山东省2017-2018学年高二下学期第一次月考数学(理)试题Word版含答案

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高二数学下学期第一次月考试题理52.doc

河北省衡水中学滁州分校2017-2018学年下学期第一次月考试卷高二理科数学注意事项：1．你现在拿到的这份试卷是满分150分，作答时间为120分钟2．答题前请在答题卷上填写好自己的姓名、班级、考号等信息3．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题 60分）一、选择题(本大题共12个小题，共60分。

)1.下列判断错误的是（）A. 命题“若，则”是假命题B. 直线不能作为函数图象的切线C. “若，则直线和直线互相垂直”的逆否命题为真命题D. “”是“函数在处取得极值”的充分不必要条件2.曲线(e为自然对数的底数)在点处的切线方程为（）A. B. C. D.3.若，则等于（）A.-2B.-4C.2D.04.若函数的导函数则函数的单调递减区间是（）A. B. C. D.5.设函数，的导函数为，且，，则下列不等式成立的是（注：e为自然对数的底数）（）A.B.C.D.6.已知函数，图像的最高点从左到右依次记为,函数的图像与轴的交点从左到右依次记为，设，则( )A. B.- C. D.-7.函数()lnf x x=的图像在点()()1,1f处的切线的斜率等于（）A.1eB. 1C. eD. 2e8.已知f（x）是定义在区间（0，+∞）内的单调函数，且对∀x∈（0，∞），都有f[f（x）﹣lnx]=e+1，设f′（x）为f（x）的导函数，则函数g（x）=f（x）﹣f′（x）的零点个数为（）A.0B.lC.2D.39.已知函数()()()ln,23f x xg x m x n==++，若对任意的()0,x∈+∞,总有()()f xg x≤恒成立，记()23m n+的最小值为(),f m n，则(),f m n最大值为（）A. 1B.1eC.21e10.已知函数()32f x ax bx cx d=+++的图象如图所示，则12ba++的取值范围是( )A.21,52⎛⎫-⎪⎝⎭B.13,22⎛⎫-⎪⎝⎭C.35,22⎛⎫-⎪⎝⎭D.31,22⎛⎫-⎪⎝⎭11.已知数列{}{},n n a b 满足11,12n n a a b =+=， 121n n n b b a +=-，则2017b =（） A. 20172018 B. 20182017 C. 20152016 D. 2016201512.图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2 代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（）A. 21;n n -B. 21;1n n -+C. 121;n n +-D. 121;1n n +-+第II 卷（非选择题 90分）二、填空题(本大题共4个小题，共20分。

山东省济宁市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题(解析版)

2017~2018学年度下学期质量检测高二数学(理科)试题2018.07第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数在平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】分析：先化简复数z,再判断其在平面内对应的点在第几象限.详解：由题得，所以复数z在平面内对应的点为，所以在平面内对应的点在第二象限.故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查复数的计算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数对应的点是（a,b）,点（a,b）所在的象限就是复数对应的点所在的象限.复数和点（a,b）是一一对应的关系.2. 已知随机变量服从正态分布，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先根据正态分布得再求最后求得=0.34.详解：由正态分布曲线得所以所以=0.5-0.16=0.34.故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想和方法.（2）解答本题的关键是数形结合，要结合正态分布曲线的图像和性质解答，不要死记硬背.3. 用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设时（）A. 方程没有实根B. 方程至多有一实根C. 方程至多有两实根D. 方程恰好有两实根【答案】A【解析】分析：反证法证明命题时，假设结论不成立。

至少有一个的对立情况为没有。

故假设为方程没有实根。

详解：结论“方程至少有一个实根”的假设是“方程没有实根。

”点睛：反证法证明命题时，应假设结论不成立，即结论的否定成立。

常见否定词语的否定形式如下：4. “因为偶函数的图象关于轴对称，而函数是偶函数，所以的图象关于轴对称”.在上述演绎推理中，所以结论错误的原因是（） A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 大前提与推理形式都错误【答案】B【解析】分析：因为函数不是偶函数，是一个非奇非偶函数，所以小前提错误.详解：因为,所以，所以函数f(x)不是偶函数，所以小前提错误.故答案为：B.点睛：本题主要考查演绎推理中的三段论和函数奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平. 5. 若随机变量的分布列为（）且，则随机变量的方差等于（） A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：先根据已知求出a,b 的值，再利用方差公式求随机变量的方差.详解：由题得所以故答案为:D.点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)对于离散型随机变量，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取这些值的概率分别是，，…，，那么＝＋＋…＋,称为随机变量的均方差，简称为方差，式中的是随机变量的期望．6. 盒中有只螺丝钉，其中有只是不合格的，现从盒中随机地取出只，那么恰有只不合格的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用古典概型求恰有只不合格的概率.详解：由古典概型公式得故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查古典概型，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)古典概型的解题步骤:①求出试验的总的基本事件数；②求出事件A所包含的基本事件数；③代公式=.7. 函数的图象在点处的切线方程是，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先求出和，再求即得.详解：由题得因为函数的图象在点处的切线方程是，所以所以故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查求导和导数的几何意义，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是8. 在极坐标中，点到圆的圆心的的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先把点的坐标和圆的方程都化成直角坐标方程，再求点到圆心的距离得解.详解：由题得点的坐标为，因为，所以，所以圆心的坐标为（2,0），所以点到圆心的距离为，故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查两点间的距离的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平. （2）极坐标化直角坐标的公式为9. 设，下列不等式中正确的是（）①②③④A. ①和②B. ①和③C. ①和④D. ②和④【答案】C【解析】分析：利用绝对值三角不等式等逐一判断.详解：因为ab>0,所以a,b同号.对于①，由绝对值三角不等式得，所以①是正确的；对于②，当a,b同号时，，所以②是错误的；对于③，假设a=3,b=2,所以③是错误的；对于④，由绝对值三角不等式得，所以④是正确的.故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查绝对值不等式，意在考查学生对该知道掌握水平和分析推理能力.(2)对于类似这样的题目，方法要灵活，有的可以举反例，有的可以直接证明判断.10. 已知圆柱的轴截面的周长为，则圆柱体积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析: 设圆柱的底面半径为r，高为h，则4r+2h=12，即2r+h=6，利用基本不等式，可求圆柱体积的最大值．详解:设圆柱的底面半径为r，高为h，则4r+2h=12，即2r+h=6，∴2r+h=r+r+h≥3，∴r2h≤∴V=πr2h≤64π，∴圆柱体积的最大值为64π，点睛: (1)本题主要考查圆柱的体积和基本不等式,意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，三者缺一不可.11. 甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据题意，记甲击中目标为事件A，乙击中目标为事件B，目标被击中为事件C，由相互独立事件的概率公式，计算可得目标被击中的概率，进而由条件概率的公式，计算可得答案．详解：根据题意，记甲击中目标为事件A，乙击中目标为事件B，目标被击中为事件C，则P（C）=1﹣P（）P（）=1﹣（1﹣0.8）（1﹣0.5）=0.9；则目标是被甲击中的概率为P=.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查独立事件的概率和条件概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)条件概率的公式:，=.条件概率一般有“在已发生的条件下”这样的关键词，表明这个条件已经发生，发生了才能称为条件概率.但是有时也没有，要靠自己利用条件概率的定义识别.12. 已知椭圆（为参数）与轴正半轴，轴正半轴的交点分别为，动点是椭圆上任一点，则面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据椭圆的方程算出A（4，0）、B（0，3），从而得到|AB|=5且直线AB：3x+4y﹣12=0．设点P（4cosθ，3sinθ），由点到直线的距离公式算出P到直线AB距离为d=|sin﹣1|，结合三角函数的图象与性质算出d max=（），由此结合三角形面积公式，即可得到△PAB面积的最大值．详解：由题得椭圆C方程为：，∴椭圆与x正半轴交于点A（4，0），与y正半轴的交于点B（0，3），∵P是椭圆上任一个动点，设点P（4cosθ，3sinθ）（θ∈[0，2π]）∴点P到直线AB：3x+4y﹣12=0的距离为d==|sin﹣1|，由此可得：当θ=时，d max=（）∴△PAB面积的最大值为S=|AB|×d max=6（）.点睛：(1)本题主要考查椭圆的参数方程和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力计算能力.(2)对于|sin﹣1|，不是sin=1时，整个函数取最大值，而应该是sin=-1，要看后面的“-1”.13. 函数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：直接利用柯西不等式求函数的最大值.详解：由柯西不等式得，所以（当且仅当即x=时取最大值）故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查柯西不等式求最值，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 二元柯西不等式的代数形式：设均为实数，则，其中等号当且仅当时成立.14. 已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由f（x）的导函数形式可以看出e x﹣kx=0在（0，+∞）无变号零点，令g（x）=e x﹣kx，g′（x）=e x﹣k，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根．详解：∵函数的定义域是（0，+∞），∴f′（x）=．x=1是函数f（x）的唯一一个极值点∴x=1是导函数f′（x）=0的唯一根．∴e x﹣kx=0在（0，+∞）无变号零点，令g（x）=e x﹣kxg′（x）=e x﹣k①k≤0时，g′（x）＞0恒成立．g（x）在（0，+∞）时单调递增的g（x）的最小值为g（0）=1，g（x）=0无解②k＞0时，g′（x）=0有解为：x=lnk0＜x＜lnk时，g′（x）＜0，g（x）单调递减lnk＜x时，g′（x）＞0，g（x）单调递增∴g（x）的最小值为g（lnk）=k﹣klnk∴k﹣klnk＞0∴k＜e，由y=e x和y=ex图象，它们切于（1，e），综上所述，k≤e．故答案为：A．点睛：（1）本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是分析转化e x﹣kx=0在（0，+∞）无变号零点.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）15. 若复数满足，其中为虚数单位，则__________．【答案】【解析】分析：先设,再代入，利用复数相等的概念得到z,再求.详解：设，代入得所以，故答案为：.点睛：（1）本题主要考查复数的计算和复数的模，考查复数相等的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2)求复数z可以利用直接法和待定系数法，本题利用的是待定系数法.16. 由曲线与所围成的封闭图形的面积为__________．【答案】【解析】分析：由题得曲线与所围成的封闭图形的面积为，再计算得解.详解：因为，所以.联立所以曲线与所围成的封闭图形的面积为，所以.故答案为：点睛：（1）本题主要考查定积分求面积和微积分基本原理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力计算能力.(2)）图中阴影部分的面积S=17. 从位女生，位男生中选了人参加数学、物理、化学竞赛，每个学科各人，且至多有位女生参赛，则不同的参赛方案共有__________种.(用数字填写答案)．【答案】【解析】分析：分只有一个女生和没有女生两种情况讨论求不同的参赛方案总数.详解：当只有一个女生时，先选一个女生有种选法，再从4个男生里面选2个男生有种方法，再把选出的3个人进行排列有种方法，所以有种方法.当没有女生时，直接从4个男生里选3个排列有种方法.所以共有种方法，故答案为：96.点睛:(1)本题主要考查排列组合的综合，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力分类讨论思想方法.(2)排列组合常用方法：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.18. 已知定义在上的函数满足（其中为的导函数）且，则不等式的解集是__________．【答案】【解析】分析：根据题意，令g（x）=，对其求导可得g′（x），分析可得g′（x）＜0，即函数g（x）为减函数；结合f（1）=e可得g（1）=，则不等式f（x）＞e x⇔＞1⇔g（x）＞1⇔g（x）＞g（1），借助函数的单调性分析可得答案．详解：根据题意，令g（x）=，则其导数g′（x）=，又由f′（x）＜f（x），则有g′（x）＜0，即函数g（x）为减函数；且g（1）=；则不等式f（x）＞e x⇔＞1⇔g（x）＞1⇔g（x）＞g（1），又由函数g（x）为减函数，则有x＜1；则不等式f（x）＞e x的解集为（-∞,1）；故答案为：．点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性和解不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)解答本题的关键是构造函数g（x）=求其单调性,再利用单调性解不等式g（x）＞g（1）.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19. 已知的展开式中所有项的系数和为.（1）求的展开式中二项式系数最大的项；（2）求的展开式中的常数项.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）先根据展开式中所有项的系数和为得到n=6,再求展开式中二项式系数最大的项.(2)先求出的展开式中的一次项和常数项，再求的展开式中的常数项.详解：（1）由题意，令得，即，所以展开式中二项式系数最大的项是第项，即.（2）展开式的第项为.,由，得；由，得.所以的展开式中的常数项为.点睛：（1）本题主要考查二项式定理，考查二项式展开式的系数和二项式系数，考查展开式中的特定项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题的难点在第2问，展开式的常数项有两种生成方式，一是由（x+2）的一次项“x”和的“”项相乘得到，二是由（x+2）的常数项“2”和的常数项相乘得到，再把两个相加即得.20. 某种农作物可以生长在滩涂和盐碱地，它的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某实验基地为了研究海水浓度对亩产量(吨)的影响,通过在试验田的种植实验,测得了该农作物的亩产量与海水浓度的数据如下表：海水浓度亩产量残差绘制散点图发现,可以用线性回归模型拟合亩产量(吨)与海水浓度之间的相关关系，用最小二乘法计算得与之间的线性回归方程为.（1）求的值；（2）统计学中常用相关指数来刻画回归效果，越大，回归效果越好，如假设，就说明预报变量的差异有是解释变量引起的.请计算相关指数(精确到),并指出亩产量的变化多大程度上是由浇灌海水浓度引起的？（附：残差，相关指数，其中）【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）先求出，再代入方程即得的值；再求，最后利用残差定义求m,n.(2)直接利用相关指数公式求相关指数，并指出亩产量的变化多大程度上是由浇灌海水浓度引起的.详解：（1）因为,,所以，即,所以线性回归方程为,所以,.（2）,所以相关指数,故亩产量的变化有是由海水浓度引起的.点睛：（1）本题主要考查回归方程的性质和残差，考查相关指数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2) 称为样本点的中心，回归直线过样本点的中心.21. 观察下列等式：；；；；……（1）照此规律，归纳猜想第个等式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）第个等式为.(2)利用个数学归纳法证明猜想. 详解：（1）第个等式为；（2）用数学归纳法证明如下：①当时，左边，右边,所以当时，原等式成立.②假设当时原等式成立，即,则当时，,所以当时，原等式也成立.由①②知，（1）中的猜想对任何都成立.点睛：（1）本题主要考查归纳猜想和数学归纳法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是证明n=k+1时，=.22. 2018年6月14日，第二十一届世界杯尼球赛在俄罗斯拉开了帷幕，某大学在二年级作了问卷调查,从该校二年级学生中抽取了人进行调查,其中女生中对足球运动有兴趣的占，而男生有人表示对足球运动没有兴趣. （1）完成列联表,并回答能否有的把握认为“对足球是否有兴趣与性别有关”？（2）若将频率视为概率,现再从该校二年级全体学生中,采用随机抽样的方法每饮抽取名学生,抽取次，记被抽取的名学生中对足球有兴趣的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望.附:【答案】（1）有；（2）.【解析】分析：（1）根据已知数据完成2×2列联表，计算，判断有的把握认为“对足球有兴趣与性别有关”.（2）先求得从大二学生中抽取一名学生对足球有兴趣的概率是，再利用二项分布求的分布列和数学期望.详解：（1）根据已知数据得到如下列联表：根据列联表中的数据，得到,所以有的把握认为“对足球有兴趣与性别有关”.（2）由列联表中数据可知，对足球有兴趣的学生频率是，将频率视为概率，即从大二学生中抽取一名学生对足球有兴趣的概率是，有题意知,,,,从而的分布列为.点睛：(1)本题主要考查独立性检验，考查随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)若～则23. 已知函数，其中为自然对数的底数.（1）若，求的最小值；（2）若，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）先利用导数求函数的单调区间，再求的最小值.(2)先求的最小值为,再证明＞0.详解：（1）若，,所以,设，则所以在上为增函数，又，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以的最小值为.（2）由题意知当时，显然成立.当时，由（1）知在上为增函数，因为,所以存在唯一的使得，即,所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以的最小值为,,,当且仅当，即时取等号.代入得，矛盾，所以等号不能成立.所以，所以.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间和最值，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)解答本题有两个难点，其一是求得的最小值为,其二是证明＞0，用到了基本不等式，同时要注意取等的问题. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.24. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，已知点，直线（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线的交点为，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：(1)直接代极坐标公式得到曲线的直角坐标方程.(2) 把直线的参数方程代入，得,再利用直线参数方程t的几何意义解答.详解：（1）对于曲线，两边同乘以可得，即,所以它的直角坐标方程为.（2）把直线的参数方程代入，得,所以,因为点在直线上，所以,因为,所以,所以.点睛：（1）本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本运算能力.(2) 过定点、倾斜角为的直线的参数方程（为参数）.当动点在定点上方时,. 当动点在定点下方时,.25. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的不等式有实数解，求的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】分析：（1）利用零点分类讨论法解不等式.(2)先求的最小值为,再解不等式得的取值范围.详解：（1）由题意的：,两边平方得：,即，解得或，所以原不等式的解集为.（2）,所以的最小值为,所以，即或,亦即或.点睛：（1）本题主要考查绝对值不等式的解法和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分类讨论思想方法.(2)解答本题的关键是求的最小值，这里利用了三角绝对值不等式求最值.。

