专题02翻折变换-中考母题题源系列(数学原卷版)

合集下载

备考2023年中考数学二轮复习-图形的变换_轴对称变换_翻折变换(折叠问题)

备考2023年中考数学二轮复习-图形的变换_轴对称变换_翻折变换（折叠问题）翻折变换（折叠问题）专训单选题：1、(2017长安.中考模拟) 如图，对△ABC纸片进行如下操作：第1次操作：将△ABC沿着过AB中点D1的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，折痕D1E1到BC的距离记作h1，然后还原纸片；第2次操作：将△AD1E1沿着过AD1中点D2的直线折叠，使点A落在D1E1边上的A1处，折痕D1E1到BC的距离记作h2，然后还原纸片；…按上述方法不断操作下去…，经过第n次操作后得到的折痕Dn En到BC的距离记作hn ，若h=1，则hn的值不可能是（）A .B .C .D .2、(2019吴兴.中考模拟) 如图，将长BC=8cm，宽AB=4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（）A . 4cmB . cmC . cmD . c3、(2017长清.中考模拟) 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为（）A . 2B .C . 1D .4、(2017武汉.中考模拟) 如图，折叠矩形纸片ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，若AB=8，BC=10，则△CEF的周长为（）A . 12B . 16C . 18D . 245、(2013百色.中考真卷) 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使DA 与对角线DB重合，点A落在点A′处，折痕为DE，则A′E的长是（）A . 1B .C .D . 26、(2015.中考真卷) 如图，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，沿对角线OB折叠后，点A与点D重合，OD与BC交于点E，则点D的坐标是（）A . （4，8）B . （5，8）C . （，）D . （，）7、(2012遵义.中考真卷) 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为（）A . 3B . 2C . 2D . 28、(2020南岸.中考模拟) △ABC中，∠ACB=45°，D为AC上一点，AD=5 ，连接BD，将△ABD沿BD翻折至△EBD，点A的对应点E点恰好落在边BC上.延长BC至点F，连接DF，若CF=2，tan∠ABD= ，则DF长为（）A .B .C . 5D . 79、(2020鄞州.中考模拟) 三角形纸片ABC中，∠C=90°，甲折叠纸片使点A与点B 重合，压平得到的折痕长记为m；乙折叠纸片使得CA与CB所在的直线重合，压平得到的折痕长记为n，则m，n的大小关系是（）A . m≤nB . m<nC . m≥nD . m>n10、(2020沙河.中考模拟) 欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地可以用折纸的方法求方程的一个正根。

32.中考数学专题翻折变换数学母题题源系列原卷版

【母题原题一】【2019·广东深圳】如图在正方形ABCD 中，1BE =，将BC 沿CE 翻折，使点B 对应点刚好落在对角线AC 上，将AD 沿AF 翻折，使点D 对应点落在对角线AC 上，求EF =__________.【解析】作FM AB ⊥于点M ，由折叠可知：1EXEB AX ===，AE =1AM DF YF ===，∴正方形边长1,1AB FM EM ===，∴EF ===.【名师点睛】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．【母题原题二】【2019·江苏淮安】如图，在矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，H 是AB 的中点，将CBH∆专题06 翻折变换沿CH 折叠，点B 落在矩形内点P 处，连接AP ，则tan HAP ∠=__________．【答案】43【解析】如图，连接PB ，交CH 于E ，由折叠可得，CH 垂直平分BP ，BH PH =，又∵H 为AB 的中点，∴AH BH =，∴AH PH BH ==， ∴HAP HPA ∠=∠，HBP HPB ∠=∠，又∵180HAP HPA HBP HPB ︒∠+∠∠+∠=+， ∴90APB ︒∠=，∴90APB HEB ︒∠=∠=， ∴AP HE ∥，∴BAP BHE ∠=∠，又∵Rt BCH △中，4tan 3BC BHC BH ∠==， ∴4tan 3HAP ∠=，故答案为：43．【名师点睛】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．【母题原题三】【2019·江苏扬州】将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC =26°，则∠ACD = __________．【答案】128°. 【解析】如图，延长DC 到F ，∵矩形纸条折叠，∴∠ACB=∠BCF，∵AB∥CD，∴∠BCF=∠ABC=26°，∴∠ACF=52°，∵∠ACF+∠ACD=180°，∴∠ACD=128°，故答案为：128°.【名师点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.【母题原题四】【2019·山西】综合与实践动手操作：第一步：如图1，正方形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠，展开铺平.在沿过点C的直线折叠，使点B，点D都落在对角线AC上.此时，点B与点D重合，记为点N，且点E，点N，点F三点在同一直线上，折痕分别为CE，CF.如图2.第二步：再沿AC所在的直线折叠，△ACE与△ACF重合，得到图3.第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C与点F重合，如图4，展开铺平，连接EF，FG，GM，ME，如图5，图中的虚线为折痕.问题解决：（1）在图5中，∠BEC的度数是__________，AEBE的值是__________；（2）在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由；（3）在不增加字母的条件下，请你以图5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形(正方形除外)，并写出这个菱形：__________．【答案】（1）67.5°；（2）四边形EMGF是矩形，理由见解析；（3）菱形FGCH或菱形EMCH(一个即可).【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠B =90°，∠ACB =12∠BCD =45°，∠BAC =12∠BAD =45°， ∵折叠，∴∠BCE =12∠BCA =22.5°，BE =EN ，∠ENC =∠B =90°， ∴∠BEC =90°-22.5°=67.5°，∠ANE =90°，在Rt △AEN 中，sin ∠EAN =ENAE，∴2EN AE =，∴AE EN ，∴AE AE BE EN ==故答案为：67.5°（2）四边形EMGF 是矩形，理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B =∠BCD =∠D =90°，由折叠可知：∠1=∠2=∠3=∠4=22.5°，CM =CG ， ∠BEC =∠NEC =∠NFC =∠DFC =67.5°，由折叠可知：MH 、GH 分别垂直平分EC ，FC ，∴MC =ME ，GC =GF ，∴∠5=∠1=22.5°，∠6=∠4=22.5°，∴∠MEF =∠GFE =90°， ∵∠MCG =90°，CM =CG ，∴∠CMG =45°，又∵∠BME =∠1+∠5=45°，∴∠EMG =180°-∠CMG -∠BME =90°， ∴四边形EMGF 是矩形；（3）如图所示，四边形EMCH 是菱形，理由如下：由（2）∠BME =45°=∠BCA ，∴EM ∥AC ，∵折叠，∴CM =CH ，EM =CM ，∴EM =CH ，∴EM =CH ， ∴四边形EMCH 是平行四边形，又CM =EM ，∴平行四边形EMCH 是菱形.(同理四边形FGCH 是菱形，如图所示：).【名师点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的判定，菱形的判定，解直角三角形等，正确把握相关知识是解题的关键.【母题原题五】【2019·江苏徐州】如图，将平行四边形纸片ABCD 沿一条直线折叠，使点A 与点C 重合，点D 落在点G 处，折痕为EF ．求证：（1）ECB FCG ∠=∠；（2）EBC FGC △≌△．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A BCD =∠，由折叠可得，A ECG ∠=∠， ∴BCD ECG ∠=∠，∴BCD ECF ECG ECF ∠-∠=∠-∠， ∴ECB FCG ∠=∠；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴D B ∠=∠，AD BC =，由折叠可得，D G ∠=∠，AD CG =， ∴B G ∠=∠，BC CG =，又ECB FCG ∠=∠，∴(ASA)EBC FGC △≌△．【名师点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质以及折叠的性质是解题的关键.【母题原题六】【2019·江苏常州】如图，把平行四边形纸片ABCD 沿BD 折叠，点C 落在点C '处，BC '与AD 相交于点E ．（1）连接AC '，则AC '与BD 的位置关系是__________；（2）EB 与ED 相等吗？证明你的结论．【答案】（1）AC BD '∥；（2）EB 与ED 相等，见解析. 【解析】（1）连接AC '，在平行四边形ABCD 中，AD BC =，ADB CBD ∠=∠，∵把平行四边形纸片ABCD 沿BD 折叠，点C 落在点C '处， ∴'AD BC =，CBD C'BD ∠=∠， ∴'ADB C BD ∠=∠，∴ED EB =，∴AE C E '=，∴EAC'EC A EBD EDB '∠=∠=∠=∠， ∴AC BD '∥，故答案为：AC BD '∥；（2）EB 与ED 相等．由折叠可得，CBD C BD '∠=∠， ∵AD BC ∥，∴ADB CBD ∠=∠， ∴EDB EBD ∠=∠，∴BE DE =．【名师点睛】本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．【命题意图】这类试题主要考查几何图形中与折叠有关的问题，涉及三角形全等，勾股定理，平行四边形的判定及性质等．【方法总结】翻折问题的解决通常需要借助轴对称的相关知识，要弄清翻折前后的边、角的对应情况，将待求线段或角与已知线段、角归结到一起，对问题进行分析处理．1．【浙江省临海市2019届九年级中考3月模拟数学试题】如图，△ABC 纸片中，AB =BC >AC ，点D 是AB 边的中点，点E 在边AC 上，将纸片沿DE 折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处．则下列结论成立的个数有①△BDF 是等腰直角三角形；②∠DFE =∠CFE ；③DE 是△ABC 的中位线；④BF +CE =DF +DE ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．【黑龙江省哈尔滨市十七中2018–2019学年九年级下学期二模数学试题】如图，在ABCD 中，E 为边CD 上一点，将ADE △沿AE 折叠至AD'E △处，'AD 与CE 交于点F ，若52B ∠=︒，20DAE ∠=︒，则'FED ∠的大小为A ．20°B ．30°C ．36°D ．40°3．【山东省济南市历城区中考数学模拟试题】如图（1），在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，将△ADE 沿线段DE 向下折叠，得到图（2）．下列关于图（2）的四个结论中，不一定成立的是A．点A落在BC边的中点B．∠B+∠1+∠C=180°C．△DBA是等腰三角形D．DE∥BC4．【山东省淄博市张店区2018届3月份九年级中考模拟试卷】有一张平行四边形纸片ABCD，已知∠B=70°，按如图所示的方法折叠两次，则∠BCF的度数等于A．55°B．50°C．45°D．40°5．【甘肃省民勤县第六中学2019届九年级下学期第三次诊断考试数学试题】如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，M为AD上一点，将△ABM沿BM翻折至△EBM，ME和BE分别与CD相交于O，F两点，且OE=OD，则AM的长为__________．6．【河南省平顶山市2019届九年级中考数学三模试题】在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=120°，点E，F 分别是边AB，BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B的对应点B′始终落在边CD上，则A、E两点之间的最大距离为__________．7．【2019年山东省聊城市莘县中考数学三模试卷】如图，在矩形ABCD 中，BC =4，点E 是AD 的中点，将矩形ABCD 沿直线BE 折叠，点A 对应点为点A '，延长BA '，交边DC 于点F ．若点F 是DC 的三等分点，则CD 的长为__________．8．【河北省张家口市桥西区2019届九年级中考6月模拟数学试题】如图，在平行四边形ABCD 中，AD DB ⊥，垂足为点D ，将平行四边形ABCD 折叠，使点B 落在点D 的位置，点C 落在点G 的位置，折痕为EF ．（1）求证：ADE GDF △≌△；（2）若AE BD =，求CFG ∠的度数；（3）连接CG ，求证：四边形BCGD 是矩形．9．【2019年江苏省连云港市灌南县、海州区、连云区中考数学二模试卷】如图，AC 为矩形ABCD 的对角线，将边AB 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF 折叠，使点D 落在AC 上的点N 处．（1）求证：四边形AECF 是平行四边形；（2）当∠BAE 为多少度时，四边形AECF 是菱形？请说明理由．10．【2019年广东省汕头市澄海区中考数学一模试卷】如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥DB，垂足为点D，将平行四边形ABCD折叠，使点B落在点D的位置，点C落在点G的位置，折痕为EF，EF交对角线BD于点P．（1）连接CG，请判断四边形DBCG的形状，并说明理由；（2）若AE=BD，求∠EDF的度数．。

2023年中考数学【选择题】讲练必考重点03 几何变换之翻折问题

【选择题】必考重点03 几何变换之翻折问题几何变换中的折叠问题，是江苏各地中考中常考的题型，难度多为一般或者较难。

几何的翻折问题，本质上考查的是轴对称的性质，常和矩形相结合。

在解题时，首先要明确折叠前后的图形全等，折叠前后的对应边、对应角相等，对称轴垂直平分对应点之间的连线，在结合矩形、菱形、三角形等的性质，运用勾股定理，列出方程，求出相应的线段长度。

【2022·江苏连云港·中考母题】如图，将矩形ABCD 沿着GE 、EC 、GF 翻折，使得点A 、B 、D 恰好都落在点O 处，且点G 、O 、C 在同一条直线上，同时点E 、O 、F 在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF ∥EC ；②AB ；③GE DF ；④OC ；⑤△COF ∽△CEG ．其中正确的是（）A ．①②③B ．①③④C ．①④⑤D ．②③④【考点分析】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．【思路分析】由折叠的性质知∠FGE =90°，∠GEC =90°，点G 为AD 的中点，点E 为AB 的中点，设AD =BC =2a ，AB =CD =2b ，在Rt △CDG 中，由勾股定理求得b ，然后利用勾股定理再求得DF =FO =【2021·江苏苏州·中考母题】如图，在平行四边形ABCD 中，将ABC 沿着AC 所在的直线翻折得到AB C '，B C '交AD 于点E ，连接B D '，若60B ∠=︒，45ACB ∠=︒，AC =B D '的长是（）A．1BC D 【考点分析】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【思路分析】利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△AEC 为等腰直角三角形，根据已知条件可得CE 得长，进而得出ED 的长，再根据勾股定理可得出B D '；1．（2022·江苏苏州·二模）如图把一张矩形纸片ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 的对应点为B ′，AB ′与DC 相交于点E ，则下列结论一定正确的是（）A ．BC ＝12ACB ．AE ＝CEC ．AD ＝DE D ．∠DAE ＝∠CAB2．（2022·江苏南京·二模）如图，矩形ABCO ，点A 、C 在坐标轴上，点B 的坐标为()2,4-．将△ABC 沿AC 翻折，得到△ADC ，则点D 的坐标是（）A．612,55⎛⎫⎪⎝⎭B．65,52⎛⎫⎪⎝⎭C．312,25⎛⎫⎪⎝⎭D．35,22⎛⎫⎪⎝⎭3．（2022·江苏泰州·一模）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N．若直线BA′交直线CD于点O，BC＝11，EN＝2，则FO的长为（）A B C D4．（2022·江苏宿迁·三模）已知长方形纸条ABCD，点E、G在AD边上，点F、H在BC边上．将纸条分别沿着EF、GH折叠，如图，当DC恰好落在EA'上时，1∠与2∠的数量关系是（）A．12135∠+∠=︒B．2115∠-∠=︒C．1290∠+∠=︒D．22190∠-∠=︒5．（2022·江苏苏州·二模）如图①，②，③，④，两次折叠等腰三角形纸片ABC，先使AB与AC重合，折痕为AD，展平纸片：再使点A与点C重合，折痕为EF，展平纸片，AD、EF交于点G．若5cmAB AC==，6cmBC，则DG的长为（）A．3cm4B．7cm8C．1cm D．7cm66．（2022·江苏·苏州中学二模）如图，菱形ABCD中，点E在AD上，将△ABE沿着BE翻折，点A恰好落在CD上的点F处．若∠A=65°，则∠DFE的度数为（）A．85︒B．82.5︒C．65︒D．50︒7．（2022·江苏扬州·二模）如图，在矩形ABCD中，2AB=，BC=E是BC的中点，将ABE△沿直线AE翻折，点B落在点F处，连结CF，则tan ECF∠的值为（）A B C．23D8．（2022·江苏苏州·模拟）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC 边上的点F处，若3AB=，5BC=，则tan FEC∠的值为（）．A．12B．35C．34D．459．（2022·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处、点B恰好为OE的中点．DE与BC交于点F．若y＝kx（k≠0）图象经过点C．且S△BEF＝1，则k的值为（）A．18B．20C．24D．2810．（2022·江苏·江阴市第一初级中学一模）如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，则∠A与∠1、∠2之间的数量关系是（）A．2∠A=∠1-∠2B．3∠A=2（∠1-∠2）C．3∠A=2∠1-∠2D．∠A=∠1-∠211．（2022·江苏·无锡市天一实验学校二模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，tan∠ABC=32，点N是边AC的中点，点M是射线BC上的一动点（不与B，C重合），连接MN，将△CMN沿MN 翻折得△EMN，连接BE，CE，当线段BE的长取最大值时，sin∠NCE的值为（）A B C D12．（2022·江苏省南菁高级中学实验学校九年级）如图，在ABC 中，点D 是线段AB 上的一点，过点D 作DE ∥AC 交BC 于点E ，将BDE 沿DE 翻折，得到B DE '，若点C 恰好在线段B D '上，若90BCD ∠=︒，DC ：3CB '=：2，AB =CE 的长度为（）A．B C ．D 13．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在△ABC 中，90ACB ∠=，点D 是AB 的中点，将△ACD 沿CD 对折得△A ′CD ．连接BA '，连接AA ′交CD 于点E ，若14cm AB =，4cm BA '=，则CE 的长为（）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．7cm14．（2022·江苏·宜兴市树人中学九年级）如图，在△ABC 中，点D 是线段AB 上的一点，过点D 作DE ∥AC 交BC 于点E ，将△BDE 沿翻折，得到△B 'DE ，若点C 恰好在线段B 'D 上，若∠BCD ＝90°，DC ：CB '＝3：2，AB ＝CE 的长度为（）A．B ．4C ．D ．615．（2022·江苏·九年级专题练习）如图①，AB ＝5，射线AM ∥BN ，点C 在射线BN 上，将△ABC 沿AC 所在直线翻折，点B 的对应点D 落在射线BN 上，点P ，Q 分别在射线AM 、BN 上，PQ ∥AB ．设AP ＝x ，QD ＝y ．若y 关于x 的函数图象（如图②）经过点E (9，2)，则cos B 的值等于（）A．25B．12C．35D．71016．（2022·江苏·苏州市吴江区铜罗中学九年级期中）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC'与AB交于点E，连接AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC的距离为（）A B C D17．（2022·江苏南通·九年级）如图，AB为⊙O的一条弦，C为⊙O上一点，OC∥AB．将劣弧AB沿弦AB 翻折，交翻折后的弧AB交AC于点D．若D为翻折后弧AB的中点，则∠ABC＝（）A．110°B．112.5°C．115°D．117.5°18．（2022·江苏南京·九年级专题练习）如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD 上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（）A ．2B ．74C D ．319．（2022·江苏·宿迁青华中学九年级期末）如图，四边形ABCD 内接于O ，AB AD =，3BC =．劣弧BC 沿弦BC 翻折，刚好经过圆心O ．当对角线BD 最大时，则弦AB 的长为（）A B ．C ．32D ．【选择题】必考重点03 几何变换之翻折问题几何变换中的折叠问题，是江苏各地中考中常考的题型，难度多为一般或者较难。

