《常微分方程与动力系统》课程教学说明
常微分方程与动力系统
常微分方程与动力系统
盖拉徳·泰休的《常微分方程与动力系统》介绍常微分方程和动力系统。
它可作为数学、物理、力学的大学生，研究生和教师们的常微分方程和动力系统教科书或参考书。
也可供相关人员参考使用。
内容简介
盖拉徳·泰休的这本《常微分方程与动力系统》介绍常微分方程和动力系统。
先从几个简单的明显可求解的方程开始，接着证明初值问题的基本结果：解的存在唯一性，可延拓性，以及关于初始条件的依赖性。
进一步，考虑线性方程，费洛凯(Floquet)定理和自治线性流。
然后，在复域中讨论线性方程的费罗贝尼乌斯(Frobenius)方法。
以及对包括振动理论的施图姆。
刘维尔(Sturm-Liouville)型边值问题的研究。
接下来引入动力系统的概念，并对连续系统和离散系统讨论稳定性，包括稳定流形和哈特曼。
格罗伯曼(Hartman-Grobman)定理等。
随后证明庞加莱一本迪克松(Poincare-Bendixson)定理，并研究几个来自经典力学，生态学以及电路工程中的平面系统的例子。
此外，还讨论了吸引子，哈密顿(Hamilton)系统，KAM定理和周期解。
最后，介绍混沌。
开始以迭代区间映射为基础，并以同宿轨道的斯梅尔。
伯克霍夫(Smale-Birkhoff)定理和梅利尼科夫(Melnikov)方法结束。
《常微分方程与动力系统》的许多重要内容在一般的微分方程教科书中是不介绍的。
常微分方程与动力系统课程教学大纲CourseOutline
will train think manner such as qualitative and quantitative manner, geometry and analysis ways, etc. As a consequence, the audiences for the course can be expected to correctly understand the concepts and basic theory of ordinary differential equations, preliminary understand some knowledge of dynamical system, master the method for solving ordinary differential equations, and deal with some practical problem by these knowledge. Teaching instruction is the main way of this course , and the self-study of students are required so that students can better understand this subject and improve their interest in ODE and dynamical systems.
1. 《常微分方程教材》 （第二版）， 丁同仁、李承治， 高等教育出 版社，2004
2. 《Differential Equations》 (Fourth Edition)， Paul Blanchard、 Robert
L. Devaney、 Glen R.Hall， Brooks/Cole，2012
《常微分方程》教学大纲
《常微分方程》教学大纲课程编号：E09B2410课程中文名称：常微分方程课程英文名称：Oridinary Differential Equations学时/学分：48/3开课学期：□√秋季□春季先修课程：数学分析，高等代数，解析几学，物理学一、课程教学目标通过本课程的学习,使学生掌握常微分方程的基本概念和初等积分法的一般方法,熟练掌握线性方程与方程组的解的结构和求解方法，并能运用这些方法去，解决一些简单的实际问题，也为以后的学习打下良好的基础。
二、教学内容及基本要求第一章一阶微分方程的初等解法(16学时)要求熟练掌握变量可分离方程、齐次方程、一阶线性方程、全微分方程等的解法，会应用降阶法解某些高阶方程。
并会建立简单的微分方程模型。
第二章解的存在性与唯一性定理(10学时)掌握解的存在、唯一性定理及证明，了解解的延展定理和解关于初值的连续、可微性定理。
会求方程的奇解并理解其含义。
第三章一阶线性微分方程组(8学时)掌握线性微分方程组的一般理论及常系数线性微分方程组的解法，会计算矩阵指数。
并对方程的解的渐近状态有所了解。
第四章n阶线性微分方程(12学时)掌握线性微分方程的一般理论及常系数线性微分方程的解法，了解二阶线性方程的幂级数解法和Laplace方法。
会应用二阶常系数线性方程分析振动现象。
