复习构想高三文科科一轮复习资料4-5不等式4-5-1

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【赢在微点】高三数学(文)一轮复习练习：选4-5-1绝对值不等式(含答案解析)

配餐作业(选修4－5－1) 绝对值不等式1．已知函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －3|－m 的定义域为R 。

(1)求实数m 的取值范围；(2)若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足23a ＋b ＋1a ＋2b＝n 时，求7a ＋4b 的最小值。

解析：(1)∵函数定义域为R ，∴|x ＋1|＋|x －3|－m≥0恒成立，设函数g(x)＝|x ＋1|＋|x －3|，则m 不大于函数g(x)的最小值，又|x ＋1|＋|x －3|≥|(x ＋1)－(x －3)|＝4，即g(x)的最小值为4，∴m≤4。

(2)由(1)知n ＝4，∴7a ＋4b ＝14(6a ＋2b ＋a ＋2b)⎝⎛⎭⎫23a ＋b ＋1a ＋2b ＝ 14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋＋a ＋2b ＋＋3a ＋b ≥ 14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2×23a ＋b a ＋2b ·a ＋2b 3a ＋b ＝94，当且仅当a ＋2b ＝3a ＋b ，即b ＝2a ＝310时取等号。

∴7a ＋4b 的最小值为94。

2．(2016·山西四校二联)已知函数f(x)＝|x ＋3|－m ，m ＞0，f(x －3)≥0的解集为(－∞，－2]∪[2，＋∞)。

(1)求m 的值；(2)若∃x ∈R ，f(x)≥|2x －1|－t 2＋32t ＋1成立，求实数t 的取值范围。

解析：(1)∵f(x)＝|x ＋3|－m ，∴f(x －3)＝|x|－m≥0，∵m ＞0，∴x≥m 或x≤－m ，又f(x －3)≥0的解集为(－∞，－2]∪[2，＋∞)。

故m ＝2。

(2)f(x)≥|2x －1|－t 2＋32t ＋1等价于不等式|x ＋3|－|2x －1|≥－t 2＋32t ＋3，令g(x)＝|x ＋3|－|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －4，x≤－3，3x ＋2，－3＜x ＜12，－x ＋4，x≥12，故g(x)max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝72，则有72≥－t 2＋32t ＋3，即2t 2－3t ＋1≥0，解得t≤12或t≥1，即实数t 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[1，＋∞)。

2019年高考数学一轮复习(文理通用) 选修4-5 不等式选讲选修4-5 第1讲

• [解析] 解法一：y＝|x－4|＋|x－6|＝|4－x|＋|x－6|≥|(4－ x)＋(x－6)|＝2. • 解法二：|x－4|＋|x－6|表示在数轴上，x对应的点到4与6 对应点的距离之和，随着x在数轴上的移动易看出|x－4|＋ |x－6|≥2，故选A．
5．(2015· 山东)不等式|x－1|－|x－5|＜2 的解集是导学号 58533684 ( A ) A．(－∞，4) C．(1,4) B．(－∞，1) D．(1,5)
选考内容
选修4-5 不等式选讲
第一讲绝对值不等式
• 五年新课标全国卷试题分析
高考考点分布示例图
命题特点 1.本章在高考中只考查一个大题，以解答题的形式出现，占10分. 2.高考主要考查绝对值不等式的解法，求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查学生的基本运算能力与推理论证能力以及数形结合思想、分类讨论思想. 3.从命题趋势来看，估计2019年高考，绝对值不等式问题仍然是考查的热点问题，不等式的证明更是不可缺少，
1．下列结论正确的个数为导学号 58533680 ( D ) (1)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当 a＞b＞0 时等号成立． (2)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当 ab≤0 时等号成立． (3)|ax＋b|≤c 的解等价于－c≤ax＋b≤c. (4)若|x|＞c 的解集为 R，则 c≤0. (5)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2 的解集为∅. A．0 C．2 B．1 D．3
[ 解析]
(1)原不等式等价于
1<x－2≤3 或－3≤x－2<－1，解得 3<x≤5 或－1≤x<1. 所以原不等式的解集是{x|－1≤x<1 或 3<x≤5}． (2)方法一：原不等式可化为|2x＋1|>2|x－1|，两边平方得 4x2＋4x＋1>4(x2－2x＋1)， 1 解得 x>4， 1 所以原不等式的解集为{x|x>4}．