山东省枣庄市2017-2018学年高二下学期第一次月考数学试卷(理科)Word版含解析

山东省枣庄市2017-2018学年高二下学期第一次月考试卷（理科数学）一、选择题1．“x≠1”是“x 2﹣3x+2≠0”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若p ∧q 是假命题，则（）A ．p 是真命题，q 是假命题B ．p 、q 均为假命题C ．p 、q 至少有一个是假命题D ．p 、q 至少有一个是真命题3．已知F 1，F 2是距离为6的两个定点，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则M 点的轨迹是（）A ．椭圆B ．直线C ．线段D ．圆4．双曲线的渐近线方程为（）A ．B ．C ．D ．5．中心在原点的双曲线，一个焦点为，一个焦点到最近顶点的距离是，则双曲线的方程是（）A ．B ．C ．D ．6．已知正方形ABCD 的顶点A ，B 为椭圆的焦点，顶点C ，D 在椭圆上，则此椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．7．椭圆与双曲线﹣=1有相同的焦点，则a 的值为（）A ．1B ．C ．2D ．38．已知A （﹣1，﹣2，6），B （1，2，﹣6）O 为坐标原点，则向量与的夹角是（）A ．0B ．C ．πD ．9．与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（）A ．（，1，1）B ．（﹣1，﹣3，2）C ．（﹣，，﹣1）D ．（，﹣3，﹣2）10．已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=1，AA 1=2，E 是侧棱BB 1的中点，则直线AE 与平面A 1ED 1所成角的大小为（）A ．60°B ．90°C ．45°D ．以上都不正确二、填空题11．已知向量=（1，2，﹣3）与=（2，x ，y ）平行，则（x+y ）的值是．12．如图ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1=D 1F 1=，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是．13．已知椭圆x2+ky2=3k（k＞0）的一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该椭圆的离心率是．14．已知方程+=1表示椭圆，则k的取值范围为．15．已知命题P：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根．命题Q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若“P 或Q”为真，“P且Q”为假，则实数m的取值范围是．三、解答题16．在三棱锥P﹣ABC中，PB2=PC2+BC2，PA⊥平面ABC．（1）求证：AC⊥BC；（2）如果AB=4，AC=3，当PA取何值时，使得异面直线PB与AC所成的角为60°．17．求渐近线方程为，且过点的双曲线的标准方程及离心率．18．设命题p：不等式|2x﹣1|＜x+a的解集是；命题q：不等式4x≥4ax2+1的解集是∅，若“p或q”为真命题，试求实数a的值取值范围．19．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（﹣3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．20．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ（Ⅱ）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．21．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的焦距为2，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2与椭圆C交于A，B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，求直线l的方程．山东省枣庄市2017-2018学年高二下学期第一次月考试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题1．“x≠1”是“x2﹣3x+2≠0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由x2﹣3x+2≠0，推出x≠1且x≠2，因此前者是后者的必要不充分条件．【解答】解：由x2﹣3x+2≠0，得x≠1且x≠2，能够推出x≠1，而由x≠1，不能推出x≠1且x≠2；因此前者是后者的必要不充分条件．故答案为：B．2．若p∧q是假命题，则（）A ．p 是真命题，q 是假命题B ．p 、q 均为假命题C ．p 、q 至少有一个是假命题D ．p 、q 至少有一个是真命题【考点】复合命题的真假．【分析】根据p ∧q 是假命题，则可知p ，q 至少有一个为假命题，即可判断．【解答】解：根据复合命题与简单命题真假之间的关系可知，若p ∧q 是假命题，则可知p ，q 至少有一个为假命题．故选C ．3．已知F 1，F 2是距离为6的两个定点，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则M 点的轨迹是（）A ．椭圆B ．直线C ．线段D ．圆【考点】轨迹方程．【分析】可以画出线段F 1F 2，根据图形即可找到满足条件的点M 的分布情况，从而得出M 点的轨迹．【解答】解：M 一定在线段F 1F 2上，如果点M 不在该线段上，如图所示：①若M 不在直线F 1F 2上时，根据两边之和大于第三边知：|MF 1|+|MF 2|＞|F 1F 2|=6；即这种情况不符合条件；②M 在F 1F 2的延长线或其反向延长线上时，显然也不符合条件；∴只有M 在线段F 1F 2上符合条件；∴M 点的轨迹是线段．故选：C ．4．双曲线的渐近线方程为（）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先由解析式求出a=4，b=3；再代入焦点在x 轴上的渐近线方程的公式即可找到答案．【解答】解：由题得，a=4，b=3，且焦点在x 轴上；所以渐近线方程为y=x=．故选 C ．5．中心在原点的双曲线，一个焦点为，一个焦点到最近顶点的距离是，则双曲线的方程是（）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意知，双曲线的焦点在y 轴，c=，a=1，从而可得其标准方程．【解答】解：∵中心在原点的双曲线，一个焦点为F（0，），∴其焦点在y轴，且半焦距c=；又F到最近顶点的距离是﹣1，∴a=1，∴b2=c2﹣a2=3﹣1=2．∴该双曲线的标准方程是y2﹣=1．故选A．6．已知正方形ABCD的顶点A，B为椭圆的焦点，顶点C，D在椭圆上，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆方程为（a＞b＞0），可得正方形边长AB=2c，再根据正方形的性质，可计算出2a=AC+BC=2c+2c，最后可得椭圆的离心率e==．【解答】解：设椭圆方程为，（a＞b＞0）∵正方形ABCD的顶点A，B为椭圆的焦点，∴焦距2c=AB，其中c=＞0∵BC⊥AB，且BC=AB=2c∴AC==2 c根据椭圆的定义，可得2a=AC+BC=2c+2c∴椭圆的离心率e====故选A7．椭圆与双曲线﹣=1有相同的焦点，则a的值为（）A．1 B．C．2 D．3【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】确定a ＞0，且椭圆的焦点应该在x 轴上，4﹣a 2=a+2，即可求出a 的值．【解答】解：因为椭圆与双曲线﹣=1有相同的焦点，所以a ＞0，且椭圆的焦点应该在x 轴上，所以4﹣a 2=a+2，所以a=﹣2，或a=1．因为a ＞0，所以a=1．故选：A ．8．已知A （﹣1，﹣2，6），B （1，2，﹣6）O 为坐标原点，则向量与的夹角是（）A ．0B ．C ．πD ．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】由cos ＜＞==﹣1，能求出向量与的夹角为π．【解答】解：∵A （﹣1，﹣2，6），B （1，2，﹣6）O 为坐标原点，∴向量=（﹣1，﹣2，6），=（1，2，﹣6），∴cos ＜＞==﹣1，∴向量与的夹角为π．故选：C ．9．与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（）A ．（，1，1）B ．（﹣1，﹣3，2）C ．（﹣，，﹣1）D ．（，﹣3，﹣2）【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．【分析】利用向量共线定理即可判断出．【解答】解：对于C 中的向量：（﹣，，﹣1）=﹣（1，﹣3，2）=﹣，因此与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是．故选：C ．10．已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=1，AA 1=2，E 是侧棱BB 1的中点，则直线AE 与平面A 1ED 1所成角的大小为（）A ．60°B ．90°C ．45°D ．以上都不正确【考点】直线与平面垂直的判定．【分析】根据本题的条件，E 是BB 1的中点且AA 1=2，AB=BC=1，容易证明∠AEA 1=90°，再由长方体的性质容易证明AD ⊥平面ABB 1A 1，从而证明AE ⊥平面A 1ED 1，是一个特殊的线面角．【解答】解：∵E 是BB 1的中点且AA 1=2，AB=BC=1，∴∠AEA 1=90°，又在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥平面ABB 1A 1，∴A 1D 1⊥AE ，∴AE ⊥平面A 1ED 1，故选B二、填空题11．已知向量=（1，2，﹣3）与=（2，x ，y ）平行，则（x+y ）的值是 ﹣2 ．【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．【分析】由向量=（1，2，﹣3）与=（2，x ，y ）平行，知，由此能求出x+y ．【解答】解：∵向量=（1，2，﹣3）与=（2，x ，y ）平行，∴，解得x=4，y=﹣6，∴x+y=4﹣6=﹣2．故答案为：﹣2．12．如图ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1=D 1F 1=，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式；异面直线及其所成的角．【分析】根据题图中的坐标系得到向量，，，的坐标，利用向量的坐标运算解答．【解答】解：由已知题图中坐标系得到D （0，0，0），B （1，1，0），E 1（1，，1），F 1（0，，1），=（0，﹣，1），=（0，，1），所以cos ＜，＞===，所以BE 1与DF 1所成的角的余弦值为．故答案为：．13．已知椭圆x2+ky2=3k（k＞0）的一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该椭圆的离心率是．【考点】圆锥曲线的共同特征；椭圆的简单性质．【分析】先将椭圆方程转化为标准方程，由“一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合”得到焦点的x轴上，从而确定a2，b2，再由“c2=a2﹣b2”建立k的方程求解，最后求得该椭圆的离心率．【解答】解：抛物线y2=12x的焦点（3，0）方程可化为．∵焦点（3，0）在x轴上，∴a2=3k，b2=3，又∵c2=a2﹣b2=9，∴a2=12，解得：k=4．=故答案为：．14．已知方程+=1表示椭圆，则k的取值范围为．【考点】椭圆的标准方程．【分析】根据题意，方程表示椭圆，则 x2，y2项的系数均为正数且不相等列出不等关系，解可得答案．【解答】解：∵方程表示椭圆，则⇒解得 k∈故答案为：．15．已知命题P：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根．命题Q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若“P 或Q”为真，“P且Q”为假，则实数m的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．【考点】复合命题的真假．【分析】利用一元二次方程的实数根与判别式的关系、不等式的解法可得命题P与Q的m的取值范围，再由“P或Q”为真，“P且Q”为假，可得P与Q必然一个为真一个为假．即可得出．【解答】解：命题P：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根．∴，解得m＞2．命题Q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．△=16（m﹣2）2﹣16＜0，解得：1＜m＜3．若“P或Q”为真，“P且Q”为假，∴P与Q必然一个为真一个为假．∴或，解得1＜m≤2，或m≥3．则实数m的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．故答案为：（1，2]∪[3，+∞）．三、解答题16．在三棱锥P﹣ABC中，PB2=PC2+BC2，PA⊥平面ABC．（1）求证：AC⊥BC；（2）如果AB=4，AC=3，当PA取何值时，使得异面直线PB与AC所成的角为60°．【考点】异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由已知得PC⊥BC，PA⊥BC，由此能证明AC⊥BC．（2）推导出PA⊥AC，设PA=x，由向量运算法则能求出当PA=时，异面直线PB与AC所成的角为600．【解答】（本题12分）证明：（1）∵PB2=PC2+BC2，∴PC⊥BC，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∴，∴AC⊥BC；…解：（2）∵PA⊥平面ABC，PA⊥AC，，设PA=x，又异面直线PB与AC所成的角为600，则．而∴=， =．∴，．当PA=时，异面直线PB与AC所成的角为600．…17．求渐近线方程为，且过点的双曲线的标准方程及离心率．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，设双曲线方程为，将点A坐标代入算出，从而得到双曲线方程．再将双曲线方程化成标准形式，即可算出a、b、c的值，从而得到该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为，∴设所求双曲线方程为∵点在双曲线上，∴，解之得∴所求双曲线方程为∵，∴可得，得c=因此，双曲线的离心率为：18．设命题p：不等式|2x﹣1|＜x+a的解集是；命题q：不等式4x≥4ax2+1的解集是∅，若“p或q”为真命题，试求实数a的值取值范围．【考点】其他不等式的解法；命题的真假判断与应用．【分析】若“p或q”为真命题即为p真或q真，只要分别求出p真、q真时a的范围，再求并集即可．【解答】解：由|2x﹣1|＜x+a得，由题意得．∴命题p：a=2．由4x≥4ax2+1的解集是∅，得4ax2﹣4x+1≤0无解，即对∀x∈R，4ax2﹣4x+1＞0恒成立，∴，得a＞1．∴命题q：a＞1．由“p或q”为真命题，得p、q中至少有一个真命题．∴实数a的值取值范围是（1，+∞）．19．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（﹣3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．【考点】抛物线的标准方程．【分析】先设抛物线的标准方程，把点M代入抛物线方程求得m和p的关系，根据M到焦点的距离求得m和p的另一个关系式，联立方程求得m和p．【解答】解：设抛物线方程为y2=﹣2px（p＞0）点F（﹣，0）由题意可得，解之得或，故所求的抛物线方程为y2=﹣8x，m的值为±220．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ（Ⅱ）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定；向量语言表述面面的垂直、平行关系；用空间向量求平面间的夹角．【分析】首先根据题意以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz；（Ⅰ）根据坐标系，求出、、的坐标，由向量积的运算易得•=0，•=0；进而可得PQ⊥DQ，PQ⊥DC，由面面垂直的判定方法，可得证明；（Ⅱ）依题意结合坐标系，可得B、、的坐标，进而求出平面的PBC的法向量与平面PBQ法向量，进而求出cos＜，＞，根据二面角与其法向量夹角的关系，可得答案．【解答】解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz；（Ⅰ）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）；则=（1，1，0），=（0，0，1），=（1，﹣1，0），所以•=0，•=0；即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，故PQ⊥平面DCQ，又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ；（Ⅱ）依题意，有B（1，0，1），=（1，0，0），=（﹣1，2，﹣1）；设=（x，y，z）是平面的PBC法向量，则即，因此可取=（0，﹣1，﹣2）；设是平面PBQ的法向量，则，可取=（1，1，1），所以cos＜，＞=﹣，故二面角角Q﹣BP﹣C的余弦值为﹣．21．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的焦距为2，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2与椭圆C交于A，B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的定义可得a，由焦距的概念可得c，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）直线l ：y=kx ﹣2代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由中点坐标公式和两直线垂直的条件，可得k 的方程，解方程可得直线方程．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的定义可得2a=6，2c=2，解得a=3，c=，所以b 2=a 2﹣c 2=3，所以椭圆C 的方程为+=1．（Ⅱ）由得（1+3k 2）x 2﹣12kx+3=0，由于直线与椭圆有两个不同的交点，所以△=144k 2﹣12（1+3k 2）＞0解得．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）则，，，所以，A ，B 中点坐标E （，），因为|PA|=|PB|，所以PE ⊥AB ，即k PE •k AB =﹣1，所以•k=﹣1解得k=±1，经检验，符合题意，所以直线l 的方程为x ﹣y ﹣2=0或x+y+2=0．。

【答案】山大附高二第一次月考数学

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：AM=BE=2，同理可得：BM=AF=2，又 AB=2 2 ， ∴AB2=AM2+BM2， ∴AM⊥BM， ∵四边形 ABCD 为矩形， ∴BC∥AD，又 AD⊥平面 ABEF， ∴BC⊥平面 ABEF， ∴BC⊥AM，又 BC∩BM=B， ∴AM⊥平面 BCM．
-2-
20. 解：（1）取 OB 中点 E，连接 ME，NE
（2）体积为V 22 1 1 22 2 20 ．
3
3
18. 解：（Ⅰ）证明：连接 EC，则 EC⊥AB 又∵PA=PB，∴AB⊥PE， ∴AB⊥面 PEC， ∵BC⊂面 PEC， ∴AB⊥PC
（Ⅱ）连结 FH，交于 EC 于 O，连接 GO，则 FH∥AB 在△PEC 中，GO∥PE， ∵PE∩AB=E，GO∩FH=O ∴平面 PAB∥平面 FGH
AN= 1 DO= 5 ，
2
4
在 Rt△ANM 中，tan∠MAN= MN 1 4 5 ， AN 5 5
4
即直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值为 4 5 ． 5
-3-
∵AC⊂平面 PAC，PO⊂平面 PAC，且 AC∩PO=O，
∴由直线和平面垂直的判定定理知 AD⊥平面 PAC．
（2）解：取 DO 中点 N，连接 MN，AN，
由 PO⊥平面 ABCD，得 MN⊥平面 ABCD，
∴∠MAN 是直线 AM 与平面 ABCD 所成的角，
∵M 为 PD 的中点，
∴MN∥PO，且 MN= 1 PO=1， 2
4
2
∴ cos∠MDP DP 1 ,∠MDC ∠MDP
MD 2
3
所以 AB 与 MD 所成角的大小为． 3
21. 解：（1）证明：∵PO⊥平Байду номын сангаас ABCD，且 AD⊂平面 ABCD，