第五章定性与稳定性理论简介(2学时) (机动)微分方程定性和稳定性理论简介，后续课程及相关研究方法介绍(讲座形式)三、教学安排及方式1.§1.1 微分方程与解（建摸例子）；§1.2 变量可分离方程；2.§1.3 齐次方程；§1.4 一阶线性方程（齐次，非齐次线性方程解的结构，渐近性质）；3.§1.5 全微分方程及积分因子；4.§1.6 一阶隐式微分方程；5.§1.7 几种可降阶的高阶方程；6.§1.8 一阶微分方程应用举例(几何、光学、生物，力学方面的应用)；7.*§1.9 变分法简介(泛函极值问题、欧拉方程)；8.第一章小结，习题课(补充习题).9.§2.1常微分方程的几何解释(线素场. 欧拉折线)；10.§2.2 解的存在性与唯一性定理（Picard 逼近法）；11.§2.3 解的延展, 比较定理；12.§2.4 奇解与包络；§2.5 解对初值的连续依赖性和解对初值的可微性；13.第二章小结，习题课期中考试14.§3.1一阶微分方程组(补充向量函数与矩阵函数的相关知识)；§3.2 一阶线性微分方程组的一般概念；15.§3.3 一阶线性齐次方程组的一般理论；§3.4 一阶线性非齐次方程组的一般理论;16.§3.5 常系数线性微分方程组的解法(1)；17.§3.5 常系数线性微分方程组的解法(2)；§3.6 指数矩阵；18.第三章小结，习题课. (机动)19.§4.1 n阶线性微分方程的一般理论；20.§4.2 n阶常系数线性齐次微分方程解法；21.§4.3 n阶常系数线性非齐次微分方程解法；补充: 欧拉方程;22.§4.4 二阶常系数线性方程与振动现象；23.§4.5 拉普拉斯变换；§4.6 幂级数解法大意；24.第四章小结，习题课.25.机动：微分方程定性和稳定性理论简介(讲座形式)四、考核方式：考试方式：闭卷考试期末总成绩：期终考试占70%，期中考试占20%，平时作业占10%.五、教材及参考资料：[1]. 《常微分方程》，东北师范大学数学系微分方程教研室编，高等教育出版社。
《常微分方程》教学大纲
教学大纲一、教学目的、任务常微分方程历来是综合性大学数学系各专业的核心基础课程，不仅是进一步学习泛函分析、数理方程、微分几何的必要准备，本身也在工程力学、流体力学、天体力学、电路振荡分析、工业自动控制以及化学、生物、经济等领域有广泛的应用. 通过本课程学习，不仅为后行课程打下基础，而且以穿插其中的在历史上成功利用微分方程解释实际现象的著名范例来培养学生用数学理论解决实际问题的意识和初步能力. 实行中英双语教学，适时穿插工程实践背景的应用分析，培养学生的动手能力和创新意识.二、教学内容的结构分为六章内容讲解，具体地：1.微分方程建模（8学时）;2.初等积分法(12学时);3.线性系统(8学时);4.常系数线性系统(12学时，包括若干振动问题4学时);5.一般理论(12学时);6.定性理论初步(12学时).三、单元教学目标与任务第一章绪论1、基本内容(1) 常微分方程模型（含Duffing机械振动、Van de Pol电磁震荡、天文二体问题、生态种群竞争系统、物理化学系统）;(2) 微分方程求解思想（解的定义、高阶方程与一阶方程组的互化，微分方程的几何解释，包括等倾线与方向场分析等）;(3) 微分方程的基本问题（通解的概念，“线性”与“非线性”微分方程）.2、基本要求(1) 了解微分方程的背景和建模过程;(2) 理解微分方程的定解条件，尤其是初值条件;(3) 掌握高阶方程与一阶方程组的互化;(4) 理解等倾线与方向场与解的关系.3、建议课时（8学时）(1) 常微分方程模型(2学时);(2) 微分方程求解思想(4学时);(3) 基本问题(1学时);(4) 习题课(1学时).第二章初等积分法1、基本内容(1) 变量分离形式（含初等变换应用、一阶线性方程、伯努里方程、齐次方程和线性分式方程求解）;(2) 恰当方程形式（对恰当方程求通积分，以及积分因子法）;(3) 隐式方程（微分法与参数法）;(4) 初等积分法的一些应用（奇解与包络并引伸出解的存在唯一性问题，Clairaut方程，高阶微分方程，平面保守系统，Riccati方程）.2、基本要求(1) 掌握分离变量法和积分因子法;(2) 理解恰当方程的条件;(3) 掌握一阶线性方程和伯努里方程求解，掌握求解隐式微分方程微分法与参数法;(4) 了解奇解与包络.3、建议课时（12学时）(1) 变量分离形式及习题课(4学时);(2) 恰当方程形式及习题课(3学时);(3) 隐式方程(2学时);(4) 初等积分法的一些应用及习题课(3学时).第三章线性方程1、基本内容(1) 存在性与唯一性;(2) 齐次线性方程组的通解结构（含叠加原理、Wronsky行列式及Liouville定理）;(3) 非齐次线性方程组的通解（含通解结构、常数变易法和常数变易公式）;(4) 高阶线性方程;(5) 复值解和级数解法（为常系数问题的特征理论打基础）.2、基本要求(1) 掌握叠加原理、Wronsky行列式及Liouville定理;(2) 掌握非齐次线性方程组通解结构、常数变易法和常数变易公式;(3) 理解线性方程组的复值解和高阶线性方程线性理论;(4) 了解级数解法.3、建议课时（8学时）(1) 存在性与唯一性(2学时);(2) 齐次线性方程组的通解结构(2学时);(3) 非齐次线性方程组的通解及习题课(2学时);(4) 高阶线性方程(1学时);(5) 复值解和级数解法(1学时).