冀教版(2018秋)八年级数学上册授课课件：14.1.1 平方根 (共26张PPT)
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冀教版数学八年级上册 14.1 《平方根》 课件(共21张PPT)
求这个值的平方根．
小结 和 归纳
1.本节课引入了新的运算------开方运算，开方和乘 方互为逆运算，从而完备了初等代数中六种根本代数 运算〔加、减、乘、除、乘方、开方〕，这对代数内 容学习有着重要的意义。
2.本节主要学习了:①平方根的概念；②平方根的性质： 一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平 方根是0，负数没有平方根；③平方根的表示方法； ④求一个数的平方根的运算—开平方，应分清平 方运算与开平方运算的区别与联系
注意区分平方根与算术平方根
【例题】求以下各数的平方根．
(1)0.49；(2)179；(3)
4 3
2
；(4)－(－22)3.
思路点拨：根据平方与开平方互逆关系求解．
解：(1)∵(±0.7)2＝0.49，∴± 0.49＝±0.7.
(2)∵179＝196，
4 3
2
＝196，∴±
197＝±43.
• 4、求一个数的平方根的运算，叫做
平方根的表示方法、读法
根号
a
（a是非负数）
被开方数
一个正数a的正平方根，用“ a”表示，（读作“根号a”）。
a的负平方根，用“ a”表示，（读作“负根号a”）。
合起来，一个正数a的平方根就用“ a”表示，（读作“正、负根号a”）。
学以致用：仿照课本61--62例1，完成下 题。判断以下各数是否有平方根。假设 有，求出其平方根；假设没有，请说明 理由。
的值是〔 〕
• A．-3 B．1 C．-3或1 D．-1 • 3、解答题〔4×10〕
4．如果一个数的算术平方根等于它本身，那么这个数是
( D) A．1 B．0 C．－1 D．1 或 0 2．1 196的算术平方根是______54______．
冀教版八年级数学上册第十四章《实数》PPT课件
也就是说，非负数的“算术”平方根是非负数;
负数不存在算术平方根，即当 a 0时， a 无意义.
练一练
1．若一个数的算术平方根是 7 ，那么这个数
是7 ；
2． 9 的算术平方根是 3
；
3．( 2)2 的算术平方根是 3
2 3
；
4．若 m 2 2 ，则(m 2)2 16 ．
当堂练习
1.若 a 的算术平方根是3，则a =___8_1____.
（D）
B.一个数的立方根不是正数，就是负数 C.一个数的立方根等于它本身，这个数一定是0 D.一个非负数的立方根和这个数同好，0的立方根是0
2.已知a2=4，b3=27，则ab的值为__8_或__-_8_____.
3.求下列各式的值 ：
1 3 8;
2 3 0.064;
3 3 8 ;
3
4 3 9 .
36
4
面积/dm2
25
正方形的
边长/dm
1
3
2
4
6
5
你能指出它们的共同特点吗？ 都是已知一个正数的平方，求这个正数.
讲授新课
一 平方根的概念及性质
问题1 如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
解析：
由于3 2 =9，
所以这个数是3或-3.
想一想 3和-3有什么特征？
问题2 根据上面的研究过程填表：
因为(
1 2
)3 =0.125,所以0.125的立方是（
1 2
）；
3
因为( 0 ) ＝０，所以０的立方根是（ 0）；
因为 ( -2)3＝－8，所以－8的立方根是（ -2）；
因为(
2 3
3
) ＝
冀教版(2018秋)八年级数学上册授课课件：14.1.2 算术平方根 (共25张PPT)
(2)因为_____2＝0.25，所以0.25的算术平方根是
______，即 0.25 ＝______. (3)因为____2＝0，所以0的算术平方根是_____， 即 0 ＝______. 问题2 讨论：在 a 中，被开方数a是一个 算术平方根 a 是一个 数. 数，
知3－导
归
纳
所以算术平方根 a 具有双重非负性：①被开方 数a是___，即a≥0;②算术平方根 a 本身是非负数， 即____.