折叠变换模型(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇

模型介绍翻折变换（折叠问题）1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．例题精讲考点一：三角形中的折叠问题【例1】．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3，点D是BC边上的一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处．当△AEF为直角三角形时，则折叠后所得到的四边形AEDF 的周长为．➢变式训练【变式1-1】．如图，等边△ABC中，D是BC边上的一点，把△ABC折叠，使点A落在BC 边上的点D处，折痕与边AB、AC分别交于点M、N，若AM＝2，AN＝3，那么边BC 长为．【变式1-2】．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，将△ABC 折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则AF：CF＝（）A．2：1B．3：2C．5：3D．7：5【变式1-3】．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，BD＝6，DC＝4，求AD的长．小明同学利用翻折，巧妙地解答了此题，按小明的思路探究并解答下列问题：（1）分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出△ABD和△ACD的对称图形，点D的对称点分别为点E，F，延长EB和FC相交于点G，求证：四边形AEGF是正方形；（2）设AD＝x，建立关于x的方程模型，求出AD的长．考点二：矩形中的折叠问题【例2】．如图，平面直角坐标系中，已知矩形OABC，O为原点，点A、C分别在x轴、y 轴上，点B的坐标为（1，2），连接OB，将△OAB沿直线OB翻折，点A落在点D的位置，则cos∠COD的值是______➢变式训练【变式2-1】．如图（1）是一段长方形纸带，∠DEF＝a，将纸带沿EF折叠成图（2），再沿BF折叠成图（3），则图（3）中的∠CFE的度数为（）A．180°﹣3a B．180°﹣2a C．90°﹣a D．90°+a【变式2-2】．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）B．6C．D．A．【变式2-3】．如图，折叠矩形纸片ABCD，使B点落在AD上一点E处，折痕FG的两端点分别在AB、BC上（含端点），且AB＝6，BC＝10．则AE的最大值是，最小值是．考点三：菱形中的折叠问题【例3】．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠B＝60°，那么EF＝cm．➢变式训练【变式3-1】．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E为AB的中点，将△AED沿DE翻折得到△GED，射线DG交BC于点F，若AD＝2，则BF＝．【变式3-2】．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AD＝6，点E在边CD上，且DE＝4，F是边AD上一动点，将△DEF沿直线EF折叠，点D落在点N处，当点N在四边形ABCD内部（含边界）时，DF的长度的取值范围是．考点四：正方形中的折叠问题【例4】．如图，正方形ABCD的边长是2，点E是CD边的中点，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把∠C沿直线EF折叠，使点C落在点C′处．当△ADC′为等腰三角形时，FC的长为．➢变式训练【变式4-1】．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE，将△ADE 沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，则下列结论：①△ABG ≌△AFG；②BG＝CG；③AG∥CF；④S△EGC＝S△AFE，其中正确的是__________.1．如图，将平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点E处，AE恰好过BC边中点，若AB＝3，BC＝6，则∠B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，，E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，使得C落到矩形内点F的位置，连接AF，若，则CE＝（）A．B．C．D．3．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，则图形中重叠部分△AEF的面积为．4．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠得到△AEF，点H为CD上一点，将△CEH沿EH折叠得到△EHG，且F落在线段EG上，当GF＝GH时，则BE的长为．5．将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE、EG、FG为折痕，若顶点A、C、D都落在点O处，且点B、O、G在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上，则的值为．6．如图，在边长为8的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是边AD的中点，N是AB上一点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，连接A'B，则A'B的取值范围．7．如图，将矩形ABCD（AB＜AD）沿BD折叠后，点C落在点E处，且BE交AD于点F，若AB＝5，BC＝10．（1）求DF的长；（2）求△DBF和△DEF的面积；（3）求△DBF中F点到BD边上的距离．8．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）求证：EG2＝AF•GF；（3）若AG＝6，EG＝2，求BE的长．9．如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB＝OD，OC＝OA+AB，AD＝m，BC＝n，∠ABD+∠ADB＝∠ACB．（1）填空：∠BAD与∠ACB的数量关系为；（2）求的值；（3）将△ACD沿CD翻折，得到△A′CD（如图2），连接BA′，与CD相交于点P．若CD＝，求PC的长．10．如图，将等腰直角三角形纸片ABC对折，折痕为CD．展平后，再将点B折叠在边AC 上（不与A、C重合），折痕为EF，点B在AC上的对应点为M，设CD与EM交于点P，连接PF．已知BC＝4．（1）若M为AC的中点，求CF的长；（2）随着点M在边AC上取不同的位置，①△PFM的形状是否发生变化？请说明理由；②求△PFM的周长的取值范围．11．已知在△ABC中，AC＝BC＝m，D是AB边上的一点，将∠B沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点P处（不与点A，C重合），折痕交BC边于点E．（1）特例感知如图1，若∠C＝60°，D是AB的中点，求证：AP＝AC；（2）变式求异如图2，若∠C＝90°，m＝6，AD＝7，过点D作DH⊥AC于点H，求AH和AP的长；（3）化归探究如图3，若m＝10，AB＝12，且当AD＝a时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置，请直接写出a的取值范围．12．[初步尝试]（1）如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为；[思考说理]（2）如图②，在三角形纸片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求的值；[拓展延伸]（3）如图③，在三角形纸片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点B′处，折痕为CM．①求线段AC的长；②若点O是边AC的中点，点P为线段OB′上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A′PM，点A的对应点为点A′，A′M与CP交于点F，求的取值范围．13．如图，将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠，展平后，得折痕AD、BE（如图①），点O为其交点．（1）探求AO与OD的数量关系，并说明理由；（2）如图②，若P，N分别为BE，BC上的动点．①当PN+PD的长度取得最小值时，求BP的长度；②如图③，若点Q在线段BO上，BQ＝1，则QN+NP+PD的最小值＝．14．如图1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．（1）将▱ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段，；S矩形AEFG：S▱ABCD＝．（2）▱ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF＝5，EH＝12，求AD的长；（3）如图4，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD＜BC，AB⊥BC，AB＝8，CD＝10，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD、BC的长．15．如图，矩形OABC的边长OA＝8，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E、F，且tan ∠BOA＝．（1）求边AB的长；（2）求反比例函数的解析式及F点坐标；（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折叠分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．16．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．（Ⅰ）如图①，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．17．将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点，点B（0，1），点O（0，0）．P是边AB上的一点（点P不与点A，B重合），沿着OP折叠该纸片，得点A 的对应点A'．（1）如图①，当点A'在第一象限，且满足A'B⊥OB时，求点A'的坐标；（2）如图②，当P为AB中点时，求A'B的长；（3）当∠BP A'＝30°时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．18．将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（2，0），点B在第一象限，∠OAB＝90°，∠B＝30°，点P在边OB上（点P不与点O，B重合）．（Ⅰ）如图①，当OP＝1时，求点P的坐标；（Ⅱ）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且OQ ＝OP，点O的对应点为O'，设OP＝t．①如图②，若折叠后△O'PQ与△OAB重叠部分为四边形，O'P，O'Q分别与边AB相交于点C，D，试用含有t的式子表示O'D的长，并直接写出t的取值范围；②若折叠后△O'PQ与△OAB重叠部分的面积为S，当1≤t≤3时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．。