山东省济南市2017-2018学年高二下学期第一次月考数学试卷(理科)Word版含解析

山东省济南市2017-2018学年高二下学期第一次月考试卷（理科数学）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数是虚数单位，则复数z的虚部是（）A．B．C．D．2．分析法证明命题中所说的“执果索因”是指寻求使命题成立的（）A．必要条件B．充分条件C．充要条件D．必要或充分条件3．设f（x）在x可导，则等于（）A．2f'（x0）B．f'（x）C．3f'（x）D．4f'（x）4．曲线y=x3﹣4x在点（1，﹣3）处的切线倾斜角为（）A．B．C．D．5．我们把1，3，6，10，15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如图）则第七个三角形数是（）A．27 B．28 C．29 D．306．如图所示的曲线是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x12+x22等于（）A．B． x2C．D．7．若|z﹣1|=|z+1|，则复数z对应的点在（）A．实轴上B．虚轴上C．第一象限D．第二象限8．函数f（x）=x2•e x+1，x∈[﹣2，1]的最大值为（）A．4e﹣1B．1 C．e2D．3e29．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的（）①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱椎．A．4个B．3个C．2个D．1个10．若函数f（x）的导数是f'（x）=﹣x（x+1），则函数g（x）=f（ax﹣1）（a＜0）的单调减区间是（）A． B．C． D．11．若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f（x）=sin x，g（x）=cos x；②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；③f（x）=x，g（x）=x2，其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（）A．0 B．1 C．2 D．312．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．下列说法中正确的序号是．①若（2x﹣1）+i=y﹣（3﹣y）i，其中x∈R，y∈∁CR，则必有②2+i＞1+i③虚轴上的点表示的数都是纯虚数④若一个数是实数，则其虚部不存在⑤若，则z3+1对应的点在复平面内的第一象限．14．如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为．15．观察下列等式：（1+1）=2×1（2+1）（2+2）=22×1×3（3+1）（3+2）（3+3）=23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为．16．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，＞0（x＞0），则不等式xf（x）＞0的解集是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；（2）若，求证：ω为纯虚数．18．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣1与x=2处都取得极值．（Ⅰ）求a，b的值及函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对x∈[﹣2，3]，不等式f（x）+c＜c2恒成立，求c的取值范围．19．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=x3﹣x+8（0＜x≤120）已知甲、乙两地相距100千米．（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？20．已知函数，g （x ）=ax ，h （x ）=f （x ）﹣g （x ）+3x ，其中a ∈R且a ＞1．（1）当a=3时，求函数h （x ）的单调区间及极值；（2）若对任意的x 1，x 2∈（0，+∞），x 1≠x 2，函数h （x ）满足，求实数a的取值范围．21．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点（n ，S n ）均在函数y=b x +r （b ＞0且b ≠1，b ，r 均为常数）的图象上．（1）求r 的值；（2）当b=2时，记，证明：对任意的n ∈N *，不等式成立．22．设函数f （x ）=e mx +x 2﹣mx ．（1）证明：f （x ）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x 1，x 2∈[﹣1，1]，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤e ﹣1，求m 的取值范围．山东省济南市2017-2018学年高二下学期第一次月考试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数是虚数单位，则复数z的虚部是（）A．B．C．D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的基本运算进行化简即可得到结论．【解答】解：z=，故z的虚部为，故选：D2．分析法证明命题中所说的“执果索因”是指寻求使命题成立的（）A．必要条件B．充分条件C．充要条件D．必要或充分条件【考点】R8：综合法与分析法(选修）．【分析】利用分析法证明不等式的方法和步骤，结合充分条件的定义，做出判断．【解答】解：用分析法证明不等式成立时用的方法是：要证此不等式成立，只要证明某条件具备即可，也就是说只要某条件具备，此不等式就一定成立，故某条件具备是不等式成立的充分条件．因此，“执果索因”是指寻求使不等式成立的充分条件，故选 B．3．设f（x）在x可导，则等于（）A．2f'（x0）B．f'（x）C．3f'（x）D．4f'（x）【考点】6F ：极限及其运算．【分析】由函数在某点的导数的定义可得 f′（x 0）=，而要求的式子可化为+3，由此得出结论．【解答】解：∵f （x ）在x 0可导，∴f′（x 0）=．∴==+=f′（x 0）+3=f′（x 0）+3f′（x 0）=4f′（x 0），故选D ．4．曲线y=x 3﹣4x 在点（1，﹣3）处的切线倾斜角为（）A ．B ．C ．D ．【考点】62：导数的几何意义．【分析】欲求在点（1，﹣3）处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k=y′|x=1，再结合正切函数的值求出角α的值即可．【解答】解：．故选A ．5．我们把1，3，6，10，15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如图）则第七个三角形数是（） A ．27 B ．28 C ．29 D ．30 【考点】8B ：数列的应用．【分析】原来三角形数是从l 开始的连续自然数的和．l 是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，10是第四个三角形数，15是第五个三角形数…那么，第七个三角形数就是：l+2+3+4+5+6+7=28．【解答】解：原来三角形数是从l 开始的连续自然数的和． l 是第一个三角形数， 3是第二个三角形数， 6是第三个三角形数， 10是第四个三角形数， 15是第五个三角形数， …那么，第七个三角形数就是：l+2+3+4+5+6+7=28．故选B ．6．如图所示的曲线是函数f （x ）=x 3+bx 2+cx+d 的大致图象，则x 12+x 22等于（）A ．B ． x 2C ．D ．【考点】7H ：一元二次方程的根的分布与系数的关系；6C ：函数在某点取得极值的条件．【分析】由图象知f （﹣1）=f （0）=f （2）=0，解出 b 、c 、d 的值，由x 1和x 2是f ′ （x ）=0的根，使用根与系数的关系得到x 1+x 2=，x 1•x 2=﹣，则由x 12+x 22 =（x 1+x 2）2﹣2x 1•x 2 代入可求得结果．【解答】解：∵f （x ）=x 3+bx 2+cx+d ，由图象知，﹣1+b ﹣c+d=0，0+0+0+d=0， 8+4b+2c+d=0，∴d=0，b=﹣1，c=﹣2∴f ′ （x ）=3x 2+2bx+c=3x 2﹣2x ﹣2．由题意有 x 1 和 x 2 是函数f （x ）的极值，故有 x1和 x2是 f′（x）=0的根，∴x1+x2=，x1•x2=﹣．则x12+x22 =（x1+x2）2﹣2x1•x2=+=，故选C．7．若|z﹣1|=|z+1|，则复数z对应的点在（）A．实轴上B．虚轴上C．第一象限D．第二象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由于|z﹣1|=|z+1|，可得复数z对应的点到（﹣1，0）的距离等于它到（1，0）的距离，从而可得复数z对应的点在虚轴上．【解答】解：由于|z﹣1|=|z+1|，故复数z对应的点到（﹣1，0）的距离等于它到（1，0）的距离，故复数z对应的点在虚轴上，故选B．8．函数f（x）=x2•e x+1，x∈[﹣2，1]的最大值为（）A．4e﹣1B．1 C．e2D．3e2【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出函数的导函数，令导数为0求出根，判断根左右两边导函数的符号，求出函数的极值及端点值，在其中选出最大值．【解答】解：f′（x）=xe x+1（x+2）令f′（x）=0得x=﹣2或x=0当f′（x）＞0时，x＜﹣2或x＞0；当f′（x）＜0时，﹣2＜x＜0当x=﹣2时f（﹣2）=；当x=0时，f（0）=0；当x=1时，f（1）=e2所以函数的最大值为e2故选C9．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的（）①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱椎．A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】F3：类比推理．【分析】根据形状相同，大小不一定相同的几何体为相似体，逐一判断，可得结论．【解答】解：∵两个球体的形状相同，大小不一定相同，故两个球体一定属于相似体；∵两个长方体的形状不一定相同，故两个长方体不一定属于相似体；∵两个正四面体的形状不一定相同，故两个正四面体一定属于相似体；∵两个正三棱柱的形状不一定相同，故两个正三棱柱不一定属于相似体；∵两个正四棱锥的形状不一定相同，故两个正四棱锥不一定属于相似体；故一定属于相似体的个数是2个，故选C．10．若函数f（x）的导数是f'（x）=﹣x（x+1），则函数g（x）=f（ax﹣1）（a＜0）的单调减区间是（）A．B．C．D．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；3D：函数的单调性及单调区间．【分析】由函数f（x）的导函数f′（x）＞0，求出函数f（x）的增区间，然后根据伸缩变换得到f（ax）的减区间，再通过函数图象平移求得函数f（ax﹣1）（a＜0）的减区间．【解答】解：由f'（x）=﹣x（x+1）＞0，得﹣1＜x＜0，所以函数f（x）（﹣1，0）上为增函数，又a＜0，所以﹣a＞0，所以函数f（﹣ax）在上为增函数，f（ax）=f[﹣（﹣ax）]在（0，﹣）上为减函数，又f（ax﹣1）=f[a（x﹣）]=，所以函数f（ax﹣1）是把函数f（ax）向左平移个单位得到的，所以，．故选A．11．若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f（x）=sin x，g（x）=cos x；②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；③f（x）=x，g（x）=x2，其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】68：微积分基本定理．【分析】利用新定义，对每组函数求积分，即可得出结论．【解答】解：对于①： [sin x•cos x]dx=（sinx）dx=﹣cosx=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于②：（x+1）（x﹣1）dx=（x2﹣1）dx=（）≠0，∴f（x），g（x）不是区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于③： x3dx=（）=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，∴正交函数有2组，故选：C．12．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；52：函数零点的判定定理；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（i）当a=0时，f（x）=﹣3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，两个解，舍去．（ii）当a≠0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣），令f′（x）=0，解得x=0或．对a分类讨论：①当a ＜0时，由题意可得；②当a ＞0时，推出极值点不满足题意，推出结果即可．【解答】解：（i ）当a=0时，f （x ）=﹣3x 2+1，令f （x ）=0，解得x=±，函数f （x ）有两个零点，舍去．（ii ）当a ≠0时，f′（x ）=3ax 2﹣6x=3ax （x ﹣），令f′（x ）=0，解得x=0或．①当a ＜0时，＜0，当x ＜或x ＞0时，f′（x ）＜0，此时函数f （x ）单调递减；当＜x ＜0时，f′（x ）＞0，此时函数f （x ）单调递增．∴是函数f （x ）的极小值点，0是函数f （x ）的极大值点．∵函数f （x ）=ax 3﹣3x 2+1存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则：，即：，可得a ＜﹣2．②当a ＞0时，＞0，当x ＞或x ＜0时，f′（x ）＞0，此时函数f （x ）单调递增；当0＜x＜时，f′（x ）＜0，此时函数f （x ）单调递减．∴是函数f （x ）的极小值点，0是函数f （x ）的极大值点．不满足函数f （x ）=ax 3﹣3x 2+1存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，综上可得：实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：C ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．下列说法中正确的序号是⑤．R，则必有①若（2x﹣1）+i=y﹣（3﹣y）i，其中x∈R，y∈∁C②2+i＞1+i③虚轴上的点表示的数都是纯虚数④若一个数是实数，则其虚部不存在⑤若，则z3+1对应的点在复平面内的第一象限．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①依题意知，即y∈{虚数}，利用复数相等的概念可判断①的正误；②利用虚数不能比较大小可判断②的正误；③利用虚轴的概念可判断③的正误；④由实数的虚部为0可判断④的正误；⑤由=﹣i，知z3+1=1+i，可判断⑤的正误；R，即y∈{虚数}，故不成立，故①错误；【解答】解：对于①，∵x∈R，y∈∁C对于②，若两个复数如果不全是实数，则不能比较大小，由于2+i与1+i均为虚数，故不能比较大小，故②错误；对于③，因为除原点外，虚轴上的点表示的数都是纯虚数，故③错误；对于④，若一个数是实数，则其虚部存在，为0，故④错误；对于⑤，若=﹣i，则z3+1=1+i，在复平面内对应的点为（1，1），在第一象限．故⑤正确；综上所述，正确答案为：⑤，故答案为：⑤．14．如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为．【考点】CF：几何概型．【分析】利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率．【解答】解：由题意，y=lnx与y=e x关于y=x对称，∴阴影部分的面积为2（e﹣e x）dx=2（ex﹣e x）=2，∵边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，∴落到阴影部分的概率为．故答案为：．15．观察下列等式：（1+1）=2×1（2+1）（2+2）=22×1×3（3+1）（3+2）（3+3）=23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…•（2n﹣1）．【考点】F1：归纳推理．【分析】通过观察给出的前三个等式的项数，开始值和结束值，即可归纳得到第n个等式．【解答】解：题目中给出的前三个等式的特点是第一个等式的左边仅含一项，第二个等式的左边含有两项相乘，第三个等式的左边含有三项相乘，由此归纳第n个等式的左边含有n项相乘，由括号内数的特点归纳第n个等式的左边应为：（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n），每个等式的右边都是2的几次幂乘以从1开始几个相邻奇数乘积的形式，且2的指数与奇数的个数等于左边的括号数，由此可知第n个等式的右边为2n•1•3•5…（2n﹣1）．所以第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…（2n﹣1）．故答案为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…（2n﹣1）．16．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，＞0（x＞0），则不等式xf（x）＞0的解集是{x|x＜﹣1或x＞1} ．【考点】3L：函数奇偶性的性质；3K：函数奇偶性的判断．【分析】首先，构造函数g（x）=，然后，得到该函数的单调区间，最后，结合该函数的取值情形，进行求解．【解答】解：∵＞0（x＞0），设函数g（x）=，∴g′（x）=＞0，∴g（x）的单调递增区间为（0，+∞），∵g（﹣x）===g（x），∴g（x）为偶函数，∴g（x）的单调递减区间为（﹣∞，0），∵f（1）=0，∴g（1）=0．g（﹣1）=0，∴当x＜﹣1时，g（x）＞0，当﹣1＜x＜0时，g（x）＜0，当0＜x＜1时，g（x）＜0，当x＞1时，g（x）＞0，∵不等式xf（x）＞0的解集等价于g（x）＞0，∴当x＜﹣1或x＞1时，g（x）＞0，不等式xf（x）＞0的解集{x|x＜﹣1或x＞1}．故答案为：{x|x＜﹣1或x＞1}．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；（2）若，求证：ω为纯虚数．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】（1）设出复数，根据两个复数之间的关系，写出z2的表示式，根据这是一个实数，得到这个复数，根据条件中所给的取值范围，得到要求的a的取值．（2）根据上一问设出的复数，表示出ω，进行复数除法的运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理变化，得到最简形式，得到这是一个纯虚数．【解答】解：（1）设z1=a+bi（a，b∈R，且b≠0），则∵z2是实数，b≠0，∴有a2+b2=1，即|z1|=1，∴可得z2=2a，由﹣1≤z2≤1，得﹣1≤2a≤1，解得，即z1的实部的取值范围是．（2）∵a∈，b≠0，∴ω为纯虚数．18．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣1与x=2处都取得极值．（Ⅰ）求a，b的值及函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对x∈[﹣2，3]，不等式f（x）+c＜c2恒成立，求c的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性；R6：不等式的证明．【分析】（1）求出f′（x）并令其=0得到方程，把x=﹣1和x=2代入求出a、b即可；（2）求出函数的最大值为f（﹣1），要使不等式恒成立，既要证f（﹣1）+c＜c2，即可求出c的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2+2ax+b，由题意：即解得∴，f′（x）=3x2﹣3x﹣6令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜2；令f′（x）＞0，解得x＜﹣1或x＞2，∴f（x）的减区间为（﹣1，2）；增区间为（﹣∞，﹣1），（2，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增；在（﹣1，2）上单调递减；在（2，+∞）上单调递增．∴x∈[﹣2，3]时，f（x）的最大值即为f（﹣1）与f（3）中的较大者.；∴当x=﹣1时，f（x）取得最大值．要使，只需，即：2c2＞7+5c解得：c＜﹣1或．∴c的取值范围为．19．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=x3﹣x+8（0＜x≤120）已知甲、乙两地相距100千米．（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【考点】6D ：利用导数研究函数的极值；5D ：函数模型的选择与应用．【分析】（I ）把用的时间求出，在乘以每小时的耗油量y 即可．（II ）求出耗油量为h （x ）与速度为x 的关系式，再利用导函数求出h （x ）的极小值判断出就是最小值即可．【解答】解：（I ）当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗油（升）．答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．（II ）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h （x ）升，依题意得，．令h'（x ）=0，得x=80．当x ∈（0，80）时，h'（x ）＜0，h （x ）是减函数；当x ∈（80，120）时，h'（x ）＞0，h （x ）是增函数． ∴当x=80时，h （x ）取到极小值h （80）=11.25．因为h （x ）在（0，120]上只有一个极值，所以它是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．20．已知函数，g （x ）=ax ，h （x ）=f （x ）﹣g （x ）+3x ，其中a ∈R且a ＞1．（1）当a=3时，求函数h （x ）的单调区间及极值；（2）若对任意的x 1，x 2∈（0，+∞），x 1≠x 2，函数h （x ）满足，求实数a的取值范围．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6D ：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求导，令h′（x ）＞0求得函数的单调递增区间，f′（x ）＜0即可求得函数的单调递减区间，即可求出函数极值，（2）构造函数，利用导数和函数单调性的关系，以及二次函数的性质即可求出a 的范围【解答】解：（1）当a=3时，，x ＞0，∴，当h′（x ）＞0时，解得0＜x ＜1或x ＞2，函数单调递增，当h′（x ）＜0时，解得1＜x ＜2，函数单调递减，∴函数h （x ）的单调增区间是（0，1），（2，+∞）；单调减区间是（1，2）函数h （x ）在x=1处取得极大值，在x=2处取得极小值2ln2﹣4．（2）由题意，不妨设x 1＜x 2，则由得h （x 1）+x 1＜h （x 2）+x 2令，则函数F （x ）在（0，+∞）单调递增，在（0，+∞）恒成立即G （x ）=x 2﹣（a ﹣1）x+a ﹣1≥0在（0，+∞）恒成立，∵G （0）=a ﹣1＞0，，因此，只需△=（a ﹣1）2﹣4（a ﹣1）≤0，解得1＜a ≤5 故所求实数a 的取值范围为1＜a ≤5．21．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点（n ，S n ）均在函数y=b x +r （b ＞0且b ≠1，b ，r 均为常数）的图象上．（1）求r 的值；（2）当b=2时，记，证明：对任意的n ∈N *，不等式成立．【考点】8K ：数列与不等式的综合．【分析】（1）由题意可知：，则n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列，，即，解得r=﹣1；（2）由不等式为，采用数学归纳法即可求得不等式成立．【解答】解：（1）由题意，，当n ≥2时，，∴且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列，又a 1=b+r ，a 2=b （b ﹣1），，即，解得r=﹣1，r 的值﹣1；（2）证明：当b=2时，由（1）知，因此，∴不等式为①当n=1时，左式=，右式=，左式＞右式，所以结论成立②假设n=k （k ∈N *）时结论成立，即，则当n=k+1时，要证当n=k+1时结论成立，只需证成立，只需证：4k 2+12k+9＞4k 2+12k+8成立，显然成立，∴当n=k+1时，成立，综合①②可知不等式成立．22．设函数f （x ）=e mx +x 2﹣mx ．（1）证明：f （x ）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x 1，x 2∈[﹣1，1]，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤e ﹣1，求m 的取值范围．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6E ：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）利用f′（x ）≥0说明函数为增函数，利用f′（x ）≤0说明函数为减函数．注意参数m 的讨论；（2）由（1）知，对任意的m ，f （x ）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m 的取值范围．【解答】解：（1）证明：f′（x ）=m （e mx ﹣1）+2x ．若m ≥0，则当x ∈（﹣∞，0）时，e mx ﹣1≤0，f′（x ）＜0；当x ∈（0，+∞）时，e mx ﹣1≥0，f′（x ）＞0．若m ＜0，则当x ∈（﹣∞，0）时，e mx ﹣1＞0，f′（x ）＜0；当x ∈（0，+∞）时，e mx ﹣1＜0，f′（x ）＞0．所以，f （x ）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）由（1）知，对任意的m ，f （x ）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f （x ）在x=0处取得最小值．所以对于任意x 1，x 2∈[﹣1，1]，|f （x 1）﹣f （x 2）|≤e ﹣1的充要条件是即设函数g （t ）=e t ﹣t ﹣e+1，则g′（t ）=e t ﹣1．当t ＜0时，g′（t ）＜0；当t ＞0时，g′（t ）＞0．故g （t ）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．又g （1）=0，g （﹣1）=e ﹣1+2﹣e ＜0，故当t ∈[﹣1，1]时，g （t ）≤0．当m ∈[﹣1，1]时，g （m ）≤0，g （﹣m ）≤0，即合式成立；当m ＞1时，由g （t ）的单调性，g （m ）＞0，即e m ﹣m ＞e ﹣1．当m ＜﹣1时，g （﹣m ）＞0，即e ﹣m +m ＞e ﹣1．综上，m 的取值范围是[﹣1，1]。