知3－讲
(1)算术平方根 a 具有双重非负性：
①被开方数a是非负数，即a≥0；
②算术平方根是非负数，即 a ≥0. (2)算术平方根是它本身的数只有0和1.
（来自《点拨》）
知3－讲
例3 已知y＝
x 8 8 x ＋5，求x＋y的值．
25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比 赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 你一定会算出边长应取5 dm.说一说，你是怎样算出 来的？ 因为52=25，所以这个正方形画布的边长应取5 dm. 填表：
正方形的面积/dm3 正方形的边长/dm 1 9 16 36
4 25
上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这 个正数的问题.
知2－导
问题 求下列各数的算术平方根： (1)144；(2)0. 01；(3)
4 ；(4)132；(5)(－16)2. 49
由平方根的意义，易知：当a>0时， a 2 =a.
知2－讲
(1)正数的算术平方根是一个正数； (2)0的算术平方根是0； (3)负数没有算术平方根；
(4)被开方数越大，对应的算术平方根也越大；
(4) ( 17)2 结
(1)求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪 个数的算术平方根，分清求 81 与81的算术平方 根的不同意义，不要被表面现象迷惑．求 81 的 值实质是求81的算术平方根；求的算术平方根实 质是求9的算术平方根．
冀教版八年级数学 14.1 平方根(学习、上课课件)
感悟新知
知2－讲
特别提醒 1. 开平方时，被开方数必须是非负数 . 2. 开平方是求一个非负数的平方根，其结果有
一正一负两个数( 0除外) .
感悟新知
例3 [母题 教材 P63 例 2 ]求下列各式的值： (1) 2356；(2) － 121 ；(3) ± 0.01 .
知2－练
感悟新知
知2－练
第十四章 实 数
14.1 平方根
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
平方根的定义和性质 开平方 算术平方根
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 平方根的定义和性质
知1－讲
1. 平方根 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2=a， 那么这个数 x 就叫做 a 的平方根，也叫做 a 的二次方根 .
(3) ± 0.01 . 因为 ± 0.01 是 0.01 的平方根，且(± 0.1) 2=0.01， 所以 ± 0.01 = ± 0.1.
此时这个非负数为(2m－3 ) 2=( 2× 1 － 3) 2=1.
感悟新知
②当两个平方根互为相反数，
知1－练
即(
2m－3
)
+(
4m－5
)
=0
时，解得
m=
4 3
.
பைடு நூலகம்
此时这个非负数为(
2m－3
)
2=
(
2×
4 3
－
3)
2=
1 9
.
综上所述，该非负数为
1
或
1 9
.
感悟新知
知1－练
2-1. [ 期末·沧州任丘市] 一个正数 x 的两个平方根分别 是 2a － 3 和 5 － a.
【冀教版教材】八年级数学上册《14.1 第1课时 平方根》课件
第十四章 实数
14.1 平方根 第1课时 平方根
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解平方根的概念及表示方法. 2.理解并掌握平方根的性质.（难点） 3.理解开平方运算，体会数学中的互逆思想.(重点）
导入新课
情景引入
学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25 dm2 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正 方形画布的边长应取多少？ 问题 请你说一说解决问题的思路．
3. 求下列各式中x的值
①x2 = = 0；
x
=±
7 9
;
③49(x2+1) = 50.
x =±1 . 7
课堂小结
平方根的概念 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a
的平方根或二次方根．这就是说，如果 x2 a ，那么x
叫做a的平方根．
平方根的性质 （1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
方根只有一个，它就是0本身.即： 0 =0 .
负数有平方根吗？因为正、负、0的平方都不是负数，所以 负数没有平方根. 如：-81无意义.
平方根的性质 （1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数； （2）0只有两平方根，是0本身； （3）负数没有平方根.
二 开平方运算
开平方 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.
解：设每块地砖的边长为x米，
由题意得：
x2
10.8
0.09, x
120
0.09 0.3.
答：每块的地砖的边长是0.3米.
当堂练习
1.下列个数有平方根吗？如果有，写出它的平方根，如果没 有，说明理由.
