江西省南昌市第十中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题含答案

南昌十中2017-2018学年度下学期期末考试试卷答案高二数学试题(理科)一、单选题（本大题共12小题，每题5分）1.设全集I R =，集合2{|log 2}A y y x x ==>，{|B x y ==，则（ ）A ．AB A = B ．A B ⊆C ．AB =∅ D ．()I AC B ≠∅2. 已知i 是虚数单位, 复数()1z a R a i=∈-在复平面内对应的点位于直线2y x =上, 则a =（ ）A ．12B ．2C ． 2-D ．12-3．下列命题中真命题的个数是（ ） ①x R ∀∈，42x x >；②若“p q ∧”是假命题，则,p q 都是假命题；③若“x R ∀∈，320x x -+≤”的否定是“x R ∃∈，3210x x -+>” A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．已知幂函数()f x 的图像过点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()8f 的值为（ ）AB ．64 C． D ．1645. 设0<p <1，随机变量ξ的分布列如右图，则当p 在（0，1）内增大时，（ ）A. D （ξ）减小 C. D （ξ）先减小后增大 D. D （ξ）先增大后减小 6. 设函数f (x )＝lg(1－x )，则函数f [f (x )]的定义域为( ) BA ．(－9，＋∞)B ．(－9,1)C ．[－9，＋∞7． 知2()f x ax bx =+是定义在[1,3]a a -上的偶函数，那么a b +=（ ） A ．14 B ．14- C ．12D ．12-8. 已知圆22:20C x y x +-=,在圆C 中任取一点P ,则点P 的横坐标小于1的概率为（ ） A ．2πB ．14 C ．12D ．以上都不对 P9. 一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）．A ．20B ．24C ．16 D．16+10． 设c b a ,,为三角形ABC 三边长，1,a b c ≠<，若l o g l o g 2l o g l o g cb cb cbcba a a a+-+-+=，则三角形ABC 的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定11. 已知等差数列{}n a 的等差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11,n a S =为数列{}n a 的前n 项和，则2163n n S a ++的最小值为（ ）．A ．4B ．3 C．2 D ．9212. 已知非零向量,a b 满足||2||a b =，若函数3211()||132f x x a x abx =+++在R 上存在极值，则a 和b 夹角的取值范围是（ ） A ．[0,)6πB ．(,]3ππC ．2(,]33ππD ．[,]3ππ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分） 13．已知平面α，直线m ，n 满足m α，nα，则“m ∥n ”是“m ∥α”的 条件14.若x ，y 满足x +1≤y ≤2x ，则2y −x 的最小值是__________．15．已知，则的展开式中常数项为____16.函数3(0)()2(0)x x a x f x a x --<⎧=⎨-≥⎩，(0a >且1)a ≠是R 上的减函数，则a 的取值范围是____. 三、解答题17．设命题:P函数()f x =R ；命题:39x x q a -<对一切实数x 恒成立，若命题“P q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围.18. 如图，在三棱柱ABC −111A B C 中，1CC ⊥平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为1AA ，AC ，11AC，1BB 的中点，AB=BC，AC =1AA =2． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BEF ； （Ⅱ）求二面角B−CD −C 1的余弦值； （Ⅲ）证明：直线FG 与平面BCD 相交．19、某校要用三辆汽车从新校区把教职工接到老校区，已知从新校区到老校区有两条公路，汽车走公路①堵车的概率为14，不堵车的概率为34；汽车走公路②堵车的概率为p ，不堵车的概率为1p -.若甲、乙两辆汽车走公路①，丙汽车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响.（1）若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为716，求走公路②堵车的概率； （2）在（1）的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数ξ的分布列和数学期望.20.国内某知名大学有男生14000人，女生10000人，该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间，如下表：（平均每天运动的时间单位：小时，该校学生平均每天运动的时间范围是[0,3]）. 男生平均每天运动时间分布情况：女生平均每天运动时间分布情况：（1）请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间（结果精确到0.1）；（2）若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”.①请根据样本估算该校“运动达人”的数量；②请根据上述表格中的统计数据填写下面22⨯列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为‘运动达人’与性别有关？”参考公式：22()()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.参考数据：21．设不等式|21|1x -<的解集为M ，且,a M b M ∈∈. （1）试比较1ab +与a b +的大小；（2）设max A 表示数集A 中的最大数，且h=，求h 的范围.22． 已知函数()x exf x e=（e 为自然对数的底数）． （1）求()f x 的单调区间；（2）是否存在正实数x 使得(1)(1)f x f x -=+，若存在求出x ，否则说明理由；1.B2. A 解：22211111a i a z i a i a a a +===+-+++,其对应的点为221(,)11a a a ++,又该点位于直线y=2x 上，所以12a =.3. B4.A5. 