【名师导学】高考数学文(北师大版)大一轮总复习练习：选修4-4-1坐标系(含答案解析)

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高考数学统考一轮复习第十章选修系列选修4-4 第1节坐标系课时规范练(文,含解析)北师大版

学习资料第十章选修系列选修4-4 坐标系与参数方程第一节坐标系课时规范练1．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin错误!＝2，曲线C的方程为ρ＝4cos θ，求直线l被曲线C截得的弦长．解析：因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，化成直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，所以曲线C是圆心为(2，0),直径为4的圆．因为直线l的极坐标方程为ρsin错误!＝2,化成直角坐标方程为y＝错误!（x－4)，则直线l过A(4，0)，倾斜角为错误!，所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B,则∠OAB＝错误!。

如图，连接OB。

因为OA为直径,从而∠OBA＝错误!，所以AB＝4cos π6＝2错误!.所以直线l被曲线C截得的弦长为2错误!。

2．(2020·青岛质检)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为错误!(其中φ为参数)．以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1）求圆C的极坐标方程；(2)设直线l的极坐标方程是ρsin错误!＝2，射线OM：θ＝错误!与圆C的交点为P,与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．解析:(1)圆C的普通方程为x2＋（y－1)2＝1，又x＝ρcos θ,y＝ρsin θ，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2sin θ。

(2)把θ＝错误!代入圆的极坐标方程可得ρP＝1，把θ＝错误!代入直线l的极坐标方程可得ρQ＝2，所以｜PQ｜＝|ρP－ρQ|＝1。

3．（2019·郑州一中模拟)在平面直角坐标系中，曲线C1的普通方程为x2＋y2＋2x－4＝0,曲线C2的方程为y2＝x，以坐标原点O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1，C2的极坐标方程;（2)求曲线C1与C2交点的极坐标，其中ρ≥0，0≤θ＜2π。

解析：(1）依题意，将错误!代入x2＋y2＋2x－4＝0可得ρ2＋2ρcos θ－4＝0。

将错误!代入y2＝x,得ρsin2θ＝cos θ.故曲线C1的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－4＝0，曲线C2的极坐标方程为ρsin2θ＝cos θ.（2)将y2＝x代入x2＋y2＋2x－4＝0，得x2＋3x－4＝0，解得x＝1，x＝－4(舍去），当x＝1时，y＝±1，所以曲线C1与C2交点的直角坐标分别为(1，1)，(1,－1),记A（1，1)，B （1，－1）,所以ρA＝错误!＝错误!，ρB＝错误!＝错误!，tan θA＝1，tan θB＝－1，因为ρ≥0，0≤θ＜2π，点A在第一象限,点B在第四象限，所以θA＝错误!，θB＝错误!，故曲线C1与C2交点的极坐标分别为错误!，错误!. 4．(2020·山西八校联考）在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为(x－3）2＋(y－4)2＝25.以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设l1:θ＝错误!，l2：θ＝错误!，若l1,l2与曲线C分别交于异于原点的A，B两点，求△AOB 的面积．解析：（1）∵曲线C的普通方程为（x－3)2＋(y－4）2＝25，即x2＋y2－6x－8y＝0.∴曲线C的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ.(2）设A错误!,B错误!。

2018北师大版文科数学高考总复习练习：选修4-4-1含答案

选修4—4 坐标系与参数方程第1讲坐标系（建议用时：60分钟）1．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l:ρsin错误!＝错误!.（1)求圆O和直线l的直角坐标方程;(2）当θ∈（0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．解（1）圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ,圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y,即x2＋y2－x－y＝0,直线l：ρsin错误!＝错误!,即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1,即x－y＋1＝0。

(2)由错误!得错误!故直线l与圆O公共点的一个极坐标为错误!.2．(2017·贵阳调研）以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝错误!。

（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若|OP|＝3｜OQ|,求直线l的极坐标方程．解（1）∵ρ＝错误!，ρsin θ＝y，∴ρ＝错误!化为ρ－ρsin θ＝2，∴曲线的直角坐标方程为x2＝4y＋4。

(2）设直线l的极坐标方程为θ＝θ0（ρ∈R)，根据题意21－sin θ0＝3·错误!,解得θ0＝错误!或θ0＝错误!,直线l的极坐标方程θ＝错误!(ρ∈R）或θ＝错误!（ρ∈R）．3．在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝错误!对称的曲线的极坐标方程．解以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，则曲线ρ＝2cos θ的直角坐标方程为（x－1)2＋y2＝1，且圆心为(1，0)．直线θ＝错误!的直角坐标方程为y＝x，因为圆心(1,0）关于y＝x的对称点为(0,1),所以圆（x－1）2＋y2＝1关于y＝x的对称曲线为x2＋(y－1)2＝1。

所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝错误!对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ。

4．在极坐标系中，已知圆C的圆心C错误!，半径r＝3.（1)求圆C的极坐标方程；（2）若点Q在圆C上运动，点P在OQ的延长线上，且错误!＝2错误!，求动点P的轨迹方程．解(1)设M（ρ，θ)是圆C上任意一点．在△OCM中，∠COM＝错误!，由余弦定理得|CM｜2＝|OM｜2＋|OC｜2－2|OM|·｜OC｜cos错误!,化简得ρ＝6cos错误!。

新北师大版高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》检测卷(含答案解析)(1)

一、选择题1．已知点P 的极坐标是1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，则过点P 且垂直极轴的直线方程是（） A ．12ρ=B ．1cos 2ρθ=C ．12cos ρθ=-D ．2cos ρθ=-2．在极坐标系中，点P 在圆1ρ=上，则点P 到直线()cos 2sin 5ρθθ+=的距离的最小值为（） A ．5B ．3C ．31-D ．51-3．已知三个不同的点,,E F G 在圆22(1)9x y -+=上运动，且GE GF ⊥，若点Q 的坐标为()4,4，则QE QF QG ++的取值范围是（） A ．[23,32]B ．[]1,6C ．[]2,9D ．[]12,184．在极坐标中，为极点，曲线：上两点对应的极角分别为，则的面积为 A ．B ．C ．D ．5．点(,)ρθ满足223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=，则2ρ的最大值为（） A ．72B ．4C ．92D ．56．在极坐标系中，设圆8:sin C ρθ=与直线 ():4l R πθρ=∈交于A B ，两点，则以线段AB 为直径的圆的极坐标方程为（） A ．424πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．424πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．224πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．224πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭7．若22,3P π⎛⎫⎪⎝⎭是极坐标系中的一点，则8552,,2,,2,,2,3333Q R M N ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭四个点中与点P 重合的点有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．在极坐标系中，点2,6π⎛⎫⎪⎝⎭到直线sin 16πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的距离是( ) A 5B ．3 C ．1D ．29．以π4⎛⎫⎪⎝⎭） A ．ρ=-(sin θ+cosθ) B ．ρ=sin θ+cosθ C ．ρ=-2(sin θ+cosθ)D ．ρ=2(sin θ+cosθ)10．极坐标方程2cos 3cos 30ρθρθρ-+-=表示的曲线是（） A ．一个圆B ．两个圆C ．两条直线D ．一个圆和一条直线11．在极坐标系中有如下三个结论：①点P 在曲线C 上，则点P 的极坐标满足曲线C 的极坐标方程；②tan 1θ=与4πθ=表示同一条曲线；③3ρ=与3ρ=-表示同一条曲线．在这三个结论中正确的是（） A ．①③B ．③C ．②③D ．①12．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（） A ．2202x y y +==或 B ．2x =C ．2202x y x +==或D ．2y =二、填空题13．在极坐标系中，直线sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4ρ=截得的弦长为______. 14．在极坐标系中，直线cos 1ρθ=与圆4cos ρθ=相交于,A B 两点，则AB =___． 15．已知圆M的极坐标方程为2cos()604πρθ--+=，则ρ的最大值为______.16．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为:cos 4l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C的参数方程12x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（θ为参数）.则曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为________.17．极坐标2,3π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为______. 18．过点4π)且与极轴平行的直线的极坐标方程是_______． 19．以平面直角坐标系xOy 的坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆2cos ρθ=的圆心的平面直角坐标为______________．20．（坐标系与参数方程选做题）已知圆C 的圆心为(6,)2π，半径为5，直线(,)2r πθαθπρ=≤<∈被圆截得的弦长为8，则α=_____．三、解答题21．在平面直角坐标系xoy ，曲线1:40C x y +-=，曲线2cos :1sin x C y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）射线:0,02l a a πθρ⎛⎫=≥<<⎪⎝⎭分别交1C ，2C 于M ，N 两点，求ON OM的最大值.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1{x tcos y tsin αα=+=（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，若点P 的直角坐标为()1,0，试求当4πα=时，PA PB +的值. 23．在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩(其中α为参数），曲线2C 的方程为2213x y +=，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程；（2）若射线()06πθρ=>与曲线12,C C 分别交于,A B 两点，求AB .24．在极坐标系下，已知圆C ：cos sin ρθθ=+和直线l ：20x y -+=. （1）求圆C 的直角坐标方程（2）求圆C 上的点到直线l 的最短距离．25．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线1C 的极坐标方程为sin 4ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ--+=，曲线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈.（1）求1C 与2C 的直角坐标方程；（2）若2C 与1C 的交于P 点，2C 与3C 交于A 、B 两点，求PAB ∆的面积.26．在直角坐标系xOy 中，圆C的直角坐标方程为22((1)4x y +-=，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）写出圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程为3πθ=(ρ∈R )与圆C 交于,M N 两点，求CMN ∆的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】把极坐标化为直角坐标，求出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程．【详解】1,2P π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴过P 且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为12x =-，其极坐标方程为1cos 2ρθ=-，即12cos ρθ=-．故选：C ．【点睛】本题考查求直线的极坐标方程，解题时利用极坐标与直角坐标的互化求解．2．D解析：D 【分析】将极坐标方程转化为普通方程，将圆上点到直线距离问题转化为圆心到直线的距离再减半径，即可求出其最小值．【详解】由1ρ=得221x y +=，∴圆心（0，0），r = 由()cos 2sin 5ρθθ+=，得25x y +=，又圆心（0，0）到直线的距离为d r ==>，∴直线和圆相离，所以点P 到直线250x y +-=1r =，故选：D. 【点睛】本题考查了极坐标方程和普通方程的转化，考查直线和圆的关系，考查了转化思想，属于中档题．3．D解析：D 【分析】利用数形结合，采用建系的方法，根据向量的坐标表示以及运算，结合辅助角公式，可得结果. 【详解】如图：由GE GF ⊥，可知EF 为直径可设()()13cos ,3sin ,13cos ,3sin E F ϕϕϕϕ+--， ()13cos ,3sin G θθ+所以()33cos ,3sin 4QE ϕϕ=-+-，()33cos ,3sin 4QF ϕϕ=---- ()3cos 3,3sin 4QG θθ=--则()3cos 9,3sin 12QE QF QG θθ++=-- 所以()()223cos 93sin 12QE QF QG θθ++=-+-化简可得()23454cos 72sin QE QF QG θθ++=-+即()323490sin ,tan 4QE QF QG θϕϕ++=-+=所以当()sin 1θϕ+=时，min12QE QF QG++= 当()sin 1θϕ+=-时，max18QE QF QG++=所以||QE QF QG ++的取值范围为[]12,18 故选：D 【点睛】本题主要考查向量的坐标表示，对这种几何问题，常会采用建系，将几何问题代数化，化繁为简，属中档题.4．A解析：A 【解析】【分析】将、两点的极角代入曲线的极坐标方程，求出、，将、的极角作差取绝对值得出，最后利用三角形的面积公式可求出的面积。