全国中考数学真题分类特训20.2翻折变换

4.2 翻折变换2017年中考真题1. 题型特点翻折变换问题是指把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命制的一类问题，也指解题时需要借助轴对称变换构造辅助线来帮助问题获得解决的一类问题．这类题主要考查考生的识图能力、动手操作能力、灵活运用知识解决问题的能力等．命题呈现方式：(1)以翻折变换为载体提问题；(2)利用轴对称变换为工具解题．2. 解题思路(1)以翻折变换为载体的问题，考查几何图形的判定和性质的问题．一般先作出折叠前后的图形形状及位置，考虑折叠前后哪条线折叠到什么位置、哪个角折叠到哪里、哪些量相同、哪些量变化了；然后再利用轴对称性质和相关图形性质转化相等的线段、相等的角、全等形等，当有直角三角形出现时，考虑利用勾股定理以及方程思想来解决．(2)利用轴对称变换为工具解题．主要是求最短路线问题．一般先找出一点关于对称轴的对称点，然后连接这个对称点与另一个点的线段，与对称轴的交点即为所求的位置．【例1】(2017·江苏宿迁)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－2x－3交x 轴于A，B两点(点A在点B的左侧)，将该抛物线位于x轴上方曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC、BC.(1)求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；(2)求△ABC外接圆的半径；(3)点P为曲线M或曲线N上的一动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．备用图图4.21思路点拨 (1)由已知抛物线可求得A ，B 坐标及顶点坐标，利用对称性可求得C 的坐标，利用待定系数法可求得曲线N 的解析式；(2)由外接圆的定义可知圆心即为线段BC 与AB 的垂直平分线的交点，即直线y ＝x 与抛物线对称轴的交点，可求得外接圆的圆心，再利用勾股定理可求得半径的长；(3))设Q (t,0)，当BC 为平行四边形的边时，则有BQ ∥PC 且BQ ＝PC ，从而可用t 表示出点P 的坐标，代入抛物线解析式可得到t 的方程，可求得点Q 的坐标，当BC 为平行四边形的对角线时，由B ，C 的坐标可求得平行四边形的对称中心的坐标，从而可表示出点P 坐标，代入抛物线解析式可得到关于t 的方程，可求得点P 的坐标．完全解答 (1)在y ＝x 2－2x －3中，令y ＝0可得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. ∴A (－1,0)，B (3,0)．令x ＝0可得y ＝－3.又抛物线位于x 轴下方部分沿x 轴翻折后得到曲线N ， ∴C (0,3)．设曲线N 的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，把A ，B ，C 的坐标代入可得 ⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝3，∴曲线N 所在抛物线相应的函数表达式为 y ＝－x 2＋2x ＋3.(－1≤x ≤3)(2)设△ABC 外接圆的圆心为M ，则点M 为线段BC 、线段AB 垂直平分线的交点， ∵B (3,0)，C (0,3)，∴线段BC 的垂直平分线的解析式为y ＝x . 又线段AB 的解析式为曲线N 的对称轴，即x ＝1， ∴M (1,1)． ∴MB ＝1－32＋12＝5.即△ABC 外接圆的半径为5； (3)设Q (t,0)，则BQ ＝|t －3|.①当BC 为平行四边形的边时，如图，则有BQ ∥PC ， ∴点P 的纵坐标为3.图4.22即过点C 与x 轴平行的直线与曲线M 和曲线N 的交点即为点P ，x 轴上对应的即为点Q ，当点P 在曲线M 上时，在y ＝x 2－2x －3中，令y ＝3可解得x ＝1＋7或x ＝1－7， ∴PC ＝1＋7或PC ＝7－1.当x ＝1＋7时，可知点Q 在点B 的右侧，可得BQ ＝t －3.∴t －3＝1＋7，解得t ＝4＋7.当x ＝1－7时，可知点Q 在点B 的左侧，可得BQ ＝3－t .∴3－t ＝7－1，解得t ＝4－7. ∴点Q 坐标为(4＋7，0)或(4－7，0)．当点P 在曲线N 上时，在y ＝－x 2＋2x ＋3中，令y ＝3可求得x ＝0(舍去)或x ＝2. ∴PC ＝2.此时点Q 在点B 的右侧，则BQ ＝t －3. ∴t －3＝2，解得t ＝5. ∴点Q 坐标为(5,0)．②当BC 为平行四边形的对角线时， ∵B (3,0)，C (0,3)，∴线段BC 的中点为⎝⎛⎭⎫32，32，设P (x ，y )． ∴x ＋t ＝3，y ＋0＝3，解得x ＝3－t ，y ＝3. ∴P (3－t,3)．当点P 在曲线M 上时，则有3＝(3－t )2－2(3－t )－3，解得t ＝2＋7或t ＝2－7. ∴点Q 坐标为(2＋7，0)或(2－7，0)．当点P 在曲线N 上时，则有3＝－(3－t )2＋2(3－t )＋3，解得t ＝3(Q ，B 重合，舍去)或t ＝1.∴点Q 坐标为(1,0)．综上可知点Q的坐标为(4＋7，0)或(4－7，0)或(5,0)或(2＋7，0)或(2－7，0)或(1,0)．归纳交流本例题属于以翻折为背景的二次函数的综合应用问题，涉及待定系数法、对称的性质、三角形外心、勾股定理、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在(1)中确定出点的坐标是解题的关键，在(2)中确定出外心的位置和坐标是解题的关键，在(3)中确定出点P的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别最后一问，情况很多，难度较大．【例2】(2017·甘肃兰州)如图(1)，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.(1)求证：△BDF是等腰三角形；(2)如图(2)，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．(1)(2)图4.23思路点拨(1)根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断；(2)①根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断；②根据折叠特性设未知边，构造勾股定理列方程求解．完全解答(1)如图(1)，根据折叠，∠DBC＝∠DBE.又AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB.∴∠DBE＝∠ADB.∴DF＝BF.∴△BDF是等腰三角形．(2)①∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴FD∥BG.又DG∥BE，∴四边形BFDG是平行四边形．∵DF＝BF，∴四边形BFDG是菱形．②∵AB＝6，AD＝8，∴BD ＝10. ∴OB ＝12BD ＝5.假设DF ＝BF ＝x ，∴AF ＝AD －DF ＝8－x . ∴在直角△ABF 中，AB 2＋AF 2＝BF 2. 即62＋(8－x )2＝x 2，解得x ＝254.即BF ＝254.∴FO ＝BF 2－OB 2＝⎝⎛⎭⎫2542－52＝154. ∴FG ＝2FO ＝152.归纳交流本例题属于以翻折为背景的几何综合题，除考查翻折不变性外，还考查了矩形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等，综合性较强．【例3】(2017·安徽)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △P AB ＝13S矩形ABCD，则点P 到A ，B 两点距离之和P A ＋PB 的最小值为( )．图4.24 A. 29 B. 34 C. 5 2 D. 41思路点拨首先由S △P AB ＝13S矩形ABCD，得出动点P 在与AB 平行且与AB 的距离是2的直线l 上，作A 关于直线l 的对称点E ，连接AE ，连接BE ，则BE 的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABE 中，由勾股定理求得BE 的值，即P A ＋PB 的最小值．图4.25设△ABC 中AB 边上的高是h . ∵S △P AB ＝13S 矩形ABCD ，∴12AB ·h ＝13AB ·AD .∴h ＝23AD ＝2.∴动点P 在与AB 平行且与AB 的距离是2的直线l 上，如图，作A 关于直线l 的对称点E ，连接AE ，连接BE ，则BE 的长就是所求的最短距离．在Rt △ABE 中，∵AB ＝5，AE ＝2＋2＝4， ∴BE ＝AB 2＋AE 2＝52＋42＝41. 即P A ＋PB 的最小值为41. 故答案应选D. 完全解答D.归纳交流本例题利用翻折(轴对称)确定最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P 所在的位置是解题的关键．一、选择题1. (2017·江苏无锡)如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于( )．(第1题) A. 2 B. 54C. 53D. 752. (2017·江苏淮安)如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3，点E 在边BC 上，将△ABE 沿直线AE 折叠，点B 恰好落在对角线AC 上的点F 处，若∠EAC ＝∠ECA ，则AC 的长是( )．(第2题) A. 3 3 B. 6 C. 4D. 53. (2017·浙江舟山)一张矩形纸片ABCD ，已知AB ＝3，AD ＝2，小明按如图步骤折叠纸片，则线段DG 长为( )．(第3题) A. 2 B. 2 2 C. 1D. 24. (2017·天津)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ，CE 是△ABC 的两条中线，P 是AD 上一个动点，则下列线段的长度等于BP ＋EP 最小值的是( )．(第4题) A. BC B. CE C. AD D. AC5. (2017·黑龙江)如图，在矩形ABCD 中，AD ＝4，∠DAC ＝30°，点P ，E 分别在AC ，AD 上，则PE ＋PD 的最小值是( )．(第5题) A. 2 B. 2 3 C. 4 D. 8336. (2017·山东枣庄)如图，直线y ＝23x ＋4与x 轴，y 轴分别交于点A 和点B ，点C 和点D 分别为线段AB ，OB 的中点，点P 为OA 上一动点，PC ＋PD 值最小时点P 的坐标为( )．(第6题)A. (－3,0)B. (－6,0)C. ⎝⎛⎭⎫－32，0D. ⎝⎛⎭⎫－52，07. (2017·新疆乌鲁木齐)如图，点A (a,3)，B (b,1)都在双曲线y ＝3x 上，点C ，D 分别是x轴，y 轴上的动点，则四边形ABCD 周长的最小值为( )．(第7题) A. 5 2 B. 6 2C. 210＋2 2D. 8 28. (2017·湖北湘潭)如图，在半径为4的⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，且CD ⊥AB ，垂足为点E ，∠AOB ＝90°，则阴影部分的面积是( )．(第8题)A. 4π－4B. 2π－4C. 4πD. 2π二、填空题9. (2017·江苏扬州)如图，把等边△ABC 沿着DE 折叠，使点A 恰好落在BC 边上的点P 处，且DP ⊥BC ，若BP ＝4 cm ，则EC ＝________ cm.(第9题)10. (2017·重庆)如图，正方形ABCD 中，AD ＝4，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF ⊥ED ，交AB 于点F ，连接DF ，交AC 于点G ，将△EFG 沿EF 翻折，得到△EFM ，连接DM ，交EF 于点N ，若点F 是AB 的中点，则△EMN 的周长是________．(第10题)11. (2017·四川成都)如图(1)，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD，再沿∠ADC 的平分线DE折叠，如图(2)，点C落在点C′处，最后按图(3)所示方式折叠，使点A落在DE的中点A′处，折痕是FG，若原正方形纸片的边长为6 cm，则FG＝________ cm.(1)(2)(3)(第11题)12. (2017·江苏盐城)如图，将⊙O沿弦AB折叠，点C在AmB上，点D在AB上，若∠ACB＝70°，则∠ADB＝________°.(第12题)13. (2017·四川内江)如图，已知直线l1∥l2，l1，l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ＝430，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且P A＋AB＋BQ最小，此时P A＋BQ＝________.(第13题)14. (2017·山东泰安)如图，∠BAC＝30°，M为AC上一点，AM＝2，点P是AB上的一动点，PQ⊥AC，垂足为点Q，则PM＋PQ的最小值为________．(第14题)15. (2017·江苏宿迁)如图，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且BE＝1，若点P在对角线BD上移动，则P A＋PE的最小值是________．(第15题)三、解答题16. (2017·江西)已知抛物线C1：y＝ax2－4ax－5(a＞0)．(1)当a＝1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；(2)①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式；(3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值．(第16题)17. (2017·湖北天门)已知关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋1)x ＋12(m 2＋1)＝0有实数根． (1)求m 的值；(2)先作y ＝x 2－(m ＋1)x ＋12(m 2＋1)的图象关于x 轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；(3)在(2)的条件下，当直线y ＝2x ＋n (n ≥m )与变化后的图象有公共点时，求n 2－4n 的最大值和最小值．18. (2017·湖北鄂州)如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，FC 交AD 于E .(1)求证：△AFE ≌△CDE ；(2)若AB ＝4，BC ＝8，求图中阴影部分的面积．(第18题)19. (2017·山东德州)如图(1)，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3 cm ，AD ＝5 cm ，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF.(1)求证：四边形BFEP为菱形；(2)当点E在AD边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动；①当点Q与点C重合时(如图(2))，求菱形BFEP的边长；②若限定P，Q分别在边BA，BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．(1)(2)(第19题)20. (2017·浙江绍兴)如图(1)，已知▱ABCD，AB∥x轴，AB＝6，点A的坐标为(1，－4)，点D的坐标为(－3,4)，点B在第四象限，点P是▱ABCD边上的一个动点．(1)若点P在边BC上，PD＝CD，求点P的坐标．(2)若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y＝x－1上，求点P 的坐标．(3)若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图(2)，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标．(直接写出答案)(1)(2)(第20题)21. (2017·山西)综合与实践背景阅读早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为3∶4∶5的三角形称为(3,4,5)型三角形．例如：三边长分别为9,12,15或32，42，52的三角形就是(3,4,5)型三角形．用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形．实践操作如图(1)，在矩形纸片ABCD中，AD＝8 cm，AB＝12 cm.(第21题(1))(第21题(2))第一步：如图(2)，将图(1)中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB 上的点E处，折痕为AF，再沿EF折叠，然后把纸片展平．第二步：如图(3)，将图(2)中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH，然后展平，隐去AF.(第21题(3))(第21题(4))第三步：如图(4)，将图(3)中的矩形纸片沿AH折叠，得到△AD′H，再沿AD′折叠，折痕为AM，AM与折痕EF交于点N，然后展平．问题解决(1)请在图(2)中证明四边形AEFD是正方形．(2)请在图(4)中判断NF与ND′的数量关系，并加以证明．(3)请在图(4)中证明△AEN是(3,4,5)型三角形．探索发现(4)在不添加字母的情况下，图(4)中还有哪些三角形是(3,4,5)型三角形？请找出并直接写出它们的名称．2016年中考真题1. 题型特点：翻折变换实际上是轴对称变换，折痕所在的直线就是对称轴，翻折变换解题时可运用轴对称的所有性质，比如：翻折前后的图形是全等形、翻折的直线是对应点所连线段的中垂线等．2. 命题呈现方式：(1)以翻折变换为载体的问题；(2)利用轴对称变换为工具解题．3. 解题方法：(1)以翻折变换为载体的问题，考查几何图形的判定和性质的问题．一般先作出折叠前后的图形形状及位置，考虑折叠前后哪条线折叠到什么位置、哪个角折叠到哪里、哪些量相同、哪些量变化了；然后再利用轴对称性质和相关图形性质转化相等的线段、相等的角、全等形等，当有直角三角形出现时，考虑利用勾股定理以及方程思想来解决．(2)利用轴对称变换为工具解题．主要是求最短路线问题．一般先找出一点关于对称轴的对称点，然后连接这个对称点与另一个点的线段，与对称轴的交点即为所求的位置．【例1】(2016·江苏宿迁)如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2，则FM的长为()．A. 2B. 3C. 2D. 1思路点拨∵四边形ABCD为正方形，AB＝2，过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，根据翻折不变性，∴FB＝AB＝2，BM＝1.则在Rt△BMF中，FM＝BF2－BM2＝22－12＝3，故答案应选B.完全解答B.归纳交流本例题属于以翻折变换为载体，考查直角三角形和正方形的性质，以及勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的边相等的角是本题的关键．【例2】(2016·江苏扬州)如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．思路点拨(1)首先由矩形的性质和折叠的性质证得AB ＝CD ，AD ∥BC ，∠ANF ＝90°，∠CME ＝90°，易得AN ＝CM ，可得△ANF ≌△CME (ASA )，由平行四边形的判定定理可得结论；(2)由AB ＝6，AC ＝10，可得BC ＝8，设CE ＝x ，则EM ＝8－x ，CM ＝10－6＝4，在Rt △CEM 中，利用勾股定理可解得x ，由平行四边形的面积公式可得结果．完全解答(1)∵折叠，∴AM ＝AB ，CN ＝CD ，∠FNC ＝∠D ＝90°，∠AME ＝∠B ＝90°.∴∠ANF ＝90°，∠CME ＝90°.∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ＝CD ，AD ∥BC .∴AM ＝CN .∴AM －MN ＝CN －MN .即AN ＝CM .在△ANF 和△CME 中，⎩⎪⎨⎪⎧ ∠F AN ＝∠ECM ，AN ＝CM ，∠ANF ＝∠CME ，∴△ANF ≌△CME (ASA )．∴AF ＝CE .又AF ∥CE ，∴四边形AECF 是平行四边形．(2)∵AB ＝6，AC ＝10，∴BC ＝8.设CE ＝x ，则EM ＝8－x ，CM ＝10－6＝4.在Rt △CEM 中，(8－x )2＋42＝x 2，解得x ＝5，∴四边形AECF 的面积的面积为EC ·AB ＝5×6＝30.归纳交流本例题属于以翻折变换为载体考查了折叠的性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理和勾股定理等，综合运用各定理是解答此题的关键．【例3】(2016·江苏苏州)矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为(3,4)，点D 是OA 的中点，点E 在AB 上，当△CDE 的周长最小时，点E 的坐标为( )．A. (3,1)B. ⎝⎛⎭⎫3，43C. ⎝⎛⎭⎫3，53 D. (3,2)思路点拨作点D 关于直线AB 的对称点H ，连接CH 与AB 的交点为E ，此时△CDE 的周长最小，先求出直线CH 解析式，再求出直线CH 与AB 的交点即可解决问题．具体推理过程如下：如图，作点D 关于直线AB 的对称点H ，连接CH 与AB 的交点为E ，此时△CDE 的周长最小．∵D ⎝⎛⎭⎫32，0，A (3,0)，∴H ⎝⎛⎭⎫92，0.∴直线CH 解析式为y ＝－89x ＋4. ∴x ＝3时，y ＝43. ∴点E 坐标⎝⎛⎭⎫3，43. 故答案选B.完全解答B.归纳交流本题利用翻折(轴对称)确定最短路线问题. 整题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、轴对称－最短问题、一次函数等知识，解题的关键是利用轴对称找到点E 位置，学会利用一次函数解决交点问题．一、选择题1. (2016·海南)如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果BC＝6，那么线段BE的长度为()．(第1题)A. 6B. 6 2C. 2 3D. 3 22. (2016·天津)如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论一定正确的是()．(第2题)A. ∠DAB′＝∠CAB′B. ∠ACD＝∠B′CDC. AD＝AED. AE＝CE3. (2016·青海西宁)将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，则∠ABC＝()．(第3题)A. 73°B. 56°C. 68°D. 146°4. (2016·湖北鄂州)如图，菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°，P是AB上一点，BP ＝3 , Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′.当CA′的长度最小时，CQ的长为()．(第4题)A. 5B. 7C. 8D. 13 25. (2016·浙江舟山)把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则BC的度数是()．(第5题)A. 120°B. 135°C. 150°D. 165°6. (2016·重庆A)如图，以AB为直径，点O为圆心的半径经过点C，若AC＝BC＝2，则图中阴影部分的面积是()．(第6题)A. π4 B.12＋π4C. π2 D.12＋π2二、填空题7. (2016·湖北武汉)将函数y＝2x＋b(b为常数)的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y＝|2x＋b|(b为常数)的图象．若该图象在直线y＝2下方的点的横坐标x满足0＜x＜3，则b的取值范围为________．8. (2016·江苏苏州)如图，在△ABC中，AB＝10，∠B＝60°，点D，E分别在AB，BC 上，且BD＝BE＝4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE(点B′在四边形ADEC内)，连接AB′，则AB′的长为________．(第8题)9. (2016·江苏淮安)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC 上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是________．(第9题)10. (2016·浙江金华)如图，Rt△ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边BC上，以AD为折痕将△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E.若△DEB′为直角三角形，则BD的长是________．(第10题)11. (2016·湖南常德)如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D 落在D1，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D1AD＝________.(第11题)12. (2016·湖南张家界)如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E 处，EQ与BC相交于F，若AD＝8 cm，AB＝6 cm，AE＝4 cm.则△EBF的周长是________cm.(第12题)13. (2016·浙江绍兴)如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E是AB的中点，直线l 平行于直线EC，且直线l与直线EC之间的距离为2，点F在矩形ABCD边上，将矩形ABCD 沿直线EF折叠，使点A恰好落在直线l上，则DF的长为________.(第13题)14. (2016·江苏连云港)如图(1)，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF.如图(2)，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N.若AD＝2，则MN＝________.(1)(2)(第14题)15. (2016·重庆A)正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F.若AE＝2，则四边形ABFE′的面积是________．(第15题)16. (2016·山东德州)如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是________．(第16题)17. (2016·黑龙江龙东)如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，∠AMN＝40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则P A＋PB的最小值为________．(第17题)18. (2016·四川内江)如图所示，已知点C(1,0)，直线y＝－x＋7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是________．(第18题)三、解答题19. (2016·福建泉州)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C，点P在边AB上．(1)判断四边形ABCD的形状并加以证明；(2)若AB＝CD，以过点P的直线为轴，将四边形ABCD折叠，使点B，C分别落在点B′，C′上，且B′C′经过点D，折痕与四边形的另一交点为Q.①在图(2)中作出四边形PB′C′Q(保留作图痕迹，不必说明做法和理由)；②如果∠C ＝600，那么AP PB为何值时，B ′P ⊥AB (1)(2)(第19题)20. (2016·福建福州)如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，M 是边CD 上一点，将△ADM 沿直线AM 对折，得到△ANM .备用图(第20题)(1)当AN 平分∠MAB 时，求DM 的长； (2)连接BN ，当DM ＝1时，求△ABN 的面积；(3)当射线BN 交线段CD 于点F 时，求DF 的最大值．21.(2016·广东深圳)如图，已知⊙O 的半径为2，AB 为直径，CD 为弦，AB 与CD 交于点M ，将CD 沿着CD 翻折后，点A 与圆心O 重合，延长OA 至P ，使AP ＝OA ，连接PC .(1)求CD的长；(2)求证：PC是⊙O的切线；(3)点G为ADB的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E，交BC于点F(F与B，C不重合)．问GE·GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．(第21题)22. (2016·浙江宁波)如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C，点B的坐标为(3,0)．(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当P A＋PC的值最小时，求点P的坐标．(第22题)23.(2016·陕西)问题提出(1)如图(1)，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．(第23题(1))问题探究(2)如图(2)，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2，是否在边BC，CD上分别存在点G，H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，请说明理由．(第23题(2))问题解决(3)如图(3)，有一矩形板材ABCD，AB＝3米，AD＝6米，现想从板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG＝90°, EF＝FG＝5米，∠EHG＝45°.经研究，只有当点E，F，G分别在边AD，AB，BC上，且AF＜BF.并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才可能裁出符合要求的部件，试问能否裁出符合要求且面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．(第23题(3))2015年中考真题【题型特点】1. 翻折变换实际上是轴对称变换，折痕所在的直线就是对称轴，翻折变换解题时可运用的轴对称的所有性质，比如：翻折前后的图形是全等形、翻折的直线是对应点所连线段的中垂线等．2. 命题呈现方式：翻折变换问题主要有两类：(1)以翻折变换为载体，考查几何图形的判定和性质的问题．这类问题大都与圆、全等三角形、相似三角形、勾股定理、轴对称、矩形的判定等联系在一起，多以求角度，求线段的长度、面积、点的坐标、函数表达式，判断几何图形的形状等为主；(2)利用轴对称变换求最短路线问题，这类问题通常在一个轴对称图形的对称轴同侧有两个点，通过找对称轴上的一点，使这点到已知两点的距离之和最短．【解题思路】(1)以翻折变换为载体，考查几何图形的判定和性质的问题．一般先作出折叠前后的图形形状及位置，考虑折叠前后哪条线折叠到什么位置、哪个角折叠到哪里、哪些量相同、哪些量变化了；然后再利用轴对称性质和相关图形性质转化相等的线段、相等的角、全等形等，当有直角三角形出现时，考虑利用勾股定理以及方程思想来解决．(2)利用轴对称变换求最短路线问题．一般先找出一点关于对称轴的对称点，然后连接这个对称点与另一个点的线段，与对称轴的交点即为所求的位置．【例1】(2015·江苏无锡)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在边AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E，F，则线段B′F的长为()．A. 35 B.45C. 25 D.32【思路点拨】根据折叠的性质可知CD＝AC＝3，B′C＝BC＝4，∠ACE＝∠DCE，∠BCF＝∠B′CF，CE⊥AB，∴B′D＝4－3＝1，∠DCE＋∠B′CF＝∠ACE＋∠BCF.∵∠ACB ＝90°，∴∠ECF ＝45°.∴△ECF 是等腰直角三角形．∴EF ＝CE ，∠EFC ＝45°.∴∠BFC ＝∠B ′FC ＝135°.∴∠B ′FD ＝90°.∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CE ， ∴AC ·BC ＝AB ·CE .∵根据勾股定理求得AB ＝5，∴CE ＝125. ∴EF ＝125，ED ＝AE ＝AC 2－CE 2＝95. ∴DF ＝EF －ED ＝35. ∴B ′F ＝B ′D 2－DF 2＝45. 【完全解答】B.【归纳交流】本题以翻折变换为载体，考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的相等相等的角是本题的关键．【例2】(2015·浙江衢州)如图(1)，将矩形ABCD 沿DE 折叠，使顶点A 落在DC 上的点A ′处，然后将矩形展平，沿EF 折叠，使顶点A 落在折痕DE 上的点G 处．再将矩形ABCD 沿CE 折叠，此时顶点B 恰好落在DE 上的点H 处．如图(2)．(1)(2)(1)求证：EG ＝CH ； (2)已知AF ＝2，求AD 和AB 的长．【思路点拨】(1)由折叠的性质及矩形的性质可知AE ＝AD ＝EG ，BC ＝CH ，再根据四边形ABCD 是矩形，可得AD ＝BC ，等量代换即可证明EG ＝CH ；(2)由折叠的性质可知∠ADE ＝45°，∠FGE ＝∠A ＝90°，AF ＝2，那么DG ＝2，利用勾股定理求出DF ＝2，于是可得AD ＝AF ＋DF ＝2＋2；再利用AAS 证明△AEF ≌△BCE ，得到AF ＝BE ，于是AB ＝AE ＋BE ＝2＋2＋2＝22＋2.【完全解答】(1)由折叠知AE ＝AD ＝EG ，BC ＝CH ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC .∴EG ＝CH .(2)∵∠ADE ＝45°，∠FGE ＝∠A ＝90°，AF ＝2，∴DG ＝2，DF ＝2.∴AD ＝AF ＋DF ＝2＋2.由折叠知∠AEF ＝∠GEF ，∠BEC ＝∠HEC ，∴∠GEF ＋∠HEC ＝90°，∠AEF ＋∠BEC ＝90°.∵∠AEF ＋∠AFE ＝90°，∴∠BEC ＝∠AFE .在△AEF 与△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧ ∠AFE ＝∠BEC ，∠A ＝∠B ＝90°，AE ＝BC ，∴△AEF ≌△BCE .∴AF ＝BE .∴AB ＝AE ＋BE ＝2＋2＋2＝22＋2.【归纳交流】本题以翻折变换为载体，考查全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等知识．折叠实际是一种对称变换，属于轴对称．折叠前后图形的形状、大小不变，位置变化，证明或计算时，抓住折叠前后相等的边或相等的角是关键．【例3】(2015·贵州安顺)如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，BE ＝1，F 为AB 上一点，AF ＝2，P 为AC 上一点，则PF ＋PE 的最小值为________．【思路点拨】作E 关于直线AC 的对称点E ′，连接E ′F ，则E ′F 即为所求，过F 作FG ⊥CD 于点G ，在Rt △E ′FG 中，利用勾股定理即可求出E ′F 的长．具体推理过程如下：作E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为所求，过F作FG⊥CD于点G，在Rt△E′FG中，GE′＝CD－BE－BF＝4－1－2＝1，GF＝4，所以E′F＝FG2＋E′G2＝12＋42＝17.【完全解答】17.【归纳交流】本题利用翻折(轴对称)确定最短路线问题．一、选择题1. (2015·浙江金华)以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是()．(1)(2)(3)(4)(第1题)A. 如图(1)，展开后，测得∠1＝∠2B. 如图(2)，展开后，测得∠1＝∠2，且∠3＝∠4C. 如图(3)，测得∠1＝∠2D. 如图(4)，展开后，再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA＝OB，OC＝OD2. (2015·四川绵阳)如图，D是等边三角形ABC边AD上的一点，且AD∶DB＝1∶2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC，BC上，则CE∶CF 等于()．A. 34 B.45C. 56 D.67(第2题)3. (2015·四川泸州)如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝24，tan C＝2，如果将△ABC 沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为()．(第3题)A. 13B. 15 2C. 272 D. 124. (2015·湖北襄阳)如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是()．(第4题)A. AF＝AEB. △ABE≌△AGFC. EF＝2 5D. AF＝EF5. (2015·贵州安顺)如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝3，则折痕CE的长为()．(第5题)A. 2 3B. 32 3C. 3D. 66. (2015·内蒙古呼和浩特)如图，有一块矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6，将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF的面积为()．(第6题)A. 12 B.98C. 2D. 47. (2015·湖北鄂州)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF等于()．(第7题)A. 34 B.43C. 35 D.458. (2015·浙江湖州)如图，AC是矩形ABCD的对角线，☉O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在边AD，BC上，连接OG，DG，若OG⊥DG，且☉O的半径长为1，则下列结论不成立的是()．(第8题)A. CD＋DF＝4B. CD－DF＝23－3C. BC＋AB＝23＋4D. BC－AB＝29. (2015·山东聊城)如图，点O是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，。