第四章常系数线性方程1、基本内容(1) 齐次问题（常系数高阶齐次线性方程及其特征值与基本解组的关系）;(2) 非齐次问题（非齐次方程特解算子解法、算子与逆算子思想）;(3) 常系数线性方程组（Euler待定指数函数法，基本解矩阵，重特征根情形的基本解矩阵，矩阵指数函数exp(At)、Jordan标准型）;(4) 应用: 机械振动（机械振动问题，谐振、共振、拍振等各种振动现象）.2、基本要求(1) 掌握基本解矩阵和Euler待定指数函数法;(2) 理解重特征根情形的基本解矩阵的计算思想并掌握计算方法;(3) 掌握常系数高阶线性方程的算子解法;(4) 了解机械振动问题.3、建议课时（12学时）(1) 齐次问题(2学时);(2) 非齐次问题(2学时);(3) 习题课(1学时);(4) 常系数线性方程组(3学时);(5) 应用: 机械振动及习题课（4学时）.第五章一般理论1、基本内容(1) Picard存在唯一性定理（含Lipschitz条件、Picard迭代序列、一维压缩计算实验）;(2) Peano存在性定理（含Euler折线法、等度连续性、介绍Ascoli-Arzela引理）;(3) 解的延拓（含延拓基本定理、整体存在性条件、有限时间爆破）;(4) 微分不等式与比较定理;(5) 解对初值和参数的依赖性（连续依赖性，可微性，对初值和参数的导数满足的微分方程）;(6) 微分方程数值解（数值计算和仿真实验）.2、基本要求(1) 掌握Picard存在唯一性定理的结论及证明;(2) 理解解的延拓定理和解对初值和参数的连续依赖性和可微性;(3) 理解Peano存在性定理;(4) 了解解的数值逼近.3、建议课时（12学时）(1) Picard存在唯一性定理（2学时）;(2) Peano存在性定理（2学时）;(3) 解的延拓及习题课（2学时）;(4) 微分不等式与比较定理（2学时）;(5) 解对初值和参数的依赖性（2学时）;(6) 微分方程数值解及习题课（2学时）.第六章定性理论初步1、基本内容(1) 动力系统概念（含自治系统轨道基本性质、极限点集）;(2) Liapunov稳定性（Liapunov稳定性概念、用特征值和Gronwall不等式判断）;(3) Liapunov直接法（构造Liapunov函数）;(4) 平面平衡点分析;(5) 周期轨道与Poincare映射（含离散周期现象介绍）;(6) 平面Hamilton系统.2、基本要求(1) 了解动力系统概念;(2) 掌握稳定性概念和特征值判定;(3) 理解李雅普诺夫直接法和轨道基本性质及极限点集性质;(4) 掌握平面初等奇点判定;(5) 了解极限环与周期现象;(6) 了解平面Hamilton系统.3、建议课时（12学时）(1) 动力系统概念（2学时）;(2) Liapunov稳定性（2学时）;(3) Liapunov直接法及习题课（2学时）;(4) 平面平衡点分析（2学时）;(5) 周期轨道与Poincare映射（2学时）;(6) 平面Hamilton系统及习题课（2学时）.四、教学活动以及教学方法上的基本要求1．采用“大班授课、小班研讨”的教学模式，即由主讲教师设计课程改革方案并承担大班教学工作，研究生助教负责组织小班研讨及其他辅助工作。
《常微分方程》课程标准6页word文档
《常微分方程》课程标准一、课程概述常微分方程是数学与应用数学、信息与计算科学专业的一门专业必修课。
它不但是数学的基础课，同时也是常微分方程学科本身近代发展方向的重要基础。
在教学当中，教师应加强基本理论的教学，同时也要注意运算技能的培养和训练；通过典型例子、做练习题这些环节，帮助培养、提高解题能力和技巧。
二、课程目标1、通过学习，使学生知道《常微分方程》在数学基础课中的地位与作用，知道本学科的研究范围、研究方法和学科进展情况。
2、通过本课程的学习，使学生掌握《常微分方程》的基本概念、基本原理和基本方法。
3、要求学生学会运用基本方法和基本运算和技能，把所学到的基本原理应用到具体的实际事件中去，去发现、分析和解决一些日常生活中遇到的实际问题。
三、教学内容和教学要求这门学科的知识与技能要求分为知道、理解、掌握、学会四个层次。
这四个层次的一般涵义表述如下：知道———是指对这门学科和教学现象的认知。
理解———是指对这门学科涉及到的概念、原理、策略与技术的说明和解释，能提示所涉及到的教学现象演变过程的特征、形成原因以及教学要素之间的相互关系。
掌握———是指运用已理解的教学概念和原理说明、解释、类推同类教学事件和现象。
学会———是指能模仿或在教师指导下独立地完成某些教学知识和技能的操作任务，或能识别操作中的一般差错。
教学内容和要求表中的“√”号表示教学知识和技能的教学要求层次。
本标准中打“*”号的内容可作为自学，教师可根据实际情况确定要求或不布置要求。
（一）绪论（一）课时安排与教学建议《常微分方程》是数学与应用数学专业的必修课，也是主干课程。
在第三学期或第四学期开设为宜，每周安排3节，共60学时完成本课程的教学。
具体课时安排如下：1、 应以标准教学班为主要教学组织，班级授课制是本课程教学的主要组织形式。
2、 应注意教学方法、教学手段的综合运用，教学过程中，可以用如讨论、提问、声像、多媒体 教学等手段开展教学活动以激发学生学习兴趣。
常微分方程教学大纲
《常微分方程》课程教学大纲一课程说明1.课程基本情况课程名称：常微分方程英文名称：Ordinary Differential Equation课程编号：2411208开课专业：数学与应用数学开课学期：第3学期学分/周学时：3/3课程类型：专业主干课2．课程性质（本课程在该专业的地位作用）本课程是数学与应用数学专业的专业主干课程，是整个数学课程体系中的一个重要组成部分。
