宁夏银川九中高二上学期期中考试数学(文)

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宁夏回族自治区银川2023-2024学年高二上学期期中考试数学含解析

银川2023-2024学年第一学期高二年级期中考试数学试卷（答案在最后）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线2023y x =+的倾斜角为（）A.π4B.π3 C.2π3D.3π42.焦点在y 轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为的椭圆方程为（）A.2214x y += B.2212x y +=C.2212y x += D.2214y x +=3.在空间直角坐标系中，直线12,l l 的方向量分别为()()2,1,3,2,2,2a b =-=，则（）A.12l l ⊥ B.12l l // C.1l 与2l 异面D.1l 与2l 相交4.已知动点(,)M x y 4-，则动点M 的轨迹是（）A.射线B.直线C.椭圆D.双曲线的一支5.圆1C ：()()22314x y -++=关于直线0x y +=对称的圆2C 的方程为（）A.()()22314x y -+-= B.()()22134x y ++-=C.()()22314x y +++= D.()()22134x y -++=6.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，则此双曲线的渐近线倾斜角可以是（）A.π4B.2π3C.3π4D.5π67.过点()1,1A ，()3,3B 且圆心在直线3y x =上的圆与y 轴相交于P ，Q 两点，则PQ =（）A.3B. C. D.48.如图所示，用一束与平面α成60︒的球O ，在平面α上形成的投影为椭圆C及其内部，则椭圆C 的（）A.长轴长为3B.离心率为2C.焦距为2D.面积为3π二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知双曲线22:1169y x C -=-的焦点分别为12,F F ，则下列结论正确的是（）A.渐近线方程为340x y ±=B.双曲线C 与椭圆221259x y +=的离心率互为倒数C.若双曲线C 上一点P 满足122PF PF =，则12PF F △的周长为28D.若从双曲线C 的左､右支上任取一点，则这两点的最短距离为610.有关圆221:2880C x y x y +++-=与圆222:4410C x y x y +---=的下列哪些结论是正确的（）A.圆1C 的圆心坐标为()1,4--，半径为5B.若,M N 分别为两圆上两个点，则MN 的最大距离为8+C.两圆外切D.若,P Q 为圆2C 上的两个动点，且4PQ =，则PQ 的中点的轨迹方程为()()22225x y -+-=11.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===，且1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，则下列说法中正确的有（）A.11BD AA AD AB=+- B.13BD =C.1AC BD⊥ D.直线1A C ⊥平面11BDD B 12.若实数x ，y 满足曲线C ：214y x =-）A.13y ≤≤B.3y x +的最小值为15C.直线()33y k x =-+与曲线C 恰有1个交点，则实数2,25k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D.曲线C 上有4个点到直线3460x y -+=的距离为1.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线1l ：410x ay ++=，2l ：()26210a x y a ++++=，当12l l ∥时，a 的值为__________.14.若椭圆的对称中心在原点，焦点在坐标轴上，且直线220x y -+=经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为______.15.设1F ，2F 分别是椭圆C 的左，右焦点，过点1F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，若113MF F N =，且24cos 5MNF ∠=，则椭圆C 的离心率为_________.16.已知()11,M x y ，()22,N x y 是圆C ：()()22344x y -+-=上的两个不同的点，若2MN =，则1122x y x y +++的取值范围为___________．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知离心率为54的双曲线C 与椭圆2214520x y +=的焦点相同.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）求双曲线C 的焦点到渐近线的距离.18.已知圆22:3C x y +=，直线l 过点()2,0A -.（1）当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的斜率；（2）线段AB 的端点B 在圆C 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，16,8,10AA AC AB BC ====，点D 是线段BC 的中点，（1）求证：1AB A C⊥（2）求D 点到平面11A B C 的距离；20.椭圆C 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆C 经过点)且短轴长为2.（1）求椭圆C 的标准方程：（2）过点()2,1且倾斜角为π4的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中垂线与x 轴交于点Q ，P 是椭圆C 上的一点，求PQ 的最小值.21.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB BC CA ===，1AD CD ==，平面11AA C C ⊥平面ABCD ，1AA AB ⊥.（1）求证：1AA ⊥平面ABCD ；（2）若E 为线段BC 的中点，直线1A E 与平面ABCD 所成角为45°，求平面1A AE 与平面11A EC 的夹角的余弦值.22.已知圆E ：22140x y ++-=，点M 是圆E 上的动点，点)F ，N 为MF 的中点，过N作SN MF ⊥交ME 于S ，设点S 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）过点()0,1P 的动直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点.在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使QA PA QBPB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.银川2023-2024学年第一学期高二年级期中考试数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线2023y x =+的倾斜角为（）A.π4B.π3 C.2π3D.3π4【答案】A 【解析】【分析】设直线2023y x =+的倾斜角为()0πθθ≤<，然后利用斜率公式即可【详解】设直线2023y x =+的倾斜角为()0πθθ≤<，由2023y x =+可得斜率tan 1k θ==，即π4θ=故选：A2.焦点在y 轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为的椭圆方程为（）A.2214x y += B.2212x y +=C.2212y x += D.2214y x +=【答案】D 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程，结合题干列出方程，即可.【详解】因为焦点在y 轴上，故设椭圆方程为22221y x a b +=，则222232c a b ⎛=-== ⎝⎭，且2a b =，解得：224,1a b ==，所以椭圆的标准方程为2214y x +=.故选：D3.在空间直角坐标系中，直线12,l l 的方向量分别为()()2,1,3,2,2,2a b =-=，则（）A.12l l ⊥B.12l l //C.1l 与2l 异面D.1l 与2l 相交【答案】A 【解析】【分析】应用空间向量数量积的坐标运算，结合向量垂直表示即可确定直线的位置关系.【详解】由()()2,1,32,2,24260a b ⋅=-⋅=+-= ，故a b ⊥ ，所以12l l ⊥.故选：A4.已知动点(,)M x y 4-，则动点M 的轨迹是（）A.射线B.直线C.椭圆D.双曲线的一支【答案】A 【解析】【分析】利用两点间的距离公式分析条件的几何意义可得.【详解】设()()122,0,2,0F F -，由题意知动点M 满足12124MF MF F F -==|，故动点M 的轨迹是射线.故选：A.5.圆1C ：()()22314x y -++=关于直线0x y +=对称的圆2C 的方程为（）A.()()22314x y -+-= B.()()22134x y ++-=C.()()22314x y +++= D.()()22134x y -++=【答案】D 【解析】【分析】圆1C 关于直线对称的圆2C 之间的关系为：圆心关于直线对称，半径相等.所以求出(3,1)-关于直线0x y +=对称的对称点即可解题.【详解】圆1C ：()()22314x y -++=的圆心为(3,1)-，半径为2，设(3,1)-关于直线0x y +=对称的对称点为(,)a b ，则1(1)1331022b a a b +⎧⨯-=-⎪⎪-⎨+-⎪+=⎪⎩，解得13a b =⎧⎨=-⎩.∴(3,1)-关于直线0x y +=对称的对称点为(1,3)-，∴圆1C ：()()22314x y -++=关于直线0x y +=对称的圆2C 的方程为()()22134x y -++=.故选：D.6.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，则此双曲线的渐近线倾斜角可以是（）A.π4B.2π3C.3π4D.5π6【答案】B 【解析】【分析】由双曲线的渐近线的斜率与双曲线的离心率的关系，以及直线斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】由于双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线为b y x a =±，且注意到双曲线的离心率为ce a=，又在双曲线中有平方关系：222c a b =+，所以离心率为c e a a ===，又由题意2e =，2=，解得b a =即双曲线的渐近线的斜率为ba=由直线斜率和倾斜角的关系可知此双曲线的渐近线的倾斜角可以是2π3或π3.故选：B.7.过点()1,1A ，()3,3B 且圆心在直线3y x =上的圆与y 轴相交于P ，Q 两点，则PQ =（）A.3B.C. D.4【答案】C 【解析】【分析】由题意设圆的圆心、半径分别为(),3,a a r ，则圆的方程为()()2223x a y a r -+-=，结合已知条件即可求出圆的方程，在圆的方程中令0x =，即可求出P ，Q 两点的坐标，由此即可得解.【详解】因为圆心在直线3y x =上，所以设圆的圆心、半径分别为(),3,a a r ，则圆的方程为()()2223x a y a r -+-=，将()1,1A ，()3,3B 代入圆的方程有()()()()222222113333a a r a a r⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得214a r =⎧⎨=⎩，所以圆的方程为()()22134x y -+-=，在圆的方程中令0x =得()2314y -+=，解得3y =±，所以((33PQ =+-=.故选：C.8.如图所示，用一束与平面α成60︒的球O ，在平面α上形成的投影为椭圆C 及其内部，则椭圆C 的（）A.长轴长为3B.离心率为2C.焦距为2D.面积为3π【答案】C 【解析】【分析】先根据投影的特点确定椭圆C 的a ，b 的取值与球O 半径长之间的关系，再结合椭圆的性质计算离心率分别判断各个选项即可．【详解】由题意知：,60OB AB OB BAO ⊥=∠=︒，2sin OBOA BAO∴==∠∴椭圆C 的长轴长224a OA ==，A 错误；椭圆C 短轴长为球O的直径，即2b b =∴=,1,c ∴==∴椭圆C 的焦距为22c =，C 正确；∴椭圆C 的离心率12c e a ==，B 错误；由图可知：椭圆C 的面积大于球O 大圆的面积，又球O 大圆的面积3πS =，∴椭圆C 的面积大于3π，D 错误．故选：C ．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知双曲线22:1169y x C -=-的焦点分别为12,F F ，则下列结论正确的是（）A.渐近线方程为340x y ±=B.双曲线C 与椭圆221259x y +=的离心率互为倒数C.若双曲线C 上一点P 满足122PF PF =，则12PF F △的周长为28D.若从双曲线C 的左､右支上任取一点，则这两点的最短距离为6【答案】CD 【解析】【分析】根据椭圆和双曲线的定义及性质一一判定即可.【详解】由题意可得22:1916x y C -=，令22034916x y y x -=⇒=±，故A 错误；易知双曲线和椭圆的离心率分别为1254,35e e ====，显然它们不互为倒数，故B 错误；由双曲线的定义可知12236PF PF -=⨯=，若122PF PF =，则12216,12PF PF PF PF -===，又12210F F ==，故12PF F △的周长为12126121028PF PF F F ++=++=，故C 正确；由双曲线的图象可知左右两支上距离最近的两点为左右顶点，故D 正确.故选：CD10.有关圆221:2880C x y x y +++-=与圆222:4410C x y x y +---=的下列哪些结论是正确的（）A.圆1C 的圆心坐标为()1,4--，半径为5B.若,M N 分别为两圆上两个点，则MN 的最大距离为8+C.两圆外切D.若,P Q 为圆2C 上的两个动点，且4PQ =，则PQ 的中点的轨迹方程为()()22225x y -+-=【答案】ABD【解析】【分析】对于A ，将圆1C 的方程化为标准方程即可判断；对于B ，画出图形结合三角不等式即可求解；对于C ，由121212,,r r C C r r -+的关系即可判断；对于D ，画出图形，结合垂径分线定理分析即可.【详解】对于A ，将圆221:2880C x y x y +++-=的方程化为标准方程得()()221425x y +++=，由此可知圆1C 的圆心坐标为()1,4--，半径为5，故A 选项正确；对于B ，将圆222:4410C x y x y +---=的方程化为()()22229x y -+-=，如图所示：不妨设,M N 分别为两圆12,C C 上两个点，四个点1212,,,C C M N 共线，则由三角不等式可知11221111MN MC C N C C M N MC C N ≤+≤++=，而12,MC C N 分别为两圆12,C C 的半径，即12125,3M r C r C N ====，12C C 是指两圆圆心()()121,4,2,2C C --之间的距离，即12C C ==所以112112538C C MN MC C N MC C N ≤+≤++=+=+，由等号成立的条件可知，当且仅当点M 与点1M 重合，点N 与点1N 重合时，11max 8M N MN==+，故B 选项正确；对于C ，由B 选项分析可知121212253538r r C C r r =-=-<=+=+=，故两圆相交，而不是外切，故C 选项错误；对于D ，如图所示：由题意不妨设4PQ =，,P Q 中点为R ，则122PR PQ ==，又由于()()222:229C x y -+-=的半径为23r =，所以由垂径分线定理可知2C R ===，即225C R =，所以点R 的坐标为(),x y ，又点2C 的坐标为()2,2，所以()()22225x y -+-=，故D 选项正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于B 、D 两选项的判断，因而是否能够准确作出图形、利用数学结合的思想来判断B 、D 两选项是解题的关键.11.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===，且1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，则下列说法中正确的有（）A.11BD AA AD AB =+-B.1BD =C.1AC BD⊥ D.直线1A C ⊥平面11BDD B 【答案】ACD【解析】【分析】根据题意由空间向量的加减运算即可得A 正确；将11BD AA AD AB =+- 两边平方利用向量数量积即可求得1BD = B 正确；由向量数量积计算可得10AC BD ⋅= ，即C 正确；易知1AC 是平面11BDD B 的一个法向量，可得D 正确.【详解】由平行六面体可知11DD AA = ，所以111BD BA AD DD AA AD AB =++=+- ，即A 正确；设AB a = ，AD b =，1AA c = ，则{,,}a b c 为空间的一个基底，因为11AB AD AA ===，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，所以2221a b c === ，12a b b c c a ⋅=⋅=⋅=r r r r r r ，()2222221111()||||||2222BD AA A D AB c b a c b a c b c a b a =+-=+-=+++⋅-⋅-⋅= ，可得1BD = ，故B 错误；()1122()()()0AC BD AB AD AA AD AB a b c b a a b a b b a c b c a ⋅=++⋅-=++⋅-=⋅-+-⋅+⋅-⋅= 即10AC BD ⋅= ，所以1AC BD ⊥，故C 正确；在平面11BDD B 上，取BD ，1BB为基向量，则对于平面11BDD B 上任意一点P ，存在唯一的有序实数对(,)λμ，使得1BP BD BB λμ=+ ．又1AC a b c =+- ，BD b a =- ，1BB c = ，所以1111()()()0A C BP A C BD A C BB a b c b a a b c c λμλμ⋅=⋅+⋅=+-⋅-++-⋅= ．所以1AC 是平面11BDD B 的法向量．故D 正确．故选：ACD ．12.若实数x ，y 满足曲线C：1y =）A.13y ≤≤B.3y x +的最小值为15C.