山东省济宁市2017-2018学年高二下学期第一次月考数学试卷(创理、重理)Word版含解析

山东省济宁市2017-2018学年高二下学期第一次月考数学试卷（创理、重理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知函数f（x）=2ln（3x）+8x，则的值为（）A．10 B．﹣10 C．﹣20 D．203．因为a，b∈R+，a+b≥2，…大前提x+≥2，…小前提所以x+≥2，…结论以上推理过程中的错误为（）A．小前提B．大前提C．结论D．无错误4．函数y=x3﹣3x2﹣9x（﹣2＜x＜2）有（）A．极大值5，极小值﹣27 B．极大值5，极小值﹣11C．极大值5，无极小值D．极小值﹣27，无极大值5．设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1 B．C．D．26．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）A．B． C． D．7．下列计算错误的是（）A． sinxdx=0B．dx=C． cosxdx=2cosxdxD． sin2xdx=08．已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）A．（﹣1，1，0）B．（1，﹣1，0）C．（0，﹣1，1）D．（﹣1，0，1）9．若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有=++，则P，A，B，C四点（）A．不共面B．共面C．共线D．不共线10．已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）11．用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（）A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+112．按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是（）A．C4H9B．C4H10C．C4H11D．C6H12二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上）13．已知四面体四个顶点分别为A（2，3，1）、B（4，1，﹣2）、C（6，3，7）和D（﹣5，﹣4，8），则顶点D到平面ABC的距离为．14．垂直于直线2x﹣6y+1=0并且与曲线y=x3+3x2﹣5相切的直线方程是15．已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为．16．若Rt△ABC中两直角边为a、b，斜边c上的高为h，则，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P﹣ABC，PO为棱锥的高，记M=，N=，那么M、N的大小关系是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=ax3+bx+1的图象经过点（1，﹣3）且在x=1处f（x）取得极值．求：（1）函数f（x）的解析式；（2）f（x）的单调递增区间．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4．（1）证明：AC⊥BC1；（2）求二面角C1﹣AB﹣C的余弦值大小．19．已知a＞b＞c，求证：．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．21．数列{an }满足Sn=2n﹣an（n∈N*）．（1）计算a1、a2、a3，并猜想an的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．22．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤，求k的取值范围．山东省济宁市2017-2018学年高二下学期第一次月考数学试卷（创理、重理）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】先将复数z进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到代数形式，写出复数在复平面上对应的点的坐标，根据坐标的正负得到所在的象限．【解答】解：∵==﹣i∴复数在复平面对应的点的坐标是（，﹣）∴它对应的点在第四象限，故选D2．已知函数f（x）=2ln（3x）+8x，则的值为（）A．10 B．﹣10 C．﹣20 D．20【考点】62：导数的几何意义；61：变化的快慢与变化率．【分析】利用导数的定义与运算法则即可得出．【解答】解：函数f（x）=2ln（3x）+8x，∴f′（x）=+8，∴f′（1）=10，∴=﹣2=﹣2f′（1）=﹣20，故选：C3．因为a，b∈R+，a+b≥2，…大前提x+≥2，…小前提所以x+≥2，…结论以上推理过程中的错误为（）A．小前提B．大前提C．结论D．无错误【考点】F7：进行简单的演绎推理．【分析】演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，演绎推理得到的结论不一定是正确的，这要取决与前提是否真实和推理的形式是否正确，演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提小前提和结论．【解答】解：∵，这是基本不等式的形式，注意到基本不等式的使用条件，a，b都是正数，是小前提，没有写出x的取值范围，∴本题中的小前提有错误，故选A．4．函数y=x3﹣3x2﹣9x（﹣2＜x＜2）有（）A．极大值5，极小值﹣27 B．极大值5，极小值﹣11C．极大值5，无极小值D．极小值﹣27，无极大值【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求出y的导函数得到x=﹣1，x=3（因为﹣2＜x＜2，舍去），讨论当x＜﹣1时，y′＞0；当x＞﹣1时，y′＜0，得到函数极值即可．【解答】解：y′=3x2﹣6x﹣9=0，得x=﹣1，x=3，当x＜﹣1时，y′＞0；当x＞﹣1时，y′＜0，=5；x取不到3，无极小值．当x=﹣1时，y极大值故选C5．设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1 B．C．D．2【考点】A8：复数求模．【分析】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即，解得，即|x+yi|=|1+i|=，故选：B．6．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）A．B． C． D．【考点】MQ：用空间向量求直线与平面的夹角；MI：直线与平面所成的角．【分析】设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．【解答】解：设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：则D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），=（1，1，0），=（1，0，﹣2），=（1，0，0），设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则，即，取=（2，﹣2，1），设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||=，故选A．7．下列计算错误的是（）A． sinxdx=0B．dx=C． cosxdx=2cosxdxD． sin2xdx=0【考点】67：定积分．【分析】利用微积分基本定理求出各选项的值，判断出D错．【解答】解：∫﹣ππsinxdx=（﹣cosx）|﹣ππ=（﹣cosπ）﹣（﹣cos（﹣π）=0因为y=cosx为偶函数所以=π故选D8．已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）A．（﹣1，1，0）B．（1，﹣1，0）C．（0，﹣1，1）D．（﹣1，0，1）【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论．【解答】解：不妨设向量为=（x，y，z），A．若=（﹣1，1，0），则cosθ==，不满足条件．B．若=（1，﹣1，0），则cosθ===，满足条件．C．若=（0，﹣1，1），则cosθ==，不满足条件．D．若=（﹣1，0，1），则cosθ==，不满足条件．故选：B9．若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有=++，则P，A，B，C四点（）A．不共面B．共面C．共线D．不共线【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】由共面向量基本定理即可得出．【解答】解：：由=++，可得=1，又A，B，C不共线，∴P，A，B，C四点共面．故选：B．10．已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=f（x）﹣2x﹣4，利用导数研究函数的单调性即可得到结论．【解答】解：设g（x）=f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）=f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）=2，∴g（﹣1）=f（﹣1）+2﹣4=4﹣4=0，则∵函数g（x）单调递增，∴由g（x）＞g（﹣1）=0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B11．用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（）A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+1【考点】RM：用数学归纳法证明不等式．【分析】考查不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为，然后判断n=k+1时增加的项数即可．【解答】解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n=k，末项为到n=k+1，末项为=，∴应增加的项数为2k．故选C．12．按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是（）A．C4H9B．C4H10C．C4H11D．C6H12【考点】F3：类比推理．【分析】由前三种化合物的结构式及分子式的规律可知，后一种化合物比前一种化合物多一个C两个H，即可选出答案．【解答】解：由前三种化合物的结构式及分子式的规律可知，后一种化合物比前一种化合物多一个C两个H，故后一种化合物的分子式是C4H 10故选B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上）13．已知四面体四个顶点分别为A（2，3，1）、B（4，1，﹣2）、C（6，3，7）和D（﹣5，﹣4，8），则顶点D到平面ABC的距离为11 ．【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【分析】求出，，然后求出平面ABC的一个法向量，通过法向量与的数量积即可求出顶点D到平面ABC的距离．【解答】解：因为四面体四个顶点分别为A（2，3，1）、B（4，1，﹣2）、C（6，3，7）和D （﹣5，﹣4，8），所以=（2，﹣2，﹣3），=（4，0，6），=（﹣7，﹣7，7）．设平面ABC的法向量为=（a，b，c）所以，不妨令a=3，则c=﹣2，解得b=6．平面ABC的法向量为=（3，6，﹣2）．所以顶点D到平面ABC的距离，就是在平面ABC的法向量投影的长度，即：==11．故答案为：11．14．垂直于直线2x﹣6y+1=0并且与曲线y=x3+3x2﹣5相切的直线方程是3x+y+6=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】欲求切线方程，只须求出切点坐标即可，设切点为P（a，b），先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率列出等式求出a，b值．从而问题解决．【解答】解：设切点为P（a，b），函数y=x3+3x2﹣5的导数为y′=3x2+6x=3a2+6a=﹣3，得a=﹣1，代入到y=x3+3x2﹣5，切线的斜率k=y′|x=a得b=﹣3，即P（﹣1，﹣3），y+3=﹣3（x+1），3x+y+6=0．故答案为：3x+y+6=0．15．已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为﹣3 ．【考点】67：定积分．【分析】由图可知f（x）=0得到x的解确定出b的值，确定出f（x）的解析式，由于阴影部分面积为，利用定积分求面积的方法列出关于a的方程求出a并判断a的取舍即可．【解答】解：由图知方程f（x）=0有两个相等的实根x1=x2=0，于是b=0，∴f（x）=x2（x+a），有，∴a=±3．又﹣a＞0⇒a＜0，得a=﹣3．故答案为：﹣3．16．若Rt△ABC中两直角边为a、b，斜边c上的高为h，则，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P﹣ABC，PO为棱锥的高，记M=，N=，那么M、N的大小关系是M=N ．【考点】72：不等式比较大小．【分析】由题意Rt△ABC中两直角边为a、b，斜边c上的高为h，由等面积法得ch=ab，c2•h2=a2•b2，然后再利用等体积法进行比较．【解答】解：在Rt△ABC中，c2=a2+b2①，由等面积法得ch=ab，∴c2•h2=a2•b2②，①÷②整理得．类比得，S△ABC 2=S△PAB2+S△PBC2+S△PAC2①，由等体积法得，∴②，①÷②整理得M=N．故答案为：M=N．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=ax3+bx+1的图象经过点（1，﹣3）且在x=1处f（x）取得极值．求：（1）函数f（x）的解析式；（2）f（x）的单调递增区间．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）代入点的坐标，求出导函数，解方程组可得a，b值；（2）求出导函数，利用导函数得出函数的单调递增区间．【解答】解：（1）由f（x）=ax3+bx+1的图象过点（1，﹣3）得f（1）=a+b+1=3，∵f'（x）=3ax2+b，又f'（1）=3a+b=0，∴a=2，b=﹣6，∴f（x）=2x3﹣6x+1．（2）∵f'（x）=6x2﹣6，∴由f'（x）＞0得x＞1或x＜﹣1，∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4．（1）证明：AC⊥BC1；（2）求二面角C1﹣AB﹣C的余弦值大小．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LX：直线与平面垂直的性质．【分析】（1）根据AC，BC，CC1两两垂直，建立如图以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C ﹣xyz，写出要用的点的坐标，根据两个向量的数量级等于0，证出两条线段垂直．（2）根据所给的两个平面的法向量一个可以直接看出另一个设出根据数量级等于0，求出结果，根据两个平面的法向量所成的角求出两个平面所成的角．【解答】解∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，∴AC，BC，CC1两两垂直．如图以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C﹣xyz，则C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4）．…证明：（1）∵=（﹣3，0，0），=（0，﹣4，4），∴•=0，故AC⊥BC1…解：（2）平面ABC的一个法向量为=（0，0，1），设平面C1AB的一个法向量为=（x，y，z），=（﹣3，0，4），=（﹣3，4，0），由得：…令x=4，则z=3，y=3则=（4，3，3）．…故cos＜，＞==．所求二面角的大小为 arccos19．已知a＞b＞c，求证：．【考点】R6：不等式的证明．【分析】由题设条件，a﹣c＞0，由此可将证明的问题转化为证明+≥4，由左边往右边进行变形证明即可，解题过程中要注意理解要证左边大于右边，故可以在变形过程中适当缩小，完成证明【解答】证明：∵+==4，（a＞b＞c）∴+≥4∴20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，∵二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AE=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为： ==．21．数列{an }满足Sn=2n﹣an（n∈N*）．（1）计算a1、a2、a3，并猜想an的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．【考点】RG：数学归纳法．【分析】（1）利用递推关系式，通过n=1，2，3求解a1、a2、a3，猜想an的通项公式；（2）利用数学归纳法的证明步骤，证明猜想即可．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2﹣a1，∴a1=1；当n=2时，a1+a2=S2=2×2﹣a2，∴a2=；当n=3时，a1+a2+a3=S3=2×3﹣a3，∴a3=．由此猜想an=（n∈N*）（2）证明：①当n=1时，a1=1结论成立，②假设n=k（k≥1，且k∈N*）时结论成立，即ak=，当n=k+1时，ak+1=Sk+1﹣Sk=2（k+1）﹣ak+1﹣2k+ak=2+ak﹣ak+1，∴2ak+1=2+ak∴ak+1==，∴当n=k+1时结论成立，于是对于一切的自然数n∈N*，an=成立22．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤，求k的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（I）求导，令导数等于零，解方程，跟据f′（x），f（x）随x的变化情况即可求出函数的单调区间；（Ⅱ）根据若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤，利用导数求函数f（x）在区间（0，+∞）的最大值，即可求出k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）=，令f′（x）=0，得x=±k当k＞0时，f′（x）f（x）随x的变化情况如下：所以，f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣k），和（k，+∞），单调递减区间是（﹣k，k）；当k＜0时，f′（x）f（x）随x的变化情况如下：所以，f（x）的单调递减区间是（﹣∞，k），和（﹣k，+∞），单调递增区间是（k，﹣k）；（Ⅱ）当k＞0时，有f（k+1）=，不合题意，当k＜0时，由（I）知f（x）在（0，+∞）上的最大值是f（﹣k）=，∴任意的x∈（0，+∞），f（x）≤，⇔f（﹣k）=≤，解得﹣，故对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤，k的取值范围是﹣．。

山东省青岛市2017-2018学年高二下学期第一次月考数学(理)试题Word版含解析

山东省青岛市2017-2018学年高二下学期第一次月考数学（理）试题分值：150分考试时间：120分钟一、选择题（共12题，每小题5分，共60分，每题只有一个正确选项） 1.命题“0,02≤->∀x x x 都有”的否定是( )A. 0,02≤->∃x x x 使得B. 20,0x x x ∃>->使得C. 0,02>->∀x x x 使得D. 0,02>-≤∀x x x 使得 2.函数3(21)y x =+在0x =处的导数是（） A.0B.1C.3D.63.设ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为c b a ,, ，若2b c a +=，3sin 5sin A B =，则角C 等于( )A. 3πB.23πC.34πD. 56π4.等差数列{}n a 中，如果147=39a a a ++，369=27a a a ++，数列{}n a 前9项的和为( ) A. 99 B. 144 C. 297 D. 665.直线(:l y k x =与双曲线221x y -=仅有一个公共点，则实数k 的值为( )A.1B.-1C.1或-1D. 1或-1或06.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥222x y x x y ，则y x z 3-=的最小值为（） A.-2 B.4 C. -6 D.-8 形,M 是AC7.四棱柱1111D C B A ABCD -的底面是平行四边与BD 的交点.若AB a = ，AD b = ,1AA c =,则1C M可以表示为（）A. 12a b c ++B. 1122a b c --+C.1122a b c ---D. 1122a b c ++8.若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（）A. 1(,)3+∞ B. 1(,)3-∞ C. 1[,)3+∞D. 1(,]3-∞ 9．设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则12n x x x ⋅⋅⋅ 的值为( )A ．1n B ． 1n n +C ． 11n +D ． 110.设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ,P 为抛物线上一点, PA l ⊥,A 为垂足．如果直线AF 的斜率为那么|PF |等于( )A ．11.当1x y z ++=时，则222x y z ++的最小值为( )A.13B.19C.127D.3 12.设()f x 是R 上的可导函数，且满足()()f x f x >'，对任意的正实数a ，下列不等式恒成立的是( )A ．()(0)a f a e f <B ． ()(0)af a e f > C ．(0)()a f f a e < D ．(0)()a f f a e >二．填空题（共4题，每小题4分，共16分，将答案写到答题纸的相应位置）13.函数sin xy x=的导数为_________________.14．设等比数列{}n a 的公比2=q ，前n 项和为n S ，44a S λ=，则λ为______ .15.直线y a =与函数3()3f x x x =-的图象有三个相异的公共点，则a 的取值范围是__________．16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于,A B 两点，连接,AF BF ,若o 10,6,90AB AF AFB ==∠=,则C 的离心率e ＝________.三．解答题（共6题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本题满分12分）（1）求证2>.（2）已知,,a b c 为任意实数，求证：222a b c ab bc ac ++≥++18.（本题满分12分）已知1,,,0,2A P PA x x PA αα⎛⎫∈∉=> ⎪ ⎪⎝⎭其中且，平面α的一个法向量1(0,2)2n =- . （1）求x 的值；（2）求直线PA 与平面α所成的角.19. （本小题满分12分）已知322()3(1)f x x ax bx a a =+++>在x =-1时有极值0. （1）求常数,a b 的值；（2）求f x ()的单调区间。