本课程的教学，对锻炼和提高学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的思想方法有着重要的意义，以及对培养应用型人才方面起着重要的作用。
3．本课程的教学目的和任务掌握各种特殊类型的常微分方程的求解方法，理解常微分方程的基本概念和一些主要的基本理论，对常微分方程的发展有一个整体的认识，会用常微分方程解决一些简单的实际问题。
4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求本课程教学时间安排在第三学期。
它是数学分析和高等代数的后续课程，也是泛函分析、微分几何等的前导课，同时也是常微分方程学科本身近代发展方向的重要基础。
因此，在整个课程体系中起着承上启下的作用。
根据毕节学院生源实际和办学的实际情况，教材建议使用王高雄、周之铭等主编教材《常微分方程》（第三版、高等教育出版社）。
通过对本课程的学习，使学生了解微分方程的相关背景知识、理解和掌握基本概念和一些基本的理论；熟练掌握求解各类一阶线性微分方程及可降阶的高阶微分方程的初等积分法；理解并掌握一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理、解的延拓定理、解对初始值与参数的连续依赖性及解对初始值的可微性；会用常微分方程解决一些简单的实际问题；为学习本学科的后继课程（微分方程数值解法、偏微分方程、微分几何、泛函分析等）打下基础。
5．教学时数及课时分配二教材及主要参考书1．王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松等，常微分方程（第三版），北京：高等教育出版社，2006.2．叶彦谦，常微分方程讲义（第二版），北京：人民教育出版社，1982.3．丁同仁，李承治，常微分方程教程，高等教育出版社，2003.1.4．金忆丹，复变函数与拉普拉斯变换，浙江大学出版社，2004.8.三教学方法和教学手段说明以讲授、板演为主的教学模式，适当地加入了一些讨论式教学方法。
高等数学中的微分方程与动力系统教学案例
高等数学中的微分方程与动力系统教学案例摘要：本教学案例旨在通过介绍高等数学中的微分方程与动力系统的相关概念和应用，帮助学生理解和应用微分方程在动力系统中的重要性。
通过具体的案例分析和实例练习，培养学生的问题解决能力和创新思维，提高他们在理论与实践中的应用能力。
1. 引言高等数学是大学数学教育的重要组成部分，微分方程与动力系统是其中的一项重要内容。
微分方程作为数学与物理、经济、生物等学科的重要桥梁，对研究自然界和社会现象的规律起着至关重要的作用。
动力系统是研究微分方程解行为的数学分支，通过分析微分方程解的稳定性、周期性和收敛性等特征，揭示了自然界和社会现象的规律。
2. 微分方程与动力系统的基本概念2.1 微分方程的定义与分类微分方程是描述函数与其导数（或微分）之间关系的方程。
常见的微分方程包括常微分方程和偏微分方程两种类型，根据方程中的未知函数的阶数和自变量的个数等特征进行分类。
2.2 动力系统的定义与特征动力系统是由微分方程描述的一类具有时间演化性质的系统。
动力系统的研究对象主要是微分方程解的稳定性、周期性和收敛性等特征，通过分析这些特征可以揭示系统的动力性质。
3. 微分方程与动力系统的应用案例3.1 常微分方程的应用通过介绍常微分方程的物理、生物和经济等应用案例，引导学生理解常微分方程在实际问题中的重要性和应用方法。
例如，通过建立考虑空气阻力的物体运动模型，分析空气阻力对物体运动轨迹的影响。
3.2 偏微分方程的应用以热传导方程为例，介绍偏微分方程在热传导问题中的应用。
通过建立热传导方程模型，分析材料的温度分布和热传导过程，为工程热力学和材料科学提供理论依据。
3.3 动力系统的应用通过引入动力学方程和相图等概念，介绍动力系统在天体力学、生态学和经济学等领域的应用。
例如，通过建立天体力学中的行星运动模型，分析行星轨道的稳定性和演化规律。
4. 教学案例设计与实施4.1 案例选择与设计根据课程目标和学生的实际需求，选择合适的微分方程与动力系统的教学案例，并设计相应的案例分析和实例练习。
《常微分方程》课程教学大纲
《常微分方程》课程教学大纲（数学类各专业）泉州师范学院理工学院数学专业2008．01．20（修订）《常微分方程》课程教学大纲学时数：68（其中讲授52学时，习作课16学时）适应专业：数学类各专业先修课程：数学分析高等代数解析几何一、课程的地位、性质和任务：该课程是数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的一门必修的专业基础课，也是数学联系实际的最重要的一门课程。
通过本课程的学习，使学生正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，提高分析问题和解决问题的能力，培养学生应用数学知识解决实际问题的初步能力和创新精神，而且为后继的数学专业各课程准备解决问题的方法和工具，更是通向物理、力学、经济、金融等学科和工程技术的桥梁，为学生今后进一步学习和研究打下基础。