【优化方案】高考理数大一轮总复习练习：选修4-4-1坐标系(含答案解析)

1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x′＝12x ，y ′＝13y后，曲线C ：x 2＋y 2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．解：设圆x 2＋y 2＝36上任一点为P(x ，y)，伸缩变换后对应的点的坐标为P′(x′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x′，y ＝3y′，所以4x ′2＋9y′2＝36，即x ′29＋y ′24＝1.所以曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 24＝1，其焦点坐标为(±5，0)．2．(2015·高考江苏卷)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin (θ－π4)－4＝0，求圆C 的半径．解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.3．(2016·扬州质检)求经过极点O(0，0)，A ⎝⎛⎭⎫6，π2，B ⎝⎛⎭⎫62，9π4三点的圆的极坐标方程．解：将点的极坐标化为直角坐标，点O ，A ，B 的直角坐标分别为(0，0)，(0，6)，(6，6)，故△OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，圆心为(3，3)，半径为32，圆的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18，即x 2＋y 2－6x －6y ＝0，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上述方程，得ρ2－6ρ(cos θ＋sin θ)＝0，即ρ＝62cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4.4．圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．解：(1)x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，所以x 2＋y 2＝4x ，即x 2＋y 2－4x ＝0为⊙O 1的直角坐标方程．同理，x 2＋y 2＋4y ＝0为⊙O 2的直角坐标方程．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，x 2＋y 2＋4y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝－2.即⊙O 1，⊙O 2交于点(0，0)和(2，－2)，过交点的直线的直角坐标方程为y ＝－x.5．(2014·高考天津卷改编)在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，求a 的值．解：由ρ＝4sin θ，可得x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4. 由ρsin θ＝a ，可得y ＝a.设圆的圆心为O′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示．由对称性知∠O′OB ＝30°，OD ＝a. 在Rt △DOB 中，易求DB ＝33a ，所以B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫33a ，a . 又因为B 在x 2＋y 2－4y ＝0上，所以⎝⎛⎭⎫33a 2＋a 2－4a ＝0，即43a 2－4a ＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝3. 6．(2016·长春模拟)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求点M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1，从而曲线C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.θ＝0时，ρ＝2，所以M(2，0)． θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)由(1)得点M 的直角坐标为(2，0)，点N 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233.所以点P 的直角坐标为⎝⎛⎫1，33，则点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．1．(2016·唐山统一考试)已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x ＋y ＝2.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系． (1)将圆C 和直线l 的方程化为极坐标方程；(2)P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程．解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入圆C 和直线l 的直角坐标方程得其极坐标方程为C ：ρ＝2，l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.(2)设P ，Q ，R 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ|·|OP|＝|OR|2，得ρρ1＝ρ22.又ρ2＝2，ρ1＝2cos θ＋sin θ，所以2ρcos θ＋sin θ＝4，故点Q 轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．2．(2016·南宁检测)已知在一个极坐标系中，点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3.(1)求出以C 为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程；(2)以圆C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，点P 是圆C 上任意一点，Q(5，－3)，M 是线段PQ 的中点，当点P 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹的普通方程．解：(1)设圆C 上任意一点A(ρ，θ)，则∠AOC ＝θ－π3或π3－θ，由余弦定理得4＋ρ2－4ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝4，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3.(2)在直角坐标系中，点C 的坐标为(1，3)，设圆C 上任意一点P. 法一：P(1＋2cos α，3＋2sin α)，又令M(x ，y)，由Q(5，－3)，M 是线段PQ 的中点，所以M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝6＋2cos α2，y ＝2sin α2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，所以点M 的轨迹的普通方程为(x －3)2＋y 2＝1. 法二：点C 的坐标为(1，3)，圆的半径为2，则圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4，设M(x ，y)，P(x 0，y 0)，所以x 0＝2x －5，y 0＝2y ＋3，① P(x 0，y 0)在圆(x －1)2＋(y －3)2＝4上，将①式代入得(x －3)2＋y 2＝1.3．(2016·东北三校模拟)已知点P 的直角坐标是(x ，y)．以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P 的极坐标是(ρ，θ)，点Q 的极坐标是(ρ，θ＋θ0)，其中θ0是常数．设点Q 的直角坐标是(m ，n)． (1)用x ，y ，θ0表示m ，n ；(2)若m ，n 满足mn ＝1，且θ0＝π4，求点P 的直角坐标(x ，y)满足的方程．解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，且⎩⎪⎨⎪⎧m ＝ρcos （θ＋θ0），n ＝ρsin （θ＋θ0），所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝ρcos θcos θ0－ρsin θsin θ0，n ＝ρsin θcos θ0＋ρcos θsin θ0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝xcos θ0－ysin θ0，n ＝xsin θ0＋ycos θ0.(2)由(1)可知⎩⎨⎧m ＝22x －22y ，n ＝22x ＋22y ，又mn ＝1，所以⎝⎛⎭⎫22x －22y ⎝⎛⎭⎫22x ＋22y ＝1.整理得x 22－y 22＝1.所以x 22－y 22＝1即为所求方程．4．(2016·哈尔滨模拟)在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎫2，π3.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A(ρ1，θ0)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ0＋π2，若A 、B 都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值．解：(1)因为C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ，所以C 1的普通方程为x 24＋y 2＝1.由题意知曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2a·cos θ(a 为半径)，将D ⎝⎛⎭⎫2，π3代入，得2＝2a×12，所以a ＝2，所以圆C 2的圆心的直角坐标为(2，0)，半径为2，所以C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1，即ρ2＝44sin 2θ＋cos 2θ.所以ρ21＝44sin 2θ0＋cos 2θ0， ρ22＝44sin 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2＋cos 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2 ＝4sin 2θ0＋4cos 2θ0.所以1ρ21＋1ρ22＝4sin 2θ0＋cos 2θ04＋4cos 2θ0＋sin 2θ04＝54.。

北师大版高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》测试(含答案解析)(1)

一、选择题1．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（） A ．1cos 2ρθ=B ．sin 2ρθ=C ．cos 2ρθ=D ．1sin 2ρθ=2．以平面直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）上的点到曲线cos sin 4ρθρθ+=的最短距离是（）. A ．1B ．2C ．22D ．323．极坐标方程2cos22cos 1ρθρθ-=表示的曲线是（） A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线4．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=。

若射线3πθ=与曲线1C 和曲线2C 分别交于,A B 两点（除极点外），则AB 等于（）A ．31-B ．31+C ．1D ．35．如图，点A 、B 是函数1y x=在第I 象限的图像上两点且满足OAB 90∠=且AO AB =，则OAB ∆的面积等于（）A ．12B ．22C ．32D ．526．极坐标方程cos ρθ=与1cos 2ρθ=的图形是（） A ． B ． C ． D ．7．在极坐标系中，下列方程为圆ρ2sin θ=的切线方程的是（） A ．cos 2ρθ=B ．2cos ρθ=C ．cos 1ρθ=-D ．sin 1ρθ=-8．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是 A ．(1,)2πB ．(1,)2π-C ．(1,0)D ．(1，π)9．在同一平面直角坐标系中，将直线22x y -=按124x xy y⎧=⎪⎨⎪='⎩'变换后得到的直线l 的方程，若以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程为（） A ．4cos sin 4ρθρθ-= B ．cos 16sin 4ρθρθ-= C ．cos 4sin 4ρθρθ-=D ．cos 8sin 4ρθρθ-=10．将点的直角坐标(－2，化成极坐标得( )． A ．(4，23π) B ．(－4，23π) C ．(－4，3π) D ．(4，3π) 11．在极坐标系中，两条曲线1πC :ρsin θ14⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2C :ρ=的交点为A,B ，则AB =（）A ．4B．C ．2D ．112．若曲线2 1x ty t =-⎧⎨=-+⎩（t为参数）与曲线ρ=B ， C 两点，则BC 的值为（）A．2BCD二、填空题13．在极坐标系中，已知(2,)6A π，5(4,)6B π，则A ，B 两点之间的距离AB 为__________．14．若点(2016,2017)P -经过伸缩变换'2017'2016x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩后的点在曲线''x y k =上，则k =________.15．直线θα=与cos()1ρθα-=的位置关系是________． 16．极坐标2,3π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为______. 17．过点4π)且与极轴平行的直线的极坐标方程是_______． 18．在极坐标系中，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系，点2,6M π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标是__________． 19．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为23x cosay sina =⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C 1与C 2的交点个数为________． 20．已知直线的极坐标方程为πρcos θ23⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则点πA 2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线的距离为________ ．三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 1sin x r y r ϕϕ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=，若直线l 与曲线C 相切；（1）求曲线C 的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；（2）在曲线C 上取两点M ，N 与原点O 构成MON ∆，且满足6MON π∠=，求MON ∆面积的最大值.22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为（α为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）写出圆C 的极坐标方程及圆心C 的极坐标；（2）直线l 的极坐标方程为与圆C 交于M ，N 两点，求△CMN 的面积．23．以平面直角坐标系的坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系. 已知直线l 的参数方程为23{12x ty t=-=-+ （为参数），曲线的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ= .(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线与曲线C 相交于A B 、两点，求AB .24．已知直线l 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线,444πππθφφθφ⎛⎫=-<<=+ ⎪⎝⎭，4πθφ=-分别与曲线C 交于、、A B C 三点（不包括极点O ）.(Ⅰ)求证：OB OC OA +=；(Ⅱ)当12πφ=时，若B C 、两点在直线l 上，求m 与α的值.25．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为()()cos sin 0m m ρθθ+=>.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若直线()4R πθρ=∈与直线l 交于点A ，与曲线C 交于M ，N 两点，且6OA OM ON ⋅⋅=，求m .26．在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为1(x cos y sin ααα=+⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A 为曲线1C 上的动点，点B 在线段OA 的延长线上，且满足||||8OA OB ⋅=，点B 的轨迹为2C . （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）设点M 的极坐标为2,2π⎛⎫⎪⎝⎭，求ABM ∆面积的最小值。