56.中考数学专题统计与概率数学母题题源系列原卷版

【母题原题一】【2019•遂宁】某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查，这一问题中样本是 A ．100B ．被抽取的100名学生家长C ．被抽取的100名学生家长的意见D ．全校学生家长的意见【答案】C【解析】某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查，这一问题中样本是：被抽取的100名学生家长的意见．故选C ．【母题原题二】【2019•广东】数据3，3，5，8，11的中位数是 A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】把这组数据按照从小到大的顺序排列为：3，3，5，8，11，故这组数据的中位数是5．故选C ．【名师点睛】本题考查了中位数的概念：把一组数据按从小到大的顺序排列，最中间那个数或中间两个数的平均数就是这组数据的中位数．【母题原题三】【2019•福建】如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是A ．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定B ．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好 C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高D ．就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳专题14 统计与概率【答案】D【解析】A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定，正确；B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好，正确；C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高，正确D．就甲、乙、丙三个人而言，丙的数学成绩最不稳，故D错误．故选D．【名师点睛】本题是折线统计图，要通过坐标轴以及图例等读懂本图，根据图中所示的数量解决问题．【母题原题四】【2019•河南】某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：a．七年级成绩频数分布直方图：b．七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：70；72；74；75；76；76；77；77；77；78；79c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：年级平均数中位数七76.9 m八79.2 79.5根据以上信息，回答下列问题：（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有__________人；（2）表中m的值为__________；（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；（4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．【答案】（1）23；（2）77.5；【解析】（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有15+8=23人，故答案为：23；（2）七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为78、79，∴m=77782+=77.5，故答案为：77.5；（3）甲学生在该年级的排名更靠前，∵七年级学生甲的成绩大于中位数77.5分，其名次在该年级抽查的学生数的25名之前，八年级学生乙的成绩小于中位数79.5分，其名次在该年级抽查的学生数的25名之后，∴甲学生在该年级的排名更靠前．（4）估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为400×515850++=224（人）．【名师点睛】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．【命题意图】考查数据的收集中的一些基本量、普查与抽样调查、统计图，以及统计中的相关量，如平均数，加权平均数，中位数、众数、方差等是中考常考的内容，另外利用样本估计总体也是中考的重要内容．【方法总结】1．使用总体、个体、样本与样本容量这些基本概念进行判断．2．能选择合适的抽样方法进行调查，能够从统计图中读取信息，并且能根据文字信息处理不完整的统计图．3．平均数=所有数的总和数的个数；4．算术平均数是指一组数据的和除以数据的个数；加权平均数是指在实际问题中数据的“重要程度”未必相同，即各个数据的“权”未必相同，其在计算上与算术平均数有所不同．5．中位数是一个位置代表值，一组数据的中位数不一定出现在这组数据中，一组数据的中位数是唯一的．6．众数是一组数据中出现次数最多的数，众数可以不止一个.7．方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况，是用来衡量一组数据的波动大小的量.样本方差越小越稳定．【母题原题五】【2019•广西】下列事件为必然事件的是A．打开电视机，正在播放新闻B．任意画一个三角形，其内角和是180°C．买一张电影票，座位号是奇数号D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上【答案】B【解析】∵A，C，D选项中的事件均为不确定事件，即随机事件，故不符合题意．∴一定发生的事件只有B，任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，符合题意．故选B．【名师点睛】本题考查的是对必然事件的概念的理解．解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．【母题原题六】【2019•海南】某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是A．12B．34C．112D．512【答案】D【解析】∵每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，∴当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率P=2560=512，故选D．【名师点睛】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．【母题原题七】【2019•新疆】同时掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子点数之和小于5的概率是__________．【答案】1 6【解析】画树状图为：共有36种等可能的结果数，其中两枚骰子点数的和是小于5的结果数为6，∴两枚骰子点数之和小于5的概率是16，故答案为：16．【名师点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．【母题原题八】【2019•江西】为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是__________；（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．【答案】（1）13．（2）树状图见解析，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率为23．【解析】（1）因为有A，B，C共3种等可能结果，所以八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是1 3；故答案为：13．（2）树状图如图所示：共有9种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率为69=23．【名师点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．【命题意图】考查确定（必然）事件、随机事件的概率，也考查简单概率的求解，求解概率可使用列举法、树状图法、列表法．利用概率判定游戏的公平性等，利用频率估计概率．【方法总结】1．判断一个事件是必然事件、随机事件还是不可能事件，要从定义出发．2．判断游戏是否公平的原则：游戏双方获胜的概率如果相等，说明游戏是公平的，否则说明游戏不公平. 3．利用树形图和列表法求事件的概率.1．【福建省厦门市集美区2019年初中毕业班总复习练习（二模)数学试题】每年的7月正值维苏威火山所在地的夏天，如图为维苏威火山所在地的气候资料，根据图中信息推断，下列说法正确的是A．夏季高温多雨，冬季寒冷干燥B．夏季炎热干燥，冬季温和多雨C．冬暖夏凉，降水集中在冬季D．冬冷夏热，降水集中在夏季2．【江苏省镇江市新区2018–2019学年九年级3月质量调研数学试题】为了解我市八年级学生的视力状况，从中随机抽取500名学生的视力状况进行分析，此项调查的样本为A．500 B．被抽取的500名学生C．被抽取500名学生的视力状况D．我市八年级学生的视力状况3．【安徽省马鞍山市2018届九年级二模数学试题】把养鸡场的一次质量抽查情况作为样本，样本数据落在2.0～2.5（单位：千克）之间的频率为0.21，于是可估计这个养鸡场的2000只鸡中，质量在2.0～2.5千克之间的鸡的只数是A．158 B．1580C．42 D．4204．【山东省临沂市经济开发区2017–2018学年九年级下学期一轮测试数学试题】如图，是根据九年级某班50名同学一周的锻炼情况绘制的条形统计图，下面关于该班50名同学一周锻炼时间的说法错误的是A．众数是7 B．中位数是6.5C．平均数是6.5 D．平均每周锻炼超过6小时的人占总数的一半5．【2019年辽宁省沈阳市大东区中考数学二模试卷】老师对甲、乙两人的五次数学测验成绩进行统计，得出两人五次测验成绩的平均分均为90分，方差分别是S甲2=51、S乙2=12．则成绩比较稳定的是A．甲B．乙C．两者相同D．无法确定6．【浙江省嘉兴市秀洲区2018–2019学年九年级下学期初中毕业升学考试适应性练习数学试卷】抛掷一枚硬币，反面朝上的概率是__________．7．【2019年辽宁省沈阳市皇姑区中考数学二模试卷】在一个不透明的塑料袋中装有红色、白色球共40个，除颜色外其它都相同，小明通过多次摸球实验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15%左右，则口袋中白色球可能有__________个．8．【江苏省南通市通州区2019届九年级4月中考一模数学试题】小张和小李练习射击，两人10次射击训练成绩（环数）的统计结果如表所示，通常新手的成绩不稳定，根据表格中的信息，估计小张和小李两人中新手是__________．9．【2018年江苏省常州市新北区初三数学模拟押题卷试题】某同学进行社会调查，随机抽查了某个地区的20个家庭的收入情况，并绘制了统计图（如图）．请你根据统计图给出的信息回答：（1）这20个家庭的年平均收入为__________万元；（2）样本中的中位数是__________万元，众数是__________万元；（3）在平均数、中位数两数中，__________更能反映这个地区家庭的年收入水平．10．【2019年云南省曲靖市中考数学二模试卷】“五一”小长假期间，小李一家想到以下四个5A级风景区旅游：A．石林风景区；B．香格里拉普达措国家公园；C．腾冲火山地质公园；D．玉龙雪山景区．但因为时间短，小李一家只能选择其中两个景区依次游玩．（1）若小李从四个景区中随机抽出两个景区，请用树状图或列表法求出所有可能的结果；（2）在随机抽出的两个景区中，求抽到玉龙雪山风景区的概率．11．【山东省济宁市鱼台县2019届九年级下学期第一次模拟考试数学试题】某商场有一个可以自由转动的圆形转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．下表是活动进行中的一组统计数据：（1）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为__________；（结果保留小数点后一位）（2）铅笔每只0.5元，饮料每瓶3元，经统计该商场每天约有4000名顾客参加抽奖活动，请计算该商场每天需要支出的奖品费用；（3）在（2）的条件下，该商场想把每天支出的奖品费用控制在3000元左右，则转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为__________度．12．【湖北省枣阳市四校联考2019届九年级中考数学模拟试题】为了传承中华优秀传统文化，某校学生会组织了一次全校1200名学生参加的“汉字听写”大赛，并设成绩优胜奖．赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中100名学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：成绩在70≤x<80这一组的是：70，70，71，71，71，72，72，73，73，73，73，75，75，75，75，76，76，76，76，76，76，76，76，77，77，78，78，78，79，79请根据所给信息，解答下列问题：（1）a=__________，b=__________；（2）请补全频数分布直方图；（3）这次比赛成绩的中位数是__________；（4）若这次比赛成绩在78分以上（含78分）的学生获得优胜奖，则该校参加这次比赛的1200名学生中获优胜奖的约有多少人？。

