《复变函数与积分变换》PPT课件[1]

浙江大学
例：已知正三角形的两个顶点为 求三角形的另一个顶点。
z1 = 1, z2 = 2 + i
y
z3 − z1 = (z2 − z1 )e 3 1 3 = (1+ i)( + i) 2 2 1− 3 1+ 3 i = + 2 2
3 − 3 1+ 3 z3 = i + 2 2
i
π
z3
z2
x
O
z1
3 + 3 1− 3 ′ z3 = i + 2 2
于是有
− 2x > 0 2 x + y2 −1 > 0 x2 + y2 −1 > −2x
x<0 x2 + y 2 > 1 (x +1)2 + y2 > 2
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它表示在圆 (x +1)2 + y2 > 2 外且属于左半平面的所有点的集合
i
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复变函数
复变函数的定义 设 D 是复变数z的一个集合，对于 D 中的每一个z，按 照一定的规律，有一个或多个复数w的值与之对应，则称 w为定义在 D 上的复变函数 复变函数，记做 复变函数
r = x2 + y2 y θ = arctan x
(cosθ + i sin θ )
z = reiθ
复数的 模 复数的 幅角
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r= z
θ = Arg z
讨论： 讨论：
1) 复数的幅角不能唯一地确定。任意非零复数均有 无穷多个幅角。通常把
−π < θ0 ≤ π
的幅角称为Arg z的主值。记为
∞
∞ = +∞
z ± ∞ = ∞, ∞ ± z = ∞,⋯
∞ ± ∞, ∞ ÷ ∞, ∞ ⋅ 0,
约定无穷远点的实部、虚部及幅角都没有意义；另外 等也没有意义。
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复平面点集与区域
（1）邻域 （2）去心邻域 （3）内点 点z是点集E的内点 存在z的某个r邻域含于E内，即 （4）外点 点z是点集E的外点 存在z的某个r邻域不含E内的点
θ + 2(n −1)π
n
)
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例： 3
−8
− 8 = 23 (cosπ + i sin π )
3
− 8 = 2(cos
π + 2kπ
3
+ i sin
π + 2kπ
3
) k = 0,1,2
即
3
+i 3 k = 0 1 −8 = − 2 k =1 1− i 3 k = 2
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复球面与无穷远点
球极平面射影法 取一个在原点O与z平面相切的球面， 过O点作z平面的垂线与球面交于N 点（称为北极或者球极）。 对于平面上的任一点z，用一 条空间直线把它和球极连接起 来，交球面于P。 z N P
S \ {N}
P
2
z平面
z
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从几何上可以看出： Z平面上每个以原点为圆心 的圆周对应于球面上的某一个纬 圈，这个圆周以外的点则对应于 相应纬圈以北的点，而且若点z 的模越大，球面上相应的点则越 靠近北极N。 由此我们引进一个理想“点” 与北极N对应。称之为无穷远 点 扩充复平面 ＝ 复平面＋ ∞ N
f (z1 ) ≠ f (z2 ).