直线()33y k x =-+与曲线C 恰有1个交点，则实数2,25k ⎛⎤∈⎥⎝⎦D.曲线C 上有4个点到直线3460x y -+=的距离为1.【答案】AB【解析】【分析】首先画出曲线表示的半圆，再根据点与直线，直线与圆的位置关系逐项判断；【详解】对于A:曲线1y =()2214x y +-=的图象是以()01，为圆心，2为半径的半圆，如图，13y ≤≤，选项A 正确；对于B:3y x +代表曲线半圆上的点与()3,0-的斜率，由图可知，曲线取点()2,1B 时，斜率最小，()101235k -==--，选项B 正确；对于C ：直线()33y k x =-+过定点()3,3A ，由图可知，当直线位于,PA PB 之间，或者直线()33y k x =-+与曲线C 相切时恰有1个交点，312,32PB k -==-()312325PA k -==--相切时2d ==，解得：0k =或125k =，故实数212,2055k ⎛⎤⎧⎫∈⋃⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭，，选项C 错误；对于D ：如图，曲线上最多有2个点到直线3460x y -+=的距离为1，D 错误；故选：AB.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线1l ：410x ay ++=，2l ：()26210a x y a ++++=，当12l l ∥时，a 的值为__________.【答案】4-【解析】【分析】根据两条直线的平行关系求a 的值，再把a 的值代入直线方程验证平行关系，进而得出a .【详解】因为12l l ∥，所以()26240a a +-⨯=，解得4a =-或1a =.当1a =时，1l ：410x y ++=，2l ：8220x y ++=，此时1l 与2l 重合，不符合题意；当4a =-时，1l ：4410x y -+=，2l ：2230x y -+-=，此时12l l ∥，符合题意.综上，a 的值为4-.故答案为：4-.14.若椭圆的对称中心在原点，焦点在坐标轴上，且直线220x y -+=经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为______.【答案】2215x y +=或22154y x +=【解析】【分析】对椭圆的焦点进行分类讨论，求出,,a b c 的值即可.【详解】由于直线220x y -+=与坐标轴的交点为()2,0-与()0,1．①当焦点为()2,0-，顶点为()0,1时，此时椭圆焦点在x 轴上，且1b =，2c =，所以22222125a b c =+=+=所以椭圆的标准方程为2215x y +=．②当焦点为()0,1，顶点为()2,0-时，此时椭圆焦点在y 轴上，且2b =，1c =，所以22222215a b c =+=+=所以椭圆的标准方程为22154y x +=．综上所述，椭圆的标准方程为2215x y +=或22154y x +=．故答案为：2215x y +=或22154y x +=．15.设1F ，2F 分别是椭圆C 的左，右焦点，过点1F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，若113MF F N = ，且24cos 5MNF ∠=，则椭圆C 的离心率为_________.【答案】22##122【解析】【分析】如图，设1F N x =，由题意，椭圆定义结合余弦定理可得3a x =，后在12NF F △由余弦定理可得122F F a =，即可得答案.【详解】如图，设1F N x =，则13MF x =，4MN x =.又由椭圆定义可得2223,2MF a x F N a x =-=-.则在2MNF 中，由余弦定理可得:()()()222222222162234425825MN NF MF x a x a x MN NF x a x +-+---=⇒=⋅-()222288410101681868253x ax a x ax ax x x ax x x a x +⇒=⇒+=-⇒=⇒=-.则125,33a a F N NF ==，则在12NF F △由余弦定理可得：2222121212255422299335a a a a F F F N F N F N F N a =+-⋅=+-⋅⋅⋅=.又1222222c F F c a c e a =⇒=⇒==.故答案为：2216.已知()11,M x y ，()22,N x y 是圆C ：()()22344x y -+-=上的两个不同的点，若MN =，则1122x y x y +++的取值范围为___________．【答案】[]10,18【解析】【分析】1122x y x y +++为()11,M x y 和()22,N x y 到直线0x y +=倍，是MN 的中点P到直线0x y +=距离的倍，利用P 点轨迹，求取值范围.【详解】由题知，圆C 的圆心坐标()3,4C ，半径为2，因为MN =CM CN ⊥．设P 为MN 的中点，所以CP =，所以点P 的轨迹方程为()()22342x y -+-=．点P 的轨迹是以()3,4C 的圆.设点M ，N ，P 到直线0x y +=的距离分别为1d ，2d ，d ，所以1d =，2d =122d d d +=，所以)112212x y x y d d +++=+=．因为点C 到直线0x y +=2=，所以727222d ≤≤+即22d ≤≤，所以1018≤≤．所以1122x y x y +++的取值范围为[]10,18．故答案为：[]10,18【点睛】思路点睛：利用1122x y x y +++的几何意义，问题转化为为()11,M x y 和()22,N x y 到直线0x y +=距离之和，再转化为MN 的中点P 到直线0x y +=距离，由P 点轨迹是圆，可求取值范围.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知离心率为54的双曲线C 与椭圆2214520x y +=的焦点相同.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）求双曲线C 的焦点到渐近线的距离.【答案】（1）221169x y -=（2）3【解析】【分析】（1）根据已知条件取得双曲线的,,a b c ，从而求得双曲线的标准方程.（2）利用点到直线的距离公式求得正确答案.【小问1详解】椭圆2214520x y +=的焦点坐标为()5,0±，设双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，222c a b =+，所以双曲线的半焦距5c =.又由54c a =，得4a =，所以3b =，所以双曲线C 的标准方程为221169x y -=.【小问2详解】由（1）知，双曲线C 的焦点坐标为()5,0±，渐近线方程为340x y ±=，所以双曲线C3=.18.已知圆22:3C x y +=，直线l 过点()2,0A -.（1）当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的斜率；（2）线段AB 的端点B 在圆C 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.【答案】（1）（2）223(1)4x y ++=【解析】【分析】（1）设出直线l 的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，解出即可；（2）建立点M 和点A 之间的关系式，再利用点A 的坐标满足的关系式得到点M 的坐标满足的条件，即可求出.【小问1详解】已知C 的圆心是()0,0O，设直线斜率为,k 则直线方程是()2y k x =+，即20kx y k -+=，=，解得直线的斜率k =.【小问2详解】设点()()00,,,M x y B x x 则，由点M 是AB 的中点得，0022,02x x y y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩所以00222x x y y =+⎧⎨=⎩①因为B 在圆C 上运动，所以2200:3C x y +=②①代入②得，22(22)(2)3,x y ++=化简得点M 的轨迹方程是223(1)4x y ++=.19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，16,8,10AA AC AB BC ====，点D 是线段BC的中点，（1）求证：1AB A C⊥（2）求D 点到平面11A B C 的距离；【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）利用勾股定理证得AB AC ⊥，再由线面垂直得线线垂直，进而线面垂直得线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用点面距离的向量公式求解即可.【小问1详解】ABC 中，6,8,10AC AB BC ===，所以AB AC ⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以1AA AB ⊥，又因为1AA AC A = ，AC ⊂平面11ACC A ，1AA ⊂平面11ACC A ，所以AB ⊥平面11ACC A ，1AC ⊂平面11ACC A ，所以1AB A C ⊥.【小问2详解】由（1）知，1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以11,AA AB AA AC ⊥⊥，又AB AC ⊥，如图建立空间直角坐标系A xyz -，则()()()()113,4,0,0,0,6,0,8,6,6,0,0D A B C ，()()1116,0,6,0,8,0AC A B =-= ，设平面11A B C 的一个法向量为(),,n x y z =r，则11166080n A C x z n A B y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，解得0x z y =⎧⎨=⎩，令1z =，则()1,0,1n = ，设D 到平面11A B C 的距离为d ，由()3,4,0CD =-得CD n d n ⋅=== .20.椭圆C 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆C经过点)且短轴长为2.（1）求椭圆C 的标准方程：（2）过点()2,1且倾斜角为π4的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中垂线与x 轴交于点Q ，P 是椭圆C 上的一点，求PQ 的最小值.【答案】（1）2212x y +=（2）3【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质即可求解.（2）由直线l 和椭圆方程式联立得线段AB 的中点坐标，得到线段AB 的中垂线方程，由此求得Q 的坐标，再由椭圆的参数方程得P 的坐标，再由两点间的距离公式和复合函数求最值即得.【小问1详解】由题意设椭圆C 的方䄇为()222210x y a b a b+=>>，因为椭圆C 经过点)且短轴长为2，所以2,1a b ==，所以椭圆的标准方程为2212x y +=.【小问2详解】由已知得直线l 的方程为1y x =-，设()()1,12,2,A x y B x y ，将直线1y x =-代入2212x y +=，得2340x x -=，解得403x =或，不妨设10x =则11y =-；同理得2241,33x y ==，即()410,1,,33A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以线段AB 的中点坐标21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以线段AB 的中垂线PQ 的方程为13y x =-+，因为线段AB 的中垂线PQ 与x 轴交于点Q ，所以令0y =得13x =，得1,03Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为椭圆的标准方程为2212x y +=.所以设椭圆的参数方程为sinαx y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，[]0,2πα∈，因为P 是椭圆C 上的一点，所以)P ,所以PQ ===因为[]0,2πα∈，所以1cosα1-≤≤，当cosα3=时，PQ 取得最小值为3.21.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB BC CA ===，1AD CD ==，平面11AA C C ⊥平面ABCD ，1AA AB ⊥.（1）求证：1AA ⊥平面ABCD ；（2）若E 为线段BC 的中点，直线1A E 与平面ABCD 所成角为45°，求平面1A AE 与平面11A EC 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）5.【解析】【分析】（1）由平面11AA C C ⊥平面ABCD ，证明BD ⊥平面11AA C C ，得1AA BD ⊥，又1AA AB ⊥，可证明1AA ⊥平面ABCD .（2）以A 为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解面面夹角的余弦值.【小问1详解】连接BD ，设AC BD F ⋂=，由BA BC =，DA DC =，得BD 是线段AC 的垂直平分线，即有BD AC ⊥，平面11AA C C ⊥平面ABCD ，平面11AA C C 平面ABCD AC =，BD ⊂平面ABCD ，于是BD ⊥平面11AA C C ，而1AA ⊂平面11AA C C ，则1AA BD ⊥，又1AA AB ⊥，,AB BD ⊂平面ABCD ，AB BD B = ，所以1AA ⊥平面ABCD .【小问2详解】由AB BC CA ===60BAC ∠= ，又1AD CD ==，AC =，122AF AC ==，则30DAC ∠= ，于是90DAB ∠= ，又1AA AB ⊥，1AA AD ⊥，则以{}1,,AB AD AA 为正交基底，建立空间直角坐标系A xyz -，在ABC 中，E 为BC 中点，即有3322AE AB ==，由1AA ⊥平面ABCD ，得1A EA ∠为1A E 与平面ABCD 所成角，即145A EA ∠= ，有132AA AE ==，则130,0,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3(,,0)44E ，133(,,222C ，B ，33,,0)22C ，由1AA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，得1BC AA ⊥，又BC AE ⊥，1,AE AA ⊂平面1A AE ，1AE AA A = ，则BC ⊥平面1A AE ，于是平面1AA E的一个法向量为3(,,0)22m BC ==- ，设平面11A EC 的一个法向量为(),,n x y z =r，133(,,442A E =-，113(,,0)22AC = ，则11133044233022n A E x y z n A C x y ⎧⋅=+-=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，取1y =-，得1,1)n =- ，设平面1A AE 与平面11A EC 的夹角为θ，则3|(1)|||1522cos 5||||m n m n θ-⨯⨯-⋅== ，所以平面1A AE 与平面11A EC的夹角余弦值为5.22.已知圆E：22140x y ++-=，点M 是圆E上的动点，点)F，N 为MF 的中点，过N 作SN MF ⊥交ME 于S ，设点S 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）过点()0,1P 的动直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点.在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使QA PAQB PB =恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=（2）存在点(0,2)Q 满足题意．【解析】【分析】（1）由动点的位置特征，判断出轨迹为椭圆，待定系数法求方程；（2）当直线l 与y 轴垂直时，得点Q 必在y 轴上；当直线l 与x 轴垂直时，得点Q 的坐标只可能是(0,2)Q ；再证明直线l 斜率存在且(0,2)Q 均满足条件即可．【小问1详解】依题意可知圆E的标准方程为(2216x y ++=，圆心()E ，因为线段MF 的垂直平分线交ME 于点S ，所以SM SF =，动点S 始终满足422SE SF SE SM EM EF +=+==>=S 满足椭圆的定义，曲线C 是以,E F 为焦点的椭圆，设椭圆方程为2222 1x y a b+=，因此22422a c ==，，解得22a b c ===，，椭圆C 的方程为22142x y +=.【小问2详解】存在与点P 不同的定点(0,2)Q ，使得||||||||=QA PA QB PB 恒成立．理由如下：当直线l 与x 轴平行时，由椭圆的对称性可知PA PB =，又因为||||||||=QA PA QB PB 得，则QA QB =，从而点Q 必在y 轴上，可设0(0,)Q y ，当直线l 与x 轴垂直时，则((2,0,2A B -，如果存在定点Q 满足条件，由||||||||=QA PA QB PB 0022|2|21y =++，解得01y =或02y =，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点坐标只能是(0,2)；当直线l 不平行于x 轴且不垂直与x 轴时，可设直线l 的方程为1y kx =+，联立221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得：()2212420k x kx ++-=，22(4)8(12)0k k ∆=++>，设A 、B 的坐标分别为()11,A x y 、()22,B x y ，122412k x x k∴+=-+，122212x x k =-+，又点B 关于y 轴对称的点B '的坐标为2(x -，2)y ，又11111211AQ y kx k k x x x --===-，22222211QB y kx k k x x x '--===-+--，121220AQ QB x x k k k x x '+-=-=AQ QB k k '∴=，则Q 、A 、B '三点共线，∴12||||||||||||||||x QA QA PA QB QB x PB ==='；故存在与点P 不同的定点(0,2)Q ，使得||||||||=QA PA QB PB 恒成立．【点睛】方法点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。