二、课程教学的基本要求：该课程在数学类各专业的第四学期开设，每周4课时，总学时数为68课时。
课堂上重点讲授常微分方程的基本概念、基本理论和研究的主要方法，重视把基本理论和主要方法应用于实际问题的研究。
习题课上注重基本解题能力的训练，配备一定数量的习题训练与讨论，并注意基本理论的应用与提高。
配备一定数量的课外作业以配合课堂教学，通过适量的课后练习，使学生充分理解并熟练掌握有关课堂教学内容。
教学中应重视介绍来源于实际的有关例子与问题，以培养学生应用数学知识解决实际问题的意识和创新精神。
三、课程主要内容及学时安排：课时分配表（一）、绪论（讲授4学时）1、教学要求：正确理解基本概念，了解微分方程来源于生产实际及其基本模型，了解常微分方程所要讨论的基本问题以及一阶微分方程解的几何意义。
2、教学内容：（1）实际问题导出微分方程模型举例；（2）基本概念：常微分方程与偏微分方程；微分方程的阶；线性与非线性；微分方程的解；特解与通解；初始条件；初值问题；（3）一阶微分方程的几何意义、方向场、积分曲线；（4）常微分方程所讨论的基本问题及近代发展简介。
（二）、一阶微分方程的初等解法（讲授10学时，习作课4学时）1、教学要求：熟练地求解变量分离方程、齐次方程（可化为齐次方程的方程）、线性方程、伯努利方程、恰当方程；掌握一阶隐式方程的几种可求解类型；初步会用变量变换思想与积分因子技巧解一些复杂的方程。
如何利用常微分方程分析动力系统
如何利用常微分方程分析动力系统在科学和工程的众多领域中，动力系统的研究占据着至关重要的地位。
从天体物理中的行星运动，到生物种群的增长与竞争，再到电路中的电流变化，动力系统无处不在。
而常微分方程作为数学中的一个重要工具，为我们分析动力系统提供了强有力的手段。
要理解如何利用常微分方程分析动力系统，首先得明白什么是常微分方程。
简单来说，常微分方程是一个包含一个自变量（通常是时间t）和一个未知函数及其导数的方程。
例如，形如 y' ＝ f(t, y) 的方程就是一个常微分方程，其中 y' 表示 y 对 t 的导数，f(t, y) 是一个关于 t 和 y的已知函数。
那为什么常微分方程能用来分析动力系统呢？这是因为动力系统的本质就是描述某个量随时间的变化规律，而常微分方程恰好能够捕捉这种变化。
假设我们研究一个物理系统，比如一个自由落体的物体。
根据牛顿第二定律 F ＝ ma，其中 F 是合力，m 是物体的质量，a 是加速度。
对于自由落体，合力就是重力，大小为 mg（g 是重力加速度），加速度a 就是物体下落速度 v 对时间 t 的导数 v'。
所以我们可以得到方程 v' ＝g。
这就是一个简单的常微分方程，通过求解这个方程，我们可以得到物体下落速度随时间的变化规律。
再来看一个更复杂点的例子，比如一个生态系统中两个物种的竞争。
假设物种 A 和物种 B 的数量分别为 x(t) 和 y(t)，它们的增长和相互作用满足一定的规律。
例如，物种 A 的增长率受到自身数量的限制以及与物种B 竞争的影响，我们可以建立常微分方程x' ＝f(x, y)；类似地，物种 B 的数量变化可以用方程 y' ＝ g(x, y) 来描述。
有了常微分方程，接下来就是求解它们。
求解常微分方程的方法有很多种，比如分离变量法、积分因子法、常数变易法等。
对于一些简单的常微分方程，我们可以通过这些方法直接求出解析解，也就是用显式的公式表达出未知函数。
《常微分方程与动力系统》课程教学说明
上海交通大学 致远学院 2016年秋季学期《常微分方程与动力系统》课程教学说明一.课程基本信息1．开课学院（系）：致远学院2．课程名称：《常微分方程与动力系统》 (An Introducation to Differential Equations and Dynamical Systems)3．学时/学分：48学时/ 3学分4．先修课程：数学分析、高等代数、空间解析几何；或线性代数、高等数学。
5．上课时间：星期五 6-8节(12:55-15:40)6．上课地点：东下院 1017．期末考试时间：2017-01-（02-13）考试周8．任课教师：肖冬梅， xiaodm@9．办公室及电话：数学楼2305，54743151转230510．助教：何鸿锦，hehongjin000@11．答疑（office hour）：星期三晚18：30 – 20：30，数学楼2305室二.课程主要内容（如何可以，请提供中英文）除期中考试2学时+习题课2学时外，其余全是课堂教学第一章基本概念（3学时）主要内容：1.1什么是微分方程？什么是常微分方程？常微分方程的分类1.2什么是常微分方程解？什么是特解？什么是通解？