高三数学(文)湘教一轮复习精品学案：选修4-5 不等式选讲

选修4－5 不等式选讲第一节绝对值不等式1．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． (2)定理2：如果a ，b ，c 是实数，则|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集：①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c (c >0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．1．对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件．对|a ＋b |≥|a |－|b |，当且仅当a >－b >0时，等号成立，对|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，如果a <－b <0当且仅当|a |≥|b |且ab ≥0时左边等号成立，当且仅当ab ≤0时右边等号成立．2．形如|x －a |＋|x －b |≥c (c >0)的不等式解法在讨论时应注意分类讨论点处的处理及c 的符号判断，若c <0则不等式解集为R.[试一试]1．已知不等式|2x －t |＋t －1<0的解集为(－12，12)，求t 的值．解：|2x －t |<1－t ，t －1<2x －t <1－t ， 2t －1<2x <1，t －12<x <12，∴t ＝0.2．设不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，求实数k 的取值范围．解：法一：根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，则原不等式等价于|P A |－|PB |>k 恒成立．∵|AB |＝3，即|x ＋1|－|x －2|≥－3.故当k <－3时，原不等式恒成立．法二令y ＝|x ＋1|－|x －2|，则y ＝⎩⎨⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <23，x ≥2，，要使|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，从图像中可以看出，只要k <－3即可．故k 的取值范围为k <－3.含绝对值不等式的常用解法1．基本性质法：对a ∈R ＋，|x |<a ⇔－a <x <a ，|x |>a ⇔x <－a 或x >a . 2．平方法：两边平方去掉绝对值符号．3．零点分区间法(或叫定义法)：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．4．几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解． 5．数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．[练一练]1．在实数范围内，解不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6. 解：法一分类讨论去绝对值号解不等式．当x >12时，原不等式转化为4x ≤6⇒x ≤32；当－12≤x ≤12时，原不等式转化为2≤6，恒成立；当x <－12时，原不等式转化为－4x ≤6⇒x ≥－32.综上知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32.法二利用几何意义求解．原不等式可化为⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12≤3，其几何意义为数轴上到12，－12两点的距离之和不超过3的点的集合，数形结合知，当x ＝32或x ＝－32时，到12，－12两点的距离之和恰好为3，故当－32≤x ≤32时，满足题意，则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32.2．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，求实数a 的取值范围．解：利用绝对值不等式的性质求解． ∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|，要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3，∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4.绝对值不等式的解法1.解：原不等式等价于|x －2|>|x －1|，则(x －2)2>(x －1)2，解得x <32.2．(2013·西安质检)若关于x 的不等式|x －a |<1的解集为(1,3)，求实数a 的值．解：原不等式可化为a －1<x <a ＋1，又知其解集为(1,3)，所以通过对比可得a ＝2. 3．如果关于x 的不等式|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集，求实数a 的取值范围．解：注意到||x －3|－|x －4||≤|(x －3)－(x －4)|＝1，－1≤|x －3|－|x －4|≤1.若不等式|x －3|－|x －4|<a 的解集是空集，则有|x －3|－|x －4|≥a 对任意的x ∈R 都成立，即有(|x －3|－|x －4|)min ≥a ，a ≤－1.因此，由不等式|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集可得，实数a 的取值范围是a >－1. [类题通法]利用零点分类讨论法解绝对值不等式时，注意分类讨论时要不重不漏．绝对值不等式的证明[典例] ，不等式f (x )<4M . (1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |<|4＋ab |. [解] (1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1，当x <－1时，由－2x <4，得－2<x <－1；当－1≤x ≤1时，f (x )＝2<4，∴－1≤x ≤1；当x >1时，由2x <4，得1<x <2，∴M ＝(－2,2)．(2)证明：a ，b ∈M 即－2<a <2，－2<b <2.∵4(a ＋b )2－(4＋ab )2＝4(a 2＋2ab ＋b 2)－(16＋8ab ＋a 2b 2)＝(a 2－4)·(4－b 2)<0，∴4(a ＋b )2<(4＋ab )2，∴2|a ＋b |<|4＋ab |.解：由f (x )≥0知a ≤|x ＋1|＋|x －1|，又|x ＋1|＋|x －1|≥|(x ＋1)－(x －1)|＝2，∴a ≤2. 故a 的取值范围为(2，＋∞)． [类题通法]证明绝对值不等式主要有三种方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明； (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明； (3)转化为函数问题，数形结合进行证明． [针对训练](2014·乌鲁木齐高三诊断性测验)设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|. (1)求证：f (x )≥1； (2)若f (x )＝a 2＋2a 2＋1成立，求x 的取值范围．解：(1)证明：f (x )＝|x －1|＋|x －2|≥|(x －1)－(x －2)|＝1.(2)∵a 2＋2a 2＋1＝a 2＋1＋1a 2＋1＝a 2＋1＋1a 2＋1≥2，∴要使f (x )＝a 2＋2a 2＋1成立，需且只需|x －1|＋|x －2|≥2，即⎩⎪⎨⎪⎧ x <1，1－x ＋2－x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x <2，x －1＋2－x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －1＋x －2≥2，解得x ≤12或x ≥52，故x 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞. 绝对值不等式的综合应用[典例] ＋a |，g (x )＝x ＋(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0.设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎨⎧－5x ，x ＜12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x ＞1.其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0.所以原不等式的解集是{x |0＜x＜2}．(2)当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3. 所以x ≥a －2对x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12都成立．故－a 2≥a －2，即a ≤43.从而a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－1，43. [类题通法]1．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法．2．对于求y ＝|x －a |＋|x －b |或y ＝|x ＋a |－|x －b |型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y ＝|x －a |＋|x －b |的函数只有最小值，形如y ＝|x －a |－|x －b |的函数既有最大值又有最小值．[针对训练](2013·辽宁模拟)已知f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－1时，解关于x 的不等式f (x )>5；(2)已知关于x 的不等式f (x )＋a <2 014(a 是常数)的解集是非空集合，求实数a 的取值范围．解：(1)构造函数g (x )＝|x －1|＋|x －2|－5，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2(x ≤1)，－4(1<x <2)，2x －8(x ≥2).令g (x )>0，则x <－1或x >4，∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)． (2)∵f (x )＋a ＝|x ＋a |＋|x －2|＋a ≥|a ＋2|＋a ，又关于x 的不等式f (x )＋a <2 014的解集是非空集合， ∴|a ＋2|＋a <2 014，解得a<1 006.[课堂练通考点]1．(2013·江西高考改编)在实数范围内，解不等式||x －2|－1|≤1. 解：依题意得－1≤|x －2|－1≤1，即|x －2|≤2，解得0≤x ≤4. 故x 的取值范围是[0,4]．2．(2013·重庆高考改编)若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，求实数a 的取值范围．解：|x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8，故a ≤8.3．(2014·南昌模拟)若对任意的a ∈R ，不等式|x |＋|x －1|≥|1＋a |－|1－a |恒成立，求实数x 的取值范围．解：由|1＋a |－|1－a |≤2得|x |＋|x －1|≥2，当x <0时，－x ＋1－x ≥2，x ≤－12；当0≤x ≤1时，x ＋1－x ≥2，无解；当x >1时，x ＋x －1≥2，x ≥32.综上，x ≤－12或x ≥32.故实数x 的取值范围是－∞，－12∪32，＋∞.4．(2014·西安检测)已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m .若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，求m 的取值范围．解：函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，即为|x －2|>－|x ＋3|＋m 对任意实数x 恒成立，即|x －2|＋|x ＋3|>m 恒成立．因为对任意实数x 恒有|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5，所以m <5，即m 的取值范围是(－∞，5)．5．(2013·辽宁模拟)已知实数t ，若存在t ∈[12，3]使得不等式|t －1|－|2t －5|≥|x －1|＋|x －2|成立，求实数x 的取值范围．解：∵t ∈[12，3]，∴|t －1|－|2t －5|＝⎩⎨⎧－t ＋4，t ≥52，3t －6，1<t <52，t －4，t ≤1，可得其最大值为32.∴只需解不等式|x －1|＋|x －2|≤32即可，当x ≥2时，可解得2≤x ≤94，当1<x <2时不等式恒成立，当x ≤1时可解得34≤x ≤1，综上可得x 的取值范围为[34，94]．[课下提升考能]1．(2013·福建高考)设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．解：(1)因为32∈A ，且12∉A ，所以⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪12－2≥a ，解得12<a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1.(2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号．所以f (x )的最小值为3.2．(2014·哈师大附中模拟)设函数f (x )＝|x －a |＋2x ，其中a >0. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥2x ＋1的解集；(2)若x ∈(－2，＋∞)时，恒有f (x )>0，求a 的取值范围．解：(1)a ＝2时，|x －2|＋2x ≥2x ＋1，∴|x －2|≥1，∴x ≥3或x ≤1. ∴不等式的解集为(－∞，1]∪[3，＋∞)．(2)依题意，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －a ，x ≥a ，x ＋a ，x <a ，∵a >0，∴当x >－2时，f (x )≥x ＋a >－2＋a ，要使f (x )>0，只需－2＋a ≥0即可，∴a ≥2.故a 的取值范围为[2，＋∞)． 3．已知函数f (x )＝|x －1|.(1)解关于x 的不等式f (x )＋x 2－1>0；(2)若g (x )＝－|x ＋3|＋m ，f (x )<g (x )的解集非空，求实数m 的取值范围．解：(1)由题意原不等式可化为：|x －1|>1－x 2，即x －1>1－x 2或x －1<x 2－1，由x －1>1－x 2得x >1或x <－2；由x －1<x 2－1得x >1或x <0. 综上，原不等式的解为x >1或x <0.(2)原不等式等价于|x －1|＋|x ＋3|<m 的解集非空．令h (x )＝|x －1|＋|x ＋3|，即h (x )min <m ，又|x －1|＋|x ＋3|≥|x －1－x －3|＝4，所以h (x )min ＝4，所以m >4.4．设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋2|－a . (1)当a ＝5时，求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的定义域为R ，试求a 的取值范围．解：(1)当a ＝5时，f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋2|－5，由|x ＋1|＋|x ＋2|－5≥0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，2x －2≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤x <－1，－4≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，－8－2x ≥0，解得x ≥1或x ≤－4.即函数f (x )的定义域为{x |x ≥1或x ≤－4}．(2)由题可知|x ＋1|＋|x ＋2|－a ≥0恒成立，即a ≤|x ＋1|＋|x ＋2|恒成立，而|x ＋1|＋|x ＋2|≥|(x ＋1)－(x ＋2)|＝1，所以a ≤1，即a 的取值范围为(－∞，1]．5．(2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由f (x )≤3得，|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2，所以当x <－3时，g (x )>5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x >2时，g (x )>5. 综上可得，g (x )的最小值为5.从而若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．6．(2013·河北模拟)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )满足下列条件： ①当x ∈R 时，f (x )的最小值为0，且f (x －1)＝f (－x －1)恒成立； ②当x ∈(0,5)时，x ≤f (x )≤2|x －1|＋1恒成立． (1)求f (1)的值； (2)求f (x )的解析式；(3)求最大的实数m (m >1)，使得存在实数t ，当x ∈[1，m ]时，f (x ＋t )≤x 恒成立．解：(1)在②中令x ＝1，有1≤f (x )≤1，故f (1)＝1.(2)由①知二次函数的图象关于直线x ＝－1对称，且开口向上，故设此二次函数为f (x )＝a (x ＋1)2(a >0)．因为f (1)＝1，所以a ＝14，所以f (x )＝14(x ＋1)2.(3)f (x )＝14(x ＋1)2的图象开口向上，而y ＝f (x ＋t )的图象是由y ＝f (x )的图象向左或向右平移|t |个单位得到的，要在区间[1，m ]上使得y ＝f (x ＋t )的图象在y ＝x 的图象下方，且m 最大，则1和m 应当是方程14(x ＋t ＋1)2＝x的两个根．令x ＝1代入方程，得t ＝0或－4.当t ＝0时，方程的解为x 1＝x 2＝1(这与m >1矛盾，舍去)；当t ＝－4时，方程的解为x 1＝1，x 2＝9，所以m ＝9.又当t ＝－4时，对任意x ∈[1,9]，y ＝f (x －4)－x ＝14(x －3)2－x ＝14(x 2－10x ＋9)＝14(x －5)2－4≤0，即f (x －4)≤x 恒成立．所以最大的实数m 为9.第二节不等式的证明1．不等式证明的方法 (1)比较法： ①求差比较法：知道a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0，因此要证明a >b 只要证明a －b >0即可，这种方法称为求差比较法．