新北师大版高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》测试(有答案解析)(5)

一、选择题1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换22x xy y ''=⎧⎨=⎩后，曲线C 变为曲线()()22561x y -++=，则曲线C 的对称中心是（）A ．()5,6-B ．5,32⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()10,12-D ．5,62⎛⎫-⎪⎝⎭2．已知曲线C 的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C经过伸缩变换123x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后，得到的曲线是（）A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线3．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=。

若射线3πθ=与曲线1C 和曲线2C 分别交于,A B 两点（除极点外），则AB 等于（）A1B1C ．1D4．圆22cos 4sin 30ρρθρθ++-=上到直线cos sin 10ρθρθ++=点共有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．将2216x y +=的横坐标压缩为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍，则曲线的方程变为（）A ．22134x y +=B ．22213x y +=C ．222112x y +=D ．222134x y +=6．在极坐标系中，曲线1:2cos C ρθ=，曲线2:4C πθ=，若曲线1C 与2C 交于,A B 两点，则线段AB 的长度为（） A ．2BC．D ．17．将直角坐标方程y x =转化为极坐标方程，可以是( ) A ．1ρ=B ．ρθ=C ．1()R θρ=∈D ．()4R πθρ=∈8．在极坐标系中，下列方程为圆ρ2sin θ=的切线方程的是（） A ．cos 2ρθ=B ．2cos ρθ=C ．cos 1ρθ=-D ．sin 1ρθ=-9．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，长度单位不变，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－3π)＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点，则MN 的中点的极坐标为（）A．B．)6π C ．3π⎫⎪⎪⎝⎭， D．2⎛ ⎝⎭10．曲线cos 104πρθθ+==关于对称的曲线的极坐标方程是( )A ．sin 10ρθ+=B ．sin 10ρθ-=C ．cos 10ρθ-=D ．cos 10ρθ+=11．将曲线0(),F x y =上的点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的13，得到的曲线方程为（） A ．,302()x F y = B ．3(2,0)y F x = C ．2(3,0)y F x =D ．,203()x F y =12．若曲线2 1x ty t =-⎧⎨=-+⎩（t为参数）与曲线ρ=B ， C 两点，则BC 的值为（）ABCD二、填空题13．已知点A 是曲线2cos ρθ=上任意一点，则点A 到直线πsin 46ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的距离的最大值是______.14．（理）在极坐标系中，曲线sin 2ρθ=+与sin 2ρθ=的公共点到极点的距离为_________．15．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为:cos 4l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C的参数方程12x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（θ为参数）.则曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为________.16．在极坐标系中，直线(cos 2sin )1ρθθ+=与直线sin 1ρθ=的夹角大小为_____（结果用反三角函数值表示）.17．直线2310x y 经过变换可以化为6610x y ''+-=，则坐标变换公式是_______.18．在极坐标系中，点(2,)3π到直线(cos 3sin )6ρθθ+=的距离为_________．19．若直线l 的极坐标方程为ρcos ()324πθ-=，曲线C ：ρ＝1上的点到直线l 的距离为d ，则d 的最大值为________．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则线段AB 的长为__．三、解答题21．在极坐标系中，已知两点3,,2,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离.22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin ρθθ=，它在点(22,)4M π处的切线为直线l .(1)求直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与2214y x +=的交点为P 1,P 2,求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.23．在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C ：222x ax y -+=0(a >0)，曲线2C 的参数方程为cos {1sin x y αα==+(α为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系； (1)求曲线1C ，2C 的极坐标方程; (2)已知极坐标方程为θ=6π的直线与曲线1C ，2C 分别相交于P ，Q 两点（均异于原点O ），若|PQ|=231，求实数a 的值； 24．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1{x tcos y tsin αα=+=（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos .4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，若点P 的直角坐标为()1,0，试求当4πα=时，PA PB +的值.25．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩(ϕ为参数)，过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于A 、B 两点．(1)求l 和M 的极坐标方程；(2)当04πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，求OA OB +的取值范围．26．在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为1222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=. （1）求直线的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线与曲线C 交于,A B 两点，P(1,2)-，求||PA PB ⋅.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据题意，点(,)x y ''在曲线()()22561x y -++=上，由伸缩变换公式22x xy y ''=⎧⎨=⎩，将其代入()()22561x y -++=中化简，将其变形为标准方程即可求解. 【详解】解：由题意，点(,)x y ''在曲线()()22561x y -++=上，()()22561x y ''∴-++=，又22x x y y '==⎩'⎧⎨，()()()22225125261324x y x y ⎛⎫∴-++=⇒-++= ⎪⎝⎭，所以曲线C 的对称中心是5,32⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题考查伸缩变换公式的应用，关键是将变换后的量代入方程进行化简，考查理解辨析能力及运算求解能力，属于基础题.2．C解析：C 【分析】将曲线C 的极坐标方程222123cos 4sin ρθθ=+化为普通方程，再将曲线C 的普通方程进行12x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩的伸缩变换后即可解. 【详解】解：由极坐标方程22222123(cos )4(sin )123cos 4sin ρρθρθθθ=⇒+=+，可得：223412x y +=，即22143x y +=，曲线C经过伸缩变换12x x y y⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩，可得2x x y =⎧=''⎪，代入曲线C 可得：221x y ''+=，∴伸缩变换得到的曲线是圆．故选：C ．【点睛】考查曲线的极坐标方程化普通方程以及曲线方程的变换.其中将12x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩转化为2x xy=⎧=''⎪为解题关键. 3．A解析：A 【分析】把3πθ=分别代入2sin ρθ=和2cos ρθ=，求得,A B 的极经，进而求得AB ，得到答案．【详解】由题意，把3πθ=代入2sin ρθ=，可得2sin3A πρ==把3πθ=代入2cos ρθ=，可得2cos13B πρ==，结合图象，可得31A B AB ρρ=-=-，故选A ．【点睛】本题主要考查了简单的极坐标方程的应用，以及数形结合法的解题思想方法，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．C解析：C 【解析】【分析】把圆和直线方程化为直角坐标方程，结合点到直线的距离公式与直线与圆的位置关系求解。

北师大版高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》测试(有答案解析)

一、选择题1．已知曲线C 的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C 经过伸缩变换1233x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后，得到的曲线是（）A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线2．在极坐标系中，曲线4sin 6πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于（） A ．直线3πθ=对称B ．直线6πθ=对称C ．点2,6π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．极点对称3．在极坐标系中，点(),ρθ与(),ρπθ--的位置关系为（） A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．重合D ．关于直线()2R πθρ=∈对称4．将正弦曲线sin y x =先保持纵坐标y 不变，将横坐标缩为原来的12；再将纵坐标y 变为原来的3倍，就可以得到曲线3sin 2y x =，上述伸缩变换的变换公式是（）A ．1'2'3x x y y⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．'2'3x xy y =⎧⎨=⎩C ．'21'3x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．1'21'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩5．如图，点A 、B 是函数1y x=在第I 象限的图像上两点且满足OAB 90∠=且AO AB =，则OAB ∆的面积等于（）A ．12B ．22C ．2D6．在极坐标系中，已知圆C 经过点6P π⎛⎫⎪⎝⎭，，圆心为直线sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭轴的交点，则圆C 的极坐标方程为 A ．4cos ρθ=B ．4sin ρθ=C ．2cos ρθ=D ．2sin ρθ=7．在极坐标系中，已知A （1，π3），B （2，2π3）两点，则|AB|＝（）A BC ．1D 8．已知直线1:1x t l y at =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线221613sin ρθ=+的相交弦中点坐标为(1,1)，则a 等于（）A ．14-B ．14C ．12-D ．129．在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线l ：20y kx ++=与曲线C ：2cos ρθ=相交，则k 的取值范围是( )A ．34k <-B ．34k ≥-C ．k R ∈D ．k R ∈但0k ≠10．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为22162x y +=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()6πρθ+=M 的极坐标方程为(0)θαρ=≥.设射线m 与曲线C 、直线l 分别交于A 、B 两点，则2211OAOB+的最大值为（） A ．34B ．25C ．23D ．1311．已知()()()12cos ,cos 0f x x f x x ωω==>，()2f x 的图象可以看做是把()1f x 的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的13倍(纵坐标不变)而得到的，则ω为( ) A ．12B ．2C ．3D ．1312．极坐标方程24sin 52θρ=表示的曲线是（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线二、填空题13．在极坐标系中，直线sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭被圆4ρ=截得的弦长为______. 14．已知椭圆C 的参数方程是5cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，02θπ≤≤)，则其右焦点坐标是__________．15．在极坐标系中，直线3cos sin 0ρθρθ-=与圆4sin ρθ=交A ，B 两点，则||AB =_____．16．将曲线C 按伸缩变换'2'3x x y y=⎧⎨=⎩变换后所得曲线方程为22''1x y +=，则曲线C 的方程为________.17．以平面直角坐标系xOy 的坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆2cos ρθ=的圆心的平面直角坐标为______________．18．在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为222242x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩,直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，则a 的值为________. 19．ABC ∆的底边110,,2BC A B =∠=∠以B 点为极点，BC 为极轴，则顶点A 的轨迹的极坐标方程为__________________ 20．已知圆的直角坐标方程为2220x y x +-=，则圆的极坐标方程为____________．三、解答题21．设直线l 的参数方程为1123{x ty =-=（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．（1）把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点()1,0A ，求22MA NA +的值．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为()()cos sin 0m m ρθθ+=>.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若直线()4R πθρ=∈与直线l 交于点A ，与曲线C 交于M ，N 两点，且6OA OM ON ⋅⋅=，求m .23．在直角坐标系xOy 中，已知曲线221:(1)1C x y -+=以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2cos()6πρθ-=（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）已知点(4,0)M ，直线l 的极坐标方程为3πθ=，它与曲线1C 的交点为O ，P ，与曲线2C 的交点为Q ，求MPQ 的面积.24．在极坐标系下，已知圆C ：cos sin ρθθ=+和直线l ：20x y -+=. （1）求圆C 的直角坐标方程（2）求圆C 上的点到直线l 的最短距离．25．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C :1x y +=与曲线2C :22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，[)0,2ϕπ∈）.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）写出曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点A 是射线l :θα=（0ρ≥）与1C 的公共点，点B 是l 与2C 的公共点，当α在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化时，求OB OA 的最大值.26．已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，且取相同的单位长度建立平面直角坐标系，则直线l 的参数方程是212x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；（2）设点(),0P m ，若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，且1PA PB ⋅=，求非负实数m 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C解析：C 【分析】将曲线C 的极坐标方程222123cos 4sin ρθθ=+化为普通方程，再将曲线C 的普通方程进行123x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩的伸缩变换后即可解. 【详解】解：由极坐标方程22222123(cos )4(sin )123cos 4sin ρρθρθθθ=⇒+=+，可得：223412x y +=，即22143x y +=，曲线C经过伸缩变换12x x y y⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩，可得2x x y =⎧=''⎪，代入曲线C 可得：221x y ''+=，∴伸缩变换得到的曲线是圆．故选：C ．【点睛】考查曲线的极坐标方程化普通方程以及曲线方程的变换.其中将12x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩转化为2x xy=⎧=''⎪为解题关键. 2．A解析：A 【分析】由4sin 6πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得直角坐标方程：2220x x y -+-=，圆心为( ，又因为直线3πθ=即：y =过点(，由此便可得出答案.【详解】由曲线4sin 6πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，即：24sin 6πρρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，化简得曲线的直角坐标方程：2220x x y -+-=，故圆心为( .又因为直线3πθ=,直角坐标方程为：y =，直线y =过点(，故曲线关于直线3πθ=对称故选：A. 【点睛】本题主要考查曲线及直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及圆关于过圆心的直线对称的知识，属于中等难度题目.3．A解析：A 【分析】由点(),ρπθ--和点(,)ρθ-为同一点. 则比较点(,)ρθ-和点(),ρθ，可推出点(),ρθ与(),ρπθ--的位置关系.【详解】解：点(),ρπθ--与点(),ρθ-是同一个点，(),ρθ-与点(),ρθ关于极轴对称.∴点(),ρθ与(),ρπθ--关于极轴所在直线对称.故选：A. 【点睛】考查极坐标的位置关系.题目较为简单，要掌握极坐标的概念.4．A解析：A 【分析】首先设出伸缩变换关系式，把伸缩变换关系式代入变换后的方程，利用系数对应相等，可得答案。