1.3常微分方程建模：初始值问题和边界值问题1.4关于常微分方程和解的几何看法：向量场、积分曲线重点与难点：常微分方程和解的几何观点，方向场和积分曲线的作图第二章一阶常微分方程的初等解法（6学时）主要内容：2.1 变量分离法2.2 一阶线性常微分方程2.3 全微分方程（或恰当方程）和积分因子2.4 替代法和某些可解的常微分方程重点与难点：全微分方程和积分因子，变换的技巧第三章基本理论（8学时）主要内容：3.1 解的存在定理、解的存在与唯一性定理3.2 解的延拓3.3 解的连续性与可微性3.4 比较原理重点与难点：解的存在与唯一性第四章线性微分系统（7学时）主要内容：4.1解的性质：线性迭加原理和推广的线性迭加原理；解空间4.2常系数线性系统4.3平面线性系统的分类4.4周期系数的线性微分系统 – Floquet 理论重点与难点：线性微分系统解空间的结构第五章高阶线性常微分方程（6学时）主要内容：5.1解的性质：线性迭加原理和推广的线性迭加原理5.2二阶线性常微分方程：强迫调和振子5.3无阻力强迫与共振重点与难点：强迫与共振第六章非线性自治微分系统（连续动力系统）（8学时）主要内容：6.1动力系统：相空间与轨道6.2线性化6.3相平面上定性分析：平衡点、极限环6.4李雅普诺夫稳定与李雅普诺夫第二方法6.5平衡点的分支：鞍结分支与Hopf 分支重点与难点：动力系统的概念与轨道的定性分析第七章离散动力系统（6学时）主要内容：7.1离散的逻辑斯蒂克方程7.2不动点和周期点；吸引性与排斥性7.3分支与混沌重点与难点：不动点和周期点；吸引性与排斥性；混沌的概念Course Outline:Chapter 1 Basic concepts1.1What is DE? What is ODE? The classifications of ODEs1.2Solution: particular solution, general solution1.3Modeling via ODE: initial value problem (or Cauchy problem) and boundary valueproblem1.4Geometric view on ODE and solution: slope fields(direction field), integral curvesChapter 2 Analytic methods for solving first-order ODE2.1 Separation of variables2.2 The first-order linear differential equation2.3 Exact differential equation and integrating factors2.4 Use of substitutions and some solvable ODEsChapter 3 Fundamental Theorems3.1 Existence and uniqueness theorem3.2 Extendability of solution3.3 Continuity and differentiability of solution3.4 Principle of comparisonChapter 4 Systems of linear ODEs4.1Foundamental theory: the linearity principle and the extended linearity principle；Thespace of solutions4.2Linear system with constant coefficients4.3Classification of planar linear systems4.4Linear system with periodic coefficients --- Floquet theoryChapter 5 High order linear ODE5.1 Foundamental theory: the linearity principle and the extended linearity principle 5.2 Second-order linear ODE: forced Harmonic oscillators5.3 Undamped forcing and resonanceChapter 6 System of nonlinear autonomous ODEs6.1Dynamical system: phase space and orbits6.2Linearization6.3Qualitative analysis: equilibrium, limit cycle in the phase plane6.4Liapunov stability and Liapunov’s second method6.5Bifurcation of equilibrium: saddle-node bifurcation and Hopf bifurcationChapter 7 Discrete dynamical systems7.1the discrete Logistic equation7.2Fixed points and periodic points; attracting and repelling7.3Bifurcation and chaos三.课程考核方式及说明30%为平时成绩（课堂或课间提问，平时作业，大作业等）70%为考试成绩（期中+期末）四.教材与参考书1.《常微分方程教材》（第二版），丁同仁、李承治，高等教育出版社，20042.《Differential Equations》 (Fourth Edition)， Paul Blanchard、Robert L. Devaney、Glen R.Hall， Brooks/Cole，20123.《Differential Equations, Dynamical Systems – An introduction to Chaos》(SecondEdition), Morris W. Hirsch, Stephen Smale, Robert L. Devaney, 2007.4.Introduction to ODE and DS， Weinan E, Preprint, 2009。