【答案】D【解析】分析:先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性. 详解：，，，∴先增后减,因此选D. 点睛：6.B 解析：f [f (x )]＝f [lg(1－x )]＝lg[1－lg(1－x )]，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－lg?1?x ?>0⇒－9<x <1.故选B.7.A 8.C【解析】将2220x y x +-=配方得22(1)1x y -+=,故C(1,0)，所以在圆内且横坐标小于1的点的集合恰为一个半圆面，所以所求的概率为12. 9. A 10. B 11.A 12.B13.（充分不必要条件） 14.3 15.32- 16.1(0,]317. 解：P 真时，0a =合题意.0a >时，210024a a ∆=-≥⇒<≤．02a ⇒≤≤时，P 为真命题.∙▪ ∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪4q 真时：令3(0,)x t =∈+∞，故2a t t >-在(0,)+∞恒成立14a ⇒>时，q 为真命题. ∙▪ ∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪8P q ⇒∧为真时，124a <≤.∙▪ ∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪10 P q ∴∧为假命题时，1(,](2,)4a ∈-∞+∞.∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪1218. 解：（Ⅰ）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∵CC 1⊥平面ABC ，∴四边形A 1ACC 1为矩形． 又E ，F 分别为AC ，A 1C 1的中点，∴AC ⊥EF ． ∵AB =BC ．∴AC ⊥BE ，∴AC ⊥平面BEF ． （Ⅱ）由（I ）知AC ⊥EF ，AC ⊥BE ，EF ∥CC 1． 又CC 1⊥平面ABC ，∴EF ⊥平面ABC ． ∵BE ⊂平面ABC ，∴EF ⊥BE ． 如图建立空间直角坐标系E -xyz ．由题意得B （0，2，0），C （-1，0，0），D （1，0，1），F （0，0，2），G （0，2，1）．∴=(201)=(120)CD CB u u u r u u r，，，，，， 设平面BCD 的法向量为()a b c =，，n ， ∴00CD CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r uur n n ，∴2020a c a b +=⎧⎨+=⎩，令a =2，则b =-1，c =-4，∴平面BCD 的法向量(214)=--，，n ， 又∵平面CDC 1的法向量为=(020)EB u u r，，，∴cos =||||EB EB EB ⋅<⋅>=uu ruu r uu r n n n ．由图可得二面角B -CD -C 1为钝角，所以二面角B -CD -C 1的余弦值为． （Ⅲ）由（Ⅱ）知平面BCD 的法向量为(214)=--，，n ，∵G （0，2，1），F （0，0，2），∴=(021)GF -u u u r ，，，∴2GF ⋅=-uu u r n ，∴n 与GF uuu r不垂直，∴GF 与平面BCD 不平行且不在平面BCD 内，∴GF 与平面BCD 相交．19. （1）由已知条件得()2121337144416C p p ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即31p =，则13p =，答：p 的值为13． （2）解：ξ可能的取值为0，1，2，3，()332304438P ξ===，()7116P ξ==，()12112131124434436P C ξ==+=，()1111344348P ξ===， ξ的分布列为：所以3711501238166486E ξ=+++=，答：数学期望为56．20. （1）由分层抽样得：男生抽取的人数为14000120701400010000⨯=+人，女生抽取人数为1207050-=人，故5,2x y ==，则该校男生平均每天运动时间为：0.2520.7512 1.2523 1.7518 2.2510 2.7551.570⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈故该校男生平均每天运动的时间约为1.5小时；∙▪ ∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪6 （2）①样本中“运动达人”所占比例是2011206=，故估计该校“运动达人”有1(1400010000)40006⨯+=人； ②由表可知：故2K 的观测值2120(1545555)962.7433.84120100507035k ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯ 故在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关” ∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪1221. （1）{|01}M x x =<<，,a b M ∈，∴01,01a b <<<<，1(1)(1)0ab a b a b +--=-->，∴1ab a b +>+∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪6（2）∵h≥，h ≥h ≥2234()4()428a b a b ab h ab ab ab ++⨯≥>≥=∴(2,)h ∈+∞.∙▪ ∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪∙▪1222.解：（1）函数()y f x =的单调递减区间是()1,+∞，单调递增区间为(),1-∞． （2）不存在正实数x 使得(1)(1)f x f x -=+成立， 事实上，由（1）知函数()y f x =在(,1)-∞上递增，而当()0,1x ∈，有()0,1y ∈，在()1,+∞上递减，有01y <<， 因此，若存在正实数x 使得(1)(1)f x f x -=+，必有()0,1x ∈． 令1()(1)(1)(1)x x x F x f x f x x e e+=+--=+-， 令1'()()xx F x x e e=-，因为(0,1)x ∈，所以'()0F x >，所以()F x 为(0,1)上的增函数，所以()(0)0F x F >=，即(1)(1)f x f x+>-，故不存在正实数x 使得(1)(1)f x f x -=+成立．。