个法向量为n ＝(4,1,1)，直线l 的一个方向向量a ＝(－2，－3,3)，则l 与α所成角的正弦值为( )

A.41133 B ．－41133 C.21133

D ．－21132

解析：cos 〈n ，a 〉＝－8－3＋322·18＝－4311＝－41133.故正弦值为411

33，

故选A.

答案：A

3．直线l 与平面α成45°角，若直线l 在α内的射影与α内的直线m 成45°角，则l 与m 所成的角为( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

解析：由最小角定理知，设l 与m 成θ角，

则cos θ＝cos45°·cos45°， ∴cos θ＝1

2，∴θ＝60°，故选C. 答案：C

4．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，则AC 1和平面BB 1C 1C 所成角的余弦值为( )

A.104

B.66

C.62

D.10

2

解析：设正三棱柱ABC －A 1B 1C 1所有棱长均为1，以B 为原点，建立空间直角坐标系(如图)，

则C 1(0,1,1)，A (32，1

2，0) 所以AC 1→＝(－32，1

2，1)，

又平面BB 1C 1C 的一个法向量n ＝(1,0,0)， 所以AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角θ的正弦值 sin θ＝|AC 1→

·n ||AC 1→|·|n |＝322×1＝6

4

，

cos θ＝1－sin 2θ＝10

4，故选A.

答案：A

5．[2014·邵阳高二检测]正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1

与平面A 1BD 所成的角的余弦值是( )

A.24

B.23

C.63

D.33

解析：

如图建立D －xyz 直角坐标系，设正方体棱长为a ， 则B (a ，a,0)，C 1(0，a ，a )，A 1(a,0，a ) 设平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，

A 1D →＝(－a,0，－a )，BC 1→＝(－a,0，a )，BD →

＝(－a ，－a,0)

∴⎩

⎪⎨⎪⎧

－ax －az ＝0－ax －ay ＝0 令z ＝1，则x ＝－1，y ＝1， ∴n ＝(－1,1,1)

∴sin θ＝|BC 1→

·n B 1C 1→·|n ||＝23

，∴cos θ＝3

3.

答案：D

6．如图，矩形ABCD 中，已知AB ＝1

2AD ，E 是AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起到△A ′BE 的位置，使A ′C ＝A ′D ，则A ′C 与平面BEDC 所成角的正切值是( )

A ．2 B.55 C.255

D.12

解析：

如图，以B 为原点，以BA 、BC 所在的直线为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系B －xyz .

取BE 的中点M ，CD 的中点N ，连接A ′M 、MN 、A ′N ，由题意可证得A ′M ⊥BE ，A ′M ⊥CD ，得A ′M ⊥面BCDE ，则∠A ′CM 是A ′C 与平面BEDC 所成的角．

令AB ＝1，AD ＝2，则M (12，1

2，0)

A ′(12，12，22)，C (0,2,0)则CA →＝(12，－32，2

2) MA ′→是平面BEDC 的一个法向量且MA ′→＝(0,0，22)

所以sin ∠A ′CM ＝|cos 〈MA ′，CA ′〉|＝|MA →·CA →

|

|MA →||CA ′→|＝123·22＝

66，∴tan ∠A ′CM ＝5

5.

答案：B 二、填空题

7．等腰Rt △ABC 的斜边AB 在平面α内，若AC 与α成30°角，则斜边上的中线CM 与平面α所成角的大小为________．

解析：如图，∠CAO ＝30°，设

AC ＝BC ＝1，∴AB ＝2，

作CO ⊥α，∴OC ＝12. ∵CM ＝12AB ＝2

2， ∴sin ∠OMC ＝1222

＝2

2，

又∠OMC 为锐角，∴∠OMC ＝45°. 答案：45°

8．[2014·郑州高二检测]四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，ABCD 是正方形，且PD ＝AB ＝1，G 为△ABC 的重心，则PG 与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为________．

解析：

本题主要考查向量法求线面角，考查三角形重心坐标公式．分别以DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，由已知P (0,0,1)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，则重心G (23，2

3，0)，因而DP →＝(0,0,1)，GP →＝(－23，－23，1)，那么sin θ＝|cos 〈DP →，GP →〉|＝|DP →·GP →

||DP →|·|GP →|

＝31717.

答案：317

17

9．如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 1是A 1C 1的中点，则AD 1与平面B 1D

1C 所成角的正弦值为________．

解析：因为B 1D 1⊥平面A 1ACC 1， 所以平面A 1ACC 1⊥平面B 1D 1C ，

所以AD 1在平面B 1D 1C 上的射影在CD 1上，