（1）64；
14.1 平方根 第1课时 平方根
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解平方根的概念及表示方法. 2.理解并掌握平方根的性质.（难点） 3.理解开平方运算，体会数学中的互逆思想.(重点）
导入新课
情景引入
学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25 dm2 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正 方形画布的边长应取多少？ 问题 请你说一说解决问题的思路．
3. 求下列各式中x的值
①x2 = = 0；
x
=±
7 9
;
③49(x2+1) = 50.
x =±1 . 7
课堂小结
平方根的概念 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a
的平方根或二次方根．这就是说，如果 x2 a ，那么x
叫做a的平方根．
平方根的性质 （1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
方根只有一个，它就是0本身.即： 0 =0 .
负数有平方根吗？因为正、负、0的平方都不是负数，所以 负数没有平方根. 如：-81无意义.
平方根的性质 （1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数； （2）0只有两平方根，是0本身； （3）负数没有平方根.
二 开平方运算
开平方 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.
解：设每块地砖的边长为x米，
由题意得：
x2
10.8
0.09, x
120
0.09 0.3.
答：每块的地砖的边长是0.3米.
当堂练习
1.下列个数有平方根吗？如果有，写出它的平方根，如果没 有，说明理由.
（1）64；
冀教版八年级上册数学《平方根》PPT教学课件
个小正方形木板的边长是多少？
解：设另一个小正方形木板的边长是xdm.由题意可得
x 2 52 169
x 2 144
x 0
x 144 12
答：另一个正方形的边长为12dm.
拓展
1.如果 y
x 5 5 x 16 , 求4 x y的算术平方根 .
分析： 由被开方数≥0，可得
解：根据题意，得a＋2＋2a－8＝0，解得a＝2.
所以x＝(a＋2)2＝(2＋2)2＝42＝16.
知识讲解
★求平方根
问题1 观察框图，说一说求一个数的平方运算和求一个数的平方
根运算具有怎样的关系.
底数
x2
指数
a=x2
a为x的平方
根号
x a
a
x为a的平方根
幂(x的平方)
a的平方根
互为逆运算
被开方数
a =a
2
- ( ≤0）
例题讲解
例2 计算下列各式：
(1) 1.69
( 2) 225
解：（1） 1.69 （2） 225
1 .3 2
15
1 .3
15
注意符号的一致性
2
(3)
（3）
9
49
(4) (17) 2
9
49
3
7
3
7
2
（4） (17)
x 225 15
∴4x=60
2（15+60）=150（m）
答：所需篱笆的长度为150m.
1.求下列各式的值：（步骤要规范）
★ 练一练
(1) 256
解： (1) 256
16 2
解：设另一个小正方形木板的边长是xdm.由题意可得
x 2 52 169
x 2 144
x 0
x 144 12
答：另一个正方形的边长为12dm.
拓展
1.如果 y
x 5 5 x 16 , 求4 x y的算术平方根 .
分析： 由被开方数≥0，可得
解：根据题意，得a＋2＋2a－8＝0，解得a＝2.
所以x＝(a＋2)2＝(2＋2)2＝42＝16.
知识讲解
★求平方根
问题1 观察框图，说一说求一个数的平方运算和求一个数的平方
根运算具有怎样的关系.
底数
x2
指数
a=x2
a为x的平方
根号
x a
a
x为a的平方根
幂(x的平方)
a的平方根
互为逆运算
被开方数
a =a
2
- ( ≤0）
例题讲解
例2 计算下列各式：
(1) 1.69
( 2) 225
解：（1） 1.69 （2） 225
1 .3 2
15
1 .3
15
注意符号的一致性
2
(3)
（3）
9
49
(4) (17) 2
9
49
3
7
3
7
2
（4） (17)
x 225 15
∴4x=60
2（15+60）=150（m）
答：所需篱笆的长度为150m.