山东省东营市2017-2018学年高二下学期第一次月考数学试卷(理科)Word版含解析

山东省东营市2017-2018学年高二下学期第一次月考试卷理科数学一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列每对向量垂直的有（）对（1）（3，4，0），（0，0，5）（2）（3，1，3），（1，0，﹣1）（3）（﹣2，1，3），（6，﹣5，7）（4）（6，0，12），（6，﹣5，7）A．1 B．2 C．3 D．42．已知向量和平行，则xy为（）A．4 B．3 C．﹣2 D．13．函数f（x）=2x2﹣lnx的单调递增区间为（）A．B．C．D．4．曲线y=e x在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A． e2B．2e2C．e2D． e25．已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6 C．a＜﹣3或a＞6 D．a＜﹣1或a＞26．如图，平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′，其中AB=4，AD=3，AA′=3，∠BAD=90°，∠BAA′=60°，∠DAA′=60°，则AC′的长为（）A．B．C．D．7．曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是（）A．B．2C．3D．08．已知，则=（）A．B． C． D．9．为三个非零向量，则①对空间任一向量，存在唯一实数组（x，y，z），使；②若，则；③若，则；④，以上说法一定成立的个数（）A．0 B．1 C．2 D．310．已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象大致是（）A．B．C． D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．.11．在△ABC中，已知A（﹣1，2，3），B（2，﹣2，3），C（，，3），则AB边上的中线CD的长是．12．在曲线的切线y=x3+3x2+6x﹣10斜率中，最小值是．13．已知函数f（x）=f′（）cosx+sinx，则f（）的值为．14．直线y=a与函数f（x）=x3﹣3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是．15．已知向量，，若存在单位向量，使，，则= ．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．设函数f（x）=x2﹣8lnx+3．（1）求曲线y=f（x）在点（1，4）处的切线方程；（2）求f（x）的单调区间．17．如图边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CC1，B1C1的中点．（1）证明；A1N∥平面AMD1；（2）求二面角M﹣AD1﹣D的余弦值．18．已知a为实数，f（x）=（x2﹣4）（x﹣a），（1）求导数f'（x）；（2）若x=﹣1是函数f（x）的极值点，求f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值；（3）若f（x）在（﹣∞，﹣2]和[2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围．19．某厂输出产品x件的总成本（万元），已知产品单价P（万元）与产品件数x满足：，生产100件这样的产品单价为50万元．（1）设产量x为件时，总利润为L（x）（万元），求L（x）的解析式；（2）产量x定位多少件时总利润L（x）（万元）最大？并求最大值（精确到1万元）．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=4，BD=2，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D大小为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．21．已知f（x）=e x lnx．（1）求y=f（x）﹣f′（x）的单调区间与极值；（2）证明：f′（x）＞1．山东省东营市2017-2018学年高二下学期第一次月考试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列每对向量垂直的有（）对（1）（3，4，0），（0，0，5）（2）（3，1，3），（1，0，﹣1）（3）（﹣2，1，3），（6，﹣5，7）（4）（6，0，12），（6，﹣5，7）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】MA：向量的数量积判断向量的共线与垂直．【分析】利用⇔，直接求解．【解答】解：在（1）中，（3，4，0）•（0，0，5）=0，故向量（3，4，0）和向量（0，0，5）垂直，故（1）成立；在（2）中，（3，1，3）•（1，0，﹣1）=0，故向量（3，1，3）和向量（1，0，﹣1）垂直，故（2）成立；在（3）中，（﹣2，1，3）•（6，﹣5，7）=﹣12﹣5+21=4，故向量（﹣2，1，3）和向量（6，﹣5，7）不垂直，故（3）不成立；在（4）中，（6，0，12）•（6，﹣5，7）=36+0+84=120，故向量（6，0，12）和向量（6，﹣5，7）不垂直，故（4）不成立．故选：B．2．已知向量和平行，则xy为（）A．4 B．3 C．﹣2 D．1【考点】MA：向量的数量积判断向量的共线与垂直；7F：基本不等式．【分析】利用向量平行的性质直接求解．【解答】解：向量，平行，∴，∴xy=﹣2．故选：C．3．函数f（x）=2x2﹣lnx的单调递增区间为（）A．B．C．D．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】先计算函数的导函数f′（x），再解不等式f′（x）＞0即可得函数的单调增区间，注意函数的定义域为（0，+∞）【解答】解：依题意，f′（x）=4x﹣=（x＞0）由f′（x）＞0，得⇔4x2﹣1＞0⇔x＞∴函数f（x）=2x2﹣lnx的单调递增区间为[，+∞）故选C4．曲线y=e x在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A． e2B．2e2C．e2D． e2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】欲切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，从而问题解决．【解答】解析：依题意得y′=e x，因此曲线y=e x在点A（2，e2）处的切线的斜率等于e2，相应的切线方程是y﹣e2=e2（x﹣2），当x=0时，y=﹣e2即y=0时，x=1，∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：S=×e2×1=．故选D．5．已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6 C．a＜﹣3或a＞6 D．a＜﹣1或a＞2【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】题目中条件：“函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值”告诉我们其导数有两个不等的实根，利用二次方程根的判别式可解决．【解答】解：由于f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，有f′（x）=3x2+2ax+（a+6）．若f（x）有极大值和极小值，则△=4a2﹣12（a+6）＞0，从而有a＞6或a＜﹣3，故选C．6．如图，平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′，其中AB=4，AD=3，AA′=3，∠BAD=90°，∠BAA′=60°，∠DAA′=60°，则AC′的长为（）A．B．C．D．【考点】L2：棱柱的结构特征．【分析】由=++，可得=+++2+2+2，再利用数量积运算性质即可得出．【解答】解： =16， =9， =9， =4×3×cos90°=0，=4×3×cos60°=6， =3×3×cos60°=．∵=++，∴=+++2+2+2=16+9+9+2×0+2×6+2×=55，∴=，故选：A．7．曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是（）A．B．2C．3D．0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设与曲线y=ln（2x﹣1）相切且与直线2x﹣y+3=0平行的直线方程为：2x﹣y+m=0，设切点为（x0，y），利用导数的几何意义可求出切点坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：y=ln（2x﹣1）的导函数为y′=，设与曲线y=ln（2x﹣1）相切且与直线2x﹣y+3=0平行的直线方程为：2x﹣y+m=0，设切点为（x0，y）∴=2，解得x=1，∴y0=ln（2x﹣1）=ln1=0，∴切点为（1，0）∴切点（1，0）到直线2x﹣y+3=0的距离为=．即曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是．故选：A．8．已知，则=（）A．B． C． D．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用两个向量的数量积公式，求得的值．【解答】解：∵已知，∴﹣=9﹣=4，∴=5，则===，故选：D．9．为三个非零向量，则①对空间任一向量，存在唯一实数组（x，y，z），使；②若，则；③若，则；④，以上说法一定成立的个数（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①利用空间向量基本定理可判断①对空间任一向量，存在唯一实数组（x，y，z），使错误；②利用非零向量共线的性质可判断②若，则正确；③利用向量的数量积的运算性质可判断③若，则错误；④错误．【解答】解：因为为三个非零向量，所以，对于①，当为三个非零共面向量时，对空间任一向量，不存在唯一实数组（x，y，z），使，故①错误；对于②，∵为三个非零向量，，∴，故②正确；对于③，若，则=0，即⊥（﹣），而不是，故③错误；对于④，不一定成立，等号左端为倍的，等号右端为倍的，而与不一定共线，故④错误．综上所述，以上说法一定成立的个数为1个，故选：B．10．已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象大致是（）A．B．C． D．【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】通过观察函数y=xf′（x）的图象即可判断f′（x）的符号以及对应的x的所在区间，从而判断出函数f（x）的单调性及单调区间，所以观察选项中的图象，找出符合条件的即可．【解答】解：由图象看出，﹣1＜x＜0，和x＞1时xf′（x）＞0；x≤﹣1，和0≤x≤1时xf′（x）≤0；∴﹣1＜x≤1时，f′（x）≤0；x＞1，或x≤﹣1时，f′（x）≥0；∴f（x）在（﹣1，1]上单调递减，在（﹣∞，﹣1]，（1，+∞）上单调递增；∴f（x）的大致图象应是B．故选B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．.11．在△ABC中，已知A（﹣1，2，3），B（2，﹣2，3），C（，，3），则AB边上的中线CD的长是．【考点】JI：空间两点间的距离公式．【分析】由已知条件求出线段AB的中点D（，0，3），=（0，，0），由此能求出AB边上的中线CD的长．【解答】解：∵A（﹣1，2，3），B（2，﹣2，3），C（，，3），∴线段AB的中点D（，0，3），∴=（0，，0），∴||==．故答案为：．12．在曲线的切线y=x3+3x2+6x﹣10斜率中，最小值是 3 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先对函数f（x）进行求导，然后求出导函数的最小值，其最小值即为斜率最小的切线方程的斜率．【解答】解：∵f（x）=x3+3x2+6x﹣10，∴f'（x）=3x2+6x+6=3（x+1）2+3，∵当x=﹣1时，f'（x）取到最小值3．∴f（x）=x3+3x2+6x﹣10的切线中，斜率最小的切线方程的斜率为3．故答案为：313．已知函数f（x）=f′（）cosx+sinx，则f（）的值为 1 ．【考点】63：导数的运算；3T：函数的值．【分析】利用求导法则：（sinx）′=cosx及（cosx）′=﹣sinx，求出f′（x），然后把x等于代入到f′（x）中，利用特殊角的三角函数值即可求出f′（）的值，把f′（）的值代入到f（x）后，把x=代入到f（x）中，利用特殊角的三角函数值即可求出f（）的值．【解答】解：因为f′（x）=﹣f′（）•sinx+cosx所以f′（）=﹣f′（）•sin+cos解得f′（）=﹣1故f（）=f′（）cos+sin=（﹣1）+=1故答案为1．14．直线y=a与函数f（x）=x3﹣3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是（﹣2，2）．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】先求出其导函数，利用其导函数求出其极值以及图象的变化，进而画出函数f（x）=x3﹣3x对应的大致图象，平移直线y=a即可得出结论．【解答】解：令f′（x）=3x2﹣3=0，得x=±1，可求得f（x）的极大值为f（﹣1）=2，极小值为f（1）=﹣2，如图所示，当满足﹣2＜a＜2时，恰有三个不同公共点．故答案为：（﹣2，2）15．已知向量，，若存在单位向量，使，，则=．【考点】MA：向量的数量积判断向量的共线与垂直；M6：空间向量的数量积运算．【分析】设单位向量=（x，y，z），又，，可得，解出x，y，z，即可得出．【解答】解：设单位向量=（x，y，z），又，，∴，解得x=z==﹣y，∴=，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．设函数f（x）=x2﹣8lnx+3．（1）求曲线y=f（x）在点（1，4）处的切线方程；（2）求f（x）的单调区间．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）依题意，可求得f′（1），从而由直线的点斜式可得函数所对应曲线在点（1，4）处的切线方程；（2）通过f′（x）＞0可求其递增区间，通过f′（x）＜0可求其单调减区间．【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣8lnx+3，∴f′（x）=（x＞0），∴f′（1）=﹣6，∴曲线y=f（x）在点（1，4）处的切线方程为y﹣4=﹣6（x﹣1），即6x+y﹣10=0；（2）令f′（x）＞0，可得x＞2，f′（x）＜0，可得0＜x＜2，∴函数的单调递增区间是（2，+∞），单调递减区间是（0，2）．17．如图边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CC1，B1C1的中点．（1）证明；A1N∥平面AMD1；（2）求二面角M﹣AD1﹣D的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）建立坐标系，求出平面AD1M的法向量和的坐标，通过证明即可得出结论；（2）计算两个半平面的法向量的夹角，得出结论．【解答】证明：（1）以D为原点，以DA，DC，DD1为轴建立空间坐标系，则A1（2，0，2），N（1，2，2，），M（0，2，1），A（2，0，0），D1（0，0，2），∴=（﹣1，2，0），=（﹣2，2，1），=（﹣2，0，2），设平面AMD1的法向量为（x，y，z），则，∴，令x=1得=（1，，1），∴=﹣1+1+0=0，∴，又A1N⊄平面AMD1，∴A1N∥平面AMD1．（2）∵DC⊥平面ADD1，∴=（0，1，0）是平面ADD1的一个法向量，cos＜＞===，∴二面角M﹣AD1﹣D的余弦值为．18．已知a为实数，f（x）=（x2﹣4）（x﹣a），（1）求导数f'（x）；（2）若x=﹣1是函数f（x）的极值点，求f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值；（3）若f（x）在（﹣∞，﹣2]和[2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）根据导数的运算法则求出函数的导数即可；（2）求出a的值，解故导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可；（3）根据二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）由原式得f（x）=x3﹣ax2﹣4x+4a，∴f'（x）=3x2﹣2ax﹣4．（2）由f'（﹣1）=0，得，所以，f'（x）=3x2﹣x﹣4．由f'（x）=0，得或x=﹣1．又，，f（﹣2）=0，f（2）=0，∴f（x）在[﹣2，2]上的最大值为，最小值为．（3）f'（x）=3x2﹣2ax﹣4的图象为开口向上且过点（0，﹣4）的抛物线，由条件得f'（﹣2）≥0，f'（2）≥0，即∴﹣2≤a≤2，∴a的取值范围为[﹣2，2]．19．某厂输出产品x件的总成本（万元），已知产品单价P（万元）与产品件数x满足：，生产100件这样的产品单价为50万元．（1）设产量x为件时，总利润为L（x）（万元），求L（x）的解析式；（2）产量x定位多少件时总利润L（x）（万元）最大？并求最大值（精确到1万元）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6C：函数在某点取得极值的条件．【分析】（1）由题可知生产100件这样的产品单价为50万元，所以把x=100，P=50代入到p2=中求出k的值确定出P的解析式，然后根据总利润=总销售额﹣总成本得出L（x）即可；（2）令L′（x）=0求出x的值，此时总利润最大，最大利润为L（25）．【解答】解：（1）由题意有502=，解得k=25×104，∴P==，∴总利润L（x）=x•﹣1200﹣=﹣x3+500﹣1200（x＞0）；（2）由（1）得L′（x）=﹣x2+，令L′（x）=0⇒=x2，令t=，得=t4⇒t5=125×25=55，∴t=5，于是x=t2=25，则x=25，所以当产量定为25时，总利润最大．这时L（25）≈﹣416.7+2500﹣1200≈883．答：产量x定为25件时总利润L（x）最大，约为883万元．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=4，BD=2，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D大小为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．【考点】MJ：与二面角有关的立体几何综合题；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BC⊥BD，PD⊥BC，从而得到BC⊥平面PBD，由此能证明平面PBC⊥平面PBD．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC⊥平面PBD，从而得到∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AP与平面PBC所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵CD2=BC2+BD2．∴BC⊥BD．又∵PD⊥底面ABCD．∴PD⊥BC．又∵PD∩BD=D．∴BC⊥平面PBD．而BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC⊥平面PBD，所以∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，即∠PBD=．而，所以．∵底面ABCD为平行四边形，∴DA⊥DB，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则A（2，0，0），，，，所以，，，，设平面PBC的法向量为，则即令b=1则，∴AP与平面PBC所成角的正弦值为：．…21．已知f（x）=e x lnx．（1）求y=f（x）﹣f′（x）的单调区间与极值；（2）证明：f′（x）＞1．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）先求出f（x）的导数，代入y=f（x）﹣f′（x）得出函数表达式，再去研究单调性与极值，（2）f′（x）=e x lnx+，从而f′（x）＞1等价于xlnx+1＞，构造函数，求最值，即可证明结论．【解答】解：（1）函数f（x）=e x（lnx+1）的定义域为（0，+∞），f′（x）=e x lnx+，则y=f（x）﹣f′（x）=﹣，∴y′=，由y′=0可得x=1．当x＞1时，y′＜0；当x＜1时，y′＞0；∴y=f（x）﹣f′（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞），∴当x=1时，y取极大值﹣e，函数无极小值；（2）证明：f′（x）=e x lnx+，从而f′（x）＞1等价于xlnx+1＞，设h（x）=xlnx+1，则h′（x）=1+lnx，∴x∈（0，），h′（x）＜0，x∈（，+∞），h′（x）＞0，∴h（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（）=﹣+1．设F（x）=，则F′（x）=x∈（0，1），F′（x）＞0，x∈（1，+∞），F′（x）＜0∴F（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴函数F（x）的最大值为F（1）=，∴F（x）≤，∵﹣+1﹣=1﹣＞0，∴h（x）＞F（x），∴f′（x）＞1．。