f (D) = G
f(z) 既是单射，又是满射。 单射， 单射 又是满射。
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w = f (z) : D → G
z = x + iy
w = u + iv = u(x, y) + iv(x, y)
例：
w = z = ( x + iy)
定理
z1z2 = z1 z2
y
z1z2 z1
z2
O x
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Arg(z1z2 ) = Arg(z1 ) + Arg(z2 )
注意多值性 注意多值性
指数形式表示
z1z2 = r1e r2e
iθ1
iθ2
= r1r2e
i (θ1 +θ2 )
推广至有限个复数的乘法
z1z2 ⋯zn = r1eiθ1 r2eiθ2 ⋯rneiθn = r1r2 ⋯rne
w = f (z)
(z ∈ D)
单值函数 f(z): 对于D中的每个z，有且仅有一个w与之对应。 多值函数 f(z): 对于D中的每个z，有两个或两个以上 w 与之 对应。
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w = f (z) : D → G
定义： 定义：
我们主要考虑单值函数
f(z)是单射 单射（或一对一映射） 单射 对于任意 z1 ≠ z2 , f(z)是满射 满射 f(z)是双射 双射
ρ =r
n
e
inϕ
=e
iθ
ρ = n r , nϕ = θ + 2kπ , k = 0,±1,±2,⋯
即
ρ = r, ϕ =
n
θ + 2kπ
n
1 n
,
k = 0,±1,±2,⋯
+ i sin
w = re
n
i
θ +2kπ
n
= r (cos
θ + 2kπ
n
θ + 2kπ
n
)
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当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
y = −3
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（3） arg( z −i) =
π
4
arg( z − i) 表示实轴方向与由点i 到 z 的向量之间交角
的主值，因此满足方程的点的全体是自 i 点出发且与实轴 正向夹角为45度的一条半射线。（不包括 i点） （4）
Re z 2 ≤ 1
z 2 = (x + iy)2 = (x2 − y2 ) + 2ixy
α
B = z(β )
简单曲线： 简单曲线： 简单闭曲线： 简单闭曲线： 光滑曲线： 光滑曲线： （12）单连通区域
t1 ≠ t2 , ⇒ z(t1 ) ≠ z(t2 )
没有交叉点。
x′(t), y′(t)存 、 续 不 为 在 连 且 全 零
设D为复平面上的区域，若在D内的任意简单闭曲线的内部 单连通区域，否则称多连通区域。 仍属于D，则称D为单连通区域 单连通区域
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c) 共轭复数： 共轭复数：
z = x − iy, z = x + iy
容易 验证
互为共轭复数
z = z,
zz = x + y
2
2
z + z = 2x = 2 Re z,
z1 + z2 = z1 + z2
z1 z1 = z z 2 2
z − z = 2iy = 2i Im z
Re z 2 = x2 − y2 ≤ 1
Im z 2 ≤ 1
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例： 指出不等式 0 < arg 解：
z −i π < 中Fra bibliotekz的轨迹所在范围。 z +i 4
z −i x2 + y2 −1 − 2x = 2 +i 2 2 z + i x + ( y +1) x + ( y +1)2
z −i π 因为 0 < arg < , 所以 z +i 4 +i x2 + y2 −1 − 2x > 2 >0 2 2 2 x + ( y +1) x + ( y +1)
θ0 = arg z
2）复数“零”的幅角没有意义，其模为 零。 3）当 r = 1时，复数z称为单位复数。 利用复数的三角形式或指数形式作乘除法比较方便。
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设
z1 = r1 (cosθ1 + i sin θ1 ), z2 = r2 (cosθ2 + i sin θ2 ) z1z2 = r1r2 (cosθ1 + i sin θ1 )(cosθ2 + i sin θ2 ) = r1r2[cos(θ1 +θ2 ) + i sin( θ1 +θ2 )]
i(θ1 +θ2 +⋯ θn ) +
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除法运算
z1 ≠ 0
z2 z2 = z1 z1
z2 z2 = , z1 z1
或者
z2 z2 = z1 z1
z2 Arg z2 = Arg + Arg z1 z1 z2 Arg = Arg z2 - Arg z1 z1
z2 r2 i(θ2 −θ1) = e z1 r1
z2 z1
O 加法运算 x
z1 + z2
z1 + z2 ≤ z1 + z2
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y
z1 z2
z1 − z2
O x
− z2
减法运算
z1 − z2 ≤ z1 − z2
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复数的三角形式与指数形式
利用极坐标来表示复数z， 则复数 z 可表示为 三角式： z = r 三角式 指数式： 指数式
x = r cosθ y = r sin θ
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平面图形的复数表示
很多平面图形能用复数形式的方程（或不等式） 来表示；也可以由给定的复数形式的方程（或不等 式）来确定所表示的平面图形。 例：Z平面上以原点为中心、R为半径的圆周方程为
z =R
Z平面上以 z_0为中心、R为半径的圆周方程为
z − z0 = R
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例： （1）连接z 和z 两点的线段的参数方程为 1 2