1.求下列各式的值：（步骤要规范）
★ 练一练
(1) 256
解： (1) 256
16 2
冀教版数学八年级上册同步课件：14.算术平方根
由题意有：3a×5a＝300，解得：
∵3a表示长度，∴a＞0，∴
∴这个长方形场地的周长为
∵
∴这些铁栅栏够用．
答：这些铁栅栏够用．
，
课堂小结
算术平方根的概念
算术平方根
算术平方根的双重非负性
算术平方根的应用
2
归纳
(1)求一个数的算术平方根时，第一要弄清是求哪个数的算术平方根
，分清求 81 与81的算术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑
．求 81 的值实质是求81的算术平方根；求的算术平方根实质是求
9的算术平方根．
(2)求一个非负数的算术平方根常借助于平方运算，因此熟记常用平
方数对求一个数的算术平方根十分有用．
一个正数的算术平方根有1个
2.0的算术平方有几个？
0的算术平方根有一个，是0.
3.-1有算术平方根吗？负数有算术平方根?
负数没有算术平方根.
变式练习1 根据算术平方根的意义填空：
(1)7的算术方根是 ____
7 .
5
25
25
25
的算术平方根
(2)
表示 ________________ .
____
即
;
(2)因为
即
，所以
的算术平方根是
;
(3)15的算术平方根是
;
，
(4)0.64的算术平方根是0.8;
(5)10-4的算术平方根是10-2;
(6)因为
225 15，所以
225 的算术平方根是 15 ;
5 0
5 0
(7)因为 ( ) 1 ，所以 ( ) 的算术平方根是1;
6
6
6.若|m-1| +
∵3a表示长度，∴a＞0，∴
∴这个长方形场地的周长为
∵
∴这些铁栅栏够用．
答：这些铁栅栏够用．
，
课堂小结
算术平方根的概念
算术平方根
算术平方根的双重非负性
算术平方根的应用
2
归纳
(1)求一个数的算术平方根时，第一要弄清是求哪个数的算术平方根
，分清求 81 与81的算术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑
．求 81 的值实质是求81的算术平方根；求的算术平方根实质是求
9的算术平方根．
(2)求一个非负数的算术平方根常借助于平方运算，因此熟记常用平
方数对求一个数的算术平方根十分有用．
一个正数的算术平方根有1个
2.0的算术平方有几个？
0的算术平方根有一个，是0.
3.-1有算术平方根吗？负数有算术平方根?
负数没有算术平方根.
变式练习1 根据算术平方根的意义填空：
(1)7的算术方根是 ____
7 .
5
25
25
25
的算术平方根
(2)
表示 ________________ .
____
即
;
(2)因为
即
，所以
的算术平方根是
;
(3)15的算术平方根是
;
，
(4)0.64的算术平方根是0.8;
(5)10-4的算术平方根是10-2;
(6)因为
225 15，所以
225 的算术平方根是 15 ;
5 0
5 0
(7)因为 ( ) 1 ，所以 ( ) 的算术平方根是1;
6
6
6.若|m-1| +
新冀教版八年级上册初中数学 14-1 平方根 教学课件
教学课件
数学 八年级上册 冀教版
第一页，共三十八页。
第十四章 实数
14.1 平方根（第1课时）
第二页，共三十八页。
情境思考
小明家的新房刚刚装修好，星期天小明的爸爸带着小明去挑选
餐桌.他们看中了一款非常漂亮的餐桌，可是不知道边长是多少，正
当小明的爸爸犯愁的时候，小明看了看桌子上的标签，得意地说：
“我知道了”. 同学们，你们知道吗？
第三页，共三十八页。
学习新知
1.
3 5
和
- 53的平方等于多少？10和-10的平方等于多少？
2.平方等于 9的数有哪些？平方等于100的数呢？
25
3.满足x2=25的x的值是多少？
解：1. 9 ,100 2. 3， - 3，10，-10
25
55
3. 5，-5
第四页，共三十八页。
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a， 那么这个数x就叫做a的平方根，也叫做a的二 次方根。
3.下列各等式中，正确的是( A)
A. 32 3 B.
C. - 3 2 -3
D.
32 3
32 3
4.若 a2 a ，则a为( C)
A.正数 B.非负数
C.1或0
D.0
【解析】∵ a 2 ,a∴a≥0, a= 本身,∴a=1或0.故选C.