山东省平度市2017-2018学年高二下学期第一次月考数学试卷(理科)Word版含解析

山东省平度市2017-2018学年高二下学期第一次月考试卷（理科数学）一、选择题，每小题5分，共12小题1．下列判断错误的是（）A．“am2＜bm2”是“a＜b”成立的充分不必要条件B．命题“∀x∈R，x3﹣x2﹣1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02﹣1＞0”C．“若a=1，则直线x+y=0和直线x﹣ay=0互相垂直”的逆否命题为真命题D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题2．抛物线x2=4y的焦点坐标为（）A．（1，0） B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（0，﹣1）3．曲线y=x2+2x在点（1，3）处的切线方程是（）A．4x﹣y﹣1=0 B．3x﹣4y+1=0 C．3x﹣4y+1=0 D．4y﹣3x+1=04．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a4+a5+a6+a7=20，则S9=（）A．18 B．36 C．60 D．725．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=2bcosC，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形6．函数y=xsinx+cosx在（π，3π）内的单调增区间是（）A．B．C．D．（π，2π）7．已知x=2是函数f（x）=x3﹣3ax+2的极小值点，那么函数f（x）的极大值为（）A．15 B．16 C．17 D．188．已知实数x，y满足不等式组，则z=3x﹣y的最大值为（）A．1 B．﹣C．﹣2 D．不存在9．已知函数y=f（x）在定义域内可导，其图象如图，记y=f（x）的导函数为y=f′（x），则不等式f′（x）≥0的解集为（）A．∪[，6]B．∪C．∪[，5] D．，，10．如图，正四面体ABCD的棱长为1，点E是棱CD的中点，则•=（）A．﹣B．﹣C．D．11．已知函数f（x）=x+a，g（x）=x+，若∀x1∈，∃x2∈，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围为（）A．a≥1 B．a≥2 C．a≥3 D．a≥412．设F1、F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题，每题5分，共4题13．双曲线﹣=1的渐近线方程是．14．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为．15．“∀x∈，x2﹣a≥0“是真命题，则实数a的最大值为．16．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中给出了如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长安一千一百二十五里．良马初日行一百零三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢？”其大意为：“现有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是1125里．良马第一天行103里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇？”在这个问题中两马从出发到相遇的天数为．三．解答题17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosC=acosC+ccosA．（I）求角C的大小；（II）若b=2，c=，求a及△ABC的面积．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n（n∈N*）．正项等比数列{b n}的首项b1=1，且3a2是b2，b3的等差中项．（I）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（II）若c n=，求数列{c n}的前n项和T n．19．（12分）已知函数f（x）=x2+alnx．（Ⅰ）当a=﹣2e时，求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若函数f（x）在上是减函数，求实数a的取值范围．20．（12分）已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．（1）证明：PF⊥FD；（2）判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD；（3）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A﹣PD﹣F的余弦值．21．（12分）已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对于区间上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤c，求实数c的最小值．22．（12分）已知椭圆C：，F为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=kx+m（km≠0）与椭圆C交于A、B两点，若线段AB中点在直线x+2y=0上，求△FAB的面积的最大值．山东省平度市2017-2018学年高二下学期第一次月考试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题，每小题5分，共12小题1．下列判断错误的是（）A．“am2＜bm2”是“a＜b”成立的充分不必要条件B．命题“∀x∈R，x3﹣x2﹣1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02﹣1＞0”C．“若a=1，则直线x+y=0和直线x﹣ay=0互相垂直”的逆否命题为真命题D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题【考点】四种命题．【分析】利用特称命题的性质，充要条件的定义，全称命题的性质，及复合命题真假的判断方法，逐一分析四个答案，即可得到结论．【解答】解：“am2＜bm2”能推出“a＜b”，但是，由“a＜b”当m=0时，则推不出“am2＜bm2”故A正确；全称命题的否定为特称命题，则命题“∀x∈R，x3﹣x2﹣1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02﹣1＞0，故B正确；若a=1，则直线x+y=0和直线x﹣ay=0互相垂直，为真命题，则其逆否命题为也真命题，故C正确若p∧q为假命题，则p，q可能一个为真命题，一个为假命题，故D错误，故选D【点评】本题考查逻辑语言，充要条件的判断及复合命题真假性的判断．属于基础题．2．抛物线x2=4y的焦点坐标为（）A．（1，0） B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（0，﹣1）【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据标准方程求出p值，判断抛物线x2=4y的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标．【解答】解：∵抛物线x2 =4y 中，p=2， =1，焦点在y轴上，开口向上，∴焦点坐标为（0，1 ），故选 C．【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，抛物线 x2=2p y 的焦点坐标为（0，），属基础题．3．曲线y=x2+2x在点（1，3）处的切线方程是（）A．4x﹣y﹣1=0 B．3x﹣4y+1=0 C．3x﹣4y+1=0 D．4y﹣3x+1=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求曲线y=x2+2x的导数，因为函数在切点处的导数就是切线的斜率，求出斜率，再用点斜式写出切线方程，再化简即可．【解答】解：y=x2+2x的导数为y′=2x+2，∴曲线y=x2+2x在点（ 1，3）处的切线斜率为4，切线方程是y﹣3=4（x﹣1），化简得，4x﹣y﹣1=0．故选A．【点评】本题主要考查了函数的导数与切线斜率的关系，属于导数的应用．4．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a4+a5+a6+a7=20，则S9=（）A．18 B．36 C．60 D．72【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的通项公式得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=20，解得a5=4，从而S9=，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a4+a5+a6+a7=20，∴a3+a4+a5+a6+a7=5a5=20，解得a5=4，∴S9==36．故选：B．【点评】本题考查等差数列的前9项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=2bcosC，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】利用正弦定理以及三角形的内角和，两角和的正弦函数化简a=2bcosC，求出B与C的关系，即可判断三角形的形状．【解答】解：a=2bcosC，由正弦定理可知，sinA=2sinBcosC，因为A+B+C=π，所以sin（B+C）=2sinBcosC，所以sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，sin（B﹣C）=0，B﹣C=kπ，k∈Z，因为A、B、C是三角形内角，所以B=C．三角形是等腰三角形．故选：A．【点评】本题考查正弦定理、三角形的内角和、两角和的正弦函数的应用，考查计算能力，属于基础题．6．函数y=xsinx+cosx在（π，3π）内的单调增区间是（）A．B．C．D．（π，2π）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出导函数，令导函数大于零，求解三角不等式在（π，3π）上的解集，即可求得答案．【解答】解：∵y=xsinx+cosx，∴y'=xcosx，令y'=xcosx＞0，且x∈（π，3π），∴cosx＞0，且x∈（π，3π），∴x∈，∴函数y=xsinx+cosx在（π，3π）内的单调增区间是．故选B．【点评】本题是一个三角函数同导数结合的问题，解题时注意应用余弦曲线的特点，解三角不等式时要注意运用三角函数的图象，是一个数形结合思想应用的问题．属于中档题．7．已知x=2是函数f（x）=x3﹣3ax+2的极小值点，那么函数f（x）的极大值为（）A．15 B．16 C．17 D．18【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出导数，由题意得，f′（2）=0，解出a，再由单调性，判断极大值点，求出即可．【解答】解：函数f（x）=x3﹣3ax+2的导数f′（x）=3x2﹣3a，由题意得，f′（2）=0，即12﹣3a=0，a=4．f（x）=x3﹣12x+2，f′（x）=3x2﹣12=3（x﹣2）（x+2），f′（x）＞0，得x＞2或x＜﹣2；f′（x）＜0，得﹣2＜x＜2，故x=2取极小值，x=﹣2取极大值，且为﹣8+24+2=18．故选D．【点评】本题考查导数的应用：求极值，同时考查运算能力，属于基础题．8．已知实数x，y满足不等式组，则z=3x﹣y的最大值为（）A．1 B．﹣ C．﹣2 D．不存在【考点】简单线性规划．【分析】首先画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图：目标函数z=3x﹣y变形为y=3x﹣z，此直线在y轴截距最小时，z最大，由区域可知，直线经过图中A（0，2）时，z取最大值为﹣2；故选C【点评】本题考查了简单线性规划问题；首先正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值．9．已知函数y=f（x）在定义域内可导，其图象如图，记y=f（x）的导函数为y=f′（x），则不等式f′（x）≥0的解集为（）A．∪[，6]B．∪C．∪[，5] D．，，【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】根据导数与函数的单调性的关系，f′（x）≥0，f（x）为增函数，f′（x）≤0，f（x）为减函数，利用此性质来求f′（x）≥0的解集；【解答】解：如图f（x）在与上为增函数，可得f′（x）≥0，故选B．【点评】此题考查函数的单调性与导数的关系，此题出的比较新颖，是一道基础题．10．如图，正四面体ABCD的棱长为1，点E是棱CD的中点，则•=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据向量的几何意义和向量的数量积公式计算即可．【解答】解：∵正四面体ABCD的棱长为1，点E是棱CD的中点，∴•=（+）•=•+•=×1×1×+×1×1×=，故选：D ．【点评】本题主要考查向量的数量积运算，要求熟练掌握数量积的公式．11．已知函数f （x ）=x+a ，g （x ）=x+，若∀x 1∈，∃x 2∈，使得f （x 1）≥g （x 2），则实数a 的取值范围为（）A ．a ≥1B ．a ≥2C ．a ≥3D ．a ≥4【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】若∀x 1∈，∃x 2∈，使得f （x 1）≥g （x 2），可得f （x ）=x+a 在x 1∈的最小值不小于g （x ）=x+在x 2∈的最小值，构造关于a 的不等式组，可得结论．【解答】解：当x 1∈时，由f （x ）=x+a 递增，f （1）=1+a 是函数的最小值，当x 2∈时，g （x ）=x+，在为增函数， ∴g （2）=4是函数的最小值，若∀x 1∈，∃x 2∈，使得f （x 1）≥g （x 2），可得f （x ）在x 1∈的最小值不小于g （x ）在x 2∈的最小值，即1+a ≥4，解得：a ∈，x 2﹣a ≥0“是真命题，则实数a 的最大值为 1 ．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据全称命题的含义：“∀x ∈，x 2﹣a ≥0“是真命题⇔x ∈时，x 2﹣a ≥0恒成立⇔a ≤（x 2）min【解答】解：“∀x ∈，x 2﹣a ≥0“是真命题⇔x ∈时，x 2﹣a ≥0恒成立⇔a ≤（x 2）min ，又∵x ∈时（x 2）min =1，∴a ≤1，则实数a 的最大值为1故答案为：1．【点评】本题考查了全称命题的本质含义，转化思想是关键，属于基础题．16．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中给出了如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长安一千一百二十五里．良马初日行一百零三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢？”其大意为：“现有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是1125里．良马第一天行103里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇？”在这个问题中两马从出发到相遇的天数为9 ．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出．【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n}，其中b1=97，d=﹣0.5；设第m天相逢，则a1+a2+…+a m+b1+b2+…+b m=103m+×13+97m+×（﹣0.5）=200m+×12.5≥2×1125，化为m2+31m﹣360≥0，解得m，取m=9．故答案为：9【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三．解答题17．（10分）（2016秋•潍坊期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosC=acosC+ccosA．（I）求角C的大小；（II）若b=2，c=，求a及△ABC的面积．【考点】正弦定理．【分析】（I）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得2sinBcosC=sinB，结合sinB＞0，可得cosC=，由于C∈（0，C），可求C的值．（II）由已知利用余弦定理可得：a2﹣2a﹣3=0，解得a的值，进而利用三角形的面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（I）∵2bcosC=acosC+ccosA，∴由正弦定理可得：2sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC，可得：2sinBcosC=sin（A+C）=sinB，∵sinB＞0，∴cosC=，∵C∈（0，C），∴C=…6分（II）∵b=2，c=，C=，∴由余弦定理可得：7=a2+4﹣2×，整理可得：a2﹣2a﹣3=0，∴解得：a=3或﹣1（舍去），∴△ABC的面积S=absinC==…12分【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18．（12分）（2016秋•潍坊期末）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n（n∈N*）．正项等比数列{b n}的首项b1=1，且3a2是b2，b3的等差中项．（I）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（II）若c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（I）数列{a n}的前n项和s n=n2﹣n，当n=1时，a1=s1；当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1．可得a n．利用等比数列的通项公式可得b n．（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）数列{a n}的前n项和s n=n2﹣n，当n=1时，a1=s1=0；当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=（n2﹣n）﹣=2n﹣2．当n=1时上式也成立，∴a n=2n﹣2．设正项等比数列{b n}的公比为q，则，b2=q，b3=q2，3a2=6，∵3a2是b2，b3的等差中项，∴2×6=q+q2，得q=3或q=﹣4（舍去），∴b n=3n﹣1 ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知c n==，∴数列{c n}的前n项和T n=…①．T n=…②①﹣②得T n==2×=1﹣．∴T n=．【点评】本题考查了数列的递推式的处理，及等差数列、等比数列的通项，错位相减法求和，属于中档题．19．（12分）（2016春•梁园区校级期末）已知函数f（x）=x2+alnx．（Ⅰ）当a=﹣2e时，求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若函数f（x）在上是减函数，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）首先求出f（x）的导数，f'（x）=2x﹣=，根据导函数的零点求出f（x）的单调区间与最值；（2）函数f（x）=x2+alnx为上的单调减函数可转换为：所以a≤﹣2x2在上恒成立．【解答】解：（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞）当a=﹣2e时，f'（x）=2x﹣=令f'（x）=0，故导函数的零点为，故f（x）在（0，）上单调递减，（，+∞）上单调递增；∴f（x）的极小值为f（）=0，无极大值；（II）由f（x）=x2+alnx，得f'（x）=2x+又函数f（x）=x2+alnx为上的单调减函数，则f'（x）≤0在上恒成立．所以a≤﹣2x2在上恒成立，所以a的取值范围是（﹣∞，﹣32]．【点评】本题主要考查了函数的导数以及单调区间、恒成立问题，属中等题．20．（12分）（2015•金昌校级模拟）已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．（1）证明：PF⊥FD；（2）判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD；（3）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A﹣PD﹣F的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定．【分析】解法一（向量法）（I）建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，分别求出直线PF与FD的平行向量，然后根据两个向量的数量积为0，得到PF⊥FD；（Ⅱ）求出平面PFD的法向量（含参数t），及EG的方向向量，进而根据线面平行，则两个垂直数量积为0，构造方程求出t值，得到G点位置；（Ⅲ）由是平面PAD的法向量，根据PB与平面ABCD所成的角为45°，求出平面PFD的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．解法二（几何法）（I）连接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由线面垂直性质定理可得DF⊥PA，再由线面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由线面垂直的性质定理得到PF⊥FD；（Ⅱ）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD，且有，再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且，由面面平行的判定定理可得平面GEH∥平面PFD，进而由面面平行的性质得到EG∥平面PFD．从而确定G点位置；（Ⅲ）由PA⊥平面ABCD，可得∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，取AD的中点M，则FM ⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平面FMN，则∠MNF即为二面角A﹣PD﹣F的平面角，解三角形MNF可得答案．【解答】解法一：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，AB=1，AD=2，建立如图所示的空间直角坐标系A ﹣xyz，则A（0，0，0），B（1，0，0），F（1，1，0），D（0，2，0）．（2分）不妨令P（0，0，t）∵，∴，即PF⊥FD．（4分）（Ⅱ）设平面PFD的法向量为，由，得，令z=1，解得：．∴．（6分）设G点坐标为（0，0，m），，则，要使EG∥平面PFD，只需，即，得，从而满足的点G即为所求．（8分）（Ⅲ）∵AB⊥平面PAD，∴是平面PAD的法向量，易得，（9分）又∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，得∠PBA=45°，PA=1，平面PFD的法向量为（10分）∴，故所求二面角A﹣PD﹣F的余弦值为．（12分）解法二：（Ⅰ）证明：连接AF，则，，又AD=2，∴DF2+AF2=AD2，∴DF⊥AF（2分）又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，又PA∩AF=A，∴（4分）（Ⅱ）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD，且有再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且，∴平面GEH∥平面PFD（7分）∴EG∥平面PFD．从而满足的点G即为所求．（8分）（Ⅲ）∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，且∠PBA=45°．∴PA=AB=1（9分）取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平面FMN，则∠MNF即为二面角A﹣PD﹣F的平面角（10分）∵Rt△MND∽Rt△PAD，∴，∵，且∠FMN=90°∴，，∴（12分）【点评】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，空间直线与直线之间的位置关系，直线与平面平行的判定，其中解法一的关键是建立的空间坐标系，将空间线面关系转化为向量夹角问题，解法二的关键是熟练掌握空间线面关系的判定，性质．21．（12分）（2015春•武汉校级期中）已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对于区间上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤c，求实数c的最小值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由题意可得，解得即可．（2）利用导数求出此区间上的极大值和极小值，再求出区间端点出的函数值，进而求出该区间的最大值和最小值，则对于区间上任意两个自变量的值x1，x2，都对于区间上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（x）max﹣f（x）min|≤c，求出即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）=ax3+bx2﹣3x（a，b∈R），∴f′（x）=3ax2+2bx﹣3．∵函数f（x）=ax3+bx2﹣3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0，∴切点为（1，﹣2）．∴，即，解得．∴f（x）=x3﹣3x．（2）令f′（x）=0，解得x=±1，列表如下：由表格可知：当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值，且f（﹣1）=2；当x=1时，函数f（x）取得极小值，且f（1）=﹣2．又f（﹣2）═﹣2，f（2）=2．∴f（x）=x3﹣3x在区间上的最大值和最小值分别为2，﹣2．∴对于区间上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（x）max﹣f（x）min|=|2﹣（﹣2）|=4≤c．即c得最小值为4．【点评】熟练掌握利用导数求切线的斜率和函数的单调区间及极值是解题的关键．22．（12分）（2013•商丘三模）已知椭圆C：，F为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=kx+m（km≠0）与椭圆C交于A、B两点，若线段AB中点在直线x+2y=0上，求△FAB的面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）利用F为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，建立方程组，求得几何量，即可求得椭圆方程；（2）直线l：y=kx+m（km≠0）与椭圆联立，利用线段AB中点在直线x+2y=0上求得k的值，求出|AB|，及点F到直线AB的距离，表示出三角形的面积，利用求导数的方法，即可确定△FAB的面积的最大值．【解答】解：（1）由题意，解得，∴所求椭圆方程为．…（4分）（2）直线l：y=kx+m（km≠0）与椭圆联立，消去y得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，…△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣4）=8（6﹣m2）＞0，∴设A（x1，y1），B（x2，y2）P（x0，y0），由韦达定理得=，．由点P在直线x+2y=0上，得k=1．…（7分）所以|AB|==．又点F到直线AB的距离．∴△FAB的面积为=（|m|＜，m≠0）．…（10分）设u（m）=（6﹣m2）（m+）2（|m|＜，m≠0），则令u′（m）=﹣2（2m+3）（m+）（m﹣）=0，可得m=﹣或m=﹣或m=；当时，u′（m）＞0；当时，u′（m）＜0；当时，u′（m）＞0；当时，u′（m）＜0又u（）=，所以当m=时，△FAB的面积取最大值…（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查利用导数的方法求函数的最值，属于中档题．。