②求商比较法：由a >b >0⇔a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时，要证明a >b ，只要证明ab >1即可，这种方法称为求商比较法．(2)综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法．(3)分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法．(4)反证法和放缩法：①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫作反证法．②证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法叫作放缩法．2．几个常用基本不等式 (1)柯西不等式：①柯西不等式的代数形式：设a 1，a 2，b 1，b 2均为实数，则(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2(当且仅当a 1b 2＝a 2b 1时，等号成立)．②柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|. ③二维形式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么 x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.④柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0或存在一个数k ，使a i ＝kb i (i＝1,2，…，n )时，等号成立．(2)平均值不等式：定理：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．我们称a ＋b ＋c 3为正数a ，b ，c 的算术平均值，3abc 为正数a ，b ，c 的几何平均值，定理中的不等式为三个正数的算术—几何平均值不等式，简称为平均值不等式．2．一般形式的算术—几何平均值不等式：如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a nn ≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．1．使用柯西不等式或平均值不等式时易忽视等号成立的条件． 2．易混淆分析法与综合法，分析法是执果索因，综合法是由因导果． [试一试]1．已知x 2＋y 2＝10，求3x ＋4y 的最大值．解：∵(32＋42)(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )2，当且仅当3y ＝4x 时等号成立，∴25×10≥(3x ＋4y )2，∴(3x ＋4y )max ＝510.2．已知a ，b ，c ∈R ＋，比较1a ＋1b ＋1c 与1ab ＋1bc ＋1ac的大小．解：2⎛⎫ ⎪⎝⎭111＋＋a b c ＝⎛⎫ ⎪⎝⎭11＋a b ＋⎛⎫ ⎪⎝⎭11＋b c ＋⎛⎫ ⎪⎝⎭11＋c a ＋1≥2ab ＋2bc ＋2ca .所以1a ＋1b ＋1c ≥1ab ＋1bc ＋1ac.放缩法证明不等式的技巧(1)放缩法原理简单，但放缩技巧性强，而且应用广泛，常用的放缩法有增项、减项，利用分式的性质、函数的性质、不等式的性质等．其理论依据是不等式的传递性，使用此方法时要注意把握放大或缩小的度．(2)常见的放缩技巧有： ①1k (k －1)>1k 2>1k (k ＋1)(k ≥2，k ∈N *)；②2k －1＋k >22k >2k ＋k ＋1(k ≥2，且k ∈N *)．[练一练]设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，试比较M 与1的大小．解：∵210＋1>210,210＋2>210，…，211－1>210， ∴M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<个101010102111＋…＋222＝1. 即M <1.比较法证明不等式1.设t ＝a ＋解：∵s －t ＝a ＋b 2＋1－a －2b ＝b 2－2b ＋1＝(b －1)2≥0，∴s ≥t . 2．已知c >b >a ，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a <ab 2＋bc 2＋ca 2. 证明：ab 2＋bc 2＋ca 2－(a 2b ＋b 2c ＋c 2a ) ＝a (b 2－c 2)＋b (c 2－a 2)＋c (a 2－b 2) ＝a (b 2－c 2)＋b (c 2－b 2＋b 2－a 2)＋c (a 2－b 2) ＝a (b 2－c 2)＋b (c 2－b 2)＋b (b 2－a 2)＋c (a 2－b 2)＝(c 2－b 2)(b －a )＋(b 2－a 2)(b －c ) ＝(b －a )·(c －b )[b ＋c －(b ＋a )] ＝(b －a )(c －b )(c －a )．∵c >b >a ，∴b －a >0，c －b >0，c －a >0. ∴ab 2＋bc 2＋ca 2>a 2b ＋b 2c ＋c 2a . 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a <ab 2＋bc 2＋ca 2.3．求证：当a ，b ∈(0，＋∞)时，a a b b≥(ab ) 2a b＋.证明：2a b a b a b ab ()＋＝a2a b －b2b a －＝⎝⎛⎭⎫a b 2a b－，当a ＝b 时，⎝⎛⎭⎫a b 2a b－＝1.当a >b >0时，ab >1，a －b 2>0，则⎝⎛⎭⎫a b 2a b－>1.当b >a >0时，0<ab <1，a －b 2<0，则⎝⎛⎭⎫a b 2a b－>1.综上可知，当a ，b ∈(0，＋∞)时，a a b b≥(ab )a ＋b2成立．[类题通法]对于多项式的大小比较问题通常可以用比较法，而比较法中最常用的是作差法和作商法．作差法中作差后的关键是对差的符号进行判断，通常运用配方、因式分解等方法，作商法要注意两式的符号．[典例] (1)已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.(2)已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a .[证明] (1)法一 1a ＋1b ＋1c ＝(a ＋b ＋c )111a b c ⎛⎫⎪⎝⎭＋＋≥3·3abc ·3·31abc ＝9(当且仅当a＝b ＝c ＝13时等号成立)．法二1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋cc＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9(当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．)(2)要证b 2－ac <3a ，只需证b 2－ac <3a 2. ∵a ＋b ＋c ＝0，只需证b 2＋a (a ＋b )<3a 2，只需证2a 2－ab －b 2>0，只需证(a －b )(2a ＋b )>0，只需证(a －b )(a －c )>0. ∵a >b >c ，∴a －b >0，a －c >0.∴(a －b )(a －c )>0显然成立，故原不等式成立．证明：⎝⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎭⎫b ＋1b 2＋⎝⎭⎫c ＋1c 2 ＝13(12＋12＋12)·222111a b c a b c⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦＋＋＋＋＋ ≥13⎣⎡⎦⎤1×⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋1×⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＋1×⎝⎛⎭⎫c ＋1c 2 ＝13⎣⎡⎦⎤1＋(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2 ＝13⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫3＋b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋c a ＋a c 2 ≥13⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫3＋2 b a ·a b＋2 c b ·b c＋2 a c ·c a 2 ＝13×(1＋9)2＝1003. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．[类题通法]分析法与综合法常常结合使用，实际是以分析法为主，借助综合法，使证明的问题明朗化．[针对训练]已知a>0，b>0,2c>a＋b，求证：c－c2－ab<a<c＋c2－ab.证明：法一(分析法)要证c－c2－ab<a<c＋c2－ab，即证－c2－ab<a－c<c2－ab，即证|a－c|<c2－ab，即证(a－c)2<c2－ab，即证a2－2ac<－ab.因为a>0，所以只要证a－2c<－b，即证a＋b<2c.由已知条件知，上式显然成立，所以原不等式成立．法二(综合法)因为a＋b<2c，所以a－2c<－b.又因为a>0，所以a2－2ac<－ab，所以(a－c)2<c2－ab，所以|a－c|<c2－ab，所以－c2－ab<a－c<c2－ab，所以c－c2－ab<a<c＋c2－ab.放缩法证明不等式[典例]个正数x1，x2，x3，…，n x1＋x2＋x3＋…＋x n＝1.求证：1x1－x31＋1x2－x32＋1x3－x33＋…＋1x n－x3n>4.[证明]∵0<x i<1，∴1x i－x3i >1x i，其中i＝1,2,3，…，n，∴1x 1－x 31＋1x 2－x 32＋1x 3－x 33＋…＋1x n －x 3n >1x 1＋1x 2＋1x 3＋…＋1x n ≥n n 1x 1x 2x 3…x n . ∵ nx 1x 2x 3…x n ≤x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n n ＝1n ，∴n1x 1x 2x 3…x n≥n ，∴1x 1－x 31＋1x 2－x 32＋1x 3－x 33＋…＋1x n －x 3n >n 2≥22＝4， ∴1x 1－x 31＋1x 2－x 32＋1x 3－x 33＋…＋1x n －x 3n >4. [类题通法]放缩法证明不等式时，常见的放缩依据和技巧是不等式的传递性．缩小分母、扩大分子，分式值增大；缩小分子、扩大分母，分式值减小；每一次缩小其和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头．[针对训练]设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <1.证明：由2n ≥n ＋k >n (k ＝1,2，…，n )，得12n ≤1n ＋k <1n .当k ＝1时，12n ≤1n ＋1<1n ；当k ＝2时，12n ≤1n ＋2<1n ；…当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n <1n，∴12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <n n＝1. 柯西不等式求最值[典例] (2014·南通模拟)若正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2的最小值．[解] 由柯西不等式知：⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2[(3a ＋2)＋(3b ＋2)＋(3c ＋2)]≥ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋2×3a ＋2＋13b ＋2×3b ＋2＋13c ＋2×3c ＋22＝32＝9.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2[3(a ＋b ＋c )＋6]≥9，即⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2×9≥9. ∴13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2≥1. 当且仅当3a ＋2＝3b ＋2＝3c ＋2，即a ＝b ＝c ＝13时，取到最小值1.[类题通法]利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝⎛⎭⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．[针对训练]已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，求证：1≤a ≤2. 证明：由柯西不等式得(2b 2＋3c 2＋6d 2)⎝⎛⎭⎫12＋13＋16≥(b ＋c ＋d )2，即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2，由已知可得2b 2＋3c 2＋6d 2＝5－a 2，b ＋c ＋d ＝3－a ， ∴5－a 2≥(3－a )2，即1≤a ≤2. 当且仅当2b 12＝3c 13＝6d16，即2b ＝3c ＝6d 时等号成立．[课堂练通考点]1．(2013·陕西高考改编)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，求(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值．解：(am ＋bn )(bm ＋an )＝ab (m 2＋n 2)＋mn (a 2＋b 2)≥2abmn ＋mn (a 2＋b 2)＝4ab ＋2(a 2＋b 2)＝2(2ab ＋a 2＋b 2)＝2(a ＋b )2＝2(当且仅当m ＝n ＝2时取等号)．即所求最小值为2.2．已知x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，试利用柯西不等式判断a 2＋b 2与(x ＋y )2的大小关系．解：∵x 2a 2＋y 2b2＝1，∴a 2＋b 2＝(a 2＋b 2)⎝⎛⎭⎫x 2a 2＋y 2b 2≥⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ·x a ＋⎝⎛⎭⎫b ·y b 2＝(x ＋y )2. 故a 2＋b 2≥(x ＋y )2. 3．设x ，y ，z 均为实数，求2x ＋y －z x 2＋2y 2＋z 2的最大值．解：由柯西不等式知(x 2＋2y 2＋z 2)2()⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦2221＋＋－≥(2x ＋y －z )2⇒(2x ＋y －z )x 2＋2y 2＋z 2≤222. 当且仅当x2＝2y ＝－z >0时等号成立．即所求最大值为222. 4．(2013·全国卷Ⅱ)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1，所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. [课下提升考能]1．已知x ，y ，z ∈R ，若x 4＋y 4＋z 4＝1，求证：x 2＋y 2＋z 2≤ 3.证明：x ，y ，z ∈R ，且x 4＋y 4＋z 4＝1为定值，利用柯西不等式得到 (x 2＋y 2＋z 2)2≤(12＋12＋12)[(x 2)2＋(y 2)2＋(z 2)2]．从而(x 2＋y 2＋z 2)2≤3⇒x 2＋y 2＋z 2≤ 3. 当且仅当x 21＝y 21＝z 21时取“＝”号，又x 4＋y 4＋z 4＝1，所以x 2＝y 2＝z 2＝33时取“＝”号． 2．(2014·大连模拟)已知a >0，b >0，c >0，a ＋b >c . 求证：a 1＋a ＋b 1＋b >c1＋c. 证明：∵a >0，b >0，∴a 1＋a >a 1＋a ＋b ，b 1＋b >b 1＋a ＋b . ∴a1＋a ＋b1＋b >a ＋b1＋a ＋b . 而函数f (x )＝x 1＋x ＝1－11＋x在(0，＋∞)上递增，且a ＋b >c ，∴f (a ＋b )>f (c )，则a ＋b1＋a ＋b >c 1＋c ，所以a 1＋a ＋b 1＋b >c 1＋c ，故原不等式成立．3．已知a ≥b >0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .证明：2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )．因为a ≥b >0，所以a －b ≥0，a ＋b >0,2a ＋b >0，从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，即2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .4．已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：b 2a ＋c 2b ＋a 2c≥cb a＋a c b＋b a c.证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴b 2a ＋c 2b ≥2b 2a ·c 2b ＝2c b a，同理，c 2b ＋a 2c≥2ac b ，a 2c ＋b 2a≥2b a c ，三式相加可得b 2a ＋c 2b ＋a 2c≥cb a＋a c b＋b a c. 5．已知f (x )＝1＋x 2，a ≠b ，求证|f (a )－f (b )|<|a －b |. 证明：∵|f (a )－f (b )|＝|1＋a 2－1＋b 2|＝|a 2－b 2|1＋a 2＋1＋b2＝|a －b ||a ＋b |1＋a 2＋1＋b2.又|a ＋b |≤|a |＋|b |＝a 2＋b 2<1＋a 2＋1＋b 2.∴|a ＋b |1＋a 2＋1＋b2<1.∵a ≠b ，∴|a －b |>0，∴|f (a )－f (b )|<|a －b |.6．设a ，b ，c 均为正实数，求证：12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b .证明：∵a ，b ，c 均为正实数，∴12⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ≥12ab ≥1a ＋b，当且仅当a ＝b 时等号成立； 12⎝⎛⎭⎫12b ＋12c ≥12bc ≥1b ＋c，当且仅当b ＝c 时等号成立； 12⎝⎛⎭⎫12c ＋12a ≥12ca ≥1c ＋a，当且仅当c ＝a 时等号成立；三个不等式相加即得12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b ，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．。