高中数学高考高三理科一轮复习资料选修4-4-1 坐标系

说基础
课前预习读教材
考点梳理 1.极坐标的概念 (1)极坐标系：
如图所示，在平面内取一个定点 O，叫做①______，从 O 点引一条射线 Ox，叫做②______，选定一个单位长度和角及其正方向(通常取逆时针方向)，这样应确定了一个平面极坐标系，简称为③__________.
(2)极坐标：对于平面内任意一点 M，用 ρ 表示线段 OM 的长，θ 表示以 Ox 为始边、OM 为终边的角度，ρ 叫做点 M 的④______，θ 叫做点 M 的⑤______，有序实数对(ρ，θ)叫做点 M 的极坐标，记作 M(ρ，θ)．当点 M 在极点时，它的极径⑥____ ，极角 θ 可以取⑦ ______.
考点自测 1.在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线 ρ＝2sinθ 与 ρcosθ ＝－1 的交点的坐标为__________．
x＝ρcosθ，解析：由极坐标方程与普通方程的互化式 y＝ρsinθ
知，这两条曲线的普通方程分别为 x2＋y2＝2y，x＝－1.解得 x＝－1， x＝ρcosθ， 3π 由得点(－1,1)的极坐标为 2， 4 . y＝1. y＝ρsinθ 3π 答案： 2， 4
题型探究题型一直角坐标系中的伸缩变换例 1. 在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换 φ ： x′＝3x， 2y′＝y. 1 (1)求点 A3，－2经过 φ 变换所得的点 A′的坐标； (2)求直线 l：y＝6x，经过 φ 变换后所得的直线 l′的方程．
2．极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景：把平面直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的单位长度，如图所示．

新北师大版高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》测试(有答案解析)(3)

一、选择题1．点P 的直角坐标为(2,2)-，那么它的极坐标可表示为（） A ．52,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．51,4π⎛⎫⎪⎝⎭D ．31,4π⎛⎫⎪⎝⎭. 2．在极坐标系中，曲线4sin 6πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于（） A ．直线3πθ=对称B ．直线6πθ=对称C ．点2,6π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．极点对称3．在极坐标系中，点(),ρθ与(),ρπθ--的位置关系为（） A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．重合D ．关于直线()2R πθρ=∈对称4．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为43cos ρθ=，若曲线1C 与2C 的关系为（）A ．外离B ．相交C ．相切D ．内含5．如图所示，极坐标方程sin (0)a a ρθ=>所表示的曲线是（）A ．B ．C ．D ．6．在满足极坐标和直角坐标互化的条件下，极坐标方程222123cos 4sin ρθθ=+经过直角坐标系下的伸缩变换1'23'x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩后，得到的曲线是（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．直线7．已知直线1:1x t l y at=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线221613sin ρθ=+的相交弦中点坐标为(1,1)，则a 等于（）A ．14-B ．14C ．12-D ．128．将直角坐标方程y x =转化为极坐标方程，可以是( ) A ．1ρ=B ．ρθ=C ．1()R θρ=∈D ．()4R πθρ=∈9．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1D ．y ＝110．曲线cos 104πρθθ+==关于对称的曲线的极坐标方程是( )A ．sin 10ρθ+=B ．sin 10ρθ-=C ．cos 10ρθ-=D ．cos 10ρθ+=11．在极坐标系中有如下三个结论：①点P 在曲线C 上，则点P 的极坐标满足曲线C 的极坐标方程；②tan 1θ=与4πθ=表示同一条曲线；③3ρ=与3ρ=-表示同一条曲线．在这三个结论中正确的是（） A ．①③B ．③C ．②③D ．①12．在极坐标系中，直线cos()24ρθπ-=与圆2ρ=的公共点的个数为A ．1B ．2C ．0D ．无法确定二、填空题13．已知直线l 的极坐标方程为2sin()24πρθ-=，点A 的极坐标为7(22,)4π，则点A 到直线l 的距离为____．14．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为：2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 30cos sin θθ-=，则圆C截直线l 所得弦长为___________．15．在极坐标系中，直线(cos 2sin )1ρθθ+=与直线sin 1ρθ=的夹角大小为_____（结果用反三角函数值表示）.16．直线θα=与cos()1ρθα-=的位置关系是________．17．在以O 为极点的极坐标系中，曲线2cos ρθ=和直线cos =a ρθ相交于,A B 两点.若AOB ∆是等边三角形，则a 的值为__________．18．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为 .19．已知直线l 和曲线Γ的极坐标方程分别为()sin cos 1ρθθ-=和1ρ=，若l 和Γ相交于两点,A B ，则AB =_______.20．在极坐标系中，O 是极点，设点1,6A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,2B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则OAB 的面积是__________．三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C ：222x ax y -+=0(a >0)，曲线2C 的参数方程为cos {1sin x y αα==+(α为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系； (1)求曲线1C ，2C 的极坐标方程; (2)已知极坐标方程为θ=6π的直线与曲线1C ，2C 分别相交于P ，Q 两点（均异于原点O ），若|PQ|=1，求实数a 的值； 22．在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长． 23．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=. （1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.24．已知曲线C 的参数方程为cos 1sin x y αα=+⎧⎨=⎩，其中α为参数，且[0,]απ∈在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设T 是曲线C 上的一点，直线OT 被曲线C T 点的极坐标. 25．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的直角坐标方程为()()22113x y -++=，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标系方程为()3R πθρ=∈.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）判断：直线l 与曲线C 是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由.26．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩ （t 为参数，且0t >，(0,)2πα∈），曲线2C 的参数方程为cos 1x y sin ββ=⎧⎨=+⎩（β为参数，且(,)22ππβ∈-）.以O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为1cos ((0,))2πρθθ=+∈，曲线4C 的极坐标方程为cos 1ρθ=.（1）求3C 与4C 的交点到极点的距离；（2）设1C 与2C 交于P 点，1C 与3C 交于Q 点，当α在(0,)2π上变化时，求||||OP OQ +的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据直角坐标化极坐标的方法求解即可. 【详解】设它的极坐标为(,)ρθ222(4,2ρρ=+==tan 1θ==- θ在第二象限，且[)0,2θπ∈34πθ∴=则它的极坐标可表示为32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：B 【点睛】本题主要考查了直角坐标化极坐标，属于中档题.2．A解析：A 【分析】由4sin 6πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得直角坐标方程：2220x x y -+-= ，圆心为( ，又因为直线3πθ=即：y = 过点(，由此便可得出答案.【详解】由曲线4sin 6πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，即：24sin 6πρρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，又因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，化简得曲线的直角坐标方程：2220x x y -+-= ，故圆心为( .又因为直线3πθ=,直角坐标方程为：y ，直线y =过点(，故曲线关于直线3πθ=对称故选：A. 【点睛】本题主要考查曲线及直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及圆关于过圆心的直线对称的知识，属于中等难度题目.3．A解析：A 【分析】由点(),ρπθ--和点(,)ρθ-为同一点. 则比较点(,)ρθ-和点(),ρθ，可推出点(),ρθ与(),ρπθ--的位置关系.【详解】解：点(),ρπθ--与点(),ρθ-是同一个点，(),ρθ-与点(),ρθ关于极轴对称.∴点(),ρθ与(),ρπθ--关于极轴所在直线对称.故选：A. 【点睛】考查极坐标的位置关系.题目较为简单，要掌握极坐标的概念.4．B解析：B 【分析】将两曲线方程化为普通方程，可得知两曲线均为圆，计算出两圆圆心距d ，并将圆心距d 与两圆半径差的绝对值和两半径之和进行大小比较，可得出两曲线的位置关系. 【详解】在曲线1C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，得24sin ρρθ=，化为普通方程得224x y y +=，即()2224x y +-=，则曲线1C 是以点()10,2C 为圆心，以12r =为半径的圆，同理可知，曲线2C 的普通方程为(2212x y -+=，则曲线2C 是以点()2C 为圆心，以2r =两圆圆心距为4d==，1222r r-=-=，122r r+=+1212r r d r r∴-<<+，因此，曲线1C与2C相交，故选：B.【点睛】本题考查两圆位置关系的判断，考查曲线极坐标方程与普通方程的互化，对于这类问题，通常将圆的方程化为标准方程，利用两圆圆心距与半径和差的大小关系来得出两圆的位置关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5．C解析：C【解析】【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程即可。