宁夏银川九中1415学年度高二上学期期末——数学(文)数

宁夏银川九中2014—2015学年度上学期期末考试高二数学文试题（本卷满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1.命题p ：x ＝π是函数y ＝sin x 图象的一条对称轴；q ：2π是y ＝sin x 的最小正周期，下列复合命题：①p ∨q ；②p ∧q ；③非p ；④非q ，其中真命题( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2.以双曲线x 23－y 2＝1的左焦点为焦点，顶点在原点的抛物线方程是( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝－42xD ．y 2＝－8x3.执行如图所示的程序框图，若输出的S ＝88，则判断框内应填入的条件是( ) A ．k>7? B ．k>6? C ．k>5? D ．k>4?4．设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )A.14B.13C.12D.236.已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围( )A.⎝⎛⎭⎫12，2 B ．(1，＋∞) C ．(1,2) D.⎝⎛⎭⎫12，17. 若不等式的解集为则的值是（）A.－10B.－14C. 10D. 14 8．下列命题中是假命题的是( )A ．∃m ∈R ，使f(x)＝(m －1)·x m 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上递减 B ．∀a>0，函数f(x)＝ln 2x ＋lnx －a 有零点 C ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin βD ．∀φ∈R ，函数f(x)＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 9. 已知等差数列的前13项的和为39，则（） A.6 B. 12 C. 18 D. 910.已知变量满足目标函数是,z 的最大值是（）A.2B.3C.4D.511. 有关命题的说法错误的是（）A ．命题“若”的逆否命题为：“若，则”B ．“x=1”是“”的充分不必要条件C ．若为假命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题使得，则，均有12．已知抛物线与双曲线有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且轴，则双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 13．已知等比数列的公比为正数，且a 3·a 9=2·a 52，a 2=1则a 1= 。

宁夏银川市高二上学期期中数学试卷

宁夏银川市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）点M（3，4）到圆x2+y2=1上的点距离的最小值是（）A . 1B . 4C . 5D . 62. （2分）如图，一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是△OAB，OB=AB=2，则该直观图所表示的平面图形的面积为（）A .B .C .D . 23. （2分）方程x2+y2+4mx﹣2y+5m=0表示圆的充要条件是（）A . ＜m＜1B . m＜或m＞1C . m＜D . m＞14. （2分）(2012·浙江理) 已知矩形ABCD，AB=1，BC= ．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A . 存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B . 存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C . 存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D . 对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直5. （2分）(2020·新课标Ⅲ·文) 在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（）A . 圆B . 椭圆C . 抛物线D . 直线6. （2分）若⊙O1：x2+y2=5与⊙O2：（x-m）2+y2=20（m∈R）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是（）A . 1B . 2C . 3D . 47. （2分） (2016高二上·自贡期中) 以下对于几何体的描述，错误的是（）A . 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球B . 一个等腰三角形绕着底边上的高所在直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形叫做圆锥C . 用平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台D . 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱8. （2分） (2016高三上·珠海模拟) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1 ， B1C1的中点，O 是AC与BD的交点，面OEF与面BCC1B1相交于m，面OD1E与面BCC1B1相交于n，则直线m，n的夹角为（）A . 0B .C .D .二、填空题 (共7题；共8分)9. （1分）(2019高二上·上高月考) 已知三棱锥中， ,，则三棱锥的外接球的表面积为________.10. （1分）(2019·四川模拟) 九章算术中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马” 现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形若该阳马的顶点都在同一个球面上，且该球的表面积为，则该“阳马”的体积为________．11. （1分） (2019高二下·静安期末) 用一块半径为2分米的半圆形薄铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，若衔接部分忽略不计，则该容器的容积为________立方分米.12. （1分） (2019高一上·中山月考) 如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是________.13. （2分） (2016高二上·湖州期中) 已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1，点A（﹣1，0），B（1，0），点P 是圆上的动点，则d=|PA|2+|PB|2的最大值为________，最小值为________．14. （1分） (2019高一下·通榆月考) 三棱柱ABC－A′B′C′的底面是边长为1 cm的正三角形，侧面是长方形，侧棱长为4 cm，一个小虫从A点出发沿表面一圈到达A′点，则小虫所行的最短路程为________cm.15. （1分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣5）2=5，过圆心C作直线l交圆于A、B两点，交y轴于点P，且2=，则直线l的方程为________三、解答题 (共5题；共60分)16. （10分） (2016高二上·嘉兴期中) 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为a，E是棱DD1的中点（1）求三棱锥E﹣A1B1B的体积；（2）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．17. （10分） (2016高二上·重庆期中) 在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：相切．（1）求圆O的方程；（2）若圆O上有两点M、N关于直线x+2y=0对称，且，求直线MN的方程．18. （15分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，（1）试证：A1 ， G，C三点共线（2）试证：A1C⊥平面BC1D（3）求点C到平面BC1D的距离．19. （15分） (2015高二上·滨州期末) 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AB=5，BC=4，AC=CC1=3，D为AB的中点（1）求证：AC⊥BC1；（2）求异面直线AC1与CB1所成角的余弦值；（3）求二面角D﹣CB1﹣B的余弦值．20. （10分） (2017高二上·常熟期中) 已知圆C经过A（﹣2，1），B（5，0）两点，且圆心C在直线y=2x 上．（1）求圆C的方程；（2）动直线l：（m+2）x+（2m+1）y﹣7m﹣8=0过定点M，斜率为1的直线m过点M，直线m和圆C相交于P，Q两点，求PQ的长度．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共7题；共8分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共60分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、。

宁夏银川九中2014-2015学年高二上学期期中考试数学(文)