高考数学一轮复习选考部分选修4—5不等式选讲教学案

选修4—5 不等式选讲考纲要求1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： (1)|a ＋b |≤|a |＋|b |；(2)|a －b |≤|a －c |＋|c －b |.2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≥c .3．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．1．含____________的不等式叫作绝对值不等式．2．解含有绝对值的不等式关键是去掉绝对值符号，基本方法有如下几种：(1)分段讨论：根据|f (x )|＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，f x ≥0，－f x ，f x <0去掉绝对值符号．(2)利用等价不等式：|ax ＋b |≤c (c ＞0)⇔________； |ax ＋b |≥c (c ＞0)⇔__________.(3)两端同时平方：即运用移项法则，使不等式两边都变为非负数．．．，再平方，从而去掉绝对值符号．3．定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当______时，等号成立． 4．定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当__________时，等号成立．5．|x －a |的几何意义：数轴上表示数x 与a 的两点间的______．6．形如|x －a |＋|x －b |≥c (a ≠b )与|x －a |＋|x －b |≤c (a ≠b )的绝对值不等式的解法主要有三种：(1)运用绝对值的几何意义； (2)零点分区间讨论法；(3)构造分段函数，结合函数图像求解．7．重要绝对值不等式：||a |－|b ||≤|a ±b |≤________. 使用时(特别是求最值)要注意等号成立的条件，即 |a ＋b |＝|a |＋|b |⇔ab ≥0； |a －b |＝|a |＋|b |⇔ab ≤0；|a |－|b |＝|a ＋b |⇔b (a ＋b )≤0； |a |－|b |＝|a －b |⇔b (a －b )≥0；注：|a |－|b |＝|a ＋b |⇔|a |＝|a ＋b |＋|b |⇔|(a ＋b )－b |＝|a ＋b |＋|b |⇔b (a ＋b )≤0.同理可得|a |－|b |＝|a －b |⇔b (a －b )≥0.1．(2012天津高考)集合A ＝{ x ∈R |}|x －2|≤5中的最小整数为__________． 2．若存在实数x 满足|x －3|＋|x －m |＜5，则实数m 的取值范围为__________．3．设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |(a ＞0)．若不等式f (x )≥5的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞)，则a 的值为__________．4．若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＞|a －2|＋1对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是__________．5．设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|，f (x )＞2的解集为__________；若不等式a ＞f (x )有解，则实数a 的取值范围是__________．一、含有一个绝对值的不等式的解法【例1】已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，则a ＝__________；若⎪⎪⎪⎪⎪⎪fx －2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，则k 的取值范围是__________．方法提炼1．解含绝对值的不等式的关键是去掉绝对值符号．对于只含有一个绝对值的不等式，可先将其转化成形如|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c 的形式，再根据绝对值的意义，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式(或不等式组)求解；也可利用绝对值的几何意义或函数图像法求解．2．已知不等式的解集求字母的值，可先用字母表示解集，再与原解集对比即得字母的值．请做演练巩固提升1二、含有两个绝对值的不等式的解法【例2】设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |，若a ＝－1，则不等式f (x )≥3的解集为__________；若f (x )≥2，则a 的取值范围是__________．方法提炼1．解含两个绝对值符号的不等式，可先将其转化为|x －a |＋|x －b |≥c 的形式，对于这种绝对值符号里是一次式的不等式，一般有三种解法，分别是“零点划分法”“利用绝对值的几何意义法”和“利用函数图像法”．此外，有时还可采用平方法去绝对值，它只有在不等式两边均为正的情况下才能使用．2．绝对值不等式|x －a |≥c (c ＞0)表示数轴上到点a 的距离不小于c 的点的集合；反之，绝对值|x －a |＜c (c ＞0)表示数轴上到点a 的距离小于c 的点的集合．3．“零点划分法”是解绝对值不等式的最基本方法，一般步骤是： (1)令每个绝对值符号里的代数式等于零，求出相应的根；(2)把这些根按由小到大进行排序，n 个根把数轴分为n ＋1个区间；(3)在各个区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．请做演练巩固提升2三、利用绝对值的几何意义或含绝对值的函数图像解不等式【例3】已知函数f (x )＝|x －8|－|x －4|，则不等式|x －8|－|x －4|＞2的解集为_______．方法提炼1．不等式|x －a |＋|x －b |≥c 表示数轴上到两个定点a ，b 的距离之和不小于c 的点的集合；反之，不等式|x －a |＋|x －b |＜c 表示数轴上到两个定点a ，b 的距离之和小于c 的点的集合．2．构造形如f (x )＝|x －a |＋|x －b |的函数，通过去掉绝对值，将其转化成分段函数，利用其图像求解不等式，体现了函数与方程的思想．请做演练巩固提升3等价转化思想在解含绝对值不等式中的应用【典例】已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，不等式f (x )≥3的解集为__________；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，则a 的取值范围为__________．解析：(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2＜x ＜3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1}∪{x |x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|⇔4－x－(2－x)≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a.由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．答案：(1){x|x≤1或x≥4}(2)[－3,0]答题指导：1.本题第(1)问较简单，一般用零点划分法就可以转化，第(2)问容易犯直接求解f(x)≤|x－4|的解集的错误，应该是利用[1,2]是其解集而将绝对值先去掉再转化为[1,2]⊆[－2－a,2－a]这一问题，注意不要弄反．2．等价转化思想在数学中是一重要的数学思想方法之一，应用其思想的关键是强调“等价”两字，转化的目的是使问题简单化．1．设集合A＝{x||x－a|＜1，x∈R}，B＝{x||x－b|＞2，x∈R}．若A⊆B，则实数a，b满足的绝对值不等式是__________．2．(2012陕西高考)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是______________．3．对于x∈R，不等式|x＋10|－|x－2|≥8的解集为________．4．设不等式|2x－1|＜1的解集为M，则集合M＝__________，若a，b∈M，则ab＋1与a＋b的大小关系是__________．参考答案基础梳理自测知识梳理1．绝对值符号2．(2)－c ≤ax ＋b ≤c ax ＋b ≤－c 或ax ＋b ≥c 3．ab ≥04．(a －b )(b －c )≥0 5．距离 7．|a |＋|b | 基础自测1．－3 解析：∵|x －2|≤5， ∴－5≤x －2≤5，∴－3≤x ≤7，∴集合A 中的最小整数为－3.2．(－2,8) 解析：存在实数x 满足|x －3|＋|x －m |＜5⇔(|x －3|＋|x －m |)min ＜5，即|m －3|＜5，解得－2＜m ＜8.3．2 解析：由题意，知f (－2)＝f (3)＝5，即1＋|2＋a |＝4＋|3－a |＝5，解得a ＝2.4．(1,3) 解析：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2，∴|a －2|＋1＜2，即|a －2|＜1，解得1＜a ＜3.5.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <－7或x >53 a ＞－92解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，－(2x ＋1)＋(x －4)>2或⎩⎪⎨⎪⎧－12<x ≤4，(2x ＋1)＋(x －4)>2或⎩⎪⎨⎪⎧x >4，(2x ＋1)－(x －4)>2.解得x ＜－7或53＜x ≤4或x ＞4.所以原不等式的解集为{x |x ＜－7或x ＞53}．由题意知a ＞f (x )min ，又f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x ≤－12，3x －3，－12<x ≤4，x ＋5，x >4.所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－92. 所以a ＞－92.考点探究突破【例1】 2 k ≥1 解析：由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2. 又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．当a ＞0时，－4a ≤x ≤2a，得a ＝2.记h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12，－1，x ≥－12，所以|h (x )|≤1，因此k ≥1. 【例2】 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－32或x ≥32 (－∞，1]∪[3，＋∞)解析：当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3，(方法一)由绝对值的几何意义知不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－32或x ≥32.(方法二)不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－2x ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ≤1，2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x ≥3.所以不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－32或x ≥32.若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件；若a ＜1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1，x ≤a ，1－a ，a <x <1，2x －(a ＋1)，x ≥1，f (x )的最小值为1－a ；若a ＞1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1，x ≤1，a －1，1<x <a ，2x －(a ＋1)，x ≥a .f (x )的最小值为a －1.所以对于任意的x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，从而a 的取值范围为(－∞，1]∪[3，＋∞)．【例3】 {x |x ＜5} 解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≤4，－2x ＋12，4<x ≤8，－4，x >8.图像如下：不等式|x －8|－|x －4|＞2，即f (x )＞2，由－2x ＋12＝2得x ＝5.由函数f (x )的图像可知，原不等式的解集为{x |x ＜5}．演练巩固提升1．|a －b |≥3 解析：由题意可得集合A ＝{x |a －1＜x ＜a ＋1}，集合B ＝{x |x ＜b －2，或x ＞b ＋2}，又因为A ⊆B ，所以有a ＋1≤b －2，或b ＋2≤a －1，即a －b ≤－3，或a －b ≥3，即|a －b |≥3.2．－2≤a ≤4 解析：由绝对值不等式的几何意义可知，数轴上点x 到a 点与1点的距离的和小于等于3.由图可得－2≤a ≤4.3．{x |x ≥0} 解析：令y ＝|x ＋10|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－12， x ≤－10，2x ＋8，－10<x <2，12， x ≥2.则可画出其函数图像如图所示：由图像可以观察出使y ≥8的x 的取值范围为[0，＋∞)． ∴|x ＋10|－|x －2|≥8的解集为{x |x ≥0}． 4．{x |0＜x ＜1} ab ＋1＞a ＋b解析：由|2x －1|＜1，得－1＜2x －1＜1，解得0＜x ＜1. 所以M ＝{x |0＜x ＜1}．由a ，b ∈M ，得0＜a ＜1,0＜b ＜1.所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)＞0. 故ab ＋1＞a ＋b .。