，a即a的算术平方根等于它
第三十五页，共三十八页。
解：∵2a-7的平方根是±5，
∴2a-7=25，∴a=16， ∵2a+b-1的算术平方根是4， ∴2a+b-1=16，∴b=-15，∴a+b=16-15=1， ∴a+b的算术平方根是1.
第三十八页，共三十八页。
数学 八年级上册 冀教版
第一页，共三十八页。
第十四章 实数
14.1 平方根（第1课时）
第二页，共三十八页。
情境思考
小明家的新房刚刚装修好，星期天小明的爸爸带着小明去挑选
餐桌.他们看中了一款非常漂亮的餐桌，可是不知道边长是多少，正
当小明的爸爸犯愁的时候，小明看了看桌子上的标签，得意地说：
“我知道了”. 同学们，你们知道吗？
第三页，共三十八页。
学习新知
1.
3 5
和
- 53的平方等于多少？10和-10的平方等于多少？
2.平方等于 9的数有哪些？平方等于100的数呢？
25
3.满足x2=25的x的值是多少？
解：1. 9 ,100 2. 3， - 3，10，-10
25
55
3. 5，-5
第四页，共三十八页。
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a， 那么这个数x就叫做a的平方根，也叫做a的二 次方根。
3.下列各等式中，正确的是( A)
A. 32 3 B.
C. - 3 2 -3
D.
32 3
32 3
4.若 a2 a ，则a为( C)
A.正数 B.非负数
C.1或0
D.0
【解析】∵ a 2 ,a∴a≥0, a= 本身,∴a=1或0.故选C.
，a即a的算术平方根等于它
第三十五页，共三十八页。
解：∵2a-7的平方根是±5，
∴2a-7=25，∴a=16， ∵2a+b-1的算术平方根是4， ∴2a+b-1=16，∴b=-15，∴a+b=16-15=1， ∴a+b的算术平方根是1.
第三十八页，共三十八页。
《平方根 第1课时》PPT课件 冀教版八年级数学上
典例精讲
例1 求下列各数的平方根：
文字语言
文字语言
回顾反思
探究新知
定义：一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数 叫做a的平方根，也叫做a的二次方根.
x2 = a
x是a的平方根
探究新知
例如，16的平方根为4和-4， 295的平方根为35和- 35, 100的平方根为10和-10.
探究新知
问题:(1)当一个正数和一个负数互为相反数时，它们的平方有什么关系? (2)正数有平方根吗?如果有，有几个?它们有什么关系? (3)0有平方根吗?如果有，它是什么数? (4)负数有平方根吗?
第十四章 实数
14.1 平方根 第1课时
导入新课
小明家有一块面积为100m2的正方形花圃.花圃周围要用护栏 围起来，需要护栏多少米?
分析: 条件:面积为100m2的正方形 问题:求护栏的长(即正方形的周长) 则先求正方形的边长
转化为:已知一个数的平方等于100，求这个数
导入新课 思考：这如：
探究新知
我们把求一个数的平方根的运算，叫做开平方.
如：因为（±5）2 =25， 所以81的平方根为±5，
即 25 5 所以 25 也表示为25的开平方运算
探究新知
观察框图，说说求一个数的平方运算和求一个数的平方根 运算具有怎样的关系？
对于正数来说，开平方运算与平方运算互为逆运算！
归纳总结
一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 零有一个平方根，它是零本身； 负数没有平方根.
只有非负数才有平方根.