4．设等比数列的公比，前n项和为，则（）
A．2B．4C． D．
5．一个等差数列的前5项和为10，前10项和为50，那么它的前15项和为（）
A．210 B．120 C．100 D．85
6．不等式组所表示的平面区域的面积为（）
A． B．27 C．30 D．
7.右图是2014年银川九中举行的校园之星评选活动中，七位评
（3）186…………4分
19．解：（1）散点图略…………3分，(2)线性回归直线方程： …………6分
（2）当购买时间每增加一个月，再出手时的售价平均降低1千元。…………3分
20解：设数列的公差为，则，．由成等比数列得，
即，解得或．
当时，；当时，，此时有
．…………12分
21．解：设画面高为xcm，宽为λxcm，则λx2= 4840．
18.（12分）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50到350度之间,频率分布直方图如图所示.求
(I)直方图中的值
(II)在这些用户中,用电量落在区间内的户数。
(Ⅲ)这100户居民的平均用电量。
19．（12分）下表是银川九中高二七班数学兴趣小组调查研究iphone6购买时间x（月）与再出售时价格y（千元）之间的数据。
16..以下命题正确的是______.
①若a2+b2=8，则ab的最大值为4；
②若数列的通项公式为，则数列的前n项和为；
③若；
④已知数列的递推关系，，则通项．
⑤已知则的取值范围是
三．解答题（本大题共6小题，共70分．必须写出相应的文字说明、过程或步骤）
17．（10分）已知集合，求和．

宁夏银川市第九中学高二数学上学期期中试题

银川九中2015—2016学年度第一学期期中考试试卷高二年级数学试卷（本试卷满分150分）（注：班级、姓名、学号、座位号一律写在装订线以外规定的地方，卷面不得出现任何标记）一选择题（每小题5分共60分）1．若P 在Q 的北偏东44°50′，则Q 在P 的( )A ．东偏北45°10′B ．东偏北45°50′C ．南偏西44°50′D ．西偏南45°50′2．在数列55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中，x 等于（） A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 3.已知数列{a n }满足a 1>0,2a n ＋1＝a n ，则数列{a n }是( )A. 递增数列B. 递减数列C. 常数列D. 摆动数列4.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6 等于( )A. 16B. 24C. 36D. 485．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则∠A=（） A ．090 B ．060 C ．0120 D ．0150 6．若a>b>0，则下列不等式总成立的是( )A.b a >b ＋1a ＋1 B ．a ＋1a >b ＋1bC ．a ＋1b >b ＋1aD.2a ＋b a ＋2b >a b7．设数列{a n }是由正项组成的等比数列，且a 7·a 8＝4，则log 4a 1＋log 4a 2＋…＋log 4a 14等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 8.若数列a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n，则a 5－a 4＝( )A. 110B. －110C. 190D. 19909.在正项数列{a n }中，若a 1＝1，且对所有n ∈N *满足na n ＋1－(n ＋1)a n ＝0，则a 2015＝( )A. 1011B. 1012C. 2014D. 201510．已知数列{a n }的通项公式a n ＝26－2n ，要使此数列的前n 项和S n 最大，则n 的值为( )A ．12B ．13C ．12或13D ．1411．在△ABC 中，若∠A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则a ＋b ＋csinA ＋sinB ＋sinC＝( )A ．3 3 B.2393C.2633D.39212.设集合A ＝{x|x 2－x －6>0}，B ＝{x|(x －k)(x －k －1)<0}，若A∩B＝φ，则k 的取值范围是( )A ．{k|k<－3或k>1}B ．{k|－2≤k≤2}C ．{k|k<－2或k>2}D ．{k|－3≤k≤1}二填空题（每小题5分共20分）13.已知等差数列{a n }中，S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝_______．14.已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝3S 2，a 3＝2，则a 7＝________． 15.船以每小时15km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60 ，行驶４h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为 km16.已知不等式022<+-bx ax 的解集为}{21|<<x x ,则=+b a三解答题（共70分） 17.（本题12分）（1）若－π2<α<β<π2，求α－β的取值范围.(2) 若x ＝(a ＋3)(a －5)，y ＝(a ＋2)(a －4)，比较x 与y 的大小. 18．（本题12分）设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a ＝2b sin A . (1)求B 的大小；(2)若a ＝33，c ＝5，求b .19. （本题10分）已知数列{}n a 的前n 项和n n S 23+=，求n a20. （本题10分）若不等式x 2－8x ＋20mx 2－mx －1＜0对一切x 恒成立，求实数m 的范围.21. （本题12分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 对的边长分别是a 、b 、c. （1）若c=2,C=3π,且ABC ∆的面积是3，求a,b 的值；（2）若A A B C 2sin )sin(sin =-+,试判断ABC ∆的形状.22. （本题14分）数列{}n a 为公差不为0的等差数列，n S 为前n 项和，5a 和7a 的等差中项为11，且25114a a a a ⋅=⋅．令11,n n n b a a +=⋅数列{}n b 的前n 项和为n T ．（Ⅰ）求n a 及n T ；（Ⅱ）是否存在正整数1,(1),,,m n m n m n T T T <<使得成等比数列？若存在，求出所有的,m n 的值；若不存在，请说明理由．银川九中2015—2016学年度第一学期期中考试试卷高二年级数学试卷答案一选择题（共60分，每小题5分） CCBD CCCC DCBB二填空题（共20分，每小题5分）45 ; 8 ; 230 ; 4 三解答题（共70分） 17 （本题12分）(1) α－β的取值范围是(－π，0) ------------6分 (2) x ＜y -----------6分 18 （本题12分）解析 (1)由a ＝2b sin A ，得sin A ＝2sin B sin A ，所以sin B ＝12.由△ABC 为锐角三角形，得B ＝π6. ---------6分(2)根据余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2a cos B ＝27＋25－45＝7，所以b ＝7.---6分 19 （本题10分）解：111132,32,2(2)n n n n n n n n S S a S S n ----=+=+=-=≥ --------6分而115a S ==， ---------2分 ∴⎩⎨⎧≥==-)2(,2)1(,51n n a n n --------2分20 （本题10分）解析：合理等价变形，正确分类是解决问题关键.解：由题x 2－8x ＋20＝（x －4）2＋4＞0则原不等式等价于 mx 2－mx －1＜0成立 ------2分那么，①当m ＝0时，－1＜0不等式成立； -------2分 ②当m ≠0时，要使不等式成立，应有⎩⎨⎧m ＜0Δ＝m 2＋4m ＜0，解之得：－4＜m ＜0 -------5分由①②可知，－4＜m ≤0 ---------1分 21．（本题12分） (1)由余弦定理C ab b a c cos 2222-+=得422=-+ab b a 又ABC ∆的面积为3，得ab=4 解得 a=2, b=2 ------6分（2）A A B C 2sin )sin(sin =-+得A A AB cos sin 2cos sin 2= 得0)cos (sin cos =-B A A --------4分2π=∴A ,ABC ∆为直角三角形； --------1分当0sin sin =-B A 时，A=B, ABC ∆为等腰三角形 ----1分 22 （本题14分）【解析】：（Ⅰ）因为{}n a 为等差数列，设公差为d ，则由题意得整理得111511212a d d a d a +==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩ 所以1(1)221n a n n =+-⨯=-……………4分由111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===-⋅-+-+所以111111(1)2335212121n nT n n n =-+-++-=-++……………4分（Ⅱ）假设存在由（Ⅰ）知，21n n T n =+，所以11,,32121m n m nT T T m n ===++若1,,m n T T T 成等比，则有222121()2132144163mn m n m nT T T m n m m n =⋅⇒=⋅⇒=+++++………2分 2222441633412m m n m m m nn m++++-⇒=⇒=，。

宁夏银川市高二上学期期中数学试卷

宁夏银川市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·广州月考) 在△ABC中，，则的最大值为（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高三上·牡丹江月考) 已知点为外接圆的圆心，角，，所对的边分别为，，，且，若，则当角取到最大值时的面积为（）A .B .C .D .3. （2分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn ， a1+a3=，且a2+a4=，则=（）A . 4n﹣1B . 4n﹣1C . 2n﹣1D . 2n﹣14. （2分）已知各项不为0的等差数列满足，数列是等比数列，且，则等于（）A . 1B . 2C . 4D . 85. （2分）设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A . {x|x≥﹣2}B . {x|x＞﹣1}C . {x|x＜﹣1}D . {x|x≤﹣2}6. （2分） (2018高一下·黑龙江期末) 正项等比数列中，，，则的值是A . 4B . 8C . 16D . 647. （2分） (2016高二上·友谊开学考) 若c=acosB，b=asinC，则△ABC是（）A . 等腰三角形B . 等腰直角三角形C . 直角三角形D . 等边三角形8. （2分） (2016高一下·舒城期中) 等差数列{an}中，a1=1，a3+a5=14，其前n项和Sn=100，则n=（）A . 9B . 10C . 11D . 129. （2分） (2018高三上·双鸭山月考) 已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，，则的大小关系是（）A .B .C .D .10. （2分）若实数想想x,y满足则的最小值是（）A . 0B . 1C .D . 911. （2分）已知等比数列{an}中，a2a10=9，则a5+a7（）A . 有最小值6B . 有最大值6C . 有最小值6或最大值﹣6D . 有最大值﹣612. （2分） (2017高二上·西华期中) 设{an}为等差数列，|a3|=|a9|，公差d＜0，则使前n项和Sn取得最大值时正整数n=（）A . 4或5B . 5或6C . 6或7D . 8或9二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600 m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度________ m．14. （1分） (2016高一下·苏州期中) 设等比数列{an}中，前n项和为Sn ，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9=________．15. （1分）已知数列{an}的通项公式为an=n2+λn（n=1，2，3，…），若数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________16. （1分）(2017·黄冈模拟) 设a＜0，（x2+2017a）（x+2016b）≥0在（a，b）上恒成立，则b﹣a的最大值为________．三、计算题 (共6题；共55分)17. （10分）某饮料生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2017年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，饮料的年销售量x万件与年促销费t万元间满足 .已知2017年生产饮料的设备折旧，维修等固定费用为3万元，每生产1万件饮料需再投入32万元的生产费用，若将每件饮料的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则该年生产的饮料正好能销售完．（1）将2017年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数；（2）该企业2017年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)18. （10分） (2016高一下·攀枝花期中) 已知向量 =（an ， 2n）， =（2n+1 ，﹣an+1），n∈N* ，向量与垂直，且a1=1（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足bn=log2an+1，求数列{an•bn}的前n项和Sn．19. （5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣12＜0}，集合B={x|x2+2x﹣8＞0}，集合C={x|x2﹣4ax+3a2＜0，a≠0}，（Ⅰ）求A∩（CRB）；（Ⅱ）若C⊇（A∩B），试确定实数a的取值范围．20. （5分）如图平面四边形ABCD中，AB=AD=a，BC=CD=BD 设∠BAD=θ（I）将四边形ABCD的面积S表示为θ的函数．（II）求四边形ABCD面积S的最大值及此时θ值．21. （10分） (2018高一下·石家庄期末) 已知数列的前项和为， .（1）求数列的通项公式；（2）数列的前项和为，求 .22. （15分） (2017高一下·嘉兴期末) 数列{an}满足：a1=1，an+1+（﹣1）nan=2n﹣1．（1）求a2，a4，a6；（2）设bn=a2n，求数列{bn}的通项公式；（3）设Sn为数列{an}的前n项和，求S2018．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、计算题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。