高三数学第一轮复习：4-5 第一章不等式的基本性质(理)人教实验B版知识精讲

高三数学第一轮复习：4－5 第一章不等式的基本性质（理）人教实验B 版【本讲教育信息】一. 教学内容：4－5 / 第一章 / 不等式的基本性质、基本不等式；不等式的解法二. 教学目的：1、巩固不等式的基本性质、拓展基本不等式相关知识；2、掌握一元一次不等式、一元二次不等式及绝对值不等式的解法三. 教学重点、难点基本不等式的知识拓展；绝对值不等式的解法四. 知识分析【不等式的基本性质】1、不等式的基本性质：对于任意的实数a ，b ，有000a b a b a b a b a b a b ->⇔>⎧⎪-=⇔=⎨⎪-<⇔<⎩，这三条基本性质是差值比较法的理论依据．2、不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两个方面．【单向性】（1）c a c b ,b a >⇒>>（2）d b c a d c ,b a +>+⇒>> （3）bc ac 0c ,b a >⇒>> （4）bc ac 0c ,b a <⇒<>（5）bd ac 0d c ,0b a >⇒>>>>（6）n n b a R n ,0b a >⇒∈>>+ 【双向性】（1）000a b a b a b a b a b a b ->⇔>⎧⎪-=⇔=⎨⎪-<⇔<⎩（2）a b b a >⇔<（3）a b a c b c >⇔+>+单向性主要用于证明不等式；双向性是解不等式的基础（当然也可用于证明不等式），由于单向性（3）、（4）的逆命题都成立，所以它们也可用于解不等式，在应用单向性（6）解无理不等式和形如nx a >的高次不等式时，若n 为偶数时要注意讨论． 3、要注意不等式性质成立的条件．例如，在应用“11,0a b ab a b>>⇒<”这一性质时，有些同学要么是弱化了条件，得11a b a b>⇒<，要么是强化了条件，而得110a b a b>>⇒<【基本不等式】定理1 设R b ,a ∈，则ab 2b a 22≥+，当且仅当b a =时，等号成立。

高考全程复习构想高三文科科一轮4-5不等式选讲4-5-1

3x－2＜2x－1 2x－1＜2－ 2 － 3x ⇔ 3x － 2 ＜ 2x － 1 ＜ 2 － 3x ⇔ x＜1 3 ⇔ 3 ⇔x＜5. x＜5
答案：C
4．若不等式|3x－b|＜4 的解集中的整数有且仅有 1,2,3，则 b 的取值范围为__________．
说考点
拓展延伸串知识
疑点清源 1.两数和与差的绝对值不等式的性质 |a|－|b|≤|a± b|≤|a|＋|b| (1)对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a± b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时． (2)该定理可以强化为：||a|－|b||≤|a± b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．
变式探究 1 已知 α、β 是实数，给出下列四个论断：①|α ＋β|＝|α|＋|β|；②|α－β|≤|α＋β|；③|α|＞2 2，|β|＞2 2；④ |α＋β|＞5.以其中的两个论断为条件，其余两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题．
解析：①|α＋β|＝|α|＋|β|⇔α 与 β 同号，故②成立；再由③ 得|α＋β|＝|α|＋|β|＞4 2＞5，故④成立． ∴①③⇒②④.
答案： ①|a＋b|≤|a|＋|b| ②ab≤0 ③{x|－a＜x＜a} ④∅ ⑤∅ ⑥{x|x＞a 或 x＜－a} ⑦{x|x∈R 且 x≠0} ⑧R
考点自测 1.设 ab＜0，a，b∈R，那么正确的是( A．|a＋b|＞|a－b| B．|a－b|＜|a|＋|b| C．|a＋b|＜|a－b| D．|a－b|＜||a|－|b||
(2)由 f(x)≤0 得|x－a|＋3x≤0. x≥a，此不等式化为不等式组 x－a＋3x≤0，
x≤a，或 a－x＋3x≤0，

高考数学(文)一轮复习课件：选修4-5-1

解 (1)当 a＝1 时，f(x)>1 化为|x＋1|－2|x－1|－1>0. 当 x≤－1 时，不等式化为 x－4>0，无解；当－1<x<1 时，不等式化为 3x－2>0，解得23<x<1；当 x≥1 时，不等式化为－x＋2>0，解得 1≤x<2. 所以 f(x)>1 的解集为x23<x<2 .
1.解决含参数的绝对值不等式问题的两种方法 (1)将参数分类讨论，将其转化为分段函数解决． (2)借助于绝对值的几何意义，先求出相应式的最值或值域，然后再根据题目要求，求解参数的取值范围．
2.不等式恒成立问题的常见类型及其解法 (1)分离参数法运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题． (2)更换主元法不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法． (3)数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观解决问题．
(2)如果 a、b、c 是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当(a－b)(b－c)≥0 时，等号成立．
(3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式
①|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|. ②||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
③|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.
由题设得23(a＋1)2>6，故 a>2. 所以 a 的取值范围为(2，＋∞)．
绝对值不等式的常见题型及求解策略 1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c 型不等式的解法 (1)c>0，则|ax＋b|≤c 可转化为－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c 可转化为 ax＋b≥c 或 ax＋b≤ －c，然后根据 a，b 的取值求解即可． (2)c<0，则|ax＋b|≤c 根据几何意义可得解集为∅，|ax＋b|≥c 的解集为 R. (3)c＝0，则|ax＋b|≤0 可转化为 ax＋b＝0，然后根据 a，b 的取值求解即可；|ax＋b|≥0 的解集为 R.

2019年高三一轮总复习理科数学：选修4-5-1绝对值不等式

(2)不等式 f(x)≥x2－x＋m 等价为 f(x)－x2＋x≥m，令 g(x)＝f(x)－x2＋x，则 g(x)≥m 的解集非空只需要 g(x)max≥m.
而 g(x)＝－－xx22＋＋x3－x－31，，x≤－－1＜1，x＜2，－x2＋x＋3，x≥2.
①当 x≤－1 时，g(x)max＝g(－1)＝－1－1－3＝－5； ②当－1＜x＜2 时，g(x)max＝g32＝－322＋3×23－1＝45； ③当 x≥2 时，g(x)max＝g(2)＝－22＋2＋3＝1. 综上，g(x)max＝45，故 m≤54.
综上知，原不等式的解集为x－32≤x≤32

.