x2=a （a 0）
归纳总结
一个正数有两个平方根：一个正数，一个负数
正数a的正的平方根记作： 正数a的负的平方根记作： 正数a的两个平方根记作：
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9 ＝3
（来自《点拨》）
知1－讲
总 结
必须弄清以下符号的意义：± a (a≥0)表示 非负数a的平方根， a (a≥0)表示非负数a的正的 平方根．把非负数a开平方，它的平方根可用± a
表示．
（来自《点拨》）
知1－练
1 下列说法：
①±5是25的平方根；
②49的平方根是－7； ③8是16的平方根； ④－3是9的一个平方根． 其中正确的个数是( B )
(2)0只有一个平方根，是0本身；
(3)负数没有平方根．
（来自《点拨》）
知2－讲
例2 (1)已知3＋a的平方根是±5，求a的值； (2)一个正数x的两个平方根分别是－a＋2与2a －1，求a的值和这个正数x的值． 导引：(1)由平方根的定义知3＋a等于(±5)2. (2)正数x有两个平方根，分别是－a＋2与2a－ 1，所以－a＋2与2a－1互为相反数，即－a＋2 ＋2a－1＝0，解方程可求出a；根据x＝(－a＋ 2)2，代入a的值可求出x的值．
知3－导
知识点
3
求平方根（开平方）
观察框图，说一说求一个数的平方运算和求一个 数的平方根运算具有怎样的关系.
底数
x2
指数 a=x2 a为x的平方
根号
x a
a
被开方数
幂(x的平方)
x为a的平方根 a的平方根
知3－导
归
纳
我们把求一个数的平方根的运算，叫做开 平方. 我们可以借助平方运算来求一个正数的 平方根.
知2－导
知识点
2
平方根的性质
1._____和
16的平方根.
是16的平方根，也就是说
是
2. ∵02=0，∴平方等于0的数有
个，它是___.
3.讨论：有没有一个数的平方等于－4？你能找到一 个数的平方是负数吗？
知2－讲
平方根的性质： (1)一个正数有两个平方根，它们互为相反数，
正数a的平方根表示为± a ；
知2－讲
解：(1)∵(±5)2＝25， ∴25的平方根是±5，即3＋a＝25. ∴a＝22.
(2)∵正数x有两个平方根，
分别是－a＋2与2a－1， ∴－a＋2＋2a－1＝0，解得a＝－1. ∴x＝(－a＋2)2＝(1＋2)2＝32＝9.
（来自《点拨》）
知2－讲
总 结
(1)题运用平方根的定义中被开方数等于它的平方 根的平方列方程；
（来自《点拨》）
知2－练
2 下列说法正确的有( A ) ①－2是－4的一个平方根；
②a2的平方根是a；
③2是4的平方根； ④4的平方根是－2.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3 下列关于“0”的说法中，正确的是( C ) A．0是最小的正整数 B．0没有相反数 C．0没有倒数 D．0没有平方根
（来自《典中点》）
知3－讲
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数. 平方根是一个数，是开平方的结果；开平方是和
加、减、乘、除、乘方一样的一种运算，是求平方根
的过程. 平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方 运算来检验开平方的结果是不是正确.
知3－讲
例3 求下列各数的平方根： 36 (1)81；(2) ；(3) 0.04. 121 解：(1)因为(±9)2 = 81，所以81的平方根为±9，即
2 gr ，(其
中g取9.8m/s2，r取6.4×106m).上式中的v2如何计算呢？
知1－导
知识点
1
平方根的定义
3 3 1. 和－ 的平方等于多少？ 10和－10的平方等于 5 5
多少？
9 2.平方等于 的数有哪些？平方等于100的数呢？ 25
3.满足x2 = 25的x的值是多少？
知1－导
归
纳
(2)题运用平方根的性质中正数的两个平方根的关
系列方程，通过列方程运用方程思想求相关待 定字母的值是数学中常用的方法．
（来自《点拨》）
知2－练
1 已知正数x的两个平方根分别为a＋2和2a－8， 求x的值．
解：根据题意得，a＋2＋2a－8＝0，解得a＝2. 所以x＝(a＋2)2＝(2＋2)2＝42＝16.
第十四章 实
数
14.1
平方根
第1课时
平方根
1
课堂讲解 平方根的定义
平方根的性质 求平方根(开平方)
2
课时流程
逐点 导讲练 课堂 小结 作业 提升
“卡西尼”号土星探测器历经了80多个月的飞行，
成功进入环绕土星运行的轨迹，要使土星探测器飞离地 球，它的速度需大于v2，计算v2的公式为v2=
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，
那么这个数x就叫做a的平方根(square root)，也 叫做a的二次方根.