高考数学(文)一轮复习选修4-4-1坐标系

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板块一
板块二
板块三
高考一轮总复习 ·数学（文）
5 ． [2015·广东高考 ] 已知直线 l 的极坐标方程为
2ρsinθ－π4＝
2，点 A 的极坐标为 A2
2，74π，则点 A 到直
52 线 l 的距离为___2_____．
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板块一
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板块三
高考一轮总复习 ·数学（文）
ρta2n＝θ＝x2＋yxyx2≠0，.
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板块二
板块三
高考一轮总复习 ·数学（文）
考点 2 常用简单曲线的极坐标方程
曲线形状(特征) 极坐标方程
过极点且与极轴成 α θ＝α(ρ∈R)
角的直线
过(a,0)且垂直于极轴 ρcosθ＝a
的直线
过b，π2且平行于极轴的直线
ρsinθ＝b
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板块一
板块二
(2)若 M 是曲线 C 上的动点，且点 M 的直角坐标为(x， y)，求 x＋y 的最大值．
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板块一
板块二
板块三
高考一轮总复习 ·数学（文）
解 (1)ρ2－2 2ρcosθ＋4π－2＝0，即 ρ2 －2ρcosθ＋ 2ρsinθ－2＝0，将xy＝＝ρρcsionsθθ，代入，得曲线 C 的直角坐标方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝4，
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板块一
板块二
板块三
高考一轮总复习 ·数学（文）
考向极坐标方程及其应用例 3 [2016·全国卷Ⅱ]在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； (2)直线 l 的参数方程是xy＝＝ttcsionsαα， (t 为参数)，l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|＝ 10，求 l 的斜率．

新北师大版高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》测试题(有答案解析)(5)

一、选择题1．（理）在极坐标系中,圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（） A ．0()R θρ=∈ 和cos 2ρθ= B ．()2R πθρ=∈和cos 2ρθ=C ．()2R πθρ=∈和cos 1ρθ= D ．0()R θρ=∈和cos 1ρθ=2．在极坐标系中，圆cos()3πρ=θ+的圆心的极坐标为（） A ．1(,)23π-B ．1(,)23πC ．(1,)3π-D ．(1,)3π3．以平面直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）上的点到曲线cos sin 4ρθρθ+=的最短距离是（）. A ．1B ．2C ．22D ．324．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin 42a πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线2C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ）.若1C 与2C 有且只有一个公共点，则实数a 的取值范围是（）A ．2±B ．(2,2)-C ．[1,1)-D ．[1,1)-或25．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为23cos ρθ=，若曲线1C 与2C 交于A 、B 两点，则AB 等于（）A ．1B ．3C ．2D ．23 6．在同一直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后所得到的曲线A ．B ．C ．D ．7．在满足极坐标和直角坐标互化的条件下，极坐标方程222123cos 4sin ρθθ=+经过直角坐标系下的伸缩变换1'23'x x y y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩后，得到的曲线是（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．直线8．在极坐标系中，点2,6π⎛⎫⎪⎝⎭到直线sin 16πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的距离是( )A B ．3 C ．1D ．29．将曲线0(),F x y =上的点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的13，得到的曲线方程为（） A ．,302()x F y = B ．3(2,0)y F x = C ．2(3,0)y F x =D ．,203()x F y =10．在极坐标系中，直线cos()4ρθπ-=ρ的公共点的个数为A ．1B ．2C ．0D ．无法确定11．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（） A ．2202x y y +==或 B ．2x =C ．2202x y x +==或D ．2y =12．点M 的直角坐标为(1)-化为极坐标为（） A ．（2，56π） B ．（2，76π） C ．（2，116π） D ．（2，6π）二、填空题13．在极坐标系中，直线sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4ρ=截得的弦长为______. 14．在极坐标系中，已知(2,)6A π，5(4,)6B π，则A ，B 两点之间的距离AB 为__________．15．在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 的极坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C 的直角坐标方程为：22(1)1y x +-=. （1）求曲线C 和直线AB 的极坐标方程；（2）过点O 的射线l 交曲线C 于M 点，交直线AB 于N 点，若||||4OM ON ⋅=，求射线l 所在直线的直角坐标方程. 16．在极坐标系下，点(2,)6π到直线2cos()13πρθ-=的距离为________. 17．在极坐标系中，O 是极点，设点(1,)6A π，(2,)2B π，则OAB ∆的面积是__________．18．在极坐标系中0,02,ρθπ>≤<，曲线cos 1ρθ=-与曲线=2sin ρθ的交点的极坐标为_______________。

2019高三数学文北师大版一轮教师用书选修4-4 第1节坐标系 Word版含解析

选修－坐标系与参数方程第一节坐标系[考纲传真].理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．(对应学生用书第页)[基础知识填充]．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点(，)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：(\\(′＝λ，λ＞，′＝μ，μ＞))的作用下，点(，)对应到点′(′，′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．．极坐标系()极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点，叫作极点，从点引一条射线，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系．对于平面内任意一点，用ρ表示线段的长，θ表示以为始边、为终边的角度，ρ叫作点的极径，θ叫作点的极角，有序实数对(ρ，θ)叫做点的极坐标，记作(ρ，θ)．当点在极点时，它的极径ρ＝，极角θ可以取任意值．图--()极坐标与直角坐标的互化设为平面内的一点，它的直角坐标为(，)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：(\\(＝ρ θ＝ρ θ))或(\\(ρ＝＋ θ＝()(≠())图--．常用简单曲线的极坐标方程．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)()平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( )()若点的直角坐标为(，－)，则点的一个极坐标是.( )()在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( )()极坐标方程θ＝π(ρ≥)表示的曲线是一条直线．( )[答案]()×()√()√()×．(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段＝－(≤≤)的极坐标方程为( )．ρ＝θ＋ θ)，≤θ≤。

【名师一号】高考数学一轮总复习 1坐标系练习(选修4-4)