2017-2018学年高二下学期第一次月考数学(理)试题

一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个正确．每小题5分，共60分）1. 给出下列四个命题，其中正确的是 ( )①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；③空间四点中存在三点共线，则此四点共面；④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面A. ②③B. ①②③C. ①②D. ②③④【答案】A【解析】对于①，空间四点共面，如平面四边形，其中任何三点不共线；故①错误；对于②，空间四点不共面，如果任意三点有共线的，那么此四个点就共面，与已知矛盾故②正确；对于③，空间四点中有三点共线，根据不共线的三点确定一个平面，得到此四点必共面；故③正确；对于④，空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面，如平面四边形，故④不正确；故选A.2. 在空间中，下列命题正确的是（）A. 若直线//平面，直线//，则//；B. 若//平面，//平面，，则//C. 若，，则//；D. 若//，，则//平面【答案】D【解析】选项A中，由条件可得或，故A不正确．选项B中，由条件可得//或相交，故B不正确．选项C中，由条件可得//或相交，故C不正确．选项D中，由面面平行的性质可得//平面，故D正确．选D．3. .设是三条不同的直线，是两个不同的平面，则能使成立是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】选项A中，由，可得不一定成立，故A不正确；选项B中，由，，不能得到，故B不正确；选项C中，由，可得，故C正确；选项D中，由，可得，故D不正确。

综上选C。

4. 如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )A. 6B. 8C. 2＋3D. 2＋2【答案】B【解析】由题意可得原图形为如图所示的平行四边形，其中，所以，故原图形的周长为8．选B．点睛：（1）斜二测画法的规则：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴和轴的线段；已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的．（2）对于直观图，除了了解斜二测画法的规则外，还要了解原图形面积与其直观图面积之间的关系，并能进行相关问题的计算．5. 已知、是异面直线，平面，平面，则、的位置关系是（）A. 相交B. 平行C. 重合D. 不能确定【答案】A【解析】∵、是异面直线，平面，平面，∴若，则，与、是异面直线矛盾，∴、的位置关系是相交，故选A.6. 关于直线与平面，有以下四个命题：①若且，则；②若且，则；③若且，则；④若且，则；其中真命题的序号是（ ) A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③【答案】D【解析】试题分析：若且，则可能平行也可能异面，也可以相交，故①错误；若且则一定垂直，故②正确；若且，则一定垂直，故③正确；若且，则可能平行也可能异面，也可以相交．故选D．考点：空间中直线与平面之间的位置关系7. 在四面体中，两两垂直，且均相等，是的中点，则异面直线与所成的角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：根据题意设取中点记为，连接,在中，分别是中点，所以，所以异面直线与所成的角，即为与所成的角，在中,则,同理，在等腰三角形中，,所以为等边三角形，所以与所成的角为，即与所成的角为，所以答案为C.考点：1.异面直线所成的角；2.三角形的中位线.8. 如图,各棱长均为的正三棱柱，、分别为线段、上的动点,且平面,则这样的有 ( )A. 1条B. 2条C. 3条D. 无数条【答案】D【解析】由题意得．在上分别取，使，过作，垂足分别为，则，故．由于，故，从而，可得平面．又平面，可得平面平面．由于平面，所以平面，从而满足条件的有无数条．选D．9. 从点P引三条射线PA、PB、PC,每两条的夹角都是60,则二面角B－PA－C的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图，在射线上分别取点，使，则在三棱锥中，所有的棱长都等于1．取的中点M，连MB,MC，则有，，故即为二面角B－PA－C的平面角．在中，，由余弦定理得，即二面角B－PA－C的余弦值为．选C．10. 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则图中的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的三棱柱去掉一个三棱锥后剩下的几何体．其中，侧面为正方形，D为BC的中点，BC=4．由题意可得，解得．选C．11. 已知正三棱锥P—ABC的高PO的长为，点D为侧棱PC的中点，PO与BD所成角的余弦值为，则正三棱锥P—ABC的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由于几何体为正三棱锥，所以是等边三角形的重心，分中线成，取为中点，由于是中点，所以是直角三角形的中位线，所以，所以为与所成角，所以，设底面边长为，则，由解得，所以三棱锥的体积为.考点：三棱锥体积.【思路点晴】以客观题形式或作为解答题的一个构成部分考查常见几何体的表面积与体积，一般都是易题，有时结合面积、体积的计算考查等积变换等转化思想，与三视图结合是主要命题形式.若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.由于本题题目所以的三棱锥是正三棱锥，所以顶点在底面射影是底面的中心. 12. 如图，在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】如图，在中，由余弦定理得．取CD的中点E，连BE,AE，则，且，故，所以，从而可得平面ACD．设的外接圆的半径为，圆心为，则在上，由，可得，解得．由题意得球心O在过点且与平面垂直的直线上，令，设，则由可得，解得．设三棱锥的外接球的半径为，则，所以外接球的表面积．选A．点睛：对于几何体的外接球的体积、表面积问题，解答的关键是求出球半径，解题时首先要确定球心的位置．根据几何体的特征可得球心在过几何体底面多边形外接圆的圆心且与底面垂直的直线上，然后根据球心到几何体各个定点的距离相等建立方程，解方程可得球半径，进而其他问题可得解．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中横线上）13. 一个几何体按比例绘制的三视图如右图所示（单位:），则该几何体的体积为____【答案】【解析】由三视图可得，该几何体是由上下两部分组合而成，其中上方为棱长是1的正方体；下方为两个棱长为1的正方体和一个底面为等腰直角三角形（直角边为1）高为1的直三棱柱．故其体积为．答案：14. 如图：长方体ABCD—A B C D中，AB=3，AD=AA=2，E为AB上一点，且AE=2EB，F为CC的中点，P为C D上动点，当EF⊥CP时，PC=_________．【答案】2【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，∵长方体中，，为上一点，且，为的中点，为上动点，∴，设，∴，∵，∴，解得，∴，∴，∴．故答案为：2．15. 在直三棱柱ABC－A B C中，AB＝BC＝，BB＝2，ABC＝90，E、F分别为AA、C B的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为________【答案】【解析】由题意得直三棱柱底面为等腰直角三角形．①若把面和面B1C1CB展开在同一个平面内，则线段EF在直角三角形A1EF中，由勾股定理得．②若把把面ABA1B1和面A1B1C1展开在同一个平面内，设BB1的中点为G，在直角三角形EFG 中，由勾股定理得．③若把把面ACC1A1和面A1B1C1展开在同一个面内，过F作与CC1行的直线，过E作与AC平行的直线，所作两线交于点H，则EF在直角三角形EFH中，由勾股定理得．综上可得从E到F两点的最短路径的长度为．答案：点睛：（1）研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．（2）在本题中由于展开的方式不同，故在解题中采用了分类讨论的方法，按照三种不同的方式将几何体的侧面展开，然后对所得的结果进行比较以得到最短距离．16. 如右图，三棱柱中，E,F分别是AB、AC的中点，平面将三棱柱分成体积为两部分，则：＝________.【答案】【解析】设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则．∵E,F分别为AB,AC的中点，∴，，，∴．答案：三．解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 如图四棱锥P—ABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M、N为侧棱PC上的三等分点.（Ⅰ）证明：AN∥平面MBD；（Ⅱ）求三棱锥N—MBD的体积.【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）3.试题解析：（Ⅰ）连结AC交BD于O，连结OM，∵底面ABCD为矩形，∴O为AC的中点，∵M、N为侧棱PC上的三等分点，∴CM=MN，∴OM∥AN，∵OM平面MBD，AN平面MBD，∴AN∥平面MBD；（Ⅱ）18. 如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的左视图、俯视图、直观图，在直观图中，M 是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.（Ⅰ）求该几何体的表面积和体积；（Ⅱ）求点C到平面MAB的距离.【答案】（Ⅰ）体积是4，表面积是; （Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）由题意得该几何体为四棱锥，然后根据三视图中的数据可得几何体的体积和表面积．（2）设C到面MAB的距离为，然后根据可得，即所求的点到面的距离．试题解析：由三视图可得，在几何体中，EA平面ABC，DC平面ABC，AE∥DC，AE=2，DC=4，AB AC，且AC=2．（Ⅰ）∵EA平面ABC，AB平面ABC，∴EA AB，又AB AC，，∴AB平面ACDE，∴四棱锥B—ACDE的高，又梯形ACDE的面积，∴体积为；表面积为S=.（Ⅱ）如图，过M作MN⊥BC于N，过N作NH⊥AB于H，则MH⊥AB．结合题意可得点M到AB的距离，故．设C到面MAB的距离为，由得：，即解得．即点C到平面MAB的距离．19. 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点.（Ⅰ）求异面直线NE与AM所成角的余弦值；（Ⅱ）在线段AN上是否存在一点S，使ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.【解析】略视频20. 如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1 中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成600的角， AA1= 2．底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点。

2017-2018学年高二下学期第一次月考理数试题含答案

长沙市第一中学2017-2018学年度高二第二学期第一次阶段性检测理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•1. 下列数据中，拟合效果最好的回归直线方程，其对应的相关指数R2为( )A. 0.27 B . 0.85 C . 0.96 D . 0.5Z +12. 已知复数Z满足i，则复数Z的虚数为( )1-iA. -i B . i C . 1 D . -13. 已知U B(n,0.3) , D『：=：2.1，则n 的值为( )A. 10 B . 7 C . 3 D . 6e 14. 积分1 ( 2x)dx的值为( )XA. 1 B . e C. e 1 D . e25. 已知对任意实数x，有f(-x) - -f(x) , g(-x)=g(x)，且x ::: 0时，导函数分别满足f'(x) 0, g'(x) ：：0，则x 0 时，成立的是( )A f (x) :>0,g (x) cO B.f (x) >0,g (x) >0C. f (x) :: 0,g (x) ：： 0D.f (x) ：： 0, g (x) 06.以下命题的说法错误的是( )2A.命题“若x -3x • 2 = 0，则2x =1 ”的逆否命题为“若X = 1，则x - 3x • 2 = 0B. “ x = 1 ”是“ X2 -3x • 2 = 0 ”的充分不必要条件C. 若p q为假命题，则p, q均为假命题D. 对于命题p : -k R 使得x2 x V ： 0，则—p : 一x • R，均有x2• x T 一07. 已知随机变量XLN(3,；「2)，若P(X :a)龙4 ，则P(a <X ：：：6-a)的值为( )A. 0.4 B . 0.2 C. 0.1 D . 0.68. 对于不等式n2■ n ：：： n 1(^ N*)，某同学应用数学归纳法的证明过程如下：(1)当口曰时，/2• 1 ：：：1 • 1，不等式成立；(2)假设当n二k(k・N*)时，不等式成立,即• k k ：：k 1，即当n =k 1 时,(k 1) (k 1) = , k 3k 2 ：：： (k 3k 2) (k 2) = (k 2)2 = (k 1)1 ,当n二k 1时，不等式成立，则上述证法( )A.过程全部正确 B . n = 1验证不正确C.归纳假设不正确 D .从n=k到n = k 1的推理不正确9.将A,B,C,D,E排成一列，要求A,B,C在排列中顺序为“ A, B,C ”或“ C,B, A ”( A,B,C可以不相邻)，这样的排列数有( )A. 12 种B . 20 种C. 40 种D . 60 种2 2X y10•点P是椭圆1上一点，F1,F2是椭圆的两个焦点，且PF1F2的内切圆半径为25 161, 当P在第一象限时，P点的纵坐标为( )A.8B.3C. 2 D.53211.点P为曲线(x-1)2• (y -2)2 =9(y — 2)上任意一点，则* 、3y的最小值为( )A.2 3 -5B.2,3-2C.5、3 1 D .厶3 112.设集合A二{1,2,3, |||,n} (n・N*,n_3)，记A n中的元素组成的非空子集为A'(「N*,i =1,2,3, Hl,2n-1)，对于{1,2,3,11|,2n-1} , A中的最小元素和为S n ,A. 32 B . 57 C. 75 D . 480二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)P(K2—G)0.500.400.250.150 . 10 0.050.0250.010.0050.001k。

山东省2017-2018学年高二下学期第一次月考数学(文)试题Word版含答案

山东省2017-2018学年高二下学期第一次月考数学（文）试题第I 卷（选择题）一、选择题 1.已知复数iiz --=21（其中i 为虚数单位），则复数z 在坐标平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2.某班主任对全班根据表中数据得到250181589 5.0592*******k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为()2 5.0240.025P K ≥=，则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为（）A. 90%B. 95%C. 97.5%D. 无充分根据 3.下面几种推理是合情推理的是（） ①由圆的性质类比出球的有关性质②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180° ③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分 ④数列1，0，1，0，…，推测出每项公式21)1(211⋅-+=+n n a A. ①② B. ①③④ C. ①②④ D. ②④4.用反证法证明命题：“,,,a b c d R ∈，1a b +=，1c d +=，且1ac bd +>，则,,,a b c d 中至少有一个负数”时的假设为A ．,,,a b c d 中至少有一个正数B ．,,,a b c d 全为正数C ．,,,a b c d 全都大于等于0D ．,,,a b c d 中至多有一个负数5.如图，把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，则第七个三角形数是（）A. 27B. 28C. 29D. 30 6.与极坐标⎪⎭⎫⎝⎛6,2-π，不表示同一点的极坐标是（）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛π672，B.⎪⎭⎫ ⎝⎛π67-2，C.⎪⎭⎫ ⎝⎛π611-2-， D.⎪⎭⎫⎝⎛π6132-，7.利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关,通过随机询问110名不同的大学生是参照附表,A. 有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” B. 有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C. 在犯错误的概率不超过0.05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过0.05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”8.有一段演绎推理是这样的：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，是因为（）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 非以上错误 9.某产品的广告费用x 万元与销售额y 万元的统计数据如表：根据上表可得回归方程9.4ˆy= ）万元 A. 63.6 B. 65.5 C. 72 D. 67.7 10.如图所示，程序框图的输出结果是A.16 B. 2524C. 34D. 111211.在极坐标系中，过点），（π6A 作圆θρcos 4-=的切线，则切线长为（）A.2B.6C.32D.15212.定义在R 上的函数()f x 满足： ()()()()1,00,f x f x f f x >='-'是()f x 的导函数，则不等式()1x x e f x e >-（其中e 为自然对数的底数）的解集为（）A. ()1,-+∞B. ()(),10,-∞-⋃+∞C. ()(),01,-∞⋃+∞D. ()0,+∞第II 卷（非选择题）二、填空题13.若复数()()222log 32log 3z x x i x =--+-为实数，则实数x 的值为__________．14.边长为x 的正方形的周长()x x C 4=,面积()2x x S =，则()x x S 2='，因此可以得到有关正方形的如下结论:正方形面积函数的导数等于正方形周长函数的一半．那么对于棱长为x 的正方体,请你写出关于正方体类似于正方形的结论：．15.把极坐标方程θθρsin 4cos -=化为直角坐标方程。

【解析】山东省潍坊市普通高中2017-2018学年高二下学期模块检测数学理试题

2017-2018学年度第二学期普通高中模块监测高二数学(理)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1.（）A. 60B. 30C. 20D. 6【答案】A【解析】分析：根据排列公式计算即可．详解：=5×4×3=60，故选：A．点睛：本题重点考查了排列数公式，属于基础题.2.若，则（）A. 1B. 2C. 4D. 6【答案】C【解析】分析：由导函数定义，，即可求出结果.详解：∵f′（x0）=2，则===2f′（x0）=4．故选：C ．点睛：本题考查了导函数的概念，考查了转化的思想方法，考查了计算能力，属于中档题.3.在研究打酣与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“打酣与患心脏病有关”的结论，并且有以上的把握认为这个结论是成立的,下列说法中正确的是（）A. 100个心脏病患者中至少有99人打酣B. 1个人患心脏病，那么这个人有的概率打酣C. 在100个心脏病患者中一定有打酣的人D. 在100个心脏病患者中可能一个打酣的人都没有【答案】D【解析】分析：打酣与患心脏病有关”的结论，有99%以上的把握认为正确，表示有99%的把握认为这个结论成立，与多少个人打酣没有关系，得到结论．详解：∵“打酣与患心脏病有关”的结论，有99%以上的把握认为正确，表示有99%的把握认为这个结论成立，与多少个人打酣没有关系，只有D选项正确，故选：D．点睛：本题考查独立性检验的应用，解题的关键是正确理解有多大把握认为这件事正确，实际上是对概率的理解．4.设两个正态分布和的密度函数图像如图所示,则有（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：从正态曲线关于直线x=μ对称，看μ的大小，从曲线越“矮胖”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中，由此可得结论．详解：从正态曲线的对称轴的位置看，显然μ1＜μ2，正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，σ越小，∴σ1＜σ2故选：A．点睛：本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，以及数形结合的思想，属于基础题．5.函数的导数是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：，故选C.考点：导数.6.若随机变量的分布列如表，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由随机变量X的分布列得到，由此利用均值不等式能求出a2+b2的最小值．详解：由随机变量X的分布列知：，∴ab≤（）2=，当且仅当a=b=时，取等号，此时a2+b2≥2ab=．∴a2+b2的最小值为．故选：B．点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.7.在的展开式中，的系数是（）A. 30B. 28C. －28D. －30【答案】B【解析】分析：先将多项式展开，转化成两二项式系数的差，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为5，2求出二项展开式的系数．详解：∴展开式的的系数是的展开式的的系数减去的的系数∵的展开式的通项为令r=5，2得展开式的含的系数为；展开式的含x2的系数为﹣=56﹣28=28故选：B．点睛：本题考查等价转化的能力及利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．8.右表提供了某厂节能降耗技术改造后生产产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对应数据．根据右表提供的数据，求出关于的线性回归方程为，那么表中的值为（）3 4 5 6A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：求出这组数据的样本中心点，样本中心点是用含有t的代数式表示的，把样本中心点代入变形的线性回归方程，得到关于t的一次方程，解方程，得到结果．详解：∵由回归方程知=，解得t=3，故选：A．点睛：回归直线中样本中心一定在回归直线上，可以利用这一条件求出方程中的参数。