2020年宁夏银川九中高二上学期期中数学试卷和解析

2018学年宁夏银川九中高二（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）若将两个数a=8，b=17交换，使a=17，b=8，下面语句正确的一组是（）A．B．C．D．2．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6=4a2，a3=3，则a10=（）A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．63．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是（）A．月接待游客逐月增加B．年接待游客量逐年减少C．各年的月接待游客量高峰期大致在6、7月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性较小，变化比较稳定4．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．35．（5分）把分别标有“诚”“信”“考”“试”的四张卡片随意的排成一排，则能使卡片从左到右可以念成“诚信考试”和“考试诚信”的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）下列各数中，最小的是（）A．101 010（2）B．111（5）C．32（8）D．54（6）7．（5分）某校高一年级有甲、乙、丙三位学生，他们第一次、第二次、第三次月考的物理成绩如表：则下列结论正确的是（）A．甲、乙、丙第三次月考物理成绩的平均数为86B．在这三次月考物理成绩中，甲的成绩平均分最高C．在这三次月考物理成绩中，乙的成绩最稳定D．在这三次月考物理成绩中，丙的成绩方差最大8．（5分）如图的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为6，8，0，则输出a和i的值分别为（）A．2，4 B．2，5 C．0，4 D．0，59．（5分）若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A．B．a2＞b2C．D．a|c|＞b|c|10．（5分）一箱产品中有正品4件，次品2件，从中任取2件，事件：①恰有1件次品和恰有2件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少1件次品；④至少有1件次品和全是正品．其中互斥事件为（）A．.①③④B．①④C．.②③④D．.①②11．（5分）小正方形按照如图所示的规律排列：每个图中的小正方形的个数构成一个数列{a n}，有以下结论：①a5=15；②数列{a n}是一个等差数列；③数列{a n}是一个等比数列；④数列的递推公式为：a n+1=a n+n+1（n∈N*）．其中正确的命题序号为（）A．①②B．①③C．①④D．①12．（5分）若正实数a，b满足a+b=1，则（）A．有最大值4 B．ab有最小值C．有最大值D．a2+b2有最小值二.填空题（本题共4小题，每小题5分）13．（5分）已知f（x）=x5+2x3+3x2+x+1，应用秦九韶算法计算x=3时的值时，f（x）=．14．（5分）已知公比不为1的等比数列{a n}的首项a1=2017，前n项和为S n，若a2是a4与a6的等差中项，则S2017=．15．（5分）若不等式x2﹣kx+k﹣1＞0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是．16．（5分）已知实数x，y满足约束条件，若z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为．三.解答题（本题共6小题，共70分）17．（10分）已知不等式x2+bx+c＞0的解集为{x|x＞2或x＜1}（1）求b和c的值；（2）求不等式cx2+bx+1≤0的解集．18．（12分）华罗庚中学高二排球队和篮球队各有10名同学，现测得排球队10人的身高（单位：cm）分别是：162、170、171、182、163、158、179、168、183、168，篮球队10人的身高（单位：cm）分别是：170、159、162、173、181、165、176、168、178、179．（1）请根据两队身高数据记录的茎叶图，指出哪个队的身高数据方差较小（无需计算）以及排球队的身高数据的中位数与众数；（2）现从两队所有身高超过178cm的同学中随机抽取三名同学，则恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是多少？19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣1，{b n}是等差数列，且b1=a1，b4=a3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若，求数列{c n}的前n项和T n．20．（12分）某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如下频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，估计该校高二年级学生期中考试政治成绩的众数、中位数、平均分；（小数点后保留一位有效数字）（2）用分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则各分数段抽取的人数分别是多少？21．（12分）某种设备的使用年限x和维修费用y（万元），有以下的统计数据：（1）画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程；（3）估计使用年限为10年，维修费用是多少？（注：参考公式：）．22．（12分）已知等比数列{a n}的公比q＞1，且满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n log a n，S n=b1+b2+…+b n，求使成立的正整数n的最小值？2018学年宁夏银川九中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）若将两个数a=8，b=17交换，使a=17，b=8，下面语句正确的一组是（）A．B．C．D．【解答】解：先把b的值赋给中间变量c，这样c=17，再把a的值赋给变量b，这样b=8，把c的值赋给变量a，这样a=17．故选：B．2．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6=4a2，a3=3，则a10=（）A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S6=4a2，a3=3，∴6a1+d=4（a1+d），a1+2d=3，解得a1=，d=﹣．则a10=﹣×9=﹣3．故选：A．3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是（）A．月接待游客逐月增加B．年接待游客量逐年减少C．各年的月接待游客量高峰期大致在6、7月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性较小，变化比较稳定【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：月接待游客量逐月有增有减，故A错误；年接待游客量逐年增加，故B错误；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C错误；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确；故选：D．4．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：，则z=x+y经过可行域的A时，目标函数取得最大值，由解得A（3，0），所以z=x+y 的最大值为：3．故选：D．5．（5分）把分别标有“诚”“信”“考”“试”的四张卡片随意的排成一排，则能使卡片从左到右可以念成“诚信考试”和“考试诚信”的概率是（）A．B．C．D．【解答】解“诚”“信”“考”“试”的四张卡片随意排成一排，共有A44=4×3×2×1=24种故能能使卡片从左到右可以念成“诚信考试”和“考试诚信”的概率是=，故选：D．6．（5分）下列各数中，最小的是（）A．101 010（2）B．111（5）C．32（8）D．54（6）=0×20+1×21+0×22+1×23+0×24+1×25=42．【解答】解：A、101010（2）B、111（5）=1×50+1×51+1×52=31，C、32（8）=2×80+3×81=26，D、54（6）=4×60+5×61=34，最小．比较可得：32（8）故选：C．7．（5分）某校高一年级有甲、乙、丙三位学生，他们第一次、第二次、第三次月考的物理成绩如表：则下列结论正确的是（）A．甲、乙、丙第三次月考物理成绩的平均数为86B．在这三次月考物理成绩中，甲的成绩平均分最高C．在这三次月考物理成绩中，乙的成绩最稳定D．在这三次月考物理成绩中，丙的成绩方差最大【解答】解：在A中，甲、乙、丙第三次月考物理成绩的平均数为=≈85.7，故A 错误；在B中，==85，=（81+83+85）=83，==86，∴在这三次月考物理成绩中，丙的成绩平均分最高，故B错误；在C中，==，=[（81﹣83）2+（83﹣83）2+（85﹣83）2]=，=[（90﹣86）2+（86﹣86）2+（82﹣86）2]=，∴在这三次月考物理成绩中，乙的成绩最稳定，故C正确；在D中，在这三次月考物理成绩中，甲的成绩方差最大，故D错误．故选：C．8．（5分）如图的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为6，8，0，则输出a和i的值分别为（）A．2，4 B．2，5 C．0，4 D．0，5【解答】解：模拟执行程序框图，可得：a=6，b=8，i=0，i=1，不满足a＞b，不满足a=b，b=8﹣6=2，i=2满足a＞b，a=6﹣2=4，i=3满足a＞b，a=4﹣2=2，i=4不满足a＞b，满足a=b，输出a的值为2，i的值为4．故选：A．9．（5分）若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A．B．a2＞b2C．D．a|c|＞b|c|【解答】解：对于A，取a=1，b=﹣1，即知不成立，故错；对于B，取a=1，b=﹣1，即知不成立，故错；对于D，取c=0，即知不成立，故错；对于C，由于c2+1＞0，由不等式基本性质即知成立，故对；故选：C．10．（5分）一箱产品中有正品4件，次品2件，从中任取2件，事件：①恰有1件次品和恰有2件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少1件次品；④至少有1件次品和全是正品．其中互斥事件为（）A．.①③④B．①④C．.②③④D．.①②【解答】解：由一箱产品中有正品4件，次品2件，从中任取2件，事件：在①中，恰有1件次品和恰有2件次品不能同时发生，是互斥事件；在②中，至少有1件次品和全是次品能同时发生，不是互斥事件；在③中，至少有1件正品和至少1件次品能同时发生，不是互斥事件；在④中，至少有1件次品和全是正品不能同时发生，是互斥事件．故①④．故选：B．11．（5分）小正方形按照如图所示的规律排列：每个图中的小正方形的个数构成一个数列{a n}，有以下结论：①a5=15；②数列{a n}是一个等差数列；③数列{a n}是一个等比数列；④数列的递推公式为：a n+1=a n+n+1（n∈N*）．其中正确的命题序号为（）A．①②B．①③C．①④D．①【解答】解：根据题意，可得a1=1，a2=3=1+2，a3=6=1+2+3，a4=10=1+2+3+4，…发现规律：a n=1+2+3+…+n=，由此可得a5==15，故（1）正确；{a n}不是一个等差数列，故（2）不正确；数列{a n}不是一个等比数列，可得（3）不正确；﹣a n=﹣=[（n+2）﹣n]=n+1而a n+1=a n+n+1成立，故（4）正确故a n+1综上所述，正确命题为（1）（4）故选：C．12．（5分）若正实数a，b满足a+b=1，则（）A．有最大值4 B．ab有最小值C．有最大值D．a2+b2有最小值【解答】解：∵正实数a，b满足a+b=1，∴==2+≥2+2=4，故有最小值4，故A不正确．由基本不等式可得a+b=1≥2，∴ab≤，故ab有最大值，故B不正确．由于=a+b+2=1+2≤2，∴≤，故有最大值为，故C正确．∵a2+b2 =（a+b）2﹣2ab=1﹣2ab≥1﹣=，故a2+b2有最小值，故D不正确．故选：C．二.填空题（本题共4小题，每小题5分）13．（5分）已知f（x）=x5+2x3+3x2+x+1，应用秦九韶算法计算x=3时的值时，f（x）=328．【解答】解：f（x）=x5+2x3+3x2+x+1=（（（（x）x+2）x+3）x+1）x+1，则v0=1v1=1×3+0=3，v2=3×3+2=11，v3=11×3+3=36v4=36×3+1=109v5=109×3+1=328．故答案为：328．14．（5分）已知公比不为1的等比数列{a n}的首项a1=2017，前n项和为S n，若a2是a4与a6的等差中项，则S2017=2017．【解答】解：公比q不为1的等比数列{a n}的首项a1=2017，a2是a4与a6的等差中项，可得2a2=a4+a6，即2a1q=a1q3+a1q5，即有q4+q2﹣2=0，解得q=﹣1（1舍去），则S2017==2017．故答案为：2017．15．（5分）若不等式x2﹣kx+k﹣1＞0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是（﹣∞，2] ．【解答】解：不等式x2﹣kx+k﹣1＞0可化为（1﹣x）k＞1﹣x2∵x∈（1，2）∴k≤=1+x∴y=1+x是一个增函数∴k≤1+1=2∴实数k取值范围是（﹣∞，2]故答案为：（﹣∞，2]16．（5分）已知实数x，y满足约束条件，若z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为．【解答】解：作出约束条件，表示的平面区域，得到如图的四边形OABC及其内部，其中A（，0），B（4，1），C（0，），O为坐标原点设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），将直线l：z=ax+by进行平移，观察y轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最大值，=F（4，1）=12，即4a+b=12．∴z最大值因此，=（）×（4a+b）=+（+），∵a＞0，b＞0，可得+≥2=1，∴当且仅当=即2a=3b，4a+b=12时，的最小值为：，故答案为：．三.解答题（本题共6小题，共70分）17．（10分）已知不等式x2+bx+c＞0的解集为{x|x＞2或x＜1}（1）求b和c的值；（2）求不等式cx2+bx+1≤0的解集．【解答】解：（1）∵不等式x2+bx+c＞0的解集为{x|x＞2或x＜1}∴1，2是方程不等式x2+bx+c=0的两个根由根与系数的关系得到：b=﹣（1+2）=﹣3；c=1×2=2；（2）cx2+bx+1≤0⇒2x2﹣3x+1≤0，⇒（2x﹣1）（x﹣1）≤0⇒≤x≤1，所以cx2+bx+1≤0的解集为{x|≤x≤1}．18．（12分）华罗庚中学高二排球队和篮球队各有10名同学，现测得排球队10人的身高（单位：cm）分别是：162、170、171、182、163、158、179、168、183、168，篮球队10人的身高（单位：cm）分别是：170、159、162、173、181、165、176、168、178、179．（1）请根据两队身高数据记录的茎叶图，指出哪个队的身高数据方差较小（无需计算）以及排球队的身高数据的中位数与众数；（2）现从两队所有身高超过178cm的同学中随机抽取三名同学，则恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是多少？【解答】解：（Ⅰ）茎叶图如图所示，由茎叶图看出，篮球队的数据相对集中，故篮球队的身高数据方差较小．排球队的身高数据中位数为169，众数168（Ⅱ）两队所有身高超过178cm的同学有5人，其中3人来自排球队，记为a，b，c，2人来自篮球队，记为A，B，则从5人中抽取3名同学的基本事件为：abc，abA，abB，acA，acB，aAB，bcA，bcB，bAB，cAB 共10个；其中恰好两人来自排球队一人来自篮球队所含的事件有：abA，abB，acA，acB，bcA，bcB共6个，∴恰好两人来自排球队，一人来自篮球队的概率是=．…（12分）19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣1，{b n}是等差数列，且b1=a1，b4=a3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）因为S n=2a n﹣1，所以S n+1=2a n+1﹣1，两式相减，得S n+1﹣S n=a n+1﹣2a n，∴a n=2a n．又当n=1时，S1=a1=2a1﹣1，∴a1=1．+1所以数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以，∴b1=a1=1，b4=a3=4．因为当数列{b n}为等差数列，∴b n=n．（2）据（1）可知，∴，∴．20．（12分）某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如下频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，估计该校高二年级学生期中考试政治成绩的众数、中位数、平均分；（小数点后保留一位有效数字）（2）用分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则各分数段抽取的人数分别是多少？【解答】解：（1）设分数在[70，80）内的频率为x，根据频率分布直方图，有：（0.01+0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1，可得x=0.3；估计该校高二年级学生政治成绩的平均分为：（45×0.01+55×0.015+65×0.015+75×0.03+85×0.025+95×0.005）×10=71．根据频率分布直方图，估计这40名学生期中政治成绩的众数为75，因为在频率分布直方图中第一、二、三组的频率之和为（0.010+0.015×2）×10=0.4，所以中位数=70+≈70.3；（2）[40，50）内抽取的人数是：20×0.010×10=2人；[50，60）内抽取的人数是：20×0.015×10=3人；[60，70）内抽取的人数是：20×0.015×10=3人；[70，80）内抽取的人数是：20×0.03×10=6人；[80，90）内抽取的人数是：20×0.025×10=5人；[9，100]取的人数是：20×0.00×10=1人，各分数段抽取的人数分别是2人，3人，3人，6人，5人，1人．21．（12分）某种设备的使用年限x和维修费用y（万元），有以下的统计数据：（1）画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程；（3）估计使用年限为10年，维修费用是多少？（注：参考公式：）．【解答】解：（1）根据表中数据，画出散点图如图所示；（2）计算=×（3+4+5+6）=4.5，=×（2.5+3+4+4.5）=3.5，x i y i=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5；=32+42+52+62=86，∴==0.7，=﹣=3.5﹣0.7×4.5=0.35，所求的线性回归方程为：=0.7x+0.35．（3）当x=10时，=0.7×10+0.35=7.35，估计使用年限为10年，维修费用是7.35万元．22．（12分）已知等比数列{a n}的公比q＞1，且满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n log a n，S n=b1+b2+…+b n，求使成立的正整数n的最小值？【解答】解：（1）∵a3+2是a2，a4的等差中项，∴2（a3+2）=a2+a4，代入a2+a3+a4=28，可得a3=8，∴a2+a4=20，，解得或，∵q＞1，∴a1=q=2，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n，n∈N*；（2）∵b n=a n log a n=2n log2n=﹣n•2n，∴S n=﹣（1•2+2•22+…+n•2n），2S n=﹣（1•22+2•23+…+n•2n+1），上面两式相减，可得﹣S n=﹣（2+22+…+2n﹣n•2n+1）=﹣（﹣n•2n+1），化简可得S n=2n+1﹣2﹣n•2n+1，，即为2n+1﹣2＞62，可得n+1＞6，即n＞5，则使成立的正整数n的最小值为6．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