《常微分方程》课程教学大纲
适用于数学与应用数学专业。
教学内容与时间安排表
章次
内容
总课时
理论课时
实践课时
一
初等积分法
20
14
6
二
基本定理
12
10
2
三
一阶线性微分方程组
12
8
4
四
高阶线性微分方程
3．课程教学目的与要求：
16
13
3本课程Βιβλιοθήκη 数学类专业一门学科专业必修课，授课对象为数学专业二年级本科生。通过常
微分方程的教学，要求学生掌握建立常微分方程模型的基本过程和方法，正确理解常微分方
第二章 解析函数 （10 学时）
1． 教学目的与要求 通过学习，使学生熟练掌握复函数的导数与微分及其基本性质；熟练掌握解析函数的概 念、性质和柯西－黎曼条件等重要结论；掌握初等解析函数，了解多值函数。
2． 主要内容 第一节 解析函数的概念与柯西-黎曼方程 4 学时 教学重点： 掌握函数解析的概念与柯西-黎曼方程。 教学难点： 掌握函数在一点解析的概念。
第四节 一阶线性非齐次方程组的一般理论 2 学时 教学重点：一阶线性非齐次方程组的通解结构，常数变易法。 教学难点：利用常数变易法求一阶线性非齐次方程组的特解。
第五节 常系数线性微分方程组的解法 4 学时 教学重点：常系数线性齐次方程组的解法，常系数线性非齐次方程组的解法。 教学难点：系数矩阵有复根或有重根时，常系数线性齐次方程组的解法。
6．课程教学方法与手段：
传统教学与现代多媒体技术相结合。
7．课程考试方法与要求：
平时成绩与期末成绩相结合。 总成绩=平时成绩*20%+期末考试（闭卷）试卷成绩*80%。 平时成绩满分 100（出勤 60%+平时作业 20%+平时测验 20%）
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上海交通大学 致远学院 2016年秋季学期
《常微分方程与动力系统》课程教学说明
一.课程基本信息
1．开课学院（系）：致远学院
2．课程名称：《常微分方程与动力系统》 (An Introducation to Differential Equations and Dynamical Systems)
3．学时/学分：48学时/ 3学分
4．先修课程：数学分析、高等代数、空间解析几何；或线性代数、高等数学。
5．上课时间：星期五 6-8节(12:55-15:40)
6．上课地点：东下院 101
7．期末考试时间：2017-01-（02-13）考试周
8．任课教师：肖冬梅， xiaodm@
9．办公室及电话：数学楼2305，54743151转2305
10．助教：何鸿锦，hehongjin000@
11．答疑（office hour）：星期三晚18：30 – 20：30，数学楼2305室二.课程主要内容（如何可以，请提供中英文）
除期中考试2学时+习题课2学时外，其余全是课堂教学
第一章基本概念（3学时）
主要内容：
1.1什么是微分方程？什么是常微分方程？常微分方程的分类
1.2什么是常微分方程解？什么是特解？什么是通解？
1.3常微分方程建模：初始值问题和边界值问题
1.4关于常微分方程和解的几何看法：向量场、积分曲线
重点与难点：常微分方程和解的几何观点，方向场和积分曲线的作图
第二章一阶常微分方程的初等解法（6学时）
主要内容：
2.1 变量分离法
2.2 一阶线性常微分方程
2.3 全微分方程（或恰当方程）和积分因子
2.4 替代法和某些可解的常微分方程
重点与难点：全微分方程和积分因子，变换的技巧
第三章基本理论（8学时）
主要内容：
3.1 解的存在定理、解的存在与唯一性定理
3.2 解的延拓
3.3 解的连续性与可微性
3.4 比较原理
重点与难点：解的存在与唯一性
第四章线性微分系统（7学时）
主要内容：
4.1解的性质：线性迭加原理和推广的线性迭加原理；解空间4.2常系数线性系统
4.3平面线性系统的分类
4.4周期系数的线性微分系统 – Floquet 理论
重点与难点：线性微分系统解空间的结构
第五章高阶线性常微分方程（6学时）
主要内容：
5.1解的性质：线性迭加原理和推广的线性迭加原理
5.2二阶线性常微分方程：强迫调和振子
5.3无阻力强迫与共振
重点与难点：强迫与共振
第六章非线性自治微分系统（连续动力系统）（8学时）
主要内容：
6.1动力系统：相空间与轨道
6.2线性化
6.3相平面上定性分析：平衡点、极限环
6.4李雅普诺夫稳定与李雅普诺夫第二方法
6.5平衡点的分支：鞍结分支与Hopf 分支