八年级数学翻折变换(折叠问题)参考答案与试题解析

八年级数学翻折变换(折叠问题)参考答案与试题解析work Information Technology Company.2020YEAR八年级数学翻折变换（折叠问题）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图，矩形纸片ABCD，长AD＝9m，宽AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长为（）A．7cm B．6cm C．5.5cm D．5cm【分析】由矩形的性质和折叠的性质以及勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：由折叠的性质得：BE＝DE，设DE长为xcm，则AE＝（9﹣x）cm，BE＝xcm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，根据勾股定理得：AE2+AB2＝BE2，即（9﹣x）2+32＝x2，解得：x＝5，即DE长为5cm，故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．2．如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别是边AC、BC上两点．将△ABC沿DE翻折，点C正好落在线段AB上的点F处，使得AF：BF＝2：3．若BE＝16，则点F到BC边的距离是（）A．8B．12C．D．【分析】作EM⊥AB于M，由等边三角形的性质和直角三角形的性质求出BM＝BE＝8，ME＝BM＝8，由折叠的性质得出FE＝CE，设FE＝CE＝x，则AB＝BC＝16+x，得出BF＝（16+x），求出FM＝BF﹣BM＝（16+x）﹣8＝+x，在Rt△EFM中，由勾股定理得出方程，解方程求出BF＝21．作FN⊥BC于N，则∠BFN＝30°，由直角三角形的性质得出BN＝BF＝，得出FN＝BN＝即可．【解答】解：作EM⊥AB于M，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AB，∠B＝60°，∵EM⊥AB，∴∠BEM＝30°，∴BM＝BE＝8，ME＝BM＝8，由折叠的性质得：FE＝CE，设FE＝CE＝x，则AB＝BC＝16+x，∵AF：BF＝2：3，∴BF＝（16+x），∴FM＝BF﹣BM＝（16+x）﹣8＝+x，在Rt△EFM中，由勾股定理得：（8）2+（+x）2＝x2，解得：x＝19，或x＝﹣16（舍去），∴BF＝（16+19）＝21，作FN⊥BC于N，则∠BFN＝30°，∴BN＝BF＝，∴FN＝BN＝，即点F到BC边的距离是，故选：D．【点评】本题考查了翻折变换的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和等边三角形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．3．如图，在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2．点D和点E分别是BC边和AB 边上两点，连接DE．将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，点B恰好落在AC的中点处设DE与BB交于点F，则EF＝（）A．B．C．D．【分析】根据等腰直角三角形的性质得到AB＝AC＝4，∠A＝∠B＝45°，过B′作B′H⊥AB与H，得到AH＝B′H＝AB′，求得AH＝B′H＝1，根据勾股定理得到BB′＝＝＝，由折叠的性质得到BF＝BB′＝，DE ⊥BB′，根据相似三角形即可得到结论．【解答】解：∵在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝AC＝4，∠A＝∠B＝45°，过B′作B′H⊥AB与H，∴△AHB′是等腰直角三角形，∴AH＝B′H＝AB′，∵AB′＝AC＝，∴AH＝B′H＝1，∴BH＝3，∴BB′＝＝＝，∵将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，∴BF＝BB′＝，DE⊥BB′，∴∠BHB′＝∠BFE＝90°，∵∠EBF＝∠B′BH，∴△BFE∽△BHB′，∴＝，∴＝，∴EF＝，故答案为：．故选：C．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC沿AC翻折得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则△ABE的面积为（）A．B．C．3D．【分析】由折叠的性质可知∠CAD＝30°＝∠CAB，AD＝AB＝2．由等腰三角形的性质得出∠BCA＝∠ACD＝∠ADC＝75°．求出∠ECD＝30°．由三角形的外角性质得出∠E＝75°﹣30°＝45°，过点C作CH⊥AE于H，过B作BM⊥AE于M，由直角三角形的性质得出CH＝AC＝1，AH＝CH＝．得出HD＝AD﹣AH＝2﹣．求出EH ＝CH＝1．得出DE＝EH﹣HD＝﹣1，AE＝AD+DE＝1+，由直角三角形的性质得出AM＝AB＝1，BM＝AM＝．由三角形面积公式即可得出答案．【解答】解：由折叠的性质可知：∠CAD＝30°＝∠CAB，AD＝AB＝2．∴∠BCA＝∠ACD＝∠ADC＝75°．∴∠ECD＝180°﹣2×75°＝30°．∴∠E＝75°﹣30°＝45°．过点C作CH⊥AE于H，过B作BM⊥AE于M，如图所示：在Rt△ACH中，CH＝AC＝1，AH＝CH＝．∴HD＝AD﹣AH＝2﹣．在Rt△CHE中，∵∠E＝45°，∴△CEH是等腰直角三角形，∴EH＝CH＝1．∴DE＝EH﹣HD＝1﹣（2﹣）＝﹣1，∴AE＝AD+DE＝1+，∵BM⊥AE，∠BAE＝∠BAC+∠CAD＝60°，∴∠ABM＝30°，∴AM＝AB＝1，BM＝AM＝．∴△ABE的面积＝AE×BM＝×（1+）×＝；故选：B．【点评】本题考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形面积等知识；熟练掌握翻折变换和等腰三角形的性质是解题的关键．5．如图，点F是长方形ABCD中BC边上一点将△ABF沿AF折叠为△AEF，点E落在边CD上，若AB＝5，BC＝4，则BF的长为（）A．B．C．D．【分析】根据矩形的性质得到CD＝AB＝5，AD＝BC＝4，∠B＝∠D＝∠C＝90°，根据折叠的性质得到AE＝AB＝5，EF＝BF，根据勾股定理得到DE＝＝＝3，求得CE＝2，设BF＝EF＝x，则CF＝4﹣x，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝5，AD＝BC＝4，∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵将△ABF沿AF折叠为△AEF，∴AE＝AB＝5，EF＝BF，∴DE＝＝＝3，∴CE＝2，设BF＝EF＝x，则CF＝4﹣x，∵EF2＝CF2+CE2，∴x2＝（4﹣x）2+22，解得：x＝，故选：B．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的矩形，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．6．如图，在矩形纸片ABCD中，CB＝12，CD＝5，折叠纸片使AD与对角线BD重合，与点A重合的点为N，折痕为DM，则△MNB的面积为（）A．B．C．D．26【分析】由勾股定理得出BD＝＝13，由折叠的性质可得ND＝AD＝12，∠MND＝∠A＝90°，NM＝AM，得出∠EA′B＝90°，BN＝BD﹣ND＝1，设AM＝NM ＝x，则BM＝AB﹣AM＝5﹣x，在Rt△BMN中，由勾股定理得出方程，解方程得出NM ＝AM＝，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD＝BC＝12，AB＝CD＝5，∴BD＝＝＝13，由折叠的性质可得：ND＝AD＝12，∠MND＝∠A＝90°，NM＝AM，∴∠EA′B＝90°，BN＝BD﹣ND＝13﹣12＝1，设AM＝NM＝x，则BM＝AB﹣AM＝5﹣x，在Rt△BMN中，NM2+BN2＝BM2，∴x2+12＝（5﹣x）2，解得：x＝，∴NM＝AM＝，∴△MNB的面积＝BN×NM＝×1×＝；故选：A．【点评】此题考查了折叠的性质、勾股定理以及矩形的性质．熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．7．如图，在△ABC中∠ACB＝90°、∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形、将四边形ACBD折叠，使点D与点C重合，HK为折痕，则sin∠ACH的是（）A．B．C．D．【分析】在Rt△ABC中，设BC＝a，则AB＝2BC＝2a，AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝3a2，在Rt△ACH 中，由勾股定理得AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2．解得x＝a，即AH＝a．求得HC的值后，利用sin∠ACH＝AH：HC求值．【解答】解：∵△ABD是等边三角形，∴∠BAD＝60°，AB＝AD，∵∠CAB＝30°，∴∠CAH＝90°．在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，设BC＝a，则AB＝2BC＝2a．∴AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x，在Rt△ABC中，AC2＝（2a）2﹣a2＝3a2，在Rt△ACH中，AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2，解得x＝a，即AH＝a．∴HC＝2a﹣x＝2a﹣a＝a．∴sin∠ACH＝＝，故选：C．【点评】本题考查了折叠的性质，锐角三角函数值，勾股定理的应用，熟练掌握折叠的性质和解直角三角形是解题的关键．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，连接AE、ED，将△ABE沿AE翻折，使点B落在B'处，线段EB'交AD于点F，将△ECD沿DE翻折，使点C的对应点C'落在线段EB'上，若点C'恰好为EB'的中点，则线段EF的长为（）A．B．C．D．【分析】由折叠的性质可得AB＝AB'＝CD＝C'D＝1，∠B＝∠B'＝90°＝∠C＝∠DC'E，BE＝B'E，CE＝C'E，由中点性质可得B'E＝2C'E，可得BC＝AD＝3EC，由勾股定理可求可求CE的长，由“AAS”可证△AB'F≌△DC'F，可得C'F＝B'F＝，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝1，AD＝BC，∠B＝∠C＝90°由折叠的性质可得：AB＝AB'＝CD＝C'D＝1，∠B＝∠B'＝90°＝∠C＝∠DC'E，BE＝B'E，CE＝C'E，∵点C'恰好为EB'的中点，∴B'E＝2C'E，∴BE＝2CE，∴BC＝AD＝3EC，∵AE2＝AB2+BE2，DE2＝DC2+CE2，AD2＝AE2+DE2，∴1+4CE2+1+CE2＝9CE2，解得：CE＝，∴B'E＝BE＝，BC＝AD＝，C'E＝，∴B'C'＝，在△AB'F和△DC'F中，∴△AB'F≌△DC'F（AAS），∴C'F＝B'F＝，∴EF＝C'E+C'F＝，故选：D．【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，求出CE 的长是本题的关键．9．如图，▱ABCD中，AB＝6，∠B＝75°，将△ABC沿AC边折叠得到△AB′C，B′C交AD于E，∠B′AE＝45°，则点A到BC的距离为（）A．2B．3C．D．【分析】过B′作B′H⊥AD于H，根据等腰直角三角形的性质得到AH＝B′H＝AB′，根据折叠的性质得到AB′＝AB＝6，∠AB′E＝∠B＝75°，求得∠AEB′＝60°，解直角三角形得到HE＝B′H＝，B′E＝2，根据平行线的性质得到∠DAC＝∠ACB，推出AE＝CE，根据全等三角形的性质得到DE＝B′E＝2，求得AD＝AE+DE＝3+3，过A作AG⊥BC于G，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过B′作B′H⊥AD于H，∵∠B′AE＝45°，∴△AB′H是等腰直角三角形，∴AH＝B′H＝AB′，∵将△ABC沿AC边折叠得到△AB′C，∴AB′＝AB＝6，∠AB′E＝∠B＝75°，∴∠AEB′＝60°，∴AH＝B′H＝×6＝3，∴HE＝B′H＝，B′E＝2，∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠ACB＝∠ACB′，∴∠EAC＝∠ACE，∴AE＝CE，∵∠AB′E＝∠B＝∠D，∠AEB′＝∠CED，∴△AB′E≌△CDE（AAS），∴DE＝B′E＝2，∴AD＝AE+DE＝3+3，∵∠AEB′＝∠EAC+∠ACE＝60°，∴∠ACE＝∠CAE＝30°，∴∠BAC＝75°，∴AC＝AD＝BC，∠ACB＝30°，过A作AG⊥BC于G，∴AG＝AC＝，故选：C．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．10．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形，E是AB 的中点，连结CE并延长交AD于F，如图2，现将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，则sin∠ACH的值为（）A．B．C．D．【分析】在Rt△ABC中，设BC＝a，则AB＝2BC＝2a，AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝3a2，在Rt△ACH 中，由勾股定理得AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2．解得x＝a，即AH＝a．求得HC的值后，利用sin∠ACH＝AH：HC求值．【解答】解：∵∠BAD＝60°，∠CAB＝30°，∴∠CAH＝90°．在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，设BC＝a，∴AB＝2BC＝2a．∴AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x，在Rt△ABC中，AC2＝（2a）2﹣a2＝3a2，在Rt△ACH中，AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2，解得x＝a，即AH＝a．∴HC＝2a﹣x＝2a﹣a＝a．∴sin∠ACH＝＝，故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质，锐角三角函数值，勾股定理的应用，注意：折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．11．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连结AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（）A．B．C．D．【分析】连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M＝DM＝，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长．【解答】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，∴DC＝AD＝2，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，∴AD＝AC′＝DC'＝2，∴△ADC'为等边三角形，∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，∵DC＝DC'，∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝2，∴DM＝1，C'M＝DM＝，∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，在Rt△BMC'中，BC'＝＝＝，∵S△BDC'＝BC'•DH＝BD•CM，∴DH＝3×，∴DH＝，故选：B．【点评】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．12．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE＝1．连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得△AEF，连接DF．过点D作DG⊥DE交BE于点G．则四边形DFEG的周长为（）A．8B．4C．2+4D．3+2【分析】先证△BDG≌△ADE，得出AE＝BG＝1，再证△DGE与△EDF是等腰直角三角形，在直角△AEB中利用勾股定理求出BE的长，进一步求出GE的长，可通过解直角三角形分别求出GD，DE，EF，DF的长，即可求出四边形DFEG的周长．【解答】解：∵∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD，∵BE⊥AC，∴∠GBD+∠C＝90°，∵∠EAD+∠C＝90°，∴∠GBD＝∠EAD，∵∠ADB＝∠EDG＝90°，∴∠ADB﹣∠ADG＝∠EDG﹣∠ADG，即∠BDG＝∠ADE，∴△BDG≌△ADE（ASA），∴BG＝AE＝1，DG＝DE，∵∠EDG＝90°，∴△EDG为等腰直角三角形，∴∠AED＝∠AEB+∠DEG＝90°+45°＝135°，∵△AED沿直线AE翻折得△AEF，∴△AED≌△AEF，∴∠AED＝∠AEF＝135°，ED＝EF，∴∠DEF＝360°﹣∠AED﹣∠AEF＝90°，∴△DEF为等腰直角三角形，∴EF＝DE＝DG，在Rt△AEB中，BE＝＝＝2，∴GE＝BE﹣BG＝2﹣1，在Rt△DGE中，DG＝GE＝2﹣，∴EF＝DE＝2﹣，在Rt△DEF中，DF＝DE＝2﹣1，∴四边形DFEG的周长为：GD+EF+GE+DF＝2（2﹣）+2（2﹣1）＝3+2，故选：D．【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够灵活运用等腰直角三角形的判定与性质．二．填空题（共7小题）13．如图，把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE、FG，得到∠AGE＝30°，若AE＝EG＝2厘米，则△ABC的边BC的长为（6+4）厘米．【分析】根据折叠的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，∴BE＝AE，AG＝GC，∵∠AGE＝30°，AE＝EG＝2厘米，∴AG＝6厘米，∴BE＝AE＝2厘米，GC＝AG＝6厘米，∴BC＝BE+EG+GC＝（6+4）厘米，故答案为：（6+4），【点评】此题考查翻折问题，关键是根据折叠的性质和含30°的直角三角形的性质解答．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，CD是斜边AB上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE．若DE∥AC，计算AE的长度等于．【分析】根据题意、解直角三角形、菱形的性质、翻折变化可以求得AE的长．【解答】解：由题意可得，DE＝DB＝CD＝AB，∴∠DEC＝∠DCE＝∠DCB，∵DE∥AC，∠DCE＝∠DCB，∠ACB＝90°，∴∠DEC＝∠ACE，∴∠DCE＝∠ACE＝∠DCB＝30°，∴∠ACD＝60°，∠CAD＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴AC＝CD，∴AC＝DE，∵AC∥DE，AC＝CD，∴四边形ACDE是菱形，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，∠B＝30°，∴AC＝，∴AE＝．【点评】本题考查翻折变化、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．15．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝4，D为斜边AB上的中点，E是直角边AC上的一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠至△A′DE，A′E交BD于点F，若△DEF的面积是△ADE面积的一半，则CE＝2．【分析】根据等高的两个三角形的面积比等于边长比可得AD＝2DF，A'F＝EF，通过勾股定理可得AB的长度，可可求AD，DF，BF的长度，可得BF＝DF，可证BEDA'是平行四边形，可得BE＝A'D＝2，根据勾股定理可得CE的长度【解答】解：如图连接BE∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝4∴AB＝4∵D是AB中点∴BD＝AD＝2∵折叠∴AD＝A'D＝2，S△ADE＝S△A'DE∵S△DEF＝S△ADE∴AD＝2DF，S△DEF＝S△A'DE∴DF＝，A'F＝EF∴BF＝DF＝，且A'F＝EF∴四边形BEDA'是平行四边形∴A'D＝BE＝∴根据勾股定理得：CE＝2故答案为2【点评】本题考查了折叠问题，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是用面积法解决问题．16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，tan A＝，BC＝，点D是AB边上一点，连接CD，将△BCD沿着CD翻折得△B1CD，DB1⊥AC且交于点E，则DE＝．【分析】作BF⊥AC于F，证明△B1EC≌△CFB（AAS），得出B1E＝CF＝1，设DE＝3a，则AD＝5a，得出BD＝B1D＝3a+1，得出方程，解方程即可．【解答】解：作BF⊥AC于F，如图所示：则∠AFB＝∠CFB＝90°，在Rt△ABF中，tan A＝＝，AB＝5，∴AF＝4，BF＝3，sin A＝＝，∴CF＝AC﹣AF＝1，由折叠的性质得：B1C＝BC＝，∠CB1E＝∠ABC，B1D＝BD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCF，∴∠CB1E＝∠BCF，∵DB1⊥AC，∴∠B1EC＝90°＝∠CFB，在△B1EC和△CBF中，，∴△B1EC≌△CFB（AAS），∴B1E＝CF＝1，设DE＝3a，则AD＝5a，∴BD＝B1D＝3a+1，∵AD+BD＝AB，∴3a+1+5a＝5，∴a＝，∴DE＝；故答案为：【点评】本题考查了翻折的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形以及方程的解题思想，熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形全等是解题的关键．17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，把△ABC沿斜边AC折叠，使点B落在B’，点D，点E分别为BC和AB′上的点，连接DE交AC于点F，把四边形ABDE沿DE 折叠，使点B与点C重合，点A落在A′，连接AA′交B′C于点H，交DE于点G．若AB＝3，BC＝4，则GE的长为．【分析】设HC＝HA＝x，在Rt△CA′H中，可得x2＝32+（4﹣x）2，解得x＝，由△CA′H∽△AGE，可得＝，由此即可解决问题．【解答】解：由题意四边形ABCA′是矩形，BD＝CD＝2，AG＝GA′＝2，∵BC∥AA′，∴∠BCA＝∠CAA′，∵∠ACB＝∠ACB′，∴∠HCA＝∠HAC，∴HC＝HA，设HC＝HA＝x，在Rt△CA′H中，x2＝32+（4﹣x）2，∴x＝，∴A′H＝4﹣＝，由△CA′H∽△AGE，可得：＝，∴＝，∴EG＝．【点评】本题考查翻折变换，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝30°，且BC＝CA，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，AB′交CD于点E，连接B′D．若AB＝3，则B′D的长度为6．【分析】作CM⊥AB于M，由折叠的性质得：B'C＝BC＝AC，∠AB'C＝∠B＝∠CAB'＝30°，AB'＝AB＝CD，由平行四边形的性质得出AD＝CB，AB＝CD，∠ADC＝∠B＝30°，求出AD＝AC，AM＝BM＝AB＝，∠BAC＝∠B＝30°，由等腰三角形的性质得出∠ACD＝∠ADC＝30°，由直角三角形的性质得出CM＝，证出AD＝BC＝2CM＝3，再由勾股定理即可得出结果．【解答】解：作CM⊥AB于M，如图所示：由折叠的性质得：B'C＝BC＝AC，∠AB'C＝∠B＝∠CAB'＝30°，AB'＝AB＝CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AB＝CD，∠ADC＝∠B＝30°，∠BAD＝∠BCD＝180°﹣∠B＝150°，∴∠B'AD＝150°﹣30°﹣30°＝90°，∵BC＝AC，∴AM＝BM＝AB＝，∠BAC＝∠B＝30°，∴CM＝，∴AD＝BC＝2CM＝3，在Rt△AB'D中，由勾股定理得：B'D＝＝＝6；故答案为：6．【点评】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质，求出∠B'AD＝90°是解题关键．19．如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，使点D恰好落在BC 边上的F点处．已知折痕AE＝10，且CE：CF＝4：3，那么该矩形的周长为96．【分析】由CE：CF＝4：3，可以假设CE＝4k，CF＝3k推出EF＝DE＝5k，AB＝CD＝9k，利用相似三角形的性质求出BF，再在Rt△ADE中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵CE：CF＝4：3，∴可以假设CE＝4k，CF＝3k∴EF＝DE＝5k，AB＝CD＝9k，∵∠AFE＝∠D＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∠EFC+∠FEC＝90°，∴∠AFB＝∠CEF，∴△ABF∽△FCE，∴∴∴BF＝12k∴AD＝BC＝15k，在Rt△AED中，∵AE2＝AD2+DE2，∴1000＝225k2+25k2，∴k＝2或﹣2（舍弃），∴矩形的周长＝48k＝96，故答案为：96【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．。