选修4—4 坐标系与参数方程第一节坐标系时间：45分钟分值：100分一、填空题1．在极坐标系中，圆心为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，且过极点的圆的方程是________．解析在圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2中，ρ＝1，θ＝π2，∴圆心的坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝0，y ＝ρsin θ＝1，即圆心坐标为(0,1)，圆心到极点的距离为1，即圆的半径为 1.∴圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1，即x 2＋y 2－2y ＝0，即ρ2－2ρsin θ＝0，解得ρ＝2sin θ.答案 ρ＝2sin θ2．在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，则点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4到直线l 的距离为________．解析 A 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 34π，2sin 34π，即(－2，2)，l 的方程为x ＋y ＝1，由点到线的距离公式d ＝|－2＋2－1|12＋12＝22. 答案223．已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋5cos α，y ＝2＋5sin α(α为参数)，以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程是________．解析曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋5cos α，y ＝2＋5sin α(α为参数)，它表示以点(1,2)为圆心，以5为半径的圆，则曲线C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，化为一般方程，即x2＋y 2－2x －4y ＝0，化为极坐标方程，得ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＝0，即ρ2＝2ρcos θ＋4ρsin θ，两边约去ρ，得ρ＝2cos θ＋4sin θ.答案 ρ＝2cos θ＋4sin θ4．在极坐标系中，直线ρ(sin θ－cos θ)＝a 与曲线ρ＝2cos θ－4sin θ相交于A ，B 两点，若|AB|＝23，则实数a 的值为________．解析将直线ρ(sin θ－cos θ)＝a 化为普通方程，得y －x ＝a ，即x －y ＋a ＝0，将曲线ρ＝2cos θ－4sin θ的方程化为普通方程，得x 2＋y 2＝2x －4y ，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，圆心坐标为(1，－2)，半径r ＝ 5.设圆心到直线AB 的距离为d ，由勾股定理可得d ＝r 2－⎝⎛⎭⎪⎫|AB|22＝5－⎝⎛⎭⎪⎫2322＝2，而d ＝|1－－＋a|12＋－2＝|a ＋3|2＝2，∴|a＋3|＝2，解得a ＝－5或－1.答案－5或－15．在极坐标系中，曲线ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3与直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1的两个交点之间的距离为________．解析把曲线方程ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3化为直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4，把直线方程ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1化为直角坐标方程为x ＋3y －2＝0，圆心到直线的距离d ＝|1＋3×3－2|2＝1，所以弦长为2r 2－d 2＝23，即两个交点之间的距离为2 3.答案 2 36．(2014·重庆卷)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋ty ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ<2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________.解析直线的方程为x －y ＋1＝0，极坐标方程化为普通方程为y 2＝4x ，它们的交点坐标是(1,2)，所以极径是 5.答案57．(2014·安徽卷)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为________．解析由题意得直线l 的方程为x －y －4＝0，圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，则圆心到直线的距离d ＝2，故弦长＝2r 2－d 2＝2 2.答案 2 28．极坐标系中，质点P 自极点出发作直线运动到达圆：ρ＋4cos θ＝0的圆心位置后，沿顺时针方向旋转60°后的直线方向到达圆周ρ＋4cos θ＝0上，此时P 点的极坐标为________．解析如图，由已知得圆半径OC ＝2，且∠POC＝π6，故|OP|＝23，θ＝π－∠POC＝5π6，故点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，5π6.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫23，56π 9．(2014·江西卷)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为________．解析由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，y ＝1－x 可得ρsin θ＝1－ρcos θ，即ρ＝1cos θ＋sin θ，再结合线段y ＝1－x(0≤x≤1)在极坐标系中的情形，可知θ∈[0，π2]．因此线段y ＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2.答案 ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2二、解答题10．在极坐标系中定点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0(0≤θ<2π)上运动，当线段AB 最短时，求点B 的极坐标．解 ∵ρcos θ＋ρsin θ＝0， ∴cos θ＝－sin θ，tan θ＝－1.∴直线的极坐标方程化为θ＝3π4(直线如图)．过A 作直线垂直于l ，垂足为B ，此时AB 最短．易得|OB|＝22.∴B 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4. 11．平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－2ρsin θ－3＝0.(1)求直线l 的极坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB|. 解 (1)消去参数，得直线l 的直角坐标方程为y ＝3x.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得ρsin θ＝3ρcos θ，故直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )．(也可以是θ＝π3或θ＝4π3(ρ≥0))(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－2ρsin θ－3＝0，θ＝π3得ρ2－3ρ－3＝0. 设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ1，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π3，则ρ1＋ρ2＝3，ρ1ρ2＝－3， ∴|AB |＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝15.12．(2015·太原模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C 1上的点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32对应的参数φ＝π3，曲线C 2过点D ⎝⎛⎭⎪⎫1，π3.(1)求曲线C 1，C 2的直角坐标方程；(2)若点A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值．解 (1)将M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32及对应的参数φ＝π3代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝a cos π3，32＝b sin π3即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，∴曲线C 1的方程为x 24＋y 2＝1.设圆C 2的半径为R ，由题意得圆C 2的方程为ρ＝2R cos θ(或(x －R )2＋y 2＝R 2)．将D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3代入ρ＝2R cos θ，得1＝2R cos π3，即R ＝1.(或由D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3，得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，代入(x －R )2＋y 2＝R 2，得R ＝1)∴曲线C 2的方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)∵点A (ρ1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2在曲线C 1上，∴ρ21cos 2θ4＋ρ21sin 2θ＝1，ρ22sin 2θ4＋ρ22cos 2θ＝1，∴1ρ21＋1ρ22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ4＋sin 2θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ4＋cos 2θ＝54.。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．已知圆C 与直线l 的极坐标方程分别为6cos ρθ=，sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C 到直线l 的距离是（） A ．1B ．2CD．22．已知曲线C 的极坐标方程为：22cos 2sin 0ρρθρθ--=，直线l 的极坐标方程为：4πθ=（ρ∈R ），曲线C 与直线l 相交于AB 、两点，则AB 为（） AB．CD．3．在平面直角坐标系中，抛物线23x y =-经过伸缩变换1'21'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩后得到的曲线方程是（） A ．2''4y x =- B ．2''4x y =- C ．2'9'4y x =-D ．2'9'4x y =-4．在极坐标系中，点A 是曲线8sin ρθ=上一动点，以极点O 为中心，将点A 绕O 顺时针旋转90︒得到点B ，设点B 的轨迹为曲线C ，则曲线C 的极坐标方程为( ) A ．8cos ρθ= B ．8sin ρθ= C ．8cos ρθ=-D ．8sin ρθ=-5．在直角坐标系xOy 中，直线l的方程为0x =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为( ) A．sin 32πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ B．sin 32πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C．sin 62πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ D．sin 62πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 6．极坐标系内曲线2cos ρθ=上的动点P 与定点(1,)2Q π的最近距离等于（）A1B1C ．1D7．在极坐标系中，曲线46sin πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于( ) A ．直线23πθ=对称 B ．直线56πθ=对称C ．点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称 D ．极点中心对称8．在极坐标系中，过点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭且与极轴平行的直线的方程是（） A．cos ρθ=B．sin ρθ=C．ρθ=D．ρθ9．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换'5'3x xy y =⎧⎨=⎩后，曲线C 变为曲线22281x y '+'=，则曲线C 的方程为A ．50x 2＋72y 2＝1B ．9x 2＋100y 2＝1C ．10x 2＋24y 2＝1D ．225x 2＋89y 2＝1 10．在同一坐标系中，将直线1x y +=变换为直线236x y +=的一个伸缩变换是（）A ．32x xy y ''=⎧⎨=⎩B ．23x xy y ''=⎧⎨=⎩C ．1312x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩D ．1213x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩11．已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，则曲线C 的直角坐标方程为 A ．22(1)4x y -+= B ．22(1)4x y +-= C ．22(1)1x y -+= D ．22(1)1y x +-=12．若曲线2 1x ty t=-⎧⎨=-+⎩（t为参数）与曲线ρ=B ， C 两点，则BC 的值为（） ABCD二、填空题13．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，已知曲线C 1的方程为(x －1)2＋y 2＝1，C 2的方程为x ＋y ＝3，C 3是一条经过原点且斜率大于0的直线. （1）求C 1与C 2的极坐标方程；（2）若C 1与C 3的一个公共点为A (异于点O )，C 2与C 3的一个公共点为B ，求|OA |－3OB的取值范围.14．在极坐标系中，曲线C 的方程为28cos 10sin 320ρρθρθ--+=，直线l 的方程为0()R θθρ=∈，0tan 2θ=，若l 与C 交于A ，B 两点，O 为极点，则||||OA OB +=________．15．在极坐标系中，点(2,)3π到直线(cos )6ρθθ=的距离为_________．16．在极坐标系中0,02,ρθπ>≤<，曲线cos 1ρθ=-与曲线=2sin ρθ的交点的极坐标为_______________。

高考数学统考一轮复习选修4-4 第一节坐标系(教师文档)教案文北师大版

学习资料选修4－4 坐标系与参数方程选修4－4第一节坐标系授课提示：对应学生用书第198页[基础梳理］1．坐标系(1）坐标变换设点P（x，y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:错误!的作用下，点P（x，y）对应到点(λx，μy）,称φ为坐标系中的伸缩变换．（2）极坐标系在平面内取一个定点O,叫作极点；自极点O引一条射线Ox，叫作极轴;再选一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系．设M是平面内任意一点，极点O与点M的距离｜OM|叫作点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫作点M的极角,记为θ，有序数对(ρ,θ)叫作点M的极坐标，记为M(ρ，θ）．2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴非负半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为（x,y）和（ρ,θ)，则错误!错误!3．常用简单曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r圆心为(r，0），半径为r的圆ρ＝2r cos θ错误!圆心为错误!，半径为r的圆ρ＝2r sin θ（0≤θ<π）过极点，倾斜角为α的直线θ＝α（ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R) 过点（a,0)，与极轴垂直的直线ρcos θ＝a过点错误!，与极轴平行的直线ρsin θ＝a1．明辨两个坐标伸缩变换关系式错误!点（x ，y )在原曲线上，点（x ′,y ′）在变换后的曲线上，因此点（x ,y )的坐标满足原来的曲线方程，点(x ′,y ′）的坐标满足变换后的曲线方程． 2．极坐标方程与直角坐标方程互化（1)公式代入：直角坐标方程化为极坐标方程公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简． (2）整体代换：极坐标方程化为直角坐标方程，变形构造形如ρcos θ,ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．[四基自测]1．(基础点:点的直角坐标化为极坐标）点P 的直角坐标为(1，－错误!），则点P 的极坐标为______．答案：(2,－错误!）2．(基础点：圆的极坐标方程）在极坐标系中，圆心在错误!且过极点的圆的方程为________．答案：ρ＝－2 2 cos θ3．(易错点：圆的极坐标方程的圆心和半径)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋2错误!ρsin 错误!－4＝0，则圆C 的半径为________．答案：错误!授课提示：对应学生用书第199页考点一伸缩变换［例］（1）在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换错误!后,曲线C 变为曲线2x ′2＋8y ′2＝1，求曲线C 的方程．[解析］把错误!代入曲线2x ′2＋8y ′2＝1，可得2（5x ）2＋8（3y )2＝1，化为50x 2＋72y 2＝1，即为曲线C 的方程．（2)在同一直角坐标系中,求满足下列图形的伸缩变换：由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1。

北师大版高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》测试卷(包含答案解析)(2)