9 例如，16的平方根为4和－4， 25 的平方根为 3 3 和 ，100的平方根为10和－10. 5 5
知1－讲
例1 下列说法中，正确的是( B )
A．9的平方根是±3，应表示为92＝±3 B．±3是9的平方根，应表示为± 9 ＝3 C．9开平方能得到9的平方根，即 9 ＝±3 D．3是9的一个平方根，应表示为
知3－讲
总 结
要从根本之处理解一个数的平方根的运算，从
平方根的概念入手，同时要知道，只有非负数才有
平方根.同时注意平方根的通用符号是± a (a≥0)， 防止粗心大意漏掉“- a ”而出错.
知3－练
9 (1)16； (2)0.49； (3) ； (4)－9. 121 解：(1)因为(±4)2＝16， 所以16的平方根是±4，即± 16 ＝±4.
± 81 =±9. 2 36 6 36 6 (2)因为 ，所以 的平方根为 ， 121 11 11 121 36 6 . 即 121 11 (3)因为(±0.2)2 = 0. 04，所以0.04的平方根为±0.2， 即 0.04 0.2.
（来自《点拨》）
A．1
B．2
C．3
D．4
（来自《点拨》）
知1－练
2 如果x2＝a，那么下列说法错误的是( B ) A. 若x确定，则a的值是唯一的 B. 若a确定，则x的值是唯一的 C. a是x的平方 D. x是a的平方根 3 【中考· 泰州】4的平方根是( A )
A．±2
B．－2
C．2
1 D．± 2
（来自《典中点》）
(2)因为(±0.7)2＝0.49，所以0.49的平方根是 ±0.7，即± 0.49 ＝±0.7.
9 3 (3)因为 11 121
2
1 求下列各数的平方根：
3 ，所以的平方根是± ， 11
（来自《点拨》）
知1－讲
总 结
必须弄清以下符号的意义：± a (a≥0)表示 非负数a的平方根， a (a≥0)表示非负数a的正的 平方根．把非负数a开平方，它的平方根可用± a
表示．
（来自《点拨》）
知1－练
1 下列说法：
①±5是25的平方根；
②49的平方根是－7； ③8是16的平方根； ④－3是9的一个平方根． 其中正确的个数是( B )
(2)0只有一个平方根，是0本身；
(3)负数没有平方根．
（来自《点拨》）
知2－讲
例2 (1)已知3＋a的平方根是±5，求a的值； (2)一个正数x的两个平方根分别是－a＋2与2a －1，求a的值和这个正数x的值． 导引：(1)由平方根的定义知3＋a等于(±5)2. (2)正数x有两个平方根，分别是－a＋2与2a－ 1，所以－a＋2与2a－1互为相反数，即－a＋2 ＋2a－1＝0，解方程可求出a；根据x＝(－a＋ 2)2，代入a的值可求出x的值．
知3－导
知识点
3
求平方根（开平方）
观察框图，说一说求一个数的平方运算和求一个 数的平方根运算具有怎样的关系.
底数
x2
指数 a=x2 a为x的平方
根号
x a
a
被开方数
幂(x的平方)
x为a的平方根 a的平方根
知3－导
归
纳
我们把求一个数的平方根的运算，叫做开 平方. 我们可以借助平方运算来求一个正数的 平方根.
知2－导
知识点
2
平方根的性质
1._____和
16的平方根.
是16的平方根，也就是说
是
2. ∵02=0，∴平方等于0的数有
个，它是___.
3.讨论：有没有一个数的平方等于－4？你能找到一 个数的平方是负数吗？
知2－讲
平方根的性质： (1)一个正数有两个平方根，它们互为相反数，
正数a的平方根表示为± a ；
知2－讲
解：(1)∵(±5)2＝25， ∴25的平方根是±5，即3＋a＝25. ∴a＝22.
(2)∵正数x有两个平方根，
分别是－a＋2与2a－1， ∴－a＋2＋2a－1＝0，解得a＝－1. ∴x＝(－a＋2)2＝(1＋2)2＝32＝9.