解法二：原不等式可化为x－12＋x＋12≤3，其几何意义为数轴上到12，－12两点的距离之和不超过 3 的点的集合，数形结合知，
当 x＝32或 x＝－23时，到12，－21两点的距离之和恰好为 3，故当－32≤x≤32时，满足题
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考点频命题趋势
率
解绝对值不等式是本专题在高考中的
5年28 重点考查内考容，其中以
2
基础自主梳理
「基础知识填一填」
1．绝对值三角不等式定理 1：如果 a，b 是实数，则|a＋b|≤ |a|＋|b| ，当且仅当 ab≥0 时，等号成立．定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么 |a－c|≤|a－b|＋|b－c| ，当且仅当 _(_a_－__b_)(_b_－__c_)≥__0__时，等号成立．
2019高三一轮总复习
数学（理）
提高效率 ·创造未来 ·铸就辉煌
选修部分
选修4－5 不等式选讲
第一节绝对值不等式
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高考一轮总复习数学(文)课件选修4-5-1appt版本

(2)因为当 x>0 时，g(x)＝ax＋1x－1≥2 a－1，当且仅当 x＝ aa时“＝”成立，所以 g(x)min＝2 a－1，
当 x>0 时，f(x)＝1－－32，x， x>02<，x≤2，所以 f(x)∈[－3,1)，所以 2 a－1≥1，即 a≥1 为所求．
5．[2017·银川模拟]已知函数 f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋ a.
(2)存在 x0∈R，使得 f(x0)≥12g(x0)，即存在 x0∈R，使得|x0＋1|≥|x0|＋a2，即存在 x0∈R，使得a2≤|x0＋1|－|x0|.
－1，x≤－1，

设 h(x)＝|x＋1|－|x|＝2x＋1，－1<x≤0， 1，x>0，
最大值为 1，因而a2≤1，即 a≤2.
－5x＋a－3，x≤－12， h(x)＝－x＋a－1，－12<x<a2，
3x－a－1，x≥a2.
h(x)min＝ha2＝a2－1，令a2－1≥0，得 a≥2.
4．已知函数 f(x)＝|x－2|－|x＋1|. (1)解不等式 f(x)>1； (2)当 x>0 时，函数 g(x)＝ax2－xx＋1(a>0)的最小值总大于函数 f(x)，试求实数 a 的取值范围．解 (1)当 x>2 时，原不等式可化为 x－2－x－1>1，此时不成立；当－1≤x≤2 时，原不等式可化为 2－x－x－1>1，即－1≤x<0；当 x<－1 时，原不等式可化为 2－x＋x＋1>1，即 x<－1. 综上，原不等式的解集是{x|x<0}．
则 h(x) 的
6．[2017·太原模拟]已知函数 f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x) ＝|x－1|＋2.

高考数学(文)一轮复习选修4-5-1绝对值不等式

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4．|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点 x 到点 a， b 的距离之和．( √ )
5 ．不等式 |a － b|≤|a| ＋ |b| 等号成立的条件是 ab≤0.( √ )
Байду номын сангаас
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(2)∵f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)|＝4，即 f(x)的最小值等于 4， ∴|a－1|>4，解此不等式得 a<－3 或 a>5. 故实数 a 的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．
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(2)几何法：利用|x－a|＋|x－b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点 x1＝a 和 x2＝b 的距离之和大于 c 的全体，|x－a|＋|x －b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|.
(3)图象法：作出函数 y1＝|x－a|＋|x－b|和 y2＝c 的图象，结合图象求解．
＋a3＝a.
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(2)[2017·忻州模拟]已知|2x－3|≤1 的解集为[m，n]． ①求 m＋n 的值； ②若|x－a|<m，求证：|x|<|a|＋1.
[解] ①由不等式|2x－3|≤1 可化为－1≤2x－3≤1，得 1≤x≤2，∴m＝1，n＝2，m＋n＝3.

2020高考数学文科大一轮复习导学案：选修4-5 不等式选讲4-5.1 Word版含答案

姓名，年级：时间：选修4－5 不等式选讲错误!错误!知识点一绝对值三角不等式1．定理1：如果a，b是实数，则｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b|,当且仅当ab≥0时，等号成立．2．定理2:如果a，b,c是实数，那么｜a－c｜≤|a－b|＋｜b －c|，当且仅当(a－b)（b－c）≥0时,等号成立．1．判断正误(1）对|a＋b｜≥|a｜－｜b|当且仅当a〉b〉0时等号成立．（×）(2）对｜a ｜－｜b ｜≤|a －b |当且仅当｜a |≥|b ｜时等号成立．( × )（3)对|a －b |≤|a |＋|b ｜当且仅当ab ≤0时等号成立．( √ ）2．(选修4－5P19习题T9改编）若关于x 的不等式｜a ｜≥|x ＋1|＋｜x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞）．解析：由于｜x ＋1|＋｜x －2|≥｜(x ＋1)－（x －2）|＝3，∴｜x ＋1|＋｜x －2|的最小值为 3.要使原不等式有解，只需|a |≥3，则a ≥3或a ≤－3.3．设a 〉0，｜x －1|<错误!，｜y －2|<错误!，求证：｜2x ＋y －4|〈a .证明：因为|x －1｜<a 3,|y －2|〈错误!，所以|2x ＋y －4｜＝｜2(x －1)＋（y －2)|≤2｜x －1｜＋|y －2｜〈错误!＋错误!＝a .故原不等式得证．知识点二含绝对值的不等式的解法1．含绝对值的不等式|x ｜〈a 与｜x ｜>a 的解法2。

|ax＋b｜≤c(c>0)和｜ax＋b|≥c(c>0）型不等式的解法(1）|ax＋b｜≤c⇔－c≤ax＋b≤c；（2）|ax＋b｜≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c。

3．｜x－a｜＋|x－b｜≥c（c〉0)和｜x－a｜＋｜x－b|≤c （c>0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．4．(选修4－5P20T7）不等式3≤｜5－2x｜〈9的解集为（ D )A．[－2,1)∪[4，7）B．（－2，1]∪（4,7]C．（－2，－1］∪［4，7) D．(－2，1]∪［4,7）解析：由题意得错误!即错误!解得错误!不等式的解集为（－2，1]∪[4,7）．5．不等式|x－1｜－|x－5｜<2的解集是( A ）A．(－∞，4）B．(－∞，1)C．(1,4) D．（1,5)解析：｜x－1|－|x－5｜表示数轴上对应的点x到1和5的距离之差．而数轴上满足|x－1｜－｜x－5|＝2的点的数是4,结合数轴可知，满足|x－1｜－｜x－5|<2的解集是（－∞，4)．6．若不等式|kx－4｜≤2的解集为{x|1≤x≤3｝，则实数k＝2。

【金牌精品】高考数学(文)一轮复习：选修4-5-1绝对值不等式

课后课时作业[A 组·基础达标练]1．不等式2≤|5－2x |<7的解集为( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤72，6 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，32∪⎝ ⎛⎦⎥⎤72，6D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，6 答案 A 解析⎩⎨⎧|5－2x |<7|5－2x |≥2⇒⎩⎨⎧－7<5－2x <75－2x ≤－2或5－2x ≥2得⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，6. 2．若不等式|ax ＋2|<6的解集为(－1,2)，则实数a 等于( ) A ．－8 B ．－4 C ．2 D ．8答案 B解析由|ax ＋2|<6可知－8<ax <4，当a >0时－8a <x <4a ，解集为(－1,2)，有⎩⎪⎨⎪⎧－8a ＝－14a ＝2，⎩⎨⎧a ＝8a ＝2矛盾，故a 不可能大于0，a ＝0，x∈R 不合题意，a <0时，4a <x <－8a ，解集为(－1,2)有⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝－1－8a ＝2.⇒a ＝－4，故选B.3．已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，14 D.⎝⎛⎦⎥⎤0，14 答案 A解析 ∵关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根， ∴Δ＝1－4⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≥0，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≤14. 当a ≤0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝14－2a ≤14， ∴a ＝0；当0<a ≤14时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝14－a ＋a ≤14成立， ∴0<a ≤14；当a >14时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝a －14＋a ＝2a －14≤14，∴a ≤14无解．综上可知0≤a ≤14.4．[2014·江西高考]对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析易知|x －1|＋|x |≥1，当且仅当0≤x ≤1时等号成立；|y －1|＋|y ＋1|≥2，当且仅当－1≤y ≤1时等号成立．故|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3.5．[2015·烟台一模]若关于x 的不等式|x －2|＋|x ＋3|<a 的解集为∅，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，1)C ．(－∞，5]D ．(－∞，5)答案 C解析因为|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5，又关于x 的不等式无解，所以a ≤5.6．[2015·广州一模]若关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋m |>3的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(1，＋∞)C ．(－4,2)D ．[－4,1]答案 A解析由题意知，不等式|x －1|＋|x ＋m |>3恒成立，即函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋m |的最小值大于3，根据不等式的性质可得|x －1|＋|x ＋m |≥|(x －1)－(x ＋m )|＝|m ＋1|，故只要满足|m ＋1|>3即可，所以m ＋1>3或m ＋1<－3，解得m 的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．7．[2016·佛山质量检测]不等式x ＋3>|2x －1|的解集为________．答案 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－23<x <4 解析不等式等价于⎩⎨⎧2x －1≥0x ＋3>2x －1或⎩⎨⎧2x －1<0x ＋3>1－2x ，解得12≤x <4，或－23<x <12，故不等式解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－23<x <4. 8．[2015·烟台二模]若不等式log 2(|x ＋1|＋|x －2|－m )≥2恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，－1]解析由题意可知|x ＋1|＋|x －2|－m ≥4恒成立，即m ≤(|x ＋1|＋|x －2|－4)min .又因|x ＋1|＋|x －2|－4≥|(x ＋1)－(x －2)|－4＝－1，故m ≤－1. 9．若关于x 的不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 解析令f (x )＝|2x －1|＋|x ＋2|，则①当x <－2时，f (x )＝－2x ＋1－x －2＝－3x －1>5； ②当－2≤x ≤12时，f (x )＝－2x ＋1＋x ＋2＝－x ＋3，故52≤f (x )≤5； ③当x >12时，f (x )＝2x －1＋x ＋2＝3x ＋1>52.综合①②③可知f (x )≥52，所以要使不等式恒成立，则需 a 2＋12a ＋2≤52，解得－1≤a ≤12.10．不等式|x －1|<4－|x ＋2|的解集是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，32解析依题意，不等式|x －1|<4－|x ＋2|等价于⎩⎨⎧x ≤－2－(x －1)<4＋(x ＋2)或⎩⎨⎧－2<x ≤1－(x －1)<4－(x ＋2)或⎩⎪⎨⎪⎧x >1x －1<4－(x ＋2)，解得－52<x ≤－2或－2<x ≤1或1<x <32.因此不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，32. 11．[2016·福建莆田质检]设f (x )＝2|x |－|x ＋3|. (1)求不等式f (x )≤7的解集S ；(2)若关于x 的不等式f (x )＋|2t －3|≤0有解，求参数t 的取值范围．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3，x <－3－3x －3，－3≤x ≤0x －3，x >0.当x <－3时，由f (x )≤7得x ≥－4，则－4≤x <－3；当－3≤x ≤0时，由f (x )≤7得x ≥－103，则－3≤x ≤0；当x >0时，由f (x )≤7得x ≤10，则0<x ≤10；综上，不等式的解集S ＝[－4,10]．(2)由f (x )的表达式及一次函数的单调性可知，f (x )在x ＝0时取得最小值－3，则不等式f (x )＋|2t －3|≤0有解只需－3＋|2t －3|≤0，解得0≤t ≤3，所以t 的取值范围是[0,3]．12．[2015·沈阳一模]设f (x )＝|x |＋2|x －a |(a >0)． (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≤8；(2)若f (x )≥6恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x |＋2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －2，x ≥1－x ＋2，0<x <1－3x ＋2，x ≤0，f (x )≤8⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥13x －2≤8或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1－x ＋2≤8或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0－3x ＋2≤8，解得1≤x ≤103或0<x <1或－2≤x ≤0， ∴不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－2≤x ≤103.(2)∵f (x )＝|x |＋2|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －2a ，x ≥a－x ＋2a ，0<x <a－3x ＋2a ，x ≤0.由f (x )的表达式及一次函数的单调性可知，f (x )在x ＝a 时取得最小值，f (x )min ＝f (a )＝a ，若f (x )≥6恒成立，只需a ≥6，即a 的取值范围为[6，＋∞)．。