热点09 图形变换(旋转、翻折、平移)-备战2022年中考数学重难热点专题突破精讲精练(原卷版)

热点09 图形变换（旋转、翻折、平移）【考纲解读】1．了解：什么是图形的平移；平移的条件；什么是旋转；中心对称和中心对称图形的概念，能区分两个概念；轴对称图形的概念2．理解：平移的性质与旋转的性质；轴对称的性质3．会：正确作出一个图形关于某直线的轴对称图形4．掌握：平移的性质；旋转的性质；轴对称的性质5．能：能准确利用平移作图；能掌握中心对称的性质，能用轴对称的性质正确作图【命题形式】1．从考查的题型来看，本知识点主要以填空题或选择题的形式考查，题目简单，属于低档题. 2．从考查内容来看,涉及本知识点的重点有平移的性质与旋转的性质；轴对称的性质；中心对称与中心对称图形的概念；轴对称与轴对称图形的概念3．从考查热点来看,涉及本知识点的主要有平移、旋转、轴对称的性质；轴对称与轴对称图形；中心对称与中心对称图形；用轴对称、平移、旋转的性质作图【限时检测】A 卷（建议用时：60分钟）1．（2021·江苏盐城市·中考真题）北京2022年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．（2021·浙江丽水市·中考真题）四盏灯笼的位置如图．已知A ，B ，C ，D 的坐标分别是 (−1，b )，(1，b )，(2，b )，(3.5，b )，平移y 轴右侧的一盏灯笼，使得y 轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（）A ．将B 向左平移4.5个单位B ．将C 向左平移4个单位C ．将D 向左平移5.5个单位D ．将C 向左平移3.5个单位3．（2021·山西中考真题）为推动世界冰雪运动的发展，我国将于2022年举办北京冬奥会．在此之前进行了冬奥会会标的征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．4．（2021·湖北黄石市·中考真题）如图，ABC V 的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A 点的坐标是()1,0-，现将ABC V 绕A 点按逆时针方向旋转90°，则旋转后点C 的坐标是（）A ．()2,3-B ．()2,3-C ．()2,2-D ．()3,2-5．（2021·江西中考真题）如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线），小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左，下，右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．56．（2021·贵州毕节市·中考真题）如图，在矩形纸片ABCD 中，，，M 是BC 上的点，且．将矩形纸片ABCD 沿过点M 的直线折叠，使点D 落在AB 上的点P 处，点C 落在点处，折痕为MN ，则线段PA 的长是（）A ．4B ．5C ．6D ．7．（2021·江苏苏州市·中考真题）如图，在方格纸中，将Rt AOB △绕点B 按顺时针方向旋转90°后得到Rt A O B ¢¢△，则下列四个图形中正确的是（）7AB =9BC =2CM =C¢A ．B ．C ．D ．8．（2021·四川广安市·中考真题）如图，将ABC V 绕点A 逆时针旋转55°得到ADE V ，若70E Ð=°且AD BC ^于点F ，则BAC Ð的度数为（）A ．65°B ．70°C ．75°D ．80°9．（2020·四川中考真题）如图，Rt △ABC 中，∠A ＝30°，∠ABC ＝90°．将Rt △ABC 绕点B 逆时针方向旋转得到A BC ¢¢△．此时恰好点C 在A C ¢¢上，A B ¢交AC 于点E ，则△ABE 与△ABC 的面积之比为（）A ．13B ．12C ．23D ．3410．（2020·青海中考真题）剪纸是我国传统的民间艺术．如图①，②将一张纸片进行两次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（）A ．B ．C ．D ．11．（2021·湖南永州市·中考真题）如图，在平面内将五角星绕其中心旋转180°后所得到的图案是（）A ．B ．C ．D ．12．（2020·山东烟台市·中考真题）如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB ，CD ，将线段AB 绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD 重合（点A 与点C 重合，点B 与点D 重合），则这个旋转中心的坐标为_____．13．（2020·辽宁阜新市·中考真题）如图，把ABC V 沿AB 边平移到111A B C △的位置，图中所示的三角形的面积1S 与四边形的面积2S 之比为4∶5，若4AB =，则此三角形移动的距离1AA 是____________．14．（2021·青海中考真题）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O 旋转120°后可以和自身重合，若每个叶片的面积为4cm 2，∠AOB =120°，则图中阴影部分的面积为__________．15．（2020·西藏中考真题）如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为BC 边上的任意一点，把沿PE 折叠，得到，连接CF ．若AB ＝10，BC ＝12，则CF 的最小值为_____．16．（2021·重庆中考真题）如图，三角形纸片ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，BF ＝4，CF＝6，将这张纸片沿直线DE 翻折，点A 与点F 重合．若DE ∥BC ，AF ＝EF ，则四边形ADFE 的面积为__________．17．（2020·辽宁铁岭市·中考真题）一张菱形纸片ABCD 的边长为6cm ，高AE 等于边长的一半，将菱形纸片沿直线MN 折叠，使点A 与点B 重合，直线MN 交直线CD 于点F ，则DF 的长为____________cm ．18．（2021·浙江温州市·中考真题）如图44´与66´的方格都是由边长为1的小正方形组成．图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）．PFE V PBE△（1）选一个四边形画在图2中，使点P 为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位后所得的图形．（23中．19．（2021·安徽中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，ABC V 的顶点均在格点（网格线的交点）上．（1）将ABC V 向右平移5个单位得到111A B C △，画出111A B C △；（2）将（1）中的111A B C △绕点C 1逆时针旋转90°得到221A B C △，画出221A B C △．20．（2020·湖北武汉市·中考真题）在58´的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC 的顶点坐标分别为(0,0)O ，(3,4)A ，(8,4)B ，(5,0)C ．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：（1）将线段CB 绕点C 逆时针旋转90°，画出对应线段CD ；（2）在线段AB 上画点E ，使45BCE °Ð=（保留画图过程的痕迹）；（3）连接AC ，画点E 关于直线AC 的对称点F ，并简要说明画法．21．（2020·天津中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC V 的顶点,A C 均落在格点上，点B 在网格线上，且53AB =．（Ⅰ）线段AC 的长等于___________；（Ⅱ）以BC 为直径的半圆与边AC 相交于点D ，若,P Q 分别为边,AC BC 上的动点，当BP PQ +取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点,P Q ，并简要说明点,P Q 的位置是如何找到的（不要求证明）．22．（2021·贵州毕节市·中考真题）如图1，在Rt ABC V 中，90BAC Ð=°，AB AC =，D 为ABC V 内一点，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，连接CE ，BD 的延长线与CE 交于点F ．（1）求证：BD CE =，BD CE ^；（2）如图2．连接AF ，DC ，已知135BDC Ð=°，判断AF 与DC 的位置关系，并说明理由．【限时检测】B 卷（建议用时：60分钟）1．（2021·辽宁大连市·中考真题）如图，在ABC V 中，90ACB Ð=°，BAC a Ð=，将ABC V 绕点C 顺时针旋转90°得到A B C ¢¢V ，点B 的对应点B ¢在边AC 上（不与点A ，C 重合），则AA B ¢¢Ð的度数为（）A ．aB ．45a -°C ．45a °-D ．90a°-2．（2021·河北中考真题）如图，直线l ，m 相交于点O ．P 为这两直线外一点，且 2.8OP =．若点P 关于直线l ，m 的对称点分别是点1P ，2P ，则1P ，2P 之间的距离可能是（）A ．0B ．5C ．6D ．73．（2020·四川绵阳市·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝，AD ＝2，将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转后得△A B C ¢¢，当A B ¢¢恰好经过点D 时，△B ¢CD 为等腰三角形，若B B ¢＝2，则A A ¢＝（）A B ．C D 4．（2020·江苏宿迁市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q 是直线y=﹣12x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q ¢，连接OQ ¢，则OQ ¢的最小值为( )ABCD5．（2021·广西来宾市·中考真题）如图，矩形纸片，，点，分别在，上，把纸片如图沿折叠，点，的对应点分别为，，连接并延长交线段于点，则的值为（）AB ．C ．D6．（2021·四川资阳市·中考真题）将一张圆形纸片（圆心为点O ）沿直径MN 对折后，按图1分成六等份折叠得到图2，将图2沿虚线AB 剪开，再将AOB V 展开得到如图3的一个六角星．若75CDE Ð=°，则OBA Ð的度数为______．7．（2020·江苏宿迁市·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，AB=1，，P 为AD 上一个动点，连接ABCD :AD AB =E F AD BC EF A B A ¢B ¢AA ¢CD G EF AG2312BP ，线段BA 与线段BQ 关于BP 所在的直线对称，连接PQ ，当点P 从点A 运动到点D 时，线段PQ 在平面内扫过的面积为_____．8．（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）在平面直角坐标系中，O 为原点，点(6,0)A ，点B 在y轴的正半轴上，30ABO Ð=°．矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在,,OA AB OB 上，2OD =．将矩形CODE沿x 轴向右平移，当矩形CODE 与ABO V 重叠部分的面积为时，则矩形CODE 向右平移的距离为___________．9．（2020·江苏镇江市·中考真题）如图，在△ABC 中，BC ＝3，将△ABC 平移5个单位长度得到△A 1B 1C 1，点P 、Q 分别是AB 、A 1C 1的中点，PQ 的最小值等于_____．10．（2021·江苏南京市·中考真题）如图，将ABCD Y 绕点A 逆时针旋转到AB C D ¢¢¢Y 的位置，使点B ¢落在BC 上，B C ¢¢与CD 交于点E ，若3,4,1AB BC BB ¢===，则CE 的长为________．11．（2020·广东广州市·中考真题）如图，正方形ABCD 中，ABC D 绕点A 逆时针旋转到AB C ¢¢D ，AB ¢，AC ¢分别交对角线BD 于点,E F ，若4AE =，则EF ED ×的值为_______．13．（2019·辽宁营口市·中考真题）如图，ABC V 是等边三角形，点D 为BC 边上一点，122BD DC ==，以点D 为顶点作正方形DEFG ，且DE BC =，连接AE ，AG ．若将正方形DEFG 绕点D 旋转一周，当AE 取最小值时，AG 的长为________．14．（2020·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ABC V 的顶点坐标分别为：()2,0A -，()1,2B ，()1,2C -．已知()1,0N -，作点N 关于点A 的对称点1N ，点1N 关于点B 的对称点2N ，点2N 关于点C 的对称点3N ，点3N 关于点A 的对称点4N ，点4N 关于点B 的对称点5N ，…，依此类推，则点2020N 的坐标为______．15．（2021·海南中考真题）如图，在矩形中，，将此矩形折叠，使点C 与点A 重合，点D 落在点处，折痕为，则的长为____，的长为____．ABCD 6,8AB AD ==D ¢EF AD ¢DD ¢16．（2021·江苏盐城市·中考真题）如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当________时，是以为腰的等腰三角形．17．（2020·辽宁阜新市·中考真题）如图，ABC V 在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为()4,4A ，()1,1B ，()4,1C ．（1）画出与ABC V 关于y 轴对称的111A B C △；（2）将ABC V 绕点1O 顺时针旋转90°得到222A B C △，2AA 弧是点A 所经过的路径，则旋转中心1O 的坐标为___________．（3）求图中阴影部分的面积（结果保留p ）．18．（2021·山东中考真题）如图1，在△ABC 中，∠C =90°，∠ABC =30°，AC =1，D 为△ABC内部的一动点ABCD 3AB =4=AD E F BC CD EF AE ^ECF △EF EC F ¢△AC ¢BE =AEC ¢VAE（不在边上），连接BD ，将线段BD 绕点D 逆时针旋转60°，使点B 到达点F 的位置；将线段AB 绕点B 顺时针旋转60°，使点A 到达点E 的位置，连接AD ，CD ，AE ，AF ，BF ，EF ．（1）求证：△BDA ≌△BFE ；（2）①CD +DF +FE 的最小值为；②当CD +DF +FE 取得最小值时，求证：AD ∥BF ．（3）如图2，M ，N ，P 分别是DF ，AF ，AE 的中点，连接MP ，NP ，在点D 运动的过程中，请判断∠MPN 的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．19．（2021·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题．（1）尝试解决：如图①，在等腰Rt ABC V 中，90,BAC AB AC Ð=°=，点M 是BC 上的一点，1cm BM =，2cm CM =，将ABM V 绕点A 旋转后得到ACN △，连接MN ，则AM =___________cm ．（2）类比探究：如图②，在“筝形”四边形ABCD 中，,,AB AD a CB CD AB BC ===^于点B ，AD CD ^于点D ，点P 、Q 分别是AB AD 、上的点，且PCB QCD PCQ Ð+Ð=Ð，求APQ V 的周长．（结果用a 表示）.（3）拓展应用：如图③，已知四边形ABCD ，,60,75,2AD CD ADC ABC AB BC =Ð=°Ð=°==，求四边形ABCD 的面积．。

专题9填空题压轴题之图形变换问题(平移翻折旋转)(原卷版)