一、选择题1．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（） A ．1cos 2ρθ=B ．sin 2ρθ=C ．cos 2ρθ=D ．1sin 2ρθ=2．点P 对应的复数为33i -+，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（） A ．332,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．532,4π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．53,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．33,4π⎛⎫- ⎪⎝⎭3．极坐标方程2cos22cos 1ρθρθ-=表示的曲线是（） A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线4．若点P 的直角坐标为()1,3-，则它的极坐标可以是（） A ．52,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．42,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．72,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．112,6π⎛⎫⎪⎝⎭ 5．在极坐标系中，点A 是曲线8sin ρθ=上一动点，以极点O 为中心，将点A 绕O 顺时针旋转90︒得到点B ，设点B 的轨迹为曲线C ，则曲线C 的极坐标方程为( ) A ．8cos ρθ= B ．8sin ρθ= C ．8cos ρθ=-D ．8sin ρθ=-6．在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线l ：20y kx ++=与曲线C ：2cos ρθ=相交，则k 的取值范围是( )A ．34k <-B ．34k ≥-C ．k R ∈D ．k R ∈但0k ≠7．极坐标系内曲线2cos ρθ=上的动点P 与定点(1,)2Q π的最近距离等于（）A ．21-B ．51-C ．1D ．28．在同一平面直角坐标系中，将曲线1cos 23y x =按伸缩变换23x x y y ''=⎧⎨=⎩后为（）A ．cos y x ''=B ．13cos 2y x ''= C ．12cos3y x ''= D ．1cos32y x ''=9．在极坐标系中，点到直线的距离是（）．A ．B ．C ．D ．10．已知点P 的直角坐标(2,23)--，则它的一个极坐标为（）A ．(4，3π) B ．(4，43π) C ．(-4，6π) D ．(4，76π) 11．在极坐标系中，圆心为π1,2⎛⎫⎪⎝⎭，且过极点的圆的方程是（）． A ．2sin ρθ=B ．2sin ρθ=-C ．2cos ρθ=D ．2cos ρθ=-12．在极坐标系中，两条曲线1πC :ρsin θ14⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2C :ρ=的交点为A,B ，则AB =（）A ．4B ．C ．2D ．1二、填空题13．（理）在极坐标系中，曲线sin 2ρθ=+与sin 2ρθ=的公共点到极点的距离为_________．14．在极坐标系中,由三条直线0θ=,3πθ=，ρcos?θρsin?θ1+=围成的图形的面积是________15．在极坐标系中，以,2a π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以a 为半径的圆的极坐标方程为__________.16．在极坐标系中，圆2cos ρθ=的圆心到直线sin 1ρθ=的距离为______. 17．在极坐标系中，如果直线cos =a ρθ与圆2sin ρθ=相切，那么a =____．18．在极坐标系中，极点到直线cos()6πρθ-=的距离等于________．19．已知直线l 和曲线Γ的极坐标方程分别为()sin cos 1ρθθ-=和1ρ=，若l 和Γ相交于两点,A B ，则AB =_______.20．已知圆的极坐标方程为6sin ,ρθ=圆心为M ，点N 的极坐标为(6,6π）,则||MN =_________.三、解答题21．在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点6P π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为()22cos26ρθ+=．（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）若1,6A πρα⎛⎫- ⎪⎝⎭，23,B πρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭是曲线2C 上两点，求2211OA OB +的值． 22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++＝．（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是()θαρ∈R ＝，l 与C 交于A B ，两点，||AB l 的斜率．23．在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：2214yx +=，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 是圆心极坐标为(3,)π，半径为1的圆. （1）求曲线1C 的参数方程和2C 的直角坐标方程；（2）设M ，N 分别为曲线1C ，2C 上的动点，求MN 的取值范围.24．在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩(其中α为参数），曲线2C 的方程为2213x y +=，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程；（2）若射线()06πθρ=>与曲线12,C C 分别交于,A B 两点，求AB .25．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），曲线2C 的直角坐标方程为22(4)16x y +-=.（1）求1C 与2C 的极坐标方程；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB .26．在极坐标系下，已知圆C ：2cos 2sin =+和直线:40l x y -+= （1）求圆C 的直角坐标方程和直线l 的极坐标方程；（2）求圆C 上的点到直线l 的最短距离．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C解析：C 【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，再判断是否相切．【详解】由题意圆的直角坐标方程为224x y y +=，即22(2)4x y +-=，圆心上(0,2)C ，半径为2r ，A 中直线方程是12x =，B 中直线方程是2y =，C 中直线方程是2x =，D 中直线方程是12y =，只有直线2x =与圆相切．故选：C ．【点睛】方法点睛：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线与圆的位置关系．在极坐标系中两者位置关系的差别是不方便的，解题方法是把极坐标方程化为直角坐标方程，在直角坐标系中判断直线与圆的位置关系．2．A解析：A 【解析】分析：先求出点P 的直角坐标，P 到原点的距离r ，根据点P 的位置和极角的定义求出极角，从而得到点P 的极坐标．详解：点P 对应的复数为33i -+，则点P 的直角坐标为()3,3-，点P 到原点的距离r =，且点P 第二象限的平分线上，故极角等于34π，故点P 的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选A ．点睛：本题考查把直角坐标化为极坐标的方法，复数与复平面内对应点间的关系，求点P 的极角是解题的难点．3．D解析：D 【分析】将极坐标方程化为直角坐标方程，就可以得出结论；【详解】解：极坐标方程2cos22cos 1ρθρθ-=可化为：()222cos sin 2cos 1ρθθρθ--=，2221x y x ∴--=，即22(1)2x y --=，它表示中心在()1,0的双曲线． ∴极坐标方程2cos22cos 1ρθρθ-=表示的曲线是双曲线．故选：D ．【点睛】本题研究极坐标问题，我们的解法是将极坐标方程化为直角坐标方程，再进行研究，属于中档题．4．A解析：A 【分析】设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<，计算出ρ和tan θ的值，结合点P 所在的象限求出θ的值，可得出点P 的极坐标. 【详解】设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<，则2ρ==，tan θ== 由于点P 位于第四象限，所以，53πθ=，因此，点P 的极坐标可以是52,3π⎛⎫⎪⎝⎭，故选A. 【点睛】本题考查点的直角坐标化极坐标，要熟悉点的直角坐标与极坐标互化公式，同时还要结合点所在的象限得出极角的值，考查运算求解能力，属于中等题.5．A解析：A 【解析】【分析】设出B 点坐标，得出A 点坐标，将A 点坐标代入曲线方程8sin ρθ=，化简后得到曲线C 的极坐标方程. 【详解】设点(),B ρθ，则点,2A πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，代入8sin ρθ=，得8sin 8cos 2πρθρθ⎛⎫=+⇒= ⎪⎝⎭.故选A. 【点睛】本小题主要考查曲线的极坐标方程的求法，考查的是代入法求轨迹方程，属于基础题.6．A解析：A 【解析】分析：一般先将原极坐标方程2cos ρθ=两边同乘以ρ后，把极坐标系中的方程化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即可．详解：将原极坐标方程2cos ρθ=，化为：22cos ρρθ=，化成直角坐标方程为：2220x y x +-=，即22(1)1x y -+=．则圆心到直线的距离221k d k +=+由题意得：1d <，即2211k d k +=<+，解之得：34k <-．故选A ．点睛：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+，进行代换即得． 7．A解析：A 【解析】分析：先将曲线的方程化为直角坐标方程，再把定点Q 化成直角坐标，再利用数形结合求最短距离.详解：将ρ=2cos θ化成直角坐标方程为(x-1)2+y 2=1,点Q 的直角坐标为(0,1), 则点P 到点Q 的最短距离为点Q 与圆心(1,0)的距离减去半径,2 1.-即故答案为A.点睛：(1)本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)解答极坐标的问题，通常先把所有的条件化成直角坐标再解答.8．A解析：A 【分析】把伸缩变换的式子变为用','x y 表示,x y ，再代入原方程即可求出结果. 【详解】因为伸缩变换'2'3x xy y =⎧⎨=⎩，所以11','23x x y y ==，代入1cos23y x =，可得111'cos 2332y x ⎛⎫=⨯ ⎝'⎪⎭，化简可得'cos 'y x =，故选A. 【点睛】该题考查的是有关伸缩变换后曲线方程的求解问题，涉及到的知识点有伸缩变换规律对应点的坐标之间的关系，属于简单题目.9．C解析：C 【解析】点到直线分别化为直角坐标系下的坐标与方程：，直线点到直线的距离，点到直线的距离是，故选C.10．B解析：B 【解析】22(2)(23)4ρ=-+-=，23tan 3θ-==3(,)2πθπ∈，所以43πθ=，即极坐标为4(4,)3π．故选B ． 11．A解析：A 【解析】分析：由条件求得圆心的直角坐标进而求出圆的直角坐标方程，再利用222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩把它化为极坐标方程即可. 详解：由题意可得圆心π1,2⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为()0,1，半径为1，故圆的直角坐标方程为2211x y +-=（），即2220x y y +-=，再把它化为极坐标方程为22sin 0ρρθ-=，即2sin ρθ=，故选A.点睛：本题主要考查求圆的标准方程，把直角坐标方程化为极坐标方程，熟练掌握222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩的运用是解题的关键，属于基础题． 12．C解析：C 【解析】联立极坐标方程：π142sin ρθρ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎩可得：1120ρθ⎧=⎪⎨=⎪⎩2222ρπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，利用勾股定理可得()()22222AB =+=.故选C.二、填空题13．【分析】先求公共点的极坐标再根据极径含义得结果【详解】（负舍）故答案为：【点睛】本题考查公共点的极坐标以及极径含义考查基本分析求解能力属基础题解析：13+【分析】先求公共点的极坐标，再根据极径含义得结果. 【详解】sin 2ρθ=+,sin 2ρθ=,2213ρρρ=+∴=+, （负舍）故答案为：13+ 【点睛】本题考查公共点的极坐标以及极径含义，考查基本分析求解能力，属基础题.14．【解析】分析：先把三条直线的方程化成直角坐标方程再求三角形的底边长和高再求三角形的面积详解：三条直线θ=0θθ+ρsinθ=1在直角坐标系下对应的直线方程为y=0y 三条直线围成的图形如图阴影部分所示解析：3-34【解析】分析：先把三条直线的方程化成直角坐标方程，再求三角形的底边长和高，再求三角形的面积.详解：三条直线θ=0,θπ,ρcos 3=θ+ρsinθ=1在直角坐标系下对应的直线方程为y=0,y 3x,x y 1.=+=三条直线围成的图形如图阴影部分所示.则点A(1,0),3-13-3B ⎝⎭故S △AOB 13-33-312==3-3点睛：本题主要考查极坐标化成直角坐标，考查直线位置关系和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.15．【解析】【分析】建立极坐标系根据极坐标的定义求解【详解】如图所示圆的直径为在圆上任取一点则或所以即【点睛】本题主要考察极坐标的定义图形是关键此题也可转化为在直角坐标系下求解解析：2sin a ρθ=【解析】【分析】建立极坐标系，根据极坐标的定义求解。

【2021】高考数学一轮复习学案：选修4-4.1 坐标系

系列4部分选修4-4 坐标系与参数方程第一节坐标系知识体系必备知识1.伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:{x '=λ·x ,(λ>0),y '=μ·y ,(μ>0)的作用下,点P(x,y)对应到点P ′(x ′,y ′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换. 2.极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系(2)点的极坐标:M (ρ,θ). 3.直角坐标与极坐标的互化(1)前提:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式:设M 是平面内任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),则{x =ρcosθ,y =ρsinθ,{ρ2=x 2+y 2,tanθ=y x(x ≠0).4.直线的极坐标方程 (1)一般位置.若直线过点M(ρ0,θ0),且极轴与此直线所成的角为α,则它的极坐标方程为:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α). (2)特殊位置. 直线极坐标方程图形过极点,倾斜角为α θ=α(ρ∈R)或θ=π+α(ρ∈R)(θ=α和θ=π+α(ρ≥0))过点(a,0),与极轴垂直 ρcos __θ=a(-π2<θ<π2)过点 a,π2,与极轴平行 ρsin __θ=a(0<θ<π)5.圆的极坐标方程(1)一般位置.若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则该圆的方程为: ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ02-r2=0.(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程.①圆心位于极点,半径为r:ρ=r;②圆心位于M(a,0),半径为a:ρ=2acos__θ;③圆心位于M(a,π2),半径为a:ρ=2asin__θ.基础小题1.在平面直角坐标系中,方程2x+3y=0经过伸缩变换{X=2x,Y=3y后的图形为________.【解析】由{X=2x,Y=3y,得{x=X2,y=Y3,①将①代入2x+3y=0,得X+Y=0,因此直线2x+3y=0变换成直线X+Y=0,即x+y=0. 答案:平面直角坐标系的二、四象限的角平分线2.已知圆C的极坐标方程为ρ2+2√2ρsin(θ-π4)-4=0,则圆C的直角坐标方程为____________.【解析】以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,以极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2+2√2ρ(√22sinθ-√22cosθ)-4=0,化简,得ρ2+2ρsin θ-2ρcos θ -4=0.则圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2x+2y-4=0, 即(x-1)2+(y+1)2=6. 答案:(x-1)2+(y+1)2=63.在极坐标系中,圆ρ=8sin θ上的点到直线θ=π3(ρ∈R)距离的最大值是________.【解析】圆ρ=8sin θ即ρ2=8ρsin θ,化为直角坐标方程为x 2+(y-4)2=16,直线θ=π3,则tan θ=√3,化为直角坐标方程为√3x-y=0,圆心(0,4)到直线的距离为√4=2,所以圆上的点到直线距离的最大值为2+4=6. 答案:64.求在极坐标系中,过点(2,π2)且与极轴平行的直线方程.【解析】点(2,π2)在直角坐标系下的坐标为(2cos π2,2sin π2),即(0,2).所以过点(0,2)且与x 轴平行的直线方程为y=2. 即为ρsin θ=2.5.在极坐标系中,已知两点A,B 的极坐标分别为(3,π3),(4,π6),求△AOB(其中O 为极点)的面积.【解析】由题意知A,B 的极坐标分别为(3,π3),(4,π6),则△AOB 的面积 S △AOB =12OA ·OBsin ∠AOB=12×3×4×sin π6=3.。

