微分学课件

定理 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导，
则复合函数 y = f ( (x)) 也可导. 且 或
或
y x yu u x，
y x f ( u) ( x )，
dy dy du . dx du dx
例：设 y e2 x ，则 y '
第二部分 一元函数微分学
一、 导数 二、 微分 三、 微分中值定理 四、 洛必塔法则
五、 导数的应用
一、导数的概念与性质
速度
是位移增量与时间增量之比的极限 变 化 率 问 题
加速度 是速度增量与时间增量之比的极限
角速度 是转角增量与时间增量之比的极限
线密度 是质量增量与长度增量之比的极限
电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限
f ( x0 5h) f ( x0 ) 等于_______。 h
B.
A.
6
0
C.
15
D.
10
3、 导数的几何意义
f ( x0 )表示曲线 y f ( x)在点M ( x0 , f ( x0 ))处的切线的斜率 tan .
y
y f ( x)
T
M
o

x0
x
在( x0 , f ( x0 ))处的
解： 两边先取对数： 1 ln y 2ln( x 1) ln( x 2 1) 2 1 2 1 2x y 2 y x 1 2 x 1
2 1 2 x 2 1 2 x ( x 1)2 y 2 y 2 x 1 2 x 1 x 1 2 x 1 x2 1
dy dx
12 y
y 'x
3
2 y'x 2 x 1

2 x 1 2x 1 12 y 3 2 12 y 3 2
.
例2. 求由方程
确定的隐函数
在 x = 0 处的导数 解: 方程两边对 x 求导
得5 y 4 y ' 2 y ' 1 21x 6 0
d y 1 21x 6 4 dx 5 y 2
因x=0时y=0, 故
例3. 求
的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐式
两边对 x 求导

1 sin x y cos x ln x y x sin x sin x y x (cos x ln x ) x
6、由参数方程所确定的函数的导数
x t et sin t 如函数 y ln t 4t tan t
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dy 1 ( t ) dx dt dx dt dx ( t ) dt
dy dy dt 即 dx dx dt
2 x t dy 例：设 （ t 为参数），求 3 dx y t
函数y f ( x)在x 0点不可导.
二、导数的运算
1、基本初等函数的导数公式
(1)C' 0
a
C为常数
a 1
(2)( x )' ax ;
1 1 ' 2 , x x
x ' 2
1 x
(3)(a x )' a x ln a(a 0, a 1)
x 1
______.
知识点：分清复合函数由哪几个“基本初等函数”复合而成，再按照 复合函数求导法则求导,最后要把中间变量换回 x 的函数。 解：设 u 2 x （幂函数） 则 y e u （指数函数）
u 2x 所以 y x yu u x e 2 2e
所以y x1 2e2
） )
A. y x 1 例. 曲线 y A、 x 0
B.
3
yx
C.
y x 1
D.
y x
x 在点 (0,0) 处的切线方程为(
B、 y 0
C、 x y
D、不存在
2 / y (1 x ) arctan x , y 例. 设 求
5、隐函数的导数（掌握）
现在讨论由方程 F ( x, y ) 0 所确定的隐函数 y y ( x)的 导数，由于 F ( x, y ( x)) 0，两边对 x 求导，即可解出 y ( x)，举例说明。
解
x3
的导数.
y eu , u x3 ,
dy dy du u 2 x3 2 e 3 x e 3 x . dx du dx
求函数 y ln sin x 的导数.
例2
Hale Waihona Puke 解 y ln u, u sin x .
dy dy du 1 cos x cot x cos x dx du dx u sin x
例3 解
求函数 y ( x 1) 的导数 . y u10 , u x 2 1 dy dy du dx du dx 10u9 2 x 10( x 2 1) 9 2 x 20 x( x 2 1) 9 .
2 10
例.
y ln(1 x) 在点（0，0）处的切线方程是（
（1）和（差）的导数：(u±v)′= 推广到有限个函数的情形：
u v,
(u+v+…+ω)′=
（2）积的导数：(uv)′= 特例：(cu)′=
u v ω .
uv uv ,
uv - uv (v≠0). v2
cu (c为常数).
u （3）商的导数： = v

1. 导数的定义 (双侧)导数定义
设 y f(x) 在某个U ( x0 )上有定义。若
f(x0 Δx) f(x0 ) f(x) f(x0 ) Δy lim lim lim ) Δx 0 Δx Δx 0 x x 0 Δx x x0 存在，则称 y f(x) 在 x0可导（或导数存在、有导数）， 并且称此极限为 y f(x) 在 x0 的导数 , 可记之为
例. 设 y
2 x 3t 2t 3 y(x ) 是由方程组 t 所确定的隐 e sin t y 1 0
函数，求 dx
dy
| t 0 。
7、 对数求导法
利用先取对数再求导的求导方法称为对数求导法。
例. 设 y ( x 1) 2 x 1
2
，求 y
根据导数的几何意义, 得切线斜率为 k y x 1 4
故曲线 y 2 x 2在点(1,2)处的切线方程为
y 2 4( x 1)
即 y 4x 2
4、 函数的可导性与连续性的关系
可导的函数一定是连续的． 反之不成立.即连续不一定可导．
比如 函数 f ( x ) x 在x 0处连续但不可导
f (0 x) f (0) x h x
解
lim
x 0
y
y x
f (0 x) f (0) x lim 1 h 0 x x
f (0 x) f (0) x lim lim 1 x 0 h0 x x
o
x
即 f (0) f (0)
x e (e )'
x
(4)(log a | x | )'
(ln | x | )'
(5)(sin x)' cos x;
1 ; x ln a 1 ; x
(6)(cos x)' sin x;
(7)(tan x)' sec2 x;
(8)(cot x)' csc2 x;
(9)(sec x)' sec x tan x;
例：求曲线 y e x在点(0,1)处的切线的斜率k.
解：设 u x （幂函数） 则 y e u （指数函数）
u x 所以 y y u e （ 1 ） e x u x
根据导数的几何意义, 得切线斜率为k y
x 0
1
例1 求函数 y e
t 1
dy 3t 2 3t dy dt 解：因为 dx dx 2t 2 dt dy 3 3 所以 t t 1 t 1 dx 2 2 3 另解：先消参数t，化为y为x的方程：y x 2
1 3 3 3 1 2 y x x2 2 2 当t 1 时，x 1(变量转换） dy dy 3 所以 t 1 x 1 dx dx 2 '
x x0
y x x 0 ,
注意
f (x0 ) ,
dy dx
df x x0 , dx
.
“导数为”时不可导，即导数不存在。
单侧导数 左导数 右导数
f ( x0 x) f ( x0 ) y f ( x0 ) lim lim x 0 x x 0 x f ( x0 x) f ( x0 ) y f ( x0 ) lim lim x 0 x x 0 x
x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系 , y (t ) 称此为由参数方程所确定的函数.
x 2t , x 例如 消去参数 t t 2 y t , 2 2 1 x 2 x 2 yt ( ) y x 2 4 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
很明显
f ( x0 ) f ( x)
x x0
如果f ( x ) 在开区间 (a, b)内可导,且 （ 2）
f (a)及 f (b)
都存在,就说 f ( x)在闭区间 [a, b] 上可导.
例
lim
h 0