专题9 填空题压轴题之图形变换问题（平移翻折旋转）（原卷版）模块一2022中考真题集训类型一图形的折叠1．（2022•徐州）如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝．2．（2022•镇江）如图，有一张平行四边形纸片ABCD，AB＝5，AD＝7，将这张纸片折叠，使得点B落在边AD上，点B的对应点为点B′，折痕为EF，若点E在边AB上，则DB′长的最小值等于．3．（2022•鞍山）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D，E分别在AB，BC上，将△BDE沿直线DE翻折，点B的对应点B′恰好落在AB上，连接CB'，若CB'＝BB'，则AD的长为．4．（2022•兰州）如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上．若CE＝3cm，AF＝2EF，则AB＝cm．5．（2022•大连）如图，对折矩形纸片ABCD，使得AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A的对应点A'落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，连接MF，若MF⊥BM，AB ＝6cm，则AD的长是cm．6．（2022•盘锦）如图，四边形ABCD为矩形，AB=√2，AD=3，点E为边BC上一点，将△DCE沿DE 翻折，点C的对应点为点F，过点F作DE的平行线交AD于点G，交直线BC于点H．若点G是边AD 的三等分点，则FG的长是．7．（2022•潍坊）小莹按照如图所示的步骤折叠A4纸，折完后，发现折痕AB′与A4纸的长边AB恰好重合，那么A4纸的长AB与宽AD的比值为．8．（2022•青岛）如图，已知△ABC，AB＝AC，BC＝16，AD⊥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，且DE ＝4．将∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合．下列结论正确的有：．（填写序号）①BD＝8 ②点E到AC的距离为3 ③EM=103④EM∥AC9．（2022•铜仁市）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内．点N为线段CE上的动点，过点N作NP∥EM交MC于点P，则MN+NP的最小值为．10．（2022•辽宁）如图，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF，当GF最小时，AE的长是．11．（2022•沈阳）如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，MF的延长线交边BC于点G，EF交边BC于点H．EN＝2，AB＝4，当点H为GN的三等分点时，MD的长为．12．（2022•扬州）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC，第1次折叠使点B落在BC边上的点B′处，折痕AD交BC于点D；第2次折叠使点A落在点D处，折痕MN交AB′于点P．若BC＝12，则MP+MN＝．13．（2022•泰安）如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若AB＝6，则DP的长度为．̂上，将CD̂沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于14．（2022•嘉兴）如图，在扇形AOB中，点C，D在AB̂的度数为，折痕CD的长为．点E，F．已知∠AOB＝120°，OA＝6，则EF类型二图形的平移15．（2022•淄博）如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是．16．（2022•大连）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，2），将线段OA向右平移4个单位长度，得到线段BC，点A的对应点C的坐标是．17．（2022•辽宁）在平面直角坐标系中，线段AB的端点A（3，2），B（5，2），将线段AB平移得到线段CD，点A的对应点C的坐标是（﹣1，2），则点B的对应点D的坐标是．18．（2022•临沂）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B的坐标分别是A（0，2），B（2，﹣1）．平移△ABC得到△A'B'C'，若点A的对应点A'的坐标为（﹣1，0），则点B的对应点B'的坐标是．19．（2022•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点A1（1，1）；把点A1向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A2（﹣1，3）；把点A2向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点A3（﹣4，0）；把点A3向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点A4（0，﹣4），…；按此做法进行下去，则点A10的坐标为．20．（2022•台州）如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A'B'C'，且BB'⊥BC，则阴影部分的面积为cm2．类型三图形的旋转21．（2022•黄石）如图，等边△ABC中，AB＝10，点E为高AD上的一动点，以BE为边作等边△BEF，连接DF，CF，则∠BCF＝，FB+FD的最小值为．22．（2022•宁夏）如图，直线a∥b，△AOB的边OB在直线b上，∠AOB＝55°，将△AOB绕点O顺时针旋转75°至△A1OB1，边A1O交直线a于点C，则∠1＝°．23．（2022•西宁）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB′C′，B′C′交AB于点E，则B′E＝．24．（2022•盐城）如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转，使得点B 落在边CD上的点B'处，线段AB扫过的面积为．25．（2022•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2），OC＝4，将平行四边形OABC绕点O旋转90°后，点B的对应点B'坐标是．26．（2022•广州）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP′，连接PP′，CP′．当点P′落在边BC上时，∠PP′C的度数为；当线段CP′的长度最小时，∠PP′C的度数为．27．（2022•盘锦）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，点D为BC的中点，将△ABC绕点D逆时针旋转得到△A'B'C'，当点A的对应点A'落在边AB上时，点C'在BA的延长线上，连接BB'，若AA'＝1，则△BB'D的面积是．28．（2022•潍坊）如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形ABCO绕原点O逆时针旋转75°，再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点B″的坐标为．29．（2022•无锡）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE 交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC＝20°，则∠BAF＝°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是．30．（2022•丽水）一副三角板按图1放置，O是边BC（DF）的中点，BC＝12cm．如图2，将△ABC绕点O顺时针旋转60°，AC与EF相交于点G，则FG的长是cm．31．（2023•封开县一模）如图，正方形ABCD中，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE翻折，点B 落在点F处，延长EF交CD于点P，若AB＝6，则DP的长为．32．（2023•历下区一模）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝5．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则tan∠DAE＝．33．（2022•市中区二模）如图，矩形纸片ABCD，AD＝12，AB＝4，点E在线段BC上，将△ECD沿DE 向上翻折，点C的对应点C'落在线段AD上，点M，N分别是线段AD与线段BC上的点，将四边形ABNM 沿MN向上翻折，点B恰好落在线段DE的中点B'处．则线段MN的长．34．（2022•包头模拟）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，整个阴影部分的面积．35．（2022•郧西县模拟）如图，已知，正△ABC中，AB＝12，将△ABC沿AC翻折，得到△ADC，连接BD，交AC于O点，E点在OD上，且DE＝2OE，F是BC的中点，P是AC上的一个动点，则PF﹣PE的最大值为．36．（2022•皇姑区校级模拟）如图，点E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，点F 是AB 上的一点，点G 是BC 上的一点，先以CE 为对称轴将△CDE 折叠，使点D 落在CF 上的点D 处，再以EF 为对称轴折叠△AEF ，使得点A 的对应点A '与点D '重合，以FG 为对称轴折叠△BFG ，使得点B 的对应点B 落在CF 上．若∠A ＝60°，AB ＝2，则FG CE 的值为．37．（2022•亭湖区校级二模）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，点E 是AB 边上一动点，过点E 作DE ⊥AB 交AC 边于点D ，将∠A 沿直线DE 翻折，点A 落在线段AB 上的F 处，连接FC ，当△BCF 为等腰三角形时，AE 的长为．38．（2022•东方校级模拟）如图，矩形纸片ABCD ，AD =√2AB ，点E 、F 分别在AD 、BC 上，把纸片如图沿EF 折叠，点A 、B 的对应点分别为A ′、B ′，连接AA ′并延长交线段CD 于点G ，则EF AG 的值为．39．（2022•阜新二模）如图，将三角形ABC 沿直线CB 向右平移6cm 得到三角形DEF ，DF 交AB 于点G ，在三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝10cm ，S △ADG =22cm 2，则四边形DGBE 的面积为 cm 2．40．（2022•宽城区校级二模）如图，已知矩形ABCD，AB＝18cm，AD＝10cm，在其矩形内部有三个小矩形，则这三个小矩形的周长之和为cm．41．（2022•思明区二模）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，﹣2），将线段AB先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到线段DC，点A与点D为对应点．点P为y轴上一点，且S△ACP=14S四边形ABCD，则满足要求点P的坐标为．42．（2022•利州区校级模拟）如图，直角三角形AOB的周长为98，在其内部有n个小直角三角形，则这n 个小直角三角形的周长之和为．43．（2022•长春模拟）如图，O为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB＝90°，点B的坐标为（0，2√2），将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O′A′B′，此时点B′的坐标为（2√2，2√2），则线段OA 在平移过程中扫过部分的图形面积为．44．（2023•沁阳市模拟）如图，在等边三角形ABC中，AB=2√3，点D为AC的中点，点P在AB上，且BP＝1，将BP绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为．45．（2023•立山区一模）如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝6，AD＝4，△ADE绕点A旋转过程中，MN的最大值为．46．（2023•红花岗区校级一模）如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝6，将边AB绕点A顺时针旋转a（0°＜a＜120°）得到线段AD，连接CD，CD与AB交于点G，∠BAD的平分线交CD于点E，点F为CD 上一点，且DF＝2CF，则∠AEC＝°，连接AF，则BF的最小值为．47．（2023•仙桃校级一模）如图，正方形ABCD的边长是5，E是边BC上一点且BE＝2，F为边AB上的一个动点，连接EF，以EF为边向右作等边三角形EFG，连接CG，则CG长的最小值为．48．（2022•东胜区一模）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AE=13AC，BF=13BC，将△ECF绕点C逆时针旋转α角得到△MCN，连接AM、BN．当MA∥CN时，cosα＝．49．（2022•香洲区校级三模）如图正方形ABCD的边长为3，E是BC上一点且CE＝1，F是线段DE上的动点．连接CF，将线段CF绕点C逆时针旋转90°得到CG，连接EG，则EG的最小值是．50．（2022•韶关模拟）如图，已知正方形ABCD中，AB＝2，点E为BC边上一动点（不与点B、C重合），连接AE，将AE绕点E顺时针旋转90得到EF，连接CF，连接AF与CD相交于点G，连接DF，当DF 最小时，四边形CEGF的面积是．51．（2022•皇姑区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC=√2，BC＝2√2，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△DEC，连接AD，BE，直线AD，BE相交于点F，连接CF，在旋转过程中，线段CF长度的范围为．52．（2022•江都区校级二模）如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，E在AC上且AE=23AC，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，则线段AF的最小值是．53．（2022•薛城区校级模拟）把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6，DC＝7，把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB 与CD1交于点O，则线段AD1的长度为．54．（2022•路北区校级一模）如图，长度为3的线段AB固定不动，长度为6的线段AC绕A旋转，连接BC．在旋转过程中，线段BC的长度的最大值为；若以线段AC为直角边，以点A为直角顶点构造等腰直角△ACD，则在旋转过程中，点B到CD边的距离的最大值为．55．（2022•珠海校级三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是线段BC上一动点，将线段P A 绕点P顺时针转90°得到线段P A'，连接DA'，则DA'的最小值为．。

2019年全国中考数学真题分类翻折变换(印刷版)

2. 翻折变换一、选择题1. (2019·海南)如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B＝60°，AB＝3，则△ADE的周长为()第1题A. 12B. 15C. 18D. 212. (2019·贵港)将一条宽度为2 cm的彩带按如图所示的方法折叠，折痕为AB，重叠部分为△ABC(图中涂色部分)．若∠ACB＝45°，则重叠部分的面积为()第2题A. 2 2 cm2B. 2 3 cm2C. 4 cm2D. 4 2 cm23. (2019·大连)如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C的对应点C′与点A重合，折痕为EF.若AB＝4，BC＝8，则D′F的长为()第3题A. 2 5B. 4C. 3D. 24. (2019·兰州)如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DG折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DG交AC于点M，交EC于点F，则OM的长为()第4题A. 12 B.22C. 3－1D. 2－15. (2019·桂林)将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕．若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则ADAB的值为()第5题A. 65 B. 2 C.32 D. 36. (2019·鄂尔多斯)如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O，且EG∥BC，将矩形折叠，使点C与点O重合，折痕MN过点G.若AB＝6，EF ＝2，∠H＝120°，则DN的长为()第6题A. 6－ 3B. 6＋3 2C.32 D. 23－ 67. (2019·黄石)如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD∶AB＝3∶1，将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，连接AF，CF，DF，AF交BC于点G，且BG＝2，在AD边上有一点H，使得BH＋EH的值最小，此时BHCF的值为()第7题A.32 B.233 C.62 D.328. (2019·赤峰)如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2 019次操作时，余下纸片的面积为()第8题A. 22 019B.122 018 C.122 019 D.122 020二、填空题9. (2018·巴彦淖尔)如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A′处．若∠1＝∠2＝48°，则∠A′的度数为________．第9题10. (2019·遵义)如图，▱ABCD的边AB，BC的长分别是10 cm和7.5 cm，将其四个角向内对折后，点B与点C重合于点C′，点A与点D重合于点A′.四条折痕围成一个“信封四边形”EHFG，其顶点分别在▱ABCD的四条边上，则EF＝________cm.第10题11. (2019·长春)如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6.先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF；再将△AEF 沿EF翻折，AF与BC相交于点G，则△GCF的周长为________．第11题12. (2019·上海)如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点．将△ABE沿直线BE翻折，点A落在点F处，连接DF，则∠EDF的正切值是________．第12题13. (2019·济南)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，使得点C落到矩形内点F的位置，连接AF.若tan ∠BAF＝12，则CE＝________．第13题14. (2019·葫芦岛)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13.点D在边BC上，以AD为折痕将△ADB折叠得到△ADB′，AB′与边BC交于点E.若△DEB′为直角三角形，则BD的长是________．第14题15. (2019·内江)如图，在菱形ABCD中，sin B＝45，点E，F分别在边AD，BC上，将四边形AEFB沿EF翻折，使AB的对应线段MN经过顶点C.当MN⊥BC时，AEAD的值是________．第15题16. (2019·锦州)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是________．第16题三、解答题17. (2019·北部湾经济区)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(2，－1)，B(1，－2)，C(3，－3)．(1) 将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；(2) 请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；(3) 请写出点A1，A2的坐标．第17题18. (2019·常州)如图，把▱ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD 相交于点E.(1) 连接AC′，则AC′与BD的位置关系是________．(2) BE与DE相等吗？证明你的结论．第18题19. (2019·徐州)如图，将▱ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D 落在点G处，折痕为EF.求证：(1) ∠ECB＝∠FCG；(2) △EBC≌△FGC.第19题20. (2019·临沂)如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点(与点D，C不重合)，连接AE，将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG，作GH⊥AG，与AE的延长线交于点H，连接CH.显然AE是∠DAF 的平分线，EA是∠DEF的平分线．仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线(仅限于小于180°的角的平分线)，并说明理由．第20题21. (2019·滨州)如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE 折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG.(1) 求证：四边形CEFG是菱形；(2) 若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．第21题22. (2018·凉山州)如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，将▱ABCD 沿EF所在的直线翻折，使点B的对应点B′与点D重合，且点A落在点A′处．(1) 求证：△A′ED≌△CFD；(2) 连接BE，若∠EBF＝60°，EF＝3，求四边形BFDE的面积．第22题23. (2019·重庆)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE＝1.连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得到△AEF，连接DF.过点D作DG⊥DE交BE于点G.求四边形DFEG的周长．第23题2. 翻折变换一、 1.C 2.A 3.C 4.D 5.B 6.A7.B8. C二、9.108°10.1011.4＋2212.213.5－5214.7或26315.2916.10－1三、17.(1) 如图，△A1B1C1即为所求(2) 如图，△A2B2C2即为所求(3)A1(2，3)，A2(－2，－1)第17题18.(1) AC′∥BD(2) BE与DE相等．由折叠的性质，得∠CBD＝∠C′BD.∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.∴∠EDB＝∠EBD.∴ BE＝DE19.(1) ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠BCD.由折叠的性质，得∠A＝∠ECG，∴∠BCD＝∠ECG.∴∠BCD－∠ECF＝∠ECG－∠ECF.∴∠ECB＝∠FCG(2) ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B，AD＝BC.由折叠的性质，得∠D＝∠G，AD＝CG，∴∠B＝∠G，BC＝GC.又∵∠ECB＝∠FCG，∴△EBC≌△FGC20.AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线，CH是∠DCM的平分线，GH是∠EGM的平分线理由：如图，过点H作HN⊥BM于点N，则∠HNC ＝90°.∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝BC，∠D＝∠DAB＝∠B＝∠DCB＝∠DCM＝90°.∵将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，∴△ADE≌△AFE.∴∠D＝∠AFE＝∠AFG＝90°，AD＝AF，∠DAE＝∠FAE.∴AB＝AF.又∵ AG＝AG，∴ Rt△ABG≌Rt△AFG.∴∠BAG＝∠FAG，∠AGB＝∠AGF.∴ AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线．∵∠DAE＝∠FAE，∠BAG＝∠FAG，∠BAD＝90°，∴∠GAF＋∠EAF＝12×90°＝45°，即∠GAH＝45°.∵ GH⊥AG，∴∠GHA＝90°－∠GAH＝45°.∴△AGH为等腰直角三角形．∴AG ＝GH.∵ ∠AGB ＋∠BAG ＝90°，∠AGB ＋∠HGN ＝90°，∴ ∠BAG ＝∠NGH.又∵ ∠B ＝∠HNG ＝90°，AG ＝GH ，∴ △ABG ≌△GNH.∴ BG ＝NH ，AB ＝GN.∴ BC ＝GN.∴ BC －CG ＝GN －CG ，即BG ＝CN.∴ CN ＝HN.∴ ∠NCH ＝∠NHC ＝45°.∴ ∠DCH ＝∠DCM －∠NCH ＝45°.∴ ∠DCH ＝∠NCH.∵ ∠DCM ＝90°，∴ CH 是∠DCM 的平分线．∵ ∠AGB ＋∠HGN ＝90°，∠AGF ＋∠EGH ＝90°，∠AGB ＝∠AGF ，∴ ∠HGN ＝∠EGH.∴ GH 是∠EGM 的平分线．综上所述，AG 是∠BAF 的平分线，GA 是∠BGF 的平分线，CH 是∠DCM 的平分线，GH 是∠EGM 的平分线．第20题21. (1) 由题意，可得△BCE ≌△BFE ，∴ ∠BEC ＝∠BEF ，CE ＝FE.∵ FG ∥CE ，∴ ∠FGE ＝∠CEB.∴ ∠FGE ＝∠FEG.∴ FG ＝FE.∴ FG ＝EC.∵ FG ∥CE ，∴ 四边形CEFG 是平行四边形．又∵ CE ＝FE ，∴ 四边形CEFG 是菱形 (2) ∵ 在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝10，BC ＝BF ，∴ ∠BAF ＝90°，AD ＝BC ＝BF ＝10.∴ AF ＝BF 2－AB 2＝8.∴ DF ＝AD －AF ＝2.设EF ＝x ，则CE ＝x ，DE ＝6－x.在Rt △FDE 中，∵ FDE ＝90°，∴ DF 2＋DE 2＝EF 2，即22＋(6－x)2＝x 2，解得x ＝103.∴ CE ＝103.∴ 四边形CEFG 的面积是CE·DF ＝103×2＝20322. (1) 由翻折的性质，得AE ＝A′E ，AB ＝A′D ，∠ABC ＝∠A′DF ，∠EFB ＝∠EFD.∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AD ＝BC ，AB ＝CD ，∠ABC ＝∠ADC.∴ A′D ＝CD ，∠ADC ＝∠A′DF.∴ ∠ADC －∠EDF ＝∠A′DF －∠EDF ，即∠FDC ＝∠A′DE.∵ AD ∥BC ，∴ ∠DEF ＝∠EFB.∵ ∠EFB ＝∠EFD ，∴ ∠DEF ＝∠EFD.∴ ED ＝DF.在△A′ED 和△CFD 中，⎩⎨⎧A′D ＝CD ，∠A′DE ＝∠CDF ，ED ＝FD ，∴△A′ED ≌△CFD (2) ∵ △A′ED ≌△CFD ，∴ A′E ＝CF.∵ AE ＝A′E ，∴ AE ＝CF.∵ AD ＝BC ，∴ AD －AE ＝BC －CF ，即DE ＝BF.∵ AD ∥BC ，∴ 四边形EBFD 为平行四边形．∵ DE ＝DF ，∴ 四边形EBFD 为菱形．∵ ∠EBF ＝60°，∴ △BEF 为等边三角形．∵ EF ＝3，∴ BE ＝BF ＝EF ＝3.过点E 作EH ⊥BC 于点H ，则EH＝BE·sin 60°＝323，∴ 四边形BFDE 的面积为BF·EH ＝3×323＝93223. ∵ ∠ABC ＝45°，AD ⊥BC 于点D ，∴ ∠BAD ＝90°－∠ABC ＝45°.∴ △ABD 是等腰直角三角形．∴ AD ＝BD.∵ BE ⊥AC ，∴ ∠BEC ＝90°.∴ ∠GBD ＋∠C ＝90°.∵ ∠EAD ＋∠C ＝90°，∴ ∠GBD ＝∠EAD.∵ ∠ADB ＝∠EDG ＝90°，∴ ∠ADB －∠ADG ＝∠EDG －∠ADG ，即∠BDG ＝∠ADE.在△BDG 和△ADE中，⎩⎨⎧∠BDG ＝∠ADE ，BD ＝AD ，∠DBG ＝∠DAE ，∴ △BDG ≌△ADE.∴ BG ＝AE ＝1，DG ＝DE.∵ ∠EDG＝90°，∴ △EDG 为等腰直角三角形．∴ ∠DEG ＝45°.∴ ∠AED ＝∠AEB ＋∠DEG ＝90°＋45°＝135°.∵ △AED 沿直线AE 翻折得到△AEF ，∴ △AEF ≌△AED.∴ ∠AEF ＝∠AED ＝135°，EF ＝ED.∴ ∠DEF ＝360°－∠AED －∠AEF ＝90°.∴ △DEF 为等腰直角三角形．∴ EF ＝DE ＝DG.在Rt △AEB 中，BE ＝AB 2－AE 2＝32－12＝22，∴ GE ＝BE －BG ＝22－1.在Rt △DGE 中，易得DG ＝22GE ＝2－22，∴ EF ＝DE ＝2－22.在Rt △DEF 中，易得DF ＝2DE ＝22－1，∴ 四边形DFEG 的周长为GD ＋EF ＋GE ＋DF ＝2－22＋2－22＋22－1＋22－1＝32＋2。