2021高考北师版(文科)数学一轮复习讲义：选修4-5 第1节绝对值不等式

选修4－5不等式选讲第一节绝对值不等式[考纲] 1.理解绝对值的几何意义，并了解以下不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)，|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b，c∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b －c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解法：不等式a>0a＝0a<0|x|<a {x|－a＜x＜a}∅∅|x|>a {x|x＞a或x＜－a}{x∈R|x≠0}R(2)|ax①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解；②利用零点分段法求解；③构造函数，利用函数的图像求解．1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)|x －a |＋|x －b |的几何意义是表示数轴上的点x 到点a ，b 的距离之和．( ) (2)不等式|a |－|b |≤|a ＋b |等号成立的条件是ab ≤0.( ) (3)不等式|a －b |≤|a |＋|b |等号成立的条件是ab ≤0.( ) (4)当ab ≥0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |成立．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)假设关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－53＜x ＜13，那么实数a ＝________.－3 [依题意，知a ≠0. 又|ax －2|＜3⇔－3＜ax －2＜3， ∴－1＜ax ＜5. 由于|ax －2|＜3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－53＜x ＜13， ∴a ＜0，5a ＝－53且－1a ＝13，那么a ＝－3.]3．(教材改编)假设关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，那么实数a 的取值范围是________．(－∞，－3]∪[3，＋∞) [由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， ∴|x ＋1|＋|x －2|的最小值为3，要使|a |≥|x ＋1|＋|x －2|有解，只需|a |≥3，∴a ≥3或a ≤－3.] 4．解不等式x ＋|2x ＋3|≥2.[解] 当x ≥－32时，原不等式化为3x ＋3≥2，3分解得x ≥－13. 6分当x ＜－32时，原不等式化为－x －3≥2，解得x ≤－5. 8分综上，原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－5或x ≥－13. 10分5．(2021·江苏高考)设a >0，|x －1|<a 3，|y －2|<a3，求证：|2x ＋y －4|<a . [证明] 因为|x －1|<a 3，|y －2|<a 3，所以|2x＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|<2a 3＋a3＝a . 故原不等式得证. 10分绝对值不等式的解法(2021·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)画出y ＝f (x )的图像； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．图--[解] (1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1＜x ≤32，－x ＋4，x ＞32，3分故y ＝f (x )的图像如下图．6分(2)由f (x )的函数表达式及图像可知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5. 8分故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}， f (x )＜－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞5. 所以|f (x )|＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或1＜x ＜3或x ＞5. 10分[规律方法] 1.此题用零点分段法画出分段函数的图像，结合图像的直观性求出不等式的解集，表达数形结合思想的应用．2．解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，零点分段法操作程序是：找零点，分区间，分段讨论．此外还常利用绝对值的几何意义求解．[变式训练1] (2021·吉林实验中学模拟)设函数f (x )＝|x －a |. (1)当a ＝2时，解不等式f (x )≥4－|x －1|；(2)假设f (x )≤1的解集为[0,2]，1m ＋12n ＝a (m ＞0，n ＞0)，求证：m ＋2n ≥4.【导学号：66482488】[解] (1)当a ＝2时，不等式为|x －2|＋|x －1|≥4， ①当x ≥2时，不等式可化为x －2＋x －1≥4，解得x ≥72； ②当12＜x ＜72时，不等式可化为2－x ＋x －1≥4，不等式的解集为∅；③当x ≤12时，不等式可化为2－x ＋1－x ≥4，解得x ≤－12.综上可得，不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞. (2)证明：因为f (x )≤1，即|x －a |≤1，解得a －1≤x ≤a ＋1，而f (x )≤1的解集是[0,2]．所以⎩⎨⎧a －1＝0，a ＋1＝2，解得a ＝1，所以1m ＋12n ＝1(m ＞0，n ＞0)，所以m ＋2n ＝(m ＋2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋12n＝2＋m 2n ＋2nm ≥2＋2m 2n ·2n m ＝4，当且仅当m ＝2，n ＝1时取等号.绝对值三角不等式性质的应用对于任意的实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥M ·|a |恒成立，记实数M 的最大值是m .(1)求m 的值；(2)解不等式|x －1|＋|x －2|≤m .[解] (1)不等式|a ＋b |＋|a －b |≥M ·|a |恒成立，即M ≤|a ＋b |＋|a －b ||a |对于任意的实数a (a ≠0)和b 恒成立，只要左边恒小于或等于右边的最小值. 2分因为|a ＋b |＋|a －b |≥|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |，当且仅当(a －b )(a ＋b )≥0时等号成立， |a |≥|b |时，|a ＋b |＋|a －b ||a |≥2成立，也就是|a ＋b |＋|a －b ||a |的最小值是2，即m ＝2. 5分(2)|x －1|＋|x －2|≤2.法一：利用绝对值的意义得：12≤x ≤52. 10分法二：①当x ＜1时，不等式为－(x －1)－(x －2)≤2，解得x ≥12，所以x 的取值范围是12≤x ＜1. ②当1≤x ≤2时，不等式为(x －1)－(x －2)≤2，得x 的取值范围是1≤x ≤2. 8分③当x ＞2时，原不等式为(x －1)＋(x －2)≤2,2＜x ≤52.综上可知，不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤52. 10分[规律方法] 1.(1)利用绝对值不等式性质定理要注意等号成立的条件：当ab ≥0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |；当ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |；当(a －b )(b －c )≥0时，|a －c |＝|a －b |＋|b －c |.(2)对于求y ＝|x －a |＋|x －b |或y ＝|x ＋a |－|x －b |型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．2．第(2)问易出现解集不全或错误．对于含绝对值的不等式，不管是分段去绝对值符号还是利用几何意义，都要不重不漏．[变式训练2] 对于任意实数a ，b ，|a －b |≤1，|2a －1|≤1，且恒有|4a －3b ＋2|≤m ，求实数m 的取值范围．[解] 因为|a －b |≤1，|2a －1|≤1，所以|3a －3b |≤3，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －12≤12，4分所以|4a －3b ＋2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(3a －3b )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12＋52 ≤|3a －3b |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －12＋52≤3＋12＋52＝6，8分那么|4a －3b ＋2|的最大值为6，所以m ≥|4a －3b ＋2|max ＝6，m 的取值范围是[6，＋∞). 10分绝对值不等式的综合应用(1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)假设f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x ＜2. 所以f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23<x <2. 4分(2)由题设可得f (x )＝⎩⎨⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)．因此△ABC 的面积S ＝12|AB |·(a ＋1)＝23(a ＋1)2. 8分由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞). 10分[规律方法] 1.研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法．2．第(2)问求解要抓住三点：(1)分段讨论，去绝对值符号，化f (x )为分段函数；(2)数形结合求△ABC 的三个顶点坐标，进而得出△ABC 的面积；(3)解不等式求a 的取值范围．[变式训练3] (2021·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，恒有f (x )＋g (x )≥3，求实数a 的取值范围．[解] (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}. 4分(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|(2x －a )＋(1－2x )|＋a ＝|1－a |＋a ，6分当x＝12时等号成立，所以当x∈R时，f (x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①8分当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以a的取值范围是[2，＋∞). 10分[思想与方法]1．绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，几何法(利用绝对值几何意义)，构造函数法．前者表达了分类讨论思想，后者表达了数形结合思想的应用．2．不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决．[易错与防范]1．利用绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件．2．形如|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)的不等式，在讨论时应注意分类讨论点处的处理及c的符号判断，假设c≤0，那么不等式解集为R.。