高二数学下学期第一次月考试题理

山东省淄博市淄川中学2017-2018学年高二数学下学期第一次月考试题理一、选择题（每题5分，共60分）1．z ＝1的共轭复数是 ( )A ．12＋12i B ．1212i C ．1i D ．1＋i 2．函数e x y x =-的单调减区间为A ．(1,)+∞B ．(0,)+∞C ．(0),-∞D ．(1),-∞3．设a 是实数，且a 1+i ＋1+i 2是实数，则a ＝ ( ) A ．12 B ．1 C ．32 D ．24．由直线0,e,2y x y x ===及曲线xy 2=所围成的封闭的图形的面积为（） A ．2ln 23+B ．C ．22e 3-D ． 5．已知函数f (x )=x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( )A ．x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(−∞，x 0)上单调递减D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝06．函数2(n )2l f x x x =-在[1,2]上的最大值是( )A ．42ln 2-B ．C ．42ln 2+D ． 7．若函数32()6f x x ax x =--+在()01，上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．1a ≥ B ．1a =C ．1a ≤D ．01a <<8．若函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()1()y x f x '=-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数()f x 有极大值(2)f -，无极小值B ．函数()f x 有极小值(1)f ，无极大值C ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)fD ．函数()f x 有极大值(1)f 和极小值(2)f -9．如图，将直径为d 的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x 的积成正比(强度系数为k ，k >0)．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x 应为A ．3dB ．2dC ．3d D ．2d 10．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )>0，且f (3)＝0，则不等式<0的解集是( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3) 11若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增，则的取值范围是A ．(],2-∞-B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞12函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是。

【研】2017-2018学年第二学期第一次月考模拟试卷(高二理)数学答案

【研】2017-2018学年高二理科数学第二学期第一次月考模拟试卷(参考答案)一．选择题（共12小题）1．一个物体的运动方程为s=t2﹣t+2（其中s的单位是米，t的单位是秒），那么物体在t=4秒的瞬时速度是（）A．6米/秒B．7米/秒C．8米/秒D．9米/秒【分析】根据导数的物理意义，求出函数在t=4处的导数即可．【解答】解：∵s=s（t）=t2﹣t+2，∴s'（t）=2t﹣1，∴根据导数的物理意义可知物体在4秒末的瞬时速度为为s'（4），即s'（4）=2×4﹣1=7（米/秒），故选：B．【点评】本题主要考查导数的物理意义，根据导数的公式直接进行计算即可，比较基础．等于（）2．已知函数f（x）=2x2﹣4的图象上一点（1，﹣2）及邻近一点（1+△x，﹣2+△y），则△△A．4 B．4△x C．4+2△x D．4+2（△x）2【分析】求出f（1+△x），△y=f（1+△x）﹣f（1），结合定义求解即可．【解答】解：∵△y=2（1+△x）2﹣4﹣（2﹣4）=2△x2+4△x，=2△x+4，∴△△故选：C．【点评】本题简单的考察变化率的概念，关键是求出自变量的变化量，函数值的变化量，化简求值，属于容易题．3．设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．【分析】由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为2+，利用基本不等式就可得出其最小值【解答】解：因为3a•3b=3，所以a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选择B．【点评】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．4．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【分析】由条件利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得△ABC的形状．【解答】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，故选B．【点评】本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．5．设函数f（x）可导，则△ △△等于（）A．f′（1）B．3f′（1）C．D．f′（3）【分析】利用导数的定义即可得出．【解答】解：△ △△=△△△=．故选C．【点评】本题考查了导数的定义，属于基础题．6．设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．﹣2 C．﹣D．【分析】求出函数的导数，切线的斜率，由两直线垂直的条件，即可得到a的值．【解答】解：∵y=，∴y′==，∴曲线y=在点（3，2）处的切线的斜率k=﹣，∵曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，∴直线ax+y+1=0的斜率k′=﹣a×=﹣1，即a=﹣2．故选：B．【点评】本题考查导数的几何意义的求法，考查导数的运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与直线垂直的性质的灵活运用．7．已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A． B． C．D．【分析】利用函数的定义域与函数的值域排除B，D，通过函数的单调性排除C，推出结果即可．【解答】解：令g（x）=x﹣lnx﹣1，则，由g'（x）＞0，得x＞1，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，由g'（x）＜0得0＜x＜1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，所以当x=1时，函数g（x）有最小值，g（x）min=g（0）=0，于是对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C，故选A．【点评】本题考查函数的单调性与函数的导数的关系，函数的定义域以及函数的图形的判断，考查分析问题解决问题的能力．8．已知等比数列{a n}，且a4+a8=，则a6（a2+2a6+a10）的值为（）A．π2B．4 C．πD．﹣9π【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由dx表示圆的x2+y2=4的面积的，可得dx=π．由于a4+a8=dx=π=，可得a6（a2+2a6+a10）==π2．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵dx表示圆的x2+y2=4的面积的，∴dx==π．∴a4+a8=dx=π=，∴a6（a2+2a6+a10）===π2．故选：A．【点评】本题考查了定积分的几何意义、等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（）A．B．C． D．【分析】由题设条件知：当x＞﹣2时，xf′（x）＜0；当x=﹣2时，xf′（x）=0；当x＜﹣2时，xf′（x）＞0．由此观察四个选项能够得到正确结果．【解答】解：∵函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，∴当x＞﹣2时，f′（x）＞0；当x=﹣2时，f′（x）=0；当x＜﹣2时，f′（x）＜0．∴当x＞﹣2时，xf′（x）＜0；当x=﹣2时，xf′（x）=0；当x＜﹣2时，xf′（x）＞0．故选A．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质和函数极值的性质的合理运用．10．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有＜恒成立，则不等式x2f（x）＞0的解集是（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞）B．（﹣2，0）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）【分析】首先根据商函数求导法则，把＜化为[]′＜0；然后利用导函数的正负性，可判断函数y=在（0，+∞）内单调递减；再由f（2）=0，易得f（x）在（0，+∞）内的正负性；最后结合奇函数的图象特征，可得f（x）在（﹣∞，0）内的正负性．则x2f（x）＞0⇔f（x）＞0的解集即可求得．【解答】解：因为当x＞0时，有＜恒成立，即[]′＜0恒成立，所以在（0，+∞）内单调递减．因为f（2）=0，所以在（0，2）内恒有f（x）＞0；在（2，+∞）内恒有f（x）＜0．又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以在（﹣∞，﹣2）内恒有f（x）＞0；在（﹣2，0）内恒有f（x）＜0．又不等式x2f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．所以答案为（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．故选D．【点评】本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系，同时考查了奇偶函数的图象特征．11．若过点P（a，a）与曲线f（x）=xlnx相切的直线有两条，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，e）B．（e，+∞）C．（0，）D．（1，+∞）【分析】设切点为（m，mlnm），求出导数，求得切线的斜率，由两点的斜率公式可得=，设g（m）=，求出导数和单调区间，可得最大值，由题意可得0＜＜，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：设切点为（m，mlnm），f（x）=xlnx的导数为f′（x）=1+lnx，可得切线的斜率为1+lnm，由切线经过点P（a，a），可得1+lnm=，化简可得=，（*），由题意可得方程（*）有两解，设g（m）=，可得g′（m）=，当m＞e时，g′（m）＜0，g（m）递增；当0＜m＜e时，g′（m）＞0，g（m）递减．可得g（m）在m=e处取得最大值，即有0＜＜，解得a＞e．故选：B．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查函数方程的转化思想，以及运算能力，属于中档题．12．若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】求导数f′（x），由题意知x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，从而关于f（x）的方程3（f（x））2+2af （x）+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案．【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，由3（f（x））2+2af（x）+b=0，得x=x1，或x=x2，即3（f（x））2+2af（x）+b=0的根为f（x）=x1或f（x2）=x2的解．如图所示，由图象可知f（x）=x1有2个解，f（x）=x2有1个解，因此3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数为3．故选A．【点评】考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想．二．填空题（共4小题）13．若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k=﹣1．【分析】先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k的值．【解答】解：由题意得，y′=k+，∵在点（1，k）处的切线平行于x轴，∴k+1=0，得k=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大．14．已知f（x）=2x3﹣6x2+m（m为常数），在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在[﹣2，2]上的最小值为﹣37．【分析】本题是典型的利用函数的导数求最值的问题，只需要利用已知函数的最大值为3，进而求出常熟m 的值，即可求出函数的最小值．【解答】解：由已知，f′（x）=6x2﹣12x，有6x2﹣12x≥0得x≥2或x≤0，因此当x∈[2，+∞），（﹣∞，0]时f（x）为增函数，在x∈[0，2]时f（x）为减函数，又因为x∈[﹣2，2]，所以得当x∈[﹣2，0]时f（x）为增函数，在x∈[0，2]时f（x）为减函数，所以f（x）max=f（0）=m=3，故有f（x）=2x3﹣6x2+3所以f（﹣2）=﹣37，f（2）=﹣5因为f（﹣2）=﹣37＜f（2）=﹣5，所以函数f（x）的最小值为f（﹣2）=﹣37．答案为：﹣37【点评】本题考查利用函数的导数求最值的问题，解一元二次不等式的方法．15．已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|= 8．【分析】运用椭圆的定义，可得三角形ABF2的周长为4a=20，再由周长，即可得到AB的长．【解答】解：椭圆=1的a=5，由题意的定义，可得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，则三角形ABF2的周长为4a=20，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=20﹣12=8．故答案为：8【点评】本题考查椭圆的方程和定义，考查运算能力，属于基础题．16．对正整数n，设曲线y=x n（1﹣x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a n，则数列的前n项和的公式是2n+1﹣2．【分析】欲求数列的前n项和，必须求出在点（1，1）处的切线方程，须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率即得直线方程进而得到切线与y轴交点的纵坐标．最后利用等比数列的求和公式计算，从而问题解决．【解答】解：y′=nx n﹣1﹣（n+1）x n，曲线y=x n（1﹣x）在x=2处的切线的斜率为k=n2n﹣1﹣（n+1）2n切点为（2，﹣2n），所以切线方程为y+2n=k（x﹣2），令x=0得a n=（n+1）2n，令b n=．数列的前n项和为2+22+23+…+2n=2n+1﹣2．故答案为：2n+1﹣2．【点评】本题考查应用导数求曲线切线的斜率，数列通项公式以及等比数列的前n项和的公式．解后反思：应用导数求曲线切线的斜率时，要首先判定所经过的点为切点．否则容易出错．二．解答题（共6小题）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用数列的通项公式，直接利用等比数列的前n项和公式求出结果．【解答】解：（Ⅰ）列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2①．则：S n+1=2a n+1﹣2②，②﹣①得：a n+1=2a n，即：（常数），当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得：a1=2，所以数列的通项公式为：，（Ⅱ）由于：，则：，=，=2n+1﹣2．﹣2﹣2﹣ (2)=2n+2﹣4﹣2n．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，等比数列前n项和的公式的应用．18．双曲线C与椭圆+=1有相同焦点，且经过点（4，）．（1）求双曲线的方程；（2）若F1，F2是双曲线C的两个焦点，点P在双曲线C上，且∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积．【分析】（1）求出椭圆的焦点，设出双曲线的方程，代入点的坐标，解方程即可得到双曲线的方程；（2）运用余弦定理和双曲线的定义及面积公式，即可计算得到所求面积．【解答】解：（1）椭圆的焦点坐标为（﹣3，0），（3，0），设双曲线的方程为﹣=1，又因为双曲线过点（4，），则=1，即有a4﹣40a2+144=0，解得a2=4或a2=36（舍去）所以双曲线的方程为=1；（2）在△F1PF2中，由余弦定理得：|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|•cos60°=（|PF1|﹣|PF2|）2+|PF1|•|PF2|又|F1F2|2=4c2=36，（|PF1|﹣|PF2|）2+|=4a2=16，则|PF1|•|PF2|=20，则△ =|PF1|•|PF2|•sin60°==5．【点评】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查双曲线的定义，同时考查余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于基础题．19．已知函数f（x）=alnx﹣bx2，若函数f（x）的图象在x=1处与直线y=﹣相切．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[，e]上的最大值．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到f′（1），由f′（1）=0且f（1）=﹣，列方程组求得实数a，b的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得函数f（x）的解析式，然后利用导数求函数在[，e]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=alnx﹣bx2，得f′（x）=﹣2bx，∴f′（1）=a﹣2b，则，解得a=1，b=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=lnx﹣x2．f′（x）=﹣x=（x＞0）．∴当x∈（，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，e）时，f′（x）＜0．∴f（x）在（，1）上为增函数，在（1，e）上为减函数，则f（x）max=f（1）=﹣．【点评】本题考查利用导数求过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求函数在闭区间上的最值，是中档题．20．已知函数f（x）=x3﹣x2+ax﹣a （a∈R）．（1）当a=﹣3时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．【分析】（1）当a=﹣3时，求出f′（x）=x2﹣2x﹣3=（x﹣3）（x+1）．令f′（x）=0，得x1=﹣1，x2=3．根据x＜﹣1，﹣1＜x＜3，x＞3三种情况分类讨论，利用导数性质能求出f（x）的极值．（2）由f′（x）=x2﹣2x+a，△=4﹣4a=4（1﹣a），当a≥1时，f（x）在R上单调递增，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点；当a＜1，则△＞0，f′（x）=0有两个不相等的实数根，不妨设为x1，x2，（x1＜x2），从而x1+x2=2，x1x2=a，由f（x1）•f（x2）＞0，得到a＞0；当0＜a＜1时，f（0）=﹣a＜0，f（3）=2a＞0，从而当0＜a＜1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）=﹣x2﹣3x+3，∴f′（x）=x2﹣2x﹣3=（x﹣3）（x+1）．令f′（x）=0，得x1=﹣1，x2=3．当x＜﹣1时，f′（x）＞0，则f（x）在（﹣∞，﹣1]上单调递增，当﹣1＜x＜3时，f′（x）＜0，则f（x）在（﹣1，3）上单调递减，当x＞3时，f′（x）＞0，f（x）在（3，+∞）上单调递增．∴当x=﹣1时，f（x）取得极大值为f（﹣1）=﹣；当x=3时，f（x）取得极小值为f（3）=．（2）∵f′（x）=x2﹣2x+a，∴△=4﹣4a=4（1﹣a）．①若a≥1，则△≤0，∴f′（x）≥0在R上恒成立，∴f（x）在R上单调递增．∵f（0）=﹣a＜0，f（3）=2a＞0，∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．②若a＜1，则△＞0，∴f′（x）=0有两个不相等的实数根，不妨设为x1，x2，（x1＜x2）．∴x1+x2=2，x1x2=a．当x变化时，f′（x），f（x）的取值情况如下表：∵，∴a=﹣．∴===．同理f（x2）=．∴f（x1）•f（x2）=•[]•[]=[（x1x2）2+3（a﹣2）（）+9（a﹣2）2]=a{a2+3（a﹣2）[（x1+x2）2﹣2x1x2]+9（a﹣2）2}=a（a2﹣3a+3）．令f（x1）•f（x2）＞0，解得a＞0．而当0＜a＜1时，f（0）=﹣a＜0，f（3）=2a＞0，故当0＜a＜1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．综上所述，a的取值范围是（0，+∞）．【点评】本题考查函数的极值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查导数性质、导数的几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类讨论与整合思想、函数与方程思想，是中档题．21．设函数f（x）=（1﹣x2）e x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，求出极值点，利用导函数的符号，判断函数的单调性即可．（2）化简f（x）=（1﹣x）（1+x）e x．f（x）≤ax+1，下面对a的范围进行讨论：①当a≥1时，②当0＜a＜1时，设函数g（x）=e x﹣x﹣1，则g′（x）=e x﹣1＞0（x＞0），推出结论；③当a≤0时，推出结果，然后得到a的取值范围．【解答】解：（1）因为f（x）=（1﹣x2）e x，x∈R，所以f′（x）=（1﹣2x﹣x2）e x，令f′（x）=0可知x=﹣1±，当x＜﹣1﹣或x＞﹣1+时f′（x）＜0，当﹣1﹣＜x＜﹣1+时f′（x）＞0，所以f（x）在（﹣∞，﹣1﹣），（﹣1+，+∞）上单调递减，在（﹣1﹣，﹣1+）上单调递增；（2）由题可知f（x）=（1﹣x）（1+x）e x．下面对a的范围进行讨论：①当a≥1时，设函数h（x）=（1﹣x）e x，则h′（x）=﹣xe x＜0（x＞0），因此h（x）在[0，+∞）上单调递减，又因为h（0）=1，所以h（x）≤1，所以f（x）=（1+x）h（x）≤x+1≤ax+1；②当0＜a＜1时，设函数g（x）=e x﹣x﹣1，则g′（x）=e x﹣1＞0（x＞0），所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，又g（0）=1﹣0﹣1=0，所以e x≥x+1．因为当0＜x＜1时f（x）＞（1﹣x）（1+x）2，所以（1﹣x）（1+x）2﹣ax﹣1=x（1﹣a﹣x﹣x2），取x0=∈（0，1），则（1﹣x0）（1+x0）2﹣ax0﹣1=0，所以f（x0）＞ax0+1，矛盾；③当a≤0时，取x0=∈（0，1），则f（x0）＞（1﹣x0）（1+x0）2=1≥ax0+1，矛盾；综上所述，a的取值范围是[1，+∞）．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．22．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）min，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知＞，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）＞①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣（6分）②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间，上，f'（x）＞0，在区间，上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，，单调递减区间为，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）min．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g（x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在，上单调递增，在，上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得＜．﹣﹣﹣（12分）【点评】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调性，掌握不等式恒成立时所满足的条件，是一道中档题．。