重点与难点：动力系统的概念与轨道的定性分析
第七章离散动力系统（6学时）
主要内容：
7.1离散的逻辑斯蒂克方程
7.2不动点和周期点；吸引性与排斥性
7.3分支与混沌
重点与难点：不动点和周期点；吸引性与排斥性；混沌的概念
Course Outline:
Chapter 1 Basic concepts
1.1What is DE? What is ODE? The classifications of ODEs
1.2Solution: particular solution, general solution
1.3Modeling via ODE: initial value problem (or Cauchy problem) and boundary value
problem
1.4Geometric view on ODE and solution: slope fields(direction field), integral curves
Chapter 2 Analytic methods for solving first-order ODE
2.1 Separation of variables
2.2 The first-order linear differential equation
2.3 Exact differential equation and integrating factors
2.4 Use of substitutions and some solvable ODEs
Chapter 3 Fundamental Theorems
3.1 Existence and uniqueness theorem
3.2 Extendability of solution
3.3 Continuity and differentiability of solution
3.4 Principle of comparison
Chapter 4 Systems of linear ODEs
4.1Foundamental theory: the linearity principle and the extended linearity principle；The
space of solutions
4.2Linear system with constant coefficients
4.3Classification of planar linear systems
4.4Linear system with periodic coefficients --- Floquet theory
Chapter 5 High order linear ODE
5.1 Foundamental theory: the linearity principle and the extended linearity principle 5.2 Second-order linear ODE: forced Harmonic oscillators
5.3 Undamped forcing and resonance
Chapter 6 System of nonlinear autonomous ODEs
6.1Dynamical system: phase space and orbits
6.2Linearization
6.3Qualitative analysis: equilibrium, limit cycle in the phase plane
6.4Liapunov stability and Liapunov’s second method
6.5Bifurcation of equilibrium: saddle-node bifurcation and Hopf bifurcation
Chapter 7 Discrete dynamical systems
7.1the discrete Logistic equation
7.2Fixed points and periodic points; attracting and repelling
7.3Bifurcation and chaos
三.课程考核方式及说明
30%为平时成绩（课堂或课间提问，平时作业，大作业等）
70%为考试成绩（期中+期末）
四.教材与参考书
1.《常微分方程教材》（第二版），丁同仁、李承治，高等教育出版社，2004
2.《Differential Equations》 (Fourth Edition)， Paul Blanchard、Robert L. Devaney、
Glen R.Hall， Brooks/Cole，2012
3.《Differential Equations, Dynamical Systems – An introduction to Chaos》(Second
Edition), Morris W. Hirsch, Stephen Smale, Robert L. Devaney, 2007.
4.Introduction to ODE and DS， Weinan E, Preprint, 2009。