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3x 3x 解析：方法一：| 2 |≤1⇔－1≤ 2 ≤1 x －4 x －4 3x 2 ≥－1， x －4 ⇔ 3 ≤1 x2－4 x2＋3x－4 2 ≥0， x －4 ⇔ 2 x －3x－4 x2－4 ≥0
x＋4x＋2x－1x－2≥0x≠± 2， ⇔ x＋2x＋1x－2x－4≥0x≠± 2
答案： ①|a＋b|≤|a|＋|b| ②ab≤0 ③{x|－a＜x＜a} ④∅ ⑤∅ ⑥{x|x＞a 或 x＜－a} ⑦{x|x∈R 且 x≠0} ⑧R
考点自测 1.设 ab＜0，a，b∈R，那么正确的是( A．|a＋b|＞|a－b| B．|a－b|＜|a|＋|b| C．|a＋b|＜|a－b| D．|a－b|＜||a|－|b||
x≤－4或－2＜x≤1或x＞2， ⇔ x＜－2或－1≤x＜2或x≥4.
∴x≤－4 或－1≤x≤1 或 x≥4. ∴原不等式的解集为{x|x≤－4 或－1≤x≤1 或 x≥4}．
3x 3x 方法二：| 2 |≤1⇔x2－42≤1 x －4 ⇔9x2≤(x2－4)2(x≠± 2) ⇔x4－17x2＋16≥0 ⇔x2≤1 或 x2≥16 ⇔x≤－4 或－1≤x≤1 或 x≥4. ∴原不等式的解集为{x|x≤－4 或－1≤x≤1 或 x≥4}.
2．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|＜a 与|x|＞a 的解集：不等式 a＞0 a＝0 a＜0 |x|＜a ③_________ ④________ ⑤________ |x|＞a ⑥_________ ⑦________ ⑧________
(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法： ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c. (3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法． ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想． ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想． ③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．
5．已知关于 x 的不等式|x－2|－|x－5|－k＞0 的解集为 R，则实数 k 的范围是__________．
解析：∵||x－2|－|x－5||≤|(x－2)－(x－5)|＝3， ∴－3≤|x－2|－|x－5|≤3. ∴|x－2|－|x－5|＞k 的解集是 R 时，k＜－3. 答案：(－∞，－3)
点评：①|ax＋b|≤c 和|ax＋b|≥c 型不等式利用|x|＞a 或|x| ＜a(a＞0)型不等式的解法，去掉绝对值转化为一次不等式求解．②|x－a|＋|x－b|≥c(或|x－a|＋|x－b|≤c)型不等式分类讨论去掉绝对值符号或利用绝对值的几何意义求解．
变式探究 2
(2013· 福建模拟) 3x 解不等式：| 2 |≤1. x －4
方法二：根据绝对值的几何意义，|x－2|＋|x＋3|表示数轴上的点到 2 和－3 的距离之和，而数轴上－4 和 3 对应的点到 2 和－3 对应的点的距离之和为 7(如图)，故{x|x＜－4 或 x＞3}．
方法三：分别画出函数 y1＝|x－2|＋|x＋3|和 y2＝7 的图象．如图． 2x＋1，x≥2，其中 y1＝5，－3≤x＜2，－2x－1，x＜－3. 令 2x＋1＝7 得 x＝3，令－2x－1＝7 得 x＝－4，， ∴满足|x－2|＋|x＋3|＞7 的解集为{x|x＜－4，或 x＞3}．
说基础
课前预习读教材
考点梳理 1.含有绝对值的不等式定理 (1)定理：对任意实数 a 和 b，有①__________，其中等号成立的条件为 ab≥0. (2)定理中的 b 以－b 代替，则有|a－b|≤|a|＋|b|.其中等号成立的条件为②__________. (3)对任意实数 a 和 b，有||a|－|b||≤|a± b|≤|a|＋|b|.
题型三绝对值不等式的综合应用例 3 已知函数 f(x)＝|x－a|. (1)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数 a 的值； (2)在(1)的条件下，若 f(x)＋f(x＋5)≥m 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围.
解析：方法一： (1)由 f(x)≤3，得|x－a|≤3，解得 a－3≤x≤a＋3. 又已知不等式 f(x)≤3 的解集为{x|－1≤x≤5}， a－3＝－1，于是有解得 a＝2. a＋3＝5，
)
解析：方法一：特殊值法取 a＝1，b＝－2，则满足 ab＝－2＜0，这样有|a＋b|＝|1－2|＝1， |a－b|＝|1－(－2)|＝3， |a|＋|b|＝1＋2＝3， ||a|－|b||＝|1－2|＝1， ∴只有选项 C 成立，而 A、B、D 都不成立．方法二：由 ab＜0 得 a，b 异号，易知|a＋b|＜|a－b|，|a－b|＝|a|＋|b|，|a－b|＞||a|－|b||， ∴选项 C 成立，A、B、D 均不成立. 答案：C
变式探究 3 设函数 f(x)＝|x－a|＋3x，其中 a＞0. (1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≥3x＋2 的解集； (2)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤－1}，求 a 的值．
解析： (1)当 a＝1 时，f(x)≥3x＋2 可化为|x－1|≥2. 由此可得 x≥3 或 x≤－1. 故不等式 f(x)≥3x＋2 的解集为{x|x≥3 或 x≤－1}．
2．不等式 1＜|x＋1|＜3 的解集为( A．(0,2) B．(－2,0)∪(2,4) C．(－4,0) D．(－4，－2)∪(0,2)
)
解析：1＜|x＋1|＜3⇔1＜x＋1＜3 或－3＜x＋1＜－1⇔0＜ x＜2 或－4＜x＜－2. 答案：D
3．不等式|2x－1|＜2－3x 的解集是( 1 1 3 A．{x|x＜2} B．{x|2≤x＜5} 3 3 C．{x|x＜5} D．{x|x＞5}
题型二绝对值不等式的解法例 2 解下列不等式： (1)|2x－3|≤5； (2)|5－4x|＞9； (3)|x－2|＋|x＋3|＞7.
解析： (1)∵|2x－3|≤5，∴－5≤2x－3≤5， ∴－2≤2x≤8，∴－1≤x≤4. 即原不等式的解集为{x|－1≤x≤4}． (2)∵|5－4x|＞9， ∴4x－5＞9 或 4x－5＜－9， 7 ∴x＞2或 x＜－1， 7 ∴原不等式的解集为{x|x＜－1 或 x＞2}．
(3)方法一： x－2＋x＋3，x≥2， ∵|x－2|＋|x＋3|＝2－x＋x＋3，－3≤x＜2， 2－x－x－3，x＜－3， ∴原不等式可化为 x≥2，－3≤x＜2， x＜－3，或或 2x＋1＞7， 5＞7 －2x－1＞7. 解上述不等式得所求不等式的解集为{x|x＜－4 或 x＞3}．
方法二：(1)同解法一． (2)当 a＝2 时，f(x)＝|x－2|. 设 g(x)＝f(x)＋f(x＋5)．由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2 时等号成立)得，g(x)的最小值为 5. 从而，若 f(x)＋f(x＋5)≥m，即 g(x)≥m 对一切实数 x 恒成立，则 m 的取值范围为(－∞，5]．点评：①研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后利用数形结合解决，是常用的思想方法． ②f(x)＜a 恒成立⇔f(x)max＜a； f(x)＞a 恒成立⇔f(x)min＞a.
变式探究 1 已知 α、β 是实数，给出下列四个论断：①|α ＋β|＝|α|＋|β|；②|α－β|≤|α＋β|；③|α|＞2 2，|β|＞2 2；④ |α＋β|＞5.以其中的两个论断为条件，其余两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题．
解析：①|α＋β|＝|α|＋|β|⇔α 与 β 同号，故②成立；再由③ 得|α＋β|＝|α|＋|β|＞4 2＞5，故④成立． ∴①③⇒②④.
说考点
拓展延伸串知识
疑点清源 1.两数和与差的绝对值不等式的性质 |a|－|b|≤|a± b|≤|a|＋|b| (1)对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a± b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时． (2)该定理可以强化为：||a|－|b||≤|a± b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．
(2)由 f(x)≤0 得|x－a|＋3x≤0. x≥a，此不等式化为不等式组 x－a＋3x≤0，
x≤a，或 a－x＋3x≤0，
x≥a， x≤a，即 a 或 a x≤4， x≤－2.
3x－2＜2x－1 2x－1＜2－3x
)
解析： |2x － 1| ＜ 2 － 3x ⇔ 3x － 2 ＜ 2x － 1 ＜ 2 － 3x ⇔ x＜1 3 ⇔ 3 ⇔x＜5. x＜5
答案：C
4．若不等式|3x－b|＜4 的解集中的整数有且仅有 1,2,3，则 b 的取值范围为__________．
选修4－5－1 绝对值不等式
考纲点击 1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： (1)|a＋b|≤|a|＋|b|； (2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|. 2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋ b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c. 3．会用绝对值不等式、基本不等式证明一些简单问题；能够利用基本不等式求一些特定函数的最值.
(2)当 a＝2 时，f(x)＝|x－2|，设 g(x)＝f(x)＋f(x＋5)， x＜－3，－2x－1，于是 g(x)＝|x－2|＋|x＋3|＝5，－3≤x≤2， 2x＋1， x＞2. 所以当 x＜－3 时，g(x)＞5；当－3≤x≤2 时，g(x)＝5；当 x＞2 时，g(x)＞5. 综上可得，g(x)的最小值为 5. 从而，若 f(x)＋f(x＋5)≥m，即 g(x)≥m 对一切实数 x 恒成立，则 m 的取值范围为(－∞，5]．