宁夏银川市高二上学期数学期中考试试卷

宁夏银川市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）在空间直角坐标系中，x轴上到点P(4,1,2)的距离为的点共有（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 无数个2. （2分） (2017高二下·嘉兴期末) 一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的高为（）A . 1B .C . 2D .3. （2分） (2018高二上·宁波期末) 直线的倾斜角为A .B .C .D .4. （2分）若l、m表示互不重合的两条直线，α、β表示互不重合的两个平面，则l∥α的一个充分条件是（）A . α∥β，l∥βB . a∩β=m，l⊄a，l∥mC . l∥m，m∥αD . α⊥β，l⊥β5. （2分）已知直线l1：2ax+（a+1）y+1=0，l2：（a+1）x+（a﹣1）y=0，若l1⊥l2 ，则a=（）A . 2或B . 或-1C .D . -16. （2分）对于直线m，n和平面α，β，使m⊥α成立的一个充分条件是（）A . m⊥n，n∥αB . m∥β，β⊥αC . m⊥β，n⊥β，n⊥αD . m⊥n，n⊥β，β⊥α7. （2分）方程|x|﹣1= 表示的曲线为（）A . 两个半圆B . 一个圆C . 半个圆D . 两个圆8. （2分）三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在半径为5的球面上，底面ABC所在的小圆面积为9π，则该三棱锥的高的最大值为（）A . 7B . 8C . 8.5D . 99. （2分）已知x,y满足，则目标函数z=x-3y的最小值是（）A .B . -4C . -7D . -810. （2分）直线λx+y+λ﹣2=0不过第三象限，则λ的取值范围是（）A . [0，1]B . [0，2]C . （﹣∞，4]D . [4，+∞）11. （2分）在三棱锥中，，底面是正三角形，M、N分别是侧棱PB、PC的中点．若平面平面，则平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值等于（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高二上·嘉兴月考) 过点(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为（）A . 2x＋y－1＝0B . x－2y＋7＝0C . x－2y－5＝0D . 2x＋y－5＝0二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知点(x，5)关于点(1，y)的对称点为(-2，-3)，则点P(x，y)到原点O的距离是________.14. （1分） (2016高二上·忻州期中) 已知直线ax﹣y+2a=0和（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a=________．15. （1分） (2015高三上·锦州期中) 已知某几何体的三视图如图所示，（图中每一格为1个长度单位）则该几何体的全面积为________．16. （1分）(2018·佛山模拟) 若抛物线的焦点在直线上，则直线截抛物线的弦长为________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2016高一下·仁化期中) 如图已知A（1，2）、B（﹣1，4）、C（5，2），（1）求线段AB中点D坐标；（2）求△ABC的边AB上的中线所在的直线方程．18. （10分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=3，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=4，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．（1）求证：平面；（2）过点E作截面平面，分别交CB于F，于H，求截面的面积。

宁夏银川市高二数学上学期期中试题(无答案)

2017-2018学年第一学期期中考试高二数学试卷一、选择题：（每小题5分，共60分）1、求等差数列8,5，2......的第10项( )A ．50B ．16C ．－19D ． 102、已知{}n a 是等差数列，105=a ，其前10项和412S =，则其公差d ＝( )A ．－23B ．－13 C.13 D.514 3、已知(1,2)a =r ,(2,3)b x =-r 且//a b r r ,则x =（）A ．－3B ．34-C ．0D ．344、若一个等比数列的前三项依次是x ，22+x ，33+x ，则这个数列的公比等于( ) A.23 B.32- C.23- D.325、在ABC ∆中，45A =︒，4b =，c =cos B =( ) A ．31010 B ．－31010 C ．55 D ．－55 6、设,,,a b c R a b ∈>且，则（） A. ac bc > B.11a b< C. 22a b > D. 33a b > 7、设集合M ＝{}30|<≤x x ，N ＝{}043|2<--x x x ，则集合N M ⋂＝( ) A. {}30|<≤x xB. {}30|≤≤x xC. {}10|<≤x xD. {}31|<≤-x x8、已知向量a r ＝(5，－3)，b r ＝(－6，4)，则a b +r r ＝( )A ．2B ．2C ．3D ．39、若R x ∈时，一元二次不等式04)2(2)2(2>+---x a x a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[2,+∞)B ．(2,6)C ．[2,8)D ．(-∞,6) 10、在ABC ∆中，5AB =，7BC =，8AC =，则AB BC ⋅uu u r uu u r 的值为( )A ．79B ．69C ．5D ．-511、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，12n n S a +=，则n a =（）A ．12-nB ．1)23(-n C ．132-n ）（ D ．121-n 12、在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ,若cos sin a A b A =,且2B π>则sin sin A C +的最大值是A ．2B ．89C ．1D ．87二、填空题（每小题5分，共20分）13、已知等差数列{n a }的通项公式32n a n =-，则它的公差为 .14、在ABC ∆中，bc c b a 3222++=，则角A 等于 .15、在等差数列{}n a 中，已知1083=+a a ，则=+753a a16、数列1111111111,,,,,,,,,,223334444L L 的前100项的和等于 .三、解答题：（共70分）17、（本题满分10分）已知各项是正数的等比数列13a =，548a =，求6a ，6S .18、（本题满分12分）已知2a =r ，3b =r ，3a b ⋅=r r（1）求向量a r ，b r 的夹角；（2）求a b +r r 的值19、（本题满分12分）在ABC ∆中，4a =，b =，30A ∠=︒.（1）求B ∠；（2）求边c .20、（本题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1a =，45B ∠=︒， ABC ∆的面积2S =.（1）求边c 的长；（2）求ABC ∆的外接圆的面积.21、（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求1351719.......s a a a a a =+++++22、（本题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程214450x x -+=的根．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列{}2n n a ⋅的前n 项和。

高二数学上学期期中试题文 9_1(共8页)