新北师大版高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》测试(有答案解析)

一、选择题1．（理）在极坐标系中,圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（） A ．0()R θρ=∈ 和cos 2ρθ= B ．()2R πθρ=∈和cos 2ρθ=C ．()2R πθρ=∈和cos 1ρθ= D ．0()R θρ=∈和cos 1ρθ=2．在极坐标系中，圆cos()3πρ=θ+的圆心的极坐标为（） A ．1(,)23π-B ．1(,)23πC ．(1,)3π-D ．(1,)3π3．已知点P 的极坐标是1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，则过点P 且垂直极轴的直线方程是（） A ．12ρ=B ．1cos 2ρθ=C ．12cos ρθ=-D ．2cos ρθ=-4．如图所示，极坐标方程sin (0)a a ρθ=>所表示的曲线是（）A ．B ．C ．D ．5．在平面直角坐标系中，抛物线23x y =-经过伸缩变换1'21'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩后得到的曲线方程是（） A ．2''4y x =- B ．2''4x y =- C ．2'9'4y x =-D ．2'9'4x y =-6．以π-2,4⎛⎫⎪⎝⎭2 ） A ．ρ=-(sin θ+cosθ) B ．ρ=sin θ+cosθ C ．ρ=-2(sin θ+cosθ)D ．ρ=2(sin θ+cosθ)7．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,{?1x cos y sin αα==+（α为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为()cos sin 10ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为（）． A ．0B ．1C ．2D ．38．在同一平面直角坐标系中，将直线22x y -=按124x xy y⎧=⎪⎨⎪='⎩'变换后得到的直线l 的方程，若以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程为（） A ．4cos sin 4ρθρθ-= B ．cos 16sin 4ρθρθ-= C ．cos 4sin 4ρθρθ-=D ．cos 8sin 4ρθρθ-=9．在极坐标系中，曲线1C 的方程为2sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，曲线2C 的方程为sin 43πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，以极点O 为原点，极轴方向为x 轴正方向建立直角坐标系xOy 。

高考一轮作业：选修4-4-1坐标系(含答案)

时间：45分钟满分：100分班级：________ 姓名：________ 学号：________ 得分：________ 一、填空题1．在极坐标系中，直线ρsin(θ－π4)＝22与圆ρ＝2cos θ的位置关系是________．解析：直线的直角坐标方程为x －y ＋1＝0，圆的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，其圆心C(1,0)，半径r ＝1.因为圆心到直线的距离d ＝22＝2＞1，故直线与圆相离．答案：相离2．(2018·汕头第一次学业水平测试)在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，过极点的一条直线l 与圆相交于O ，A 两点，且∠AOx ＝45°，则|OA|＝________.解析：圆C 的直角坐标系方程为：x 2＋(y －1)2＝1，圆心(0,1)到直线OA ：y ＝x 的距离为22，则弦长|OA|＝ 2.答案： 23．在极坐标系中，ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1(0≤θ＜2π)的交点的极坐标为________．解析：∵ρ＝2sin θ， ∴ρ2＝2ρsin θ. ∴x 2＋y 2－2y ＝0.又ρcos θ＝－1，∴x ＝－1，将x ＝－1代入x 2＋y 2－2y ＝0得y ＝1. ∴两曲线的交点为(－1,1)．又∵0≤θ＜2π.∴所求交点的极坐标为(2，3π4)．答案：(2，3π4)4．(2018·西安八校联考)在极坐标系中，点A 的坐标为(22，π4)，曲线C 的方程为ρ＝4sin θ，则OA(O为极点)所在直线被曲线C 所截弦的长度为________．解析：将直线OA 的极坐标方程θ＝π4代入ρ＝4sin θ，得交点坐标A(22，π4)，又O 显然为直线OA 与曲线C 的一个交点，∴弦长为|OA|＝2 2.答案：2 25．(2018·广东惠州第一次调研)设点A 的极坐标为(22，π4)，直线l 过点A 且与极轴垂直，则直线l 的极坐标方程为________．解析：点A 的直角坐标为(2,2)，故直线l 在直角坐标系下的方程为x ＝2，故其极坐标方程为ρcos θ＝2. 答案：ρcos θ＝26．若点P(2，－1)为曲线(极坐标系下的方程)ρ2－2ρcos θ－24＝0(0≤θ＜2π)的弦的中点，则该弦所在直线的直角坐标方程为________．解析：ρ2－2ρcos θ－24＝0化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －24＝0，即(x －1)2＋y 2＝25，圆心坐标为(1,0)，故弦的垂直平分线斜率为k ＝－12－1＝－1，故弦所在直线的斜率为1，因此弦所在直线的方程为x －2＝y＋1，即x －y －3＝0.答案：x －y －3＝07．在极坐标系中，O 为极点，设点A(4，π3)，B(5，－5π6)，则△OAB 的面积为________．解析：点B(5，－5π6)即B(5，7π6)，且点A(4，π3)，∴∠AOB ＝7π6－π3＝5π6，所以△OAB 的面积为S ＝12·|OA|·|OB|·sin∠AOB ＝12×4×5×sin 5π6＝12×4×5×12＝5.答案：58．在极坐标系中，点(1,0)到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝2的距离为________．解析：直线ρ(cos θ＋sin θ)＝2的直角坐标方程为x ＋y －2＝0，极坐标(1,0)的直角坐标为(1,0)，点(1,0)到该直线的距离为d ＝|1＋0－2|2＝22.答案：229．(2018·陕西西安调研)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．解析：直线2ρcos θ＝1即为2x ＝1，圆ρ＝2cos θ，即为(x －1)2＋y 2＝1，由此可求得弦长为 3. 答案： 310．(2018·湖南长沙模拟)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a(a ＞0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.解析：把曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1化成直角坐标方程，得2x ＋y ＝1；把曲线C 2：ρ＝a(a ＞0)化成直角坐标方程，得x 2＋y 2＝a 2. ∵C 1与C 2的一个交点在极轴上， ∴2x ＋y ＝1与x 轴交点(22，0)在C 2上，即(22)2＋0＝a 2.又∵a ＞0，∴a ＝22. 答案：22二、解答题11．(2018·江苏模拟)[选修4－4：坐标系与参数方程]已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5＋22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．(Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程，直线l 的普通方程；(Ⅱ)将曲线C 横坐标缩短为原来的12，再向左平移1个单位，得到曲线C 1，求曲线C 1上的点到直线l 距离的最小值．解：(Ⅰ)对于曲线C ：ρ＝4cos θ，左右两边同乘ρ，得ρ2＝4ρcos θ，又∵x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴x 2＋y 2＝4x ，∴曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4. 对于直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5＋22t ， ①y ＝5＋22t ， ②①－②得x －y ＝－25，∴直线l 的普通方程是x －y ＋25＝0.(Ⅱ)将曲线C 横坐标缩短为原来的12，再向左平移1个单位，得到曲线C 1的方程为4x 2＋y 2＝4，设曲线C 1上的任意点(cos θ，2sin θ)到直线l 的距离 d ＝|cos θ－2sin θ＋25|2＝|25－5θ－φ2⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255，又sin(θ－φ)∈[－1,1]，∴曲线C 1上的点到直线l 距离的最小值为10212．(2018·东北四校一模)在极坐标系中，曲线L ：ρsin 2θ＝2cos θ，过点A(5，α)(α为锐角且tan α＝34)作平行于θ＝π4(ρ∈R)的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点． (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同的单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程；(2)求|BC|的长．解：(1)由题意得，点A 的直角坐标为(4,3)，曲线L 的普通方程为y 2＝2x ，直线l 的普通方程为y ＝x －1. (2)设B(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ， ①y ＝x －1. ②把②式代入①式并整理得x 2－4x ＋1＝0. 由韦达定理得x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝1. 由弦长公式得|BC|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2 6.13．(2018·南京二模)在极坐标系中，曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ＝－2cos θ，ρcos(θ＋π3)＝1. (1)求曲线C 1和C 2的公共点的个数；(2)过极点作动直线与曲线C 2相交于点Q ，在OQ 上取一点P ，使|OP|·|OQ|＝2，求点P 的轨迹，并指出轨迹是什么图形．解：(1)C 1的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝1，它表示圆心为(－1,0)，半径为1的圆，C 2的直角坐标方程为x －3y －2＝0，所以曲线C 2为直线，由于圆心到直线的距离为d ＝32＞1，所以直线与圆相离，即曲线C 1和C 2没有公共点．(2)设Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ρρ0＝2，θ＝θ0，即⎩⎪⎨⎪⎧ρ0＝2ρ，θ0＝θ.①因为点Q(ρ0，θ0)在曲线C 2上，所以ρ0cos(θ0＋π3)＝1，② 将①代入②，得2ρcos(θ＋π3)＝1，即ρ＝2cos(θ＋π3)为点P 的轨迹方程，化为直角坐标方程为(x －12)2＋(y ＋32)2＝1，因此点P 的轨迹是以(12，－32)为圆心，1为半径的圆．。