6、2020重庆中考数学四边形翻折变换专题二

O ECDA BP四边形翻折变换专题训练二1.如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AD、BC上，则折痕FG的长度为( )A. 25B. 35C. 26D. 362．如图，在正方形ABCD的边AB上取一点E，连接CE，将△BCE沿CE翻折，点B恰好与对角线AC上的点F重合，连接DF，若BE＝2，则△CDF的面积是（）A．1B．3 C．6D．3．如图，矩形ABCD中，AB = 8，BC = 6，点P为AD边上一点，将△ABP沿着BP翻折至△EBP，PE与CD 交于点O，且OE = OD，则AP的长为（）A．4.8 B．5 C． D．44. （2018•河南模拟）如图所示，ABCD为边长为1的正方形，E为BC边的中点，沿AP折叠使D点落在AE 上的H处，连接PH并延长交BC于F点，则EF的长为（）525.A-55.B-.353C-1.4DB′GFEDCBA5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠ADC＝120°，连接BD，把△ABD沿BD翻折，得到△A′BD，连接A′C，若AB＝3，∠ABD＝60°，则点D到直线A′C的距离为（）A．B．C．D．6、（2019•大渡口区模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠得到△AEF，点H为CD上一点，将△CEH沿EH折叠得到△EHG，且F落在线段EG上，当GF＝GH时，则BE 的长为( )．.1 A3.2B.2C5.2D7．如图，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O．若AB＝3，AD＝4，则FG的长为（）A．B．C．D．8、（2018•周村区二模）一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，使点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G（图1）；再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M （图2），则EM的长为（）A．2 B．C．D．9、（2018秋•市南区期末）如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，将菱形折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的点G 处（不与B 、D 重合），折痕为EF ，若DG ＝2，BG ＝6，则AF 的长为( )26.7A 18.7B .4C .5D10. （2019春•沧州期末）矩形ABCD 中，AB ＝3，CB ＝2，点E 为AB 的中点，将矩形右下角沿CE 折叠，使点B 落在矩形内部点F 位置，如图所示，则AF 的长度为（） A ．B ．2C ．D ．11. （2018•大连）如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，点E 为AD 上一点，且∠ABE ＝30°，将△ABE 沿BE 翻折，得到△A ′BE ，连接CA ′并延长，与AD 相交于点F ，则DF 的长为．12.（2018秋•南岸区校级期末）如图，E 为矩形ABCD 边AD 上一点，连接BE ，将△ABE 沿BE 翻折得到△FBE ，连接AF ，过F 作FH ⊥BC 于F ，若AB ＝3，FH ＝1，则AF 的长度为．A B C DOECD A BP四边形翻折变换专题训练二答案解析1.如图，将边长为4的正方形纸片ABCD 折叠，使得点A 落在边CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AD 、BC 上，则折痕FG 的长度为( A ) A. 25 B. 35 C. 26 D. 362．如图，在正方形ABCD 的边AB 上取一点E ，连接CE ，将△BCE 沿CE 翻折，点B 恰好与对角线AC 上的点F 重合，连接DF ，若BE ＝2，则△CDF 的面积是（ B ）A ．1B ．3C ．6D ．3．如图，矩形ABCD 中，AB = 8，BC = 6，点P 为AD 边上一点，将△ABP 沿着BP 翻折至△EBP ，PE 与CD 交于点O ，且OE = OD ，则AP 的长为（ A ）A ．4.8B ．5C ．D ．44. （2018•河南模拟）如图所示，ABCD 为边长为1的正方形，E 为BC 边的中点，沿AP 折叠使D 点落在AE 上的H 处，连接PH 并延长交BC 于F 点，则EF 的长为（）B′G FEDCB A第3题图525.A - 55.B - .353C - 1.4D 解：连接AF ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝BC ＝1，∠B ＝90°， ∵BE ＝EC ＝，∴AE ＝＝，由翻折不变性可知：AD ＝AH ＝AB ＝1， ∴EH ＝﹣1，∵∠B ＝∠AHF ＝90°，AF ＝AF ，AH ＝AB ， ∴Rt △AFB ≌Rt △AFH ，∴BF ＝FH ，设EF ＝x ，则BF ＝FH ＝﹣x ，在Rt △FEH 中，∵EF 2＝EH 2+FH 2， ∴x 2＝（﹣x ）2+（﹣1）2，∴x ＝，故选：A ．5.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，∠ADC ＝120°，连接BD ，把△ABD 沿BD 翻折，得到△A ′BD ，连接A ′C ，若AB ＝3，∠ABD ＝60°，则点D 到直线A ′C 的距离为（）A ．B ．C ．D ．解：过点D 作DE ⊥A ′C 于E ，过A '作A 'F ⊥CD 于F ，如图所示： ∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠DBC ，∠ADC +∠BCD ＝180°，∠BCD ＝180°﹣120°＝60°， ∵∠ABD ＝60°，∴∠ADB＝30°，∴BD＝2AB＝6，AD＝AB＝3，∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝120°﹣30°＝90°，∠DBC＝30°，∴CD＝tan∠DBC•BD＝tan30°×6＝×6＝2，由折叠的性质得：∠A'DB＝∠ADB＝30°，A'D＝AD＝3，∴∠A'DC＝120°﹣30°﹣30°＝60°，∵A'F⊥CD，∴∠DA'F＝30°，∴DF＝A'D＝，A'F＝DF＝，∴CF＝CD﹣DF＝2﹣＝，∴A'C＝＝＝，∵△A'CD的面积＝A'C×DE＝CD×A'F，∴DE＝＝＝，即D到直线A′C的距离为；故选：C．6、（2019•大渡口区模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠得到△AEF，点H为CD上一点，将△CEH沿EH折叠得到△EHG，且F落在线段EG上，当GF＝GH时，则BE 的长为( )．.1 A3.2B.2C5.2D解：如图，连接AH，由折叠可得，BE＝FE，EC＝EG，GH＝CH，∠AEB＝∠AEF，∠CEH＝∠GEH，∴∠AEH＝∠BEC＝90°，∴Rt△AEH中，AE2+EH2＝AH2，①设BE＝x，则EF＝x，CE＝6﹣x＝EG，∴GF＝6﹣2x＝GH＝CH，DH＝4﹣（6﹣2x）＝2x﹣2，∵∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，∴Rt △ABE 中，AE 2＝EB 2+AB 2＝x 2+42，Rt △CEH 中，HE 2＝EC 2+CH 2＝（6﹣x ）2+（6﹣2x ）2， Rt △ADH 中，AH 2＝DH 2+AD 2＝（2x ﹣2）2+62，代入①式，可得x 2+42+（6﹣x ）2+（6﹣2x ）2＝（2x ﹣2）2+62，解得x 1＝2，x 2＝12（舍去），∴BE 的长为2，故答案为：.C ．6、将矩形ABCD 折叠，点A 与对角线BD 上的点G 重合，折痕BE 交AD 于点E ，点C 与对角线上的点H 重合，折痕DF 交BC 于点F ．若AB ＝6，AD ＝8，则EH 的长为（）．.23A .13B .3C .22D解：∵AB ＝6，AD ＝8， ∴BD ＝＝10，∴设EG ＝x ，则AE ＝x ，DE ＝（8﹣x ），AB ＝BG ＝6，则DG ＝10﹣6＝4，在Rt △DEG 中，DG 2+EG 2＝DE 2，∴42+x 2＝（8﹣x ）2，解得：x ＝3，∴EG ＝3，∵DH ＝BG ＝6， ∴HG ＝2，∴EH ＝＝．故答案为：B ．7．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F ．过点D 作DG ∥BE ，交BC 于点G ，连接FG 交BD 于点O ．若AB ＝3，AD ＝4，则FG 的长为（）A ．B ．C ．D ．解：由折叠的性质可知：∠DBC ＝∠DBE ，又∵AD ∥BC ，∴∠DBC＝∠ADB，∴∠DBE＝∠ADB，∴DF＝BF；∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴FD∥BG，又∵DG∥BE，∴四边形BFDG是平行四边形，∵DF＝BF，∴四边形BFDG是菱形；∵AB＝3，AD＝4，∴BD＝5．∴OB＝BD＝．设DF＝BF＝x，∴AF＝AD﹣DF＝4﹣x．∴在直角△ABF中，AB2+AF2＝BF2，即32+（4﹣x）2＝x2，解得x＝，即BF＝，∴FO＝＝＝，∴FG＝2FO＝．故选：D．8、（2019•桂林二模）如图，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝10cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，使点C 落在点C′的位置，BC′交AD于点G（图1），再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M（图2），则EM的长为（）A．B．C．D．解：∵点D与点A重合，得折痕EN，∴DM ＝5cm ，∵AD ＝10cm ，AB ＝6cm ，在Rt △ABD 中，BD ＝cm ，∵EN ⊥AD ，AB ⊥AD ， ∴EN ∥AB ，∴MN 是△ABD 的中位线， ∴DN ＝BD ＝cm ，在Rt △MND 中， ∴MN ＝＝3（cm ），由折叠的性质可知∠NDE ＝∠NDC ， ∵EN ∥CD ， ∴∠END ＝∠NDC ， ∴∠END ＝∠NDE ，∴EN ＝ED ，设EM ＝x ，则ED ＝EN ＝x +3，由勾股定理得ED 2＝EM 2+DM 2，即（x +3）2＝x 2+52，解得x ＝，即EM ＝cm ．故选：B ．9、（2018秋•市南区期末）如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，将菱形折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的点G 处（不与B 、D 重合），折痕为EF ，若DG ＝2，BG ＝6，则AF 的长为( A )26.7A 18.7B .4C .5D 解：作FH ⊥BD 于H ，由折叠的性质可知，FG ＝FA ，由题意得，BD ＝DG +BG ＝8， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB ，∠ABD ＝∠CBD ＝∠ABC ＝60°， ∴△ABD 为等边三角形， ∴AD ＝BD ＝8，设AF＝x，则FG＝x，DF＝8﹣x，在Rt△DFH中，∵∠FDH＝60°，∴DH＝（8﹣x）＝4﹣x，FH＝（8﹣x），∴HG＝2﹣DH＝x﹣2，在Rt△FHG中，FG2＝FH2+GH2，即x2＝（4﹣x）2+（x﹣2）2，解得：x＝，∴AF的长为，10. （2019春•沧州期末）矩形ABCD中，AB＝3，CB＝2，点E为AB的中点，将矩形右下角沿CE折叠，使点B落在矩形内部点F位置，如图所示，则AF的长度为（）A．B．2 C．D．解：如图中，作EM⊥AF，则AM＝FM，∵AE＝EB＝EF，∴∠EAF＝∠EFA，∵∠CEF＝∠CEB，∠BEF＝∠EAF+∠EFA，∴∠BEC＝∠EAF，∴AF∥EC，在Rt△ECB中，EC＝＝，∵∠AME＝∠B＝90°，∠EAM＝∠CEB，∴△CEB∽△EAM，∴＝，∴＝，∴AM＝，∴AF＝2AM＝，故选：A．11.（2018•大连）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E为AD上一点，且∠ABE＝30°，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接CA′并延长，与AD相交于点F，则DF的长为6﹣2．解：如图作A′H⊥BC于H．∵∠ABC＝90°，∠ABE＝∠EBA′＝30°，∴∠A′BH＝30°，∴A′H＝BA′＝1，BH＝A′H＝，∴CH＝3﹣，∵△CDF∽△A′HC，∴＝，∴＝，∴DF＝6﹣2，12.（2018秋•南岸区校级期末）如图，E为矩形ABCD边AD上一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接AF，过F作FH⊥BC于F，若AB＝3，FH＝1，则AF的长度为2．解：设AF与BH交于G，∵将△ABE沿BE翻折得到△FBE，∴BF＝AB＝3，∵FH⊥BC，∴BH＝＝2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AB∥FH，∴△ABG∽△FHG，∴＝＝3，∴BG＝，HG＝，∴AG＝＝，∴FG＝，∴AF＝AG+GF＝2，A B C D答案A。

专题08翻折-中考母题题源系列(数学原卷版)

【母题来源】2015浙江嘉兴14【母题原题】如图，一张三角形纸片ABC，AB=AC=5.折叠该纸片使点A落在边BC的中点上，折痕经过AC 上的点E，则线段AE的长为________.【命题意图】本题考查翻折变换，即折叠问题，主要考查折叠的性质，垂直平分线等知识，综合性较强，有一些难度，考查学生分析问题、解决问题的能力以及建模能力．【方法、技巧、规律】图形翻折问题是指将某一图形没着某条直线翻折后得到新的几何图形，然后求解新图形中一些几何元素之间存在的数量关系的问题。

这类问题的实质就是图形的轴对称问题，处理这类问题关键是要掌握翻折前后哪些量变了，哪些量没变，有哪些条件能利用，也就是要找好前后全等的图形，相等的线段、相等的角等；有时通过翻折会出现角平分线、线段的中垂线等条件。

因此只要抓住了关键点，还是比较好解决的。

【探源、变式、扩展】可以改变问题的方式，也可以是在求解过程中加入方程思想.【变式】(2015·辽宁朝阳）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC的距离为（）A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．4或51.（2015·浙江金华）以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（）A．如图1，展开后测得∠1=∠2B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4C．如图3，测得∠1=∠2D．如图4，展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA=OB，OC=OD2.(2015·湖北襄阳)如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是（）A．AF＝AE B．△ABE≌△AGF C．EF＝．AF＝EF3.(2015·湖州)如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且☉O的半径长为1，则下列结论不成立的是( )A. CD+DF=4B. C D−−3 +4 D. BC−AB=24.（2015·黑龙江绥化）在矩形ABCD中，AB=4 , BC=3 , 点P在AB上。

专题07阅读理解-中考母题题源系列(数学原卷版)

【母题来源】2015浙江杭州19【母题原题】如图1，☉O 的半径为r(r>0)，若点P ′在射线OP 上，满足OP ′•OP=r 2，则称点P ′是点P 关于☉O 的“反演点”，如图2，☉O 的半径为4，点B 在☉O 上，∠BOA=60°，OA=8，若点A ′、B ′分别是点A ，B 关于☉O 的反演点，求A ′B ′的长图2图1A B O P 'P O【命题意图】本题主要考查利用圆的性质、等边三角形的性质与判定、勾股定理来解决新定义型问题。

【方法、技巧、规律】题目给出一些新定义，或者给出一段阅读材料，学生通过阅读，将材料所给出的信息加以整理，在此基础上，按照题目的要求进行推理解答。

考查内容有考查基础知识的，有考查学生自主学习能力，有考查学生探索能力的，有考查学生综合应用知识解决问题能力的。

能正确选择适当的知识来处理是解决此类问题的关键.【探源、变式、扩展】有些问题是通过学生动手通过操作来形成的，在这个过程中会形成自己独到的见解，然后利用这个见解来解决一些相关问题.【变式】(2015·辽宁朝阳）问题：如图（1），在Rt △ACB 中，∠ACB =90°，AC =CB ，∠DCE =45°，试探究AD 、DE 、EB 满足的等量关系．[探究发现]小聪同学利用图形变换，将△CAD 绕点C 逆时针旋转90°得到△CBH ，连接EH ，由已知条件易得∠EBH =90°，∠ECH =∠ECB +∠BCH =∠ECB +∠ACD =45°．根据“边角边”，可证△CEH ≌ ，得EH =ED ．在Rt △HBE 中，由定理，可得BH 2+EB 2=EH 2，由BH =AD ，可得AD 、DE 、EB 之间的等量关系是．[实践运用]（1）如图（2），在正方形ABCD 中，△AEF 的顶点E 、F 分别在BC 、CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，求∠EAF 的度数；（2）在（1）条件下，连接BD ，分别交AE 、AF 于点M 、N ，若BE =2，DF =3，BM =2，运用小聪同学探究的结论，求正方形的边长及MN 的长．1.(2015·温州)如图，在Rt ∠AOB 的平分线ON 上依次取点C ，F ，M ，过点C 作DE ⊥OC ，分别交OA ，OB 于点D ，E ，以FM 为对角线作菱形FGMH ，已知∠DFE=∠GFH=120°，FG=FE 。