宁夏HY中学2021-2021学年高二数学上学期(xuéqī)期中试题文一、选择题(本大题一一共12小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面,只有一项符合题目要求的)1．“x>0〞是“x≠0〞的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．命题“有些实数的绝对值是正数〞的否认是( )A．∀x∈R，|x|>0 B．∃x0∈R，|x0|>0C．∀x∈R，|x|≤0 D．∃x0∈R，|x0|≤03．椭圆的离心率为〔〕A．B．C．D．4．执行如下图的程序框图,输出的k值为( )A．3 B．4 C．5 D．6 5．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形〞与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )A．4 B．3 C．2 D．06．椭圆的焦距是( )A ．8B ．6C ．10D ．27．袋中有3个白球和2个黑球,从中任意(rènyì)摸出2个球,那么至少摸出1个黑球的概率为( ) A ．B ．C ．D ．8．双曲线上P 点到左焦点的间隔是6，那么P 到右焦点的间隔是〔〕 A ．12B ．14C ．16D ．189．集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A 、B 中各任意取一个数，那么这两数之和等于4的概率是( )A ．23B ．12C ．13D ．1610．一个容量为80的样本中数据的最大值是140，最小值是51，组距是10，那么应将样本数据分为( )A ．10组B ．9组C ．8组D ．7组11．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色局部和白色局部关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，那么此点取自黑色局部的概率是( )A ．14B ．π8C ．12D ．π412．过双曲线的左焦点(jiāodiǎn)，作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，假设，那么双曲线的离心率为〔〕A．B．C．D．二、填空题：〔本大题一一共4小题,每一小题5分,一共20分〕13．利用系统抽样法从编号分别为1,2,3，…，80的80件不同产品中抽出一个容量为16的样本，假如抽出的产品中有一件产品的编号为13，那么抽到产品的最大编号为_____.14．命题p：x∈R，x2－x＋14<0，命题q：x0∈R，sin x0＋cos x0＝2，那么p∨q，p∧q，¬p，¬q中是真命题的有________．15．椭圆的离心率，那么的值是________.16．抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于、两点，假设线段的中点的纵坐标为2，那么该抛物线的准线方程为 .三、解答题：〔满分是70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕17.〔本小题满分是10分〕命题p：m∈R，且m＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，假设p∧q为假命题且p∨q为真命题，务实数m的取值范围.18．〔本小题满分是12分〕某电视台为宣传本，随机对本内15～65岁的人群抽取了n人，答复下列问题“本内著名旅游景点有哪些〞统计结果如图表所示.组号分组答复正确的人数答复正确的人数占本组的频率第1组[15,25) a第2组[25,35)18x第3组[35,45) b第4组[45,55)9第5组[55,65]3y(1)分别(fēnbié)求出a、b、x、y的值；(2)从第2、3、4组答复正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2、3、4组每组各抽取多少人？〔3〕指出直方图中，这组数据的中位数是多少〔取整数值〕？19．(本小题满分是12分)某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间是,为此做了四次试验,得到的数据如表所示:零件的个数x(个) 2 3 4 5 加工的时间是y(h)34可能(kěnéng)用到的计算结果：x i y i =52.5,=3.5,=3.5,=54.线性回归方程中b=(1)求出y 关于x 的线性回归方程;(2)试预测加工10个零件需要多少时间是？20.〔本小题满分是12分〕抛物线与直线y=k(x+1)相交于A,B 两点，O 为坐标原点. 〔1〕求证：OAOB;(2)当k=2时，求AB 的弦长.21.〔本小题满分是12分〕p: x 2-8x-20>0, q: x 2-2x+1-a 2>0(a>0), 假设p 是q 的充分而不必要条件．．．．．．．．，务实数a 的取值范围.22.〔本小题满分是12分〕中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为的椭圆过点〔，〕．〔1〕求椭圆的方程；〔2〕设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依xyOPQ次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．高二期中数学(文科(w énk ē))试卷参考答案一、选择题：(每一小(y ī xi ǎo)题5分，一共60分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACABCDBBCBBC二、填空题：〔本大题一一共4小题,每一小题5分,一共20分〕 13．78 14．p ∨q ¬p 15．或者16．三、解答题：〔满分是70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕 17．m ≤－2或者－1<m <218.[解析](1)由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为90.36＝25，再结合频率分布直方图可知n ＝250.025×10＝100，∴a ＝＝5，b ＝＝27，x ＝1820＝，y ＝315＝0.2.(2)第2、3、4组答复正确的一共有54人．∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：1854×6＝2(人)；第3组：2754×6＝3(人)；第4组：954×6＝1(人)．〔3〕中位数4219．解.(1)由表中数据得:x i y i =52.5,=3.5,=3.5,=54.代入公式得=0.7,=1.05,所以=0.7x+1.05. (2)将x=10代入线性回归方程, 得=0.7×10+1.05=8.05(h).所以预测(yùcè)加工10个零件需要8.05 h.20．〔1〕用向量法证明，〔2〕21．解不等式x2-8x-20>0，得p: A={x|x>10或者x<-2}解不等式x2-2x+1-a2>0，得q: B={x|x>1+a或者x<1-a, a<0} 依题意，p q且q p,于是有且等号不同时成立，解得：0<a≤3,∴正实数a的取值范围是0<a≤322.解：〔Ⅰ〕由题意可设椭圆方程为〔a＞b＞0〕，那么故，所以，椭圆方程为．…………… 4分〔Ⅱ〕由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y＝kx＋m〔m≠0〕，P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕，由消去y得〔1＋4k2〕x2＋8kmx＋4〔m2－1〕＝0，那么△＝64 k2b2－16〔1＋4k2b2〕〔b2－1〕＝16〔4k2－m2＋1〕＞0，且，．故 y1 y2＝〔kx1＋m〕〔kx2＋m〕＝k2x1x2＋km〔x1＋x2〕＋m2．因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以(suǒyǐ)，＝＝k2，即，＋m2＝0，又m≠0，所以k2＝，即k＝．由于直线OP，OQ的斜率存在，且△＞0，得0＜m2＜2 且m2≠1．设d为点O到直线l的间隔，那么S△OPQ＝ d | PQ |＝12| x1－x2 | | m |＝，所以S△OPQ的取值范围为〔0，1〕．……………… 12分内容总结。

2022-2023学年宁夏银川市第二中学高二上学期期中考试数学(文)试题(解析版)