（来自《点拨》）
知2－讲
总 结
(1)题运用平方根的定义中被开方数等于它的平方 根的平方列方程；
（来自《点拨》）
知2－练
2 下列说法正确的有( A ) ①－2是－4的一个平方根；
②a2的平方根是a；
③2是4的平方根； ④4的平方根是－2.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3 下列关于“0”的说法中，正确的是( C ) A．0是最小的正整数 B．0没有相反数 C．0没有倒数 D．0没有平方根
（来自《典中点》）
知3－讲
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数. 平方根是一个数，是开平方的结果；开平方是和
加、减、乘、除、乘方一样的一种运算，是求平方根
的过程. 平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方 运算来检验开平方的结果是不是正确.
知3－讲
例3 求下列各数的平方根： 36 (1)81；(2) ；(3) 0.04. 121 解：(1)因为(±9)2 = 81，所以81的平方根为±9，即
2 gr ，(其
中g取9.8m/s2，r取6.4×106m).上式中的v2如何计算呢？
知1－导
知识点
1
平方根的定义
3 3 1. 和－ 的平方等于多少？ 10和－10的平方等于 5 5
多少？
9 2.平方等于 的数有哪些？平方等于100的数呢？ 25
3.满足x2 = 25的x的值是多少？
知1－导
归
纳
(2)题运用平方根的性质中正数的两个平方根的关
系列方程，通过列方程运用方程思想求相关待 定字母的值是数学中常用的方法．
（来自《点拨》）
知2－练
1 已知正数x的两个平方根分别为a＋2和2a－8， 求x的值．
解：根据题意得，a＋2＋2a－8＝0，解得a＝2. 所以x＝(a＋2)2＝(2＋2)2＝42＝16.
第十四章 实
数
14.1
平方根
第1课时
平方根
1
课堂讲解 平方根的定义
平方根的性质 求平方根(开平方)
2
课时流程
逐点 导讲练 课堂 小结 作业 提升
“卡西尼”号土星探测器历经了80多个月的飞行，
成功进入环绕土星运行的轨迹，要使土星探测器飞离地 球，它的速度需大于v2，计算v2的公式为v2=
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，
那么这个数x就叫做a的平方根(square root)，也 叫做a的二次方根.
9 例如，16的平方根为4和－4， 25 的平方根为 3 3 和 ，100的平方根为10和－10. 5 5
知1－讲
例1 下列说法中，正确的是( B )
A．9的平方根是±3，应表示为92＝±3 B．±3是9的平方根，应表示为± 9 ＝3 C．9开平方能得到9的平方根，即 9 ＝±3 D．3是9的一个平方根，应表示为
知3－讲
总 结
要从根本之处理解一个数的平方根的运算，从
平方根的概念入手，同时要知道，只有非负数才有
平方根.同时注意平方根的通用符号是± a (a≥0)， 防止粗心大意漏掉“- a ”而出错.
知3－练
9 (1)16； (2)0.49； (3) ； (4)－9. 121 解：(1)因为(±4)2＝16， 所以16的平方根是±4，即± 16 ＝±4.
± 81 =±9. 2 36 6 36 6 (2)因为 ，所以 的平方根为 ， 121 11 11 121 36 6 . 即 121 11 (3)因为(±0.2)2 = 0. 04，所以0.04的平方根为±0.2， 即 0.04 0.2.
（来自《点拨》）
A．1
B．2
C．3
D．4
（来自《点拨》）
知1－练
2 如果x2＝a，那么下列说法错误的是( B ) A. 若x确定，则a的值是唯一的 B. 若a确定，则x的值是唯一的 C. a是x的平方 D. x是a的平方根 3 【中考· 泰州】4的平方根是( A )
A．±2
B．－2
C．2
1 D．± 2
（来自《典中点》）
(2)因为(±0.7)2＝0.49，所以0.49的平方根是 ±0.7，即± 0.49 ＝±0.7.
9 3 (3)因为 11 121
2
1 求下列各数的平方根：
3 ，所以的平方根是± ， 11