2022-2023学年宁夏银川市第二中学高二上学期期中考试数学（文）试题一、单选题1．数列3579,,,24816--，…的一个通项公式为（）A ．()n nn n 21a 12+=-⋅B ．()nn n 2n 1a 12+=-⋅ C ．()n n 1n n 21a 12++=-⋅ D ．()n 1n n2n 1a 12++=-⋅ 【答案】D【分析】根据分子、分母还有正负号的变化，得到正确的选项. 【详解】根据分子、分母还有正负号的变化，可知，()12112n n nn a ++=-⋅.故选D. 【点睛】本小题主要考查根据给定数列的前几项，猜想数列的通项公式.通过分子、分母还有正负号的变化，来得到正确的选项.属于基础题. 2．不等式()()2130x x +-≥的解集为（） A ．1|2x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭B ．1|32x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭C ．1|32x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或D ．{}|3x x ≥【答案】C【分析】利用二次不等式的解法求解即可.【详解】因为()()2130x x +-≥，解得12x ≤-或3x ≥，所以不等式()()2130x x +-≥的解集为1|32x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或.故选：C.3．已知等差数列{}n a 满足13512a a a ++=，10111224a a a ++=，则{}n a 的前13项的和为（） A ．12 B ．36C ．78D ．156【答案】C【分析】利用已知等式可求得等差数列的公差d 和首项1a ，由等差数列求和公式可求得结果. 【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，13512a a a ++=，10111224a a a ++=，()1011121352412a a a a a a d ∴++-++==，解得：12d =，135********a a a a d a ∴++=+=+=，解得：13a =， {}n a ∴的前13项的和为11312131213397824a d ⨯⨯+=+=. 故选：C.4．若a b >，0ab ≠，则下列不等式恒成立的是（） A ．22a b > B ．ac bc > C ．11a b> D ．a c b c +>+【答案】D【分析】通过举例的方法判断A 、B 、C ，根据不等式的性质判断D. 【详解】对于A.取1,2a b ==-，则22a b <，故错误；对于B.取0c ，则ac bc =，故错误；对于C.取2,1a b ==，则11a b<，故错误；对于D.由不等式的性质“在不等式两边同时加上或减去一个数，不等号方向不变”可知D 正确，故选：D.5．已知等比数列{}n a 的公比为2，前n 项和为n S ，若132a a +=，则4S =（） A ．135B ．4C ．235D ．6【答案】D【分析】根据等比数列的性质即可求解. 【详解】因为132a a +=，2q ，则244a a +=，所以412346S a a a a =+++=．故选:D6．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边．若a ，b ，c 成等比数列，且22()a c a b c -=-，则A 的大小是（） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B【分析】由等比中项得2b ac =，结合题设得222bc b c a =+-，结合余弦定理即可求解. 【详解】由已知得2b ac =，由22()a c a b c -=-，得22a c ac bc -=-，所以222a c b bc -=-，得222bc b c a =+-，由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又(0,)A π∈，所以3A π=．故选：B ．7．云台阁，位于镇江西津渡景区，全全落于云台山北峰，建筑形式具有宋､元古建特征.如图，小明同学为测量云台阁的高度，在云台阁的正东方向找到一座建筑物AB ，高为12m ，在它们的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）测得楼顶A ，云台阁顶部C 的仰角分别为15°和60°，在楼顶A 处测得阁顶部C 的仰角为30°，则小明估算云台阁的高度为（）（2 1.414≈，3 1.732≈，精确到1m ）A ．42mB ．45mC ．51mD ．57m【答案】D【分析】利用直角三角形的正弦公式及解三角形的正弦定理，依次求得,,AM CM CD 即可. 【详解】因为()62sin15sin 4530sin 45cos30cos 45sin 30-︒=︒-︒=︒︒-︒︒= 所以在Rt MAB 中，sin15ABAM︒=，故126262AM ==-，在AMC 中，105,45AMC CAM ︒︒∠=∠=，则30ACM ∠=︒，所以由正弦定理得1262122=)2431CM =，所以在Rt CDM △中，sin60CDCM︒=，故)(3sin602431123357CD CM =︒==≈. 故选：D.8．已知等差数列{}n a 中，其前5项的和525S =，等比数列{}n b 中，1132,8,b b ==则37a b =（） A ．54-或54B ．54-C ．45D ．54【答案】D【分析】由等差数列求和公式求出35a =，由等比数列通项公式基本量计算得到公比，进而求出6714b b q ==，从而求出结果.【详解】由题意得：()155355252a a S a +===，解得：35a =，设等比数列{}n b 的公比是q ，因为1132,8b b ==，所以1228q =，解得：124q =，显然60q >，所以62q =，所以6714b b q ==，所以3754a b = 故选：D9．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789(a a a ++= ) A ．144 B ．81 C ．45 D ．63【答案】B【分析】根据等比数列性质，得到关于3S ，63S S -，96S S -的新等比数列，求解出公比后，求出96S S -的值即可．【详解】由等比数列性质可知：3S ，63S S -，96S S -，……成等比数列，设公比为q 由题意得：6336927S S -=-= 2739q ⇒== 7899627381a a a S S ∴++=-=⨯=本题正确选项：B【点睛】解决本题的关键在于根据等比数列的性质得到：232,,,k kk kk S S S S S 依然成等比数列，从而快速求解此题．本题也可以利用等比数列的基本项1a 和q 来进行求解，但计算量较大． 10．关于x 的不等式2210mx mx +-<的解集为R 的一个充分不必要条件是（） A ．112m -<<-B ．10m -<≤C ．21m -<<-D ．132m -<<-【答案】A【分析】先由二次不等式恒成立求得题设条件的等价条件，再利用充要条件与集合之间的关系对选项逐一判断即可.【详解】因为2210mx mx +-<解集为R ，所以当0m =时，不等式为10-<，显然成立，满足题意；当0m ≠时，得0Δ0m <⎧⎨<⎩，即20440m m m <⎧⎨+<⎩，解得10m -<<，综上：10m -<≤，即2210mx mx +-<的解集为R 等价于10m -<≤，对于A ，因为11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭是(]1,0-的真子集，所以11102m m -<<-⇒-<≤，即112m -<<-是2210mx mx +-<的解集为R 的充分不必要条件，故A 正确；对于B ，易知10m -<≤是2210mx mx +-<的解集为R 的充要条件，故B 错误；对于C ，因为()2,1--与(]1,0-互不包含，所以21m -<<-是2210mx mx +-<的解集为R 的既不充分也不必要条件，故C 错误；对于D ，因为13,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭与(]1,0-互不包含，所以132m -<<-是2210mx mx +-<的解集为R 的既不充分也不必要条件，故D 错误. 故选：A.11．设0x >，0y >，且231x y +=，若2322x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．{|6x x ≤-或4}x ≥B ．{|4x x ≤-或6}x ≥C ．{}64x x -<<D ．{}46x x -<<【答案】C【分析】转化2349)1232(32)(y xx y x y y x y x +=+=++⨯+，利用均值不等式可求得3242x y +≥，即2min 2(32)24m m x y +<+=，求解即可【详解】由题意，432349)1212(32)21212(2y x x y x x y x y y +=+⨯+=++≥+=+= 当且仅当49y xx y=，即4,6x y ==时等号成立故2min 2(32)24m m x y +<+=即22240(4)(6)0m m m m +-<⇔-+< 解得：64x -<< 故选：C12．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起到了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……即()()121F F ==，()()()()123,F n F n F n n n *=-+-≥∈N ，此数列在现代物理、准晶体结构等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，则12354b b b b +++的值为（）A ．72B ．71C ．73D ．74【答案】A【分析】根据数列各项，列出{}n b 的前面若干项，可得{}n b 的周期为6，进而可求得结果. 【详解】由题意得，数列{}n b 为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，… 所以该数列的周期为6，且每周期的6项之和为8，前54项共有9个周期. 所以12548972b b b +++=⨯=.故选：A.二、填空题13．命题“若1a b +=，则2212a b +≥”的逆否命题为___________ 【答案】若2212+<a b ，则1a b +≠ 【分析】直接由逆否命题的定义即可求解.【详解】因为命题“若1a b +=，则2212a b +≥”，所以其逆否命题为“若2212+<a b ，则1a b +≠”. 故答案为：若2212+<a b ，则1a b +≠. 14．已知实数,x y 满足约束条件2027020x x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则34z x y =+的最大值是__________.【答案】18【分析】首先画出可行域，再根据目标函数表示的几何意义，求z 的最大值.【详解】可行域如下图，令0z =，画出初始目标34y x =-表示的直线，平移至点A ，目标函数取得最大值，联立20270x x y -=⎧⎨+-=⎩，得2x =，3y =，即()2,3A ，目标函数max 324318z =⨯+⨯=.故答案为：18 15．函数()1311y x x x =+>-的最小值是_____ 【答案】323+【分析】利用基本不等式可求得原函数的最小值. 【详解】因为1x >，则10x ->，所以()()113133133311y x x x x =-++≥-⨯=--，当且仅当()1311x x -=-，因为1x >，即当33x +=.所以函数()1311y x x x =+>-的最小值是233. 故答案为：323+16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1222,(1)2n n n a a a -+=+-=，则60S =_________.【答案】960【分析】根据递推式可以得出数列奇数项和偶数项的特征，分别求奇数项和偶数项的和即可得结果. 【详解】由12(1)2n n n a a -++-=，当n 为奇数时，有22n n a a ++=；当n 为偶数时，22n n a a +-=， ∴数列{}n a 的偶数项构成以2为首项，以2为公差的等差数列，则()()601357575924685860S a a a a a a a a a a a a =+++++++++++++3029152********⨯=⨯+⨯+⨯=，故答案为：960.三、解答题17．已知命题p ：“方程210x mx ++=有两个不相等的实根”，命题p 是真命题. (1)求实数m 的取值集合M ；(2)设不等式()(2)0x a x a ---<的解集为N ，若x N ∈是x M ∈的充分条件，求a 的取值范围．【答案】(1){|2M m m =<-或}2m > (2)(][),42,-∞-+∞【分析】（1）由二次方程有两个不相等实根，得判别式大于0，由此得到数m 的取值集合；（2）由充要条件与集合的关系得到N M ⊆，再解二次不等式可化简集合N ，从而利用数轴法即可求得a 的取值范围.【详解】（1）因为命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的实根，且命题p 是真命题，所以240m ∆=->，解得2m <-或m>2，故{|2M m m =<-或}2m >．（2）因为x ∈N 是x M ∈的充分条件，所以N M ⊆，又因为{}{}2()(2)|0|N x x x x a a x a a --==<<-+<，所以22a +≤-或2a ≥，得4a ≤-或2a ≥，故a 的取值范围为(][),42,-∞-+∞．18．在①3123b a a a =++，②313S =这两个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的各项均为正数，23a =，且235,1,3++a a a 成等比数列． (1)求数列{}n a 的首项1a 和公差d ；(2)已知正项等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，11b a =，_________，求n S ．（注：如果选择两个条件并分别作答，只按第一个解答计分.）【答案】(1)11a =，2 (2)312n n S -=【分析】（1）利用等差数列的通项公式与等比中项公式得到关于1,a d 的方程组，解之即可求得所求；（2）选择①，利用等比数列的通项公式即可求得q ，从而由等比数列前n 项和公式求得n S ；选择②，利用前n 项和的定义得到2120q q +-=，解之得q ，进而可求得n S . 【详解】（1）依题意，设正项等差数列{}n a 的公差为()0d d >，因为23a =，且235,1,3++a a a 成等比数列，所以()()1211321343a d a d a d +=⎧⎪⎨++=++⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩或141a d =⎧⎨=-⎩（舍去），所以()12121n a n n =+-=-，故11a =，2d =. （2）选择①：设正项等比数列{}n b 的公比为()0q q >，因为113123,b a b a a a ==++，所以131,1359b b ==++=，又231b b q =，即29q =，所以3q =或3q =-（舍去），所以()113112--==-n n n b q S q．选择②：设正项等比数列{}n b 的公比为()0q q >，因为111b a ==，3S =21113++=b b q bq ，即2120q q +-=，可得3q =或4q =-（舍去），所以()113112--==-n n n b q S q． 19．设ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，已知sin cos 0b A B =，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且2BD =． (1)求B ； (2)若3a =，求b ．【答案】(1)23B π=(2)b =【分析】（1）利用正弦定理可求得tan B 的值，结合角B 的取值范围可求得角B 的值；（2）利用等面积法结合已知条件可求得c 的值，再利用余弦定理可求得b 的值.【详解】（1）解：由sin cos 0b A B =及正弦定理可得sin sin cos 0B A A B =，A 、()0,B π∈，则sin 0A >，所以，sin 0B B =>，解得tan B =所以23B π=. （2）解：因为ABCBCDABDS SS=+，即1211sinsin sin 232323ac a BD c BD πππ=⋅⋅+⋅⋅，所以22ac a c =+，因为3a =，则6c =，所以2222222cos 36236cos633b ac ac B π=+-=+-⨯⨯⨯=，所以b =20．已知正项数列{}n a 的前n 项和n n S Aq B =+，其中A ，B ，q 为常数. (1)若0A B +=，证明：数列{}n a 是等比数列； (2)若11a =，24n n a a +=，求数列{}n na 的前n 项和n T . 【答案】(1)证明见解析； (2)1(1)2n n +-⋅【分析】（1）由退位相减法求得数列{}n a 的通项公式，再由等比数列的定义进行判断即可；（2）先由24n n a a +=求得2q ，再由314a a =求得1A =，即得数列{}n a 的通项公式，再由错位相减求和即可.【详解】（1）当2n ≥时，11n n S Aq B --=+，则()()1111n n n n n n a S S Aq B Aq B A q q ----=+--=+=，又正项数列{}n a ，则0q ≠且1q ≠，当1n =时，11a S Aq B ==+，又0A B +=，则()11a A q =-，也符合()11n n a A q q -=-，则()11n n a A q q -=-，()11nn A q q a +=-，则1n na q a +=，故数列{}n a 是以()1A q -为首项，q 为公比的等比数列；（2）由（1）知：当2n ≥时，()11n n a A q q -=-，则()121n n A q q a ++-=，由24n n a a +=可得24q =，又正项数列{}n a 可得0q >，则2q，12(2)n n a A n -⋅≥=，则34a A =，又11a =，314a a =可得1A =，则12(2)n n a n -=≥，1n =时也符合，则12n n a -=，则01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⋅，12321222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅，两式相减得()0123112222222212112n n nn n n T n n n ---=+++++-⋅=-⋅=-⋅--，则()112n n T n =+-⋅. 21．已知关于x 的不等式250ax x c ++>的解集为11{|}32x x << （1）求,a c 的值；（2）解不关于x 的不等式2()0ax ac b x bc +++≥【答案】(1)a =-6,c =-1;(2)详见解析.【详解】试题分析：试题分析：(1)利用二次不等式的解的端点即相应的二次方程的根，易得,a c 的值;(2)分类讨论解二次不等式.试题解析：（1）由题得a<0且11,23是方程250ax x c ++>的两个实数根则115,32{11,32a c a+=-⋅=，解得6{1a c =-=- 61a c ∴=-=-，（2）61a c =-=-，原不等式化为26(6)0x b x b -++-≥，即26(6)0x b x b -++≤，即(6)(1)0x b x --≤.①当16b >即6b >时，原不等式的解集为|16b x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭； ②当16b =即6b =时，原不等式的解集为{}|1x x =； ③当16b <即6b <时，原不等式的解集为|16b x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. 综上所述：当6b >时，原不等式的解集为|16b x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭；当6b =时，原不等式的解集为{}|1x x =；当6b <时，原不等式的解集为|16b x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. 22．已知正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足：12(N )n n S a a n +=-∈，且123+1,a a a ,成等差数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令()()()2221N log log n n n b n a a ++=∈⋅，求证：数列{}n b 的前n 项和34n T <. 【答案】(1)()2N n n a n +=∈(2)证明见解析【分析】（1）利用()12n n n a S S n -=-≥可证{}n a 是公比为2的等比数列，再根据123+1,a a a ,成等差数列，利用等差中项和等比数列通项求解1a ；（2）整理1111()(2)22n b n n n n ==-++，利用裂项相消求和证明．【详解】（1）由题意：()12,n n S a a n N +=-∈，()-1-112,2,N n n S a a n n +∴=-≥∈ 两式相减得到-1=2(2,)n n a a n n N +≥∈，又0n a >，{}n a ∴是首项为1a ，公比为2的等比数列，再由123+1,a a a ,成等差数列得，得()2132+1a a a =+，即()11122+14a a a =+，则1=2a ， {}n a ∴的通项公式为()2N n n a n +=∈. （2）由题意知，22211111()(2)22log 2log 2n n n b n n n n +===-++⋅ 1111111111(1)232435112n T n n n n ∴=-+-+-++-+--++ 11113111122124212n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 3N ,4n n T +∈∴<。

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